text: {"text": [{"text": "Маленький шарик с зарядом $Q$ находится в центре закрепленного незаряженного проводящего полого шара с радиусами концентрических поверхностей $R_{1}$ и $R_{2}$ $(R_{2} <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы удалить шарик через узкий канал в слоях проводника и диэлектрика на расстояние от полого шара, значительно больше $R_{3}$?"}]}
answer: [{"condition": "Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы удалить шарик через узкий канал в слоях проводника и диэлектрика на расстояние от полого шара, значительно больше $R_{3}$? ", "solution": {"text": "Минимальная работа равна изменению энергии электрического поля. Сравнив мысленно картины полей в начале и в конце опыта, можно заключить, что это изменение энергии есть разность $W_{2}-W_{1}$, где $W_{1}$ - энергия поля в слое диэлектрика с радиусами поверхностей $R_{2}$ и $R_{3}$ (поле создано зарядом $Q$, помещенным в центр этого слоя), $W_{2}$ - энергия поля в «пустом» объеме между сферами с радиусами $R_{1}$ и $R_{3}$ (поле создано зарядом $Q$, помещенным в общий центр этих сфер). Энергии $W_{1}$ и $W_{2}$ удобно искать как энергии соответствующих конденсаторов с емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$, имеющих на обкладках заряд $Q$. Найдем $C_{2}$ и $W_{2}$. Напряжение на конденсаторе с радиусами обкладок $R_{1}$ и $R_{3}$ $$ U=\left(k \frac{Q}{R_{1}}-k \frac{Q}{R_{3}}\right)-0=k Q \frac{R_{3}-R_{1}}{R_{1} R_{3}}, \quad \text { где } \quad k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} $$ Емкость конденсатора $$ C_{2}=\frac{Q}{U}=\frac{R_{1} R_{3}}{k\left(R_{3}-R_{1}\right)}, $$ его энергия $$ W_{2}=\frac{Q^{2}}{2 C_{2}}=\frac{k Q^{2}\left(R_{3}-R_{1}\right)}{2 R_{1} R_{3}}. $$ Аналогично находим $$ C_{1}=\frac{\varepsilon R_{2} R_{3}}{k\left(R_{3}-R_{2}\right)}, \quad W_{1}=\frac{k Q^{2}\left(R_{3}-R_{2}\right)}{2 \varepsilon R_{2} R_{3}}. $$ Искомая работа $$ A=W_{2}-W_{1}=\frac{k Q^{2}}{2 R_{3}}\left(\frac{R_{3}-R_{1}}{R_{1}}-\frac{R_{3}-R_{2}}{\varepsilon R_{2}}\right). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A=\frac{k Q^{2}}{2 R_{3}}\left(\frac{R_{3}-R_{1}}{R_{1}}-\frac{R_{3}-R_{2}}{\varepsilon R_{2}}\right) $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]