text: {"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите период колебаний однородного бруска, подвешенного на двух пружинах, жесткости которых равны $k_{1}$ и $k_{2}$ соответственно $\left(k_{1}>k_{2}\right)$. Пружины связаны нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок). <img_0> Масса бруска равна $M$. При колебаниях брусок все время остается горизонтальным."}]}
answer: [{"condition": "Определите период колебаний однородного бруска, подвешенного на двух пружинах, жесткости которых равны $k_{1}$ и $k_{2}$ соответственно $\left(k_{1}>k_{2}\right)$. ", "solution": {"text": "Пусть $x$ — смещение бруска вниз для произвольного момента времени, $y$ — смещение верхнего конца пружин. Удлинение левой пружины $\Delta x_{1}=x-y$, удлинение правой пружины $\Delta x_{2}=x+y$ (см. рисунок). <img_1> Из условия малости масс блока и нити следует, что силы упругости обеих пружин одинаковы: $$ k_{1}(x-y)=k_{2}(x+y). $$ Отсюда $$ y=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}} x. $$ Удлинения левой и правой пружин соответственно равны $$ \Delta x_{1}=\frac{2 k_{2}}{k_{1}+k_{2}} x, \Delta x_{2}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}} x. $$ Уравнение движения бруска: $$ M \ddot{x}=-k_{1} \Delta x_{1}-k_{2} \Delta x_{2}=0, $$ откуда $$ \ddot{x}+\frac{4 k_{1} k_{2}}{M\left(k_{1}+k_{2}\right)} x=0. $$ Это уравнение описывает гармонические колебания с периодом $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{M\left(k_{1}+k_{2}\right)}{4 k_{1} k_{2}}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{M\left(k_{1}+k_{2}\right)}{4 k_{1} k_{2}}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]