text: {"text": [{"text": "<img_0> Существуют кристаллы, в которых распространение света происходит анизотропно. В самом простом их типе — — свет при этом разделяется на две волны: (индекс $o$; изотропна) и (индекс $e$; анизотропна). Также в одноосных кристаллах существует выделенное направление – кристалла — при распространении вдоль которого обыкновенная и необыкновенная волны движутся с одинаковой скоростью $v_o=\frac c{n_o}$, где $n_o$ — показатель преломления обыкновенной волны. При этом перпендикулярно оптической оси необыкновенная волна будет двигаться уже со скоростью $v_e=\frac c{n_e}$. Если направление распространения необыкновенной волны произвольно, её показатель преломления оказывается непрерывно функцией угла, под которым она движется относительно оптической оси. Из принципа Гюйгенса следует, что фронт необыкновенной волны, испущенной точечным источником, представляет собой эллипсоид вращения, ось симметрии которого параллельна оптической оси кристалла. Введём систему координат, как показано на рисунке, направив ось $y$ вдоль оптической оси. Рассмотрим распространение обыкновенной и необыкновенной волн в плоскости $xy$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Руководствуясь принципом Гюйгенса, опишите схему, позволяющую определить направление распространения волны в одноосном кристалле. Пусть на поверхность кристалла из воздуха нормально падает плоская волна с длиной волны $\lambda$. Угол между нормалью к поверхности кристалла и его оптической осью равен $\theta$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Нарисуйте волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн, распространяющихся в кристалле. Отобразите на рисунке их волновые вектора $\vec k_o$, $\vec k_e$ (перпендикулярны фронтам) и направления распространения волн $\vec N_o$, $\vec N_e$ соответственно. Для определённости считайте, что $n_o > n_e$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Выразите угол $\xi$ между направлением распространения $\vec N_e$ необыкновенной волны и оптической осью кристалла через $n_o$, $n_e$ и $\theta$. Дисперсия показателя преломления в одноосном кристалле BBO ($\beta$-борат бария) имеет вид:\[\left\{\begin{array}{l} n_o^2(\lambda)=2.7359+\dfrac{0.01878}{\lambda^2-0.01822}-0.01354 \lambda^2 \\ n_e^2(\lambda)=2.3753+\dfrac{0.01224}{\lambda^2-0.01667}-0.01516 \lambda^2 \end{array}\right.\](Здесь длина волны $\lambda$ в вакууме измеряется в $мкм$.)"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Найдите $n_o$ и $n_e$ в кристалле BBO при длинах волны в вакууме $800.0~нм$ и $400.0~нм$. Одной из ключевых функций анизотропных кристаллов является — превращение двух фотонов с исходной частотой в один фотон с удвоенной. Такой процесс должен удовлетворять законам сохранения энергии и импульса. Импульс фотона $\vec p$ и его волновой вектор $\vec k$ связаны соотношением $\vec p=\hbar\vec k$, где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": null}, "text": "Как связаны между собой волновые векторы фотона до $(\vec k_1)$ и после $(\vec k_2)$ удвоения частоты?"}, {"balls": {"number": "6", "exponent": null}, "text": "Предложите способ удовлетворить законам сохранения при удвоении частоты в кристалле BBO. Длина волны используемого света в вакууме равна $800~нм$."}, {"balls": {"number": "7", "exponent": null}, "text": "При каком угле $\theta$ можно будет удвоить частоту этого света при пропускании через кристалл BBO?"}, {"balls": {"number": "8", "exponent": null}, "text": "Чему при этом будет равен угол $\alpha$ между волновым вектором $\vec k_e$ необыкновенной волны и направлением её распространения $\vec N_e$?"}]}
answer: [{"condition": "Руководствуясь принципом Гюйгенса, опишите схему, позволяющую определить направление распространения волны в одноосном кристалле. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Обыкновенная волна:Рассматривая две точки на поверхности кристалла как вторичные источники, нарисуем волновые фронты через небольшое время. Они будут представлять собой сферы. Огибающая волновых фронтов будет представлять собой плоскость, параллельную границе кристалла. Векторы $\vec k_o$ и $\vec N_o$ будут направлены вертикально вниз.Необыкновенная волна:Рассматривая две точки на поверхности кристалла как вторичные источники, нарисуем волновые фронты через небольшое время. Они будут представлять собой эллипсоиды вращения, причём их малые полуоси будут параллельны оси кристалла. Огибающая волновых фронтов будет представлять собой плоскость, параллельную границе кристалла. Таким образом, волновой вектор $\vec k_e$ (он же градиент фазы) будет направлен вертикально вниз. Направление распространения $\vec N_e$ будет определяться вектором из центра эллипсоида к точке касания его с огибающей."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Нарисуйте волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн, распространяющихся в кристалле. Отобразите на рисунке их волновые вектора $\vec k_o$, $\vec k_e$ (перпендикулярны фронтам) и направления распространения волн $\vec N_o$, $\vec N_e$ соответственно. Для определённости считайте, что $n_o > n_e$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите угол $\xi$ между направлением распространения $\vec N_e$ необыкновенной волны и оптической осью кристалла через $n_o$, $n_e$ и $\theta$. ", "solution": {"text": "<img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\xi=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_o^2}{n_e^2}\operatorname{tg}\theta\right]\]"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите $n_o$ и $n_e$ в кристалле BBO при длинах волны в вакууме $800.0~нм$ и $400.0~нм$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n_{o800}=1.661,\quad n_{e800}=1.544,\quad n_{o400}=1.693,\quad n_{e400}=1.568\]"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Как связаны между собой волновые векторы фотона до $(\vec k_1)$ и после $(\vec k_2)$ удвоения частоты? ", "solution": {"text": "Из закона сохранения импульса:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\vec k_2=2\vec k_1\]"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Предложите способ удовлетворить законам сохранения при удвоении частоты в кристалле BBO. Длина волны используемого света в вакууме равна $800~нм$. ", "solution": {"text": "Для удвоения света должны быть одновременно выполнены законы сохранения энергии и импульса. Закон сохранения энергии выполнен, когда волновые векторы фотонов связаны соотношением $k_2=2k_1$ не только внутри кристалла, но и в вакууме. Иначе говоря, показатель преломления кристалла для падающего света и удвоенного должен быть один и тот же. Рассмотрим все возможные случаи:Поскольку показатели преломления $n_{o,e}$ монотонно зависят от длины волны, то переходы $o\to o$ и $e\to e$ не могут удовлетворить требуемому условию.Поскольку $n_{e800}\notin[n_{e400},n_{o400}]$, то переход $e\to o$ не может удовлетворить требуемому условию.Поскольку $n_{o800}\in[n_{e400},n_{o400}]$, то переход $o\to e$ может удовлетворить требуемому условию. $\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Удвоение частоты возможно только при преобразовании обыкновенного света $(800~нм)$ в необыкновенный $(400~нм)$."]}, "number_part": "6", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каком угле $\theta$ можно будет удвоить частоту этого света при пропускании через кристалл BBO? ", "solution": {"text": "Скорость движения волнового фронта (фазовая скорость) необыкновенной волны:\[v^2=\left(\begin{array}c \dfrac{c^2}{n_{o400}^2}\cos\theta\\\dfrac{c^2}{n_{e400}^2}\sin\theta\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}c\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right)=c^2\frac{n_{o400}^{-2}+n_{e400}^{-2}\operatorname{tg}^2\theta}{1+\operatorname{tg}^2\theta}=c^2 n_{o800}^{-2}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\theta=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{e400}}{n_{o400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]=29.0^\circ\]"]}, "number_part": "7", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему при этом будет равен угол $\alpha$ между волновым вектором $\vec k_e$ необыкновенной волны и направлением её распространения $\vec N_e$? ", "solution": {"text": "Угол $\alpha=\xi-\theta$. Найдём $\xi$:\[\xi=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}^2}{n_{e400}^2}\operatorname{tg}\theta\right]=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}}{n_{e400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\alpha=\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{o400}}{n_{e400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]-\operatorname{arctg}\left[\frac{n_{e400}}{n_{o400}}\sqrt{\frac{n_{o400}^{2}-n_{o800}^{2}}{n_{o800}^{2}-n_{e400}^{2}}}\right]=3.9^\circ\]"]}, "number_part": "8", "exponent_part": "??"}]