text: {"text": [{"text": "Коллекторный двигатель питается от источника постоянного тока с напряжением $U=12~В$. На холостом ходу сила тока через обмотки ротора $I_{1}=4~А$. Когда ротор затормозили до полной остановки, сила тока увеличилась до $I_{2}=24~А$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какую наибольшую полезную механическую мощность можно получить с помощью этого электродвигателя, если магнитное поле в нем создается постоянными магнитами, а момент сил трения в подшипниках ротора не зависит от скорости его вращения и механической нагрузки?"}]}
answer: [{"condition": "Какую наибольшую полезную механическую мощность можно получить с помощью этого электродвигателя, если магнитное поле в нем создается постоянными магнитами, а момент сил трения в подшипниках ротора не зависит от скорости его вращения и механической нагрузки? ", "solution": {"text": "Возникающая в обмотках ротора ЭДС $\mathscr{E}$ прямо пропорциональна угловой скорости его вращения, то есть $\mathscr{E}=\alpha \omega$. Поэтому при полной остановке ротора ток через обмотки определяется только их активным сопротивлением $R=\frac{U}{I_{2}}$.Пусть $\omega_{1}$ — угловая скорость вращения ротора при работе двигателя на холостом ходу, тогда из закона Ома $U=\alpha \omega_{1}+I_{1} R$ находим $\alpha=\frac{U-I_{1} R}{\omega_{1}}$. В этом случае работа источника идет на выделение тепла в обмотках и преодоление сил трения, поэтому из закона сохранения энергии $U I_{1}=M \omega_{1}+I_{1}^{2} R$ находим момент сил трения $M=\frac{U I_{1}-I_{1}^{2} R}{\omega_{1}}$. Когда двигатель нагружен и вращается с угловой скоростью $\omega$, из закона Ома $U=\alpha \omega+I R$ находим силу тока в обмотках $I=\frac{U-\alpha \omega}{R}$. Полезная мощность двигателя в этом случае:$$P(\omega)=U I-I^{2} R-M \omega=-\frac{\alpha^{2}}{R} \omega^{2}+\left(\frac{\alpha U}{R}-M\right) \omega.$$Это квадратичная функция, поэтому $P(\omega)$ будет максимальна при$$\omega=\omega_{m}=\frac{\alpha U-M R}{2 \alpha^{2}} .$$Подставив в $P(\omega)$ выражения для $R$, $\alpha$, $M$ и $\omega_{m}$, получим:$$P_{\max}=P \left(\omega_{m}\right)=\frac{U I_{2}}{4}\left(1-\frac{I_{1}}{I_{2}}\right)^{2}=50~Вт.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ P_{\max}=\frac{U I_{2}}{4}\left(1-\frac{I_{1}}{I_{2}}\right)^{2}=50~Вт. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]