text: {"text": [{"text": "По поверхности закреплённой диэлектрической полусферы равномерно распределён положительный электрический заряд. Ось симметрии полусферы вертикальна. В точке $О$, совпадающей с центром кривизны полусферы, закреплён математический маятник в виде небольшого шарика с зарядом $q_{1}$, висящего на нити, длина которой меньше радиуса полусферы (см. рисунок). <img_0> Период гармонических колебаний шарика вблизи положения равновесия, в котором нить вертикальна, равен $T$. После того, как заряд шарика изменили так, что он стал равен $q_{2}$, причем $\left|q_{2} / q_{1}\right|=2$, период гармонических колебаний шарика вблизи нового положения равновесия, в котором нить тоже вертикальна, снова оказался равным $T$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Вычислите $T$, если известно, что период гармонических колебаний маятника в незаряженной чаше $T_{0}=1.0~с$. Поле поляризационных зарядов не учитывайте."}]}
answer: [{"condition": "Вычислите $T$, если известно, что период гармонических колебаний маятника в незаряженной чаше $T_{0}=1.0~с$. Поле поляризационных зарядов не учитывайте. ", "solution": {"text": "Рассмотрим равномерно заряженную сферу. Известно, что напряженность электростатического поля внутри нее равна нулю. Рассмотрим точки $A$ и $B$, симметричные относительно центра сферы (см. рисунок). <img_1> Поле в точке $B$ складывается из полей, создаваемых нижней $\left(\vec{E}_{1}^{B}\right)$ и верхней $\left(\vec{E}_{2}^{B}\right)$ полусферами: $$ \vec{E}=\vec{E}_{1}^{B}+\vec{E}_{2}^{B}=0. $$ Из соображения симметрии напряженность поля $\vec{E}_{1}^{A}$, создаваемого в точке $A$ нижней половиной сферы, равна по модулю и противоположна по направлению напряженности поля $\vec{E}_{2}^{B}$, создаваемого в точке $B$ верхней половиной сферы: $\vec{E}_{1}^{A}=-\vec{E}_{2}^{B}$. Тогда из уравнения выше получим $\vec{E}_{1}^{A}=\vec{E}_{1}^{B}$, то есть поля, создаваемые нижней полусферой в симметричных относительно ее центра точках, равны. Определим направление составляющей поля, перпендикулярной нити маятника, в точке $A$ (см. рисунок ниже). <img_2> Проведем через центр сферы плоскость $M N$, перпендикулярную нити. Если весь заряд из области $N P$ перенести в область $M K$, поле в точке $А$ будет параллельно нити. Значит, напряженность поля, создаваемого в точке $A$ исходной полусферой $K D P O$, можно представить как сумму напряженностей трех полей: полусферы $M D N O$, участка $P O N$ с положительным зарядом и участка $M O K$ с отрицательным зарядом. Сумма напряженностей полей участков $P O N$ и $M O K$ практически перпендикулярна нити и направлена в сторону смещения маятника. В первом приближении она пропорциональна заряду этих участков, которые пропорциональны углу $\varphi$ отклонения маятника. Тем самым мы показали, что при малых отклонениях маятника от вертикали возвращающая сила пропорциональна углу отклонения. После изменения заряда шарика его положение равновесия должно располагаться выше точки подвеса, так как иначе невозможно равенство старого и нового периодов. Когда шарик расположен выше точки подвеса, при его смещении из положения равновесия возвращающая сила может возникнуть только за счет электростатического взаимодействия, следовательно, заряд шарика должен быть положительным, $q_{2}>0$ (см. рисунок ниже). <img_3> В нижней точке при отклонении маятника на небольшой угол $\varphi$ от положения равновесия возникает возвращающая сила $f_{1}$. Вклад в эту силу за счет электрического взаимодействия заряда с чашей пропорционален величине заряда и углу отклонения, поэтому $$ f_{1}=\left(\alpha q_{1}-m g\right) \varphi . $$ В верхней точке (заряд шарика $q_{2}$) возвращающая сила равна $$ f_{2}=\left(-\alpha q_{2}+m g\right) \varphi . $$ Соответствующие уравнения колебаний имеют вид (здесь $l$ - длина нити маятника) $$ \begin{array}{ll} m l \ddot{\varphi}+\left(m g-\alpha q_{1}\right) \varphi=0 & \text { для нижней точки, } \\ m l \ddot{\varphi}+\left(\alpha q_{2}-m g\right) \varphi=0 & \text { для верхней точки. } \end{array} $$ Тогда частоты колебаний вблизи нижнего и верхнего положений равновесия будут равны соответственно $$ \begin{aligned} &\omega_{1}^{2}=\omega_{0}^{2}-\beta q_{1} \\ &\omega_{2}^{2}=-\omega_{0}^{2}+\beta q_{2} \end{aligned} $$ где $\omega_{0}^{2}=g / l$ - частота колебаний в незаряженной полусфере, $\beta=\alpha /(m l)$ - константа. Условие задачи может реализовываться в двух случаях: $q_{1}>0$ и $q_{1}<0$. В обоих случаях шарик вначале колеблется вблизи нижнего, а затем вблизи верхнего положения равновесия. Случай 1 Рассмотрим случай $q_{1}>0$. Тогда $q_{2}=2 q_{1}$. По условию $\omega_{1}=\omega_{2}=\omega$, следовательно, получаем $$ \omega_{0}^{2}-\beta q_{1}=-\omega_{0}^{2}+2 \beta q_{1}, \quad \text { отсюда } \quad \beta q_{1}=\frac{2}{3} \omega_{0}^{2}. $$ Следовательно, $\omega^{2}=\frac{1}{3} \omega_{0}^{2}$ и период колебаний $$ T=\frac{2 \pi}{\omega}=T_{0} \sqrt{3}=1.73~с. $$ Здесь $T_{0}=2 \pi / \omega_{0}$ - период колебаний маятника в незаряженной полусфере. Случай 2 Рассмотрим случай $q_{1}<0$. Тогда $q_{2}=-2 q_{1}$. Аналогично случаю $1$ приравниваем значения частот $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, находим $\beta q_{1}=-2 \omega_{0}^{2}$. Отсюда $\omega^{2}=3 \omega_{0}^{2}$ и период колебаний $$ T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{T_{0}}{\sqrt{3}}=0.58~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Случай 1 $$ T=\frac{2 \pi}{\omega}=T_{0} \sqrt{3}=1.73~с. $$ Случай 2 $$ T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{T_{0}}{\sqrt{3}}=0.58~с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]