text: {"text": [{"text": "— это экзотические объекты, предсказываемые общей теорией относительности. Свойства чёрной дыры полностью описываются тремя величинами: её массой $M$, моментом импульса $J$ и электрическим зарядом $Q$. Для чёрной дыры с нулевым зарядом и моментом импульса (так называемой ) можно определить сферическую поверхность радиуса $r$, материя изнутри которой не может попасть наружу. Эта поверхность называется ."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Получите выражение для радиуса горизонта событий чёрной дыры и вычислите его для чёрной дыры солнечной массы. Полученное в предыдущем пункте выражение в точности совпадает с результатом, который предсказывает общая теория относительности. В теории Бекенштейна и Хокинга $S$ пропорциональна площади $A$ горизонта событий:\[S=\frac{k_Bc^3}{4G\hbar},\]где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $k_B$ — постоянная Больцмана."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение энтропии такой системы. В ответ не должна входить величина $A$. $U$, её энтропия $S$ и температура $T$ связаны фундаментальным термодинамическим соотношением $\mathrm dU=T~\mathrm dS$. В рамках теории относительности энергия внутренняя энергия чёрной дыры равна $U=Mc^2$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Получите выражения для зависимости температуры $T$ чёрной дыры и её теплоёмкости $C$ от массы $M$."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Используя две чёрные дыры массами $M_{10}$ и $M_{20} > M_{10}$ в качестве нагревателя и холодильника тепловой машины Карно, найдите максимальную работу $W$, которую может совершить такая тепловая машина. Теория Хокинга также предсказывает электромагнитное излучение чёрных дыр (т.н. ). Спектр этого излучения совпадает со спектром излучения чёрного тела. Постоянная Стефана—Больцмана известна и равна $\sigma$."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": null}, "text": "Найдите зависимость мощности $P$ излучения Хокинга от массы чёрной дыры $M$. Излучение Хокинга приводит к уменьшению энергии чёрной дыры, т.е. к уменьшению её массы. Пусть начальная масса чёрной дыры равна $M_0$."}, {"balls": {"number": "6", "exponent": null}, "text": "Через какое время $t_f$ эта чёрная дыра «испарится»?"}]}
answer: [{"condition": "Получите выражение для радиуса горизонта событий чёрной дыры и вычислите его для чёрной дыры солнечной массы. ", "solution": {"text": "Гравитационный потенциал чёрной дыры:\[V(r)=-\frac{GM}{r}.\]Вторая космическая скорость задаётся уравнением:\[\frac{1}{2}v_{\mathrm{II}}^2-\frac{GM}{r}=0\implies v_{\mathrm{II}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}.\]Подставляя $v_{\mathrm{II}}=c$, получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[r=\frac{2GM}{c^2}\approx3~км\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение энтропии такой системы. В ответ не должна входить величина $A$. ", "solution": {"text": "Подставляя $A=4\pi r^2$ и выражение для $r$ из предыдущего пункта:\[S=\frac{k_Bc^3}{4G\hbar}A=\frac{k_Bc^3}{4G\hbar}4\pi r^2=\frac{\pi k_Bc^3}{G\hbar}\left(\frac{2GM}{c^2}\right)^2=\frac{4\pi k_BGM^2}{c\hbar}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta S=\frac{4\pi k_BG}{c\hbar}\Big[M^{\prime 2}-2M^2\Big]\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Получите выражения для зависимости температуры $T$ чёрной дыры и её теплоёмкости $C$ от массы $M$. ", "solution": {"text": "\[\frac{1}{T}=\frac{\mathrm dS}{\mathrm dU}=\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dM}\left(\frac{4\pi k_BGM^2}{c\hbar}\right)=\frac{8\pi k_BGM}{c^3\hbar}\implies\] Теплоёмкость удобнее всего вычислить как:\[C=T\frac{\mathrm dS}{\mathrm dT}=T\frac{\mathrm dS}{\mathrm dM}\frac{\mathrm dM}{\mathrm dT}=T\frac{8\pi k_BGM}{c\hbar}\frac{-c^3\hbar}{8\pi k_B GT^2}\implies\] Теплоёмкость получилась отрицательной. Это означает, что чёрные дыры должны быть термодинамически нестабильными."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T=\frac{c^3\hbar}{8\pi k_BGM}\]  Теплоёмкость удобнее всего вычислить как:\[C=T\frac{\mathrm dS}{\mathrm dT}=T\frac{\mathrm dS}{\mathrm dM}\frac{\mathrm dM}{\mathrm dT}=T\frac{8\pi k_BGM}{c\hbar}\frac{-c^3\hbar}{8\pi k_B GT^2}\implies\]", "Ответ: \[C=-\frac{8\pi k_BGM^2}{c\hbar}\]  Теплоёмкость получилась отрицательной. Это означает, что чёрные дыры должны быть термодинамически нестабильными."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Используя две чёрные дыры массами $M_{10}$ и $M_{20} > M_{10}$ в качестве нагревателя и холодильника тепловой машины Карно, найдите максимальную работу $W$, которую может совершить такая тепловая машина. ", "solution": {"text": "Соотношение между количеством теплоты, полученным в бесконечно малом цикле Карно одной из чёрных дыр, и количеством теплоты, отданным другой, имеет вид:\[\frac{\mathrm dQ_2}{\mathrm dQ_1}=\frac{T_2}{T_1}.\]Поскольку\[\mathrm dQ_1=-\mathrm d(M_1c^2),\quad \mathrm dQ_2=\mathrm d(M_2c^2),\]а также $T\propto\cfrac{1}{M}$, то\[\frac{\mathrm dM_2}{\mathrm dM_1}=-\frac{T_2}{T_1}=-\frac{M_1}{M_2}\implies M_1^2+M_2^2=\operatorname{const}=M_{10}^2+M_{20}^2.\]Минимум внутренней энергии в такой системе будет достигнут, когда одна из чёрных дыр испарится, т.е., не умаляя общности, когда\[M_1=0\implies W=U_i-U_f\implies\] Альтернативно можно заметить, что энтропия системы чёрных дыр не должна меняться в таком процессе, откуда закон сохранения суммы квадратов масс получается простой подстановки выражения для энтропии из пункта 2."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[W=\Big(M_{10}+M_{20}-\sqrt{M_{10}^2+M_{20}^2}\Big)c^2\]  Альтернативно можно заметить, что энтропия системы чёрных дыр не должна меняться в таком процессе, откуда закон сохранения суммы квадратов масс получается простой подстановки выражения для энтропии из пункта 2."]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите зависимость мощности $P$ излучения Хокинга от массы чёрной дыры $M$. ", "solution": {"text": "Мощность излучения чёрного тела:\[P=\sigma T^4A=4\pi\sigma\left(\frac{2GM}{c^2}\right)^2\left(\frac{c^3\hbar}{8\pi k_BGM}\right)^4\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P=\frac{c^6\hbar}{15360\pi G^2M^2}\]"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Через какое время $t_f$ эта чёрная дыра «испарится»? ", "solution": {"text": "Скорость «испарения» чёрной дыры:\[-c^2\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}=P=\frac{c^6\hbar}{15360\pi G^2M^2}\implies -M^2~\mathrm dM=\frac{c^4\hbar}{15360\pi G^2}~\mathrm dt\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[t_f=\frac{5120\pi G^2M_0^3}{c^4\hbar}\]"]}, "number_part": "6", "exponent_part": "??"}]