text: {"text": [{"text": "Из ферромагнитного материала с магнитной проницаемостью $\mu\gg 1$ изготовлен брусок размером $2a\times 2a\times a$. В бруске сделана узкая щель толщиной $d$ и глубиной $a$ ($\mu d\gg a\gg d)$. Сверхпроводящее кольцо диаметром $a$ и индуктивностью (вдали от бруска) $L$ внесли в щель. В этом положении по кольцу течет ток $I$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какую работу нужно совершить, чтобы вытащить кольцо из щели и перенести его на большое расстояние от бруска? Гистерезисом материала пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Какую работу нужно совершить, чтобы вытащить кольцо из щели и перенести его на большое расстояние от бруска? Гистерезисом материала пренебречь. ", "solution": {"text": "Пусть $\Phi$ - полный поток магнитного поля (как самого витка, так и бруска), пронизывающего виток. Покажем, что поскольку гистерезисом в бруске можно пренебречь, магнитная энергия системы $W$ при силе тока $I_\text{в}$ в витке равна: $$W=\cfrac{\Phi I_\text{в}}{2}{.} $$ Рассмотрим виток с нулевой силой тока в нём. Тогда, работа источника, медленно увеличившего силу тока в витке до $I_\text{в}$ будет равна магнитной энергии системы. При увеличении силы тока, в витке возникает ЭДС индукции, компенсируемая источником. Отсюда: $$\mathcal{E}_\text{ист}=\cfrac{d\Phi}{dt}{.} $$ Тогда для мощности и работы источника соответственно получим: $$P_\text{ист}=I_\text{в}\cfrac{d\Phi}{dt}\Rightarrow{A_\text{ист}=\int\limits_0^{\Phi}I_\text{в}d\Phi}{.} $$ Поскольку брусок является однородным и линейным ферромагнетиком, во всех точках создаваемое им магнитное поле прямо пропорционально силе тока тока $I_\text{в}$. Значит, магнитный поток $\Phi$ также прямо пропорционален $I_\text{в}$. Отсюда имеем: $$A_\text{ист}=\cfrac{\Phi I_\text{в}}{2}=W{.} $$ Магнитные энергии системы $W_1$ и $W_2$ внутри и вдали от бруска равны соответственно: $$W_1=\cfrac{\Phi I}{2}\qquad W_2=\cfrac{\Phi^2}{2L}{,} $$ откуда работа по перемещению витка равняется: $$A=W_2-W_1=\cfrac{\Phi^2}{2L}-\cfrac{\Phi I}{2}{.} $$ Задача свелась к нахождению магнитного потока $\Phi$. <img_1> <img_2> <img_3> <img_4> Поскольку $\alpha_1\to{0}$ - тангенциальная компонента $H_\tau\to{0}$, откуда следует, что внутри бруска величина $\overline{H}$ имеет следующий порядок:$$\overline{H}\cong{\cfrac{H_0}{\mu}}{.}$$Поскольку по условию $\mu d\gg{a}$, соотношение между слагаемыми, входящими в циркуляцию вектора $\vec{H}$ по контуру $1231$ следующее:$$\overline{H}a\cong{\cfrac{H_0a}{\mu}}\ll{H_0d}{.}$$Отсюда находим:$$H_0\approx{\cfrac{I}{d}}{.}$$Тогда, поскольку магнитное поле в области зазора можно считать однородным, имеем:$$\Phi=\cfrac{\pi{a}^2B_0}{4}=\cfrac{\mu_0\pi{a}^2I}{4d}{,}$$откуда окончательно имеем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $A=\cfrac{\mu_0\pi I^2a^2}{8d}\left(\cfrac{\mu_0\pi a^2}{4dL}-1\right)$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]