text: {"text": [{"text": "Один конец однородного твердого стержня массой $m$ и длиной $l$ подвешен к вертикальной опоре с помощью идеального шарнира, а второй подвешен на нити, так что стержень находится в горизонтальном положении. В некоторый момент времени нить перерезают. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найти силу реакции опоры в шарнире в зависимости от угла отклонения стержня от горизонтального положения"}]}
answer: [{"condition": "Найти силу реакции опоры в шарнире в зависимости от угла отклонения стержня от горизонтального положения ", "solution": {"text": "Потенциальная энергия стержня $U=mgl/2\sin\alpha$ переходит в кинетическую энергию вращения стержня $E=J\omega^{2}/2$, где $J=ml^{2}/3$ — момент инерции относительно вертикального подвеса, $\omega$ — угловая скорость вращения. Приравнивая эти энергии, находим мгновенную угловую скорость вращения центра масс относительно оси подвеса, и с помощью полученного выражения находим нормальное (центростремительное) ускорение центра масс$$a_{n}=\omega^{2}\left(\frac{l}{2} \right)=\frac{3}{2}g\sin\alpha.$$Тангенциальное ускорение находим из уравнения динамики $M=\beta J$, где $M=mgl/2\cos\alpha$ — момент силы тяжести относительно оси вращения, $\beta$ — угловое ускорение движения центра масс, связанное с тангенциальным ускорением $a_{t}=\beta l/2$:$$a_{t}=\frac{3}{4}g\cos\alpha.$$Ускорение центра масс $a$ определяется уравнением$$P+N=ma,$$где $Р$ — сила тяжести, $N$ — сила реакции опоры. Разлагая это уравнение на вертикальную и горизонтальную компоненты, с учетом$$a_{n \parallel}=-a_{n}\cos\alpha, a_{n \perp}=a_{n}\sin\alpha, \\a_{t \parallel}=-a_{t}\cos\alpha, a_{t \perp}=a_{t}\sin\alpha.$$Находим $$N_{\parallel}=mg \left(\frac{3}{4}\cos^{2}\alpha-\frac{3}{2}\sin^{2}\alpha-1\right), \\N_{\perp}=\frac{9}{4}mg\cos\alpha\sin\alpha.$$ <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$N_{\parallel}=mg \left(\frac{3}{4}\cos^{2}\alpha-\frac{3}{2}\sin^{2}\alpha-1\right), \\N_{\perp}=\frac{9}{4}mg\cos\alpha\sin\alpha.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]