text: {"text": [{"text": "Два корабля движутся с постоянными и одинаковыми по модулю скоростями $v_1 = v_2 = v$. В некоторый момент расстояние между ними оказалось равным $L$, а их взаимное расположение таким, как показано на рисунке. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите минимальное расстояние между кораблями при их последующем движении."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите время $\tau$, через которое корабли окажутся на минимальном расстоянии друг от друга."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "В момент, когда корабль $B$ пересекает линию движения корабля $A$, от борта корабля $A$ отправляется катер, который должен доставить на корабль $B$ пакет с важным сообщением. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$."}]}
answer: [{"condition": "Определите минимальное расстояние между кораблями при их последующем движении. ", "solution": {"text": "Для ответа на первый вопрос удобно выбрать систему отсчёта, связанную с одним из кораблей (например $A$). На рисунке ниже изображён вектор $\vec V$ относительной скорости корабля. <img_1> Так как по условию $v_{1}=v_{2}=v$, из рисунка следует, что относительная скорость $\vec V$ направлена под углом $30^\circ$ к линии, соединяющей корабли, и равна по модулю $v$. Для определения минимального расстояния между кораблями нужно опустить перпендикуляр из точки $A$ на направление относительной скорости. Минимальное расстояние между кораблями при их дальнейшем движении есть длина $l=AC=L \sin 30^\circ = l/2$ опущенного перпендикуляра."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ l=L / 2. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите время $\tau$, через которое корабли окажутся на минимальном расстоянии друг от друга. ", "solution": {"text": "Двигаясь с относительной скоростью $V=v$, корабль $B$ окажется на минимальном расстоянии от корабля $A$ через время: $$ \tau=\frac{L \cos 30^\circ}{v}=\frac{\sqrt 3}{2} \frac{L}{v}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{v}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В момент, когда корабль $B$ пересекает линию движения корабля $A$, от борта корабля $A$ отправляется катер, который должен доставить на корабль $B$ пакет с важным сообщением.  Определите, через какое минимальное время $\Delta t$ после отправки катера пакет будет доставлен на борт корабля $B$, если скорость $u$ катера также равна $v$. ", "solution": {"text": "Для ответа на третий вопрос изобразим относительное положение кораблей на море в тот момент, когда корабль $B$ пересекает линию движения корабля $A$ (см. рисунок ниже). <img_2> На этом рисунке точки $A^{'}$ и $B^{'}$ обозначают положения кораблей в начальный момент времени. Так как скорости кораблей и катера по модулю одинаковы, а угол между скоростями $\vec v_{1}$ и $\vec v_{2}$ равен $60^\circ$, точка $D$ встречи катера с кораблём $B$ должна лежать в вершине равностороннего треугольника. Значит, $v \Delta t=a/2$, где $a$ — гипотенуза $\triangle A^{'}B^{'}B$, равная $2L/\sqrt3$. Отсюда находим $\Delta t$: $$ \Delta t=\frac{a}{2v}=\frac{1}{\sqrt3} \frac{L}{v}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta t=\frac{1}{\sqrt{3}} \frac{L}{v}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]