text: {"text": [{"text": "Часть A. Адиабатическая... В этой задаче мы рассмотрим, как температура воздуха в атмосфере зависит от высоты в разных моделях. Начнём с простой модели адиабатической атмосферы. Воздух будем считать двухатомным идеальным газом с молярной массой $M=2.9\cdot10^{-2}\ \frac{кг}{моль}$. Универсальная газовая постоянная $R=8.31\ \frac{Дж}{моль\cdotК}$, ускорение свободного падения $g=9.81\ \fracм{с^2}$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Рассматривая силы, действующие на выделенный участок на рисунке 1, получите выражение для $\cfrac{\mathrm dp}{\mathrm dh}$ через $M$, $g$, $R$, $T$ и $p$. Из-за бурного перемешивания атмосфера становится адиабатической, из-за чего её температура уменьшается с ростом высоты. Рассмотрим небольшую воздушную массу, состоящую из $n\ моль$ воздуха, который расширяется при подъёме, не обмениваясь теплотой с окружающим веществом. Обозначим давление, температуру и объём воздушной массы как $p$, $T$ и $V$, а их изменение в результате небольшого подъёма — как $\Delta p$, $\Delta T$ и $\Delta V$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "В первом порядке малости найдите соотношение между $\cfrac{\Delta p}p$, $\cfrac{\Delta T}T$ и $\cfrac{\Delta V}V$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Выразите соотношение между $\cfrac{\Delta T}T$ и $\cfrac{\Delta V}V$ при адиабатическом расширении через молярные теплоёмкости при постоянных объёме $C_V$ и давлении $C_p$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Из результатов $\bf A2$ и $\bf A3$ получите выражение для $\cfrac{\Delta T}{\Delta p}$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение $\Delta T$ температуры воздушной массы при подъёме на $\Delta h$."}, {"text": "Часть B. ...и влажная? В предыдущей части задачи мы проигнорировали тот факт, что в воздухе находится водяной пар, способный выделять тепло при конденсации. Обозначим парциальное давление пара как $p_w$, а количество пара в воздушной массе — как $n_w=\cfrac{np_w}p$. Как известно, конденсация наступает по достижении давления насыщенного пара $p_s(T)$, являющегося монотонно растущей функцией температуры. Теплота, выделяющаяся при конденсации $-\Delta n_w\ моль$ пара, равна $Q=-Ln_w$, где $L$ — теплота парообразования, которую в рамках задачи мы будем считать постоянной. Пусть при изменении температуры и давления воздуха на $\Delta T$ и $\Delta p$ соответственно происходит конденсация $-\Delta n_w\ моль$ пара."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": null}, "text": "Найдите зависимость температуры $T$ от высоты $h$, если $T(h=0)=T_0$. На какую величину $\underset{100\ м}\Delta T$ уменьшается температура при подъёме на $100\ м$, если для воздуха $C_V=2.5R$?"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Найдите, как связаны между собой $\Delta T$, $\Delta p$ и $\Delta n_w$. Вкладом пара в теплоёмкость воздуха можно пренебречь."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Учитывая, что конденсация происходит при $p_w=p_s(T)$, выразите $\Delta n_w$ через $\Delta p$ и $\Delta T$. Изменением количества вещества в воздушной массе при конденсации можно пренебречь."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "Получите выражение для $\left(\cfrac{\Delta T}{\Delta p}\right)_w$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": null}, "text": "Чтобы убедиться, что конденсаций пара в адиабатической атмосфере нельзя пренебречь, вычислите $\left(\cfrac{\Delta T}{\Delta p}\right)_w\Bigg/\cfrac{\Delta T}{\Delta p}$, если $L=4\cdot10^4\ \cfrac{Дж}{моль}$, а при температуре $17\ {}^\circ\mathrm C$ давление воздуха равно $1013\ гПа$, давление насыщенного пара — $19.2\ гПа$, а $\cfrac T{p_s}\cfrac{\mathrm dp_s}{\mathrm dT}=20$."}]}
answer: [{"condition": "Рассматривая силы, действующие на выделенный участок на рисунке 1, получите выражение для $\cfrac{\mathrm dp}{\mathrm dh}$ через $M$, $g$, $R$, $T$ и $p$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{\mathrm dp}{\mathrm dh}=-\frac{Mg}{RT}p\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В первом порядке малости найдите соотношение между $\cfrac{\Delta p}p$, $\cfrac{\Delta T}T$ и $\cfrac{\Delta V}V$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{\Delta T}T=\frac{\Delta V}V+\frac{\Delta p}p\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите соотношение между $\cfrac{\Delta T}T$ и $\cfrac{\Delta V}V$ при адиабатическом расширении через молярные теплоёмкости при постоянных объёме $C_V$ и давлении $C_p$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[V_C\frac{\Delta T}T=-R\frac{\Delta V}V\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Из результатов $\bf A2$ и $\bf A3$ получите выражение для $\cfrac{\Delta T}{\Delta p}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{\Delta T}{\Delta p}=\frac R{C_p}\frac Tp\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение $\Delta T$ температуры воздушной массы при подъёме на $\Delta h$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta T=-\frac{Mg}{C_p}\Delta h\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите зависимость температуры $T$ от высоты $h$, если $T(h=0)=T_0$. На какую величину $\underset{100\ м}\Delta T$ уменьшается температура при подъёме на $100\ м$, если для воздуха $C_V=2.5R$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T=T_0-\frac{Mg}{C_p}h,\quad\underset{100\ м}\Delta T=0.98\ К\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите, как связаны между собой $\Delta T$, $\Delta p$ и $\Delta n_w$. Вкладом пара в теплоёмкость воздуха можно пренебречь. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[nC_p\Delta T=-L\Delta n_w+V\Delta p\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Учитывая, что конденсация происходит при $p_w=p_s(T)$, выразите $\Delta n_w$ через $\Delta p$ и $\Delta T$. Изменением количества вещества в воздушной массе при конденсации можно пренебречь. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta n_w=\left[\frac1p\frac{\mathrm dp_s(T)}{\mathrm dT}-\frac{p_s(T)}{p^2}\Delta p\right]n\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Получите выражение для $\left(\cfrac{\Delta T}{\Delta p}\right)_w$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\cfrac{\Delta T}{\Delta p}\right)_w=\frac{RT}{p C_p}\frac{1+\frac L{RT}\frac{p_s}p}{1+\frac L{C_pT}\frac{p_s}p\frac T{p_s}\frac{\mathrm dp_s}{\mathrm dT}}\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чтобы убедиться, что конденсаций пара в адиабатической атмосфере нельзя пренебречь, вычислите $\left(\cfrac{\Delta T}{\Delta p}\right)_w\Bigg/\cfrac{\Delta T}{\Delta p}$, если $L=4\cdot10^4\ \cfrac{Дж}{моль}$, а при температуре $17\ {}^\circ\mathrm C$ давление воздуха равно $1013\ гПа$, давление насыщенного пара — $19.2\ гПа$, а $\cfrac T{p_s}\cfrac{\mathrm dp_s}{\mathrm dT}=20$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\cfrac{\Delta T}{\Delta p}\right)_w\Bigg/\cfrac{\Delta T}{\Delta p}=0.47\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "??"}]