text: {"text": [{"text": "В древние времена люди считали Землю плоской. Вообразим, что Земля действительно не является шаром радиуса $R=6370~км$, а представляет собой безграничный плоский слой толщины $H$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Предполагая, что плотность Земли постоянна и одинакова в обеих моделях, определите, при какой толщине «плоской» Земли ускорение свободного падения на ее поверхности оказалось бы таким же, как и на поверхности реальной Земли. Можно использовать аналогию между электростатическим и гравитационным полями."}]}
answer: [{"condition": "Предполагая, что плотность Земли постоянна и одинакова в обеих моделях, определите, при какой толщине «плоской» Земли ускорение свободного падения на ее поверхности оказалось бы таким же, как и на поверхности реальной Земли. ", "solution": {"text": "Закон всемирного тяготения и закон Кулона имеют одинаковый вид: $$ F_{эл}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q q}{r^{2}} ; \quad F_{гр}=G \frac{M m}{r^{2}}. $$ Эти выражения позволяют установить аналогию между электрическими и «гравитационными» величинами: $$ \begin{gathered} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \text { соответствует } G; \\ Q \text { соответствует } M; \\ E_{эл}=\frac{F_{эл}}{q} \text { соответствует } E_{гр}=\frac{F_{гр}}{m}; \\ \rho_{эл}=\frac{Q}{V} \text { соответствует } \rho_{гр}=\frac{M}{V}. \end{gathered} $$ Для плоского слоя толщины $H$: $$ \sigma_{эл}=\rho_{\text {эл }} \cdot H, \quad \sigma_{гр}=\rho_{гр} \cdot H . $$ По аналогии, напряженности электрического $E_{эл}$ и гравитационного $E_{гр}$ полей вблизи плоского заряженного слоя и плоского слоя с распределенной массой должны выражаться сходными соотношениями: $$ E_{эл}=\frac{\sigma_{эл}}{2 \varepsilon_{0}}=\frac{\rho_{эл} H}{2 \varepsilon_{0}}, \quad \left(E_{гр}\right)_{пл}=\frac{\sigma_{гр}}{2 \cdot \frac{1}{4 \pi G}}=2 \pi G \rho_{гр} H . $$ Напряженность гравитационного поля на поверхности сферической Земли равна $$ \left(E_{гр}\right)_{сф}=G \frac{4 \pi R^{3} \rho_{гр}}{3 R^{2}}=\frac{4}{3} \pi G \rho_{гр} R . $$ Отсюда следует, что ускорения свободного падения в моделях плоской и сферической Земли будут одинаковыми при условии $$ \left(E_{гр}\right)_{пл}=\left(E_{гр}\right)_{сф}, $$ следовательно, $$ H=\frac{2}{3} R \approx 4250~км. $$ $\textit{Примечание}$. Задачу, разумеется, можно решить, применяя к гравитационному полю теорему Гаусса."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ H=\frac{2}{3} R \approx 4250~км. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]