text: {"text": [{"text": "На быстро вращающиеся навстречу друг другу барабаны кладется тонкая достаточно длинная доска, как показано на рисунке. <img_0> Масса доски $m$, длина доски $2 L$. Коэффициент трения скольжения между доской и барабанами $\mu$, расстояние между осями барабанов $2 b$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите закон движения центра доски (координаты от времени), если угол наклона к горизонту прямой, соединяющей оси барабанов, равен $\alpha$, а в начальный момент времени центр доски расположен симметрично относительно барабанов, и скорость доски равна нулю. Считайте, что в любой момент времени доска не теряет контакта с обоими барабанами."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каком соотношении между $\alpha$ и $\mu$ найденный закон движения реализуем?"}]}
answer: [{"condition": "Найдите закон движения центра доски (координаты от времени), если угол наклона к горизонту прямой, соединяющей оси барабанов, равен $\alpha$, а в начальный момент времени центр доски расположен симметрично относительно барабанов, и скорость доски равна нулю. ", "solution": {"text": "Нарисуем все силы, действующие на доску (см. рисунок ниже). Выбираем систему координат такую, что ось $x$ направлена вдоль доски. <img_1> В этой системе координат можно записать следующую систему уравнений:\begin{equation}F_{1}=\mu N_{1}, \quad F_{2}=\mu N_{2},\tag1\end{equation}\begin{equation}m a=F_{1}-F_{2}+m g \sin \alpha,\tag2\end{equation}\begin{equation}0=N_{1} b-N_{2} b+m g x \cos \alpha.\tag3\end{equation}Подставляя $F_{1}$ и $F_{2}$ в $(2)$ и решая систему из двух уравнений $(2)$ и $(3)$ относительно $x$, получаем уравнение:\begin{equation}a+\omega^{2} x=g \sin \alpha,\quad \text {где}\quad \omega^{2}=\frac{\mu g}{b} \cos \alpha.\tag4\end{equation}Введем новую переменную $y$ следующим образом:$$x=y+\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}}.$$Тогда уравнение $(4)$ можно привести к виду $a+\omega^{2} y=0$. Это уравнение является уравнением колебаний и имеет решение$$y=y_{0} \cos (\omega t+\varphi) \quad\text {или}\quad x=y_{0} \cos (\omega t+\varphi)+\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}} .$$Определим значения постоянных $y_{0}$ и $\varphi$ из начальных условий $x|_{t-0}=0$, $v|_{t-0}=0$.Равенство нулю скорости в начальный момент приводит к равенству нулю начальной фазы $\varphi$. С учетом этого условия и равенства нулю координаты центра доски в начальный момент получаем$$y_{0}=-\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}}.$$Таким образом, закон движения доски будет$$x(t)=\frac{g \sin \alpha}{\omega^{2}}(1-\cos \omega t)=b \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\mu}(1-\cos \omega t) .$$Так как по условию задачи доска достаточно длинная, то колебательное движение доски возможно только при условии, что центр доски не выйдет за пределы точек опоры на барабаны: $-b < x < b$, откуда $\mu > 2 \operatorname{tg} \alpha$. В противном случае доска потеряет устойчивость.Окончательно, закон движения центра доски:$$x(t)=b \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\mu}(1-\cos \omega t) \quad\text {при}\quad \mu > 2 \operatorname{tg} \alpha.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x(t)=b \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\mu}(1-\cos \omega t) . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "При каком соотношении между $\alpha$ и $\mu$ найденный закон движения реализуем? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \mu > 2 \operatorname{tg} \alpha. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]