text: {"text": [{"text": "Незаряженный цилиндрический конденсатор высоты $L$, радиусы цилиндрических обкладок которого $R$ и $R-d$ (причем $d \ll R, L$), касается поверхности конденсаторного масла плотности $\rho$ и диэлектрической проницаемости $\varepsilon$ так, как показано на рисунке. За счет сил поверхностного натяжения масло поднялось в зазоре между обкладками на высоту $L / 4$. В следующий раз конденсатор зарядили и вновь опустили в масло. На этот раз масло поднялось на высоту $L / 2$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите заряд $Q$ конденсатора."}]}
answer: [{"condition": "Найдите заряд $Q$ конденсатора. ", "solution": {"text": "Рассмотрим две части конденсатора, разделенные уровнем $x$ поднявшегося масла, как параллельно соединенные конденсаторы. Поскольку $d \ll R$, $L$, то емкость каждого конденсатора можно найти по формуле емкости плоского конденсатора:$$\begin{gathered}C=C_{1}+C_{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S_{1}}{d}+\frac{\varepsilon_{0} S_{2}}{d}=\frac{2 \pi R x \varepsilon \varepsilon_{0}}{d}+\frac{2 \pi R(L-x) \varepsilon_{0}}{d}= \\=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} R[(\varepsilon-1) x+L]}{d},\end{gathered}$$где $x$ — высота подъема масла в зазоре.Энергия заряженного конденсатора$$W=\frac{Q^{2}}{2 C}=\frac{Q^{2} d}{4 \pi \varepsilon_{0} R[(\varepsilon-1) x+L]}.$$Электрическая сила, втягивающая масло, равна$$F(x)=-\frac{\mathrm d W}{\mathrm d x}=\frac{(\varepsilon-1) Q^{2} d}{4 \pi \varepsilon_{0} R[(\varepsilon-1) x+L]^{2}}.$$На масло в зазоре конденсатора действуют также сила тяжести $P(x)=2 \pi R x d \rho g$ и сила поверхностного натяжения $F_{пов}$, не зависящая от $x$. Запишем условия равновесия масла в обоих случаях:$$F_{пов}=P\left(\frac{L}{4}\right) \text { и } F_{пов}+F\left(\frac{L}{4}\right)=P\left(\frac{L}{4}\right).$$Вычтем из второго уравнения первое и подставим выражения для $F$ и $P$;$$\frac{(\varepsilon-1) Q^{2} d}{4 \pi \varepsilon_{0} R\left(\frac{(\varepsilon-1) L}{2}+L\right)^{2}}=2 \pi R d\left(\frac{L}{2}-\frac{L}{4}\right) \rho g,$$откуда$$Q=\frac{\pi(\varepsilon+1) R L}{2} \sqrt{\frac{2 \varepsilon_{0} \rho g L}{\varepsilon-1}}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q=\frac{\pi(\varepsilon+1) R L}{2} \sqrt{\frac{2 \varepsilon_{0} \rho g L}{\varepsilon-1}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]