text: {"text": [{"text": "Преобразования в науке и технике, произошедшие в XIX столетии, привели к острой потребности во всемирно признанных стандартах электрических величин. Считалось, что новые абсолютные единицы должны основываться только на эталонах длины, массы и времени. С 1861 по 1912 год была проведена интенсивная экспериментальная работа по нахождению значений этих единиц. Мы предлагаем здесь три исследования этой проблемы. Круговая короткозамкнутая плоская катушка из $N$ витков радиусом $a$ и общим сопротивлением $R$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикального диаметра в горизонтальном магнитом поле $\vec{B}_0 = B_0\vec{i}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,50"}, "text": "Подсчитайте электродвижущую силу $\mathcal E$, индуцированную в катушке, а также среднюю мощность $\langle P \rangle$, необходимую для поддержания движения катушки. Самоиндукцией катушки пренебречь. Маленькая магнитная стрелка помещена в центр катушки, как показано на рисунке 1. Она может медленно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг оси $Z$, но не может поспевать за быстрым вращением катушки. Как только будет достигнут стационарный режим, стрелка установится в положении, составляющем малый угол $\theta$ c $ \vec{B}_0$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "2,00"}, "text": "Выразите сопротивление $R$ катушки через угол $\theta$ и другие заданные параметры системы. Лорд Кельвин применил этот метод в 1860-х годах для установления абсолютного стандарта для ома. Чтобы избавиться от вращающейся катушки, Лоренц применил использованный ранее лордом Рэлеем и мисс Зидгвик альтернативный метод, который исследуется в следующей части задачи. Экспериментальная установка, изображенная на рисунке 2, состоит из двух одинаковых металлических дисков $D$ и $D'$ радиусом $b$, насаженных на (проводящий) вал $SS'$. Мотор вращает вал с угловой скоростью $\omega$, которая может изменяться. Две одинаковые катушки $C$ и $C'$ (радиусом $a$ c $N$ витками каждая) окружают диски. Они соединены таким образом, что электрический ток $I$ течет через них в противоположных направлениях. Прибор служит для измерения сопротивления $R$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "2,00"}, "text": "Допустим, что ток $I$, протекающий через катушки $C$ и $C'$, создает однородное магнитное поле вокруг $D$ и $D'$, величину которого можно принять равной полю в центре катушек. Найдите электродвижущую силу $E$, индуцированную между краями дисков 1 и 4, предполагая, что расстояние между катушками значительно превышает радиус катушек и что $a \gg b$. Пусть теперь диски подсоединены к электрической цепи щеточными контактами, касающимися краев дисков 1 и 4. Гальванометр $G$ регистрирует силу тока, протекающего по цепи 1-2-3-4. Сопротивление $R$ измеряется, когда гальванометр $G$ показывает ноль."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите сопротивление $R$ через физические параметры системы. Пропускание тока по двум проводникам и измерение силы, действующей между ними, позволяет получить абсолютное определение силы тока. Принцип действия токов весов «токовых весов», изобретенных лордом Кельвином в 1882 году, основан на этом методе. Весы состоят из шести одинаковых одиночных витков радиусом $a$, соединенных последовательно. Как показано на рисунке 3, неподвижные витки $C_1, C_3, C_4$ и $C_6$ расположены в двух горизонтальных плоскостях, которые разделены малым расстоянием $2h$. Катушки $C_2$ и $C_5$ подвешены к плечам весов длиной $d$ и в состоянии равновесия находятся на одинаковых расстояниях от обеих плоскостей. Ток $I$ течет через различные катушки в таких направлениях, что сила со стороны магнитного поля, действующая на $C_2$, направлена вверх, в то время как сила, действующая на $C_5$, направлена вниз. Чтобы восстановить равновесие весов при протекании тока через цепь, требуется расположить массу $m$ на расстоянии $x$ от точки опоры $O$. <img_2>"}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите силу $F$, действующую на $C_2$ благодаря магнитному взаимодействую с $C_1$. Для простоты считайте, что сила на единицу длины такая же, как при взаимодействии двух длинных линейных проводников, по которым текут параллельные токи."}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "1,00"}, "text": "Сила тока измеряется, когда весы находятся в равновесии. Выразите ее значение $I$ через физические параметры системы, предполагая, что размеры установки таковы, что можно пренебречь действием левых катушек на правые и наоборот. Пусть $M$ — масса всей подвешенной системы (за исключением $m$), $G$ — ее центр масс, а $l$ — расстояние $OG$."}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "2,00"}, "text": "Равновесие весов оказывается устойчивым по отношению к малым отклонением $\delta z$ и $-\delta z$ витков $C_2$ и $C_5$ по высоте. Найдите максимальное значение $\delta z_{max}$, при котором весы все еще возвращаются в положение равновесие, когда их отпускают."}]}
answer: [{"condition": "Подсчитайте электродвижущую силу $\mathcal E$, индуцированную в катушке, а также среднюю мощность $\langle P \rangle$, необходимую для поддержания движения катушки. Самоиндукцией катушки пренебречь. ", "solution": {"text": "Через время $t$ нормаль к катушке образует угол $\omega t$ с магнитным полем. Поток через катушку при этом будет равен $\Phi=NB_0S\cos\omega t=\pi a^2NB_0\cos\omega t$. За счёт этого индуцируется ЭДС Тепловая мощность равна $P=\mathcal E^2/R$, откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal E=-\dot\Phi=\pi a^2NB_0\omega \sin\omega t\]  Тепловая мощность равна $P=\mathcal E^2/R$, откуда", "Ответ: \[\left\langle P\right\rangle=\frac{\pi^2a^4N^2B_0^2\omega^2}{2R}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Выразите сопротивление $R$ катушки через угол $\theta$ и другие заданные параметры системы.  ", "solution": {"text": "Суммарное поле в центре катушки $\vec B=\vec B_0+\vec B_i$, где $\vec B_i =B_i(\vec i\cos\omega t+\vec j\sin\omega t)$ — поле, индуцированное током в катушке. Здесь $B_i=\frac{\mu_0N}{2a}\frac{\mathcal E}R$. Средние значения компонент поля:\[\bar B_x=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{2R}\overline{\sin\omega t\cos\omega t}=0,\quad \bar B_y=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{2R}\overline{\sin^2\omega t}=\frac{\mu_0 N^2\pi aB_0\omega}{4R}.\]Таким образом, стрелка повернётся на угол\[\operatorname{tg}\theta=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4R}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[R=\frac{\mu_0 N^2\pi a\omega}{4\operatorname{tg}\theta}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Допустим, что ток $I$, протекающий через катушки $C$ и $C'$, создает однородное магнитное поле вокруг $D$ и $D'$, величину которого можно принять равной полю в центре катушек. Найдите электродвижущую силу $E$, индуцированную между краями дисков 1 и 4, предполагая, что расстояние между катушками значительно превышает радиус катушек и что $a \gg b$. ", "solution": {"text": "Сила, действующая на пробный заряд в диске, радиальна и равна $qvB=q\omega rB$, где магнитное поле $B=N\mu_0I/2a$. Это создаёт ЭДС $\mathcal E_D=\mathcal E_{D'}=B\omega\int_0^br~\mathrm dr=\frac12B\omega b^2$. Итого:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal E=\mathcal E_d+\mathcal E_{D'}=N\frac{\mu_0b^2\omega I}{2a}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Выразите сопротивление $R$ через физические параметры системы.  ", "solution": {"text": "Показания гальванометра обнулятся ($I_G=0$), когда $\mathcal E=IR\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[R=N\frac{\mu_0b^2\omega}{2a}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите силу $F$, действующую на $C_2$ благодаря магнитному взаимодействую с $C_1$. Для простоты считайте, что сила на единицу длины такая же, как при взаимодействии двух длинных линейных проводников, по которым текут параллельные токи.  ", "solution": {"text": "Сила, действующая на единицу длины одного из параллельных бесконечно длинных проводов, равна $f=\mu_0I_1I_2/2\pi h$, где $h$ — расстояние между проводами. Для рассматриваемых в задаче колец:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F=\mu_0aI^2/h\]"]}, "number_part": "С1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Сила тока измеряется, когда весы находятся в равновесии. Выразите ее значение $I$ через физические параметры системы, предполагая, что размеры установки таковы, что можно пренебречь действием левых катушек на правые и наоборот. ", "solution": {"text": "В равновесии $mgx=4Fd$, откуда $mgx=4\mu_0adI^2/h\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[I=\sqrt{\frac{mghx}{4\mu_0ad}}\]"]}, "number_part": "С2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Равновесие весов оказывается устойчивым по отношению к малым отклонением $\delta z$ и $-\delta z$ витков $C_2$ и $C_5$ по высоте. Найдите максимальное значение $\delta z_{max}$, при котором весы все еще возвращаются в положение равновесие, когда их отпускают.  ", "solution": {"text": "Весы вернутся в положение равновесие, если при отклонении на небольшой угол $\delta\varphi$ момент силы тяжести превысит момент силы Ампера:$$M g l \sin \delta \varphi+m g x \cos \delta \varphi>2 \mu_0 a I^2\left(\frac{1}{h-\delta z}+\frac{1}{h+\delta z}\right) d \cos \delta \varphi$$Разложим правую часть до второго порядка:$$M g l \sin \delta \varphi+m g x \cos \delta \varphi>\frac{4 \mu_0 a d I^2}{h}\left(1+\frac{\delta z^2}{h^2}\right) \cos \delta \varphi$$Слагаемые нулевого порядка сокращаются как следствие предыдущего пункта, тогда останется:$$M g l \sin \delta \varphi>m g x \frac{\delta z^2}{h^2} \cos \delta \varphi$$Для малых углом $\operatorname{tg} \delta \varphi \approx \sin \delta \varphi=\frac{\delta z}{d}$, поэтому$$\delta z<\frac{M l h^2}{m x d} \implies $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta z_{\max }=\frac{M l h^2}{m x d}\]"]}, "number_part": "С3", "exponent_part": "2,00"}]