text: {"text": [{"text": "Однородный брус массы $M$ длины $l$ начинает двигаться вниз по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Начальный участок длины $l$ наклонной плоскости занят близко расположенными катками в виде трубок массы $m$ и радиуса $r\ll l$ (см. рис), которые вращаются без трения в подшипниках. Остальной участок наклонной плоскости гладкий. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найти зависимость ускорения груза от перемещения вдоль плоскости."}]}
answer: [{"condition": "Найти зависимость ускорения груза от перемещения вдоль плоскости. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение движения бруска для момента времени, когда перемещение бруска вдоль наклонной плоскости равно $x(x < l)$:$$M a_x=M g\sin\alpha-f_{тр}N(1-x/l), \tag{1}$$где $N=l/2r$ — полное число катков на участке длины $l$, $N(1-x/l)$ — число катков, с которыми соприкасается брусок в данный момент, $f_{тр}$ — абсолютная величина силы трения, действующей на брусок со стороны каждого катка.Каждому катку, соприкасающемуся с бруском, сила трения $f_{тр}$ сообщает в данный момент тангенциальное ускорение, равное по абсолютной величине $a_x$ (брусок не проскальзывает по каткам), то есть$$f_{тр}=ma_x. \tag{2}$$Подставив $(2)$ в $(1)$, найдем зависимость ускорения бруска от перемещения вдоль наклонной плоскости (для $x < l$):$$a_x=\frac{g\sin\alpha}{1+\frac{m}{M}\frac{l}{2r}\left(1-\frac{x}{l}\right)}.$$При $x > l$ брусок перестает касаться катков и скользит по наклонной плоскости с ускорением$$a=g\sin\alpha.$$Общий вид зависимости $a(x)$ представлен на рисунке ниже. <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Зависимость ускорения бруска от перемещения вдоль наклонной плоскости (для $x < l$):$$a_x=\frac{g\sin\alpha}{1+\frac{m}{M}\frac{l}{2r}\left(1-\frac{x}{l}\right)}.$$При $x > l$:$$a=g\sin\alpha.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]