text: {"text": [{"text": "Проводящий шар радиусом $R$ имеет сферическую полость радиусом $r$, касающуюся наружной поверхности шара. Заряд шара равен $Q$. В полости, на расстоянии $r_{1}$ от её центра, находится точечный заряд $q_{1}$. Вне шара, на расстоянии $r_{2}$ от его центра, находится точечный заряд $q_{2}$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите потенциал $\varphi_{ш}$ шара."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите потенциал $\varphi_{O}$ в центре $O$ полости. Потенциал бесконечно удалённых точек примите равным нулю."}]}
answer: [{"condition": "Найдите потенциал $\varphi_{ш}$ шара. ", "solution": {"text": "Электрическое поле в материале шара равно нулю, так как он проводящий. Поэтому поток электрического поля через произвольную поверхность, окружающую полость и полностью находящуюся в материале шара, также равен нулю. Согласно теореме Гаусса это означает, что сумма зарядов, окруженных поверхностью (то есть заряда $q_{1}$ и заряда, индуцированного на стенке полости), равна нулю. Таким образом, на стенке полости индуцирован заряд, равный $-q_{1}$. Так как объёмных зарядов в проводнике нет, а суммарный заряд шара $Q$, заряд на поверхности шара равен $Q+q_{1}$. Заряды внутри и на стенке полости распределены так, что не создают поля снаружи от полости. Значит, полость вместе с зарядом $q_{1}$ и индуцированными зарядами на её стенке можно мысленно удалить, при этом потенциалы точек вне полости (в том числе и потенциал шара) не изменятся. Поскольку потенциалы всех точек проводника одинаковы, потенциал шара равен потенциалу его центра. Он создаётся только зарядом на поверхности $Q+q_{1}$ и зарядом $q_{2}$. Разбивая поверхность шара на малые участки с зарядами $\Delta Q_{i}$, получим, что поверхностный заряд создаёт в центре потенциал $$ \varphi_{1}=\sum_{i} \frac{k \Delta Q_{i}}{R}=\frac{k}{R} \sum_{i} \Delta Q_{i}=\frac{k\left(Q+q_{1}\right)}{R}. $$ Таким образом, потенциал шара: $$ \varphi_{ш}=k\left(\frac{Q+q_{1}}{R}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right) . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi_{ш}=k\left(\frac{Q+q_{1}}{R}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right) . $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите потенциал $\varphi_{O}$ в центре $O$ полости. ", "solution": {"text": "Рассмотрим разность потенциалов $\varphi_{O}$ в центре полости и $\varphi_{A}$ в некоторой точке $A$ на её стенке. Вклад заряда на стенке полости в $\varphi_{O}$ рассчитывается аналогично $\varphi_{C}$, на зависит от распределения заряда по стенке и равен $k\left(-q_{1}\right) / r$. Получаем, что заряд $q_{1}$ и заряд на стенке полости создают потенциалы $$ \varphi_{O}^{\prime}=\frac{k q_{1}}{r_{1}}-\frac{k q_{1}}{r}, \varphi_{A}^{\prime}=0 $$ в центре полости и в точке $A$ соответственно. Заряд на поверхности шара экранирует поле заряда $q_{2}$, поэтому эти заряды не создают поля внутри шара, а значит, не влияют на разность потенциалов $\varphi_{O}-\varphi_{A}$, где $\varphi_{A}=\varphi_{ш}$. Таким образом $$ \varphi_{O}-\varphi_{A}=\varphi_{O}^{\prime}-\varphi_{A}^{\prime}=\frac{k q_{1}}{r_{1}}-\frac{k q_{1}}{r} $$ Отсюда находим ответ для потенциала $$ \varphi_{O}=k\left(\frac{Q+q_{1}}{R}+\frac{q_{2}}{r_{2}}+q_{1}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r}\right)\right) . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi_{O}=k\left(\frac{Q+q_{1}}{R}+\frac{q_{2}}{r_{2}}+q_{1}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r}\right)\right) . $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]