text: {"text": [{"text": "В вакууме на расстоянии $L=10~см$ друг от друга находятся протон $p^{+}$ и антипротон $p^{-}$. Обе частицы имеют одинаковые массы $m=1.67 \cdot 10^{-27}~кг$ и одинаковые по модулю заряды $e=1.602 \cdot 10^{-19}~Кл$. В первый момент частицы неподвижны. При сближении частиц на расстояние $l=10^{-13}~м$ происходит их аннигиляция с рождением $\gamma$-квантов."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какие скорости будут иметь частицы при таком сближении?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Через какое время произойдет аннигиляция частиц?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Нужно ли при решении задачи учитывать гравитационные силы, действующие между частицами? Ответ поясните расчётом. Электрическая постоянная $\varepsilon_{0}=0,885 \cdot 10^{-11} \mathrm{Kл}^{2} /\left(\mathrm{H} \cdot \mathrm{M}^{2}\right) .$ Гравитационная постоянная $G=6,67 \cdot 10^{-11} \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{кг}^{2} .$"}]}
answer: [{"condition": "Какие скорости будут иметь частицы при таком сближении? ", "solution": {"text": "Задачу удобно решать, совместив начало координат с центром масс системы (точка О, см. рисунок). <img_0> Сила притяжения протона и антипротона, находящихся на одинаковых расстояниях от точки $O$, paвна $$ F=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 r)^{2}}. $$ Таким образом, сила, действующая на каждую частицу, пропорциональна $1 / r^{2}$, где $r$ - расстояние от неподвижной точки $O$. Следовательно, потенциальная энергия $E_{p}$ каждой частицы выражается формулой $$ E_{p}=\frac{-e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0} r}. $$ Знак (-) означает, что частицы притягиваются к точке $O$. Запишем теперь закон сохранения энергии для каждой частицы: $$ -\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}(L / 2)}=-\frac{e^{2}}{16 \pi \varepsilon_{0}(x / 2)}+\frac{m v^{2}}{2}. $$ Принимая во внимание, что $L \gg x$, получим $$ v=\sqrt{\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} x m}}=1.17 \cdot 10^{6} м/с \ll c, $$ где $c$ - скорость света."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\sqrt{\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} x m}}=1.17 \cdot 10^{6} м/с $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Через какое время произойдет аннигиляция частиц? ", "solution": {"text": "Траектории частиц можно рассматривать как вырожденные эллипсы с большой полуосью $L / 4$. Время $t$, через которое произойдет столкновение протона и антипротона и их аннигиляция, равно половине периода обращения по такому эллипсу. По третьему закону Кеплера период обращения частицы по эллипсу равен периоду обращения по круговой орбите радиуса $L / 4$. Условие вращения по окружности радиуса $L / 4$ вокруг точки $O$ запишется в виде $$ \begin{gathered} \frac{m v_{0}^{2}}{L / 4}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}(2 \cdot L / 4)^{2}}, \\ T^{2}=\left(\frac{2 \pi L / 4}{v_{0}}\right)^{2}=\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}, \\ t=\frac{T}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}} \approx 67 мс. \end{gathered} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t=\frac{T}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0} m(\pi L)^{3}}{e^{2}}} \approx 67 мс $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Нужно ли при решении задачи учитывать гравитационные силы, действующие между частицами? Ответ поясните расчётом. ", "solution": {"text": "Отношение $F_{гр} / F_{эл}$ гравитационной и электрической силы, действующих между частицами, равно $$ \frac{F_{\text {гр }}}{F_{\text {эл }}}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} G m^{2}}{e^{2}} \approx 10^{-36} \ll 1. $$ Таким образом, гравитационные силы принимать в расчёт не следует."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Гравитационные силы принимать в расчёт не следует, поскольку $$ \frac{F_{гр}}{F_{эл}}=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} G m^{2}}{e^{2}} \approx 10^{-36} \ll 1 $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]