text: {"text": [{"text": "По поверхности однородного диэлектрического диска равномерно распределен заряд $Q$. Диск помещен во внешнее однородное магнитное поле индукции $\vec{B}$, направленной перпендикулярно плоскости диска. Масса диска равна $M$, и он может свободно вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "С какой угловой скоростью $\omega$ будет вращаться первоначально неподвижный диск, если внешнее магнитное поле выключить?"}]}
answer: [{"condition": "С какой угловой скоростью $\omega$ будет вращаться первоначально неподвижный диск, если внешнее магнитное поле выключить? ", "solution": {"text": "Вырежем мысленно из диска узкое кольцо радиуса $r$ с центром на оси диска. Пусть заряд кольца $q$, его масса $m$. Рассмотрим поведение кольца отдельно от диска. При выключении магнитного поля появляется вихревое электрическое поле. Заряженное кольцо в электрическом поле начинает вращаться. Пусть в некоторый момент времени линейная скорость точек кольца равна $v$. За малое время $\Delta t$ через поперечное сечение кольца пройдет заряд $\frac{q}{2 \pi r} v \Delta t$ и над ним электрическое поле совершит работу $$ \Delta A=\mathscr{E} \frac{q}{2 \pi r} v \Delta t, $$ где $\mathscr{E}=-\frac{\pi r^{2} \Delta B}{\Delta t}$ — ЭДС индукции в кольце. Здесь $\Delta B$ — изменение индукции магнитного поля за время $\Delta t$. Имеем $$ \Delta A=-\frac{r q v \Delta B}{2}. $$ Изменение кинетической энергии кольца за время $\Delta t$ равно $\Delta K=m v \Delta v$, где $\Delta v$ — изменение скорости $v$. Поскольку $\Delta A=\Delta K$, то $$ 2 m \Delta v=-r q \Delta B. $$ Просуммируем все аналогичные равенства, записанные для всех малых интервалов времени, на которые можно разбить время выключения магнитного поля: $$ 2 m(\omega r-0)=-r g(0-B). $$ Отсюда угловая скорость вращения кольца после выключения поля $$ \omega=\frac{q B}{2 m}. $$ Так как $\frac{q}{m}=\frac{Q}{M}$, то $\omega=\frac{Q B}{2 M}$. Видим, что для всех колец, на которые можно разбить диск, величина $\omega$ одна и та же. С этой угловой скоростью станет вращаться диск. Итак, ответ: $\omega=\frac{Q B}{2 M}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega=\frac{Q B}{2 M}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]