text: {"text": [{"text": "Цилиндрический сосуд с металлическим дном и не проводящими электрический ток стенками закрыт тонким массивным металлическим поршнем, который располагается на высоте $h$, много меньшей диаметра сосуда. Внутри сосуда находится включённый в электрическую схему резистор, размеры которого много меньше размеров сосуда (см. рисунок). Схема соединена лёгкими гибкими проводами с поршнем и дном сосуда. Изначально сосуд был заполнен гелием при давлении $p \gg \varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2} / h^{2}$. Система теплоизолирована, помещена в вакуум и находится в равновесии. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Ключ $K$ замыкают. Найдите максимальную высоту $H$, на которой может оказаться поршень после установления в системе равновесного состояния. Теплоёмкостями сосуда и поршня пренебречь. Считать сопротивление $r$ постоянным. Трение между поршнем и сосудом достаточно мало. Гелий считать идеальным газом. Электрическую проницаемость гелия принять равной $\varepsilon_{He}=1$."}]}
answer: [{"condition": "Ключ $K$ замыкают. Найдите максимальную высоту $H$, на которой может оказаться поршень после установления в системе равновесного состояния. ", "solution": {"text": "Поскольку система теплоизолированная, то можно воспользоваться законом сохранения энергии: $$ E_{1}+A=E_{2}, $$ где $E_{1}$ и $E_{2}$ - энергии системы соответственно до и после замыкания ключа, а $A$ - работа внешних сил. В нашем случае это работа электродвижущих сил. Поскольку система вначале находилась в равновесии, то масса поршня $m=p S / g$. Пусть через источник ЭДС протёк заряд $q$. Тогда дно сосуда и поршень окажутся заряженными, образуя пластины конденсатора. Ёмкость этого конденсатора в конечном состоянии будет $C=\varepsilon_{0} S / H$, где $S$ - площадь дна сосуда. Поскольку напряжение на конденсаторе равно $\mathscr{E}$, то протёкший через источник ЭДС заряд $$ q=C \mathscr{E}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}}{H} . $$ Поскольку на пластинах находятся разноимённые заряды, то они притягиваются с силой $$ F=\frac{q^{2} / S}{2 \varepsilon_{0}}=\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 H^{2}}. $$ В конечном состоянии давление газа будет равно $p+F / S$. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа, выраженная через давление и объём, $U=3 P V / 2$. Запишем закон сохранения энергии: $$ \begin{gathered} \frac{3}{2} p_{1} V_{1}+m g h+\mathscr{E} q=\frac{3}{2} p_{2} V_{2}+m g H+\frac{q^{2}}{2 C} \\ \frac{3}{2} p S h+p S h+\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{H}=\frac{3}{2}\left(p+\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{2 H^{2}}\right) S H+p S H+\frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{2 H} ; \\ \frac{5}{2} p S(H-h)=-\frac{1}{4} \frac{\varepsilon_{0} S \mathscr{E}^{2}}{H} \\ \left(\frac{H}{h}\right)^{2}-\left(\frac{H}{h}\right)=-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p} \end{gathered} $$ Решая квадратное уравнение, найдём $$ H=h\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p}}\right), $$ так как нас интересует больший корень. С учётом того, что $$ \frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{h^{2} p} \ll 1, $$ получим $$ H \approx h\left(1-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p}\right) . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ H \approx h\left(1-\frac{\varepsilon_{0} \mathscr{E}^{2}}{10 h^{2} p}\right) $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]