text: {"text": [{"text": "В однородной среде свет распространяется прямолинейно. Однако при огибании небольших препятствий или при прохождении через небольшие отверстия происходит изменение направления распространения света — Если направить на круглую диафрагму световой пучок цилиндрической формы (например, свет лазера), то после прохождения через диафрагму его форма станет конической (рис. 1). До диафрагмы все лучи света в лазерном пучке параллельны, а после прохождения диафрагмы часть лучей из-за явления дифракции изменит направление. Световой пучок как бы «расширится». <img_0> При увеличении расстояния между диафрагмой и экраном изображение на экране, в том числе центральное пятно, будет увеличиваться."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "2,30"}, "text": "Измерьте с максимальной точностью диаметры выданных вам игл. Оцените погрешности."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,90"}, "text": "Придумайте способ, позволяющий значительно увеличить путь светового пучка от диафрагмы до экрана и изучить изменение размеров центрального пятна в зависимости от расстояния $l$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Используя малярный скотч, изготовьте диафрагму. Для этого закройте выходное окошко лазерной указки малярным скотчем, приклеив концы отрезка малярного скотча к корпусу указки. Включите указку. На скотче будет видна освещенная лазерным пучком область. Проткните скотч в середине освещенной области иглой наименьшего диаметра. Постарайтесь сделать отверстие максимально приближенным по форме к кругу диаметром равным диаметру иглы. Зажмите кнопку включения лазера канцелярским зажимом. Посветите таким пучком на удаленный от лазера экран и пронаблюдайте на нем дифракционную картину и центральное пятно в ней."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите формулу зависимости угла дифракции $\varphi$ от диаметра центрального пятна $D$ на экране, диаметра диафрагмы $d$ и расстояния $l$ между диафрагмой и экраном (рис. 2). <img_1>"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "4,60"}, "text": "Измерьте зависимость угла $\varphi$ от диаметра отверстия в скотче $d$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,20"}, "text": "Определите величины $n$ и $A$."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,50"}, "text": "Определите, какого диаметра получилось бы центральное пятно $D_0$ на экране, удалённом от диафрагмы вашей лазерной указки на расстояние $l_0 = 500~ см$, при использовании диафрагмы диаметром $d_0 = 0.20~ мм$. <img_2> <img_3>"}]}
answer: [{"condition": "Измерьте с максимальной точностью диаметры выданных вам игл. Оцените погрешности. ", "solution": {"text": "Для измерения диаметров игл воспользуемся методом прокатывания (рис. 4). <img_4> Для этого сделаем флажок из малярного скотча и приклеим его к пластиковой части иглы. Положим иглу на миллиметровую бумагу и прокатим ее по бумаге линейкой, подсчитав количество оборотов $n$, которое сделает игла. Определим расстояние $L$, на которое сместится игла по бумаге. Диаметр иглы $d$ может найден по следующей формуле: \begin{equation} d=\frac{L}{\pi n}\tag{3}\end{equation}Для повышения точности величину $L$ измерим три раза для каждой иглы (в таблице — величины $L_1$, $L_2$, $L_3$). Цвет$L_1,~\text{мм}$$L_2,~\text{мм}$$L_3,~\text{мм}$$n$$d, ~{мм}$жёлтая505251500.32серая 535353400.42синяя 99100101500.64зелёная 107109108400.86розовая 162163162401.29 измерения длин оценим как $\sigma_\text{случ}=1~ мм$. Тогда погрешность измерения диаметров иголок будет приблизительно одинаковой и равной:\begin{equation} \sigma_d \approx \dfrac{\sigma_x +\sigma_{случ}}{\pi n}=0.02~\text{мм}.\tag{4}\end{equation}Для сравнения проведём контрольные измерения игл с помощью микрометра (погрешность прибора $0.01~ мм$). | Цвет | $L\_1,\~\\text{мм}$ | $L\_2,\~\\text{мм}$ | $L\_3,\~\\text{мм}$ | $n$ | $d, \~{мм}$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | жёлтая | 50 | 52 | 51 | 50 | 0\.32 | | серая | 53 | 53 | 53 | 40 | 0\.42 | | синяя | 99 | 100 | 101 | 50 | 0\.64 | | зелёная | 107 | 109 | 108 | 40 | 0\.86 | | розовая | 162 | 163 | 162 | 40 | 1\.29 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | Цвет | жёлтая | серая | синяя | зелёная | розовая | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $d, \~{мм}$ | 0\.31 | 0\.41 | 0\.63 | 0\.80 | 1\.27 | Ответ: Цветжёлтаясераясиняязелёнаярозовая$d, ~{мм}$0.310.410.630.801.27"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "2,30"}, {"condition": "Придумайте способ, позволяющий значительно увеличить путь светового пучка от диафрагмы до экрана и изучить изменение размеров центрального пятна в зависимости от расстояния $l$. ", "solution": {"text": "Максимальная длина хода пучка (расстояние, которое свет от лазера до экрана), которую можно достичь на столе без применения сторонних устройств, примерно равна диагонали стола ($\approx 130~ см$). При такой длине возможно измерить диаметр $D$ только для игл малых диаметров, при этом измерения будут иметь низкую точность. Для повышения точности используем зеркала для увеличения длины хода пучка (рис. 2). Таким образом можно добиться многократного прохождения пучком света расстояния между зеркалами за счет отражения от них. Для подсчета длины хода пучка в этом случае необходимо проследить, сколько раз пучок света отражался от зеркал, прежде чем попасть на экран."}, "answer": {"answers": ["<img_5>"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Используя малярный скотч, изготовьте диафрагму. Для этого закройте выходное окошко лазерной указки малярным скотчем, приклеив концы отрезка малярного скотча к корпусу указки. Включите указку. На скотче будет видна освещенная лазерным пучком область. Проткните скотч в середине освещенной области иглой наименьшего диаметра. Постарайтесь сделать отверстие максимально приближенным по форме к кругу диаметром равным диаметру иглы. Зажмите кнопку включения лазера канцелярским зажимом. Посветите таким пучком на удаленный от лазера экран и пронаблюдайте на нем дифракционную картину и центральное пятно в ней. ", "solution": {"text": "Соберем установку для наблюдения дифракции описанную в условии, увеличив длину хода пучка при помощи зеркал."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Запишите формулу зависимости угла дифракции $\varphi$ от диаметра центрального пятна $D$ на экране, диаметра диафрагмы $d$ и расстояния $l$ между диафрагмой и экраном (рис. 2). ", "solution": {"text": "Угол дифракции (в градусах) можно рассчитать как:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} \varphi=\frac{D-d}{2\pi l}\cdot 360^\circ \tag{5}\end{equation}"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Измерьте зависимость угла $\varphi$ от диаметра отверстия в скотче $d$. ", "solution": {"text": "Проведем измерения диаметра центрального пятна дифракционной картины и длины хода пучка для разных размеров диафрагмы. Исходя из схемы (рис. 2), считая углы переотражения пучка от зеркал пренебрежимо малыми, рассчитаем общий путь пучка:\begin{equation}L=a+3b+c,\tag{6}\end{equation}где $a$, $b$, $c$ — расстояния, указанные на рисунке. Центральное пятно на экране может получиться овальной формы, если отверстие в скотче не круглое. Тогда будем измерять размеры пятна по вертикали (величина $V$) и горизонтали (величина $H$). Диаметр $D$ рассчитаем как среднее арифметическое $V$ и $H$. Рассчитаем для каждой диафрагмы угол дифракции и занесем данные в таблицу. $d, ~мм$$a, ~см$$b, ~см$$c, ~см$$H, ~мм$$V,~ мм$0.32 107.0111.2128.023200.42 105.0111.0129.018140.64104.0113.0127.012110.86107.0112.0127.01291.29108.0111.0127.086 Погрешность измерения длин $a$, $b$, $c$ примем равной $\sigma_{abc}=0.5~ см$, погрешность измерения диаметра пятна $D$ оценим как модуль полуразности вертикального и горизонтального размеров пятна, прибавив приборную погрешность линейки: \begin{equation} \sigma_D=\frac{|H-V|}{2}+\sigma_х. \tag{7}\end{equation} Относительная погрешность угла дифракции приблизительно равна относительной погрешности диаметра пятна, так как остальные величины дают существенно меньший вклад в нее. Тогда для абсолютной погрешности угла дифракции: \begin{equation} \sigma_\varphi=\varphi\,\frac{\sigma_D}{D}. \tag{8}\end{equation} Видно, что с увеличением диаметра диафрагмы угол дифракции уменьшается. Предположим, что зависимость является обратной пропорциональностью. Рассчитаем величины обратных диаметров игл и построим график зависимости $\varphi(1/d)$. | $d, \~мм$ | $a, \~см$ | $b, \~см$ | $c, \~см$ | $H, \~мм$ | $V,\~ мм$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0\.32 | 107\.0 | 111\.2 | 128\.0 | 23 | 20 | | 0\.42 | 105\.0 | 111\.0 | 129\.0 | 18 | 14 | | 0\.64 | 104\.0 | 113\.0 | 127\.0 | 12 | 11 | | 0\.86 | 107\.0 | 112\.0 | 127\.0 | 12 | 9 | | 1\.29 | 108\.0 | 111\.0 | 127\.0 | 8 | 6 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $d, мм$ | $L, см$ | $D, мм$ | $d^{\-1}$, мм$^{\-1}$ | $\\varphi, \\ ^\\circ$ | $\\sigma\_D, мм$ | $\\sigma\_d^{\-1}, \\ мм^{\-1}$ | $\\sigma\_\\varphi, \\ ^\\circ$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0\.32 | 586\.6 | 21\.5 | 3\.08 | 0\.21 | 4 | 0\.19 | 0\.04 | | 0\.42 | 567\.0 | 16\.0 | 2\.37 | 0\.16 | 2 | 0\.11 | 0\.02 | | 0\.64 | 570\.0 | 11\.5 | 1\.57 | 0\.11 | 2 | 0\.05 | 0\.02 | | 0\.86 | 570\.0 | 10\.5 | 1\.16 | 0\.10 | 2 | 0\.03 | 0\.02 | | 1\.29 | 568\.0 | 7\.0 | 0\.77 | 0\.06 | 1 | 0\.01 | 0\.01 | Ответ: $d, мм$$L, см$$D, мм$$d^{-1}$, мм$^{-1}$$\varphi, \ ^\circ$$\sigma_D, мм$$\sigma_d^{-1}, \ мм^{-1}$$\sigma_\varphi, \ ^\circ$0.32586.621.53.080.2140.190.040.42567.016.02.370.1620.110.020.64 570.011.51.570.1120.050.020.86570.010.51.160.1020.030.021.29568.07.00.770.0610.010.01  Погрешность измерения длин $a$, $b$, $c$ примем равной $\sigma_{abc}=0.5~ см$, погрешность измерения диаметра пятна $D$ оценим как модуль полуразности вертикального и горизонтального размеров пятна, прибавив приборную погрешность линейки: \begin{equation} \sigma_D=\frac{|H-V|}{2}+\sigma_х. \tag{7}\end{equation} Относительная погрешность угла дифракции приблизительно равна относительной погрешности диаметра пятна, так как остальные величины дают существенно меньший вклад в нее. Тогда для абсолютной погрешности угла дифракции: \begin{equation} \sigma_\varphi=\varphi\,\frac{\sigma_D}{D}. \tag{8}\end{equation} Видно, что с увеличением диаметра диафрагмы угол дифракции уменьшается. Предположим, что зависимость является обратной пропорциональностью. Рассчитаем величины обратных диаметров игл и построим график зависимости $\varphi(1/d)$.", "<img_6>"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "4,60"}, {"condition": "Определите величины $n$ и $A$. ", "solution": {"text": "Видно, что график зависимости угла дифракции от обратного диаметра диафрагмы можно описать прямой пропорциональностью. Отсюда сделаем вывод, что искомая степень зависимости Рассчитаем угловой коэффициент зависимости Теоретическое значение составляет:\begin{equation} A_{theor}=\frac{360^\circ}{2\pi}\cdot2\cdot1.22 \,\lambda=0.09 \ ^\circ\cdot мм,\tag{9}\end{equation}где $\lambda=650 \ нм$ — длина волны лазерного излучения."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n=-1\]  Рассчитаем угловой коэффициент зависимости", "Ответ: \[{A=(0.07\pm 0.01) \ ^\circ\cdot мм}\]  Теоретическое значение составляет:\begin{equation} A_{theor}=\frac{360^\circ}{2\pi}\cdot2\cdot1.22 \,\lambda=0.09 \ ^\circ\cdot мм,\tag{9}\end{equation}где $\lambda=650 \ нм$ — длина волны лазерного излучения."]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Определите, какого диаметра получилось бы центральное пятно $D_0$ на экране, удалённом от диафрагмы вашей лазерной указки на расстояние $l_0 = 500~ см$, при использовании диафрагмы диаметром $d_0 = 0.20~ мм$. ", "solution": {"text": "Рассчитаем диаметр центрального пятна $D_0$ на экране, удалённом от диафрагмы лазерной указки на расстояние $l_0=500~ см$, при прохождении света через диафрагму диаметром $d_0=0.20~ мм$. Используя формулы $(1)$ и $(5)$, получим выражение для $D_0$: Относительную погрешность этой величины можно считать равной относительной погрешности углового коэффициента графика:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} D_0=\dfrac{2\pi A}{d_0\cdot360^\circ} l_0+d_0=(30{.}7\pm4{.}4) \ мм\tag{10}\end{equation}  Относительную погрешность этой величины можно считать равной относительной погрешности углового коэффициента графика:", "Ответ: \begin{equation} \sigma_{D_0}=D_0\frac{\sigma_A}{A}=4.4 \ мм\tag{11}\end{equation}"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,50"}]