text: {"text": [{"text": "В космосе находится аппарат, который удерживается над земным экватором на высоте $L = \alpha R_e$ и остаётся неподвижным относительно наземной станции. Здесь $R_e$ — радиус Земли, $\alpha$ — постоянная, причём $\alpha > \alpha_m$, где$$\alpha_m = \left( \frac{GM_e}{\omega_e^2 R_e^3} \right)^{1/3} - 1,$$$M_e$ и $\omega_e$ — масса Земли и угловая скорость её вращения, $G$ — гравитационная постоянная. Предположим, что между аппаратом и станцией существует жёсткая однородная труба массы $m_p$, служащая для транспортировки материалов. Нижний конец трубы закреплён и перпендикулярен поверхности земли. При транспортировке материал движется по трубе вверх с относительно небольшой скоростью. При решении задачи учитывайте только вращение Земли вокруг своей оси. Общая масса транспортируемого материала равна $m$ и мала по сравнению с массой трубы."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "6,00"}, "text": "Какую работу $W_L$ совершают сила притяжения и центробежная сила в процессе транспортировки материала?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "6,00"}, "text": "Какую минимальную работу $W_{min}$ совершает внешняя сила тяги в процессе транспортировки материала?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "4,00"}, "text": "При какой высоте $L_0$ аппарата над Землёй работа $W_L$ окажется равной нулю?"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": "9,00"}, "text": "Сила тяги, удерживающая аппарат на орбите, подбирается так, чтобы сила реакции, с которой он действует на пустую трубу, равнялась нулю. Если аппарат находится на высоте $L$, найдите величину и направление силы $F_{base}$, с которой на трубу необходимо действовать со стороны наземной станции, в трёх случаях: $L>L_0$, $L=L_0$ и $\alpha_m R_e < L < L_0$."}]}
answer: [{"condition": "Какую работу $W_L$ совершают сила притяжения и центробежная сила в процессе транспортировки материала? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$W_L = \frac{1}{2}\alpha(\alpha + 2)m\omega_e^2R_e^2.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "6,00"}, {"condition": "Какую минимальную работу $W_{min}$ совершает внешняя сила тяги в процессе транспортировки материала? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$W_{min} = \frac{GM_em}{R_e} + \frac{1}{2}m\omega_e^2R_e^2 - \frac{3}{2}m\left( GM_e\omega_e \right)^{2/3}.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "6,00"}, {"condition": "При какой высоте $L_0$ аппарата над Землёй работа $W_L$ окажется равной нулю? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha_0 = \frac{R_e}{2} \left[ -3+ \left( 1 + \frac{8GM_e}{\omega_e^2 R_e^3} \right)^{1/2} \right].$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "4,00"}, {"condition": "Сила тяги, удерживающая аппарат на орбите, подбирается так, чтобы сила реакции, с которой он действует на пустую трубу, равнялась нулю. Если аппарат находится на высоте $L$, найдите величину и направление силы $F_{base}$, с которой на трубу необходимо действовать со стороны наземной станции, в трёх случаях: $L>L_0$, $L=L_0$ и $\alpha_m R_e < L < L_0$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Если $L>L_0$, то сила направлена вниз и равна $$F_{base} = -\frac{GM_em_p}{(\alpha + 1)R_e^2} + \frac{1}{2} (\alpha + 2) m_p \omega_e^2 R_e^2;$$ если $L = L_0$, то $F_{base} = 0$; если $\alpha_mR_e < L < L_0$, то сила направлена вверх и равна $$F_{base} = \frac{GM_em_p}{(\alpha + 1)R_e^2} - \frac{1}{2} (\alpha + 2) m_p \omega_e^2 R_e^2.$$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "9,00"}]