text: {"text": [{"text": "В рамках данной задачи вам предстоит изучить взаимодействие незаряженного металлического однородного шара с бесконечно длинным тонким неподвижным проводом, заряженным равномерно по длине. Во всех пунктах задачи радиус $R$ и масса $m$ шара, а также линейная плотность заряда провода $\lambda$ считаются известными. Части $\mathrm{A}{,}\mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ посвящены изучению взаимодействия шара и провода на больших по сравнению с $R$ расстояниях $r$ между ними. Части $\mathrm{D}$ и $\mathrm{E}$ посвящены точному описанию их взаимодействия. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Взаимодействие шара с проводом на больших расстояниях (2.4 балла) В данной части задачи вам предстоит получить зависимости силы $F$ и потенциальной энергии $W_p$ взаимодействия между шаром и проводом. Решим следующие вспомогательные задачи:"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,80"}, "text": "Металлический шар радиуса $R$ помещён в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть шар расположен в электрическом поле, направленном вдоль оси $z$, напряжённость которого меняется по закону: $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z} $$ где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$. Найдите силу $F_z$, действующую на шар. Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Перейдём к взаимодействию шара с проводом."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите величину электрического поля провода $E_\text{п}$ на расстоянии $r$ от него. Ответ выразите через $\lambda$, $r$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите величину и направление (притяжение или отталкивание) силы $F$, действующей на шар со стороны провода на расстоянии $r$ от него. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $r$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$."}, {"text": "Часть B. Условие отсутствия контакта (0.8 балла) Шар летит по направлению «на провод» из бесконечности с начальной скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b$. <img_1> В данной части задачи вам необходимо приближённо получить условия, при которых между шаром и проводом в дальнейшем не будет контакта."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,40"}, "text": "Покажите, что механическая потенциальная энергия $W_p$ шара в поле провода при расстоянии $r$ между проводом и центром шара равна: $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$W_p=-\cfrac{A}{r^2} $$ Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. В дальнейшем во всех пунктах частей $\mathrm{B}$ и $\mathrm{C}$ используйте выражения для силы и потенциальной энергии взаимодействия шара с проводом, полученные в пунктах $\mathrm{A4}$ и $\mathrm{A5}$ соответственно."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите минимальное расстояние $r_{\min}$ между центром шара и проводом в процессе движения, считая, что столкновения не происходит. Ответ выразите через $A$, $b$, $m$ и $v_0$. При начальной скорости $v_0$ шара, меньшей критического значения $v_{crit}$, шар сталкивается с проводом."}, {"text": "Часть C. Траектория движения (2.5 балла) Для описания траектории центра шара введём полярную систему координат $(r,\varphi)$ с началом на оси провода. Угол $\varphi$ будем отсчитывать от направления на бесконечность. <img_2> Также воспользуемся подстановкой Бине: $$u=\cfrac{1}{r} $$ Обозначим $\cfrac{du}{d\varphi}$ за $u'$, а $\cfrac{dr}{dt}$ и $\cfrac{d\varphi}{dt}$ за $\dot{r}$ и $\dot{\varphi}$ соответственно."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите $v_{crit}$. Ответ выразите через $A$, $b$ и $m$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите $u'$ через $r$, $\dot{r}$ и $\dot{\varphi}$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите механическую энергию $E$ шара через $m$, $u$, $u'$, $v_0$, $b$ и $A$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,70"}, "text": "Получите зависимость $u(\varphi)$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $b$, $A$ и $\varphi$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,60"}, "text": "В листе ответов качественно постройте траекторию центра шара в координатах $u{,}\varphi$. Координаты всех характерных точек могут быть выражены через $m$, $v_0$, $b$ и $A$."}, {"text": "Часть D.  Нахождение силы взаимодействия шарика с проводом методом изображений (3.5 балла) Вновь решим вспомогательную задачу. Рассмотрим точечный заряд $q_1$, находящийся на расстоянии $L$ от центра незаряженного металлического шара. Как известно, такая задача решается методом изображений: в центре шара и на некотором расстоянии $S{<}R$ необходимо расположить заряды $q_2$ и $-q_2$ соответственно, обеспечивающие постоянство потенциала на поверхности шара. <img_3> вам может понадобиться следующая первообразная:"}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя значение параметра $A$, найденное в пункте $\bf{A4}$, найдите начальную скорость шара $v_1$, при которой за время взаимодействия между ним и проводом направление скорости шара изменяется на противоположное. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Уравнения, полученные в первых трёх частях задачи, применимы далеко не всегда, однако данная задача может быть решена и точно. Вопрос о траектории изучаться далее не будет, однако будут точно получены условия отсутствия контакта между шариком и проводом."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите $S$ и $q_2$. Ответы выразите через $R$, $L$ и $q$. Перейдём к взаимодействию шарика с проводом. Центр незаряженного металлического шара радиуса $R$ находится на расстоянии $r$ от провода. Проведём из центра шара две линии, составляющие углы $\alpha$ и $\alpha+d\alpha$ с направлением «на провод». Заряд элемента провода в области пересечения с линиями обозначим за $dq_1$, заряды-изображения данного элемента - за $dq_2$ и $-dq_2$, а расстояния от заряда $-dq_2$ до центра шара и до провода - за $S$ и $r_{-}$ соответственно. <img_4>"}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите $dq_1$, $dq_2$, $S$ и $r_{-}$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите величину и направление (притяжение или отталкивание) векторной суммы сил $d\vec{F}=d\vec{F}_++d\vec{F}_-$ взаимодействия зарядов $dq_2$ и $-dq_2$ с проводом. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$, $d\alpha$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Для описания силы и потенциальной энергии взаимодействия шарика с проводом удобно ввести угол $\theta$, определяемый следующим образом (см. рис): $$\theta=\arcsin\left(\cfrac{R}{r}\right)=\arctan \left( \cfrac{R}{\sqrt{r^2-R^2}} \right) $$ <img_5>"}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите величину и направление полной силы взаимодействия шара с проводом $F_\text{полн}$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$."}, {"balls": {"number": "D5", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите потенциальную энергию $W_p$ взаимодействия шарика с проводом. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$."}, {"text": "Часть E. Точные условия отсутствия контакта (2.8 балла) Незаряженный металлический шар радиусом $R$ и массой $m$ налетает из бесконечности на провод со скоростью $v_0$ и прицельным параметром $b>R$. В данной части задачи для разных соотношений $b/R$ мы получим ограничения на скорость $v_0$, при которых шар движется, не контактируя с проводом. Минимально возможную скорость, при который движение шара происходит без контакта с проводом, обозначим за $v_{crit}$. Параметр $\theta$ в момент максимального сближения шара с проводом обозначим за $\theta_{max}$."}, {"balls": {"number": "D6", "exponent": "0,30"}, "text": "Какую скорость $v_\text{ст}$ будет иметь незаряженный металлический шар радиусом $R$ и массой $m$ при столкновении с проводом, если его из бесконечности отпустить без начальной скорости? Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,40"}, "text": "Для заданного значения $v_0$ получите зависимость квадрата радиальной компоненты скорости $\dot{r}^2$ от параметра $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "0,60"}, "text": "Постройте качественные графики зависимости $\dot{r}^2(\theta)$ при разных значениях $v_0$."}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "0,60"}, "text": "Считая все величины, кроме $v_0$, постоянными, получите систему уравнений, позволяющую определить величину $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$."}, {"balls": {"number": "E4", "exponent": "1,20"}, "text": "Найдите $v_{crit1}$, $v_{crit2}$ и $v_{crit3}$, соответствующие следующим значениям $b$ : $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R $$ Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$."}]}
answer: [{"condition": "Металлический шар радиуса $R$ помещён в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$.  Найдите приобретаемый шаром дипольный момент $\vec{p}$.  Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. ", "solution": {"text": "Электрическое поле внутри шара равняется нулю, а вне шара представляет собой сумму внешнего поля и поля диполя: $$\vec{E}=\vec{E}_0+\cfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\cfrac{3\left(\vec{p}\cdot{\vec{r}}\right)\vec{r}}{r^5}-\cfrac{\vec{p}}{r^3}\right) $$ На поверхности шара электрическое поле направлено перпендикулярно поверхности. Отсюда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{p}=4\pi\epsilon_0R^3\vec{E}_0 $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пусть шар расположен в электрическом поле, направленном вдоль оси $z$, напряжённость которого меняется по закону:  $$\vec{E}\approx{\left(E_0+kz\right)\vec{e}_z}  $$  где $E_0$ и $k$ — известные величины, причём $kR\ll{E_0}$.  Найдите силу $F_z$, действующую на шар.  Ответ выразите через $E_0$, $k$, $R$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. ", "solution": {"text": "По определению диполь представляет собой два точечных заряда $+q$ и $-q$, расположенные на расстоянии $l$ друг от друга. Пусть $\vec{r}$ - радиус-вектор отрицательного заряда, а $\vec{l}$ - радиус-вектор положительного заряда относительно отрицательного. Тогда для силы взаимодействия имеем: $$\vec{F}=q\left(\vec{E}(\vec{r}+\vec{l})-\vec{E}(\vec{r})\right) $$ Если электрическое поле направлено вдоль дипольного момента системы, то, поскольку диполь ориентирован вдоль оси $z$, сила, действующая на него, направлена вдоль оси $z$. Если диполь можно считать точечным $$E_z(\vec{r}+\vec{l})-E_z(\vec{r})=\cfrac{dE_z}{dz}\cdot{l} $$ Отсюда для силы получим: $$F_z=p_z\cfrac{dE_z}{dz} $$ В нашей задаче поскольку $kR\ll{E_0}$ - модель электрического диполя хорошо описывает электрическое поле шара. Подставляя выражение для $p_z$ и $\cfrac{dE_z}{dz}$, найдём:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_z=4\pi{R}^3\epsilon_0E_0k $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите величину электрического поля провода $E_\text{п}$ на расстоянии $r$ от него. Ответ выразите через $\lambda$, $r$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Из теоремы Гаусса имеем: $$2\pi rLE_\text{п}=\cfrac{q}{\epsilon_0}=\cfrac{\lambda L}{\epsilon_0} $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_\text{п}=\cfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите величину и направление (притяжение или отталкивание) силы $F$, действующей на шар со стороны провода на расстоянии $r$ от него. Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $r$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "При $r\gg{R}$ величины $E$ и $\cfrac{dE}{dr}$ поля провода на масштабах размеров шара могут считаться постоянными. В данном приближении дипольный момент шара равен: $$p=\cfrac{2\lambda R^3}{r} $$ Сила, действующая на шар, равна: $$F_r=p\cfrac{dE_r}{dx} $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Сила притяжения равна: $$F=\cfrac{\lambda^2R^3}{\pi\epsilon_0r^3} $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Покажите, что механическая потенциальная энергия $W_p$ шара в поле провода при расстоянии $r$ между проводом и центром шара равна:  $$W_p=-\cfrac{A}{r^2}  $$  Найдите $A$. Ответ выразите через $\lambda$, $R$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Для потенциальной энергии имеем: $$W_p=-\int\limits_r^{\infty}Fdr $$ Интегрируя, находим: $$W_p=-\cfrac{\lambda^2R^3}{2\pi\epsilon_0r^2} $$ Отсюда параметр $A$ равен:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=\cfrac{\lambda^2R^3}{2\pi\epsilon_0} $$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите минимальное расстояние $r_{\min}$ между центром шара и проводом в процессе движения, считая, что столкновения не происходит. Ответ выразите через $A$, $b$, $m$ и $v_0$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии имеем: $$\cfrac{mv^2}{2}-\cfrac{A}{r^2}=\cfrac{mv^2_0}{2} $$ Представим квадрат скорости в следующем виде: $$v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2 $$ Из закона сохранения момент импульса получим: $$L=mr^2\dot{\varphi}\Rightarrow{\dot{\varphi}=\cfrac{v_0b}{r^2}} $$ Комбинируя с законом сохранения энергии, получим: $$\cfrac{m\dot{r}^2}{2}+\cfrac{mv^2_0b^2}{2r^2}-\cfrac{A}{r^2}=\cfrac{mv^2_0}{2} $$ Минимальное расстояние до провода достигается при $\dot{r}=0$. Отсюда получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r_{min}=\sqrt{b^2-\cfrac{2A}{mv^2_0}} $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите $v_{crit}$. Ответ выразите через $A$, $b$ и $m$. ", "solution": {"text": "Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Отсюда получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{crit}=\cfrac{1}{b}\sqrt{\cfrac{2A}{m}} $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите $u'$ через $r$, $\dot{r}$ и $\dot{\varphi}$.  Найдите $u'(0)$, соответствующую значению $\varphi=0$. ", "solution": {"text": "Явно продифференцируем $u$: $$u'=\cfrac{du}{d\varphi}=-\cfrac{1}{r^2}\cfrac{dr}{d\varphi} $$ Представим $\cfrac{dr}{d\varphi}$ как производную сложной функции: $$\cfrac{dr}{d\varphi}=\cfrac{\dot{r}}{\dot{\varphi}} $$ откуда: Величина постоянна и равна: $$r^2\dot{\varphi}=\cfrac{L}{m}=v_0b $$ В начальный момент скорость направлена прямо на провод. Тогда находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$u'=-\cfrac{\dot{r}}{r^2\dot{\varphi}} $$  Величина постоянна и равна: $$r^2\dot{\varphi}=\cfrac{L}{m}=v_0b $$ В начальный момент скорость направлена прямо на провод. Тогда находим:", "Ответ: $$u'(0)=\cfrac{1}{b} $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите механическую энергию $E$ шара через $m$, $u$, $u'$, $v_0$, $b$ и $A$. ", "solution": {"text": "Выражение для механической энергии шара следующее: $$E=\cfrac{m\dot{r}^2}{2}+\cfrac{mr^2\dot{\varphi}^2}{2}-\cfrac{A}{r^2} $$ Из закона сохранения момента импульса имеем: $$L=mr^2\dot{\varphi}=mv_0b $$ откуда: $$E=\cfrac{m\dot{r}^2}{2}+\cfrac{mv^2_0b^2}{2r^2}-\cfrac{A}{r^2} $$ Переходя к переменным $u$ и $u'$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{mv^2_0b^2}{2}\left(u'^2+u^2\right)-Au^2=E=\cfrac{mv^2_0}{2} $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите зависимость $u(\varphi)$.  Ответ выразите через $m$, $v_0$, $b$, $A$ и $\varphi$. ", "solution": {"text": "Дифференцируя по $\varphi$ выражение для энергии, получим уравнение гармонических колебаний: $$u''=-u\left(1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}\right) $$ с циклической частотой: $$\omega_0=\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}} $$ Общее решение запишем в виде: $$u(\varphi)=C\sin\left(\omega_0\varphi+\varphi_1\right) $$ С учётом начальных условий: $$u(0)=0\quad u'(0)=\cfrac{1}{b} $$ Находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$u(\varphi)=\cfrac{1}{b\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}}\sin\left(\varphi\sqrt{1-\cfrac{2A}{mv^2_0b^2}}\right) $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "В листе ответов качественно постройте траекторию центра шара в координатах $u{,}\varphi$. Координаты всех характерных точек могут быть выражены через $m$, $v_0$, $b$ и $A$. ", "solution": {"text": "Величина $u$, начиная от нуля, достигает максимума, а затем, достигая нуля, остаётся постоянной во времени. График приведён на рисунке ниже:"}, "answer": {"answers": ["<img_6>"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Используя значение параметра $A$, найденное в пункте $\bf{A4}$, найдите начальную скорость шара $v_1$, при которой за время взаимодействия между ним и проводом направление скорости шара изменяется на противоположное.  Ответ выразите через $m$, $b$, $R$, $\lambda$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. ", "solution": {"text": "При изменении направления скорости шарика на противоположное, полное изменение угла $\varphi$ равно $2\pi$. Отсюда находим величину $\omega_0$: $$\omega_0=\cfrac{1}{2} $$ Тогда параметр $A$ равен: $$A=\cfrac{3mv^2_1b^2}{8} $$ Приравнивая с выражением, полученным в пункте $\textbf{A4}$ $$\cfrac{\lambda^2R^3}{2\pi\epsilon_0}=\cfrac{3mv^2_1b^2}{8} $$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_1=\cfrac{2\lambda R}{b}\sqrt{\cfrac{R}{3\pi\epsilon_0m}} $$"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите $S$ и $q_2$. Ответы выразите через $R$, $L$ и $q$. ", "solution": {"text": "Введём в центре сферы цилиндрической систему координат с осью $z$, направленной вдоль линии, соединяющей центр сферы с зарядом $q_1$. Потенциал зарядов $q_1$ и $-q_2$ в любой точке на поверхности шара равен нулю, поэтому: $$\cfrac{q_1}{\sqrt{r^2+(x-L)^2}}=\cfrac{q_2}{\sqrt{r^2+(x-S)^2}} $$ или: $$(q^2_1-q^2_2)(r^2+x^2)+2x(q^2_2L-q^2_1S)+q^2_1S^2-q^2_2L^2=0 $$ Поскольку $r^2+x^2=R^2$, коэффициент при $x$ равен нулю. Тогда получим систему уравнений: $$\cfrac{L}{S}=\cfrac{q^2_1}{q^2_2}\qquad (q^2_1-q^2_2)R^2=q^2_2L^2-q^2_1S^2 $$ решая которую, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S=\cfrac{R^2}{L}\quad q_2=\cfrac{q_1R}{L} $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите $dq_1$, $dq_2$, $S$ и $r_{-}$.  Ответы выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$ и $d\alpha$. ", "solution": {"text": "Для $dq_1$ имеем: $$dq_1=\lambda rd\tan{\alpha} $$ или: Рассматриваемый элемент находится на расстоянии $L=\cfrac{r}{\cos\alpha}$ от центра шара. Отсюда найдём $dq_2$ и $S$: Для $r_{-}$ имеем: $$r_{-}=r-S\cos\alpha $$ или"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$dq_1=\cfrac{\lambda r}{\cos^2\alpha}d\alpha $$  Рассматриваемый элемент находится на расстоянии $L=\cfrac{r}{\cos\alpha}$ от центра шара. Отсюда найдём $dq_2$ и $S$:", "Ответ: $$dq_2=\cfrac{\lambda R}{\cos\alpha}d\alpha\quad S=\cfrac{R^2\cos\alpha}{r} $$  Для $r_{-}$ имеем: $$r_{-}=r-S\cos\alpha $$ или", "Ответ: $$r_{-}=r-\cfrac{R^2\cos^2\alpha}{r} $$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите величину и направление (притяжение или отталкивание) векторной суммы сил $d\vec{F}=d\vec{F}_++d\vec{F}_-$ взаимодействия зарядов $dq_2$ и $-dq_2$ с проводом.  Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $r$, $\alpha$, $d\alpha$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. ", "solution": {"text": "Пара зарядов-изображений притягивается к проводу, поскольку отрицательный заряд находится на меньшем расстоянии от провода. Для силы притяжения с учётом электрического поля провода имеем: $$dF=\cfrac{\lambda dq_2}{2\pi\epsilon_0}\left(\cfrac{1}{r_{-}}-\cfrac{1}{r}\right) $$ или:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Сила притяжения равна $$dF=\cfrac{\lambda^2R^3}{2\pi\epsilon_0r^3}\cfrac{\cos\alpha d\alpha}{1-\cfrac{R^2}{r^2}+\cfrac{R^2}{r^2}\sin^2\alpha} $$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите величину и направление полной силы взаимодействия шара с проводом $F_\text{полн}$.  Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\epsilon_0$. ", "solution": {"text": "Для нахождения полной силы вычислим интеграл от выражения, полученного в пункте $\textbf{D3}$ в пределах от $-\cfrac{\pi}{2}$ до $\cfrac{\pi}{2}$. Введём величину $t$, равную: $$t=\cfrac{R\sin\alpha}{\sqrt{r^2-R^2}} $$ Тогда получим: $$F=\cfrac{\lambda^2R^2}{2\pi\epsilon_0r\sqrt{r^2-R^2}}\int\limits_{-\frac{R}{\sqrt{r^2-R^2}}}^{\frac{R}{\sqrt{r^2-R^2}}}\cfrac{dt}{1+t^2}=\cfrac{\lambda^2}{\pi\epsilon_0}\cfrac{R}{r}\cfrac{R}{\sqrt{r^2-R^2}}\arctan\cfrac{R}{\sqrt{r^2-R^2}} $$ Учитывая связь $r$, $R$ и $\theta$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Сила притяжения равна $$F=\cfrac{\lambda^2}{\pi\epsilon_0}\cfrac{\sin^2\theta\cdot{\theta}}{\cos\theta} $$"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите потенциальную энергию $W_p$ взаимодействия шарика с проводом.  Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $\theta$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Учитывая, что шар притягивается к проводу, выражение для потенциальной энергии следующее: $$W_p=-\int\limits_r^{\infty}F(r)dr $$ Найдём величину $dr$ в переменных $R$ и $\theta$: $$dr=d\left(\cfrac{R}{\sin\theta}\right)=-\cfrac{R\cos\theta d\theta}{\sin^2\theta} $$ Тогда имеем: $$W_p=-\cfrac{\lambda^2R}{\pi\epsilon_0}\int\limits_0^{\theta}\theta d\theta $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$W_p(\theta)=-\cfrac{\lambda^2R\theta^2}{2\pi\epsilon_0} $$"]}, "number_part": "D5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Какую скорость $v_\text{ст}$ будет иметь незаряженный металлический шар радиусом $R$ и массой $m$ при столкновении с проводом, если его из бесконечности отпустить без начальной скорости?  Ответ выразите через $\lambda$, $R$, $m$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "В момент контакта шара и провода $\theta=\cfrac{\pi}{2}$. Запишем закон сохранения энергии: $$\cfrac{mv^2_0}{2}=\cfrac{\lambda^2R}{2\pi\epsilon_0}\left(\cfrac{\pi}{2}\right)^2 $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=\cfrac{\pi\lambda}{2}\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}} $$"]}, "number_part": "D6", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Для заданного значения $v_0$ получите зависимость квадрата радиальной компоненты скорости $\dot{r}^2$ от параметра $\theta$.  Ответ выразите через $m$, $v_0$, $\lambda$, $R$, $b$, электрическую постоянную $\varepsilon_0$ и $\theta$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии имеем: $$\cfrac{mv^2}{2}-\cfrac{\lambda^2R\theta^2}{2\pi\epsilon_0}=\cfrac{mv^2_0}{2} $$ Представим скорость в следующем виде: $$v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2 $$ С учётом закона сохранения момента импульса $$L=mv_0b=mr^2\dot{\varphi} $$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\dot{r}^2=v^2_0-v^2_0\cfrac{b^2}{R^2}\sin^2\theta+\cfrac{\lambda^2R}{\pi\epsilon_0m}\theta^2 $$"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Постройте качественные графики зависимости $\dot{r}^2(\theta)$ при разных значениях $v_0$. ", "solution": {"text": "В зависимости от величины $v_0$ функции делятся на три типа: 1) пересекающие ось ординат при $\theta<\cfrac{\pi}{2}$; 2) не пересекающие ось ось ординат; 3) касающиеся оси ординат при $\theta<\cfrac{\pi}{2}$. <img_7>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Считая все величины, кроме $v_0$, постоянными, получите систему уравнений, позволяющую определить величину $v_{crit}$.  В систему уравнений могут войти $m$, $R$, $b$, $\lambda$, электрическая постоянная $\varepsilon_0$, $\theta_{max}$ и $v_{crit}$. ", "solution": {"text": "При достаточно больших скоростях (функция 1-го типа) график пересекает ось ординат. В момент пересечения величина $\dot{r}$ изменяется на противоположную, поскольку $\dot{r}^2>0$. При достаточно низких скоростях (функция 2-го типа) значение $\dot{r}^2$ в экстремуме положительно, поэтому шар падает на провод. Функция 3-го типа является граничным случаем рассмотренных выше - в экстремуме значение функции $\dot{r}^2$ обращается в ноль. При сколь угодно больших скоростях шар не коснётся провода. Отсюда ясно, что в равенства нулю величины $\dot{r}^2$ нужно также приравнять нулю производную $\cfrac{d\dot{r}^2}{d\varphi}$, что в виде системы записывается следующим образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\left(\cfrac{b^2\sin^2\theta_{max}}{R^2}-1\right)=\cfrac{\lambda^2R\theta^2_{max}}{mv^2_0\pi\epsilon_0}\qquad\cfrac{b^2\sin2\theta_{max}}{R^2}=\cfrac{2\lambda^2R\theta_{max}}{mv^2_0\pi\epsilon_0} $$"]}, "number_part": "E3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите $v_{crit1}$, $v_{crit2}$ и $v_{crit3}$, соответствующие следующим значениям $b$ :  $$b_1=20R\quad b_2=3R\quad b_3=1{,}1R  $$  Ответы выразите через $m, R, \lambda$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Из уравнения для равной нулю производной находим: $$v_0=\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}\cdot{\cfrac{R}{b}\sqrt{\cfrac{2\theta_{max}}{\sin2\theta_{max}}}} $$ Для нахождения $v_0$ необходимо определить $\theta_{max}$. Разделив уравнения друг на друга, получим: $$\cfrac{k^2\sin^2\theta_{max}-1}{k^2\sin2\theta_{max}}=\cfrac{\theta_{max}}{2}\quad k=\cfrac{b}{R} $$ Решая уравнение на калькуляторе, находим: $$\theta_{max1}=0{,}296~\text{рад}\quad\theta_{max2}=0{,}793~\text{рад}\quad\theta_{max3}=1{,}459~\text{рад} $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{crit1}\approx{5{,}15\cdot{10^{-2}}\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}}\quad v_{crit2}\approx{3{,}15\cdot{10^{-1}}\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}}\quad v_{crit3}\approx{3{,}30\lambda\sqrt{\cfrac{R}{\pi\epsilon_0m}}} $$"]}, "number_part": "E4", "exponent_part": "1,20"}]