text: {"text": [{"text": "В архиве Снеллиуса нашли чертеж оптической схемы. Чернила от времени выцвели и на чертеже остались видны только три точки: фокус $f$, точечный источник света $S$ и его изображение $S^{\prime}$. Измерения показали, что расстояние между фокусом $f$ и источником света равно $1$ дюйму, между источником света $S$ и его изображением равно $27$ дюймам и между фокусом $f$ и изображением источника света равно $\sqrt{730}$ дюймам. Из пояснений к чертежу следовало, что линза была положительная и находилась в воздухе."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему равно фокусное расстояние этой линзы?"}]}
answer: [{"condition": "Чему равно фокусное расстояние этой линзы? ", "solution": {"text": "Из анализа расстояний (см. рисунок ниже) видно, что треугольник $S^{\prime} S f$ — прямоугольный. <img_0> Оптический центр $O$ линзы лежит на отрезке прямой $S^{\prime} S$ или его продолжении. Если изображение $S^{\prime}$ действительное, то $S$ и $S^{\prime}$ лежат по разные стороны линзы и независимо от того, какой фокус (передний или задний) сохранился на схеме, угол $S^{\prime} S f$ всегда будет острым, но по условию задачи он прямой. Следовательно, изображение $S$ мнимое и лежит с источником $S$ по одну сторону от линзы. Из свойств положительной линзы следует, что если изображение источника мнимое, то источник $S$ должен находиться к линзе ближе, чем изображение $S^{\prime}$ и фокус $f$. Таким образом, оптический центр $O$ должен находиться правее источника $S$ (см. рисунок ниже). <img_1> Проведем качественное построение хода лучей, считая, что заданы точки $f, S$ и $O$. Главная оптическая ось проходит через точки $f$ и $O$. Линза перпендикулярна оптической оси. Луч, пущенный из $f$ через $S$, дойдя до линзы, преломится в точке $L$ и пойдет параллельно главной оптической оси, а изображение $S^{\prime}$ должно находиться на продолжении преломленного луча (см. рисунок ниже). <img_2> Углы $S^{\prime} S f$ и $f S O$, $O S L$ и $L S S^{\prime}$ — прямые, a $\triangle f S O \sim \triangle O S L \sim \triangle L S S^{\prime}$. Поэтому можно записать $$ \frac{S O}{S f}=\frac{L S}{S O}=\frac{S^{\prime} S}{L S}=k, $$ откуда $\left(S S^{\prime}\right)=k(L S)=k^{2}(S O)=k^{3}(S f)$, $$ k=\sqrt[3]{\frac{\left(S S^{\prime}\right)}{(S f)}}=\sqrt[3]{27}=3. $$ Теперь находим фокусное расстояние линзы $$ f O=\sqrt{(f S)^{2}+(S O)^{2}}=\sqrt{10}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f O=\sqrt{(f S)^{2}+(S O)^{2}}=\sqrt{10}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]