text: {"text": [{"text": "Два небольших стальных шарика, размером которых в условиях задачи можно пренебречь, находятся в одной точке горизонтальной плоскости. Шарики одновременно бросают с одинаковыми начальными скоростями. Начальная скорость первого шарика составляет угол $\alpha_{1}=30^{\circ}$ с горизонтом, скорость второго — некоторый угол $\alpha_{2}$, причем $45^{\circ}<\alpha_{2}<90^{\circ}$. Горизонтальная координата $x_{1}$ первого шарика во время полета изменяется по закону, представленному на графике (см. рисунок). <img_0> Спустя время $t=7 / 5~с$ после броска оба шарика оказались на одной высоте над плоскостью."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите угол $\alpha_{2}$, под которым брошен второй шарик, а также расстояние между шариками через $1~с$ после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным $10~м/с^{2}$. Считать, что соударение шариков с горизонтальной плоскостью происходит по законам упругого удара."}]}
answer: [{"condition": "Определите угол $\alpha_{2}$, под которым брошен второй шарик, а также расстояние между шариками через $1~с$ после броска. ", "solution": {"text": "Уравнение движения первого шарика по оси $x$ (см. рисунок): $$ x_{1}=v_{1} \cos \alpha_{1} \cdot t. $$ <img_1> Используя график $x_{1}=f(t)$, получим $$ \begin{aligned} &v_{1}=\frac{x_{1}}{t \cos \alpha_{1}}=2 \frac{x_{1}}{\sqrt{3 t}}, \\ &v_{1}=10~м/с=v_{2}=v, \end{aligned} $$ где $v_{1}$ и $v_{2}$ — начальные скорости первого и второго шариков соответственно. Время полета первого шарика до удара о плоскость $$ t_{1}=\frac{2 v \sin \alpha_{1}}{g}=1~с; $$ время полета этого шарика после удара $$ \tau=\frac{7}{5}~с-t_{1}=\frac{2}{5}~с. $$ Итак, первый шарик через время $t=\frac{7}{5}~с$ окажется на высоте $$ y_{1}=\left(v \sin \alpha_{1}\right) \tau-\frac{g \tau^{2}}{2}=\frac{6}{5}~м. $$ В то же время, равное $t=\frac{7}{5}~с$, высота, на которой находится второй шарик, равна $$ y_{2}=\left(v \sin \alpha_{2}\right) t-\frac{g t^{2}}{2}=14 \sin \alpha_{2}-\frac{49}{5}. $$ Заметим, что к моменту $t$ второй шарик еще ни разу не ударится о поверхность. Это можно показать, оценив время его полета до первого удара. Описанная ситуация проиллюстрирована на рисунке выше. По условию задачи $y_{1}=y_{2}$. Следовательно, $14 \sin \alpha_{2}-\frac{49}{5}=\frac{6}{5}$, откуда $$ \sin \alpha_{2}=\frac{11}{14} \text { или } \alpha_{2} \approx 52^{\circ}. $$ Расстояние $l$ между шариками в момент времени $T=1~с$ равно $$ \begin{gathered} l=|\Delta \vec{r}|=\left|\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}\right|=\left|\vec{v}_{1} T+\frac{\vec{g} T^{2}}{2}-\left(\vec{v}_{2} T+\frac{\vec{g} T^{2}}{2}\right)\right|=\left|\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right| T= \\ =\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2 v_{1} v_{2} \cos \left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)} \cdot T=\sqrt{14}~м \approx 3.7~м. \end{gathered} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \alpha_{2} \approx 52^{\circ}. $$ $$ l=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-2 v_{1} v_{2} \cos \left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)} \cdot T \approx 3.7~м. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]