text: {"text": [{"text": "<img_0> При проектировании лазерной системы наведения необходимо учитывать неоднородность показателя преломления воздуха. Из-за влияния различных факторов, таких как состояние поверхности, высота, температура, влажность и плотность воздуха, показатель преломления в разных точках может различаться, и тогда свет не будет двигаться по прямой. Предположим, что показатель преломления воздуха $n$ изменяется с высотой $y$ следующим образом: $$n(y)= n_0 + \alpha y,$$где $n_0$ — показатель преломления при $y=0$, $n_0 > 0$, $\alpha > 0$ — известные константы. Время распространения лазера мало. Лазер находится в начале координат $O$, как показано на рисунке."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Если изначальный угол между лазерным лучом и вертикальной осью равен $\theta_0$ ($0 \leq \theta_0 \leq \frac{\pi}{2}$), найдите уравнение, которое описывает распространение луча."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "3,00"}, "text": "Пусть цель $A$ находится в первом квадранте. Если её высота равна $y_a$, найдите максимальное значение $x_{a\,max}$ координаты $x$ цели, которую может поразить лазер."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "8,00"}, "text": "Лазерное поражение цели требует определенного времени воздействия. Если цель $A$ находится в зоне поражения лазера, её начальное положение равно $(x_0, y_0)$, и цель приближается к лазеру с постоянной горизонтально направленной скоростью $v$, как должен изменяться угол $\theta_0$ со временем $t$, чтобы луч всегда попадал в цель?"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": "5,00"}, "text": "Лазерные атаки обычно следуют принципу безопасного уничтожения, то есть самолёт-цель $A$ должен быть уничтожен, и все сброшенные им бомбы не должны поражать лазер. Бомба при сбрасывании неподвижна относительно $A$. Как только $A$ входит в зону поражения лазера, тот сразу же начинает его облучать. Высота полёта $A$ равна $y_a$, а продолжительность воздействия, необходимого для уничтожения $A$, равна $t_a$. Ускорение свободного падения равно $g$, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Найдите диапазон скоростей $A$, при которых лазер сможет его уничтожить."}]}
answer: [{"condition": "Если изначальный угол между лазерным лучом и вертикальной осью равен $\theta_0$ ($0 \leq \theta_0 \leq \frac{\pi}{2}$), найдите уравнение, которое описывает распространение луча. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$y=\frac{\alpha^{2}}{4 n_{0}^{2} \sin ^{2} \theta_{0}} x^{2}+\frac{x}{\tan \theta_{0}}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}, {"condition": "Пусть цель $A$ находится в первом квадранте. Если её высота равна $y_a$, найдите максимальное значение $x_{a\,max}$ координаты $x$ цели, которую может поразить лазер. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$y_{a\,max} = \frac{2n_0}{\alpha} \sqrt{y_a}.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Лазерное поражение цели требует определенного времени воздействия. Если цель $A$ находится в зоне поражения лазера, её начальное положение равно $(x_0, y_0)$, и цель приближается к лазеру с постоянной горизонтально направленной скоростью $v$, как должен изменяться угол $\theta_0$ со временем $t$, чтобы луч всегда попадал в цель? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\theta_{0}=\arctan \left(\frac{2 n_{0}^{2}\tilde x}{4 n_{0}^{2} y_{0}-\alpha^{2}\tilde x^{2}}+\sqrt{\left(\frac{2 n_{0}^{2}\tilde x}{4 n_{0}^{2} y_{0}-\alpha^{2}\tilde x^{2}}\right)^{2}+\frac{\alpha^{2}\tilde x^{2}}{4 n_{0}^{2} y_{0}-\alpha^{2}\tilde x^{2}}}\right),$$ где $\tilde x=x_0-vt$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "8,00"}, {"condition": "Лазерные атаки обычно следуют принципу безопасного уничтожения, то есть самолёт-цель $A$ должен быть уничтожен, и все сброшенные им бомбы не должны поражать лазер. Бомба при сбрасывании неподвижна относительно $A$. Как только $A$ входит в зону поражения лазера, тот сразу же начинает его облучать. Высота полёта $A$ равна $y_a$, а продолжительность воздействия, необходимого для уничтожения $A$, равна $t_a$. Ускорение свободного падения равно $g$, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Найдите диапазон скоростей $A$, при которых лазер сможет его уничтожить. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v \in \left(0,~ \frac{2 n\left(t_{a} \sqrt{g y_{a}}-\sqrt{2} y_{a}\right)}{\alpha\left(g t_{a}^{2}-2 y_{a}\right)}\right).$$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "5,00"}]