text: {"text": [{"text": "Прочный плоский обруч радиусом $R=1~м$ раскрутили вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, до частоты обращения $n=100~об/с$ и сообщили ему скорость $v_{0}=10~см/с$ вдоль поверхности (см. рисунок). <img_0> Коэффициент трения скольжения между обручем и поверхностью равен $\mu=0.1$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "За какое время $t_{1}$ обруч удалится на $s_{1}=10~см$ от начального положения?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Оцените, на какое максимальное расстояние $s$ удалится обруч от начального положения. Обруч равномерно прилегает к поверхности."}]}
answer: [{"condition": "За какое время $t_{1}$ обруч удалится на $s_{1}=10~см$ от начального положения? ", "solution": {"text": "Начальная угловая скорость вращения обруча $\omega_{0}=2 \pi n$. Из условия задачи следует, что $\omega_{0} R \gg v_{0}$. Сила трения, действующая на любой малый элемент обруча, направлена против скорости этого элемента относительно поверхности. Для любой пары элементов обруча, симметричных относительно центра обруча, векторная сумма сил трения приблизительно равна нулю, поскольку выполняется записанное выше неравенство. Поэтому центр вращающегося обруча будет двигаться, почти не замедляясь по сравнению со случаем поступательного движения без вращения. Для оценки можно считать, что ускорение центра обруча $$ a_{c}=\mu g \frac{v_{0}}{\omega_{0} R} d 1.6 \cdot 10^{-4}~м/с^{2}, $$ т.е. очень мало. Тогда $$ t_{1} \approx \frac{s_{1}}{v_{0}}=1~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{1} \approx \frac{s_{1}}{v_{0}}=1~с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Оцените, на какое максимальное расстояние $s$ удалится обруч от начального положения. ", "solution": {"text": "Почти равномерное движение центра обруча будет продолжаться приблизительно до тех пор, пока не прекратится вращение обруча. Оценим время $T$ до прекращения вращения. Для малого элемента обруча массой $\Delta m$ работа сил трения за время $\Delta t$ при вращении с угловой скоростью $\omega$ равна $$ \Delta A=-\mu \Delta m g(\omega R \Delta t). \quad (1) $$ Эта работа равна изменению кинетической энергии: $$ \Delta A=\Delta \frac{\Delta m(\omega R)^{2}}{2}=\Delta m \omega R^{2} \Delta \omega. \quad (2) $$ Из $(1)$ и $(2)$ находим $$ \Delta t=-\frac{R}{\mu g} \Delta \omega, \\ T=\frac{\omega_{0} R}{\mu g}=640~с. $$ За это время обруч удалится (оценочно) на расстояние $$ s=v_{0} T-\frac{A_{c} T^{2}}{2} \approx 64~м-7~м=57~м. $$ Более точные оценки дают $s \approx 40~м$. Получаем ответ: $t_{1}=1~с$, $s \approx 57~м$ (точнее $s \approx 40~м$)."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ s=v_{0} T-\frac{A_{c} T^{2}}{2} \approx 57~м. $$ Более точные оценки дают $s \approx 40~м$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]