text: {"text": [{"text": "Ребра додекаэдра изготовлены из провода, сопротивлением которого можно пренебречь. В каждом ребре содержится конденсатор емкостью $C$. Выберем произвольную вершину $A$ и обозначим соседние с ней вершины $B, D$ и $E$. Ребра $AB$ и $AD$ убираются. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите емкость между вершинами $B$ и $E$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите емкость между вершинами $B$ и $E$. ", "solution": {"text": "Обозначим искомую ёмкость между вершинами $B$ и $E$ за $C_{BE}$. Рассмотрим додекаэдр целиком (т.е с конденсаторами $AB$ и $AD$). Пусть при подключении источника к вершинам $B$ и $E$ ёмкость додекаэдра равна $C_0$. Поскольку конденсатор $AD$ в силу симметрии окажется не заряженным, эквивалентная схема додекаэдра представляет собой параллельно соединённые конденсаторы ёмкостями $\cfrac{C}{2}$ и $C_{BE}$. Отсюда: $$C_{BE}=C_0-\cfrac{C}{2} $$ Пропустим пробный заряд $q$ между узлами $B$ и $A$, а затем между узлами $A$ и $E$, что в результате даст заряд $q$, пропущенный между узлами $B$ и $E$. Пусть при подключении к узлам $BA$ заряды конденсаторов $BA$ и $EA$ оказались равны $q_1$ и $q_2$ соответственно, а обкладки, соединённые с узлом $A$, заряжены отрицательно. Тогда при подключении к узлам $A$ и $E$ заряды конденсаторов $BA$ и $EA$ равны $q_2$ и $q_1$ соответственно, а обкладки, соединённые с узлом $A$, заряжены положительно. При наложении подключений имеем: $$q_{BA}=q_{EA}=q_1-q_2 $$ Тогда для ёмкости $C_0$ имеем: $$C_0=\cfrac{q}{U_{BE}}=\cfrac{q}{\cfrac{q_{BA}}{C}+\cfrac{q_{EA}}{C}}=\cfrac{C}{2\left(\cfrac{q_1}{q}-\cfrac{q_2}{q}\right)} $$ <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $C_{BE}=\cfrac{11C}{18}$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]