text: {"text": [{"text": "Тонкостенная диэлектрическая полусфера, заряженная отрицательным зарядом с поверхностной плотностью $-\sigma$, находится на горизонтальном столе. На ее вершину аккуратно кладут точечный шарик массой $m$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите минимальный положительный заряд $Q$ этого шарика, при котором он все еще находится в состоянии устойчивого равновесия на вершине полусферы. Заряды между полусферой и шариком не перераспределяются. Ускорение свободного падения равно $g$."}]}
answer: [{"condition": "Определите минимальный положительный заряд $Q$ этого шарика, при котором он все еще находится в состоянии устойчивого равновесия на вершине полусферы. ", "solution": {"text": "Для изучения вопроса об устойчивости положения равновесия рассмотрим ситуацию, в которой шарик отклонился от верхнего положения на очень маленький угол $d\alpha$ и определим действующие на него силы.Первая сила является электростатической, но для изучения равновесия нам нужна только ее составляющая, направленная по касательной к поверхности полусферы. Идея ее вычисления основана на том, что в проекции на радиальное направление электростатические силы будут скомпенсированы от двух, симметричных относительно нового положения шарика, областей полусферы $I$ и $II$, так что не скомпенсированной останется сила со стороны дольки полусферы $AB$, отсекаемой наклонной плоскостью, проходящей под углом $2d\alpha$. На левом рисунке ниже показано соответствующее сечение в вертикальной плоскости. <img_1> Рассмотрим часть дольки сферы (смотрите правый рисунок выше, на котором показан вид сверху), дополнительно отсекаемой углами $\beta$ и $\beta+d\beta$, так что ее площадь составляет$$dS=2R\cos\beta Rd\beta d\alpha, \tag{1}$$а электрический заряд равен$$dq=-\sigma dS. \tag{2}$$В декартовой системе координат, начало которой совпадает с вершиной полусферы, а ось $z$ направлена вертикально вниз, радиус-вектор, направленный из точки нахождения частицы в выделенную часть дольки сферы, определяется координатами$$\vec{r}=(R\cos\beta,R\sin\beta,R), \tag{3}$$а значит вектор искомой силы равен$$\vec{F}=-\frac{Qdq}{4\pi \varepsilon_0 r^3}\vec{r}. \tag{4}$$Эта сила имеет следующую проекцию на тангенциальное направление$$F_Q=\frac{Qdq}{4\pi\varepsilon_0(\sqrt{2}R)^3}R\cos\beta. \tag{5}$$поэтому интегрирование по $\beta$ от $-\pi/2$ до $\pi/2$ дает полную по модулю силу от всей дольки в виде$$F_Q=\frac{Q\sigma}{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0}d\alpha. \tag{6}$$Вторая сила, действующая на шарик, является силой тяжести, проекция которой на тангенциальное направление составляет $$F_g=mgd\alpha. \tag{7}$$Минимальный заряд шарика определяется равенством сил $$F_g=F_Q, \tag{8}$$которое приводит к окончательному ответу$$Q=\frac{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 mg}{\sigma}. \tag{9}$$Очевидно, что при больших зарядах положение равновесия будет устойчивым."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=\frac{8\sqrt{2}\pi\varepsilon_0 mg}{\sigma}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]