text: {"text": [{"text": "В сообщающиеся сосуды одинакового поперечного сечения налиты две несмешивающиеся жидкости с плотностями $\rho$ и $0{,}8\rho$, как показано на рисунке. Правый сосуд имеет шкалу с ценой деления $H$. В сосудах в состоянии равновесия находятся два одинаковых цилиндра, соединённые друг с другом лёгкой нерастяжимой тонкой нитью, пропущенной через два неподвижных гладких блока. Площадь поперечного сечения цилиндров много меньше площади поперечного сечения сосудов. Высота каждого цилиндра равна $H$. Правый цилиндр наполовину погружён в жидкость плотностью $0{,}8\rho$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Чему равна высота столба жидкости в левом сосуде?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какая часть объёма левого цилиндра погружена в жидкость? В левый сосуд доливают жидкость плотностью $\rho$ так, чтобы поверхность этой жидкости совпадала с верхним основанием левого цилиндра."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Определите в долях $H$ на сколько после этого сместится верхняя граница жидкости плотностью $0{,}8\rho$ в правом сосуде? Жидкости из сосудов не выливаются. Атмосферным давлением можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Чему равна высота столба жидкости в левом сосуде? ", "solution": {"text": "Рассмотрим давление $P_1$ в левом и $P_2$ в правом сосудах на уровне дна. По закону сообщающихся сосудов эти давления должны быть равны: $P_1= P_2$.Пусть $X$ искомый уровень жидкости в левом сосуде, тогда рассмотрим гидростатические давления на уровне дна:$$\rho gX=\rho g4H+0{,}8\rho g5H.$$После всех сокращений и преобразований получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$X=8H.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какая часть объёма левого цилиндра погружена в жидкость? ", "solution": {"text": "Обозначим объём погруженной части левого цилиндра $V_1$. Запишем условие равновесия для этого тела:$$\rho gV_1=mg+T,$$где $mg$ — сила тяжести цилиндра, $T$ — сила натяжения нити.Теперь запишем условие равновесия для правого цилиндра, учитывая то, что на него действуют две силы Архимеда: со стороны жидкости плотностью $\rho$ и со стороны жидкости плотностью $0{,}8\rho$.$$\rho g\frac V2+0{,}8\rho g\frac V2=mg+T.$$У условий равновесия одинаковые правые части, значит, мы можем приравнять их левые части:$$\rho gV_1=\rho g\frac V2+0{,}8\rho g\frac V2.$$После всех преобразований получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_1/V=0{,}9.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите в долях $H$ на сколько после этого сместится верхняя граница жидкости плотностью $0{,}8\rho$ в правом сосуде? ", "solution": {"text": "Пусть верхняя граница жидкости в правом сосуде сместится вверх на $\Delta H$, значит и граница раздела жидкостей в правом сосуде тоже сместится вверх на $\Delta H$. Из условия равенства давлений в сообщающихся сосудах следует, что столб жидкости с плотностью $\rho$ в левом сосуде тоже должен увеличиться на $\Delta H$.Левый цилиндр в новом состоянии равновесия будет полностью погружён в жидкость. Значит, выталкивающая сила, действующая на него, возрастёт. Он переместится вверх на величину $b$. Можем записать формулу связи этих величин: $\Delta H= b + 0{,}1H$. Отсюда $b = \Delta H - 0{,}1H$.Из нерастяжимости нити следует, что правый цилиндр опустится на эту же величину. Глубина погружения правого цилиндра в жидкость плотностью $\rho$ увеличится на $(b + \Delta H)$, а в жидкость плотностью $0{,}8\rho$ уменьшится на ту же величину. Запишем новое уравнение равновесий для левого цилиндра:$$mg+T_1=\rho SgH.$$Для правого: $$mg+T_1=\rho Sg\left(\frac H2+\Delta H+b\right)+0{,}8\rho Sg\left(\frac H2-\Delta H-b\right).$$Так как левые части этих уравнений равны, то можем приравнять правые и после всех сокращений и преобразований получим: $H=0{,}9H+0{,}2H+0{,}2b.$Подставим выражение для $b$ и после всех преобразований получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta H/H=0{,}3.$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]