text: {"text": [{"text": "Плоский конденсатор ёмкостью $C_{0}$ заполнен слабопроводящей слоистой средой с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=1$, удельное сопротивление которой зависит от расстояния $x$ до одной из пластин по закону $\rho=\rho_{0}\left(1+\frac{2 x}{d}\right)$, где $d$ - расстояние между пластинами конденсатора. Конденсатор подключен к батарее с напряжением $U_{0}$ (см. рисунок). <img_0> Найдите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Силу тока, протекающего через конденсатор."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Заряды нижней $(q_{1})$ и верхней $(q_{2})$ пластин конденсатора."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Заряд $q$ внутри конденсатора (т. е. в среде между пластинами)."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Электрическую энергию $W_{Э}$, запасённую в конденсаторе."}]}
answer: [{"condition": "Силу тока, протекающего через конденсатор. ", "solution": {"text": "В установившемся режиме сила тока $I=$ const при любом значении $x$. Выделим в среде слой малой толщины $d x$ на расстоянии $x$ от нижней пластины. По закону Ома $$ d U=\rho \frac{d x}{S} I=I \rho_{0}\left(1+\frac{2 x}{d}\right) \frac{d x}{S}. $$ Здесь $S$ - площадь пластин конденсатора. Интегрируя, получим $$ U_{0}=\int_{0}^{d} I \rho_{0}\left(1+\frac{2 x}{d}\right) \frac{d x}{S}=\frac{2 I \rho_{0} d}{S}=\frac{2 I \rho_{0} \varepsilon_{0}}{C_{0}}, $$ так как $C_{0}=\frac{\varepsilon_{0} S}{d}$. Следовательно, $$ I=\frac{U_{0} C_{0}}{2 \rho_{0} \varepsilon_{0}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I=\frac{U_{0} C_{0}}{2 \rho_{0} \varepsilon_{0}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Заряды нижней $(q_{1})$ и верхней $(q_{2})$ пластин конденсатора. ", "solution": {"text": "Определим напряжённость электрического поля вблизи нижней $\left(E_{1}\right)$ и верхней $\left(E_{2}\right)$ пластин. Из уравнений, приведенных в пункте 1, следует: $$ E(x)=\frac{d U}{d x}=\frac{I \rho_{0}}{S}\left(1+\frac{2 x}{d}\right)=\frac{C_{0} U_{0}}{2 \mathscr{E}_{0} S}\left(1+\frac{2 x}{d}\right). $$ При $x=0$ напряженность $E_{1}=\frac{C_{0} U_{0}}{2 \varepsilon_{0} S}$, и заряд равен $$ q_{1}=S \sigma_{1}=S E_{1} \mathscr{E}_{0}=\frac{C_{0} U_{0}}{2}. $$ При $x=d$ напряженность $E_{2}=\frac{3 C_{0} U_{0}}{2 \varepsilon_{0} S}$, и заряд равен $$ q_{2}=-S \sigma_{2}=-S E_{2} \mathscr{E}_{0}=-\frac{3 C_{0} U_{0}}{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ q_{1}=S E_{1} \mathscr{E}_{0}=\frac{C_{0} U_{0}}{2}. $$ $$ q_{2}=-S E_{2} \mathscr{E}_{0}=-\frac{3 C_{0} U_{0}}{2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Заряд $q$ внутри конденсатора (т. е. в среде между пластинами). ", "solution": {"text": "Полный заряд конденсатора, включающий заряды обеих пластин и заряд в среде между пластинами, равен нулю: $$ q_{1}+q_{2}+q=0. $$ Из этого соотношения следует: $$ q=C_{0} U_{0}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ q=C_{0} U_{0}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Электрическую энергию $W_{Э}$, запасённую в конденсаторе. ", "solution": {"text": "Зная объёмную плотность электрической энергии $w_{\ni}=\varepsilon_{0} E^{2} / 2$, найдём полную энергию, запасённую в конденсаторе: $$ W_{Э}=\int_{0}^{d} \frac{\varepsilon_{0} E^{2}(x)}{2} S d x=\frac{C_{0} U_{0}^{2}}{8 d} \int_{0}^{d}\left(1+\frac{2 x}{d}\right)^{2} d x=\frac{13}{24} C_{0} U_{0}^{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ W_{Э}=\frac{13}{24} C_{0} U_{0}^{2}. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]