text: {"text": [{"text": "В двух сообщающихся сосудах, площади сечения которых $S_{1}$ и $S_{2}$, находится жидкость плотностью $\rho$. Сосуды герметично закрыты поршнями, которые могут перемещаться под действием системы блоков и нерастяжимых нитей связанных с рычагом $P$ (см. рисунок). <img_0> Вначале нити не натянуты и не провисают, а поршни соприкасаются с жидкостью. Рычаг медленно смещают вверх на небольшое расстояние $h$ так, что он остается горизонтальным, а нити вертикальными."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "В предположении, что $S_{1} > S_{2}$ , определите, в каких направлениях и на какие расстояния сместятся поршни. Какую силу $F_{1}$ необходимо прикладывать к рычагу, чтобы удерживать его после смещения на расстояние $h$?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Какая сила $F_{2}$ потребуется для перемещения рычага вверх на расстояние $h$ при $S_{2} = 2S_{1}$? Массами рычага, блоков, нитей и поршней можно пренебречь. Трения нет. Сосуды от подставки не отрываются. Давление паров жидкости гораздо меньше атмосферного давления $p_{0}$ . Ускорение свободного падения $g$."}]}
answer: [{"condition": "В предположении, что $S_{1} > S_{2}$ , определите, в каких направлениях и на какие расстояния сместятся поршни. Какую силу $F_{1}$ необходимо прикладывать к рычагу, чтобы удерживать его после смещения на расстояние $h$? ", "solution": {"text": "Объём жидкости не изменяется, следовательно поршни могут перемещаться только в противоположных направлениях. Поршень $S_{2}$ смещается вверх, а $S_{1}$ — вниз. Пусть при перемещении рычага вверх на $h$, правый поршень поднялся на $x$, а левый опустился на $y$. Тогда из-за несжимаемости жидкости $y=xS_{2}/S_{1}$. Рассмотрим изменение длин вертикальных участков нити $AB$, $CD$ и $EF$. Длина $AB$ увеличивается на $\Delta l_{2}=x-h$. Длина нити не меняется, поэтому $\Delta l_{1}=2\Delta l_{2}$. Следовательно $h+y=2x-2h$. Откуда: $$ x=\frac{3hS_{1}}{(2S_{1}-S_{2})}, \text{ а } y=\frac{3hS_{2}}{(2S_{1}-S_{2})}. $$ <img_1> На поршни действуют силы натяжения (на левый действует сила $T$, а на правый $2T$), сила давления атмосферы и сила давления, действующая со стороны жидкости. Пусть $p_{1}$ давление в жидкости под поршнем в левом цилиндре. Давление под правым поршнем будет равно: $$ p_{2}=p_{1}-\rho g(x+y)=p_{1}-\rho gx(1+S_{2}/S_{1}). $$ Условие равновесия для левого поршня: $T+p_{1}S_{1}=p_{0}S_{1}$. Для правого: $2T+p_{2}S_{2}=p_{0}S_{2}$. Откуда: $$ p_{1}p_{0}-\rho gx\frac{S_{2}(S_{1}+S_{2})}{(2S_{1}-S_{2})S_{1}}, \\ T=(p_{0}-p_{1})S_{1}=\rho gx\frac{S_{2}(S_{1}+S_{2})}{(2S_{1}-S_{2})S_{1}}. $$ Сила $F$, приложенная к рычагу равна: $F=3T=9\rho gh\frac{S_{1}+S_{2}}{(2S_{1}-S_{2})^{2}}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x=\frac{3 h S_{1}}{\left(2 S_{1}-S_{2}\right)}, \text { a } y=\frac{3 h S_{2}}{\left(2 S_{1}-S_{2}\right)}. $$ $$ F_1=3 T=9 \rho g h \frac{S_{1}+S_{2}}{\left(2 S_{1}-S_{2}\right)^{2}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какая сила $F_{2}$ потребуется для перемещения рычага вверх на расстояние $h$ при $S_{2} = 2S_{1}$? ", "solution": {"text": "При $S_{2}=2S_{1}$ на правый поршень действуют силы давления и натяжения вдвое большие, чем на левый, поэтому поршни не могут двигаться в противоположных направлениях. Следовательно смещение поршней возможно лишь при их отрыве от поверхности жидкости. При перемещении рычага силы не изменяются и равны: $T+p_{0}S_{1}$, $F=3T=3p_{0}S_{1}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: При перемещении рычага силы не изменяются и равны: $$ T=p_{0} S_{1}, F_2=3 T=3 p_{0} S_{1}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]