text: {"text": [{"text": "Квадратная рамка со стороной $a=10.0~см$ помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B=1.00\times 10^{−1}~Тл$, создаваемое постоянным магнитом. Полностью пренебрегайте краевыми эффектами, считая магнитное поле между полюсами магнита однородным и равным нулю снаружи. Для всех частей задачи считайте, что рамка массой $m=5.00~г$ в начальный момент времени находится в покое у края полюсов магнита, смотрите рисунок. <img_0>"}, {"text": "Часть А Пусть рамка изготовлена из проводящего материала, имеет сопротивление $R=1.00\times 10^{− 2}~Ом$ и пренебрежимо малую индуктивность. В момент времени $t=0$ к рамке прикладывается постоянная сила $F=1.00\times 10^{−4}~Н$, с помощью которой она вытягивается из магнитного поля."}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "0,20"}, "text": "В вашем решении перерисуйте схематически этот рисунок и укажите, какой из полюсов магнита является северным $N$, а какой южным $S$."}, {"balls": {"number": "2.", "exponent": "1,20"}, "text": "Найдите аналитическую зависимость скорости рамки $v(t)$ от времени $t$, считая, что рамка все время остается между полюсами магнита. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $R$ и $t$."}, {"balls": {"number": "3.", "exponent": "0,80"}, "text": "Запишите точное уравнение для определения времени $t_0$ нахождения рамки между полюсами магнита. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $R$ и $t_0$. Приближенно вычислите время $t_0$."}, {"balls": {"number": "4.", "exponent": "1,20"}, "text": "Постройте график зависимости скорости рамки $v(t)$ от времени $t$ за интервал от $0$ до $12~с$."}, {"text": "Часть B Пусть рамка изготовлена из сверхпроводящего материала, имеет индуктивность $L=1.00\times 10^{−1}~Гн$, ту же массу и размеры. В момент времени $t=0$ к рамке прикладывается постоянная сила $F$, с помощью которой она вытягивается из магнитного поля."}, {"balls": {"number": "5.", "exponent": "1,20"}, "text": "Постройте график зависимости тока в рамке $I(t)$ от времени $t$ за интервал от $0$ до $12~с$."}, {"balls": {"number": "6.", "exponent": "1,80"}, "text": "Найдите минимальную силу $F_{\min}$, при которой рамку удастся вытянуть из магнита. Выразите ваш ответ через $B$, $a$, $L$ и рассчитайте численное значение."}, {"balls": {"number": "7.", "exponent": "0,60"}, "text": "В условиях предыдущего пункта найдите минимальное время $t_0$ до максимального выдвижения рамки из магнита. Выразите ваш ответ через $m$, $B$, $a$, $L$ и рассчитайте численное значение."}, {"text": "Часть C Квадратная рамка со стороной $a$ изготовлена из проводящего материала, имеет индуктивность $L$, сопротивление $R$ и массу $m$. В момент времени $t=0$ рамке сообщают начальную скорость $v_0$, направленную так же, как и сила на рисунке сверху. Известно, что в момент, когда рамка практически покидает магнит, ее скорость обращается в ноль."}, {"balls": {"number": "8.", "exponent": "1,00"}, "text": "Постройте график зависимости тока в рамке от времени за интервал времени от $0$ до $4t_0$."}, {"balls": {"number": "9.", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите аналитическое выражение для силы тока $I_0$ в рамке в момент времени, когда ее скорость обращается в ноль. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $L$, $R$ и $v_0$ ."}]}
answer: [{"condition": "В вашем решении перерисуйте схематически этот рисунок и укажите, какой из полюсов магнита является северным $N$, а какой южным $S$. ", "solution": {"text": "В физике принято соглашение, что линии магнитного поля начинаются на северном полюсе, а заканчиваются на южном. Поэтому, рисунок должен выглядеть так (см. рисунок)."}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите аналитическую зависимость скорости рамки $v(t)$ от времени $t$, считая, что рамка все время остается между полюсами магнита. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $R$ и $t$. ", "solution": {"text": "При вытаскивании рамки из постоянного магнитного поля в ней возникает э.д.с. индукции, которая определяется законом Фарадея$$\varepsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-\frac{d}{dt}(Bax)=Bav(t). \tag{1}$$По закону Ома$$\varepsilon=IR, \tag{2}$$откуда получаем связь между током и скоростью$$I(t)=\frac{Bav(t)}{R}. \tag{3}$$На рамку будет действовать сила, которая будет стараться втянуть рамку обратно в магнитное поле магнитов, и равная по закону Ампера$$F_A(t)=BaI(t)=\frac{B^2a^2v(t)}{R}. \tag{4}$$Таким образом, уравнение движения, являющееся вторым законом Ньютона, записывается в виде$$m\frac{dv(t)}{dt}=F-\frac{B^2a^2v(t)}{R}. \tag{5}$$Решением уравнения $(5)$ с начальным условием $v(0)=0$ является функция$$v(t)=\frac{FR}{B^2a^2}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right]. \tag{6}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v(t)=\frac{FR}{B^2a^2}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right]. $$"]}, "number_part": "2.", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Запишите точное уравнение для определения времени $t_0$ нахождения рамки между полюсами магнита. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $R$ и $t_0$. Приближенно вычислите время $t_0$. ", "solution": {"text": "Интегрируя $(6)$ по времени, получаем следующую зависимость$$x(t)=\int\limits_0^t v(t)dt=\frac{FR}{B^2a^2}\left[t+\frac{mR}{B^2a^2}\left(\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)-1\right)\right]. \tag{7}$$Условие выхода рамки за пределы магнита является равенство$$x(t_0)=a, \tag{8}$$откуда получаем уравнение для $t_0$$$t_0+\frac{mR}{B^2a^2}\left[\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t_0\right)-1\right]=\frac{B^2a^2}{FR}. \tag{9}$$Уравнение $(9)$ является трансцендентным и не может быть решено аналитически. Для оценки времени воспользуемся тем, что за характерное время $\tau \sim mR/B^2a^2$ установится практически постоянная скорость $v_0=FR/B^2a^2$. Считаем, что в интервале времени от $0$ до $\tau$ рамка движется практически с постоянным ускорением $w=F/m$, а после этого рамка движется с постоянной скоростью $v_0$. Тогда получаем$$t_0\sim \tau+\frac{a-\frac{wt^2}{2}}{v_0}=\frac{B^2a^2}{FR}+\frac{mR}{2B^2a^2}=10.25~с. \tag{10}$$Отметим, что численное решение уравнения $(9)$ дает $t_0\approx 10.5~с$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_0\sim \tau+\frac{a-\frac{wt^2}{2}}{v_0}=\frac{B^2a^2}{FR}+\frac{mR}{2B^2a^2}=10.25~с. $$"]}, "number_part": "3.", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Постройте график зависимости скорости рамки $v(t)$ от времени $t$ за интервал от $0$ до $12~с$. ", "solution": {"text": "После момента времени $t_0$ рамка продолжает двигаться с постоянным ускорением $w$. При этом скорость должна быть непрерывной функцией времени, поэтому зависимость скорости от времени имеет вид$$\begin{equation*}v(t) = \begin{cases} \frac{FR}{B^2a^2}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right], t < t_0\\ \frac{FR}{B^2a^2}+\frac{F}{m}(t-t_0), t \ge t_0. \tag{11} \end{cases}\end{equation*}$$График зависимости имеет вид (см. ответ)."}, "answer": {"answers": ["<img_2>"]}, "number_part": "4.", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Постройте график зависимости тока в рамке $I(t)$ от времени $t$ за интервал от $0$ до $12~с$. ", "solution": {"text": "Пока рамка находится внутри магнита, зависимость силы тока определяется уравнениями $(3)$ и $(6)$. После этого, сила тока в рамке обращается в нуль. Таким образом$$\begin{equation*}I(t) = \begin{cases} \frac{F}{Ba}\left[1-\exp\left(-\frac{B^2a^2}{mR}t\right)\right], t < t_0\\ 0, t \ge t_0. \tag{12} \end{cases}\end{equation*}$$График зависимости имеет вид (см. ответ)."}, "answer": {"answers": ["<img_3>"]}, "number_part": "5.", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Найдите минимальную силу $F_{\min}$, при которой рамку удастся вытянуть из магнита. Выразите ваш ответ через $B$, $a$, $L$ и рассчитайте численное значение. ", "solution": {"text": "Как и прежде, при вытаскивании рамки из постоянного магнитного поля в ней индуцируется э.д.с. индукции, которая определяется законом Фарадея $(1)$. Помимо этого, действует э.д.с. самоиндукции сверхпроводящей рамки$$\varepsilon_L=-L\frac{dI}{dt}. \tag{13}$$Так как сопротивление сверхпроводящей рамки равно нулю, то закон Ома для рамки примет вид$$Bav(t)-L\frac{dI}{dt}=0, \tag{14}$$откуда получаем, с учетом того, что $I=0$ при $x=0$,$$I=\frac{Bax}{L}. \tag{15}$$Соответствующая сила Ампера дается выражением$$F_A=BaI=\frac{B^2a^2x}{L}. \tag{16}$$Таким образом, уравнение движения, являющееся вторым законом Ньютона, записывается в виде$$m\frac{d^2x}{dt^2}=F-\frac{B^2a^2}{L}x. \tag{17}$$Уравнение $(17)$ представляет собой уравнение гармонических колебаний с частотой$$\omega=\frac{Ba}{\sqrt{mL}} \tag{18}$$возле нового положения равновесия с координатой$$x_0=\frac{FL}{B^2a^2}. \tag{19}$$Очевидно, что сила $F$ будет минимальной, когда$$x_0=a/2, \tag{20}$$откуда$$F_{\min}\frac{B^2a^2}{2L}=5.00\times 10^{-5}~Н. \tag{21}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_{\min}\frac{B^2a^2}{2L}=5.00\times 10^{-5}~Н.$$"]}, "number_part": "6.", "exponent_part": "1,80"}, {"condition": "В условиях предыдущего пункта найдите минимальное время $t_0$ до максимального выдвижения рамки из магнита. Выразите ваш ответ через $m$, $B$, $a$, $L$ и рассчитайте численное значение. ", "solution": {"text": "В условиях предыдущего пункта, рамка достигает края магнита за половину периода, поэтому$$t_0=\frac{\pi}{\omega}=\pi \frac{\sqrt{mL}}{Ba}=7.02~с. \tag{22}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_0=\pi \frac{\sqrt{mL}}{Ba}=7.02~с.$$"]}, "number_part": "7.", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Постройте график зависимости тока в рамке от времени за интервал времени от $0$ до $4t_0$. ", "solution": {"text": "Решением уравнения $(17)$ с начальными условиями $x(0)=0$, $x^{\prime}=0$ является функция$$x(t)=\frac{F_{\min}L}{B^2a^2}(1-\cos\omega t)=\frac{a}{2}(1-\cos\omega t). \tag{23}$$В соответствии с формулой $(15)$ сила тока изменяется по закону$$I(t)=\frac{Bax(t)}{L}=\frac{Ba^2}{2L}(1-\cos\omega t). \tag{24}$$Соответствующий график зависимости имеет вид (см. рисунок в ответе)."}, "answer": {"answers": ["<img_4>"]}, "number_part": "8.", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите аналитическое выражение для силы тока $I_0$ в рамке в момент времени, когда ее скорость обращается в ноль. Запишите ответ через $B$, $a$, $m$, $L$, $R$ и $v_0$ . ", "solution": {"text": "Закон Ома для рамки имеет вид$$Bav-L\frac{dI}{dt}=IR, \tag{25}$$а ее уравнение движения записывается так$$m\frac{dv}{dt}=-BIa. \tag{26}$$Уравнения $(25)$ и $(26)$ переписываются в конечных разностях следующим образом$$Ba^2-LI_0=qR, \tag{27}$$$$mv_0=Bqa, \tag{28}$$где $q$ — заряд, протекший по цепи.Решая $(27)$ и $(28)$ совместно, получаем$$I_0=\frac{B^2a^2-mv_0R}{aBL}. \tag{29}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I_0=\frac{B^2a^2-mv_0R}{aBL}.$$"]}, "number_part": "9.", "exponent_part": "2,00"}]