text: {"text": [{"text": "Измерение магнитных моментов электрона и мюона — одно из самых точных в современной физике. Оно позволяет с очень большой точностью проверить предсказания современной теории элементарных частиц. В рассматриваемом эксперименте используются положительно заряженные мюоны, которые также называются антимюонами. Масса антимюона примерно в 200 раз больше массы электрона, а заряд равен модулю заряда электрона. Далее для краткости будем называть положительные мюоны просто мюонами, везде в задаче рассматривается случай положительного заряда. У мюона (как и у электрона) есть момент импульса $\vec{s}$, который не связан с его пространственным движением. Этот момент импульса называется спином мюона. Для спина справедливо уравнение моментов: производная спина равна приложенному к нему моменту сил. Кроме этого, мюон обладает магнитным моментом $$ \vec{\mu} = g_\mu \frac{q}{2m_\mu} \vec{s}. $$ Здесь $m_\mu$ и $q$ — масса и заряд мюона, а безразмерная постоянная $g_\mu = 2 (1 + a_\mu)$. Величина $a_\mu$ параметризует малые отклонения магнитного момента от «нормального» значения (которому отвечает $g_\mu = 2$). В этой задаче будет обсуждаться эксперимент, позволяющий определить аномальную составляющую магнитного момента мюона $a_\mu$. Мюоны движутся по окружности в однородном магнитном поле, измеряется частота прецессии его магнитного момента. <img_0> Для описания вращений используется вектор угловой скорости $\vec{\omega}$, который направлен вдоль оси вращения, причем направление вращения согласуется с направлением $\vec{\omega}$ по правилу винта. Если некоторый вектор $\vec{A}$ вращается относительно лабораторной системы отсчета с угловой скоростью $\vec{\omega}$, его производная по времени задается выражением $$ \frac{d\vec{A}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{A}. $$ Пусть система отсчета $B$ (координаты и время $x', y',z', t'$) движется относительно лабораторной системы отсчета $A$ (координаты и время в этой системе отсчета $x, y, z, t$) со скоростью $V$ вдоль оси $x$. Тогда координаты в этих системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца $$ x = \gamma \left(x' +V t'\right), \quad t = \gamma \left(t' + \frac{V}{c^2} x'\right), \quad y = y', \quad z = z', \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- V^2/c^2}}. $$ При записи всех ответов для упрощения формул вы можете использовать определенное выше обозначение $\gamma$. Если некоторая частица движется относительно системы отсчета $B$ со скоростью $\vec{v}'$, проекции которой на координатные оси равны $v_x', v_y', v_z'$, то проекции ее скорости относительно лабораторной системы отсчета имеют вид $$ v_x = \frac{v_x' + V}{1 + \dfrac{v_x' V}{c^2}}, \quad v_y = \frac{v_y' \sqrt{1 - V^2/c^2}}{1 + \dfrac{v_x' V}{c^2}}, \quad \quad v_z = \frac{v_z' \sqrt{1 - V^2/c^2}}{1 + \dfrac{v_x' V}{c^2}}. $$ Энергия и импульс релятивистской частицы массы $m$, движущейся со скоростью $\vec{v}$, имеют вид $$ E = \gamma m c^2, \quad \vec{p} = \gamma m \vec{v}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. $$ Если на частицу действует сила $\vec{F}$, уравнение движения имеет вид $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} . $$"}, {"text": "Часть A. Динамика в магнитном поле (4.5 балла) В эксперименте по измерению аномального магнитного момента пучок мюонов движется в однородном магнитном поле $B = 1.450~\text{Тл}$, импульсы мюонов перпендикулярны магнитному полю и равны $p c = 3.094~\text{ГэВ}$. Далее везде будем считать, что магнитное поле направлено вдоль оси $z$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Для мюона из пучка найдите отличие скорости движения от скорости света $\Delta v = c - v$ (формулу и численное значение)."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Для мюона из пучка найдите кинетическую энергию $E_k$, то есть полную энергию минус энергию покоя (формулу и численное значение в ГэВ)."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите радиус орбиты мюона $R$ и период его обращения $T$. (Формулы и численные значения.)"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,80"}, "text": "Из-за нестабильности мюон может двигаться по окружности только ограниченное время. Найдите число оборотов $N$, которое он совершит до распада. Пусть теперь мюон покоится в магнитном поле той же величины $B$, что и в предыдущих частях."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,70"}, "text": "Запишите выражение для скорости изменения вектора спина мюона $d\vec{s}/dt$, выразите ответ через вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$, $\vec{s}$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные."}, {"text": "Часть B. Прецессия Томаса (3.5 балла) Спин мюона не связан с его пространственным движением, поэтому его нужно описывать в системе отсчета, в которой мюон в данный момент времени неподвижен (она называется сопутствующей). Если мюон движется с ускорением, в каждый момент времени нужно выбирать свою сопутствующую систему отсчета. Оказывается, что если последовательно перейти из лабораторной системы отсчета $A$ (координаты $x, y, t$) в подвижную $B$ (координаты $x', y', t'$), а из нее в следующую $C$ (координаты $x'', y'', t''$), то результирующее преобразование не будет сводиться к движению со скоростью, полученной по формуле сложения скоростей. Преобразование будет также содержать дополнительный поворот, что приведет к дополнительной прецессии спина. Это явление называется прецессией Томаса. Прецессия Томаса — чисто кинематическое явление, поэтому для его описания нам не нужно рассматривать динамику магнитного момента. Пусть система $B$ движется со скоростью $v_x$, направленной вдоль оси $x$, относительно $A$. В свою очередь система $C$ движется со скоростью $v_y'$ (направленной вдоль оси $y$) относительно $B$. Далее можно везде считать, что $v_y' \ll v_x$ и оставлять только линейные по $v_y'$ слагаемые. Для упрощения записи ответов используйте величину $\gamma = 1/\sqrt{1 - v_x^2/c^2}$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите проекцию на ось $z$ угловой скорости прецессии спина мюона в магнитном поле $\omega_z$. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите проекции скорости $\vec{v}_C$ системы $C$ относительно лабораторной системы отсчета $A$. Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите проекции $\vec{v}_A''$ системы отсчета $A$ относительно системы отсчета $C$ на оси $x'', y''$. При вычислениях учитывайте малость $v_y''$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,60"}, "text": "Оказывается, что $\vec{v}_A'' \neq - \vec{v}_C$. Это связано с тем, что оси подвижной системы координат повернуты относительно осей лабораторной системы координат. Поэтому все вектора, связанные с системой отсчета $C$ также повернуты относительно системы отсчета $A$. Найдите угол поворота $\Delta \theta$, определяемый как угол между векторами $- \vec{v}_A''$ и $\vec{v}_C$. Этот угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму производится в направлении против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси $z$. (Оси $x,y,z$ образуют правую тройку.) Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$, $\gamma = 1/\sqrt{1 - v_x^2/c^2}$, $c$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть относительно лабораторной системы отсчета $A$ со скоростью $\vec{v}$, направленной вдоль оси $x$ движется частица. Ускорение частицы в рассматриваемый момент направлено вдоль оси $y$, его проекция равна $a_y$. Система отсчета $B$ — сопутствующая для частицы в данный момент времени, то есть в ней скорость частицы равна нулю и поэтому $B$ движется со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Через время $dt$ по часам лабораторной системы отсчета скорость частицы будет равна $\vec{v} + d\vec{v}$, а соответствующей сопутствующей системой отсчета будет $C$. Из предыдущего пункта следует, что при ускоренном движении оси сопутствующей системы координат будут вращаться. Используя результаты предыдущего пункта, получите проекцию угловую скорости вращения сопутствующей системы отсчета $\omega_T$ (угловая скорость Томасовской прецессии) на ось $z$ (в рассматриваемом случае вращение все время происходит вдоль оси $z$). Выразите ответ через $v_x$, $a_y$, $\gamma$."}, {"text": "Часть C. Прецессия магнитного момента (2 балла) Вернемся к задаче о мюоне, движущемся в однородном магнитном поле. Прецессия его спина связана с двумя факторами: непосредственное воздействие магнитного поля и прецессия Томаса за счет ускоренного движения мюона. Оказывается, что при вычислении угловой скорости прецессии за счет магнитного поля можно использовать ответ, полученный в пункте A6 для случая неподвижного мюона в магнитном поле. Далее везде будем считать, что спин мюона параллелен плоскости движения мюона."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,70"}, "text": "Пусть мюон движется в однородном магнитном поле $B$, направленном вдоль оси $z$, скорость мюона перпендикулярна магнитному полю. Найдите проекцию угловой скорости Томасовской прецессии на ось $z$. Выразите ответ через $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$."}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "0,70"}, "text": "Запишите выражение для проекции на ось $z$ угловой скорости $\omega_s$ прецессии спина мюона относительно лабораторной системы отсчета. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$."}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "0,50"}, "text": "На практике удобнее рассматривать поворот спина относительно направления импульса мюона. Запишите выражение для угловой скорости $\omega_a$ вращения спина мюона относительно направления его импульса (то есть для производной по времени угла между импульсом и спином). Выразите ответ через $B$, $a_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$."}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "0,80"}, "text": "Экспериментальное значение частоты прецессии магнитного момента относительно импульса мюона составляет $f_a = 229 081~\text{Гц}$. Получите формулу для аномального магнитного момента мюона $a_\mu$. Выразите ответ через $f_a$, $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. Найдите численное значение $a_\mu$."}]}
answer: [{"condition": "Для мюона из пучка найдите отличие скорости движения от скорости света $\Delta v = c - v$ (формулу и численное значение). ", "solution": {"text": "Энергия релятивистской частицы выражается через импульс $$E = \sqrt{p^2 c^2 + m_\mu^2 c^4},$$а скорость $$v = \frac{c^2 p}{E} = \frac{c p}{\sqrt{p^2 + m_\mu^2 c^2}}.$$Тогда искомая разность$$\Delta v = c - v = c\left( 1 - \frac{p}{\sqrt{p^2 + m_\mu^2 c^2}}\right) \approx \frac{1}{2} c \left( \frac{m_\mu c}{p}\right)^2 \approx 1.75 \cdot 10^5~\text{м}/\text{с}.$$Для приведенных в условии численных значений можно пользоваться приближенной формулой, отличие от точного значения возникает только в четвертом знаке."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta v = c\left( 1 - \frac{p}{\sqrt{p^2 + m_\mu^2 c^2}}\right) \approx \frac{1}{2} c \left( \frac{m_\mu c}{p}\right)^2 \approx 1.75 \cdot 10^5~\text{м}/\text{с}.$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Для  мюона из пучка найдите кинетическую энергию $E_k$, то есть полную энергию минус энергию покоя (формулу и численное значение в ГэВ). ", "solution": {"text": "Используем выражение для энергии через импульс из предыдущего пункта. Отметим, что с достаточной точностью можно было бы использовать и выражение для ультрарелятивистского случая $E \approx pc$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_k = \sqrt{p^2 c^2 + m_\mu^2 c^4} - m_\mu c^2 \approx 2.99~\text{ГэВ} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите радиус орбиты  мюона $R$ и период его обращения $T$.  (Формулы и численные значения.) ", "solution": {"text": "Из релятивистского уравнения движения $$ \frac{d\vec{p}}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B} = \frac{q}{\gamma m_\mu} \vec{p} \times \vec{B}$$следует, что при движении магнитном поле импульс, а значит и скорость, остаются постоянными по модулю. Значит импульс только вращается с некоторой угловой скоростью, $$\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{\omega}_c \times \vec{p}, \quad \vec{\omega}_c = - \frac{q \vec{B}}{\gamma m}.$$Здесь $\omega_c$ — угловая скорость движения мюона. Значит период движения$$T = \frac{2\pi}{\omega_c} = \frac{2 \pi m \gamma}{q B} = 1.49 \cdot 10^{-7}~\text{с}.$$Тогда радиус$$R =\frac{v T}{2 \pi} = \frac{\gamma m}{q B} v = \frac{\gamma m}{q B} \frac{p c^2}{E} = \frac{p}{q B} = 7.12~\text{м}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T = \frac{2 \pi m_\mu \gamma}{q B} = 1.49 \cdot 10^{-7}~\text{с}, \quad R = \frac{p}{q B} = 7.12~\text{м}. $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Из-за нестабильности мюон может двигаться по окружности только ограниченное время. Найдите число оборотов $N$, которое он совершит до распада. ", "solution": {"text": "За счет релятивистского замедления времени в лабораторной системе отсчета время жизни мюона $t = \gamma \tau$, поэтому число оборотов$$N = \frac{t}{T} = \gamma \tau \frac{q B}{2\pi m_\mu \gamma} = \frac{q B \tau}{2 \pi m_\mu} = 431.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$N = \frac{q B \tau}{2 \pi m_\mu} = 431.$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Запишите выражение для скорости изменения вектора спина мюона $d\vec{s}/dt$, выразите ответ через вектор индукции магнитного поля $\vec{B}$, $\vec{s}$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные. ", "solution": {"text": "На магнитный момент в магнитном поле действует момент сил $$\vec{M} = \vec{\mu} \times \vec{B},$$поэтому уравнение движения$$\frac{d\vec{s}}{dt} = \vec{M} = \vec{\mu} \times \vec{B} =g_\mu \frac{q}{2 m_\mu} \vec{s} \times \vec{B} = - g_\mu \frac{q \vec{B}}{2 m_\mu} \times \vec{s}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{d\vec{s}}{dt} = - g_\mu \frac{q \vec{B}}{2 m_\mu} \times \vec{s}.$$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите проекцию на ось $z$ угловой скорости  прецессии спина мюона в магнитном поле $\omega_z$. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$ и фундаментальные постоянные. ", "solution": {"text": "Из предыдущего пункта следует, что вектор угловой скорости прецессии магнитного момента равен$$\vec{\omega} = - g_\mu \frac{q \vec{B}}{2 m_\mu}. $$Отсюда проекция на ось $z$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_z = - g_\mu \frac{q B}{2 m_\mu}.$$"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите проекции скорости $\vec{v}_C$ системы $C$  относительно лабораторной системы отсчета $A$. Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$. ", "solution": {"text": "Используем формулы для сложения скоростей из условия. При этом $v_x' = 0$ (компонента скорости системы $C$ вдоль оси $x$), а значит знаменатель $1 + v'x v_x/c^2 = 1$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{Cx} = v_x, \quad v_{C y} = v_{y}' \sqrt{1 - v_x^2/c^2} = v_{y}'/\gamma$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите проекции $\vec{v}_A''$ системы отсчета $A$ относительно системы отсчета $C$ на оси $x'', y''$. При вычислениях учитывайте малость $v_y''$. ", "solution": {"text": "Заметим, что если система отсчета $B$ движется относительно $A$ со скоростью $\vec{v}$, то система $A$ движется относительно $B$ со скоростью $- \vec{v}$. Поэтому $B$ движется относительно $C$ со скоростью $- v_y''$, a $A$ движется относительно $B$ со скоростью $-v_x$. Найдем скорость $A$ относительно $C$ с помощью формул сложения скоростей. При этом коэффициент $\gamma$ определяется скоростью $v_y'$:$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v_y^{\prime 2}/c^2}} \approx 1,$$поскольку можно ограничиться слагаемыми первого порядка по $v_y'$. При этом скорости движения систем по-прежнему перпендикулярны, и знаменатель в формулах для сложения скоростей равен 1."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{Ax}'' = - v_x, \quad v_{Ay}'' = - v_y '.$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Оказывается, что $\vec{v}_A'' \neq - \vec{v}_C$. Это связано с тем, что оси подвижной системы координат повернуты относительно осей лабораторной системы координат. Поэтому все вектора, связанные с системой отсчета $C$ также повернуты относительно системы отсчета $A$. Найдите угол поворота $\Delta \theta$, определяемый как угол между векторами $- \vec{v}_A''$ и $\vec{v}_C$. Этот угол считается положительным, если поворот от первого вектора ко второму производится в направлении против часовой стрелки, если смотреть со стороны оси $z$. (Оси $x,y,z$ образуют правую тройку.) Выразите ответ через $v_x$, $v_y'$, $\gamma  = 1/\sqrt{1 - v_x^2/c^2}$, $c$. ", "solution": {"text": "Вычислить угол между двумя векторами можно определить, найдя их векторное произведение (модуль векторного произведения двух векторов $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между векторами). Пусть $\vec{e}_x$ — единичный вектор вдоль оси $x$, $\vec{e}_y$ — вдоль оси $y$, $\vec{e}_z$ — вдоль $z$. Тогда $$- \vec{v}_A'' \times \vec{v}_C = (v_x \vec{e}_x + v_y' \vec{e}_y) \times (v_x \vec{e}_x + (v_y' /\gamma)\vec{e}_y) = v_x v_y' \left( \frac{1}{\gamma} - 1\right) \vec{e}_z.$$Поскольку оба вектора лежат в плоскости $xy$, их векторной произведение направлено вдоль $z$, причем положительному знаку проекции на $z$ отвечает поворот на положительный угол. При вычислениях с точностью до первого порядка по $v_y'$ можно считать $|\vec{v}_A''| = |\vec{v}_C| = v_x$, поэтому угол поворота"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta \theta = \frac{1}{v_x^2} v_x v_y' \left( \frac{1}{\gamma} - 1\right) = - \frac{v_y'}{v_x} \left( 1 - \frac{1}{\gamma}\right).$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Пусть относительно лабораторной системы отсчета $A$ со скоростью $\vec{v}$, направленной вдоль оси $x$ движется частица. Ускорение частицы в рассматриваемый момент направлено вдоль оси $y$, его проекция равна $a_y$. Система отсчета $B$ — сопутствующая для частицы в данный момент времени, то есть в ней скорость частицы равна нулю  и поэтому $B$ движется со скоростью $v$ вдоль оси $x$. Через время $dt$ по часам лабораторной системы отсчета скорость частицы будет равна $\vec{v} + d\vec{v}$, а соответствующей сопутствующей системой отсчета будет $C$. Из предыдущего пункта следует, что при ускоренном движении оси сопутствующей системы координат будут вращаться. Используя результаты предыдущего пункта, получите проекцию угловую скорости вращения сопутствующей системы отсчета $\omega_T$ (угловая скорость Томасовской прецессии) на ось $z$ (в рассматриваемом случае вращение все время происходит вдоль оси $z$). Выразите ответ через $v_x$, $a_y$, $\gamma$. ", "solution": {"text": "Через время $dt$ в лабораторной системе отсчета частица приобретет дополнительную скорость $v_y = a_y dt$, в системе отсчета $B$, которая была сопутствующей для частицы в начальный момент времени, это отвечает скорости $v_y' = \gamma v_y$. Это соотношение можно получить как из результата B1, так и напрямую из формул сложения скоростей (лабораторная система отсчета движется относительно $B$ со скоростью $-v_x$, скорость частицы относительно лабораторной системы $\vec{v} = (v_x, v_y)$):$$v_y' = \frac{v_y \sqrt{1 - v_x^2/c^2}}{1 - v_x^2 /c^2} = \frac{v_y}{\sqrt{1- v_x^2/c^2}} = \gamma v_y.$$Тогда угол поворота$$d\theta = - \frac{\gamma a_y dt}{v_x} \left( 1- \frac{1}{\gamma}\right),$$откуда угловая скорость вращения$$\omega_T = \frac{d \theta}{dt} = - \frac{a_y}{v_x} (\gamma - 1).$$Здесь мы учли, что знаки выбраны таким образом, что положительному углу поворота отвечает положительная проекция угловой скорости на ось $z$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_T = - \frac{a_y}{v_x} (\gamma - 1).$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть мюон движется в однородном магнитном поле $B$, направленном вдоль оси $z$, скорость мюона перпендикулярна  магнитному полю. Найдите проекцию угловой скорости Томасовской прецессии на ось $z$. Выразите ответ через $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. ", "solution": {"text": "Из уравнения движения в магнитном поле$$ \frac{d\vec{p}}{dt}= m_\mu \frac{d(\gamma \vec{v})}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B}$$с учетом того, что $\gamma$ постоянна, находим проекцию ускорения$$a_y = - \frac{q v_x B}{\gamma m_\mu},$$тогда угловая скорость"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_T = \frac{q B}{\gamma m_\mu} (\gamma -1)$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Запишите выражение для проекции на ось $z$ угловой скорости  $\omega_s$ прецессии спина  мюона относительно лабораторной системы отсчета. Выразите ответ через $B$, $g_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. ", "solution": {"text": "Полная скорость прецессии складывается из найденной в A6 скорости прецессии в магнитном поле и из прецессии Томаса:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_s = \omega_z + \omega_T = - g_\mu \frac{q B}{2 m_\mu} + \frac{q B}{\gamma m_\mu} (\gamma -1)$$"]}, "number_part": "С1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "На практике удобнее рассматривать поворот спина относительно направления импульса мюона.  Запишите выражение для угловой скорости $\omega_a$ вращения спина мюона относительно направления его импульса (то есть для производной по времени угла между импульсом и спином). Выразите ответ через $B$, $a_\mu$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. ", "solution": {"text": "Импульс мюона вращается с угловой скоростью, которая равна угловой скорости движения мюона в магнитном поле, эта угловая скорость $\omega_c$ уже найдена в A3, ее проекция на ось $z$$$\omega_z = - \frac{q B}{\gamma m_\mu}$$ Тогда угловая скорость спина относительно импульса — разность угловых скоростей спина и импульса (все вращения происходят вокруг оси $z$):$$\omega_a = \omega_s - \omega_c = - g_\mu \frac{q B}{2 m_\mu} + \frac{q B}{\gamma m_\mu} (\gamma -1) + \frac{q B}{\gamma m_\mu} = - g_\mu \frac{q B}{2 m_\mu} + \frac{q B}{ m_\mu}.$$Используя соотношения $g_\mu = 2(1 + a_\mu)$, окончательно получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_a = - a_\mu \frac{q B}{ m_\mu}.$$"]}, "number_part": "С2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Экспериментальное значение частоты прецессии магнитного момента относительно импульса мюона составляет $f_a =  229 081~\text{Гц}$. Получите формулу для аномального магнитного момента мюона $a_\mu$. Выразите ответ через $f_a$, $B$, $q$, $m_\mu$, $\gamma$. Найдите численное значение $a_\mu$. ", "solution": {"text": "Частота связана с угловой скоростью соотношением $f_a = \omega_a/2\pi$, поэтому$$a_\mu = \frac{m_\mu \omega_a}{q B} = \frac{2\pi f_a m_\mu}{q B} = 0.00117.$$Поскольку не указано направление прецессии спина, нельзя определить знак $a_\mu$, на самом деле $a_\mu > 0 $."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a_\mu = \frac{2\pi f_a m_\mu}{q B} = 0.00117.$$"]}, "number_part": "С3", "exponent_part": "0,80"}]