text: {"text": [{"text": "При решении этой задачи можно использовать справочные материалы, которые были предоставлены для подготовки перед началом олимпиады"}, {"text": "Часть 1. Однофотонные поляризационные состояния"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "В эксперименте три фотона с одинаковым поляризационным состоянием $\left( \begin{array}{c} \frac{1+2i}{3} \\ \frac{1+2i}{3} \\ \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array} \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите вероятность того, что два фотона пройдут, а один отразится. Фотоны $\textit{неразличимы}$ — их невозможно «пронумеровать»."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "На тот же поляроид падает когерентная электромагнитная волна с интенсивностью $I_0=18~Вт/м^2$, в которой все фотоны (их количество очень велико) находятся в этом же состоянии (см. вопрос 1). Найдите интенсивность волны, прошедшей через поляроид, в $Вт/м^2$, с точностью до целого значения."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Пучок фотонов, находящихся в одинаковом чистом поляризационном состоянии, направляют на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. В первом опыте было пущено $N_0=1690~фотонов$, и через поляроид прошло $N_1=250~фотонов$. Затем ось поляроида повернули на $30^\circ$ в сторону оси $y$. Снова на него было направлено $N_0=1690~фотонов$ в том же поляризационном состоянии (второй опыт), и в этот раз через поляроид прошло $N_2=807~фотонов$. Ось поляроида повернули еще на $30^\circ$ в ту же сторону, и затем провели третий опыт — направили на поляроид то же количество фотонов в том же состоянии. Предскажите количество фотонов $N_3$, прошедших через поляроид в третьем опыте. ${\textit{Указание}}$: Учтите (см. справочные материалы к задаче), что при восстановлении столбца, описывающего чистое поляризационное состояние, можно считать, что «верхний» элемент этого столбца — вещественное число, то есть он имеет вид $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ {\beta }_1+i{\beta }_2 \end{array} \right)$."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": null}, "text": "Оцените точность предсказания, сделанного при ответе на вопрос 4. В ответе укажите Вашу оценку стандартного отклонения $\Delta N_3$, округлив до целого значения."}, {"balls": {"number": "6", "exponent": null}, "text": "При прохождении через некоторое вещество световой волны плоскость ее поляризации поворачивается — угол $\vartheta $ поворота плоскости поляризации изменяется пропорционально длине пути, пройденного фотоном в веществе: $\vartheta (z)=\frac{\pi }{L}z$, где $L=26~см$. Световая волна, про которую говорится в вопросе 3 проходит через такое вещество, и затем падает на поляроид. Найдите наименьшую толщину слоя вещества, при которой интенсивность прошедшей через поляроид волны будет максимально возможной. Ответ дайте в сантиметрах, с точностью до десятых долей."}, {"text": "Часть 2. Спин и спиральность фотона Среди «наблюдаемых» для фотона, связанных с его поляризацией, одной из самых важных является $\textit{спиральность}$. Разберемся, что это такое. Фотоны, как и многие квантовые частицы, обладают $\textit{спином}$ — «собственным» моментом импульса. Название «собственный» означает, что этот момент импульса не связан с движением фотона в пространстве, то есть спин отличен от нуля в системе координат, начало которой находится на линии движения фотона. Таким образом, «собственный» момент импульса связан с неким «внутренним» устройством фотона. Поэтому полный момент импульса фотона $\vec{J}$ состоит из «обычного» вклада, связанного с импульсом фотона (в квантовой физике эту часть момента импульса называют «$\textit{орбитальным моментом}$»), и «собственного»: $\vec{J}=\left[\vec{r}\times \vec{p}\right]+\vec{S}$. Поэтому даже у свободного фотона орбитальный момент $\left[\vec{r}\times \vec{p}\right]$ и спин $\vec{S}$ по отдельности не сохраняются — сохраняющейся величиной является именно полный момент импульса. Ясно также, что у свободного фотона сохраняется импульс $\vec{p}$. Если измерять проекцию спина фотона на некоторое произвольное направление, то мы обнаружим, что возможные значения этой «наблюдаемой» равны $\pm \hslash$, и им соответствуют два возможных $\textit{спиновых состояния}$ фотона. Оказывается, что «пространство» спиновых состояний фотона и «пространство» его поляризационных состояний — это на самом деле одно и то же двумерное пространство состояний фотона при заданном волновом векторе $\vec{k}$. Однако поляризации, о которых мы говорили ранее, сохраняются у свободно движущегося фотона, и мы можем использовать поляризацию как характеристику его состояния. А вот проекцию спина фотона на «произвольно выбранное» направление нельзя использовать в качестве характеристики его состояния — она не сохраняется, и поэтому не имеет определенного значения для свободного фотона. Как же выбрать базисные спиновые состояния фотона? Выход состоит в следующем: нужно из всех возможных проекций спина фотона выбрать ту, которая сохраняется при свободном движении."}, {"balls": {"number": "7", "exponent": null}, "text": "Пусть фотон находится в состоянии суперпозиции $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \alpha \\ \alpha \\ \beta \end{array} \alpha \\ \beta \end{array} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде."}, {"balls": {"number": "8", "exponent": null}, "text": "Укажите вектор, на направление которого нужно спроецировать вектор спина фотона, чтобы полученная проекция сохранялась при свободном движении фотона. В ответе запишите обозначение этого вектора, использованное в условии этой задачи. Эта сохраняющаяся проекция вектора спина фотона и называется $\textit{спиральностью}$ фотона. Ее договорились измерять в единицах постоянной Планка $\hslash $, так что допустимые значения спиральности $\mathrm{\Lambda }=\pm 1$. В нашем поляризационном базисе состояния с определенными значениями спиральности — это $|+1\rangle=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ и $|-1\rangle=\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$."}, {"balls": {"number": "9", "exponent": null}, "text": "Постройте матрицу спиральности $\hat{\Lambda}$. В ответе укажите все четыре ее элемента."}, {"balls": {"number": "10", "exponent": null}, "text": "Определите среднее значение спиральности фотонов в световой волне, про которую говорится в вопросе 3. Ответ запишите с точностью до сотых долей."}, {"balls": {"number": "11", "exponent": null}, "text": "В пучке фотонов с интенсивностью $I_0$, летящих вдоль оси $z$, все фотоны находятся в одинаковом поляризационном состоянии. На пути пучка поставили поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. В результате интенсивность прошедшего пучка оказалась равна $0.75I_0$. Ось поляроида повернули на 45$\mathrm{{}^\circ}$ в сторону оси $y$, и теперь интенсивность прошедшего пучка стала равна $0.5I_0$. Затем поляроид убрали и на пути пучка поставили устройство, пропускающее все фотоны со спиральностью $+1$ и поглощающее все фотоны со спиральностью $-1$. Теперь интенсивность прошедшего через устройство пучка стала равна $0.25I_0$. Считая поляризационное состояние фотона в падающем пучке смешанным, определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. На самом деле ясно, что чистое состояние можно считать частным случаем смешанного состояния — когда «случайная» разность фаз между некогерентно смешиваемыми состояниями случайно оказалось постоянной. Поэтому иногда состояние, которое мы описали матрицей $\hat{\rho }$, все-таки можно описать при помощи столбца $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, и такое состояние будет являться чистым."}, {"balls": {"number": "12", "exponent": null}, "text": "Найдите условие, которому должны подчиняться компоненты матрицы ${\rho }_{11}$, ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{21}$ и ${\rho }_{22}$ для того, чтобы матрица $\hat{\rho }$ описывала чистое состояние. Запишите это условие, а также ответьте на вопрос: является ли чистым поляризационное состояние фотона в пучке, о котором идет речь в вопросе 11? В ответе напишите «ДА» или «НЕТ». $\textit{Указание}$: Пусть фотон находится в чистом состоянии $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ и нас интересует вероятность обнаружить его в некотором другом чистом состоянии. Если матрица $\hat{\rho }$ описывает то же самое чистое состояние, что и столбец $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$, то указанная вероятность может быть вычислена и непосредственно (с использованием формулы для чистого состояния), и с помощью матрицы $\hat{\rho }$."}, {"text": "Часть 3. Квантовый алгоритм тестирования бомб Рассмотрим установку, схема которой показана на рисунке. <img_0> Источник испускает одиночные фотоны, находящиеся в состоянии с определенной спиральностью, равной $+1$, и направляет их на полупрозрачное зеркало-сепаратор. Сепаратор пропускает фотоны, поляризованные вдоль оси $x$ (после чего они попадают на идеальное зеркало $M2$) и отражает фотоны, поляризованные вдоль оси $y$ (они затем попадают на идеальное зеркало $M1$). Идеальные зеркала меняют направление движения фотона, а их влияние на столбец, описывающий поляризационное состояние фотона, сводится к сдвигу фазы на $\pi $ — то есть к умножению столбца на $-1$. Фотоны, отразившиеся от идеальных зеркал, попадают на полупрозрачное зеркало-кооператор $C$. Кооператор переводит попавший на него фотон в поляризационное состояние $|f\rangle=|1\rangle+|2\rangle$ , где $|1\rangle$ и $|2\rangle$ — поляризационные состояния, отвечающие волнам вероятности прихода фотонов от $M1$ и $M2$ соответственно. Прошедшие кооператор фотоны направляются к детектору $D1$, если они имеют спиральность $+1$, и к детектору $D2$, если их спиральность равна $-1$. Здесь важно отметить, что сепаратор разделяет волну вероятности падающего фотона — после него фотон находится в состоянии, в котором он с некоторой вероятностью идет по каналу, в котором находится $M1$, и с «дополнительной» вероятностью — по каналу, в котором находится $M2$. Идеальные зеркала считаются «жестко» закрепленными — они не обмениваются энергией с фотоном, и не разрушают когерентности этих волн вероятности, так что до самого срабатывания $D1$ или $D2$ мы не знаем, что происходило с фотоном внутри нашей установки — фотон все время находится в чистом квантовом состоянии."}, {"balls": {"number": "13", "exponent": null}, "text": "Рассмотрим $\textit{другой}$ пучок фотонов, летящих вдоль оси $z$, все фотоны которого находятся в одинаковом $\textit{смешанном}$ поляризационном состоянии. У нас есть три «наблюдаемые», связанные с поляризацией. Первая «наблюдаемая» $\hat{F}$ имеет определенные значения 1 (в состоянии $|x\rangle=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} 1 \\ 0 \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния. 1 \\ 0 \end{array} \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$ для этого состояния."}, {"balls": {"number": "14", "exponent": null}, "text": "Определите вероятность того, что при испускании фотона источником в нашей установке сработает $D1$ и вероятность срабатывания $D2$. В ответ запишите эти вероятности последовательно (сначала $w_1$, затем $w_2$), с точностью до сотых долей. Теперь возникает технологическая задача. Допустим, что у нас есть «неограниченный» запас бомб, снабженных «однофотонным детонатором». Этот детонатор — зеркало, отражающее $\textit{все}$ падающие на него фотоны и чувствующее импульс отдачи. При отражении зеркалом хотя бы одного фотона детонатор подрывает бомбу. Детонатор после установки на бомбу нельзя снять, не испортив его. При этом у половины бомб (неизвестно, у каких) детонатор неисправен: зеркало отражает фотон, но «не чувствует» импульс отдачи, и подрыва не происходит при любом количестве отраженных фотонов. Исправность детонатора можно проверить $\textit{только одним}$ способом — выяснить, сработает ли он при отражении фотона. Нам необходимо найти бомбу с гарантированно исправным детонатором, не взорвав ее (при этом нас не волнует, сколько бомб и вспомогательного оборудования мы взорвем до этого). Ясно, что эта задача не имеет решения с точки зрения классической физики — если мы направим фотон на исправный детонатор, то бомба обязательно взорвется, и у нас после большой серии испытаний останутся только бомбы с неисправными детонаторами. Изучим квантовый алгоритм решения этой задачи. Используем для тестирования установку из вопроса 14, заменив в ней зеркало $M2$ на зеркало-детонатор бомбы. Можно считать, что неисправный детонатор эквивалентен идеальному зеркалу $M2$. Исправный детонатор, забирая у фотона часть импульса, фактически производит измерение. Исправный детонатор разрушает когерентность волн вероятности, идущих по разным каналам установки, и после взаимодействия с ним оказывается, что фотон с вероятностью 1 идет по каналу, в котором произошло взаимодействие, а поляризационное состояние фотона остается таким, каким оно было до взаимодействия с детонатором."}, {"balls": {"number": "15", "exponent": null}, "text": "Определите вероятность того, что при испускании фотона источником в установке с исправным детонатором $M2$ бомба не взорвется и сработает $D1$, а также вероятность того, что бомба не взорвется и сработает $D2$. В ответ запишите эти вероятности последовательно (сначала $w_1$, затем $w_2$), с точностью до сотых долей."}]}
answer: [{"condition": "В эксперименте три фотона с одинаковым поляризационным состоянием $\left( \begin{array}{c}  \frac{1+2i}{3} \\  -\frac{2}{3} \end{array}  \right)$ направляются на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. Найдите вероятность того, что все три фотона пройдут через поляроид. ", "solution": {"text": "Для одного фотона вероятность прохождения $w_x={|\boldsymbol{\alpha }|}^2=\left|\frac{1}{3}+i\frac{2}{3}\right|=\frac{5}{9}$. Вероятность того, что пойдут все три, равна ${\left(\frac{5}{9}\right)}^3=\frac{125}{729}\approx 0.1715$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $0.1715$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите вероятность того, что два фотона пройдут, а один отразится. Фотоны $\textit{неразличимы}$ — их невозможно «пронумеровать». ", "solution": {"text": "Так как у двух фотонов реализуется вероятность прохождения $\frac{5}{9}$, а у одного — вероятность отражения $\frac{4}{9}$, и при этом выбрать отразившийся фотон можно тремя вариантами, то вероятность этого события $3\cdot {\left(\frac{5}{9}\right)}^2\frac{4}{9}=\frac{100}{243}\approx 0.4115$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $0.4115$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На тот же поляроид падает когерентная электромагнитная волна с интенсивностью $I_0=18~Вт/м^2$, в которой все фотоны (их количество очень велико) находятся в этом же состоянии (см. вопрос 1). Найдите интенсивность волны, прошедшей через поляроид, в $Вт/м^2$, с точностью до целого значения. ", "solution": {"text": "Ясно, что $I=w_xI_0=\frac{5}{9}I_0=10~Вт/м^{2}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $I=10~Вт/м^{2}$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пучок фотонов, находящихся в одинаковом чистом поляризационном состоянии, направляют на поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. В первом опыте было пущено $N_0=1690~фотонов$, и через поляроид прошло $N_1=250~фотонов$. Затем ось поляроида повернули на $30^\circ$ в сторону оси $y$. Снова на него было направлено $N_0=1690~фотонов$ в том же поляризационном состоянии (второй опыт), и в этот раз через поляроид прошло $N_2=807~фотонов$. Ось поляроида повернули еще на $30^\circ$ в ту же сторону, и затем провели третий опыт — направили на поляроид то же количество фотонов в том же состоянии. Предскажите количество фотонов $N_3$, прошедших через поляроид в третьем опыте. ", "solution": {"text": "Будем, согласно указанию, считать $\alpha $ вещественным числом. С учетом условия нормировки ${\alpha }^2+|\boldsymbol{\beta }|^2=1$ получаем: $\beta =\sqrt{1-{\alpha }^2}\cdot e^{i\varphi }$, где $\varphi $ — некоторая фаза, которую нужно определить. Как видно из результата первого опыта, оценка для $w_x={|\alpha |}^2=\frac{N_1}{N_0}=\frac{25}{169}$, и поэтому $\alpha =\frac{5}{13}$. Значит, $\beta =\frac{12}{13}\cdot e^{i\varphi }$. Во втором опыте мы измеряем вероятность того, что фотон будет находиться в поляризационном состоянии $|x'\rangle=\left( \begin{array}{c} \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{array} \right)$. Она равна \[\frac{N_2}{N_0}=\frac{807}{1690}={\left|\left( \begin{array}{cc} \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} 5/13 \\ 12e^{i\varphi }/13 \end{array} \right)\right|}^2=\frac{219+120\sqrt{3}\cos\varphi }{676}.\] Из этого уравнения находим $\cos\varphi=\frac{173}{200\sqrt{3}}\approx 0.499$. Так как флуктуации, обусловленные вероятностным характером процесса, заведомо больше 0.1\%, то в пределах точности нашего решения эта величина практически неотличима от 0.5, так что $\varphi \approx \pi /3$, и поляризационное состояние фотонов пучка с хорошей точностью описывается столбцом $\left( \begin{array}{c} 5/13 \\ \frac{12}{13}\cdot e^{i\pi /3} \end{array} \right)$. В третьем опыте $|x''\rangle=\left( \begin{array}{c} 1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{array} \right)$ и вероятность прохождения фотона \[w^{''}\approx {\left|\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} \frac{5}{13} \\ \frac{12}{13}\cdot e^{\frac{i\pi }{3}} \end{array} \right)\right|}^2=\frac{457+60\sqrt{3}}{676}\approx 0.8298.\] Значит, наиболее вероятное значение $N_3=w''\cdot N_0\approx 1402$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $N\approx 1402$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените точность предсказания, сделанного при ответе на вопрос 4. В ответе укажите Вашу оценку стандартного отклонения $\Delta N_3$, округлив до целого значения. ", "solution": {"text": "Согласно формуле, приведенной в справочных материалах, для первого опыта $\Delta N_1=\sqrt{1690\cdot \frac{25}{169}\frac{144}{169}}\approx 15$. Значит, относительная погрешность определения $w_x$ — около $\frac{\Delta N_1}{N_1}\approx $6~\%. Аналогично $\Delta N_2=\sqrt{1690\cdot \frac{807}{1690}\frac{883}{1690}}\approx 20.5$, и здесь ошибка примерно равна $\frac{\Delta N_2}{N_2}\approx 2.5~\%$. Так как эти данные используются при вычислении вероятности прохождения в третьем опыте, относительная ошибка ее определения $\sqrt{{(0.06)}^2+{(0.025)}^2}=0.065=\frac{\Delta N_3}{N_3}$ — около 6.5~\%. Таким образом, $\Delta N_3\approx 91$ и $N_3\approx 1400\pm 90$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\Delta N_3\approx 91$"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При прохождении через некоторое вещество световой волны плоскость ее поляризации поворачивается — угол $\vartheta $ поворота плоскости поляризации изменяется пропорционально длине пути, пройденного фотоном в веществе: $\vartheta (z)=\frac{\pi }{L}z$, где $L=26~см$. Световая волна, про которую говорится в вопросе 3 проходит через такое вещество, и затем падает на поляроид. Найдите наименьшую толщину слоя вещества, при которой интенсивность прошедшей через поляроид волны будет максимально возможной. Ответ дайте в сантиметрах, с точностью до десятых долей. ", "solution": {"text": "После прохождения слоя среды поляризационное состояние каждого фотона из пучка (см. справочные материалы) будет следующим: \[\left( \begin{array}{cc} \cos\vartheta & \mathrm{-}\sin\vartheta \\ \sin\vartheta & \cos\vartheta \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \left(1+2i\right)/3 \\ -2/3 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \left(\cos\vartheta+2\sin\vartheta+2i\cos\vartheta\right)/3 \\ \left(\sin\vartheta-2\cos\vartheta+2i\sin\vartheta\right)/3 \end{array} \right).\] Следовательно, вероятность прохождения поляроида \[w_x=\frac{1}{9}\left\{{\left[\cos\vartheta+2\sin\vartheta\right]}^2+4{\cos}^2\vartheta\right\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{18}\left[\cos\left(2\vartheta \right)+4\sin\left(2\vartheta \right)\right]=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{18}\cos(2\vartheta -\gamma ),\] где $\gamma \equiv \mathrm{arctg}(4)$. Нетрудно заметить, что максимальное значение $w_{x\ max}=\frac{9+\sqrt{17}}{18}\approx 0,729$ достигается при наименьшем значении угла поворота ${\vartheta }_m=\frac{\gamma }{2}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}(4)\approx 38{}^\circ $. Вычислим необходимую минимальную толщину слоя: $\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\left(4\right)=\frac{\pi }{L}z_m\Rightarrow z_m=\frac{\operatorname{arctg}(4)}{2\pi }L\approx 5.5~см$. $z_m=\cfrac{\operatorname{arctg}(4)}{2\pi }L\approx 5.5~см$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "6", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть фотон находится в состоянии суперпозиции $\left( \begin{array}{c}  \alpha  \\  \beta  \end{array}  \right)$, а некоторая среда изменяет разность фаз поляризационных состояний фотона. При прохождении фотоном пути $z$ в этой среде фаза комплексного числа $\alpha$ в двухкомпонентном столбце $\left( \begin{array}{c}  \alpha \\  \beta  \end{array}  \right)$ увеличивается на $\delta =q\cdot z$, а фаза комплексного числа $\beta$ — уменьшается на такую же величину. Постройте матрицу эволюции поляризационного состояния фотона при прохождении им пути $z$ в этой среде. ", "solution": {"text": "Мы ищем такую матрицу эволюции $\hat{U}\left(z\right)$, что $\hat{U}\left(z\right)\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha } \\ \boldsymbol{\beta } \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\alpha }{\boldsymbol{e}}^{\boldsymbol{+}\boldsymbol{i}\boldsymbol{\delta }} \\ \boldsymbol{\beta }{\boldsymbol{e}}^{\boldsymbol{-}\boldsymbol{i}\boldsymbol{\delta }} \end{array} \right)$, где $\delta =qz$. Нетрудно заметить, что \[\hat{U}\left(z\right)=\left( \begin{array}{cc} e^{iqz} & 0 \\ 0 & e^{-iqz} \end{array} \right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\hat{U}\left(z\right)=\left( \begin{array}{cc} e^{iqz} & 0 \\ 0 & e^{-iqz} \end{array} \right)\]"]}, "number_part": "7", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Укажите вектор, на направление которого нужно спроецировать вектор спина фотона, чтобы полученная проекция сохранялась при свободном движении фотона. В ответе запишите обозначение этого вектора, использованное в условии этой задачи. ", "solution": {"text": "Так как для свободного фотона полный момент импульса сохраняется, и импульс сохраняется, то проекция вектора полного момента импульса на направление вектора импульса сохраняется, то есть $\left(\vec{J}\cdot \vec{p}\right)=\left(\left[\vec{r}\times \vec{p}\right]\cdot \vec{p}\right)+\left(\vec{S}\cdot \vec{p}\right)=\operatorname{const}$. Очевидно, что первое слагаемое равно нулю (как скалярное произведение ортогональных векторов), поэтому проекция спина фотона на направление его импульса сохраняется. Поскольку $\vec{p}=\hslash \vec{k}$, то и проекция спина на направление волнового вектора сохраняется. Значит, возможные ответы: $\vec{p}$ или $\vec{k}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\vec{p}$ или $\vec{k}$"]}, "number_part": "8", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Постройте матрицу спиральности $\hat{\Lambda}$. В ответе укажите все четыре ее элемента. ", "solution": {"text": "Используем для матрицы спиральности формулу спектрального разложения \[\widehat{\mathrm{\Lambda }}=\left(+1\right)\cdot \left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)+\left(-1\right)\cdot \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\cdot \left(-\ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) $$"]}, "number_part": "9", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите среднее значение спиральности фотонов в световой волне, про которую говорится в вопросе 3. Ответ запишите с точностью до сотых долей. ", "solution": {"text": "Вероятность того, что фотон в этой волне имеет спиральность +1, равна \[{w_+=\left|\left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} (1+2i)/3 \\ -2/3 \end{array} \right)\right|}^2=\frac{1}{18}{|1+4i|}^2=\frac{17}{18}.\] Ясно, что вероятность иметь отрицательную спиральность ${w_-=1-w}_+$$=\frac{1}{18}$. Поэтому \[\overline{{\Lambda }}=\left(+1\right)\frac{17}{18}+\left(-1\right)\frac{1}{18}=\frac{8}{9}\approx 0,89.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\overline{{\Lambda }}=\frac{8}{9}\approx 0,89$"]}, "number_part": "10", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В пучке фотонов с интенсивностью $I_0$, летящих вдоль оси $z$, все фотоны находятся в одинаковом поляризационном состоянии. На пути пучка поставили поляроид, пропускающий фотоны, поляризованные вдоль оси $x$, и отражающий фотоны, поляризованные вдоль оси $y$. В результате интенсивность прошедшего пучка оказалась равна $0.75I_0$. Ось поляроида повернули на 45$\mathrm{{}^\circ}$ в сторону оси $y$, и теперь интенсивность прошедшего пучка стала равна $0.5I_0$. Затем поляроид убрали и на пути пучка поставили устройство, пропускающее все фотоны со спиральностью $+1$ и поглощающее все фотоны со спиральностью $-1$. Теперь интенсивность прошедшего через устройство пучка стала равна $0.25I_0$. Считая поляризационное состояние фотона в падающем пучке смешанным, определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc}  {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\  {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array}  \right)$ для этого состояния. ", "solution": {"text": "Диагональные элементы матрицы $\widehat{\rho }$ — это ${\rho }_{11}=w_x=0.75$ и ${\rho }_{22}=w_y=0.25$. Обозначим комплексное число ${\rho }_{12}\equiv b\cdot e^{i\varphi }$. Тогда ${\rho }_{21}={({\rho }_{12})}^*=b\cdot e^{-i\varphi }$. Поляризационное состояние фотона, проходящего через поляроид после поворота его оси $|x'\rangle=\left( \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right)$. Значит, вероятность прохождения фотона из пучка после этого поворота \[0.5=\left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 0.75 & b\cdot e^{i\varphi } \\ b\cdot e^{-i\varphi } & 0.25 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right)=0.5+b\cdot \cos\varphi .\] Поэтому $b\cdot \cos\varphi=0$. Вероятность того, что этот же фотон имеет спиральность +1, равна \[0.25=\left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 0.75 & b\cdot e^{i\varphi } \\ b\cdot e^{-i\varphi } & 0.25 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ i/\sqrt{2} \end{array} \right)=0.5-b\cdot \sin\varphi ,\] и $b\cdot \sin\varphi=0.25$. Из этих соотношений находим, что $b=0.25$, а $\varphi =\frac{\pi }{2}$. Итак, с учетом равенства $e^{i\varphi }=i$, получаем: \[\widehat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} 0,75 & 0,25i \\ -0,25i & 0,25 \end{array} \right)=\frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} 3 & i \\ -i & 1 \end{array} \right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} 3 & i \\ -i & 1 \end{array} \right) $$"]}, "number_part": "11", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите условие, которому должны подчиняться компоненты матрицы ${\rho }_{11}$, ${\rho }_{12}$, ${\rho }_{21}$ и ${\rho }_{22}$ для того, чтобы матрица $\hat{\rho }$ описывала чистое состояние. Запишите это условие, а также ответьте на вопрос: является ли чистым поляризационное состояние фотона в пучке, о котором идет речь в вопросе 11? В ответе напишите «ДА» или «НЕТ». ", "solution": {"text": "Пусть смешанное состояние, заданное матрицей $\widehat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)$, является чистым, то есть его также можно описать столбцом $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$. Рассмотрим любое другое чистое состояние, описываемое столбцом $\left( \begin{array}{c} \alpha' \\ \beta' \end{array} \right)$. Тогда вероятность того, что фотон, находящийся в смешанном состоянии $\widehat{\rho }$, при измерении будет обнаружен в чистом состоянии $\left( \begin{array}{c} \alpha' \\ \beta' \end{array} \right)$, равна \[\left( \begin{array}{cc} {\alpha'}^* & {\beta'}^* \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\ {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \alpha' \\ \beta' \end{array} \right)={\rho }_{11}{\alpha'}^*{\alpha}^{'}+{\rho }_{12}{\alpha'}^*{\beta}^{'}+{\rho }_{21}{\beta'}^*{\alpha}^{'}+{\rho }_{22}{\beta'}^*\beta'.\] Поскольку столбец $\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)$ описывает то же самое состояние, что и матрица $\widehat{\rho }$, то та же самая вероятность равна \[{\left|{\left( \begin{array}{c} {\alpha}^{'} \\ {\beta}^{'} \end{array} \right)}^{\dagger }\left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right)\right|}^2=\left({{\alpha}^{'}}^*\alpha+{{\beta}^{'}}^*\beta\right)\left({\alpha}^{'}{\alpha}^*+{{\beta}^{'}\beta}^*\right)=\] \[={\alpha}^{*}\alpha\cdot{{\alpha}^{'}}^*{\alpha}^{'}+{\beta}^{*}\alpha\cdot{{\alpha}^{'}}^*{\beta}^{'}+{\alpha}^{*}\beta\cdot{{\beta}^{'}}^*{\alpha}^{'}+{\beta}^{*}\beta\cdot{{\beta}^{'}}^*{\beta}^{'}.\] Выражения в правых частях двух последних соотношений в точности совпадают, если$\widehat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} {\alpha}^{*}\alpha & {\beta}^{*}\alpha \\ {\alpha}^{*}\beta & {\beta}^{*}\beta \end{array} \right)$. Можно заметить, что необходимым следствием этого является соотношение ${\rho }_{11}{\rho }_{22}-{\rho }_{12}{\rho }_{21}=0$ (те, кто знают определение определителя матрицы, могут заметить, что это в точности требование, что определитель $\widehat{\rho }$ равен 0). Для построенной матрицы $\widehat{\rho }=\frac{1}{4}\left( \begin{array}{cc} 3 & i \\ -i & 1 \end{array} \right)$ это соотношение не выполняется, так что исследуемое состояние фотона не является чистым: ответ «НЕТ»."}, "answer": {"answers": ["Ответ: ${\rho }_{11}{\rho }_{22}-{\rho }_{12}{\rho }_{21}=0$ Нет"]}, "number_part": "12", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Рассмотрим $\textit{другой}$ пучок фотонов, летящих вдоль оси $z$, все фотоны которого находятся в одинаковом $\textit{смешанном}$ поляризационном состоянии. У нас есть три «наблюдаемые», связанные с поляризацией. Первая «наблюдаемая» $\hat{F}$ имеет определенные значения 1 (в состоянии $|x\rangle=\left( \begin{array}{c}  1 \\  0 \end{array}  \right)$) и 4 (в состоянии $|y\rangle=\left( \begin{array}{c}  0 \\  1 \end{array}  \right)$). Вторая «наблюдаемая» $\hat{G}$ имеет определенные значения $+1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c}  \frac{1}{\sqrt{2}} \\  \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}  \right)$) и $-1$ (в состоянии $\left( \begin{array}{c}  \frac{1}{\sqrt{2}} \\  -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}  \right)$). Третья «наблюдаемая» — спиральность. Измерения показали, что для фотонов этого пучка среднее значение $\overline{F}=3$, среднее значение $\overline{G}=+\frac{1}{4}$, а среднее значение спиральности $\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}$. Определите все элементы матрицы $\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc}  {\rho }_{11} & {\rho }_{12} \\  {\rho }_{21} & {\rho }_{22} \end{array}  \right)$ для этого состояния. ", "solution": {"text": "Так как состояния с определенными значениями $F$ — это базисные состояния $|x\rangle=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$ и $|y\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$, то $\overline{F}=3={\rho }_{11}\cdot 1+\left(1-{\rho }_{11}\right)\cdot 4=4-3{\rho }_{11}\Rightarrow {\rho }_{11}=\frac{1}{3}$, а${\rho }_{22}=1-{\rho }_{11}=\frac{2}{3}$. Как и в п. 11, обозначим ${\rho }_{12}\equiv b\cdot e^{i\varphi }$, ${\rho }_{21}=b\cdot e^{-i\varphi }$. Пусть также ${\tilde{w}}_+$ — это вероятность того, что $G=+1$ . Тогда $\overline{G}=+\frac{1}{4}=\left(+1\right)\cdot {\tilde{w}}_++\left(-1\right)\cdot \left(1-{\tilde{w}}_+\right)\Rightarrow {\tilde{w}}_+=\frac{5}{8}$. С другой стороны, \[{\tilde{w}}_+=\frac{5}{8}=\left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1/3 & b\cdot e^{i\varphi } \\ b\cdot e^{-i\varphi } & 2/3 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right)=\frac{1}{2}+b\cdot \cos\varphi.\] Значит, $b\cdot \cos\varphi=\frac{1}{8}$. Повторим эти рассуждения для спиральности: \[\overline{\mathrm{\Lambda }}=-\frac{1}{4}=\left(+1\right)w_++\left(-1\right)\left(1-w_+\right)\Rightarrow w_+=\frac{3}{8},\] \[w_+=\frac{3}{8}=\left( \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1/3 & b\cdot e^{i\varphi } \\ b\cdot e^{-i\varphi } & 2/3 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ i/\sqrt{2} \end{array} \right)=\frac{1}{2}-b\cdot \sin\varphi\Rightarrow b\cdot \sin\varphi=\frac{1}{8}.\] Далее получаем $b=\frac{1}{4\sqrt{2}}$, а $\varphi =\frac{\pi }{4}$. Заметив, что $e^{i\varphi }=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$, в результате приходим к формуле: \[\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} 1/3 & (1+i)/8 \\ (1-i)/8 & 2/3 \end{array} \right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\hat{\rho }=\left( \begin{array}{cc} 1/3 & (1+i)/8 \\ (1-i)/8 & 2/3 \end{array} \right)\]"]}, "number_part": "13", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите вероятность того, что при испускании фотона источником в нашей установке сработает $D1$ и вероятность срабатывания $D2$. В ответ запишите эти вероятности последовательно (сначала $w_1$, затем $w_2$), с точностью до сотых долей. ", "solution": {"text": "Поскольку $|+1=\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$, то после прохождения сепаратора фотон с вероятностью 0,5 пойдет по каналу с М1, и с такой же — по каналу с М2, то есть поляризация волн вероятности в этих каналах описывается столбцами $\left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ и $\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right)$ соответственно. Отражения от идеальных зеркал умножает эти столбцы на —1, и на кооператор приходят волны вероятности с поляризационными состояниями $|1\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ и $|2\rangle=\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array} \right)$. Следовательно, после кооператора фотон будет находиться в поляризационном состоянии $|f\rangle=\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)=-|+1\rangle$! Этот вектор удовлетворяет уравнению $\hat{{\Lambda }}|f\rangle=(+1)\cdot |f\rangle$, то есть он отвечает спиральности $+1$, и поэтому этот фотон обязательно попадет в D1. Значит, $w_1=1$ и $w_2=0$. В D2 ни один фотон не попадает."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $w_1=1$, $w_2=0$"]}, "number_part": "14", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите вероятность того, что при испускании фотона источником в установке с исправным детонатором $M2$ бомба не взорвется и сработает $D1$, а также вероятность того, что бомба не взорвется и сработает $D2$. В ответ запишите эти вероятности последовательно (сначала $w_1$, затем $w_2$), с точностью до сотых долей. ", "solution": {"text": "Если детонатор неисправен, то все происходит, как в предыдущем пункте — пустив несколько фотонов и убедившись, что бомба не взрывается, и все фотоны попадают в D1, делаем вывод, что у данной бомбы детонатор с высокой вероятностью неисправен. Если детонатор исправен, то с вероятностью 0,5 (когда фотон пойдет по каналу с детонатором) бомба взорвется, и нам придется все начинать сначала. С вероятностью 0,5 фотон пойдет по каналу с М1. Однако, пока фотон остается в чистом состоянии, волны вероятности все равно идут по обоим каналам, и, хотя самого фотона в канале с детонатором нет, волна вероятности взаимодействует с детонатором. Детонатор не сработал — и мы теперь ЗНАЕМ, что фотон шел по каналу с М1, и из канала с детонатором к кооператору ничего не приходит, то есть теперь $|1\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)$ и $|2\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$! Значит, в этом случае \[|f\rangle=\left( \begin{array}{c} 0 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)=\left(-\frac{1}{2}\right)\left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)+\left(-\frac{1}{2}\right)\left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array} \right)=\left(-\frac{1}{2}\right)|+1\rangle+\left(-\frac{1}{2}\right)|-1\rangle.\] В итоге фотон в невзорвавшейся установке с исправным детонатором с вероятностью 0,25 отправляется к D1, и с такой же — к D2. Итак, технологическая задача решена: если после пуска фотона бомба не взорвалась, и сработал детектор D2, то это доказывает, что детонатор исправен! Как мы видим, квантовый объект — фотон — «почувствовал» присутствие исправного детонатора там, где самого фотона не было, но он мог бы быть. Ответ в этом пункте: $w_1=0.25$ и $w_2=0.25$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $w_1=0.25$, $w_2=0.25$"]}, "number_part": "15", "exponent_part": "??"}]