text: {"text": [{"text": "В 1973 году был предложен способ вывода спутников на гиперболическую орбиту с помощью гравитационного манёвра, который Вам предлагается проанализировать. В рамках данной задачи исследуется движение двух спутников 1 и 2, запущенных с противоположных полюсов Земли с одинаковыми по модулю и направлению скоростями $v$ по касательной к ней. Спутник 2 выводят на орбиту через малое время $\tau$ после запуска первого. Если на орбиту вывести только один из спутников, то его траектория будет представлять собой параболу. Масса спутника 1 равна $M_1$, а спутника 2 — $M_2\gg{M_1}$. Сопротивлением газа в атмосфере можно пренебречь, как и влиянием гравитационного притяжения со стороны других тел. Масса Земли $M_{\text{З}}\gg{M_2}$, радиус Земли — $R_{\text{З}}$, гравитационная постоянная — $G$. Обозначим за $P$ точку пересечения эллиптических орбит спутников, а за $\varphi$ - угол между направлениями их скоростей в данной точке. Движение спутника 1 состоит из трёх участков: 1) Движение по параболической орбите; 2) Взаимодействие со спутником 2 вблизи точки $P$; 3) Дальнейшее движение по гиперболической орбите в поле тяжести Земли. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Траектория одного из спутников (3.3 балла) В данной части задачи вам предстоит приближённо описать траекторию спутников до точки пересечения $P$ их орбит."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,40"}, "text": "Чему равна скорость спутников $v$ в момент запуска? Ответ выразите через $G$, $М_З$ и $R_З$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,60"}, "text": "На каком расстоянии от центра Земли $R_0$ находится точка $P$ пересечения траекторий спутников? Ответ выразите через $R_\text{З}$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,80"}, "text": "Чему равен угол $\varphi$ между направлениями скоростей спутников в точке $P$?"}, {"text": "Часть B. Взаимодействие спутников (4.0 балла)"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите время $t_0$, через которое спутники достигают точки $P$. Ответ выразите через $G$, $R_\text{З}$ и $M_\text{З}$. Здесь и далее считайте, что $\tau\ll{t_0}$. При приближении спутников к точке $P$ их взаимодействием с Землёй можно пренебречь."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,70"}, "text": "Считая, что вблизи точки $P$ спутники двигались вдоль прямых, направления которых совпадали с направлениями их скоростей в данной точке, найдите относительную скорость спутников $v_0$, а также минимальное расстояние $b$ между ними, пренебрегая их гравитационным взаимодействием. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Ответ выразите через $v$ и $\tau$. Далее считайте, что в системе отсчёта спутника 2 орбита спутника 1 представляет собой гиперболу с прицельным параметром $b$ на их бесконечно большом удалении. Также считайте, что на бесконечно большом удалении относительная скорость спутников равна $v_0$, найденной в предыдущем пункте. <img_1> Когда взаимодействием спутников 1 и 2 вновь можно пренебречь, скорость спутника 1 в системе отсчёта Земли равна $u$ и направлена перпендикулярно линии, соединяющей его с Землёй."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите $u$. Ответ выразите через $v$."}, {"text": "Часть C. Повторное движение в поле тяжести Земли (2.7 балла) После взаимодействия со спутником 2 орбита спутника 1 в поле тяжести Земли представляет собой гиперболу."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "2,30"}, "text": "Найдите $\tau$. Ответ выразите через $G$, $M_2$, $M_3$ и $R_\text{З}$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите скорость $v_\infty$ спутника 1 на бесконечно большом удалении от Земли. Ответ выразите через $v$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите угол $\varphi_\infty$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\infty$."}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "0,20"}, "text": "Возможно ли действительно вывести спутник на орбиту таким образом? Ответ обоснуйте."}]}
answer: [{"condition": "Чему равна скорость спутников $v$ в момент запуска? Ответ выразите через $G$, $М_З$ и $R_З$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "На каком расстоянии от центра Земли $R_0$ находится точка $P$ пересечения траекторий спутников? Ответ выразите через $R_\text{З}$. ", "solution": {"text": "Для движения по параболе $$r=\frac{p}{1+\cos\theta} $$ В точке старта спутников $$R_\text{З}=\frac{p}{2} $$ откуда $$p=2R_{\text{З}} $$ где $p$ - фокальный параметр. Далее, поскольку орбиты симметричны, параметр $\theta$ равен $\frac{\pi}{2}$ для обоих спутников, откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R_0=2R_\text{З} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Чему равен угол $\varphi$ между направлениями скоростей спутников в точке $P$? ", "solution": {"text": "Для каждого из спутников в точке $P$ можно найти из закона сохранения энергии $$v_P=\frac{v}{\sqrt{2}} $$ Из закона сохранения момента импульса $$vR_\text{З}={v_\perp}R_0=2Rv_\perp $$ Откуда $$\frac{v_\perp}{v_P}=\frac{1}{\sqrt{2}} $$ Значит, вектор скорости в точке $P$ составляет угол $\alpha=\frac{\pi}{4}$ с радиус вектором. Тогда из симметрии орбит $$\varphi=2\alpha=\frac{\pi}{2} $$ Также ответ может быть легко получен из оптического свойства параболы."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\varphi=2\alpha=\frac{\pi}{2} $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите время $t_0$, через которое спутники достигают точки $P$. Ответ выразите через $G$, $R_\text{З}$ и $M_\text{З}$. ", "solution": {"text": "Выражение для секториальной скорости следующее $$\frac{dS}{dt}=\frac{L}{2m}=\sqrt{\frac{G{M_\text{З}}R_\text{З}}{2}} $$ Откуда $$t_0=\frac{S}{\sqrt{\frac{G{M_\text{З}}R_\text{З}}{2}}} $$ где $S$ - площадь, заметаемая радиус-вектором от точки старта до точки $P$. Направим ось $y$ по направлению на точку старта из центра Земли, а ось $x$ перпендикулярно ей. Из уравнения параболы в полярных координатах $$p=r(1+\cos\theta)=r+y $$ откуда $$r^2=y^2+x^2=p^2+y^2-2py $$ Получаем $$y(x)=\frac{p}{2}-\frac{x^2}{2p}=R-\frac{x^2}{4R} $$ Тогда $$S=\int\limits_0^{2R_{\text{З}}}ydx=\int\limits_0^{2R}\left(R-\frac{x^2}{4R}\right)dx=2R^2-\frac{8R^3}{12R^2}=\frac{4R^2}{3} $$ отсюда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_0=\frac{4\sqrt{2}}{3}\sqrt{\frac{R^3_\text{З}}{GM_\text{З}}} $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Считая, что вблизи точки $P$ спутники двигались вдоль прямых, направления которых совпадали с направлениями их скоростей в данной точке, найдите относительную скорость спутников $v_0$, а также минимальное расстояние $b$ между ними, пренебрегая их гравитационным взаимодействием.  Ответ выразите через $v$ и $\tau$. ", "solution": {"text": "Обозначим за $v_P$ скорость спутников в точке $P$. Скорости спутников в точке $P$ взаимно перпендикулярны, значит относительная скорость $v_0 = v_P \sqrt{2}$ и В момент, когда спутник $1$ проходит точку $P$, спутник $2$ находится от неё на расстоянии $l=v_P\tau$, а угол между вектором относительной скорости и относительным радиус-вектором частицы $1$ равен $\frac{3\pi}{4}$. Таким образом $b=\frac{l}{\sqrt{2}}$ и"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_0=v$$  В момент, когда спутник $1$ проходит точку $P$, спутник $2$ находится от неё на расстоянии $l=v_P\tau$, а угол между вектором относительной скорости и относительным радиус-вектором частицы $1$ равен $\frac{3\pi}{4}$. Таким образом $b=\frac{l}{\sqrt{2}}$ и", "Ответ: $$b=\frac{v\tau}{2}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите $u$. Ответ выразите через $v$. ", "solution": {"text": "Модули начальной и конечной относительных скоростей спутника $1$ совпадают. Из закона сложения скоростей $$\vec{u}=\vec{v}_{2_P}+\vec{v}_\text{отн} $$ Пусть $\beta$ - угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\text{отн}$. Тогда из теоремы синусов $$\frac{v_P}{\sin(\beta)}=\frac{v_0}{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)} $$ откуда $$\beta=\frac{\pi}{6} $$ Для $v_1$ получаем $$u=v_P\cos\frac{\pi}{4}+v_0\cos\beta$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$u=v_P\cos\frac{\pi}{4}+v_0\cos\beta=v\cdot{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите $\tau$. Ответ выразите через $G$, $M_2$, $M_3$ и $R_\text{З}$. ", "solution": {"text": "Для эксцентриситета имеем $$e=\frac{1}{\cos\left(\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)} $$ Выражение для эксцентриситета $$e=\sqrt{1+\frac{v^4b^2}{G^2M^2_2}} $$ Откуда $$\frac{4}{2+\sqrt{3}}=1+\frac{v^4b^2}{G^2M^2_2} $$ Или $$2-\sqrt{3}=\frac{v^2b}{GM_2}=\frac{2bM_\text{З}}{R_\text{З}M_2} $$ Откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{\frac{R^3_\text{З}}{2GM_\text{З}}}\cdot{\frac{M_2}{M_\text{З}}} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "2,30"}, {"condition": "Найдите скорость $v_\infty$ спутника 1 на бесконечно большом удалении от Земли. Ответ выразите через $v$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии $$\frac{E}{M_1}=\frac{u^2}{2}-\frac{GM_\text{З}}{2R_\text{З}}=\frac{v^2_\infty}{2} $$ Учитывая полученные ранее соотношения $$v^2\cdot{\frac{(1+\sqrt{3})^2}{8}}-\frac{v^2}{4}=\frac{v^2_\infty}{2}=v^2\cdot{\frac{1+\sqrt{3}}{4}} $$ Откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_\infty=v\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите угол $\varphi_\infty$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}_\infty$. ", "solution": {"text": "Выражение для эксцентриситета орбиты следующее $$e=\sqrt{1+\left(\frac{{v_\infty}\cdot{u}\cdot{2R}}{GM_\text{З}}\right)^2}=\sqrt{1+\left((1+\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}\cdot{\sqrt{2}}\right)^2} $$ Откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\varphi_\infty=\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+2(1+\sqrt{3})^3}}\right) $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Возможно ли действительно вывести спутник на орбиту таким образом? Ответ обоснуйте. ", "solution": {"text": "Гравитация— самое "слабое" из четырёх фундаментальных взаимодействий. Основное проявление гравитации, с которым мы встречаемся в повседневной жизни — гравитационное поле Земли; хотя таким образом взаимодействуют между собой любые предметы, имеющие массу, этим взаимодействием почти всегда можно пренебречь. Приведем количественные оценки вопроса о том, могут ли два искусственных спутника Земли столь существенно повлиять на траектории друг на друга. Масса самый тяжёлых $\textit{способных передвигаться}$ сооружений, построенных человечеством, может достигать нескольких сотен тысяч тонн (например, авианосцы). Предположим, что масса $M_2 \sim 10^9 $кг. Тогда, для выполнения манёвра, указанного в задаче, прицельный параметр $b$ по порядку величины можно оценить как $$ b \sim \frac{M_2}{M_3} R_3 $$ Используя $M_3 = 6 \cdot 10^{24} $кг, $R_3 = 6,4 \cdot 10^6$ м, получим: $$ b \sim 10^{-9} \text{м}, $$ что сравнимо с межатомными расстояниями. Как и следовало ожидать, в реальности гравитационное притяжение спутника пренебрежимо мало."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Нет"]}, "number_part": "С3", "exponent_part": "0,20"}]