text: {"text": [{"text": "Электрические взаимодействия играют важную роль в живых организмах. Если поместить молекулу кислоты, к примеру, ДНК, в воду, то некоторые слабо связанные с ней атомы могут диссоциировать. Положительные ионы будут покидать молекулу, делая её тем самым отрицательно заряженной. Точно так же и клеточные мембраны в воде будут заряжаться отрицательно, а электростатическое отталкивание между ними предотвращает «слипание» макромолекул, мембран и клеток. Поскольку вещество в целом электрически нейтрально, то большое количество положительных ионов в растворе вызовет ослабление силы взаимодействия между мембранами с расстоянием. При решении задачи считайте, что температура всегда равна комнатной $T$. Рассмотрим область вблизи поверхности с внешней стороны отрицательно заряженной клеточной мембраны (область, в которой плавают положительные ионы). Клеточную мембрану при этом можно рассматривать как бесконечную плоскость. Возьмём ось $x$ перпендикулярно внешней поверхности мембраны с началом на ней. Диэлектрическая проницаемость раствора, окружающего мембрану, равна $\varepsilon$, а плотность поверхностного заряда на мембране равна $-\sigma$ ($\sigma > 0$). Система находится в тепловом равновесии с окружающей средой. Из-за электростатического взаимодействия плотность положительных ионов в растворе неоднородна, но можно считать, что каждая часть локально находится в равновесии. Поведение положительных ионов при этом аналогично поведению молекул в атмосфере с тем лишь исключением, что на положительные ионы действует электрическое поле, а на молекулы атмосферы — гравитационное. Примем концентрацию положительных ионов $n_0$ у самой поверхности мембраны за неопределённую постоянную. Заряд электрона $-e$, заряд положительного иона $+e$, постоянная Больцмана $k$. Силу тяжести и вязкость воды не учитывайте."}, {"balls": {"number": "1.1", "exponent": null}, "text": "Запишите дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал электрического поля $\varphi$. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. Поверхность клеточной мембраны можно считать проводящей, а потенциал на её поверхности выбирается равным нулю."}, {"balls": {"number": "1.2", "exponent": null}, "text": "Запишите граничные условия, которым удовлетворяет потенциал $\varphi$ на поверхности мембраны. Для уравнения, полученного в пункте 1.1, при заданных граничных условиях в качестве анзаца возьмём логарифмическую функцию $\varphi(x)=A\ln(1+Bx)$."}, {"balls": {"number": "1.3", "exponent": null}, "text": "Определите $n_0$, $A$ и $B$. Выразите $\varphi(x)$ и $n(x)$ (концентрация положительных ионов в точке $x$) через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$ и $k$."}, {"balls": {"number": "1.4", "exponent": null}, "text": "Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы."}, {"balls": {"number": "1.5", "exponent": null}, "text": "Найдите энергию электрического поля $U_f$ и суммарную потенциальную энергию положительных ионов $U_e$ в этом поле, приходящуюся на единицу площади мембраны. Рассмотрим теперь ситуацию, когда две клетки расположены близко друг к другу. Происходящее между двумя их мембранами может быть изучено с помощью следующей упрощённой модели. Рассмотрим две однородные отрицательно заряженные с поверхностной плотностью $-\sigma$ параллельные бесконечные пластины, расположенные на расстоянии $2D$ друг от друга. В качестве начала координат выберем середину между пластинами, ось $x$ направим перпендикулярно им, а потенциал в начале координат примем равным нулю. За неопределённую постоянную вновь примем концентрацию положительных ионов $n_0$ при $x=0$. В качестве анзаца в этот раз возьмём функцию $\varphi(x)=A\ln\left[\cos(Bx)\right]$."}, {"balls": {"number": "2.1", "exponent": null}, "text": "Определите $A$ и $B$. Выразите ответ через $T$, $\varepsilon$, $e$, $k$ и $n_0$."}, {"balls": {"number": "2.2", "exponent": null}, "text": "Выразите $n_0$ через $D$, $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$, $k$ и $\theta$ ($\theta$ — решение трансцендентного уравнения, которое должно вам встретиться)."}, {"balls": {"number": "2.3", "exponent": null}, "text": "Найдите разность $\Delta n\equiv n(\pm D)-n_0$ между концентрациями положительных ионов у поверхности двух мембран и посередине между ними. Выразите ответ через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$ и $k$."}, {"balls": {"number": "2.4", "exponent": null}, "text": "Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы."}, {"balls": {"number": "2.5", "exponent": null}, "text": "Найдите силу $f$, действующую на единицу площади заряженной плоскости (мембраны). Известно, что внутри и снаружи мембрана заполнена водой одинаковой плотности. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии."}, {"balls": {"number": "2.6", "exponent": null}, "text": "При неизменных прочих условиях в приближении мембран как бесконечных пластин исследуйте поведение $f$ в двух предельных случаях — большого расстояния $D$ и малого."}]}
answer: [{"condition": "Запишите дифференциальное уравнение, которому должен удовлетворять потенциал электрического поля $\varphi$.   $\textit{Подсказка:}$ согласно распределению Больцмана вероятность того, что частица находится в состоянии с энергией $E$, пропорциональна $\exp\left(-\frac E{kT}\right)$, где $T$ — абсолютная температура среды. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{\mathrm d^2\varphi}{\mathrm dx^2}=-\frac{en_0}\varepsilon\exp\left(-\frac{e\varphi}{kT}\right)\]"]}, "number_part": "1.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Запишите граничные условия, которым удовлетворяет потенциал $\varphi$ на поверхности мембраны. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left.\varphi(x)\right\vert_{x=0}=0,\quad\left.\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dx}\right\vert_{x=0}=\frac\sigma\varepsilon\]"]}, "number_part": "1.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите $n_0$, $A$ и $B$. Выразите $\varphi(x)$ и $n(x)$ (концентрация положительных ионов в точке $x$) через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$ и $k$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A=\frac{2kT}e,\quad B=\frac{\sigma e}{2\varepsilon kT},\quad n_0=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon kT},\\\varphi(x)=\frac{2kT}e\ln\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon kT}\right),\\n(x)=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon kT}\frac1{\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon kT}\right)^2}\]"]}, "number_part": "1.3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Действительно, заряд положительных ионов, приходящийся на единицу площади мембраны, равен: \[e\int_0^{+\infty}n(x)\mathrm{~d}x=\frac{\sigma^2e}{2\varepsilon kT}\int_0^{+\infty}\frac1{\left(1+\frac{\sigma ex}{2\varepsilon kT}\right)^2}\mathrm{~d}x=\sigma\int_0^{+\infty}\frac1{(1+y)^2}\mathrm{~d}y=\sigma\]"]}, "number_part": "1.4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите энергию электрического поля $U_f$ и суммарную потенциальную энергию положительных ионов $U_e$ в этом поле, приходящуюся на единицу площади мембраны. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[U_f=\frac{\sigma kT}e,\quad U_e=\frac{2\sigma kT}e\]"]}, "number_part": "1.5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите $A$ и $B$. Выразите ответ через $T$, $\varepsilon$, $e$, $k$ и $n_0$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A=\frac{2kT}e,\quad B=\sqrt{\frac{n_0e^2}{2\varepsilon kT}}\]"]}, "number_part": "2.1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $n_0$ через $D$, $\sigma$, $\varepsilon$, $T$, $e$, $k$ и $\theta$ ($\theta$ — решение трансцендентного уравнения, которое должно вам встретиться). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $n_0=\frac{2\varepsilon kT\theta^2}{e^2D^2},$ где $\theta$ — решение уравнения: $\theta\tan\theta=\frac{e\sigma D}{2\varepsilon kT},\quad0 < \theta < \frac\pi2$"]}, "number_part": "2.2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите разность $\Delta n\equiv n(\pm D)-n_0$ между концентрациями положительных ионов у поверхности двух мембран и посередине между ними. Выразите ответ через $\sigma$, $\varepsilon$, $T$ и $k$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta n=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon kT}\]"]}, "number_part": "2.3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Покажите, что полученное $n(x)$ гарантирует электрическую нейтральность системы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\int_{-D}^Den(x)\mathrm{~d}x=en_0\int_{-D}^D\frac{\mathrm{~d}x}{\cos^2(Bx)}=\frac{2e}B\frac{2\varepsilon kT\theta^2}{e^2D^2}\tan\theta=\frac{2e}B\frac{2\varepsilon kT\theta}{e^2D^2}\frac{\sigma eD}{2\varepsilon kT}=2\sigma\]"]}, "number_part": "2.4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите силу $f$, действующую на единицу площади заряженной плоскости (мембраны). Известно, что внутри и снаружи мембрана заполнена водой одинаковой плотности.   $\textit{Подсказка:}$ положительные ионы в воде ведут себя как идеальный газ и локально находятся в тепловом равновесии. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f=\frac{2\varepsilon k^2T^2\theta^2}{e^2D^2}\]"]}, "number_part": "2.5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При неизменных прочих условиях в приближении мембран как бесконечных пластин исследуйте поведение $f$ в двух предельных случаях — большого расстояния $D$ и малого. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: При малых расстояниях $\frac{\sigma eD}{2\varepsilon kT}\ll1$: $f\propto\frac1D,$ при больших расстояниях $\frac{\sigma eD}{2\varepsilon kT}\gg1$: $f\propto\frac1{D^2}$"]}, "number_part": "2.6", "exponent_part": "??"}]