text: {"text": [{"text": "В жаркие летние дни, когда в комнате установилась температура $t_0 = 30^\circ С$, экспериментатор Глюк обратил внимание на то, что время работы двигателя холодильника стало вдвое превышать время бездействия. Решив оптимизировать его работу, экспериментатор регулятором изменил температуру внутри холодильника на $\Delta \theta= 9^\circ С$. В результате, время бездействия стало вдвое больше времени работы. Определите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "На какие температуры $t_1$ и $t_2$ был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "На какую внутреннюю температуру $t_{m}$ надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "При какой выставленной регулятором температуре $t_{3}$ частота включения холодильника станет максимальной? $\textbf{Указание}$: Регулятор задает температуру внутри холодильника $t$ в небольшом интервале $t \pm \Delta t/2$. Когда температура внутри становится равной $t + \Delta t/2$, двигатель холодильника включается, когда она снижается до $t - \Delta t/2$ — выключается. Считайте, что: 1) мощность подводимого тепла пропорциональна разности температуры внутри холодильника и окружающей среды и постоянна во всем интервале внутренних температур $t \pm \Delta t/2$. 2) тепловая мощность, отбираемая двигателем во время его работы у внутреннего объема холодильника, не зависит от температур. 3) изменением температуры в комнате можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "На какие температуры $t_1$ и $t_2$ был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента? ", "solution": {"text": "Пусть $P$ — мощность поступающей за счёт теплообмена из окружающей среды теплоты, $P=\alpha(t-t{0})$, $P_{0}$ — мощность отводимой за счёт работы холодильника теплоты, $C$ — теплоёмкость холодильника с содержимым. Для нагрева холодильника на $\Delta t$ требуется время $T$ (время бездействия): $$ T=\frac{C\Delta t}{P}=\frac{C\Delta t}{\alpha(t_{0}-t)}. \quad (1) $$ Далее включается двигатель и температура в холодильнике понижается на $\Delta t$ за время $\tau$ (время работы): $$ \tau=\frac{C\Delta t}{P_{0}-P}=\frac{C\Delta t}{P_{0}-\alpha(t_{0}-t)}. \quad (2) $$ Пусть изначально температура в холодильнике была равна $t=t_{1}$, при этом $\tau=2T$, откуда, с учётом $(1)$ и $(2)$ получим: $$ t_{1}=t_{0}-\frac{2P_{0}}{3\alpha}. $$ Во втором случае $2\tau=T$ при $t-t_{2}$, откуда с учётом $(1)$ и $(2)$ получим: $$ t_{2}=t_{0}-\frac{P_{0}}{3\alpha}. $$ Тогда $\theta =t_{2}-t_{1}=P_{0}/(3\alpha)$, откуда $$ t_{1}=t_{0}-2 \theta=12^\circ С, \quad t_{2}=t_{0}-\theta=21^\circ С. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{1}=t_{0}-2 \theta=12^\circ С, \quad t_{2}=t_{0}-\theta=21^\circ С. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На какую внутреннюю температуру $t_{m}$ надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва? ", "solution": {"text": "Двигатель холодильника будет работать непрерывно, если мощность отводимой им теплоты будет меньше или равна мощности теплоты, подводящейся из окружающей среды: $$ P_{0} \leqslant \alpha(t_{0}-t), \text{ откуда } t \leqslant t_{0}-\frac{P_{0}}{\alpha}, $$ значит, $$ t_{m}=t_{0}-\frac{P_{0}}{\alpha}=t_{0}-3\theta=3^\circ С. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{m}=t_{0}-3 \theta=3^\circ С. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При какой выставленной регулятором температуре $t_{3}$ частота включения холодильника станет максимальной? ", "solution": {"text": "В решении первого пункта задачи было показано, что время между двумя последовательными включениями холодильника равно $$ T+\tau=\frac{C\Delta t}{P}+\frac{C\Delta t}{\alpha(t_{0}-t)}=\frac{C\Delta P_{0}}{\alpha(t_{0}-t)(P_{0}-\alpha(t_{0}-t))}. $$ Частота включения холодильника максимальна, когда максимальна величина $y=\alpha(t_{0}-t)(P_{0}-\alpha(t_{0}-t))$. Для удобства обозначим $(t_{0}-t)$ за $x$. График $y(x)=\alpha P_{0}x-\alpha x^{2}$ — парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому $y$ максимально для вершины параболы. Координаты вершины параболы $x_{в}=P_{0}/(2 \alpha)$, значит $$ t_{3}=t_{0}-\frac{P_{0}}{2\alpha}=t_{0}-\frac{3}{2} \theta=16.5^\circ С. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{3}=t_{0}-\frac{3}{2} \theta=16.5^\circ С. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]