text: {"text": [{"text": "Гидравлический прыжок — явление, при котором быстрый поток жидкости резко замедляется, а уровень жидкости в потоке возрастает. Такое явление может возникать естественным образом в течении реки или канала. Также его используют при конструировании плотин для замедления скорости течения воды. Можно наблюдать гидравлический прыжок и в домашних условиях. Когда струя воды ударяется о поверхность раковины, вокруг нее образуется круг с тонким слоем быстро текущей воды. На некотором расстоянии от струи уровень воды повышается — это и есть гидравлический прыжок. В задаче вам предлагается описать это явление, используя законы сохранения. <img_0> Во всей задаче рассматривается течение воды, которую можно считать несжимаемой жидкостью с плотностью $\rho = 1.0\cdot10^3~\text{кг}/\text{м}^3$. Ускорение свободного падения $g = 9.8 ~\text{м}/{с}^2$. Если пренебречь потерями энергии, для стационарного (не зависящего от времени) течения жидкости вдоль любой трубки тока выполняется уравнение Бернулли $$ E = \frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + g z = const $$ Здесь $P$ — давление, $v$ — скорость течения, $z$ — высота рассматриваемого объема жидкости. Величину $E$ будем называть удельной энергией данного элемента жидкости. В качестве безразмерного параметра, характеризующего течение жидкости с учетом силы тяжести, используется число Фруда $$ Fr = \frac{v}{\sqrt{gd}}, $$ где $v$ — характерная скорость течения, $d$ — глубина потока. Во всех частях задачи атмосферное давление не влияет на течение жидкости. Его вклад в уравнение Бернулли и в выражения для сил можно не учитывать."}, {"text": "Часть A. Течение без потерь энергии (3.5 балла) В этой части будем рассматривать течение жидкости по прямоугольному каналу шириной $b$. Движение жидкости можно считать установившимся (то есть скорость движения в данной точке канала не зависит от времени). Поток воды через канал (объем воды, протекающей через сечение канала за единицу времени) равен $Q$. Считайте, что дно канала плоское, а скорость течения одинакова во всех точках любого поперечного сечения канала. Атмосферное давление учитывать не нужно."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть глубина воды в канале равна $d$. Найдите удельную энергию течения $E$. Высоту $z$ отсчитывайте от дна канала. Выразите ответ через $Q$, $b$, $d$, $g$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,60"}, "text": "Определите критическую глубину воды $d_c$, при которой удельная энергия $E$ минимальна. Выразите ее через $Q$, $b$, $g$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Определите скорость течения жидкости $v_c$ и число Фруда $Fr_c$, отвечающие критическому значению глубины. Выразите ответ через $Q$, $b$, $g$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,70"}, "text": "Предположим теперь, что в некоторой точке дно канала поднимается на высоту $H$, а ширина не изменяется. Пусть $d_1$ и $v_1$ — глубина воды и скорость течения до изменения глубины, $d_2$, $v_2$ — после изменения. Запишите два уравнения, следующие из законов сохранения массы и энергии воды, связывающие между собой эти величины. В эти уравнения также могут входить $g$ и $H$. Считайте, что во всех точках течение ламинарное и уравнение Бернулли выполняется. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,00"}, "text": "Записанные в предыдущем пункте уравнения невозможно решить точно. Поэтому будем считать высоту $H$ малой. Пусть $\Delta v = v_2 - v_1 \ll v_1$ и $\Delta d = d_2 - d_1 \ll d_1$ — малые изменения скорости и глубины течения. Во всех вычислениях ограничимся вкладами первого порядка по $H$, $\Delta v$, $\Delta d$. Определите значения $\Delta v/v_1$, $\Delta d/d_1$."}, {"text": "Часть B. Теория гидравлического прыжка (5 баллов) Для того, чтобы описать гидравлический прыжок, выделим объем воды в канале таким образом, чтобы левая граница выделенной области лежала еще в части 1, а правая — в части 3. К выделенному объему можно применить закон сохранения массы и закон изменения импульса. <img_2>"}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,30"}, "text": "Укажите, при каких значениях числа Фруда потока до изменения глубины канала скорость возрастает, а при каких уменьшается."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите силу $F$ гидростатического давления, действующую на выделенный объем. Можно показать, что вклад атмосферного давления равен нулю и его можно не учитывать (вам не требуется это доказывать). Считайте, что зависимость давления от высоты такая же, как и в неподвижной жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $b$, $d_1$, $d_2$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Запишите два уравнения, следующие из закона сохранения массы и закона изменения импульса, связывающие между собой $v_1$, $v_2$, $d_1$, $d_2$. В ответ также могут входить $g$, $b$, $\rho$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,50"}, "text": "С помощью полученных уравнений найдите отношение глубины воды после прыжка к глубине до прыжка $d_2/d_1$. Выразите ответ через число Фруда течения до скачка $Fr$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите разность удельных энергий жидкости до и после прыжка $\Delta E = E_2 - E_1$. Выразите ответ через $g$, $d_1$, $d_2$."}, {"text": "Часть C. Гидравлический прыжок в раковине (1.5 балла) В этой части мы применим полученные ранее результаты для того, чтобы оценить параметры гидравлического прыжка, который можно наблюдать в раковине. От полной теории требовалось бы определить радиус окружности, на которой происходит прыжок. Однако оказывается, что в такой теории необходимо учитывать вязкость жидкости и поверхностное натяжение. Поэтому будем считать этот радиус заданным. Пусть о горизонтальную плоскость ударяется струя с потоком воды $Q = 3.0 \times 10^{-5}~\text{м}^3/\text{c}$, диаметр струи непосредственно перед контактом с поверхностью $D = 1.0~\text{см}$, струя перпендикулярна поверхности. Течение симметрично относительно оси симметрии струи. Считайте, что при течении жидкости до момента гидравлического прыжка выполняется закон сохранения энергии, а скорость течения не зависит от расстояния до струи."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,50"}, "text": "При каких значения числа Фруда гидравлический прыжок возможен?"}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите скорость $v$ течения жидкости до гидравлического прыжка. Приведите формулу и численное значение. Выразите ответ через $Q$, $D$."}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "0,50"}, "text": "Как глубина $d$ воды зависит от расстояния $r$ до центра струи? Выразите ответ через $D$, $r$, найдите численное значение при $r=r_c = 3~\text{см}$ (радиус, на котором происходит прыжок)."}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите число Фруда (численное значение) в точке, где происходит гидравлический прыжок. Определите, во сколько раз увеличивается глубина воды при прыжке $d_2/d_1$."}]}
answer: [{"condition": "Пусть глубина воды в канале равна $d$. Найдите удельную энергию течения $E$. Высоту $z$ отсчитывайте от дна канала. Выразите ответ через $Q$, $b$, $d$, $g$. ", "solution": {"text": "Запишем выражение для удельной энергии в верхней точке канала. В ней давление жидкости равно нулю, а атмосферное давление мы не учитываем (оно бы дало постоянную добавку, не влияющую на дальнейшие вычисления). Тогда получим$$E = \frac{v^2}{2} + g d.$$Если бы мы использовали для вычисления точку на произвольной высоте $z$, давление бы было равно $P = \rho g (d- z)$, поэтому получается то же самое значение:$$E = g (d-z)+ \frac{v^2}{2} + g z = \frac{v^2}{2} + gd.$$Скорость течения можно выразить через поток $Q$ и площадь поперечного сечения потока $S = bd$,$$v = \frac{Q}{bd}.$$Окончательно получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E = \frac{Q^2}{2 b^2 d^2} + gd$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Определите критическую глубину воды $d_c$, при которой удельная энергия $E$ минимальна. Выразите ее через $Q$, $b$, $g$. ", "solution": {"text": "Чтобы найти минимум, продифференцируем выражение для $E$ по $d$:$$\frac{\partial E}{\partial d} = - \frac{Q^2}{b^2 d^3} +g = 0,$$откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$d_c = \left( \frac{Q^2}{g b^2}\right)^{1/3}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Определите скорость течения жидкости $v_c$ и число Фруда $Fr_c$, отвечающие критическому значению глубины. Выразите ответ через $Q$, $b$, $g$. ", "solution": {"text": "Подставим найденное значение глубины в формулу для $v$:$$v_c = \frac{Q}{b d_c} = \frac{Q}{b (Q^2/g b^2)^{1/3}} = \left( \frac{g Q}{b}\right)^{1/3}.$$Для числа Фруда получим$$Fr_c = \frac{v_c}{\sqrt{g d_c}} = \frac{(gQ/b)^{1/3}}{\sqrt{g (Q^2/g b^2)^{1/3}}} = 1.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_c = \left( \frac{g Q}{b}\right)^{1/3}, \quad Fr_c = 1$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Предположим теперь, что в некоторой точке дно канала поднимается на высоту $H$, а ширина не изменяется. Пусть $d_1$ и $v_1$ — глубина воды и скорость течения до изменения глубины, $d_2$, $v_2$ — после изменения. Запишите два уравнения, следующие из законов сохранения массы и энергии воды, связывающие между собой эти величины. В эти уравнения также могут входить $g$ и $H$. Считайте, что во всех точках течение ламинарное и уравнение Бернулли выполняется. ", "solution": {"text": "Поток воды через любое сечение канала одинаков, поэтому $$ Q = b d_1 v_1 = b d_2 v_2, \quad v_1 d_1 = v_2 d_2. $$ Из уравнения Бернулли для жидкости, которая течет по поверхности $$ \frac{v_1^2}{2} + g d_1 = \frac{v_2^2}{2} + g (d_2 + H). $$ Здесь учтено, что высота поверхности жидкости во втором участке канала $d_2 + H$. Как было показано в пункте A1, те же значения получились бы на любой глубине."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_1 d_1 = v_2 d_2, \quad \frac{v_1^2}{2} + g d_1 = \frac{v_2^2}{2} + g (d_2 + H)$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Записанные в предыдущем пункте уравнения невозможно решить точно. Поэтому будем считать высоту $H$ малой. Пусть $\Delta v = v_2 - v_1 \ll v_1$ и $\Delta d = d_2 - d_1 \ll d_1$ — малые изменения скорости и глубины течения.  Во всех вычислениях ограничимся вкладами первого порядка по $H$, $\Delta v$, $\Delta d$. Определите значения $\Delta v/v_1$, $\Delta d/d_1$. ", "solution": {"text": "Поскольку изменения глубины и скорости малы, можно переписать условие сохранения потока в виде$$d_2 = d_1 \frac{v_1}{v_2} = d_1 \frac{1}{1 + \Delta v/v_1} \approx d_1 \left( 1 - \frac{\Delta v}{v_1}\right). $$Подставим этот результат в уравнение Бернулли:$$\frac{v_1^2}{2} + g d_1 = \frac{1}{2} (v_1+ \Delta v)^2 +gd_1 \left( 1- \frac{\Delta v}{v_1}\right) + gH.$$Раскладывая до первого порядка по $\Delta v$ и сокращая одинаковые слагаемые, получим$$v_1 \Delta v - \frac{g d_1}{v_1} \Delta v + g H = 0,$$откуда$$\Delta v = \frac{g H v_1}{g d_1 - v_1^2}.$$Тогда изменение глубины потока$$\Delta d = - d_1\frac{\Delta v}{v_1} = - \frac{g Hd_1}{g d_1 - v_1^2}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{\Delta v}{v_1} = \frac{gH}{g d_1 - v_1^2}, \quad \frac{\Delta d}{d_1} = -\frac{gH}{gd_1- v_1^2}$$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Укажите, при каких значениях числа Фруда потока до изменения глубины канала скорость возрастает, а при каких уменьшается. ", "solution": {"text": "Из ответа в предыдущем пункте следует, что при $v_1^2 < g d_1$, то есть при $Fr_1 <1$ скорость потока увеличивается, а при $Fr_1 > 1$ — уменьшается. В случае критического течения $Fr_1 = 1$ в первом порядке изменение скорости обращается в бесконечность."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Скорость возрастает при $Fr< 1$, уменьшается при $Fr >1$."]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите силу $F$ гидростатического давления, действующую на выделенный объем. Можно показать, что вклад атмосферного давления равен нулю и его можно не учитывать (вам не требуется это доказывать). Считайте, что зависимость давления от высоты такая же, как и в неподвижной жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $b$, $d_1$, $d_2$. ", "solution": {"text": "Давление на высоте $z$ от дна равно $P = \rho g (d_1 - z)$ (в левой части системы до прыжка). Силу, которая действует на выделенный участок слева, можно найти с помощью интеграла$$F_1 = \int_0^{d_1} P b \mathrm{d}z = \int_0^{d_1}\rho g(d_1 - z)b \mathrm{d} z = \frac{1}{2} \rho gb d_1^2.$$Аналогично с правой стороны действует сила$$F_2 = \frac{1}{2} \rho gb d_2^2.$$Полная сила равна разности этих двух сил, поскольку они действуют в противоположные стороны. Считаем силу положительной, если она действует направо"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F = \frac{1}{2} \rho g b (d_1^2 - d_2^2).$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Запишите два уравнения, следующие из закона сохранения массы и закона изменения импульса, связывающие между собой $v_1$, $v_2$, $d_1$, $d_2$. В ответ также могут входить $g$, $b$, $\rho$. ", "solution": {"text": "Условие сохранения потока выглядит точно так же, как и в предыдущей части:$$v_1 d_1 = v_2 d_2.$$За время $\mathrm{d}t$ через любое поперечное сечение потока проходит масса жидкости $\mathrm{d}m = \rho Q \mathrm{d}t = \rho b d_1 v_1 \mathrm{d}t = \rho b d_2 v_2 \mathrm{d}t$.Тогда импульс приходящей в область жидкости$$\mathrm{d}p_1 = \mathrm{d}m v_1 = \rho b d_1 v_1^2 \mathrm{d}t,$$а импульс уходящей жидкости$$\mathrm{d}p_2 = \mathrm{d}m v_2 = \rho b d_2 v_2^2 \mathrm{d}t.$$Изменение импульса происходит за счет действующей на систему силы$$\mathrm{d}p_2 - \mathrm{d}p_1= F\mathrm{d}t,$$поэтому$$\rho b (d_2 v_2^2 - d_1 v_1^2)\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \rho g b (d_1^2 - d_2^2)\mathrm{d}t.$$Сократив общие множители и перегруппировав слагаемые, получим$$v_1^2 d_1 + \frac{g}{2} d_1^2 = v_2^2 d_2 + \frac{g}{2} d_2^2.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_1 d_1 = v_2 d_2, \quad v_1^2 d_1 + \frac{g}{2} d_1^2 = v_2^2 d_2 + \frac{g}{2} d_2^2$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "С помощью полученных уравнений найдите отношение глубины воды после прыжка к глубине до прыжка $d_2/d_1$. Выразите ответ через число Фруда течения до скачка $Fr$. ", "solution": {"text": "Из условия сохранения потока исключим скорость жидкости после прыжка $$v_2 = v_1 \frac{d_1}{d_2},$$тогда второе уравнение примет вид$$\frac{g}{2} d_2^2 + v_1^2 \frac{d_1^2}{d_2} = \frac{g}{2}d_1^2 + v_1^2 d_1,$$После домножения на $d_2$ это уравнение сводится к кубическому относительно $d_2$. Однако известно одно из решений этого уравнения $d_2 = d_1$, отвечающее тому, что прыжка нет и течение жидкости не поменялось. Это позволяет выделить в уравнении общий множитель $d_2 - d_1$ и свести задачу к квадратному уравнению:\begin{align*}\frac{g}{2}d_2 (d_2^2 - d_1^2) + v_1^2 (d_1^2 - d_1 d_2) = 0,\\\frac{g}{2}d_2(d_2 + d_1) (d_2 - d_1) - v_1 ^2 d_1 (d_2 - d_1) = 0,\\(d_2 - d_1) \left( \frac{g}{2}(d_2^2 + d_1 d_2) - v_1^2 d_1\right) = 0.\end{align*}Нас не интересует решение $d_1 = d_2$, поэтому множитель $d_2 - d_1$ можно сократить, в результате получим квадратное уравнение$$d_2^2 + d_1 d_2 - \frac{2 d_1}{g}v_1^2 = 0,$$его решения$$d_2 = - \frac{d_1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + \frac{8 d_1 v_1^2}{g}}.$$Поскольку $d_2>0$, годится только решение со знаком $+$. Окончательно находим$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + \frac{8 v_1^2}{g d_1}} - 1\right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1+ 8 Fr^2} -1\right).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1+ 8 Fr^2} -1\right)$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Найдите разность удельных энергий жидкости до и после прыжка $\Delta E = E_2 - E_1$. Выразите ответ через $g$, $d_1$, $d_2$. ", "solution": {"text": "Разность энергий, выраженных через скорости и глубины, имеет вид$$\Delta E = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} + g (d_2 - d_1),$$Из квадратного уравнения на $d_2$ находим$$v_1^2 = \frac{g}{2 d_1} (d_2^2 + d_1 d_2) = \frac{g d_2}{2 d_1}(d_1 + d_2).$$Тогда скорость после прыжка$$v_2^2 = v_1^2 \frac{d_1^2}{d_2^2} = \frac{gd_1}{2 d_2}(d_1 + d_2).$$Подставив эти результаты в изменение энергии, получим\begin{align*}\Delta E = \frac{g}{4}\left( \frac{d_1}{d_2} - \frac{d_2}{d_1}\right)(d_1 + d_2) &+ g (d_2 - d_1) = \\= \frac{g (d_1 - d_2)(d_1 + d_2)^2}{4 d_1 d_2} + g(d_2 - d_1) &= g (d_2 - d_1)\left( 1 - \frac{(d_1 + d_2)^2}{4 d_1 d_2}\right)\end{align*}Упрощая, найдем"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta E = \frac{g (d_1 - d_2 )^3}{4 d_1 d_2}$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "При каких значения числа Фруда  гидравлический прыжок возможен? ", "solution": {"text": "В процессе движения часть энергии может перейти в тепло за счет эффектов турбулентности и вязкости. При этом без внешнего воздействия энергия не может возрасти. Поэтому должно выполняться условие $\Delta E < 0$, а значит $d_1 < d_2$, то есть глубина течения должна возрасти, поэтому действительно происходит прыжок. Отсюда получаем неравенство$$\frac{1}{2}\left( \sqrt{1+ 8 Fr^2} -1 \right) > 1, $$а значит$$ \sqrt{1+ 8 Fr^2} > 3, $$то есть $Fr > 1$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Прыжок возможен при $Fr>1$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите скорость $v$ течения жидкости до гидравлического прыжка. Приведите формулу и численное значение. Выразите ответ через $Q$, $D$. ", "solution": {"text": "Поток в падающей струе связан со скоростью соотношением$$Q = \frac{\pi D^2}{4} v,$$откуда скорость воды в струе$$v = \frac{4 Q}{\pi D^2}.$$По условию, эта же скорость равна скорости течения до прыжка."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v = \frac{4 Q}{\pi D^2} = 0.38~\text{м}/\text{с}$$"]}, "number_part": "С1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Как глубина $d$ воды зависит от расстояния $r$ до центра струи? Выразите ответ через $D$, $r$, найдите численное значение при $r=r_c = 3~\text{см}$ (радиус, на котором происходит прыжок). ", "solution": {"text": "Выделим цилиндр радиусом $r$ с центром на оси симметрии системы. Поток через боковую стенку этого цилиндра равен$$Q = 2\pi r d v,$$откуда толщина слоя воды$$d = \frac{Q}{2\pi r v} = \frac{D^2}{8r}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$d = \frac{D^2}{8r} = 0.42~\text{мм}$$"]}, "number_part": "С2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите число Фруда (численное значение) в точке, где происходит гидравлический прыжок. Определите, во сколько раз увеличивается глубина воды при прыжке $d_2/d_1$. ", "solution": {"text": "Используя формулы для скорости и глубины, найдем$$Fr = \frac{v}{\sqrt{g d}} = \frac{8 \sqrt{2}}{\pi} \frac{Q}{D^3}\sqrt{\frac{r_c}{g}} = 6.0,$$тогда отношение глубин$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{1}{2}\left( \sqrt{1 + \frac{1024 Q^2 r_c}{\pi^2 g D^6} } - 1\right) = 8.0$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Fr = 6.0, \quad \frac{d_2}{d_1} = 8.0$$"]}, "number_part": "С3", "exponent_part": "0,50"}]