text: {"text": [{"text": "<img_0> В прямом переводе слово гироскоп — прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может менять положение в пространстве. Гироскоп, в особенности, когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первый взгляд неожиданными и непонятными. Вся теория гироскопов построена на векторном уравнении для момента импульса относительно точки опоры $O$: $$\frac{\mathrm d\vec{L}}{\mathrm dt} = \vec{M} .\tag{1}$$Здесь $\vec{M}$ — сумма моментов внешних сил относительно точки $O$, $\vec{L}$ — момент импульса относительно точки $O$. Если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось описывает в пространстве круговой конус с вертикальной осью. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией. <img_1>"}, {"text": "Часть A. Период прецессии (1 балл)"}, {"text": "Часть B. Момент инерции волчка (4 балла) <img_2>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Теоретически получите выражение для периода прецессии волчка $T_1$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "3,00"}, "text": "Раскрутите волчок с помощью груза $m_1$ и измерьте период его прецессии. Используя эти данные и проведя необходимые дополнительные измерения геометрических размеров, определите момент инерции ротора волчка $I$ и частоту вращения волчка (в $Гц$) в эксперименте."}, {"text": "Часть C. Момент силы трения (3 балла) Момент силы тяжести только поворачивает момент импульса волчка. Момент силы трения между ротором и рамой изменяет его модуль."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "До какой максимальной частоты удаётся раскрутить волчок, дёргая за нить рукой? Ответ выразите в герцах."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "2,20"}, "text": "Раскрутите волчок и поставьте на подставку. Постройте график зависимости частоты вращения ротора волчка (в $Гц$) от времени до того момента, как частота уменьшится в $2$ раза."}, {"text": "Часть D. Другая прецессия (2 балла) Чтобы наблюдать другой вид прецессии волчка, его нужно подвесить на нитке за железный обруч и отклонить на угол $\alpha$ от вертикали. <img_3>"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,80"}, "text": "На основе графика сделайте качественный вывод о зависимости момента силы трения, действующего на ротор, от скорости вращения волчка. Определите средний момент силы трения."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,50"}, "text": "Теоретически выведите формулу для периода прецессии $T_2$ в этом случае."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "1,50"}, "text": "Экспериментально исследуйте зависимость периода прецессии $T_2$ от угла $\alpha$."}]}
answer: [{"condition": "Теоретически получите выражение для периода прецессии волчка $T_1$. ", "solution": {"text": "<img_4>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}T_{1}=\frac{2 \pi I \omega}{r m g} \tag{3}\end{equation}\begin{equation}\Omega=\frac{r m g}{I \omega}. \tag{4}\end{equation}"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Раскрутите волчок с помощью груза $m_1$ и измерьте период его прецессии. Используя эти данные и проведя необходимые дополнительные измерения геометрических размеров, определите момент инерции ротора волчка $I$ и частоту вращения волчка (в $Гц$) в эксперименте. ", "solution": {"text": "Для нахождения момента инерции волчка воспользуемся законом сохранения энергии и уравнением $(3)$. Получим систему уравнений:$$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{T}_{1}=\frac{2 \pi I \omega}{r m g}, \\m_{1} g h=\frac{m_{1}(b \omega)^{2}}{2}+\frac{I \omega^{2}}{2} .\end{array}\right.$$Здесь: $r=4.1~см$ расстояние от точки опоры $О$ до центра масс волчка.$h=85~см $ длина той части нити, которой раскручивают волчок.$b$ — расстояние от точки приложения силы тяжести груза к волчку до оси волчка. Чтобы определить $b$, посчитаем, сколько оборотов совершает волчок, когда на него накручивают нить длинной $c=21.8~см$. Он совершает ${N}_{об}=10$$$2 \pi b N_{об}=с,$$$$ b=0.35~см.$$$\mathrm{T}_{1}$ — период прецессии после раскручивания грузом. Измеряем его, поставив волчок на подставку сразу после раскручивания. Если гироскоп начинает вибрировать, вставать в вертикальное положение или по каким-то еще причинам вследствие его не идеальности большая угловая скорость не позволяет измерить период прецессии, то следует укоротить разгонную часть нити.$$T_{1}=2.9~с.$$Из первого уравнения выражаем $\omega$ и подставляем во второе. Получаем квадратное уравнение относительно $I$.$$\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}} I^{2}=m_{1} b^{2}+I$$Решив квадратное уравнение и выбрав положительный корень, получим:$$I=\frac{1+\sqrt{1+4 a m_{1} b^{2}}}{2 a},$$$$a=\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I=4.3 \cdot 10^{-5} ~кг\cdot м^{2}.$$При различных оценках могут понадобиться другие параметры волчка такие как внешний радиус $R_1=3~см$, внутренний $R_2=2~см$."]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "До какой максимальной частоты удаётся раскрутить волчок, дёргая за нить рукой? Ответ выразите в герцах. ", "solution": {"text": "Подставив значение $I$ в $(3)$, получим $v_{1}=\frac{\omega}{2 \pi}=T_{1} \frac{r m g}{4 \pi \pi I}=91~Гц$,$$\omega=571~\frac{рад }{с}$$При раскручивании руками максимальный период прецессии$$T_{\max } \simeq 3~с.$$А соответствующая частота из $(3)$ Оценим погрешность полученного значения $I$. Абсолютная погрешность при измерении $r-\Delta r=1~мм,~b-\Delta b=0.2~мм, ~h-\Delta h=2~см$ (высокая погрешность $b$ и $h$ обусловлена растяжением нити), $T_{1}-\Delta T_{1}= 0.2~с$ (вызвано сложностью замера поворота на $2 \pi$ а так же установкой гироскопа на подставку).Итого для $I$ имеем:$$\varepsilon \simeq 20 \% .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{\max } \simeq 100~Гц.$$  Оценим погрешность полученного значения $I$. Абсолютная погрешность при измерении $r-\Delta r=1~мм,~b-\Delta b=0.2~мм, ~h-\Delta h=2~см$ (высокая погрешность $b$ и $h$ обусловлена растяжением нити), $T_{1}-\Delta T_{1}= 0.2~с$ (вызвано сложностью замера поворота на $2 \pi$ а так же установкой гироскопа на подставку).Итого для $I$ имеем:$$\varepsilon \simeq 20 \% .$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Раскрутите волчок и поставьте на подставку. Постройте график зависимости частоты вращения ротора волчка (в $Гц$) от времени до того момента, как частота уменьшится в $2$ раза. ", "solution": {"text": "Нужно раскрутить волчок и с помощью секундомера, измеряющего круги, снять все периоды прецессии, пока период не упадёт в два раза. К частоте вращения от периода прецессии переходим по формуле$$v=T_{1} \frac{r g m}{4 \pi^{2} I}$$Время находится как сумма всех предыдущих периодов. $T_1,~с$2.772.72.612.522.42.42.392.332.29$t,~с$2.775.478.0810.61315.417.7920.1222.41$v_1,~Гц$86.7984.59681.77778.95775.19775.19774.88473.00471.75$T_1,~с$2.2592.1252.072.151.981.931.991.951.88$t,~с$24.66926.79428.86431.01432.99434.92436.91438.86440.744$v_1,~Гц$70.77966.58164.85767.36462.03760.47162.35161.09758.904$T_1,~с$1.931.831.8361.6851.6851.671.671.71.57$t,~с$42.67444.50446.3448.02549.7151.3853.0554.7556.32$v_1,~Гц$60.47157.33857.52652.79452.79452.32452.32453.26449.191$T_1,~с$1.571.561.531.431.491.331.361.381.39$t,~с$57.8959.4560.9862.4163.965.2366.5967.9769.36$v_1,~Гц$49.19148.87847.93844.80546.68541.67242.61243.23843.552$T_1,~с$1.341.21.321.211.161.261.131.011.09$t,~с$70.771.973.2274.4375.5976.8577.9878.9980.08$v_1,~Гц$41.98537.59841.35837.91236.34539.47835.40531.64534.152$T_1,~с$1.11.050.98 $t,~с$81.1882.2383.21 $v_1,~Гц$34.46532.89930.705 График измеренной зависимости: | $T\_1,\~с$ | 2\.77 | 2\.7 | 2\.61 | 2\.52 | 2\.4 | 2\.4 | 2\.39 | 2\.33 | 2\.29 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $t,\~с$ | 2\.77 | 5\.47 | 8\.08 | 10\.6 | 13 | 15\.4 | 17\.79 | 20\.12 | 22\.41 | | $v\_1,\~Гц$ | 86\.79 | 84\.596 | 81\.777 | 78\.957 | 75\.197 | 75\.197 | 74\.884 | 73\.004 | 71\.75 | | $T\_1,\~с$ | 2\.259 | 2\.125 | 2\.07 | 2\.15 | 1\.98 | 1\.93 | 1\.99 | 1\.95 | 1\.88 | | $t,\~с$ | 24\.669 | 26\.794 | 28\.864 | 31\.014 | 32\.994 | 34\.924 | 36\.914 | 38\.864 | 40\.744 | | $v\_1,\~Гц$ | 70\.779 | 66\.581 | 64\.857 | 67\.364 | 62\.037 | 60\.471 | 62\.351 | 61\.097 | 58\.904 | | $T\_1,\~с$ | 1\.93 | 1\.83 | 1\.836 | 1\.685 | 1\.685 | 1\.67 | 1\.67 | 1\.7 | 1\.57 | | $t,\~с$ | 42\.674 | 44\.504 | 46\.34 | 48\.025 | 49\.71 | 51\.38 | 53\.05 | 54\.75 | 56\.32 | | $v\_1,\~Гц$ | 60\.471 | 57\.338 | 57\.526 | 52\.794 | 52\.794 | 52\.324 | 52\.324 | 53\.264 | 49\.191 | | $T\_1,\~с$ | 1\.57 | 1\.56 | 1\.53 | 1\.43 | 1\.49 | 1\.33 | 1\.36 | 1\.38 | 1\.39 | | $t,\~с$ | 57\.89 | 59\.45 | 60\.98 | 62\.41 | 63\.9 | 65\.23 | 66\.59 | 67\.97 | 69\.36 | | $v\_1,\~Гц$ | 49\.191 | 48\.878 | 47\.938 | 44\.805 | 46\.685 | 41\.672 | 42\.612 | 43\.238 | 43\.552 | | $T\_1,\~с$ | 1\.34 | 1\.2 | 1\.32 | 1\.21 | 1\.16 | 1\.26 | 1\.13 | 1\.01 | 1\.09 | | $t,\~с$ | 70\.7 | 71\.9 | 73\.22 | 74\.43 | 75\.59 | 76\.85 | 77\.98 | 78\.99 | 80\.08 | | $v\_1,\~Гц$ | 41\.985 | 37\.598 | 41\.358 | 37\.912 | 36\.345 | 39\.478 | 35\.405 | 31\.645 | 34\.152 | | $T\_1,\~с$ | 1\.1 | 1\.05 | 0\.98 | | | | | | | | $t,\~с$ | 81\.18 | 82\.23 | 83\.21 | | | | | | | | $v\_1,\~Гц$ | 34\.465 | 32\.899 | 30\.705 | | | | | | |"}, "answer": {"answers": ["<img_5>"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "2,20"}, {"condition": "На основе графика сделайте качественный вывод о зависимости момента силы трения, действующего на ротор, от скорости вращения волчка. Определите средний момент силы трения. ", "solution": {"text": "Из линейности полученной зависимости можно сделать вывод о том, что момент силы трения постоянный, он никак существенно не зависит от скорости вращения ротора. Возможно получение неправильного результата, если не добиться того, чтобы рама не проворачивалась относительно подставки.$$M_{тp}=-\frac{\Delta v}{\Delta t} 2 \pi I \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M_{тp}=1.7 \cdot 10^{-4} ~Н\cdot м.$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Теоретически выведите формулу для периода прецессии $T_2$ в этом случае. ", "solution": {"text": "Записав момент силы тяжести относительно точки подвеса, и использовав промежуточные выкладки из первой части задачи получим: Где $z=4~см$ — расстояние от точки подвеса до оси волчка."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T_{2}=\frac{2 \pi \omega I}{z m g} \frac{1}{\tan \alpha} \tag{6}$$  Где $z=4~см$ — расстояние от точки подвеса до оси волчка."]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Экспериментально исследуйте зависимость периода прецессии $T_2$ от угла $\alpha$. ", "solution": {"text": "<img_7> Как видно из графика эту зависимость можно считать линейной, что подтверждает полученную теорию. | $T,\~с$ | $T,\~с$ | $T,\~с$ | $\<T\>,\~с$ | $\\operatorname{ctg}(\\alpha)$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | 3\.18 | 3\.1 | 3\.15 | 3\.14 | 1 | | 3\.31 | 3\.24 | 3\.36 | 3\.30 | 1\.33 | | 3\.41 | 3\.57 | 3\.43 | 3\.47 | 2 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $T,\~с$ | $T,\~с$ | $T,\~с$ | $\<T\>,\~с$ | $\\operatorname{ctg}(\\alpha)$ | | --- | --- | --- | --- | --- | | 3\.18 | 3\.1 | 3\.15 | 3\.14 | 1 | | 3\.31 | 3\.24 | 3\.36 | 3\.30 | 1\.33 | | 3\.41 | 3\.57 | 3\.43 | 3\.47 | 2 | Ответ: $T,~с$$T,~с$$T,~с$$<T>,~с$$\operatorname{ctg}(\alpha)$3.183.13.153.1413.313.243.363.301.333.413.573.433.472", "<img_6>  Как видно из графика эту зависимость можно считать линейной, что подтверждает полученную теорию."]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "1,50"}]