text: {"text": [{"text": "В дне сосуда имеется сужающееся отверстие, плотно закрытое конической пробкой (см. рисунок). <img_0> Площадь основания пробки $S$, высота $L$. Уровень дна сосуда пересекает конус на половине его высоты. Плотности пробки и жидкости составляют $\rho_{0}$ и $\rho$ соответственно."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой должна быть высота уровня жидкости $H>0$ над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какую минимальную внешнюю силу $F$, направленную вверх, нужно в этом случае приложить к пробке, чтобы ее вытащить? $\textit{Пpuмечание}$. Объем конуса $V=\frac{L S}{3}$."}]}
answer: [{"condition": "Какой должна быть высота уровня жидкости $H>0$ над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала? ", "solution": {"text": "Представим себе, что верхняя часть пробки полностью погружена в жидкость, которая может подтекать и под эту половину. Тогда на эту воображаемую половину пробки со стороны жидкости действовали бы: По закону Архимеда, суммарная сила, действующая на воображаемую половину пробки, была бы равна $$ F_{A}^{\prime}=\rho g V^{\prime}=\rho g \frac{7}{8} \frac{L S}{3}=F_{2}+F_{3}-F_{1}, $$ где $V$ — объем верхней части пробки. Однако в реальности на пробку со стороны жидкости действуют только силы $F_{1}$ и $F_{3}$. Их равнодействующая $$ R=F_{3}-F_{1}=F_{2}-\rho g \frac{7}{8} \frac{L S}{3}=\rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right). $$ Пробка не будет всплывать, если сумма силы тяжести и равнодействующей $R$ направлена вниз, т. е. $$ \rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right)+\rho_{0} g \frac{L S}{3} \geqslant 0. $$ Это условие можно записать как $$ H \geqslant \frac{2}{3} L\left(1-\frac{2 \rho_{0}}{\rho}\right). $$ Если $2 \rho_{0}>\rho$, пробка не всплывет при любом неотрицательном значении $H$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$H \geqslant \frac{2}{3} L\left(1-\frac{2 \rho_{0}}{\rho}\right).$$Если $2 \rho_{0}>\rho$, пробка не всплывет при любом неотрицательном значении $H$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Какую минимальную внешнюю силу $F$, направленную вверх, нужно в этом случае приложить к пробке, чтобы ее вытащить? ", "solution": {"text": "Чтобы вытащить пробку, нужно приложить минимальную силу $$ F=\rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right)+\rho_{0} g \frac{L S}{3}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ F=\rho g S\left(\frac{H}{4}-\frac{L}{6}\right)+\rho_{0} g \frac{L S}{3}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]