text: {"text": [{"text": "В прямоугольной сверхпроводящей пластине массы $m$ сделаны 4 одинаковых круглых отверстия (по одному в каждом углу). Каждое отверстие пронизывает магнитный поток (все 4 потока равны, в том числе по знаку). Пластину кладут на горизонтальную сверхпроводящую поверхность. Магнитное отталкивание между пластиной и поверхностью компенсирует вес пластины, когда воздушный зазор между ними равен $d$ (причем $d\ll \Delta$, расстояния между отверстием и краем пластины, а также $d$ много меньше радиуса отверстий). Когда пластина левитирует над поверхностью описанным образом, частота вертикальных колебаний равна $\nu_0$. На пластину кладут груз массы $M$. Пластина продолжает левитировать над поверхностью. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему равна новая частота вертикальных колебаний системы (пластина+груз, колеблющиеся вместе)?"}]}
answer: [{"condition": "Чему равна новая частота вертикальных колебаний системы (пластина+груз, колеблющиеся вместе)? ", "solution": {"text": "В объёме сверхпроводника магнитное поле равняется нулю. Применяя теорему Гаусса для магнитного поля для тонкого цилиндра с основаниями, параллельными поверхности сверхпроводника, получим:$$B_n=0{.}$$Мы показали, что на поверхности сверхпроводника нормальная компонента магнитного поля равна нулю. Это означает, что поскольку зазор между поверхностью и пластиной мал, а также поскольку расстояние между пластиной и поверхностью много меньше расстояний от отверстий пластины до её краёв - магнитное поле в любой точке зазора можно считать параллельным поверхности и не зависящим от расстояния до неё.Поскольку пластина сверхпроводящая - магнитный поток $\Phi$, пронизывающий каждое из отверстий, остаётся постоянным. Поток $\Phi$ создаётся силовыми линиями, направленными в зазоре параллельно поверхности. Поскольку относительное расположение отверстий остаётся постоянным - распределение магнитного поля на горизонтальной поверхности пластины также остаётся постоянным с точностью до постоянного множителя.Из этого следует:$$\vec{B}(x,y)h=const{.}$$Далее отметим, что поскольку внутри сверхпроводника магнитное поле равно нулю - в каждой точке поверхности пластины величина действующего на неё давления магнитного поля $p_\text{маг}$ прямо пропорциональна $B^2$.Поймём, как сила отталкивания пластины от поверхности зависит от толщины зазора $h$:$$F\sim{p_\text{маг}}\sim iB\sim{B^2}\sim{\cfrac{1}{h^2}}{.}$$Таким образом, в дальнейшем сила отталкивания пластины от поверхности при толщине зазора $d$ равна:$$F=\cfrac{A}{h^2}{.}$$Из условия равновесия пластины до помещения на неё груза получим:$$mg=\cfrac{A}{d^2}$$При выведении пластины из положения равновесия:$$m\ddot{h}=\cfrac{A}{\left(d+\Delta{h}\right)^2}-mg\approx{-\cfrac{2A}{d^3}\Delta{h}}\Rightarrow{\omega^2_0=\cfrac{2A}{md^3}}{.}$$Исключая толщину зазора:$$\omega^2_0=\cfrac{2g^{3/2}}{A^{1/2}}\cdot{m^{1/2}}{.}$$Аналогично после помещения груза на пластину:$$\omega^2=\cfrac{2g^{3/2}}{A^{1/2}}\cdot{\left(M+m\right)^{1/2}}{.}$$Учитывая, что$$\cfrac{\omega}{\omega_0}=\cfrac{\nu}{\nu_0}{,}$$получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\nu=\nu_0\left(\cfrac{M+m}{m}\right)^{1/4}$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]