text: {"text": [{"text": "Система состоит из легкого неподвижного блока, длинной нерастяжимой нити, груза цилиндрической формы и длинной трубы с поршнем, опущенной в глубокий водоем. Плотность воды $\rho_{0}$, плотность материала груза $\rho_{1}$, высота цилиндра $H$, площади основания цилиндра и внутреннего сечения трубы одинаковы. Вначале нить удерживают так, что поршень и груз касаются воды, при этом нить натянута (см. рисунок). <img_0> В некоторый момент времени нить отпускают."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите расстояние $h$, на которое груз опустится в воду после установления равновесия, в следующих случаях:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "$\rho_{1}=\rho_{0}$, $H=1~м$;"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "$\rho_{1}=3 \rho_{0}$, $H=4~м$;"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "$\rho_{1}=1.5 \rho_{0}$, $H=16~м$. Трением в системе пренебречь, нить и поршень считать легкими."}]}
answer: [{"condition": "Определите расстояние $h$, на которое груз опустится в воду после установления равновесия, в следующих случаях: ", "solution": {"text": "Пусть площадь основания цилиндрического груза и площадь внутреннего сечения трубы равны $S$. После того как нить отпустят, груз начнет опускаться, а вода — подниматься по трубе за поршнем. Возможны два случая: груз опустится в воду либо полностью, либо частично. В этих случаях равнодействующая $R$ сил тяжести и Архимеда будет равна$$\begin{equation}R=\rho_{1} g S H-\rho_{0} g S h \quad \text{при} \quad h < H;\\R= (\rho_{1} - \rho_{0}) g S H \quad \text{при} \quad h > H.\end{equation}$$Сила $R$ должна совпадать с весом жидкости в трубе, подняв шейся за поршнем: $R=\rho_{0} g S H$.В первом случае (при $\rho_{1}<2 \rho_{0}$) $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}$.Bo втором случае (при $\rho_{1}>2 \rho_{0}$) $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}$.Учитывая первое условие задачи, $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}=0.5~м$.Аналогично, при втором условии $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}=8~м$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "$\rho_{1}=\rho_{0}$, $H=1~м$; ", "solution": {"text": "Учитывая первое условие задачи, $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}=0.5~м$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $h=\frac{H \rho_{1}}{2 \rho_{0}}=0.5~м$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "$\rho_{1}=3 \rho_{0}$, $H=4~м$; ", "solution": {"text": "Аналогично, при втором условии $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}=8~м$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $h=\frac{H (\rho_{1}-\rho_{0})}{\rho_{0}}=8~м$."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "$\rho_{1}=1.5 \rho_{0}$, $H=16~м$. ", "solution": {"text": "Применение полученных формул к условию $3$ давало бы $h=12~м$. Однако здесь мы сталкиваемся с эффектом конечности атмосферного давления: при поднятии поршня на высоту более $H_{0}=10~м$ вода выше уровня $H_{0}$ подниматься не будет.Если цилиндр опускается в волу на глубину $h$ не полностью, то сила атмосферного давления $p_{атм} S=\rho_{0} g H_{0} S$, действующая на поршень, должна уравновешивать силу натяжения нити:$$\rho_{0} g H_{0} S=\rho_{1} g S H-\rho_{0} g S h .$$Отсюда глубина погружения цилиндра при условии $3$:$$h=\frac{\rho_{1} H}{\rho_{0}}-H_{0}=14~м.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ h=\frac{\rho_{1} H}{\rho_{0}}-H_{0}=14~м. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]