text: {"text": [{"text": "Давление насыщенных паров над поверхностью смеси двух идеально смешиваемых жидкостей ($A$) и ($B$) подчиняется закону Рауля: $$ P_A=p_A x_A\\ P_B=p_B x_B, $$ где $p_A$, $p_B$ — давления насыщенных паров чистых жидкостей $A$ и $B$, $x_A$ и $x_B$ — молярные доли компонент жидкости в смеси ($x_A+x_B=1$). <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Дано $p_A$, $p_B$, $x_A$ , $x_B$. Найти молярные доли компонент смеси в газообразной фракции ($y_A$ и $y_B$). Давление насыщенного пара над поверхностью чистой жидкости зависит от температуры. Эту зависимость можно восстановить, рассматривая цикл Карно, где в качестве рабочего тела используется двухфазная система «жидкость-пар»."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть для жидкости известны молярная теплота парообразования $\lambda$ и температура кипения жидкости $t$ при атмосферном давлении $P_0$. Найдите зависимость давления насыщенного пара чистой жидкости от температуры $P(T)$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $p_A/p_B$ при температуре $T$ через температуры кипения чистых жидкостей $t_A$ и $t_B$ (при атмосферном давлении), их молярные теплоты парообразования $\lambda_A$ и $\lambda_B$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "2,00"}, "text": "Считая $\lambda_A=\lambda_B=\lambda$, найдите температуру кипения двухкомпонентной смеси: $T(\lambda,t_A,t_B,x_B)$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,50"}, "text": "Считая температуру двухкомпонентной системы $T$ постоянной, изобразите на графиках зависимости $P(x_B) , P(y_B)$ и $y_B(x_B)$. <img_1> В двухкомпонентной системе двух жидкостей с $p_B=2 p_A$, в начальный момент $x_B=0.01$. Пар над жидкостью собирают и изотермически конденсируют."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,60"}, "text": "Какая $x_B$ будет достигнута после первой конденсации ($N=1$)? После первой конденсации объем сосуда изотермически немного увеличивают, чтобы в небольшом объеме снова возник насыщенный пар, этот пар собирают и процедура повторяется $N$ раз."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "1,40"}, "text": "Какая $x_B$ будет достигнута после того как процедура повторится $N=10$ раз, $N= 10^6$? <img_2> В двухкомпонентной системе двух жидкостей с $p_B=2 p_A$, в начальный момент $x_B=0.5$. В начальный момент объем сосуда лишь немного превышает объем жидкости, далее пар над поверхностью жидкости медленно откачивают, а объем сосуда уменьшают так, чтобы объем пара всегда был много меньше объема жидкости. В течение всего процесса температура $T$ остается постоянной. Молярные плотности смешиваемых жидкостей считать равными. Спустя продолжительное время молярная доля жидкости $B$ в смеси достигла $x_B=1/3$."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите, во сколько раз к этому моменту уменьшилось общее количество жидкости? <img_3>"}]}
answer: [{"condition": "Дано $p_A$, $p_B$, $x_A$ , $x_B$. Найти молярные доли компонент смеси в газообразной фракции ($y_A$ и $y_B$). ", "solution": {"text": "По закону Рауля: $$ P_A = p_A x_A \\ P_B = p_B x_B $$ По закону Дальтона: $$ \frac{y_A}{y_B } = \frac{P_A}{P_B} $$ Следовательно, $$ \frac{y_A}{y_B } = \frac{ p_A x_A }{ p_B x_B} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть для жидкости известны молярная теплота парообразования $\lambda$ и температура кипения жидкости $t$ при атмосферном давлении $P_0$. Найдите зависимость давления насыщенного пара чистой жидкости от температуры $P(T)$. ", "solution": {"text": "Уравнение Клапейрона-Клаузиуса (в случае идеального газа): $$ \frac{dP }{ dT} = \frac{\lambda }{ {T \Delta v}} = \frac{\lambda P }{ RT^2} $$ После интегрирования, получим: $$ P(T) = P_0 e^{\frac{\lambda }{ R} (\frac{1 }{ t}-\frac{1 }{ T})} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $p_A/p_B$ при температуре $T$ через температуры кипения чистых жидкостей $t_A$ и $t_B$ (при атмосферном давлении), их молярные теплоты парообразования $\lambda_A$ и $\lambda_B$. ", "solution": {"text": "$$ p_A(T) = P_0 e^{\frac{\lambda_A }{ R} (\frac{1 }{ t_A}-\frac{1 }{ T})} \\ p_B(T) = P_0 e^{\frac{\lambda_B }{ R} (\frac{1 }{ t_B}-\frac{1 }{ T})} $$ $$ \frac{p_A }{ p_B} (T) = e^{\frac{\lambda_A }{ R} (\frac{1 }{ t_A}-\frac{1 }{ T}) - \frac{\lambda_B }{ R} (\frac{1 }{ t_B}-\frac{1 }{ T})} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Считая $\lambda_A=\lambda_B=\lambda$, найдите температуру кипения двухкомпонентной смеси: $T(\lambda,t_A,t_B,x_B)$. ", "solution": {"text": "При температуре кипения смеси $$ P = p_A x_A + p_B x_B = P_0 $$ $$ P_0 = P_0 e^{\frac{\lambda_A }{ R} (\frac{1 }{ t_A}-\frac{1 }{ T})} x_A + P_0 e^{\frac{\lambda_B }{ R} (\frac{1 }{ t_B}-\frac{1 }{ T})} x_B \\ 1= e^{\frac{\lambda_A }{ R} (\frac{1 }{ t_A}-\frac{1 }{ T})} (1-x_B) + e^{\frac{\lambda_B }{ R} (\frac{1 }{ t_B}-\frac{1 }{ T})} x_B $$ $$ T = \frac{\lambda }{ R} \ln^{-1} ({x_B e^\frac{\lambda }{ {Rt_B}}+(1-x_B)e^\frac{\lambda }{ {Rt_A}}}) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Считая температуру двухкомпонентной системы $T$ постоянной, изобразите на графиках зависимости $P(x_B) , P(y_B)$  и $y_B(x_B)$. ", "solution": {"text": "По закону Рауля $P(x_B)$ линейно. В граничных точках $ x_B=0 , y_B=0 , P = p_A$ или $ x_B=1 , y_B=1 , P = p_B$ . При $ p_B > p_A $ : $\\$ $ y_B > x_B $. <img_4>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Какая $x_B$ будет достигнута после первой конденсации ($N=1$)? ", "solution": {"text": "$$ x_B (N+1) = y_B(N) \\ \frac{{1-y_B(N)} }{ y_B(N)} =\frac{p_A }{ p_B} \frac{{1-x_B(N)} }{ x_B(N)} $$ $$ x_B(1) \approx 0.02 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Какая $x_B$ будет достигнута после того как процедура повторится $N=10$ раз, $N= 10^6$? ", "solution": {"text": "$$ \frac{{1-x_B(N)} }{r x_B(N)} = {(\frac{p_A}{p_B})}^N \frac{{1-x_B(0)}}{x_B(0)} $$ $$ x_B(10) \approx 0.91 \\ x_B(10^6) \approx 1.00 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A7", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Найдите, во сколько раз к этому моменту уменьшилось общее количество жидкости? ", "solution": {"text": "Рассмотрим уменьшение количества веществ A и B при удалении объема пара $\Delta v$: $$ dA = - \Delta v \frac{P_A}{{RT}} = - \Delta v \frac{{p_A x_A} }{ {RT}} \\ dB = - \Delta v \frac{P_B }{{RT}} = - \Delta v \frac{{p_B x_B} }{ {RT}} \\ A = x_A n_L V \\ B = x_B n_L V $$ $n_L$ - молярная плотность жидкости. Избавляемся от $\Delta v$: $$ \frac{dA }{ dB} = \frac{{p_A x_A} }{ {p_B x_B}} $$ Подставляем $$ dA = dx_A n_L V + x_A n_L dV \\ dB = dx_B n_L V + x_B n_L dV $$. После упрощения: $$ \frac{dV }{ V} = \frac{dx_B }{ x_B} + \frac{{2 dx_B} }{ {1-x_B}} $$ Интегрируем: $$ \ln(V/V_0) = \ln(\frac{x_B }{ x_B(0)}) -2 \ln(\frac{{1-x_B}}{ {1-x_B(0)}}) $$ $$ V \approx 0.38 V_0 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A8", "exponent_part": "2,00"}]