text: {"text": [{"text": "При нормальных условиях кислород состоит из двухатомных молекул $O_{2}$. При повышении температуры часть молекул может диссоциировать, в результате чего из каждой молекулы $O_{2}$ образуются два атома $O$. <img_0> На рисунке показаны два идентичных циклических процесса 1 и 2 в координатах $(\rho, p)$, где $\rho$ - плотность газа, $p$ - давление. По осям отложены безразмерные величины $p / p_{0}$ и $\rho / \rho_{0}$, где $p_{0}$ и $\rho_{0}$ - некоторые значения. Первый эксперимент был проведен при низких температурах, и рабочим веществом служил молекулярный кислород $O_{2}$. Второй эксперимент проводился при значительно более высоких температурах. При этом часть кислорода находилась в молекулярном $\left(O_{2}\right)$, а часть - в атомарном ($O$) состоянии, и степень диссоциации не изменялась в течение эксперимента. Масса газа в обоих экспериментах была одной и той же. Известно, что отношение максимальных температур в этих экспериментах $k_{\max }=T_{2, \max } / T_{1, \max }=2.8$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите степень диссоциации $\alpha$ кислорода (долю диссоциированных молекул) во втором эксперименте."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите отношение $k_{\min }$ минимальных температур в этих экспериментах."}]}
answer: [{"condition": "Определите степень диссоциации $\alpha$ кислорода (долю диссоциированных молекул) во втором эксперименте. ", "solution": {"text": "Пусть $\nu$ — число молей $O_{2}$ до диссоциации, $\alpha$ — доля диссоциированных молекул. Число молей молекулярного кислорода $O_{2}$ после диссоциации $\nu_{2}=(1-\alpha) \nu$, число молей атомарного кислорода $O$ $\nu_{1}=2 \alpha \nu$. Запишем уравнения состояния для молекулярного и атомарного кислорода: $$ p_{O_{2}} V=\nu_{2} R T=(1-\alpha) \nu R T, \quad p_{O} V=\nu_{2} R T=2 \alpha \nu R T. $$ Согласно закону Дальтона $p=p_{O_{2}}+p_{O}$, откуда: $$ p V=(1+\alpha) \nu R T=\frac{m}{\mu_{2}} R T(1+\alpha), $$ где $\mu_{2}$ — молярная масса $O_{2}$. Последнее уравнение можно переписать в виде: $$ p=\frac{\rho}{\mu_{2}} R T(1+\alpha) \quad \text { или } \quad \left(\frac{p}{\rho}\right)_{2}=\frac{R T_{2}}{\mu_{2}}(1+\alpha), \quad (1) $$ где индекс $(2)$ означает, что это соотношение относится ко второму циклу."}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите отношение $k_{\min }$ минимальных температур в этих экспериментах. ", "solution": {"text": "Аналогично для первого цикла: $$ \left(\frac{p}{\rho}\right)_{1}=\frac{R T_{1}}{\mu_{2}}. \quad (2) $$ Соотношения $(1)$ и $(2)$ связывают отношение $p / \rho$ с температурой $T$ в любой точке циклов $1$ и $2$. В частности они справедливы для точек с максимальными температурами на циклах $1$ и $2$: $$ \left(\frac{p}{\rho}\right)_{1, \max }=\frac{R T_{1, \max }}{\mu_{2}}, \quad \left(\frac{p}{\rho}\right)_{2, \max }=\frac{R T_{2, \max }}{\mu_{2}}(1+\alpha). $$ Величины $(p / \rho)_{1, \max }$ и $(p / \rho)_{2, \max }$ можно определить по наклону касательных к циклам $1$ и $2$ , проведённых из начала координат. Для определения абсолютных значений этих величин нужно знать значения $\rho_{0}$ и $p_{0}$, использованные при построении графиков циклов. Но безразмерное отношение $r_{\max }=\left[(p / \rho)_{2, \max } /(p / \rho)_{1, \max }\right]$ от них не зависит. Это отношение можно определить, проведя касательные к циклам $1$ и $2$ с минимальным наклоном к оси абсцисс (см. рисунок). <img_1> По графику: $$ \left(\frac{p}{\rho}\right)_{2, \max } \approx 2.4, \quad\left(\frac{p}{\rho}\right)_{1, \max } \approx 0.4, \quad r_{\max } \approx 6 . $$ Следовательно: $$ \frac{T_{2, \max }}{T_{1, \max }}(1+\alpha)=k_{\max }(1+\alpha) \approx 6, \quad \text { отсюда } \quad \alpha \approx 0.2. $$ Определим теперь отношение $T_{2, \min } / T_{1, \min }$. Для этого нужно провести касательные к циклам $1$ и $2$ с максимальным наклоном к оси абсцисс. По графикам циклов находим: $$ r_{\min }=11, \quad \text { откуда } \quad \frac{T_{2, \min }}{T_{1, \min }}=\frac{11}{1+\alpha} \approx 9.2 . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ k_{\min } \approx 9.2. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]