text: {"text": [{"text": "В этой задаче не следует учитывать конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия."}, {"text": "Часть 1. Магнитная1.1 Теоретическое введение Магнитное поле, создаваемое однородно намагниченным ферромагнитным цилиндром (постоянным магнитом) на больших расстояниях эквивалентно полю, создаваемому круговым витком с постоянным электрическим током.Как описанный цилиндрический магнит, так и виток с током характеризуются магнитным моментом $p_m$, который для витка с током определяется как произведение силы тока на площадь витка$$p_m=IS.$$Такой источник магнитного поля также называют магнитным диполем. На рисунке показаны силовые линии магнитного поля такого диполя. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1.1.1", "exponent": "1,00"}, "text": "Покажите, что магнитное поле $B_z$ на оси диполя на больших расстояниях определяется формулой$$B_z=b\frac{p_m}{z^{\beta}},$$где $z$ — координата, отсчитываемая вдоль оси диполя от его центра. Найдите значения параметров $b$ и $\beta$ в этой формуле. <img_1>"}, {"balls": {"number": "1.1.2", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть виток с током (магнитный диполь) с магнитным моментом $p_m$ находится в неоднородном осесимметричном поле, индукция которого на оси $z$ зависит от координаты $z$ по закону $B_z(z)$. Ось диполя совпадает с осью симметрии поля. Покажите, что сила, действующая на диполь со стороны магнитного поля, определяется формулой$$F_z=-p_m\frac{dB_z}{dz}.$$ <img_2> Цилиндрический магнит массы $m$, имеющий магнитный момент $p_m$, прикреплен к пружине жесткостью $k$ и способен совершать колебания вдоль горизонтальной оси, направленной вдоль магнитного момента."}, {"balls": {"number": "1.2.1", "exponent": "0,25"}, "text": "Найдите частоту собственных колебаний магнита $\omega_0$ в отсутствие всех внешних полей. На расстоянии $z$ от положения равновесия магнита закрепляют небольшой металлический диск так, что его ось совпадает с осью магнита. Радиус диска $R$, его толщина $h$ $(h \ll R \ll z)$, удельное электрическое сопротивление материала диска равно $\rho$, магнитную проницаемость считайте равной $\mu=1$. Магнит выводят из положения равновесия, и он начинает совершать малые колебания, описываемые некоторой функцией $x(t)$, причем $x \ll z$."}, {"balls": {"number": "1.2.2", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите силу $F(x,v)$, действующую со стороны диска на магнит, как функцию его координаты $x$ и скорости $v$. Запишите уравнение движения магнита. <img_3>"}, {"balls": {"number": "1.2.3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите относительное изменение частоты колебаний магнита $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска."}, {"balls": {"number": "1.2.4", "exponent": "0,25"}, "text": "Считая затухание колебаний слабыми, найдите характерное время затухания колебаний шарика."}, {"text": "Часть 2. Электрическая2.1 Теоретическое введение Система из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов $(−q, +q)$, находящихся на фиксированном расстоянии $l$ друг от друга называется электрическим диполем и характеризуется дипольным моментом$$p_e=ql.$$ <img_4>"}, {"balls": {"number": "1.2.5", "exponent": "1,00"}, "text": "Покажите, что потери механической энергии магнита равны количеству теплоты, выделившемуся в диске за то же время."}, {"balls": {"number": "2.1.1", "exponent": "1,00"}, "text": "Напряженность электрического поля, создаваемого диполем на его оси на расстоянии $z \gg l$, определяется формулой Маленький шарик массы $m$, несущий электрический заряд $q$ прикреплен к непроводящей пружине жесткости $k$ и может совершать колебания вдоль горизонтальной оси $x$. На расстоянии $z$ от положения равновесия шарика закрепляют небольшой металлический идеально проводящий диск так, что его ось совпадает с осью $x$. Радиус диска $R$, его толщина $h$ $(H \ll R \ll z)$. <img_5>"}, {"balls": {"number": "2.2.1", "exponent": "0,75"}, "text": "Найдите, насколько сместится положение равновесия шарика из-за влияния диска."}, {"balls": {"number": "2.2.2", "exponent": "0,75"}, "text": "Найдите относительное изменение частоты колебаний шарика $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска. Пусть теперь удельное электрическое сопротивление материала диска равно $\rho$."}, {"balls": {"number": "2.2.3", "exponent": "1,50"}, "text": "Получите уравнение, описывающее изменение во времени индуцированного дипольного момента диска (т.е. связывающее дипольный момент диска $p$ и скорость его изменения во времени $dp/dt$)."}, {"balls": {"number": "2.2.4", "exponent": "0,25"}, "text": "Считая диск конденсатором, пластины которого соединены резистором, найдите характерное время такой $RC$-цепочки. Ответ выразите через удельное сопротивление $\rho$ материала диска. Далее будем считать, что характерное время, полученное в пункте 2.2.4, много меньше периода колебаний шарика."}, {"balls": {"number": "2.2.5", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите следующее из этого условия соотношение между $\omega$ и $\rho$. Так как при идеальной проводимости диска колебания шарика будут незатухающими, при малом удельном сопротивлении материала диска затухание колебаний также должно быть малым, и такие колебания можно приближённо считать гармоническими"}, {"balls": {"number": "2.2.6", "exponent": "2,00"}, "text": "Получите в этом приближении из уравнения, полученного в пункте 2.2.3, выражение дипольного момента диска $p$ через координату шарика $x$ и его скорость $v$."}, {"balls": {"number": "2.2.7", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите выражение для силы, действующей на шарик со стороны диска. Запишите уравнение движения шарика."}, {"balls": {"number": "2.2.8", "exponent": "0,25"}, "text": "Найдите характерное время затухания колебаний шарика."}, {"balls": {"number": "2.2.9", "exponent": "1,00"}, "text": "Покажите, что потери механической энергии шарика равны количеству теплоты, выделившемуся в диске то же время."}]}
answer: [{"condition": "Покажите, что магнитное поле $B_z$ на оси диполя на больших расстояниях определяется формулой$$B_z=b\frac{p_m}{z^{\beta}},$$где $z$ — координата, отсчитываемая вдоль оси диполя от его центра. Найдите значения параметров $b$ и $\beta$ в этой формуле. ", "solution": {"text": "<img_6>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$b=\frac{\mu_0}{2\pi}, \\ \beta=3.$$"]}, "number_part": "1.1.1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть виток с током (магнитный диполь) с магнитным моментом $p_m$ находится в неоднородном осесимметричном поле, индукция которого на оси $z$ зависит от координаты $z$ по закону $B_z(z)$. Ось диполя совпадает с осью симметрии поля. Покажите, что сила, действующая на диполь со стороны магнитного поля, определяется формулой$$F_z=-p_m\frac{dB_z}{dz}.$$ ", "solution": {"text": "Очевидно, что результирующая сила Ампера $F_A$ обусловлена радиальной составляющей вектора индукции магнитного поля $\vec B_r$. Эта компонента на небольшом расстоянии от оси может быть выражена через осевую компоненту поля с помощью теоремы о магнитном потоке. <img_7> Выберем поверхность в форме тонкого цилиндра, ось которого совпадает с осью поля, запишем выражение для магнитного потока через его поверхность и приравняем его к нулю$$B_z(z+dz)\cdot \pi r^2-B_z(z)\cdot\pi r^2+B_r\cdot 2\pi rdz=0. \tag{6}$$Из этого уравнения находим$$B_r=-\frac{r}{2}\frac{dB_z}{dz}. \tag{7}$$Используя закон Ампера, запишем уравнение для силы, действующей на кольцо$$F=IB_r2\pi r=-I\frac{r}{2}\frac{dB_z}{dz}2\pi r=-p_m\frac{dB_z}{dz}. \tag{8}$$ <img_8>"}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1.1.2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите частоту собственных колебаний магнита $\omega_0$ в отсутствие всех внешних полей. ", "solution": {"text": "Частота колебаний определяется известной формулой для частоты колебаний пружинного маятника$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}. \tag{9}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$"]}, "number_part": "1.2.1", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Найдите силу $F(x,v)$, действующую со стороны диска на магнит, как функцию его координаты $x$ и скорости $v$. Запишите уравнение движения магнита. ", "solution": {"text": "Механизм воздействия диска на магнит следующий: при смещении магнита в области диска индуцируется вихревое электрическое поле, которое приводит к появлению токов Фуко. Магнитное поле этих токов и воздействует на магнит. Для расчета магнитного поля, создаваемого токами Фуко в диске, следует учесть, что размеры диска малы по сравнению с расстоянием до магнита, поэтому диск также можно считать магнитным диполем. Поэтому достаточно найти индуцированный магнитный момент диска, а затем воспользоваться формулой $(4)$ для расчета индукции поля. <img_9> Выделим на диске тонкое кольцо радиуса $r$ и толщиной $dr$. Напряженность вихревого электрического поля в пределах этого кольца находим по закону электромагнитной индукции Фарадея:$$2\pi rE=-\pi r^2\frac{dB_z}{dt}\Rightarrow E=-\frac{r}{2}\frac{dB_z}{dt}. \tag{10}$$Здесь предполагается, что в пределах всего диска можно пренебречь изменением осевой составляющей магнитного поля, создаваемого магнитом, которая также определяется формулой $(4)$. Так если координата магнита равна $x$, то в области диска.$$B_z=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{p_m}{(z-x)^3}. \tag{11}$$Подставляя это выражение в формулу $(10)$ и вычисляя производную, получим$$E=-\frac{r}{2}\frac{dB_z}{dt}=-\frac{r}{2}\cdot \frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{p_m}{(z-x)^4}\frac{dx}{dt}\approx -\frac{3\mu_0}{4\pi}r\frac{p_m}{z^4}v. \tag{12}$$В этом выражении учтено, что $x \ll z$.Плотность тока в выделенном кольце находим по закону Ома$$j=\frac{1}{\rho}E. \tag{13}$$Так как сила тока в кольце равна $dI=jhdr$, то магнитный момент кольца оказывается равным$$dp^{\prime}_m=\pi r^2dI=\pi r^2jdr\cdot h=-\pi r^2dr\cdot h\frac{3\mu_0}{4\pi\rho}r\frac{p_m}{z^4}v=-\frac{3\mu_0}{4\rho}\frac{p_m}{z^4}hvr^3dr. \tag{14}$$Интегрируя по всему диску, получим его суммарный магнитный момент:$$p_m^{\prime}=-\frac{3\mu_0}{4\rho}\frac{p_m}{z^4}hv\int\limits_0^Rr^3dr=-\frac{3\mu_0}{16\rho}\frac{p_m}{z^4}hR^4v. \tag{15}$$Для вычисления силы, действующей на магнит, воспользуемся формулой $(8)$, в которой величина индукции рассчитывается по формуле $(4)$. Указанные подстановки приводят к выражению$$F=-p_m\frac{dB_z}{dz}=-p_m\frac{d}{dz}\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{p^{\prime}_m}{z^3}\right)=\frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{p_mp_m^{\prime}}{z^4}=-\frac{3\mu_0}{2\pi}\frac{p_m}{z^4}\frac{3\mu_0}{16\rho}\frac{p_m}{z^4}hR^4v=-\frac{9}{32}\frac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4v. \tag{16}$$Уравнение движения магнита с учетом влияния диска имеет вид$$mx^{"}=-kx-bx^{\prime}, \tag{17}$$где $b=\frac{9}{32}\frac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4$ — коэффициент в формуле $(16)$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F=-\frac{9}{32}\frac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4v. $$Уравнение движения магнита с учетом влияния диска имеет вид$$mx^{"}=-kx-bx^{\prime},$$где $b=\frac{9}{32}\frac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4$."]}, "number_part": "1.2.2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите относительное изменение частоты колебаний магнита $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска. ", "solution": {"text": "Используя приведенное в условии решение уравнения затухающих колебаний, получим$$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\omega_0\left(1-\frac{\beta^2}{\omega^2_0}\right)^{\frac{1}{2}}\approx \left(1-\frac{\beta^2}{2\omega_0^2}\right), \tag{18}$$где $\beta=b/2m$. Из этого выражения находим относительный сдвиг частоты$$\frac{\Delta\omega}{\omega_0}=-\frac{\beta^2}{2\omega^2_0}=-\frac{1}{2km}\left(\frac{9}{64}\frac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4\right)^2.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{\Delta\omega}{\omega_0}=-\frac{1}{2km}\left(\frac{9}{64}\frac{\mu_0^2p_m^2}{\pi\rho z^8}hR^4\right)^2.$$"]}, "number_part": "1.2.3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Считая затухание колебаний слабыми, найдите характерное время затухания колебаний шарика. ", "solution": {"text": "Характерное время затухания равно$$\tau=\frac{1}{\beta}=\frac{2m}{b}=\frac{64m\pi\rho z^8}{9\mu_0^2p_m^2hR^4}.$$  "}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\frac{64m\pi\rho z^8}{9\mu_0^2p_m^2hR^4}.$$  "]}, "number_part": "1.2.4", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Покажите, что потери механической энергии магнита равны количеству теплоты, выделившемуся в диске за то же время. ", "solution": {"text": "Мгновенная мощность тепловых потерь в диске$$P=\int\rho j^2dV=\int\limits_0^R\rho\left(\frac{3\mu_0p_mv}{4\pi z^8\rho}r\right)^2h2\pi rdr=\frac{9h\mu_0^2p_m^2R^4}{32\pi z^8\rho}v^2$$получается равной произведению силы $(16)$ на скорость магнита."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$P=\frac{9h\mu_0^2p_m^2R^4}{32\pi z^8\rho}v^2.$$"]}, "number_part": "1.2.5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Напряженность электрического поля, создаваемого диполем на его оси на расстоянии $z \gg l$, определяется формулой  $$E=a\frac{p_e}{z^{\alpha}}.$$  Определите параметры $a$, $\alpha$ в этой формуле. ", "solution": {"text": "<img_10>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a=\frac{1}{2\pi\varepsilon_0}, \quad \alpha=3.$$"]}, "number_part": "2.1.1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите, насколько сместится положение равновесия шарика из-за влияния диска. ", "solution": {"text": "<img_11>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta x=\frac{q^2V}{8\pi^2\varepsilon_0z^5k}. $$"]}, "number_part": "2.2.1", "exponent_part": "0,75"}, {"condition": "Найдите относительное изменение частоты колебаний шарика $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска. ", "solution": {"text": "Второе слагаемое в уравнении $(24)$ определяет сдвиг частоты колебаний$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{5q^2V}{8\pi^2\varepsilon_0z^6m}}=\sqrt{\omega^2_0-\frac{5q^2V}{8\pi^2\varepsilon_0z^6m}}\approx \omega_0\left(1-\frac{5q^2V}{16\pi^2\varepsilon_0z^6k}\right). \tag{27}$$Отсюда следует, что относительный сдвиг частоты равен$$\frac{\Delta \omega}{\omega_0}=-\frac{5q^2V}{16\pi^2\varepsilon_0z^6k}. \tag{28}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{\Delta \omega}{\omega_0}=-\frac{5q^2V}{16\pi^2\varepsilon_0z^6k}. $$"]}, "number_part": "2.2.2", "exponent_part": "0,75"}, {"condition": "Получите уравнение, описывающее изменение во времени индуцированного дипольного момента диска (т.е. связывающее дипольный момент диска $p$ и скорость его изменения во времени $dp/dt$). ", "solution": {"text": "Поверхностная плотность заряда $\sigma$ на поверхностях диска меняется из-за тока в диске, который определяется напряжённостью электрического поля в диске $(\dot\sigma=j=E/\rho)$. Поле в диске складывается из поля шарика$$E_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{(z-x)^2}\approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)$$и направленного в противоположную сторону поля зарядов диска$$E_2=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$Записав закон Ома $E_1+E_2=\rho j$ в виде$$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\rho j$$с учётом равенств $\dot\sigma=j$ и $p=\sigma Sh=\sigma V$ $(V=\pi R^2h)$ получим требуемое уравнение$$\varepsilon_0\rho\dot p+p=\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{2}\right).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "2.2.3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Считая диск конденсатором, пластины которого соединены резистором, найдите характерное время такой $RC$-цепочки. Ответ выразите через удельное сопротивление $\rho$ материала диска. ", "solution": {"text": "$R=\rho\frac{h}{S}, C=\frac{\varepsilon_0S}{h}, \tau=RC=\varepsilon_0\rho.$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=RC=\varepsilon_0\rho.$$"]}, "number_part": "2.2.4", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Запишите следующее из этого условия соотношение между $\omega$ и $\rho$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\frac{2\pi}{\omega} \gg \varepsilon_0\rho$ или $\varepsilon_0\rho\omega \ll 1$."]}, "number_part": "2.2.5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Получите в этом приближении из уравнения, полученного в пункте 2.2.3, выражение дипольного момента диска $p$ через координату шарика $x$ и его скорость $v$. ", "solution": {"text": "При гармонических колебаниях отношение амплитуды $\varepsilon_0\rho\dot p$ к амплитуде $p$ равно $\varepsilon_0\rho\omega$, т.е. очень мало. Поэтому в нулевом приближении в уравнении$$\varepsilon_0\rho\dot p+p=\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)$$первым членом можно пренебречь. Тогда$$p=\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right) \text{ и } \dot p=\frac{qV}{2\pi z^3}v.$$Следующее приближение получим, подставив $\dot p$ в исходное уравнение$$p=\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)-\varepsilon_0\rho\dot p=\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)-\varepsilon_0\rho\frac{qV}{2\pi z^3}v$$(Возможно решение с помощью векторной диаграммы)."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p=\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)-\varepsilon_0\rho\frac{qV}{2\pi z^3}v.$$"]}, "number_part": "2.2.6", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите выражение для силы, действующей на шарик со стороны диска. Запишите уравнение движения шарика. ", "solution": {"text": "Сила, действующая на шарик со стороны диска равна$$F=\frac{p}{2\pi\varepsilon_0(z-x)^3}q=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0z^3}\left(1+3\frac{x}{z}\right)\left[\frac{qV}{4\pi z^2}\left(1+2\frac{x}{z}\right)-\varepsilon_0\rho\frac{qV}{2\pi z^3}v\right]=\\=\frac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^6}[(z+5x)-2\varepsilon_0\rho v]. $$Уравнение движения шарика$$mx^{"}=-kx+\frac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^6}[(z+5x)-2\varepsilon_0\rho v]$$или$$mx^{"}+\frac{q^2\rho R^2h}{4\pi z^6}x^{\prime}+\left[k-\frac{5q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^6}\right]x=\frac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^5}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Сила, действующая на шарик со стороны диска$$F=\frac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^6}[(z+5x)-2\varepsilon_0\rho v]. $$Уравнение движения шарика$$mx^{"}+\frac{q^2\rho R^2h}{4\pi z^6}x^{\prime}+\left[k-\frac{5q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^6}\right]x=\frac{q^2R^2h}{8\pi\varepsilon_0 z^5}.$$"]}, "number_part": "2.2.7", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Найдите характерное время затухания колебаний шарика. ", "solution": {"text": "$b=\frac{q^2\rho R^2h}{4\pi z^6}$, $\beta=\frac{b}{2m}=\frac{q^2\rho R^2h}{8\pi z^6m}$, $\tau=\frac{1}{\beta}=\frac{8\pi z^6m}{q^2\rho R^2h}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\frac{8\pi z^6m}{q^2\rho R^2h}.$$"]}, "number_part": "2.2.8", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Покажите, что потери механической энергии шарика равны количеству теплоты, выделившемуся в диске то же время. ", "solution": {"text": "Мгновенная тепловая мощность в диске равна$$P=j^2\rho V=\left(\frac{qv}{2\pi z^3}\right)^2\rho V=\frac{q^2\rho R^2h}{4\pi z^6}v^2=bv^2,$$что опять равно мощности силы сопротивления $(F=-bv)$."}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "2.2.9", "exponent_part": "1,00"}]