text: {"text": [{"text": "Однажды, разбирая архив лорда Кельвина, теоретик Баг обнаружил график (см. рисунок) и пояснительную записку, из которой следовало, что Кельвин изучал изохорные процессы. <img_0> От времени чернила выцвели, и координатные оси с графика исчезли, но осталась пометка о последней точке графика, соответствующей давлению $p=2000~мм рт. ст.$ и температуре $127^{\circ}С$. Баг понял, что на графике была приведена зависимость давления содержимого сосуда от температуры, и что в сосуде находилась смесь воздуха с неизвестным веществом, которое претерпевало фазовый переход жидкость - пар. Чтобы определить, что это было за вещество, Баг решил вычислить давление насыщенного пара этого вещества в точке, которую обозначил знаком вопроса."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Чему равны давление и температура в точке, помеченной знаком вопроса?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Предположите, какое это могло быть вещество?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите температуру содержимого сосуда в состоянии, когда $30 \%$ неизвестного вещества испарилось."}]}
answer: [{"condition": "Чему равны давление и температура в точке, помеченной знаком вопроса? ", "solution": {"text": "Пусть на графике одному большому делению по горизонтали соответствует температура $T_{0}$, а одному большому делению по вертикали — давление $p_{0}$. Значения давления и температуры в левом нижнем углу графика обозначим $p_{1}$ и $T_{1}$ соответственно. Тогда давление и температура в правом верхнем углу $$ p_{2}=p_{1}+8 p_{0}, \quad T_{2}=T_{1}+10 T_{0}. $$ Заметим, что на начальном и конечном участке график линеен. При низких температурах это связано с тем, что практически все неизвестное вещество находится в жидкой фазе, поэтому давление создается только воздухом. Будем считать, что объемом жидкости можно пренебречь. При температурах выше точки излома на графике, все неизвестное вещество полностью испарилось. Тогда давление смеси описывается формулой для давления идеального газа. Из графика находим вид линейных зависимостей в этих двух случаях. При низких температурах $$ p=p_{1}+\frac{1}{2} p_{0}+\frac{p_{0}}{4 T_{0}}\left(T-T_{1}\right), \quad (1) $$ а при высоких температурах $$ p=p_{1}+8 p_{0}+\frac{p_{0}}{2 T_{0}}\left(T-T_{1}-10 T_{0}\right)=p_{1}+3 p_{0}+\frac{p_{0}}{2 T_{0}}\left(T-T_{1}\right). \quad (2) $$ Согласно уравнению состояния идеального газа $$ p=\frac{\nu}{V} R T, $$ поэтому прямые $(1)$ и $(2)$ должны проходить через начало координат, то есть точку $p=0$, $T=0$. Из этого условия находим $$ p_{1}=2 p_{0}, \quad T_{1}=10 T_{0}. $$ Отсюда получаем $$ p_{2}=10 p_{0}=2000~мм~рт.~ст., \quad T_{2}=20 T_{0}=400~К, $$ а значит $$ p_{0}=200~мм~рт. ст., \quad T_{0}=20~К. $$ Таким образом, мы восстановили масштаб осей графика и положение начала координат и можем непосредственно определить давление и температуру в отмеченной точке: $$ p_{x}=1680~мм~рт. ст., \quad T_{x}=373~К=100{ }^{\circ} \mathrm{C}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ p_{x}=1680~мм~рт. ст., \quad T_{x}=373~К=100{ }^{\circ} \mathrm{C}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Предположите, какое это могло быть вещество? ", "solution": {"text": "Поскольку угловой коэффициент прямой $(2)$ в два раза больше, чем у прямой $(1)$, после испарения неизвестного вещества количество вещества в газовой фазе удвоилось. Поэтому количество неизвестного вещества равно количеству вещества воздуха, а значит при высоких температурах парциальные давления воздуха и неизвестного вещества равны друг другу. В частности, парциальное давление воздуха при температуре $T_{2}=100^{\circ} \mathrm{C}$ составляет $$ p_{возд}=\frac{p_{2}}{2}=1000~мм~рт. ст. $$ В отмеченной точке давление воздуха $$ p_{возд, x}=p_{возд} \cdot \frac{T_{x}}{T_{2}}, $$ а давление паров неизвестного вещества $$ p_{x 1}=p_{x}-p_{возд, x}=p_{x}-p_{возд} \cdot \frac{T_{x}}{T_{2}}=750~мм~рт. ст. $$ Это давление достаточно близко к давлению насыщенного водяного пара при соответствующей температуре, поэтому можно предположить, что неизвестное вещество — вода."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Можно предположить, что неизвестное вещество — вода."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите температуру содержимого сосуда в состоянии, когда $30 \%$ неизвестного вещества испарилось. ", "solution": {"text": "Если испарилось $30 \%$ неизвестного вещества, количество вещества в газообразном состоянии составляет $$ \nu=\nu_{1}+0.3 \nu_{1}=1.3 \nu_{1}, $$ где $\nu_{1}$ — количество воздуха в сосуде. Когда все давление в сосуде создается воздухом, уравнение состояния имеет вид $$ p=\frac{p_{0}}{4 T_{0}} T. $$ Оно получается из $(1)$ с учетом требования $p \sim T$. Соответственно после испарения $30 \%$ вещества уравнение переходит в $$ p=\frac{\nu}{\nu_{1}} \cdot \frac{p_{0}}{4 T_{0}} T=1.3 \cdot \frac{p_{0}}{4 T_{0}} T. $$ Точка пересечения этой прямой с графиком дает требуемую темпеpaтypy $$ T=345~К=72{ }^{\circ} \mathrm{C}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=72{ }^{\circ} \mathrm{C}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]