text: {"text": [{"text": "Одно колено высокой симметричной $U$-образной трубки, имеющей площадь поперечного сечения $S$, открыто в атмосферу, а второе - наглухо закрыто. Трубка заполнена жидкостью плотностью $\rho$, причём в открытом колене уровень жидкости доходит до краёв, а в закрытом - на $h$ ниже из-за оставшегося под крышкой воздуха (см. рисунок). Трубку нагревают от начальной комнатной температуры $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ кипения жидкости при атмосферном давлении $P_{0}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите объём $\Delta V$ жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. Испарением жидкости из открытого колена в процессе нагревания и давлением насыщенных паров жидкости при комнатной температуре можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Найдите объём $\Delta V$ жидкости, вылившейся из открытого колена к моменту закипания, если известно, что уровень жидкости в закрытом колене остался выше горизонтального участка трубы. ", "solution": {"text": "Пусть $H$ - разность уровней жидкости в коленах в момент закипания (см. рисунок), тогда давления газа в закрытом колене в начальном и конечном состояниях имеют соответственно вид: $$ P_{1}=P_{0}+\rho g h, \quad P_{2}=P_{0}+\rho g H . $$ <img_1> С другой стороны, давление газа в закрытом колене равно сумме парциальных давлений $P_{v}$ воздуха и $P_{n}$ насыщенных паров жидкости: $$ P_{1}=P_{v 1}+P_{n 1} \approx P_{v 1}, \quad P_{2}=P_{v 2}+P_{n 2}=P_{v 2}+ P_{0}. $$ Каждое из парциальных давлений растёт с ростом температуры, что и приводит к выталкиванию жидкости из открытого колена. Из уравнения Менделеева-Клапейрона для воздуха в закрытом колене $$ \frac{P_{v 1} \cdot S h}{T_{1}}=\frac{P_{v 2} \cdot S H}{T_{2}}, $$ находим $$ P_{v 2}=\frac{h T_{2}}{H T_{1}} P_{v 1} \approx \frac{h T_{2}}{H T_{1}}\left(P_{0}+\rho g h\right). $$ Приравнивая $P_{2}$ из первых двух равенств и подставляя $P_{v 2}$ из последнего, получим $$ P_{0}+\rho g H=\frac{h T_{2}}{H T_{1}}\left(P_{0}+\rho g h\right)+P_{0}, $$ откуда $$ H=h \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)} . $$ Объём вытесненной жидкости $$ \Delta V=S(H-h)=S h\left(\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)}-1\right). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta V=S(H-h)=S h\left(\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}\left(\frac{P_{0}}{\rho g h}+1\right)}-1\right) $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]