text: {"text": [{"text": "Электродвигатели — это устройства, преобразующие электрическую энергию в механическую, на сегодняшний день совершенно незаменимые в быту и в производстве. В этой задаче мы рассмотрим одну из их разновидностей — асинхронный двигатель. Принцип работы асинхронного двигателя упрощённо показан на рисунке $\it1$. Постоянный магнит вращается вокруг оси симметрии, и между его полюсами помещена прямоугольная катушка $ABCD$, которая может вращаться без трения вокруг той же оси. Создаваемое около катушки магнитное поле можно считать однородным и постоянным по величине. При протекании по рамке тока магнитное поле создаёт момент силы, стремящийся повернуть её вокруг оси вращения. Рис. 1 Обозначим ось вращения катушки как $z$, как показано на рисунке $\it2$. Магнитное поле имеет индукцию $B$, перпендикулярно оси $z$ и вращается вокруг неё с угловой скоростью $\omega_B$. Направление поля будем задавать углом $\theta_B$, который оно образует с осью $x$ (будем считать $\theta_B(t=0)=0$). Количество витков в катушке равно $n$, а её сопротивление равно $R$. $AB=a$, $BC=b$. В пунктах $\mathbf{A1}-\mathbf{A2}$ катушка считается зафиксированной перпендикулярно оси $x$. Рис. 2"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите ток $I(t)$, протекающий через катушку. В каком направлении течёт этот ток при $\theta=\cfrac\pi2$, $A\to B$ или $B\to A$?"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите суммарный момент $N(t)$ сил, действующих на рамку. В дальнейшем считайте, что катушка может вращаться вокруг оси $z$ без трения. Угол между нормалью к катушке и осью $x$ обозначим $\theta_C$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,80"}, "text": "Выразите угол $\theta$ между магнитным полем и нормалью к поверхности катушки через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$ и найдите индукционный ток $I(t)$, протекающий через неё."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите крутящий момент $N(t)$, создаваемый катушкой. Выразите ответ через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$. Хотя $N(t)$ и осциллирует, можно считать, что в реальном асинхронном двигателе катушка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_C\ ( > 0)$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента при постоянной угловой скорости $\omega_C$ вращения катушки. Теперь учтём $\itсамоиндукцию$ катушки: будем считать её индуктивность равной $L$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,90"}, "text": "Покажите, что для тока $I(t)$ можно получить следующее дифференциальное уравнение:\[\alpha\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}I(t)+I(t)=\beta\omega\sin\omega t.\]Выразите $\alpha$, $\beta$ и $\omega$ через $B$, $n$, $S$, $\omega_B$, $\omega_C$, $R$ и $L$."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,90"}, "text": "Решение уравнения, записанного в предыдущем пункте, можно представить в виде\[I(t)=f\sin\omega t+g\cos\omega t.\]Выразите $f$ и $g$ через $\alpha$, $\beta$ и $\omega$."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "0,60"}, "text": "Выразите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента с учётом самоиндукции через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$. Начертите график зависимости $\overline N$ от $\omega$. Рассмотрим теперь асинхронный двигатель с энергетической точки зрения."}, {"balls": {"number": "A9", "exponent": "0,60"}, "text": "Из закона сохранения энергии выведите уравнение, связывающее средний крутящий момент $\overline N$, угловые скорости поля $\omega_B$ и катушки $\omega_C$, среднеквадратичное значение $\overline{I^2}$ тока через катушку и её сопротивление $R$."}, {"balls": {"number": "A10", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите мощность $\mathcal P$ Джоулевых потерь в обмотке катушки. Выразите ответ через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$. В реальном асинхронном двигателе электромагниты остаются неподвижны, а вращающееся поле создаётся за счёт пропускания переменного тока с фазовыми сдвигами $\cfrac{2\pi}3$ относительно друг друга через три одинаковых катушки (рисунок $\it3$). Такой переменный ток называется трёхфазным и используется практически повсеместно. <img_0>"}]}
answer: [{"condition": "Найдите ток $I(t)$, протекающий через катушку. В каком направлении течёт этот ток при $\theta=\cfrac\pi2$, $A\to B$ или $B\to A$? ", "solution": {"text": "Магнитный поток через $n$ витков катушки равен $\Phi=nBS\cos\omega_Bt$. Так как индуктивность катушки не учитывается, ток в ней находится по формуле:\[I(t)=-\cfrac1R\cfrac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}=-\cfrac{nBS}R\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\cos\omega_Bt=\cfrac{\omega_BnBS}R\sin\omega_Bt\]Положительное направление тока — от $A$ к $B$, и при $\theta=\cfrac\pi2$ ток $I > 0$ $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[I(t)=\frac{\omega_BnBS}R\sin\omega_Bt,\quad A\to B\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите суммарный момент $N(t)$ сил, действующих на рамку. ", "solution": {"text": "Момент сил, действующий на ток $I(t)$ со стороны магнитного поля:\[N(t)=nSBI\sin\theta=\cfrac{\omega_B(nSB)^2}R\sin^2\omega_Bt\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[N(t)=\frac{\omega_B(nSB)^2}R\sin^2\omega_Bt\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Выразите угол $\theta$ между магнитным полем и нормалью к поверхности катушки через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$ и найдите индукционный ток $I(t)$, протекающий через неё. ", "solution": {"text": "Поскольку магнитное поле направлено под углом $\theta_B=\omega_Bt$, а нормаль к катушке — под углом $\theta_C$, то Формула для магнитного потока из предыдущих пунктов модифицируется $\Phi=nBS\cos(\omega_Bt-\theta_C)$. Теперь угол $\theta_C$ также является функцией времени. Таким образом,\[I =-\frac{1}{R} \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}=-\frac{n B S}{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \cos \left(\omega_B t-\theta_C\right) =-\frac{n B S}{R}\left[-\sin \left(\omega_B t-\theta_C\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\omega_B t-\theta_C\right)\right] =\left(\omega_B-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \theta_C\right) \frac{n B S}{R} \sin \left(\omega_B t-\theta_C\right) . \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\theta=\omega_Bt-\theta_C\]  Формула для магнитного потока из предыдущих пунктов модифицируется $\Phi=nBS\cos(\omega_Bt-\theta_C)$. Теперь угол $\theta_C$ также является функцией времени. Таким образом,\[I =-\frac{1}{R} \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}=-\frac{n B S}{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \cos \left(\omega_B t-\theta_C\right) =-\frac{n B S}{R}\left[-\sin \left(\omega_B t-\theta_C\right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\omega_B t-\theta_C\right)\right] =\left(\omega_B-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \theta_C\right) \frac{n B S}{R} \sin \left(\omega_B t-\theta_C\right) . \]", "Ответ: \[I(t)=\left(\omega_B-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\theta_C\right)\frac{nBS}R\sin(\omega_Bt-\theta_C)\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите крутящий момент $N(t)$, создаваемый катушкой. Выразите ответ через $\omega_B$, $t$ и $\theta_C$. ", "solution": {"text": "Момент сил\[N(t)= n S B I \sin \theta=\left(\omega_B-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \theta_C\right) \frac{(n S B)^2}{R} \sin ^2\left(\omega_B t-\theta_C\right)\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[N(t)=\left(\omega_B-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\theta_C\right)\frac{(nSB)^2}R\sin^2(\omega_Bt-\theta_C)\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента при постоянной угловой скорости $\omega_C$ вращения катушки. ", "solution": {"text": "Теперь угол поворота катушки $\theta_C(t)=\omega_Ct$, поэтому величина $\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\theta_C=\omega_C$. Момент сил, действующий на катушку:\[N(t)=nSBI(t)\sin(\omega_B-\omega_C)t=\cfrac{(\omega_B-\omega_C)(nSB)^2}{R}\sin^2(\omega_B-\omega_C)t\]Проводим усреднение:\[\overline N=\cfrac{(\omega_B-\omega_C)(nSB)^2}{2R}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline N=\frac{(\omega_B-\omega_C)(nSB)^2}{2R}\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Покажите, что для тока $I(t)$ можно получить следующее дифференциальное уравнение:\[\alpha\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}I(t)+I(t)=\beta\omega\sin\omega t.\]Выразите $\alpha$, $\beta$ и $\omega$ через $B$, $n$, $S$, $\omega_B$, $\omega_C$, $R$ и $L$. ", "solution": {"text": "Если учесть индуктивность катушки, поток через неё $nSB\cos(\omega_B-\omega_C)t+LI(t)$. Ток в катушке будет равен:\[I(t)=-\cfrac1R\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[nSB\cos(\omega_B-\omega_C)t+LI(t)\right]\]Отсюда получаем:\[\cfrac LR\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}I(t)+I(t)=\cfrac{(\omega_B-\omega_C)nSB}{R}\sin(\omega_B-\omega_C)t\]Таким образом,\[\alpha=\cfrac LR,\qquad\beta=\cfrac{nSB}R,\qquad\omega=\omega_B-\omega_C\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\alpha=\frac LR,\quad\beta=\frac{nSB}R,\quad\omega=\omega_B-\omega_C\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Решение уравнения, записанного в предыдущем пункте, можно представить в виде\[I(t)=f\sin\omega t+g\cos\omega t.\]Выразите $f$ и $g$ через $\alpha$, $\beta$ и $\omega$. ", "solution": {"text": "Подставляя выражение для $I(t)$ в уравнение из предыдущего пункта:\[(f-\alpha\omega g)\sin\omega t+(g+\alpha\omega f)=\beta\omega\sin\omega t\]Приравнивая коэффициенты при синусах и свободный член к нулю, получаем:\[f-\alpha\omega g=\beta\omega,\qquad g+\alpha\omega f=0\]Решение этой системы —"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f=\frac{\beta\omega}{1+(\alpha\omega)^2},\quad g=-\frac{\alpha\beta\omega^2}{1+(\alpha\omega)^2}\]"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Выразите среднее по времени значение $\overline N$ крутящего момента с учётом самоиндукции через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$. Начертите график зависимости $\overline N$ от $\omega$. ", "solution": {"text": "Угол $\theta=\omega t$, поэтому момент силы:\[N(t)=nSBI(t)\sin\omega t=nSB(f\sin\omega t+g\cos\omega t)\sin\omega t\]Проведём усреднение:\[\overline N=\cfrac12nSBf=\cfrac12nSB\cfrac{\beta\omega}{1+(\alpha\omega)^2}=\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)(nSB)^2}{2R\left[1+\left\{\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}\] Качественный график функции $\overline N(\omega)$ со всеми характерными значениями:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline N=\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)(nSB)^2}{2R\left[1+\left\{\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}\]  Качественный график функции $\overline N(\omega)$ со всеми характерными значениями:", "<img_1>"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Из закона сохранения энергии выведите уравнение, связывающее средний крутящий момент $\overline N$, угловые скорости поля $\omega_B$ и катушки $\omega_C$, среднеквадратичное значение $\overline{I^2}$ тока через катушку и её сопротивление $R$. ", "solution": {"text": "Мощность, поступающая в систему со стороны магнитного поля, $\omega_B\overline N$, расходуется на раскручивание рамки $\omega_C\overline N$ и Джоулевы потери $R\overline{I^2}$. Таким образом,"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\omega_B-\omega_C\right)\overline N=\overline{I^2}R\]"]}, "number_part": "A9", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите мощность $\mathcal P$ Джоулевых потерь в обмотке катушки. Выразите ответ через $\omega_B$, $\omega_C$, $n$, $S$, $B$, $R$ и $L$. ", "solution": {"text": "С одной стороны, можно найти мощность Джоулевых потерь явно:\[\mathcal P=R\overline{I^2}=R\overline{(f\sin\omega t+g\cos\omega t)^2}=\cfrac R2(f^2+g^2)=\cfrac R2\left[\left\{\cfrac{\beta\omega}{1+(\alpha\omega)^2}\right\}^2+\left\{\cfrac{\alpha\beta\omega^2}{1+(\alpha\omega)^2}\right\}^2\right]=\cfrac R2\cfrac{(\beta\omega)^2}{1+(\alpha\omega)^2}=\cfrac{(\omega nSB)^2}{2R[1+(\omega L/R)^2]}\] С другой стороны, можно воспользоваться результатом предыдущего пункта и записать\[\mathcal P=R\overline{I^2}=\overline N\omega\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal P=\cfrac{\left\{\left(\omega_B-\omega_C\right)nSB\right\}^2}{2R\left[1+\left\{\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}\]  С другой стороны, можно воспользоваться результатом предыдущего пункта и записать\[\mathcal P=R\overline{I^2}=\overline N\omega\implies\]", "Ответ: \[\mathcal P=\cfrac{\left\{\left(\omega_B-\omega_C\right)nSB\right\}^2}{2R\left[1+\left\{\cfrac{\left(\omega_B-\omega_C\right)L}R\right\}^2\right]}\]"]}, "number_part": "A10", "exponent_part": "0,60"}]