text: {"text": [{"text": "Конденсатор емкости $C$ соединен последовательно с резистором $R$. На эту систему подается переменное напряжение $V(t)$. Из-за этого на конденсаторе возникает напряжение $U(t)$, которое измеряется идеальным вольтметром. Мы будем исследовать зависимость напряжения на конденсаторе и тока через резистор $I(t)$ от времени в различных режимах. Полярность подключения источника указана на схеме, используйте ее, чтобы указать правильный знак напряжения. Условие задачи содержит подробное объяснение того, как нужно исследовать напряжение на конденсаторе. Важно в каждом пункте задачи находить именно то, что в нем спрашивается. Если нет промежуточных пунктов, баллы за них не ставятся даже при наличии правильного окончательного ответа, полученного другим способом. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Постоянное напряжение (2 балла)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Изначально заряд конденсатора равен нулю. Пусть в момент времени $t = 0$ на вход цепи подается постоянное напряжение $V = V_0$. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$ при $t > 0$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите зависимость тока через резистор от времени $I(t)$ ($t > 0$)."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите тепло $Q_0$, которое выделится на резисторе за все время процесса."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,60"}, "text": "Пусть теперь начальное напряжение на конденсаторе при $t = 0$ равно $U_1$, и как и раньше на вход подается постоянное напряжение $V = V_0$. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$ и тока через резистор $I(t)$."}, {"text": "Часть B. Линейный рост (4.5 балла) Пусть теперь на схему подается линейно растущее напряжение $V = \alpha t$ (при $t > 0$). При $t = 0$ конденсатор не заражен. Можно показать, что тогда через достаточно большое время напряжение на конденсаторе будет примерно равно напряжению на входе схемы."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите количество теплоты $Q_1$, которое выделится за все время процесса из пункта \textbf{A4}. Постройте (качественно) график зависимости $Q_1$ от $U_1$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть прошло достаточно большое время. Найдите выражение для тока через резистор $I(t)$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите количество теплоты $Q$, которое выделится на резисторе за достаточно большое время $t$. Теперь будем решать задачу точно."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,10"}, "text": "Найдите ток через резистор $I$. Выразите его через мгновенное значение напряжения на конденсаторе $U$, входное напряжение $V$ и параметры схемы."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,10"}, "text": "Выразите скорость изменения напряжения на конденсаторе $dU/dt$ через ток через резистор $I$ и параметры схемы."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,40"}, "text": "Продифференцировав уравнение из \textbf{B3}, получите дифференциальное уравнение на ток через резистор, то есть выразите $dI/dt$ через $I$, параметры схемы и постоянную $\alpha$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,10"}, "text": "Чему равен ток через резистор в начальный момент времени $I(0)$? Полученное уравнение для тока выглядит точно так же (с точностью до обозначений), как и уравнение для напряжения на конденсаторе, который заряжается постоянным напряжением."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя аналогию с зарядкой конденсатора, найдите зависимость тока через резистор от времени $I(t)$."}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$. Постройте (качественно) график зависимости напряжения от времени."}, {"balls": {"number": "B9", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите количество тепла $Q(t)$, которое выделится на резисторе за время $t$. Пусть теперь входное напряжение сначала линейно растет со временем (при $0 < t < T$) до некоторого максимального значения $V_0$, а затем остается постоянным (см. график). Как и раньше, в начальный момент времени $t = 0$ конденсатор не заряжен. Зависимость от времени при $t < T$ мы уже проанализировали. До конца этой части выражайте ответы через параметры схемы, время $t$, $T$ и $V_0$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "B10", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени при $t > T$."}, {"balls": {"number": "B11", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите количество тепла $Q_2$, которое выделилось на резисторе при $t > T$."}, {"balls": {"number": "B12", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите количество теплоты $Q_T$, которое выделилось на резисторе за все время зарядки конденсатора."}, {"text": "Часть С. Периодическое напряжение (3.5 балла) <img_2> Пусть теперь на конденсатор подается переменное напряжение в виде «пилы» (см. график). Это означает, что сначала напряжение на входе нарастает по линейному закону до некоторого максимального значения $V_0$, а затем линейно убывает с той же скоростью, пока не достигнет значения $-V_0$. Далее процесс повторяется периодически с периодом $T$. Через достаточно большое время процесс установится, то есть изменение напряжения на конденсаторе тоже станет периодическим. Пусть в момент времени, когда входное напряжение максимально и равно $V_0$, напряжение на конденсаторе равно $U_1$. В момент, когда напряжение на входе $-V_0$, напряжение на конденсаторе $U_2$."}, {"balls": {"number": "B13", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите отношение $k = Q_T/Q_0$. Здесь $Q_0$ — тепло, которое выделяется на резисторе, когда на вход схемы мгновенно подается напряжение $V_0$ (см. пункт \textbf{A3}), $Q_T$ определено в предыдущем пункте. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$."}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "0,20"}, "text": "Пусть прошло достаточно большое время и колебания установились. Как при этом должны быть связаны $U_1$ и $U_2$?"}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "0,20"}, "text": "Чему равен ток через резистор $I_1$, когда напряжение на входе равно $V_0$?"}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "0,40"}, "text": "По аналогии с пунктом \textbf{B4} напишите уравнение, которому удовлетворяет ток через резистор на участке, где входное напряжение линейно затухает."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,50"}, "text": "С учетом предыдущих двух пунктов найдите зависимость тока от времени на участке, где входное напряжение линейно затухает. Для простоты записи считайте, что этот участок начинается в момент времени $t = 0$."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,60"}, "text": "Используя найденное выражение для тока, выразите напряжение на конденсаторе в конце линейного участка $U_2$ через напряжение в начале $U_1$ и параметры задачи."}, {"balls": {"number": "С6", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите максимальное напряжение на конденсаторе $U_1$ в установившемся режиме. Напишите приближенные выражения для $U_1$ при $T \ll RC$ и $T \gg RC$."}, {"balls": {"number": "C7", "exponent": "0,60"}, "text": "Постройте график зависимости отношения $U_1/V_0$ от безразмерной переменной $T/RC$."}]}
answer: [{"condition": "Изначально заряд конденсатора равен нулю. Пусть в момент времени $t  = 0$ на вход цепи подается постоянное напряжение $V = V_0$. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$ при $t > 0$. ", "solution": {"text": "Мгновенное значение тока через конденсатор $$ I = \frac{V_0 - U}{R}. $$ Ток равен производной заряда конденсатора $I = \cfrac{dq}{dt}$, а заряд можно выразить через напряжение. $q = CU$, откуда $I = C\cfrac{dU}{dt}$, поэтому уравнение на напряжение $$ \frac{dU}{dt} = \frac{1}{RC} \left( V_0 -U\right), $$ а его решение"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U = V_0 \left( 1 - e^{-t/RC}\right). $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите  зависимость тока через резистор от времени $I(t)$ ($t > 0$). ", "solution": {"text": "$I = C\cfrac{dU}{dt}$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = \cfrac{V_0}{R} e^{-t/RC}. $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите тепло $Q_0$, которое выделится на резисторе за все время процесса. ", "solution": {"text": "Через цепь за все время проходит заряд $q= CV_0$, над которым совершается работа $A=V_0 q = CV_0^2$. Конечная энергия конденсатора $W = CV_0^2/2$, а тепло $Q = A - W$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q = CV_0^2 - \frac{C V_0^2}{2} = \frac{C V_0^2}{2}. $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть теперь начальное напряжение на конденсаторе при $t = 0$ равно $U_1$, и как и раньше на вход подается постоянное напряжение $V = V_0$. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$ и тока через резистор $I(t)$. ", "solution": {"text": "Уравнение на напряжение такое же, как и в первом пункте, а его решение, с учетом начальных условий"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U = V_0 - (V_0 - U_1) e^{-t/RC}, \quad I = \frac{V_0 - U_1}{R}e^{-t/RC}. $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите количество теплоты $Q_1$, которое выделится за все время процесса из пункта \textbf{A4}. Постройте (качественно) график зависимости $Q_1$ от $U_1$. ", "solution": {"text": "Через цепь за время зарядки протекает заряд $q = C (V_0 - U_1)$, изменение энергии конденсатора $\Delta W = \cfrac{C V_0^2}{2}-\cfrac{C U_1^2}{2}$, работа источника $A = V_0 q$, поэтому выделившееся тепло $$ Q = A - \Delta W = C V_0^2 - C V_0 U_1 - \cfrac{C V_0^2}{2} + \cfrac{C U_1^2}{2} = \frac{C (V_0 - U_1)^2}{2} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q= \frac{C (V_0 - U_1)^2}{2}. $$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Пусть прошло достаточно большое время. Найдите выражение для тока через резистор $I(t)$. ", "solution": {"text": "Заряд конденсатора через большое время $q = CU \approx C V = C \alpha t$, а ток $I = dq/dt$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = C \alpha. $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите количество теплоты $Q$, которое выделится на резисторе за достаточно большое время $t$. ", "solution": {"text": "Мощность после установления процесса $P = I^2 R \approx C^2 \alpha^2 R$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q = C^2 \alpha^2 Rt. $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите ток через резистор $I$. Выразите его через мгновенное значение напряжения на конденсаторе $U$, входное напряжение $V$ и параметры схемы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = \frac{V - U}{R}. $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Выразите скорость изменения напряжения на конденсаторе $dU/dt$ через ток через резистор $I$ и параметры схемы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{dU}{dt} = \frac{1}{C} I. $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Продифференцировав уравнение из \textbf{B3}, получите дифференциальное уравнение на ток через резистор, то есть выразите $dI/dt$ через $I$, параметры схемы и постоянную $\alpha$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{dI}{dt} = \frac{1}{R}\left(\frac{dV}{dt} - \frac{dU}{dt} \right) = \frac{1}{R} \left( \alpha - \frac{I}{C}\right) $$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Чему равен ток через резистор в начальный момент времени $I(0)$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = 0. $$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Используя аналогию с зарядкой конденсатора, найдите зависимость тока через резистор от времени $I(t)$. ", "solution": {"text": "Из уравнения видно, что ток возрастает, как напряжение на конденсаторе при его зарядке, причем максимальное значение тока $C \alpha$, а характерное время изменения тока $\tau = RC$, как и при зарядке конденсатора."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = C \alpha \left( 1 - e^{-t/RC}\right) $$"]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$. Постройте (качественно) график зависимости напряжения от времени. ", "solution": {"text": "Заряд на конденсаторе можно найти, интегрируя ток (при этом начальный заряд равен нулю): $$ q = \int_0^t I(t) dt = C \alpha \left( t- RC \left( 1 - e^{-t/RC}\right)\right)= C \alpha \left(t - RC + RCe^{-t/RC} \right), $$ а напряжение $U = q/C$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U = \alpha t - \alpha RC \left(1 - e^{-t/RC} \right). $$", "<img_3>"]}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите количество тепла $Q(t)$, которое выделится на резисторе за время $t$. ", "solution": {"text": "На резисторе выделяется мощность $P = I^2(t) R$, интегрируя ее, найдем выделившееся тепло $$ Q = \int_0 ^t I^2(t) R dt = C^2 \alpha^2 R \int_0 ^t \left(1 - e^{-t/RC} \right)^2 dt $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q = C^2 \alpha^2 R \left(t - 2 RC\left (1- e^{-t/RC}\right) + \frac{RC}{2} \left(1 - e^{-2t/RC} \right)\right) $$"]}, "number_part": "B9", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени при $t > T$. ", "solution": {"text": "Эта задача аналогична задаче из пункта A4. Тут в качестве начального напряжения нужно использовать напряжение в момент времени $T$. Также нужно использовать соотношение $V_0 = \alpha T$. Тогда $V_0 - U_1 = \alpha RC \left(1 - e^{-T/RC} \right)$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U = V_0 - \alpha RC \left(1 - e^{-T/RC} \right) e^{- \frac{t-T}{RC}}. $$"]}, "number_part": "B10", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите количество тепла $Q_2$, которое выделилось на резисторе при $t > T$. ", "solution": {"text": "Это количество тепла можно вычислить с помощью результата из A5. $$ Q_2 = \frac{C (V_0 - U_1)^2}{2}= \frac{1}{2}\alpha^2 R^2 C^3 \left(1 - e^{-T/RC} \right)^2. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q _2= \frac{1}{2}\alpha^2 R^2 C^3 \left(1 - e^{-T/RC} \right)^2. $$"]}, "number_part": "B11", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите количество теплоты $Q_T$, которое выделилось на резисторе за все время зарядки конденсатора. ", "solution": {"text": "Складываем ответы из B9 и B11, приводим подобные слагаемые, заменяем $\alpha = V_0/T$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q_T = \frac{RC}{T} CV_0^2 - CV_0^2 \frac{R^2 C^2}{T^2} \left(1 - e^{-T/RC} \right). $$"]}, "number_part": "B12", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите отношение $k = Q_T/Q_0$. Здесь $Q_0$ — тепло, которое выделяется на резисторе, когда на вход схемы мгновенно подается напряжение $V_0$ (см. пункт \textbf{A3}), $Q_T$ определено в предыдущем пункте.  Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$. ", "solution": {"text": "$Q_0 = CV_0^2/2$, с учетом этого $$ k = \frac{2RC}{T} - \frac{2 R^2 C^2} {T^2} \left(1 - e^{-T/RC} \right). $$ На больших временах второе слагаемое много меньше первого, $$ k \approx \frac{2RC}{T}. $$ Заметим также, что при маленьких временах $$ e^{-T/RC} \approx 1 - \frac{T}{RC} + \frac{T^2}{2 R^2 C^2} -\frac{T^3}{6 R^3 C^3}, $$ поэтому $$ k \approx 1 - \frac{T}{3RC}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ k = \frac{2RC}{T} - \frac{2 R^2 C^2} {T^2} \left(1 - e^{-T/RC} \right) \approx \frac{2RC}{T}. $$"]}, "number_part": "B13", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Пусть прошло достаточно большое время и колебания установились. Как при этом должны быть связаны $U_1$ и $U_2$? ", "solution": {"text": "В установившемся режиме противоположным значениям внешнего напряжения отвечают противоположные значения напряжения на конденсаторе."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U_2= - U_1. $$"]}, "number_part": "С1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Чему равен ток через резистор $I_1$, когда напряжение на входе равно $V_0$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I_1 = \frac{V_0 - U_1}{R}. $$"]}, "number_part": "С2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "По аналогии с пунктом \textbf{B4} напишите уравнение, которому удовлетворяет ток через резистор на участке, где входное напряжение линейно затухает. ", "solution": {"text": "Входное напряжение на рассматриваемом участке $$ V = V_0 - \frac{4 V_0}{T} t. $$ В уравнение для тока входит только $dV/dt$, поэтому постоянное слагаемое на него не влияет. Тогда уравнение совпадает с уравнением из пункта B5 с $\alpha = - 4V_0/T$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{dI}{dt} = \frac{1}{R} \left(- \frac{4 V_0}{T} - \frac{I}{C} \right) $$"]}, "number_part": "С3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "С учетом предыдущих двух пунктов найдите зависимость тока от времени на участке, где входное напряжение линейно затухает. Для простоты записи считайте, что этот участок начинается в момент времени $t = 0$. ", "solution": {"text": "Через большое время ток будет равен $I_2 = - 4 C V_0/T$, а общее решение уравнения имеет вид $$ I = I_2 + (I_1 - I_2 )e ^{-t/RC} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = - \frac{4 CV_0 }{T} + \left( \frac{V_0- U_1}{R} + \frac{4 CV_0 }{T} \right) e^{- t/RC} $$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя найденное выражение для тока, выразите напряжение на конденсаторе в конце линейного участка $U_2$ через напряжение в начале $U_1$ и параметры задачи. ", "solution": {"text": "Изменение заряда на конденсаторе за время уменьшения напряжения $$ \Delta q = \int_0 ^{T/2} I(t) dt = - 2 C V_0 + RC \left( \frac{V_0- U_1}{R} + \frac{4 CV_0 }{T} \right) \left(1 - e ^{-T/2RC} \right), $$ тогда изменение напряжения $$ \Delta U = \frac{\Delta q}{C} = U_2 - U_1= -V_0 - U_1 + \frac{4RC}{T} V_0 - \left(V_0 - U_1 + \frac{4 RC}{T} \right) e^{-T/2RC}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U_2 = - V_0+ \frac{4RC}{T} V_0 - \left(V_0 - U_1 + \frac{4 RC}{T} \right) e^{-T/2RC}. $$"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите максимальное напряжение на конденсаторе $U_1$ в установившемся режиме. Напишите приближенные выражения для $U_1$ при $T \ll RC$ и $T \gg RC$. ", "solution": {"text": "Решая уравнение $U_2 = - U_1$ относительно $U_1$ найдем (для удобства записи мы используем так называемую гиперболическую функцию $\tanh x$, при желании ответ можно записать и просто через экспоненты.) При больших значениях аргумента $\tanh x \approx 1$ и $U_1 \approx V_0 \left(1 - 4RC/T \right) \approx V_0$, при малых значениях аргумента $\tanh x \approx x - x^3/3$, $U_1 \approx \cfrac{T^2}{48 R^2 C^2}V_0$. Если ответ для поведения функции не получается получить аналитически, это можно сделать и численно, вычисляя значения для малых значений времени $T/RC$. Так можно убедиться, что при малых временах $U_1 \sim T^2$. Заметим, что значение $U_1$ на самом деле не является максимальным значением напряжения на конденсаторе, поскольку конденсатор продолжает заряжаться еще некоторое время после того, как входное напряжение начало убывать. Максимальное значение напряжения достигается, когда ток через конденсатор обращается в 0, после чего знак тока меняется и конденсатор начинает разряжаться. Это время $t_1$ можно найти из условия $$ I(t_1) = 0 = - \frac{4 CV_0 }{T} + \left( I_1 + \frac{4 CV_0 }{T} \right) e^{- t_1/RC}, $$ поэтому $$ e^{-t_1/RC} = \frac{4 CV_0/T}{I_1 + 4 CV_0/T}, \quad I_1 = \frac{V_0 - U_1}{R} = \frac{4 C V_0}{T} \tanh \frac{T}{4 RC}. $$ За время $t_1$ в конденсатор затечет дополнительный заряд $$ \Delta q_1 = \int _0 ^{t_1} I(t) dt= - 4 C V_0 \frac{t_1}{T} + + RC \left( I_1 + \frac{4 CV_0 }{T} \right) \left(1 - e ^{-t_1/RC} \right). $$ Подставляя во второе сложение выражение для экспоненты и напряжения $U_1$ получим $$ \Delta q_1 = - 4 C V_0 \frac{t_1}{T} + RCI_1. $$ Тогда максимальное напряжение $$ U_{\text{max}} = U_1 + \frac{\Delta q_1}{C} = V_0 - 4 V_0 \frac{t_1}{T} = V_0 \left(1 - \frac{4RC}{T} \ln\left(1 + \tanh \frac{T}{4 RC} \right) \right). $$ Это напряжение больше $U_1$, при малых значениях времени оно зависит от времени линейно. <img_4>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U_1 = V_0 \left(1 - \frac{4RC}{T} \tanh \frac{T}{4RC} \right), \quad \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} . $$  Заметим, что значение $U_1$ на самом деле не является максимальным значением напряжения на конденсаторе, поскольку конденсатор продолжает заряжаться еще некоторое время после того, как входное напряжение начало убывать. Максимальное значение напряжения достигается, когда ток через конденсатор обращается в 0, после чего знак тока меняется и конденсатор начинает разряжаться. Это время $t_1$ можно найти из условия $$ I(t_1) = 0 = - \frac{4 CV_0 }{T} + \left( I_1 + \frac{4 CV_0 }{T} \right) e^{- t_1/RC}, $$ поэтому $$ e^{-t_1/RC} = \frac{4 CV_0/T}{I_1 + 4 CV_0/T}, \quad I_1 = \frac{V_0 - U_1}{R} = \frac{4 C V_0}{T} \tanh \frac{T}{4 RC}. $$ За время $t_1$ в конденсатор затечет дополнительный заряд $$ \Delta q_1 = \int _0 ^{t_1} I(t) dt= - 4 C V_0 \frac{t_1}{T} + + RC \left( I_1 + \frac{4 CV_0 }{T} \right) \left(1 - e ^{-t_1/RC} \right). $$ Подставляя во второе сложение выражение для экспоненты и напряжения $U_1$ получим $$ \Delta q_1 = - 4 C V_0 \frac{t_1}{T} + RCI_1. $$ Тогда максимальное напряжение $$ U_{\text{max}} = U_1 + \frac{\Delta q_1}{C} = V_0 - 4 V_0 \frac{t_1}{T} = V_0 \left(1 - \frac{4RC}{T} \ln\left(1 + \tanh \frac{T}{4 RC} \right) \right). $$ Это напряжение больше $U_1$, при малых значениях времени оно зависит от времени линейно."]}, "number_part": "С6", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Постройте график зависимости отношения $U_1/V_0$ от безразмерной переменной $T/RC$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_5>"]}, "number_part": "C7", "exponent_part": "0,60"}]