text: {"text": [{"text": "На концах лёгкой спицы длины $L$ закреплены два одинаковых маленьких металлических шарика (см. рисунок). Спицу поставили на подставку ширины $l \ll L$ так, что её середина оказалась над серединой подставки, и отклонили на небольшой угол $\varphi_{0} \ll 1$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите период малых колебаний спицы, если при переходе спицы с одного ребра на другое потери энергии пренебрежимо малы, а спица от подставки не отрывается и не проскальзывает."}]}
answer: [{"condition": "Определите период малых колебаний спицы, если при переходе спицы с одного ребра на другое потери энергии пренебрежимо малы, а спица от подставки не отрывается и не проскальзывает. ", "solution": {"text": "Рассмотрим вращение спицы вокруг левого края подставки. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий шариков: $$ K=\frac{m}{2}\left(\frac{L-l}{2}\right)^{2} \dot{\varphi}^{2}+\frac{m}{2}\left(\frac{L+l}{2}\right)^{2} \dot{\varphi}^{2}=\frac{m\left(L^{2}+l^{2}\right)}{4} \dot{\varphi}^{2} \approx \frac{m L^{2}}{4} \dot{\varphi}^{2}. $$ Потенциальная энергия системы: $$ \Pi=-m g\left(\frac{L-l}{2}\right) \varphi+m g\left(\frac{L+l}{2}\right) \varphi=m g l \varphi . $$ Механическая энергия системы сохраняется, поэтому $$ \dot{K}+\dot{\Pi}=\frac{m L^{2}}{2} \ddot{\varphi} \dot{\varphi}+m g l \dot{\varphi}=0. $$ Сократив это уравнение на $\dot{\varphi}$ (решение $\dot{\varphi}=0$ нас не интересует), получим уравнение равноускоренного движения: $$ \ddot{\varphi}=-\frac{2 g l}{L^{2}}. $$ Время $\tau$, за которое спица вернётся в горизонтальное положение, найдём из условия: $$ \frac{\ddot{\varphi} \tau^{2}}{2}=-\varphi_{0}, \quad \text { откуда, } \quad \tau=\sqrt{\frac{\varphi_{0}}{g l}} L . $$ После того, как спица вернётся в горизонтальное положение, она начнёт движение относительно правого угла подставки, затем снова относительно левого и так далее. Период такого движения $$ T=4 \tau=4 L \sqrt{\frac{\varphi_{0}}{g l}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=4 L \sqrt{\frac{\varphi_{0}}{g l}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]