text: {"text": [{"text": "Предположим, что в результате какой-то космической катастрофы Луна остановилась в своём орбитальном движении вокруг Земли."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, сколько времени $\tau$ Луна будет падать на Землю и с какой относительной скоростью $v$ планеты столкнутся. Расстояние от Земли до Луны $L=3.84 \cdot 10^{5}~км$, радиус Земли $R=6370~км$. Массу и размер Луны можно считать малыми по сравнению с массой и размером Земли."}]}
answer: [{"condition": "Определите, сколько времени $\tau$ Луна будет падать на Землю и с какой относительной скоростью $v$ планеты столкнутся. ", "solution": {"text": "Поскольку масса $M$ Земли велика по сравнению с массой $m$ Луны, можно считать Землю покоящейся. Падение остановившейся Луны на Землю можно рассматривать как движение по вырожденному эллипсу с большой полуосью $a=L / 2$ и периодом обращения $T=2 \tau$. По третьему закону Кеплера $$ \frac{a^{3}}{T^{2}}=\frac{G M}{4 \pi^{2}}=\mathrm{const}. $$ Гравитационную постоянную $G$ и массу Земли выразим через ускорение свободного падения на поверхности Земли: $$ g=\frac{G M}{R^{2}}, \quad \text { откуда } \quad G M=g R^{2} . $$ Из уравнений выше находим $$ \tau=\frac{T}{2}=\pi \sqrt{\frac{a^{3}}{g R^{2}}}=\frac{\pi L}{2 R} \sqrt{\frac{L}{2 g}} \approx 4.19 \cdot 10^{5}~с \approx 4.85~сут. $$ Из закона сохранения энергии $$ -\frac{G M m}{L}=\frac{m v^{2}}{2}-\frac{G M m}{R} $$ найдем относительную скорость столкновения планет $$ v=\sqrt{2 g R\left(1-\frac{R}{L}\right)} \approx \sqrt{2 g R} \approx 11.2~км/с. $$ Примечание. Константу в законе Кеплера (5) помнить не обязательно, так как её легко вывести, рассмотрев частный случай круговую орбиту."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=\frac{\pi L}{2 R} \sqrt{\frac{L}{2 g}} \approx 4.19 \cdot 10^{5} $$ $$ v=\sqrt{2 g R\left(1-\frac{R}{L}\right)} \approx 11.2~км/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]