text: {"text": [{"text": "В цилиндрическом сосуде объёма $2 V_{0}$ под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T_{0}$ и давлении $P_{0} / 2$, занимающий объём $V_{0}$ (см. рисунок). <img_0> Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие, перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении $P_{0}$ и температуре $T_{0}$. Сосуд теплоизолирован. Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, После того, как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите температуру газа после закрытия крана."}]}
answer: [{"condition": "Определите температуру газа после закрытия крана. ", "solution": {"text": "Пусть при заполнении сосуда газом снаружи в сосуд перешёл газ, ранее занимавший объём $V$ (см. рисунок). <img_1> Внешнее давление при «продавливании» внутрь этого объёма совершает работу $A_{внеш}=P_{0} V$. Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде $+$ «внешний» газ объёма $V+$ поршень выглядит так: $$ U_{1}+U_{2}+A_{внеш}=U+\Delta E_{п}, \quad (1) $$ где $U_{1}$ — внутренняя энергия исходного газа в сосуде, $U_{2}$ — энергия «внешнего» газа из объёма $V$, $U$ — энергия газа в сосуде после заполнения, $E_{п}$ — изменение потенциальной энергии поршня. $$ \begin{gathered} U_{1}=\frac{3}{2} \frac{P_{0}}{2} V_{0} ; \quad U_{2}=\frac{3}{2} P_{0} V ; \quad U=\frac{3}{2} P_{0} 2 V_{0}, \quad (2) \\ \Delta E_{п}=m g \Delta h=\frac{P_{0}}{2} S \Delta h=\frac{P_{0}}{2} V_{0}. \quad (3) \end{gathered} $$ Подставляя $(2)$ и $(3)$ в уравнение $(1)$, после преобразований получим: $$ \begin{gathered} \frac{5}{2} P_{0} V=\frac{11}{4} P_{0} V_{0}, \quad (4) \\ V=\frac{11}{10} V_{0}. \quad (5) \end{gathered} $$ Исходное число молей газа в сосуде $$ \nu_{1}=\frac{P_{0} V_{0}}{2 R T_{0}}, $$ число молей «внешнего» газа в сосуде $$ \nu_{2}=\frac{11}{10} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}. $$ Полное число молей $$ \nu=\nu_{1}+\nu_{2}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}. $$ Из уравнения состояния: $$ \frac{P_{0} \cdot 2 V_{0}}{R T}=\frac{8}{5} \frac{P_{0} V_{0}}{R T_{0}}, \quad (6) $$ откуда получаем ответ: $$ T=\frac{5}{4} T_{0}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=\frac{5}{4} T_{0}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]