text: {"text": [{"text": "С развитием современных технологий (в т.ч. беспилотных автомобилей) становятся востребованы LiDAR (англ. Light Detection and Ranging) — приборы для измерения расстояния до объектов в режиме реального времени. Прибор посылает лазерные импульсы к объекту и измеряет время, через которое рассеянный сигнал будет принят фотодетектором. Одним из перспективных видов таких фотодетекторов, способных быстро детектировать короткие импульсы ($<1~\text{нс}$) в широком динамическом диапазоне, являются ТФУ (твердотельные фотоумножители). ТФУ образован матрицей параллельно соединенных ячеек. Каждая ячейка приближённо представляет из себя $p\text{-}n$ переход на кремнии и нанесенный на него диэлектрический слой с утечкой (слой гашения). Кремний является полупроводником, и при нормальных условиях электроны в нем почти не проводят электрический ток. Однако, при попадании света на ячейку, электрон в полупроводнике может стать проводящим. Разгоняясь в достаточно сильном электрическом поле, этот электрон «выбивает» другие электроны в проводящее состояние, новые электроны также разгоняются, и так далее — этот процесс называется лавинной ударной ионизацией. На границе слоя гашения при этом накапливается заряд, который экранирует поле в области умножения, и лавина затухает. Изготовление опытного образца ТФУ — сложный и дорогостоящий технологический процесс, а непосредственное численное моделирование электрофизики многоячеистого прибора затруднено из-за ограничений по вычислительной мощности, поэтому полезно заранее оценивать характеристики сконструированного прибора. Для упрощения расчетов разработана модель эквивалентной электрической схемы ТФУ, состоящая из линейных компонентов (резисторы, емкости, индуктивности) — приближенно описывающая компоненты реального детектора. Рассмотрим эквивалентную электрическую схему ТФУ, подключенную к источнику питания и измерительному устройству. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Лавинный процесс (2.5 балла) Пусть схема находится в установившемся режиме, то есть на нее в течении очень большого времени не попадало световых импульсов и ключи $K$ были разомкнутыми."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,40"}, "text": "В условиях установившегося режима свет попадает одновременно на $n$ ячеек. Рассмотрим состояние схемы через настолько малое время после попадания света, что зарядом, протекшим через индуктивность можно пренебречь. Также можно пренебречь и протеканием заряда через сопротивления утечки $R$. Пусть $\Delta{V}$ — изменение напряжения на конденсаторе $C_0$ и на ячейках по завершении лавинного процесса. Полярность изменения напряжения примите той же, что и полярность напряжения в установившемся режиме."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,80"}}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите изменение напряжения $\Delta{V}$ на ячейках и конденсаторе $C_0$ по завершении лавинного процесса . Ответ выразите в общем виде через $V_{ov}$, $n$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. Из-за тепловых флуктуаций на нагрузке может возникать шумовой сигнал, амплитуду которого можно оценить по формуле $V_{noise}=\sqrt{4k_BTrf}$, где $k_B=1{.}38\cdot{10^{-23}}~\text{Дж}/\text{К}$ — постоянная Больцмана, $T$ — температура нагрузки (в Кельвинах), $r$ — сопротивление нагрузки, $f$ — частотная полоса пропускания измерительного прибора (осциллографа)."}, {"text": "Часть B. Коэффициент умножения (0.8 балла) Одной из важных характеристик ТФУ является коэффициент умножения $M$: $$M=\cfrac{Q}{e} ,$$ где $Q$ — заряд, протекший через нагрузку $r$ после попадания света на из ячеек за очень большое время, за которое цепь успевает полностью вернуться в установившийся режим. Изначально цепь также находилась в условиях установившегося режима. Здесь $e=1{.}6\cdot{10^{-19}}~\text{Кл}$ — элементарный заряд."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,60"}, "text": "Оцените амплитуду теплового шума на нагрузке $r=50~\text{Ом}$ при комнатной температуре, если полоса пропускания осциллографа составляет $1~\text{ГГц}=10^9~\text{Гц}$. Используя данные из условия задачи и полученную вами формулу из найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку. Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки."}, {"text": "Часть C. Импульс фотосвета (1.2 балла)"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите коэффициент умножения $M$ для ТФУ с параметрами из условия задачи. Выразите ответ через $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$, $e$, $V_{ov}$ и приведите численное значение."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Рассмотрим импульс, регистрируемый осциллографом после попадания света на одну ячейку. Будем считать, что длительность импульса достаточно мала, чтобы пренебречь током, протекающим через сопротивление утечки $R$, но достаточно большое, чтобы лавинный процесс завершился, и все ключи $K_i$ разомкнуты. В этом приближении можно заменить цепь на эквивалентную последовательную $RLC$ цепь. Укажите ее параметры."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,30"}, "text": "Оцените добротность полученной $RLC$ цепи. Возникнут ли в этой цепи колебания?"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,30"}, "text": "Качественно изобразите график зависимости напряжения на нагрузке от времени после попадания света на одну из ячеек. Первоначально схема находилась в установившемся режиме. Характерные значения указывать не обязательно."}, {"text": "Часть D. Восстановление ячеек (1.5 балла)"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,20"}, "text": "Сравните максимальное по модулю значение напряжения на нагрузке $|V_{max}|$ после попадания света на одну из ячеек и найденную ранее величину $|\Delta{V}|$ . Какая из этих величин больше? Обведите в листе ответов правильное соотношение."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите приближенную зависимость напряжения на слое гашения ячейки от времени после попадания света на нее (в первоначальных условиях установившегося режима). Воспользуйтесь тем, что в условиях данной задачи $\Delta{V}\ll{V_{ov}}$, $R\gg{r}$. Считайте, что прошло достаточно много времени, и напряжение на внешней нагрузке практически равно нулю. Выразите ответ через $V_{ov}$, $R$, $C_1$, $C_2$, $t$."}, {"text": "Часть E. Шум фотодетектора (2.0 балла) Основная причина, затрудняющая достоверную регистрацию полезного сигнала в системах активного лазерного сканирования - это шумовой сигнал от фоновой засветки (рассеянный от объекта солнечный свет, свет фар встречных автомобилей и т. д.). В этом разделе задачи проанализируем характеристики сигнала под воздействием равномерной фоновой засветки детектора. Пусть фоновая засветка имеет такую интенсивность, что вероятность срабатывания каждой ячейки за время $dt$ равна $dt/ T$ и не зависит от времени до предыдущего срабатывания. $T$ — характерный промежуток времени между срабатываниями ячейки. Примем за 1 амплитуду импульса фотоответа (то есть максимальное значение сигнала на осциллографе) при попадании света на полностью восстановленную ячейку. Если ячейка восстановилась не полностью, амплитуда импульса фотоответа зависит от времени $t$, прошедшего с момента предыдущего срабатывания ячейки, как ($\tau$ — характерное время восстановления ячейки) $$ V=1-e^{-t/\tau}.$$"}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите изменение напряжения $\Delta{V}$ на конденсаторе $C_0$ при попадании света на одну ($n=1$) из ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму. Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть $p(t)$ — вероятность того, что в течение времени $t$ ячейка не сработала ни разу. Найдите $p(t + dt)$, выразите ответ через $p(t)$, $dt$, $T$. Считайте, что $dt \ll T$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите вероятность того, ячейка не сработает ни разу в течение времени $t$. Ответ выразите через $t$, $T$."}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "0,20"}, "text": "Пусть ячейка сработала в момент времени $t = 0$. Найдите вероятность того, что в следующий раз она сработает в интервал времен от $t$ до $t + dt$."}, {"balls": {"number": "E4", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите среднюю амплитуду импульсов фотоответа $\mu$. Считайте, что разные ячейки создают импульсы независимо друг от друга."}, {"balls": {"number": "E5", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите среднеквадратичное отклонение амплитуды импульсов фотоответа $\sigma$. Ответ выразите через $\tau$ , $T$. Введём понятие соотношения сигнал-шум ($SNR$, англ. signal-to-noise ratio), как отношение средней величины сигнала к его среднеквадричному отклонению: $$SNR=\cfrac{\mu}{\sigma} $$ По величине $SNR$ можно косвенно судить о динамическом диапазоне и чувствительности детектора: чем больше $SNR$, тем лучше эти характеристики."}, {"balls": {"number": "E6", "exponent": "0,30"}}]}
answer: [{"condition": "Для установившегося режима найдите: напряжение $V_r$ на нагрузке $r$;напряжение $V_0$ на каждой ячейке и паразитной емкости $C_0$;напряжения $V_1$ на слоях гашения каждой ячейки. ", "solution": {"text": "В установившемся режиме ток через $r$ не течёт, поэтому $V_r = 0$. Напряжение на ячейках совпадает с напряжением источника, то есть $V_0 = V_{op}$. Конденсатор $C_1$ параллелен резистору, поэтому он разряжен: $V_1 = 0$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_r = 0$$$$V_0 = V_{op}$$$$V_1 = 0$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите: изменение заряда $\Delta{q}_0$ конденсатора $C_0$. Ответ выразите через $C_0$ и $\Delta{V}$;изменения зарядов $\Delta{q}_{1a}$ и $\Delta{q}_{2a}$ конденсаторов $C_1$ и $C_2$ соответственно каждой из активных ячеек. Ответы выразите через $C_1$, $C_2$, $V_{ov}$ и $\Delta{V}$;изменения зарядов $\Delta{q}_{1p}$ и $\Delta{q}_{2p}$ конденсаторов $C_1$ и $C_2$ соответственно каждой из пассивных ячеек. Ответы выразите через $C_{cell}$ и $\Delta{V}$. ", "solution": {"text": "По определению ёмкости: $\Delta q_0 = C_0\Delta V$. Аналогично изменение заряда на конденсаторах в активных ячейках: $\Delta q_{1a} = C_1(V_{ov} + \Delta V)$ и $\Delta q_{2a} = -C_2 V_{ov}$, а на пассивных ячейках: $\Delta q_{1p} = \Delta q_{2p} = C_{cell} \Delta V$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta q_0 = C_0\Delta V$$$$\Delta q_{1a} = C_1(V_{ov} + \Delta V)$$$$\Delta q_{2a} = -C_2 V_{ov}$$$$\Delta q_{1p} = \Delta q_{2p} = C_{cell} \Delta V$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите изменение напряжения $\Delta{V}$ на ячейках и конденсаторе $C_0$ по завершении лавинного процесса . Ответ выразите в общем виде через $V_{ov}$, $n$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ", "solution": {"text": "Запишем закон сохранения заряда для положительных обкладок $C_0$ и $C_1$. $$n\Delta q_{1a} + \Delta q_0 + (N-n)\Delta q_{1p} = 0$$$$n C_1(V_{ov} + \Delta V) + C_0\Delta V + (N-n)C_{cell} \Delta V = 0$$$$\Delta V (nC_1 + C_0 + (N-n)C_{cell}) = - nC_1 V_{ov}$$$$\Delta V = -\cfrac{ nC_1 V_{ov}}{nC_1 + C_0 + (N-n)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta V = -\cfrac{ nC_1 V_{ov}}{nC_1 + C_0 + (N-n)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Оцените амплитуду теплового шума на нагрузке $r=50~\text{Ом}$ при комнатной температуре, если полоса пропускания осциллографа составляет $1~\text{ГГц}=10^9~\text{Гц}$. Используя данные из условия задачи и полученную вами формулу из A3 найдите численное значение $\Delta{V}$ при попадании света на одну ячейку.  Cделайте вывод о том, можно ли различить сигнал от одной ячейки на фоне теплового шума сопротивления нагрузки. ", "solution": {"text": "Подставим $T = 300 \text{К}$ и получим: $V_{noise} = 2.88\cdot10^{-5} \text{В}$.Выразим изменение напряжения через данные в условии величины:$$\Delta V = -\cfrac{(k+1)(1-p)\cfrac{n}{N}V_{ov}}{1 + \cfrac{kn}{N}(1-p)}$$Подставим $n = 1$ и получим:$$\Delta V = -2.16\cdot10^{-4} \text{В}$$Заметим, что $\Delta V$ по модулю заметно больше $V_{noise}$, поэтому различить сигнал можно."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_{noise} = 2.88\cdot10^{-5} \text{В}$$$$\Delta V = -2.16\cdot10^{-4} \text{В}$$$\Delta V$ по модулю заметно больше $V_{noise}$, поэтому различить сигнал можно."]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите коэффициент умножения $M$ для ТФУ с параметрами из условия задачи. Выразите ответ через $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$, $e$, $V_{ov}$ и приведите численное значение. ", "solution": {"text": "$Q$ можно определить через изменение зарядов на отрицательных обкладках $C_0$ и $C_2$. $$Q = - C_0 \Delta V - (N - 1)C_{cell} \Delta V + C_2 V_{ov}$$$$M =\left( (C_0 + (N-1)C_{cell})\cfrac{ C_1 V_{ov}}{C_1 + C_0 + (N-1)C_{cell}} + C_2 V_{ov}\right)\cdot\cfrac{1}{e}$$$$M = 32.4\cdot10^3$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M =\left( \left(C_0 + (N-1)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}\right)\cfrac{ C_1 V_{ov}}{C_1 + C_0 + (N-1)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}} + C_2 V_{ov}\right)\cdot\cfrac{1}{e}$$$$M = 32.4\cdot10^3$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Рассмотрим импульс, регистрируемый осциллографом после попадания света на одну ячейку. Будем считать, что длительность импульса достаточно мала, чтобы пренебречь током, протекающим через сопротивление утечки $R$, но достаточно большое, чтобы лавинный процесс завершился, и все ключи $K_i$ разомкнуты. В этом приближении можно заменить цепь на эквивалентную последовательную $RLC$ цепь. Укажите ее параметры. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Сопротивление $r$, индуктивность $L$ и ёмкость $C_{det}$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Оцените добротность полученной $RLC$ цепи. Возникнут ли в этой цепи колебания? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Воспользуемся обычной формулой для добротности колебательного контура:$$Q = \cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}} = 0.14$$Полученное значение много меньше 1, значит, колебания в этой цепи не возникнут."]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Качественно изобразите график зависимости напряжения на нагрузке от времени после попадания света на одну из ячеек. Первоначально схема находилась в установившемся режиме. Характерные значения указывать не обязательно. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Сравните максимальное по модулю значение напряжения на нагрузке $|V_{max}|$ после попадания света на одну из ячеек и найденную ранее величину $|\Delta{V}|$ . Какая из этих величин больше? Обведите в листе ответов правильное соотношение. ", "solution": {"text": "Напряжение на резисторе всегда будет меньше начального напряжения конденсатора."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$|V_{max}| < |\Delta V|$$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите приближенную зависимость напряжения на слое гашения ячейки от времени после попадания света на нее (в первоначальных условиях установившегося режима). Воспользуйтесь тем, что в условиях данной задачи $\Delta{V}\ll{V_{ov}}$, $R\gg{r}$. Считайте, что прошло достаточно много времени, и напряжение на внешней нагрузке практически равно нулю. Выразите ответ через $V_{ov}$, $R$, $C_1$, $C_2$, $t$. ", "solution": {"text": "В силу соотношений данных в условии напряжением на $r$ и $L$ можно пренебречь. То есть для процесса восстановления ячейка эквивалента RC-цепи. <img_2> Изначально напряжение на $C_1$ равно $V_{ov}$. Тогда зависимость от времени:$$V_1 = V_{ov}\cdot e^{-\cfrac{t}{R(C_1 + C_2)}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_1 = V_{ov}\cdot e^{-\cfrac{t}{R(C_1 + C_2)}}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите  изменение напряжения $\Delta{V}$ на  конденсаторе $C_0$ при попадании света на одну ($n=1$) из невосстановленных ячеек, напряжение на слое гашения которой равнялось $V_1<V_{ov}$. Считайте, что до попадания света на эту ячейку напряжение на всех ячейках и паразитной емкости соответствовало установившемуся режиму.  Выразите $\Delta{V}$ через $V_{ov}$, $V_1$, $N$, $C_1$, $C_2$, $C_0$. ", "solution": {"text": "Ответ можно получить аналогично части А, но теперь изменение напряжения на $C_2$ будет $V_{ov} - V_1$ вместо просто $V_{ov}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta V = -\cfrac{ C_1( V_{ov} - V_1)}{C_1 + C_0 + (N-1)\cfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть $p(t)$ — вероятность того, что в течение времени $t$ ячейка не сработала ни разу. Найдите $p(t + dt)$, выразите ответ через $p(t)$, $dt$, $T$. Считайте, что $dt \ll T$. ", "solution": {"text": "Вероятность того, что ячейка не сработает за время $dt$ равна $1 - \cfrac{dt}{T}$, поэтому:$$p(t+dt) = p(t) \cdot\left(1 - \cfrac{dt}{T}\right)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p(t+dt) = p(t) \cdot\left(1 - \cfrac{dt}{T}\right)$$"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите вероятность того, ячейка не сработает ни разу в течение времени $t$. Ответ выразите через $t$, $T$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся результатом прошлого пункта.$$dp = -p\cdot\cfrac{dt}{T}$$$$\cfrac{dp}{p} = -\cfrac{dt}{T}$$Используя $p(0) = 1$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p(t) = e^{-\cfrac{t}{T}}$$"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть ячейка сработала в момент времени $t = 0$. Найдите вероятность того, что в следующий раз она сработает в интервал времен от $t$ до $t + dt$. ", "solution": {"text": "Искомое выражение - произведение вероятности того, что ячейка не сработает за время $t$, и вероятности срабатывания за $dt$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p(t, t+dt) = e^{-\cfrac{t}{T}} \cdot \cfrac{dt}{T}$$"]}, "number_part": "E3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите среднюю амплитуду импульсов фотоответа $\mu$. Считайте, что разные ячейки создают импульсы независимо друг от друга. ", "solution": {"text": "Из определения среднего:$$\mu = \int\limits_0^{+\infty} V(t)\cdot p(t) \cdot \cfrac{dt}{T} = \int\limits_0^{+\infty} \left(1 - e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right)\cdot e^{-\cfrac{t}{T}} \cdot \cfrac{dt}{T} = \int\limits_0^1 \left(1 - x^{\cfrac{T}{\tau}}\right)dx$$Где $x = e^{-\cfrac{t}{T}}$.$$\mu = 1 - \cfrac{1}{\cfrac{T}{\tau} +1} = \cfrac{T}{T + \tau}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\mu = \cfrac{T}{T + \tau}$$"]}, "number_part": "E4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите среднеквадратичное отклонение амплитуды импульсов фотоответа $\sigma$. Ответ выразите через $\tau$ , $T$. Указание: среднеквадратичное отклонение можно вычислить по формуле $\sigma=\sqrt{\mu(V^2)-\mu^2(V)}$, где $\mu(V^2)$ — среднее значение квадрата амплитуды, $\mu^2(V)$ — квадрат среднего значения амплитуды.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   $\mu(V)$ нашли в прошлом пункте, аналогично найдём $\mu(V^2)$:$$\mu(V^2) = \int\limits_0^1\left(1 - x^{\cfrac{T}{\tau}}\right)^2dx = 1 - \cfrac{2}{\cfrac{T}{\tau}+1} + \cfrac{1}{\cfrac{2T}{\tau}+1}$$$$\mu(V^2) - \mu(V)^2 = \cfrac{1}{\cfrac{2T}{\tau}+1} - \cfrac{1}{\left(\cfrac{T}{\tau}+1\right)^2} = \cfrac{\cfrac{T^2}{\tau^2}}{\left(\cfrac{T}{\tau}+1\right)^2\left(\cfrac{2T}{\tau}+1\right)} = \left(\cfrac{T}{T+\tau}\right)^2\cdot\cfrac{\tau}{2T+\tau}$$$$\sigma = \cfrac{T}{T+\tau}\cdot\sqrt{\cfrac{\tau}{2T + \tau}}$$
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\sigma = \cfrac{T}{T+\tau}\cdot\sqrt{\cfrac{\tau}{2T + \tau}}$$", "solution": {"text": "$\mu(V)$ нашли в прошлом пункте, аналогично найдём $\mu(V^2)$:$$\mu(V^2) = \int\limits_0^1\left(1 - x^{\cfrac{T}{\tau}}\right)^2dx = 1 - \cfrac{2}{\cfrac{T}{\tau}+1} + \cfrac{1}{\cfrac{2T}{\tau}+1}$$$$\mu(V^2) - \mu(V)^2 = \cfrac{1}{\cfrac{2T}{\tau}+1} - \cfrac{1}{\left(\cfrac{T}{\tau}+1\right)^2} = \cfrac{\cfrac{T^2}{\tau^2}}{\left(\cfrac{T}{\tau}+1\right)^2\left(\cfrac{2T}{\tau}+1\right)} = \left(\cfrac{T}{T+\tau}\right)^2\cdot\cfrac{\tau}{2T+\tau}$$$$\sigma = \cfrac{T}{T+\tau}\cdot\sqrt{\cfrac{\tau}{2T + \tau}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\sigma = \cfrac{T}{T+\tau}\cdot\sqrt{\cfrac{\tau}{2T + \tau}}$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите $SNR$ амплитуд импульсов фотоответа под воздействием равномерной фоновой засветки в случаях: $\tau=0$;$\tau\gg{T}$;$\tau=T$. ", "solution": {"text": "$$SNR = \sqrt{\cfrac{2T + \tau}{\tau}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$SNR(\tau = 0) = \infty$$$$SNR(\tau \gg T) = 1$$$$SNR(\tau = T) = \sqrt{3}$$"]}, "number_part": "E6", "exponent_part": "0,30"}]