text: {"text": [{"text": "Очень тонкое кольцо массы $m$ и радиуса $r$ равномерно заряжено по своей длине зарядом $q$. В начальный момент времени кольцо покоится горизонтально и освобождается без толчка. Последующее движение кольца происходит в вертикальном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$, и в горизонтальном радиальном магнитном поле индукцией $B$. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считайте, что плоскость кольца все время остается горизонтальной. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,20"}, "text": "Найдите максимальную скорость центра масс кольца $v_{max}$ за все время движения."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите интервал времени $\Delta t$, прошедший от начала движения до момента первого достиженя максимальной скорости центром масс кольца."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите максимальную высоту $h_{max}$, на которую опустится центр масс кольца за все время движения. Очень тонкое кольцо массы $m$ и радиуса $r$ изготовлено из проводящего материала с удельным сопротивлением $\rho $ и поперечным сечением $s\ll r^2$. В начальный момент времени $t=0$ кольцо покоится горизонтально и освобождается без толчка. Последующее движение кольца происходит в вертикальном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$, и в горизонтальном радиальном магнитном поле индукцией $B$. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считайте, что плоскость кольца все время остается горизонтальной."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": "1,80"}, "text": "Найдите установившуся скорость центра масс кольца $v_0$ через достаточно большй промежуток времени."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": "1,00"}, "text": "Зависимость силы тока в кольце $I(t)$ от времени $t$ имеет вид $$ $$ $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. $$ I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t) $$ Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. Очень тонкое кольцо массы $m$ и радиуса $r$ изготовлено из проводящего материала с удельным сопротивлением $\rho $ и поперечным сечением $s$. Вдоль радиуса кольца сделан разрез шириной $\delta \ll \sqrt{s}\ll r$. В начальный момент времени $t=0$ кольцо покоится горизонтально и освобождается без толчка. Последующее движение кольца происходит в вертикальном поле тяжести Земли, характеризуемом ускорением свободного падения $g$, и в горизонтальном радиальном магнитном поле индукцией $B$. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считайте, что плоскость кольца все время остается горизонтальной. <img_1>"}, {"balls": {"number": "6", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите установившееся ускорение центра масс кольца $a_0$ через достаточно большой промежуток времени."}, {"balls": {"number": "7", "exponent": "2,00"}, "text": "Зависимость силы тока в кольце $I(t)$ от времени $t$ имеет вид $$ $$ $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. $$ I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t) $$ Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимальную скорость центра масс кольца $v_{max}$ за все время движения. ", "solution": {"text": "Под действием силы тяжести центр масс кольца приобретает скорость $v$, направленную вертикально вниз. При этом возникает сила Лоренца $F_{L1}$, приводящая к вращению кольца вокруг собственной оси с угловой скоростью $\omega $, которая в свою очередь приводит к появлению вертикальной составляющей силы Лоренца $F_{L2}$, направленной против силы тяжести вне зависимости от знака заряда кольца. Уравнение движения центра масс кольца имеет вид \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=mg-F_{L2}, \end{equation} где сила Лоренца \begin{equation} F_{L1}=qv_{rot}B, \end{equation} а линейная скорость вращения кольца \begin{equation} v_{rot}=\omega r. \end{equation} Таким образом, уравнение движения центра масс кольца имеет вид \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=mg-q\omega rB. \end{equation} Уравнение вращательного движения кольца записывается как \begin{equation} I\frac{d\omega }{dt}=M_{L1}, \end{equation} где момент силы Лоренца $F_{L1}$ определяется выражением \begin{equation} M_{L1}=qvBr, \end{equation} а момент инерции самого кольца равен \begin{equation} I=mr^2. \end{equation} Пусть $h$ представляет собой вертикальное смещение центра масс кольца, тогда его скорость равна \begin{equation} v=\frac{dh}{dt}. \end{equation} Собирая вместе уравнения выше и интегрируя по времени с учетом начального условия $\omega =0$ при $h=0$, получаем соотношение \begin{equation} I\omega =qBrh. \end{equation} В момент, когда скорость центра масс кольца максимальна, полная сила в правой части уравнения движения обращается в ноль, что приводит к выражению \begin{equation} mg=qBr{\omega }_0. \end{equation} Используя для этого момента времени соотношение \begin{equation} I{\omega }_0=qBrh_0, \end{equation} применим закон сохранения энергии в следующем виде \begin{equation} mgh_0=\frac{mv^2_\max}{2}+\frac{I{\omega }^2_0}{2}. \end{equation} Решая совместно уравнения уравнения выше, а также выражение для момента инерции, находим максимальную скорость центра масс кольца"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ v_\max=\cfrac{mg}{qB} $"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,20"}, {"condition": "Найдите интервал времени $\Delta t$, прошедший от начала движения до момента первого достиженя максимальной скорости центром  масс кольца. ", "solution": {"text": "Подставляя соотношение \eqref{GrindEQ__9_} в уравнение движения центра масс кольца \eqref{GrindEQ__4_} и используя \eqref{GrindEQ__8_}, получаем уравнение гармонических колебаний \begin{equation} m\frac{d^2h}{dt^2}=mg-\frac{{(qB)}^2}{m}h \end{equation} с частотой \begin{equation} {\omega }_L=\frac{qB}{m}. \end{equation} Искомое время представляет собой четверть периода колебаний и составляет $$ \Delta t=\frac{\pi }{{2\omega }_L} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ \Delta t=\cfrac{\pi m}{2qB} $"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите максимальную высоту $h_{max}$, на которую опустится центр масс кольца за все время движения. ", "solution": {"text": "Начальная скорость центра масс кольца равна нулю и максимальна в момент прохождения положения равновесия, поэтому максимальная высота $h_{max}$, на которую опустится центр масс кольца составляет \begin{equation} h_\max=2h_0=\frac{2gm^2}{q^2B^2}. \end{equation}"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ h_\max=\cfrac{2gm^2}{q^2B^2}. $"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите установившуся скорость центра масс кольца $v_0$ через достаточно большй промежуток времени. ", "solution": {"text": "Под действием силы тяжести центр масс кольца приобретает скорость $v$, направленную вертикально вниз. При этом в кольце в результате действия магнитного поля возникает индкуционный ток $I$, приводящий к появлению вертикальной силы Лоренца $F_L$, направленной против силы тяжести. Уравнение движения центра масс кольца имеет вид \begin{equation} m\frac{dv}{dt}=mg-F_L, \end{equation} а сила Лоренца определяется выражением \begin{equation} F_L=BIL, \end{equation} с длиной кольца \begin{equation} L=2\pi r. \end{equation} При движении в магнитном поле в кольце возникает электродвижущая сила, равная \begin{equation} \mathrm{ℇ}=\frac{d\mathit{\Phi}}{dt}=BLv, \end{equation} которая по закону Ома приводит к возникновению индукционного тока \begin{equation} \mathrm{ℇ}=IR, \end{equation} где сопротивление кольца равно \begin{equation} R=\rho \frac{L}{s}. \end{equation} В режиме установившегося падения центра кольца его скорость $v=v_0$ остается неизменной, тогда из уравнений выше получаем"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ v_0=\cfrac{mg\rho }{2\pi rsB^2} $"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "1,80"}, {"condition": "Зависимость силы тока в кольце $I(t)$ от времени $t$ имеет вид  $$  I(t)=A_1+B_1\exp(\gamma_1t)  $$  Определите постоянные $A_1, B_1$ и $\gamma_1$. ", "solution": {"text": "Выражая скорость из уравнений п. 4, получаем дифференциальное уравнение \begin{equation} \frac{mR}{BL}\frac{dI}{dt}=mg-BLI, \end{equation} с начальным условием \begin{equation} I\left(0\right)=0. \end{equation} Решением уравнения при этом условии является функция \begin{equation} I\left(t\right)=\frac{mg}{2\pi rB}\left[1-{\mathrm{exp} \left(-\frac{2\pi rsB^2}{m\rho }t\right)}\right]. \end{equation} Таким образом,"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ A_1=\cfrac{mg}{2\pi rB}, B_1=-\cfrac{mg}{2\pi rB}, {\gamma }_1=-\cfrac{2\pi rsB^2}{m\rho } $"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите установившееся ускорение центра масс кольца $a_0$ через достаточно большой промежуток времени. ", "solution": {"text": "Уравнение движения центра масс кольца по-прежнему описывается уравнениями п. 4, а в кольце также генерируется электродвижущая сила. Однако в данном случае происходит накопление зарядов противоположного знака на торцах разреза, поэтому вместо закона Ома имеем \begin{equation} \mathrm{ℇ}-\frac{q}{C}=IR, \end{equation} где \begin{equation} C=\frac{{\varepsilon }_0S}{\delta }. \end{equation} Так как торцы заряжаются индукционным током, то \begin{equation} I=\frac{dq}{dt}. \end{equation} В установившемся режиме ускорение центра масс кольца будет постоянным, так согласно уравнению движения п. 4 сила тока также будет постоянной. Дифференцируя, получим окончательно установившееся ускорение"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ a_0=\cfrac{g}{1+\cfrac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }} $"]}, "number_part": "6", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Зависимость силы тока в кольце $I(t)$ от времени $t$ имеет вид  $$  I(t)=A_2+B_2\exp(\gamma_2t)  $$  Определите постоянные $A_2, B_2$ и $\gamma_2$. ", "solution": {"text": "Дифференцируя уравнения п. 6, получаем \begin{equation} BL\frac{dv}{dt}=\frac{I}{C}+R\frac{dI}{dt}. \end{equation} Разделив это уравнение на уравнение движения п. 4, получим дифференциальное уравнение для тока в кольце \begin{equation} R\frac{dI}{dt}=gBL-\left(\frac{1}{C}+\frac{B^2L^2}{m}\right)I \end{equation} с начальным условием \begin{equation} I\left(0\right)=0. \end{equation} Решением уравнения выше является функция \begin{equation} I\left(t\right)=\frac{2\pi rg{\varepsilon }_0sB}{\delta \left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)}\left[1-{\mathrm{exp} \left(-\left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)\frac{\delta }{2\pi r\rho {\varepsilon }_0}t\right)}\right]. \end{equation} Таким образом,"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} A_2=\frac{2\pi rg{\varepsilon }_0sB}{\delta \left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)}, \end{equation} \begin{equation} B_2=-\frac{2\pi rg{\varepsilon }_0sB}{\delta \left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)}, \end{equation} \begin{equation} {\gamma }_2=-\left(1+\frac{B^2{(2\pi r)}^2{\varepsilon }_0s}{m\delta }\right)\frac{\delta }{2\pi r\rho {\varepsilon }_0}. \end{equation}"]}, "number_part": "7", "exponent_part": "2,00"}]