text: {"text": [{"text": "Мы стремимся к тому, чтобы космический зонд, запущенный с Земли, покинул Солнечную Систему с помощью одной гравитационной рогатки, которая использует относительное движение и гравитацию одной из планет, вращающихся вокруг Солнца. В астрономических единицах (среднее расстояние между Солнцем и Землей = $1~\text{а. е}$.). При решении задачи сделайте следующие приближения: • Орбиты планет представляют собой круги, лежащие в одной плоскости. • Вблизи планеты достаточно учитывать только гравитацию, обусловленную этой планетой. Введём обозначения: $v_{E}$ — скорость кругового движения Земли, $v_P$- скорость кругового движения планеты $P$, выполняющей роль гравитационной рогатки, $v_0$ — скорость Зонда сразу после прекращения гравитационного взаимодействия с Землёй, $x=\frac{R_P}{R_E}$ — отношение радиусов круговых орбит планеты $P$ и Земли, $v_1$ и $v_2$ - компоненты скорости Зонда, перпендикулярная и параллельная соответственно его радиус-вектору относительно Солнца в момент взаимодействия с планетой $P$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $v_P$ через $v_E$ и $x$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $v_1$ через $v_0$ и $x$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "2,50"}, "text": "Выразите $v_2$ через $v_0$, $v_E$ и $x$. Каковы возможные значения $v_0/v_E$ при фиксированном $x$? Пусть $v_{rel}$ — модуль скорости Зонда относительно планеты $P$ в момент начала гравитационного манёвра <img_1>"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,50"}, "text": "Выразите $v_{rel}$ через через $v_0$, $v_E$ и $x$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,50"}, "text": "Выразите минимально возможное значение $v_{rel}$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул Солнечную систему, через $v_P$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "2,50"}, "text": "Для каждого значения $x$ найдите минимально возможное значение $v_0/v_E$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул пределы Солнечной системы."}]}
answer: [{"condition": "Выразите $v_P$ через $v_E$ и $x$. ", "solution": {"text": "Из закона всемирного тяготения $$v^2=\frac{GM}{r} $$ откуда $$v_p=\frac{v_E}{\sqrt{x}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $v_1$ через $v_0$ и $x$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения момента импульса $$v_1=\frac{v_0}{x} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $v_2$ через $v_0$, $v_E$ и $x$. Каковы возможные значения $v_0/v_E$ при фиксированном $x$? ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии $$\frac{v^2_0}{2}-\frac{GM}{R}=\frac{v^2_1}{2}+\frac{v^2_2}{2}-\frac{GM}{xR} $$ или же $$v^2_2=v^2_0\left(1-\frac{1}{x^2}\right)-2v^2_E\left(1-\frac{1}{x}\right)=\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(v^2_0\left(1+\frac{1}{x}\right)-2v^2_E\right) $$ Тогда $$\frac{v_0}{v_E}\geq{\sqrt{\frac{2x}{1+x}}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Выразите $v_{rel}$ через через $v_0$, $v_E$ и $x$. ", "solution": {"text": "Для квадрата относительной скрости имеем $$v^2_{rel}=v^2_2+\left(v_1-v_p\right)^2=v^2_0-2v^2_E\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{v^2_E}{x}-\frac{2v_0v_E}{\sqrt{x^3}}=v^2_0-\frac{2v_0v_E}{\sqrt{x^3}}+v^2_E\left(\frac{3}{x}-2\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Выразите минимально возможное значение $v_{rel}$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул Солнечную систему, через $v_P$. ", "solution": {"text": "Сразу после окончания взаимодействия с планетой $P$ $$v_p+v_{rel}\geq{v_p\sqrt{2}} $$ или же $$v_{rel}\geq{v_p(\sqrt{2}-1)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Для каждого значения $x$ найдите минимально возможное значение $v_0/v_E$, достаточное для того, чтобы Зонд покинул пределы Солнечной системы. ", "solution": {"text": "Комбинируя результаты пунктов $\textbf{A4}$ и $\textbf{A5}$. Обозначим $k=\frac{v_0}{v_E}$ $$v^2_0-\frac{2v_0v_E}{\sqrt{x^3}}+v^2_E\left(\frac{3}{x}-2\right)\geq{\frac{v^2_E(3-2\sqrt{2})}{x}} $$ или же $$k^2-\frac{2k}{\sqrt{x^3}}+2\left(\frac{\sqrt{2}}{x}-1\right)\geq{0} $$ Решая квадратное уравнение и выбирая больший из корней $$k\geq{\frac{1}{\sqrt{x^3}}+\sqrt{\frac{1}{x^3}+2-\frac{2\sqrt{2}}{x}}} $$ Учтём также ограничения, возникающее в пункте $\textbf{A3}$ $$k\geq{\sqrt{\frac{2x}{x+1}}} $$ Графики полученных зависимостей приведены на рисунке <img_2> Как видно, при досаточно больших $x$ условие, полученное только из энергетического анализа не всегда является достаточным, поскольку зонд может попросту не достичь орбиты радиуса $xR$. Найдём точку $x_0$, в которой оба условия совпадают $$\frac{1}{\sqrt{x^3_0}}+\sqrt{\frac{1}{x^3_0}+2-\frac{2\sqrt{2}}{x_0}}=\sqrt{\frac{2x_0}{x_0+1}} $$ $$1+2x^3_0-2\sqrt{2}x^2_0=\frac{2x^4_0}{x_0+1}-\frac{2\sqrt{2}x^2_0}{\sqrt{x_0}}+1 $$ После приведения $$x_0-\frac{x^2_0}{x_0+1}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x_0+1}} $$ Введём замену переменной $t=x_0+1$, тогда $$t-1-\frac{(t-1)^2}{t}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}} $$ $$\frac{1}{t}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}}+\sqrt{2}-1=0 $$ Решая полученное квадратное уравнения $$\frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{\sqrt{2}\pm{\sqrt{6-4\sqrt{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{2}\pm{(2-\sqrt{2})}}{2}=1;\sqrt{2}-1 $$ Первый из корней даёт $x_0=0$, что, разумеется, нам не подходит. Тогда $$t=(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}=x_0+1 $$ или $$x_0=2+2\sqrt{2} $$ Таким образом, окончательный ответ $$k\geq{\frac{1}{\sqrt{x^3}}+\sqrt{\frac{1}{x^3}+2-\frac{2\sqrt{2}}{x}}} $$ при $x < x_0$ и $$k\geq{\sqrt{\frac{2x}{x+1}}} $$ при $x>x_0$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A6", "exponent_part": "2,50"}]