text: {"text": [{"text": "На верхнее горизонтальное основание сплошного кругового цилиндра с площадью поперечного сечения $S$ аккуратно налили немного ртути. Краевой угол смачивания материала, из которого изготовлен этот цилиндр, равен $\theta$. Коэффициент поверхностного натяжения ртути равен $\sigma$, плотность ртути равна $\rho$. Ускорение свободного падения равно $g$. Считайте, что параметры $\sigma$, $\rho$, $g$ и $S$ удовлетворяют неравенству: $$\sqrt{{\cfrac{\sigma}{\rho g}}}\ll\sqrt{{S}}{.}$$"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "При каком минимальном значении объёма ртути $V_{0}$ она целиком покроет основание цилиндра? На основание цилиндра наливают ртуть объёмом $V < V_{0}$. Сверху аккуратно помещают второй цилиндр с таким же поперечным сечением, но изготовленный из другого материала, который полностью не смачивается ртутью. Считайте расположение цилиндров и ртути всё время осесимметричным."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "При какой минимальной массе $m_1$ верхнего цилиндра ртуть будет контактировать с основанием нижнего цилиндра по всей площади его поверхности?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "При какой минимальной массе $m_2$ верхнего цилиндра ртуть вытечет из зазора между цилиндрами? Считайте, что граница между основанием цилиндра и его боковой поверхностью является закруглённой (радиус закругления много меньше толщины слоя ртути) и выпуклой."}]}
answer: [{"condition": "При каком минимальном значении объёма ртути $V_{0}$ она целиком покроет основание цилиндра? ", "solution": {"text": "Неравенство из условия задачи позволяет считать верхнюю поверхность ртути практически плоской, а горизонтальный радиус ртутной "лепёшки" много большим, чем её толщина. Это даёт возможность определить толщину слоя ртути $h$, рассматривая задачу как двумерную. Будем считать, что ртуть заполнила всю площадь основания цилиндра, но при этом не перешла на его боковую поверхность. <img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_{0}=S\sqrt{\frac{2\sigma(1-\cos\theta)}{\rho g}}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При какой минимальной массе $m_1$ верхнего цилиндра ртуть будет контактировать с основанием нижнего цилиндра по всей площади его поверхности? ", "solution": {"text": "Если поставить на ртуть цилиндр массой $m$, то в каждой точке жидкости гидростатическое давление возрастёт на величину $mg/S_\text{к}$, где $S_\text{к}$ — площадь контакта ртути и поставленного на неё цилиндра. Среднее гидростатическое давление в слое ртути в этом случае составит$$p_\text{ср}=\cfrac{\rho gh}{2}+\cfrac{mg}{S_\text{к}}{.}$$ <img_1> Примечание: обращаем внимание, что в выражении для давления ртути нельзя считать $\rho gh\ll mg/S$, так как эти величины могут быть одного порядка!"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m_1=\cfrac{\sigma S^2(1-\cos\theta)}{gV}-\cfrac{\rho V}{2}{.}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При какой минимальной массе $m_2$ верхнего цилиндра ртуть вытечет из зазора между цилиндрами? Считайте, что граница между основанием цилиндра и его боковой поверхностью является закруглённой (радиус закругления много меньше толщины слоя ртути) и выпуклой. ", "solution": {"text": "В процессе перехода границы ртути с основания нижнего цилиндра на его боковую поверхность направление касательной к поверхности ртути поворачивается на $90^\circ$. Ртуть станет вытекать из зазора между цилиндрами, когда сила гидростатического давления превысит максимально возможную величину горизонтальной компоненты силы поверхностного натяжения. Теоретически, этот максимум соответствует положению касательной, при котором она является горизонтальной, однако это положение может быть нереализуемо при заданном значении угла смачивания $\theta$.Рассмотрим два случая. Первый случай: $\theta < \pi/2$. <img_2> Второй случай: $\theta \geqslant \pi/2$. <img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m_2=\begin{cases}\cfrac{\sigma S^2(1+\sin\theta)}{gV}-\cfrac{\rho V}{2}\quad\text{при}\quad \theta < \pi/2,\\\cfrac{2\sigma S^2}{gV}-\cfrac{\rho V}{2}\quad\text{при}\quad\theta \geqslant \pi/2.\end{cases}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]