text: {"text": [{"text": "На рисунке показана схема моста переменного тока. <img_0> Сопротивление $R_{1} = 2.5~кОм$, индуктивность $L =1~Гн$, сопротивление катушки индуктивности $r_{L} =1~Ом$. На частоте переменного синусоидального напряжения $\nu=100~Гц$ баланс моста наступает при $R_{2} =800~Ом$. Оказалось, что при увеличении частоты переменного тока в два раза баланс моста не нарушается."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите сопротивление утечки $r_{C}$ конденсатора и его емкость $C$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите сопротивление утечки $r_{C}$ конденсатора и его емкость $C$. ", "solution": {"text": "Эквивалентная схема моста показана на рисунке ниже, на котором учтено, что эквивалентная схема неидеальной индуктивности — это последовательно соединенные идеальная катушка $L$ и резистор $r_{L}$; эквивалентная схема конденсатора с утечкой — это резистор $r_{C}$ параллельно подсоединённый к идеальному конденсатору $C$. <img_1> Решение 1. Условие баланса моста в комплексных числах записывается в виде $$Z_{L}Z_{C}=R_{1}R_{2},$$ где импедансы равны соответственно $$Z_{L}=r_{L}+i\omega L$$ и $$Z_{C}=\frac{r_{C}}{1+i\omega Cr_{C}}$$ После преобразований из выражений выше получаем: $$i\omega(L-R_{1}R_{2}C)=r_{L}-\frac{R_{1}R_{2}}{r_{C}}.$$ При изменении частоты это равенство не нарушается, если обе части уравнения равны нулю, поэтому $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$ Решение 2. Пусть напряжение на конденсаторе равно $$U_{C}=U_{0}\cos\omega t,$$ тогда через него протекает ток $$I_{C}=-CU_{0}\omega\sin\omega t,$$ а ток через его сопротивление утечки составляет $$I_{r_{C}}=\frac{U_{0}\cos\omega t}{r_{C}}.$$ Полный ток через плечо, содержащее конденсатор, равен $$I_{1}=I_{C}+I_{r_{C}},$$ а так как мост сбалансирован, то такой же ток идёт через сопротивление $R_1$, поэтому $$U_{R_{1}}=I_{1}R_{1}.$$ С другой стороны, это напряжение равно падению напряжения на плече с индуктивностью $$U_{L}=U_{R_{1}},$$ для которой падение напряжения определяется выражением $$U_{L}=L\frac{dI_{2}}{dt}+I_{2}r_{L},$$ в котором ток определяется уравнением баланса $$I_{2}=I_{R_{2}}=\frac{U_{C}}{R_{2}},$$ так как $$U_{R_{2}}=U_{C}.$$ Собирая совместно уравнения выше, получаем $$\left(-\frac{\omega L}{R_{2}}+C\omega R_{1}\right)U_{0}\sin \omega t=\left(\frac{R_{1}}{r_{C}}-\frac{r_{L}}{R_{2}}\right)U_{0}\cos\omega t.$$ Из этого равенства видно, что условие баланса, независящего от частоты, выполняется, если обе части уравнения равны нулю, то есть получаем ответ $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C=\frac{L}{R_{1}R_{2}}=0.5~мкФ, \\ r_{C}=\frac{R_{1}R_{2}}{r_{L}}=2~МОм.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]