text: {"text": [{"text": "Часть А. Фазовая и групповая скорость Колебания и волны - один из самых интересных и распространенных разделов физики. Волновые процессы встречаются во всех областях и в механике, и в термодинамике, и в электродинамике, а оптика целиком является наукой о волнах. В этой задаче мы рассмотрим знакомые всем корабельные волны, обладающие некоторыми очень интересными и неочевидными особенностями. Однако, сначала рассмотрим общие свойства волн. Простейшим типом волн, распространяющихся в линейной среде, являются плоские монохроматические волны - то есть волны с конкретной частотой и длиной волны. Зависимость их амплитуды от времени и координаты (пока рассматриваем одномерный случай) описывается следующим образом: $$A(t{,}x)=A_0\cos\theta=A_0\cos(kx-\omega t+\varphi_0) $$"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите скорость распространения постоянной фазы монохроматической волны (фазовая скорость). Однако, в реальности чистые монохроматические волны никогда не существуют. На самом деле волны распространяются в волновых пакетах – суперпозицией многих волн близких частот. Волновой пакет в отличие от монохроматической волны локализован в некоторой области пространства и распространяется не с фазовой, а с так называемой групповой скоростью. Групповая скорость обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета. Для примера, рассмотрим волновой пакет из двух близких по частоте и волновому вектору монохроматических волн: $$A(t{,}x)=A_0\cos(k_1x-\omega_1t-\varphi_1)+A_0\cos(k_2x-\omega_2t-\varphi_2) $$"}, {"text": "Часть В. Дисперсионное соотношение для волн на воде Распространение волн на воде определяется двумя физическими эффектами: поверхностным натяжением и гравитационным полем земли. Первый эффект вызывает так называемые капиллярные волны с маленькой длиной волны, который мы рассматривать не будем. Гравитация же приводит к существованию так называемых гравитационных волн. Итак, рассмотрим волну, распространяющуюся как на рисунке. Считайте, что в невозмущенной области вода стоячая, а в возмущенной вся вода движется с некоторой скоростью. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Предполагая, что существует некоторая функциональная зависимость $\omega(k)$, найдите групповую скорость через эту функцию в точке $k\approx{k_1}\approx{k_2}$. Вышеупомянутая функция $\omega(k)$ называется дисперсионным соотношением для волн определенного типа и именно она полностью определяет их поведение. Именно поэтому исследование любых линейных волн начинается с нахождения этой зависимости."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите скорость распространения волны $v_{ph}$, если глубина воды $h$. Если глубина воды много больше длины волны $\lambda$, то эффективно вода движется только в слое толщиной $\lambda/2\pi$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите скорость распространения волны на глубокой воде. Найденная скорость является фазовой скоростью волны. Теперь, зная фазовую скорость волны в зависимости от длины волны, мы можем легко найти дисперсионное соотношение $\omega(k)$, а из него, с помощью результата B2, и групповую скорость волн."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите дисперсионное соотношение и групповую скорость волн на мелкой воде $v_g(k)$."}, {"text": "Часть С. Угол расхождения корабельных волн Легко заметить, что для волн на глубокой воде соблюдается замечательное соотношение $v_g=v_{ph}/2$ для волн с любой длиной волны. Это приводит к интересным эффектам. Рассмотрим обычные корабельные волны, которые каждый мог наблюдать. Известно, что они образуют конус по границам которого бегут волны. Для излучателей, движущихся со скоростью выше скорости распространения волн в среде с линейной дисперсией, широко известен эффект образования маховского конуса с углом раствора $\arcsin(c/v)$. Однако, при нелинейном законе дисперсии нахождение угла становится сложнее, его величина определяется конструктивной интерференцией монохроматических волн. Итак, рассмотрим плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся под углом $\psi$ к скорости источника. Вода стоячая. <img_1>"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите дисперсионное соотношение и групповую скорость волн на глубокой воде $v_g(k)$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите соотношение между фазовой скоростью и скоростью источника, если он должен оставаться в точке постоянной фазы волны. Представьте, что в некоторый момент времени источник излучил широкий спектр волн. Рассмотрим цуг с узким спектром, такой, что его фазовая скорость соответствует распространению под углом $\psi$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите точку в которой будет находиться цуг через время $dt$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите геометрическое место точек для цугов, испущенных под всевозможными углами. Теперь представьте, что такие «элементарные волны» из пункта C3 испускаются в каждый момент времени."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите угол раствора конуса, который ограничивает все распространяющиеся волны"}]}
answer: [{"condition": "Найдите скорость распространения постоянной фазы монохроматической волны (фазовая скорость). ", "solution": {"text": "Пусть точка с фазой $\varphi$ двигается по траектории $x(t)$:\[kx(t) - \omega t + \varphi_0 = \varphi,\]тогда\[ x(t) = \frac{\varphi - \varphi_0}{k} + \frac{\omega}{k} t\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[v_{ph} = \frac{\omega}{k}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Предполагая, что существует некоторая функциональная зависимость $\omega(k)$, найдите групповую скорость через эту функцию в точке $k\approx{k_1}\approx{k_2}$. ", "solution": {"text": "Запишем условие на положение максимума волнового пакета $x(t)$\[ \frac{dA}{dx} = A_0 \left[ k_1 \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) + (k_1 + \Delta k) \sin \left( (k_1 + \Delta k) x(t) - \left(\omega_1 + \frac{d \omega}{dk} \Delta k \right) t - \varphi_2 \right) \right] = 0. \]Используя формулу $\sin(\varphi + \Delta \varphi) \simeq \sin \varphi + \Delta \varphi \cdot \cos \varphi$, с точностью до малых второго порядка получим:\[\begin{split}\frac{1}{A_0} \frac{dA}{dx} &\simeqk_1 \left[ \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) + \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2) \right]+\\&+ \Delta k \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2) +\\&+k_1 \Delta k \left[ x(t) - \frac{d \omega}{dk} t \right] \cos (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2)\end{split} \]Мы изучаем положение максимума, где $\cos (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) \approx \cos (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2)\approx 1$ и $\sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) \approx \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1)\approx 0$, поэтому уравнение на положение максимума имеет вид:\[ x(t) = \frac{d \omega}{dk} t \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ v_{g} = \frac{d \omega}{dk}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите скорость распространения волны $v_{ph}$, если глубина воды $h$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся стандартным методом нахождения фазовой скорости: перейдем в систему отсчета двигающуюся со скоростью $v_{ph}$. В этой системе отсчета потоки жидкости являются стационарными. Этот факт заметно упрощает написание физических уравнений. <img_2> Во-первых, в силу стационарности в центральной области не должна накапливаться масса, т.е.\[ v_{ph} h = (v_{ph} - u) (h+ \Delta h) \tag{1}. \]Во-вторых, должен выполнять второй закон Ньютона. В качестве рассматриваемого тела выберем область воды между срезами $1$ и $2$. За $L$ обозначим толщину системы в направлении перпендикулярном плоскости рисунка. Запишем гидростатические силы $F_{1,2}$, действующие на поверхности $1$ и $2$. Будем пренебрегать гидродинамическим давлением.\[F_1 = L \int\limits_0^{h} \rho gh \, dh = \rho g L \frac{h^2}{2}, \quad F_2 = L \int\limits_0^{h+\Delta h} \rho gh \, dh = \rho g L \frac{(h+\Delta h)^2}{2} \simeq \rho g L \frac{h^2+2 h \Delta h}{2} . \]За время $dt$ правая поверхность $1$ сдвинется на $dl_1 = v_{ph} \, dt$, ее масса $dm_1= \rho L h \, dl_1 = \rho L h v_{ph} \, dt$. Аналогично $dm_2 = \rho L (h+\Delta h) (v_{ph} - u) \, dt$. За время $dt$ под действием сил $F_1$ и $F_2$ импульс рассмотренного объема изменился на $dm_2 (v_{ph} - u) - dm_1 v_{ph}$. Значит\[ \rho g L \frac{h^2}{2} \, dt - \rho g L \frac{h^2+2 h \Delta h}{2} \, dt = dm_2 (v_{ph} - u) - dm_1 v_{ph}.\]Подстановка и сокращение дает выражение $g \Delta h = v_{ph} u$. Если подставить в него уравнение (1) и воспользоваться $\Delta h \ll h$, то получается ответ."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ v_{ph} = \sqrt{gh}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите скорость распространения волны на глубокой воде. Найденная скорость является фазовой скоростью волны. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ v_{ph} = \sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi}}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите дисперсионное соотношение и групповую скорость волн на мелкой воде $v_g(k)$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \omega = k \sqrt{gh}, \quad v_g = v_{ph} = \sqrt{gh}\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите дисперсионное соотношение и групповую скорость волн на глубокой воде $v_g(k)$. ", "solution": {"text": "Длина волны $\lambda$ связана с волновым вектором соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, значит\[ \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{gk}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \omega = \sqrt{gk}, \quad v_g = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{k}}= \frac{v_{ph}}{2}\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите соотношение между фазовой скоростью и скоростью источника, если он должен оставаться в точке постоянной фазы волны. ", "solution": {"text": "Точка постоянной фазы двигается со скоростью $\frac{v_{ph}}{\cos \psi}$, поэтому $u=\frac{v_{ph}}{\cos \psi}$ \[u=\frac{v_{ph}}{\cos \psi}\]"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите точку в которой будет находиться цуг через время $dt$. ", "solution": {"text": "За время $dt$ цуг пройдет расстояние $v_g \, dt = \frac{1}{2} v_{ph} \, dt$ в направлении под углом $\psi$. \[\begin{cases}dx = \frac{u}{2} \cos^2 \psi \, dt\\dy = \frac{u}{2} \cos \psi \sin \psi \, dt\end{cases}\]"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите геометрическое место точек для цугов, испущенных под всевозможными углами. ", "solution": {"text": "Воспользуемся формулами двойного угла: $2 \cos^2 \psi = 1 + \cos 2 \psi$, $\cos \psi \sin \psi = \frac{\sin 2 \psi}{2}$, тогда\[\begin{cases}dx = \frac{u}{4} \left( 1+ \cos 2 \psi \right) \, dt\\dy = \frac{u}{4} \sin 2 \psi \, dt\end{cases}.\]Учитывая, что $\psi \in [-\pi, \pi]$, ГМТ — окружность радиусом $\frac{u\, dt}{4}$ с центром в точке $x= \frac{u\, dt}{4}$."}, "answer": {"answers": ["<img_3>"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите угол раствора конуса, который ограничивает все распространяющиеся волны ", "solution": {"text": "За время $dt$ источник сдвигается на расстояние $u\, dt$, поэтому угол раствора подчиняется соотношению $\sin \alpha = \dfrac{\frac{3}{4} u \, dt}{\frac{1}{4} u \, dt} =\frac{1}{3}$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[2 \alpha = 2 \arcsin \frac{1}{3} \approx 39.0^\circ \]"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,00"}]