text: {"text": [{"text": "Сверхтекучесть — это свойство жидкости течь без трения. Повседневный опыт говорит нам, что при движении обычной жидкости (например, воды при комнатной температуре) всегда возникает вязкое трение, приводящее к диссипации энергии так, что поток постепенно замедляется, если он не поддерживается внешними силами. Напротив, сверхтекучая жидкость не теряет кинетической энергии: однажды возбужденное движение сверхтекучей жидкости может продолжаться бесконечно долго. Сверхтекучесть была первоначально экспериментально обнаружена в жидком гелии. Мы будем рассматривать свойства сверхтекучего гелия при нулевой температуре. Будем считать, что это несжимаемая жидкость с плотностью $\rho$, которая обладает свойством непрерывности (масса втекающая в заданный бесконечно малый объем, и вытекающая из него, одинакова). Это позволяет утверждать, что поток вектора скорости гелия $\vec v$ через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю. Отсюда можно сделать вывод, что скорость сверхтекучей жидкости аналогична индукции магнитного поля. Аналогично линиям индукции магнитного поля, ”линии тока” в каждой своей точке направлены по касательной к скорости и их плотность пропорциональна величине скорости. Истинное сверхтекучее движение является безвихревым, т.е. циркуляция вектора скорости по любому замкнутому контуру внутри гелия равна нулю $$\int_L \vec v\cdot d\vec l = 0$$ Однако это выражение необходимо изменить, если сверхтекучесть отсутствует вдоль тонкой ”вихревой нити” или ”вихря”. Толщина нити имеет приблизительно атомарные размеры $a$, вокруг нее создаются потоки жидкости на больших расстояниях (дальняя зона). Циркуляция вектора скорости вокруг такой нити равна кванту циркуляции. $$ \left|\int_L \vec{v} \cdot d \vec{l}\right|=2 \pi \kappa,$$ и равна нулю если контур не охватывает ни одну вихревую нить (см. рис). Это подтверждает аналогию между полем векторов скоростей сверхтекучей жидкости и магнитным полем, создаваемым проводами с током: для полей векторов скоростей выполняется принцип суперпозиции (сумма двух полей скоростей также дает поле скоростей), и скорость в любой точке равна (с точностью до размерного коэффициента) индукции магнитного поля, создаваемого электрическими токами, текущими через систему проводов, соответствующих вихревым нитям. <img_0> Рассмотрим цилиндрический сосуд (радиусом $R_0\gg a$) со сверхтекучим гелием и прямой вертикальной вихревой нитью в ее центре (см. рис)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,25"}, "text": "Нарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\vec r$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь. <img_1> Свободные вихри двигаются в пространстве вместе с потоком. Другими словами, каждый элемент вихревой нити движется со скоростью $\vec v$, равной скорости жидкости, которая должна была быть на месте этого элемента. Для примера, рассмотрим два вихря, вращающихся противоположно друг другу и расположенных на некотором заданном начальном расстоянии $r_0$ друг от друга (см. рис). Каждый вихрь создает движение жидкости со скоростью $v_0=\kappa/r_0$ в точке, в которой располагается ось другого вихря. В результате, эти два вихря движутся прямолинейно и с постоянной скоростью $v_0=\kappa/r_0$, поэтому расстояние между ними не изменяется. <img_2>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,25"}, "text": "Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на рис. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории. <img_3> Цилиндрическая емкость с гелием (см. Задание A), заполнена треугольной решеткой ($u\ll R_0$) из одинаковых вертикальных вихревых нитей (см. рис). <img_4>"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,15"}, "text": "Нарисуйте траектории вихрей $\mathrm A, \mathrm B$ и $\mathrm C$ (расположенного в центре)."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите скорость $v(\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\vec r$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,35"}, "text": "Найдите зависимость расстояния $\mathrm A\mathrm B(t)$ между вихрями $\mathrm A$ и $\mathrm B$ от времени $t$. Считайте $\mathrm A\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,25"}, "text": "Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру Поле скоростей в дальней зоне, т.е. расположенных на расстоянии намного большем, чем размер вихря дает основной вклад в энергию системы вихрей. Поэтому она нечувствительна к точной структуре вихревых нитей. Сама вихревая нить не может быть правильно описана макроскопической теорией, поэтому мы считаем, что возникающие сингулярности (бесконечности) несущественны. В действительности, величиной энергии внутри тонкой трубки с радиусом $a$ вокруг вихревой нити можно пренебречь. Вне этой трубки плотность кинетической энергии сверхтекучей жидкости $\rho v^2/2$ (где $\rho = \mathrm{const}$) подобна плотности энергии магнитного поля $B^2/(2\mu_0)$ — они обе квадратичны по соответствующим переменным. Эта аналогия вместе с соответствием между магнитным полем и скоростью сверхтекучей жидкости, а также вихревыми нитями и токами, облегчает расчет кинетической энергии для заданной системы. Например, для случая круговой проволочной петли c током радиусом $R$ с радиусом провода $a$ величина индуктивности $L \approx \mu_0 R \log (R / a)$, отсюда мы получаем энергию сверхтекучей вихревой петли (вихревого кольца) $$U \approx 2 R \rho \pi^2 \kappa^2 \log (R / a)$$ Полный импульс жидкости также определяется распределением скоростей в дальней зоне. Он получается интегрированием плотности импульса $\rho\vec v$. Снова рассмотрим поток, созданный вихревым кольцом, расположенной в плоскости $xy$. Из соображений симметрии очевидно, что полный импульс имеет компоненту отличную от нуля только вдоль оси $z$: $$ P=\int \rho v_z d V=\rho \iint \underbrace{\left(\int v_z d z\right)}_{q(x, y)} d x d y $$ Внутреннее интегрирование это интегрирование вдоль линий направленных параллельно оси $z$ (см. Рис.). Из тождества $$ \left|\int_L \vec{v} \cdot d \vec{l}\right|=2 \pi \kappa,$$ следует, что внутренний интеграл $$ q(x, y)=\int_{L(x, y)} \vec{v} \cdot d \vec{l} $$ может принимать только два значения, а именно ноль — для линий проходящих вне кольца и $2\pi\kappa$ для линий проходящих внутри кольца. Поэтому полный импульс равен $$ P=\rho \cdot \pi R^2 \cdot 2 \pi \kappa=2 \pi^2 \rho R^2 \kappa $$ <img_5> <img_6>"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,30"}, "text": "Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\times d, b\ll d$, см. Рис выше. Укажите направление ее полного импульса $\vec P$. Найдите величину полного импульса."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите энергию этой петли $U$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,75"}, "text": "Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, см. Рис. Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$. <img_7> Если электроны поместить в гелий, то они будут ”захвачены” в вихревую нить. Здесь и далее пренебрегаем диэлектрической проницаемостью гелия $(\epsilon = 1)$. <img_8>"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,50"}, "text": "Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени. Вихревое кольцо радиуса $R_0$, первоначально с однородно распределенным зарядом с линейной плотностью $\lambda<0$ помещена в однородное электрическое поле $\vec E$ перпендикулярное к ее плоскости и направленное противоположно вектору полного импульса $\vec P_0$. <img_9>"}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,60"}, "text": "Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,25"}, "text": "В некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$. Твердые стенки изменяют поле скоростей, создаваемое вихревой нитью, потому что жидкость не может протекать сквозь них. Математически это означает, что составляющая скорости, направленная перпендикулярно к стенке, обращается в ноль на ее поверхности. <img_10>"}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,50"}, "text": "Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени. Рассмотрим прямолинейный вихрь расположенный в углу на расстоянии $h_0$ от обеих плоских стенок. <img_11>"}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "0,75"}, "text": "Чему равна начальная скорость $v_0$ вихря?"}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "0,50"}, "text": "Изобразите траекторию вихря."}, {"balls": {"number": "E4", "exponent": "1,50"}, "text": "Чему равна скорость вихря $v_{\infty}$ спустя очень большой промежуток времени?"}]}
answer: [{"condition": "Нарисуйте линии тока. Найдите скорость $v$ в точке с радиус-вектором $\vec r$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_12>", "Ответ: $$v=\frac kr$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Найдите форму свободной поверхности, которая образуется вокруг вихревой нити, т.е. зависимость высоты от расстояния до оси $z(\vec r)$. Ускорение свободного падения $g$. Поверхностным натяжением можно пренебречь. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tan\alpha=\frac{k^2}{gr^3}$$$$z=[z_0]-\frac{k^2}{2gr^2}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Рассмотрим два одинаковых вихря, которые вначале расположены на расстоянии $r_0$ друг от друга, как показано на рис. Найдите начальные скорости вихрей и изобразите их траектории.  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_13>", "Ответ: $$v=\kappa/r_0$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Нарисуйте траектории вихрей $\mathrm A, \mathrm B$ и $\mathrm C$ (расположенного в центре). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_14>"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,15"}, {"condition": "Найдите скорость $v(\vec r)$ вихря расположенного в точке с радиус-вектором $\vec r$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$2 \pi r v=2 \pi \kappa \frac{\pi r^2}{u^2 \sqrt{3} / 2}$$$$v=\frac{2 \pi \kappa r}{u^2 \sqrt{3}}$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите зависимость расстояния $\mathrm  A\mathrm B(t)$ между вихрями $\mathrm  A$ и $\mathrm  B$ от времени $t$. Считайте $\mathrm  A\mathrm B(0)$ в начальный момент времени заданным. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\mathrm{AB}(t)=\mathrm{AB}(0)$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,35"}, {"condition": "Найдите сглаженную форму свободной поверхности гелия $z(\vec r)$, не учитывая решетчатую структуру ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$z(r)=\left[z_0\right]+\frac{\omega^2 r^2}{2 g}=\left[z_0\right]+\frac{2 \pi^2 \kappa^2 r^2}{3 g u^4}$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Рассмотрим вихревую петлю в форме близкой к прямоугольнику с размерами $b\times d, b\ll d$, см. Рис выше. Укажите направление ее полного импульса $\vec P$. Найдите величину полного импульса. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_15>", "Ответ: $$P=2\pi\kappa\rho bd$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите энергию этой петли $U$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$U=2\pi\kappa^2\rho d\log\frac ba$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Предположим, что мы сдвинули длинную прямую вихревую нить на расстояние $b$ в направлении оси $x$, см. Рис. Насколько изменился полный импульс жидкости? Укажите направление изменения полного импульса жидкости. Длина нити (ограниченная стенками сосуда) равна $d$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_16>", "Ответ:"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,75"}, {"condition": "Рассмотрим прямую вихревую нить, заряженную с постоянной линейной плотностью $\lambda<0$ и помещенную в однородное электрическое поле $\vec E$. Изобразите траекторию движения нити. Найдите зависимость ее скорости от времени. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_17>", "Ответ: $$v=\frac{F}{2 \pi \kappa \rho d}=\frac{E \lambda}{2 \pi \kappa \rho}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Нарисуйте траекторию движения центра вихревого кольца $C$. Найдите зависимость радиуса кольца от времени. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_18>", "Ответ: $$R=\sqrt{R_0^2+\frac{E R_0|\lambda| t}{\pi \rho \kappa}}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите зависимость скорости центра кольца $v(t)$ от времени. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "В некоторый момент времени $t^*$, когда скорость достигает значения $v^*=v(t^*)$, электрическое поле выключают. Найдите скорость $v(t)$ вихревого кольца в моменты времени $t>t^*$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v(t)=v^*$$"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,25"}, {"condition": "Нарисуйте траекторию прямолинейного вихря, первоначально расположенного на расстоянии $h_0$ от плоской стены. Найдите зависимость скорости от времени. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_19>", "Ответ: $$v=\frac{\kappa}{2h_0}$$"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Чему равна начальная скорость $v_0$ вихря? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_0=\frac{\kappa}{2\sqrt 2h_0}$$"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "0,75"}, {"condition": "Изобразите траекторию вихря. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_20>"]}, "number_part": "E3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Чему равна скорость вихря $v_{\infty}$ спустя очень большой промежуток времени? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{\infty}=\frac{\kappa}{h_0\sqrt2}$$"]}, "number_part": "E4", "exponent_part": "1,50"}]