text: {"text": [{"text": "С лодки, движущейся по течению реки, опускают в воду металлический шарик. Шарик падает на дно реки на расстоянии $l_1$ по горизонтали от места, где его опустили в воду. Если опустить в воду шарик с лодки, движущейся против течения, то шарик падает на дно на расстоянии $l_2$ ниже по течению. Для лодки, переплывающей реку по траектории, перпендикулярной течению реки, расстояние до точки падения на дно составляет~$l_3$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Чему равно расстояние до точки падения на дно для лодки, движущейся в озере той же глубины, что и река?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз скорость лодки больше скорости течения? Величина проекции скорости шарика на вертикальное направление при падении в воду равна нулю, закон зависимости силы сопротивления при движении шарика в воде неизвестен, все расстояния отсчитываются по горизонтали от места падения шарика в воду до места падения его на дно. Течение реки и ее глубина везде одинаковы. Двигатель лодки развивает постоянную силу тяги независимо от направления движения."}]}
answer: [{"condition": "Чему равно расстояние до точки падения на дно для лодки, движущейся в озере той же глубины, что и река? ", "solution": {"text": "В системе отсчета, связанной с водой, скорость лодки $v$ одинаковая, независимо от направления движения, поэтому расстояние $l$, которое проходит шарик до места падения, всегда одно и то же. Время движения шарика в воде $\tau $ также одинаковое во всех случаях. В системе отсчета, связанной с землей, расстояния, которые проходит шарик, равны \[l_1=l+u\tau \] \[l_2=u\tau -l,\] где $u$ — скорость течения. Отсюда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$l=\frac{\left(l_1-l_2\right)}{2}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Во сколько раз скорость лодки больше скорости течения? ", "solution": {"text": "При этом также $u\tau =\frac{\left(l_1+l_2\right)}{2}$. При движении по траектории перпендикулярной течению реки расстояние $l_3$ определяется по теореме косинусов \[l^2_3=l^2-2lu\tau \cdot \cos\alpha +{\left(u\tau \right)}^2,\] где $\alpha $ — угол между направлением вектора скорости лодки относительно воды и перпендикуляром к направлению течения реки. Учитывая, что $cos\alpha =\frac{u}{v}$ , получаем \[l^2_3={\frac{\left(l_1-l_2\right)}{4}}^2-2\frac{\left(l_1-l_2\right)}{2}\frac{\left(l_1+l_2\right)}{2}\cdot \frac{u}{v}+\frac{{\left(l_1+l_2\right)}^2}{4}\] Отсюда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{v}{u}=\frac{l^2_1-l^2_2}{l^2_1+l^2_2-2l^2_3}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]