text: {"text": [{"text": "Часть A. Поляризация и кристаллооптика (2 балла) При прохождении через поляризатор $P$ естественный свет преобразуется в линейно-поляризованный свет, плоскость поляризации параллельна оси поляризатора. В этой части задачи будем рассматривать только монохроматическое излучение. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,10"}, "text": "Линейно поляризованный свет интенсивностью $I_0$ падает на анализатор $A$, ось поляризации которого повернута на угол $\alpha$ по отношению к оси поляризатором $P$. Определите интенсивность света после прохождения через анализатор. Отражением и поглощением пренебречь."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,40"}, "text": "Поляризатор и анализатор расположены перпендикулярно друг другу, и свет не проходит через анализатор. Если между двумя элементами поместить третий поляризатор $P'$, свет начинает проходить через анализатор. Найдите интенсивность $I$ прошедшего света через интенсивность падающего света $I_0$ и угол $\alpha$, который составляет ось поляризатора $P'$ с осью поляризатора $P$. Найдите максимальную интенсивность прошедшего света $I'$ и угол $\alpha'$, при котором она достигается. <img_1> Заменим теперь поляризатор $P'$ на двулучепреломляющий кристалл. В таком кристалле падающий луч делится на два. Один из них распространяется с одинаковой скоростью в любом направлении, так называемый «обыкновенный» (ordinary) луч, а другой распространяется с разными скоростями в разных направлениях, «необыкновенный» (extraordinary) луч. На рисунке показаны волновые фронты для обыкновенного луча (сферический) и для необыкновенного (эллипсоидальная) для точечного источника, расположенного в кристалле. Направление, в котором лучи распространяются с одинаковой скоростью, называется осью кристалла. Показатель преломления для обыкновенного луча равен $n_o$, а показатель преломления для необыкновенного луча зависит от направления, и его значение находится между $n_o$ и $n_e$. <img_2>"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Рассмотрим кристалл, грани которого параллельны оси кристалла. Линейно-поляризованный свет нормально так падает на поверхность кристалла. Два луча будут распространяться в одном направлении, но с разными скоростями. Они линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. На выходе из кристалла между двумя лучами появляется фазовый сдвиг. Выразите этот фазовый сдвиг $\delta$ через показатели преломления $n_o$ и $n_e$, а также длину волны излучения $\lambda$ и толщину кристалла $d$."}, {"text": "Часть B. Электрооптика (4 балла) Некоторые вещества под действием электрического поля приобретают свойства одноосного кристалла, причем оптическая ось оказывается направлена по полю. Электрооптический эффект заключается в изменении значения показателя преломления среды в электрическом поле. Если показатель преломления линейно зависит от напряженности приложенного электрического поля, это явление называется эффектом Поккельса. Т.е. $n(E)=n_0+aE$, причем $aE\ll n_0$. Значение постоянной $a=-\cfrac{1}{2}rn_0^3$, где $r$~— коэффициент Поккельса. Для прикладных исследований удобно использовать следующую величину: $\eta=\cfrac{1}{n^2}$. <img_3>"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,20"}, "text": "Пусть амплитуды обеих волн (обыкновенной и необыкновенной), одинаковы и равны $E$. Найдите соотношение между напряженностью электрического поля необыкновенной волны $E_e$, напряженностю электрического поля обыкновенной волны $E_o$ и фазовым сдвигом $\delta$. Проанализируйте случаи, когда сдвиг фазы $\delta$ принимает значения $\delta = 2\pi k, \delta=(2k+1)\pi, \delta=k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in Z.$ Для каждого из случаев укажите поляризацию света, выходящего из кристалла."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите приближенную функцию зависимости $\eta(E)$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Вариант ячейки Поккельса показан на рисунке. Показатель преломления вещества в отсутствие поля $n_0$, размеры ячейки $L$ и $d$. длина волны используемого излучения $\lambda$, и коэффициент Поккельса $r$. Какое напряжение нужно приложить, чтобы ячейка вносила разность фаз $\delta\phi=\phi-\phi_0=\pi$, где $\phi_0$~— фазовый сдвиг при отсутствии поля, $\phi$~— в присутствии поля."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть для некоторого анизотропного вещества два показателя преломления зависят от напряженности поля следующим образом $n_e=n_{e0}-\cfrac{1}{2}r_en_{e0}^3E$ и $n_o=n_{o0}-\cfrac{1}{2}r_on_{o0}^3E$. Кристалл был вырезан так, что в отсутствии поля на выходе получался линейно-поляризованный свет. Какое минимальное напряжение нужно приложить, чтобы получить на выходе линейно-поляризованный свет, поляризация которого повернута на $90^\circ$ относительно той, которая получается на выходе при отсутствии напряжения? Если зависимость показателя преломления от напряженности поля носит квадратичный характер, то этот эффект называется эффектом Керра. И для одноосного кристалла выполняется следующее соотношение между показателями преломления обыкновенной и необыкновенной волной: $n_e-n_o=\lambda BE^2$, где $B$~— постоянная Керра."}, {"text": "Часть C. Интерференция немонохроматического излучения (5 баллов) Интерференционная двулучевая схема освещается красной линией кадмия $\lambda_0=6438,8~\text{А}$, спектральной ширины $\lambda=1.2\cdot 10^-3~\text{А}$. В частотном спектре интенсивность излучения представляет собой прямоугольник. Пусть $L$~— разность оптических путей между двумя волнами, которые интерферируют в некоторой точке наблюдения $M$, а $p\equiv L/\lambda_0$~— порядок интерференции в этой точке. <img_5>"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "2,00"}, "text": "На рисунке изображена кювета с нитробензолом (который проявляет эффект Керра), в которой расположен конденсатор. С обеих сторон к кювете примыкают два идеальных поляроида, разрешенные направления которых параллельны и направлены под углом $\alpha=45^\circ$ к направлению поля в конденсаторе. Пластины конденсатора имеют длину $l=5~\text{см}$, расстояние между ними $d=5~\text{мм}$. К конденсатору приложено напряжение $U=2910~\text{В}$. Определите интенсивность $I$ света на выходе второго поляроида, если на первый поляроид падает свет, поляризованный по кругу с интенсивностью $I_0$. Постоянная Керра для нитробензонла равна $B=2.2\cdot 10^{-12}~\text{м/В}^2$. <img_4>"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите интенсивность в точке $M$ в виде $I(M)=2I_0[1+V(p)\cos (2\pi p)]$. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \Delta\lambda$ и $p$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите длину когерентности $\Delta l$, которая определяется как минимальная оптическая разность хода, при которой смазывается интерференционная картина. Найдите связь между времем когерентности $\Delta t=\Delta l/c$ и шириной спектра $\Delta\nu$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,60"}, "text": "Определить наибольшее значение порядка интерференции $p$, для которого видность $V(p)$ наблюдаемых полос выше $90\%$. Эксперимент повторяется. Теперь интерференционная схема освещается дуплетом натрия ($\lambda_1=5890~\text{А}, \lambda_2=5896~\text{А}, \delta\lambda=0.11~\text{А}$). Обозначим $\lambda_0$~— среднее арифметческое длин волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$. <img_6>"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите интенсивность в точке наблюдения интерференционной картины $M$ в виде аналогичном пункту C1. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \delta\lambda, \Delta\lambda$ и $p$."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,40"}, "text": "Для какого порядка интерференции $p_0$ в точке $M$ будет наибольшая интенсивность?"}, {"balls": {"number": "C6", "exponent": "0,70"}, "text": "Для какого порядка интерференции $p_1$ в точке $M$ будет первое уменьшение интенсивности света до значения, равного половине наибольшей интесивности?"}, {"balls": {"number": "C7", "exponent": "0,70"}, "text": "Начиная с какого порядка интерференции $p_2$, контраст интерференционных полос начинает снова увеличиваться после того, как он всегда уменьшался?"}]}
answer: [{"condition": "Линейно поляризованный свет интенсивностью $I_0$ падает на анализатор $A$, ось поляризации которого повернута на угол $\alpha$ по отношению к оси поляризатором $P$. Определите интенсивность света после прохождения через анализатор. Отражением и поглощением пренебречь. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: При проецировании напряженности $I_0$ на ось, напряженность $E\sim\sqrt{I_0}$ имеет проекцию $E\cdot\cos{\alpha}$, из чего следует интенсивность на выходе, равная $I\sim(E\cos\alpha)^2$, $I=I_0\cos^2{\alpha}$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Поляризатор и анализатор расположены перпендикулярно друг другу, и свет не проходит через анализатор. Если между двумя элементами поместить третий поляризатор $P'$, свет начинает проходить через анализатор. Найдите интенсивность $I$ прошедшего света через интенсивность падающего света $I_0$ и угол $\alpha$, который составляет ось поляризатора $P'$ с осью поляризатора $P$. Найдите максимальную интенсивность прошедшего света $I'$ и угол $\alpha'$, при котором она достигается. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Дважды применив результат из пункта A1, получим выходную интенсивность, равную $I=I_0\cos^2(\alpha)\cos^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{I_0}{4}\sin^2(2\alpha)$. Максимум достигается при $$\alpha = \frac{\pi}{4}, I_{max} = \frac{1}{4} I_0.$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Рассмотрим кристалл, грани которого параллельны оси кристалла. Линейно-поляризованный свет нормально так падает на поверхность кристалла. Два луча будут распространяться в одном направлении, но с разными скоростями. Они линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. На выходе из кристалла между двумя лучами появляется фазовый сдвиг. Выразите этот фазовый сдвиг $\delta$ через показатели преломления $n_o$ и $n_e$, а также длину волны излучения $\lambda$ и толщину кристалла $d$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Оптическая разность хода равна $(n_e - n_0) \cdot d$. Как следствие, сдвиг фазы равен $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}d(n_e-n_0)$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Пусть амплитуды обеих волн (обыкновенной и необыкновенной), одинаковы и равны $E$. Найдите соотношение между напряженностью электрического поля необыкновенной волны $E_e$, напряженностю электрического поля обыкновенной волны $E_o$ и фазовым сдвигом $\delta$. Проанализируйте случаи, когда сдвиг фазы $\delta$ принимает значения $\delta = 2\pi k, \delta=(2k+1)\pi, \delta=k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in Z.$ Для каждого из случаев укажите поляризацию света, выходящего из кристалла. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $E_e = E \cdot \sin(\omega t), E_o = E \cdot \sin(\omega t + \delta)$. Верно, что $$E_o = E \sin(\omega t)\cos(\delta) + E \sin(\delta)\cos(\omega t)$$ $$(E_o - E \sin(\omega t)\cos(\delta))^2 = (E \sin(\delta)\cos(\omega t))^2$$. Если расскрыть квадрат, мы получим финальное соотношение $E_0^2 + E_e^2 - 2 E_0 E_e \cos(\delta) = E^2\sin^2(\delta)$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Найдите приближенную функцию зависимости $\eta(E)$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta = \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n_0^2(1+aE)^2} = \frac{1}{n_0^2}(1 - 2 a E) = \frac{1}{n_0^2} (1+ r E n_0^2) = \frac{1}{n_0^2} + r E.$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Вариант ячейки Поккельса показан на рисунке. Показатель преломления вещества в отсутствие поля $n_0$, размеры ячейки $L$ и $d$. длина волны используемого излучения $\lambda$, и коэффициент Поккельса $r$. Какое напряжение нужно приложить, чтобы ячейка вносила разность фаз $\delta\phi=\phi-\phi_0=\pi$, где $\phi_0$~— фазовый сдвиг при отсутствии поля, $\phi$~— в присутствии поля. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для разности фаз в $\pi$, необходимо получить такое поле $E$, что $$\alpha E L = \frac{\lambda}{2}.$$ Значит, $$U=Ed=\frac{\lambda d}{2 \alpha L} = \frac{\lambda d}{r n_0^3 L}.$$ (Знак в этой части неважен, поскольку на рисунке не указано положительное направление поля, и, как следствие, мы не можем его узнать)."]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть для некоторого анизотропного вещества два показателя преломления зависят от напряженности поля следующим образом $n_e=n_{e0}-\cfrac{1}{2}r_en_{e0}^3E$ и $n_o=n_{o0}-\cfrac{1}{2}r_on_{o0}^3E$. Кристалл был вырезан так, что в отсутствии поля на выходе получался линейно-поляризованный свет. Какое минимальное напряжение нужно приложить, чтобы получить на выходе линейно-поляризованный свет, поляризация которого повернута на $90^\circ$ относительно той, которая получается на выходе при отсутствии напряжения? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для поворота плоскости поляризации на $90^\circ$, нужна разность фаз в $\pi$. Для того, чтобы она была достигнута, нужно такое напряжение $U$, что $\frac{1}{2}(r_en_{e0}^2 - r_on_{o0}^3)\frac{U}{d}L = \frac{\lambda}{2}$. $U = \frac{\lambda d}{(r_en_{e0}^2 - r_on_{o0}^3)L}$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "На рисунке изображена кювета с нитробензолом (который проявляет эффект Керра), в которой расположен конденсатор. С обеих сторон к кювете примыкают два идеальных поляроида, разрешенные направления которых параллельны и направлены под углом $\alpha=45^\circ$ к направлению поля в конденсаторе. Пластины конденсатора имеют длину $l=5~\text{см}$, расстояние между ними $d=5~\text{мм}$. К конденсатору приложено напряжение $U=2910~\text{В}$. Определите интенсивность $I$ света на выходе второго поляроида, если на первый поляроид падает свет, поляризованный по кругу с интенсивностью $I_0$. Постоянная Керра для нитробензонла равна $B=2.2\cdot 10^{-12}~\text{м/В}^2$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Если на выходе из первого поляризатора есть равные компоненты поляризации $$(E\sin(\omega t), E\sin(\omega t))$$ , то на выходе кюветы будет $$(E\sin(\omega t + \varphi), E\sin(\omega t + \varphi + \delta)).$$ После прохождения второго поляризатора свет пойдет с напряженностью $$\sqrt{2}E_{out} = E\sin(\omega t + \varphi) + E\sin(\omega t + \varphi + \delta) = E \sin(\omega t + \varphi) \cdot (1 + \cos{\delta}) + E \cos(\omega t + \varphi) \sin{\delta}.$$ Квадрат амплитуды колебаний $E_{out}$ равен $$\frac{1}{2}E^2((1 + \cos{\delta})^2 + \sin^2{\delta}) = E^2(1 + \cos{\delta}).$$ Из этого $$I = \frac{1}{4} I_0 (1 + \cos{\delta}) = \frac{1}{4} I_0 (1 + \cos(2 \pi B E^2 L)), E = \frac{U}{d}.$$ $$I \approx 0.4931 I_0.$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Выразите интенсивность в точке $M$ в виде $I(M)=2I_0[1+V(p)\cos (2\pi p)]$. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \Delta\lambda$ и $p$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: При инетференции двух монохроматических лучей в точке с порядком интерференции $p$, получается интенсивность $\delta I = 2 \delta I_0 (1 + \cos(2 \pi p))$. Если взять интеграл $$I = \int_{k-\Delta k / 2} ^ {k+\Delta k / 2} 2 I_0 (1 + \cos(2 \pi p)) \frac{d k}{\Delta k},$$ то получится выражение $$I = 2 \delta I_0 (1 + sinc(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0})\cos(2 \pi p)).$$ $$V(p) = sinc(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0})$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите длину когерентности $\Delta l$, которая определяется как минимальная оптическая разность хода, при которой смазывается интерференционная картина. Найдите связь между времем когерентности $\Delta t=\Delta l/c$ и шириной спектра $\Delta\nu$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Интеренференционная картина полностью смазывается, когда $V(p) = 0$. Первый раз такое происходит при $$p \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = 1.$$ Как следствие $$\Delta l = \frac{\lambda_0^2}{\Delta \lambda} = 3.45\,м.$$ $$\Delta \nu = \nu \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{c\,\Delta \lambda}{\lambda_0^2}.$$ $$\Delta \nu \cdot \Delta t = 1.$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Определить наибольшее значение порядка интерференции $p$, для которого видность $V(p)$ наблюдаемых полос выше $90\%$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Численно решив уравнение $\sin{x} = 0.9\,x$ на калькуляторе, мы получим $x \approx 0.78668$. $$p = \frac{\lambda_0}{\pi \Delta \lambda} x = 1.34 \cdot 10^6.$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Выразите интенсивность в точке наблюдения интерференционной картины $M$ в виде аналогичном пункту C1. Найдите функцию видности $V(p)$ через $\lambda_0, \delta\lambda, \Delta\lambda$ и $p$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Если сложить $$I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p (1 - \frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}))) + I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p (1 + \frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}))),$$ то получится $$2 I_0\,(1 + sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda})\cos(2 \pi p)).$$ То есть $$V(p) = sinc(\pi p \frac{\delta \lambda}{\lambda})\cos(\pi p \frac{\Delta \lambda}{\lambda})$$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Для какого порядка интерференции $p_0$ в точке $M$ будет наибольшая интенсивность? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Из формулы очевидно, что максимальная интенсивность достигается в $p_0 = 0$."]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Для какого порядка интерференции $p_1$ в точке $M$ будет первое уменьшение интенсивности света до значения, равного половине наибольшей интесивности? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: В целых $p$ первое значение интенсивности меньше $I_0 / 2$ будет в точке $$p_1=\frac{\lambda_0}{2\Delta\lambda} \approx 491$$ где $V(p)$ впервые обращается в $0$."]}, "number_part": "C6", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Начиная с какого порядка интерференции $p_2$, контраст интерференционных полос начинает снова увеличиваться после того, как он всегда уменьшался? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Контраст максимумов относительно засветки уменьшается при уменьшении $sinc$ в $V(p)$. Поэтому заново он начнет увеличиваться в момент, когда $sinc$ станет равен нулю — то есть верно, что $$\pi p_2 \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \pi,$$ $$p_2 = \frac{\lambda_0}{\delta \lambda} \approx 53\,573.$$"]}, "number_part": "C7", "exponent_part": "0,70"}]