text: {"text": [{"text": "В тепловой машине $\nu$ молей идеального одноатомного газа совершают замкнутый цикл, состоящий из процессов $1-2$ и $2-3$, в которых давление $p$ газа линейно зависит от занимаемого им объема $V$, и изохорического процесса $3-1$ (см. рисунок). <img_0> Величины $p_{0}$ и $V_{0}$ считайте известными."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "температуру и давление газа в точкe $3$;"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "работу $A$, совершаемую газом за цикл;"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "коэффициент полезного действия $\eta$ тепловой машины."}]}
answer: [{"condition": "температуру и давление газа в точкe $3$; ", "solution": {"text": "Давление, объем и температуру газа в точках $1$, $2$ и $3$ графика (см. рисунок) обозначим через $p$, $V$ и $T$, добавляя соответствующие индексы. <img_1> Для участка $2-3$ имеем $\frac{p_{3}}{V_{3}}=\frac{p_{2}}{V_{2}}$. Так как $V_{3}=3 V_{0}$, $p_{2}=p_{0}$, $V_{2}=7 V_{0}$, то $p_{3}=\frac{3 p_{0}}{7}$. Из уравнения состояния газа находим $$ T_{3}=\frac{p_{3} V_{3}}{\nu R}=\frac{9}{7} \frac{p_{0} V_{0}}{\nu R}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T_{3}=\frac{9}{7} \frac{p_{0} V_{0}}{\nu R}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "работу $A$, совершаемую газом за цикл; ", "solution": {"text": "Работа газа за цикл равна $A=\frac{1}{2}\left(p_{1}-p_{3}\right)\left(V_{2}-V_{3}\right)=\frac{64 p_{0} V_{0}}{7}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A=\frac{64 p_{0} V_{0}}{7}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "коэффициент полезного действия $\eta$ тепловой машины. ", "solution": {"text": "На участке $3-1$ газ получает тепло $Q_{31}=\nu \cdot \frac{3}{2} R\left(T_{1}-T_{3}\right)=$ $=\frac{144}{7} p_{0} V_{0}$.Покажем, что на участке $1-2$ есть точка $K$ с критическим объемом $V_{к}$ таким, что газ при $V < V_{к}$ получает тепло, а при $V > V_{к}$ отдает тепло. Для этого в процессе $1-2$ выразим зависимость приращения теплоты $\Delta Q$, подводимой к газу от нагревателя, от увеличения объема на малую величину $\Delta V$. Уравнение процесса $1-2$ есть$$p=-\frac{p_{0}}{V_{0}} V+8 p_{0}.$$Подставив найденное давление $p$ в уравнение состояния идеального газа $p V=\nu R T$, получим $8 p_{0} V-\frac{p_{0}}{V_{0}} V^{2}=\nu R T$. Отсюда в приращениях$$\nu R \Delta T=\left(8 p_{0}-2 \frac{p_{0}}{V_{0}} V\right) \Delta V.$$С учетом полученных соотношений уравнение первого закона термодинамики $\Delta Q=\frac{3}{2} \nu R \Delta T+p \Delta V$ можно преобразовать к виду:$$\Delta Q=\left(20 p_{0}-4 \frac{p_{0}}{V_{0}} V\right) \Delta V.$$Из последнего уравнения видно, что на участке $1-2$ изменение $\Delta Q>0$ при $V<5 V_{0}$ и $\Delta Q<0$ при $V>5 V_{0}$. Следовательно, $V_{к}=5 V_{0}$, $p_{к}=3 p_{0}$. Отсюда$$T_{к}=\frac{15 p_{0} V_{0}}{\nu R}.$$Итак, за цикл газ получает тепло на участках $3-1$ и $1-K$, причем$$Q_{1 к}=v \cdot \frac{3}{2} R\left(T_{к}-T_{1}\right)+\frac{p_{1}+p_{к}}{2}\left(V_{к}-V_{1}\right)=8 p_{0} V_{0}.$$Коэффициент полезного действия тепловой машины$$\eta=\frac{A}{Q_{31}+Q_{1 к}}=0.32.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \eta=\frac{A}{Q_{31}+Q_{1 к}}=0.32. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]