text: {"text": [{"text": "В схеме (см. рисунок) заряд конденсатора $C$ известной емкости равен $Q_{0}$. <img_0> Ключ замкнули. Зависимость от времени заряда $Q_{1}$ на конденсаторе $C_{1}$ неизвестной емкости изображена на графиках, представленных ниже. <img_1> <img_2>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите емкость конденсатора $C_{1}$, сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$. Считайте время $\tau$, указанное на графиках, известным."}]}
answer: [{"condition": "Найдите емкость конденсатора $C_{1}$, сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$. ", "solution": {"text": "Как видно из графиков, через время порядка $5 \tau$ после замыкания ключа заряд распределяется примерно поровну между конденсаторами, и это состояние сохраняется в течение времени порядка $100 \tau$. Следовательно,$$C_{1}=C, \quad R_{2} \gg R_{1}.$$То есть, рассматривая процессы при $t \sim \tau$, можно пренебречь сопротивлением $R_{2}$. Из первого графика видно, что при $t<\tau$ заряд на конденсаторе $C_{1}$ линейно возрастает со временем:$$I_{1}=\frac{\Delta Q_{1}}{\Delta t}=\frac{Q_{0}}{2 \tau} .$$С другой стороны:$$I_{1}=\frac{U}{R_{1}}=\frac{Q_{0}}{C R_{1}},$$откуда$$R_{1}=\frac{2 \tau}{C} .$$В дальнейшем конденсаторы $C$ и $C_{1}$ разряжаются через резистор $R_{2}$. Из второго графика видно, что при $t \sim 100 \tau$ заряд на конденсаторе $C_{1}$ линейно уменьшается со временем:$$I_{2}=\frac{\Delta Q_{1}}{\Delta t}=-\frac{Q_{0}}{2000 \tau}.$$С другой стороны, ток через резистор $R_{2}$ вдвое больше $I_{2}$, так как разряжаются оба конденсатора:$$2 I_{2}=\frac{U}{R_{2}}=-\frac{Q_{0}}{2 C R_{2}},$$откуда$$R_{2}=\frac{500 \tau}{2 C}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C_{1}=C.$$$$R_{1}=\frac{2 \tau}{C}.$$$$R_{2}=\frac{500 \tau}{2 C}.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]