text: {"text": [{"text": "В бортовом журнале космического корабля была обнаружена таблица показаний амперметра и вольтметра, полученная во время выполнения кораблем на втором году полета специального маневра. В ходе этого маневра корабль удалялся от звезды по плоской траектории, имевшей форму участка спирали, которая пересекала все радиальные лучи, направленные от звезды, под одним и тем же углом $\alpha=\operatorname{arctg}(0.5) \approx 26,6^{\circ}$ (см. рисунок 1). Схема экспериментальной установки, в состав которой входили эти амперметр и вольтметр, показана на рисунке 2. Датчик фотоэлемента все время был направлен в сторону звезды, а ЭДС фотоэлемента пропорциональна мощности поступления световой энергии от этой звезды. Поглощением света звезды в космическом пространстве можно пренебречь. Фотоэлемент датчика включен в цепь, показанную на схеме. Индуктивность катушки $L = 50~мГн$ достаточно мала ($L \ll Rt$, где $t$ — характерное время изменения положения корабля, $R$ — сопротивление резистора), вольтметр и амперметр практически идеальны. Информация о времени измерений была утеряна, остались только данные о показаниях приборов. <img_0> <img_1>"}, {"balls": {"number": "3.1", "exponent": null}, "text": "Пренебрегая ЭДС индукции в катушке по сравнению с ЭДС фотоэлемента, запишите с точностью до постоянного коэффициента формулу, выражающую зависимость силы тока $I$ в катушке от расстояния $r$ между кораблем и звездой."}, {"balls": {"number": "3.2", "exponent": null}, "text": "Запишите с точностью до постоянного коэффициента формулу, выражающую зависимость напряжения $U$ на катушке от расстояния $r$ между кораблем и звездой и величиной радиальной скорости корабля $v \equiv \cfrac{d r}{d t}$."}, {"balls": {"number": "3.3", "exponent": null}, "text": "Найдите угловую скорость вращения корабля вокруг звезды в начале специального маневра. Ответ запишите в $с^{-1}$."}, {"balls": {"number": "3.4", "exponent": null}, "text": "Найдите угловую скорость вращения корабля вокруг звезды в конце специального маневра. Ответ запишите в $с^{-1}$."}, {"balls": {"number": "3.5", "exponent": null}, "text": "Найдите время движения корабля при выполнении специального маневра. Ответ запишите в с."}]}
answer: [{"condition": "Пренебрегая ЭДС индукции в катушке по сравнению с ЭДС фотоэлемента, запишите с точностью до постоянного коэффициента формулу, выражающую зависимость силы тока $I$ в катушке от расстояния $r$ между кораблем и звездой. ", "solution": {"text": "При малой индуктивности ЭДС индукции будет мала, и ток через катушку будет определяться ЭДС фотоэлемента. Ясно, что в этом случае сила тока в цепи будет пропорциональна мощности поступления световой энергии, а она по мере удаления от звезды будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния $r$, то есть $I= \operatorname{const} \cdot \frac{1}{r^{2}}$. В дальнейшем будем записывать эту связь в виде $I=I_{0} \frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $I\sim\cfrac{1}{r^2}$"]}, "number_part": "3.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Запишите с точностью до постоянного коэффициента формулу, выражающую зависимость напряжения $U$ на катушке от расстояния $r$ между кораблем и звездой и величиной радиальной скорости корабля $v \equiv \cfrac{d r}{d t}$. ", "solution": {"text": "С учетом полученного результата и соотношения $d\left(\frac{1}{r^{2}}\right) \approx-\frac{2 d r}{r^{3}}$ находим: $$ U=L\left|\frac{dI}{dt}\right|=LI_{0} r_{0}^{2}\left|\frac{d\left(1 / r^{2}\right)}{dt}\right|=2 \frac{LI_{0} r_{0}^{2}}{r^{3}} v, $$ где $v \equiv \frac{dr}{dt}$ — скорость удаления датчика от звезды. Итак, $U=\operatorname{const}\cdot \frac{v}{r^{3}}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $U\sim\cfrac{1}{r^3}$"]}, "number_part": "3.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите угловую скорость вращения корабля вокруг звезды в начале специального маневра. Ответ запишите в $с^{-1}$. ", "solution": {"text": "С учетом выражения для расстояния $r=r_{0} \sqrt{\frac{I_{0}}{I}}$ находим, что $$U \approx 2 \frac{LI^{3 / 2}}{r_{0} \sqrt{I_{0}}} v \Rightarrow v(t) \approx \frac{r_{0} \sqrt{I_{0}}}{2 LI^{3 / 2}} U=\frac{1}{2 \mathrm{~L}} r(t) \frac{U}{I} .$$ Из таблицы находим, что связь показаний амперметра и вольтметра с хорошей точностью описывается формулой $U \approx I \cdot 3.14 \cdot 10^{-4}~Ом$. Следовательно, отношение скорости удаления звездолета от звезды и мгновенного значения расстояния между ними $\frac{v}{r}=\frac{U}{2 LI} \approx 3.14 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$ — эта величина остается постоянной! С другой стороны, при движении по заданной траектории отношение скорости корабля вдоль радиуса $v$ и скорости вращения $\omega r$ есть котангенс угла, под которым спираль пересекает радиальные лучи, то есть $\frac{v}{\omega r}=\operatorname{ctg}\alpha \Rightarrow \omega=\frac{v}{r} \operatorname{tg}\alpha \approx 1.57 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$. Итак, вращение корабля вокруг звезды происходит с постоянной угловой скоростью."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\omega=\cfrac{v}{r} \operatorname{tg}\alpha \approx 1.57 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$"]}, "number_part": "3.3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите угловую скорость вращения корабля вокруг звезды в конце специального маневра. Ответ запишите в $с^{-1}$. ", "solution": {"text": "Как видно, в конце маневра также $\omega=\frac{v}{r} \operatorname{tg}\alpha \approx 1.57 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\omega=\cfrac{v}{r} \operatorname{tg}\alpha \approx 1.57 \cdot 10^{-3}~с^{-1}$"]}, "number_part": "3.4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите время движения корабля при выполнении специального маневра. Ответ запишите в с. ", "solution": {"text": "Из рисунка 1 в условии задачи следует, что за время выполнения маневра угол поворота изменяется на $\pi$ радиан. Значит, $t=\frac{\pi}{\omega}=\frac{2 \pi L I}{U} \operatorname{ctg}\alpha \approx 2000~с$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $t=\frac{2 \pi L I}{U} \operatorname{ctg}\alpha \approx 2000~с$"]}, "number_part": "3.5", "exponent_part": "??"}]