text: {"text": [{"text": "Данная задача посвящена способам высокоточных измерений частоты. Во время её решения вы познакомитесь с двумя методами измерений частот: с помощью модуляции сигнала (часть $\mathrm{C}$) и с помощью частотной гребенки (часть $\mathrm{D}$). Электромагнитное поле в каждой точке пространства описывается четырьмя векторами: $\vec{E}(\vec{r}, t)$, $\vec{H}(\vec{r}, t)$, $\vec{D}(\vec{r}, t)$, $\vec{B}(\vec{r}, t)$ — напряженностью электрического поля, напряженностью магнитного поля, электрической индукцией и магнитной индукцией. Эти векторы связаны с поляризацией $\vec{P}$ и намагниченностью $\vec{M}$ среды отношениями: $$ \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}{,} $$ $$\vec{B} = \mu_0 (\vec{H} + \vec{M}){,} $$ где $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная и $\mu_0$ — магнитная постоянная."}, {"text": "Часть А. Профиль поля в оптоволокне (2.5 балла) В частях $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ будем считать, что поляризация зависит от напряженности электрического поля линейно: $\vec{P} = \varepsilon_0 (\varepsilon (\omega) - 1) \vec{E}$, где $\varepsilon(\omega)$ — диэлектрическая проницаемость среды, которая обычно зависит от частоты электромагнитной волны в среде. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна 1. <img_0> Рассмотрим волну, поляризованную параллельно оси $y$: $\vec{E} || \hat{y}$. Будем искать решение для поля $\vec{E}$ в волноводе в виде: $$\vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \Re\Big(A(x, y)\exp(i\omega t - i\beta z) \Big) \hat{y}{,} $$ где $E_0$ имеет размерность электрического поля, а $A(x, y)$ — безразмерная комплексная величина, которая содержит информацию об отношении амплитуд и разности фаз поля разных точках волновода. Символ $\Re$ обозначает взятие действительной части от выражения в скобках. Без ограничения общности $A(0, 0) = 1$ Еще учтем, что $L_2 \gg a$, поэтому будет считать, что $\partial A/\partial y \ll \partial{A}/\partial x$, следовательно $A$ зависит только от $x$. Решение для $A(x)$ можно искать в виде: $$A(x)=\begin{cases} \cos(k_{in} x)\quad\text{при}\quad |x| < a/2\\ C_1 \exp(k_{out}x) + B \exp(-k_{out}x)\quad\text{при}\quad x > a/2\\ B \exp(k_{out}x) + C_2 \exp(-k_{out}x)\quad\text{при}\quad x < -a/2 \end{cases} $$ где $k_{in} > 0, k_{out} > 0$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Чему равны коэффициенты $C_1$ и $C_2$?"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $k_{in}$ и $k_{out}$ через $\varepsilon, \omega, \beta$ и скорость света в вакууме $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$, используя волновое уравнение. Чтобы найти $B$, нужно записать граничные условия для границы $x = a/2$ (для границы $x = -a/2$ получаются такие же уравнения, потому что $A(x)=A(-x)$ — четная функция)."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Докажите, что тангенциальные компоненты напряженности электрического поля равны по обе стороны от границы раздела (как в электростатике)."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,30"}, "text": "Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты электрического поля. Выразите $B$ через $a, k_{in}, k_{out}$. Теперь нам нужно получить уравнение для нахождения $\beta(\omega)$. Для этого мы можем записать другое граничное условие — для $\Vec{H}$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,30"}, "text": "Докажите, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля равны по обе стороны от границы раздела (как в магнитостатике)."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,30"}, "text": "Покажите, что $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$ $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$ $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$ $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$ $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$ $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$ $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.} $$"}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,30"}, "text": "Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля $\vec{H}$. Ответ можно выразить через $k_{in},k_{out}, a$."}, {"text": "Часть B. Пропускание волоконного резонатора (3.0 балла) <img_1> Излучение внешнего лазера попадает в четырёхполюсный делитель светового потока, представляющий из себя оптическую систему с двумя парами связанных каналов: ($P_1, P_2$) и ($Q_1, Q_2$). Входящая в делитель монохроматическая волна с комплексной амплитудой $A_{in} (t)$ делится на две выходящие волны меньшей амплитуды, распространяющиеся в том же направлении. Первая из них распространяется по каналу той же пары, что и входящая волна, а ее комплексная амплитуда равна $A_{out}(t) = -r_s A_{in} (t)$. Вторая волна распространяется по каналу другой пары, ее амплитуда равна $B_{out} (t) = it_s A_{in}(t)$. Считайте, что $r_s$ и $t_s$ — действительные положительные числа и $t_s \ll 1$."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "0,20"}, "text": "Подставьте значения $k_{in}, k_{out}$, определённые в пункте $\mathrm{A2}$, в уравнение из $\mathrm{A7}$. Получите уравнение, из которого можно определить $\beta$ (это уравнение решается только численно). В уравнение могут входить $\beta, \omega, \varepsilon, c, a$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,20"}, "text": "Считая, что в делителе нет потерь энергии, найдите связь между $r_s$ и $t_s$. С помощью делителя можно собрать волоконный резонатор. Для этого нужно соединить каналы $Q_1$ и $Q_2$ петлей из одномодового оптоволокна (уравнение для $\beta(\omega)$ имеет единственное решение для частот, рассматриваемых в этой части) длиной $L$. Время прохождения света частотой $\omega$ по петле равно $\tau (\omega)$. Также учтите, что из-за поглощения материала амплитуда волны в петле уменьшается в $1/\kappa$ раз за каждый круг в петле ($1 - \kappa \ll 1$). Во всех пунктах частей $\mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ . <img_2> Пусть на вход канала $P_1$ падает монохроматическая волна $A_{in}(t) = A_0e^{i\omega t}$ от внешнего лазера."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите амплитуду поля на входе в канал $Q_1$ делителя $B_{in}(t)$ через $\kappa$ и амплитуду поля на выходе $Q_2$ в момент $(t-\tau(\omega))$ — $B_{out}(t-\tau(\omega))$. Пусть система пришла в установившийся режим, то есть модули комплексных амплитуд поля в любой точке постоянны, а разность фаз поля в двух точках не меняется со временем. Тогда для любой амплитуды $E_i$ (вместо $E_i$ можно подставить $A_{in}, A_{out}, B_{in}, B_{out}$) будут справедливы выражения: $$E_i(t-t') = e^{-i\omega t'} E_i(t){.} $$"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,30"}, "text": "Используя условия стационарности, выразите $B_{in}(t)$ через $B_{out}(t), \kappa, \omega, \tau$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $B_{in}(t)$ через $A_0, r_s, t_s, \kappa, \omega, \tau$ и $t$, используя результат предыдущего пункта."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,50"}, "text": "Чему равна мощность $N_2$, выходящая из канала $P_2$? Выразите ответ через $\omega \tau (\omega), \kappa, r_s$ и мощность $N_1$ в канале $P_1$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,60"}, "text": "Постройте качественный график $N_2/N_1(\omega \tau)$ для ВР со следующими параметрами:"}, {"text": "Часть C. Калибровка интерферометра Маха-Цендера (2.0 балла) Рассмотрим установку для калибровки интерферометра, изображенную на рисунке Теперь частота лазера плавно меняется со временем (производная $\omega \tau$ много меньше обратного времени установления стационарного режима в резонаторе), а его мощность постоянна. <img_3>"}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите резкость $Q$ пика поглощения с номером $n=100$ (он будет $n$ по счету, если начинать с самого близкого к $\omega=0$ пика). Сегодня можно создать волоконный резонатор на базе светоделителя с резкостью пиков порядка $5 \cdot 10^7$ вблизи частоты, соответствующие длине волны $1550$ нм. А если использовать кольцевой микрорезонатор, сделанный из плавленого кварца, то можно получить резкость $10^9$. Резонаторы с такими маленькими потерями открывают нам широкие возможности для точного измерения частот. То есть с помощью кварцевого микрорезонтатора мы можем получить спектральную линию со средней длиной волны $1550$ нм шириной всего $0.000002$ нм!"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Нарисуйте качественный график показаний осциллографа, если точно известно, что частота излучения перестраиваемого лазера достигает ровно одной из частот, определенных в B6 (это частоты, где пропускание ВР минимально). Теперь во второе плечо подключают амплитудный электрооптический модулятор. Его пропускная способность не зависит от длины волны излучения и равна:"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,00"}, "text": "Нарисуйте, что будет показывать осциллограф, когда $\Omega \approx 220 MHz$. Обратите внимание, что $\alpha \ll \Omega \omega_0$."}, {"text": "Часть D. Кубическая нелинейность и солитоны (2.5 балла) Для прецезионных измерений и создания высокочастотной связи нужно получать очень короткие световые импульсы, которые не меняют свой профиль со временем (такие импульсы называются солитонами). В рамках линейной оптики это невозможно, потому что диэлектрическая проницаемость и постоянная распространения зависят от частоты, и импульсы "расплываются" из-за дисперсии. <img_4> В части $D$ мы будем считать, что проекция $P_i(\vec{r}, t)$ вектора поляризации на произвольную ось $i$ зависит от проекции напряженности электрического поля $E_i(\vec{r}, t)$ в этой же точке в этот момент времени следующим образом: \[ P_i(\vec{r}, t) = \varepsilon_0 ((\varepsilon(\omega)-1)E_i(\vec{r}, t) + \chi E_i^3(\vec{r}, t)) \] Импульс представляет из себя сумму электромагнитных волн с частотами, очень близкими к несущей частоте ($\omega \approx \omega_0$), и постоянными распространения, очень близкими к постоянной распространения несущей волны $\beta \approx \beta_0 = \beta(\omega_0)$: \[ \vec{E}(\vec{r}, t) = \Re \Big( E_0F(z, t)A(x, y)\exp(i\omega_0 t - i \beta_0 z) \Big) \widehat y, \] Здесь $\beta(\omega)$ — постоянная распространения, найденная в части $A$, $A(x, y)$ — тоже из части $A$, $F(z, t)$ — комплексная функция, которая содержит информацию про профиль импульса. Функцию $\beta(\omega)$ можно приблизить квадратичной функцией: \[ \beta = \beta_0 + \beta_1 (\omega - \omega_0) + \beta_2 (\omega - \omega_0)^2/2 \] Мы можем подставить этот вид решения в волновое уравнение, которое было получено во введении, и путем математических преобразований, выходящих за рамки школьной программы, получить уравнение для $F(z, t)$; \[ \frac{\partial F}{\partial z} + \beta_1 \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{i\beta_2}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} - i \gamma |F|^2 F = 0 \] Импульс будет распространяться с групповой скоростью, поэтому разумно перейти в систему отсчета, которая тоже будет двигаться с групповой скоростью. В ней последнее уравнение перепишется в виде: \[ \frac{\partial F}{\partial z} + \frac{i\beta_2}{2\beta_1^2}\frac{\partial^2 F}{\partial s^2} = i \gamma |F|^2F, \] где $s = t/\beta_1 - z$ — это пространственная координата в системе отсчета солитона, а $\gamma$ — коэффициент кубической нелинейности, который пропорционален $\chi$ (и имеет тот же знак). Полученное уравнение называется (далее НУШ). В задании части D вы будете . Все ответы нужно будет выражать через его коэффициенты."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "Оцените, с какой относительной точностью можно измерить период $\omega_{MZI}$ на этой установке, если максимальная частота сигнала высокочастотного генератора равна $\Omega_{max} = 1250 MHz$?"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,10"}, "text": "Выразите групповую скорость $v_g$ через $\beta_1$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдем форму солитона. Решение НУШ можно искать в виде: \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \] Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. Пусть одна из собственных частот ВР равна $\omega_0$. Длина ВР такова, что в диапазоне от 0 до $\omega_0$ находится очень много других собственных частот. Тогда для других собственных частот верно равенство: $\omega_\mu \approx \omega_0 + D_1\mu + D_2\mu^2/2$, где $\mu$ — целое число, а $\omega_0 \gg D_1 \gg D_2$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $D_1$ и $D_2$ через $\beta_1, \beta_2$ и длину петли ВР $L$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть резонатор сделан из материала с $\chi > 0$. При каких $D_2$ в нем могут существовать солитоны?"}, {"balls": {"number": "D5", "exponent": "0,60"}, "text": "Пусть в ВР, описанном в пункте D3 циркулирует солитон с несущей частотой $\omega_0$. Внешний лазер не работает. Постройте спектр излучения резонатора (зависимость удельной мощности от частоты) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$)"}, {"balls": {"number": "D6", "exponent": "0,20"}, "text": "Оцените абсолютную погрешность измерения угловой частоты $\omega$ с помощью спектра из пункта D5."}, {"balls": {"number": "D7", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите время $\tau_s$, за которое солитон проходит один круг в резонаторе, через $D_1$."}]}
answer: [{"condition": "Чему равны коэффициенты $C_1$ и $C_2$? ", "solution": {"text": "Они равны 0, потому что поле не может стремиться к бесконечности на большом удалении от волокна."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[C_1=0\]\[C_2=0\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите $k_{in}$ и $k_{out}$ через $\varepsilon, \omega, \beta$ и скорость света в вакууме $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}$, используя волновое уравнение. ", "solution": {"text": "Подставим вид решения в волновое уравнение и получим:\[ \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} + (\omega^2\varepsilon/c^2 - \beta^2)A = 0 \]Учитывая, что $ \frac{\partial^2 A}{\partial x^2} \ll \frac{\partial^2 A}{\partial y^2} $, получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ k_{in} = \sqrt{\frac{\omega^2 \varepsilon(\omega)}{c^2} - \beta^2} \]\[ k_{out} = \sqrt{\beta^2 - \frac{\omega^2}{c^2}} \]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Докажите, что тангенциальные компоненты напряженности электрического поля равны по обе стороны от границы раздела (как в электростатике). ", "solution": {"text": "Можно записать закон электромагнитной индукции Фарадея для прямоугольного контура с вершинами в точках $(a/2 - \delta a, y, z), (a/2 - \delta a, y, z + \Delta z), (a/2 + \delta a, y, z), (a/2 + \delta a, y, z)$. При $\delta a \to 0$ производная потока индукции магнитного поля стремится к 0, а величина циркуляции напряженности электрического поля остается постоянной. Отсюда можно сделать вывод, что она тоже равна 0. При $\delta a \to 0$ циркуляцию можно выразить как $\Gamma = (E_{\tau 1} - E_{\tau 2}) \Delta z = 0$, откуда $E_{\tau 1} = E_{\tau 2}$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты электрического поля. Выразите $B$ через $a, k_{in}, k_{out}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[B = \exp(k_{out}a/2) \cos (k_{in} a/2)\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Докажите, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля равны по обе стороны от границы раздела (как в магнитостатике). ", "solution": {"text": "Доказательство аналогично A3, только вместо закона электромагнитной индукции используется теорема о циркуляции для напряженности магнитного поля."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Покажите, что  $$H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \cfrac{\partial A}{\partial x} \exp (i(\omega t - \beta z)) \Big){.}  $$ ", "solution": {"text": "Используя закон Фарадея в дифференциальной форме: \[ -\mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial x} \]Производную $H_z$ по времени можно выразить как:\[ \frac{\partial H_z}{\partial t} = i\omega H_z \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ H_z = E_0 \Re \Big( \frac{i}{\mu_0 \omega} \frac{\partial A}{\partial x} \exp (i\omega t - i\beta z) \Big) \]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Запишите граничные условия для тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля $\vec{H}$. Ответ можно выразить через $k_{in},k_{out}, a$. ", "solution": {"text": "Чтобы найти $H_z$, продифференцируем $A$ по $x$:\[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{in} \sin (k_{in}x), |x| < a/2 \]\[ \frac{\partial A}{\partial x} = - k_{out} \exp(k_{out}(-a/2 + x)) \cos (k_{in} a/2), |x| > a/2 \]Приравнивая $H_z$ по обе стороны границы раздела:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \tan (k_{in}a/2) = \frac{k_{out}}{k_{in}} \]"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Подставьте значения $k_{in}, k_{out}$, определённые в пункте $\mathrm{A2}$, в уравнение из $\mathrm{A7}$. Получите уравнение, из которого можно определить $\beta$ (это уравнение решается только численно). В уравнение могут входить $\beta, \omega, \varepsilon, c, a$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \tan \Bigg( \frac{a}{2} \sqrt{\frac{\omega^2\varepsilon(\omega)}{c^2} - \beta^2} \Bigg) = \sqrt{\frac{\beta^2 c^2 - \omega^2}{\omega^2\varepsilon(\omega) - \beta^2c^2}} \]"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Считая, что в делителе нет потерь энергии, найдите связь между $r_s$ и $t_s$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ r_s^2 + t_s^2 = 1 \]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите амплитуду поля на входе в канал $Q_1$ делителя $B_{in}(t)$ через $\kappa$ и амплитуду поля на выходе $Q_2$ в момент $(t-\tau(\omega))$ — $B_{out}(t-\tau(\omega))$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ B_{in} (t) = \kappa B_{out}(t-\tau(\omega)) \]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Используя условия стационарности, выразите $B_{in}(t)$ через $B_{out}(t), \kappa, \omega, \tau$. ", "solution": {"text": "Введем обозначение: \[ \varphi = - \omega \tau (\omega) \]Тогда:\[ B_{out}(t) = it_s A_{in}(t) - r_s B_{in}(t) \]\[ B_{in}(t) = \kappa e^{i\varphi} B_{out}(t)\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ B_{in}(t) = \kappa e^{-i\omega \tau} B_{out}(t)\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите $B_{in}(t)$ через $A_0, r_s, t_s, \kappa, \omega, \tau$ и $t$, используя результат предыдущего пункта. ", "solution": {"text": "\[ B_{in}(t) = \kappa e^{i\varphi} (it_s A_{in}(t) - r_s B_{in}(t))\]\[ B_{in}(t) = \frac{it_s \kappa e^{i\varphi} A_{in}(t)}{1 + r_s \kappa e^{i\varphi}} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ B_{in}(t) = \frac{it_s \kappa e^{-i\omega \tau} A_0 e^{i\omega t}}{1 + r_s \kappa e^{-i\omega \tau}} \]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Чему равна мощность $N_2$, выходящая из канала $P_2$? Выразите ответ через $\omega \tau (\omega), \kappa, r_s$ и мощность $N_1$ в канале $P_1$. ", "solution": {"text": "\[ A_{out}(t) = -r_s A_{in}(t) + it_s B_{in}(t) = -A_{in}(t) \Big(r_s + \frac{t_s^2 \kappa e^{i\varphi}}{1 + r_s\kappa e^{i\varphi}} \Big) \]Приведем правое выражение к общему знаменателю и поделим квадрат модуля числителя на квадрат модуля знаменателя:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \eta = \frac{N_2}{N_1} = \frac{\kappa^2 \sin^2 (\omega \tau) + (r_s+\kappa \cos (\omega \tau))^2}{\kappa^2r_s^2\sin^2 (\omega \tau)+(1+r_s \kappa \cos (\omega \tau))^2} \]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Постройте качественный график $N_2/N_1(\omega \tau)$ для ВР со следующими параметрами: $\kappa=  1- 5 \cdot 10^{-3}$;$t_s = 0{.}1$. При каких значениях $\omega \tau$ отношение $N_2/N_1$ минимально?
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
  
  Ответ: 
                       
  
      
          
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[ \omega_{res}\tau = \pi(1+2n) \]", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_5>", "Ответ: \[ \omega_{res}\tau = \pi(1+2n) \]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите резкость $Q$ пика поглощения с номером $n=100$ (он будет $n$ по счету, если начинать с самого близкого к $\omega=0$ пика). Примечание: Резкость — это отношение частоты пика к ширине области частот, для которых провал пропускания не меньше половины от максимального провала конкретного пика.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Найдем глубину пика поглощения, разложив выражение для отношения мощностей в ряд Тейлора:\[ \eta(\omega_{res}) \approx \frac{(1-\kappa - t^2/2)^2}{(1-\kappa + t^2/2)^2} \approx 0 \]\[ \Delta \eta_{max} = 1 - \eta(\omega_{res}) \approx 1 \]Или подставив значение $\varphi$ из прошлого пункта, не раскладывая в ряд:\[ \eta(\omega_{res}) \approx 1.6 \cdot 10^{-6} \approx 0 \]\[ \Delta \eta_{max} \approx 1 \]Резкость — это отношение $\omega$ к ширине области, в которой $\Delta \eta > \Delta \eta_{max}/2$. Оценим ширину этой области.\[ \varphi = \delta + \pi(1+2n), \delta \ll \pi \]Разложим в ряд Маклорена по $\delta$:\[ \eta \approx \frac{\delta^2 + (1-\kappa - t^2/2 + \delta^2/2)^2}{\delta^2 + (1-\kappa + t^2/2 + \delta^2/2)^2} \approx \frac{\delta^2}{\delta^2 + (1-\kappa + t^2/2)^2} = \frac{1}{2} \]Отсюда получаем:\[ \delta \approx 1 - \kappa + t^2/2 \approx 0.01 \]
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[ Q = \frac{\omega_{res}}{\Delta \omega} = \frac{\pi (1 + 2n)}{2\delta} \approx \frac{\pi n}{1-\kappa+t^2/2} = \pi \cdot 10^4 = 3.14 \cdot 10^4 \]", "solution": {"text": "Найдем глубину пика поглощения, разложив выражение для отношения мощностей в ряд Тейлора:\[ \eta(\omega_{res}) \approx \frac{(1-\kappa - t^2/2)^2}{(1-\kappa + t^2/2)^2} \approx 0 \]\[ \Delta \eta_{max} = 1 - \eta(\omega_{res}) \approx 1 \]Или подставив значение $\varphi$ из прошлого пункта, не раскладывая в ряд:\[ \eta(\omega_{res}) \approx 1.6 \cdot 10^{-6} \approx 0 \]\[ \Delta \eta_{max} \approx 1 \]Резкость — это отношение $\omega$ к ширине области, в которой $\Delta \eta > \Delta \eta_{max}/2$. Оценим ширину этой области.\[ \varphi = \delta + \pi(1+2n), \delta \ll \pi \]Разложим в ряд Маклорена по $\delta$:\[ \eta \approx \frac{\delta^2 + (1-\kappa - t^2/2 + \delta^2/2)^2}{\delta^2 + (1-\kappa + t^2/2 + \delta^2/2)^2} \approx \frac{\delta^2}{\delta^2 + (1-\kappa + t^2/2)^2} = \frac{1}{2} \]Отсюда получаем:\[ \delta \approx 1 - \kappa + t^2/2 \approx 0.01 \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ Q = \frac{\omega_{res}}{\Delta \omega} = \frac{\pi (1 + 2n)}{2\delta} \approx \frac{\pi n}{1-\kappa+t^2/2} = \pi \cdot 10^4 = 3.14 \cdot 10^4 \]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Нарисуйте качественный график показаний осциллографа, если точно известно, что частота излучения перестраиваемого лазера достигает ровно одной из частот, определенных в B6 (это частоты, где пропускание ВР минимально). ", "solution": {"text": "<img_6>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Нарисуйте, что будет показывать осциллограф, когда $\Omega \approx 220 MHz$. Обратите внимание, что $\alpha \ll \Omega \omega_0$. ", "solution": {"text": "Амплитуда поля на выходе из ЭОМ будет равна\[ E_{EOM}(t) = f(t)\cos(\omega (t) t) = \beta \cos (\omega t) + \frac{1-\beta}{2} \Big( \cos (\Omega + \omega)t + \cos (-\Omega + \omega) t \Big) \]где $\omega = \omega(t) = \omega_0 + \alpha t$. В этом случае на ВР падают три волны, частоты которых сдвинуты относительно друг друга ровно на $\Omega$. Поэтому теперь количество пиков поглощения утроится: их можно будет наблюдать на частотах $\omega_{res}, \omega_{res} + \Omega, \omega_{res} - \Omega$, где $\omega_{res}$ — частота, соответствующая минимуму пропускания (определена в В6)."}, "answer": {"answers": ["<img_7>"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Оцените, с какой относительной точностью можно измерить период $\omega_{MZI}$ на этой установке, если максимальная частота сигнала высокочастотного генератора равна $\Omega_{max} = 1250 MHz$? ", "solution": {"text": "Мы можем измерить один период, меняя $\Omega$ так, чтобы пики поглощения были на расстоянии $\omega_{max}$ друг от друга по частоте. Тогда абсолютная погрешность будет порядка $\omega_0/Q = 24 MHz$, а относительная $\omega_0/(Q\Omega_{max}) = 0.02$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: 2%"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите групповую скорость $v_g$ через $\beta_1$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ v_g = 1/\beta_1 \]"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Найдем форму солитона. Решение НУШ можно искать в виде:  \[ F(z, s) = \frac{F_0 \exp(i\sigma z)}{\cosh (\theta s)}. \]  Выразите $F_0$ и $\sigma$ через $\theta, \beta_1, \beta_2$ и $\gamma$. ", "solution": {"text": "Вычислим производные и подставим в уравнение (сократив на $iF_0 \exp(i\sigma z)$):\[ \frac{\sigma}{\cosh \theta s} + \frac{\beta_2 \theta^2}{2\beta_1^2} \Big( - \frac{2}{\cosh^3 \theta s} + \frac{1}{\cosh \theta s} \Big) = \frac{\gamma F_0^2}{\cosh^3 \theta s} \]Откуда получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ F_0^2 = - \frac{\beta_2 \theta^2}{\gamma \beta_1^2} \]\[ \sigma = - \frac{\beta_2 \theta^2}{2 \beta_1^2} \]"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Выразите $D_1$ и $D_2$ через $\beta_1, \beta_2$ и длину петли ВР $L$. Подсказка: критерий собственной частоты ВР: $B_{in}(t)$ и $ B_{in}(t-\tau(\omega_\mu))$ имеют одну фазу.
  
  
  
  
                          
   Используем результат пункта В3, получим:\[ \beta (\omega(\mu)) L + \pi = 2\pi (\mu + \mu_0) \]Теперь подставим выражение для $\beta(\omega)$, а в него $\omega(\mu)$. Получим:\[ \Big( \beta_0 + \beta_1(D_1 \mu + \frac{D_2 \mu^2}{2}) + \frac{\beta_2 D_1^2 \mu^2}{2} \Big)L \approx 2\pi (\mu + \mu_0 + 1/2) \]Приравняем коэффициенты перед $\mu$ и $\mu^2$ в правой и левой частях:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[ D_1 = \frac{2\pi}{\beta_1 L} \]\[ D_2 = - \frac{\beta_2 D_1^2}{\beta_1} = - \frac{4\pi^2 \beta_2}{\beta_1^3 L^2}  \]", "solution": {"text": "Используем результат пункта В3, получим:\[ \beta (\omega(\mu)) L + \pi = 2\pi (\mu + \mu_0) \]Теперь подставим выражение для $\beta(\omega)$, а в него $\omega(\mu)$. Получим:\[ \Big( \beta_0 + \beta_1(D_1 \mu + \frac{D_2 \mu^2}{2}) + \frac{\beta_2 D_1^2 \mu^2}{2} \Big)L \approx 2\pi (\mu + \mu_0 + 1/2) \]Приравняем коэффициенты перед $\mu$ и $\mu^2$ в правой и левой частях:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ D_1 = \frac{2\pi}{\beta_1 L} \]\[ D_2 = - \frac{\beta_2 D_1^2}{\beta_1} = - \frac{4\pi^2 \beta_2}{\beta_1^3 L^2} \]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Пусть резонатор сделан из материала с $\chi > 0$. При каких $D_2$ в нем могут существовать солитоны? ", "solution": {"text": "$F_0^2 > 0$, поэтому $\beta_2 < 0$ и $D_2 > 0$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[D_2 > 0\]"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Пусть в ВР, описанном в пункте D3 циркулирует солитон с несущей частотой $\omega_0$. Внешний лазер не работает. Постройте спектр излучения резонатора (зависимость удельной мощности от частоты) качественно в диапазоне частот $(\omega_0 - 20 D_1, \omega_0 + 20 D_1)$. Считайте, что $\omega_0/Q(\omega_0) \ll D_1$. (Напомним, что $Q$ — резкость, опеределенная в $B7$) ", "solution": {"text": "Спектр будет представлять набор большого числа узких линий, соответствующих собственным частотам резонатора. Качественный график спектра на рисунке.За этот пункт ставится полный балл если участник нарисовал спектр, состоящий только из узких линий, соответствующих собственным частотам резонатора, с огибающей, которая симметрична относительно $\omega_0$ и убывает при удалении от $\omega_0$."}, "answer": {"answers": ["<img_8>"]}, "number_part": "D5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Оцените абсолютную погрешность измерения угловой частоты $\omega$ с помощью спектра из пункта D5. ", "solution": {"text": "Мы получаем линейку с шагом $D_1$, абсолютная погрешность порядка половины цены деления — $D_1/2$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \Delta \omega \approx \frac{D_1}{2} \]"]}, "number_part": "D6", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите время $\tau_s$, за которое солитон проходит один круг в резонаторе, через $D_1$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \tau_s = \frac{2\pi}{D_1} \]"]}, "number_part": "D7", "exponent_part": "0,20"}]