text: {"text": [{"text": "Поведение твёрдых тел зачастую бывает трудно моделировать привычными методами из-за их сложной внутренней структуры. Если необходимо рассматривать взаимодействие частиц, то проблему можно упростить, используя концепцию квазичастиц, для которых соотношение между импульсом и энергией может отличаться от такового у реальных частиц. В присутствии электромагнитных полей движение квазичастицы в твёрдом теле обычно разрешимо методами механики. Одна из разновидностей квазичастиц с эффективной массой $m$ и зарядом $q$ может существовать в двумерных граничных поверхностях, то есть движение таких частиц происходит только в плоскости $xOy$. Кинетическая энергия $K$ таких частиц выражается через модуль их импульса $p$ как $K = \frac{p^2}{2m} + \alpha p$, где $\alpha$ — положительная постоянная."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "0,40"}, "text": "Кинетическая энергия $K$ реальной частицы выражается через модуль её импульса $p$ как $K = \frac{p^2}{2m}$. Выразите её скорость $\vec{v}$ через импульс $\vec{p}$, используя равенство $dK = \vec{F}\cdot d\vec{r}$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "0,50"}, "text": "С помощью того же метода выразите скорость квазичастицы $\vec{v}$ через её импульс $\vec{p}$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите $v = |\vec{v}|$ через $K$."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": "1,10"}, "text": "Предположим, что поверхность, на которой существуют квазичастицы, теперь помещена в сонаправленное с осью $Oz$ однородное магнитное поле $B$. Тогда квазичастица кинетической энергии $K$ будет совершать вращательное движение. Найдите радиус $R$ её траектории, период $T$ её вращения и значение $L$ момента импульса частицы."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": "1,10"}, "text": "Теперь магнитное поле заменено на однородное электрическое с напряжённостью $E$, сонаправленное с осью $Ox$. Найдите составляющие $a_x$ и $a_y$ ускорения квазичастицы, скорость которой направлена под углом $\theta$ к электрическому полю. Не забывайте, что составляющая ускорения, перпендикулярная электрическому полю, может быть ненулевой."}]}
answer: [{"condition": "Кинетическая энергия $K$ реальной частицы выражается через модуль её импульса $p$ как $K = \frac{p^2}{2m}$. Выразите её скорость $\vec{v}$ через импульс $\vec{p}$, используя равенство $dK = \vec{F}\cdot d\vec{r}$. ", "solution": {"text": "Приращение кинетической энергии частицы равно\[\mathrm dK=\vec F\cdot\mathrm d\vec r=\cfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}\cdot\mathrm d\vec r=\vec v\cdot\mathrm d\vec p\]С другой стороны,\[\mathrm dK=\cfrac{\vec p}m\cdot\mathrm d\vec p\implies\left(\cfrac{\vec p}m-\vec v\right)\cdot\mathrm d\vec p=0\]Поскольку это равенство должно выполняться для произвольного $\mathrm d\vec p$,"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{v} = \frac{\vec{p}}{m}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "С помощью того же метода выразите скорость квазичастицы $\vec{v}$ через её импульс $\vec{p}$. ", "solution": {"text": "Действуем аналогично:\[\mathrm dK=\cfrac{\vec p}m\cdot\mathrm d\vec p+\alpha\cfrac{\vec p}p\cdot\mathrm d\vec p\implies\left(\cfrac{\vec p}m+\alpha\cfrac{\vec p}p-\vec v\right)\cdot\mathrm d\vec p=0\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{v} = \frac{\vec{p}}{m} + \alpha \hat{p},$$где $\hat{p}$ — единичный вектор в направлении импульса"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $v = |\vec{v}|$ через $K$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся результатом предыдущего пункта:\[v=|\vec v|=\cfrac pm+\alpha\]Выражая импульс квазичастицы через её кинетическую энергию,\[p=-m\alpha+\sqrt{m^2\alpha^2+2mK}\]получаем ответ:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v = \sqrt{\alpha^2 + \frac{2K}{m}}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Предположим, что поверхность, на которой существуют квазичастицы, теперь помещена в сонаправленное с осью $Oz$ однородное магнитное поле $B$. Тогда квазичастица кинетической энергии $K$ будет совершать вращательное движение. Найдите радиус $R$ её траектории, период $T$ её вращения и значение $L$ момента импульса частицы. ", "solution": {"text": "Линейная и угловая скорости движения квазичастицы связаны соотношением:\[v=\omega R\]С другой стороны, для угловой скорости должно выполняться:\[\left|\cfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}\right|=\omega p=\cfrac vRp\]Согласно второго закона Ньютона, скорость изменения импульса равна силе, действующей на частицу. Сила Лоренца\[qvB=p\cfrac vR\implies R=\cfrac p{qB}\implies\] Период вращения квазичастицы даётся выражением:\[T=\cfrac{2\pi R}v\implies\] Наконец, момент импульса по определению\[L=pR\]Подставляя полученные ранее результаты, имеем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R = \frac{-m \alpha + \sqrt{m^2 \alpha^2 + 2mK}}{qB}$$  Период вращения квазичастицы даётся выражением:\[T=\cfrac{2\pi R}v\implies\]", "Ответ: $$T = \frac{2\pi \left( -m \alpha + \sqrt{m^2 \alpha^2 + 2mK} \right)}{qB \sqrt{\alpha^2 + \frac{2K}{m}}}$$  Наконец, момент импульса по определению\[L=pR\]Подставляя полученные ранее результаты, имеем:", "Ответ: $$L = \frac{2m^2 \alpha^2 + 2mK - 2m \alpha \sqrt{m^2 \alpha^2 + 2mK}}{qB}$$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Теперь магнитное поле заменено на однородное электрическое с напряжённостью $E$, сонаправленное с осью $Ox$. Найдите составляющие $a_x$ и $a_y$ ускорения квазичастицы, скорость которой направлена под углом $\theta$ к электрическому полю. Не забывайте, что составляющая ускорения, перпендикулярная электрическому полю, может быть ненулевой. ", "solution": {"text": "Обращаем результат пункта 2. Импульс квазичастицы выражается через её скорость по формуле\[\vec p = m\vec v-m\alpha\cfrac{\vec v}v\]Изменение импульса возникает вследствие электростатической силы\[\cfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}=q\vec E\]Распишем покомпонентно:\[\begin{cases}p_x=m(v-\alpha)\cos\theta\\p_y=m(v-\alpha)\sin\theta\end{cases}\implies\begin{cases}-m(v-\alpha)\sin\theta\cfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}+m\cos\theta\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=qE\\m(v-\alpha)\cos\theta\cfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}+m\sin\theta\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=0\end{cases}\]Решаем полученную систему:\[\begin{cases}\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\cfrac{qE}m\cos\theta\\\cfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}=-\cfrac{qE}m\cfrac{\sin\theta}{v-\alpha}\end{cases}\]$x$- и $y$-компоненты ускорения выражаются через эти величины следующим образом:\[\begin{cases}a_x=\cfrac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}=\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\cos\theta-v\sin\theta\cfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\\a_y=\cfrac{\mathrm dv_y}{\mathrm dt}=\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\sin\theta+v\cos\theta\cfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\end{cases}\]Итого:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a_x = \frac{qE}{m} + \frac{qE}{m} \frac{\alpha \sin^2{\theta}}{v - \alpha},\qquad a_y = -\frac{qE}{m} \frac{\alpha \cos{\theta} \sin{\theta}}{v - \alpha}.$$"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "1,10"}]