text: {"text": [{"text": "Материальная точка массы $m$ закреплена на конце невесомого стержня, который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси $O$. Изначально материальная точка находится в положении устойчивого равновесия под действием силы $F$, направленной перпендикулярно стержню (см. рис.) В некоторый момент направление силы $F$ мгновенно меняется на противоположное. В дальнейшем сила также остаётся постоянной по модулю и направленной перпендикулярно стержню, вращая его против часовой стрелки. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "10,00"}, "text": "При каких значениях $F$ стержень может совершить полный оборот вокруг оси вращения?"}]}
answer: [{"condition": "При каких значениях $F$ стержень может совершить полный оборот вокруг оси вращения? ", "solution": {"text": "<img_1> Из выражения следует, что при $0\leq{\alpha}\leq{2\varphi}$ частица разгоняется, при $2\varphi<\alpha\leq{\pi}$ — замедляется, и при $\pi<\alpha\leq{2(\pi+\varphi)}$ вновь разгоняется. Запишем закон сохранения механической энергии в произвольный момент времени $$-mgL\cos\varphi+FL\alpha=-mgL\cos(\varphi-\alpha)+\frac{mv^2}{2} $$ Если остановка частицы происходит при значениях $\alpha<\pi$, то в дальнейшем частица будет двигаться в области, ограниченной двумя положениями её нулевой скорости. Если же частица преодолевает данный барьер, то при $\alpha>\pi$ её кинетическая энергия будет возрастать. Таким образом, необходимым условием полного оборота является ненулевая скорость в момент $\alpha=\pi$, или же $$v^2={\frac{2{\pi}LF}{m}-4gL\cos\varphi}\geq{0} $$ Выразим $cos(\varphi)$ из первого соотношения $$\cos\varphi=\sqrt{1-\left(\frac{F}{mg}\right)^2} $$ Из последних двух соотношений получим $$\frac{{\pi}F}{2}\geq{\sqrt{(mg)^2-F^2}} $$ Также из условия равновесия стержня ясно, что $$F\leq{mg} $$ и окончательный диапазон значений $F$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$mg\geq{F}\geq{\frac{mg}{\sqrt{1+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}}}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "10,00"}]