text: {"text": [{"text": "Индуктивность кольца радиуса $R$, сделанного из тонкой проволоки, равна $L$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры в 2 раза больше. Если в плоскости кольца радиуса $R$ поместить сверхпроводящее колечко с вдвое меньшими геометрическими размерами так, чтобы плоскости колец и их центры совпадали (рис. 3), то индуктивность кольца радиуса $R$ оказывается равной $L_1$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "9,00"}, "text": "Какой станет индуктивность кольца $L_2$ радиуса $R$ при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца со вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают."}]}
answer: [{"condition": "Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры в 2 раза больше. ", "solution": {"text": "Прежде всего заметим, что индуктивность кольца пропорциональна его радиусу. В самом деле, величина магнитной индукции в каждой точке пространства уменьшается обратно пропорционально радиусу кольца, а площадь увеличивается пропорционально квадрату радиуса. При заданной величине тока в кольце магнитный поток через плоскость кольца, таким образом, прямо пропорционален радиусу. Поэтому индуктивность кольца радиуса $\frac{R}{2}$ равна $\frac{L}{2}$ , а кольца радиуса 2$R$ — $2L$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$2L$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Какой станет индуктивность кольца $L_2$ радиуса $R$ при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца со вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают. ", "solution": {"text": "Магнитный поток через внутреннюю область нашего кольца (область А) в виде концентрического круга радиуса $\frac{R}{2}$ составляет некоторую часть $\alpha $ от полного потока через плоскость кольца \[\Phi_A=\alpha LI\] Тогда магнитный поток через область с внутренним радиусом $\frac{R}{2}$ и внешним радиусом $R$ (область В) внутри нашего кольца \[\Phi_B=(1-\alpha )LI\ \] Введем также обозначение для потока $\Phi_{\textrm{С}}$ через область С с внутренним радиусом $R$ и внешним радиусом $2R$, охватывающую снаружи наше кольцо \[\Phi_C=\beta LI\] В первом случае (сверхпроводящее колечко внутри) магнитный поток через область А, ограниченную сверхпроводящим контуром равен нулю $$\Phi_{A1}=\alpha LI-\frac{L}{2}I_1=0$$ Здесь $I_1$ — ток, возникающий в сверхпроводящем колечке. Полный поток через плоскость кольца радиуса $R$ при этом $$\Phi_1=L_1I=\left(1-\alpha \right)LI+\beta \frac{L}{2}I_1$$ Во втором случае наше кольцо с током $I$ охвачено сверхпроводящим кольцом радиуса $2R$ с индуктивностью $2L$. Во внешнем кольце возникает такой ток $I_2$, при котором полный поток магнитного поля через его плоскость равнялся нулю $$LI-\beta LI-2LI_2=0$$ Полный поток через плоскость кольца радиуса $R$ при этом $$\Phi_2=L_2I=LI-\alpha \cdot 2LI_2$$ Из предыдущих уравнений получаем \[L_1I=\left(1-\alpha \right)LI+\alpha \beta LI=\left(1-\alpha +\alpha \beta \right)LI,\] И далее \[L_2I=LI-\alpha \cdot \left(1-\beta \right)LI=\left(1-\alpha +\alpha \beta \right)LI\] Таким образом, $L_2=L_1$. Решение 2 (взаимная индуктивность) Соображение подобия относится и к взаимной индуктивности двух контуров — при увеличении всех геометрических размеров системы в 2 раза коэффициент взаимной индуктивности увеличивается в 2 раза. Таким образом, если коэффициент взаимной индуктивности колец радиусов $R$ и $R/2$ равен $L_{12}$, то для колец радиусов $2R$ и $R$ он будет равен $2L_{12}$. С их использованием уравнения первого варианта решения приобретают вид $$\Phi_{\textrm{А}1}=L_{12}I-\frac{L}{2}I_1=0$$ $$\Phi_1=L_1I=LI-L_{12}I_1$$ $$2L_{12}I-2LI_2=0$$ $$\Phi_2=L_2I=LI-2L_{12}I_2$$ Из них также следует \[L_1=L_2=L-\frac{2L^2_{12}}{L}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L_2=L_1$$  Решение 2 (взаимная индуктивность) Соображение подобия относится и к взаимной индуктивности двух контуров — при увеличении всех геометрических размеров системы в 2 раза коэффициент взаимной индуктивности увеличивается в 2 раза. Таким образом, если коэффициент взаимной индуктивности колец радиусов $R$ и $R/2$ равен $L_{12}$, то для колец радиусов $2R$ и $R$ он будет равен $2L_{12}$. С их использованием уравнения первого варианта решения приобретают вид $$\Phi_{\textrm{А}1}=L_{12}I-\frac{L}{2}I_1=0$$ $$\Phi_1=L_1I=LI-L_{12}I_1$$ $$2L_{12}I-2LI_2=0$$ $$\Phi_2=L_2I=LI-2L_{12}I_2$$ Из них также следует \[L_1=L_2=L-\frac{2L^2_{12}}{L}\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "9,00"}]