text: {"text": [{"text": "Над тонкостенным металлическим шаром, радиус которого $R=5~см$, на высоте $h=10~см$ находится капельница с заряженной жидкостью. Капли жидкости падают из капельницы в небольшое отверстие в шаре (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите максимальный заряд $Q_{0}$, который накопится на шаре, если заряд каждой капли $q=1.8 \cdot 10^{-11}~Кл$. Радиус капель $r=1~мм$."}]}
answer: [{"condition": "Определите максимальный заряд $Q_{0}$, который накопится на шаре, если заряд каждой капли $q=1.8 \cdot 10^{-11}~Кл$. ", "solution": {"text": "Максимальное количество капель, попавших в отверстие шара, ограничивается его объемом:$$n_{1}=\frac{(4 / 3) \pi R^{3}}{(4 / 3) \pi r^{3}}=\left(\frac{R}{r}\right)^{3}=1.25 \cdot 10^{5}.$$Заряд, накапливающийся в шаре по мере падения капель, отталкивает вновь падающие капли. Обозначим через $Q=n_{2} q$ заряд шара, здесь $n_{2}$ — число капель, попавших в шар. Запишем закон сохранения энергии:$$m g h+k \frac{q Q}{R+h}=\frac{m v^{2}}{2}+k \frac{q Q}{R},$$где $m=(4 / 3) \pi r^{3} \rho$ — масса капли, $\rho=10^{3}~кг/м^{3}$ — плотность воды, $v$ — скорость капли при попадании в отверстие шара $k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$. При условии, когда $Q_{0}$ максимален, скорость $v=0$, и тогда$$m g h+k \frac{q Q_{0}}{R+h}=k \frac{q Q_{0}}{R}.$$Отсюда получаем$$Q_{0}=\frac{m g R(R+h)}{k q} \approx 1.9 \cdot 10^{-6}~Кл.$$Проверим, уместятся ли в шаре все капли, несущие такой заряд:$$n_{2 \mathrm{max} }=\frac{m g R(R+h)}{k y^{2}} \approx 1.06 \cdot 10^{5} < n_{1}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q_{0}=\frac{m g R(R+h)}{k q} \approx 1.9 \cdot 10^{-6}~Кл. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]