text: {"text": [{"text": "Горизонтально расположенная упругая пружина массой $M$ под действием силы, равной ее весу $M g$, растягивается (или сжимается) на величину $\Delta x_{0}$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Чему будет равно удлинение данной пружины, если ее подвесить за один конец (без груза)?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Чему будет равен период колебаний груза массой $m$, скрепленного с одним из концов данной пружины, если второй конец пружины неподвижен, а груз скользит по гладкой горизонтальной поверхности? Деформация пружины во всех случаях мала по сравнению с длиной недеформированной пружины."}]}
answer: [{"condition": "Чему будет равно удлинение данной пружины, если ее подвесить за один конец (без груза)? ", "solution": {"text": "Жесткость данной пружины $k=\frac{M g}{\Delta x_{0}}$. Найдем жесткость $k^{*}$ небольшого элемента этой пружины длиной $d x$. Если пружина растянута на величину $\Delta x$, то очевидно, что удлинение $\delta x$ элемента пружины длиной $d x$ равно $\delta x=\frac{\Delta x}{l_{0}} d x$, где $l_{0}$ — длина пружины, при этом упругая сила в любом сечении пружины равна $F=k \Delta x$. С другой стороны, деформация элемента пружины $d x$ может быть записана в виде $\delta x=\frac{F}{k^{*}}=\frac{k \Delta x}{k *}$. Приравняв два выражения для $\delta x$, получим $k^{*}=k \frac{l_{0}}{d x}$. Рассмотрим вертикально подвешенную пружину (см. рисунок ниже). <img_0> Распределение силы $F_{x}$ вдоль оси $x$ будет иметь вид $$ F_{x}=\frac{M g}{l_{0}}\left(l_{0}-x\right). $$ Удлинение элемента пружины длиной $d x$, имеющего координату $x$, равно $$ \delta x=\frac{F_{x}}{k *}=\frac{M g\left(l_{0}-x\right) d x}{k l_{0}^{2}}=\frac{\left(l_{0}-x\right) \Delta x_{0}}{l_{0}^{2}} d x. $$ Очевидно, что удлинение всей пружины $$ \Delta x=\int \limits_{0}^{l_{0}} \frac{\left(l_{0}-x\right) \Delta x_{0}}{l_{0}^{2}} d x=\frac{\Delta x_{0}}{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta x=\frac{\Delta x_{0}}{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему будет равен период колебаний груза массой $m$, скрепленного с одним из концов данной пружины, если второй конец пружины неподвижен, а груз скользит по гладкой горизонтальной поверхности? ", "solution": {"text": "Пусть в некоторый момент времени груз массой $m$ сместился от равновесного положения $(x=0)$ на величину $x$ (см. рисунок ниже). <img_1> Найдем полную энергию системы «пружина + груз» массой $m$. Кинетическая энергия груза $T_{m}=\frac{m x^{2}}{2}$. Если смешение правого конца пружины $x$, то смещение элемента пружины с координатой $y$ равно $$ x_{y}=\frac{x}{l_{0}} y. $$ Следовательно, скорость элемента пружины с координатой $y$ $$ v_{y}=\dot{x}_{y}=\frac{y}{l_{0}} \dot{x}_{0}, $$ а кинетическая энергия элемента пружины длиной $d y$ $$ d T_{пр}=\frac{M}{l_{0}} d y \frac{y^{2}}{2 l_{0}^{2}} \dot{x}^{2}=\frac{M x^{2}}{2 l_{0}^{3}} y^{2} d y. $$ Полная кинетическая энергия пружины $$ T_{пр}=\int \limits_{0}^{l_{0}} \frac{M x^{2}}{2 l_{0}^{3}} y^{2} d y=\frac{M x^{2}}{6}. $$ Теперь найдем энергию упругой деформации пружины $$ U=\frac{k x^{2}}{2}=\frac{M g}{2 \Delta x_{0}} x^{2}. $$ Полная энергия системы «пружина + груз» $$ \frac{m \dot{x}^{2}}{2}+\frac{m \dot{x}^{2}}{6}+\frac{M g}{2 \Delta x_{0}} x^{2}=\operatorname{const}. $$ Продифференцировав по времени $t$, получим уравнение движения груза: $$ (m+M / 3) \ddot{x}+\frac{M g}{\Delta x_{0}} x=0. $$ Период колебания груза $T=2 \pi \sqrt{\frac{\left(m+\frac{M}{3}\right) \Delta x_{0}}{M g}}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{\left(m+\frac{M}{3}\right) \Delta x_{0}}{M g}}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]