text: {"text": [{"text": "На гладкую поверхность, ограниченную двумя дугообразными вертикальными стенками (см. рисунок), из точки $O$ (центр огороженной части поверхности) выпускают маленькую шайбу со скоростью $v$ под малым углом $\alpha \ll 1$ к оси $y$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Оцените время между последовательными пересечениями шайбой оси $y$. Радиусы дуг $R$ и расстояние $2 h$ известны, причем $h \ll R$. Удары шайбы о стенки упругие."}]}
answer: [{"condition": "Оцените время между последовательными пересечениями шайбой оси $y$. ", "solution": {"text": "Предположим, что удары о стенки происходят гораздо чаще, чем пересечения шайбой оси $y$, и что движение вдоль оси $x$ ограничено в узкой области вблизи начала координат (затем убедимся в верности этого предположения). Тогда время пролета от стенки до стенки $\Delta t \simeq-\frac{2 h}{v}$ будет почти постоянным. Изменение проекции скорости на ось $x$ за один удар $\Delta v_{x}=-2 \frac{x}{R} v$. Здесь $x$ — абсцисса шайбы. $a_{x} \simeq \frac{\Delta v_{x}}{\Delta t}=-\frac{v^{2}}{R h} x$. С учетом того, что $a_{x}=\ddot{x}$ можем записать $\ddot{x}=-\frac{x v^{2}}{R h}$. Имеем дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины $x$: $$ \ddot{x}+\frac{v^{2}}{R h} x=0. $$ Период колебаний величины $x$ равен $T=2 \pi \sqrt{\frac{R h}{v^{2}}}$, а искомое время $\tau=\frac{\pi \sqrt{R h}}{v}$. Заметим, что $\frac{\tau}{\Delta t}=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{h}} \gg 1$, амплитуда $A$ колебаний вдоль оси $x$ равна $A=a \sqrt{R h} \ll O C=\sqrt{2 R h}$. Это значит, что высказанные выше предположения верны."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=\frac{\pi \sqrt{R h}}{v}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]