text: {"text": [{"text": "Теплообменник состоит из двух тонких коаксиальных труб и имеет длину $L = 5~м$. По внутренней трубе течёт кофе, а по внешней во встречном направлении молоко (см. рисунок). <img_0> Молоко поступает в теплообменник при температуре $t_1 = 10^\circ С$, а кофе — с противоположной стороны при температуре $t_2 = 90^\circ С$. Если в единицу времени по трубам теплообменника в каждую сторону протекает одинаковая масса жидкостей $\mu$, то к выходу из него молоко успевает нагреться до температуры $t_3 = 60^\circ С$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите температуру $t_4$ кофе на выходе из теплообменника."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии $s$ друг от друга находятся участки труб, в которых температуры кофе и молока одинаковы?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Какими станут температуры молока $t_3'$ и кофе $t_4'$, вытекающих из теплообменника, если увеличить скорость обоих потоков в два раза, сохранив их температуры на входе? $\textit{Указание:}$ Мощность теплопередачи через небольшую площадку внутренней трубы пропорциональна разности температур контактирующих с ней жидкостей. Теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Плотности и удельные теплоёмкости кофе и молока считать одинаковыми."}]}
answer: [{"condition": "Определите температуру $t_4$ кофе на выходе из теплообменника. ", "solution": {"text": "В установившемся режиме температура вдоль трубы меняется линейно. Это можно показать, рассмотрев изменение температуры на небольшом смещении вдоль трубы. Из уравнения теплового баланса следует, что изменения температур жидкостей одинаковы (здесь учтено, что за одинаковое время обмениваются теплом одинаковые массы жидкостей). Другими словами, если в некоторой месте теплообменника температуры кофе и молока равны $t_{к}$ $t_{м}$ соответственно, то на небольшом расстоянии $\Delta x$ они станут равны $t_{к}+\Delta t$ и $t_{м}+\Delta t$, при этом сохранится разность температур и мощность теплообмена. Пошагово можно повторять эту процедуру до другого края теплообменника. Распределение температур вдоль труб приведено на графике (см. рисунок): $$ \Delta t_{1}=t_{3}-t_{1}=50^\circ С. $$ <img_1> Так как изменения температур равны, то температура кофе на выходе $$ t_{4}=t_{2}-\Delta t_{1}=40^{\circ}С. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{4}=t_{2}-\Delta t_{1}=40^{\circ}С. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На каком расстоянии $s$ друг от друга находятся участки труб, в которых температуры кофе и молока одинаковы? ", "solution": {"text": "Расстояние $s$ между участками труб с одинаковыми температурами можно найти из подобия треугольников: $$ \frac{s}{L}=\frac{t_{2}-\Delta t_{1}-t_{1}}{\Delta t_{1}}, \text { откуда } s=3 м. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ s=3~м. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какими станут температуры молока $t_3'$ и кофе $t_4'$, вытекающих из теплообменника, если увеличить скорость обоих потоков в два раза, сохранив их температуры на входе? ", "solution": {"text": "свяжем мощности переданного и полученного тепла: $$ \mu c\Delta t_{1}=\alpha(t_{2}-\Delta t_{1}-t_{1}), $$ где $\alpha$ — некоторая константа, связанная с теплопроводящими свойствами внутренней трубы и жидкостей. После изменения расхода жидкостей до $\mu^{'}=2\mu$ уравнение связи примет вид $$ 2\mu c\Delta t_{1}^{'}=\alpha(t_{2}-\Delta t_{1}^{'}-t_{1}). $$ Здесь учтено, что мощность изменится из-за уменьшения разности температур. Решая систему уравнений относительно нового изменения температур $\Delta t_{1}^{'}$, получим $\Delta t_{1}^{'}=36.4^{\circ}С$. откуда температура на выходе у молока $t_{3}^{'}=46.4^{\circ}С$, у кофе $t_{4}^{'}=53.6^{\circ}С$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{3}^{\prime}=46.4^{\circ} С, \quad t_{4}^{\prime}=53.6^{\circ}С. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]