text: {"text": [{"text": "Лазерный луч распространяется в сферически симметричной среде с показателем преломления $n(R)=n_{0} \frac{R}{R_{0}}$, где $n_{0}=1$, $R_{0}=30~см$, $R_{0} \leq R \leq \infty$. Траектория луча лежит в плоскости, проходящей через центр $C$ симметрии среды. Известно, что на расстоянии $R_{1}=80~см$ от точки $C$ лазерный луч образует с радиус-вектором, проведенным из этого центра, угол $\varphi=30^{\circ}$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На какое минимальное расстояние приблизится лазерный луч к центру симметрии среды?"}]}
answer: [{"condition": "На какое минимальное расстояние приблизится лазерный луч к центру симметрии среды? ", "solution": {"text": "Заменим заданную сферически симметричную среду с непрерывным распределением показателя преломления $n(R)$ сферически слоистой средой. Рассмотрим два тонких сферических слоя, радиусы которых $R_{1}$ и $R_{2}$ (см. рисунок). <img_1> Луч падает на границу раздела этих сред под углом $\alpha$. По закону преломления $$ n_{1} \sin \alpha=n_{2} \sin \beta. \quad (1) $$ Из треугольника $O A B$ по теореме синусов $$ \frac{\sin \gamma}{\sin \beta}=\frac{R_{1}}{R_{2}} \Rightarrow \sin \beta=\sin \gamma \frac{R_{2}}{R_{1}}. \quad (2) $$ Подставляя $(2)$ в $(1)$, получаем $$ R_{1} n_{1} \sin \alpha=R_{2} n_{2} \sin \gamma. \quad (3) $$ Это соотношение означает, что вдоль распространяющегося луча в сферически симметричной среде $$ R n (R) \sin \varphi(R)= \operatorname{const} \quad (4) $$ где $R$ — текущее значение радиуса, $n(R)$ — показатель преломления, соответствующий данному радиусу, $\varphi(R)$ — угол падения света на сферическую границу с данным значением радиуса $R$. Подставляя в $(4)$ заданную в условии зависимость $n(R)$, получим $$ \frac{n_{0}}{R_{0}} R^{2} \sin \varphi=\operatorname{const}. \quad (5) $$ При минимальном расстоянии от центра симметрии до траектории луча угол $\varphi=90^{\circ}$. Следовательно, $$ \frac{n_{0}}{R_{0}} R_{1}^{2} \sin 30^{\circ}=\frac{n_{0}}{R_{0}} R_{\min }^{2}, $$ откуда $$ R_{\min}=R_{1} \sqrt{\sin 30^{\circ}}=56.6~см, $$ причем $R_{\min }>R_{0}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ R_{\min}=R_{1} \sqrt{\sin 30^{\circ}}=56.6~см. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]