text: {"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Предполагая, что некий фантастический космический корабль может выдержать любые тепловые и механические перегрузки, найдите минимально возможный период обращения такого корабля вокруг Солнца (и обоснуйте, почему такой период минимален), зная, что видимый с Земли угловой размер Солнца равен $\alpha=9.3 \cdot 10^{-3}~рад$."}]}
answer: [{"condition": "Предполагая, что некий фантастический космический корабль может выдержать любые тепловые и механические перегрузки, найдите минимально возможный период обращения такого корабля вокруг Солнца (и обоснуйте, почему такой период минимален), зная, что видимый с Земли угловой размер Солнца равен $\alpha=9.3 \cdot 10^{-3}~рад$. ", "solution": {"text": "Из третьего закона Кеплера квадраты периодов обращения относятся как кубы радиусов орбит: $$ \frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}}=\frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}}. \quad (1) $$ Следовательно, чем меньше радиус орбиты космического корабля, тем меньше период его обращения вокруг Солнца, и минимальному периоду обращения соответствует минимальный радиус орбиты. Минимальный радиус орбиты корабля есть радиус Солнца: $a_{\min }=R_{C}$, a $R_{C}=\frac{\alpha}{2} R_{3}$ $(R_{3}$ — радиус Земли$)$. Согласно $(1)$ запишем $$ \begin{gathered} \frac{T_{\min}^{2}}{a_{\min }^{3}}=\frac{T_{3}^{2}}{R_{3}^{3}}, T_{\min }^{2}=T_{3}^{2}(\frac{\alpha}{2})^{3}, \\ T_{\min}=T_{3}(\frac{\alpha}{2})^{\frac{3}{2}}. \end{gathered} $$ $T_{\min}=365.25 \cdot (4.65 \cdot 10^{-3})^{\frac{3}{2}}~сут \approx 0.166~сут \approx 2~часа 47~минут$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T_{\min}=T_{3}(\frac{\alpha}{2})^{\frac{3}{2}} \approx 2~часа 47~минут. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]