text: {"text": [{"text": "Стабилизированный источник тока способен выдавать постоянный ток $I_{0}$ независимо от подключённой к нему нагрузки. Источник включён в цепь, показанную на рисунке. <img_0> Все элементы цепи можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке. До замыкания ключа конденсатор не был заряжен. В некоторый момент времени ключ замкнули."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какое количество теплоты $Q$ выделилось на резисторе $R$ после замыкания ключа?"}]}
answer: [{"condition": "Какое количество теплоты $Q$ выделилось на резисторе $R$ после замыкания ключа? ", "solution": {"text": "Пусть $I$ — сила тока в резисторе $R$, $J$ — сила тока в резисторе $r$, $q$ — заряд, протекший через резистор $R$ после замыкания ключа (заряд конденсатора). За достаточно малое время, при котором изменением напряжения на резисторе $R$ можно пренебречь, выделившаяся на резисторе теплота равна произведению этого напряжения на протекший заряд: $$ \delta Q=U \Delta q=I R \Delta q. $$ Отсюда следует, что полная теплота численно равна умноженной на $R$ площади под графиком зависимости силы тока $I$ через резистор $R$ от протекшего через него заряда $q$. Найдём эту зависимость. Из уравнений $$ I_{0}=I+J, \quad J r=I R+\frac{q}{C}, $$ получаем $$ I_{0} r=I(r+R)+\frac{q}{C}. $$ Таким образом, график зависимости $I(q)$ представляет собой прямую, пересекающую оси в точках $\left(I_{0} r\right) /(r+R)$ и $C I_{0} r$. Площадь под этим графиком $$ S=\frac{1}{2} I_{0} \frac{r}{r+R} C I_{0} r=\frac{C I_{0}^{2} r^{2}}{2(r+R)}. $$ Отсюда находим ответ $$ Q=S R=\frac{C R I_{0}^{2} r^{2}}{2(r+R)}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q=\frac{C R I_{0}^{2} r^{2}}{2(r+R)}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]