text: {"text": [{"text": "Для определения ёмкости и сопротивления утечки $\left(C_{2}, r_{2}\right)$ конденсатора собрана мостовая схема (см. рисунок), которая сбалансирована при подключении гармонического переменного напряжения. Оказалось, что баланс моста не нарушается при изменении частоты напряжения. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему равны параметры $C_{2}$ и $r_{2}$, если известно, что $r_{1}=2500~Ом$, $r_{3}=10~Ом$, $L_{3}=1~Гн$, $r_{4}=800~Ом$."}]}
answer: [{"condition": "Чему равны параметры $C_{2}$ и $r_{2}$, если известно, что $r_{1}=2500~Ом$, $r_{3}=10~Ом$, $L_{3}=1~Гн$, $r_{4}=800~Ом$. ", "solution": {"text": "Условие балансировки моста имеет вид $$ r_{1} r_{4}=Z_{3} Z_{2}, $$ где $$ \begin{gathered} Z_{3}=\sqrt{r_{3}^{2}+\left(L_{3} \omega\right)^{2}}, \\ \frac{1}{Z_{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{r_{2}}\right)^{2}+\left(C_{2} \omega\right)^{2}}, \end{gathered} $$ $\omega$ - круговая частота переменного тока. Подставляя уравнения для $Z_{3}$ и $\frac{1}{Z_{2}}$ в первое, после арифметических преобразований получим следующее равенство: $$ \left(\frac{r_{1} r_{4}}{r_{2}}\right)^{2}-r_{3}^{2}=\omega^{2}\left(L_{3}^{2}-\left(C_{2} r_{1} r_{4}\right)^{2}\right). $$ По условию последнее равенство справедливо при любой частоте $\omega$. Следовательно, и правая и левая части уравнения должны быть равны нулю: $$ \left\{\begin{aligned} \left(\frac{r_{1} r_{4}}{r_{2}}\right)^{2}-r_{3}^{2} &=0, \\ L_{3}^{2}-\left(C_{2} r_{1} r_{4}\right)^{2} &=0. \end{aligned}\right. $$ Решая эту систему уравнений, получим $$ r_{2}=\frac{r_{1} r_{4}}{r_{3}}=200~кОм, \quad C_{2}=\frac{L_{3}}{r_{1} r_{4}}=0.5~мкФ. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ r_{2}=\frac{r_{1} r_{4}}{r_{3}}=200~кОм \\ C_{2}=\frac{L_{3}}{r_{1} r_{4}}=0.5~мкФ $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]