text: {"text": [{"text": "Магнитный диполь с дипольным моментом $\vec{\mu}_1$, направленным вдоль оси $x$, расположен в начале координат. Другой диполь помещают на расстоянии $r$ от начала координат под углом $\theta$ к оси $x$. Дипольный момент второго диполя $\mu_2$ направлен под углом $\alpha$ к оси $x$ (см. рис. 1). <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите магнитное поле $\vec{B}(\vec{r})$, создаваемое первым диполем в окрестности второго диполя. Выразите ответ через магнитную проницаемость вакуума $\mu_0$, $r$, $\theta$ и $\mu_1$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите энергию взаимодействия диполей $U$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,20"}, "text": "Найдите силу $\vec{F}$, действующую на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$. Центры масс диполей соединяют невесомым стержнем, из-за чего расстояние между ними постоянно и равно $R$. Стержень может свободно вращаться вокруг начала координат (первого диполя). Направление первого диполя фиксировано, в то время как второй диполь может свободно вращаться. Движение происходит в плоскости $xy$, масса второго диполя равна $m$, его момент инерции относительно центра масс равен $I$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите $\ddot{\theta}$ и $\ddot{\alpha}$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $\theta$, $\alpha$, $m$ и $I$. Пусть теперь $\theta$ и $\alpha$ малы. Тогда система будет совершать гармонические колебания, которые можно разложить на моды. Модой называется движение системы, при котором координаты меняются колеблются с одной частотой, а также синфазно, т.е. $\theta = \theta_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$, $\alpha = \alpha_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$. Соответствующие частоты называются собственными частотами."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,10"}, "text": "Найдите собственные частоты колебаний системы $\omega_1$ и $\omega_2$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $m$ и $I$."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,40"}, "text": "Для обеих мод найдите отношение амплитуд $c_1 = \alpha_1/\theta_1$ и $c_2 = \alpha_2/\theta_2$. Выразите ответ через $m$, $R$ и $I$. В начале второй диполь покоится на оси $x$, а угол $\alpha$ равен $\beta \ll 1$. В момент времени $t=0$ второй диполь отпускают."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "0,80"}, "text": "Зависимость углов от времени можно представить как \begin{align*} \begin{align*} \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. \begin{align*} \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите магнитное поле $\vec{B}(\vec{r})$, создаваемое первым диполем в окрестности второго диполя. Выразите ответ через магнитную проницаемость вакуума $\mu_0$, $r$, $\theta$ и $\mu_1$. ", "solution": {"text": "Поле диполя дается формулой\begin{equation*} \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3 \left(\vec{\mu} \cdot \vec{r} \right) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{\mu}}{r^3} \right).\end{equation*}Зная координаты $\vec{\mu}_1 = \mu_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ и $\vec{r} = r \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \\ 0 \end{pmatrix}$, находим поле:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \vec{B} = \frac{\mu_0 \mu_1}{4 \pi r^3} \begin{pmatrix} 3 \cos^2 \theta - 1 \\ 3 \cos \theta \sin \theta \\ 0\end{pmatrix}.\end{equation*}"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$. ", "solution": {"text": "Подставляя $\vec{\mu}_2 = \mu_2 \begin{pmatrix} \cos \alpha \\ \sin \alpha \\ 0\end{pmatrix}$ в $\vec{M} = \vec{\mu}_2 \times \vec{B}$, находим момент:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \vec{M} = \hat{z} \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{4 \pi r^3} \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right).\end{equation*}"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите энергию взаимодействия диполей $U$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} U = - \left( \vec{\mu}_2 \cdot \vec{B} \right) = -\frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{4 \pi r^3} \left( \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \cos \alpha + 3 \cos \theta \sin \theta \sin \alpha \right).\end{equation*}"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите силу $\vec{F}$, действующую на второй диполь. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $r$, $\theta$, $\alpha$. ", "solution": {"text": "Дифференцируя потенциальную энергию, найдем силу:\begin{multline*} \vec{F} = - \nabla U = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \left[ -\frac{\left( \vec{\mu}_1 \vec{\mu}_2 \right)}{r^3} + \frac{3 \left( \vec{\mu}_1 \vec{r} \right) \left( \vec{\mu}_2 \vec{r} \right) \vec{r}}{r^5} \right] = \\ = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3 \left( \vec{\mu}_1 \vec{\mu}_2 \right) \vec{r}}{r^5} + \frac{3 \left( \vec{\mu}_1 \vec{r} \right) \vec{\mu}_2}{r^5} + \frac{3 \left( \vec{\mu}_2 \vec{r} \right) \vec{\mu}_1}{r^5} - \frac{15 \left( \vec{\mu}_1 \vec{r} \right) \left( \vec{\mu}_2 \vec{r} \right) \vec{r}}{r^7} \right].\end{multline*}Подставляя $\vec{\mu}_1$, $\vec{\mu}_2$ и $\vec{r}$, получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \vec{F} = \frac{3 \mu_0 \mu_1 \mu_2}{4\pi r^4} \begin{pmatrix} 3 \cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha - 5 \cos^2 \theta \cos \left( \theta - \alpha \right) \\ \sin \alpha \cos \theta + \sin \theta \cos \alpha - 5 \cos \theta \sin \theta \cos \left( \theta - \alpha \right) \\ 0 \end{pmatrix}\end{equation*}"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Найдите $\ddot{\theta}$ и $\ddot{\alpha}$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $\theta$, $\alpha$, $m$ и $I$. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение моментов относительно центра масс второго диполя (при этом момент силы взаимодействия стержня и диполя равен нулю):\begin{equation*} I \ddot{\alpha} = M_z = k \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right),\end{equation*}где для удобства введено обозначение $k = \frac{\mu_0 \mu_1 \mu_2}{4 \pi R^3}$. Отсюда находим $\ddot{\alpha}$:\begin{equation*} \ddot{\alpha} = \frac{k}{I} \left( 3 \cos \theta \sin \theta \cos \alpha - \left( 3 \cos^2 \theta - 1 \right) \sin \alpha \right).\end{equation*}Теперь рассмотрим систему "стержень + второй диполь". Ее момент относительно начала координат равен $m R^2 \dot{\theta} + I \dot{\alpha}$, а действующий на нее момент сил равен $\vec{M} + \vec{r} \times \vec{F}$, откуда\begin{equation*} m R^2 \ddot{\theta} + I \ddot{\alpha} = \left( \vec{M} + \vec{r} \times \vec{F} \right)_z.\end{equation*}Вычитая из этого уравнения уравнение моментов для второго диполя, получим\begin{equation*} m R^2 \ddot{\theta} = F_z = r_x F_y - r_y F_x.\end{equation*}Отсюда находим $\ddot{\theta}$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{multline*} \ddot{\theta} = \frac{3 k}{m R^2} \left( \cos \theta \left( \sin \alpha \cos \theta + \sin \theta \cos \alpha - 5 \cos \theta \sin \theta \cos \left( \theta - \alpha \right) \right) - \right. \\ - \left. \sin \theta \left( 3 \cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha - 5 \cos^2 \theta \cos \left( \theta - \alpha \right) \right) \right).\end{multline*}"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Найдите собственные частоты колебаний системы $\omega_1$ и $\omega_2$. Выразите ответ через $\mu_0$, $\mu_1$, $\mu_2$, $R$, $m$ и $I$. ", "solution": {"text": "При малых $\alpha$ и $\theta$ уравнения из предыдущего пункта переходят в следующую систему:\begin{equation*} \begin{cases} m R^2 \ddot{\theta} = 3 k \left( \alpha - 2 \theta \right) \\ I \ddot{\alpha} = k \left( 3 \theta - 2 \alpha \right)\end{cases}.\end{equation*}Будем искать решение в виде $\theta = \theta_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$, $\alpha = \alpha_0 \cos \left( \omega t + \varphi \right)$. После подстановки в систему и сокращения на косинус, получим\begin{equation*} \begin{cases} - m R^2 \omega^2 \theta_0 = 3 k \left( \alpha_0 - 2 \theta_0 \right) \\ - I \omega^2 \alpha_0 = k \left( 3\theta_0 - 2 \alpha_0 \right) \end{cases}.\end{equation*}Перенесем для удобства все в левую часть:\begin{equation*} \begin{cases} \theta_0 \cdot \left(6 k - m R^2 \omega^2 \right) - \alpha_0 \cdot 3k = 0 \\ - \theta_0 \cdot 3 k + \alpha_0 \cdot \left( 2 k - I \omega^2 \right) = 0 \end{cases}.\end{equation*}При произвольном $\omega$ эта система линейных уравнений имеет лишь одно решение: $\theta_0 = \alpha_0 = 0$. Чтобы система имела другие решения, она должна быть вырожденной, т.е. одно уравнение должно быть эквивалентно другому:\begin{equation*} \frac{6 k - m R^2 \omega^2}{- 3 k} = \frac{- 3 k}{2 k - I \omega^2},\end{equation*}Немного преобразуя, получим биквадратное уравнение:\begin{equation*} \omega^4 \cdot m R^2 I - 2 \omega^2 \cdot \left( k m R^2 + 3 k I \right) + 3 k^2 = 0,\end{equation*}откуда находим собственные частоты:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} \omega_{1,2} = k \cdot \frac{\left( m R^2 + I \right) \pm \sqrt{ \left( m R^2 + I \right)^2 - 3 m R^2 I }}{m R^2 I}.\end{equation*}"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Для обеих мод найдите отношение амплитуд $c_1 = \alpha_1/\theta_1$ и $c_2 = \alpha_2/\theta_2$. Выразите ответ через $m$, $R$ и $I$. ", "solution": {"text": "Используя, например, первое уравнение из системы на $\alpha_0$ и $\theta_0$, найдем:\begin{equation*} c = \frac{\alpha_0}{\theta_0} = \frac{6 k - m R^2 \omega^2}{k}.\end{equation*}После подстановки $\omega^2$ получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation*} c_{1,2} = 2 - \frac{1}{3} \frac{m R^2 + I \pm \sqrt{\left( m R^2 + I \right)^2 -3 m R^2 I}}{I}.\end{equation*}"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Зависимость углов от времени можно представить как  \begin{align*}  \theta &= \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\  \alpha &= c_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) + c_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right).  \end{align*}Найдите $\theta_1$, $\theta_2$, $\varphi_1$ и $\varphi_2$. Выразите ответ через $\omega_1$, $\omega_2$, $c_1$, $c_2$ и $\beta$. ", "solution": {"text": "Продифференцировав $\theta$ и $\alpha$ по времени, найдем угловые скорости:\begin{align*} \dot{\theta} &= - \omega_1 \theta_1 \cos \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) - \omega_2 \theta_2 \cos \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right), \\ \dot{\alpha} &= - c_1 \omega_1 \theta_1 \sin \left( \omega_1 t + \varphi_1 \right) - c_2 \omega_2 \theta_2 \sin \left( \omega_2 t + \varphi_2 \right). \\\end{align*}Т.к. в начальный момент скорости равны нулю, то синусы должны быть равны нулю, т.е. $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$. Подставляя в $\theta(t)$ и $\alpha(t)$ начальные значения при $t=0$, получим\begin{align*} 0 &= \theta_1 + \theta_2, \\ \beta &= c_1 \theta_1 + c_2 \theta_2.\end{align*}Решая систему, находим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{align*} \theta_1 &= \frac{\beta}{c_1 - c_2}, \\ \theta_2 &= - \frac{\beta}{c_1 - c_2}.\end{align*}"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "0,80"}]