text: {"text": [{"text": "Тонкая плоская пластинка из диэлектрика в форме ромба со стороной $a$ и острым углом $60^{\circ}$ заряжена однородно с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Потенциал в вершине острого угла ромба равен $\varphi_{1}$, в вершине тупого равен $\varphi_{2}$ (см. рисунок). <img_0> Из такого же диэлектрика вырезают тонкую пластинку в форме равностороннего треугольника $A B C$ со стороной $2 a$ и заряжают ее с такой же поверхностной плотностью заряда (см. рисунок ниже). <img_1>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите потенциал в точке $C$ треугольной пластинки."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите потенциал в точке $D$, лежащей на середине стороны треугольной пластинки. Теперь из треугольной пластинки $A B C$ удаляют правильный треугольник со стороной $a$ (см. рисунок ниже). <img_2>"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Определите потенциал в точке $D^{\prime}$ «дырявой» пластинки."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Определите потенциал в точке $C^{\prime}$ «дырявой» пластинки. Примечание. Все пластины удалены друг от друга и других тел."}]}
answer: [{"condition": "Определите потенциал в точке $C$ треугольной пластинки. ", "solution": {"text": "По принципу суперпозиции потенциал $\varphi_{2}$ равен удвоенному потенциалу $\varphi_{0}$ вершины равносторонней треугольной пластины со стороной $a$ и поверхностной плотностью заряда $\sigma$: $$ \varphi_{2}=2 \varphi_{0}. $$ Если размеры пластины увеличить в $2$ раза, сохранив поверхностную плотность заряда, то потенциал каждой точки тоже увеличится в $2$ раза. Для доказательства этого факта можно разбить исходную пластинку на маленькие части, которые можно считать точечными зарядами. В результате масштабирования площадь каждой части увеличится в $4$ раза, а значит заряд вырастет в $4$ раза, а расстояние до каждой части увеличится в $2$ раза. Учитывая, что потенциал точечного заряда равен $k q / r$, получим, что потенциал, создаваемый каждой маленькой частью, увеличится в $2$ раза, значит и общий потенциал вырастет вдвое. Значит потенциал точки $C$ в $2$ раза больше потенциала вершины пластины со стороной $a$, $$ \varphi_{C}=2 \varphi_{0}=\varphi_{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi_{C}=\varphi_{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите потенциал в точке $D$, лежащей на середине стороны треугольной пластинки. ", "solution": {"text": "Найдём потенциал точки $D$. Для этого мысленно разобьем треугольник на $4$ треугольника со сторонами $a$. Заметим, что $A E D F$ — это исходный ромб, который создает в точке $D$ потенциал $\varphi_{1}$. К нему нужно добавить потенциалы создаваемые треугольниками $B D E$ и $D F C$ (см. рисунок ниже). <img_3> Потенциал каждого из них в вершине равен $\varphi_{0}$. Отсюда $$ \varphi_{D}=\varphi_{1}+2 \varphi_{0}=\varphi_{1}+\varphi_{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi_{D}=\varphi_{1}+\varphi_{2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите потенциал в точке $D^{\prime}$ «дырявой» пластинки. ", "solution": {"text": "После удаления центрального треугольника потенциал в точке $D$ уменьшился на $\varphi_{0}$ и стал равен $$ \varphi_{D}^{\prime}=\varphi_{D}-\varphi_{0}=\varphi_{1}+\frac{\varphi_{2}}{2} . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi_{D}^{\prime}=\varphi_{1}+\frac{\varphi_{2}}{2} . $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите потенциал в точке $C^{\prime}$ «дырявой» пластинки. ", "solution": {"text": "Для нахождения потенциала точки $C$ «дырявой» пластины нужно узнать, какой потенциал создавал в ней треугольник $D E F$. Рассмотрим ромб $C F E D$. Его потенциал в точке $C$ равен $\varphi_{1}$ и складывается из потенциала создаваемого треугольником $D E F$ и потенциала $\varphi_{0}$, создаваемого треугольником $F D C$. Тогда треугольник $D E F$ создает в точке $C$ потенциал $\varphi_{1}-\varphi_{0}$. Значит после удаления центрального треугольника потенциал точки $C$ станет равным $$ \varphi_{C}^{\prime}=\varphi_{C}-\left(\varphi_{1}-\varphi_{0}\right)=\frac{3}{2} \varphi_{2}-\varphi_{1}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi_{C}^{\prime}=\frac{3}{2} \varphi_{2}-\varphi_{1}. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]