text: {"text": [{"text": "Мимо домов Вани и Маши проходит круговой велосипедный маршрут. Перед сном дети любят прокатиться на велосипедах. Ездят они строго по маршруту с постоянной, комфортной для себя скоростью и делают ровно один круг. Однажды вечером до выезда на прогулку ребята синхронизировали свои GPS-трекеры и далее замеряли кратчайшее расстояние между собой по маршруту (то есть вдоль его траектории). Вот некоторые результаты их измерений в привязке ко времени: Используя эти данные, ответьте на вопросы:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Каково минимальное расстояние по маршруту между домами Вани и Маши?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "С какими скоростями двигались дети?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Считая, что первой на прогулку вышла Маша, определите, в какое время это произошло?"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Какова протяжённость велосипедного маршрута?"}]}
answer: [{"condition": "Каково минимальное расстояние по маршруту между домами Вани и Маши? ", "solution": {"text": "Составим таблицу средних относительных скоростей ребят на известных временных промежутках (знак «+» означает, что расстояние между ними растет, а «-» - что уменьшается): Временной промежуток19:00 - 19:2019:20 - 19:4019:40 - 20:0020:00 - 20:2020:20 - 20:4020:40 - 21:0021:00 - 21:20Скорость, км/ч+6 (24)+12+7,5-3-3-3-9 Заметим, что в процессе движения может быть не более 4 вариантов относительных скоростей: скорость каждого из детей либо их сумма/разность (в зависимости от того, в одну или в разные стороны двигаются дети), а также нулевое значение (если дети сидят по домам).С 20:00 до 21:00 относительная скорость неизменна, хотя перед этим она 3 раза имела другое значение. Можно сделать вывод, что в этом временном промежутке и Ваня, и Маша были на маршруте. Также видно, что они едут в одном направлении, а скорость Вани, который вышел на прогулку вторым, на 3 км/ч выше, чем у Маши, поскольку расстояние между детьми сокращается.В то же время на трёх предыдущих двадцатиминутных отрезках (с 19:00 до 20:00) относительные скорости различны.Маша точно вышла на прогулку до 19:20. Иначе относительная скорость на первом временном промежутке была бы нулевой. Если бы Ваня вышел из дома между 19:20 и 19:40, то относительная скорость с 19:40 до 20:00 была бы такой же, как и в течение следующего часа. Но это не так. Значит, Ваня вышел между 19:40 и 20:00. Но тогда Маша точно вышла между 19:00 и 19:20 (относительные скорости на первых двух отрезках не совпадают).Тогда расстояние между детьми в 19:00 — это расстояние $s_0$ между их домами, значит: | Временной промежуток | 19:00 \- 19:20 | 19:20 \- 19:40 | 19:40 \- 20:00 | 20:00 \- 20:20 | 20:20 \- 20:40 | 20:40 \- 21:00 | 21:00 \- 21:20 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Скорость, км/ч | \+6 (24\) | \+12 | \+7,5 | \-3 | \-3 | \-3 | \-9 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$s_0 = 3~км$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "С какими скоростями двигались дети? ", "solution": {"text": "Относительная скорость на втором временном отрезке (12 км/ч) — скорость Маши: Соответственно, скорость Вани:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_М=12~км/ч.$$  Соответственно, скорость Вани:", "Ответ: $$v_В=15~км/ч.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Считая, что первой на прогулку вышла Маша, определите, в какое время это произошло? ", "solution": {"text": "В таблице промежутку с 19:00 до 19:20 соответствуют две разные скорости. Дело в том, что Маша могла поехать как к дому Вани, так и в противоположном направлении. Но, поскольку, как мы уже выяснили, скорость Маши — 12 км/ч, направление однозначно определяется — она поехала в сторону от дома Вани. Поэтому верное значение — первое (6 км/ч). На первом временном отрезке (между 19:00 и 19:20) Маша успела отъехать от дома на 2 км, то есть ехала 10 минут."}, "answer": {"answers": ["Ответ: точное время выхода Маши из дома — 19:10."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какова протяжённость велосипедного маршрута? ", "solution": {"text": "Вернулась домой Маша между 21:00 и 21:20. Только это может объяснить тот факт, что скорость сближения на этом временном интервале существенно выросла. Расстояние между ребятами сократилось сразу на 3 км. Причём Ваня до дома не доехал, поскольку, как мы знаем, расстояние между домами — 3 км, а в 21:20 расстояние между детьми — 5,5 км. Значит, Ваня все 20 минут двигался, а Маша двигалась лишь некоторую часть этого времени. Ваня за 20 минут проезжает 5 км. Значит, Маша проехала 2 км. Таким образом, она ехала только 10 минут, то есть вернулась домой в 21:10.Поскольку Маша провела в пути 2 часа, длина $s$ маршрута: $s = v_м t$. Также задачу можно решить, построив график зависимости расстояния между ребятами от времени (отсчёт времени ведётся от 19:00): <img_0> Из графика легко определить, что:между домами детей — 3 км (поскольку первый отрезок горизонтальный).Маша вышла на прогулку в 19:10 (первая точка перелома) и вернулась домой в 21:10 (третья точка перелома). Скорость Маши 12 км/ч (определяется по второму участку графика).Скорость Вани 15 км/ч, и он едет в одном направлении с Машей (на третьем участке расстояние между детьми сокращается со скоростью 3 км/ч).Длина маршрута: $s = v_м t = 24~км$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$s = 24~км.$$  Также задачу можно решить, построив график зависимости расстояния между ребятами от времени (отсчёт времени ведётся от 19:00):  Из графика легко определить, что:между домами детей — 3 км (поскольку первый отрезок горизонтальный).Маша вышла на прогулку в 19:10 (первая точка перелома) и вернулась домой в 21:10 (третья точка перелома). Скорость Маши 12 км/ч (определяется по второму участку графика).Скорость Вани 15 км/ч, и он едет в одном направлении с Машей (на третьем участке расстояние между детьми сокращается со скоростью 3 км/ч).Длина маршрута: $s = v_м t = 24~км$."]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]