text: {"text": [{"text": "Один моль идеального многоатомного газа переводят из состояния $B$, в котором температура равна $T_{B}=217^{\circ}С$, в состояние $D$ так, что давление линейно зависит от объема, температура монотонно убывает, а к газу на протяжении всего процесса подводят тепло (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите максимально возможную работу $A_{\max }$, которую может совершить этот газ в таком процессе."}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимально возможную работу $A_{\max }$, которую может совершить этот газ в таком процессе. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение линейного процесса $B D$ в виде $$ p(V)=p_{1}+k\left(V-V_{1}\right), $$ где $p_{1}$ и $V_{1}$ - давление и объём газа в состоянии $D$ соответственно. Отсюда $$ k=-\frac{p_{1}}{V_{0}-V_{1}}, $$ где $V_{0}$ - объем, соответствующий точке пересечения прямой $B D$ с осью объёмов. <img_1> По условию температура в процессе убывает, а также к газу постоянно подводится тепло. Выясним, что означают эти два условия. Уравнение Клайперона-Менделеева для 1 моля газа: $$ p V=R T. $$ Температура убывает, следовательно, $\Delta(p V)=p \Delta V+V \Delta p<0 $. Пользуясь уравнением для $p(V)$ процесса $B D$, перепишем это условие в виде $$ \left(p_{1}+k\left(V-V_{1}\right)\right) \Delta V+V k \Delta V<0 . $$ где $\Delta V>0$. Подставляя значение $k$ и приводя подобные слагаемые, получим $$ V>\frac{V_{0}}{2}. $$ В процессе $B D$ к газу постоянно подводится тепло $\delta Q>0$. Посколькy $$ \delta Q=\frac{1}{R}\left(C_{P} p \Delta V+C_{V} V \Delta p\right), $$ снова используя уравнение для $p(V)$,получим $$ \gamma\left(p_{1}+k\left(V-V_{1}\right)\right)+V k>0, $$ где $\gamma=C_{P} / C_{V}=4 / 3$ (газ многоатомный). Аналогично, используя значение $k$ и приводя подобные слагаемые, получим $$ V<\frac{\gamma}{\gamma+1} V_{0}=\frac{4}{7} V_{0}. $$ Работа будет максимальной, если $V_{B}=V_{0} / 2$ и $V_{D}=4 V_{0} / 7$. В этом случае $k=-\frac{7}{3} \frac{p_{1}}{V_{0}}$, из уравнения для $p(V)$ получим $p_{B}=7 p_{1} / 6$. Максимальная работа равна $$ A_{\max }=\frac{1}{2}\left(p_{B}+p_{D}\right)\left(V_{D}-V_{B}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{6}{7}\right) p_{B}\left(\frac{4}{7}-\frac{1}{2}\right) V_{0}=\frac{13}{98} p_{B} V_{B}. $$ Пользуясь уравнением $p V=R T$, получаем $$ A_{\max }=\frac{13}{98} R T_{B}=540.15~Дж, $$ где $T_{B}=490~K$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A_{\max }=\frac{13}{98} R T_{B}=540.15~Дж. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]