text: {"text": [{"text": "На рисунке показана схема электрической цепи, состоящей из источника с электродвижущей силой $\mathcal{E}$, конденсатора ёмкостью $C$, катушки индуктивностью $L$, ключа $K$ и металлического диска радиусом $R$. Диск может вращаться вокруг своей оси без трения. Диск расположен в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, направленном вдоль его оси так, как показано на рисунке. Практически вся масса $m$ диска сосредоточена в его тонком ободе. Источник соединён с диском в его центре $O$, а катушка индуктивности соединена с диском с помощью неподвижного скользящего контакта $A$. Омическим сопротивлением контура, по которому течёт ток, и наличием у него индуктивности (дополнительно к $L$) можно пренебречь. Изначально ключ $K$ разомкнут, диск неподвижен, ток в катушке отсутствует, а конденсатор не заряжен. Ключ $K$ замыкают. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите максимальную угловую скорость диска $\omega_{max}$ после замыкания ключа, а также время $\tau$ после замыкания ключа, через которое угловая скорость диска впервые достигает значения $\omega_{max}$."}]}
answer: [{"condition": "Определите максимальную угловую скорость диска $\omega_{max}$ после замыкания ключа, а также время $\tau$ после замыкания ключа, через которое угловая скорость диска впервые достигает значения $\omega_{max}$. ", "solution": {"text": "Пусть диск вращается с угловой скоростью $\omega$ в направлении против часовой стрелки. У носителей зарядов, находящихся на расстоянии $r$ от оси диска, появляется коллективная скорость $\omega r$, перпендикулярная оси диска, и, соответственно, появляется одинаковая (не зануляющаяся при суммировании по всем носителям) составляющая сила Лоренца, которая вызовет перераспределение носителей по радиусу до стационарного состояния, в котором разность потенциалов в точках, находящихся на расстояниях $r$ и $r+dr$ от оси диска равна $d\varphi=\omega Brdr$.Таким образом, присутствие магнитного поля вызовет появление во вращающемся диске ЭДС индукции, равной:$$\mathcal{E}_\text{инд}=\omega B\int\limits_{0}^Rrdr=\cfrac{\omega BR^2}{2}{~}(1){,}$$по знаку противоположной ЭДС источника.Запишем второй закон Кирхгофа для контура электрической цепи: $$\mathcal{E}+\mathcal{E}_\text{инд}=\mathcal{E}-\cfrac{\omega BR^2}{2}=L\ddot{q}+\cfrac{q}{C}{~}(2){,}$$ где $q$ - заряд конденсатора. Далее запишем закон изменения энергии в электрической цепи, учитывая, что магнитное поле не совершает работы: $$A_\text{ист}=\mathcal{E}\cdot{\Delta{q}}=\Delta{W}_C+\Delta{W}_L+\Delta{E}_k{,}$$ где $W_C$ и $W_L$ — энергия конденсатора и катушки индуктивности соответственно, а $E_k$ - кинетическая энергия вращения обода. Приведём выражения для них: $$W_C=\cfrac{q^2}{2C}\qquad W_L=\cfrac{L\dot{q}^2}{2}\qquad E_k=\cfrac{mR^2\omega^2}{2}{.}$$ Дифференцируя по времени закон сохранения энергии, получим: $$\mathcal{E}\dot{q}=\cfrac{q\dot{q}}{C}+L\dot{q}\ddot{q}+mR^2\omega\dot{\omega}{~}(3)$$ Умножая уравнение $(2)$ на $\dot{q}$ и вычетая из него уравнение $(3)$, получим следующее соотношение между $\dot{\omega}$ и $\dot{q}$: $$\cfrac{BR^2\dot{q}}{2}=mR^2\dot{\omega}\Rightarrow{\omega=\cfrac{qB}{2m}}{~}(4) $$ В последнем переходе мы воспользовались начальными условиями: $$\omega(0)=0\qquad q(0)=0$$. Примечание: Связь $\omega$ и $q$ может быть получена из уравнения динамики вращательного движения диска относительно точки $O$. Действительно: $$\cfrac{d\vec{L}_O}{dt}=mR^2\cdot\cfrac{d\vec{\omega}}{dt}=\vec{M}_O$$ Определим момент силы Ампера, действующей на возникающий в диске электрический ток: $$d\vec{M}_O=dI\bigl[\vec{r}\times\bigl[d\vec{r}\times\vec{B}\bigr]\bigr]=-dI\cdot rdr\vec{B}$$ где $r$ - расстояние до точки $O$. Поскольку через круг любого радиуса с центром в точке $O$ протекает ток силой $I$ – для момента $\vec{M}_O$ получим: $$\vec{M}_O=I\vec{B}\int\limits_{R}^{0}rdr=\cfrac{IR^2\vec{B}}{2}=\cfrac{R^2\vec{B}}{2}\cdot\cfrac{dq}{dt}$$ Таким образом: $$mR^2\cdot\cfrac{d\vec{\omega}}{dt}=\cfrac{R^2\vec{B}}{2}\cdot\cfrac{dq}{dt}\Rightarrow \vec{\omega}=\cfrac{q\vec{B}}{2m}$$ Таким образом, возможны три комбинации двух физических законов, приводящие к решению задачи:  Для определения максимальной угловой скорости заметим, что она достигается в момент, когда сила тока в цепи оказывается равной нулю. Тогда из закона изменения энергии имеем:$$\mathcal{E}q=\cfrac{q^2}{2C}+\cfrac{mR^2\omega^2_{max}}{2}\Rightarrow \cfrac{2m\omega_{max}\mathcal{E}}{B}=\cfrac{\omega^2_{max}}{2}\left(\cfrac{4m^2}{B^2C}+mR^2\right){,}$$откуда: Комбинируя уравнения $(2)$ и $(4)$, получим:$$\mathcal{E}=\ddot{\omega}\cdot\cfrac{2mL}{B}+\omega\cdot\left(\cfrac{BR^2}{2}+\cfrac{2m}{BC}\right){~}(5)$$Вводя переменную $\omega'=\omega-2BC\mathcal{E}/(4m+B^2R^2C)$, получим уравнение гармонических колебаний:$$\ddot{\omega}'=-\omega'\left(\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}\right)=-\Omega^2_0\omega'{~}\Biggl[\Omega_0=\sqrt{\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}}\Biggr]\Rightarrow{\omega'(t)=A\cos(\Omega_0t+\varphi_0)}$$Определим $A$ и $\varphi_0$ из начальных условий:$$\begin{cases}\omega(0)=\cfrac{2BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}+A\cos\varphi_0=0\\\dot{\omega}(0)=-\Omega_0A\sin\varphi_0=0\end{cases}\Rightarrow{\varphi_0=\pi{;}{~}A=\cfrac{2BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}}$$Окончательно для $\omega(t)$ имеем:$$\omega(t)=\cfrac{2BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}\left(1-\cos\left(\sqrt{\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}}{~}t\right)\right){~}(6)$$Угловая скорость впервые достигается значения $\omega_{max}$, когда $\cos\Omega_0\tau=-1$, т.е при $\omega_0\tau=\pi$. Тогда для $\tau$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_{max}=\cfrac{4BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}$$  Комбинируя уравнения $(2)$ и $(4)$, получим:$$\mathcal{E}=\ddot{\omega}\cdot\cfrac{2mL}{B}+\omega\cdot\left(\cfrac{BR^2}{2}+\cfrac{2m}{BC}\right){~}(5)$$Вводя переменную $\omega'=\omega-2BC\mathcal{E}/(4m+B^2R^2C)$, получим уравнение гармонических колебаний:$$\ddot{\omega}'=-\omega'\left(\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}\right)=-\Omega^2_0\omega'{~}\Biggl[\Omega_0=\sqrt{\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}}\Biggr]\Rightarrow{\omega'(t)=A\cos(\Omega_0t+\varphi_0)}$$Определим $A$ и $\varphi_0$ из начальных условий:$$\begin{cases}\omega(0)=\cfrac{2BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}+A\cos\varphi_0=0\\\dot{\omega}(0)=-\Omega_0A\sin\varphi_0=0\end{cases}\Rightarrow{\varphi_0=\pi{;}{~}A=\cfrac{2BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}}$$Окончательно для $\omega(t)$ имеем:$$\omega(t)=\cfrac{2BC\mathcal{E}}{4m+B^2R^2C}\left(1-\cos\left(\sqrt{\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}}{~}t\right)\right){~}(6)$$Угловая скорость впервые достигается значения $\omega_{max}$, когда $\cos\Omega_0\tau=-1$, т.е при $\omega_0\tau=\pi$. Тогда для $\tau$ находим:", "Ответ: $$\tau=\cfrac{\pi}{\sqrt{\cfrac{1}{LC}+\cfrac{B^2R^2}{4mL}}}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}]