text: {"text": [{"text": "Тонкий, однородный нерастяжимый гибкий шнур длины $l$ изготовлен из ферромагнетика, причем магнитный момент каждого его маленького элемента направлен вдоль шнура. Один конец шнура удерживают на~расстоянии $l_1$ ($l_1 >l $) от~бесконечного прямого провода, по~которому течет электрический ток силой $I$~(см. рисунок). <img_0> Пренебрегая силой тяжести и собственным магнитным полем шнура"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "найдите расстояние между концами шнура в состоянии равновесия;"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "на каком расстоянии от провода окажется свободный конец шнура? Энергия маленького элемента шнура длиной $\Delta l$ во внешнем магнитном поле с индукцией $\vec{B}$ определяется выражением $$ \Delta W = -k B \Delta l \cos\varphi, $$ где $\varphi$~—~угол между $\vec{B}$ и направлением шнура, а $k$~—~постоянный коэффициент."}]}
answer: [{"condition": "найдите расстояние между концами шнура в состоянии равновесия; ", "solution": {"text": "$\textbf{Решение~1}$. Шнур расположится в~магнитном поле провода так, чтобы энергия его взаимодействия с~полем постоянного тока была минимальна. <img_1> Просуммируем энергии взаимодействия маленьких элементов шнура с~полем, получаем $$ W=-kB_1\Delta l_1\cos{\varphi_1}-kB_2\Delta l_2\cos{\varphi_2}-kB_3\Delta l_3\cos{\varphi_3}-\dots, \tag1 $$ где $\Delta l_1$,~$\Delta l_2$,~$\Delta l_3$, $\dots$~—~длины малых элементов, на~которые мы разбиваем шнур, $B_1$,~$B_2$,~$B_3$,$\dots$~—~индукции магнитного поля провода в~тех точках, где находятся соответствующие малые элементы шнура, $\varphi_1$,~$\varphi_2$,~$\varphi_3$,$\dots$~—~углы между векторами индукции магнитного поля и~соответствующими малыми элементами шнура, $k$~—`коэффициент пропорциональности, зависящий от~«силы» магнитов, и~потому одинаковый для всех элементов шнура, поскольку он однороден. Для индукции магнитного поля, создаваемого прямым током, имеем $$ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}, \tag 2 $$ где $\mu_0$~—~магнитная постоянная, $I$~—~сила тока в~проводе, $r$~—~расстояние от~провода до~точки наблюдения. Причем вектор $\vec{B}$, модуль которого определен формулой $(2)$, в~каждой точке направлен по~касательной к~окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной проводу. Отсюда сразу следует, что весь шнур должен лежать в~одной плоскости, перпендикулярной проводу. Действительно, «выход» шнура из~этой плоскости увеличит углы между его элементами и~вектором индукции, и~потому энергетически невыгоден. Подставляя индукцию $(2)$ в~формулу~$(1)$, получаем $$ W=-\frac{k\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{\Delta l_1\cos{\varphi_1}}{r_1}+\frac{\Delta l_2\cos{\varphi_2}}{r_2}+\frac{\Delta l_3\cos{\varphi_3}}{r_3}+\dots\right), \tag 3 $$ где $r_1$,~$r_2$,~$r_3$,$\dots$~—~расстояние от провода в~тех точках, где находятся соответствующие малые элементы шнура. Минимуму энергии~$(8)$ отвечает максимум выражения в~скобках. Каждое слагаемое в скобках выражения~$(8)$ соответствует углу $\Delta \alpha_i = \cfrac{\Delta l_1 \cos(\varphi_i)}{r_i}$, под которым виден элемент шнура из точки провода. А, следовательно, сумма в~скобках~—~это угол $\alpha$, под~которым из точки провода виден весь шнур. Таким образом, минимуму энергии шнура отвечает такое его расположение, когда угол $\alpha$, под которым виден весь шнур из~точки провода, лежащей в~той~же плоскости, что и~шнур, максимален. Найдем это положение. <img_2> <img_3> Угол~$\alpha$ максимален, когда шнур прямой~(см. рис. 1) и~(см. рис. 2), следовательно расстояние между его концами равно длине провода $l$. Угол~$\alpha$ максимален, когда сам шнур и~отрезок, соединяющий его свободный конец перпендикулярны. При этом расстояние от~провода до~этого конца шнура равно~$\sqrt{l_1^2-l^2}$. $\textbf{Решение~2}$. Шнур расположится в~магнитном поле провода так, чтобы энергия его взаимодействия с~полем была минимальна. Энергия малого элемента шнура в магнитном поле описывается в точности такой же формулой, что и~энергия электрического диполя (системы двух зарядов~$+q$ и~$-q$, расположенных на~малом расстоянии $\Delta l$ друг от~друга) в~электрическим поле~$\vec{E}$. Поэтому при~определении равновесного положения шнура во~внешнем поле~$\vec{B}$ можно заменить его на~«цепочку» из~диполей в~поле~$\vec{E}$ такой же конфигурации, что и~$\vec{B}$. В этой «цепочке» диполи ориентированы вдоль неё, и~противоположные заряды соседних диполей компенсируются. Поэтому «цепочка» из~диполей эквивалентна гибкой цепочке с~зарядами~$+q$ и~$-q$ на~концах. Если пренебречь взаимодействием этих зарядов и~силой тяжести, то~очевидно, что вектор~$\vec{E}$ в~точке расположения свободного конца цепочки должен быть направлен вдоль цепочки (сила $q\vec{E}$ уравновешивается силой натяжения цепочки). Также ясно, что в~состоянии равновесия цепочка, растягиваемая за~свободный конец, будет отрезком, проходящим через закреплённый конец и~$\vec{E}$. Значит расстояние между его концами равно длине шнура~$l$. Возвращаясь к~шнуру в~поле провода, приходим к~выводу: шнур будет растянут по~прямой в~плоскости перпендикулярной проводу и перпендикулярен радиусу, проведённому от~оси провода к~свободному концу шнура~(см. рис. 2). Значит $x = \sqrt{l_1^2-l^2}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Расстояние между концами шнура равно длине провода $l$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "на каком расстоянии от провода окажется свободный конец шнура? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x = \sqrt{l_1^2-l^2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]