text: {"text": [{"text": "К пластинам плоского конденсатора ёмкостью $C_0$ прикреплена непроводящая пружина жесткостью $k$. В этом состоянии расстояние между обкладками $L$ и пружина расслаблена. Обкладки соединили резистором и включили внешнее постоянное равномерное электрическое поле напряженностью $E$ так, что вектор поля перпендикулярен пластинам."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найти конечный заряд на обкладках конденсатора $q$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найти изменение расстояния $\Delta{x}$ между ними, считая процесс перетекания заряда квазистатическим."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "2,00"}, "text": "Какое количество теплоты $Q$ выделится при этом процессе на резисторе? Система приведена в исходное состояние (без резистора и внешнего поля). Конденсатор подключили к источнику электрического тока с постоянным напряжением $U$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "2,50"}, "text": "Считая, что изменение расстояния между пластинами $\Delta{x}\ll{L}$, найдите ёмкость $C$ конденсатора после установления всех переходных процессов. Зависимость ёмкости $C$ конденсатора от напряжения $U$ можно представить в виде: $C=C_0\left(1+\alpha{U}^2\right)$, где $\alpha$ – константа, которая не зависит от напряжения."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Чему равно $\alpha$? Конденсатор подключили к источнику переменного тока, на котором напряжение меняется по закону $U=U_0\sin\omega t$. Зависимость силы тока в цепи от времени можно представить в виде: $I=I_0\left(A_1\cos\omega t+A_2\cos 3\omega t\right)$, где $A_1$ и $A_3$ – безразмерные коэффициенты. Из-за нелинейности в ёмкости конденсатора сила тока в цепи имеет третью гармонику $A_3\cos 3\omega t$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найти соотношение амплитуд третьей и основной гармоник $A_3/A_1$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь. Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$."}]}
answer: [{"condition": "Найти конечный заряд на обкладках конденсатора $q$. ", "solution": {"text": "Для ёмкости конденсатора имеем:$$C=\cfrac{\varepsilon_0S}{d}{,}$$где $S$ — площадь обкладок, а $d$ — расстояние между ними.Таким образом:$$C_0=\cfrac{\varepsilon_0S}{L}{.}$$Поскольку пружина непроводящая, в состоянии равновесия электрическое поле в конденсаторе должно равняться нулю. Таким образом:$$E=\cfrac{\sigma}{\varepsilon_0}=\cfrac{q}{S\varepsilon_0}{,}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q=C_0LE{.}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найти изменение расстояния $\Delta{x}$ между ними, считая процесс перетекания заряда квазистатическим. ", "solution": {"text": "Запишем условие равновесия пластины с зарядом $q$:$$qE=\cfrac{q^2}{2S\varepsilon_0}+k\Delta{x}{,}$$откуда после подстановки заряда $q$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{x}=\cfrac{C_0LE^2}{2k}{.}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Какое количество теплоты $Q$ выделится при этом процессе на резисторе? ", "solution": {"text": "Запишем закон изменения энергии в данной системе:$$A_E=\Delta{W}_\text{эл}+\Delta{W}_\text{пр}+Q{,}$$где $A_E$ — работа электрического поля $E$ по перемещению зарядов, $\Delta{W}_C$ — изменение энергии конденсатора, а $\Delta{W}_\text{пр}$ — изменение потенциальной энергии упругой деформации пружины.Поскольку конденсатор электрически нейтрален — работа $A_E$ электрического поля $E$ составляет:$$A_E=q\Delta{\varphi}_E=qE(L+\Delta{x})=C_0LE^2\left(L+\cfrac{C_0LE^2}{2k}\right){,}$$где $\Delta{\varphi}_E$ — разность потенциалов электрического поля $E$ на обкладках с зарядами $-q$ и $q$.Поскольку изначально конденсатор не заряжен — его энергия в конечном состоянии равна изменению энергии $\Delta{W}_C$:$$\Delta{W}_C=W_C=\cfrac{qU}{2}=\cfrac{qE(L+\Delta{x})}{2}=\cfrac{C_0LE^2}{2}\left(L+\cfrac{C_0LE^2}{2k}\right){.}$$Поскольку изначально пружина не напряжена — её энергия упругой деформации в конечном состоянии равна изменению энергии упругой деформации $\Delta{W}_\text{пр}$:$$\Delta{W}_\text{пр}=W_\text{пр}=\cfrac{k\Delta{x}^2}{2}=\cfrac{(C_0LE^2)^2}{8k}{.}$$Таким образом, для количества теплоты $Q$ имеем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=\cfrac{C_0E^2L^2}{2}+\cfrac{C^2_0L^2E^4}{8k}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Считая, что изменение расстояния между пластинами $\Delta{x}\ll{L}$, найдите ёмкость $C$ конденсатора после установления всех переходных процессов. ", "solution": {"text": "Для заряда конденсатора имеем:$$q=CU{.}$$Запишем условие равновесия обкладок конденсатора:$$\cfrac{q^2}{2C_0L}=-k\Delta{x}{.}$$С учётом выражения для ёмкости:$$C=\cfrac{C_0L}{L+\Delta{x}}\Rightarrow \Delta{x}=L\left(\cfrac{C_0}{C}-1\right){.}$$Таким образом:$$\cfrac{C^2U^2}{2C_0L}=kL\left(1-\cfrac{C_0}{C}\right){.}$$Данное уравнение является точным. Далее воспользуемся условием $\Delta{x}\ll{L}$:$$\cfrac{\Delta{x}}{L}=-\cfrac{\Delta{C}}{C}\ll{1}\Rightarrow \Delta{C}\ll{C_0}{.}$$Таким образом:$$\Delta{C}=\cfrac{C^2_0U^2}{2kL^2}{.}$$Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C=C_0\left(1+\cfrac{C_0U^2}{2kL^2}\right)$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Чему равно $\alpha$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha=\cfrac{C_0U^2}{2kL^2}{.}$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найти соотношение амплитуд третьей и основной гармоник $A_3/A_1$.  Считайте, что $\omega$ намного меньше частоты собственных механических колебаний, т.е. задержкой из-за механической инерции можно пренебречь.  Cледующее соотношение может быть полезно: $4\cos^3x=3\cos x+\cos 3x$. ", "solution": {"text": "Для заряда конденсатора $q(t)$ имеем:$$q(t)=C_0U_0\left(\sin\omega t+\cfrac{C_0U^2_0\sin^3\omega t}{2kL^2}\right){.}$$Дифференцируя:$$I(t)=\omega C_0U_0\left(\cos\omega t+\cfrac{3C_0U^2_0\sin^2\omega t\cos\omega t}{2kL^2}\right){.}$$Приведём к косинусу:$$I(t)=\omega C_0U_0\left(\cos\omega t\left(1+\cfrac{3C_0U^2_0}{2kL^2}\right)-\cfrac{3C_0U^2_0\cos^3\omega t}{2kL^2}\right){.}$$Воспользуемся данным в условии соотношением и получим:$$I(t)=\omega C_0U_0\left(\cos\omega t\left(1+\cfrac{3C_0U^2_0}{2kL^2}-\cfrac{9C_0U^2_0}{8kL^2}\right)-\cfrac{3C_0U^2_0\cos 3\omega t}{8kL^2}\right){.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{A_3}{A_1}=-\cfrac{3C_0U^2_0}{8kL^2+3C_0U^2_0}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "3,00"}]