text: {"text": [{"text": "Четыре пластины $1$, $2$, $3$ и $4$ площадью $S$ расположены параллельно друг другу на расстояниях $(1-x) l$, $x l$ и $(1-x) l$, малых по сравнению с размерами пластин (см. рисунок). <img_0> К пластинам $1$ и $3$ подключены батарейка с ЭДС $\mathscr{E}$, резистор $R_{1}$ и ключ $K_{1}$, к пластинам $2$ и $4$ — ключ $K_{2}$ и резистор $R_{2}$. В начальный момент времени ключи разомкнуты, пластины не заряжены."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Ключ $K_{1}$ замыкают. Какими будут заряды на пластинах после установления равновесия? Какое количество теплоты $Q_{0}$ выделится на резисторе $R_{1}$?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "После установления равновесия замыкают ключ $K_{2}$. Найдите установившиеся заряды на пластинах и суммарное количество теплоты $Q$, которое выделится на резисторах $R_{1}$ и $R_{2}$ после замыкания ключа $K_{2}$."}]}
answer: [{"condition": "Ключ $K_{1}$ замыкают. Какими будут заряды на пластинах после установления равновесия? Какое количество теплоты $Q_{0}$ выделится на резисторе $R_{1}$? ", "solution": {"text": "Рассмотрим равновесное состояние системы после замыкания первого ключа. Пластина $1$ заряжается до некоторого заряда $q_{01}$, пластина $3$ — до противоположного заряда $-q_{01}$, пластины $2$ и $4$ остаются незаряженными. Напряженность электрического поля между пластинами $1$ и $3$ равна $E_{0}=q_{01} /\varepsilon_{0} S$ разность потенциалов между ними $E_{0} l$ совпадает с ЭДС батарейки:$$\mathscr{E}=\frac{q_{01} l}{\varepsilon_{0} S}.$$Следовательно, на пластине $1$ устанавливается заряд$$q_{01}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{l}.$$Выделяющееся в данном процессе количество теплоты $Q_{0}$ рассчитывается из закона сохранения энергии, как разность работы источника$$W_{0 бат}=q_{01} \mathscr{E}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{l}$$и конечной электростатической энергии$$W_{0 эл}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 l}.$$Следовательно,$$Q_{0}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 l}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Пластина $1$ заряжается до некоторого заряда $q_{01}$, пластина $3$ — до противоположного заряда $-q_{01}$, пластины $2$ и $4$ остаются незаряженными.$$q_{01}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{l}\\Q_{0}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 l}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "После установления равновесия замыкают ключ $K_{2}$. Найдите установившиеся заряды на пластинах и суммарное количество теплоты $Q$, которое выделится на резисторах $R_{1}$ и $R_{2}$ после замыкания ключа $K_{2}$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим теперь второй этап процесса, после замыкания ключа $K_{2}$. В этом процессе происходит перераспределение зарядов как между пластинами $1$ и $3$ , так и между пластинами $2$ и $4$. Пусть $q_{1}$ и $q_{2}$ — установившиеся заряды на пластинах $1$ и $2$, тогда заряды на пластинах $3$ и $4$ равны $-q_{1}$ и $-q_{2}$ соответственно. Напряженности электрического поля между пластинами $1$ и $2$, $2$ и $3$, $3$ и $4$ соответственно равны:$$E_{12}=\frac{q_{1}}{\varepsilon_{0} S}, \quad E_{23}=\frac{q_{1}+q_{2}}{\varepsilon_{0} S}, \quad E_{34}=\frac{q_{2}}{\varepsilon_{0} S}.$$Разность потенциалов между пластинами $2$ и $4$ должна быть равна нулю:$$0=E_{23} l x+E_{34} l(1-x),$$откуда $q_{2}=-q_{1} x$. Разность потенциалов между пластинами $1$ и $3$ равна $\mathscr{E}$:$$\mathscr{E}=E_{12} l(1-x)+E_{23} x,$$следовательно$$q_{1}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{l\left(1-x^{2}\right)}, \quad q_{2}=-q_{1} x=-\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E} x}{l\left(1-x^{2}\right)} .$$Конечная электростатическая энергия системы$$\begin{aligned}W_{эл}=S l(1-x) \frac{\varepsilon_{0} E_{12}^{2}}{2}+S l x \frac{\varepsilon_{0} E_{23}^{2}}{2}+S l(1-x) \frac{\varepsilon_{0} E_{34}^{2}}{2}= \\=\frac{l q_{1}^{2}}{2 \varepsilon_{0} S}\left((1-x)+x(1-x)^{2}+(1-x) x^{2}\right)=\frac{S \varepsilon_{0}}{2 l} \frac{\mathscr{E}^{2}}{1-x^{2}} .\end{aligned}$$Её изменение на втором этапе$$W_{эл}-W_{0 эл}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{2 l\left(1-x^{2}\right)}.$$Работа батарейки на втором этапе$$W_{бат}=\mathscr{E}\left(q_{1}-q_{01}\right)=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{l\left(1-x^{2}\right)}.$$Следовательно, на резисторах выделится количество теплоты$$Q=W_{бат}-\left(W_{эл}-W_{0 эл}\right)=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{2 l\left(1-x^{2}\right)}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $q_{1}$ и $q_{2}$ — установившиеся заряды на пластинах $1$ и $2$, тогда заряды на пластинах $3$ и $4$ равны $-q_{1}$ и $-q_{2}$ соответственно.$$q_{1}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{l\left(1-x^{2}\right)}, \quad q_{2}=-\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E} x}{l\left(1-x^{2}\right)} .\\Q=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2} x^{2}}{2 l\left(1-x^{2}\right)}.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]