text: {"text": [{"text": "На гладком горизонтальном полу находится клин массой $M$ с углом наклона $\alpha$ при основании (см. рисунок). <img_0> На поверхности клина расположен брусок массой $m$, привязанный легкой нитью к стене. Нить перекинута через невесомый блок, укрепленный на вершине клина. Отрезок нити $A B$ параллелен горизонтальной поверхности пола. Вначале систему удерживают, а затем отпускают, и брусок начинает скользить по наклонной поверхности клина. Силы трения отсутствуют."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите ускорение клина в этом случае."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Полагая $\alpha$ заданным, найдите, при каком отношении масс клина и бруска такое скольжение возможно."}]}
answer: [{"condition": "Найдите ускорение клина в этом случае. ", "solution": {"text": "Силы, действующие на брусок и клин, показаны на рисунке, причем $\left|\vec{T}_{1}\right|=\left|\vec{T}_{2}\right|=\left|\vec{T}_{3}\right|=T$. <img_1> Обозначим ускорение клина через $a_{1}$. Запишем уравнения движения тел в системе координат $x O у$: для клина по $O x$ с учетом равенства реакций опоры $\left|\vec{N}^{\prime}\right|=|\vec{N}|$: $$ T(1-\cos \alpha)+N \sin \alpha=M a_{1}; \quad (1) $$ для бруска по оси $O x$ : $$ T \cos \alpha-N \sin \alpha=m a_{x}; \quad (2) $$ для бруска по оси $Oy$: $$ m g-T \sin \alpha-N \cos \alpha=m a_{y}. \quad (3) $$ Здесь $a_{x}$ и $a_{y}$ — проекции вектора ускорения бруска на координатные оси. Связь между ускорением клина и ускорением бруска можно установить, используя кинематические соображения. Пусть клин сместился на $l$ влево. Тогда брусок, движущийся по клину, сместится на $l$ вдоль наклонной плоскости и одновременно на расстояние $l$ влево вместе с клином. Отсюда получим: $$ a_{x}=a_{1}(1-\cos \alpha) \text { и } a_{y}=a_{1} \sin \alpha. $$ Тогда система уравнений $(1)-(3)$ примет вид: $$ \left.\begin{array}{l} T(1-\cos \alpha)+N \sin \alpha=M a_{1}, \\ T \cos \alpha-N \sin \alpha=m a_{1}(1-\cos \alpha), \\ m g-T \sin \alpha-N \cos \alpha=m a_{1} \sin \alpha, \end{array}\right\} \quad (4) $$ откуда $$ a_{1}=\frac{m g \sin \alpha}{M+2 m(1-\cos \alpha)}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a_{1}=\frac{m g \sin \alpha}{M+2 m(1-\cos \alpha)}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Полагая $\alpha$ заданным, найдите, при каком отношении масс клина и бруска такое скольжение возможно. ", "solution": {"text": "Рассмотренное движение возможно, если $N>0$. Находя $N$ из уравнений $(4)$, получим условие: $$ \frac{M}{m}>\frac{(1-\cos \alpha)^{2}}{\cos \alpha}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{M}{m}>\frac{(1-\cos \alpha)^{2}}{\cos \alpha}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]