text: {"text": [{"text": "Из конденсатора переменной емкости $C$ и конденсаторов постоянных емкостей $C_{1}$ и $C_{2}$ собрана цепь (см. рисунок). <img_0> Производятся следующие действия: <img_1> Начальные заряд и разность потенциалов на этом конденсаторе $q_{0}$ и $U_{0}$, промежуточные $q_{1}$ и $U_{1}$, $q_{2}=q_{0}$ и $U_{2}$ известны."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите емкости конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$, начальные и конечные разности потенциалов на них, а также изменение энергии системы конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ в описанном процессе."}]}
answer: [{"condition": "Найдите емкости конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$, начальные и конечные разности потенциалов на них, а также изменение энергии системы конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ в описанном процессе. ", "solution": {"text": "Поскольку график процесса состоит из трех (а не из большего числа) прямолинейных участков, напряжение на конденсаторе $C$ не изменяется при замыкании ключей. Следовательно, для конденсатора $C_{1}$ напряжение $U_{0}$ — начальное, $U_{1}$ — конечное; для конденсатора $C_{2}$ напряжение $U_{1}$ — начальное $U_{2}$ — конечное. Найдем теперь емкости конденсаторов. Пусть конденсатор $C$ замкнут на конденсатор постоянной емкости $C^\prime$, где $C^{\prime}=C_{1}$ или $C^{\prime}=C_{2}$ (см. рисунок). <img_2> При медленном изменении емкости конденсатора $C$ полный заряд конденсаторов, равный сумме заряда $q$ на конденсаторе $C$ и $C^{\prime} U$ на конденсаторе $C^{\prime}$, сохраняется: $Q=q+C^{\prime} U=\mathrm{const}$. Поэтому график зависимости $q(U)$ является прямой с угловым коэффициентом $\frac{\Delta q}{\Delta U}=-C^{\prime}$. Отсюда$$C_{1}=\frac{q_{1}-q_{0}}{U_{0}-U_{1}}, \quad C_{2}=\frac{q_{1}-q_{0}}{U_{2}-U_{1}} .$$Изменение энергии конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ равно$$C_{1}\left(\frac{U_{1}^{2}}{2}-\frac{U_{0}^{2}}{2}\right)+C_{2}\left(\frac{U_{2}^{2}}{2}-\frac{U_{1}^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(q_{1}-q_{0}\right)\left(U_{2}-U_{0}\right)$$и совпадает с площадью треугольника на графике."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для конденсатора $C_{1}$ напряжение $U_{0}$ — начальное, $U_{1}$ — конечное; для конденсатора $C_{2}$ напряжение $U_{1}$ — начальное $U_{2}$ — конечное.$$C_{1}=\frac{q_{1}-q_{0}}{U_{0}-U_{1}}, \quad C_{2}=\frac{q_{1}-q_{0}}{U_{2}-U_{1}} .$$Изменение энергии конденсаторов $C_{1}$ и $C_{2}$ равно$$C_{1}\left(\frac{U_{1}^{2}}{2}-\frac{U_{0}^{2}}{2}\right)+C_{2}\left(\frac{U_{2}^{2}}{2}-\frac{U_{1}^{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(q_{1}-q_{0}\right)\left(U_{2}-U_{0}\right).$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]