text: {"text": [{"text": "Космический объект, движущийся вдоль некоторой прямой с постоянной скоростью, испускает периодические радиоимпульсы. Астроном установил, что за время наблюдения $\Delta t$ видимое направление на этот объект изменилось на малый угол $\Delta \varphi$, а период между моментами прихода радиоимпульсов изменился от $T$ до $T+\Delta T$, где $\Delta T \ll T$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите расстояние от наблюдателя до объекта. Скорость радиоимпульсов равна скорости света $c$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите расстояние от наблюдателя до объекта. ", "solution": {"text": "Пусть угол между между направлением движения объекта и направлением к наблюдателю равен $\varphi$. Тогда посланные через время $T_{0}$ импульсы будут приниматься наблюдателем через промежуток времени $$ T=T_{0}\left(1+\frac{v}{c} \cos \varphi\right), $$ где $v$ - скорость объекта. В самом деле, если из точки $А$ испущен первый импульс, то следующий импульс испускается через время $T_{0}$ из точки $В$ на расстоянии $v T_{0}$. Пути к наблюдателю почти параллельны, а разница их составляет отрезок $B C=A B \cos \varphi=v T_{0} \cos \varphi$ (см. рисунок ниже), проходимый за дополнительное время $\left(v T_{0} \cos \varphi\right) / c$, где $c$ - скорость света. <img_0> В сумме с $T_{0}$ это и дает выражение для $T$. Пока угол $\varphi$ можно считать почти постоянным, такое же соотношение будет верным для любых промежутков времени $\Delta t_{0}$ при испускании сигналов и $\Delta t$ при их приеме: $$ \Delta t=\Delta t_{0}\left(1+\frac{v}{c} \cos \varphi\right). $$ Если направление из точки $N$ (наблюдатель) на космический объект повернулось на угол $\Delta \varphi$, то угол между направлением движения и направлением к наблюдателю стал равен $\varphi-\Delta \varphi$ (см. рисунок). <img_1> Вычислим приращение периода принимаемых импульсов при этом изменении угла: $$ \Delta T=\frac{d T}{d \varphi}(-\Delta \varphi)=T_{0} \frac{v}{c} \sin \varphi \Delta \varphi . $$ Тогда при времени перемещения $\Delta t_{0}$, отвечающему времени наблюдения $\Delta t$, имеем $\Delta \varphi=v \Delta t_{0} \sin \varphi / r$, где $r$ - искомое расстояние. Исключая скорость из выражения для $\Delta T$, получим $$ \Delta T=\frac{T_{0}}{\Delta t_{0}} \frac{(\Delta \varphi)^{2} r}{c}=\frac{T}{\Delta t} \frac{(\Delta \varphi)^{2} r}{c}, $$ поскольку $T_{0} / T=\Delta t_{0} / \Delta t$. Окончательно получаем $$ r=\frac{c \Delta T \Delta t}{T(\Delta \varphi)^{2}}. $$ Поскольку всё рассмотрение проводилось в системе отсчёта наблюдателя, результаты применимы в общем случае, а не только при скоростях объекта $v \ll c$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ r=\frac{c \Delta T \Delta t}{T(\Delta \varphi)^{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]