text: {"text": [{"text": "Два плоских слоя толщины $a$ каждый равномерно заряжены объемным зарядом с плотностями $-\rho$ и $+\rho$ (см. рис). Частица с отрицательным зарядом $-e $ и массой $m$ подлетает к положительно заряженному слою со скоростью $\vec v$, направленной под углом $\alpha$ к поверхности слоя. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "При каком значении скорости частица не сможет проникнуть в отрицательно заряженный слой?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Через сколько времени и на каком расстоянии от точки $A$ частица в этом случае покинет положительно заряженный слой?"}]}
answer: [{"condition": "При каком значении скорости частица не сможет проникнуть в отрицательно заряженный слой? ", "solution": {"text": "<img_1> Выберем систему координат $X Y$, как показано на рисунке, Сразу же можно отметить, что движение частицы вдоль оси $Y$ будет равномерным со скоростью $v \cos a$ (действием силы тяжести мы пренебрегаем). Сила, действующая на частицу со стороны заряженных слоев, направлена вдоль оси $X$ и в точке с координатой $x$ определяется зарядами, находящимися в заштрихованных на рисунке областях (симметричных относительно плоскости раздела слоев). Действительно, действие незаштрихованных областей с разноименными зарядами компенсируется, поскольку область объемного заряда можно представить себе как набор плоскостей с поверхностным зарядом, а поле, создаваемое заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. По той же причине можно считать, что поле в точке с координатой $x$ определяется заряженными плоскостями с поверхностной плотностью заряда $-\varrho x$ и $+\varrho x$ и справа от этой точки. Напряженность такого поля равна$$E=2 \frac{\varrho x}{2\varepsilon_0}=\frac{\varrho x}{\varepsilon_0} .$$Значит сила, действующая на частицу в тот момент, когда она находится в точке с координатой $x$, равна$$F_x=-e \frac{\varrho x}{\varepsilon_0},$$и уравнение движения частицы в направлении оси $X$ —$$x^{\prime \prime}=-\frac{e \varrho }{m \varepsilon_0} x$$— это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_0=\sqrt{e\varrho/ m \varepsilon_0}$. Понятно, что частица не проникнет в область отрицательного заряда, если амплитуда этих колебаний будет меньше $d$. Предельная скорость $v_{пр}$ частицы, при которой выполняется это условие, определяется равенством$$\begin{gathered}v_{пр} \sin \alpha=\omega_0 d=d \sqrt{\frac{e\varrho}{m \varepsilon_0}} ; \\v_{пр}=\frac{d}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{e\varrho}{m \varepsilon_0}} .\end{gathered}$$При скоростях $v< v_{пр}$ частица проникает в положительно заряженный слой на некоторую глубину, а затем «выталкивается» из него. Время $t$, которое частица проводит внутри слоя, — это половина периода колебаний с частотой $\omega_0$, то есть$$t=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e\varrho}} ;$$За это время частица смещается по вертикали на расстояние$$y=t v \cos \alpha=\pi v \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e\varrho}} \cos \alpha .$$На таком расстоянии от точки $A$ частица вылетит из положительно заряженного слоя."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{пр}=\frac{d}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{e\varrho}{m \varepsilon_0}} .$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Через сколько времени и на каком расстоянии от точки $A$ частица в этом случае покинет положительно заряженный слой? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e\varrho}} ;$$$$y=t v \cos \alpha=\pi v \sqrt{\frac{m \varepsilon_0}{e\varrho}} \cos \alpha .$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]