text: {"text": [{"text": "<img_0> Как показано на рисунке, натянутая струна длины $L$ помещена вдоль оси $Ox$, и её левый конец находится в начале координат. Оба конца струны могут быть подключены к виброгенератору, инициирующему колебания вдоль оси $Oy$. Скорость распространения волн в струне равна $u$. Пусть правый конец струны $P_2$ закреплён, а левый конец $P_1$ соединён с генератором. При установившихся колебаниях сдвиг на левом конце зависит от времени как $y(x = 0, t) = A_0 \cos{\omega t}$, где $A_0$ и $\omega$ — амплитуда и угловая частота колебаний соответственно."}, {"balls": {"number": "1.1", "exponent": "10,00"}, "text": "Поперечные колебания перемещаются вдоль струны с декрементом затухания $\gamma>0$. Найдите амплитуду колебаний в произвольной точке струны, если для струны бесконечной длины соответствующие колебания имеют вид $y(x, t) = A e^{-\gamma x} \cos{\left( \omega t - \omega \frac{x}{u} + \varphi \right)}$, где $A$ и $\varphi$ — амплитуда и фаза колебаний в точке $x=0$ соответственно."}, {"balls": {"number": "1.2", "exponent": "12,00"}, "text": "Теперь пренебрежём затуханием. Найдите уравнение стоячей волны в струне, а также положения её узлов и пучностей."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "13,00"}, "text": "Теперь оба конца струны подключены к генератору, и сдвиги на концах $P_1$ и $P_2$ струны зависят от времени как $y(x=0,t) = A_0 \cos{\omega t}$ и $y(x=L,t) = A_0 \cos{\omega t + \varphi_0}$ соответственно. Пренебрегая затуханием, найдите уравнение волны в струне и запишите условие резонанса в случаях $\varphi_0 = 0$ и $\varphi_0 = \pi$."}]}
answer: [{"condition": "Поперечные колебания перемещаются вдоль струны с декрементом затухания $\gamma>0$. Найдите амплитуду колебаний в произвольной точке струны, если для струны бесконечной длины соответствующие колебания имеют вид $y(x, t) = A e^{-\gamma x} \cos{\left( \omega t - \omega \frac{x}{u} + \varphi \right)}$, где $A$ и $\varphi$ — амплитуда и фаза колебаний в точке $x=0$ соответственно. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A(x)=A_{0}\frac{\sqrt{e^{-2 \gamma x}+e^{-4 \gamma L+2 \gamma x}-2 e^{-2 \gamma L} \cos \left(2 \frac{\omega}{u} x-2 \frac{\omega L}{u}\right)}}{\sqrt{1+e^{-4 \gamma L}-2 e^{-2 \gamma L} \cos \left(2 \frac{\omega L}{u}\right)}}.$$"]}, "number_part": "1.1", "exponent_part": "10,00"}, {"condition": "Теперь пренебрежём затуханием. Найдите уравнение стоячей волны в струне, а также положения её узлов и пучностей. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$y(x, t)=-\frac{A_{0}}{\sin \left(\frac{\omega L}{u}\right)} \sin \left(\frac{\omega x}{u}-\frac{\omega L}{u}\right) \cos \omega t,$$ для узлов $x_n = L - n\pi \frac{u}{\omega}$, $0 \leq n < \frac{L \omega}{\pi u}$, для пучностей $x_a = L - \pi \frac{u}{2\omega} - l\pi \frac{u}{\omega}$, $0 < l < \frac{L \omega}{\pi u}$."]}, "number_part": "1.2", "exponent_part": "12,00"}, {"condition": "Теперь оба конца струны подключены к генератору, и сдвиги на концах $P_1$ и $P_2$ струны зависят от времени как $y(x=0,t) = A_0 \cos{\omega t}$ и $y(x=L,t) = A_0 \cos{\omega t + \varphi_0}$ соответственно. Пренебрегая затуханием, найдите уравнение волны в струне и запишите условие резонанса в случаях $\varphi_0 = 0$ и $\varphi_0 = \pi$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Если $\varphi_0 = 0$, то:$$y(x, t)=\frac{A_{0}}{\cos \left(\frac{\omega L}{2u}\right)} \cos \left(\frac{\omega L}{2u} - \frac{\omega x}{u}\right) \cos \omega t,\,\omega = \frac{(2n_1 + 1) \pi u}{L},\, n_1 \in \mathbb{Z}_+;$$ если $\varphi_0 = \pi$, то:$$y(x, t)=\frac{A_{0}}{\sin \left(\frac{\omega L}{2u}\right)} \sin \left(\frac{\omega L}{2u} - \frac{\omega x}{u}\right) \cos \omega t,\,\omega = \frac{2n_2 \pi u}{L},\, n_2 \in \mathbb{N}.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "13,00"}]