text: {"text": [{"text": "В далёком космосе есть планета, состоящая полностью из воды. Известно, что глубоководные обитатели изнутри могут обозревать все пространство вокруг, тогда и только тогда, когда находятся на расстоянии не более, чем $x=3000~км$ от центра планеты. Местные жители решили запустить спутник."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "С какой скоростью он должен двигаться на самой низкой возможной орбите? Показатель преломления воды $n=4/3$, плотность воды $\rho=1000~кг/м^{3}$, гравитационная постоянная $G=6/67\cdot10^{-11}~Н\cdot м^{2}/кг^{2}$. Планета не вращается вокруг своей оси, волн на ее поверхности не бывает, воду можно считать несжимаемой."}]}
answer: [{"condition": "С какой скоростью он должен двигаться на самой низкой возможной орбите? ", "solution": {"text": "Видимость для наблюдателя, находящегося внутри планеты ограничена эффектом полного отражения. Отметим, что наблюдатель может не видеть только близкие к планете объекты. <img_0> Угол падения на поверхность планеты $\gamma$ можно связать с углом $\alpha$ с помощью теоремы синусов: $$ \frac{R}{\sin(180^{\circ}-\alpha)}=\frac{x}{\sin\gamma}. $$ Для данного положения $x$ максимальный угол падения достигается при $\alpha =90^{\circ}: \sin\gamma_{\max}=\frac{x}{R}$. Полное внутреннее отражение появится на дальности $x$, для которой выполнится условие $n\sin(\gamma_{\max})=1$. Это позволяет найти радиус планеты $R=xn$. Спутник массой $m$ движется по самой низкой орбите радиуса $R$ с первой космической скоростью: $$ \frac{mv^{2}}{R}=G\frac{mM}{R^{2}}v=\sqrt{G\frac{M}{R}}. $$ Подставляя радиус, получаем: $$ v=xn\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho}=2.1~км/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=xn\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho}=2.1~км/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]