text: {"text": [{"text": "При решении данной задачи гравитационными эффектами следует пренебречь. Все объекты считайте однородными и изотропными, если не указано иное."}, {"text": "Часть A. Стержень (2.5 балла) Тонкий упругий стержень защищён от изгиба. Его длина $L$, плотность $\rho$, и модуль Юнга $E$. Стержень слегка растянули за концы и отпустили. После этого в нём возникли свободные колебания."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Запишите выражение для кинетической энергии стержня как функцию времени, выразив её через массу $m$ стержня, длину $L$ и скорость изменения $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ — относительное удлинение)."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите выражение для потенциальной упругой энергии как функцию времени, выразив её через $m$, $\rho$, $E$ и $\varepsilon$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Покажите, что для стержня закон сохранения механической энергии приводит к характеристическому дифференциальному уравнению для незатухающих гармонических колебаний. Переходя к аналогии с точечной массой $m$, находящейся под действием силы $\sigma S$ ($\sigma$ — это напряжение, а $S$ — площадь поперечного сечения), укажите величину, которая играет роль координаты."}, {"text": "Часть B. Сфера (1.0 балл) Рассмотрите упругую сферу радиуса $R$, изготовленную из того же материала, что и стержень, о котором шла речь выше. Пусть $\varepsilon$ — относительная деформация $\Delta R/R$. Сферу слегка радиально сжали и предоставили ей свободно колебаться."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите выражение для периода малых продольных колебаний стержня, выразив его через $L$, $\rho$ и $E$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите выражение для механической энергии сферы как функцию времени, выразив её через $m$, $R$, $\rho$, $E$, $\varepsilon$ и скорость изменения $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ — относительное удлинение)."}, {"text": "Часть C. Пластина (3.0 балла) Рассмотрите тонкую упругую прямоугольную пластину, защищённую от изгиба. Пусть размеры пластины $L$ и $l$. Толщину пластины считайте постоянной. Результаты воздействия напряжений $\sigma_x$ и $\sigma_y$ на пластину не являются независимыми, в том смысле, что деформация в одном направлении приводит к деформации в другом направлении. В пределах применимости закона Гука это можно записать, как:\[\varepsilon_x=-\mu\frac{\sigma_y}{E},\hspace{1cm}\varepsilon_y=-\mu\frac{\sigma_x}{E},\]где безразмерный параметр $\mu$ (коэффициент Пуассона) примерно равен $0.3$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите выражение для периода малых радиальных колебаний сферы, выразив его через $R$, $\rho$ и $E$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $\sigma_x$ и $\sigma_y$ через $\varepsilon_x$, $\varepsilon_y$, $E$ и $\mu$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите систему дифференциальных уравнений, описывающую движение точки массой $m$ в двух взаимно перпендикулярных направлениях, используя в качестве координат эквивалентные величины, определённые в пункте A3."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите возможные значения ω для которых решениями вышеупомянутой системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. системы являются незатухающие гармонические колебания (моды): \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$."}, {"text": "Часть D. Сдвиговые колебания (2.0 балла) Теперь, вместо сжатия, пластина испытывает деформацию сдвига вдоль одной из сторон под действием напряжения сдвига $\tau$ (см. рис.). Сдвиг определяется как $\operatorname{tg}\gamma\approx\gamma$, и законом Гука в виде:\[\gamma=\frac{1}{G}\tau,\hspace{1 cm}[\tau]=[G]=Н/м^2,\]где G — \textbf{модуль сдвига}. <img_0>"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,50"}, "text": "В общем случае, решение вышеупомянутой системы уравнений является суперпозицией двух найденных мод. Для квадратной пластины ($L = l$) и малого коэффициента Пуассона ($µ^2 \ll 1$), выразите период биений через $\mu$ и период $T_\rm{long}$ продольных колебаний стержня той же длины."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,50"}, "text": "Выразите $G$ через $E$ и $\mu$."}, {"text": "Часть E. Крутильные колебания (1.5 балла) Стержень радиусом $R$ и длиной $L$, изготовленный из того же материала, подвергли небольшому скручиванию и предоставили совершать свободные крутильные колебания. Угол закручивания $\theta$ определяется как угол, на который скрутился стержень под действием приложенного крутильного напряжения. В этом случае закон Гука примет вид:\[\theta=\frac{1}{C}M,\hspace{1 cm}[C]=[M]=Н\cdotм,\]где $C$ — \textbf{модуль скручивания}."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,50"}, "text": "Определите период малых сдвиговых колебаний пластины, выразив его через $L$, $\rho$ и $G$. Выразите тот же период через $\mu$ и период колебаний стержня той же длины, испытывающего продольные колебания $T_{\rm{long}}$."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,50"}, "text": "Определите период малых крутильных колебаний стержня, выразив его через $L$, $\rho$ и $G$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите модуль скручивания через $R$, $L$, $E$ и $\mu$."}]}
answer: [{"condition": "Запишите выражение для кинетической энергии стержня как функцию времени, выразив её через массу $m$ стержня, длину $L$ и скорость изменения $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ — относительное удлинение). ", "solution": {"text": "Рассмотрим участок стержня длиной $\mathrm dx$, находящийся на расстоянии $x$ от центра. Его масса $\mathrm dm=m~\mathrm dx/L$. Скорость элемента равна $v=x\dot\varepsilon$. Итого, кинетическая энергия стержня равна:\[K=\int v^2~\mathrm m=\frac mL\dot\varepsilon^2\int_{-L/2}^{L/2}x^2~\mathrm dx=mL^2\dot\varepsilon^2/24.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[K=mL^2\dot\varepsilon^2/24\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Запишите выражение для потенциальной упругой энергии как функцию времени, выразив её через $m$, $\rho$, $E$ и $\varepsilon$. ", "solution": {"text": "Плотность упругой энергии $w=E\varepsilon^2/2$, его объём $V=m/\rho\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[W=mE\varepsilon^2/2\rho\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Покажите, что для стержня закон сохранения механической энергии приводит к характеристическому дифференциальному уравнению для незатухающих гармонических колебаний. Переходя к аналогии с точечной массой $m$, находящейся под действием силы $\sigma S$ ($\sigma$ — это напряжение, а $S$ — площадь поперечного сечения), укажите величину, которая играет роль координаты. ", "solution": {"text": "ЗСЭ:\[mE\varepsilon^2/2\rho+mL^2\dot\varepsilon^2/24=\operatorname{const}\overset{\mathrm d/\mathrm dt}{\implies} mL\ddot\varepsilon/12+S\sigma=0\]Таким образом, эквивалент координаты:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[x_{eff}=L\varepsilon/12\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Запишите выражение для периода малых продольных колебаний стержня, выразив его через $L$, $\rho$ и $E$. ", "solution": {"text": "Перепишем уравнение в виде\[\ddot\varepsilon+\frac{12E}{\rho L^2}\varepsilon=0\implies\omega^2=\frac{12E}{\rho L^2}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T_{\mathrm {long}}=2\pi/\omega=\pi L\sqrt{\rho/3E}\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Запишите выражение для механической энергии сферы как функцию времени, выразив её через $m$, $R$, $\rho$, $E$, $\varepsilon$ и скорость изменения $\varepsilon$ (здесь $\varepsilon$ — относительное удлинение). ", "solution": {"text": "Рассмотрим тонкий сферический слой толщины $\mathrm dx$ на расстоянии $x$ от центра. Его масса $\mathrm dm=m\frac{S~\mathrm dx}{V}=\frac{3m}{R^3}x^2~\mathrm dx$. Скорость этого слоя $v=x\dot\varepsilon$. Таким образом, кинетическая энергия:\[K=\frac12x^2\dot\varepsilon^2~\mathrm dm=3mR^2\dot\varepsilon^2/10.\]Упругая энергия равна $\mathrm dW=\sigma S~\mathrm dr=\varepsilon E 4\pi R^2R~\mathrm \varepsilon\implies W=\frac{3mE}{2\rho}\varepsilon^2$. Таким образом,"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E=\frac{3m}2\left[\frac{E\varepsilon^2}{\rho}+\frac{R^2\dot\varepsilon^2}5\right]=\operatorname{const}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Запишите выражение для периода малых радиальных колебаний сферы, выразив его через $R$, $\rho$ и $E$. ", "solution": {"text": "\[\dot E=0\implies\frac{R^2\ddot\varepsilon}{5}+\frac{E\varepsilon}\rho=0\implies\omega^2=5E/\rho R^2\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T_{\mathrm {radial}}=2\pi R\sqrt{\rho/5E}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $\sigma_x$ и $\sigma_y$ через $\varepsilon_x$, $\varepsilon_y$, $E$ и $\mu$. ", "solution": {"text": "$$\left\{\begin{array} { l } { \varepsilon _ { x } = \frac { \sigma _ { x } } { E } - \mu \frac { \sigma _ { y } } { E } } \\{ \varepsilon _ { y } = \frac { \sigma _ { y } } { E } - \mu \frac { \sigma _ { x } } { E } }\end{array}\right. \implies$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left\{\begin{array}{l}\sigma_x=\frac{E\left(\varepsilon_x+\mu \varepsilon_y\right)}{1-\mu^2} \\\sigma_y=\frac{E\left(\varepsilon_y+\mu \varepsilon_x\right)}{1-\mu^2}\end{array}\right.\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Запишите систему дифференциальных уравнений, описывающую движение точки массой $m$ в двух взаимно перпендикулярных направлениях, используя в качестве координат эквивалентные величины, определённые в пункте A3. ", "solution": {"text": "$$\left\{\begin{array} { l } { m \ddot { x } _ { eff} = - \sigma _ { x } \frac { V } { L } } \\{ m \ddot { y } _ { eff} = - \sigma _ { y } \frac { V } { l } }\end{array} \implies\right. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left\{\begin{array}{l}\frac{m L \ddot{\varepsilon}_x}{12}+\frac{E\left(\varepsilon_x+\mu \varepsilon_y\right)}{1-\mu^2} \frac{V}{L}=0 \\\frac{m l \ddot{\varepsilon}_y}{12}+\frac{E\left(\varepsilon_y+\mu \varepsilon_x\right)}{1-\mu^2} \frac{V}{l}=0\end{array}\right.\]"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите возможные значения ω для которых решениями вышеупомянутой  системы являются незатухающие гармонические колебания (моды):  \[\varepsilon_x=A\sin\omega t,\hspace{1 cm}\varepsilon_y=B\sin\omega t.\]Выразите результаты в терминах $L$, $l$, $\rho$, $E$ и $\mu$. ", "solution": {"text": "Подставляя анзатц в уравнения колебаний:$$\left\{\begin{array}{l}-\frac{\omega^2 A L^2}{12}+\frac{E(A+\mu B)}{\rho\left(1-\mu^2\right)}=0 \\-\frac{\omega^2 B l^2}{12}+\frac{E(B+\mu A)}{\rho\left(1-\mu^2\right)}=0\end{array}\right.$$Разделив уравнения почленно, получим:$$\frac{A L^2}{B l^2}=\frac{A+\mu B}{B+\mu A}$$Обозначим для удобства отношение амплитуд $r=A/B$, тогда:$$ r \frac{L^2}{l^2}=\frac{r+\mu}{1+r \mu} \implies \mu L^2 r^2+\left(L^2-l^2\right) r-\mu l^2=0 \implies r_{1 , 2}=\frac{-\left(L^2-l^2\right) \pm \sqrt{\left(L^2-l^2\right)^2+4 \mu^2 L^2 l^2}}{2 \mu L^2}$$Подставив результат во второе уравнение системы, получим:\[ \omega^2=\frac{12 E}{\rho l^2\left(1-\mu^2\right)\left[1+\mu \frac{-\left(L^2-l^2\right) \pm \sqrt{\left(L^2-l^2\right)^2+4 \mu^2 L^2 l^2}}{2 \mu L^2}\right]} \implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega_{1 , 2}=\sqrt{\frac{6 E\left[L^2+l^2 \pm \sqrt{\left.\left(L^2-l^2\right)^2+(2 \mu L l)^2\right]}\right.}{\rho L^2 l^2\left(1-\mu^2\right)}}\]"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "В общем случае, решение вышеупомянутой системы уравнений является суперпозицией двух найденных мод. Для квадратной пластины ($L = l$) и малого коэффициента Пуассона ($µ^2 \ll 1$), выразите период биений через $\mu$ и период $T_\rm{long}$ продольных колебаний стержня той же длины. ", "solution": {"text": "$$ L=l \implies \omega_{1 ,2}=\sqrt{\frac{6 E\left(2 L^2 \pm 2 \mu L^2\right)}{\rho L^4\left(1-\mu^2\right)}}=\sqrt{\frac{12 E\left(1 \pm \mu\right)}{\rho L^2}} \\ \Delta \omega=\sqrt{\frac{12 E}{\rho L^2}}\left(\sqrt{\frac{1+\mu}{1-\mu}}-1\right) \approx \mu \sqrt{\frac{12 E}{\rho L^2}} \implies $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T_{\mathrm {beats }}=\frac{T_{\mathrm {long }}}{\mu}\]"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $G$ через $E$ и $\mu$. ", "solution": {"text": "Пусть толщина пластины равна $d$. Силу $\tau ld$ можно разложить на растяжение вдоль $L$ (ось $x$) и сжатие вдоль $l$ (ось $y$).\[\sigma_x=\frac{\tau l d \sin \gamma}{l d} ; \sigma_y=\frac{\tau l d \cos \gamma}{(L / \cos \gamma) d} \implies \varepsilon_x=\frac{\tau \sin \gamma}{E}-\mu\left(-\frac{\tau l \cos ^2 \gamma}{L E}\right) ,\quad \varepsilon_y=-\frac{\tau l \cos ^2 \gamma}{L E}-\mu \frac{\tau \sin \gamma}{E}\]Так как\[ \varepsilon_x=\frac{\frac{L}{\cos \gamma}-L}{L}=\frac{1-\cos \gamma}{\cos \gamma} ,\quad \varepsilon_y=\frac{l \cos \gamma-l}{l}=-(1-\cos \gamma),\]то:\[\left\{\begin{array}{l}\frac{E}{\tau} \frac{1-\cos \gamma}{\cos \gamma}=\sin \gamma+\mu \frac{l}{L} \cos ^2 \gamma \\\frac{E}{\tau}(1-\cos \gamma)=\frac{l}{L} \cos ^2 \gamma+\mu \sin \gamma\end{array}\right.\]Умножим второе уравнение на $\mu$ и вычтем из первого:\[\frac{E}{\tau}(1-\cos \gamma)\left(\frac{1}{\cos \gamma}-\mu\right)=\sin \gamma\left(1-\mu^2\right) \implies \frac{E \gamma^2}{2 \tau}(1-\mu) \approx \gamma\left(1-\mu^2\right) \implies \gamma=\frac{2 \tau(1+\mu)}{E}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[G=\frac{E}{2 (1+\mu)}\]"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Определите период малых сдвиговых колебаний пластины, выразив его через $L$, $\rho$ и $G$. Выразите тот же период через $\mu$ и период колебаний стержня той же длины, испытывающего продольные колебания $T_{\rm{long}}$. ", "solution": {"text": "С математической точки зрения сдвиговая деформация описывается аналогично продольной, поэтому по аналогии пишем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T_{\mathrm {slant }}=\pi L \sqrt{\frac{\rho}{3 G}}=T_{\mathrm {long }} \sqrt{2(1+\mu)}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Определите период малых крутильных колебаний стержня, выразив его через $L$, $\rho$ и $G$. ", "solution": {"text": "Рассматриваем тонкие цилиндрические слои радиуса $x$ толщиной $\mathrm dx$. Когда цилиндр скручивается, каждый такой слой подвергается сдвиговой деформации, поэтому результат будет тем же, что в предыдущей части:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T_{\mathrm {trist}}=\pi L \sqrt{\frac{\rho}{3 G}}\]"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите модуль скручивания через $R$, $L$, $E$ и $\mu$. ", "solution": {"text": "Пусть одно из оснований цилиндра повернулось относительно другого на небольшой угол $\alpha$. Тогда каждый цилиндрический слой испытывает скручивание на угол:\[x\alpha=L\gamma\implies\gamma=\frac xL\alpha.\]Этому соответствует касательное напряжение:\[\tau=G \frac{x}{L} \alpha.\]Действующие на основание этого слоя сила и момент равны:\[\mathrm{d} F=\tau \mathrm{d} S=G \frac{x}{L} \alpha 2 \pi x \mathrm{~d} x,\quad\mathrm{d} M=\mathrm{d} F \cdot x=\frac{2 \pi G \alpha x^3 \mathrm{~d} x}{L}.\]Суммарный момент:\[M=\frac{2 \pi G \alpha}{L} \int_0^R x^3 \mathrm{~d} x=\frac{2 \pi G R^4 \alpha}{4 L} \implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[C=\frac{\pi G R^4}{2 L}=\frac{\pi E R^4}{4 L(1+\mu)}\]"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "1,00"}]