text: {"text": [{"text": "Две частицы с одинаковыми массами $m$ и зарядами $q$ и $-q$ начинают с нулевыми начальными скоростями двигаться в однородном магнитном поле $B$, перпендикулярном соединяющему их отрезку длины $R$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите минимальное значение индукции магнитного поля $B=B_{0}$ (критическое поле), при котором частицы не столкнутся друг с другом."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Ha каком расстоянии $r$ друг от друга они окажутся при наибольшем сближении, если $B>B_{0}$?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите скорости частиц и расстояние между ними в момент наибольшего сближения при критическом значении магнитного поля. Как в этом случае будут двигаться частицы после их наибольшего сближения. Нарисуйте качественный график траектории частиц."}]}
answer: [{"condition": "Найдите минимальное значение индукции магнитного поля $B=B_{0}$ (критическое поле), при котором частицы не столкнутся друг с другом. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии для обеих частиц находим:$$m v^{2}=\frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right) \quad (1)$$где $v$ — их скорость в момент наибольшего сближения.Пусть ось $x$ направлена параллельно отрезку, соединяющему заряды, а ось $y$ — перпендикулярна ему. Найдем проекцию ускорения левой частицы на ось $y$:$$m \frac{d v_{y}}{d t}=q B \frac{d x}{d t},$$где $\frac{d x}{d t}$ — проекция ее скорости на ось $x$, откуда$$m d v_{y}=q B d x .$$Учитывая симметричный характер движения частиц относительно оси $y$, найдем полное изменение импульса вдоль оси $y$. Имеем:$$m v=\frac{q B(R-r)}{2}. \quad (2)$$Исключая $q$ и $v$ из $(1)$ и $(2)$, получим уравнение:$$\frac{B^{2}(R-r)^{2}}{m}=\frac{1}{\pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right),$$которое после сокращения на $(R-r)$ приводится к виду:$$r^{2}-R r+\frac{m}{\pi \varepsilon_{0} B^{2} R}=0.$$Корни этого уравнения$$r=\frac{R}{2}\left(1 \pm \sqrt{1-\frac{4 m}{\pi \varepsilon_{0} R^{3} B^{2}}}\right).$$Из этого соотношения видно, что решение задачи существует только при условии$$B \geqslant B_{0}=\sqrt{\frac{4 m}{\pi \varepsilon_{0} R^{3}}}.$$Если $B < B_{0}$, то магнитная сила (сила Лоренца) недостаточна для разворота частиц и произойдет столкновение."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$B_{0}=\sqrt{\frac{4 m}{\pi \varepsilon_{0} R^{3}}}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Ha каком расстоянии $r$ друг от друга они окажутся при наибольшем сближении, если $B>B_{0}$? ", "solution": {"text": "При выполнении условия $(1)$ из двух корней квадратного уравнения следует выбрать больший корень:$$\frac{R}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4 m}{\pi \varepsilon_{0} R^{3} B^{2}}}\right),$$так как при достижении этого значения сближение частиц прекращается."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r=\frac{R}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{4 m}{\pi \varepsilon_{0} R^{3} B^{2}}}\right)$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите скорости частиц и расстояние между ними в момент наибольшего сближения при критическом значении магнитного поля. Как в этом случае будут двигаться частицы после их наибольшего сближения. Нарисуйте качественный график траектории частиц. ", "solution": {"text": "При критическом значении магнитного поля $B=B_{0}$ частицы сблизятся на расстояние $r=\frac{R}{2}$. В этом случае на них действует электрическая сила$$F_{e}=\frac{4 q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}=\frac{q^{2}}{\pi \varepsilon_{0} R^{2}}$$и противоположная по направлению магнитная сила Лоренца$$F_{L}=q v B_{0}. \quad (3)$$Подставляя в $(3)$ значения критического поля $B_{0}$ и скорости $v$ (из закона сохранения энергии), найдем$$F_{L}=\frac{q^{2}}{\pi \varepsilon_{0} R^{2}}=F_{e} .$$Это значит, что при критическом поле частицы после максимального сближения на расстояние $r=\frac{R}{2}$ будут двигаться параллельно друг другу с постоянными скоростями. <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: При критическом поле частицы после максимального сближения на расстояние $r=\frac{R}{2}$ будут двигаться параллельно друг другу с постоянными скоростями (см. рисунок)."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]