text: {"text": [{"text": "Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли чертеж оптической схемы (см. рисунок). <img_0> От времени чернила выцвели, и на чертеже остался виден только луч, идущий через тонкую линзу, и две точки $A$ и $B$ пересечения его с передней и задней фокальными плоскостями."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При помощи построения восстановите положение линзы и ее фокусы."}]}
answer: [{"condition": "При помощи построения восстановите положение линзы и ее фокусы. ", "solution": {"text": "Рассмотрим отдельно случаи собирающей и рассеивающей линз. $1$. Собирающая линза. Все лучи, вышедшие из точки в фокальной плоскости, после линзы идут параллельно. Поэтому через точки $A$ и $B$ проведем прямые, параллельные преломленному и падающему лучам соответственно (см. рисунок ниже). <img_3> Луч $A K$ не преломился, следовательно он прошел через оптический центр линзы. Аналогично, луч $B E$ прошел через тот же центр. Следовательно, точка $O$ их пересечения является оптическим центром линзы. Через точку $P$ преломления луча и точку $O$ проведем прямую, которая будет пересечением плоскости линзы и плоскости рисунка. Прямая $M N$, перпендикулярная $P O$ и проходящая через точку $O$, является главной оптической осью линзы Фокусы линзы — основания перпендикуляров, опущенных из $A$ и $B$ на $M N$. $2$. Рассеивающая линза. Плоскость линзы расположена посередине между фокальными плоскостями и параллельна им. Поэтому точка $C$ (середина отрезка $A B$) находится в плоскости линзы (см. рисунок ниже). <img_4> Через точку $P$ преломления луча и точку $C$ проведем прямую, которая будет пересечением плоскости линзы и плоскости рисунка. Через точки $A$ и $B$ проведем прямые, параллельные $P C$. Они являются пересечениями фокальных плоскостей с плоскостью рисунка. Продолжим луч $P B$ до пересечения с фокальной плоскостью в точке $D$. Изображение точки $A$ в линзе находится на отрезке $D P$. Можно показать, что оно будет на расстоянии $\frac{f}{2}$ от линзы, где $f$ — ее фокусное расстояние. Следовательно, мнимым изображением точки $A$ является точка $A^{\prime}$ — середина $D P$. Луч $A A^{\prime}$ не преломляется, значит, он проходит через оптический центр $O$ линзы, которым является точка пересечения прямой $A L$ с плоскостью линзы. Прямая $M N$, перпендикулярная $P O$ и проходящая через точку $O$, является главной оптической осью линзы. Фокусы линзы — основания перпендикуляров, опущенных из $A$ и $B$ на $M N$."}, "answer": {"answers": ["<img_1>", "<img_2>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]