text: {"text": [{"text": "Один из более привычных электронных приборов, проявляющий свойства, подобные свойствам мемристора (зависимость сопротивления от тока в предыдущие моменты времени), — это . В ней сопротивление $R$ определяется концентрацией свободных электронов $n_e$, которая меняется при протекании тока:\[\begin{cases}R=\dfrac{F}{n_\mathrm e}\\ \dfrac{\mathrm dn_\mathrm e}{\mathrm dt}=-\beta n_\mathrm e+\alpha VI\end{cases}\]Здесь $F$ определяется геометрией трубки (в простейшей модели проводимость пропорциональна концентрации), слагаемое $-\beta n_\mathrm e$ отвечает за нейтрализацию свободных электронов при столкновениях, а последнее слагаемое $\alpha VI$ – за тепловую эмиссию электронов."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Какое минимальное напряжение $V_{\min}$ надо подать на газоразрядную лампу, чтобы она зажглась? Лампу подключают с источнику с ЭДС $\mathcal E$ и внутренним сопротивлением $r$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Чему будут равны равновесные ток через лампу и напряжение на ней? Пусть теперь на лампу подаётся переменное напряжение $V(t)=V_0\cos\omega t$. Внутреннее сопротивление источника по-прежнему равно $r$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Выразите ток и напряжение на лампе в некоторый момент времени через концентрацию электронов в трубке $n_\mathrm e$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Считая $n_\mathrm e$ практически постоянным, усредните уравнение на концентрацию и найдите равновесное значение концентрации электронов $n_{0}$. На самом деле концентрация электронов зависит от времени, и эту зависимость в первом приближении можно представить в виде:\[n_\mathrm e(t)=n_{ 0}+n_{1}\cos(2\omega t+\phi),\]где $n_1\ll n_{0}$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "Найдите $n_1$ и $\phi$. Изменение концентрации приводит к изменению сопротивления лампы. Определим максимальное относительное изменение как:\[\delta\equiv\frac{R_\max-R_\min}{R_\mathrm{avg}}.\]"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": null}, "text": "Определите $\delta$ для рассматриваемого процесса с лампой, считая, что $\delta\ll1$. Чему соответствует это условие малости в терминах исходных переменных задачи?"}]}
answer: [{"condition": "Какое минимальное напряжение $V_{\min}$ надо подать на газоразрядную лампу, чтобы она зажглась? ", "solution": {"text": "При постоянном напряжении на лампе уравнение на концентрацию электронов принимает вид:\[\frac{\mathrm dn_\mathrm e}{\mathrm dt}=-\beta n_\mathrm e+\alpha\frac{V_{\min}^2}{F}n_\mathrm e=\left[\alpha\frac{V_{\min}^2}{F}-\beta\right]n_\mathrm e.\]Лампа зажжётся, если выражение в скобках будет положительным. Таким образом, условие на $V_{\min}$:\[\alpha\frac{V_{\min}^2}{F}=\beta\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[V_{\min}=\sqrt{\frac{\beta F}{\alpha}}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему будут равны равновесные ток через лампу и напряжение на ней? ", "solution": {"text": "Равновесное напряжение на лампе в этом случае должно быть равно $V_\min$. Действительно: Равновесный ток через лампу будет равен току через источник, т.е.:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[V_{равн.}=\sqrt{\frac{\beta F}{\alpha}},\quad I_{равн.}=\frac{1}{r}\left(\mathcal E-\sqrt{\frac{\beta F}{\alpha}}\right)\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите ток и напряжение на лампе в некоторый момент времени через концентрацию электронов в трубке $n_\mathrm e$. ", "solution": {"text": "Если ток через лампу равен $I$, то напряжение на ней равно:\[V=\mathcal E-rI,\]а тогда из уравнения на сопротивление лампы:\[R=\frac{F}{n_\mathrm e}=\frac{\mathcal E-rI}{I}\implies\] Напряжение на лампе:\[V=\mathcal E-rI=\mathcal E-r\frac{\mathcal E n_\mathrm e}{rn_\mathrm e+F}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[I=\frac{\mathcal E n_\mathrm e}{rn_\mathrm e+F}\]  Напряжение на лампе:\[V=\mathcal E-rI=\mathcal E-r\frac{\mathcal E n_\mathrm e}{rn_\mathrm e+F}\implies\]", "Ответ: \[V=\frac{\mathcal E F}{rn_\mathrm e+F}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Считая $n_\mathrm e$ практически постоянным, усредните уравнение на концентрацию и найдите равновесное значение концентрации электронов $n_{0}$. ", "solution": {"text": "Подставляем полученные в предыдущем пункте выражения в уравнение на концентрацию электронов:\[0=-\beta n_{0}+\alpha\frac{V_0^2Fn_{0}}{(rn_{0}+F)^2}\cos^2\omega t.\]При усреднении по времени:\[\langle \cos^2\omega t\rangle_t=\dfrac{1}{2},\]откуда:\[0=-\beta n_{0}+\alpha\frac{V_0^2Fn_{0}}{2(rn_{0}+F)^2}\\\beta=\alpha\frac{V_0^2F}{2(rn_{0}+F)^2}\\ rn_{0}+F=V_0\sqrt{\frac{\alpha F}{2\beta}}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n_{0}=\frac{1}{r}\left(V_0\sqrt{\frac{\alpha F}{2\beta}}-F\right)\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите $n_1$ и $\phi$. ", "solution": {"text": "Подставим:\[n_{\mathrm e}(t)=\frac{1}{r}\left(V_0\sqrt{\frac{\alpha F}{2\beta}}-F\right)+n_1\cos(2\omega t+\phi)\]в уравнение на концентрацию электронов и раскроем в первом приближении. Поскольку нас будут интересовать только слагаемые, содержащие $\cos(2\omega t)$, будем писать в уравнении только их:\[\begin{aligned}n_1\frac{\mathrm d\left[\cos(2\omega t+\phi)\right]}{\mathrm dt}&=-\beta n_1\cos(2\omega t+\phi)+\alpha\frac{V_0^2Fn_{0}}{2\left(F+rn_{0}\right)^2}\cos(2\omega t)=\\&=-\beta n_1\cos(2\omega t+\phi)+\frac{\beta}{r}\left(V_0\sqrt{\frac{\alpha F}{2\beta}}-F\right)\cos(2\omega t).\end{aligned}\]Далее удобно писать в комплексной форме, поскольку получилось линейное тригонометрическое дифференциальное уравнение:\[2i\omega n_1e^{i \phi}=-\beta n_1e^{i\phi}+\frac{\beta}{r}\left(V_0\sqrt{\frac{\alpha F}{2\beta}}-F\right),\\n_1=\frac{\sqrt{2\beta F}\left(V_0\sqrt{\alpha}-\sqrt{2\beta F}\right)}{2r\sqrt{\beta^2+4\omega^2}},\quad -\phi=\arg\left(\beta+2i\omega\right)=\operatorname{arctg}\frac{2\omega}{\beta}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n_1=\frac{\sqrt{2\beta F}\left(V_0\sqrt{\alpha}-\sqrt{2\beta F}\right)}{2r\sqrt{\beta^2+4\omega^2}},\quad \phi=-\operatorname{arctg}\frac{2\omega}{\beta}\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите $\delta$ для рассматриваемого процесса с лампой, считая, что $\delta\ll1$. Чему соответствует это условие малости в терминах исходных переменных задачи? ", "solution": {"text": "Поскольку сопротивление обратно пропорционально концентрации электронов, можно переписать $\delta$ в терминах концентрации:\[\begin{aligned}\delta &=\frac{2n_1}{n_0}=\\&=2\cdot\frac{\sqrt{2\beta F}\left(V_0\sqrt{\alpha}-\sqrt{2\beta F}\right)}{2r\sqrt{\beta^2+4\omega^2}\cdot \dfrac{1}{r}\left(V_0\sqrt{\dfrac{\alpha F}{2\beta}}-F\right)}=\\&=\frac{2\beta}{\sqrt{\beta^2+4\omega^2}}\overset{\delta\ll1}\approx\frac{\beta}{\omega}\end{aligned}\] Таким образом, условие малости:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta=\frac{\beta}{\omega}\]  Таким образом, условие малости:", "Ответ: \[\omega\gg\beta\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "??"}]