text: {"text": [{"text": "В астрономии за единицу длины принято среднее расстояние $R$ от Земли до Солнца, называемое астрономической единицей (1 a.e.). В геоцентрической системе отсчёта, связанной с Землёй, Луна вращается по круговой орбите радиуса $r_{л}=2.57 \cdot 10^{-3}~а.е.$ В гелиоцентрической системе траектория нашего естественного спутника выглядит гораздо более сложно, поскольку Луна вращается вокруг Земли, которая в свою очередь вращается вокруг Солнца (вращение происходит в одну сторону)."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Вычислите радиусы кривизны $r_{п}$ и $r_{н}$ траектории Луны в гелиоцентрической системе отсчета во время полнолуния и новолуния. Ответ выразите в астрономических единицах. Отметьте качественно положение соответствующих центров кривизны ($O_{п}$ и $O_{н}$) на рисунке, на котором изображены Солнце и Земля. Отношение массы Земли к массе Солнца $m_{з} / m_{с}=3 \cdot 10^{-6}$. <img_0>"}]}
answer: [{"condition": "Вычислите радиусы кривизны $r_{п}$ и $r_{н}$ траектории Луны в гелиоцентрической системе отсчета во время полнолуния и новолуния. ", "solution": {"text": "Пусть $v_{З}$ — скорость Земли в системе отсчёта, связанной с Солнцем (гелиоцентрической), $v_{л}$ — скорость Луны относительно Земли. Земля движется по окружности радиуса $R$. Запишем, используя закон всемирного тяготения: $$ a_{З}=\frac{v_{З}^{2}}{R}=G \frac{m_{с}}{R^{2}}, $$ где $G$ — гравитационная постоянная. Рассмотрим движение Луны в в системе отсчёта, связанной с Землей (геоцентрической). Пренебрегая гравитационным взаимодействием Луны с Солнцем и неинерциальностью данной системы отсчета, запишем $$ a_{л}=\frac{v_{л}^{2}}{r_{л}}=G \frac{m_{З}}{r_{л}^{2}}, $$ отсюда получаем $$ v_{л}=v_{З} \sqrt{\frac{m_{З}}{m_{с}} \frac{R}{r_{л}}}. $$ Рассмотрим полнолуние — момент максимального удаления Луны от Солнца. В системе отсчета Солнца: $$ \frac{\left(v_{З}+v_{л}\right)^{2}}{r_{п}}=G\left(\frac{m_{с}}{\left(R+r_{л}\right)^{2}}+\frac{m_{З}}{r_{л}^{2}}\right), $$ откуда получаем: $$ r_{п}=R \frac{\frac{r_{л}}{R}\left(\sqrt{\frac{r_{л}}{R}}+\sqrt{\frac{m_{З}}{m_{с}}}\right)^{2}}{\left(\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}+\frac{m_{З}}{m_{с}}\left(1+\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}} \approx 0.73~а.е. $$ Аналогично для новолуния: $$ \begin{gathered} \frac{\left(v_{З}-v_{л}\right)^{2}}{r_{н}}=G\left(\frac{m_{с}}{\left(R-r_{л}\right)^{2}}-\frac{m_{З}}{r_{л}^{2}}\right) \\ r_{н}=R \frac{\frac{r_{л}}{R}\left(\sqrt{\frac{r_{л}}{R}}-\sqrt{\frac{m_{З}}{m_{с}}}\right)^{2}}{\left(\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}-\frac{m_{З}}{m_{с}}\left(1-\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}} \approx 1.70~а.е. \end{gathered} $$ Схематическое положение соответствующих центров кривизны показано на рисунке. <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ r_{п}=R \frac{\frac{r_{л}}{R}\left(\sqrt{\frac{r_{л}}{R}}+\sqrt{\frac{m_{З}}{m_{с}}}\right)^{2}}{\left(\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}+\frac{m_{З}}{m_{с}}\left(1+\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}} \approx 0.73~а.е. $$ $$ r_{н}=R \frac{\frac{r_{л}}{R}\left(\sqrt{\frac{r_{л}}{R}}-\sqrt{\frac{m_{З}}{m_{с}}}\right)^{2}}{\left(\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}-\frac{m_{З}}{m_{с}}\left(1-\frac{r_{л}}{R}\right)^{2}} \approx 1.70~а.е. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]