text: {"text": [{"text": "Рассмотрим механическую систему, показанную на рисунке. Две небольшие сферы $A$ и $B$ массы $m$ закреплены на концах однородного стержня длиной $2l$ и массой $4m$, прикрепленного за середину перпендикулярно к горизонтальной оси. Над точкой начального положения сферы $A$, в котором стержень горизонтален и неподвижен, находится вертикальный туннель, из которого в специально подобранные моменты времени вылетает шарик массой $m$, cталкивающийся со сферами и заставляющий систему вращаться вокруг оси. Скорость вылетающего шарика непосредственно перед столкновением равна $v$. В результате первого столкновения система приобретает некоторую угловую скорость $\omega_1$. Когда сфера $B$ попадает в положение, в котором изначально находилась сфера $A$, $B$ сталкивается с новым шариком, а система приобретает некоторую угловую скорость $\omega_2$, и так далее. Во всех частях задачи части все столкновения считайте упругими. Размерами шариков и сфер пренебрегите. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Центральные соударения без диссипаций (2.0 балла) В этой части задачи все столкновения являются центральными. Диссипаций в системе нет."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Определите момент инерции системы из стержня и сфер относительно оси вращения. Ответ выразите через $m$ и $l$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите угловую скорость $\omega_{i+1}$ системы после столкновения с $i+1$-ым вылетевшим шариком через $\omega_i$, $v$ и $l$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,20"}, "text": "Чему равна $\omega_1$? Ответ выразите через $v$ и $l$. Как можно ожидать, угловая скорость такой вращающейся системы стремится при $i\to{\infty}$ к постоянному значению $\omega^*$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите $\omega^*$ через $v$ и $l$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,60"}, "text": "Решив рекуррентное уравнение, полученное в пункте $\bf A1$, получите явное выражение для $\omega_i$. Ответ выразите через $i$, $v$ и $l$. Пусть теперь вместо одной пары сфер их у нас будет две пары, размещённые на стержнях, перпендикулярных друг другу и оси."}, {"text": "Часть B. Нецентральные соударения без диссипаций (3.0 балла) Вернёмся обратно к системе с одной парой сфер. В данной части задачи изучаются нецентральные соударения шариков со сферами $A$ и $B$. Диссипаций в системе нет (в том числе трения между вылетающим шариком и сферами). Будем характеризовать нецентральный удар параметром $k=b/r$, где $b < r$ — прицельный параметр, с которым вылетевший шарик налетает на сферу, а $r\ll{l}$ — расстояние между центрами шарика и сферы при их соприкосновении (см. рис). <img_1>"}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,20"}, "text": "Каким будет предельное значение $\omega^*$ для такой системы?"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "При каком значении параметра $k_0$ скорость первого вылетевшего шарика сразу после столкновения со сферой будет направлена горизонтально? Далее рассматривается произвольное значение параметра $k$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите угловую скорость $\omega_{i+1}$ системы после столкновения с $i+1$-ым вылетевшим шариком через $\omega_i$, $v$, $l$ и $k$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,20"}, "text": "Чему равна $\omega_1$? Ответ выразите через $v_0$, $l$ и $k$."}, {"text": "Часть C. По мотивам Коткина—Сербо (4.0 балла) В данной части задачи изучается движение системы под воздействием . Под действием трения этом на систему действует момент $M$, являющийся некоторой функцией угловой скорости $\omega$. В зависимости от геометрии системы, основной вклад даёт:"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,80"}, "text": "Решив рекуррентное уравнение, полученное в пункте $\bf B2$, получите явное выражение для $\omega_i$. Ответ выразите через $i$, $v$ и $l$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите, при каких значениях параметра $\alpha$ система в режиме сухого трения будет продолжать движение неограниченно долго после первого столкновения с шариком."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите, при каких значениях параметра $\beta$ система в режиме линейного вязкого трения будет продолжать движение неограниченно долго после первого столкновения с шариком."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите, при каких значениях параметра $\gamma$ система в режиме квадратичного вязкого трения будет продолжать движение неограниченно долго после первого столкновения с шариком. Приступим теперь непосредственно к точному вычислению установившихся средних угловых скоростей в каждом из трёх режимов. Для этого совместно с уравнением для столкновения с шариком нужно решить уравнение свободного движения системы и найти стационарные точки."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите установившуюся среднюю по периоду угловую скорость системы $\overline\omega_1$ в режиме сухого трения. Выразите ответ через $\varepsilon$, $\alpha$ и $\omega_0$. Ответы в пунктах и выразите через $\varepsilon$, $\beta$ и $\omega_0$."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите стационарное значение угловой скорости $\omega^\uparrow_2$ системы непосредственно после очередного столкновения с шариком в режиме линейного вязкого трения."}, {"balls": {"number": "C6", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите установившуюся среднюю по периоду угловую скорость системы $\overline\omega_2$ в режиме линейного вязкого трения. Ответы в пунктах и выразите через $\varepsilon$, $\gamma$ и $\omega_0$."}, {"balls": {"number": "C7", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите стационарное значение угловой скорости $\omega^\uparrow_3$ системы непосредственно после очередного столкновения с шариком в режиме квадратичного вязкого трения."}, {"balls": {"number": "C8", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите установившуюся среднюю по периоду угловую скорость системы $\overline\omega_3$ в режиме квадратичного вязкого трения."}]}
answer: [{"condition": "Определите момент инерции системы из стержня и сфер относительно оси вращения. Ответ выразите через $m$ и $l$. ", "solution": {"text": "Момент инерции каждой сферы относительно оси вращения равен $ml^2$, поскольку их размерами можно пренебречь. Исходный стержень эквивалентен двум другим с массой $2m$ и длиной $l$. Момент инерции стержня массой $M$ и длиной $L$ относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец, равен: $$I_\text{ст}=\cfrac{ML^2}{3} $$ Тогда момент инерции $I$ системы относительно оси вращения равен:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I=\cfrac{10ml^2}{3} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите угловую скорость $\omega_{i+1}$ системы после столкновения с $i+1$-ым вылетевшим шариком через $\omega_i$, $v$ и $l$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся законами сохранения энергии и момента импульса относительно оси вращения: $$\begin{cases} E=\cfrac{mv^2}{2}+\cfrac{I\omega^2_i}{2}=\cfrac{mu^2}{2}+\cfrac{I\omega^2_{i+1}}{2}\\ L=mvl+I\omega_i=mul+I\omega_{i+1} \end{cases} $$ Здесь $u$ - скорость налетающего шарика сразу после удара, по направлению совпадающая со скоростью $v$. Исключим из системы $u$: $$u=v-\cfrac{I(\omega_{i+1}-\omega_i)}{ml}\Rightarrow I(\omega^2_{i+1}-\omega^2_i)=v^2-\left(v-\cfrac{I(\omega_{i+1}-\omega_i)}{ml}\right)^2 $$ Сокращая корень $\omega_{i+1}=\omega_i$, получим: $$\omega_{i+1}\left(1+\cfrac{I}{ml^2}\right)+\omega_{i}\left(1-\cfrac{I}{ml^2}\right)=\cfrac{2v}{l} $$ Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_{i+1}=\cfrac{7\omega_i}{13}+\cfrac{6v}{13l} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Чему равна $\omega_1$? Ответ выразите через $v$ и $l$. ", "solution": {"text": "Поскольку $\omega_0=0$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_1=\cfrac{6v}{13l} $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите $\omega^*$ через $v$ и $l$. ", "solution": {"text": "Приравнивая $\omega_{i+1}$ и $\omega_i$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega^*=\cfrac{v}{l} $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Решив рекуррентное уравнение, полученное в пункте $\bf A1$, получите явное выражение для $\omega_i$. Ответ выразите через $i$, $v$ и $l$. Подсказка: воспользуйтесь переменной $\omega'_i=\omega_i-v/l$. 
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Уравнение, полученное в пункте $\mathrm{A1}$, приводится к следующему виду:
  $$13\left(\omega_{i+1}-\cfrac{v}{l}\right)=7\left(\omega_i-\cfrac{v}{l}\right)
  $$
  Вводя переменную $\omega'_i=\omega_i-v/l$, получим:
  $$13\omega'_{i+1}=7\omega'_i
  $$
  Откуда:
  $$\omega'_i=\omega'_1\cdot{\left(\cfrac{7}{13}\right)^{i-1}}
  $$
  Поскольку $\omega_0=0$, $\omega_1=6v/(13l)$. Тогда $\omega'_1=-7v/(13l)$, откуда :
  $$\omega'_i=-\cfrac{v}{l}\left(\cfrac{7}{13}\right)^i
  $$
  и окончательно
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\omega_i=\cfrac{v}{l}\left(1-\left(\cfrac{7}{13}\right)^i\right)
  $$", "solution": {"text": "Уравнение, полученное в пункте $\mathrm{A1}$, приводится к следующему виду: $$13\left(\omega_{i+1}-\cfrac{v}{l}\right)=7\left(\omega_i-\cfrac{v}{l}\right) $$ Вводя переменную $\omega'_i=\omega_i-v/l$, получим: $$13\omega'_{i+1}=7\omega'_i $$ Откуда: $$\omega'_i=\omega'_1\cdot{\left(\cfrac{7}{13}\right)^{i-1}} $$ Поскольку $\omega_0=0$, $\omega_1=6v/(13l)$. Тогда $\omega'_1=-7v/(13l)$, откуда : $$\omega'_i=-\cfrac{v}{l}\left(\cfrac{7}{13}\right)^i $$ и окончательно"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_i=\cfrac{v}{l}\left(1-\left(\cfrac{7}{13}\right)^i\right) $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Каким будет предельное значение $\omega^*$ для такой системы? ", "solution": {"text": "Обратим внимание, что если в рекуррентном уравнении, полученном в пункте $\mathrm{A1}$, положить $\omega_{i+1}=\omega_i$, то при любых значениях момента инерции $I$ получится значение:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega^*=\cfrac{v}{l} $$"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "При каком значении параметра $k_0$ скорость первого вылетевшего шарика сразу после столкновения со сферой будет направлена горизонтально? ", "solution": {"text": "Пусть $u$ - скорость вылетающего шарика сразу после удара. Поскольку она направлена горизонтально - сразу после удара момент импульса вылетающего шарика относительно оси вращения равен нулю. Тогда законы сохранения энергии и момента импульса записываются следующим образом: $$\begin{cases} E=\cfrac{mv^2}{2}=\cfrac{I\omega^2_1}{2}+\cfrac{mu^2}{2}\\ L=mvl=I\omega_1 \end{cases} $$ <img_2> <img_3> <img_4> Подставляя значение $u$ систему уравнений из законов сохранения, получим: $$v^2=\cfrac{I\omega^2_1}{m}+u^2=\cfrac{I}{m}\left(\cfrac{mvl}{I}\right)^2+v^2\tan^2\alpha\Rightarrow{\tan^2\alpha=1-\cfrac{ml^2}{I}} $$ Учитывая, что $\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$k_0=\sqrt{\cfrac{I-ml^2}{2I-ml^2}}=\sqrt{\cfrac{7}{17}} $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите угловую скорость $\omega_{i+1}$ системы после столкновения с $i+1$-ым вылетевшим шариком через $\omega_i$, $v$, $l$ и $k$. ", "solution": {"text": "<img_5> Скорость шарика сразу после удара также разложим на $u_\parallel$ и $u_\perp$. Их направления выберем теми же, что и у $v_\parallel$ и $v_\perp$ соответственно. Запишем законы сохранения энергии и момента импульса относительно оси вращения: $$\begin{cases} E=\cfrac{I\omega^2_i}{2}+\cfrac{m(v^2_\parallel+v^2_\perp)}{2}=\cfrac{I\omega^2_{i+1}}{2}+\cfrac{m(u^2_\parallel+u^2_\perp)}{2}\\ L=I\omega_i+mv_\parallel l\cos\alpha+mv_\perp l\sin\alpha=I\omega_{i+1}+mu_\parallel l\cos\alpha+mu_\perp l\sin\alpha \end{cases} $$ Поскольку $v_\perp=u_\perp$, а $v_\parallel=v\cos\alpha$, перепишем систему более компактно: $$\begin{cases} I\omega^2_i+mv^2\cos^2\alpha=I\omega^2_{i+1}+mu^2_\parallel\\ I\omega_i+mvl\cos^2\alpha=I\omega_{i+1}+mu_{\parallel}l\cos\alpha \end{cases} $$ Исключим из системы $u_\parallel$: $$u^2_\parallel=v^2\cos^2\alpha-\cfrac{I(\omega^2_{i+1}-\omega^2_i)}{m}=\left(v\cos\alpha-\cfrac{I(\omega_{i+1}-\omega_i)}{ml\cos\alpha}\right)^2 $$ Раскрывая скобки и сокращая множитель $\omega_{i+1}-\omega_i$, получим: $$\cfrac{2v}{l}=\omega_{i+1}\left(1+\cfrac{I}{ml^2\cos^2\alpha}\right)-\omega_i\left(\cfrac{I}{ml^2\cos^2\alpha}-1\right) $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_{i+1}=\cfrac{6v(1-k^2)}{l(13-3k^2)}+\omega_i\cdot\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2} $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Чему равна $\omega_1$? Ответ выразите через $v_0$, $l$ и $k$. ", "solution": {"text": "Поскольку $\omega_0=0$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_1=\cfrac{6v(1-k^2)}{l(13-3k^2)} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Решив рекуррентное уравнение, полученное в пункте $\bf B2$, получите явное выражение для $\omega_i$. Ответ выразите через $i$, $v$ и $l$. ", "solution": {"text": "Вновь введём переменную $\omega'_i=\omega_i-v/l$ и получим: $$\omega'_{i+1}\left(1+\cfrac{I}{ml^2\cos^2\alpha}\right)=\omega'_i\left(\cfrac{I}{ml^2\cos^2\alpha}-1\right) $$ откуда после подстановки $I$: $$\omega'_{i+1}=\omega'_i\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)\Rightarrow \omega'_i=\omega'_1\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)^{i-1} $$ Для $\omega'_1$ имеем: $$\omega'_1=\omega_1-\cfrac{v}{l}=-\cfrac{v(7+3k^2)}{l(13-3k^2)} $$ Таким образом: $$\omega'_i=\cfrac{v}{l}\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)^i $$ и окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_i=\cfrac{v}{l}\left(1-\left(\cfrac{7+3k^2}{13-3k^2}\right)^i\right) $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите, при каких значениях параметра $\alpha$ система в режиме сухого трения будет продолжать движение неограниченно долго после первого столкновения с шариком. ", "solution": {"text": "Для удобства решения найдём сначала угловую скорость системы $\omega^\uparrow$ после первого столкновения с шариком. Подставляя $\omega_i=0$ и $\omega_{i+1}=\omega^\uparrow$ в рекуррентное уравнение, получим:\[\omega^\uparrow=\frac{2\varepsilon\omega_0}{1+\varepsilon}.\]Временные зависимости $\omega(t)$ для режимов вязкого трения можно найти, как в решении к пунктам C5 и C7.  Случай сухого трения.  Кинетическая энергия вращательного движения системы должна быть потерь на трение за половину оборота, т.е.:\[\frac I2\omega^{\uparrow\,2} > \pi\alpha I\implies \alpha < \frac{\omega^{\uparrow\,2}}{2\pi}=\frac{2\varepsilon^2\omega_0^2}{\pi(1+\varepsilon)^2}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\alpha < \frac{2\varepsilon^2\omega_0^2}{\pi(1+\varepsilon)^2}\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите, при каких значениях параметра $\beta$ система в режиме линейного вязкого трения будет продолжать движение неограниченно долго после первого столкновения с шариком. ", "solution": {"text": "Случай линейного вязкого трения.  Поскольку $\omega(t)=\omega^\uparrow e^{-\beta T}$, то предельный угол поворота системы после первого соударения составит:\[\varphi=\int_0^{+\infty}\omega^\uparrow e^{-\beta t}~\mathrm dt=\frac{\omega^\uparrow}\beta.\]Этот угол должен быть больше $\pi$, поэтому:\[\beta < \frac{\omega^\uparrow}{\pi}=\frac{2\varepsilon\omega_0}{\pi(1+\varepsilon)}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\beta < \frac{2\varepsilon\omega_0}{\pi(1+\varepsilon)}\]"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите, при каких значениях параметра $\gamma$ система в режиме квадратичного вязкого трения будет продолжать движение неограниченно долго после первого столкновения с шариком. ", "solution": {"text": "Случай квадратичного вязкого трения.  Поскольку интеграл вида $\int\frac1x~\mathrm dx$ расходится при $x\to+\infty$, то при любом значении $\gamma$ система сможет совершить один оборот за конечное, пусть и экспоненциально большое время. Таким образом, $\gamma$ может быть произвольной положительной величиной. Примечание: Так как в действительности в пределе малых угловых скоростей вязкое трение переходит в линейный режим, то реально значение $\gamma$ имеет верхний предел, однако этим мы здесь пренебрегаем."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\gamma < +\infty\]  Примечание: Так как в действительности в пределе малых угловых скоростей вязкое трение переходит в линейный режим, то реально значение $\gamma$ имеет верхний предел, однако этим мы здесь пренебрегаем."]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите установившуюся среднюю по периоду угловую скорость системы $\overline\omega_1$ в режиме сухого трения. Выразите ответ через $\varepsilon$, $\alpha$ и $\omega_0$.   ", "solution": {"text": "Приравнивая изменение кинетической энергии системы за один оборот к потерям на трение, имеем:\[\frac I2\omega^{\uparrow\,2}-\frac I2\omega^{\downarrow\,2}=\pi\alpha I\implies\omega^{\uparrow\,2}-\omega^{\downarrow\,2}=2\pi\alpha.\]Поскольку в режиме сухого трения движение системы происходит в постоянным угловым ускорением, средняя угловая скорость $\overline\omega$ будет равна среднему арифметическому $\omega^\uparrow$ и $\omega^\downarrow$. Для удобства введём ещё одну величину:\[\Delta\omega=\frac{\omega^\uparrow-\omega^\downarrow}2,\]тогда, добавив рекуррентное уравнение, получим следующую систему:\[\left\{\begin{array}l\overline\omega\Delta\omega=\frac{\pi\alpha}2\\\overline\omega+\cfrac{\Delta\omega}\varepsilon=\omega_0\end{array}\right.\implies\overline\omega^2-\omega_0\overline\omega+\frac{\pi\alpha}{2\varepsilon}=0.\]Это – квадратное уравнение, корни которого:\[\overline\omega_\pm=\frac{\omega_0\pm\sqrt{\omega_0^2-\cfrac{2\pi\alpha}\varepsilon}}{2}.\]Из физических соображений ясно, что необходимо взять бóльший корень $\overline\omega_+$. Итак:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline\omega_1=\frac12\left[\omega_0+\sqrt{\omega_0^2-\cfrac{2\pi\alpha}\varepsilon}\right]\]"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите стационарное значение угловой скорости $\omega^\uparrow_2$ системы непосредственно после очередного столкновения с шариком в режиме линейного вязкого трения. ", "solution": {"text": "Случай линейного вязкого трения.  Уравнение на угловую скорость между столкновениями с шариком запишется в виде:\[\dot\omega=-\beta\omega.\]Его решение с начальным условием $\omega(t=0)=\omega^\uparrow$ имеет вид:\[\frac{\mathrm d\omega}\omega=-\beta~\mathrm dt\implies \omega=Ce^{-\beta t},~\omega(t=0)=C=\omega^\uparrow\implies\omega(t)=\omega^\uparrow e^{-\beta t}.\]Тогда время $T$ следующего столкновения с шариком определится из условия:\[\pi=\int_0^T\omega(t)~\mathrm dt=\int_0^T\omega^\uparrow e^{-\beta t}~\mathrm dt=\frac1\beta\left(1-e^{-\beta T}\right)\omega^\uparrow.\]Так как угловая скорость системы $\omega^\downarrow$ непосредственно перед столкновением с шариком равна:\[\omega^\downarrow=\omega^\uparrow e^{-\beta T},\]то имеем в итоге:\[\omega^\uparrow-\omega^\downarrow=\pi\beta.\]Подставляя это в рекуррентное уравнение, получим:\[\omega^\uparrow\left(1+\varepsilon^{-1}\right)+\left(\omega^\uparrow-\pi\beta\right)\left(1-\varepsilon^{-1}\right)=2\omega_0\implies\omega^\uparrow=\omega_0-\frac{\pi\beta}2\left(\varepsilon^{-1}-1\right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega^\uparrow=\omega_0-\frac{\pi\beta}2\left(\varepsilon^{-1}-1\right)\]"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите установившуюся среднюю по периоду угловую скорость системы $\overline\omega_2$ в режиме линейного вязкого трения. ", "solution": {"text": "Из результатов, полученных в предыдущем пункте, точное значение средней угловой скорости равно:\[\overline\omega_2=\frac{\pi}T=\frac{\pi\beta}{-\ln\left(1-\frac{\pi\beta}{\omega^\uparrow}\right)}=\frac{\pi\beta}{\ln\left(2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1-\varepsilon)\right)-\ln\left(2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1+\varepsilon)\right)}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline\omega_2=\frac{\pi\beta}{\ln\left(2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1-\varepsilon)\right)-\ln\left(2\varepsilon\omega_0-\pi\beta(1+\varepsilon)\right)}\]"]}, "number_part": "C6", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите стационарное значение угловой скорости $\omega^\uparrow_3$ системы непосредственно после очередного столкновения с шариком в режиме квадратичного вязкого трения. ", "solution": {"text": "Случай квадратичного вязкого трения.  Уравнение на угловую скорость между столкновениями с шариком запишется в виде:\[\dot\omega=-\gamma\omega^2.\]Его решение с начальным условием $\omega(t=0)=\omega^\uparrow$ имеет вид:\[\frac{\mathrm d\omega}{\omega^2}=-\gamma~\mathrm dt\implies\frac1\omega=\gamma t+C,~\omega(t=0)=\frac1C=\omega^\uparrow\implies\omega(t)=\frac1{\gamma t+\frac1{\omega^\uparrow}}=\frac{\omega^\uparrow}{1+\gamma\omega^\uparrow t}.\]Тогда время $T$ следующего столкновения с шариком определится из условия:\[\pi=\int_0^T\omega(t)~\mathrm dt=\int_0^T\frac{\omega^\uparrow}{1+\gamma\omega^\uparrow t}~\mathrm dt=\frac1\gamma\ln\left(1+\gamma\omega^\uparrow T\right)\implies T=\frac{e^{\pi\gamma}-1}{\gamma\omega^\uparrow}.\]Угловая скорость системы $\omega^\downarrow$ непосредственно перед столкновением с шариком составит:\[\omega^\downarrow=\omega(T)=\omega^\uparrow e^{-\pi\gamma}.\]Подставляя это в рекуррентное уравнение, имеем:\[\omega^\uparrow\left(1+\varepsilon^{-1}\right)+\omega^\uparrow e^{-\pi\gamma}\left(1-\varepsilon^{-1}\right)=2\omega_0\implies\omega^\uparrow=\frac{2\omega_0\varepsilon}{1-e^{-\pi\gamma}+\varepsilon\left(1+e^{-\pi\gamma}\right)}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega^\uparrow=\frac{2\omega_0\varepsilon}{1-e^{-\pi\gamma}+\varepsilon\left(1+e^{-\pi\gamma}\right)}\]"]}, "number_part": "C7", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите  установившуюся среднюю по периоду угловую скорость системы $\overline\omega_3$ в режиме квадратичного вязкого трения. ", "solution": {"text": "Из результатов, полученных в предыдущем пункте, точное значение средней угловой скорости равно:\[\overline\omega_3=\frac{\pi}T=\frac{\pi\gamma\omega^\uparrow}{e^{\pi\gamma}-1}=\frac{\pi\varepsilon\gamma\omega_0}{2\operatorname{sh}\frac{\pi\gamma}2\left(\operatorname{sh}\frac{\pi\gamma}2+\varepsilon\operatorname{ch}\frac{\pi\gamma}2\right)}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline\omega_3=\frac{\pi\varepsilon\gamma\omega_0}{2\operatorname{sh}(\pi\gamma/2)\left[\operatorname{sh}(\pi\gamma/2)+\varepsilon\operatorname{ch}(\pi\gamma/2)\right]}\]"]}, "number_part": "C8", "exponent_part": "0,40"}]