text: {"text": [{"text": "К невесомой пружине, имеющей $500$ витков, подвесили груз, в результате чего она удлинилась на $x_{0}=10~см$. Затем груз убрали и нерастяжимыми нитями связали виток $№~100$ с витком $№~300$, а виток $№~200$ с витком $№~400$ (см. рисунок). <img_0> Длина каждого куска нити равна длине участка пружины между связываемыми витками в свободном состоянии."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На какую величину $x$ удлинится пружина при наличии нитей, если к ней подвесить тот же груз?"}]}
answer: [{"condition": "На какую величину $x$ удлинится пружина при наличии нитей, если к ней подвесить тот же груз? ", "solution": {"text": "Если при наличии нитей растягивать участок пружины между витками $№~100$ и $№~400$, то происходит не только растяжение участков между витками $№~100$ и $№~200$ и между $№~300$ и $№~400$, но и сжатие участка между витками $№~200$ и $№~300$. Пружина в целом не теряет упругих свойств при удалении любых двух из этих трёх участков ($№~100-№~200$, $№~200-№~300$, $№~300-№~400$), что означает, что они фактически являются параллельными. Вся система из пружин и ниток эквивалентна системе (см. рисунок), где пружина $1$ соответствует участку между витками $№~1$ и $№~100$, $2$ — между $№~100$ и $№~200$, $3$ — между $№~200$ и $№~300$, $4$ — между $№~300$ и $№~400$, $5$ — между $№~400$ и $№~500$. <img_1> Пусть $k_{0}$ - жёсткость пружины при отсутствии нитей. Жёсткость куска пружины обратно пропорциональна числу его витков, поэтому жёсткость любого участка, содержащего $100$ витков (в частности между началом первого витка и витком $№~100$), равна$$k_{1}=\frac{500}{100} k_{0}=5 k_{0}.$$Участок между витками $№~100$ и $№~400$ является, как уже было показано, параллельным соединением трёх участков по $100$ витков, а его жёсткость$$k_{2}=3 k_{1}=15 k_{0}.$$Последний участок (между витками $№~400$ и $№~500$) имеет жёсткость$$k_{3}=k_{1}=5 k_{0}.$$Пружина в целом состоит из трёх последовательных участков ($№~100-№~200$, $№~200-№~400$, $№~400-№~500$), поэтому её жёсткость при наличии нитей$$k=\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\frac{1}{k_{3}}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{5 k_{0}}+\frac{1}{15 k_{0}}+\frac{1}{5 k_{0}}\right)^{-1}=\frac{15}{7} k_{0}.$$Удлинение пружины обратно пропорционально её жёсткости, поэтому$$x=\frac{k_{0}}{k} x_{0}=\frac{7}{15} x_{0} \approx 4.7~см.$$ Примечание: То, что три участка пружины между витками $№~100$ и $№~400$ соединены параллельно, можно показать и более аккуратно. Пусть $y$ - удлинение участка пружины между витками $№~100$ и $№~400$, а $y_{1}$, $y_{2}$ и $y_{3}$ — удлинения участков между витками $№~100$ и $№~200$, $№~200$ и $№~300$, $№~300$ и $№~400$ соответственно. Тогда между ними есть следующие соотношения: $$ y_{1}+y_{2}+y_{3}=y, \quad y_{1}+y_{2}=0, \quad y_{2}+y_{3}=0 . $$ Первое соотношение очевидно, остальные два следуют из нерастяжимости нитей. Отсюда находим $$ y_{1}=y_{3}=y, \quad y_{2}=-y. $$ Сила $F$, действующая на виток $№~400$ со стороны участка между витками $№~100$ и $№~400$, складывается из силы со стороны участка нити между витками и силы натяжения соответствующей нити. Сама же сила натяжения нити определяется из условия равновесия витка $№~200$, откуда получаем $T=k_{1}\left(y_{1}-y_{2}\right)$, а значит $$ F=k_{1} y_{3}+T=k_{1}\left(y_{1}-y_{2}+y_{3}\right)=3 k_{1} y . $$ Таким образом, получили для жесткости участка пружины между витками $№~100$ и $№~400$ тот же результат $k_{2}=3 k_{1}$, как и в основном решении."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x=\frac{k_{0}}{k} x_{0}\approx 4.7~см. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]