text: {"text": [{"text": "Прямоугольный аквариум длины $L=50~см$ разделен перегородкой на два отсека $1$ и $2$. В центре перегородки находится симметричная двояковыпуклая линза. На задней стенке аквариума, в центре, нарисована стрелка (см. рисунок). <img_0> Длина стрелки равна $h$. Если в отсек $1$ аквариума налить жидкость, то на передней стенке отсека $2$ появится четкое изображение стрелки. Длина изображения стрелки $h_{1}=4.5~мм$. Если ту же жидкость налить во второй отсек аквариума, вылив ее из первого, то на той же стенке отсека $2$ вновь будет видно четкое изображение стрелки. Длина $h_{2}=2~мм$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите длину стрелки $h$, показатель преломления $n$ жидкости и расстояние между линзой и стенками аквариума."}]}
answer: [{"condition": "Найдите длину стрелки $h$, показатель преломления $n$ жидкости и расстояние между линзой и стенками аквариума. ", "solution": {"text": "На рисунках $a$, $б$ показан ход луча, вышедшего из вершины стрелки в направлении оптического центра линзы. <img_1> Для каждого из двух случаев имеем: $a)$ $n \alpha=\alpha_{1}$, $\alpha=h / a$, $\alpha_{1}=h_{1} / b$, $$ \begin{gathered} n \frac{h}{a}=\frac{h_{1}}{b}; &\quad (1) \end{gathered} $$ $б)$ $\alpha=n \alpha_{2}$, $\alpha_{2}=h_{2} / b$, $$ \begin{gathered} \frac{h}{a}=n \frac{h_{2}}{b}. &\quad (2) \end{gathered} $$ Разделив $(1)$ на $(2)$, получим для показателя преломления $$ \begin{gathered} n=\sqrt{\frac{h_{1}}{h_{2}}}. &\quad (3) \end{gathered} $$ Из $(1)$ и $(3)$ получим: $h=(a / b) \sqrt{h_{1} h_{2}}$. $\quad (4)$ Найдем $a$. Формула тонкой линзы имеет вид $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{F_{0}}$ (см. рисунок ниже). <img_2> Для малых углов из нее следует соотношение $\varphi_{1}+\varphi_{2}=\varphi_{0}$, где $\varphi_{0}$ — угол, под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние системы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом $F$ и положим $\frac{r}{F}=\varphi$ (здесь $r$ — радиус линзы). Тогда, если жидкость в правом отсеке, то $\varphi_{1} n+\varphi_{2}=\varphi$, а если в левом, то $\varphi_{1}+n \varphi_{2}=\varphi$. Взяв разность двух последних уравнений, получим $$ \varphi_{1}(n-1)=\varphi_{2}(n-1). $$ Поскольку $n \neq 1$, то, сокращая последнее равенство на $(n-1)$, получим $\varphi_{1}=\varphi_{2}$ и, следовательно, $a=b=L / 2$. Тогда формула $(4)$ принимает вид: $$ h=\sqrt{h_{1} h_{2}}. $$ Подставляя в полученные выше выражения числовые значения входящих в них величин, находим $$ n=1.5, a=b=25~см, h=3~мм. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ h=\sqrt{h_{1} h_{2}}=3~мм. \\ n=1.5, a=b=25~см. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]