text: {"text": [{"text": "Электрическая схема состоит из~трех конденсаторов $C_1$, $C_2$, $C_3$ одинаковой емкости~$C$, катушки с~индуктивностью~$L$, двух идеальных диодов, источника постоянного напряжения~$U_0$, ключа~$K$~(см. рисунок). <img_0> Первоначально перед замыканием ключа конденсаторы не~заряжены. Затем ключ переводят в~положение~$1$, и, после установления равновесия, переключают в~положение~$2$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Чему равны напряжения на~конденсаторах $U_1$, $U_2$ и $U_3$ перед переключением ключа в~положение~$2$?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Чему равно максимальное значение $I_D$ тока через диоды после переключения ключа в~положение~$2$?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "В~каких пределах $\left(\left[ U_1^{{min}},\ U_1^{{max}}\right]\right.$, $\left[ U_2^{{min}},\ U_2^{{max}}\right]$ и $\left.\left[ U_3^{{min}},\ U_3^{{max}}\right]\right)$ изменяются напряжения на~конденсаторах после переключения ключа в~положение~$2$?"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Качественно изобразите график зависимости сила тока $I$, протекающего через индуктивность, от времени."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": null}, "text": "Чему равен период колебаний $T$ тока $I$? Активным сопротивлением индуктивности и~проводов можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Чему равны напряжения на~конденсаторах $U_1$, $U_2$ и $U_3$ перед переключением ключа в~положение~$2$? ", "solution": {"text": "При~замыкании ключа в~положение~$1$, конденсаторы подключены к~источнику параллельно и~заряжаются до~напряжения~$U_0$ каждый~(см. рисунок). <img_1> Заряд конденсаторов при~этом $q_0=CU_0$. Рассмотрим начальный этап колебаний. Ток при~этом течёт в~направлениях, указанных на~рисунке ниже, напряжения на~$C_1$ и~$C_3$ уменьшаются, на~$C_2$~—~увеличивается. <img_2> Потенциал~$\varphi_d$ точки~$d$ больше потенциала~$\varphi_a$ точки~$a$, $\varphi_b$ больше, чем $\varphi_c$, ток через диоды не~течет. Пусть в~момент времени~$t$ заряд конденсаторов~$C_1$ и~$C_3$ равен $q(t)$ ($t=0$ при переключении ключа в~положение~$2$), $q(0)=q_0$. Тогда протекший через индуктивность заряд~$\Delta q=q_0-q$, а~на~конденсаторе~$C_2$ заряд $q_2=2q_0-q$. Для контура~$abdca$ $$ L\dot I=\frac{q}{C}-\frac{2q_0-q}{C}+\frac{q}{C}. $$ Учитывая, что $I=-\dot q$, получаем $$ -L\ddot q=\frac{3q}{C}-\frac{2q_0}{C} \quad\Rightarrow\quad L\ddot q+\frac{3}{C}\left(q-\frac{2}{3}q_0\right)=0. $$ Заменив $q-\frac{2}{3}q_0=q_1$, учитывая, что $\ddot q=\ddot q_1$, получим $$ L\ddot q_1+\frac{3}{C}q_1=0. $$ Это уравнение гармонических колебаний, причём при $t=0$ $q_1(0)=q_0/3$. Решение этого уравнения $q_1(t)=q_1(0)\cos{\omega t}=\frac{q_0}{3}\cos{\omega t},$ где $\omega=\sqrt{3/LC}$. Для заряда $q(t)$ имеем $$ q(t)=q_1(t)+\frac{2}{3}q_0=q_0\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cos{\omega t}\right). \tag1 $$ Качественный график $I(t)$~—~синусоида симметричная относительно оси времени и выходящая из начала координат. Ток через индуктивность при~этом меняется по~гармоническому закону $$ I(t)=-\dot q=\frac{\omega q_0}{3}\sin{\omega t}. $$ Для заряда~$q_2(t)$ конденсатора~$C_2$ имеем $$ q_2(t)=2q_0-q(t)=q_0\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\cos{\omega t}\right). \tag2 $$ При $t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}=\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ ток через индуктивность становится равен~$0$, затем течёт в~обратном направлении. Однако диоды по-прежнему «закрыты», так как $\varphi_d > \varphi_a$ и~$\varphi_b > \varphi_c$, поэтому в~колебаниях участвует всё та~же последовательная цепочка и~все ранее выписанные уравнения для колебаний остаются справедливыми. По~истечении полного периода колебаний~$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$ ток прекращается, конденсаторы возвращаются в~исходное состояние и~процесс повторяется вновь. Таким образом, в~процессе колебаний ток через диоды не~течет и~колебания тока являются гармоническими с~периодом~$T=2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}$. Напряжение на~конденсаторах~$C_1$ и~$C_3$ в~соответствии с~$(1)$ меняется в~пределах от~$\frac{U_0}{3}$ до~$U_0$, на~конденсаторе~$C_2$ в~соответствии с~$(2)$ в~пределах от~$U_0$ до~$\frac{5U_0}{3}$, знаки зарядов на~пластинах всех трех конденсаторов не~меняются."}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равно максимальное значение $I_D$ тока через диоды после переключения ключа в~положение~$2$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В~каких пределах $\left(\left[ U_1^{{min}},\ U_1^{{max}}\right]\right.$, $\left[ U_2^{{min}},\ U_2^{{max}}\right]$ и $\left.\left[ U_3^{{min}},\ U_3^{{max}}\right]\right)$ изменяются напряжения на~конденсаторах после переключения ключа в~положение~$2$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Напряжение на~конденсаторах~$C_1$ и~$C_3$ меняется в~пределах от~$\frac{U_0}{3}$ до~$U_0$, на~конденсаторе~$C_2$ — в~пределах от~$U_0$ до~$\frac{5U_0}{3}$, знаки зарядов на~пластинах всех трех конденсаторов не~меняются."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Качественно изобразите график зависимости сила тока $I$, протекающего через индуктивность, от времени. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Качественный график $I(t)$~—~синусоида симметричная относительно оси времени и выходящая из начала координат."]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равен период колебаний $T$ тока $I$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2\pi\sqrt{\frac{LC}{3}}. $$"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "??"}]