text: {"text": [{"text": "Три элемента, среди которых могут быть резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности, соединены звездой (см. рисунок). <img_0> При подключении источника переменного напряжения к выводам $1$ и $2$ цепи вольтметр переменного тока, подключенный к выводам $1$ и $3$ , показывает $80~В$. При подключении вольтметра к выводам $2$ и $3$ он показывает $45~В$. При подключении того же источника к выводам $1$ и $3$ вольтметр показывает $21~В$ между выводами $2$ и $3$ и $28~В$ между $1$ и $2$. При подключении источника к выводам $2$ и $3$ вольтметр показывает $21~В$ между $1$ и $2$ и $28~В$ между $1$ и $3$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите напряжение источника."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите элементы цепи, соответствующие лучам звезды. Можно ли однозначно установить тип элементов цепи?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Определите отношение силы токов $I_{12}: I_{13}: I_{23}$ через источник при его подключении к выводам $1$ и $2$, $1$ и $3$, $2$ и $3$. Источник, вольтметр и все элементы цепи можно считать идеальными."}]}
answer: [{"condition": "Определите напряжение источника. ", "solution": {"text": "При подключении к источнику переменного тока двух последовательно соединенных элементов напряжения на них складываются так же, как векторы, модуль которых равен напряжению, которое показывает вольтметр. Угол между осью абсцисс и этим вектором примем равным $0^{\circ}$ для резистора, тогда для конденсатора он будет равен $-90^{\circ}$, а для катушки индуктивности $+90^{\circ}$. Заметим, что суммарное напряжение всегда не превосходит суммы напряжений. Предположим, что один из элементов $1$ и $2$ является катушкой индуктивности, а другой - конденсатором. Тогда суммарное напряжение на них составляет $U_{12}=80~В-45~В=35~В$, что равно напряжению источника. Заметим, что $21^{2}+28^{2}=35^{2}$, значит, в силу правила сложения напряжений, элемент $3$ является резистором. При такой схеме нельзя различить, какой из элементов $1$ и $2$ является конденсатором, а какой - катушкой индуктивности. Действительно, если, сохранив импедансы, поменять элементы местами, то напряжения на выводах не изменятся. Рассмотрим все остальные случаи. Суммарное напряжение на элементах $1$ и $2$ будет определяться либо как сумма напряжений на каждом (в случае, если $1$ и $2$ - одинаковые элементы), либо как корень из суммы квадратов напряжений на каждом (в случае, если один из них резистор, а другой - конденсатор или катушка индуктивности). Тогда суммарное напряжение, равное напряжению источника, в любом случае будет больше, чем, по крайней мере, $80~В$. Однако это больше, чем сумма напряжений в случае подключения источника к выводам $1$ и $2$. Полученное противоречие показывает, что один из этих элементов является конденсатором, а другой - катушкой индуктивности. Импедансы складываются аналогично напряжениям. Отношение модулей импедансов двух элементов при последовательном соединении равно отношению напряжений на этих элементах, следовательно: $Z_{1}: Z_{3}=4: 3$ (из схемы с подключением источника к выводам $1$ и $3$), $Z_{3}: Z_{2}=4: 3$ (из схемы с подключением источника к выводам $2$ и $3$). Пусть $Z_{2}=9$, $Z_{3}=12$, $Z_{1}=16$ относительных единиц. Тогда, пользуясь правилом сложения импедансов, находим: $Z_{12}=7$, $Z_{13}=20$, $Z_{23}=15$. Отношение сил токов обратно пропорционально отношению импедансов, откуда $$ I_{12}: I_{13}: I_{23}=\frac{1}{7}: \frac{1}{20}: \frac{1}{15}=60: 21: 28. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите элементы цепи, соответствующие лучам звезды. Можно ли однозначно установить тип элементов цепи? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Один из элементов $1$ и $2$ является катушкой индуктивности, а другой - конденсатором, элемент $3$ является резистором."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите отношение силы токов $I_{12}: I_{13}: I_{23}$ через источник при его подключении к выводам $1$ и $2$, $1$ и $3$, $2$ и $3$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I_{12}: I_{13}: I_{23}=\frac{1}{7}: \frac{1}{20}: \frac{1}{15}=60: 21: 28 $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]