text: {"text": [{"text": "Спиновый магнитный момент электрона равен\[\vec{\mu}=\frac{-e}m\vec S,\]где $-e$ ($e > 0$) — заряд электрона, $\frac{-e}m$ — отношение заряда к массе, $\vec S$ — спин электрона, $z$-компонента которого $S_z$ может принимать только два значения: $S_z=\pm\frac12\hbar$, где $\hbar=\frac h{2\pi}$, а $h$ — постоянная Планка. Будем считать, что магнитный момент атома с хорошей точностью равен спиновому магнитному моменту его электронов. Когда парамагнетик помещается во внешнее магнитное поле, происходит его намагничивание. Причина тому — изменение вероятности магнитных моментов его молекул быть направленными параллельно или антипараллельно полю. Степень намагниченности описывается магнитным моментом на единицу объёма $\vec M$, и $\vec M=\chi\vec H$, где $\chi$ — магнитная восприимчивость, $\vec H\equiv\frac1{\mu_0}\vec B-\vec M$ — напряжённость магнитного поля, $\vec B$ — магнитная индукция, а $\mu_0$ — магнитная проницаемость вакуума. В привычном нам диапазоне температур $T$ имеет место $\chi\ll1$, $kT\gg\frac{e\hbar}{2m}B$ ($k$ — постоянная Больцмана)."}, {"balls": {"number": "1.1", "exponent": null}, "text": "Предполагая, что магнитная индукция $\vec B$ однородна, а концентрация частиц парамагнетика равна $n$, выведите с помощью распределения Больцмана приближённое выражение для магнитной восприимчивости $\chi$. Оно имеет вид $\chi=\frac CT$. Найдите $C$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. Ферромагнетики отличаются от парамагнетиков тем, что при температуре ниже точки Кюри они могут создавать довольно высокую намагниченность и поддерживать её в отсутствие внешнего поля. Такое явление называется спонтанной намагниченностью. При спонтанной намагниченности в веществе возникают так называемые домены, внутри которых магнитные моменты молекул сонаправлены друг с другом вследствие квантовых эффектов. Упрощённо же можно считать, что в них существует сильное эквивалентное магнитное поле — молекулярное поле Вейсса. Это поле примерно на три порядка больше поля, создаваемого спиновыми магнитными моментами на межатомном расстоянии. Выше точки Кюри ферромагнетик превращается в парамагнетик, магнитная восприимчивость которого описывается законом Кюри—Вейсса:\[\chi=\frac C{T-\theta}\](где $\theta$ — температура Кюри), отличающимся от закона для обычного парамагнетика. Разница возникает из-за молекулярного поля $H_m$, которое можно записать в виде\[\vec H_m=\gamma\vec M.\]Концентрация частиц в ферромагнетике $n$ и температура Кюри $\theta$ известны."}, {"balls": {"number": "1.2", "exponent": null}, "text": "Найдите выражение для $\gamma$. Выведите выражение для молекулярного поля $H_m$, когда все магнитные моменты сонаправлены. В кристаллах ферромагнетика атомы располагаются в узлах кристаллической решётки. Магнитное поле, воспринимаемое каждым атомом, можно понимать как среднее молекулярное поле, создаваемое его соседями. Рассмотрим одномерную систему спинов, показанную на рисунке (a), магнитные моменты всех частиц в которой сонаправлены. Температура Кюри этой системы равна $\theta$. Считайте, что соотношение между $H_m$ и $\theta$, выведенное вами в пункте 1.2, сохраняется, количество узлов решётки равно $N$ ($N\gg1$), и в каждом узле находится один атом. При спонтанной намагниченности все спины сонаправлены, поскольку такое положение минимизирует энергию системы. <img_0>"}, {"balls": {"number": "2.1", "exponent": null}, "text": "Найдите, какой вклад $H'_m$ в молекулярное поле вносит каждый спин в соседнем с ним узле решётки. Найдите магнитную энергию системы спинов $E_N$. Предположим теперь, что спин в одном из внутренних узлов решётки перевернули, и он стал антипараллелен остальным, как показано на рисунке (b). <img_1>"}, {"balls": {"number": "2.2", "exponent": null}, "text": "На какую величину $\Delta E$ увеличилась энергия системы спинов по сравнению с ситуацией, описанной на рисунке (a)? Если соседние спины в кристаллической решётке вещества направлены противоположно, то такое вещество называется антиферромагнетиком. У антиферромагнетиков особая структура решётки — она состоит из чередующихся узлов двух типов $A$ и $B$, как показано на рисунке (c). Направление молекулярного поля ближайших спинов в антиферромагнетике противоположно направлению самого спина, поэтому при расчётах учитывается также поле, создаваемое спинами в соседних узлах того же типа. Таким образом, молекулярное поле можно выразить в виде:\[\vec H_{mA}=-\alpha_{AB}\vec\mu_B-\alpha_{AA}\vec\mu_A,\quad\vec H_{mB}=-\alpha_{BA}\vec\mu_A-\alpha_{BB}\vec\mu_B,\]где $\vec\mu_A$ и $\vec\mu_B$ — спиновый магнитный момент атомов в узлах $A$ и $B$ соответственно. Если в узлах каждого из типов находится только по одному типу атомов, то $\alpha_{AA}=\alpha_{BB}=\alpha$, $\alpha_{BA}=\alpha_{AB}=\beta$, $\beta > |\alpha|$. <img_2>"}, {"balls": {"number": "3.1", "exponent": null}, "text": "Найдите магнитную энергию $E_N$ антиферромагнетика с $N$ ($N\gg1$) узлами (по $\frac N2$ узлов типа $A$ и типа $B$). Температура Нееля — это температура, выше которой антиферромагнетик теряет свои свойства и превращается в парамагнетик. При этом намагниченность, создаваемая спинами, находящимися в узлах типа $A$ и типа $B$, равна соответственно:\[M_A=\frac C{2T}H_A,\quad M_B=\frac C{2T}H_B,\]где коэффициент $C$ совпадает с найденным в пункте 1.1."}, {"balls": {"number": "3.2", "exponent": null}, "text": "Найдите температуру Нееля $T$ одномерного антиферромагнетика. Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть атомы расположены в узлах двумерной квадратной решётки на плоскости $x-y$. Постоянная решётки равна $a$, а магнитные моменты атомов могут лежать в произвольном направлении в этой плоскости. Стрелками на рисунке (d) показано распределение магнитных моментов в квадратной области плоскости размером $L$ ($L\gg a$). Из-за молекулярного поля между ближайшими соседями в этой решётке возникает относительно сильное взаимодействие. Пусть угол между спином $\vec S_i$ в $i$-той точке решётки и осью $x$ составляет $\theta_i\in[0;2\pi]$, тогда магнитная энергия системы записывается в виде:\[E(\{\theta_i\})=-J'\sum_{\left\langle i,j\right\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j=-J\sum_{\left\langle i,j\right\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j),\]где $J'$ и $J$ ($J',J > 0$) — постоянные, а $\left\langle i,j\right\rangle$ обозначает все различные пары соседних узлов $i$ и $j$ (узел бесконечной квадратной решётки имеет 4 соседей). Конфигурация системы задаётся набором $\{\theta_i\}$. Если считать, что система находится в тепловом равновесии с окружающей средой, а её объём остаётся постоянным, то можно ввести свободную энергию Гельмгольца системы спинов в этот момент как $F=E-TS$, где $E$ — внутренняя энергия системы, а $S$ — её энтропия. <img_3> Одна из возможных конфигураций — вихрь — показана на рисунке (e). При обходе вихря вокруг центра по замкнутому контуру сумма разностей углов, задающих ориентацию магнитных моментов, в соседних точках $\left\langle i,j\right\rangle$ выбранного контура равна:\[\sum_{\left\langle i,j\right\rangle}(\theta_i-\theta_j)=2\pi l,\]где $l$ — натуральное число, задающее структуру вихря. На рисунке 5 показан случай $l=1$. Для удобства в качестве замкнутого контура возьмём окружность радиуса $r$ с центром в центре вихря. <img_4>"}, {"balls": {"number": "4.1", "exponent": null}, "text": "Найдите среднее значение разности ориентационных углов $\left\langle\theta_i-\theta_j\right\rangle$ между двумя соседними узлами решётки на окружности. Когда радиус окружности $r$ достаточно большой, можно считать, что спины расположены последовательно в ряд концентрических окружностей с шагом радиуса $a$, а угол между соседними магнитными моментами на каждой из окружностей можно считать равным нулю. Таким же приближением можно воспользоваться и в области малого радиуса, поскольку её вклад в полную энергию мал."}, {"balls": {"number": "4.2", "exponent": null}, "text": "Оцените энергию $E_\mathrm{vortex}$ вихря, показанного на рисунке 5. Если центр вихря находится в другой точке, то можно считать, что система находится в другом состоянии. Пусть на квадратной области решётки размером $L$ и постоянной решётки $a$ находится один вихрь."}, {"balls": {"number": "4.3", "exponent": null}, "text": "Оцените число возможных состояний $\Omega$ такой системы. Найдите энтропию системы $S\equiv k\ln\Omega$. Если для системы существует температура, выше и ниже которой свойства системы качественно различаются, то такое явление называется фазовым переходом."}, {"balls": {"number": "4.4", "exponent": null}, "text": "Найдите температуру $T$ фазового перехода рассматриваемой системы. Опишите этот фазовый переход."}]}
answer: [{"condition": "Предполагая, что магнитная индукция $\vec B$ однородна, а концентрация частиц парамагнетика равна $n$, выведите с помощью распределения Больцмана приближённое выражение для магнитной восприимчивости $\chi$. Оно имеет вид $\chi=\frac CT$. Найдите $C$.   $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\chi=\frac{\mu_0nm_0^2}{kT},\quad C=\frac{\mu_0n}k\left(\frac{e\hbar}{2m}\right)^2\]"]}, "number_part": "1.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите выражение для $\gamma$. Выведите выражение для молекулярного поля $H_m$, когда все магнитные моменты сонаправлены. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\gamma=\frac\theta C,\quad H_m=\frac{k\theta}{\mu_0m_0}\]"]}, "number_part": "1.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите, какой вклад $H'_m$ в молекулярное поле вносит каждый спин в соседнем с ним узле решётки. Найдите магнитную энергию системы спинов $E_N$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[H'_m=\frac{k\theta}{\mu_0m_0},\quad E_N=-\frac12(N-1)k\theta\]"]}, "number_part": "2.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На какую величину $\Delta E$ увеличилась энергия системы спинов по сравнению с ситуацией, описанной на рисунке (a)? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta E=2k\theta\]"]}, "number_part": "2.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите магнитную энергию $E_N$ антиферромагнетика с $N$ ($N\gg1$) узлами (по $\frac N2$ узлов типа $A$ и типа $B$). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E_N=-\frac12N\mu_0m_0^2(\beta-\alpha)\]"]}, "number_part": "3.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите температуру Нееля $T$ одномерного антиферромагнетика. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T=\frac{\mu_0m_0^2}k(\beta-\alpha)\]"]}, "number_part": "3.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднее значение разности ориентационных углов $\left\langle\theta_i-\theta_j\right\rangle$ между двумя соседними узлами решётки на окружности. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left\langle\theta_i-\theta_j\right\rangle=\frac{la}r\]"]}, "number_part": "4.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените энергию $E_\mathrm{vortex}$ вихря, показанного на рисунке 5. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E_\mathrm{vortex}=\pi Jl^2\ln\frac La\]"]}, "number_part": "4.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените число возможных состояний $\Omega$ такой системы. Найдите энтропию системы $S\equiv k\ln\Omega$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Omega=\frac{L^2}{a^2},\quad S=2k\ln\frac La\]"]}, "number_part": "4.3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите температуру $T$ фазового перехода рассматриваемой системы. Опишите этот фазовый переход. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T=\frac{\pi Jl^2}{2k}\]При $T < \frac{\pi Jl^2}{2k}$ свободная энергия системы стремится к $+\infty$ с ростом $L$, поэтому образование вихрей энергетически невыгодно. При $T > \frac{\pi Jl^2}{2k}$ свободная энергия системы стремится к $-\infty$ с ростом $L$, поэтому в системе возникает тенденция к образованию вихрей."]}, "number_part": "4.4", "exponent_part": "??"}]