text: {"text": [{"text": "Описание динамики системы с непрерывно распределённой массой представляет достаточно большие трудности, однако зачастую возникает в технических установках. В данной задаче изучается динамика однородной массивной пружины."}, {"text": "Часть A. Динамика массивной пружины (1.5 балла) В данной части задачи изучаются колебания горизонтального пружиннного маятника, состоящего из пружины с собственной длиной $L_1$ и груза массой $M$, на гладкой горизонтальной поверхности, при этом ось $x'$ направлена вправо (см.рис). Если масса груза $M$ во много раз больше массы пружины $m_1=\mu L_1$, то период колебаний пружинного маятника будет значительно больше периода собственных колебаний пружины. Это позволяет считать пружину растянутой равномерно, а скорость её элементов $v_1(x')$ пропорциональной координате $x'$ при движении системы. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Определите кинетическую энергию пружины $E_k$ при движении груза со скоростью $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "Получите выражение для периода колебаний $T$ пружинного маятника. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. В таблице представлена зависимость периода колебаний $T$ пружинного маятника от массы $M$ груза. Для обработки данных в листах ответов вам предоставлена таблица и лист миллиметровой бумаги."}, {"text": "Часть B. Модель стоячих волн (3.0 балла). Здесь и далее вам предстоит точно описать динамику пружины. Рассмотрим груз массой $M$ на конце пружины длиной $L_2$. Введём ось $x'$ в точке её крепления и направим в сторону груза. Будем описывать отклонение элементов пружины от равновесного функцией смещения $u=u(x'{,}t)$ вдоль оси $x'$ во всех последующих частях задачи. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите массу пружины $m_1$ и её коэффициент жёсткости $k_1$. Оцените погрешности полученных величин."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,40"}, "text": "Запишите второй закон Ньютона для бесконечно малого элемента пружины. Покажите, что уравнение движения является волновым. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. Волны в пружине порождаются как грузом, так и в точке крепления пружины. Будем называть волну, порождаемую грузом, падающей, а волну, порождаемую в точке крепления пружины, отражённой. Функции смещения, порождаемые падающей и отражённой волной, обозначим за $u_\text{пад}$ и $u_\text{отр}$ соответственно. В силу принципа суперпозиции: $$u(x'{,}t)=u_\text{пад}(x'{,}t)+u_\text{отр}(x'{,}t) $$ Для гармонической бегущей отражённой волны решение запишется в виде: $$u_\text{отр}(x{,}t)=A\cos(\omega_0t-k_0x') $$ где $\omega_0$ и $k_0$ - циклическая частота волны и её волновое число соответственно."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,40"}, "text": "Получите выражение для $u(x'{,}t)$. Ответ выразите через $A$, $\omega_0$, $k_0$, $x'$ и $t$. Из уравнения движения груза можно получить соотношение: $$\omega_0=f(\omega_0) $$ где $f(\omega_0)$ - тригонометрическая функция."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите $f(\omega_0)$. Ответ выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$, $M$ и $\omega_0$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите разложения $f_1(\omega_0)$, $f_2(\omega_0)$ и $f_3(\omega_0)$ функции $f(\omega_0)$ до одного, двух и трёх ведущих членов соответственно. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$, $M$ и $\omega_0$."}, {"text": "Часть C. Соударение с полубесконечной пружиной (2.5 балла). В данной части задачи брусок массой $M$, движущийся со скоростью $v_0$ по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с полубесконечной пружиной. Вам предстоит описать движение бруска и элементов пружины. В данной части задачи мы также будем характеризовать смещение элементов пружины функцией $u=u(x'{,}t)$. <img_2>"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите циклические частоты первой гармоники $\omega_{01}$, $\omega_{02}$ и $\omega_{03}$, соответствующие решениям уравнений $\omega_0=f_1(\omega_0)$, $\omega_0=f_2(\omega_0)$ и $\omega_0=f_3(\omega_0)$ соответственно. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,20"}, "text": "Поскольку пружина полубесконечная и изначально неподвижна - функция $u(x'{,}t)$ может быть записана как функция одной переменной: $$u=u(x'-ct) $$u=u(x'-ct) $$u=u(x'-ct) $$ $$u=u(x'-ct) $$ $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. $$u=u(x'-ct) $$ Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. Далее с помощью координаты $x$ с началом в положении столкновения бруска и пружины будем характеризовать положение бруска."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,50"}, "text": "Выразите импульс $p$ бруска в точке с координатой $x$ через $M$, $v_0$, $\mu$, $k$, $L$ и $x$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите зависимости скорости груза $v$ от времени $t$ после столкновения. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$."}, {"text": "Часть D. Второй брусок (5.0 балла). Данная часть задачи является прямым продолжением предыдущей, но с тем отличием, что пружина имеет очень большую, но конечную длину $L_0$, и в некоторый момент волны, порождённые бруском массой $M$, достигают второго конца пружины. Вблизи второго конца пружины покоится второй брусок массой $m$. В данной части задачи вам необходимо описать движение этого бруска. Время $t$ в данной части задачи отсчитывается от момента достижения падающей волной бруска массой $m$. Считайте, что за время движения бруска массой $m$ волны, отражённые от него, не достигают бруска массой $M$. <img_3> В данной части задачи функции смещения падающей и отражённой волн обозначены за $u_1$ и $u_2$ соответственно, а скорость бруска массой $m$ - за $V$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,60"}, "text": "Получите зависимость скорости элементов пружины $v_\text{пр}$ от координаты $x'$ в момент времени $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$, $t$ и $x'$. Постройте качественный график полученной зависимости. На графике укажите все характерные значения."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,30"}, "text": "Получите зависимость $v_1(t)$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите $v_2(t)$ через $V(t)$ и $v_1(t)$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите ускорение груза $a(t)=dV(t)/dt$. Ответ выразите через $\mu$, $k$, $L$, $m$, $V(t)$ и $v_1(t)$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "1,50"}, "text": "Получите зависимость $V(t)$. Ответ выразите через $v_0$, $m$, $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $t$."}, {"balls": {"number": "D5", "exponent": "0,40"}, "text": "В течении какого времени $\tau$ брусок массой $m$ контактирует с пружиной?"}, {"balls": {"number": "D6", "exponent": "0,30"}, "text": "При какой минимальной массе пружины $m_{min}$ отражённая от бруска массой $m$ волна не достигает бруска массой $M$ за время $\tau$? Ответ выразите через $m$ и $M$."}, {"balls": {"number": "D7", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите конечную скорость $V_{\infty}$ бруска массой $m$. Ответ выразите через $v_0$, $m$ и $M$. Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Во что переходит ответ при $m\to{M}$? Рассмотрим предельный случай, когда $m=M$, а масса пружины равна $m_{min}$."}, {"balls": {"number": "D8", "exponent": "1,10"}, "text": "Получите зависимость скорости элементов пружины $v_\text{пр}$ от координаты $x'$ в момент времени $\tau$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $M$ и $x'$. Постройте качественный график полученной зависимости. На графике укажите все характерные значения."}]}
answer: [{"condition": "Определите кинетическую энергию пружины $E_k$ при движении груза со скоростью $v$.  Ответ выразите через $\mu$, $L_1$ и $v$. ", "solution": {"text": "Поскольку скорость элемента пружины пропорциональна координате $x'$:$$v_\text{пр}(x')=\cfrac{vx'}{L_1}$$Тогда для кинетической энергии имеем:$$E_k=\int\limits_0^{L_1}\cfrac{\mu v^2_\text{пр}dx'}{2}=\cfrac{\mu v^2}{2L_1}\int\limits_0^{L_1}x'^2dx'$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_k=\cfrac{\mu L_1v^2}{6}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите выражение для периода колебаний $T$ пружинного маятника.  Ответ выразите через $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $L_1$. ", "solution": {"text": "Коэффициент жёсткости пружины обратно пропорционален её собственной длине, поэтому для заданной пружины он равен:$$k_1=\cfrac{kL}{L_1}$$Поскольку пружина растянута равномерно, при отклонении груза на расстояние $x$ от положения равновесия потенциальная энергия деформации пружина равна:$$W_p=\cfrac{k_1x^2}{2}=\cfrac{kLx^2}{2L_1}$$Воспользуемся законом сохранения энергии:$$E=E_k+W_p=\cfrac{Mv^2}{2}+\cfrac{\mu L_1v^2}{6}+\cfrac{kLx^2}{2L_1}=const$$Дифференцируя, получим уравнение гармонических колебаний:$$(M+\cfrac{\mu L_1}{3})\ddot{x}=-\cfrac{kLx}{L_1}\Rightarrow{\omega^2_0=\cfrac{kL}{L_1(M+\mu L_1/3)}}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=2\pi\sqrt{\cfrac{L_1(M+\mu L_1/3)}{kL}}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Определите массу пружины $m_1$ и её коэффициент жёсткости $k_1$. Оцените погрешности полученных величин. ", "solution": {"text": "Выражение для периода колебаний можно переписать в следующей форме:$$T=2\pi\sqrt{\cfrac{M+m_1/3}{k_1}}$$откуда:$$T^2=\cfrac{4\pi^2M}{k_1}+\cfrac{4\pi^2m_1}{3k_1}$$Зависимость $T^2(M)$ является линейной с угловым коэффициентом $4\pi^2/k_1$ и свободным членом $4\pi^2m_1/3k_1$. Произведём пересчёт точек и построим график в указанных координатах $T{,}\text{с}$$\Delta(T){,}\text{с}$$M{,}\text{г}$$\Delta(M){,}\text{г}$$T^2{,}\text{с}^2$$\Delta(T^2){,}\text{с}^2$0.920.0140010.850.021.020.0150011.040.021.120.0160011.250.021.200.0170011.440.021.280.0180011.640.031.350.0190011.820.031.430.01100012.040.03  Определим значения углового коэффициента $a$ и свободного члена $b$:$$a=19{.}7~\text{с}^2/кг\qquad b=0.06~\text{с}^2$$Для их погрешностей, оцененных графическим способом, соответственно имеем:$$\Delta{a}=0.6~\text{с}^2/кг\qquad \Delta{b}=0.03~\text{с}^2$$откуда: | $T{,}\\text{с}$ | $\\Delta(T){,}\\text{с}$ | $M{,}\\text{г}$ | $\\Delta(M){,}\\text{г}$ | $T^2{,}\\text{с}^2$ | $\\Delta(T^2\){,}\\text{с}^2$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 0\.92 | 0\.01 | 400 | 1 | 0\.85 | 0\.02 | | 1\.02 | 0\.01 | 500 | 1 | 1\.04 | 0\.02 | | 1\.12 | 0\.01 | 600 | 1 | 1\.25 | 0\.02 | | 1\.20 | 0\.01 | 700 | 1 | 1\.44 | 0\.02 | | 1\.28 | 0\.01 | 800 | 1 | 1\.64 | 0\.03 | | 1\.35 | 0\.01 | 900 | 1 | 1\.82 | 0\.03 | | 1\.43 | 0\.01 | 1000 | 1 | 2\.04 | 0\.03 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$k_1=20{.}0\pm 0.6~\text{Н}/\text{м}$$$$M=91\pm46~\text{г}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Запишите второй закон Ньютона для бесконечно малого элемента пружины. Покажите, что уравнение движения является волновым.  Определите скорость волн $c$ в пружине. Ответ выразите через $\mu$, $k$ и $L$. ", "solution": {"text": "Возникающая в пружине сила упругости равна:$$F_\text{упр}=kL\cfrac{\partial u}{\partial x'}$$Запишем второй закон Ньютона для бесконечно малого элемента пружины:$$\mu a_xdx'=\mu dx'\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=dF_\text{упр}=\cfrac{\partial F_\text{упр}}{\partial x'}dx'=kLdx'\cfrac{\partial^2u}{\partial x'^2}$$откуда: Полученное уравнение действительно является волновым.Учитывая, что:$$\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\cfrac{\partial^2u}{\partial x'^2}$$находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\mu\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=kL\cfrac{\partial^2u}{\partial x'^2}$$  Полученное уравнение действительно является волновым.Учитывая, что:$$\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\cfrac{\partial^2u}{\partial x'^2}$$находим:", "Ответ: $$c=\sqrt{\cfrac{kL}{\mu}}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Получите выражение для $u(x'{,}t)$. Ответ выразите через $A$, $\omega_0$, $k_0$, $x'$ и $t$. ", "solution": {"text": "В точке крепления пружины всегда выполняется граничное условие:$$u(0{,}t)=0$$Тогда имеем:$$u(0{,}t)=A\cos\omega_0t+u_\text{пад}(0{,}t)=0\Rightarrow u_\text{пад}(0{,}t)=-A\cos\omega_0t$$Поскольку функция смещения падающей волны является функцией переменной $x'+ct$, для неё имеем:$$u_\text{пад}(x'{,}t)=-A\cos(\omega_0t+k_0x')$$Тогда для $u(x'{,}t)$ имеем:$$u(x'{,}t)=A\cos(\omega_0t-k_0x')-A\cos(\omega_0t+kx')$$Воспользуемся тригонометрическим тождеством:$$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\left(\cfrac{\beta-\alpha}{2}\right)\sin\left(\cfrac{\beta+\alpha}{2}\right)$$и получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$u(x'{,}t)=2A\sin k_0x'\sin\omega_0t$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите $f(\omega_0)$. Ответ выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$, $M$ и $\omega_0$. ", "solution": {"text": "Запишем второй закон Ньютона для груза:$$Ma_x=-F_\text{упр}$$или же:$$M\cfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=-kL\cfrac{\partial u}{\partial x'}$$Подставляя $u(x'{,}t)$, получим:$$-2M\omega^2_0A\sin k_0L_2\sin\omega_0t=-2kLk_0A\cos k_0L_2\sin\omega_0t$$Отсюда:$$\omega^2_0=\cfrac{kL}{M}\cdot k_0\cot k_0L_2$$Учитывая, что $\omega_0=k_0c$, имеем:$$\omega_0=\cfrac{kL}{Mc}\cot\cfrac{\omega_0L_2}{c}$$После подстановки выражения для $c$:$$\omega_0=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\cot\omega_0\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$f(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\cot\omega_0\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите разложения $f_1(\omega_0)$, $f_2(\omega_0)$ и $f_3(\omega_0)$ функции $f(\omega_0)$ до одного, двух и трёх ведущих членов соответственно. Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$, $M$ и $\omega_0$. ", "solution": {"text": "Разложим функцию $\cot x$ до третьего ведущего слагаемого. Для этого достаточно разложить до трёх ведущих слагаемых функции $\sin x$ и $\cos x$:$$\cot x=\cfrac{\cos x}{\sin x}\approx\cfrac{1}{x}\cdot\cfrac{1-x^2/2+x^4/24}{1-x^2/6+x^5/120}$$Для разложения последней дроби введём функции $y=x^2/2-x^4/24$ и $z=x^2/6-x^4/120$. Имеем:$$\cfrac{1-y}{1-z}\approx(1-y)(1+z+z^2)$$Здесь мы учли, что степени $z$ выше третей дают степени $x$ выше шестой.$$\cfrac{1-y}{1-z}\approx(1-x^2/2+x^4/24)(1+x^2/6-x^4/120+x^4/36)\approx 1-\cfrac{x^2}{3}-\cfrac{x^4}{45}$$Таким образом:$$\cot x\approx \cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{3}-\cfrac{x^3}{45}$$Тогда имеем:$$f(\omega_0)\approx \sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\left(\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}}-\cfrac{\omega_0}{3}\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}-\cfrac{1}{45}\left(\omega_0\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}\right)^3\right)$$Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$f_1(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}}$$$$f_2(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\left(\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}}-\cfrac{\omega_0}{3}\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}\right)$$$$f_3(\omega_0)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{M^2}}\left(\cfrac{1}{\omega_0}\sqrt{\cfrac{kL}{\mu L^2_2}}-\cfrac{\omega_0}{3}\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}-\cfrac{1}{45}\left(\omega_0\sqrt{\cfrac{\mu L^2_2}{kL}}\right)^3\right)$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите циклические частоты первой гармоники $\omega_{01}$, $\omega_{02}$ и $\omega_{03}$, соответствующие решениям уравнений $\omega_0=f_1(\omega_0)$, $\omega_0=f_2(\omega_0)$ и $\omega_0=f_3(\omega_0)$ соответственно.  Ответы выразите через $\mu$, $k$, $L$, $L_2$ и $M$. ", "solution": {"text": "В первых двух случаях уравнения получаются линейными, поэтому ответы можно записать сразу: Обратим внимание, что первое приближение соответствует нулевой массе пружины, а второе приближение соответствует ответу, полученному в части $\mathrm{A}$. Для $\omega_{03}$ получим биквадратное уравнение:$$\omega^4_{03}+\cfrac{45MkL}{\mu^2L^3_2}\left(1+\cfrac{\mu L_2}{3M}\right)\omega^2_{03}-\cfrac{45k^2L^2}{\mu^2L^4_2}=0$$Нужно выбрать больший из корней, поскольку он положительный.Окончательно: Полученное приближение является первым, учитывающим конечность скорости распространения волновых процессов в пружине."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_{01}=\sqrt{\cfrac{kL}{ML_2}}$$", "Ответ: $$\omega_{02}=\sqrt{\cfrac{kL}{L_2(M+\mu L_2/3)}}$$  Обратим внимание, что первое приближение соответствует нулевой массе пружины, а второе приближение соответствует ответу, полученному в части $\mathrm{A}$. Для $\omega_{03}$ получим биквадратное уравнение:$$\omega^4_{03}+\cfrac{45MkL}{\mu^2L^3_2}\left(1+\cfrac{\mu L_2}{3M}\right)\omega^2_{03}-\cfrac{45k^2L^2}{\mu^2L^4_2}=0$$Нужно выбрать больший из корней, поскольку он положительный.Окончательно:", "Ответ: $$\omega_{03}=\sqrt{-\cfrac{45MkL}{2\mu^2L^3_2}\left(1+\cfrac{\mu L_2}{3M}\right)+\sqrt{\left(\cfrac{45MkL}{2\mu^2L^3_2}\left(1+\cfrac{\mu L_2}{3M}\right)\right)^2+\cfrac{45k^2L^2}{\mu^2L^4_2}}}$$  Полученное приближение является первым, учитывающим конечность скорости распространения волновых процессов в пружине."]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Поскольку пружина полубесконечная и изначально неподвижна - функция $u(x'{,}t)$ может быть записана как функция одной переменной:  $$u=u(x'-ct)  $$  Получите выражение для $\partial u(x'{,}t)/\partial x'$. Ответ выразите через $\partial u(x'{,}t)/\partial t$ и $c$. ", "solution": {"text": "Введём величину $\varphi=x'-ct$. Тогда для частных производных имеем:$$\cfrac{\partial u}{\partial x'}=\cfrac{du}{d\varphi}\cdot\cfrac{\partial \varphi}{\partial x'}=\cfrac{du}{d\varphi}\qquad\cfrac{\partial u}{\partial t}=\cfrac{du}{d\varphi}\cdot\cfrac{\partial \varphi}{\partial t}=-c\cfrac{du}{d\varphi} $$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{\partial u}{\partial x'}=-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u}{\partial t}$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите импульс $p$ бруска в точке с координатой $x$ через $M$, $v_0$, $\mu$, $k$, $L$ и $x$. ", "solution": {"text": "Первое решение: Из второго закона Ньютона для груза имеем: $$\cfrac{dp_x}{dt}=F_\text{упр}=kL\cfrac{\partial u(0{,}t)}{\partial x'}$$ Воспользуемся результатом пункта $\mathrm{C1}$: $$\cfrac{\partial u(0{,}t)}{\partial x'}=-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u(0{,}t)}{\partial t}$$ Учитывая, что $\partial u(0{,}t)/\partial t=v_x$, имеем: $$\cfrac{dp_x}{dt}=-\cfrac{kL}{c}\cdot{v_x}$$ Интегрируя по времени, находим: $$p(x)=Mv_0-\cfrac{kLx}{c}$$ Подставляя $c$, получим: Второе решение: Решение может быть получено из без использования результатов пункта $\mathrm{C1}$. Действительно, распределение скоростей в пружине за время $dt$ как единое целое смещается на величину $cdt$, а в области той же длины вблизи бруска появляется дополнительный импульс, равный: $$dp_\text{пр}=dm\cdot v=\mu cdt\cdot v$$ Воспользуемся законом сохранения импульса: $$dp_x=-dp_\text{пр}=-\mu cdt\cdot v=-\mu cdx$$ Суммируя, находим: $$p(x)=Mv_0-\mu cx$$ Подставляя $c$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p(x)=Mv_0-x\sqrt{\mu kL}$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Найдите зависимости скорости груза $v$ от времени $t$ после столкновения. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Дифференциальное уравнение движения бруска следующее:$$M\cfrac{dv}{dt}=-\cfrac{kLv}{c}$$откуда:$$v(t)=v_0e^{-kLt/Mc}$$Подставляя $c$, получим:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$v(t)=v_0e^{-t\sqrt{\mu kL/M^2}}$$", "solution": {"text": "Дифференциальное уравнение движения бруска следующее:$$M\cfrac{dv}{dt}=-\cfrac{kLv}{c}$$откуда:$$v(t)=v_0e^{-kLt/Mc}$$Подставляя $c$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v(t)=v_0e^{-t\sqrt{\mu kL/M^2}}$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Получите зависимость скорости элементов пружины $v_\text{пр}$ от координаты $x'$ в момент времени $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$, $t$ и $x'$. Постройте качественный график полученной зависимости. На графике укажите все характерные значения. ", "solution": {"text": "После приобретения элементом пружины, касающимся бруска, его скорости $v(t)$, данное значение скорости в дальнейшем перемещается вдоль пружины со скоростью $c$. Учитывая, что зависимость $v(t)$ является известной, для $v(x')$ можно получить явное выражение.Действительно, при $x'\leq ct$:$$v_\text{пр}(x'{,}t)=v(t-x'/c)=v(t)=v_0e^{(x'\sqrt{\mu/kL}-t)\sqrt{\mu kL/M^2}}$$Окончательно имеем зависимость:$$v_\text{пр}(x')=\begin{cases}v_0e^{(x'\sqrt{\mu/kL}-t)\sqrt{\mu kL/M^2}}\quad\text{при}\quad x'\leq t\sqrt{\cfrac{\mu}{kL}}\\0\quad\text{при}\quad x'{>} t\sqrt{\cfrac{\mu}{kL}}\end{cases}$$График данной зависимости изображён на рисунке ниже:"}, "answer": {"answers": ["<img_4>"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Получите зависимость $v_1(t)$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $k$, $L$, $M$ и $t$. ", "solution": {"text": "Учитывая найденное в пункте $\mathrm{C5}$ распределение $v_\text{пр}(x')$, зависимость $v_1(t)$ в точности совпадает с зависимостью $v(t)$, найденной ранее:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_1(t)=v_0e^{-t\sqrt{\mu kL/M^2}}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите $v_2(t)$ через $V(t)$ и $v_1(t)$. ", "solution": {"text": "Для скорости $V$ бруска получим:$$V=\cfrac{\partial u(L_0{,}t)}{\partial t}=\cfrac{\partial u_1(L_0{,}t)}{\partial t}+\cfrac{\partial u_2(L_0{,}t)}{\partial t}=v_1+v_2$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_2(t)=V(t)-v_1(t)$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите ускорение груза $a(t)=dV(t)/dt$. Ответ выразите через $\mu$, $k$, $L$, $m$, $V(t)$ и $v_1(t)$. ", "solution": {"text": "Первое решение: Запишем второй закон Ньютона для груза: $$ma_x=F_\text{упр}=kL\cfrac{\partial u}{\partial x'}=kL\left(\cfrac{\partial u_1}{\partial x'}+\cfrac{\partial u_2}{\partial x'}\right)$$ Поскольку $u_1(x'{,}t)=u_1(x'-ct)$ и $u_2(x'{,}t)=u_2(x'+ct)$, имеем: $$\cfrac{\partial u_1}{\partial x'}=-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u_1}{\partial t}\qquad \cfrac{\partial u_2}{\partial x'}=\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial u_2}{\partial t}$$ После подстановки в уравнение движения: $$ma_x=-\cfrac{kL}{c}\left(\cfrac{\partial u_2}{\partial t}-\cfrac{\partial u_1}{\partial t}\right)$$ Учитывая, что $\partial u_1/\partial t=v_1(t)$ и $\partial u_2/\partial t=v_1(t)-V(t)$, имеем: $$ma_x=-\cfrac{kL(V(t)-2v_1(t))}{c}$$ Подставляя $c$, получим: Второе решение: рассмотрим изменение импульса пружины. За время $dt$ падающая волна передаёт бруску импульс, равный: $$dp_1=\mu cdt\cdot v_1(t)$$ За это же время пружина получает от отражённой волны импульс, равный: $$dp_{2\text{пр}}=\mu cdt\cdot \cfrac{\partial u_2}{\partial t}=\mu cdt(V(t)-v_1(t))$$ Тогда импульс, полученный бруском от отражённой волны, равен: $$dp_2=-dp_{2\text{пр}}=\mu cdt(v_1(t)-V(t))$$ Тогда для силы, действующей ну брусок, получим: $$F(t)=\cfrac{dp}{dt}=\cfrac{dp_1+dp_2}{dt}=\mu c(2v_1(t)-V(t))=ma(t)$$ Подставляя $c$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a(t)=\sqrt{\cfrac{\mu kL}{m^2}}(2v_1(t)-V(t))$$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Получите зависимость $V(t)$. Ответ выразите через $v_0$, $m$, $M$, $\mu$, $k$, $L$ и $t$. ", "solution": {"text": "Полученное уравнение движения переписывается следующим образом:$$\cfrac{mc}{kL}\dot{V}+V=2v_1(t)=2v_0e^{-kLt/Mc}$$Решим однородное уравнение:$$\cfrac{mc}{kL}\dot{V}_\text{одн}+V_\text{одн}=0\Rightarrow{V_\text{одн}(t)=Ae^{-kLt/mc}}$$Далее частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:$$V_\text{частн}(t)=Be^{-kLt/Mc}$$Имеем:$$Be^{-kLt/Mc}\left(1-\cfrac{m}{M}\right)=2v_0e^{-kLt/Mc}\Rightarrow B=\cfrac{2v_0}{1-m/M}$$Тогда для $V(t)$ получим:$$V(t)=V_\text{одн}(t)+V_\text{частн}(t)=\cfrac{2v_0e^{-kLt/Mc}}{1-m/M}+Ae^{-kLt/mc}$$Поскольку $V(0)=0$, находим $A$:$$A=-B=-\cfrac{2v_0}{1-m/M}$$и окончательно для $V(t)$ получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V(t)=\cfrac{2v_0}{1-m/M}\left(e^{-kLt/Mc}-e^{-kLt/mc}\right)$$"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "В течении какого времени $\tau$ брусок массой $m$ контактирует с пружиной?  Ответ выразите через $m$, $M$, $\mu$, $k$, $L$. ", "solution": {"text": "Поскольку функция $v_1(t)$ монотонно убывает, а $V(t)$ монотонно возрастает - отрыв произойдёт в момент равенства нулю ускорения бруска. Это приводит к уравнению:$$V(t)=2v_1(t)$$или же:$$\cfrac{2v_0}{1-m/M}\left(e^{-kL\tau/Mc}-e^{-kL\tau/mc}\right)=2v_0e^{-kL\tau/Mc}$$Отсюда:$$e^{-kL\tau/Mc}=e^{-kL\tau/mc}\cdot\cfrac{M}{m}\Rightarrow \cfrac{kL\tau}{mc}=\cfrac{kL\tau}{Mc}+\ln(M/m)$$откуда:$$\tau=\cfrac{Mc\ln(M/m)}{kL(M/m-1)}$$Подставляя $c$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\sqrt{\cfrac{M^2}{\mu kL}}\cdot\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1}$$"]}, "number_part": "D5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "При какой минимальной массе пружины $m_{min}$ отражённая от бруска массой $m$ волна не достигает бруска массой $M$ за время $\tau$? Ответ выразите через $m$ и $M$.  Во что переходит ответ при $m\to{M}$? ", "solution": {"text": "Отражённая волна не достигает бруска массой $M$ при условии:$$L_0\geq c\tau$$Последнее соотношение после подстановки $c$ приводит к следующему:$$L_0\geq \cfrac{M}{\mu}\cdot\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1}$$откуда: В пределе $m\to{M}$ имеем:$$\lim_{m\to{M}}\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1}=\lim_{x\to{0}}\cfrac{\ln(1+x)}{x}=1$$Поэтому в предельном случае:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m_{min}=M\cdot\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1}$$  В пределе $m\to{M}$ имеем:$$\lim_{m\to{M}}\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1}=\lim_{x\to{0}}\cfrac{\ln(1+x)}{x}=1$$Поэтому в предельном случае:", "Ответ: $$m_{min}(m\to{M})=M$$"]}, "number_part": "D6", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите конечную скорость $V_{\infty}$ бруска массой $m$. Ответ выразите через $v_0$, $m$ и $M$.  Во что переходит ответ при $m\to{M}$? ", "solution": {"text": "Конечная скорость бруска может быть найдена следующим образом:$$V_\infty=2v_1(\tau)=2v_0e^{-kL\tau/Mc}$$Величина $-kL\tau/Mc$ была определена ранее:$$-\cfrac{kL\tau}{Mc}=-\cfrac{\ln(M/m)}{M/m-1}$$откуда: Введём параметр $x=M/m-1$. Получим:$$V_\infty=\cfrac{2v_0}{(1+x)^{1/x}}$$Для величины в знаменателе имеем:$$\lim_{x\to{0}}(1+x)^{1/x}=e$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V_\infty=\cfrac{2v_0}{(M/m)^{1/(M/m-1)}}$$  Введём параметр $x=M/m-1$. Получим:$$V_\infty=\cfrac{2v_0}{(1+x)^{1/x}}$$Для величины в знаменателе имеем:$$\lim_{x\to{0}}(1+x)^{1/x}=e$$откуда:", "Ответ: $$V_\infty(m\to{M})=\cfrac{2v_0}{e}$$"]}, "number_part": "D7", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Получите зависимость скорости элементов пружины $v_\text{пр}$ от координаты $x'$ в момент времени $\tau$. Ответ выразите через $v_0$, $\mu$, $M$ и $x'$. Постройте качественный график полученной зависимости. На графике укажите все характерные значения. ", "solution": {"text": "Для зависимости от координаты $x'$ скорости пружины, вызванной падающей волной, имеем:$$v_\text{пр1}(x')=v(2\tau)e^{kLx'/Mc^2}=\cfrac{v_0e^{kLx'/Mc^2}}{e^2}=\cfrac{v_0e^{\mu x'/M}}{e^2}$$ Найдём зависимость $V(t)$ в предельном переходе:$$V(t)=\lim_{m\to{M}}2v_0e^{-kLt/Mc}\cdot\cfrac{(1-e^{-\frac{kLt}{c}(\frac{1}{m}-\frac{1}{M})})}{1-m/M}=2v_0e^{-kLt/Mc}\cfrac{kLt}{Mc}$$Тогда для зависимости от координаты $x'$ скорости пружины, вызванной падающей волной, имеем:$$v_\text{пр2}(x')=V(x'/c)-v_1(x'/c)=v_0e^{-kLx'/Mc^2}\left(\cfrac{2kLx'}{Mc^2}-1\right)=v_0e^{-\mu x'/M}\left(\cfrac{2\mu x'}{M}-1\right)$$Итоговая зависимость имеет следующий вид:$$v_\text{пр}(x')=\cfrac{v_0e^{\mu x'/M}}{e^2}+v_0e^{-\mu x'/M}\left(\cfrac{2\mu x'}{M}-1\right)$$"}, "answer": {"answers": ["<img_5>"]}, "number_part": "D8", "exponent_part": "1,10"}]