text: {"text": [{"text": "В открытом цилиндрическом сосуде с вертикальными стенками находится литр красной жидкости с температурой $t_к=0\,^\circ\mathrm{C}$. В дне сосуда имеется отверстие, закрывающееся теплоизолирующим клапаном, через которое в сосуд можно заливать жёлтую жидкость с температурой $t_ж=117{,}6\,^\circ\mathrm{C}$. Красная и жёлтая жидкости не смешиваются и химически не реагируют друг с другом. Известно также, что одна из них имеет в 2 раза большую плотность, чем другая. В сосуд последовательно по одному литру заливают жёлтую жидкость и после каждого добавления измеряют установившуюся температуру содержимого сосуда. Данные измерений приведены в таблице, где $V_ж$ — суммарный объём жёлтой жидкости, поступавшей в сосуд, $t_с$ — установившаяся температура содержимого сосуда:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Между какими двумя измерениями содержимое сосуда стало выливаться наружу, если к моменту первого измерения жидкости не выливались?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какая из жидкостей тяжелее, красная или жёлтая?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Определите ёмкость сосуда $V$."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Определите отношение удельных теплоёмкостей красной и жёлтой жидкостей $c_к/c_ж$. Считайте, что добавление жидкости происходит достаточно быстро (температура в процессе доливания не успевает поменяться), а поступающая в сосуд жёлтая жидкость остаётся в нижней части жёлтого слоя. Тепловым обменом с окружающей средой и теплоёмкостью сосуда можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Между какими двумя измерениями содержимое сосуда стало выливаться наружу, если к моменту первого измерения жидкости не выливались? ", "solution": {"text": "Пока содержимое не выливается, уравнения теплового баланса должны выглядеть так:$$C_к(t_1-t_к)+C_ж(t_1-t_ж)=0;\\C_к(t_2-t_к)+2C_ж(t_2-t_ж)=0;\\C_к(t_3-t_к)+3C_ж(t_3-t_ж)=0;\\ \ldots$$ где $C_к$ и $C_ж$ — теплоёмкости одного литра красной и жёлтой жидкостей соответственно. Тогда должно выполняться равенство:$$\frac{C_к}{C_ж}=\frac{t_ж-t_1}{t_1-t_к}=\frac{2(t_ж-t_2)}{t_2-t_к}=\frac{3(t_ж-t_3)}{t_3-t_к}=\ldots$$При подстановке значений температур получаем, что первое и второе выражения равны 2, а третье равно 1,8. То есть при добавлении третьего литра жёлтой жидкости содержимое сосуда начало вытекать. Таким образом, ёмкость сосуда находится в пределах от 3 до 4 литров. Также отметим, что $C_к/C_ж=2$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какая из жидкостей тяжелее, красная или жёлтая? ", "solution": {"text": "Пусть ёмкость сосуда больше 3 литров на величину $\Delta V$. Тогда, если красная жидкость легче, то должны быть верны следующие два уравнения: $$\left(\frac{\Delta V}{1\ л}\cdot C_к+2C_ж\right)(t_3-t_2)+C_ж(t_3-t_ж)=0,\\ \left(2+\frac{\Delta V}{1\ л}\right)C_ж(t_4-t_3)+C_ж(t_4-t_ж)=0.$$Если же легче жёлтая жидкость, то будут верны следующие два уравнения:$$\left(C_к+C_ж+\frac{\Delta V}{1\ л}\cdot C_ж\right)(t_3-t_2)+C_ж(t_3-t_ж)=0,\\ \left(C_к+C_ж+\frac{\Delta V}{1\ л}\cdot C_ж\right)(t_4-t_3)+C_ж(t_4-t_ж)=0.$$При подстановке значений выясняется, что вторая пара уравнений противоречит друг другу, а первая даёт одинаковое значение $\Delta V=0{,}5~л$. Значит:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: жёлтая жидкость тяжелее красной."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите ёмкость сосуда $V$. ", "solution": {"text": "Ёмкость сосуда $V=3~л+\Delta V$, а значит:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V=3{,}5~л.$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите отношение удельных теплоёмкостей красной и жёлтой жидкостей    $c_к/c_ж$. ", "solution": {"text": "Поскольку плотность жёлтой жидкости вдвое больше плотности красной, то литр жёлтой жидкости весит вдвое больше литра красной, а значит: $$\frac{C_к}{C_ж}=\frac{mc_к}{2mc_ж}=\frac{c_к}{2c_ж}.$$Откуда для отношения удельных теплоёмкостей получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{c_к}{c_ж}=\frac{2C_к}{C_ж}=4.$$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]