text: {"text": [{"text": "Для обнаружения некоторых полезных ископаемых используют прибор, принцип действия которого основан на изменении периода колебаний математического маятника над залежами руды."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Вычислите относительное изменение периода колебаний $\Delta T/T$ маятника над месторождением руды. Принять, что залежи имеют форму шара радиуса $R=1~км$, центр которого находится на глубине $h=1.2~км$. Плотность руды в 3 раза больше плотности Земли. Радиус Земли $R_3=6400~км$. Землю считать однородной."}]}
answer: [{"condition": "Вычислите относительное изменение периода колебаний $\Delta T/T$ маятника над месторождением руды. ", "solution": {"text": "Пусть $g_0$ — среднее ускорение свободного падения на поверхности земли. Приближенно можно считать, что $$g_0=\frac{G M_3}{R_3^2}=\frac{G}{R_3^2} \cdot\left(\frac{4}{3} \pi R_3^3 \rho_3\right)=\\=\left(\frac{4}{3} \pi G\right) \cdot \rho_3 R_3=g_0\\T_0=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_0}},$$где $L$ — длина маятника.Теперь рассмотрим точку над поверхностью того места, которое над залежами руды. <img_0> $$\begin{aligned}& g_1=g_0+\Delta g . \\& \Delta g=\frac{G \cdot m_p}{h^2}=\frac{G}{h^2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot 2 \rho_3=\left(\frac{4}{3} \pi G\right) \cdot 2 \rho_3 \frac{R^3}{h^2} . \\& T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_0+\Delta g}}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_0}} \cdot \sqrt{\frac{g_0}{g_0+\Delta g}}= \\& =T_0 \cdot \sqrt{\frac{1}{1+\frac{\Delta g}{g_0}}} \approx T_0\left(1-\frac{\Delta g}{2 g_0}\right), \quad т.к. \quad \Delta g \ll g_0 .\end{aligned}$$Подставляем $$\frac{\Delta g}{2 g_0}=\left(\frac{1}{2} \cdot 2 \frac{R^3}{h^2}\right) /_{R_3}=\frac{R^3}{h^2 R_3} .$$Итого, $$T=T_0\left(1-\frac{R^3}{h^2 \cdot R_3}\right)$$$\Delta T \approx T_0 \cdot \frac{R^3}{h^2 \cdot R_3}$ (по абсолютной велечине).$$\frac{\Delta T}{T_0} \approx \frac{R^3}{h^2 R_3}=1 \cdot 10^{-4}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$|\frac{\Delta T}{T}| \approx 1 \cdot 10^{-4}$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]