text: {"text": [{"text": "Комета 67P/Чурюмова-Герасименко была открыта 23 октября 1969 года советским астрономом Климом Чурюмовым в Киеве на фотопластинках другой кометы, снятых Светланой Герасименко в сентябре в Алма-Атинской обсерватории. Вначале ее посчитали за фрагмент 32P/Комас Сола, но затем выяснилось, что объект движется по совершенно другой орбите."}, {"text": "Часть A. Настоящее. Одним из возможных способов точного исследования орбиты является спектральный анализ. Эмиссионный спектр кометы смещен относительно эталонных линий атомов и радикалов из-за эффекта Доплера. По этому смещению можно рассчитать проекцию скорости кометы на луч зрения (луч, соединяющий наблюдателя и комету) – лучевую скорость. <img_0> На графике представлена зависимость $v_r(r)$ лучевой скорости объекта 67P от его гелиоцентрического расстояния r (наблюдатель помещен в центр Солнца). Масса Солнца $M_S$, гравитационная постоянная $G$, $1~\text{a.е}$ = расстояние от Земли до Солнца ($\textit{но численные значения этих величин не заданы}$)."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Для эллипса можно определить параметр эксцентриситет $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$, где $a$ и $b$ – большая и малая полуоси эллипса соответственно. Найдите эксцентриситет $e$ орбиты кометы Чурюмова-Герасименко."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Полная энергия тела, которое движется по эллиптической орбите, не зависит от ее эксцентриситета, а зависит только от длины большой полуоси $a$. Найдите скорость $v$ кометы в зависимости от расстояния $r$. Ответ выразите через $a$, $r$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите лучевую скорость $v_r$ в зависимости от расстояния $r$. Ответ выразите через $a$, $r$, $e$ и физические постоянные."}, {"text": "Часть B. Будущее. 10 февраля 2015 года Солнце оказалось точно между кометой Чурюмова-Герасименко и Землей, причем расстояние между последними составило $d_0=3{,}70~\text{а.е}$. Всего через полгода, 13 августа было зафиксировано прохождение кометой перигелия своей орбиты."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя график, найдите значение длины большой полуоси $a$ орбиты кометы."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,40"}, "text": "Когда комета пройдет перигелий в следующий раз?"}, {"text": "Часть C. Прошлое Гравитационное воздействие больших планет Солнечной системы может существенно изменять орбиты других тел. Компьютерное моделирование показало, что до 1959 года перигелий кометы 67P/Чурюмова-Герасименко находился на расстоянии $q_l=2{,}70~\text{а.е}$. от Солнца. В результате взаимодействия с Юпитером это расстояние сократилось, при этом эксцентриситет практически не изменился. С тех пор орбита более не возмущалась."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "2,50"}, "text": "Оцените, когда можно ожидать ближайшее тесное сближение кометы с Землей (расстояние при тесном сближении не превышает минимально возможное более, чем на $15\text{%}$). Плоскости орбит Земли и кометы совпадают, как и направления угловых скоростей. Орбиту Земли считать круговой."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,10"}, "text": "Запишите текущее перигелийное расстояние $q$ кометы."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите изменение $\Delta{(v^2)}$ квадрата модуля скорости кометы при взаимодействии с Юпитером. Ответ выразите через $q$, $q_l$, $v_{r_{max}}$, $e$. Получите также численное значение $\Delta{(v^2)}$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите угол $\Delta{ψ}$, на который повернулся вектор скорости кометы в результате описанного взаимодействия, если известно, что он не превышает $30^{\circ}$. Считайте, что Юпитер движется по круговой орбите радиуса $R=5{,}20~\text{а.е}$."}]}
answer: [{"condition": "Для эллипса можно определить параметр эксцентриситет $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$, где $a$ и $b$ – большая и малая полуоси эллипса соответственно. Найдите эксцентриситет $e$ орбиты кометы Чурюмова-Герасименко. ", "solution": {"text": "При прохождении перигелия и афелия орбиты лучевая скорость кометы $v_r=0$. Из графика: $q=1.24~\text{а.е.}$, $Q=5.68~\text{а.е.}$, откуда $\frac{1+e}{1-e}=\frac{Q}{q}=4.58$. Итого $e=\frac{Q-q}{Q+q}=0.64$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$e=\frac{Q-q}{Q+q}=0.64$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Полная энергия тела, которое движется по эллиптической орбите, не зависит от ее эксцентриситета, а зависит только от длины большой полуоси $a$. Найдите скорость $v$ кометы в зависимости от расстояния $r$. Ответ выразите через $a$, $r$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Удобно рассмотреть круговую орбиту радиусом $a$. Тело движется по ней с "первой космической" скоростью $v=\sqrt{\frac{GM}{a}}$, которую можно найти из II закона Ньютона $\frac{GM}{a^2} = \frac{v^2}{a}$. Тогда полная энергия \[E= \frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{a}=-\frac{GMm}{2a},\]откуда нетрудно выразить $v= \sqrt{GM \left( \frac{2}{r}-\frac{1}{a} \right) }$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\sqrt{G M\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите лучевую скорость $v_r$ в зависимости от расстояния $r$. Ответ выразите через $a$, $r$, $e$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "По теореме Пифагора $v_r^2=v^2-v_\tau^2$, где $v_\tau$ - тангенциальная скорость кометы. Bсходя из ЗСМИ $L=mv_\tau r$, поэтому $v_r^2=v^2 - \frac{L^2}{m^2r^2}$. Найдем $L$ с помощью равенства $v=v_\tau$ в перигелии и афелии:\[ v^2=GM \left( \frac{2}{a(1-e)} -\frac{1}{a}\right)=\frac{L^2}{m^2 a^2(1-e)^2}.\]В итоге получим $v_\tau^2 = \frac{L^2}{m^2 r^2} = GM \frac{a(1-e^2)}{r^2}$ и $v_{r}=\sqrt{G M\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r^{2}}\right)}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{r}=\sqrt{G M\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}-\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{r^{2}}\right)}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Используя график, найдите значение длины большой полуоси $a$ орбиты кометы. ", "solution": {"text": "В точке $r_0 = a(1-e^2)$ выполняется $\frac{dv_r}{dr}=0$. В тоже время касательная к графику горизонтальна при $r_0=2.04~\text{а.е.}$, откуда $a=3.46~\text{а.е.}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a=3.46~\text{а.е.}$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Когда комета пройдет перигелий в следующий раз? ", "solution": {"text": "По третьему закону Кеплера период обращения кометы вокруг Солнца составляет$T=\left( \frac{a}{\text{а.е.}} \right)^{3/2} ~\text{лет}=2350~\text{сут}$.\[\text{13 августа 2015 года} + T = \text{середина января 2022 года}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: середина января 2022 года"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Оцените, когда можно ожидать ближайшее тесное сближение кометы с Землей (расстояние при тесном сближении не превышает минимально возможное более, чем на $15\text{%}$). Плоскости орбит Земли и кометы совпадают, как и направления угловых скоростей. Орбиту Земли считать круговой. ", "solution": {"text": "Положение Земли относительно перицентра орбиты кометы однозначно определяется (см. рис.) полярным углом $\lambda (t)$. <img_1> Найдём величину $\lambda_c$ этого угла на 10 февраля 2015 года. В треугольнике C (комета) — S (Солнце) — F (второй фокус орбиты эллипса) известны все три стороны:\[\begin{split}|SC|&=d_0-1~\text{а.е.}=2.70~\text{а.е.},\\|SF|&=2ae=4.43~\text{а.е.}, \\|FC|&=2a-|SC|=4.22 ~\text{а.е.}\end{split}\]По теореме косинусов вычислим $\lambda_c=68^\circ$. Тогда на момент прохождения кометой перигелия в 2015 году:\[\lambda_{p,0} \simeq λ_0+\frac{\text{13 августа}-\text{10 февраля}}{365}\cdot 360^\circ = 68^\circ+180^\circ=-112^\circ.\]Поскольку период обращения кометы вокруг Солнца составляет $6.44$ земных лет, $λ_{p,i}$ отстоят друг от друга на угол $\Delta \lambda=0.44 \cdot 360^\circ=180^\circ-21.5^\circ$.Уже через три периода (см. таблицу) наступит момент, когда в момент прохождения перигелия Земля окажется между Солнцем и кометой, почти на одной прямой:\[\text{13 августа 2015 года} + 3T = \text{ноябрь – декабрь 2034 года}.\] $i$$\lambda_{p,i}$0$–112^\circ$1$46.5^\circ$2$–155^\circ$3$3.5^\circ$ | $i$ | $\\lambda\_{p,i}$ | | --- | --- | | 0 | $–112^\\circ$ | | 1 | $46\.5^\\circ$ | | 2 | $–155^\\circ$ | | 3 | **$3\.5^\\circ$** |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: ноябрь-декабрь 2034 года"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Запишите текущее перигелийное расстояние $q$ кометы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q=1.24~а.е.$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Найдите изменение $\Delta{(v^2)}$ квадрата модуля скорости кометы при взаимодействии с Юпитером. Ответ выразите через $q$, $q_l$, $v_{r_{max}}$, $e$. Получите также численное значение $\Delta{(v^2)}$. ", "solution": {"text": "Орбитальная скорость тела зависит только от его гелиоцентрического расстояния r и большой полуоси орбиты a (пункт A2). При тесном сближении с Юпитером $r=R$.Поскольку эксцентриситет орбиты остался прежним, старая и новая орбита подобны: $\frac{a_l}{a}=\frac{q_l}{q}$, откуда $a_l=7.53~\text{а.е.}$.Выражение для искомой величины записать нетрудно:\[ \Delta v^2=GM \left( \frac{2}{R}-\frac{1}{a}-\frac{2}{R}+\frac{1}{a_l} \right)=GM \frac{a-a_l}{a \cdot a_l}.\]Осталось найти значение постоянной Кеплера $GM$. Вновь обратимся к данным графика: $v_{r,\text{max}} =13.4~\text{км}/\text{с}$ достигается (пункт A4) при $r=a(1-e^2 )$. При этом выражение для $v_r^2$ принимает вид\[v_{r,\text{max}}^2=GM \left(\frac{2}{a(1-e^2)}-\frac{1}{a}-\frac{a(1-e^2)}{(a^2 (1-e^2 )^2} \right)=GM \frac{e^2}{a(1-e^2)}\]В итоге имеем\[\Delta v^2=\frac{1-e^2}{e^2} \cdot \frac{a-a_l}{a_l} \cdot v_{r,\text{max}}^2=-140 \left( \text{км}/\text{с}\right)^2.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta v^{2}=\frac{1-e^{2}}{e^{2}} \cdot \frac{a-a_{l}}{a_{l}} \cdot v_{r, \max }^{2}=-140~(км/с)^2$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите угол $\Delta{ψ}$, на который повернулся вектор скорости кометы в результате описанного взаимодействия, если известно, что он не превышает $30^{\circ}$. Считайте, что Юпитер движется по круговой орбите радиуса $R=5{,}20~\text{а.е}$. ", "solution": {"text": "Рассчитаем (с точностью до знака) скорости $v_r (R)$ и $v_\tau (R)$ при движении по старой и новой орбитам (пункт A3); для упрощения вычислений положим $GM = 1~\text{а.е.}$.По этим данным рассчитаем угол, который скорость кометы образовывала с лучом зрения:\[ |\psi|=\arctan \frac{v_\tau}{v_r}\] $r=R=5.20~\text{а.е}$$a,~\text{а.е.}$$e$$v_r,~\text{у.е.}$$v_\tau,~\text{у.е.}$|\psi|$7.53$$0.64$$0.296$$0.405$$54^\circ$$3.46$$0.142$$0.275$$63^\circ$ | $r\=R\=5\.20\~\\text{а.е}$ | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | $a,\~\\text{а.е.}$ | $e$ | $v\_r,\~\\text{у.е.}$ | $v\_\\tau,\~\\text{у.е.}$ | \|\\psi\| | | $7\.53$ | $0\.64$ | $0\.296$ | $0\.405$ | $54^\\circ$ | | $3\.46$ | $0\.142$ | $0\.275$ | $63^\\circ$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta \psi = 9^{\circ}$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,00"}]