text: {"text": [{"text": "Соберите установку как показано на рисунке: <img_0> При такой деформации угол поворота линейки $\alpha$ зависит от момента $M$ приложенной силы по закону: \[\alpha = \frac{6}{d} \,G^k a^m L^n M^p\]Здесь $d$ — толщина линейки, $a$ — её ширина, $L$ — длина части линейки, участвующей в кручении, $G$ — модуль сдвига (характеристика материала, измеряется в Паскалях), $k, m, n, p$ — некоторые целые числа, которые Вам предстоит определить."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Снимите зависимость угла поворота линейки $\alpha$ от момента сил, приложенных для её кручения. Постройте график полученной зависимости. Определите показатель степени $p$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Снимите зависимость угла поворота линейки $\alpha$ от длины $L$ части линейки, участвующей в кручении. Используя эти данные, определите показатель степени $n$. Приведите соответствующий график."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Зная коэффициенты $n$ и $p$, найдите коэффициенты $k$ и $m$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Вычислите величину модуля сдвига $G$."}]}
answer: [{"condition": "Снимите зависимость угла поворота линейки $\alpha$ от момента сил, приложенных для её кручения. Постройте график полученной зависимости. Определите показатель степени $p$. ", "solution": {"text": "Для того, чтобы найти угол поворота исследуемой линейки измерим координату $h$ конца линейки, к которой подвешиваются грузы. Тогда можно рассчитать:\[\sin\alpha = \frac{h}{y},\qquad \alpha = \arcsin\left(\frac{h}{y}\right),\]где $y = 25.5 ~см$ — длина половины линейки, к которой прикрепляются грузы.Измерим зависимость $p(x)$, из которой рассчитаем зависимость $\alpha (M)$. Построим график зависимости $\alpha (M)$. Как видно из графика, зависимость хорошо описывается линейной функцией. Значит, ко­эффициент | $x, \~см$ | 0\.0 | 5\.0 | 7\.5 | 10\.0 | 12\.5 | 15\.0 | 17\.5 | 20\.0 | 22\.5 | 25\.0 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $h, \~см$ | 0\.0 | 1\.2 | 1\.9 | 2\.5 | 3\.1 | 3\.8 | 4\.5 | 5\.1 | 5\.6 | 6\.4 | | $\\alpha,\~ рад$ | 0\.000 | 0\.047 | 0\.075 | 0\.098 | 0\.122 | 0\.150 | 0\.177 | 0\.201 | 0\.221 | 0\.254 | | $M,\~ Н\\cdot см$ | 0\.00 | 2\.45 | 3\.66 | 4\.88 | 6\.08 | 7\.27 | 8\.44 | 9\.60 | 10\.76 | 11\.86 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $x, \~см$ | 0\.0 | 5\.0 | 7\.5 | 10\.0 | 12\.5 | 15\.0 | 17\.5 | 20\.0 | 22\.5 | 25\.0 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $h, \~см$ | 0\.0 | 1\.2 | 1\.9 | 2\.5 | 3\.1 | 3\.8 | 4\.5 | 5\.1 | 5\.6 | 6\.4 | | $\\alpha,\~ рад$ | 0\.000 | 0\.047 | 0\.075 | 0\.098 | 0\.122 | 0\.150 | 0\.177 | 0\.201 | 0\.221 | 0\.254 | | $M,\~ Н\\cdot см$ | 0\.00 | 2\.45 | 3\.66 | 4\.88 | 6\.08 | 7\.27 | 8\.44 | 9\.60 | 10\.76 | 11\.86 | Ответ: $x, ~см$0.05.07.510.012.515.017.520.022.525.0$h, ~см$0.01.21.92.53.13.84.55.15.66.4$\alpha,~ рад$0.0000.0470.0750.0980.1220.1500.1770.2010.2210.254$M,~ Н\cdot см$0.002.453.664.886.087.278.449.6010.7611.86  Построим график зависимости $\alpha (M)$.", "<img_1>  Как видно из графика, зависимость хорошо описывается линейной функцией. Значит, ко­эффициент", "Ответ: \[p=1\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Снимите зависимость угла поворота линейки $\alpha$ от длины $L$ части линейки, участвующей в кручении. Используя эти данные, определите показатель степени $n$. Приведите соответствующий график. ", "solution": {"text": "В предыдущем пункте было получено, что угол $\alpha$ пропорционален моменту приложенной силы. Обозначим коэффициент пропорциональности $\gamma$:\[\alpha = \gamma M\]Для нахождения коэффициента $n$ снимем зависимость. Измерения проводились при $x = 20.0 ~см$. Построим график полученной зависимости: Как видно из графика, зависимость $\gamma (L)$ линейна. Значит: | $L, \~см$ | 44\.0 | 43\.0 | 42\.0 | 41\.0 | 40\.0 | 39\.0 | 38\.0 | 37\.0 | 36\.0 | 35\.0 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $h, \~см$ | 6\.9 | 6\.9 | 6\.7 | 6\.5 | 6\.4 | 6\.2 | 6\.1 | 5\.9 | 5\.7 | 5\.7 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.43 | 9\.43 | 9\.46 | 9\.48 | 9\.49 | 9\.51 | 9\.52 | 9\.53 | 9\.55 | 9\.55 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0290 | 0\.0290 | 0\.0281 | 0\.0272 | 0\.0267 | 0\.0258 | 0\.0254 | 0\.0245 | 0\.0236 | 0\.0236 | | | | | | | | | | | | | | $L, \~см$ | 34\.0 | 33\.0 | 32\.0 | 31\.0 | 30\.0 | 29\.0 | 28\.0 | 27\.0 | 26\.0 | 25\.0 | | $h, \~см$ | 5\.6 | 5\.3 | 5\.2 | 5\.1 | 5\.0 | 4\.9 | 4\.8 | 4\.6 | 4\.5 | 4\.2 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.56 | 9\.59 | 9\.59 | 9\.60 | 9\.61 | 9\.62 | 9\.62 | 9\.64 | 9\.65 | 9\.67 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0232 | 0\.0218 | 0\.0214 | 0\.0210 | 0\.0205 | 0\.0201 | 0\.0197 | 0\.0188 | 0\.0184 | 0\.0171 | | | | | | | | | | | | | | $L, \~см$ | 24\.0 | 23\.0 | 22\.0 | 21\.0 | 20\.0 | 19\.0 | 18\.0 | 17\.0 | 16\.0 | 15\.0 | | $h, \~см$ | 3\.9 | 3\.8 | 3\.7 | 3\.6 | 3\.5 | 3\.4 | 3\.2 | 3\.1 | 2\.9 | 2\.5 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.68 | 9\.69 | 9\.70 | 9\.70 | 9\.71 | 9\.71 | 9\.72 | 9\.73 | 9\.74 | 9\.75 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0159 | 0\.0154 | 0\.0150 | 0\.0146 | 0\.0142 | 0\.0138 | 0\.0129 | 0\.0123 | 0\.0117 | 0\.0101 | | | | | | | | | | | | | | $L, \~см$ | 14\.0 | 13\.0 | 12\.0 | 11\.0 | 10\.0 | 9\.0 | 8\.0 | 7\.0 | 6\.0 | 5\.0 | | $h, \~см$ | 2\.3 | 2\.2 | 2\.1 | 1\.9 | 1\.7 | 1\.6 | 1\.4 | 1\.2 | 1\.0 | 0\.9 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.76 | 9\.76 | 9\.77 | 9\.77 | 9\.78 | 9\.78 | 9\.79 | 9\.79 | 9\.79 | 9\.79 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0093 | 0\.0088 | 0\.0084 | 0\.0076 | 0\.0068 | 0\.0064 | 0\.0056 | 0\.0048 | 0\.0040 | 0\.0036 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $L, \~см$ | 44\.0 | 43\.0 | 42\.0 | 41\.0 | 40\.0 | 39\.0 | 38\.0 | 37\.0 | 36\.0 | 35\.0 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $h, \~см$ | 6\.9 | 6\.9 | 6\.7 | 6\.5 | 6\.4 | 6\.2 | 6\.1 | 5\.9 | 5\.7 | 5\.7 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.43 | 9\.43 | 9\.46 | 9\.48 | 9\.49 | 9\.51 | 9\.52 | 9\.53 | 9\.55 | 9\.55 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0290 | 0\.0290 | 0\.0281 | 0\.0272 | 0\.0267 | 0\.0258 | 0\.0254 | 0\.0245 | 0\.0236 | 0\.0236 | | | | | | | | | | | | | | $L, \~см$ | 34\.0 | 33\.0 | 32\.0 | 31\.0 | 30\.0 | 29\.0 | 28\.0 | 27\.0 | 26\.0 | 25\.0 | | $h, \~см$ | 5\.6 | 5\.3 | 5\.2 | 5\.1 | 5\.0 | 4\.9 | 4\.8 | 4\.6 | 4\.5 | 4\.2 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.56 | 9\.59 | 9\.59 | 9\.60 | 9\.61 | 9\.62 | 9\.62 | 9\.64 | 9\.65 | 9\.67 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0232 | 0\.0218 | 0\.0214 | 0\.0210 | 0\.0205 | 0\.0201 | 0\.0197 | 0\.0188 | 0\.0184 | 0\.0171 | | | | | | | | | | | | | | $L, \~см$ | 24\.0 | 23\.0 | 22\.0 | 21\.0 | 20\.0 | 19\.0 | 18\.0 | 17\.0 | 16\.0 | 15\.0 | | $h, \~см$ | 3\.9 | 3\.8 | 3\.7 | 3\.6 | 3\.5 | 3\.4 | 3\.2 | 3\.1 | 2\.9 | 2\.5 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.68 | 9\.69 | 9\.70 | 9\.70 | 9\.71 | 9\.71 | 9\.72 | 9\.73 | 9\.74 | 9\.75 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0159 | 0\.0154 | 0\.0150 | 0\.0146 | 0\.0142 | 0\.0138 | 0\.0129 | 0\.0123 | 0\.0117 | 0\.0101 | | | | | | | | | | | | | | $L, \~см$ | 14\.0 | 13\.0 | 12\.0 | 11\.0 | 10\.0 | 9\.0 | 8\.0 | 7\.0 | 6\.0 | 5\.0 | | $h, \~см$ | 2\.3 | 2\.2 | 2\.1 | 1\.9 | 1\.7 | 1\.6 | 1\.4 | 1\.2 | 1\.0 | 0\.9 | | $M, \~Н \\cdot см$ | 9\.76 | 9\.76 | 9\.77 | 9\.77 | 9\.78 | 9\.78 | 9\.79 | 9\.79 | 9\.79 | 9\.79 | | $\\gamma, \~{рад}/{(Н \\cdot см)}$ | 0\.0093 | 0\.0088 | 0\.0084 | 0\.0076 | 0\.0068 | 0\.0064 | 0\.0056 | 0\.0048 | 0\.0040 | 0\.0036 | Ответ: $L, ~см$44.043.042.041.040.039.038.037.036.035.0$h, ~см$6.96.96.76.56.46.26.15.95.75.7$M, ~Н \cdot см$9.439.439.469.489.499.519.529.539.559.55$\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}$0.02900.02900.02810.02720.02670.02580.02540.02450.02360.0236$L, ~см$34.033.032.031.030.029.028.027.026.025.0$h, ~см$5.65.35.25.15.04.94.84.64.54.2$M, ~Н \cdot см$9.569.599.599.609.619.629.629.649.659.67$\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}$0.02320.02180.02140.02100.02050.02010.01970.01880.01840.0171$L, ~см$24.023.022.021.020.019.018.017.016.015.0$h, ~см$3.93.83.73.63.53.43.23.12.92.5$M, ~Н \cdot см$9.689.699.709.709.719.719.729.739.749.75$\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}$0.01590.01540.01500.01460.01420.01380.01290.01230.01170.0101$L, ~см$14.013.012.011.010.09.08.07.06.05.0$h, ~см$2.32.22.11.91.71.61.41.21.00.9$M, ~Н \cdot см$9.769.769.779.779.789.789.799.799.799.79$\gamma, ~{рад}/{(Н \cdot см)}$0.00930.00880.00840.00760.00680.00640.00560.00480.00400.0036  Построим график полученной зависимости:", "<img_2>  Как видно из графика, зависимость $\gamma (L)$ линейна. Значит:", "Ответ: \[n=1\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Зная коэффициенты $n$ и $p$, найдите коэффициенты $k$ и $m$. ", "solution": {"text": "Коэффициенты $k$ и $m$ найдём методом размерностей:\[\begin{array}l[l] = М^{-1} \cdot Па^k\cdot М^m\cdot М\cdot (Н\cdot М )\\0=k+1\\0=-1-2k+m+1+1\end{array}\]Откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $k =-1$, $m =-3$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Вычислите величину модуля сдвига $G$. ", "solution": {"text": "Измерим ширину линейки: \[a = 3.0 ~см.\]Вычислим величину модуля сдвига $G$, пользуясь значением углового коэффициента графи­ка из пункта A3:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[G={\frac{6}{A d a^{3}}}=1.4\cdot10^{7} ~Па\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}]