text: {"text": [{"text": "Внутри стеклянного тонкостенного цилиндрического сосуда радиуса $R$ вблизи его стенки в точке $A$ расположен микролазер, размеры которого гораздо меньше $R$. Сосуд заполнен водой, а снаружи находится воздух. Половина внутренней поверхности сосуда, соответствующая дуге $ACB$, зачернена и поглощает свет. Изначально луч лазера направлен в точку $B$. Лазер начинает вращаться с постоянной угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки в плоскости рисунка вокруг оси, проходящей через точку $A$ (см. рисунок). <img_0> Показатель преломления воды $n = 4/3$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Через какое время $\tau$ луч перестанет выходить из сосуда?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Чему будет равна скорость «зайчика» на зачернённой поверхности цилиндра в момент времени $1.5\tau$ от начала его движения? $\textit{Примечание}$. Вам может потребоваться закон Снелла: $n_1\sin\varphi_1=n_2\sin\varphi_2$, где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления света в первой и второй среде, $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — углы падения и преломления."}]}
answer: [{"condition": "Через какое время $\tau$ луч перестанет выходить из сосуда? ", "solution": {"text": "Воспользуемся законом Снелла для преломления луча лазера: $$ n_{1}\sin \varphi_{1}=n_{2}\sin \varphi_{2}. $$ <img_1> С учётом того, что коэффициент преломления воздуха равен $1$, найдем условие полного внутреннего отражения: $$ \sin \alpha_{крит}=\frac{1}{n}, \\ \alpha_{крит}=\omega \tau=\operatorname{arcsin} \frac{1}{n} \approx 49^{\circ}, \\ \tau=\frac{1}{\omega} \operatorname{arcsin} \frac{1}{n}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=\frac{1}{\omega} \arcsin \frac{1}{n}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему будет равна скорость «зайчика» на зачернённой поверхности цилиндра в момент времени $1.5\tau$ от начала его движения? ", "solution": {"text": "Через время $1.5\tau$ угол будет: $$ \beta = 1.5\omega \tau \approx 73^{\circ}, \\ \gamma = 180^{\circ}-2\beta \approx 34^{\circ}. $$ Так как $\gamma < 180^{\circ}$, то лазерный луч несколько раз отразится, прежде чем попадет на зачерненную половину поверхности сосуда. Посчитаем количество отражений $n$. <img_2> Рассмотрим треугольники $\triangle AA_{1}O$, $\triangle AA_{2}O$, $\dotsc$, $\triangle AA_{n}O$. Углы $\angle A_{k-1}A_{k}O$ и $\angle A_{k}A_{k+1}O$ $(k=1, \dots, n)$ равны из условия отражения. Отсюда следует, что рассматриваемые треугольники равны, так как они равнобедренные, и углы при основании равны. Условие на количество отражений будет иметь вид: $$ n \cdot \gamma < 180^{\circ} < (n+1) \cdot \gamma, \\ n < 5.3 < n+1. $$ Следовательно количество отражений $n=5$. Тогда зависимость угловой координаты зайчика от времени $\varphi(t)$ в окрестности $t=1.5 \tau$ будет иметь вид: $$ \varphi(t)=(n+1)\gamma(t)=(n+1)(180^{\circ}-2\beta(t))=(n+1)(180^{\circ}-2\omega t)=1080^{\circ}-12 \omega t. $$ Отсюда видно, что зависимость координаты от времени линейная, поэтому находим модуль угловой и линейной скоростей: $$ \omega_{З}=12\omega, \\ v_{З}=12\omega R. $$ <img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega_{З}=12 \omega, \\ v_{З}=12 \omega R. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]