text: {"text": [{"text": "Часть A. Второе уравнение Максвелла. Как известно, закон электромагнитной индукции гласит, что поток $\Phi_\mathrm m(\mathrm S)$ индукции магнитного поля $\vec B$ через поверхность $\mathrm S$ и циркуляция $V_\mathrm e(\mathrm C)$ напряжённости электрического поля $\vec E$ по ограничивающему эту поверхность контуру $\mathrm C$ связаны друг с другом соотношением\[V_\mathrm e(\mathrm C)=-\frac{\mathrm d\Phi_\mathrm m(\mathrm S)}{\mathrm dt}.\]Рассмотрим следующие гипотетические распределения полей. <img_0> Как показано на рисунке $\it1(a)$, электрическое поле направлено вертикально вверх и уменьшается по величине в направлении слева направо."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Покажите, что такое электрическое поле не может существовать в статическом случае. Силовые линии на рисунке $\it2(b)$ представляют собой семейство дуг концентрических окружностей. Пусть величина поля постоянна во всём пространстве."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Покажите, что такое электрическое поле не может существовать в статическом случае. Найдите, как падает с расстоянием $r$ от центра напряжённость статического электрического поля $E$, если его силовые линии в некоторой области представляют собой семейство дуг концентрических окружностей. Как показано на рисунке $\it2$, между северным и южным полюсами круглого электромагнита имеется зазор. Этот зазор достаточно узок, чтобы можно было считать магнитное поле $B(t)$ внутри него однородным. При изменении тока через электромагнит в зазоре возникает вихревое электрическое поле $E(t)$. <img_1>"}, {"text": "Часть B. Ускорение зарядов. Пусть теперь в зазор на расстоянии $R$ от оси симметрии помещён покоящийся точечный заряд $q$. При изменении тока через электромагнит заряд начнёт двигаться под воздействием вихревого электрического поля. Оказывается, что при некоторых условиях на поле $B$ заряд может двигаться в результирующем поле по окружности."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Найдите электрическое поле $E(t)$ на расстоянии $r$ от оси симметрии электромагнита. Какое напряжение $V$ создаётся между концами $P$ и $Q$ витка радиуса $r$, помещённого в зазор?"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Найдите, как связаны между собой магнитное $B(t)$ и электрическое $E(t)$ поля на окружности радиуса $R$, чтобы заряд мог так двигаться. Если рассматривать магнитное поле не только на траектории заряда, становится ясно, что оно уже не может быть однородным, поэтому попробуем представить его в виде\[B(r,t)=F_B(r)G(t),\]а магнитный поток через окружность радиуса $r$ — в виде\[\Phi(r,t)=F_\Phi(r)G(t).\]"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Найдите соотношение между $F_B(r)$ и $F_\Phi(r)$ при $r=R$. Такому соотношению можно удовлетворить, если использовать для создания поля два соленоида радиусами $a$ и $b$ (внешний и внутренний соленоиды соответственно). Плотность их намотки одинакова, а ток через внутренний соленоид в два раза больше тока через внешний."}, {"text": "Часть C. Четвёртое уравнение Максвелла. Точно так же, как в законе электромагнитной индукции переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое, переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное:\[V_\mathrm m(\mathrm C)=\frac{\mathrm d\Phi_\mathrm e(\mathrm S)}{\mathrm dt},\]где $V_\mathrm m(\mathrm C)$ — это циркуляция $\itнапряжённости$ магнитного поля $\vec H=\cfrac{\vec B}{\mu_0}$ по контуру $\mathrm C$, а $\Phi_\mathrm e$ — поток $\itиндукции$ электрического поля $\vec D=\varepsilon_0\vec E$ через поверхность $\mathrm S$, которую этот контур ограничивает. Рассмотрим круглый плоский конденсатор радиуса $a$, заряд на верхней обкладке которого обозначим как $Q(t)$. Когда заряд меняется со временем, в конденсаторе создаётся вихревое магнитное поле."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "При каких значениях $a$ и $b$ можно создать поле, удовлетворяющее соотношению, полученному в предыдущем пункте?"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": null}, "text": "Найдите величину и направление индукции $B$ этого поля на расстоянии $r$ от оси симметрии конденсатора. Считайте, что расстояние между пластинами много меньше радиуса $a$."}]}
answer: [{"condition": "Покажите, что такое электрическое поле не может существовать в статическом случае. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Покажите, что такое электрическое поле не может существовать в статическом случае. Найдите, как падает с расстоянием $r$ от центра напряжённость статического электрического поля $E$, если его силовые линии в некоторой области представляют собой семейство дуг концентрических окружностей. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E\propto\frac1r\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите электрическое поле $E(t)$ на расстоянии $r$ от оси симметрии электромагнита. Какое напряжение $V$ создаётся между концами $P$ и $Q$ витка радиуса $r$, помещённого в зазор? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E(t)=-\frac r2\frac{\mathrm dB(t)}{\mathrm dt}\qquad V=\pi r^2\frac{\mathrm dB(t)}{\mathrm dt}\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите, как связаны между собой магнитное $B(t)$ и электрическое $E(t)$ поля на окружности радиуса $R$, чтобы заряд мог так двигаться. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E(t)=-R\frac{\mathrm dB(t)}{\mathrm dt}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите соотношение между $F_B(r)$ и $F_\Phi(r)$ при $r=R$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F_\Phi(R)=2\pi R^2F_B(R)\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каких значениях $a$ и $b$ можно создать поле, удовлетворяющее соотношению, полученному в предыдущем пункте? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[a > R\qquad b=\frac R{\sqrt2}\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите величину и направление индукции $B$ этого поля на расстоянии $r$ от оси симметрии конденсатора. Считайте, что расстояние между пластинами много меньше радиуса $a$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[B(t)=\mu_0\frac r{2\pi a^2}\frac{\mathrm dQ(t)}{\mathrm dt},\quadпротив\ часовой\ стрелки\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "??"}]