text: {"text": [{"text": "Часть A. Сила натяжения нити (2 балла) Как показано на рисунке, маятник массой $m$ и длиной $l_0$ может колебаться в вертикальной плоскости. Угол, который он образует с вертикалью, равен $\theta$, а смещение груза по окружности равно $x$ (оба числа положительны при отклонении груза вправо). При $|\theta|\ll1$ можно воспользоваться приближениями $\sin\theta\approx\theta$ и $\cos\theta\approx1-\frac{\theta^2}2$. Нить считайте невесомой и нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно $g$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,40"}, "text": "Запишите уравнение движения маятника."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите $x$ через $\theta$. Пусть амплитуда $\theta$ равна $A$, а в момент времени $t=0$ угол $\theta=0$. Найдите $\theta(t)$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите зависимость кинетической энергии груза от времени $K(t)$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите зависимость потенциальной энергии груза от времени $U(t)$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,10"}, "text": "Найдите полную механическую энергию маятника $E=K+U$. Покажите, что она постоянна."}, {"text": "Часть B. Изменение длины маятника (8 баллов) Предположим теперь, что нить в точке подвеса маятника из части $\bf A$ продета через небольшое отверстие, поэтому её длину можно менять. Рассмотрим, как будет меняться амплитуда колебаний при изменении длины маятника."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,50"}, "text": "Натяжение нити $S$ равно сумме центробежной силы и проекции силы тяжести на нить. Покажите, что $S$ можно представить в виде\[S(t)=C_0+C_1\cos(2\omega t),\]где $C_0$, $C_1$ и $\omega$ — положительные постоянные. Выразите $C_0$, $C_1$ и $\omega$ через $m$, $g$, $l_0$ и $A$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "При изменении длины маятника необходимо совершить работу. Пусть длина маятника меняется со временем по закону $l(t)$. Найдите, какая для этого нужна мощность. Выразите ответ через $l(t)$ и $S(t)$. В общем случае при изменении длины нити сила натяжения $S(t)$ отличается от полученной в $\bf A6$. Однако, поскольку в дальнейшем мы будем считать, что $l$ меняется со временем медленно, уравнение из $\bf A6$ можно считать справедливым. Рассмотрим сначала случай, когда скорость относительного изменения $l$ со временем много меньше $\omega$. Для нахождения работы в этом случае можно пренебречь быстро меняющимся членом в уравнении из $\bf A6$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите работу $\Delta W$, которую необходимо совершить при увеличении длины маятника на $\Delta l$. При изменении длины нити на $\Delta l$ точка отсчёта потенциальной энергии также смещается вниз на $\Delta l$. Таким образом, определённая в $\bf A5$ энергия маятника должна измениться на $\Delta E$, определённое с учётом изменения нулевого уровня энергии как:\[\Delta E=\Delta W-(-mg\Delta l)=\Delta W+mg\Delta l.\]"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,50"}, "text": "При изменении длины нити период $T$ маятника также изменяется и становится равным $T+\Delta T$. Покажите, что в первом приближении справедливо равенство:\[\frac{\Delta E}E+\frac{\Delta T}T=0.\]При $|\delta|\ll1$ можно пользоваться приближением $(1+\delta)^\alpha\approx1+\alpha\delta$. Поскольку в первом приближении изменение произведения энергии маятника на период $(E+\Delta E)(T+\Delta T)-ET$ равно\[ET\left(\frac{\Delta E}E+\frac{\Delta T}T\right)-ET=ET\left(\frac{\Delta E}E+\frac{\Delta T}T\right),\]произведение $ET$ остаётся постоянным."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,50"}, "text": "Как зависит амплитуда маятника $Al$ от $l$ при медленном изменении длины нити? Теперь будем считать, что длина нити меняется по следующему закону:\[l(t)=l_0-a\sin(\Omega t).\]Предполагается, что $0 < a\ll l_0$, а $\Omega$ — величина одного порядка с $\omega$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "2,50"}, "text": "Теперь вкладом осциллирующего члена в уравнении из $\bf A6$ уже нельзя пренебречь. Найдите, какую работу нужно совершить над маятником в промежутке времени от $0$ до $t$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "1,50"}, "text": "Покажите, что при $\Omega=2\omega$ энергия маятника на больших временах увеличивается прямо пропорционально $t$."}]}
answer: [{"condition": "Запишите уравнение движения маятника. ", "solution": {"text": "Момент силы, действующий на маятник:\[M=-mgl_0\sin\theta.\]Закон изменения момента импульса:\[M=I\ddot\theta=ml_0^2\ddot\theta.\]Используя приближение $\sin\theta\approx\theta$, получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[-g\theta=l_0\ddot \theta.\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите $x$ через $\theta$. Пусть амплитуда $\theta$ равна $A$, а в момент времени $t=0$ угол $\theta=0$. Найдите $\theta(t)$. ", "solution": {"text": "В используемом приближении:\[x=l_0\theta.\]Общее решение уравнения движения маятника:\[\theta(t)=C_1\cos\left(t\sqrt{\frac{g}{l_0}}\right)+C_2\sin\left(t\sqrt{\frac{g}{l_0}}\right).\]Учитывая начальные условия задачи:\[\begin{cases}C_1=0\\\sqrt{C_1^2+C_2^2}=A\end{cases}\implies C_2=\pm A\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\theta(t)=\pm A\sin\left(t\sqrt{\frac{g}{l_0}}\right)\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите зависимость кинетической энергии груза от времени $K(t)$. ", "solution": {"text": "Кинетическая энергия:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[K(t)=\frac{1}{2}mv^2=\frac12 ml^2\dot\theta^2(t)=\frac12mlgA^2\cos^2\left(t\sqrt\frac gl\right)\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите зависимость потенциальной энергии груза от времени $U(t)$. ", "solution": {"text": "Потенциальная энергия (считаем её равной нулю в положении равновесия маятника):"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[U(t)=mgl(1-\cos\theta)\approx \frac12mgl_0\theta^2(t)=\frac12ml_0gA^2\sin^2\left(t\sqrt\frac gl\right)\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите полную механическую энергию маятника $E=K+U$. Покажите, что она постоянна. ", "solution": {"text": "Полная механическая энергия:\[E=K(t)+U(t)=\frac12mgl_0A^2=\operatorname{const}\]"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Натяжение нити $S$ равно сумме центробежной силы и проекции силы тяжести на нить. Покажите, что $S$ можно представить в виде\[S(t)=C_0+C_1\cos(2\omega t),\]где $C_0$, $C_1$ и $\omega$ — положительные постоянные. Выразите $C_0$, $C_1$ и $\omega$ через $m$, $g$, $l_0$ и $A$. ", "solution": {"text": "По условию сила натяжения нити равна:\[S(t)=mg\cos\theta(t)+mv^2/l_0=mg-\frac12 mg\theta(t)^2+ml_0\dot\theta^2(t)=mg-\frac12mgA^2\sin^2(t\sqrt{g/l_0})+ml_0\frac{g}{l_0}A^2\cos^2(t\sqrt{g/l_0}).\]Поскольку $\sin^2(t\sqrt{g/l_0})=(1-\cos(2t\sqrt{g/l_0}))/2$ и $\cos^2(t\sqrt{g/l_0})=(1+\cos(2t\sqrt{g/l_0}))/2$, то:\[S(t)=mg \cdot \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right)+mg \cdot \cfrac{3}{4}A^2\cos\left(2t\sqrt{g/l_0}\right)\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega=\sqrt{g/l_0}\]", "Ответ: \[C_0=mg \cdot \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right)\]", "Ответ: \[C_1=mg \cdot \cfrac{3}{4}A^2\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "При изменении длины маятника необходимо совершить работу. Пусть длина маятника меняется со временем по закону $l(t)$. Найдите, какая для этого нужна мощность. Выразите ответ через $l(t)$ и $S(t)$. ", "solution": {"text": "Точка приложения силы смещается на величину $-\mathrm dl=-\dot l\,\mathrm dt$ за время $\mathrm dt$. Таким образом, необходимая мощность равна:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P=-S(t)\dot l(t)\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите работу $\Delta W$, которую необходимо совершить при увеличении длины маятника на $\Delta l$. ", "solution": {"text": "Поскольку изменение длины нити происходит медленно, мощность можно усреднять по периоду движения маятника. Это значит, что в ответе не останется слагаемого, содержащего косинус, поэтому:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta W = - \int \limits_{0}^t S(\xi) \dot {l}(\xi) \, \mathrm d\xi= - mg \left (1 + \cfrac{A^2}{4} \right) \cdot \Delta l\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "При изменении длины нити период $T$ маятника также изменяется и становится равным $T+\Delta T$. Покажите, что в первом приближении справедливо равенство:\[\frac{\Delta E}E+\frac{\Delta T}T=0.\]При $|\delta|\ll1$ можно пользоваться приближением $(1+\delta)^\alpha\approx1+\alpha\delta$. ", "solution": {"text": "Найдём относительное изменение периода маятника:\[\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta\left(2\pi\sqrt{l_0/g}\right)}{2\pi\sqrt{l_0/g}}=\frac{1}{2}\frac{\Delta l_0}{l_0}.\]Найдём теперь относительное изменение энергии. Работа, совершённая на маятником при вытягивании нити:\[\Delta W=-mg\Delta l_0-mg\Delta l_0 A^2/4.\]Здесь следует заметить, что потенциальная энергия маятника отсчитывается от положения равновесия, которое меняется при вытягивании нити. В частности, при смещении нуля потенциальной энергии на $\Delta l_0$ вниз потенциальная энергия маятника должна увеличиться на $mg\Delta l_0$. Таким образом, изменение энергии маятника:\[\Delta E=\Delta W+mg\Delta l_0=-mg\Delta l_0 A^2/4.\]Энергия маятника равна:\[E=\frac12 mgl_0A^2.\]Таким образом, относительное изменение энергии маятника равно:\[\frac{\Delta E}{E}=-\frac12\frac{\Delta l_0}{l_0},\]откуда следует требуемое равенство."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Как зависит амплитуда маятника $Al$ от $l$ при медленном изменении длины нити? ", "solution": {"text": "Из условия следует, что при медленном вытягивании нити постоянной остаётся величина $ET\sim lA^2\cdot \sqrt l=(lA)^2/\sqrt l=\operatorname{const}\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Теперь вкладом осциллирующего члена в уравнении из $\bf A6$ уже нельзя пренебречь. Найдите, какую работу нужно совершить над маятником в промежутке времени от $0$ до $t$. ", "solution": {"text": "«Честно» проинтегрируем мощность:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\Delta W = - \int \limits_{0}^t S(\xi) \dot {l}(\xi) \, \mathrm d\xi= \\= mga \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right) \cdot \sin \Omega t + \cfrac{3}{8} \cdot \cfrac {mga \Omega A^2}{2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}+\Omega} \cdot \sin \left( 2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}+\Omega \right) t + \cfrac{3}{8} \cdot \cfrac {mga \Omega A^2}{2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}-\Omega} \cdot \sin \left( 2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}-\Omega \right) t$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Покажите, что при $\Omega=2\omega$ энергия маятника на больших временах увеличивается прямо пропорционально $t$. ", "solution": {"text": "При $\Omega =2\omega$ последнее слагаемое будет иметь другой вид, а именно:\[\Delta W = - \int \limits_{0}^t S(\xi) \dot {l}(\xi) \, \mathrm d\xi= \\= mga \left( 1 + \cfrac{A^2}{4} \right) \cdot \sin \left(2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}\right) t + \cfrac{3}{16} {mga A^2} \cdot \sin \left( 4\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}\right) t +\cfrac{3}{4}mga A^2\sqrt{\cfrac{g}{l_0}}t.\]На больших временах это слагаемое будет доминировать над всеми остальными, и энергия маятника будет расти прямо пропорционально времени, что и требовалось доказать."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B6", "exponent_part": "1,50"}]