text: {"text": [{"text": "В схеме, изображенной на рисунке, ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ вначале разомкнуты. <img_0> Ключ $K_{1}$ замыкают, и после установления стационарного режима замыкают ключ $K_{2}$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой заряд протечет через резистор $R$ после замыкания ключа $K_{2}$? Величины $R$, $\mathscr{E}$, $r$, $L_{1}$, $L_{2}$ известны. Сопротивлением катушек индуктивности пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Какой заряд протечет через резистор $R$ после замыкания ключа $K_{2}$? ", "solution": {"text": "В стационарном режиме сила тока через катушку индуктивности $L_{1}$ равна $$ I_{10}=\mathscr{E} /(R+r). $$ После замыкания ключа $K_{2}$ сила тока $I_{2}$ через катушку индуктивности $L_{2}$ возрастает от нуля до $I_{20}=\mathscr{E} / r$, а сила тока $I_{1}$ через катушку $L_{1}$ убывает от $I_{10}$ до нуля. При этом за любой малый интервал времени $\Delta t$ $$ I_{1} R+L_{1} \Delta I_{1} / \Delta t=L_{2} \Delta I_{2} / \Delta t. $$ Так как $I_{1} \Delta t=\Delta q$ — заряд, протекающий за время $\Delta t$ через сопротивление $R$, то $$ R \Delta q+L_{1} \Delta I_{1}=L_{2} \Delta I_{2}. $$ За все время после замыкания ключа $K_{2}$ через резистор протек суммарный заряд $\sum \Delta q=q$. Кроме того $$ \sum \Delta I_{1}=-I_{10}, \quad \sum \Delta I_{2}=I_{20}. $$ Поэтому окончательно $$ q=\frac{\mathscr{E}}{R} \left(\frac{L_{1}}{R+r}+\frac{L_{2}}{r}\right). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ q=\frac{\mathscr{E}}{R} \left(\frac{L_{1}}{R+r}+\frac{L_{2}}{r}\right). $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]