text: {"text": [{"text": "Часть A. Движение в неоднородном поле постоянного направления (3.9 балла) Частица зарядом $q$ и массой $m$ движется только под действием электрического поля $E(y)$, параллельного оси $y$ по траектории $y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2} }$ (величины $a$ и $b$ известны и $a,b>0$). В начальный момент времени скорость частицы равна $v_0$ и направлена перпендикулярно электрическому полю."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "2,40"}, "text": "Найдите зависимость проекции электрического поля $E_y(y)$ от координаты $y$, где $y\in(0,b]$. Ответ выразите через $v_0, a, b, q, m$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,20"}, "text": "Из той же начальной точки в том же электрическом поле такую же частицу отпускают без начальной скорости. Определите скорость $v_1$, когда частица пройдёт расстояние $s=b/41$. Ответ выразите через $v_0,a,b$."}, {"text": "Часть B. Распределение зарядов (2.1 балла)"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите время движения $\tau$ для предыдущего пункта. Ответ выразите через величины, заданные в A1."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,10"}, "text": "Для удобства дальше будем использовать такое обозначение. Пусть $E_y(b)=E_0$. Запишите, как $E_y(y)$ из A1 выражается через $E_0, b, y$. Пусть теперь электрическое поле устроено так: $E=0$ для $y>2b$; $y<\frac{b}{100}$ Для $y\in(b/100,2b)$ выполняется функциональная зависимость, найденная в пункте A1. Напомним, что электрическое поле везде направлено параллельно оси $Oy$. Данное электрическое поле создаётся следующей системой зарядов: Заряженная плоскость $y=y_1=b/100$ с поверхностной плотностью заряда $\sigma_1$; Заряженная плоскость $y=y_2=2b$ с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$; Объёмным зарядом с плотностью $\rho(y)$, распределённым между указанными выше плоскостями."}, {"text": "Часть C. Эквипотенциальные поверхности заряженного отрезка (4 балла) Стержень длины $2L$ заряжен равномерно по длине с линейной плотностью заряда $\rho$. Введём систему координат $YOX$ с началом в центре стержня, ось $OX$ направлена вдоль стержня, а ось $OY$~— перпендикулярно ему."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\rho(y)$. Ответ выразите через $E_0$, $b$, $y$ и фундаментальные постоянные."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите точки, лежащие на прямых $x=0$ и $y=0$ такие, что потенциал в этих точках равен $\varphi_0$."}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "2,00"}, "text": "Докажите, что кривая $y(x)$ такая, что потенциал в любой её точке равен $\varphi_0$, является эллипсом. Найдите уравнение данного эллипса в координатах $y(x)$, а также его большую и малую полуоси $a$ и $b$ соответственно. По гладкой спице, имеющей форму эллипса, найденного в пункте C2, из точки $x=0$ со скоростью $v_0$ запускают заряженную частицу массы $m$ и заряда $q$. Потенциал спицы равен $\varphi_0$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите радиус кривизны$R$ данного эллипса в точке с координатой $x$. Ответ выразите через $x$, $a$ и $b$. Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$ Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$ Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$ Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$ Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$ Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$ Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}. $$"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $x=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $y=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные."}]}
answer: [{"condition": "Найдите зависимость проекции электрического поля $E_y(y)$ от координаты $y$, где $y\in(0,b]$. Ответ выразите через $v_0, a, b, q, m$. ", "solution": {"text": "Cогласно второму закону Ньютона, проекция электрического поля на ось $Oy$ связана с проекцией ускорения частицы $$qE_y=ma_y. $$ Поскольку электрическое поле зависит только от $y$ и направлено вдоль оси $Oy$, поэтому закон движения частицы вдоль оси $Oy$ не зависит от того, как она движется вдоль оси $Ox$. Поэтому мы можем уменьшить скорость движения вдоль оси $Ox$ в $\frac{a}{b}$ раз, тогда вместо эллипса она будет двигаться по окружности радиуса $b$ Угол $\varphi$ между осью $y$ и радиус-вектором частицы можно найти из соотношения $$\cos \varphi=\frac{y}{b}. $$ Полная скорость частицы при этом равна $$v=\frac{v_0{b}}{a\cos \varphi} $$ Нормальное ускорение частицы равно $$a_n=\frac{v^2}{b} $$ Полное ускорение частицы направлено против оси $y$ и равно $$a_y=-\frac{a_n}{\cos \varphi} =-\frac{{v_0}^2b^4}{a^2y^3}. $$ Тогда электрическое поле Тот же ответ можно получить, записав явную зависимость координаты $y$ частицы от времени. Поскольку вдоль оси $Ox$ на частицу силы не действуют $x = v_0 t$ и $$ y = b \sqrt{1- \frac{v_0^2 t^2}{a^2}}. $$ Дифференцируя это выражение 2 раза по времени, найдем ускорение $$ a_y = - \frac{bv_0^2}{a^2} \left(1- \frac{v_0^2 t^2}{a^2} \right)^{-3/2}. $$ Тогда электрическое поле $$ E_y = \frac{m a_y}{q} = -\frac{m{v_0}^2b^4}{qa^2y^3}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_y=-\frac{m{v_0}^2b^4}{qa^2y^3} $$  Тот же ответ можно получить, записав явную зависимость координаты $y$ частицы от времени. Поскольку вдоль оси $Ox$ на частицу силы не действуют $x = v_0 t$ и $$ y = b \sqrt{1- \frac{v_0^2 t^2}{a^2}}. $$ Дифференцируя это выражение 2 раза по времени, найдем ускорение $$ a_y = - \frac{bv_0^2}{a^2} \left(1- \frac{v_0^2 t^2}{a^2} \right)^{-3/2}. $$ Тогда электрическое поле $$ E_y = \frac{m a_y}{q} = -\frac{m{v_0}^2b^4}{qa^2y^3}. $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "2,40"}, {"condition": "Из той же начальной точки в том же электрическом поле такую же частицу отпускают без начальной скорости. Определите скорость $v_1$, когда частица пройдёт расстояние $s=b/41$. Ответ выразите через $v_0,a,b$. ", "solution": {"text": "Как мы отмечали ранее, движение по оси $x$ не влияет на движение по оси $y$, поэтому будем решать данную задачу как в предыдущем пункте. Модуль проекции скорости частицы $|v_y|$ и будет являться ответом на вопрос задачи $$|v_y|=\frac{v_0{b}\tan(\varphi)}{a}=\frac{v_0{b}}{a}\sqrt{\frac{b^2}{y^2}-1} $$ где $$y=b-s $$ Получаем Альтернативно можно использовать закон сохранения энергии. Электрическому полю отвечает потенциал $$ \varphi = - \int dy \, E_y =\int dy \, \frac{m v_0^2 b^4}{qa^2 y^3} = - \frac{m v_0^2 b^4}{2qa^2y^2} $$ Тогда скорость можно найти из закона сохранения энергии $$ \frac{mv^2}{2} = q (\varphi(b) - \varphi(b-s)), $$ откуда $$ v =\frac{v_0 b}{a} \sqrt{\frac{b^2}{(b-s)^2}-1} = \frac{9 v_0 b}{40 a}. $$ Заметим также, что смещение $s \ll b$, поэтому можно приближенно считать движение равноускоренным. Значение ускорения $a_y \approx q E_y(b)/m = - v_0^2 b/ a^2$. Тогда скорость можно оценить как $$ v = \sqrt{2|a_y|s} = \sqrt{\frac{2}{41}} \frac{v_0 b}{a} . $$ Это выражение отличается от точного на несколько процентов."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\frac{9v_0{b}}{40a}. $$  Альтернативно можно использовать закон сохранения энергии. Электрическому полю отвечает потенциал $$ \varphi = - \int dy \, E_y =\int dy \, \frac{m v_0^2 b^4}{qa^2 y^3} = - \frac{m v_0^2 b^4}{2qa^2y^2} $$ Тогда скорость можно найти из закона сохранения энергии $$ \frac{mv^2}{2} = q (\varphi(b) - \varphi(b-s)), $$ откуда $$ v =\frac{v_0 b}{a} \sqrt{\frac{b^2}{(b-s)^2}-1} = \frac{9 v_0 b}{40 a}. $$ Заметим также, что смещение $s \ll b$, поэтому можно приближенно считать движение равноускоренным. Значение ускорения $a_y \approx q E_y(b)/m = - v_0^2 b/ a^2$. Тогда скорость можно оценить как $$ v = \sqrt{2|a_y|s} = \sqrt{\frac{2}{41}} \frac{v_0 b}{a} . $$ Это выражение отличается от точного на несколько процентов."]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Найдите время движения $\tau$ для предыдущего пункта. Ответ выразите через величины, заданные в A1. ", "solution": {"text": "Найдём время достижения угла $\varphi$ $$x=b\sin(\varphi)=\frac{v_0{b}t}{a} $$ Таким образом $$y=b\cos(\varphi)=b\sqrt{1-\left(\frac{v_0{t}}{a}\right)^2} $$ Откуда $$t=\frac{a}{v_0}\sqrt{1-\left(\frac{y}{b}\right)^2} $$ Окончательно Иначе можно получить время, проинтегрировав выражение для скорости: $$ t = \int_0^s \frac{ds}{v(s)} = \frac{a}{b v_0} \int_0^s \frac{ds \, (b-s)}{\sqrt{b^2 - (b-s)^2}}. $$ Интеграл берется элементарно: $$ t = \frac{a}{b v_0} \sqrt{b^2 - (b-s)^2} = \frac{9 a}{41 v_0}$$ Если же считать движение равноускоренным, то время $$ t \approx = \sqrt{\frac{2}{41}} \frac{a}{v_0}. $$ Этот ответ отличается от точного на несколько процентов."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t=\frac{9a}{41v_0}. $$  Иначе можно получить время, проинтегрировав выражение для скорости: $$ t = \int_0^s \frac{ds}{v(s)} = \frac{a}{b v_0} \int_0^s \frac{ds \, (b-s)}{\sqrt{b^2 - (b-s)^2}}. $$ Интеграл берется элементарно: $$ t = \frac{a}{b v_0} \sqrt{b^2 - (b-s)^2} = \frac{9 a}{41 v_0}$$ Если же считать движение равноускоренным, то время $$ t \approx = \sqrt{\frac{2}{41}} \frac{a}{v_0}. $$ Этот ответ отличается от точного на несколько процентов."]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Для удобства дальше будем использовать такое обозначение. Пусть $E_y(b)=E_0$. Запишите, как $E_y(y)$ из A1 выражается через $E_0, b, y$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E(y)=\frac{E_0{b}^3}{y^3} $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Найдите $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\rho(y)$. Ответ выразите через $E_0$, $b$, $y$ и фундаментальные постоянные. ", "solution": {"text": "Из теоремы Гаусса получим $$\frac{dE_y}{dy}=\frac{\rho}{\epsilon_0} $$ Откуда $$\rho=-3\frac{E_0{b}^3\epsilon_0}{y^4} $$ Также из теоремы при $y=y_1$ $$E(y_1)=\frac{{\sigma}_1}{{\epsilon}_0} $$ Откуда $$\sigma_1=10^{6}E_0\epsilon_0 $$ Для $y=y_2$ $$E(y_2)=-\frac{\sigma_2}{\epsilon_0} $$ Откуда $$\sigma_2=-\frac{E_0\epsilon_0}{8} $$ Итого"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\rho=-3\frac{E_0{b}^3\epsilon_0}{y^4}, \quad \sigma_1=10^{6}E_0\epsilon_0, \quad \sigma_2=-\frac{E_0\epsilon_0}{8}. $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите точки, лежащие на прямых $x=0$ и $y=0$ такие, что потенциал в этих точках равен $\varphi_0$. ", "solution": {"text": "Найдём точки, лежащие на прямой $y=0$ Пусть для определённости $x>0$, вторая точка имеет ту же координату по модулю, но противоположную по знаку $$\varphi_0=k\rho\int\limits_{x-L}^{x+L}\frac{dr}{r}=k\rho\ln\left(\frac{x+L}{x-L}\right) $$ откуда $$x=\pm L/th\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right) $$ Найдём точки, лежащие на прямой $x=0$. Опять же, пусть для определённости $y>0$ $$\varphi_0=k\rho\int\limits_{-L}^{+L}\frac{dx}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ Пусть $x=y\tan\alpha$. Тогда $$\varphi_0=k\rho\int\limits_{-arctg(\frac{L}{y})}^{arctg(\frac{L}{y})}\frac{d\alpha}{\cos(\alpha)}=k{\rho}\ln\left(\frac{L+\sqrt{y^2+L^2}}{\sqrt{L^2+y^2}-L}\right) $$ откуда $$y=\pm L/sh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right) $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x=\pm L/th\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right), \quad y=\pm L/sh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right). $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Докажите, что кривая $y(x)$ такая, что потенциал в любой её точке равен $\varphi_0$, является эллипсом. Найдите уравнение данного эллипса в координатах $y(x)$, а также его большую и малую полуоси $a$ и $b$ соответственно. ", "solution": {"text": "В каждой точке пространства электрическое поле перпендикулярно эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Найдем направление электрического поля в некоторой точке $M$ пространства Пусть $MH = y$ - высота, опущенная из точки $M$ до прямой, содержащей отрезок. Рассмотрим некоторый малый участок стержня длины $dl$, угол между $MH$ и прямой, соединяющей $M$ и $dl$, равен $\alpha$. Тогда расстояние от $M$ до $dl$ равно $y/\cos^2\alpha$ и он создает электрическое поле равное по модулю $$dE=\frac{k{\rho}dl\cos^2(\alpha)}{y^2} $$ С другой стороны $$dl=yd\tan \alpha=\frac{yd\alpha}{\cos^2\alpha} $$ и это поле можно выразить как $$dE=\frac{k{\rho}d\alpha}{y} $$ Отсюда получаем, что поле отрезка совпадает с полем элемента дуги окружности радиуса $y$ с центром в $M$, ограниченной линиями, соединяющей её с концами стержня $A$ и $B$. Значит электрическое поле стержня направлено по биссектрисе угла $AMB$. Касательная к кривой $y(x)$ направлена перпендикулярно биссектрисе угла $AMB$, откуда следует, что $AM+MB=const$ (действительно, при бесконечно малом смещении вдоль нормали к биссектрисе изменения длин отрезков $AM$ и $MB$ равны по модулю и противоположны по знаку), то есть эквипотенциальная кривая является эллипсом с фокусами на концах стержня. Пусть $a$ - большая полуось данного эллипса. Тогда эксцентриситет $$e=\frac{L}{a} $$ Получим связь между эксцентриситетом эллипса и потенциалом $\varphi_0$. Для этого достаточно найти потенциал в точке $M$ такой, что $A$,$B$ и $M$ лежат на одной прямой. $$\varphi_0=\int\limits_{a-L}^{a+L}\frac{k{\rho}dx}{x}=k{\rho}\ln\left(\frac{a+L}{a-L}\right) $$ Откуда $$e=\tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right) $$ Найдём малую полуось эллипса $$b=L\sqrt{\frac{1}{e^2}-1}=\frac{L}{\sinh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)} $$ И окончательно уравнение эллипса $$\left(\frac{x\tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)}{L}\right)^2+\left(\frac{y\sinh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right)}{L}\right)^2=1 $$ Значит его полуоси"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a = L/\tanh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right), \quad b = L/ \sinh\left(\frac{\varphi_0}{2k\rho}\right). $$"]}, "number_part": "С2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите радиус кривизны$R$ данного эллипса в точке с координатой $x$. Ответ выразите через $x$, $a$ и $b$.  Примечание: Если задана функция $y=f(x)$, то её радиус кривизны в заданной точке можно вычислить по формуле  $$R=\frac{\left(1+{y'}^2\right)^\frac{3}{2}}{|y"|}.  $$ ", "solution": {"text": "Дифференцируя уравнение эллипса, получим $$y'=-\frac{b^2x}{a^2y} $$ $${y'}^2=\frac{b^4x^2}{a^4y^2} $$ $$y''=\frac{1}{2}\frac{d{y'}^2}{dy}=-\left(\frac{b^4x^2}{a^4y^3}-\frac{b^4x}{a^4y^2y'}\right)=-\frac{b^2}{a^2y}\left(1+\frac{b^2x^2}{a^2y^2}\right)=-\frac{b^4} {a^2y^3} $$ Откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R=\frac{1}{a^4 b}\left(a^4-(a^2-b^2)x^2\right)^{\frac{3}{2}} $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $x=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Из второго закона Ньютона $$\frac{m{v_0}^2}{R}+F=N $$ где $F = qE$ — сила электростатического взаимодействия частицы со стержнем. При $x = 0$ радиус кривизны $$ R=\frac{b^2}{a}, $$ электрическое поле направлено вдоль оси $Oy$ и равно (с учетом $y=b$) $$ E = \int_{-L}^{L}dx\, \frac{k \rho }{x^2+b^2}\cdot \frac{b}{\sqrt{x^2+b^2}} = \frac{2 k \rho L }{b\sqrt{x^2+b^2 }} $$ Интеграл можно взять с помощью замены $x = b \tan \theta$. Окончательно для силы получаем $$ N=\frac{m{v_0}^2{b}}{a^2}+\frac{2kqL\rho}{b\sqrt{b^2+L^2}}. $$ Подставим выражения для полуосей"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ N=\frac{mv_0^2}{L} \frac{\sinh\frac{\varphi_0}{2k\rho}}{\cosh^2 \frac{\varphi_0}{2k\rho}} + \frac{2kq\rho}{L} \sinh \frac{\varphi_0}{2k\rho} \tanh \frac{\varphi_0}{2k\rho}. $$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите силу взаимодействия частицы со спицей в её точках пересечения с прямой $y=0$. Ответ выразите через $m,q,{v_0},L,\rho,\varphi$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Аналогично предыдущему пункту при $y = 0$ имеем $x = a$ и радиус кривизны $$ R=\frac{a^2}{b} \text{ для }{x=0} $$ Значение электрического поля в этой точке $$E=k{\rho}\int\limits_{a-L}^{a+L}\frac{dr}{r^2}=k\rho\left(\frac{1}{a-L}-\frac{1}{a+L}\right) = \frac{2 k \rho L}{a^2- L^2}. $$ Тогда сила $$N = qE +mv^2/R = N=\frac{m{v_0}^2{a}}{b^2}+ \frac{2 k q \rho L}{a^2- L^2}$$ и окончательно"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ N=\frac{mv_0^2}{L} \sinh\frac{\varphi_0}{2k\rho}\cosh \frac{\varphi_0}{2k\rho}+ \frac{2kq\rho}{L} \sinh^2 \frac{\varphi_0}{2k\rho}. $$"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,50"}]