text: {"text": [{"text": "Шар радиуса $R$ покоится на краю горизонтального стола высотой $H=3R$. Шар начинает падать без значительного начального толчка, причем за все время движения проскальзывание с краем отсутствует. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите, на каком расстоянии $l$ от основания стола шар первый раз коснется пола. Ускорение свободного падения равно $g$, сопротивлением воздуха пренебречь. Известно, что кинетическая энергия шара, катящегося без проскальзывания равна $E=\frac{7}{10}mv^2$, где $v$ — скорость центра шара, $m$ — его масса."}]}
answer: [{"condition": "Найдите, на каком расстоянии $l$ от основания стола шар первый раз коснется пола. ", "solution": {"text": "В начальный момент времени шар будет вращаться как целое вокруг точки его касания. Пусть шар поворачивается на некоторый угол $\alpha$, тогда изменение потенциальной энергии центра масс шара составит$$E_p=mgR(1-\cos\alpha), \tag{1}$$и она превращается в кинетическую энергию$$E_k=\frac{7}{10}mu^2, \tag{2}$$где $u$ — скорость центра масс шара.По закону сохранения энергии получаем$$E_p=E_k. \tag{3}$$При дальнейшем движении происходит отрыв шара от стола. Уравнение движения центра масс шара (второй закон Ньютона) в проекции на радиальное направление имеет вид$$m\frac{u^2}{R}=mg\cos\alpha-N, \tag{4}$$где $N$ — нормальная сила реакции стола, а сила трения не изображена на рисунке ниже. <img_1> Условие отрыва шара от стола имеет вид$$N=0. \tag{5}$$Решая совместно $(1)$-$(5)$, находим угол отрыва и скорость шара в этот момент$$\cos\alpha=\frac{10}{17}, \tag{6}$$$$u=\sqrt{\frac{10}{17}gR}. \tag{7}$$Дальнейшее движение шара есть свободное падение его центра масс в поле тяжести Земли. Начальные горизонтальная и вертикальная скорости равны$$v_x=u\cos\alpha, \tag{8}$$$$v_y=u\sin\alpha. \tag{9}$$Дальность полета определяется формулами равноускоренного движения в поле тяжести земли$$l=R\sin\alpha+v_x t, \tag{10}$$$$H-R(1-\cos\alpha)=v_y t+\frac{gt^2}{2}, \tag{11}$$где $t$ — время полета. Исключая время $t$ из уравнений $(10)$ и $(11)$, находим$$l=\frac{567\sqrt{21}+20\sqrt{68305}}{4913}R\approx 1.6R. \tag{12}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$l\approx 1.6R. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}]