text: {"text": [{"text": "К диску радиуса $R$, насаженному на горизонтальный вал двигателя, под действием силы тяжести прижимается тяжелый брусок массой $M$. Брусок может свободно поворачиваться относительно оси $O$ (см. рисунок). <img_0> Длина бруска равна $L$, его толщина $h$. Точка соприкосновения бруска с диском находится на расстоянии $l$ от левого края бруска. Коэффициент трения скольжения между бруском и диском равен $\mu$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Предполагая, что двигатель развивает мощность $P$, определите угловую скорость $\omega$ вращения диска в зависимости от расстояния $l$. Рассмотрите случаи вращения диска по $\left(\omega^{+}\right)$ и против $\left(\omega^{-}\right)$ часовой стрелки."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Постройте графики $\omega^{+}(l)$ и $\omega^{-}(l)$."}]}
answer: [{"condition": "Предполагая, что двигатель развивает мощность $P$, определите угловую скорость $\omega$ вращения диска в зависимости от расстояния $l$. Рассмотрите случаи вращения диска по $\left(\omega^{+}\right)$ и против $\left(\omega^{-}\right)$ часовой стрелки. ", "solution": {"text": "Рассмотрим случай вращения диска против часовой стрелки (см. рисунок). <img_1> Условие равновесия бруска: $$ F_{тр} h+M g \frac{L}{2}=N l, $$ где $F_{тр}=\mu N$. Отсюда $$ F_{тр}=\frac{M g L \mu}{2(l-\mu h)}. $$ По определению $P=F v$. В нашем случае $F=F_{тр}$, a $v=\omega^{-} R$. Следовательно, $$ \omega^{-}=\frac{P}{F_{тр} \cdot R}=\frac{2 P}{R M g L \mu}(l-\mu h)=A(l-\mu h), $$ где $A=\frac{2 P}{R M g L \mu}$ — коэффициент пропорциональности между $\omega$ и $l$. Задача решается при $l>\mu h$. При $l \leqslant \mu h$ происходит «заклинивание», двигатель не может повернуть диск. Если диск вращается по часовой стрелке, то его угловая скорость $\omega^{+}=A(l+\mu h)$, т. е. «заклинивания» нет."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega^{-}=\frac{2 P}{R M g L \mu}(l-\mu h)=A(l-\mu h). $$ $$ \omega^{+}=A(l+\mu h). $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Постройте графики $\omega^{+}(l)$ и $\omega^{-}(l)$. ", "solution": {"text": "Графики $\omega^{+}(l)$ и $\omega^{-}(l)$ представлены на рисунке ниже."}, "answer": {"answers": ["<img_2>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]