text: {"text": [{"text": "Пространство между двумя большими горизонтально расположенными пластинами, находящимися на расстоянии $l$ друг от друга, заполнено воздухом. Температура нижней пластины поддерживается равной $T_{1}$, верхней — равной $T_{2}"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Считая воздух идеальным газом, определите, при какой разности температур $T_{1} - T_{2}$ в системе возникает конвекция. Теплообменом между соседними слоями воздуха при конвекции можно пренебречь. В отсутствие конвекции температура меняется с высотой по линейному закону. Молярную теплоемкость воздуха при постоянном объеме $C_{V}$ и его молярную массу $\mu$ считайте известными."}]}
answer: [{"condition": "Считая воздух идеальным газом, определите, при какой разности температур $T_{1} - T_{2}$ в системе возникает конвекция. ", "solution": {"text": "Направим ось $x$ от нижней пластины, температура которой $T_{1}$, к верхней, температура которой $T_{2}$. Распределение температуры между пластинами можно записать в виде: $$ T(x)=T_{1}-\frac{T_{1}-T_{2}}{l} x. \quad (1) $$ Запишем теперь распределение давления воздуха между пластинами: $$ p(x) \approx p_{0}-\rho g x=p_{0}-\frac{\mu p g}{R T} x, \quad (2) $$ где $p_{0}$ — давление воздуха у нижней пластины $(x=0)$, $\rho$ — средняя плотность воздуха между пластинами, $g$ — ускорение свободного падения. В последнем равенстве средняя плотность $\rho$ выражена через среднее значение давления $p$ и среднюю температуру $T$. Уравнения $(1)$ и $(2)$ описывают стационарное состояние воздуха между пластинами. Пусть теперь небольшой объем воздуха, находящийся у нижней пластины, начнет всплывать. Это обязательно произойдет, поскольку плотность воздуха верхних слоев больше. В некоторый момент времени всплывающий объем воздуха поднимется на высоту $x$. Допустим, что подъем происходит адиабатически, т.е. теплообменом этого объема с внешней средой можно пренебречь. Попробуем оценить, на сколько понизится температура воздуха во всплывающем объеме. Поскольку процесс всплытия адиабатический, то работа, совершаемая воздухом этого объема равна уменьшению его внутренней энергии: $$ p d V=-\nu C_{V} d T, \quad (3) $$ где $\nu$ — число молей всплывающего воздуха, $C_{V}$ — молярная теплоемкость, а $d V$ и $d T$ — малые изменения объема и температуры. С другой стороны, согласно уравнению состояния идеального газа запишем $$ \frac{p V}{T}=\operatorname{const}. $$ Прологарифмируем это выражение: $$ \ln p+\ln V-\ln T=\operatorname{const}, $$ а затем продифференцируем: $$ d(\ln p+\ln V-\ln T)=\frac{d p}{p}+\frac{d V}{V}-\frac{d T}{T}=0. \quad (4) $$ Теперь выразим приращение объема $d V$ из соотношения $(3)$ и подставим в $(4)$: $$ \frac{d p}{p}-\frac{\nu C_{V} d T}{p V}-\frac{d T}{T}=0. $$ Отсюда $$ d T=\frac{V d p}{\nu (C_{V}+R)}=\frac{R T d p}{p(C_{V}+R)}. $$ Поскольку $$ d p=-\frac{\mu p g}{R T} x, $$ как это следует из $(2)$, то изменение температуры воздуха, всплывающего на высоту $x$, равна $$ d T=-\frac{\mu g x}{C_{V}+R}. $$ Очевидно, что конвекция начнется в том случае, если понижение температуры всплывающего объема воздуха будет меньше уменьшения температуры окружающего воздуха, связанного с распределением $(1)$. Это означает, что если температура поднявшегося воздуха на высоту $x$ окажется больше температуры внешнего воздуха на этом уровне, то конвективный поток будет подниматься дальше. Аналитическая запись этого условия имеет вид: $$ \frac{T_{1}-T_{2}}{l} x>\frac{\mu g}{C_{V}+R} x. $$ Отсюда $$ T_{1}-T_{2}>\frac{\mu g l}{C_{V}+R}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T_{1}-T_{2}>\frac{\mu g l}{C_{V}+R}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]