text: {"text": [{"text": "И электрическое и магнитное поля воздействуют на движущиеся в них заряженные частицы, которые определенным образом меняют характер своего движения. Всюду в дальнейшем предполагается, что заряженные частицы двигаются в вакууме, а излучением электромагнитных волн можно пренебречь. В данной задаче рассматривается движение электронов, которые представляют собой классические точечные частицы. При проведении численных расчетов считайте, где необходимо, что электрон обладает отрицательным электрическим зарядом, модуль которого равен $e=1.60\cdot 10^{-19}~Кл$, а его масса равна $m=9.11\cdot 10^{-31}~кг$. Электрическая и магнитная постоянные равны $\varepsilon_{0}=8.85\cdot 10^{-12}~Ф/м$ и $\mu_{0}=1.26\cdot 10^{-6}~Гн/м$, постоянная Больцмана $k_{B}=1.38\cdot 10^{-23}~Дж/К$. Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль положительного направления оси $x$ приложено однородное электрическое поле напряженностью $E$. Электрону сообщают начальную скорость $u_{0}$, также направленную в положительном направлении оси $x$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "3.1", "exponent": "0,20"}, "text": "Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения. Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль положительного направления оси $z$ приложено однородное магнитное поле с индукцией $B$. Электрону сообщают начальную скорость $u_{0}$, направленную в положительном направлении оси $x$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "3.2", "exponent": "0,40"}, "text": "Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения. <img_2>"}, {"balls": {"number": "3.3", "exponent": "0,40"}, "text": "В процессе движения по траектории электрону в некоторый момент времени сообщили дополнительную скорость $\delta u$ в направлении, перпендикулярном его текущей скорости $u$ и лежащем в плоскости его начальной траектории, причем $\delta u \ll u$. Определите период возникших двумерных колебаний электрона относительно его первоначальной невозмущенной траектории. Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль отрицательного направления оси $x$ приложено однородное электрическое поле напряженностью $E$. Помимо этого, вдоль положительного направления оси $y$ создано однородное магнитное поле с индукцией $B$. Электрон освобождают с нулевой начальной скоростью. <img_3>"}, {"balls": {"number": "3.4", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения. Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль положительного направления оси $z$ приложено магнитное поле, индукция которого в плоскости $xy$ зависит от расстояния $r$ до оси $z$ по закону $B=\alpha r=\alpha(x^{2}+y^{2})^{1/2}$. Электрону сообщают начальную скорость $u_{0}$, направленную в положительном направлении оси $x$. <img_4>"}, {"balls": {"number": "3.5", "exponent": "1,40"}, "text": "Определите максимальное расстояние $r_{\max}$ от электрона до оси $z$ в процессе его движения. В некоторой области пространства создается осесимметричное относительно оси $z$ магнитное поле. В момент времени $t = 0$ магнитное поле отсутствует, а затем начинает медленно нарастать, причем во всех точках плоскости $xy$ вектор индукции поля направлен вдоль оси $z$. По прошествии некоторого промежутка времени индукция магнитного поля достигает предельного значения и перестает изменяться. При этом в плоскости $xy$ распределение поля имеет вид $$ \begin{equation*} B = \begin{cases} B_{1}, & 0< r < r_{1}, \\ B_{2}, & r_{1} < r < r_{2}, \\ 0, & r > r_{2}, \end{cases} \end{equation*} $$ где $r$ — расстояние до оси $z$, а $r_[1}$ и $r_[2}$ — известные величины. <img_5> В момент времени $t = 0$ электрон покоится в некоторой точке, лежащей в плоскости $xy$. При включении поля электрон начинает двигаться по окружности в плоскости $xy$, центр которой находится на оси $z$."}, {"balls": {"number": "3.6", "exponent": "1,60"}, "text": "Определите, при каком отношении $B_{1}/B_{2}$ возможно описанное движении электрона. Магнетрон — электронный электровакуумный прибор, величина протекающего тока в котором управляется электрическим и магнитным полем. Рассмотрим простейший магнетрон, состоящий из проводящих соосных длинных цилиндрических катода и анода с радиусами $a=3.00\cdot 10^{-1}~мм$ и $b = 6.00~мм$ соответственно, расположенных внутри вакуумной лампы. Лампа находится в центре цилиндрического соленоида, ось которого совпадает с осями катода и анода, а число витков составляет $N = 2590$, длина равна $L = 210~мм$ и диаметр — $D = 105~мм$. Разность потенциалов между катодом и анодом постоянна и равна $V_{0} = 75.0~В$. Считайте, что покидающие катод электроны образуются вследствие термоэлектронной эмиссии и имеют нулевую начальную скорость, а также пренебрегайте пространственным зарядом электронов в лампе."}, {"balls": {"number": "3.7", "exponent": "1,00"}, "text": "Рассчитайте разность потенциалов $V$ между катодом и точкой в пространстве, расположенной на расстоянии $r = 3.00~мм$ до общей оси лампы и соленоида."}, {"balls": {"number": "3.8", "exponent": "3,20"}, "text": "Рассчитайте наименьший ток соленоида $I_{\min}$, при котором ток в магнетроне между катодом и анодом обращается в ноль."}, {"balls": {"number": "3.9", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите условие для температуры катода $T$, при выполнении которого начальную скорость электронов действительно можно считать нулевой. Вам может понадобиться знание следующих интегралов: $$\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}, \text{ где } n \neq −1 \text{ и } C~–~\text{произвольная постоянная};$$ $$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C, \text{ где } C~–~\text{произвольная постоянная};$$ $$\int \frac{dx}{{x^2+a^2}^{3/2}}=\frac{x}{a^2(x^2+a^2)^{3/2}}+C, \text{ где } a,~C~–~\text{произвольные постоянные};$$ $$(1+x)^{\gamma} \approx 1+\gamma x+\frac{\gamma(\gamma-1)}{2}x^2, \text{ для } |x| \ll 1 \text{ и любых } \gamma;$$ $$\ln(1+x) \approx x, \text{ для } |x|\ll 1.$$"}]}
answer: [{"condition": "Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения. ", "solution": {"text": "Под действием однородного электрического поля электрон движется с постоянным ускорением$$a=\frac{eE}{m}, \tag{1}$$которое направлено в отрицательном направлении оси $x$, поэтому максимальное значение достигаемой координаты определяется выражением$$x_{\max}=\frac{u_{0}^{2}}{2a}=\frac{mu_{0}^{2}}{2eE}. \tag{2}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x_{\max}=\frac{mu_{0}^{2}}{2eE}. $$"]}, "number_part": "3.1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Определите максимальное значение координаты электрона  $x_{\max}$ за все время его движения. ", "solution": {"text": "При движении в однородном магнитном поле на электрон действует сила Лоренца, равная$$F_{L}=eu_{0}B, \tag{3}$$и он совершает движение по окружности, радиус $R$ которой определяется из второго закона Ньютона$$m\frac{u_{0}^{2}}{R}=F_{L}, \tag{4}$$откуда получаем$$R=\frac{mu_{0}}{eB}. \tag{5}$$Очевидно, что максимальное значение координаты при этом равно$$x_{\max}=R=\frac{mu_{0}}{eB}. \tag{6}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x_{\max}=\frac{mu_{0}}{eB}. $$"]}, "number_part": "3.2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "В процессе движения по траектории электрону в некоторый момент времени сообщили дополнительную скорость $\delta u$ в направлении, перпендикулярном его текущей скорости $u$ и лежащем в плоскости его начальной траектории, причем $\delta u \ll u$. Определите период возникших двумерных колебаний электрона относительно его первоначальной невозмущенной траектории. ", "solution": {"text": "Задача проще всего решается в лабораторной системе отсчета, в которой электрон двигается по окружности с частотой, определяемой формулой $(5)$ в виде$$\omega=\frac{u_{0}}{R}=\frac{eB}{m}. \tag{7}$$При сообщении электрону малой дополнительной скорости он перейдет на движение по окружности, близкой к первоначальной и пересекающейся с ней в двух диаметрально противоположных точках, что можно рассматривать как движение по замкнутой двумерной траектории с периодом $$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi m}{eB}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=\frac{2\pi m}{eB}.$$"]}, "number_part": "3.3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения. ", "solution": {"text": "В момент, когда координата $x$ максимальна, скорость частицы $u$ направлена вдоль оси $z$ и по закону сохранения энергии равна$$eEx_{\max}=\frac{mu^{2}}{2}. \tag{9}$$В проекции на ось $z$ уравнение движения записывается в конечных разностях виде$$m\frac{\Delta u_{z}}{\Delta t}=eBu_{x}, \tag{10}$$что с учетом $\Delta x=u_{x}\Delta t$ приводит к соотношению$$m\Delta u_{z}=eB\Delta x, \tag{11}$$которое для искомого момента принимает вид$$mu=eBx_{\max}. \tag{12}$$Решая совместно уравнения $(9)$ и $(12)$, окончательно получаем$$x_{\max}=\frac{2mE}{eB^{2}}. \tag{13}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x_{\max}=\frac{2mE}{eB^{2}}.$$"]}, "number_part": "3.4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Определите максимальное расстояние $r_{\max}$ от электрона до оси $z$ в процессе его движения. ", "solution": {"text": "Так как магнитное поле работы не совершает, то скорость электрона остается постоянной по модулю и равной начальной$$u=u_{0}=\operatorname{const}. \tag{14}$$Разобьем полную скорость на радиальную $u_{r}=dr/dt$ и азимутальную $u_{\varphi}=rd\varphi/dt$ составляющие. Момент импульса электрона относительно начала координат очевидно равен$$L=mru_{\varphi}, \tag{15}$$а момент силы Лоренца относительно той же точки $$M=eBu_{r}r. \tag{16}$$Согласно уравнению моментов имеем$$\frac{dL}{dt}=M, \tag{17}$$что с использованием $u_{r}=dr/dt$ приводит к соотношению$$d(mru_{\varphi})=e\alpha r^{2}dr. \tag{18}$$В момент времени, когда расстояние до оси $z$ максимально, радиальная скорость обращается в ноль, а азимутальная скорость равна начальной в соответствии с формулой $(14)$, поэтому интегрирование соотношения $(18)$ приводит к уравнению$$mr_{\max}u_{0}=e\alpha \frac{r_{\max}^{3}}{3}, \tag{19}$$из которого следует, что$$r_{\max}=\sqrt{\frac{3m u_{0}}{e\alpha}}. \tag{20}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r_{\max}=\sqrt{\frac{3m u_{0}}{e\alpha}}.$$"]}, "number_part": "3.5", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Определите, при каком отношении $B_{1}/B_{2}$ возможно описанное движении электрона. ", "solution": {"text": "Так как электрон все время движется по окружности, то, согласно уравнению $(5)$, при нарастании магнитного поля на его орбите $B_{0}$ производная импульса меняется по закону$$\frac{dp}{dt}=er\frac{dB_{0}}{dt}. \tag{21}$$Электрон приходит в движение за счет вихревого электрического поля, напряженность $E$ которого определяется соотношением $$E=\frac{1}{2\pi r}\frac{d\Phi}{dt}, \tag{22}$$в которое по закону Фарадея входит поток магнитной индукции через орбиту электрона, равный $$\Phi=\int\limits_0^r B(r)2\pi rdr. \tag{23}$$Уравнение второго закона Ньютона для ускорения электрона по орбите имеет вид$$\frac{dp}{dt}=e E. \tag{24}$$Совместное решение уравнений $(21)-(24)$ приводит к следующему равенству для магнитного поля, которое называется циклотронным условием $$\int\limits_0^r B(r)2\pi rdr=2\pi r^{2}B_{0}. \tag{25}$$Из формулы $(25)$ заключаем, что его выполнение возможно только в случае, когда электрон движется в области магнитного поля с индукцией $B_{0}=B_{2}$, поэтому интегрируя заданную в условии магнитную индукцию как функцию расстояния, получаем соотношение $$B_{1}\pi r_{1}^{2}+B_{2}\pi(r^{2}-r_{1}^{2})=2\pi r^{2}B_{2}, \tag{26}$$решение которого имеет вид $$\frac{B_{1}}{B_{2}}=1+\frac{r^{2}}{r_{1}^{2}}. \tag{27}$$Движение электрона по окружности возможно только в той области, в которой индукция равна $B_{2}$, то есть при $r_{1} < r < r_{2}$, а значит искомое отношение должно лежать в интервале $$2< \frac{B_{1}}{B_{2}} < 1+\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}. \tag{28}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$2< \frac{B_{1}}{B_{2}} < 1+\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}. $$"]}, "number_part": "3.6", "exponent_part": "1,60"}, {"condition": "Рассчитайте разность потенциалов $V$ между катодом и точкой в пространстве, расположенной на расстоянии $r = 3.00~мм$ до общей оси лампы и соленоида. ", "solution": {"text": "Пусть на единицы длины цилиндрического катода и анода приходится заряд, равный $\lambda$, а полная длина электродов составляет $l$. Тогда по теореме Гаусса, напряженность электрического поля в пространстве между катодом и анодом определяется уравнением $$E2\pi rl=\frac{\lambda l}{\varepsilon_{0}}, \tag{29}$$откуда получаем $$E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}r}. \tag{30}$$Здесь $r$ — расстояние до оси магнетрона.Зависимость разности потенциалов от расстояния $r$ по определению записывается в виде интеграла $$V=\int\limits_a^r Edr=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0}}\ln \frac{r}{a}, \tag{31}$$который в частности для $r=b$ дает$$V_{0}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{b}{a}. \tag{32}$$Решая совместно уравнения $(31)$ и $(32)$, получаем$$V=V_{0}\frac{\ln(r/a)}{\ln(b/a)}=57.6~В. \tag{33}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V=V_{0}\frac{\ln(r/a)}{\ln(b/a)}=57.6~В. $$"]}, "number_part": "3.7", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Рассчитайте наименьший ток соленоида $I_{\min}$, при котором ток в магнетроне между катодом и анодом обращается в ноль. ", "solution": {"text": "Рассмотрим тонкое кольцо радиуса $R$, по которому протекает ток $j$, и рассчитаем величину магнитной индукции в точке на оси кольца, отстоящей от его центра на расстоянии $z$. Разобьем кольцо на малые элементы $dl$, тогда магнитная индукция определяется следующим законом Био-Саварра $$d\vec{B}=\frac{\mu_{0}j}{4\pi}\frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^{3}}, \tag{34}$$в котором вектор $r$ проведен из точки расположения элемента тока $dl$ в точку $O$, в которой ищется магнитная индукция.Из геометрических соотношений следует, что$$ dl \times r =dl \cdot r, \tag{35}$$а так как результирующая магнитная индукция направлена вдоль оси кольца$$dB_{z}=dB\sin\alpha, \tag{36}$$то, используя геометрическое соотношение $R=r\sin\alpha$, окончательно получаем $$dB_{z}=\frac{\mu_{0}j}{4\pi}\frac{Rdl}{r^{3}}. \tag{37}$$ <img_6> Учитывая, что расстояния, входящие в формулу $(37)$, являются постоянными и $$r^{2}=R^{2}+z^{2}, \tag{38}$$то после суммирования по всем элементам кольца находим$$B_{z}=\frac{\mu_{0}j}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}. \tag{39}$$Рассчитаем теперь индукцию магнитного поля в центре соленоида, так как именно там расположена лампа магнетрона. Для этого рассмотрим витки, расположенные на расстоянии от центра от $z$ до $z+dz$, по которым протекает ток$$dj=\frac{NI}{L}dz. \tag{40}$$Эти витки можно рассматривать как кольцо, магнитная индукция которого определяется формулой $(39)$, из которой получаем$$dB=\frac{\mu_{0}NI}{2L}\frac{R^{2}}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}dz, \tag{41}$$что после интегрирования дает окончательное выражение$$B=\frac{\mu_{0}NIR^{2}}{2L}\int\limits_{-L/2}^{L/2}\frac{dz}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{\mu_{0}NI}{L\sqrt{1+D^{2}/L^{2}}}, \tag{42}$$где использовано выражение для диаметра $D=2R$. Для движения электронов в магнетроне справедлива формула, аналогичная формуле $(18)$ и имеющая вид$$d(mru_{\varphi})=e B r dr, \tag{43}$$интегрирование которой при условии постоянства магнитной индукции и $a\ll b$ дает$$mru_{\varphi}=\frac{1}{2}eBr^{2}. \tag{44}$$С другой стороны, из закона сохранения энергии следует, что$$\frac{m}{2}(u_{r}^{2}+u_{\varphi}^{2})=eV. \tag{45}$$В момент достижения критической величины тока магнитная индукция вблизи анода становится такой, что радиальная скорость электронов обращается в ноль, что приводит к условиям$$u_{r}=0, r=b, V=V_{0}, \tag{46}$$что с использованием выражений $(44)$ и $(45)$ дает критическую величину магнитного поля$$B=\sqrt{\frac{8mV_{0}}{eb^{2}}}. \tag{47}$$Используя формулу $(42)$, находим соответствующую величину тока в соленоиде$$I_{\min}=\sqrt{\frac{8mV_{0}}{e}(1+D^{2}/L^{2})}\frac{L}{\mu_{0}Nb}=0.701~А. \tag{48}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I_{\min}=\sqrt{\frac{8mV_{0}}{e}(1+D^{2}/L^{2})}\frac{L}{\mu_{0}Nb}=0.701~А. $$"]}, "number_part": "3.8", "exponent_part": "3,20"}, {"condition": "Найдите условие для температуры катода $T$, при выполнении которого начальную скорость электронов действительно можно считать нулевой. ", "solution": {"text": "Начальная энергия электронов в лампе вблизи катода определяется температурой самого катода и составляет порядка$$E_{T}=k_{B}T. \tag{49}$$Эта энергия, очевидно, должна быть много меньше энергии электронов вблизи анода $E_{0}$, то есть$$E_{T} \ll E_{0}$$где $E_{0}=eV_{0}$, откуда получаем искомую оценку$$T \ll \frac{eE_{0}}{k_{B}}=8.70\cdot 10^{5}~К, \tag{51}$$что фактически означает применимость использованного приближения, так как температура катода обычно минимум на два порядка меньше."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T \ll \frac{eE_{0}}{k_{B}}=8.70\cdot 10^{5}~К.$$"]}, "number_part": "3.9", "exponent_part": "0,80"}]