text: {"text": [{"text": "Вам выдан баллончик, внутри которого находится неизвестное вещество (сжиженный газ). Подача газа производится нажатием на маленький рычаг, присоединенный к соплу зажигалки."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите показатель преломления неизвестного вещества в жидком состоянии $n_\text{жид}$. В этом пункте считайте, что показатель преломления неизвестного вещества в газообразном состоянии и воздуха равны единице."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Оцените разность показателей преломления воздуха и неизвестного вещества в газообразном состоянии $\Delta n = n_\text{воз}-n_\text{газ}$ с учетом знака."}]}
answer: [{"condition": "Найдите показатель преломления неизвестного вещества в жидком состоянии $n_\text{жид}$. В этом пункте считайте, что показатель преломления неизвестного вещества в газообразном состоянии и воздуха равны единице. ", "solution": {"text": "Для первой части соберем установку изображенную на рис. 1. На брусок длиной $40~см$ прилепим два кусочка пластилина около одного конца, на которые прикрепим включенный лазер. Надавливая на переднюю и заднюю часть лазера, можно регулировать угол между ним и бруском. Будем двигать брусок вдоль длинной стороны стола и смотреть за изображением лазерного луча на экране (стенке кабинки). Меняя угол между лазером и бруском, способом описанным выше, добьемся горизонтальности траектории изображения луча на экране. В этом случае лазерный луч будет параллелен бруску. После этого на второй край бруска прикрепим при помощи пластилина баллончик с газом. Приклеим малярный скотч к боковой поверхности баллончика так, чтобы лазерный луч попадал в среду через небольшую щель. Чтобы убедиться в том, что падающий луч перпендикулярен поверхности баллончика, будем следить за отражением лазерного луча от передней стенки баллончика: отраженный луч должен попадать обратно в лазер. Будем менять угол $\varphi$ наклона бруска и наблюдать на стенке кабинки за выходящими из баллона лучами. Для стабильности картины будем использовать короткий брусок (длиной $15~см$) как подставку. Один из выходящих лучей является отраженным от границы раздела жидкой и газообразной фазы изучаемого вещества (бутана), а другой — луч, преломленным на этой границе. Изображение отраженного луча можно наблюдать на экране при любых углах наклона бруска, а преломленный луч можно наблюдать только при $\varphi \leq \varphi_{{кр}}$. При углах больше критического на границе между жидкой и газообразной фазой бутана происходит явление полного внутреннего отражения. Тогда для критического угла можно записать:\begin{equation} \sin{\varphi_{{кр}}}=\frac{1}{n_{{жид}}}. \tag{1} \end{equation} <img_0> Примечание: границу газ—пластик—воздух луч пройдет при любых углах, так как показатель преломления пластика больше чем у газа и воздуха. Установим брусок так, чтобы при небольшом увеличении угла зайчик от преломленного луча на экране пропал. В этом случае угол между длинным бруском и вертикалью равен $\varphi_{кр}$. Тогда \begin{equation} \sin{\varphi_{кр}}=\frac{\sqrt{S^2-h^2}}{S}. \tag{2} \end{equation} Окончательно для показателя преломления бутана в жидком состоянии: \begin{equation} n_{жид} = \frac{S}{\sqrt{S^2-h^2}}. \tag{3} \end{equation} Измерим длину бруска $S = 40.0 \pm 0.5 ~\text{см}$ и высоту $h$. $h,~ см$ 26.325.925.2$n_{жид}$1.331.311.29 Тогда: | $h,\~ см$ | 26\.3 | 25\.9 | 25\.2 | | --- | --- | --- | --- | | $n\_{жид}$ | 1\.33 | 1\.31 | 1\.29 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} n_{жид}= 1.31 \pm 0.02 \tag{4}\end{equation}"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените разность показателей преломления воздуха и неизвестного вещества в газообразном состоянии $\Delta n = n_\text{воз}-n_\text{газ}$ с учетом знака. ", "solution": {"text": "При помощи пластилина закрепим лазер на бруске длиной $15~см$. Установим 2 зеркала и экран (лист белого картона) таким образом, чтобы на экран попадало изображение луча, дважды отраженного в зеркалах (рис. 2). Нажмем на рычаг для подачи газа и будем двигать трубочку, присоединенную к баллончику так, чтобы струя газа проходила сквозь лазерный луч. Будем считать, что струя газа движется слева направо. Как только крайние лучи лазерного пучка попадут в область струи, на экране можно будет увидеть, что изображения пучка на экране «расплывается» в левую сторону. То есть лучи, попадающие в струю, отклоняются влево (рис. 3). Такое возможно только в том случае, если показатель преломления бутана в газообразном состоянии больше показателя преломления воздуха, то есть $\Delta n$ будет отрицательным. <img_1> <img_2> Второй способ определить знак разности — это качественные наблюдения фокусировки луча. Если по ходу луча смотреть за его изображением в разных местах, то можно увидеть, что на расстоянии порядка $\sim10-20~см$ наблюдается четкая полоса, которая могла образоваться, только если показатель преломления бутана больше, чем у воздуха. В случае, если бы это было не так — четкой линии не было бы видно, так как тогда струя работала как рассеивающая линза. Также из характерных значений фокусного расстояния можно сделать вывод, что показатель преломления бутана близок к показателю преломления воздуха:$$\Delta n \ll 1.$$При полном попадании струи газа, выпущенного через трубочку, в лазерный пучок (ширина струи меньше ширины лазерного пучка), изображение на экране будет иметь существенно больший размер, чем ширина пучка до прохождения струи. Расширение изображения происходит из-за преломления лучей в цилиндрической линзе, образованной струей бутана (см. рис. 4.). <img_3> Угол расхождения $\varphi$ пучка определяется отношением горизонтального размера зайчика на экране $x$ к суммарному расстоянию которое проходит луч лазера от струи газа до экрана $D$. \begin{equation} \varphi=\frac{x}{D}. \tag{5} \end{equation}Рассмотрим геометрию преломления луча в струе (см. рис. 5) и запишем закон Снелла для преломления на первой границе (на второй границе уравнение будет выглядеть аналогично). <img_4> Из геометрии рисунка видно, что $\theta = \alpha$ и $\gamma = 2(\alpha - \beta)$. Закон Снелла будет выглядеть следующим образом: \begin{equation} n_\text{воз} \sin \alpha = n_\text{газ} \sin \beta.\tag{6}\end{equation}Отсюда не сложно заметить, что так как $n_\text{газ}$ и $n_\text{воз}$ близки к единице, то $\alpha - \beta \ll 1$. Получаем, что $\gamma \ll 1$. Используя в уравнение $(6)$ выражение для $\gamma$, получаем: \begin{equation} \frac{n_\text{воз} }{n_\text{газ}} \sin (\alpha - \gamma/2) = \sin \alpha, \tag{7}\end{equation}откуда, раскрывая синус суммы, получаем:\begin{equation}\sin \alpha = \frac{n_{газ}}{n_{воз}} \sin (\alpha - \gamma/2) = \frac{n_{газ}}{n_{воз}}\big(\sin\alpha\cos \gamma/2 - \cos \alpha \sin \gamma/2\big).\tag{8} \end{equation} Используем малость угла $\gamma$: \begin{equation} \sin \alpha = \frac{n_{газ}}{n_{воз}}\left((1-{\gamma^2}/{8})\sin\alpha - \gamma/2 \cos \alpha \right), \tag{9} \end{equation}где отношение показателей преломления удобно переписать в следующем виде: \begin{equation} \frac{n_{газ}}{n_{воз}}= \frac{n_{газ}-n_{воз}}{n_{воз}}+1 = -\frac{\Delta n}{n_{воз}}+1 = 1-\Delta n. \tag{10} \end{equation}Разделив уравнение $(9)$ на $\sin \alpha$, получаем:\begin{equation} 1 = (1-\Delta n) \left(1 - \frac{\gamma}{2 \operatorname{tg} \alpha} -\frac{\gamma^2}{8}\right) \tag{11}\end{equation} Формула $(11)$ дает связь между разностью показателей преломления и углом расхождения лучей после прохождения струи, не обращая внимания на интенсивность света в пучке. На практике лучи с наибольшим отклонением имеют на несколько порядков меньшую интенсивность, чем центральные. Поэтому человеческий глаз воспринимает на экране лишь характерный размер освещаемый лучами области, соответствующей существенной интенсивности падающего света. Тогда оценим максимальное значение $\operatorname{tg} \alpha$, которому соответствуют лучи, определяющие воспринимаемый размер освещаемой на экране области, как $10$. С учетом этого сравним поправки к единице во второй скобке. Для этого найдем угол расхождения $\varphi$, половина которого равна максимальному $\gamma$. При использовании зеркал расстояние между струей газа и экраном определяется суммой расстояния между струей и первым зеркалом $l_1=90 ~\text{см}$, расстоянием между зеркалами $l_2 = 116 ~\text{см}$ и расстоянием между вторым зеркалом и экраном $l_3 = 100 ~\text{см}$. Тогда максимальный угол расхождения лучей с учетом измерений горизонтального размера зайчика $x=2.0~\text{см}$ в такой конфигурации: \begin{equation} \gamma=\frac{1}{2}\frac{x}{l_1+l_2+l_3} \approx 3.3 \cdot 10^{-3}. \tag{12}\end{equation}Подставляя эти значения, получаем: \begin{equation} \frac{\gamma}{2 \operatorname{tg} \alpha} = 1.7\cdot 10^{-4}\tag{13}\end{equation}\begin{equation} \frac{\gamma^2}{8} = 1.3\cdot 10^{-6}\tag{14}\end{equation}То есть поправку второго порядка можно отбросить и тогда выражение для $\Delta n$ принимает вид: Дополнение Моделирование второй части позволяет получить такие картины: <img_5> <img_6> С учетом динамического коэффициента контрастности человеческого глаза в 3-4 порядка, можно сделать вывод, что из всей ширины мы видим на экране ширину изображения $x \approx 20$ радиусов линзы, что сходится с экспериментальными данными. Внутренний диаметр трубки был порядка $0.5-0.8~ мм$. Комментарии для жюри:Луч, вышедший после преломления под критическим углом, на самом деле появляется не на одной горизонтали с баллончиком, а ниже. Это объясняется наличием мениска, в который попадает этот луч, а также преломлением в стенке баллончика. Ширина изображения во второй части определяется с большой погрешностью, поэтому необходимо установить достаточно широкие ворота. При этом важно, чтобы показатель преломления бутана был строго больше показателя преломления воздуха. Это можно определить точно. Табличное значение $\Delta n \approx - 3 \cdot 10^{-4}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} \Delta n = \frac{\gamma}{2\operatorname{tg} \alpha} = 1.7 \cdot 10^{-4} \tag{15} \end{equation}  Дополнение Моделирование второй части позволяет получить такие картины: Рис. 6. Моделирование рисунка 4 Рис. 7. Распределение интенсивности света на экране С учетом динамического коэффициента контрастности человеческого глаза в 3-4 порядка, можно сделать вывод, что из всей ширины мы видим на экране ширину изображения $x \approx 20$ радиусов линзы, что сходится с экспериментальными данными. Внутренний диаметр трубки был порядка $0.5-0.8~ мм$. Комментарии для жюри:Луч, вышедший после преломления под критическим углом, на самом деле появляется не на одной горизонтали с баллончиком, а ниже. Это объясняется наличием мениска, в который попадает этот луч, а также преломлением в стенке баллончика. Ширина изображения во второй части определяется с большой погрешностью, поэтому необходимо установить достаточно широкие ворота. При этом важно, чтобы показатель преломления бутана был строго больше показателя преломления воздуха. Это можно определить точно. Табличное значение $\Delta n \approx - 3 \cdot 10^{-4}$."]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}]