text: {"text": [{"text": "Источник звука движется в плоскости $x\text{-}y$ по окружности радиуса $R$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Сама окружность при этом смещается с постоянной скоростью $v_S$, составляющей угол $\beta$ с осью $x$ ($ 0^{\circ}<\beta <90^{\circ}$ ). На рисунке 1 красной пунктирной линией изображена траектория источника. В момент времени $t=0$ центр окружности находится в точке $C$ с координатами $(X_C, Y_C)$. Вектор $\vec{CA}$ задаёт положение источника. В момент времени $t=0$ вектор $\vec{CA}$ составляет угол \(\phi\) с осью $x$ (т.е. $\angle BCA=\phi$ на рисунке 1(a)). В момент времени $t=0$ источник $S$ начинает двигаться против часовой стрелки и испускать звук на частоте $f_0$. Детектор $D$ находится в той же плоскости $x\text{-}y$ в точке с полярными координатами $r_D$ и $\theta$ (рис. 1(b)). Для угла между осью $x$ и отрезком «детектор-источник» используйте обозначение $\alpha$. Всё движение источника и детектора происходит только в плоскости $x\text{-}y$. Скорость звука $c=330~\mathrm{м/c}$, и скорость источника относительно воздуха меньше скорости звука. <img_0> В каждый момент времени $t$ детектор регистрирует звуковой сигнал на некоторой частоте $f(t)$. Результаты измерения отображаются в симуляторе."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите координаты источника $x(t)$, $y(t)$, через величины $\beta$, $\phi$, $v_s$ и другие. $\textbf{Как пользоваться симулятором:}$ В верхней части страницы можно ввести параметры детектора, а в нижней части — увидеть график измеренной зависимости $f(t)$. <img_1> После изменения любых параметров нужно нажать "PLOT GRAPH", чтобы отобразить перемеренную зависимость $f(t)$. Положение детектора задаётся вводом значений $r_D$ и $\theta$. Параметр "Data-point interval $\Delta$" определяет интервал между экспериментальными точками и должен быть кратным $0.001~\mathrm{с}$. Ввод параметров $v_D$ и $\gamma$ приводит детектор в равномерное движение с заданной скоростью под заданным углом к оси $x$. Не забудьте нажать "PLOT GRAPH", чтобы отобразить новую зависимость. После нажатия "PLOT GRAPH" график строится для некоторого интервала времени: от "Graph Start time $(t_i)$" до "Graph End time $(t_f)$". На рисунке 2 график построен от $0$ до $25~\mathrm{с}$. <img_2> <img_3> Наведя курсор на точки графика, можно увидеть координаты экспериментальных точек. Если интервал между точками мал, то может получиться, что будут отображаться координаты сразу нескольких соседних точек. Чтобы этого избежать, можно, например, увеличивать масштаб нужной части графика, подбирая параметры "Graph Start time" и "Graph End time". $\textbf{Внимание!}$ Процесс перестройки графика может сильно затянуться, вплоть до зависания компьютера, если требовать отображения слишком большого числа точек. Например, если задавать параметры $\Delta = 0.001$, $t_i=0$, $t_f=25~\mathrm{с}$. Если у вас это произошло, прочитайте, что нужно сделать в общей инструкции к экспериментальному туру. Если вам нужно, используйте маленькие значения $\Delta$ только для небольших интервалов времен. Максимальное количество точек, которое будет построено на графике — 25 000, вне зависимости от значения величины Graph End time (\(t_f\)). Пробуйте разные комбинации параметров симулятора, внимательно изучайте получающиеся графики, в дальнейшем используйте координаты точек как экспериментальные данные. Миллиметровку можно при необходимости использовать в любом пункте."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,20"}, "text": "В симуляторе задайте $r_\text{D}=\theta=0$ и нулевую скорость детектора. Отобразите график $f(t)$ в диапазоне от $5~\mathrm{с}$ до $55~\mathrm{с}$. Занесите в таблицу координаты всех попавших в этот диапазон минимумов ($f_\text{min}$ и соответствующие им времена $t$). Постройте график зависимости $f_\text{min}$ от $t$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите минимальную частоту, которую в конечном итоге будет принимать неподвижный детектор, через $v_s,\omega,R$ и другие величины. Для дальнейших пунктов понадобится использовать различные значения величин $r_\text{D}, \theta,v_\text{D}, \gamma,t_i,t_f,$ и $\Delta$. Прежде чем использовать их в любых расчетах, занесите все требуемые значения в таблицу на странице A2-4, указывая там же, для каких действий они понадобятся. \vspace{2mm} Все выкладки необходимо подробно описать в листах решений. Ответ без пояснений не засчитывается. Если используете лист миллиметровки, в листах ответов укажите его номер. Погрешности оценивать не нужно. В любом удобном вам порядке ответьте на следующие 4 вопроса."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,40"}, "text": "Найдите начальные (в момент времени $t=0$) координаты $(X_\text{A}, Y_\text{A})$ точки $A$ (в метрах)."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "2,10"}, "text": "Найдите значения величин $f_0,\omega,R,v_s$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите значение угла $\beta$ (в градусах)."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "2,10"}, "text": "Найдите начальные координаты $(X_\text{C}, Y_\text{C})$ точки $C$ (в метрах)."}]}
answer: [{"condition": "Выразите координаты источника $x(t)$, $y(t)$, через величины $\beta$, $\phi$, $v_s$ и другие. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{align} x(t) &= v_s t \cos \beta + R \cos (\omega t + \phi) + X_C \\ y(t) &= v_s t \sin \beta + R \sin (\omega t + \phi) + Y_C \end{align}"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "В симуляторе задайте $r_\text{D}=\theta=0$ и нулевую скорость детектора. Отобразите график $f(t)$ в диапазоне от $5~\mathrm{с}$ до $55~\mathrm{с}$. Занесите в таблицу координаты всех попавших в этот диапазон минимумов ($f_\text{min}$ и соответствующие им времена $t$). Постройте график зависимости $f_\text{min}$ от $t$. ", "solution": {"text": "<img_5> <img_6>"}, "answer": {"answers": ["<img_4>"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Выразите минимальную частоту, которую в конечном итоге будет принимать неподвижный детектор, через $v_s,\omega,R$ и другие величины. ", "solution": {"text": "Рассмотрим общий случай, в котором движутся как детектор (скорость $v_d$), так и источник (скорость $v_s$). Также линия, соединяющая источник с детектором, образует угол $\alpha$ с осью $x$ (как на рисунке 1 в условии). Заметим, что $\alpha$ зависит от времени. Пусть $\hat{n}$ обозначает единичный вектор, направленный от источника к детектору. Для случая, когда источник приближается к детектору, регистрируемая частота равна \begin{align} f(t^\prime)& = f_0 \frac{c - \vec{v}_d \hat{n}}{c - \vec{v}_s \hat{n}} = f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c - (\vec{v}_s + R\omega\hat{\theta}) \hat{n}} = f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c - [v_s \cos(\beta - \alpha(t)) + R \omega \cos(\omega t + \phi + \pi/2 - \alpha(t))]} \\ &= f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c - [v_s \cos(\beta - \alpha(t)) - R \omega \sin(\omega t + \phi - \alpha(t))]} \end{align} Аналогично для случая, когда источник удаляется от детектора $$ f(t^\prime) = f_0 \frac{c - v_d \cos (\gamma - \alpha(t))}{c +[v_s \cos(\beta - \alpha(t)) - R \omega \sin(\omega t + \phi - \alpha(t))]} $$ Минимальная частота в пределе $t \to \infty$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f_{min} = f_0 \frac{c}{c + (v_s + \omega R)}. $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите начальные (в момент времени $t=0$) координаты $(X_\text{A}, Y_\text{A})$ точки $A$ (в метрах). ", "solution": {"text": "Найдем начальное положение источника. Для этого сначала поместим детектор в точку на оси $x$ с координатой $x_1$ (параметры положения детектора $x_1, \, 0^\circ$), а затем — на оси $y$ с координатой $y_1$ (параметры $y_1, \, 90^\circ$ ). Из графика, запишем момент времени, в который первый сигнал достиг детектора. Обозначим соответственные времена $\Delta t_x$ и $\Delta t_y$ соответственно. Тогда \begin{align} (x- x_1)^2 + y^2 = (c \Delta t _x)^2, \\ x^2 + (y - y_1)^2 = (c \Delta t _y)^2. \end{align} Решение этой системы даст координаты источника. Например можно использовать значения $x_1 = 500~м$, $\Delta t_x = 1.5344~с$ и $y_1 = 500~м$, $\Delta t_y = 1.2727~c$. У каждого из двух уравнений выше есть два решения. Правильное решение можно выбрать, используя детектор в некотором третьем положении. Окончательно, получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x_A = 420 \text{ м}, \; y_A = 500 \text{ м}. $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Найдите значения величин $f_0,\omega,R,v_s$. ", "solution": {"text": "Пусть детектор находится в таком положении, где источник сначала приближается к нему с большого расстояния (например слева), а затем проходит мимо него и удаляется на большое расстояние (направо). В предельных случаях (далеко слева и далеко справа $\alpha \approx \beta$) можно измерить две пары частот — значения в максимуме и в минимуме (зависимость практически строго постоянна). Скорость детектора равна нулю $v_d = 0$. Далеко слева \begin{align} f_{max} = f_0 \frac{c}{c - (v_s + \omega R)},\\ f_{min} = f_0 \frac{c}{c - (v_s - \omega R)}. \end{align} Далеко справа \begin{align} f_{max} = f_0 \frac{c}{c + (v_s - \omega R)},\\ f_{min} = f_0 \frac{c}{c + (v_s + \omega R)}. \end{align} Из первой пары частот (слева) находим $$ \frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} - f_{min}} = \frac{c - v_s}{\omega R}. $$ Из второй пары (справа) $$ \frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} + f_{min}} = \frac{c + v_s}{\omega R}. $$ Отметим также, что из-за изменения расстояния между источником и детектором интервал времени между соседними максимумами регистрируемой частоты отличается от периода движения детектора по окружности $2\pi/\omega$. В области, где детектор удаляется $$ \Delta t = \frac{2 \pi}{\omega} \left( 1 + \frac{v_s}{c}\right). $$ (Время увеличивается, поскольку более позднему импульсу нужно пройти большее расстояние, эффект полностью аналогичен эффекту Доплера.) Полученные три уравнения можно использовать, чтобы определить $v_s$, $\omega$ и $R$. Для этого нужно расположить неподвижный детектор в таком положении, чтобы источник сначала приближался с него с большого расстояния, а затем удалялся. Предельные значения частот можно найти из тех участков графика, где значения максимумов практически не меняются со временем. Кроме того, мы ожидаем резкого изменения в графике в том случае, когда детектор расположен почти на пути источника, $\beta \approx \alpha$. Зафиксировав расстояние до детектора 8000 м, будем менять угол $\theta$. <img_7> Видим, что при значении угла $\theta = 30^\circ$ на графике наблюдается наиболее выраженный переход к предельным режимам слева и справа. В этих случаях значения частоты в максимумах практически не зависят от времени. При этом значения на левой части графика больше, чем на правой. Это означает, что на правой стороне источник удаляется от детектора. Для более точных измерений можно построить интересующий нас участок графика с уменьшенным расстоянием между точками на графике. На левой части графика $f_{min} = 788.24$ Гц, $f_{max} = 5569.59$ Гц, поэтому $$ \frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} + f_{min}} = 1.33 = \frac{c - v_s}{\omega R}. $$ На правом участке $f_{min} = 543.06$ Гц, $f_{max} = 1353.45$ Гц. Поэтому $$ \frac{f_{max} + f_{min}}{f_{max} + f_{min}} = 2.34 = \frac{c + v_s}{\omega R}. $$ Отсюда находим $v_s = 91.1$ м/c, $\omega R = 179.66$ м/c. Расстояние между двумя максимумами при удаляющемся источнике $\Delta t = 5.36$ с. Отсюда получим $\omega = 1.49 \text{ с}^{-1}$. Поэтому $R = 120.57$ м. Для определения $f_0$ используем $f_{max}$ для удаляющегося источника. Тогда получим $f_0 = 990.26$ Гц."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f_0 = 990.26 \text{ Гц},\; \omega = 1.49 \text{ с}^{-1}, \; R = 120.57 \text{ м}, \; v_s = 91.1 \text{ м/с}. $$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "2,10"}, {"condition": "Найдите значение угла $\beta$ (в градусах). ", "solution": {"text": "<img_8> Пусть детектор находится на большом расстоянии от источника. Сигнал достигает детектора в точке $P$ за время $t_0 = 1009.61$ с, а до детектора в точке $Q$ за время $t_1 = 1007.85$ с. Расстояние между детекторами $PQ = 660$ м. Разность этих времен можно найти как $$ t_0 - t_1 = \frac{PQ \cos \beta}{c}. $$ Отсюда $$ \cos \beta = \frac{c (t_0 - t_1)}{PQ}. $$ Отсюда получаем $\beta = 28.36^\circ$. <img_9> Значение зарегистрированной частоты зависит од двух факторов: от положения источника на циклоиде в момент испускания, и от положения детектора. Точки $H$ и $L$ на одном периоде траектории обозначают места, где скорость источника максимальна и минимальна соответственно. Это следует из того, что скорость центра $\vec{v}_s$ тут параллельна или антипараллельна скорости движения по окружности. Пусть источник совершает n-й поворот по циклоиде, а детектор расположен в некоторой точке дуги окружности 1, центр которой находится в начале координат. В зависимости от положения на дуге детектор будет регистрировать различные значения максимальной частоты $f_{max}$. Начнем от положения детектора вблизи оси $x$ ($\theta = 0^\circ$). Будем изменять угол, частота $f_{max}$ будет возрастать до того момента, когда детектор попадет в точку $D$ (этому отвечает некоторое значение угла $\theta_1$). На самом деле, для любого положения детектора на прямой $B C$, которая параллельна $AF$, он будет регистрировать максимально возможное значение максимума частоты $f_{max}$. Аналогично, в любой точке прямой $B^\prime C^\prime$, параллельной $AF$ будет детектироваться минимальное значение $f_{min}$ частоты в минимуме. В симуляции мы будем менять положение детектора, а его скорость оставим равной нулю. Повторим это упражнение для детектора, который движется по другой дуге 2. Так мы найдем угол $\theta_2$, при котором максимум частоты принимает наибольшее значение. Найдя два значения $\theta_1$ и $\theta_2$, мы можем использовать координаты точек $D$ и $E$, чтобы найти угол, который отрезок $DE$ образует с горизонтальной осью $x$. Это и есть искомый угол $\beta$. Если координаты точек $(x_1, \, y_1)$ и $(x_2, \, y_2)$ соответственно, угол $$ \beta = \arctan \frac{y_2 -y_1}{x_2-x_1}. $$ <img_10> <img_11> <img_12> Из анализа первой таблицы следует, что максимум находится в диапазоне $\theta_1 \in (25^\circ, \, 35^\circ)$. Точное значение угла можно найти из графика, $f_{max}$ от $\theta$, получаем $\theta_1 = 27^\circ$. <img_13> <img_14> Из графика получаем, что для второй дуги максимум находится при $\theta_2 = 27.5^\circ$. Используя найденные значения углов, определим координаты детекторов, а отсюда и угол $\beta = 28.5^\circ$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \beta = 28.36^\circ. $$"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите начальные координаты $(X_\text{C}, Y_\text{C})$ точки $C$ (в метрах). ", "solution": {"text": "<img_15> В этой части расположим детектор в некоторой точке на оси $y$. Найдем значение частоты для первого из сигналов, который получит детектор. Мы уже знаем значение $R$ и начальные координаты источника. Регистрируемая частота $f = 795.69$ Гц, если детектор расположен в точке $y = 500 $ м. Учитывая координаты источника (420 м, 500 м), значение угла $\alpha =180^\circ$. Используя эти значения угла и частоты, найдем: $$ 795.69 = \frac{990.26 \times 330}{330 - 91.1 \cos (28.5 - 180) + 179.66 \sin(\phi - \alpha)}. $$ Отсюда найдем угол $\phi \approx 0^\circ$. Тогда получаем координаты центра"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x_C = 299.42 \text{ м}, \; y_C = 500 \text{м}. $$"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "2,10"}]