text: {"text": [{"text": "Для изучения свойств льда, в лаборатории собрали установку из блоков и нитей на штативе, к которым прикрепили четыре льдинки разной массы, поместив их в цилиндрический стакан с водой. Система пришла в равновесие, когда тяжёлые льдинки частично погрузились в воду, а самая лёгкая массой $m$ осталась висеть в воздухе (см. рисунок). <img_0> По ходу эксперимента, на льдинку, висящую в воздухе, направили луч лазера, и она стала плавиться. Талая вода при этом стекала в стакан. После сообщения льдинке количества теплоты $Q = 825~Дж$ уровень воды в стакане изменился на $\Delta h_{1} = 1~см$. После полного плавления висящей льдинки, изменение уровня по сравнению с первоначальным составило $\Delta h_{2}= 3~см$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Увеличивается или уменьшается уровень воды в стакане?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите, чему равна площадь дна стакана."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "В каком диапазоне изменялась сила натяжения нити, удерживающей льдинку массой $6m$? Считайте, что вплоть до полного плавления висящая льдинка $m$ оставалась на нити, не касаясь воды. Блоки и нити невесомы. Температура льда и воды в начале и во время эксперимента равнялась комнатной $t_{к} = 0^\circ С$. Плотность льда $\rho_{л} = 900~кг/м^{3}$, плотность воды $\rho = 1000~кг/м^{3}$. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 330~кДж/кг$. Ускорение свободного падения $g = 10~м/с^{2}$."}]}
answer: [{"condition": "Увеличивается или уменьшается уровень воды в стакане? ", "solution": {"text": "Расставим силы натяжения нитей (см. рисунок). <img_1> Заметим, что из условия равновесия висящей льдинки: $$ T=mg. \qquad (1) $$ По мере уменьшения её массы пропорционально будет уменьшаться сила натяжения всех нитей в системе. Поэтому сила натяжения нити, удерживающей $6m$, изменяется от $0$ до $2mg$. Изменение уровня воды в стакане можно связать с изменением внешней силы, действующей на систему со стороны штатива. Найдём силу, действующую на дно стакана со стороны содержимого, двумя разными способами, с учётом того, что масса системы (льда, воды, блоков, нитей) при этом не изменяется: $1$. Как силу, обратную действующей по третьему закону Ньютона на содержимое со стороны дна, найденную из условия равновесия содержимого: $$ 8T+F_{на дно}=m_{системы}g, $$ что с учётом уравнения $(1)$ даст: $$ 8mg+F_{на дно}=m_{системы}g. $$ $2$. Как сумму реальных сил, с которыми содержимое действует на дно: $$ F_{на дно}=\rho ghS, $$ где $F_{на дно}$ — сила гидростатического давления (дна ничто не касается). После сообщения льдинке количества теплоты $Q$ её масса уменьшается на $\Delta m=Q/ \lambda$. Уравнения для новой силы, действующей на дно, примут вид: $$ 8(m-\Delta m)g+F_{на дно}^{*}=m_{системы}g, \\ F_{на дно}^{*}=\rho g S(h+\Delta h_{1}). $$ Приравнивая уравнения по массе всего содержимого, получим: $$ \rho g S\Delta h_{1}=8\Delta m \qquad (2) $$ или $\rho g S \Delta h_{1}=8Q/\lambda$, откуда находим площадь дна стакана: $$ S=\frac{8Q}{\Delta h_{1}\rho \lambda}=20~см^{2}. $$ Заметим, что знак $\Delta h_{1}$ положительный, следовательно, уровень поднимается. Из уравнения $(2)$ видно, что высота уровня будет линейно увеличиваться по мере уменьшения массы висящей льдинки. После полного плавления, система уравнений для силы на дно примет вид: $$ \left\{ \begin{array}{ll} F_{на~дно}^{**} = m_{системы}g \\ F_{на~дно}^{**} =\rho gS(h+\Delta h_{2}). \end{array} \right. $$ Откуда $\rho S\Delta h_{2}=8m$, и диапазон изменения силы натяжения нити, прикреплённой к $6m$, составит $0 < T < \rho g S \Delta h_{2}/4$, или $0 < T < 0.15~Н$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Знак $\Delta h_{1}$ положительный, следовательно, уровень поднимается."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите, чему равна площадь дна стакана. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ S=\frac{8 Q}{\Delta h_{1} \rho \lambda}=20~см^{2} $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В каком диапазоне изменялась сила натяжения нити, удерживающей льдинку массой $6m$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ 0 < T < 0.15~Н. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]