text: {"text": [{"text": "Два параллельных плоских зеркала располагаются на расстоянии $D$ друг от друга, длина зеркал значительно больше $D$. В пространство между зеркалами пущен луч света с углом падения $\alpha_0\ll{1}~~\text{рад}$. Одно из зеркал немного прогибается внутрь, приобретая форму дуги окружности. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "5,00"}, "text": "При какой максимальной величине прогиба $h$ луч все еще будет выходить из системы с противоположной стороны?"}]}
answer: [{"condition": "При какой максимальной величине прогиба $h$ луч все еще будет выходить из системы с противоположной стороны? ", "solution": {"text": "Будем характеризовать движение луча в оптической системе функцией угла падения $\alpha(x)$ на верхнее зеркало от координаты $x$. Также, в системе проходит много отражений, так что $\alpha(x)$ можно считать непрерывной медленно меняющейся функцией (это соответствует пределу $h \to 0$).Если луч отразился от верхнего зеркала в точке $x$, то следующая точка отражения будет на расстоянии $\Delta x=2D \alpha(x)$ (без учета поправок меньшего порядка малости).Обозначив за $R$ радиус нижней поверхности и рассмотрев отражение луча от неё, легко понять, что при отражении в точке $x$ (координата отсчитывается от центра системы) угол падения меняется на $\Delta \alpha=2\beta=2\frac{x}{R}$, где $\beta$ - угол наклона касательной к окружности в точке $x$.Поделив полученные равенства друг на друга и заменив приращения дифференциалами, получим диф. уравнение\[ \frac{d x}{ d\alpha } = RD \frac{\alpha}{x}\]Предельный случай, когда луч перестает проходить через систему, соответствует $\alpha(0)$.Тогда, разделив переменные и проинтегрировав в нужных пределах, получим\[-\frac{\alpha_0^2}{2} = -\frac{l^2}{2RD},\]где $l$ - расстояние от края системы до её центра по горизонтали. Это расстояние можно найти из геометрических соотношений для окружности (например, т. Пифагора) $l^2=2Rh$. В итоге $h=\frac{D\alpha_0^2}{2}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[h=\frac{D\alpha_0^2}{2}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "5,00"}]