text: {"text": [{"text": "Как показано на рисунке, частица массой $m$ и зарядом $e$ движется в поле электрического диполя $\vec p$, закреплённого в начале координат. Дипольный момент направлен по оси $z$, а зависимость положения частицы от времени задаётся радиус-вектором $\vec r(t)$. Угол между радиус-вектором частицы и осью $z$ обозначим $\theta(t)$.В начальный момент времени $r(t=0)=r_0 > 0$, $\theta(t = 0) =\theta_0$.Диэлектрическая проницаемость вакуума равна $\varepsilon_0$. Поле и потенциал электрического диполя задаются формулами:\[\vec E=\frac{3(\vec p\cdot\hat r)\hat r-\vec p}{4\pi\varepsilon_0 r^3},\qquad\varphi = \frac{(\vec p\cdot\vec r)}{4\pi\varepsilon_0 r^3},\]где $\hat r\equiv \vec r/r$. <img_0> Пусть частица совершает равномерное движение, при котором её траектория — окружность с центром на оси $z$, перпендикулярная этой оси."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите скорость частицы $v_0$ и угол $\theta_0$. Пусть теперь частица неподвижна в начальный момент времени $t=0$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите зависимость момента импульса частицы $L$ от угла $\theta$ при её дальнейшем движении."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите зависимость радиальной скорости частицы $v_r$ от расстояния до начала координат $r$ при её дальнейшем движении."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "При каком условии на начальный угол $\theta_0$ движение частицы будет финитным?"}, {"balls": {"number": "5", "exponent": null}, "text": "В случае инфинитного движения определите зависимость от времени расстояния $r(t)$ от частицы до начала координат."}]}
answer: [{"condition": "Найдите скорость частицы $v_0$ и угол $\theta_0$. ", "solution": {"text": "Чтобы такое движение было возможно, $z$-компонента электрического поля должна отсутствовать, т.е.:\[e(\hat z\cdot\vec E)=\frac{ep}{4\pi \varepsilon_0 r_0^3}(3\cos^2\theta_0-1)=0\implies \cos\theta_0=\pm1/\sqrt{3}.\]Центростремительная сила, которая при этом действует на частицу:\[F=-\frac{3ep}{4\pi\varepsilon_0r_0^3}\cos\theta_0\sin\theta_0.\]Чтобы частица могла двигаться по окружности, должно быть $F > 0\implies$ Далее, поскольку $F=mv_0^2/R$, где $R$ — радиус окружности, то\[v_0={\sqrt{\frac{F R}{m}}}={\sqrt{-{\frac{3e p}{4\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\cos\theta_{0}\sin^{2}\theta_{0}}}={\sqrt{-{\frac{3e p}{4\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\cos\theta_{0}\left(1-\cos^{2}\theta_{0}\right)}}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\theta_0=\arccos(-1/\sqrt{3})\]  Далее, поскольку $F=mv_0^2/R$, где $R$ — радиус окружности, то\[v_0={\sqrt{\frac{F R}{m}}}={\sqrt{-{\frac{3e p}{4\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\cos\theta_{0}\sin^{2}\theta_{0}}}={\sqrt{-{\frac{3e p}{4\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\cos\theta_{0}\left(1-\cos^{2}\theta_{0}\right)}}\implies\]", "Ответ: \[v_0=\sqrt{\frac{ep}{2\pi\sqrt{3} \varepsilon_0mr_0^2}}\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите зависимость момента импульса частицы $L$ от угла $\theta$ при её дальнейшем движении. ", "solution": {"text": "Вектор момента импульса частицы:\[\vec L=m[\vec r\times\vec v]=m[\vec r\times(\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta)]=mr^2\dot\theta\hat n,\]где $\hat n=[\hat r\times\hat\theta]$. Момент сил, действующий на частицы, равен:\[\vec M=e[\vec r\times \vec E]=-\frac e{4\pi\varepsilon_0 r^3}[\vec r\times\vec p]=\frac{ep\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat n\implies {\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}}={\frac{\mathrm{d}\left(m r^{2}{\dot{\theta}}\right)}{\mathrm{d}t}}={\frac{e p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}}\]Домножая на $L$, получим полный дифференциал:\[L\,{\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}}={\frac{e p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}}\cdot m r^{2}{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}={\frac{m e p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_{0}}}{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}\implies {\frac{\mathrm{d}L^{2}}{\mathrm{d}t}}=-{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\Biggr({\frac{m e p}{2\pi \varepsilon_{0}}}\cos\theta\Biggr).\]Учитывая граничные условия $L(\theta=\theta_0)=0$, получим ответ:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[L(\theta)=\sqrt{\frac{mep}{2\pi\varepsilon_0}\big(\cos\theta_0-\cos\theta\big)}\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите зависимость радиальной скорости частицы $v_r$ от расстояния до начала координат $r$ при её дальнейшем движении. ", "solution": {"text": "Потенциал поля диполя:\[\varphi=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2},\]тогда ЗСЭ запишется в виде:\[\frac{1}{2}mv^2+e\varphi=\frac{1}{2}m\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)+\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\frac{p\cos\theta_0}{4\pi\varepsilon_0r^2}\quad\underset{L=mr^2\dot\theta}{\overset{p_r=m\dot r}\implies}\quad \frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{L^{2}}{2m^{2}}+\frac{e p\cos{\theta_{0}}}{4\pi \varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{e p\cos{\theta_{0}}}{4\pi \varepsilon_{0}r_{0}^{2}}\]Подстановка выражения для момента импульса, полученного в предыдущем пункте, заметно упрощает уравнение и позволяет найти:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[v_{r}={\sqrt{\frac{ep\cos\theta_{0}}{2\pi m\varepsilon_0}{\left({\frac{1}{r_{0}^{2}}}-{\frac{1}{r^{2}}}\right)}}}\]"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каком условии на начальный угол $\theta_0$ движение частицы будет финитным? ", "solution": {"text": "Движение возможно только в области $v_r^2 > 0\implies $ движение инфинитно при $\theta < \pi/2\implies$ движение финитно при"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\theta\ge\pi/2\]"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В случае инфинитного движения определите зависимость от времени расстояния $r(t)$ от частицы до начала координат. ", "solution": {"text": "Фактически, необходимо решить уравнение\[\frac{\mathrm dr}{\mathrm dt}={\sqrt{\frac{ep\cos\theta_{0}}{2\pi m\varepsilon_0}{\left({\frac{1}{r_{0}^{2}}}-{\frac{1}{r^{2}}}\right)}}}.\]Поскольку\[\sqrt{\frac{e p \cos{\theta_{0}}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}\mathrm{d}t=\frac{r~\mathrm dr}{\sqrt{r^{2}-r_{0}^{2}}}=\mathrm{d}\sqrt{r^{2}-r_{0}^{2}},\]то, учитывая граничные условия $r(t=0)=r_0$, получим\[{\sqrt{r^{2}-r_{0}^{2}}}-{\sqrt{\frac{e p{\cos}\theta_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}m_{0}^{2}}}}t=0\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[r={\sqrt{r_{0}^{2}+{\frac{e p c o s{\theta}_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}m r_{0}^{2}}}}}\]"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "??"}]