text: {"text": [{"text": "<img_0> Как показано на рисунке, полуцилиндр длины $l$, имеющий внутренний радиус $a$ и внешний радиус $b$, состоит их двух различных слабо проводящих диэлектриков, относительная диэлектрическая проницаемость и проводимость которых равны соответственно $\varepsilon_{r1}$, $\sigma_1$ (для углов $0 \leq \varphi < \theta_0$) и $\varepsilon_{r2}$, $\sigma_2$ (для углов $\theta_0 < \varphi \leq \pi$). Нижние поверхности полуцилиндра покрыты тонким слоем металла, и к ним приложено постоянное напряжение $V_0$. Диэлектрическая проницаемость вакуума известна и равна $\varepsilon_0$. Считайте диэлектрические проницаемости обоих диэлектриков очень большими, а их проводимости очень малыми, краевыми эффектами пренебрегите."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "12,00"}, "text": "Найдите распределение напряжённости электрического поля $E(\varphi)$ и его потенциала $V(\varphi)$ в среде."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "4,00"}, "text": "Найдите полный заряд $Q$ на границе между диэлектриками (т.е. при $\varphi=\theta_0$)."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "12,00"}, "text": "Найдите сопротивление и ёмкость $R_1$, $C_1$ и $R_2$, $C_2$ каждого из диэлектриков (т.е. областей $0 \leq \varphi < \theta_0$ и $\theta_0 < \varphi \leq \pi$ соответственно)."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": "8,00"}, "text": "В момент времени $t=0$ напряжение выключают. Считая дальнейшие процессы квазистатическими, найдите зависимость напряжения между нижними поверхностями полуцилиндра $V(t)$ от времени и нарисуйте эквивалентную схему процесса."}]}
answer: [{"condition": "Найдите распределение напряжённости электрического поля $E(\varphi)$ и его потенциала $V(\varphi)$ в среде. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: При $0 \leq \varphi < \theta_0$: $$E_1=\frac{V_0}{\left[ \theta_0 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \left( \pi - \theta_0 \right) \right] r},\ V_{\varphi}=\frac{\left( \theta_0 - \varphi \right) + \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \left( \pi - \theta_0 \right)}{\theta_0 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \left( \pi - \theta_0 \right)};$$ при $\theta_0 < \varphi \leq \pi$: $$E_2=\frac{V_0}{\left[ \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \theta_0 + \left( \pi - \theta_0 \right) \right] r},\ V_{\varphi}=\frac{\pi - \varphi}{\frac{\sigma_2}{\sigma_1} \theta_0 + \left( \pi - \theta_0 \right)}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "12,00"}, {"condition": "Найдите полный заряд $Q$ на границе между диэлектриками (т.е. при $\varphi=\theta_0$). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=\frac{\varepsilon_0 \left( \frac{\sigma_1}{\sigma_2} - 1 \right) l \ln{\frac{b}{a}}}{\left[ \theta_0 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \left( \pi - \theta_0 \right) \right]}V_0.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "4,00"}, {"condition": "Найдите сопротивление и ёмкость $R_1$, $C_1$ и $R_2$, $C_2$ каждого из диэлектриков (т.е. областей $0 \leq \varphi < \theta_0$ и $\theta_0 < \varphi \leq \pi$ соответственно). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R_1=\frac{\theta_0}{\sigma_1 l \ln{\frac{b}{a}}},\ C_1=\frac{\varepsilon_{r1} \varepsilon_0 l}{\theta_0} \ln{\frac{b}{a}},\\R_2=\frac{\left( \pi - \theta_0 \right)}{\sigma_2 l \ln{\frac{b}{a}}},\ C_2=\frac{\varepsilon_{r2} \varepsilon_0 l}{\left( \pi - \theta_0 \right)} \ln{\frac{b}{a}}.$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "12,00"}, {"condition": "В момент времени $t=0$ напряжение выключают. Считая дальнейшие процессы квазистатическими, найдите зависимость напряжения между нижними поверхностями полуцилиндра $V(t)$ от времени и нарисуйте эквивалентную схему процесса. ", "solution": {"text": "<img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$V(t)=\frac{\theta_0 V_0}{\left[ \theta_0 + \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \left( \pi - \theta_0 \right) \right]}e^{-\frac{\sigma_1}{\varepsilon_{r1} \varepsilon_0}t}+\frac{\left( \pi - \theta_0 \right) V_0}{\left[ \frac{\sigma_2}{\sigma_1} \theta_0 + \left( \pi - \theta_0 \right) \right]}e^{-\frac{\sigma_2}{\varepsilon_{r2} \varepsilon_0}t}.$$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "8,00"}]