text: {"text": [{"text": "Над одним молем идеального многоатомного газа проводят круговой процесс, который, будучи изображённым на $(p, V)$-диаграмме, в некотором масштабе имеет вид окружности (см. рисунок). <img_0> Координаты центра окружности $(p_{0}, V_{0})$, диаметр вдоль оси давлений равен $2 \Delta p$, а диаметр вдоль оси объёмов $2 \Delta V$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите все пары диаметрально противоположных точек окружности, в которых теплоёмкости одинаковы. Вычислите эти теплоёмкости."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Сравните теплоёмкости двух произвольных диаметрально противоположных точек, лежащих во 2 и 4 квадрантах окружности (см. рисунок), другими словами, определите, в какой из этих точек теплоёмкость больше и почему. Примечание. Считайте, что теплоёмкость газа при постоянном объёме не зависит от температуры."}]}
answer: [{"condition": "Найдите все пары диаметрально противоположных точек окружности, в которых теплоёмкости одинаковы. Вычислите эти теплоёмкости. ", "solution": {"text": "Рассмотрим один моль идеального газа. По определению его теплоёмкость $$ C=\frac{\delta Q}{d T}=\frac{d U+p d V}{d T}. $$ Для идеального газа $$ d U=C_{V} d T, \quad R d T=p d V+V d p. $$ Выразим теплоёмкость: $$ C=C_{V}+R \frac{p d V}{p d V+V d p}=C_{V}+\frac{R}{1+\frac{V}{p} \frac{d p}{d V}}. $$ В любых диаметрально противоположных точках $A$ и $B$ касательная к окружности имеет один и тот же наклон: $$ \left(\frac{d p}{d V}\right)_{A}=\left(\frac{d p}{d V}\right)_{B}. $$ Значит, теплоёмкости могут быть равны, когда $d p / d V$ равно либо нулю, либо бесконечности, чему соответствует $C=C_{p}$ и $C=C_{V}$ соответственно, либо когда $$ V_{A} / p_{A}=V_{B} / p_{B}, $$ то есть когда точки $A$, $B$ и центр окружности лежат на одной прямой, идущей из начала координат. Значит, $$ V_{A} / p_{A}=V_{0} / p_{0}. $$ <img_1> Перерисуем процесс в безразмерных осях координат (см. рисунок выше). Проведём прямую через точки $A$ и $B$. Построим касательную к графику в точке $B$. Она будет перпендикулярна прямой $A B$. Таким образом, если угловой коэффициент прямой $A B$ равен $k$, то угловой коэффициент касательной будет равен $k^{\prime}=-1 / k$, следовательно: $$ \frac{d p / \Delta p}{d V / \Delta V}=-\frac{V_{0} / \Delta V}{p_{0} / \Delta p}, \quad \text { откуда } \quad \frac{d p}{d V}=-\frac{V_{0}}{p_{0}}\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)^{2} . $$ Теплоёмкость $C$ равна $$ C=C_{V}+\frac{R}{1-\left(\frac{V_{0}}{p_{0}}\right)^{2}\left(\frac{\Delta p}{\Delta V}\right)^{2}}. $$ Если $p_{0} / V_{0}=\Delta p / \Delta V$, то $c=\pm \infty$ - точки касания принадлежат изотермам. Сравним теплоёмкость в точках $C$ и $D$, лежащих во $2$ и $4$ квадрантах соответственно. Поскольку $$ \left(\frac{d p}{d V}\right)_{C}=\left(\frac{d p}{d V}\right)_{D}>0, $$ то теплоёмкость больше там, где отношение $V / p$ меньше: $$ V_{C} / p_{C}$$ Получаем, что в нашем случае $C_{C}>C_{D}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Сравните теплоёмкости двух произвольных диаметрально противоположных точек, лежащих во 2 и 4 квадрантах окружности (см. рисунок), другими словами, определите, в какой из этих точек теплоёмкость больше и почему. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]