text: {"text": [{"text": "Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был обнаружен Д.К. Цуи и Г. Стормером в 1981 году. В эксперименте электроны могли двигаться только вдоль поверхности пластинки, изготовленной из GaAs/AlGaAs (т.е. толщиной электронного слоя можно пренебречь). Перпендикулярно к электронной системе было приложено сильное однородное магнитное поле. Прохождение тока $I$ по поверхности пластинки приводит к появлению Холловской разности потенциалов $V_Н$, а при достаточно низких температурах на кривой зависимости Холловского сопротивления от величины магнитного поля появляется плато, которое соответствует Холловскому сопротивлению $R_Н = 3h/e^2$. Появление этого плато свидетельствует о наличии квазичастиц с дробным зарядом, которые будут рассмотрены ниже. В классической модели электроны на поверхности пластинки GaAs/AlGaAs ведут себя как заряженные шарики с некоторой эффективной массой $m^*$."}, {"balls": {"number": "a.1", "exponent": "2,00"}, "text": "Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\vec E=-E_y\widehat y$ и магнитном $\vec B=B \widehat z$ полях, где $\widehat x$, $\widehat y$ и $\widehat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\mathrm X$, $\mathrm Y$ и $\mathrm Z$."}, {"balls": {"number": "a.2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите установившуюся скорость электронов $\upsilon_s$."}, {"balls": {"number": "a.3", "exponent": "1,00"}, "text": "Укажите направление этой скорости?"}, {"balls": {"number": "b", "exponent": "2,00"}, "text": "По определению Холловское сопротивление $R_Н=V_Н/I$. Представьте $R_Н$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\phi$ через пластинку, который равен $\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно."}, {"balls": {"number": "с", "exponent": "2,00"}, "text": "Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_Н=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\phi$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "d", "exponent": "2,00"}, "text": "Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\Delta U(B) \varpropto B^\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\alpha$."}, {"balls": {"number": "e", "exponent": "2,00"}, "text": "Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\nu=1/n$. На какую величину $\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица. В рассматриваемом эксперименте величина индукции внешнего магнитного поля для плато $R_Н=3h/e^2$ была равной $B_{1/3}=15~Тл$. Эффективная масса электрона в пластинке GaAs, $m^*=0.067m_e$, Масса электрона, $m_e = 9.1 \times 10^{−31}~ кг$, Постоянная в законе Кулона, $k = 9.0 \times 10^9~Н \cdot м^2/Кл^2$, Диэлектрическая постоянная, $\varepsilon_0 = 1/4\pi k = 8.854 \times 10^{-12}~Ф/м$, Элементарный заряд, $e = 1.6 \times 10^{−19}~ Кл$, Постоянная Планка, $ℎ = 6.626 \times 10^{−34}~Дж \cdot с$, Постоянная Больцмана, $k_В= 1.38 \times 10^{−23}~ Дж/К$."}, {"balls": {"number": "f.1", "exponent": "1,00"}, "text": "Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$."}, {"balls": {"number": "f.2", "exponent": "2,00"}, "text": "Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности. Как видно из рисунка существует несколько плато с $R_Н=h/ie^2$, где $i=1,2,3...$ — целое число. Это явление получило название целочисленного эффекта Холла. В отличие от него дробный эффект Холла связывают с существованием квазичастиц с дробным зарядом, что было подтверждено в 1997 году, когда была проведена серия экспериментов при коэффициенте заполнения $\nu = 1/3$, в которых определялся так называемый уровень шума при измерениях электрического тока через очень малый контакт (квантовая точка). В простейшей статистической модели число носителей $n_{\tau}$ с зарядом $e^*$ , проходящих через такой контакт в течение малого интервала времени $\tau$, подчиняется распределению вероятности Пуассона с параметром $\lambda$: $$Р(n_\tau=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$ где $k!$ — факториал числа $k$. Вам может понадобиться следующая формула: $$e^{\lambda}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}$$"}, {"balls": {"number": "g.1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\lambda$ и $\tau$."}, {"balls": {"number": "g.2", "exponent": "2,00"}, "text": "Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\lambda$ и $\tau$."}, {"balls": {"number": "g.3", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_В$."}]}
answer: [{"condition": "Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\vec E=-E_y\widehat y$ и магнитном $\vec B=B \widehat z$ полях, где $\widehat x$, $\widehat y$ и $\widehat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\mathrm X$, $\mathrm Y$ и $\mathrm Z$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "a.1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите установившуюся скорость электронов $\upsilon_s$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "a.2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Укажите направление этой скорости? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "a.3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "По определению Холловское сопротивление $R_Н=V_Н/I$. Представьте $R_Н$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\phi$ через пластинку, который равен $\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "b", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_Н=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\phi$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "с", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\Delta U(B) \varpropto B^\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\alpha$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "d", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\nu=1/n$. На какую величину $\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "e", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "f.1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "f.2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\lambda$ и $\tau$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "g.1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\lambda$ и $\tau$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "g.2", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_В$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "g.3", "exponent_part": "1,00"}]