text: {"text": [{"text": "На экспериментальном туре физической олимпиады участникам было предложено определить фокусные расстояния двух тонких собирающих линз, расположенных в торцах полого цилиндра длиной $L=20.0~см$ (см. рисунок). <img_0> Один из участников, Вася Зазнайкин, аккуратно выполнил эксперименты и получил следующие результаты: Если слева от левого торца цилиндра на его оси на расстоянии $l_{1}=5.0~см$ расположить точечный источник света, то после прохождения через систему свет выходит из правого торца параллельным пучком. Если на левый торец послать параллельный пучок света, то справа от правого торца на расстоянии $l_{2}=10.0~см$ лучи сходятся в одну точку, лежащую на оси цилиндра."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Однако рассчитать по этим экспериментальным данным фокусные расстояния $F_{1}$ и $F_{2}$ обеих линз Зазнайкин не смог. Помогите бедному Васе."}]}
answer: [{"condition": "Однако рассчитать по этим экспериментальным данным фокусные расстояния $F_{1}$ и $F_{2}$ обеих линз Зазнайкин не смог. Помогите бедному Васе. ", "solution": {"text": "1. В первом эксперименте световые лучи (или их продолжения) после прохождения первой линзы должны пересекаться в переднем фокусе второй линзы. Применяя формулу тонкой линзы к линзе $Л_{1}$, получим $$ \frac{1}{l_{1}}+\frac{1}{L-F_{2}}=\frac{1}{F_{1}}. $$ 2. Во втором эксперименте лучи обязательно проходят через задний фокус линзы $Л_{1}$. Применяя формулу тонкой линзы к линзе $Л_{2}$, получим $$ \frac{1}{l_{2}}+\frac{1}{L-F_{1}}=\frac{1}{F_{2}}. $$ Заметим, что обе формулы отличаются только заменой индексов 1 и 2 местами. 3. Теперь нужно из формул исключить одно из фокусных расстояний (например, $F_{2}$). Исходя из второй формулы, $$ F_{2}=\frac{l_{2}\left(L-F_{1}\right)}{L-F_{1}+l_{2}}. $$ После подстановки в первое равенство получим следующее квадратное уравнение для определения $F_{1}$: $$ F_{1}^{2}\left(L+l_{1}-l_{2}\right)-F_{1}\left(L^{2}+2 l_{1} L\right)+L^{2} l_{1}=0. $$ 4. Найдём решение этого уравнения: $$ \left(F_{1}\right)_{1,2}=\frac{L^{2}+2 l_{1} L \pm L \sqrt{L^{2}+4 l_{1} l_{2}}}{2\left(L+l_{1}-l_{2}\right)}=20.0 \pm 16.3~см. $$ Аналогично, формула для $F_{2}$ : $$ \left(F_{2}\right)_{1,2}=\frac{L^{2}+2 l_{2} L \pm L \sqrt{L^{2}+4 l_{1} l_{2}}}{2\left(L+l_{2}-l_{1}\right)}=16.0 \pm 9.8~см. $$ Оба решения возможны. В одном случае обе линзы «длиннофокусные»: $F_{1}=36.3~см$, $F_{2}=25.8~см$ ($F_{1}$, $F_{2} > L$), а в другом - наоборот, «короткофокусные»: $F_{1}=3.7~см$, $F_{2}=6.2~см$ ($F_{1}$, $F_{2} < L$)."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Обе линзы «длиннофокусные»: $F_{1}=36.3~см$, $F_{2}=25.8~см$ ($F_{1}$, $F_{2} > L$). Обе линзы «короткофокусные»: $F_{1}=3.7~см$, $F_{2}=6.2~см$ ($F_{1}$, $F_{2} < L$)."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]