text: {"text": [{"text": "Кавитация — это явление образования пузырьков с паром или «полостей» (англ. cavity) в жидкой среде из-за понижения давления. Этим кавитация отличается от кипения, при котором пузырьки возникают за счет увеличения температуры. Когда давление снова повышается, пузырьки с паром схлопываются и создают ударные волны и сверхзвуковые струи. <img_0> Кавитация как правило происходит из-за микроскопических пузырьков, , которые всегда есть в жидкости. Размер этих микропузырьков порядка нескольких микрон, они содержат как воздух, так и пар. Если давление в жидкости становится достаточно маленьким, зародыш увеличивается до макроскопического размера, начинается кавитация. Если очистить жидкость от таких зародышей, кавитация не начнется даже при отрицательном давлении. <img_1> Если внешнее давление внезапно уменьшится и станет меньше критического давления, зародыш начнет расширяться и скорость расширения быстро достигнет установившегося значения. Обычно к тому времени, когда пузырек достигает макроскопического размера, давление возвращается к исходному значению, и пузырек начинает схлопываться. Рассмотрим следующую модель: макроскопический пузырек находится в равновесии, а давление внезапно повышается. Тогда если внутри пузырька есть воздух, он сначала схлопнется, а затем начнет расширяться, достигнув некоторого минимального размера. Если же пузырек содержит только водяной пар, он полностью исчезнет, причем скорость сжатия пузырька будет неограниченно возрастать, когда его размер стремится к 0. На самом деле в конце схлопывания пузырек не будет сферическим и нужно будет учитывать сжимаемость воды. Однако если не сказано обратного, этими эффектами можно пренебречь. Когда звуковая волна проходит через воду с пузырьками, эта волна заставляет пузырьки пульсировать за счет изменения давления, а также вызывает поступательное движение пузырьков. Теория предсказывает, что из-за диффузии воздуха через границу пузырька, он полностью растворится, если только раствор воздуха в воде не насыщенный. Однако на самом деле в воде существуют зародыши микронного размера, и от них крайне сложно избавиться. Поэтому само существование зародышей представляет собой парадокс. Рассмотрим одно из возможных разрешений этого парадокса, а именно предположение, что маленькие полости в стенках или твердых частицах содержат микроскопические объемы воздуха и пара. Рассмотрим замкнутый сосуд, содержащий воду и воздух. Если воздух слишком сухой, его влажность будет возрастать за счет испарения воды. Если воздух слишком влажный, его влажность уменьшится за счет конденсации. Оказывается, что в равновесии парциальное давление водяного пара $p_v=p_v(T)$ — функция температуры. <img_2> Если объем пузырька мгновенно изменяется, влажность внутри пузырька выйдет из равновесия с окружающей водой, и система должна прийти в новое положение равновесия путем испарения или конденсации. В реальности этот процесс настолько быстрый, что мы можем считать, что пар все время находится в равновесии. Поскольку количеством тепла, которое получает или отдает окружающая вода в этом процессе, можно пренебречь, температура остается постоянной. Поэтому можно считать, что парциальное давление пара в пузырьке все время остается равным $p_v$. Закон Генри позволяет описывать поведение воздуха в пузырьке. Он утверждает, что концентрация воздуха, растворенного в воде, в равновесии пропорциональна давлению воздуха над поверхностью воды: \begin{equation*}u=Hq,\end{equation*} где $u$ — концентрация воздуха в воде, $H$ — постоянная Генри, $q$ — парциальное давление воздуха над поверхностью воды. Как и раньше, будем считать, что воздух в пузырьке находится в равновесии и не происходит никаких изменений температуры. Растворенный в воде воздух перемещается из областей с высокой концентрацией в области с низкой концентрацией. Закон Фика утверждает, что поток за счет диффузии через элемент поверхности $S$ пропорционален скорости изменения концентрации в направлении, перпендикулярном к $S$: \begin{equation*} J = \kappa \frac{\partial u}{\partial x} \end{equation*} Здесь $J$ — диффузионный поток, количество молекул воздуха, которые проходят через единицу площади поверхности в единицу времени, $\kappa$ — коэффициент диффузии, координата $x$ перпендикулярна $S$. Если $u$ — функция $x$ и возможно других переменных, обозначение $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ означает производную по $x$, при постоянных остальных переменных. Если вам нужно найти функцию $w = w(x,t)$ в первой координатной четверти $Q$ (то есть при $x>0$ и $t>0$), которая удовлетворяет в $Q$ уравнению \begin{equation*}\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2},\end{equation*} а также условиям \begin{cases} w(x,0) = f(x), \quad x>0, \\ w(0,t) = 0, \quad t>0, \end{cases} то решение имеет вид \begin{equation*}w(x,t) = \frac1{\sqrt{4\pi t}}\int_0^\infty \big( e^{-(x-y)^2/(4t)} - e^{-(x+y)^2/(4t)} \big) f(y) dy .\end{equation*} Вам могут потребоваться следующие интегралы: \begin{equation*}\int_0^\infty e^{-bx^2} dx = \frac{\sqrt\pi}{2\sqrt{b}},\qquad \int_0^\infty x^2e^{-bx^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4b\sqrt{b}} \qquad (b>0). \end{equation*} В таблице 1 приводится список обозначений, используемых в задаче, и стандартные значения некоторых постоянных"}, {"text": "Часть A. Предварительный анализ (1.5 балла)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя метод размерностей, оцените время $T$ схлопывания пузырька, содержащего только пар. Выразите ответ через начальный радиус пузырька $R_0$, плотность воды $\rho$, давление воды $p_{\infty}$ и давление пара $p_v$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$."}, {"text": "Часть B. Динамика пузырька (6.0 баллов) Изучим динамику сферического пузырька, содержащего смесь воздуха и пара. Считайте, что воздух не перемещается через границу пузырька и поэтому для описания поведения пузырька достаточно определить давление в нем. Тем не менее испарение и конденсация пара будет происходить на стенках пузырька, и эти процессы поддерживают давление пара $p_v$ внутри пузырька."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, состоящий из воздуха и пара, находится в равновесии, когда внешнее давление равно $p_{\infty} = 101 $ кПа. Найдите парциальное давление $q_0$ воздуха в пузырьке. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,50"}, "text": "Пусть один сферический пузырек находится в воде, которая заполняет все пространство. Пузырек может менять размер (например из-за изменения внешнего давления $p_{\infty}$), при этом все время оставаясь сферическим. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$. Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$. Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 101$ кПа содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление мгновенно уменьшается до $p_{\infty} = 0$. Оцените предельное (асимптотическое) значение скорости роста пузырька $R'$, а также время, за которое скорость достигнет этого значения."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 1.600$ кПа содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление стало равно $p_{\infty} = 101$ кПа. Оцените минимальный радиус пузырька перед тем, как он начнет расширяться."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,50"}, "text": "Если внутри пузырька находится только водяной пар, пузырек полностью схлопнется за конечное время. Определите показатель степени $\alpha$ в зависимости \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания. \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания. \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания. \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания. \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания. \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания. \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*} где $T$ — время схлопывания."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,00"}, "text": "Используя уравнение, полученное в B3, найдите собственную частоту сферически-симметричных колебаний пузырька радиуса $R_0 = 0.1$ мм."}, {"text": "Часть C. Исчезновение зародышей из-за диффузии (2.5 балла) В этой части рассмотрим диффузию воздуха через границу пузырька."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть пузырек, описанный в предыдущем пункте, находится в области, в которой есть стоячая звуковая волна. Давление в волне меняется вдоль оси $x$ как \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*} где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения. Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "2,00"}, "text": "Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, содержащий воздух и пар, находится в растворе воздуха в воде, в котором растворенный воздух находится в равновесии с воздухом при атмосферном давлении. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде. Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Рассмотрим коническую трещину в стенке бака с водой, угол при вершине конуса $\alpha$, см. рис. Небольшое количество пара и воздуха находится в конусе.Запишите условия механического равновесия и равновесия по отношению к диффузии. Определите, при каком условии воздух останется в щели. Угол смачивания поверхности водой $\theta$. <img_3>"}]}
answer: [{"condition": "Используя метод размерностей, оцените время $T$ схлопывания пузырька, содержащего только пар. Выразите ответ через начальный радиус пузырька $R_0$, плотность воды $\rho$, давление воды $p_{\infty}$ и давление пара $p_v$.   Найдите численное значение времени, считая, что коэффициент пропорциональности в полученной формуле равен 1, $R_0 = 1$ мм, а значения $\rho$, $p_{\infty}$, и $p_v$ возьмите из таблицы обозначений. Поверхностное натяжение не учитывайте, $\sigma = 0$. ", "solution": {"text": "Естественно предположить, что пузырек не схлопнется если $p_\infty \le p_v$. Поэтому будем считать, что $p_\infty > p_v$, а время схлопывания будет зависеть только от разности $p_\infty - p_v$. Размерности используемых величин$$[R_0] = \text{м}, \; [\rho] = \text{кг}/\text{м}^3, \; [p_\infty - p_v] = \text{кг}/(\text{м}\cdot \text{с}^2).$$Из них можно составить единственную комбинацию с размерностью времени"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau \sim R_0 \sqrt{\frac{\rho}{p_\infty - p_v}} \approx 0.1 ~\text{мс}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, состоящий из воздуха и пара, находится в равновесии, когда внешнее давление равно $p_{\infty} = 101 $ кПа. Найдите парциальное давление $q_0$ воздуха в пузырьке.   Пусть теперь внешнее давление $p_\infty$ постепенно уменьшают, а процесс для воздуха в пузырьке изотермический. Найдите критическое давление $p_c$, которое определяется тем условием, что при $p_{\infty} < p_c$ размер пузырька неограниченно возрастает. Значения $p_v$ и $\sigma$ считайте равными их стандартным значениям из таблицы обозначений. ", "solution": {"text": "В равновесии давления должны быть связаны условием (давление внутри пузырька больше давления на бесконечности за счет поверхностного натяжения)$$p_v + q = p_\infty + \frac{2 \sigma}{R},$$при $R = R_0$ и $q = q_0$ оно дает$$q_0 = p_\infty - p_v + \frac{2 \sigma}{R_0} \approx 113 ~\text{кПа}.$$ С другой стороны при постоянной температуре$$q_0 R_0^3 = q R^3,$$поэтому $$p_\infty = p_v + q_0 \frac{R_0^3}{R^3} - \frac{2 \sigma}{R}.$$Критическому значению давления отвечает минимум $p_\infty$ как функции $R$. Этот минимум получается при $$R_c = R_0 \sqrt{\frac{3 q_0 R_0}{2 \sigma}} \approx 48~\text{мкм},$$соответствующее значение давления $$p_c= p_v - \frac{4}{3} \sqrt{\frac{2 \sigma^3}{3 q_0 R_0^3}} = p_v - 2 q_0 \left( \frac{R_0}{R_c}\right)^3 \approx 332~\text{Па}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q_0 = p_\infty - p_v + \frac{2 \sigma}{R_0} \approx 113 ~\text{кПа}, \quad p_c = p_v - 2 q_0 \left( \frac{R_0}{R_c}\right)^3 \approx 332~\text{Па}.$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть один сферический пузырек находится в воде, которая заполняет все пространство. Пузырек может менять размер (например из-за изменения внешнего давления $p_{\infty}$), при этом все время оставаясь сферическим.   Получите уравнение, которое связывает радиус пузырька $R(t)$ и его производные по времени $R'(t)$ и $R''(t)$, поверхностное натяжение $\sigma$, плотность воды $\rho$, давление вдали от пузырька $p_{\infty}$, и давление внутри пузырька $p$.   Затем разбейте давление $p$ внутри пузырька на два слагаемых, считая, что пузырек содержит пар (с парциальным давлением $p_v$) и воздух. Процесс для воздуха адиабатический, показатель адиабаты $\gamma$. Начальное давление воздуха $q_0$, начальный радиус пузырька $R_0$.   Считайте, что испарение, конденсация, или перенос воздуха между пузырьком и окружающей его водой не влияют на объем воды. ", "solution": {"text": "Пусть $v(r,t)$ — скорость элемента жидкости на расстоянии $r$ от центра пузырька в момент времени $t$, а $u(t) = v(R, t)$ — скорость на границе пузырька $$ u(t) = \dot{R}(t). $$ Тогда из условия несжимаемости получим $$ v(r,t) = \frac{R^2}{r^2} u(t).$$  Первый способ. Использование законов Ньютона Запишем второй закон Ньютона для элемента жидкости. Для этого нам нужно найти его ускорение. Сначала вычислим производную по времени: $$ \frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{R^2}{r^2} u(t) \right) = \frac{2 R}{r^2} u^2 + \frac{R^2}{r^2} \dot{u}. $$ Скорость выбранного элемента жидкости меняется из-за двух причин. Во-первых распределение скоростей в пространстве меняется с течением времени. Во-вторых положение данного элемента жидкости в пространстве меняется с течением времени:$$\Delta v = v(r + \Delta r, t + \Delta t) - v(r, t),$$где изменение радиальной координаты $\Delta r = v \Delta t$. Тогда радиальное ускорение частицы жидкости $$ a = \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial r} = \frac{R^2}{r^2} \dot{u} + \frac{2R}{r^2} u^2 - \frac{2 R^4}{r^5} u^2. $$ Если $p = p(r)$ — давление на расстоянии $r$ (здесь мы явно не указываем возможную зависимость давления от времени), второй закон Ньютона имеет вид (штрих здесь — радиальная производная) $$ \rho a = - p', $$ или $$ \frac{R^2}{r^2} \dot{u} +\left( \frac{2R}{r^2} - \frac{2 R^4}{r^5} \right)u^2 = - \frac{p'}{\rho}. $$ Проинтегрируем это уравнение от $r = R$ до $r = \infty$ и получим $$ R \dot{u} + \frac{3}{2} u^2 = \frac{p(R) - p_\infty}{\rho}. $$ Поскольку давление внутри пузырька связано с давлением снаружи соотношением $$ p = p(R) + \frac{2\sigma}{R}, $$ мы получим $$ R \ddot{R} + \frac{3}{2} \dot{R}^2 + \frac{2\sigma}{\rho R} = \frac{p- p_\infty}{\rho}. $$ Наконец учтем, что давление в пузырьке складывается из давления пара $p_v$ и давления воздуха, а значит $$ p = p_v + q = p_v + q_0 \left( \frac{R_0}{R}\right)^{3 \gamma}, $$откуда уравнение движения$$\rho R\ddot{R} + \frac{3}{2} \rho \dot{R}^2 + \frac{2\sigma}{ R} - q_0\frac{ R_0^{3 \gamma}}{R^{3 \gamma}} = p_v - p_\infty.$$ Второй способ. Энергетический подход Найдем кинетическую энергию движущейся жидкости. Масса жидкости на расстоянии от $r$ до $r + dr$ от центра пузырька равна$$dm = 4\pi r^2 \rho dr,$$откуда ее кинетическая энергия$$dE_k = \frac{dm }{2} v(r, t)^2 = 2 \pi \rho r^2 u^2 \frac{R^4}{r^4} dr .$$Тогда полная кинетическая энергия$$E_k = \int_R^{\infty} 2 \pi \rho u^2 R^4 \frac{dr}{r^2} = 2 \pi \rho R^3 u^2 $$Также нужно учесть поверхностную энергию$$E_s = 4 \pi R^2 \sigma.$$Энергия жидкости и поверхности меняется за счет того, что давление воздуха внутри пузырька и жидкости на бесконечности совершают работу. За время $dt$ радиус пузырька меняется на величину $dR = u dt = \dot{R} dt$, поэтому газ внутри совершает работу$$dW_1 = 4\pi R^2 p dR = 4\pi R^2 p u dt.$$ Для вычисления работы жидкости на бесконечности выберем сферу очень большого радиуса $R_1 \gg R$. Скорость элементов жидкости на этой поверхности$$u_1 = u \frac{R^2}{R_1^2},$$поэтому работа над жидкостью внутри этой сферы равна$$d W_2 = - 4 \pi R_1^2 p(R_1) u_1 dt = - 4\pi R^2 p(R_1) u dt.$$Когда радиус сферы стремится к бесконечности, мы можем заменить $p(R_1) = p_\infty$, и тогда радиус сферы исчезнет из выражения для работы. Тогда закон сохранения энергии имеет вид$$d(E_k + E_s) = dW_1 + dW_2.$$Вычисляя дифференциалы и сокращая $dt$, получим$$\frac{d}{dt} \left( 2 \pi \rho R^3 \dot{R}^2 + 4 \pi \sigma R^2\right) = 4\pi R^2 \dot{R}(p - p_\infty),$$откуда (после деления на $4\pi$ и сокращения общего множителя $R^2 \dot{R}$)$$\frac{3}{2} \rho \dot{R}^2 + \rho R \ddot{R} + \frac{2 \sigma}{R} = p- p_\infty.$$Подставляя выражения для $p$, получим то же уравнение"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\rho R\ddot{R} + \frac{3}{2} \rho \dot{R}^2 + \frac{2\sigma}{ R} - q_0\frac{ R_0^{3 \gamma}}{R^{3 \gamma}} = p_v - p_\infty$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 101$ кПа содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление мгновенно уменьшается до $p_{\infty} = 0$. Оцените предельное (асимптотическое) значение скорости роста пузырька $R'$, а также время, за которое скорость достигнет этого значения. ", "solution": {"text": "Используя то, что $\ddot{R} \to 0$ и $R \to \infty$, получим$$\dot{R}(\infty) = \sqrt{\frac{2 (p_v -p_\infty)}{3 \rho}} = \sqrt{\frac{2 p_v }{3 \rho}} \approx 1.24~\text{м}/\text{с}.$$Из уравнения движения найдем начальное ускорение$$\ddot{R}(0) = \frac{q_0 + p_v - 2\sigma/R_0}{\rho R_0} = \frac{p^-_\infty}{\rho R_0} \approx 10^7~\text{м}/\text{с}^2,$$и поэтому время установления скорости можно оценить как$$t \approx \frac{\dot{R}(\infty)}{\dot{R}(0)} \approx 0.1~\text{мкс}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\dot{R}(\infty) =\sqrt{\frac{2 p_v }{3 \rho}} \approx 1.24~\text{м}/\text{с}, \quad t \approx \frac{\dot{R}(\infty)}{\dot{R}(0)} \approx 0.1~\text{мкс}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Бак с водой с давлением $p_{\infty}^{-} = 1.600$ кПа содержит пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, изначально находящийся в состоянии равновесия. В некоторый момент времени давление стало равно $p_{\infty} = 101$ кПа. Оцените минимальный радиус пузырька перед тем, как он начнет расширяться. ", "solution": {"text": "Умножим уравнение из B1 на $2 R^2 \dot{R}$, получим$$\rho \frac{d}{dt}\left[ R^3 \dot{R}^2\right]+ 4 \sigma R \dot{R} - 2 q_0 R_0^{3 \gamma} R^{2 - 3 \gamma}\dot{R} = 2 (p_v - p_\infty) R^2 \dot{R}.$$Проинтегрируем это уравнение от $R(0) = R_0$ и $\dot{R}(0) = 0$ до $R(t) = R$ и $\dot{R}(t)$, получим$$\rho R^3 \dot{R}^2 + 2 \sigma (R^2 - R_0^2) + \frac{2}{3 (\gamma -1)} q_0 R_0^{3 \gamma} \left( R^{3 - 3\gamma} - R_0^{3 - 3\gamma}\right) = \frac{2}{3} (p_v - p_\infty)(R^3 - R_0^3),$$ или$$\rho \dot{R} ^2 = \frac{2 (p_v -p_\infty)}{\rho} - \frac{2 \sigma}{R} + \frac{2 R_0^3}{R^3} \left( \frac{\sigma}{R} + \frac{p_\infty - p_v}{3} + \frac{q_0}{3 (\gamma - 1)} - \frac{q_0 R_0^{3 \gamma -3}}{3 (\gamma -1) R^{3 \gamma -3}}\right).$$Это же соотношение является законом сохранения энергии, записанным в интегральной форме. Чтобы получить его непосредственно из закона сохранения энергии, подставим в выражение для работы из B1 явную зависимость давления от радиуса:$$dW = dW_1 + dW_2 = 4 \pi R^2 dR \left( p_v + q_0 \frac{R_0^{3 \gamma}}{R^{3 \gamma}} - p_\infty\right).$$Интегрируя от $R_0 $ до $R$, найдем полную работу$$W = \frac{4\pi}{3} (R^3 - R_0^3)(p- p_\infty) + \frac{4\pi q_0 R_0^{3 \gamma}}{3 - 3 \gamma} \left( R^{3 - 3 \gamma} - R_0^{3- 3 \gamma} \right).$$Она равна изменению энергии жидкости и поверхностной энергии$$\Delta (E_k + E_s) = 2\pi \rho R^3 \dot{R}^2 + 4 \pi \sigma (R^2 - R_0^2) = W.$$Подставляя выражения для работы и деля обе части на $2\pi R^3$, получаем прежнее выражение для $\rho \dot{R}^2$.Когда радиус пузырька достигнет минимального значения, $\dot{R} = 0$. Если считать, что при этом $R \ll R_0$, то можно учитывать только наиболее быстро растущие слагаемые. Поскольку слагаемое с $1/R^3$ растет быстрее остальных, для оценки можно считать, что выражение в круглых скобках в формуле для $\rho \dot{R}^2$ должно быть равно нулю:$$ \frac{\sigma}{R} + \frac{p_\infty - p_v}{3} + \frac{q_0}{3 (\gamma - 1)} - \frac{q_0 R_0^{3 \gamma -3}}{3 (\gamma -1) R^{3 \gamma -3}} =0,$$откуда $$\left( \frac{R_0}{R}\right)^{3 \gamma -3} = \frac{\gamma -1}{q_0} \left( p_\infty - p_v + \frac{3 \sigma}{R_0}\right) +1.$$Аналогично A2 найдем начальное значение давления воздуха внутри пузырька:$$q_0 = p_\infty^- - p_v +\frac{2 \sigma}{R_0} = 13.8~ кПа.$$Тогда численное значение минимального радиуса$$R \approx 2.88~ мкм.$$Точное решение уравнения $\dot{R}^2 = 0$ дает $R = 2.95 ~ мкм $."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R = 2.95 ~ мкм $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Если внутри пузырька находится только водяной пар, пузырек полностью схлопнется за конечное время. Определите показатель степени $\alpha$ в зависимости  \begin{equation*} R(t)\sim(T-t)^{\alpha}, \end{equation*}  где $T$ — время схлопывания. ", "solution": {"text": "При $R \ll R_0$ из уравнения движения следует (наиболее быстро растущее слагаемое в выражении для $\dot{R}^2$ ведет себя как $1/R^3$)$$R' \sim - R^{-3/2}.$$Подставим в это уравнение решение вида $R \sim (T- t)^\alpha$, получим$$(T- t)^{\alpha - 1} \sim (T- t)^{-3 \alpha/2},$$откуда $$\alpha - 1 = - \frac{3 \alpha}{2},$$ Может показаться, что если использовать вместо закона сохранения непосредственно уравнение движения, получится другой показатель степени. Действительно, подставив в уравнение движения решение вида $R = A (T-t)^\alpha$, получим$$A (T-t)^\alpha A \alpha (\alpha -1) (T- t)^{\alpha - 2} + \frac{3}{2} A^2 \alpha^2 (T- t)^{2 \alpha} + \frac{2 \sigma}{\rho A} (T-t)^{-\alpha} = \frac{p_v - p_\infty}{\rho}.$$Тогда первые два слагаемых пропорциональны $(T- t)^{2\alpha-2}$, третье слагаемое порядка $(T- t)^{-\alpha}$, правая часть не зависит от времени, а слагаемое с $q_0$ по условию не учитываем. Тогда чтобы первые три слагаемых могли сократиться, нужно потребовать $2 \alpha - 2 = -\alpha$, $\alpha = 2/3$. Однако это рассуждение работает только при условии, что коэффициент перед первыми двумя слагаемыми не равен нулю$$A^2\left( \alpha(\alpha -1) + \frac{3}{2} \alpha^2 \right) = A^2 \left( \frac{5}{2} \alpha^2 - \alpha\right).$$Однако он обращается в 0 как раз при правильном значении показателя степени $\alpha = 2/5$, так что никакого противоречия нет. Последующие слагаемые сократятся за счет поправок к лидирующему решению:$$R(t) = A(T-t)^{2/5} (1 + f (T- t) + \dots),$$при правильном выборе постоянной $f$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha = \frac{2}{5}.$$  Может показаться, что если использовать вместо закона сохранения непосредственно уравнение движения, получится другой показатель степени. Действительно, подставив в уравнение движения решение вида $R = A (T-t)^\alpha$, получим$$A (T-t)^\alpha A \alpha (\alpha -1) (T- t)^{\alpha - 2} + \frac{3}{2} A^2 \alpha^2 (T- t)^{2 \alpha} + \frac{2 \sigma}{\rho A} (T-t)^{-\alpha} = \frac{p_v - p_\infty}{\rho}.$$Тогда первые два слагаемых пропорциональны $(T- t)^{2\alpha-2}$, третье слагаемое порядка $(T- t)^{-\alpha}$, правая часть не зависит от времени, а слагаемое с $q_0$ по условию не учитываем. Тогда чтобы первые три слагаемых могли сократиться, нужно потребовать $2 \alpha - 2 = -\alpha$, $\alpha = 2/3$. Однако это рассуждение работает только при условии, что коэффициент перед первыми двумя слагаемыми не равен нулю$$A^2\left( \alpha(\alpha -1) + \frac{3}{2} \alpha^2 \right) = A^2 \left( \frac{5}{2} \alpha^2 - \alpha\right).$$Однако он обращается в 0 как раз при правильном значении показателя степени $\alpha = 2/5$, так что никакого противоречия нет. Последующие слагаемые сократятся за счет поправок к лидирующему решению:$$R(t) = A(T-t)^{2/5} (1 + f (T- t) + \dots),$$при правильном выборе постоянной $f$."]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя уравнение, полученное в B3, найдите собственную частоту сферически-симметричных колебаний пузырька радиуса $R_0 = 0.1$ мм. ", "solution": {"text": "Для описания поведения пузырька введем безразмерную переменную $x$ согласно $R = R_0(1 + x)$, тогда уравнение движения$$\rho R_0^2 (1 + x)\ddot{x} + \frac{3}{2} R_0^2 \dot{x}^2 + \frac{2 \sigma}{R_0(1 + x)}- \frac{q_0}{(1 + x)^{3 \gamma}} = p_v - p_\infty.$$Считая колебания малыми, оставим только линейный по $x$ слагаемые. Тогда в первом слагаемом можно пренебречь $x$, вторым слагаемым можно пренебречь полностью, а оставшиеся разложить до первого порядка по $x$. Не зависящие от $x$ слагаемые сократятся в силу условия равновесия пузырька. Окончательно получим$$\rho R_0^2 \ddot{x} + \frac{2 \sigma}{R_0} (1 - x) - q_0 (1 - 3 \gamma x) =p_v - p_\infty, \quad \frac{2\sigma}{R_0} - q_0 = p_v - p_\infty,$$$$\rho R_0^2 \ddot{x} + \left(3 \gamma q_0 - \frac{2 \sigma}{R_0} \right) x= 0.$$Тогда пузырек будет устойчив при условии $3 \gamma q_0 > 2 \sigma /R_0$, а частота колебаний (при вычислении считаем, что пузырек находится в равновесии при радиусе из условия и давлении $p_\infty = 101~ кПа$, откуда $q_0 \approx 100~ кПа$)"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3 \gamma q_0 - 2 \sigma/R_0}{\rho R_0^2}} \approx 32.6 ~ кГц$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть пузырек, описанный в предыдущем пункте, находится в области, в которой есть стоячая звуковая волна. Давление в волне меняется вдоль оси $x$ как  \begin{equation*} p(x,t) = p_0 + A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}(x+a)\right) \sin(2\pi ft) , \end{equation*}  где $f$ — частота, $c$ — скорость звука. Параметры $p_0$, $A$ и $a$ — постоянные, смысл которых можно понять из уравнения.   Найдите среднюю силу, действующую на пузырек. Он расположен в начале системы координат $xyz$, его размер много меньше длины волны звука. ", "solution": {"text": "Будем использовать то же линеаризованное уравнение колебаний пузырька, но теперь учтем, что давление на бесконечности меняется по закону из условия$$\rho R_0^2 \ddot{x} + \left(3 \gamma q_0 - \frac{2 \sigma}{R_0} \right) x= A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}a\right) \sin(2\pi ft).$$Установившееся решение имеет вид $x = B \sin (2\pi f t)$, амплитуду решения можно найти, подставив его в уравнение. Для упрощения записи ответов выразим коэффициент перед $x$ через $f_0^2$:$$\rho R_0^2 4\pi^2 (f_0^2 - f^2) B \sin (2\pi f t) = A \sin\left(\frac{2\pi f}{c}a\right) \sin(2\pi ft),$$откуда решение имеет вид$$x(t) = \frac{A \sin\left(\frac{2\pi f} {c}a\right)}{4\pi^2 \rho R_0^2 (f_0^2 -f^2)} \sin (2\pi f t).$$Давление меняется с координатой, поэтому на пузырек действует сила, аналогичная силе Архимеда$$F_x = - \rho g_x V,$$где $g_x$ — эффективное ускорение свободного падения, которое можно найти, зная градиент давления:$$\rho g_x = \frac{\partial p}{\partial x}.$$Тогда среднее по времени значение силы$$F = -\left\langle V \frac{\partial p}{\partial x}\right\rangle.$$Объем пузырька$$V = \frac{4 \pi }{3 } R^3 = \frac{4 \pi }{3 } R^3_0 (1 + x)^3 \approx \frac{4 \pi }{3 } R^3_0(1 + 3x), $$постоянное слагаемое сократится при усреднении, тогда получим$$F = - 4\pi R_0^3 \left\langle x \frac{\partial p}{\partial x}\right\rangle= - 4\pi R_0^3 \frac{A \sin\left(\frac{2\pi f} {c}a\right)}{4\pi^2 \rho R_0^2 (f_0^2 -f^2)} \left\langle\sin (2 \pi ft) \frac{2 \pi f}{c} A \cos\left( \frac{2\pi f}{c} f\right) \sin(2\pi ft)\right\rangle.$$Используя среднее от квадрата синуса $\langle \sin^2 (2\pi ft) = 1/2$ и формулу для синуса двойного угла, получим окончательно"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F = - \frac{R_0 f A^2 }{2 \rho c (f_0^2 - f^2)} \sin \left( \frac{4\pi f}{c} a\right)$$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть пузырек радиуса $R_0 = 10^{-5}$ м, содержащий воздух и пар, находится в растворе воздуха в воде, в котором растворенный воздух находится в равновесии с воздухом при атмосферном давлении.   Парциальное давление воздуха в пузырьке $q = 1.70\cdot 10^5$ Па, давлением пара можно пренебречь. Оцените время, за которое пузырек полностью растворится в воде.   Значения величин $p_{\infty}$, $\kappa$, $\delta$ и $\sigma$ возьмите в таблице 1. Считайте, что область вокруг пузырька, в которой происходит диффузия воздуха, мгновенно становится много больше самого пузырька. ", "solution": {"text": "Концентрация растворенного воздуха на большом расстоянии до пузырька $$u_i = H p_\infty,$$а концентрация вблизи пузырька$$u = H q > u_i,$$поэтому возникнет диффузионный поток растворенного воздуха, направленный от пузырька. Из-за этого масса воздуха внутри пузырька будет убывать, и со временем пузырек полностью растворится.Оценим поток воздуха из пузырька. Для оценки примем, что концентрация растворенного воздуха существенно изменяется на расстоянии порядка радиуса пузырька, тогда полный поток$$J = 4 \pi R^2 \kappa \frac{u - u_i}{R} = 4\pi R \kappa H(q - p_\infty).$$Поскольку давлением водяного пара можно пренебречь, давление воздуха в пузырьке$$q = p_\infty + \frac{2 \sigma}{R}.$$Тогда окончательное выражение для потока массы из пузырька $$J = 4 \pi R \kappa H \frac{2\sigma}{R} = 8 \pi \kappa H \sigma.$$ Видим, что это выражение не зависит от радиуса, поэтому для оценки времени можно просто разделить полную массу воздуха в пузырьке на поток. Эта масса равна$$m = \frac{4\pi}{3} R^3_0 \frac{\delta}{p_\infty} \left( p_\infty + \frac{2 \sigma}{R_0}\right).$$Здесь $\delta$ — плотность воздуха при атмосферном давлении $p_\infty$.Тогда время жизни пузырька$$t \approx \frac{m}{J} = \frac{\frac{4\pi}{3} R_0^3 \delta \left( 1 + \frac{2 \sigma}{p_\infty R_0}\right)}{8 \pi \kappa H \sigma} = \frac{R_0^3 \delta}{6 \kappa \sigma H} \left( 1 + \frac{2 \sigma}{p_\infty R_0} \right)$$ В основной части решения мы использовали оценку для потока воздуха из пузырька$$J = 4 \pi R^2 \kappa \frac{u - u_i}{R}.$$ Из качественных соображений невозможно получить коэффициент в формуле. Рассмотрев решение уравнения диффузии покажем, что коэффициент действительно выбран правильно (на олимпиаде такое вычисление в действительности требовалось от участников).Рассмотрим сферу радиуса $r$ и толщины $dr$. Скорость изменения массы воздуха в этой сфере можно выразить через производную концентрации:$$\frac{dm}{dt} = 4\pi r^2 dr \frac{\partial u}{\partial t}.$$С другой стороны, ее можно выразить как разность втекающих и вытекающих потоков$$\frac{dm}{dt} = 4\pi (r + dr)^2 J(r + dr) - 4\pi r^2 J(r) = 4\pi (r + dr)^2 \kappa\frac{\partial u}{\partial r} (r + dr) - 4\pi r^2 \kappa \frac{\partial u}{\partial r} (r).$$Используя соотношение $$\frac{\partial u}{\partial r} (d + dr) = \frac{\partial u}{\partial r} (r) + \frac{\partial ^2 u}{\partial r^2}(r) dr,$$получим$$\frac{dm}{dt} = 4\pi r^2 \kappa dr \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + 8 \pi r \kappa dr \frac{\partial u} {\partial r}.$$Объединив эти два уравнения, получим$$\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2 \kappa}{r} \frac{\partial u} {\partial r}.$$В начальный момент времени во всем объеме воды концентрация растворенного воздуха одинакова и равна $u = u_i$. Во все моменты времени концентрация воздуха в непосредственной окрестности пузырька равна $H q$:$$\begin{cases}u(r, 0) = u_i \quad \text{ при } r >R,\\u(R, t) = Hq, \quad \text{ при } t >0.\end{cases}$$ Введем новую переменную $v = r(u - q H)$, и новый параметр времени $\tau = \kappa t$. Тогда уравнение диффузии перейдет в$$\frac{\partial v}{\partial \tau} = \frac{\partial ^2 v}{\partial r^2},$$с граничными условиями$$\begin{cases}v(r, 0) = r(u_i -q H) \quad \text{ при } r >R,\\v(R, t) = 0 \quad \text{ при } \tau >0.\end{cases}$$Также введем переменную $\xi = r - R$ и функцию $w(\xi, \tau) = v(R + \xi, \tau)$, тогда$$\frac{\partial w}{\partial \tau} = \frac{\partial ^2 w}{\partial \xi^2},$$с граничными условиями$$\begin{cases}w(\xi, 0) = (R + \xi)(u_i -q H) \quad \text{ при } \xi > 0,\\w(0, t) = 0 \quad \text{ при } \tau >0.\end{cases}$$Решение этого уравнения имеет вид$$w(\xi, \tau) = \frac{u_i - qH}{\sqrt{4\pi \tau}} \int_0^{\infty} \left(e^{- (\xi - \eta)^2/(4 \tau)} - e^{- (\xi + \eta)^2/(4 \tau)}\right) (\eta + R) d\eta.$$Поскольку$$u(r,t) = q H + \frac{v(r, \kappa t)}{r} = qH + \frac{w(r - R, \kappa t)}{r},$$производная имеет вид$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial w}{\partial \xi} - \frac{w}{r^2},$$откуда$$\left. \frac{\partial u}{\partial r}\right|_{r = R} = \frac{1}{R} \left. \frac{\partial w}{\partial \xi} \right|_{\xi = 0} = (u_i - qH) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{\pi \kappa t}}\right). $$Здесь знаменатель второго слагаемого порядка характерного размера диффузионной области, в которой существенно меняется концентрация. Мы считаем, что размер этой области много больше размера пузырька, поэтому вторым слагаемым можно пренебречь. С учетом этого поток воздуха через поверхность пузырька$$J = - 4\pi R^2 \kappa \left. \frac{\partial u}{\partial r}\right|_{r = R} = 4\pi R^2 \kappa \frac{u - u_i}{R}.$$Это и есть выражение, которое мы использовали в основной части решения."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t \approx \frac{R_0^3 \delta}{6 \kappa \sigma H} \left( 1 + \frac{2 \sigma}{p_\infty R_0} \right) \approx 7~ с$$  В основной части решения мы использовали оценку для потока воздуха из пузырька$$J = 4 \pi R^2 \kappa \frac{u - u_i}{R}.$$ Из качественных соображений невозможно получить коэффициент в формуле. Рассмотрев решение уравнения диффузии покажем, что коэффициент действительно выбран правильно (на олимпиаде такое вычисление в действительности требовалось от участников).Рассмотрим сферу радиуса $r$ и толщины $dr$. Скорость изменения массы воздуха в этой сфере можно выразить через производную концентрации:$$\frac{dm}{dt} = 4\pi r^2 dr \frac{\partial u}{\partial t}.$$С другой стороны, ее можно выразить как разность втекающих и вытекающих потоков$$\frac{dm}{dt} = 4\pi (r + dr)^2 J(r + dr) - 4\pi r^2 J(r) = 4\pi (r + dr)^2 \kappa\frac{\partial u}{\partial r} (r + dr) - 4\pi r^2 \kappa \frac{\partial u}{\partial r} (r).$$Используя соотношение $$\frac{\partial u}{\partial r} (d + dr) = \frac{\partial u}{\partial r} (r) + \frac{\partial ^2 u}{\partial r^2}(r) dr,$$получим$$\frac{dm}{dt} = 4\pi r^2 \kappa dr \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + 8 \pi r \kappa dr \frac{\partial u} {\partial r}.$$Объединив эти два уравнения, получим$$\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2 \kappa}{r} \frac{\partial u} {\partial r}.$$В начальный момент времени во всем объеме воды концентрация растворенного воздуха одинакова и равна $u = u_i$. Во все моменты времени концентрация воздуха в непосредственной окрестности пузырька равна $H q$:$$\begin{cases}u(r, 0) = u_i \quad \text{ при } r >R,\\u(R, t) = Hq, \quad \text{ при } t >0.\end{cases}$$ Введем новую переменную $v = r(u - q H)$, и новый параметр времени $\tau = \kappa t$. Тогда уравнение диффузии перейдет в$$\frac{\partial v}{\partial \tau} = \frac{\partial ^2 v}{\partial r^2},$$с граничными условиями$$\begin{cases}v(r, 0) = r(u_i -q H) \quad \text{ при } r >R,\\v(R, t) = 0 \quad \text{ при } \tau >0.\end{cases}$$Также введем переменную $\xi = r - R$ и функцию $w(\xi, \tau) = v(R + \xi, \tau)$, тогда$$\frac{\partial w}{\partial \tau} = \frac{\partial ^2 w}{\partial \xi^2},$$с граничными условиями$$\begin{cases}w(\xi, 0) = (R + \xi)(u_i -q H) \quad \text{ при } \xi > 0,\\w(0, t) = 0 \quad \text{ при } \tau >0.\end{cases}$$Решение этого уравнения имеет вид$$w(\xi, \tau) = \frac{u_i - qH}{\sqrt{4\pi \tau}} \int_0^{\infty} \left(e^{- (\xi - \eta)^2/(4 \tau)} - e^{- (\xi + \eta)^2/(4 \tau)}\right) (\eta + R) d\eta.$$Поскольку$$u(r,t) = q H + \frac{v(r, \kappa t)}{r} = qH + \frac{w(r - R, \kappa t)}{r},$$производная имеет вид$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial w}{\partial \xi} - \frac{w}{r^2},$$откуда$$\left. \frac{\partial u}{\partial r}\right|_{r = R} = \frac{1}{R} \left. \frac{\partial w}{\partial \xi} \right|_{\xi = 0} = (u_i - qH) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{\pi \kappa t}}\right). $$Здесь знаменатель второго слагаемого порядка характерного размера диффузионной области, в которой существенно меняется концентрация. Мы считаем, что размер этой области много больше размера пузырька, поэтому вторым слагаемым можно пренебречь. С учетом этого поток воздуха через поверхность пузырька$$J = - 4\pi R^2 \kappa \left. \frac{\partial u}{\partial r}\right|_{r = R} = 4\pi R^2 \kappa \frac{u - u_i}{R}.$$Это и есть выражение, которое мы использовали в основной части решения."]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Рассмотрим коническую трещину в стенке бака с водой, угол при вершине конуса $\alpha$, см. рис. Небольшое количество пара и воздуха находится в конусе.Запишите условия механического равновесия и равновесия по отношению к диффузии. Определите, при каком условии воздух останется в щели. Угол смачивания поверхности водой $\theta$.        
      
  
  
  Коническая трещина ", "solution": {"text": "Условия равновесия имеют вид$$p_v + q = p_\infty \pm \frac{2\sigma}{R}, \quad u = Hq.$$Выбор знака зависит от направления выпуклости границы. Пусть начальное давление воздуха в пузырьке равно $q$. При больших значениях давления воздуха в пузырьке $q$, это давление будет убывать, а пузырек будет уменьшаться. В некоторый момент система придет в равновесие. Объем воздуха не исчезнет полностью, если поверхность воды выпуклая (и давление внутри может быть меньше давления на бесконечности, так что диффузия остановится):"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\pi + \alpha < 2 \theta.$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}]