text: {"text": [{"text": "Однородное кольцо лежит на двух одинаковых параллельных рельсах. Левый рельс движется параллельно самому себе с постоянной скоростью $v$. Правый рельс покоится. Угловое расстояние между точками контакта (если смотреть из центра кольца) равно $2\alpha$ для левого рельса и $2\beta$ для правого. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Считая, что $\alpha\ll 1$ и $\beta=\pi/3$, найдите скорость центра кольца."}]}
answer: [{"condition": "Считая, что $\alpha\ll 1$ и $\beta=\pi/3$, найдите скорость центра кольца. ", "solution": {"text": "<img_1> <img_2> <img_3> <img_4> Введём величину $k=r/R$ и приведём квадратное уравнение к стандартному виду:$$k^2\left(\tan^2\beta-\tan^2\alpha\right)+2k\tan^2\alpha\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)+\sin^2\alpha\tan^2\beta-\sin^2\beta\tan^2\alpha-\tan^2\alpha\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)^2=0{.}$$Теперь учтём, что $\beta=\cfrac{\pi}{3}$ и $\alpha\ll{1}$. Разложим каждое из слагаемых до ведущего члена:$$1){~}\tan^2\beta-\tan^2\alpha\approx{3};$$$$2){~}2\tan^2\alpha(\cos\alpha+\cos\beta)\approx{3\alpha^2};$$$$3){~}\sin^2\alpha\tan^2\beta-\sin^2\beta\tan^2\alpha-\tan^2\alpha\left(\cos\alpha+\cos\beta\right)^2\approx{\cfrac{9\alpha^2}{4}-\alpha^2\left(\cfrac{3-\alpha^2}{2}\right)^2}\approx{\cfrac{3\alpha^4}{2}}{.}$$С учётом приближений перепишем квадратное уравнение компактнее и решим:$$k^2+k\alpha^2-\cfrac{\alpha^4}{2}=0\Rightarrow{k=\cfrac{\alpha^2\left(-1\pm{\sqrt{3}}\right)}{2}}{.}$$Корень со знаком ${-}$ не подходит, поскольку в таком случае сил трения окажутся не скомпенсированными. Отсюда:$$k=\cfrac{\alpha^2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}{.}$$Величина $r$ оказывается малой. В связи с этим положение точки $O_1$оказывается практически на окружности. Поэтому $O_1O=R$.Положение точки $O_2$ задаётся равенством$$PO_2=\cfrac{r}{\sin^2\varphi}=r+\cfrac{R^2\sin^2\alpha}{r}\approx{R\left(1+\sqrt{3}\right)}{.}$$Таким образом:$$O_1O_2=O_1O+OP+PO_2=R\left(3+\sqrt{3}\right){,}$$откуда ответ на вопрос задачи:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_O=\cfrac{v}{3+\sqrt 3} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]