text: {"text": [{"text": "Лорд Релей посетил город Дарджилинг в Индии в 1897 г. Глядя на гору Эверест на расстоянии 170 км, он вспомнил о вопросе про затухание света в воздухе и видимость далеких пиков, который Джеймс Максвелл задавал на 26 лет раньше. Два года спустя, в 1899, лорд Релей опубликовал знаменитую статью, в которой исследовал эту проблему. В задаче мы постараемся воссоздать современную версию рассуждений Релея. Представим нейтральную молекулу воздуха как неподвижный положительный заряд \(q\), окруженный сферически симметричным однородным заряженным облаком массы \(m\), радиуса \(r\) с зарядом \(- q\). Собственная (циклическая) частота колебаний молекулы \(\omega_0\). Под действием падающего света отрицательно заряженное облако колеблется, сохраняя сферическую форму, с циклической частотой \(\omega\): $$y=y_0 \cos(\omega t),$$ Поле падающей световой волны: $$\vec{E}(t)=E_0 \cos(\omega t) \hat{y}.$$ Здесь \(y\) обозначает расстояние между неподвижным положительным зарядом и центром отрицательно заряженного облака молекулы."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите уравнения движения для \(y\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \(E(t)\,q/m\)."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя приведенную выше информацию и решая уравнение для \(y\), найдите амплитуду колебаний."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите дипольный момент \(p(t)\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \(\omega \ll \omega_0 \)."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Получите выражение для \(\omega_0\) через \(q\), \(m\) и \(r\). Диполь с синусоидальной зависимостью дипольного момента от времени излучает электромагнитные волны. Мощность излучения зависит от амплитуды дипольного момента \(p_0 = q y_0\), электрической постоянной \(\epsilon_0\), скорости света \(c\), и частоты колебаний \(\omega\)."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Используя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \(s\) через приведенные выше величины."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,20"}, "text": "Коэффициент пропорциональности равен \(1/12 \pi\). Выразите ответ для излучаемой мощности \(s\) через \(E_0\), \(\omega_0\), \(\omega\) и другие величины. Примите \(\omega \ll \omega_0 \). Интенсивность электромагнитной волны равна $\frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$. Эта интенсивность уменьшается вдоль светового луча, поскольку мощность $S = n_0 s $ рассеивается в единице объема. Здесь \(n_0\) — количество молекул в единице объема."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Запишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \(I(x)\)."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Получите выражение для интенсивности \(I(x)\) как функции \(x\) через характерное расстояние \(L\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \(I_0\)."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах. $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах. $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах. $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах. $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах. $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах. $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\ \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\ \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$ Получите численное значение $L$ в километрах."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "2,00"}, "text": "На рисунке точка \(P\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \(h\) = 2042 м над уровнем моря. Линия \(BS\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \(d\) = 170 км от Дарджилинга, а высота равна \(H\) = 8848 м. Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии 75 км от Дарджилинга, ее высота 8586 м. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \(H'\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \(R\) равен 6378 км. <img_0>"}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "1,00"}, "text": "Примите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет 5\% или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга."}, {"balls": {"number": "F1", "exponent": "1,00"}, "text": "Выше мы нашли характерную длину затухания \(L\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \(L_{p}\) связанную с рассеянием частицами \emph{аэрозоля} (загрязнение). \(L_{p}\) зависит от концентрации \(n\) частиц и от площади сечения \(\pi r^2\) частицы аэрозоля радиуса \(r\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной 1/8. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \(\rho_p = 5~ \mathrm{мкг}/\mathrm{м}^3\), а средний радиус частиц равен 500 нанометров. Чему равна длина \(L_p\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \(\rho = 3~\mathrm{г}/\mathrm{см}^3\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\)."}, {"balls": {"number": "G1", "exponent": "1,00"}, "text": "Оцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет."}]}
answer: [{"condition": "Запишите уравнения движения для \(y\). Величина вклада в ускорение за счет электрического поля равна \(E(t)\,q/m\). ", "solution": {"text": "Без электрического поля уравнение движения $$ \ddot{y} = -\omega_0^2 y, $$ после добавления электрического поля получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \ddot{y} = -\omega_0^2 y - \frac{q E_0}{m} \cos \omega t $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя приведенную выше информацию и решая уравнение для \(y\), найдите амплитуду колебаний. ", "solution": {"text": "Подставив в уравнение $y = y_0 \cos \omega t$, получим $$ - \omega^2 y_0 = - \omega_0^2 y_0 - \frac{qE_0}{m}, $$ откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ y_0 = \frac{q E_0/m}{\omega^2 -\omega_0^2} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите дипольный момент \(p(t)\) молекулы воздуха как функцию времени в случае \(\omega \ll \omega_0 \). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ p(t) = -q y(t) \approx \frac{q^2 E_0}{m \omega_0^2}\cos \omega t $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Получите выражение для \(\omega_0\) через \(q\), \(m\) и \(r\). ", "solution": {"text": "Моделируем атом как неподвижный положительный заряд $q$, окруженный сферическим отрицательно заряженным облаком с полным зарядом $-q$, радиус $r$, масса $m$. Пусть облако смещается на малое расстояние $y$. Электростатическая сила, действующая на облако со стороны заряда $$ \vec{F}_{el} = m\ddot{y} \hat {y} = - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} y \hat{y} = -m \omega_0^2 y\hat{y}. $$ Тогда собственная частота колебаний"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega_0 = \frac{q}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 m r^3}} $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя анализ размерностей, выразите излучаемую мощность \(s\) через приведенные выше величины. ", "solution": {"text": "Запишем размерности величин, входящих в формулу для мощности излучения \begin{align} & [s] = кг \cdot м^2 \cdot с^{-3}\\ &[p_0] = Кл \cdot м\\ &[\omega] = c^{-1} \\ & [\varepsilon_0 ] = Кл^2 \cdot кг^{-1} \cdot м^{-3} \cdot с^2\\ &[c]= м \cdot с^{-1} \end{align} Пусть формула для мощности имеет вид $s = p_0^\alpha \omega^\beta \varepsilon_0^\gamma c^\delta$. Приравнивая размерности, получим следующие уравнения: \begin{align} &\alpha + 2 \gamma = 0;\\ & \gamma = -1;\\ & -\beta + 2 \gamma -\delta = -3;\\ & \alpha - 3 \gamma + \delta = 2. \end{align} Из них находим $$ \alpha = 2;\; \beta = 4;\; \gamma = -1;\; \delta = -3. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ s = k \frac{p_0^2 \omega^4}{\varepsilon_0 c^3} $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Коэффициент пропорциональности равен \(1/12 \pi\). Выразите ответ для излучаемой мощности \(s\) через \(E_0\), \(\omega_0\), \(\omega\) и другие величины. Примите \(\omega \ll \omega_0 \). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ s = \frac{1}{12 \pi} \frac{p_0^2 \omega^4}{\varepsilon_0 c^3} = \frac{1}{12\pi} \frac{q^4 E_0^2}{m^2 \varepsilon_0 c^3} \frac{\omega^4}{\omega_0^4} $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Запишите дифференциальное уравнение для затухания интенсивности \(I(x)\). ", "solution": {"text": "Интенсивность — мощность, проходящая через единицу площади. Рассмотрим горизонтальный цилиндр в атмосфере, площадь поперечного сечения $A$, длина $\Delta x$. Пусть падающая интенсивность $I(x)$, а выходящая интенсивность $I(x + \Delta x)$. Интенсивность уменьшается за счет того, что свет рассеивается молекулами воздуха. Если концентрация молекул $n_0$, полная мощность излучения на единицу объема равна $n_0 s$. Поэтому $$ I(x) A - I(x+ \Delta x) A = n_0 s(A \Delta x). $$ Отсюда находим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ - \frac{dI}{dx} = n_0 s. $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Получите выражение для интенсивности \(I(x)\) как функции \(x\) через характерное расстояние \(L\), на котором происходит затухание интенсивности. Начальная интенсивность равна \(I_0\). ", "solution": {"text": "Поскольку мощность излучения $s$ пропорциональна $E_0^2$ а интенсивность света $I$ также пропорциональна $E_0^2$, получаем $$ - \frac{dI}{dx} = \frac{I}{L}, $$ где $L$ — некоторая постоянная с размерностью длины, которую можно найти из выражений для $I$ и $s$: $$ L = \frac{6 \pi \varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \left( \frac{\omega_0}{\omega}\right)^4. $$ Решение уравнения на интенсивность $$ I = I_0 e^{- x/L} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L = \frac{6 \pi \varepsilon_0^2 m^2 c^4}{n_0 q^4} \left( \frac{\omega_0}{\omega}\right)^4,\quad I = I_0 e^{- x/L}. $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть $m$ равна массе электрона (обычно заряженное облако состоит из одного электрона) и возьмите  $$n_0 = 2.54 \times 10^{25}~\mathrm{м}^{-3}, \\  \omega_0 = 1.25 \times 10^{16} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}, \\  \omega = 3.25 \times 10^{15} ~\mathrm{рад} \cdot \mathrm{с}^{-1}.$$  Получите численное значение $L$ в километрах. ", "solution": {"text": "Подставим числа в общую формулу и получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L \approx 130~ км. $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "На рисунке точка \(P\) обозначает Дарджилинг, горная станция (поселение в горах) в восточных Гималаях на высоте \(h\) = 2042 м над уровнем моря. Линия \(BS\) обозначает гору Эверест, которая находится на расстоянии \(d\) = 170 км от Дарджилинга, а высота равна \(H\) = 8848 м. Другая гора Канченджанга (не показана на рисунке) находится на расстоянии 75 км от Дарджилинга, ее высота 8586 м. Получите выражение и численные значения для вертикальных высот \(H'\) этих гор, как они выглядят для наблюдателя из Дарджилинга, через упомянутые выше величины. Считайте, что наблюдатель не может видеть ниже локального горизонта. Изобразите соответствующий рисунок. Радиус Земли \(R\) равен 6378 км. ", "solution": {"text": "<img_1> В $\Delta OP B^\prime$ $$ OB^\prime = \frac{OP}{\cos \theta} = \frac{R + h}{\cos \theta}. $$ Поскольку $\angle OSP = \angle B^\prime S S^\prime$ и $\angle SOP = \angle S B^\prime S^\prime$, треугольники $\Delta OSP$ и $\Delta B^\prime S S^\prime$ подобны, откуда $$ \frac{B^\prime S^\prime}{OP} = \frac{B^\prime S}{O S} = \frac{OS - OB^\prime}{OS} = 1 - \frac{OB^\prime }{OS}. $$ Заметим, что $B^\prime S^\prime = H^\prime$, $OP = R + h$, $OS = R + H$. Используя выражение для $OB^\prime$, получим $$ \frac{H^\prime}{R + h} = 1 - \frac{R + h}{(R + H) \cos \theta} $$ $$ H^\prime = R + h - \frac{(R + h)^2}{R + H} \frac{1}{\cos \theta}. $$ С учетом малости угла $\theta = d/R$ можно использовать $\cos \theta \approx 1 - \theta^2/2$, поэтому"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ H^\prime \approx R + h - \frac{(R+h)^2}{R+H} \left( 1 + \frac{d^2}{2 R^2}\right) \approx H -h - \frac{d^2}{2 R}. $$ $$ H^\prime = 6096 \text{м (Канченджанга)};\quad H^\prime = 4534 \text{м (Эверест)}. $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Примите за исходное (reference) значение видимой яркости вершины горы Канченджанга, как она выглядит из Дарджилинга. Чему будет равно отношение яркости вершины горы Эверест, как она выглядит из Дарджилинга, к интенсивности Канченджанга? Изменением концентрации воздуха с высотой можно пренебречь. Если интенсивность составляет 5\% или больше начального значения, гора считается видимой. Можно ли увидеть Эверест из Дарджилинга. ", "solution": {"text": "В уравнении $I = I_0 e^{-x/L}$ $I_0$ означает интенсивность источника, которую наблюдатель бы видел в данной точке, если бы не было затухания. Если мощность источника равна $P_0$, тогда $I_0 = P_0/(4 \pi d^2)$ для источника на расстоянии $d$. $$ I = \frac{P_0}{4 \pi d^2} e^{-d /L} $$ Относительная яркость Эвереста (для наблюдателя в Дарджилинге):"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{I_{E}}{I_{K}} = \frac{d_K^2}{d_E^2} \exp\left[ \frac{d_K - d_E}{L}\right] \approx 0.093 (\text{Эверест видно}) $$"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выше мы нашли характерную длину затухания \(L\), связанную с рассеянием на молекулах воздуха. Сейчас мы рассматриваем длину затухания \(L_{p}\) связанную с рассеянием частицами \emph{аэрозоля} (загрязнение). \(L_{p}\) зависит от концентрации \(n\) частиц и от площади сечения \(\pi r^2\) частицы аэрозоля радиуса \(r\). Получите эту зависимость, используя физические соображения и метод размерностей. Безразмерную константу примите равной 1/8. С учетом малости загрязнения в Дарджилинге, плотность аэрозоля равна \(\rho_p = 5~ \mathrm{мкг}/\mathrm{м}^3\), а средний радиус частиц равен 500 нанометров. Чему равна длина \(L_p\)? Пусть плотность одной частицы аэрозоля \(\rho = 3~\mathrm{г}/\mathrm{см}^3\).   Примечание: \(1~\mathrm{мкг} = 10^{-9}~\mathrm{кг}\) и \(1~\mathrm{нм} = 10^{-9}~\mathrm{м}\). ", "solution": {"text": "Из размерности и информации в условии находим $$ L_p = \frac{1}{8 n \pi r^2}. $$ Концентрацию можно связать с плотностью аэрозоля и массой одной частицы аэрозоля. Массу в свою очередь можно выразить через плотность и радиус $$ n = \frac{\rho_p}{m}, \quad m = \frac{4 \pi}{3} r^3 \rho. $$ Отсюда находим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L_p = \frac{r \rho}{6 \rho_p} = 50~ км. $$"]}, "number_part": "F1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Оцените относительную яркость Канченджанга и Эвереста с приведенным выше уровнем загрязнения. Какие из этих гор будут видны из Дарджилинга (если такие будут)? Считайте, что загрязнение постоянно вдоль пути, по которому распространяется свет. ", "solution": {"text": "Новое выражение для интенсивности (с учетом двух вкладов в затухание) $$ I = \frac{P_0}{4 \pi d^2} \exp \left[ -\frac{d}{L} - \frac{d}{L_p}\right]. $$ Для горы Канченджанга $$ \frac{I_K}{I_{ref}} = \exp \left[ - \frac{d_K}{L_p} \right] = 0.22 $$ Это больше 5%, поэтому гора будет видима. Для Эвереста $$ \frac{I_E}{I_{ref}} = 0.093 \exp \left[ - \frac{d_E}{L_p} \right] = 0.003, $$ поэтому Эверест не видно."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Канченджанга $I_K/I_{ref} = 0.22$ — видно. Эверест: $I_E/I_{ref} = 0.003$ — не видно."]}, "number_part": "G1", "exponent_part": "1,00"}]