text: {"text": [{"text": "В неоднородном магнитном поле с индукцией $B=a x$ $(x \ge 0)$ (см. рисунок) стартует частица массой $m$ и зарядом $q$ с начальной скоростью $v$, направленной вдоль оси $O x$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите максимальное смещение частицы вдоль оси $x$."}]}
answer: [{"condition": "Определите максимальное смещение частицы вдоль оси $x$. ", "solution": {"text": "Единственная действующая на частицу сила — сила Лоренца — направлена перпендикулярно скорости частицы, поэтому работы не совершает, то есть энергия частицьI (а значит, и ее скорость) сохраняетcя: $v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=v^{2}$. Закон Ньютона для частицы в проекции на ось $O y$ в произвольный момент времени (см. рисунок) имеет вид: $$ m \frac{d v_{y}}{d t}=F_{л} \cos \alpha. $$ <img_1> Сила Лоренца $F_{л}=B q v$. Тогда $$ m \frac{d v_{y}}{d t}=B q v \cos \alpha=B q v_{x}=\alpha x q v_{x} . $$ Умножим последнее выражение на $dt$: $$ m d v_{y}=\alpha q x v_{x} d t=\alpha q x d x. $$ После интегрирования получим: $$ m\left(v_{y}-v_{0 y}\right)=\alpha q\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x_{0}^{2}}{2}\right). $$ Начальная проекция скорости частицы на ось $O y$ равна $0$, $x_{0}=0$, следовательно: $$ m v_{y}=\frac{\alpha q x^{2}}{2}. \quad (1) $$ Когда удаление частицы вдоль оси $O x$ максимально, проекция скорости частицы на ось $O x$ равна $0$. Поскольку скорость частицы постоянна, при максимальном удалении $\left|v_{y}\right|=v$. Если заряд частицы положителен, то согласно $(1)$ скорость $v_{y}=v$, а если отрицателен, то $v_{y}=-v$, откуда $$ m v=\frac{1}{2} \alpha|q| x_{\max }^{2}, \quad x_{\max }=\sqrt{\frac{2 m v}{\alpha|q|}} . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x_{\max }=\sqrt{\frac{2 m v}{\alpha|q|}} . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]