text: {"text": [{"text": "Месторождения нефти представляют собой пласт пористой проводящей жидкость среды, которую сверху перекрывает покрышка плохо проводящей жидкость горной породы. Под проводящей пористой средой должна находиться нефтематеринская порода. В течение длительного (порядка миллионов лет) времени, под действием высоких температур и давлений в практически бескислородной среды, органическое вещество нефтематеринской породы (кероген) распадается на углеводороды. Поры среды заполняются смесью этих углеводородов и воды, которой в среднем всегда больше. Эта смесь называется флюидом. Из-за увеличения удельного объема, а также из-за уплотнения горной породы с течением времени под силой тяжести, в поровой жидкости, флюиде, начинает увеличиваться давление. Это приводит к движению флюида. Непроводящая глинистая покрышка является естественной преградой для флюида. За миллионы лет он накапливается у поверхности раздела в «ловушках» — неровностях горной породы (см. рис.). <img_0>"}, {"text": "Часть A. Оценка запасов нефти (1.5 балла) Как было указано в предисловии, весь нефтяной флюид расположен в порах среды. Важной характеристикой среды является пористость — величина $$\varphi=\cfrac{V_{пор}}{V_{ср}}{,} $$ где $V_{пор}$ — объём, занимаемый порами в выделенном объёме среды $V_{ср}$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть залежь нефти представляет собой участок древних речных отложений песчаника в форме параллелепипеда высотой $h = 10~{м}$, шириной $b = 100~{м}$ и длинной $L = 2000~{м}$. Пористость породы $\varphi = 0.1$. Оцените запасы нефти $m_{н}$ в данном месторождении. Выразите ответ через $L$, $b$, $h$, $\rho$ и $\varphi$, а также приведите его численное значение в тоннах. Считайте, что нефтяной флюид целиком заполняет объём пор. Одной из наиболее важных величин в отрасли, связанной с нефтью, является пластовое давление. Пластовым давлением $p_{пл}$ называют величину давления жидкостей в порах в том случае, когда поры соединены между собой. Данный случай чаще всего и реализуется в реальности. Пластовое давление обусловлено тем, что флюид в порах сжат относительно нормальных условий. Сжатие флюида характеризуется сжимаемостью вещества $\beta$, которая определяется соотношением: $$\beta=-\cfrac{1}{V}\cfrac{dV}{dp}{,} $$ где $p$ и $V$ — давление и объём вещества, а производная $dV/dp$ берётся при постоянном его количестве. Далее во всех пунктах данной части задачи считайте, что все поры соединены между собой, поэтому распределение давления в них определяется по законам гидростатики."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть пластовое давление нефти на дне залежей составляет $p_{пл}=250~{атм}$. Найдите, при какой максимальной глубине залегания $H_{max}$ месторождение будет фонтанирующим, т.е. нефть будет вытекать на поверхность под действием собственного давления. Выразите ответ через $\rho$, $g$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Сжимаемостью нефти можно пренебречь. Из месторождения можно добыть далеко не всю нефть, а только её часть. Доля извлеченной нефти от общих запасов называется коэффициентом извлечения нефти (КИН) $\alpha$. Как правило он невысок и почти никогда не достигает половины."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,60"}, "text": "Оцените максимально возможный КИН $\alpha_{max}$ в режиме фонтанирования при пластовом давлении $p_{пл}=250~{атм}$, если сжимаемость нефти $\beta = 5\cdot 10^{-10}~{Па}$. Выразите ответ через $\beta$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Считайте, что отложения русла рек изолированы непроницаемыми глинами с малой пористостью. Глубина залежей $H$ может быть выбрана произвольным образом."}, {"text": "Часть B. Гидроразрыв пласта (3.2 балла) Распространенный метод повышения отдачи нефти на месторождении заключается в том, что перед добычей в скважину под большим давлением закачивается специальная жидкость — расклинивающий агент. Это приводит к образованию трещины плоской формы порядка $100~{м}$ в длину и не более $1~{см}$ в ширину. Созданная в нефтесодержащих слоях трещина заметно упрощает приток нефти в скважину при том же давлении, что существенно ускоряет добычу и уменьшает затраты. Этот метод называется гидроразрывом пласта. На (рис. а) показан вид сверху на трещину, а на (рис. б) приведено поперечное сечение трещины $wh$, лежащее в вертикальной плоскости и перпендикулярное оси $x$. через которое течёт жидкость. <img_1> В пунктах $\mathrm{B1}$ и $\mathrm{B2}$ рассматривается половина трещины, соответствующая $x>0$, в которой скорость расклинивающей жидкости направлена вдоль оси $x$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,30"}, "text": "При тех же самых данных оцените максимально возможный КИН $\alpha_{max}$ в режиме фонтанирования, если снизу в пластовых отложениях находится вода объемом $kV_0$ ($k = 9$) при начальных запасах нефти $V_0$. Сжимаемость воды считайте равной сжимаемости нефти. Выразите ответ через $\beta$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Считайте что забор жидкости происходит сверху, т.е. забирается только нефть. Глубина залежей $H$ может быть выбрана произвольным образом."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Рассмотрим горизонтальное течение жидкости вдоль оси $x$ между двумя параллельными плоскостями высотой $h$. Расстояние между плоскостями $w\ll{h}$. Определите объёмный расход (далее во всех пунктах задачи — поток) жидкости $Q$ через поперечное сечение $wh$. Ответ выразите через $\eta$, $w$, $h$ и градиент давления $dp(x)/dx$. Поскольку расстояние между плоскостями уменьшается медленно по длине трещины, всегда считайте применимым результат, полученный в пункте $\mathrm{B1}$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "В центре щели создается избыточное давление $\Delta p$. Найдите зависимость избыточного давления $p'$ в щели от координаты $x$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $Q$, $E$, $h$, $\eta$ и $x$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,20"}, "text": "Трещина заканчивается в положении, соответствующем равному нулю избыточному давлению. Определите длину трещины $L$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $E$, $h$, $\eta$ и $Q$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,70"}, "text": "Определите объем трещины $V$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $h$, $\eta$, $Q$ и $E$. Критическое избыточное давление, выдерживаемое барьерами, составляет $\Delta{p}=100~{атм}$."}, {"text": "Часть С. Время добычи нефти (3.2 балла) Пусть по краям нефтяного месторождения пробурено по скважине, каждая из которых создает трещину. Трещины параллельны боковым граням месторождения и полностью их перекрывают. Нагнетающая скважина создает повышенное давление, а добывающая — пониженное давление. Распространение жидкости в пласте описывается законом Дарси $$ \vec{v} = - \frac{k\nabla p}{\eta}, $$ где $\vec{v}$ — скорость течения жидкости, $\eta$ — вязкость жидкости, а $k$ — величина, называющаяся проницаемостью пласта для данной жидкости. В рамках данной задачи движение является одномерным, поэтому величину $\nabla p$ можно записать следующим образом: $$\nabla p=\vec{e}_x\cfrac{dp}{dx}{.} $$ <img_2>"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,30"}, "text": "Рассчитайте максимально возможные значения длины трещины $L_{max}$ и её объёма $V_{max}$."}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите скорость $v$ движения границы жидкостей при перемещении фронта на величину $S$. Ответ выразите через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$, $k_1$ и $k_2$. В пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$ считайте, что $k_1=k_2=k=5\cdot 10^{-12}~{м}^2$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,90"}, "text": "Определите зависимость перемещения $S$ фронта от времени $t$. Ответ выразите через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$, $k$ и $t$"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "Определите полное время $\tau$ вытеснения нефти из месторождения. Выразите ответ через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$ и $k$ и рассчитайте его."}, {"text": "Часть D. Течение нефти в забое скважины (2.1 балла) Забой скважины — цилиндрический участок скважины с проницаемыми стенками, через который может проникать нефть. В рамках данной части задачи вам предлагается изучить распределение поля скоростей жидкости внутри данного цилиндра. Для начала рассмотрим классическое течение жидкости с вязкостью $\eta$ в трубе длиной $L$ радиусом $R$, к концам которой приложена разность давлений $\Delta p$. В пунктах $\mathrm{D1}$ и $\mathrm{D2}$ боковая поверхность цилиндра непроницаема, т.е жидкость через стенки не выходит, а движение каждого её элемента является одномерным."}, {"balls": {"number": "С4", "exponent": "0,80"}, "text": "При каком условии на параметры системы движение границы будет устойчивым, то есть при малом отклонении формы границы от плоской это отклонение не будет возрастать? Запишите условие устойчивости через $\eta_1$, $\eta_2$, $k_1$ и $k_2$. Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$?"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите зависимость скорости течения жидкости в такой трубе от расстояния до оси трубы $v(r)$, максимальное значение скорости $v_{max}$ и полный поток $Q$ жидкости через сечение цилиндра. Ответы выразите через $\Delta{p}$, $\eta$, $L$, $R$ и $r$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите распределение скорости течения жидкости $v(r)$ через полный поток $Q$, $R$ и $r$. Далее перейдём непосредственно к анализу течения жидкости в забое скважины. Он представляет собой цилиндр радиусом $R$ и высотой $H$, через стенки которого поступает полный поток нефти $Q_0$. <img_3>"}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите поток $Q$ в сечении забоя на расстоянии $h$ от его нижнего края и соответствующее выражение для вертикальной скорости $v(r,h)$ в зависимости от расстояния до оси $r$ и высоты $h$. Ответы выразите через $Q_0$, $H$, $R$, $r$ и $h$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,30"}, "text": "Рассмотрим кольцо высотой $dh$ с внутренним и внешним радиусами $r$ и $r+dr$ соответственно. Используя тот факт, что жидкость несжимаема, покажите, что из условия постоянства объёма жидкости внутри выделенного кольца следует соотношение: $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$ Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать."}, {"balls": {"number": "D5", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите радиальную скорость течения жидкости $u_r(r,h)$ в зависимости от расстояния до оси $r$ и высоты $h$, а также максимальную величину её модуля $u_{r(max)}$. Ответы выразите через $Q_0$, $R$, $H$, $h$ и $r$."}, {"balls": {"number": "D6", "exponent": "0,10"}, "text": "Чему равно отношение $u_{r(max)}/v_{max}$? Ответ выразите через $R$ и $H$."}]}
answer: [{"condition": "Пусть залежь нефти представляет собой участок древних речных отложений песчаника в форме параллелепипеда высотой $h = 10~{м}$, шириной $b = 100~{м}$ и длинной $L = 2000~{м}$. Пористость породы $\varphi = 0.1$. Оцените запасы нефти $m_{н}$ в данном месторождении. Выразите ответ через $L$, $b$, $h$, $\rho$ и $\varphi$, а также приведите его численное значение в тоннах. Считайте, что нефтяной флюид целиком заполняет объём пор. ", "solution": {"text": "Из определения пористости для объёма нефти находим:$$V_\text{н}=\varphi\cdot bhL{.}$$Поскольку $m_\text{н}=\rho V_\text{н}$, имеем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m_\text{н}=\rho\varphi bhL=160\cdot 10^3~\text{тонн}{.}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Пусть пластовое давление нефти на дне залежей составляет $p_{пл}=250~{атм}$. Найдите, при какой максимальной глубине залегания $H_{max}$ месторождение будет фонтанирующим, т.е. нефть будет вытекать на поверхность под действием собственного давления. Выразите ответ через $\rho$, $g$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Сжимаемостью нефти можно пренебречь. ", "solution": {"text": "Жидкость будет вытекать под действием пластового давления, если оно превышает давление гидростатического столба нефти:$$p_\text{пл}\geq \rho gh{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$H_{max}=\cfrac{p_\text{пл}}{\rho g}\approx 3{.}125~\text{км}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Оцените максимально возможный КИН $\alpha_{max}$ в режиме фонтанирования при пластовом давлении $p_{пл}=250~{атм}$, если сжимаемость нефти $\beta = 5\cdot 10^{-10}~{Па}$. Выразите ответ через $\beta$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Считайте, что отложения русла рек изолированы непроницаемыми глинами с малой пористостью. Глубина залежей $H$ может быть выбрана произвольным образом. ", "solution": {"text": "Как уже говорилось условии - пластовое давление обусловлено сжатием флюида относительно нормальных условий. Если флюид находится под нормальным атмосферным давлением — его фиксированное количество вещества занимает наибольший возможный объём, а значит, наибольшая доля вытесненного флюида достигается, если в конечном состоянии он находится при как можно меньшем давлении.Это можно реализовать, если устремить глубину залежей $H$ к нулю.Имеем:$$\alpha=\cfrac{dV}{V}\approx \beta\Delta{p}{.}$$Поскольку пластовое давление во много раз превышает атмосферное — находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha_{max}\approx \beta p_\text{пл}\approx 1{.}25\text{%}{.}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "При тех же самых данных оцените максимально возможный КИН $\alpha_{max}$ в режиме фонтанирования, если снизу в пластовых отложениях находится вода объемом $kV_0$ ($k = 9$) при начальных запасах нефти $V_0$. Сжимаемость воды считайте равной сжимаемости нефти. Выразите ответ через $\beta$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Считайте что забор жидкости происходит сверху, т.е. забирается только нефть. Глубина залежей $H$ может быть выбрана произвольным образом. ", "solution": {"text": "Аналогично предыдущему пункту, глубина залежей $H$ должна стремиться к нулю. Однако в данном случае КИН серьёзно возрастает, поскольку разжимается не только флюид, но и вода, и, поскольку забирается только нефть, забираемый её объём $dV$ складывается из изменения объёмов нефти и воды::$$\alpha=\cfrac{dV}{V_0}=\cfrac{dV_\text{н}+dV_\text{в}}{V_0}=(1+9)\beta\Delta{p}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha_{max}=10\beta p_\text{пл}\approx 12{.}5\text{%}{.}$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Рассмотрим горизонтальное течение жидкости вдоль оси $x$ между двумя параллельными плоскостями высотой $h$. Расстояние между плоскостями $w\ll{h}$. Определите объёмный расход (далее во всех пунктах задачи — поток) жидкости $Q$ через поперечное сечение $wh$. Ответ выразите через $\eta$, $w$, $h$ и градиент давления $dp(x)/dx$. ", "solution": {"text": "Получим распределение скоростей жидкости вдоль координаты $z$, направленной перпендикулярно направлению потока от одной пластины к другой. Начало оси $z$ расположено посередине между пластинами.Из условия сохранения импульса имеем:$$-hdzdp+\eta hdx\left(\cfrac{dv(z+dz)}{dz}-\cfrac{dv(z)}{dz}\right)=0{,}$$откуда:$$\cfrac{d^2v}{dz^2}=\cfrac{1}{\eta}\cfrac{dp}{dx}{.}$$Интегрируя один раз, находим:$$\cfrac{dv}{dz}=\cfrac{z}{\eta}\cfrac{dp}{dx}+A{.}$$Поскольку скорость посередине между пластинами испытывает экстремум — $A=0$. Тогда повторно интегрируя, находим:$$v(z)=C+\cfrac{z^2}{2\eta}\cfrac{dp}{dx}{.}$$При $z=\pm w/2$ скорость должна обращаться в ноль, откуда находим:$$v(z)=-\cfrac{1}{2\eta}\cfrac{dp}{dx}\left(\cfrac{w^2}{4}-z^2\right){.}$$Для потока $Q$ имеем:$$Q=\int\limits_{-w/2}^{w/2}v(z)hdz=-\cfrac{h}{2\eta}\cfrac{dp}{dx}\int\limits_{-w/2}^{w/2}\left(\cfrac{w^2}{4}-z^2\right)dz{.}$$Интегрируя, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=-\cfrac{w^3h}{12\eta}\cfrac{dp}{dx}{.}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "В центре щели создается избыточное давление $\Delta p$. Найдите зависимость избыточного давления $p'$ в щели от координаты $x$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $Q$, $E$, $h$, $\eta$ и $x$. ", "solution": {"text": "Поскольку поток жидкости одинаково растекается в две разные стороны — в каждой из них он равен $Q/2$.Пусть ось $x$ имеет начало в центре щели и направлена вдоль одного из потоков. Воспользуемся результатом пункта $\mathrm{B1}$:$$\cfrac{Q}{2}=-\cfrac{w^3h}{12\eta}\cfrac{dp'}{dx}{.}$$Воспользовавшись эмпирическим соотношением для ширины щели, получим:$$\cfrac{Q}{2}=-\cfrac{h^4p'^3}{12\eta E^3}\cfrac{dp'}{dx}{.}$$Проинтегрируем полученное выражение:$$\int\limits_{\Delta{p}}^{p'(x)}p'^3dp'=\cfrac{p'^4(x)-\Delta{p}^4}{4}=-\cfrac{6Q\eta E^3x}{h^4}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p'(x)=\sqrt[4]{\Delta{p}^4-\cfrac{24Q\eta E^3x}{h^4}}{.}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Трещина заканчивается в положении, соответствующем равному нулю избыточному давлению. Определите длину трещины $L$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $E$, $h$, $\eta$ и $Q$. ", "solution": {"text": "При максимальной длине трещины давление $p'$ обращается в ноль, откуда полудлина трещины $L/2$ составляет:$$\cfrac{L}{2}=\cfrac{\Delta{p}^4h^4}{24Q\eta E^3}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L=\cfrac{\Delta{p}^4h^4}{12Q\eta E^3}{.}$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Определите объем трещины $V$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $h$, $\eta$, $Q$ и $E$. ", "solution": {"text": "Объём трещина равен удвоенному объёму её половины:$$V=2\int\limits_{0}^{L}hw(x)dx=2\int\limits_{0}^{L}\cfrac{h^2p'}{E}dx{.}$$Воспользуемся выражением для $p'(x)$:$$V=\cfrac{2h^2\Delta{p}}{E}\int\limits_{0}^{L}\sqrt[4]{1-\cfrac{24Q\eta E^3x}{h^4\Delta{p}^4}}dx=\cfrac{h^6\Delta{p}^5}{12Q\eta E^4}\int\limits_{0}^{1}\sqrt[4]{1-z}dz{.}$$После элементарного интегрирования находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V=\cfrac{h^6\Delta{p}^5}{15Q\eta E^4}{.}$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Рассчитайте максимально возможные значения длины трещины $L_{max}$ и её объёма $V_{max}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L_{max}=\approx 83~\text{м}{.}$$", "Ответ: $$V_{max}=6{.}7~\text{м}{.}$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Определите скорость $v$ движения границы жидкостей при перемещении фронта на величину $S$. Ответ выразите через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$, $k_1$ и $k_2$. ", "solution": {"text": "Закон Дарси в рамках задачи можно переписать в следующей форме:$$v=-\cfrac{k}{\eta}\cfrac{\partial p}{\partial x}{.}$$Скорость движения $v$ одинакова для обеих жидкостей и постоянна по всей длине $L$. Тогда для градиентов давления в нефти и в воде с учётом равенства их проницаемостей $k_1=k_2=k$ получим:$$\cfrac{\partial p_\text{н}}{\partial x}=-\cfrac{\eta_1v}{k_1}\qquad \cfrac{\partial p_\text{в}}{\partial x}=-\cfrac{\eta_2v}{k_2}{.}$$Для полного изменения давления находим:$$p_2-p_1=\cfrac{\eta_2Sv}{k_2}+\cfrac{\eta_1(L-S)v}{k_1}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\cfrac{p_2-p_1}{\cfrac{\eta_1L}{k_1}+\left(\cfrac{\eta_2}{k_2}-\cfrac{\eta_1}{k_1}\right)S}{.}$$"]}, "number_part": "С1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Определите зависимость перемещения $S$ фронта от времени $t$. Ответ выразите через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$, $k$ и $t$ ", "solution": {"text": "Поскольку $v=dx/dt$ и $k_1=k_2=k$, имеем:$$dt=\cfrac{(\eta_1L+(\eta_2-\eta_1)S)dS}{k(p_2-p_1)}{.}$$Интегрируя, найдём:$$t=\cfrac{1}{k(p_2-p_1)}\int\limits_{0}^S(\eta_1L+(\eta_2-\eta_1)x)dx=\cfrac{1}{k(p_2-p_1)}\left(\eta_1LS+\cfrac{(\eta_2-\eta_1)S^2}{2}\right){.}$$Приведём квадратное уравнение к классическому виду:$$S^2-\cfrac{2\eta_1LS}{\eta_1-\eta_2}+\cfrac{2k(p_2-p_1)t}{\eta_1-\eta_2}=0{.}$$Решая, получим:$$S(t)=\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}\right)^2-\cfrac{2k(p_2-p_1)t}{\eta_1-\eta_2}}{.}$$Поскольку $x(0)=0$ — выберем корень со знаком минус.Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S(t)=\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}-\sqrt{\left(\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}\right)^2-\cfrac{2k(p_2-p_1)t}{\eta_1-\eta_2}}{.}$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Определите полное время $\tau$ вытеснения нефти из месторождения. Выразите ответ через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$ и $k$ и рассчитайте его. ", "solution": {"text": "Полное время $\tau$ вытеснения нефти равняется $t(L)$.Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\cfrac{(\eta_1+\eta_2)L^2}{2k(p_2-p_1)}\approx 26~\text{лет}{.}$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "При каком условии на параметры системы движение границы будет устойчивым, то есть при малом отклонении формы границы от плоской это отклонение не будет возрастать? Запишите условие устойчивости через $\eta_1$, $\eta_2$, $k_1$ и $k_2$.  Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$? ", "solution": {"text": "Отклонение не будет возрастать, если $v(x+dx){<}v(x)$.Обратим внимание, что числитель выражения для скорости постоянный, а знаменатель является линейной функцией $x$ с угловым коэффициентом $a=\eta_2/k_2-\eta_1/k_1$.Величина скорости уменьшается с ростом $x$, если величина $a$ является положительной, т.е при условии:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{\eta_2}{k_2}{>}\cfrac{\eta_1}{k_1}{.}$$", "Ответ: Движение рассматриваемой конструкции неустойчиво."]}, "number_part": "С4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите зависимость скорости течения жидкости в такой трубе от расстояния до оси трубы $v(r)$, максимальное значение скорости $v_{max}$ и полный поток $Q$ жидкости через сечение цилиндра. Ответы выразите через $\Delta{p}$, $\eta$, $L$, $R$ и $r$. ", "solution": {"text": "Выделим цилиндр радиусом $r$ длиной $L$. Запишем условие постоянства его импульса:$$\pi r^2\Delta{p}+2\pi rL\eta\cfrac{\partial v}{\partial r}=0\Rightarrow \cfrac{\partial v}{\partial r}=-\cfrac{r}{2}\cfrac{\Delta{p}}{\eta L}{.}$$Интегрируя, получим:$$v=C-\cfrac{\Delta{p}r^2}{4\eta L}{.}$$Поскольку $v(R)=0$, получим: Для потока $Q$ имеем:$$Q=\int\limits_0^Rv(r)\cdot 2\pi rdr=\cfrac{\pi\Delta{p}}{2\eta L}\int\limits_{0}^R (R^2-r^2)rdr{.}$$Интегрируя, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v(r)=\cfrac{\Delta{p}(R^2-r^2)}{4\eta L}{.}$$  Для потока $Q$ имеем:$$Q=\int\limits_0^Rv(r)\cdot 2\pi rdr=\cfrac{\pi\Delta{p}}{2\eta L}\int\limits_{0}^R (R^2-r^2)rdr{.}$$Интегрируя, находим:", "Ответ: $$Q=\cfrac{\pi\Delta{p}R^4}{8\eta L}{.}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Выразите распределение скорости течения жидкости $v(r)$ через полный поток $Q$, $R$ и $r$. ", "solution": {"text": "Выразим комбинацию $\Delta{p}/(4\eta L)$ через полный поток $Q$:$$\cfrac{\Delta{p}}{4\eta L}=\cfrac{2Q}{\pi R^4}{.}$$Подставляя в выражение для $v(r)$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v(r)=\cfrac{2Q}{\pi R^2}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите поток $Q$ в сечении забоя на расстоянии $h$ от его нижнего края и соответствующее выражение для вертикальной скорости $v(r,h)$ в зависимости от расстояния до оси $r$ и высоты $h$. Ответы выразите через $Q_0$, $H$, $R$, $r$ и $h$. ", "solution": {"text": "Поскольку жидкость поступает в цилиндр равномерно по его боковой поверхности, имеем:$$\cfrac{dQ}{dh}=\cfrac{Q_0}{H}{.}$$Поскольку $Q(0)=0$, находим: Воспользуемся выражением, полученным в пункте $\mathrm{D2}$:$$v(r{,}h)=\cfrac{2Q(h)}{\pi R^2}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.}$$Подставляя $Q(h)$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q(h)=\cfrac{Q_0h}{H}{.}$$  Воспользуемся выражением, полученным в пункте $\mathrm{D2}$:$$v(r{,}h)=\cfrac{2Q(h)}{\pi R^2}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.}$$Подставляя $Q(h)$, получим:", "Ответ: $$v(r{,}h)=\cfrac{2Q_0h}{\pi R^2H}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.}$$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Рассмотрим кольцо высотой $dh$ с внутренним и внешним радиусами $r$ и $r+dr$ соответственно. Используя тот факт, что жидкость несжимаема, покажите, что из условия постоянства объёма жидкости внутри выделенного кольца следует соотношение:  $$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$  Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать. ", "solution": {"text": "Запишем выражение для полного потока жидкости $q$ в кольцо:$$q=2\pi rdrv(r{,}h+dh)-2\pi rdrv(r{,}h)+2\pi dh(r+dr)u_r(r+dr{,}h)-2\pi dh ru_r(r{,}h)=0{.}$$Таким образом:$$2\pi rdrdv+2\pi drd(ru_r)=0{,}$$или же:$$\cfrac{\partial v}{\partial h}+\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (ru_r)}{\partial r}=0{.}$$Что и требовалось доказать."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите радиальную скорость течения жидкости $u_r(r,h)$ в зависимости от расстояния до оси $r$ и высоты $h$, а также максимальную величину её модуля $u_{r(max)}$. Ответы выразите через $Q_0$, $R$, $H$, $h$ и $r$. ", "solution": {"text": "Последовательно воспользуемся результатами пунктов $\mathrm{D4}$ и $\mathrm{D3}$:$$\cfrac{\partial (ru_r)}{\partial r}=-r\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{2Q_0r}{\pi R^2H}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.}$$Обратим внимание, что при $r=0$ величина $ru_r$ также равна нулю. Временно переобозначим $r$ на $z$ в подынтегральной функции и получим:$$ru_r(r{,}h)=-\cfrac{2Q_0}{\pi R^2H}\int\limits_{0}^r\left(1-\cfrac{z^2}{R^2}\right)zdz=-\cfrac{Q_0}{\pi R^2H}\left(r^2-\cfrac{r^4}{2R^2}\right){.}$$Таким образом: Максимум величины $u_r$ достигается при равенстве нулю её производной по $r$:$$\cfrac{du_r}{dr}=0\Rightarrow 1-\cfrac{3r^2}{2R^2}=0\Rightarrow r_{max}=\sqrt{\cfrac{2}{3}}R{.}$$Тогда для максимального значения радиальной компоненты скорости $u_{max}$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$u_r(r{,}h)=-\cfrac{Q_0}{\pi R^2H}\left(r-\cfrac{r^3}{2R^2}\right){.}$$  Максимум величины $u_r$ достигается при равенстве нулю её производной по $r$:$$\cfrac{du_r}{dr}=0\Rightarrow 1-\cfrac{3r^2}{2R^2}=0\Rightarrow r_{max}=\sqrt{\cfrac{2}{3}}R{.}$$Тогда для максимального значения радиальной компоненты скорости $u_{max}$ находим:", "Ответ: $$u_{max}=\left(\cfrac{2}{3}\right)^{3/2}\cfrac{Q_0}{\pi RH}{.}$$"]}, "number_part": "D5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Чему равно отношение $u_{r(max)}/v_{max}$? Ответ выразите через $R$ и $H$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{u_{r(max)}}{v_{max}}=\cfrac{\sqrt{2}R}{3\sqrt{3}H}$$"]}, "number_part": "D6", "exponent_part": "0,10"}]