text: {"text": [{"text": "Терморезисторы также проявляют мемристорные свойства — его температура зависит от тока в предыдущие моменты времени:\[C\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-\kappa(T-T_0)+VI,\]где $T_0$ — комнатная температура, $\kappa$ — коэффициент, определяющий скорость теплообмена с окружающей средой, а $C$ — теплоёмкость терморезистора. Сопротивление терморезистора при этом зависит от температуры по формуле:\[R(T)=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_BT}\right],\]где $E_g$ — энергия активации (зависящая от полупроводниковой структуры терморезистора), $k_B$ — постоянная Больцмана."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Усреднив уравнение на температуру в нулевом приближении, получите уравнение, связывающее $V_0$, $T_1$ и остальные переменные задачи. В таблице ниже приведена зависимость средней температуры терморезистора от поданного напряжения. Комнатная температура равна $t_0=20\,{}^\circ\mathrm C$, сопротивление терморезистора при этой температуре — $R=8.60~Ом$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Найдите энергию активации $E_g$. Выразите ответ в электронвольтах ($1~эВ=1.60\cdot10^{-19}~Дж$). Постоянная Больцмана равна $k_B=1.38\cdot10^{-23}~Дж/К$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Найдите величины $R_0$ и $\kappa$. Рассмотрим теперь зависимость тока через терморезистор от напряжения, учитывая в первом приближении зависимость температуры (и сопротивления) от времени. В первом приближении можно написать:\[T(t)=T_1+T_2\cos[2\omega t+\phi],\]где $T_2\ll (T_1-T_0)$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Найдите выражения для $T_2$ и $\phi$. На рисунке ниже показано несколько гистерезисных петель терморезистора. Частота входного напряжения:\[\nu\equiv\frac{\omega}{2\pi}=0.2~Гц.\] <img_0>"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Найдите теплоёмкость терморезистора $C$."}]}
answer: [{"condition": "Усреднив уравнение на температуру в нулевом приближении, получите уравнение, связывающее $V_0$, $T_1$ и остальные переменные задачи. ", "solution": {"text": "В нулевом приближении сопротивление терморезистора можно считать постоянным и примерно равным:\[R_1=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_BT_1}\right].\]Подставляя в уравнение на температуру, получим:\[C\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-\kappa(T_1-T_0)+\frac{V_0^2}{R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\cos^2\omega t.\]Усредняя уравнение по времени, получим:\[0=-\kappa(T_1-T_0)+\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\kappa(T_1-T_0)=\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите энергию активации $E_g$. Выразите ответ в электронвольтах ($1~эВ=1.60\cdot10^{-19}~Дж$). Постоянная Больцмана равна $k_B=1.38\cdot10^{-23}~Дж/К$. ", "solution": {"text": "Самая простая линеаризация зависимости, полученной в предыдущем пункте — это:\[\ln\frac{t_1-t_0}{V_0^2}=\ln\frac{\kappa}{2R_0}+\frac{E_g}{k_B}\cdot\frac{1}{t_1+273~К}.\]Пересчитаем точки для $\ln\dfrac{t_1-t_0}{V_0^2}$ и $\dfrac{1}{t_1+273~К}$ в таблице ниже и построим график этой зависимости: $V_0,~В$2.02.53.03.54.04.55.0$t_1,~{}^\circ\mathrm C$20.721.121.622.222.923.824.8$\ln\dfrac{t_1-t_0}{V_0^2}$0.1750.1760.1780.1800.1810.1880.192$\dfrac{10^3}{t_1+273~К}$3.4053.4003.3943.3883.3803.3693.358 $V_0,~В$5.56.06.57.07.58.08.5$t_1,~{}^\circ\mathrm C$26.027.429.131.033.336.240.0$\ln\dfrac{t_1-t_0}{V_0^2}$0.1980.2060.2150.2240.2360.2530.277$\dfrac{10^3}{t_1+273~К}$3.3443.3293.3103.2893.2653.2343.195 <img_1> Коэффициенты этой зависимости:\[\ln\frac{\kappa}{2R_0}=3.759,\quad \frac{E_g}{k_B}=2.074\cdot10^3.\]Отсюда находим:\[E_g=2074k_B=2074\cdot\frac{1.38\cdot10^{-23}}{1.60\cdot10^{-19}}~эВ\approx0.18~эВ.\] | $V\_0,\~В$ | 2\.0 | 2\.5 | 3\.0 | 3\.5 | 4\.0 | 4\.5 | 5\.0 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $t\_1,\~{}^\\circ\\mathrm C$ | 20\.7 | 21\.1 | 21\.6 | 22\.2 | 22\.9 | 23\.8 | 24\.8 | | $\\ln\\dfrac{t\_1\-t\_0}{V\_0^2}$ | 0\.175 | 0\.176 | 0\.178 | 0\.180 | 0\.181 | 0\.188 | 0\.192 | | $\\dfrac{10^3}{t\_1\+273\~К}$ | 3\.405 | 3\.400 | 3\.394 | 3\.388 | 3\.380 | 3\.369 | 3\.358 | | | | | | | | | | | $V\_0,\~В$ | 5\.5 | 6\.0 | 6\.5 | 7\.0 | 7\.5 | 8\.0 | 8\.5 | | $t\_1,\~{}^\\circ\\mathrm C$ | 26\.0 | 27\.4 | 29\.1 | 31\.0 | 33\.3 | 36\.2 | 40\.0 | | $\\ln\\dfrac{t\_1\-t\_0}{V\_0^2}$ | 0\.198 | 0\.206 | 0\.215 | 0\.224 | 0\.236 | 0\.253 | 0\.277 | | $\\dfrac{10^3}{t\_1\+273\~К}$ | 3\.344 | 3\.329 | 3\.310 | 3\.289 | 3\.265 | 3\.234 | 3\.195 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E_g=0.18~эВ\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите величины $R_0$ и $\kappa$. ", "solution": {"text": "Зная комнатную температуру $t_0$ и сопротивление $R(t_0)$, находим $R_0$:\[\begin{aligned}&R=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_B(t_0+273~К)}\right]\implies\\&\implies R_0=R\exp\left[-\frac{E_g}{k_B(t_0+273~К)}\right]=8.60\cdot \exp\left[\frac{2074}{293}\right]=7.3\cdot10^{-3}~Ом.\end{aligned}\]Наконец, находим отсюда $\kappa$:\[\kappa=2R_0\exp[3.759]=0.62~\frac{Вт}{К}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[R_0=7.3\cdot10^{-3}~Ом,\quad\kappa=0.62~\frac{Вт}{К}\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите выражения для $T_2$ и $\phi$. ", "solution": {"text": "Оставив в уравнении на температуру только слагаемые, содержащие $\cos(2\omega t)$, поскольку постоянные слагаемые сократятся как следствие предыдущей части, а слагаемые с бóльшими частотами будут иметь бóльший порядок малости и нерелевантны. Итого:\[CT_2\frac{\mathrm d\cos[2\omega t+\phi]}{\mathrm dt}=-\kappa T_2\cos[2\omega t+\phi]+\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT}\right]\cos(2\omega t).\]Поскольку полученное уравнение оказалось линейным, с ним удобно работать в комплексной записи:\[2i\omega CT_2e^{i\phi}=-\kappa T_2e^{i\phi}+\frac{V_0^2}{2R_0}\exp\left[-\frac{E_g}{k_BT}\right]=-\kappa T_2e^{i\phi}+\kappa(T_1-T_0)\\ T_2=\frac{\kappa(T_1-T_0)}{\sqrt{\kappa^2+4\omega^2C^2}}\overset{T_2\ll(T_1-T_0)}\approx \frac{\kappa(T_1-T_0)}{2\omega C},\quad \phi=-\operatorname{arctg}\frac{2\omega C}{\kappa}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T_2=\frac{\kappa(T_1-T_0)}{2\omega C},\quad \phi=-\operatorname{arctg}\frac{2\omega C}{\kappa}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите теплоёмкость терморезистора $C$. ", "solution": {"text": "В связи с небольшими колебаниями температуры происходят колебания сопротивления терморезистора, из-за чего и возникает кривая гистерезиса. Найдём, как в первом приближении зависит от времени ток через терморезистор:\[2\omega C\gg \kappa\implies \phi\approx -\frac{\pi}{2}\implies T(t)=T_1+T_2\sin(2\omega t).\]Далее:\[\begin{aligned}I(t)&=\frac{V(t)}{R(t)}=\\&=\frac{V_0}{R(T_1)}\cos(\omega t)\cdot\left[1-T_2\sin(2\omega t)\cdot\left.\frac{\mathrm dR(T)}{\mathrm dT}\right|_{T=T_1}\right]=\\&=\frac{V_0}{R(T_1)}\cos(\omega t)\cdot\left[1-T_2\sin(2\omega t)\cdot R(T_1)\cdot\left(-\frac{E_g}{k_BT_1^2}\right)\right]=\\&=\frac{V_0}{R(T_1)}\cos(\omega t)+\frac{V_0E_gT_2}{k_BT_1^2}\cos(\omega t)\sin(2\omega t).\end{aligned}\]Максимальное значение поправка первого порядка к току принимает при:\[\cos(\omega t) \sin(2\omega t)\to\max\implies\\\begin{aligned}0&=\frac{\mathrm d}{\mathrm d(\omega t)}\big[\cos(\omega t) \sin(2\omega t)\big]=\\&=-\sin(\omega t)\sin(2\omega t)+2\cos(\omega t)\cos(2\omega t)=\\&=-2\sin^2(\omega t)\cos(\omega t)+2\cos(\omega t)\big[\cos^2(\omega t)-\sin^2(\omega t)\big]=\\&=2\cos(\omega t)\big[\cos^2(\omega t)-2\sin^2(\omega t)\big]=\\&=2\cos(\omega t)\big[1-3\sin^2(\omega t)\big]\implies\end{aligned}\\\sin(\omega t)=\sqrt\frac13,\quad \cos(\omega t) =\sqrt\frac23\]и равна при этом:\[\delta I_{1\mathrm m}=\max_t|\delta I_1|=\frac{V_0E_gT_2}{k_BT_1^2}\cdot 2\cdot\sqrt\frac13\cdot \frac23=\frac{1}{3\sqrt3}\frac{V_0E_g}{k_BT_1^2}\frac{\kappa(T_1-T_0)}{\pi\nu C}.\]Поскольку сопротивление более чувствительно к температуре, чем напряжение (его относительные изменения больше), температуру будем определять по сопротивлению, измеряя тангенс угла наклона оси симметрии гистерезисной петли $\langle R\rangle$:\[\langle R\rangle=R_0\exp\left[\frac{E_g}{k_BT_1}\right]\implies T_1=\frac{E_g}{k_B\ln\dfrac{\langle R\rangle}{R_0}}.\]Также будем снимать максимальную ширину гистерезисной петли по оси $I$. Это следует делать при напряжении:\[V'=V_0\cos(\omega t)_{\max}=V_0\sqrt\frac23\approx 0.82V_0.\]При этом ширина петли будет равна:\[2\delta I_{1\mathrm m}=\frac{1}{C}\frac{2\kappa V_0E_g(T_1-T_0)}{3\sqrt3\cdot\pi\nu k_BT_1^2}.\]Занесём результаты измерений и обработки в таблицу и построим график зависимости $2\delta I_{1\mathrm m}\left(\frac{2\kappa V_0E_g(T_1-T_0)}{3\sqrt3\cdot\pi\nu k_BT_1^2}\right)$: $№$123456$V_0,~В$4.56.78.08.89.39.6$I_0,~А$0.581.001.401.782.162.56$\langle R\rangle,~Ом$7.766.705.714.944.313.75$T_1,~К$297.6304.0311.3318.2325.0332.3$\frac{2\kappa V_0E_g(T_1-T_0)}{3\sqrt3\cdot\pi\nu k_BT_1^2},~\frac{Дж\cdot А}{К}$0.0410.0940.1490.1960.2390.280$V',~В$3.75.56.57.27.67.8$2\delta I_{1\mathrm m},~А$0.070.120.160.200.230.26 <img_2> Угловой коэффициент графика находим графически или по МНК. Получается результат:\[\frac{1}{C}=1.27~\frac{К}{Дж}\implies C=0.79~\frac{Дж}{К}\] | $№$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $V\_0,\~В$ | 4\.5 | 6\.7 | 8\.0 | 8\.8 | 9\.3 | 9\.6 | | $I\_0,\~А$ | 0\.58 | 1\.00 | 1\.40 | 1\.78 | 2\.16 | 2\.56 | | $\\langle R\\rangle,\~Ом$ | 7\.76 | 6\.70 | 5\.71 | 4\.94 | 4\.31 | 3\.75 | | $T\_1,\~К$ | 297\.6 | 304\.0 | 311\.3 | 318\.2 | 325\.0 | 332\.3 | | $\\frac{2\\kappa V\_0E\_g(T\_1\-T\_0\)}{3\\sqrt3\\cdot\\pi\\nu k\_BT\_1^2},\~\\frac{Дж\\cdot А}{К}$ | 0\.041 | 0\.094 | 0\.149 | 0\.196 | 0\.239 | 0\.280 | | $V',\~В$ | 3\.7 | 5\.5 | 6\.5 | 7\.2 | 7\.6 | 7\.8 | | $2\\delta I\_{1\\mathrm m},\~А$ | 0\.07 | 0\.12 | 0\.16 | 0\.20 | 0\.23 | 0\.26 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[C=0.79~\frac{Дж}{К}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}]