text: {"text": [{"text": "Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии от оси, равном половине радиуса $R$ колеса (см. рисунок). <img_0> При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик с инструментами и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и начинает медленно набирать скорость."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При какой скорости $v_{1}$ паровоза ящик начнет проскальзывать относительно штанги?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При какой скорости $v_{2}$ паровоза ящик начнет подпрыгивать? Коэффициент трения между ящиком и штангой равен $\mu$. Числовой расчет проведите для значений $R=1~м$, $\mu=0.5$."}]}
answer: [{"condition": "При какой скорости $v_{1}$ паровоза ящик начнет проскальзывать относительно штанги? ", "solution": {"text": "Перейдем в систему отсчета, равномерно движущуюся вместе с паровозом. Очевидно, что пока ящик не проскальзывает, он движется по окружности радиуса $l=\frac{R}{2}$. Вектор ускорения направлен к центру окружности и равен $\omega^{2} l$. Пусть $m$ — масса ящика, $N$ — нормальная реакция опоры, $\omega$ — угловая скорость вращения колес, $\varphi$ — угол, который спица в данный момент образует с горизонтом. Условие отсутствия проскальзывания ящика можно записать в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси: $$ O x: m \omega^{2} l \cos \varphi \leqslant \mu N, $$ $$ O y: m \omega^{2} l \sin \varphi=m g-N, $$ откуда $$ \omega^{2} l \cos \varphi \leqslant \mu\left(g-\omega^{2} l \sin \varphi\right) \text{ или } \omega^{2} l(\cos \varphi+\mu \sin \varphi) \leqslant \mu g. $$ Выражение $f(\varphi)=(\cos \varphi+\mu \sin \varphi)$ максимально при $\varphi=\varphi_{0}$, которое находится из условия $$ f^{\prime}\left(\varphi_{0}\right)=-\sin \varphi_{0}+\mu \cos \varphi_{0}=0, $$ откуда $\operatorname{tg} \varphi_{0}=\mu$. Внимание! Угол $\varphi_{0}$ может лежать как в $1$, так и во $2$ квадранте верхней полуплоскости. Но можно обойтись и без производных, введя вспомогательный угол $\psi$: $$ \operatorname{tg} \psi = \mu. $$ Тогда $$ f(\varphi)=\cos \varphi+\frac{\sin \psi}{\cos \psi} \sin \varphi=\frac{\cos (\varphi-\psi)}{\cos \psi}. $$ Это выражение принимает максимальное значение при $\varphi=\psi$. Выражая $\sin \varphi_{0}$ и $\cos \varphi_{0}$ через $\mu$, найдем $f\left(\varphi_{0}\right)=\sqrt{1+\mu^{2}}$ и преобразуем условие отсутствия проскальзывания: $$ \frac{\omega^{2} l}{g} \leqslant \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^{2}}}, $$ откуда $$ v_{1}=\omega_{1} R=\sqrt{\frac{2 g R \mu}{\sqrt{1+\mu^{2}}}} \approx 3.0~м/с. $$ Если скорость превысит это значение, ящик сдвинется относительно штанги. Ящик начнет подпрыгивать, когда вертикальное ускорение штанги в верхней точке превысит ускорение свободного падения: $$ \omega^{2} l \geqslant g, \text { откуда } v_{2}=\omega_{2} R=\sqrt{2 g R}=4.43~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{1}=\sqrt{\frac{2 g R \mu}{\sqrt{1+\mu^{2}}}} \approx 3.0~м/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "При какой скорости $v_{2}$ паровоза ящик начнет подпрыгивать? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{2}=\sqrt{2 g R}=4.43~м/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]