text: {"text": [{"text": "Оптическая система, состоящая из двух тонких двояковыпуклых линз с одинаковыми радиусами кривизны поверхностей, изменяет диаметр падающего на систему пучка параллельных лучей в $\gamma$ раз, оставляя пучок параллельным после прохождения системы. Если поместить линзы в глицерин, то линзы останутся собирающими, но их фокусные расстояния увеличатся в $\alpha$ и $\beta$ раз. Каждая из линз была составлена из двух одинаковых плосковыпуклых линз. Их разняли и половинки разных линз соединили вместе (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз увеличится фокусное расстояние композитной линзы, если ее поместить в глицерин?"}]}
answer: [{"condition": "Во сколько раз увеличится фокусное расстояние композитной линзы, если ее поместить в глицерин? ", "solution": {"text": "Пусть $D_{1}$ и $D_{2}$ — оптические силы двух исходных линз, $D$ — композитной линзы. Фокусные расстояния линз связаны с их оптическими силами обратной зависимостью:$$f_{1}=\frac{1}{D_{1}}, \quad f_{2}=\frac{1}{D_{2}}, \quad f=\frac{1}{D}.$$Из условий $f_{1}^{\prime}=\alpha f_{1}$ и $f_{2}^{\prime}=\beta f_{2}$ выразим оптические силы линз в жидкости:$$D_{1}^{\prime}=\frac{D_{1}}{\alpha}, \quad D_{2}^{\prime}=\frac{D_{2}}{\beta}.$$Диаметр проходящего через оптическую систему из двух линз пучка параллельных лучей изменится в $\gamma$ раз, если линзы имеют общую точку фокуса (телескопическая система) и их оптические силы отличаются в $\gamma$ раз:$$\frac{D_{1}}{D_{2}}=\gamma \quad \text { или } \quad \frac{D_{2}}{D_{1}}=\gamma .$$Линза с меньшей оптической силой изменяет ее в большее число раз при помещении в оптически более плотную среду, поэтому из условия $\beta>\alpha$ следует $D_{2}$$\frac{D_{1}}{D_{2}}=\gamma>1.$$Если линзы приложены одна к другой, то их оптические силы складываются. В качестве линз можно рассматривать половинки исходных линз, следовательно,$$D=\frac{D_{1}+D_{2}}{2}, \quad D^{\prime}=\frac{D_{1}^{\prime}+D_{2}^{\prime}}{2} .$$Искомое отношение фокусных расстояний равно:$$\frac{f^{\prime}}{f}=\frac{D}{D^{\prime}}=\frac{D_{1}+D_{2}}{D_{1}^{\prime}+D_{2}^{\prime}}=\frac{\alpha \beta(\gamma+1)}{\alpha+\beta \gamma} .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{f^{\prime}}{f}=\frac{\alpha \beta(\gamma+1)}{\alpha+\beta \gamma} . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]