text: {"text": [{"text": "В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания которого $S=100~см^{2}$, наливают $1~л$ соленой воды плотности $\rho_{1}=1.15~г/см^{3}$, и опускают льдинку из пресной воды. Масса льдинки $m=1~кг$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, как изменится уровень воды в сосуде, если половина льдинки растает. Считайте, что при растворении соли в воде объем жидкости не изменяется."}]}
answer: [{"condition": "Определите, как изменится уровень воды в сосуде, если половина льдинки растает. ", "solution": {"text": "Вначале лед, масса которого $m$, вытесняет объем воды $V_{1}=\frac{m}{\rho_{1}}$, где $\rho_{1}$ — начальная плотность воды. После того, как лед массы $\frac{m}{2}$ растаял, вытесняется объем воды $V_{2}=\frac{m}{2 \rho_{2}}$, где $\rho_{2}$ — конечная плотность воды. Объем добавившейся воды $V^{\prime}=\frac{m}{2 \rho}$, где $\rho$ — плотность пресной воды. Изменение уровня воды в сосуде равно $$ \Delta h=\frac{V_{2}+V^{\prime}-V_{1}}{S}=\frac{m}{S}\left(\frac{1}{2 \rho_{2}}+\frac{1}{2 \rho}-\frac{1}{\rho_{1}}\right). $$ Конечная плотность воды $\rho_{2}$ равна отношению полной массы воды $\rho_{1} V+\frac{m}{2}$ к полному объему $V+\frac{m}{2 \rho}$, т.е. $$ \rho_{2}=\rho_{1} \frac{V+\frac{m}{2 \rho_{1}}}{V+\frac{m}{2 \rho}}, $$ где $V=1~л$ — начальный объем воды. Подставляя числовые значения, получим $\rho_{2}=1.1~г/см^{2}$ и $\Delta h \approx 0.85~см$. Таким образом, уровень воды в сосуде повысится."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Уровень воды в сосуде повысится. $\Delta h \approx 0.85~см$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]