text: {"text": [{"text": "Тонкое однородное жёсткое колесо с радиусом $R$ и массой $M$ катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости $xy$, образуя с вертикалью угол $\theta(t)$. Как показано на рисунке, плоскость колеса пересекается с $xy$ по прямой, образующей угол $\varphi(t)$ с осью $x$. Координаты точки соприкосновения колеса с поверхностью обозначим как $(x(t),y(t),0)$. Ускорение свободного падения равно $g$.Функции $x(t)$, $y(t)$, $\theta(t)$ и $\varphi(t)$, с помощью которых мы будем описывать движение колеса, не являются в полной мере независимыми. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите кинематическую связь между этими функциями. В ответ могут войти как сами функции, так и их производные по времени. Рассмотрим частный случай равномерного кругового движения колеса, т.е. когда точка его соприкосновения с поверхностью перемещается с постоянной скоростью, описывая окружность радиуса $r$ вокруг вертикальной оси $z$. При этом $\theta(t)=\theta=\operatorname{const}$, а $\varphi(t)$ — линейная функция времени. В лабораторной системе отсчёта $\Sigma$ можно, не умаляя общности, положить:\[\left(\begin{array}cx(t)\\y(t)\end{array}\right)=r\left(\begin{array}c-\sin\omega t\\\cos\omega t\end{array}\right),\]где $\omega$ — угловая скорость, которую ещё предстоит найти. В системе отсчёта $\Sigma'$, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $z$, углы $\theta$ и $\varphi$ постоянны, а колесо вращается вокруг сохраняющей ориентацию оси симметрии. В этой системе отсчёта на каждый участок колеса буду также действовать центробежная сила и сила Кориолиса."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите действующие на колесо центробежную силу $\vec F_ц$ и силу Кориолиса $\vec F_К$, а также результирующие моменты этих сил $\vec\tau_ц$ и $\vec\tau_К$ соответственно."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите угловую скорость $\omega$ и силу трения $\vec f$, действующую на колесо со стороны поверхности ($\omega$ не должна входить в ответ). Если же колесо катится с достаточно большой скоростью, вертикальное положение $\theta=0$ может оказаться устойчивым. В этом случае можно считать, что центр масс колеса движется с почти постоянной скоростью $V$ в положительном направлении оси $x$. Тогда в первом приближении можно записать $x(t)=Vt+\delta x(t)$, где $\delta x(t)$ — малая величина, меняющаяся по гармоническому закону с некоторой угловой скоростью $\Omega$ (как и $y(t)$, $\theta(t)$ и $\varphi(t)$)."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Выведите в первом нетривиальном приближении уравнения движения колеса. Найдите отсюда угловую скорость $\Omega$ и минимальное значение $V_\mathrm{min}$ скорости колеса, при которой вертикальное положение будет устойчивым."}]}
answer: [{"condition": "Найдите кинематическую связь между этими функциями. В ответ могут войти как сами функции, так и их производные по времени. ", "solution": {"text": "Положение точки контакта:\[\vec A=\left(\begin{array}cx\\y\\0\end{array}\right).\]Положение центра масс:\[\vec O=\vec A+R\left(\begin{array}c\sin\theta\sin\varphi\\-\sin\theta\cos\varphi\\\cos\theta\end{array}\right).\]Скорость центра масс:\[\vec v_O=\dot{\vec O}=\left(\begin{array}c\dot x+R(\dot\theta\cos\theta\sin\varphi+\dot\varphi\sin\theta\cos\varphi)\\\dot y+R(-\dot\theta\cos\theta\cos\varphi+\dot\varphi\sin\theta\sin\varphi))\\-R\dot\theta\sin\theta\end{array}\right)=\dot{\vec A}+\frac{\mathrm d(\vec O-\vec A)}{\mathrm dt}.\]Условие отсутствия проскальзывания можно записать как $\vec v_O\perp(\vec O-\vec A)$. Поскольку $|\vec O-\vec A|=\operatorname{const}$, то $(\vec O-\vec A)\perp\frac{\mathrm d(\vec O-\vec A)}{\mathrm dt}$, поэтому условие упрощается до $\dot{\vec A}\perp(\vec O-\vec A)$, т.е.:\[\left(\begin{array}c\dot x\\\dot y\\0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}c\sin\theta\sin\varphi\\-\sin\theta\cos\varphi\\\cos\theta\end{array}\right)=0\implies\] Аналогично можно записать $\left.\left(\begin{array}c\dot x\\\dot y\end{array}\right)\right\|\left(\begin{array}c\cos\varphi\\\sin\varphi\end{array}\right)$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\dot x\sin\varphi-\dot y\cos\varphi=0\]  Аналогично можно записать $\left.\left(\begin{array}c\dot x\\\dot y\end{array}\right)\right\|\left(\begin{array}c\cos\varphi\\\sin\varphi\end{array}\right)$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите действующие на колесо центробежную силу $\vec F_ц$ и силу Кориолиса $\vec F_К$, а также результирующие моменты этих сил $\vec\tau_ц$ и $\vec\tau_К$ соответственно. ", "solution": {"text": "В системе отсчёта $\Sigma'$ колесо вращается вокруг своей оси с угловой скоростью\[\omega'=\omega r/R,\qquad\vec \omega'=\omega\frac rR\left(\begin{array}c0\\-\cos\theta\\-\sin\theta\end{array}\right).\]Момент импульса колеса относительно центра:\[\vec L=MR^2\vec \omega'=MRr\omega\left(\begin{array}c0\\-\cos\theta\\-\sin\theta\end{array}\right).\]Радиус-вектор центра масс колеса:\[\vec O=\left(\begin{array}c0\\r-R\sin\theta\\R\cos\theta\end{array}\right).\]Тогда радиус-вектор точки $C$ колеса, отстоящей на угол $\xi$ от точки контакта, будет равен:\[\vec C=\vec O+\left(\begin{array}c-R\sin\xi\\R\sin\theta\cos\xi\\-R\cos\theta\cos\xi\end{array}\right).\]Компонента, зависящая от $\xi$, усредняется в ноль. Центробежная сила, действующая на сегмент колеса:\[\mathrm d\vec F_ц=\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}M\omega^2\left(\begin{array}cX_C\\Y_C\\0\end{array}\right)\implies \vec F_ц=M\omega^2\left(\begin{array}cX_O\\Y_O\\0\end{array}\right)\implies\] Сила Кориолиса, действующая на сегмент колеса, равна:\[\mathrm d\vec F_К=M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[-2\omega\left(\begin{array}c0\\0\\1\end{array}\right)\times\vec v_C\right].\]Скорость $\vec v_C$ относительно центра колеса можно найти как:\[\vec v_C=\left[\vec\omega'\times(\vec C-\vec O)\right]=\omega r\left(\begin{array}c\cos\xi\\\sin\theta\sin\xi\\-\cos\theta\sin\xi\end{array}\right).\]Связанная с ней компонента силы Кориолиса усредняется в ноль. Тогда\[\vec F_К=-2M\omega\left[\left(\begin{array}c0\\0\\1\end{array}\right)\times\vec v_O\right]\implies\] \[\mathrm d\vec \tau_ц=M\omega^2\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left(\begin{array}cX_C\\Y_C\\0\end{array}\right)\right]=M\omega^2\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left(\vec C-\left(\begin{array}c0\\0\\Z_C\end{array}\right)\right)\right].\]Из соображений симметрии $[(\vec C-\vec O)\times\vec C]$ усредняется в ноль, поэтому:\[\vec \tau_ц=-M\omega^2\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left(\begin{array}c0\\0\\Z_C\end{array}\right)\right]=-M\omega^2\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}R\cos\theta(1-\cos\xi)\left(\begin{array}cR\sin\theta\cos\xi\\R\sin\xi\\0\end{array}\right)\implies\] \[\mathrm d\vec\tau_К=-M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left[\left(\begin{array}c0\\0\\2\omega\end{array}\right)\times\vec v_C\right]\right]=-M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[\left(\begin{array}c-R\sin\xi\\R\sin\theta\cos\xi\\-R\cos\theta\cos\xi\end{array}\right)\times\left(\begin{array}c-2r\omega^2\sin\theta\sin\xi\\2r\omega^2\cos\xi\\0\end{array}\right)\right]\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\vec F_ц=M\omega^2\left(\begin{array}c0\\r-R\sin\theta\\0\end{array}\right)\]  Сила Кориолиса, действующая на сегмент колеса, равна:\[\mathrm d\vec F_К=M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[-2\omega\left(\begin{array}c0\\0\\1\end{array}\right)\times\vec v_C\right].\]Скорость $\vec v_C$ относительно центра колеса можно найти как:\[\vec v_C=\left[\vec\omega'\times(\vec C-\vec O)\right]=\omega r\left(\begin{array}c\cos\xi\\\sin\theta\sin\xi\\-\cos\theta\sin\xi\end{array}\right).\]Связанная с ней компонента силы Кориолиса усредняется в ноль. Тогда\[\vec F_К=-2M\omega\left[\left(\begin{array}c0\\0\\1\end{array}\right)\times\vec v_O\right]\implies\]", "Ответ: \[\vec F_К=\left(\begin{array}c0\\0\\0\end{array}\right)\]  \[\mathrm d\vec \tau_ц=M\omega^2\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left(\begin{array}cX_C\\Y_C\\0\end{array}\right)\right]=M\omega^2\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left(\vec C-\left(\begin{array}c0\\0\\Z_C\end{array}\right)\right)\right].\]Из соображений симметрии $[(\vec C-\vec O)\times\vec C]$ усредняется в ноль, поэтому:\[\vec \tau_ц=-M\omega^2\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left(\begin{array}c0\\0\\Z_C\end{array}\right)\right]=-M\omega^2\int\limits_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}R\cos\theta(1-\cos\xi)\left(\begin{array}cR\sin\theta\cos\xi\\R\sin\xi\\0\end{array}\right)\implies\]", "Ответ: \[\vec \tau_ц=\frac12M\omega^2R^2\left(\begin{array}c\sin\theta\cos\theta\\0\\0\end{array}\right)\]  \[\mathrm d\vec\tau_К=-M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times\left[\left(\begin{array}c0\\0\\2\omega\end{array}\right)\times\vec v_C\right]\right]=-M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[\left(\begin{array}c-R\sin\xi\\R\sin\theta\cos\xi\\-R\cos\theta\cos\xi\end{array}\right)\times\left(\begin{array}c-2r\omega^2\sin\theta\sin\xi\\2r\omega^2\cos\xi\\0\end{array}\right)\right]\implies\]", "Ответ: \[\vec\tau_К=-M\omega^2Rr\cos\theta\left(\begin{array}c1\\0\\0\end{array}\right)\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите угловую скорость $\omega$ и силу трения $\vec f$, действующую на колесо со стороны поверхности ($\omega$ не должна входить в ответ). ", "solution": {"text": "Условие равновесия колеса:\[M\vec g+\vec F_ц+\vec F_К+\vec N+\vec f=0\implies\left(\begin{array}c0\\0\\-Mg\end{array}\right)+M\omega^2\left(\begin{array}c0\\r-R\sin\theta\\0\end{array}\right)+0+\vec N+\vec f=0\implies\\\implies \vec N=\left(\begin{array}c0\\0\\Mg\end{array}\right),\quad \vec f=M\omega^2\left(\begin{array}c0\\R\sin\theta-r\\0\end{array}\right).\]Сила реакции опоры со стороны поверхности создаёт момент\[\vec \tau_Q=\left[(\vec A-\vec O)\times(\vec N+\vec f)\right]=\left[\left(\begin{array}c0\\R\sin\theta\\-R\cos\theta\end{array}\right)\times\left(\begin{array}c0\\M\omega^2(R\sin\theta-r)\\Mg\end{array}\right)\right]=M\left(\begin{array}cgR\sin\theta+\omega^2R(R\sin\theta-r)\cos\theta\\0\\0\end{array}\right).\]Условие равновесия:\[\vec\tau_Q+\vec\tau_ц+\vec\tau_К=0\implies\frac{\omega^2R^2}{2}\cos\theta\sin\theta-\omega^2Rr\cos\theta+gR\sin\theta+\omega^2R(R\sin\theta-r)\cos\theta=0\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega=\sqrt\frac{2g\sin\theta}{(4r-3R\sin\theta)\cos\theta}\\\vec f=-\frac{2Mg\sin\theta}{(4r-3R\sin\theta)\cos\theta}\left(\begin{array}c0\\r-R\sin\theta\\0\end{array}\right)\]"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выведите в первом нетривиальном приближении уравнения движения колеса. Найдите отсюда угловую скорость $\Omega$ и минимальное значение $V_\mathrm{min}$ скорости колеса, при которой вертикальное положение будет устойчивым. ", "solution": {"text": "При качении колеса $y$-координата точки касания меняется примерно как:\[\dot y=V\varphi.\]Радиус-вектор центра масс колеса в первом порядке можно записать как:\[\vec O=\left(\begin{array}cVt+\delta x\\y-R\theta\\R\end{array}\right)\implies\vec f=M\ddot{\vec O}=M\left(\begin{array}c\ddot{\delta x}\\\ddot y-R\ddot\theta\\0\end{array}\right).\]Сила нормальной реакции опоры в первом приближении постоянна, т.е.:\[\vec N=\left(\begin{array}c0\\0\\Mg\end{array}\right).\]Займёмся отысканием момента импульса относительно точки контакта. Радиус-вектор точки $\vec C$ (введена как в п. 2) в первом приближении равен:\[\vec C=\vec O+R\left(\begin{array}c-\sin\xi\\\theta\cos\xi-\varphi\sin\xi\\-\cos\xi\end{array}\right).\]Для фиксированной точки колеса $\dot\xi=(V+\dot{\delta x})/R$. Итого:\[\vec v_C-\vec v_O=R\left(\begin{array}c0\\\dot\theta\cos\xi-\dot\varphi\sin\xi\\0\end{array}\right)+(V+\dot{\delta x})\left(\begin{array}c-\cos\xi\\-\theta\sin\xi-\varphi\cos\xi\\\sin\xi\end{array}\right)\implies\\\implies\mathrm d\vec L=M\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}\left[(\vec C-\vec O)\times(\vec v_C-\vec v_O)\right]=\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}MR^2\left(\begin{array}c\dot\theta\cos^2\xi-\dot\varphi\cos\xi\sin\xi\\0\\-\dot\theta\sin\xi\cos\xi+\dot\varphi\sin^2\xi\end{array}\right)+\frac{\mathrm d\xi}{2\pi}MR(V+\dot{\delta x})\left(\begin{array}c-\varphi\\1\\\theta\end{array}\right)\implies\\\implies\vec L=MR^2\left(\begin{array}c-V\varphi/R+\dot\theta/2\\V/R+\dot{\delta x}/R\\\dot\varphi/2+V\theta/R\end{array}\right).\]Момент сил относительно точки контакта:\[\vec\tau_A=\left[R\left(\begin{array}c0\\\theta\\-1\end{array}\right)\times M\left(\begin{array}c\ddot{\delta x}\\\ddot y-R\ddot\theta\\g\end{array}\right)\right]=MR\left(\begin{array}cg\theta+\ddot y-R\ddot\theta\\-\ddot{\delta x}\\0\end{array}\right).\]Закон изменения момента импульса:\[\dot{\vec L}=\vec \tau_A\implies \left\{\begin{array}l-V\dot\varphi+R\ddot\theta/2=g\theta+\ddot y-R\ddot\theta\\\ddot{\delta x}=-\ddot{\delta x}\\R\ddot\varphi/2+V\dot\theta=0\end{array}\right.\overset{\dot y=V\varphi}\implies\frac{3R}{2}\ddot\theta-g\theta=2V\dot\varphi\implies\] Подставляя $\cos\left(\Omega t+\operatorname{const}\right)$ в качестве анзатца, получим:\[-\frac{3R}{2}\Omega^2+\left(\frac{4V^2}R-g\right)=0\implies\] Условие устойчивости вертикального положения колеса:\[\frac{8V^2}{3R^2}-\frac{2g}{3R}\ge0\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{3R}2\dddot\theta+\left[\frac{4V^2}R-g\right]\dot\theta=0\]  Подставляя $\cos\left(\Omega t+\operatorname{const}\right)$ в качестве анзатца, получим:\[-\frac{3R}{2}\Omega^2+\left(\frac{4V^2}R-g\right)=0\implies\]", "Ответ: \[\Omega=\sqrt{\frac{8V^2}{3R^2}-\frac{2g}{3R}}\]  Условие устойчивости вертикального положения колеса:\[\frac{8V^2}{3R^2}-\frac{2g}{3R}\ge0\implies\]", "Ответ: \[V_\mathrm{min}=\frac{\sqrt{gR}}2\]"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]