text: {"text": [{"text": "На гладком горизонтальном столе лежит груз массы $m$, к которому прикреплены две одинаковые пружины жесткости $k$ каждая (см. рисунок). <img_0> Левый конец пружины $I$ прикреплён к стенке, в момент времени $t=0$ правый конец пружины $II$ начинают медленно перемещать с постоянной скоростью $u$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Через какое время груз впервые приобретёт скорость $u$ ?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии от первоначального положения будет он в этот момент находиться? Указание. Перейдите в систему отсчета, движущуюся со скоростью $u / 2$."}]}
answer: [{"condition": "Через какое время груз впервые приобретёт скорость $u$ ? ", "solution": {"text": "Введем обозначения: $x$ - смещение груза из первоначального положения, $y=u t$ - смещение правого конца пружины $II$ (см. рисунок). <img_1> На груз действуют упругие силы: $$ F_{1}=k x, \quad F_{2}=(y-x) k=(u t-x) k. $$ Результирующая сила: $$ F=F_{2}-F_{1}=k u t-k x-k x=k(u t-2 x) . $$ Второй закон Ньютона (уравнение движения груза) запишется в виде $$ m a_{x}=k(u t-2 x) . $$ Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью $u / 2$ относительно «неподвижной» системы. Обе системы инерциальные, поэтому ускорения груза в обеих системах одинаковы: $a_{x}=a_{z}$. В момент времени $t$ начало координат новой системы находится в точке $x^{\prime}=t \cdot u / 2$. Координата груза в этот момент времени равна: $z=-\left(x^{\prime}-x\right)=-x^{\prime}+x$. Второй закон Ньютона в «движущейся» системе отсчета запишется в виде $$ m a_{z}=k(u t-2 z-u t)=-2 k z . $$ Это уравнение свободных колебаний груза с угловой частотой $$ \omega_{0}=\sqrt{\frac{2 k}{m}}. $$ В момент времени $t=0$ груз находится в начале координат «движущейся» системы $z_{0}=0$ и имеет скорость $v_{0}=-u / 2$. Через полпериода колебаний $$ \Delta t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega_{0}}=\pi \sqrt{\frac{m}{2 k}} $$ скорость груза в этой системе будет равна $+u / 2$, и он снова будет находиться в точке $z=0$. Следовательно, в «неподвижной» системе скорость груза в этот момент равна $u$, а его координата $$ x=\frac{u}{2} \Delta t=\frac{\pi}{2} u \sqrt{\frac{m}{2 k}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta t=\pi \sqrt{\frac{m}{2 k}} $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На каком расстоянии от первоначального положения будет он в этот момент находиться? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x=\frac{\pi}{2} u \sqrt{\frac{m}{2 k}} $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]