text: {"text": [{"text": "Подъемный кран медленно поднимает с помощью троса плавающее в воде бревно (см. рисунок). <img_0> Трос прикреплен к одному концу бревна, которое можно считать тонким цилиндром с постоянной плотностью. Масса бревна — $m$, длина — $L$. Отношение плотностей воды и древесины $\gamma = 4/3$. Ускорение свободного падения $g$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какую минимальную работу $A$ нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Постройте график зависимости силы натяжения $T$ троса от высоты над водой $h$ приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Какую работу $A_{h}$ совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту $\Delta h = L/5$?"}]}
answer: [{"condition": "Какую минимальную работу $A$ нужно совершить крану, чтобы полностью вытащить бревно из воды? ", "solution": {"text": "Минимальная работа крана равна изменению потенциальной энергии бревна: $$ A = \frac{m g L}{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A = \frac{m g L}{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Постройте график зависимости силы натяжения $T$ троса от высоты над водой $h$ приподнимаемого конца бревна. Укажите характерные точки графика. ", "solution": {"text": "Бревно в процессе подъема будет образовывать некий угол $\alpha$ с поверхностью воды, пока не примет вертикальное положение, оставаясь частично погруженным в воду. Оно находится в равновесии, если выполняются два условия (см. рисунок ниже): <img_2> $а)$ Сумма всех действующих на него сил равна нулю: $$ T_{0} + F_{A} - mg=0, $$ где $F_{A}=mg \gamma x_{0}/L$ — Архимедова сила, $x_{0}$ — длина части бревна, погруженной в воду. $б)$ Согласно правилу моментов, сумма моментов сил относительно произвольного полюса равна нулю. В качестве полюса выберем верхний конец бревна, точку $O$. Тогда правило моментов запишется так: $$ mg \frac{L}{2} \cos \alpha - \left(mg \gamma \frac{x_{0}}{L}\right) \left(L-\frac{x_{0}}{2}\right) \cos \alpha =0. $$ Откуда следует, что сила $T_{0}$ натяжения троса не зависит от угла наклона бревна относительно горизонта. Решая последнее уравнение, получим, что в воде будет находиться часть бревна длиной $$ x_{0}=L \left(1-\sqrt{1-\frac{1}{\gamma}}\right)=\frac{L}{2}. $$ Пока бревно будет оставаться в наклонном положении, сила натяжения троса останется постоянной и равной $T_{0}=mg/3$. После того, как бревно примет вертикальное положение, сила натяжения троса станет возрастать линейно от $T_{0}$до $mg$: $$ T=mg-F_{A} = mg \left(1-\frac{\gamma x}{L} \right). $$ График зависимости силы натяжения троса $T$ от высоты $h$ приведён на рисунке ниже."}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какую работу $A_{h}$ совершит кран при переводе бревна из одного наклонного положения в другое наклонное положение, в котором верхний конец бревна поднялся на высоту $\Delta h = L/5$? ", "solution": {"text": "Подъём верхнего конца бревна на высоту $h$ происходит при постоянной силе натяжения $T=T_{0}=mg/3$. Искомая работа: $$ A_{h} =T \Delta h = \frac{mg}{3} \cdot \frac{L}{5}=\frac{mgL}{15}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A_{h} =\frac{mgL}{15}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]