text: {"text": [{"text": "Математический маятник находится на экваторе Земли. Обозначим период его колебаний в полдень $T_1$, а в полночь — $T_2$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите относительную разность этих периодов $\varepsilon=\cfrac{T_2-T_1}{T_1 }$. Используйте следующие приближения и численные значения: Земля является идеальным шаром радиуса $r_1=6.4\cdot {10}^3~\text{км}$; орбита Земли является окружностью радиуса $r_2=1,5\cdot {10}^8\ \text{rv}$ с центром, находящимся в центре Солнца; ось вращения Земли перпендикулярна плоскости земной орбиты; влиянием Луны и планет пренебречь; ускорение свободного падения па полюсе Земли $g_0=9,8\ \text{м/с}^2$; период обращения Земли вокруг своей оси составляет 1 сутки; период обращения Земли вокруг Солнца равен 1 году."}]}
answer: [{"condition": "Найдите относительную разность этих периодов $\varepsilon=\cfrac{T_2-T_1}{T_1 }$. ", "solution": {"text": "Период колебаний математического маятника определяется по формуле \begin{equation} T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, \end{equation} где $g$ — ускорение свободного падения в данный момент времени суток. Различие в периодах колебаний маятника в полдень и полночь обусловлено влиянием Солнца: гравитационным притяжением и центробежной силой, обусловленной движением Земли вокруг Солнца. Используя формулу для периода колебаний маятника, относительное изменение периода можно представить в виде: \begin{equation} \varepsilon =\frac{T_2-T_1}{T_1}=\sqrt{\frac{g_1}{g_2}}-1, \end{equation} где $g_1,g_2$ — ускорения свободного падения в полдень и полночь, соответственно. Направления вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца совпадают, как показано на рисунке 1. Направления действия гравитационных и центробежных сил в полдень и полночь оказываются различными, как показано на рисунке 2. <img_0> На рисунке 2: $mg_0$ — сила гравитационного притяжения к Земле; $F_1$ — центробежная сила, обусловленная вращением Земли вокруг собственной оси; $F_2$ — сила гравитационного притяжения к Солнцу; $F_3$ — центробежная сила, обусловленная движением Земли вокруг Солнца. Тогда ускорения свободного падения с учетом влияния Солнца будет определяться выражениями: В полдень: \begin{equation} g_1=g_0-{\omega }^2_1r_1-G\frac{M}{{\left(r_2-r_1\right)}^2}+{\omega }^2_2r_2. \end{equation} В полночь: \begin{equation} g_2=g_0-{\omega }^2_1r_1+G\frac{M}{{\left(r_2+r_1\right)}^2}-{\omega }^2_2r_2. \end{equation} В этих формулах $M$ — масса Солнца, $G$ — гравитационная постоянная. Для упрощения полученных выражений используем уравнение, описывающее движение Земли вокруг Солнца: \begin{equation} G\frac{M}{r^2_2}={\omega }^2_2r_2. \end{equation} С учетом этого соотношения, разность ускорений представляется в виде \begin{equation} \Delta g=g_1-g_2={\omega }^2_2r_2\left(2-{\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}^{-2}-{\left(1+\frac{r_1}{r_2}\right)}^{-2}\right). \end{equation} Заметим, что в данном случае для того, чтобы получить не нулевой результат в разложении степенных функций, необходимо учитывать и квадратичное слагаемое (т.е. $\left(1+x\right)^{-2} \approx 1-2x+3x^{2} $): \begin{equation} \Delta g={-6\omega }^2_2r_2{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2. \end{equation} Таким образом, относительное изменение периода колебаний, обусловленное влиянием Солнца, оказывается равным \begin{equation} \varepsilon \approx \frac{\Delta g}{2g_2}\approx \frac{\Delta g}{2g_0}, \end{equation} откуда получаем окончательный ответ"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ \varepsilon =-3\cfrac{{\omega }^2_2r_2}{g_0}{\left(\cfrac{r_1}{r_2}\right)}^2\approx -3,3\cdot {10}^{-12}. $"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "4,00"}]