text: {"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите все собственные частоты колебательного контура, приведенного на рисунке. Считайте все элементы идеальными. Также считайте справедливыми соотношения: $C_1\ll C_2$ и $L_1\ll L_2$. Ваш ответ должен быть упрощен в соответствии с этими неравенствами. <img_0>"}]}
answer: [{"condition": "Найдите все собственные частоты колебательного контура, приведенного на рисунке. Считайте все элементы идеальными. Также считайте справедливыми соотношения: $C_1\ll C_2$ и $L_1\ll L_2$. Ваш ответ должен быть упрощен в соответствии с этими неравенствами. ", "solution": {"text": "Данная колебательная система обладает четырьмя степенями свободы. Значит, количество различных типов собственных колебаний не более четырёх. Сразу заметим, что при нулевых напряжениях на каждом элементе цепи, возможно возникновение одинаковой и постоянной во времени силы тока в катушках индуктивности. Таким образом, один из cобственных частот колебаний равна: $$\omega_1=0 $$ Импедансы катушки с индуктивностью $L$ и конденсатора с ёмкостью $C$ при частоте колебаний системы $\omega$ равны соответственно: $$Z_L=i\omega L\qquad Z_C=-\cfrac{i}{\omega C} $$ В соответствии с неравенствами, описанным в условии задачи, имеет смысл рассматривать систему при высоких и низких частотах. Проанализируем систему при низких частотах порядка $1/\sqrt{L_2C_2}$.Поскольку $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$, импеданс катушек $L_1$ мал, а импеданс конденсаторов $C_1$ стремится к бесконечности. С учётом этого, сила тока в конденсаторах $C_1$ и напряжение на катушках $L_1$ стремятся к нулю. Используем это, разорвав соединения между узлами, соединёнными с конденсаторами $C_1$, и объединим узлы, соединённые с катушками $L_1$. <img_1> Проанализируем схему при высоких частотах порядка $1/\sqrt{L_1C_1}$.Поскольку $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$, импеданс конденсаторов $C_2$ мал, а импеданс катушек $L_2$ стремится к бесконечности. С учётом этого, сила тока в катушках $L_2$ и напряжение на конденсаторах $C_2$ стремятся к нулю. Используем это, разорвав соединения между узлами, соединёнными с катушками $L_2$, и объединим узлы, соединённые с конденсаторами $C_2$. <img_2> <img_3> Будем искать решение в виде $\ddot{q}=-\omega^2q$.Введём обозначения:$$a=\cfrac{1}{L_1C_1}\quad b=\cfrac{1}{L_1C_2}\quad c=\cfrac{1}{L_2C_1}\quad d=\cfrac{1}{L_2C_2}$$Тогда систему уравнений можно переписать в матричной форме$$\begin{pmatrix}-\omega^2&0&0&0\\0&-\omega^2&0&0\\0&0&-\omega^2&0\\0&0&0&-\omega^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\\q_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2a&a&0&a\\a&-(a+b)&b&0\\0&d&-2d&d\\c&0&d&-(c+d)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\\q_4\end{pmatrix}$$Для нахождения уравнений приравняем у нулю определитель матрицы $A+\omega^2E$:$$\begin{pmatrix}(\omega^2-2a)&a&0&a\\a&(\omega^2-(a+b))&b&0\\0&d&(\omega^2-2d)&d\\c&0&d&(\omega^2-(c+d))\end{pmatrix}$$ Найдём определитель матрицы:$$\det\left[A+\omega^2E\right]=(\omega^2-2a)(\omega^2-(a+b))((\omega^2-2d)(\omega^2-(c+d))-d^2)-$$$$-(\omega^2-2a)bd(\omega^2-(c+d))-a^2((\omega^2-2d)(\omega^2-(c+d))-d^2)-abcd-$$$$-a^2d^2-a(\omega^2-(a+b))c(\omega^2-2d)+abcd=0$$Выделяя множители, приходим к уравнению:$$\omega^8-\omega^6(3a+b+c+3d)+\omega^4(a^2+2ab+2ac+9ad+bc+2bd+2cd+d^2)-$$$$-\omega^2(abc+4abd+4acd+bcd+3ad^2+3a^2d)=0$$Подставим $a$, $b$, $c$ и $d$:$$\omega^8-\omega^6\left(\cfrac{3}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L_1C_2}+\cfrac{1}{L_2C_1}+\cfrac{3}{L_2C_2}\right)+\omega^4\left(\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}+\cfrac{1}{L^2_2C^2_2}+\cfrac{2}{L^2_1C_1C_2}+\cfrac{2}{L_1L_2C^2_1}\\+\cfrac{2}{L_1L_1C^2_2}+\cfrac{2}{L^2_2C_1C_2}+\cfrac{10}{L_1L_2C_1C_2}\right)-4\omega^2\left(\cfrac{1}{L^2_1L_2C^2_1C_2}+\cfrac{1}{L_1L^2_2C_1C^2_2}+\cfrac{1}{L^2_1L_2C_1C^2_2}+\cfrac{1}{L_1L^2_2C^2_1C_2}\right)=0$$ Сразу видно, что $\omega_1=0$ является одним из корней уравнения. Оставим только ведущее слагаемое в каждой скобке с учётом $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$: $$\omega^6-\cfrac{3}{L_1C_1}\omega^4+\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}\omega^2-\cfrac{4}{L^2_1C^2_1L_2C_2}=0 $$ При частотах, много меньших $\cfrac{1}{\sqrt{L_1C_1}}$ можно отбросить слагаемые, содержащие $\omega^6$ и $\omega^4$: $$\cfrac{\omega^2}{L^2_1C^2_1}-\cfrac{4}{L^2_1C^2_1L_2C_2}=0\Rightarrow{\omega_2=\cfrac{2}{\sqrt{L_2C_2}}} $$ При частотах порядка $\cfrac{1}{\sqrt{L_1C_1}}$ можно отбросить свободный член. Тогда: $$\omega^4-\cfrac{3\omega^2}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}=0\Rightarrow{\omega_{3{,}4}=\sqrt{\cfrac{3\pm{\sqrt{5}}}{L_1C_1}}} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\omega_1=0$ $\omega_2 = \sqrt{\cfrac{4}{L_2C_2}}$ $\omega_{3,4} = \sqrt{\left(\cfrac{3\pm\sqrt 5}{2}\right) \cfrac{1}{L_1C_1}}$  Задача может быть решена "в лоб", однако это потребует больших усилий.Введём четыре контурных тока так, как показано на рисунке. Будем считать все обкладки конденсаторов, соединённые с узлом $O$, заряженными положительно.Тогда система из четырёх вторых законов Кирхгофа получится следующей:$$\begin{cases}\ddot{q}_1=-\cfrac{2}{L_1C_1}q_1+\cfrac{1}{L_1C_1}q_2+\cfrac{1}{L_1C_1}q_4\\\ddot{q}_2=\cfrac{1}{L_1C_1}q_1-\left(\cfrac{1}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L_1C_2}\right)q_2+\cfrac{1}{L_1C_2}q_3\\\ddot{q}_3=\cfrac{1}{L_2C_2}q_2-\cfrac{2}{L_2C_2}q_3+\cfrac{1}{L_2C_2}q_4\\\ddot{q}_4=\cfrac{1}{L_2C_1}q_1+\cfrac{1}{L_2C_2}q_3-\left(\cfrac{1}{L_2C_1}+\cfrac{1}{L_2C_2}\right)q_4\end{cases}$$ Будем искать решение в виде $\ddot{q}=-\omega^2q$.Введём обозначения:$$a=\cfrac{1}{L_1C_1}\quad b=\cfrac{1}{L_1C_2}\quad c=\cfrac{1}{L_2C_1}\quad d=\cfrac{1}{L_2C_2}$$Тогда систему уравнений можно переписать в матричной форме$$\begin{pmatrix}-\omega^2&0&0&0\\0&-\omega^2&0&0\\0&0&-\omega^2&0\\0&0&0&-\omega^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\\q_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2a&a&0&a\\a&-(a+b)&b&0\\0&d&-2d&d\\c&0&d&-(c+d)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\\q_4\end{pmatrix}$$Для нахождения уравнений приравняем у нулю определитель матрицы $A+\omega^2E$:$$\begin{pmatrix}(\omega^2-2a)&a&0&a\\a&(\omega^2-(a+b))&b&0\\0&d&(\omega^2-2d)&d\\c&0&d&(\omega^2-(c+d))\end{pmatrix}$$ Найдём определитель матрицы:$$\det\left[A+\omega^2E\right]=(\omega^2-2a)(\omega^2-(a+b))((\omega^2-2d)(\omega^2-(c+d))-d^2)-$$$$-(\omega^2-2a)bd(\omega^2-(c+d))-a^2((\omega^2-2d)(\omega^2-(c+d))-d^2)-abcd-$$$$-a^2d^2-a(\omega^2-(a+b))c(\omega^2-2d)+abcd=0$$Выделяя множители, приходим к уравнению:$$\omega^8-\omega^6(3a+b+c+3d)+\omega^4(a^2+2ab+2ac+9ad+bc+2bd+2cd+d^2)-$$$$-\omega^2(abc+4abd+4acd+bcd+3ad^2+3a^2d)=0$$Подставим $a$, $b$, $c$ и $d$:$$\omega^8-\omega^6\left(\cfrac{3}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L_1C_2}+\cfrac{1}{L_2C_1}+\cfrac{3}{L_2C_2}\right)+\omega^4\left(\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}+\cfrac{1}{L^2_2C^2_2}+\cfrac{2}{L^2_1C_1C_2}+\cfrac{2}{L_1L_2C^2_1}\\+\cfrac{2}{L_1L_1C^2_2}+\cfrac{2}{L^2_2C_1C_2}+\cfrac{10}{L_1L_2C_1C_2}\right)-4\omega^2\left(\cfrac{1}{L^2_1L_2C^2_1C_2}+\cfrac{1}{L_1L^2_2C_1C^2_2}+\cfrac{1}{L^2_1L_2C_1C^2_2}+\cfrac{1}{L_1L^2_2C^2_1C_2}\right)=0$$ Сразу видно, что $\omega_1=0$ является одним из корней уравнения. Оставим только ведущее слагаемое в каждой скобке с учётом $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$: $$\omega^6-\cfrac{3}{L_1C_1}\omega^4+\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}\omega^2-\cfrac{4}{L^2_1C^2_1L_2C_2}=0 $$ При частотах, много меньших $\cfrac{1}{\sqrt{L_1C_1}}$ можно отбросить слагаемые, содержащие $\omega^6$ и $\omega^4$: $$\cfrac{\omega^2}{L^2_1C^2_1}-\cfrac{4}{L^2_1C^2_1L_2C_2}=0\Rightarrow{\omega_2=\cfrac{2}{\sqrt{L_2C_2}}} $$ При частотах порядка $\cfrac{1}{\sqrt{L_1C_1}}$ можно отбросить свободный член. Тогда: $$\omega^4-\cfrac{3\omega^2}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}=0\Rightarrow{\omega_{3{,}4}=\sqrt{\cfrac{3\pm{\sqrt{5}}}{L_1C_1}}} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]