text: {"text": [{"text": "Теоретик Баг решил попить чайку. Он взял теплоизолированный чайник, снабжённый миниатюрным термометром, и включил его в электрическую сеть. Термометр показывал температуру $t_0 = 20^\circ С$. Через время $\tau_1 = 1~мин$, когда вода нагрелась до $t_1 = 40^\circ С$, он стал доливать в чайник воду. В момент $\tau_2 = 3.5~мин$, когда температура воды достигла $t_2 = 50^\circ С$, Баг остановился. Ещё через $5~мин$ вода закипела. На рисунке приведён график изменения температуры воды в чайнике в ходе её нагрева и «дозаправки». <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой была температура $t_x$, доливаемой воды? Считайте, что вода быстро перемешивается, а термометр показывает текущее значение её температуры."}]}
answer: [{"condition": "Какой была температура $t_x$, доливаемой воды? ", "solution": {"text": "Определим количество долитой воды. Условие того, что постоянная подводимая мощность идёт на нагрев: $P \Delta \tau=cm \Delta t$, где $\Delta \tau$ — изменение температуры воды. Следовательно, из наклона графика можно найти отношение массы воды до и после доливания: $$ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{(\Delta \tau / \Delta t)_{до}}{(\Delta \tau / \Delta t)_{после}} = \frac{1~мин /20^\circ С}{5~мин/50^\circ С}=\frac{1}{2}. $$ Таким образом, масса долитой воды равна исходной массе воды. Запишем уравнение теплового баланса для нагревания: $$ cm_{1} (t_{1}-t_{0})=P \tau_{1}, \quad cm_{1} (t_{2}-t_{1})+c(m_{2}-m_{1}) (t_{2}-t{х})=P(\tau_{2}-\tau_{1}). $$ Поделив уравнения одно на другое, получим: $$ \frac{m_{2}t_{2}-m_{1}t_{1}}{m_{1}(t_{1}-t_{0})} - \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}} \cdot \frac{t_{х}}{t_{1}-t_{0}}= \frac{\tau_{2}- \tau_{1}}{\tau_{1}}, \quad \text {откуда} \quad t_{х}=10^\circ С. $$ Возможно графическое решение. Продолжим до пересечения с осью $t$ прямую, описывающую зависимость температуры воды массой $m_{2}$ от времени. Точка пересечения будет соответствовать температуре $t_{с}=15^\circ С$, которую приняла бы вода после смешивания, если бы нагреватель не работал. Начальная температура воды была $t=20^\circ С$. Тогда из уравнения теплового баланса найдём, что температура доливаемой воды равна $t_{х}=10^\circ С$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{х}=10^\circ С. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]