text: {"text": [{"text": "Как известно, ветра и океанические течения служат известными примерами источников возобновляемой энергии. Если в первом случае ветроэнергетика продвинулась уже достаточно далеко, то с использованием океанических течений как источников энергии человечеству ещё придётся разобраться на практике. К примеру, в Японии, которую окружают крупные течения, такие как течение Куросио, разработки в области морской энергетики только начали своё развитие. В этой задаче мы попробуем выяснить, какое максимальное количество энергии можно получить с помощью использования течений. Воду всюду будем считать идеальной жидкостью, а влиянием гравитации пренебрежём."}, {"text": "Часть A. Основы (1.5 балла) В этой части задачи мы рассмотрим стационарное течение воды в расширяющейся трубе, показанной на рисунке 1. Труба имеет круговое поперечное сечение площадью $S_1$ при $x < x_1$ и $S_2$ при $x > x_2$. Всюду, кроме области $x_1 < x < x_2$, линии тока направлены параллельно оси $x$. Скорость течения при $x < x_1$ равна $v_1$, а при $x > x_2$ — $v_2$. Массовый расход воды в трубе обозначим $J$. Так как массовый расход — это постоянная величина, то при движении по трубе удельные импульс и кинетическая энергия воды будут изменяться. <img_0> Пусть внешняя сила $F$ действует на жидкость горизонтально вправо, и жидкость переходит из $AB$ в $A'B'$ за время $\Delta t$. Изменение импульса воды за это время обозначим $\Delta p$, изменение её кинетической энергии — $\Delta K$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите $\Delta p$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите внешнюю силу $F$, действующую на жидкость, через $\Delta p$ и $\Delta t$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $\Delta K$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$. Пусть теперь на поток справа действует давление $P_0$, а слева — давление $P_A$ такое, что скорость воды при $x < x_1$ равна $v_1$. Рассмотрим поведение воды в усечённом конусе $x_1 < x < x_2$. На рисунке 2 сила, действующая на воду со стороны боковой поверхности, обозначена как $\vec F_3$. Будучи усреднённой по всей боковой поверхности, она превращается в горизонтально направленную силу, которую мы обозначим $F_\mathrm s$. Вместе с ней силы давления $\vec F_1$ и $\vec F_2$ являются причиной изменения удельного импульса воды. <img_1>"}, {"text": "Часть B. Закон Беца (4.5 балла) В этой части задачи мы исследуем возможности выработки электроэнергии путём установки турбины в морском течении, невозмущённая скорость которого равна $v_1$. В области $x_1 < x < x_2$ (см. рис. 3) течение является турбулентным и передаёт энергию турбине, возвращаясь к ламинарному со скоростью $v_2\ (v_2 < v_1)$. Течение можно считать стационарным, а плотность воды $\rho$ — всюду постоянной. Обозначим площадь поперечного сечения турбины как $S_t$, а массовый расход проходящей через неё воды — как $J_t$. Ясно, что\[J_t=\rho v_tS_t,\]где $v_t$ — средняя скорость воды при прохождении через турбину. Площадь поперечного сечения входящего в турбину потока обозначим как $S_1$, выходящего — как $S_2$. <img_2> Как и в части $\bf A$, жидкость переходит из $AB$ в $A'B'$ за время $\Delta t$, а изменения импульса и кинетической энергии воды за это время равны соответственно $\Delta p$ и $\Delta K$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $F_\mathrm s$ через $P_0$, $P_A$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta p$, $\Delta t$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $\Delta p$ через $J_t$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $\Delta K$ через $J_t$, $v_1$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta t$. На основе этого результата объясните, почему площадь поперечного сечения потока после прохождения турбины увеличивается, как показано на рисунке 3."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите силу $F_t$, с которой турбина действует на проходящую через неё воду, через $v_1$, $v_2$ и $J_t$. С одной стороны, мощность $\mathcal P_t$, вырабатываемую турбиной, можно найти как произведение силы $F_t$ на среднюю скорость воды $v_t$ при прохождении турбины, а с другой стороны, как изменение кинетической энергии воды, проходящей через турбину в единицу времени, взятое в противоположным знаком, $-\frac{\Delta K}{\Delta t}$. Приравняв эти два выражения, можно получить уравнение, связывающее среднюю скорость воды $v_t$ с $v_1$ и $v_2$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите $v_t$. Обозначим кинетическую энергию, проходящую в единицу времени через поперечное сечение площадью $S_t$ в отсутствие турбины, как $\mathcal P_0$. Тогда для определения эффективности турбины естественно ввести КПД по формуле:\[\eta=\frac{\mathcal P_t}{\mathcal P_0}.\]"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя результат пункта $\bf B4$, получите выражение для $\mathcal P_t$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $\mathcal P_0$ через $\rho$, $v_1$ и $S_t$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите КПД турбины $\eta$ через $r=\frac{v_2}{v_1}$. Нарисуйте график $\eta(r)$ в диапазоне $r\in[0,1]$."}, {"text": "Часть C. Течение Куросио (1.0 балл) Самое большое течение у берегов Японии — это течение Куросио, которое начинается от южной части острова Сикоку и заканчивается у южной части полуострова Кии. Ширина течения Куросио составляет $100\ км$, глубина — $400\ м$, а скорость — в среднем $3\ \cfrac{уз.}ч\ (1\ узел=1.852\ км)$."}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите максимальный КПД турбины $\eta_\max$ и значение $r$, при котором $\eta_\max$ достигается. Полученный в этой части закон $\eta(r)$ называется $\itзаконом$ $\itБеца$, а мощность $\eta_\max\mathcal P_0$ является максимальной мощностью, которую можно получить с помощью турбины от потока жидкости или газа."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Оцените, какая кинетическая энергия $\mathcal P_0$ проходит через поперечное сечение течения в единицу времени. Предполагается, что около $\cfrac1{100}$ общей площади поперечного сечения Куросио можно использовать для выработки электроэнергии."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Оцените верхний предел возможной мощности $\mathcal P_t$ электроэнергии, вырабатываемой за счёт течения."}]}
answer: [{"condition": "Выразите $\Delta p$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$. ", "solution": {"text": "Изменение импульса воды за время $\Delta t$ равно разности импульса $Jv_2\Delta t$ в области $BB'$ и импульса $Jv_1\Delta t$ в области $AA'$. $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta p=J(v_2-v_1)\Delta t\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите внешнюю силу $F$, действующую на жидкость, через $\Delta p$ и $\Delta t$. ", "solution": {"text": "Поскольку изменение импульса равно $\Delta p=F\Delta t$, $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F=\frac{\Delta p}{\Delta t}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите $\Delta K$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$. ", "solution": {"text": "Как и в A1, изменение кинетической энергии воды за время $\Delta t$ равно разности кинетической энергии $Jv_2^2\Delta t/2$ в области $BB'$ и кинетической энергии $Jv_1^2\Delta t/2$ в области $AA'$. $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta K=\frac12J\left(v_2^2-v_1^2\right)\Delta t\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $F_\mathrm s$ через $P_0$, $P_A$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta p$, $\Delta t$. ", "solution": {"text": "Внешняя сила, действующая на воды, равна $F=(P_AS_1-P_0S_2)+F_\mathrm s$ (направление направо выбрано как положительное). Поскольку внешняя сила была найдена в A2, $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F_\mathrm s=-(P_AS_1-P_0S_2)+\frac{\Delta p}{\Delta t}\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $\Delta p$ через $J_t$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$. ", "solution": {"text": "Аналогично A1, $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta p=J_t(v_2-v_1)\Delta t\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $\Delta K$ через $J_t$, $v_1$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta t$. На основе этого результата объясните, почему площадь поперечного сечения потока после прохождения турбины увеличивается, как показано на рисунке 3. ", "solution": {"text": "Из уравнения неразрывности $v_1S_1=v_2S_2$. Далее, аналогично A2, получаем:\[\Delta K=\frac{1}{2} J_{\mathrm{t}}\left(v_2^2-v_1^2\right) \Delta t=\frac{1}{2} J_{\mathrm{t}}\left[\left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2-1\right] v_1^2 \Delta t.\]Поскольку в результате передачи кинетической энергии турбине должно быть $\Delta K < 0$, имеем $S_1 < S_2$. Следовательно, $v_1 > v_2$, — площадь поперечного сечения трубы увеличивается, а скорость установившегося течения уменьшается."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta K=\frac12J_t\left[\left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2-1\right]v_1^2\Delta t\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите силу $F_t$, с которой турбина действует на проходящую через неё воду, через $v_1$, $v_2$ и $J_t$. ", "solution": {"text": "С одной стороны, $\Delta=F_t\Delta t$. С другой стороны, $\Delta p=J_t(v_2-v_1)\Delta t$. $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F_t=J_t(v_2-v_1)\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите $v_t$. ", "solution": {"text": "Поскольку мощность, передаваемая жидкости, равна $\mathcal P=F_tv_t$, а $F_t=J_t(v_2-v_1)$, то\[\mathcal P=J_t(v_2-v_1)v_t.\]С другой стороны,\[\mathcal P=\cfrac{\Delta K}{\Delta t}=\frac12J_t(v_2^2-v_1^2).~\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[v_t=\frac{v_1+v_2}2\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя результат пункта $\bf B4$, получите выражение для $\mathcal P_t$. ", "solution": {"text": "Мощность, передаваемая турбине, равна $\mathcal P_t=-\mathcal P$. Учитывая что $J_t=\rho v_tS_t$, имеем:\[\mathcal{P}_{t}=\frac{1}{2} J_{t}\left(v_1^2-v_2^2\right)=\frac{1}{2}\left(\rho v_{t} S_{t}\right)\left(v_1^2-v_2^2\right)=\frac{1}{4} \rho S_{t}\left(v_1+v_2\right)\left(v_1^2-v_2^2\right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal P_t=\frac14\rho S_t(v_1+v_2)\left(v_1^2-v_2^2\right)\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $\mathcal P_0$ через $\rho$, $v_1$ и $S_t$. ", "solution": {"text": "В отсутствие турбины масса воды, проходящая через поперечное сечение $S_t$, равна $\rho v_1S_t$, $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal P_0=\frac12\rho v_1^3S_t\]"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите КПД турбины $\eta$ через $r=\frac{v_2}{v_1}$. Нарисуйте график $\eta(r)$ в диапазоне $r\in[0,1]$. ", "solution": {"text": "\[\eta(r)=\cfrac{\mathcal P_t}{\mathcal P_0}=\cfrac12(1+r)(1-r^2),\quad 0 < r < 1.\]"}, "answer": {"answers": ["<img_3>"]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите максимальный КПД турбины $\eta_\max$ и значение $r$, при котором $\eta_\max$ достигается. ", "solution": {"text": "Для поиска экстремума КПД решим уравнение:\[0=\cfrac{\mathrm d\eta}{\mathrm dr}=\frac12(1-3r)(1+r).\]Поскольку $r > 0$, то $r=\cfrac13$. Значение КПД в этой точке $\eta_\mathrm{max}=\cfrac{16}{27}\approx0.593.$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[r=\frac13,\quad\eta_\max=\frac{16}{27}\]"]}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Оцените, какая кинетическая энергия $\mathcal P_0$ проходит через поперечное сечение течения в единицу времени. ", "solution": {"text": "В единицу времени через поперечное сечение течения проходит кинетическая энергия $\mathcal P_0=\cfrac12\rho v_1^3S$. Здесь площадь $S=100\cdot10^3\cdot400~м^2=4\cdot10^7~м^2$, плотность $\rho=10^3~кг/м^3$, скорость $v_1=3\cdot1852~м/ч=1.54~м/с$. $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal P_0=7.3\cdot10^{10}~Вт\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Оцените верхний предел возможной мощности $\mathcal P_t$ электроэнергии, вырабатываемой за счёт течения. ", "solution": {"text": "Предел извлекаемой мощности соответствует КПД $\eta_\mathrm{max}$. Таким образом, $\mathcal P_t=\cfrac1{100}\cdot0.593\cdot\mathcal P_0$. $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal P_t=4.3\cdot10^8~Вт\]"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}]