text: {"text": [{"text": "Электромагнитные волны, отражаясь от границ раздела сред или поглощаясь в них, оказывают механическое давление, корпускулярной трактовке которого посвящена настоящая задача. Основной постулат корпускулярной теории электромагнитного излучения гласит, что электромагнитное излучение, в частности свет, — это поток частиц, называемых фотонами с энергией, определяемой формулой Планка. В дальнейшем примите скорость света равной $c=2.98\cdot 10^8~м/с$."}, {"balls": {"number": "3.1", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть параллельный пучок света интенсивностью $I_0$ падает на плоскую поверхность под углом $\varphi$ к нормали, а коэффициент отражения от поверхности составляет $R=I_r/I_0$, где $I_r$ — интенсивность отражённого света. Найдите давление света $p_s$ на поверхность при условии, что коэффициент отражения не зависит от угла падения."}, {"balls": {"number": "3.2", "exponent": "0,40"}, "text": "Рассчитайте давление $p_s$ солнечного излучения, интенсивность которого равна $I_s=1400~Вт/м^2$. Считайте, что свет падает перпендикулярно на: $а)$ полностью поглощающую земную поверхность; $б)$ полностью отражающую (зеркальную) поверхность."}, {"balls": {"number": "3.3", "exponent": "1,00"}, "text": "Шар радиусом $R = 1.00~м$ освещается широким параллельным пучком солнечного света интенсивностью $I_s=1400~Вт/м^2$. Одна половина шара изготовлена из материала, который полностью отражает свет, а другая — полностью его поглощает. Обе половинки освещаются пучком симметрично. Рассчитайте момент сил давления света, действующий на шар относительно его оси симметрии, перпендикулярной пучку и лежащей в плоскости, делящей шар на зеркальную и поглощающую половинки. Космическая станция покоится вдалеке от планет на расстоянии $R_0=5.00\cdot 10^7~км$ от Солнца, удерживаемая с помощью солнечного паруса (полностью отражающего зеркала), ориентированного перпендикулярно солнечным лучам. В какой-то момент времени ненадолго включаются двигатели станции и придают ей скорость $V_0=9.00~м/с$ в направлении от Солнца. Полностью пренебрегайте влиянием солнечного ветра, представляющего собой поток ионизованных частиц— протонов, ядер гелия и других. Считайте известным тот факт, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите радиуса $r_E=1.50\cdot 10^8~км$ со скоростью $V_E=30.0~км/с$."}, {"balls": {"number": "3.4", "exponent": "3,60"}, "text": "Найдите максимальное расстояние $R$ от Солнца до станции."}, {"balls": {"number": "3.5", "exponent": "0,40"}, "text": "Определите минимальное значение скорости $V_0=V_{\min}$, при котором станция сможет улететь сколько угодно далеко от Солнца. В астрофизике хорошо известен физический процесс, в результате которого в Солнечной системе твердые пылевые частицы медленно падают на Солнце по спиральной траектории, очень близкой к круговой. Рассмотрим подобную сферическую пылевую частицу радиуса $a=1.00~мм$ и плотности $\rho=3.00\cdot 10^3~кг/м^3$, которая вращается вокруг Солнца на таком расстоянии от него, что на пылинку падает свет интенсивностью $I_s=1400~Вт/м^2$. В заданных условиях радиальной составляющей давления света на частицу можно пренебречь по сравнению с гравитацией Солнца. Считайте, что частица полностью поглощает падающее на нее излучение."}, {"balls": {"number": "3.6", "exponent": "2,00"}, "text": "Определите характерное время $\tau$, за которое расстояние до Солнца $R$ уменьшится на относительную величину $\mu=\frac{\delta R}{R}=10^{-4}$. В 2018 году Нобелевская премия по физике была присуждена А. Эшкину за создание «лазерного пинцета» — устройства, позволяющего удерживать и перемещать прозрачные микроскопические объекты с помощью света. В одном из устройств такого «лазерного пинцета» параллельный пучок света от лазера проходит через собирающую линзу $L$ и попадает на микрочастицу $M$, которую можно также считать собирающей линзой. Точка $F$ — общий фокус $L$ и $M$ (см. рисунок ниже). Интенсивность света в пучке $I=1.00~мкВт/см^2$, радиус пучка $R=1.00~см$, фокусное расстояние линзы $L$ равно $F=10.0~см$. Поглощением и отражением света можно полностью пренебречь. <img_0>"}, {"balls": {"number": "3.7", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите величину действующей на микрочастицу силы. Для создания действующей на частицу поперечной к лучу силы левая половина линзы $L$ перекрывается диафрагмой (см. рисунок ниже). <img_1>"}, {"balls": {"number": "3.8", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите величину действующей на микрочастицу поперечной к лучу силы."}]}
answer: [{"condition": "Пусть параллельный пучок света интенсивностью $I_0$ падает на плоскую поверхность под углом $\varphi$ к нормали, а коэффициент отражения от поверхности составляет $R=I_r/I_0$, где $I_r$ — интенсивность отражённого света. Найдите давление света $p_s$ на поверхность при условии, что коэффициент отражения не зависит от угла падения. ", "solution": {"text": "Пусть концентрация фотонов с энергией $\varepsilon$ в падающем излучении равна $n$, тогда интенсивность волны определяется соотношением$$I_0=c\varepsilon n, \tag{1}$$где $c$ — скорость света.Число фотонов $\Delta N$, падающих за время $\Delta t$ на площадку $\Delta S$ под углом $\varphi$ составляет$$\Delta N=cn\Delta t \Delta S\cos\varphi. \tag{2}$$Число поглощенных фотонов за это же время составляет $$\Delta N_a=(1-R)\Delta N, \tag{3}$$а отраженных$$\Delta N_r=R\Delta N. \tag{4}$$Нормальная компонента импульса, передаваемая одним фотоном площадке при поглощении, равен$$\Delta p_a=\frac{\varepsilon}{c}\cos\varphi, \tag{5}$$а при отражении$$\Delta p_r=2\frac{\varepsilon}{c}\cos \varphi. \tag{6}$$Полный переданный площадке импульс определяется выражением$$\Delta p=\Delta N_a\Delta p_a+\Delta N_r \Delta p_r, \tag{7}$$а искомое давление вычисляется по формуле$$p_s=\frac{\Delta p}{\Delta S \Delta t}=\frac{I_0}{c}(1+R)\cos^2\varphi. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p_s=\frac{I_0}{c}(1+R)\cos^2\varphi. $$"]}, "number_part": "3.1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Рассчитайте давление $p_s$ солнечного излучения, интенсивность которого равна $I_s=1400~Вт/м^2$. Считайте, что свет падает перпендикулярно на: $а)$ полностью поглощающую земную поверхность; $б)$ полностью отражающую (зеркальную) поверхность. ", "solution": {"text": "При нормальном падении $\varphi=0$ и при полном поглощении $R = 0$ получаем$$p_s=\frac{I_s}{c}=4.70\cdot10^{-6}~Па. \tag{9}$$и, соответственно, при полном отражении $R =1$$$p_s=\frac{2I_s}{c}=9.40\cdot10^{-6}~Па. \tag{10}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $а)$ $p_s=\frac{I_s}{c}=4.70\cdot10^{-6}~Па.$$б)$ $p_s=\frac{2I_s}{c}=9.40\cdot10^{-6}~Па.$"]}, "number_part": "3.2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Шар радиусом $R = 1.00~м$ освещается широким параллельным пучком солнечного света интенсивностью $I_s=1400~Вт/м^2$. Одна половина шара изготовлена из материала, который полностью отражает свет, а другая — полностью его поглощает. Обе половинки освещаются пучком симметрично. Рассчитайте момент сил давления света, действующий на шар относительно его оси симметрии, перпендикулярной пучку и лежащей в плоскости, делящей шар на зеркальную и поглощающую половинки. ", "solution": {"text": "Рассмотрим сечение сферической поверхности, перпендикулярное падающему потоку света. Для зеркальной части поверхности, которая полностью отражает свет, момент сил равен нулю, так как передаваемый импульс направлен строго по радиусу сферы. <img_2> Рассмотрим в сечении полоску, расположенную от центра сферы на расстояниях от $x$ до $x+dx$. Выбранная часть полностью поглощающей поверхности имеет площадь$$dS=2\sqrt{R^2-x^2}dx, \tag{11}$$а число поглощаемых фотонов в единицу времени равно$$\Delta N_a=\frac{I_s}{\varepsilon}dS, \tag{12}$$каждый из которых имеет импульс$$\Delta p_a=\frac{\varepsilon}{c}. \tag{13}$$Плечо составляет величину$$l=x, \tag{14}$$поэтому момент сил, действующий на выбранную площадку равен$$dM=\Delta N_a \Delta p_a l=\frac{2I_s}{c}\sqrt{R^2-x^2}xdx, \tag{15}$$а полный момент сил определяется интегралом$$M=\int\limits_0^R dM=\frac{2I_sR^3}{3c}=3.13\cdot10^{-6}~Н\cdot м. \tag{16}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M=\frac{2I_sR^3}{3c}=3.13\cdot10^{-6}~Н\cdot м. $$"]}, "number_part": "3.3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите максимальное расстояние $R$ от Солнца до станции. ", "solution": {"text": "В начальной точке покоя станции массой $m$ с парусом площадью $S$, находящемся на расстоянии $R_0$ от Солнца массой $M_S$ гравитационная сила в точности уравновешивается силой давления света, что приводит к уравнению$$G\frac{M_S m}{R_0^2}=\frac{2n_0\varepsilon}{c}S, \tag{17}$$где $G$ — гравитационная постоянная, $n_0$ — концентрация фотонов солнечного излучения с энергией $\varepsilon$ в точке нахождения станции.Ввиду сферически симметричного расширения, концентрация фотонов изменяется с расстоянием от Солнца $r$ по закону$$n(r)=n_0\left(\frac{R_0}{r}\right). \tag{18}$$Начальный импульс фотонов до столкновения с парусом равен$$p_0=\frac{\varepsilon}{c}, \tag{19}$$а конечный составляет$$p=\frac{\varepsilon}{c}\frac{c-V}{c+V}. \tag{20}$$Это соотношение легко получается из кинематики и представляет собой формулу для эффекта Доплера. Кроме того, импульс фотона после отражения от зеркала несложно получить из законов сохранения импульса и энергии, рассмотрев абсолютно упругое столкновение фотона с движущимся массивным зеркалом.Таким образом изменение импульса фотона передается зеркалу и равно$$\Delta p=p-p_0=\frac{2\varepsilon}{c+V}, \tag{21}$$а количество фотонов, падающих в единицу времени $\Delta t$ на парус, составляет$$\frac{\Delta N}{\Delta t}=n(r)S(c-V). \tag{22}$$Отсюда сила, действующая на станцию со стороны света, определяется выражением$$f=\Delta p\frac{\Delta N}{\Delta t}=2n_0\varepsilon S\left(\frac{R_0}{r}\right)^2\frac{c-V}{c+V}=G\frac{M_S m}{r^2}\frac{c-V}{c+V}. \tag{23}$$На станцию также действует сила гравитационного притяжения со стороны Солнца равная$$f_g=G\frac{M_S m}{r^2}, \tag{24}$$а значит движение станции в радиальном направлении описывается вторым законом Ньютона в виде$$m\frac{dV}{dt}=f-f_g=-2G\frac{M_S m}{r^2}\frac{V}{c+V}. \tag{25}$$Принимая во внимание, что для малого перемещения$$dr=Vdt, \tag{26}$$из выражения $(25)$ получаем дифференциальное уравнение$$(c+V)dV=-2GM_S\frac{dr}{r^2}, \tag{27}$$которое легко интегрируется и дает при условии остановки станции$$cV_0+\frac{1}{2}V_0^2=2GM_S\left(\frac{1}{R_0}-\frac{1}{R}\right). \tag{28}$$Решая уравнение $(28)$, находим искомое расстояние$$R=\frac{R_0}{1-\frac{(cV_0+1/2V_0^2)R_0}{2GM_S}}, \tag{29}$$которое при условии движения Земли по орбите$$GM_S=V_E^2 r_E, \tag{30}$$а также соотношения $V \ll c$, дает окончательный ответ$$R=\frac{R_0}{1-\frac{cV_0R_0}{2V_E^2 r_E}}=9.93\cdot 10^{10}~м. \tag{31}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R=\frac{R_0}{1-\frac{cV_0R_0}{2V_E^2 r_E}}=9.93\cdot 10^{10}~м.$$"]}, "number_part": "3.4", "exponent_part": "3,60"}, {"condition": "Определите минимальное значение скорости $V_0=V_{\min}$, при котором станция сможет улететь сколько угодно далеко от Солнца. ", "solution": {"text": "Из формулы $(31)$ следует, что станция сможет уйти на бесконечность $R \rightarrow \infty$, только если знаменатель выражения обратится в ноль, откуда следует$$V_{\min}=\frac{2V_E^2r_E}{cR_0}=18.1~м/с. \tag{32}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_{\min}=\frac{2V_E^2r_E}{cR_0}=18.1~м/с. $$"]}, "number_part": "3.5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Определите характерное время $\tau$, за которое расстояние до Солнца $R$ уменьшится на относительную величину $\mu=\frac{\delta R}{R}=10^{-4}$. ", "solution": {"text": "Масса пылинка определяется выражением$$m=\rho\frac{4}{3}\pi a^3, \tag{33}$$а площадь ее поперечного сечения составляет$$S=\pi a^2. \tag{34}$$Определим эффективную силу, действующую на частицу в результате поглощения света. Чтобы свести ее к давлению света, перейдем в систему отсчета, связанную с частицей. В этой системе отсчета на частицу действует давление света, вычисляемое по формуле $(9)$, но ее направление не совпадает с радиальным ввиду аберрации света, а именно составляет с ним малый угол $V/c$. Таким образом, в тангенциальном направлении траектории частицы появляется сила, обусловленная поглощением фотонов, равная$$F=-V\frac{I_s}{c^2}S, \tag{35}$$которая создает момент относительно центра притяжения, равный$$M=-FR. \tag{36}$$Так как движение пылинки является практически круговым, то ее скорость можно записать так $$V=\sqrt{\frac{GM_S}{R}}, \tag{37}$$а момент импульса относительно притягивающего центра$$L=mVR. \tag{38}$$Собирая совместно уравнения $(33)$-$(38)$, получаем $$\frac{dL}{dt}=M, \tag{39}$$откуда окончательно находим искомое время в следующем виде $$\tau=\frac{2\mu\rho ac^2}{3I_s}=1.27\cdot 10^8~с. \tag{40}$$При выводе мы пренебрегли изменением интенсивности излучения Солнца с расстоянием, так как радиус орбиты уменьшился незначительно и соответствующие поправки являются малыми более высокого порядка. Примечание: последовательное объяснение эффекта Пойнтинга-Робертсона основано на следующей трактовке. В системе отсчета, связанной с частицей, она поглощает солнечное излучение, которое распространяется под малым углом к радиальному направлению, а затем переизлучает накопленную энергию изотропно во всех направлениях. В системе отсчета, связанной с Солнцем, первичное излучение Солнца распространяется в радиальном направлении, а переизлучение самой частицы уже не является изотропным. В первом случае появление момента силы торможения объясняется аберрацией солнечного излучения, а во втором — эффектом Доплера для переизлучения самой частицы."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\frac{2\mu\rho ac^2}{3I_s}=1.27\cdot 10^8~с. $$"]}, "number_part": "3.6", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите величину действующей на микрочастицу силы. ", "solution": {"text": "Рассчитаем силу, действующую на первую собирающую линзу, которая равна полному изменению импульса фотонов, падающих на линзу в единицу времени. Очевидно, что импульс изменяется из-за преломления света в стекле, то есть меняется его направление, но не модуль.Рассмотрим все лучи, проходящие через кольцо на линзе, расположенное от ее центра на расстояниях от $r$ до $r+dr$. <img_3> Площадь этого кольца равна $$dS=2\pi rDr. \tag{41}$$Изменение продольного импульса фотонов, проходящих в единицу времени через данное кольцо равно$$dp_{||}=\frac{I}{c}(1-\cos\theta)dS, \tag{42}$$где угол преломления равен$$\sin\theta=\frac{r}{F}, \tag{43}$$так как все лучи сходятся в фокусе линзы.Интегрируя полученное выражение по всей поверхности линзы получаем$$F_{||}=\int\limits_0^R dp_{||}=\frac{\pi I}{c}\left(R^2-\frac{2}{3F}\left[F^3-\left(F^2-R^2\right)^{3/2} \right] \right)\approx \frac{\pi IR^4}{4cF^2}=2.64\cdot10^{-17}~Н. \tag{44}$$Так как фокусы линзы $"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_{||}=\frac{\pi I}{c}\left(R^2-\frac{2}{3F}\left[F^3-\left(F^2-R^2\right)^{3/2} \right] \right)\approx \frac{\pi IR^4}{4cF^2}=2.64\cdot10^{-17}~Н.$$"]}, "number_part": "3.7", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите величину действующей на микрочастицу поперечной к лучу силы. ", "solution": {"text": "Рассмотрим все лучи, проходящие через элемент полукольца на линзе, расположенный от ее центра на расстояниях от $r$ до $r+rd$, а также отсекаемый азимутальными углами от $\beta$ до $\beta+d\beta$. Площадь этого элемента полукольца равна$$dS=r dr d\beta. \tag{45}$$Изменение поперечного импульса фотонов, проходящих в единицу времени через данное кольцо равно$$dp_{\perp}=\frac{I}{c}\sin\theta\sin\\beta dS, \tag{46}$$а интегрирование по всей поверхности половины линзы с учетом формулы $(43)$ приводит к выражению$$f_{\perp}=\int dp_{\perp}=\frac{I}{cF}\int\limits_0^{\pi}\int\limits_0^R r^2 dr\sin\beta d\beta=\frac{2IR^3}{3cF}=2.24\cdot 10^{-16}~Н. \tag{47}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$f_{\perp}=\frac{I}{cF}\int\limits_0^{\pi}\int\limits_0^R r^2 dr\sin\beta d\beta=\frac{2IR^3}{3cF}=2.24\cdot 10^{-16}~Н. $$"]}, "number_part": "3.8", "exponent_part": "0,80"}]