text: {"text": [{"text": "<img_0> Маленькие шарики $a$ и $b$ массами $m_a$ и $m_b$ соответственно помещены на гладкую горизонтальную поверхность и соединены лёгкой пружиной с коэффициентом жёсткости $k_0$ и начальной длиной $l_0$, как показано на рисунке. Поверхность и пружина являются изоляторами. В момент времени $t=0$ пружина нерастянута, шарик $b$ находится в состоянии покоя, а шарик $a$ движется со скоростью $v_0$ по направлению к шарику~$b$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "24,00"}, "text": "Считая деформацию пружины упругой, найдите скорость каждого из шариков произвольный момент времени $t$ $(t>0)$. Предположим, что оба шарика имеют одинаковый по величине и знаку заряд, и пружина имеет длину $L_0$, когда система находится в равновесии. Поляризацией шариков пренебречь электрическая постоянная равна $k$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "11,00"}, "text": "Найдите величину заряда $q$ шариков и частоту $f$ малых колебаний системы."}]}
answer: [{"condition": "Считая деформацию пружины упругой, найдите скорость каждого из шариков произвольный момент времени $t$ $(t>0)$. ", "solution": {"text": "<img_1> Пусть удлинение пружины в момент $t$ составляет$$u=l-l_{0}.$$Тогда уравнение движения:\begin{equation*}\mu \frac{d^{2} u}{d t^{2}}=-k_{0} u ,\tag{1}\end{equation*}где $\mu$ — приведённая масса двух шариков:\begin{equation*}\mu=\frac{m_am_b}{m_a+ m_b}.\tag{2}\end{equation*}Отсюда следуем, что удлинение пружины $u$ подчиняется уравнению гармонических колебаний с частотой\begin{equation*}f=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{0}}{\mu}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{m_a+m_b}{m_am_b} k_{0}}. \tag{3}\end{equation*}Зависимость удлинения пружины от времени может быть представлена в виде:\begin{equation*}u(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t, \tag{4}\end{equation*}где $A$ и $B$ — константы, определяемые из начальных условий. При $t=0$ пружина не деформирована, поэтому$$u(0)=B=0,$$поэтому:\[u=A \sin \omega t \tag{5}\]Скорость шарика $a$ относительно шарика $b$ равна\begin{equation*}v'_a=\frac{\mathrm d r_a}{\mathrm d t}-\frac{\mathrm d r_b}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d u}{\mathrm d t}=A \omega \cos \omega t .\tag{6}\end{equation*}В начальный момент времени:\begin{equation*}v_{\mathrm{a}}^{\prime}(0)=v_{0}-0=A \omega. \tag{7}\end{equation*}Из уравнений $(6)$ и $(7)$ имеем\begin{equation*}v_{\mathrm{a}}^{\prime}=v_{0} \cos \omega t .\tag{8}\end{equation*}Поскольку при движении системы имеет место закон сохранения импульса, то:\begin{equation*}m_av_{0}=m_av_a+m_bv_b. \tag{9}\end{equation*}Скорость шарика $a$ относительно земли равна\begin{equation*}v_a=v'_a+v_b. \tag{10}\end{equation*}Из уравнений $(3)$, $(8)$, $(9)$ и $(10)$ скорости шариков в момент времени $t$ равны:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[v_a = \left[ 1 + \frac{m_b}{m_a} \cos \left( \sqrt{\frac{(m_a+m_b)k_0}{m_am_b}}t \right) \right]\frac{m_a}{m_a+m_b}v_0,\tag{11}\]\[v_b = \left[ 1 - \cos \left( \sqrt{\frac{(m_a+m_b)k_0}{m_am_b}}t \right) \right]\frac{m_a}{m_a+m_b}v_0\tag{12}\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "24,00"}, {"condition": "Найдите величину заряда $q$ шариков и частоту $f$ малых колебаний системы. ", "solution": {"text": "<img_2> Условие равновесия системы:\begin{equation*}K \frac{q^{2}}{L_{0}^{2}}=k_{0}\left(L_{0}-l_{0}\right), \tag{13}\end{equation*}откуда: Пусть длина пружины в момент времени $t$ равна $L$ (см. рис. 2), тогда:\begin{equation*}\mu \frac{\mathrm d^{2} L}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0}\left(L-l_{0}\right)+K \frac{q^{2}}{L^{2}}. \tag{15}\end{equation*}Обозначим $x$ удлинение пружины $L-L_{0}$ в момент времени $t$. Уравнение $(15)$ может быть переписано как:\begin{equation*}\mu \frac{\mathrm d^{2} x}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0} x-k_{0}\left(L_{0}-l_{0}\right)+K \frac{q^{2}}{L_{0}^{2}}\left(1+\frac{x}{L_{0}}\right)^{-2} .\tag{16}\end{equation*}Так как при малых колебаниях $x\ll L_{0}$, то\begin{equation*}\left(1+\frac{x}{L_{0}}\right)^{-2}\approx 1-2 \frac{x}{L_{0}},\tag{17}\end{equation*}и уравнение $(16)$ упрощается до:\begin{equation*}\mu \frac{\mathrm d^{2} x}{\mathrm d t^{2}}=\left[-k_{0}\left(L_{0}-l_{0}\right)+K \frac{q^{2}}{L_{0}^{2}}\right]-\left(k_{0}+2 K \frac{q^{2}}{L_{0}^{3} }\right) x. \tag{18}\end{equation*}Используя уравнение $(13)$ или $(14)$, уравнение $(18)$ можно переписать как:\begin{equation*}\mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\left(k_{0}+2 K \frac{q^{2}}{L_{0}^{3}}\right) x=-\frac{3 L_{0}-2 l_{0}}{L_{0}}{L_{0}} k_{0} x \tag{19}\end{equation*}Из уравнения $(13)$ следует, что $L_{0}>l_{0}$, поэтому $3 L_{0}-2 l_{0}>0$. Значит, движение системы действительно представляет собой гармонические колебания, частота которых составляет:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[q = L_0\sqrt{\frac{k_0}{k}(L_0-l_0)}\]  Пусть длина пружины в момент времени $t$ равна $L$ (см. рис. 2), тогда:\begin{equation*}\mu \frac{\mathrm d^{2} L}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0}\left(L-l_{0}\right)+K \frac{q^{2}}{L^{2}}. \tag{15}\end{equation*}Обозначим $x$ удлинение пружины $L-L_{0}$ в момент времени $t$. Уравнение $(15)$ может быть переписано как:\begin{equation*}\mu \frac{\mathrm d^{2} x}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0} x-k_{0}\left(L_{0}-l_{0}\right)+K \frac{q^{2}}{L_{0}^{2}}\left(1+\frac{x}{L_{0}}\right)^{-2} .\tag{16}\end{equation*}Так как при малых колебаниях $x\ll L_{0}$, то\begin{equation*}\left(1+\frac{x}{L_{0}}\right)^{-2}\approx 1-2 \frac{x}{L_{0}},\tag{17}\end{equation*}и уравнение $(16)$ упрощается до:\begin{equation*}\mu \frac{\mathrm d^{2} x}{\mathrm d t^{2}}=\left[-k_{0}\left(L_{0}-l_{0}\right)+K \frac{q^{2}}{L_{0}^{2}}\right]-\left(k_{0}+2 K \frac{q^{2}}{L_{0}^{3} }\right) x. \tag{18}\end{equation*}Используя уравнение $(13)$ или $(14)$, уравнение $(18)$ можно переписать как:\begin{equation*}\mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\left(k_{0}+2 K \frac{q^{2}}{L_{0}^{3}}\right) x=-\frac{3 L_{0}-2 l_{0}}{L_{0}}{L_{0}} k_{0} x \tag{19}\end{equation*}Из уравнения $(13)$ следует, что $L_{0}>l_{0}$, поэтому $3 L_{0}-2 l_{0}>0$. Значит, движение системы действительно представляет собой гармонические колебания, частота которых составляет:", "Ответ: \[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\left( \frac{3L_0 - 2l_0}{L_0} \right) \left( \frac{m_a+m_b}{m_am_b} \right) k_0}\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "11,00"}]