text: {"text": [{"text": "В теплоизолированном цилиндре на расстоянии $L_1 = 80~см$ друг от друга находятся два легкоподвижных теплопроводящих поршня. Пространство между ними заполнено водой, а снаружи на поршни действует атмосферное давление (см. рисунок). <img_0> Слева от левого поршня включили холодильник, который поддерживает постоянную температуру $t_1 = -40^\circ С$, а справа от правого — нагреватель, поддерживающий постоянную температуру $t_2 = 16^\circ С$. Через некоторое время система пришла в стационарное состояние и расстояние между поршнями стало $L_2$. После этого поршни снаружи теплоизолировали и дождались установления теплового равновесия в цилиндре. Расстояние между поршнями стало $L_3$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите расстояния $L_2$ и $L_3$. Плотность льда $\rho_{л}= 900 ~кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1000~кг/м^{3}$, удельная теплоёмкость воды $c_{в} = 4200~Дж/(кг \cdot ^\circ С)$, удельная теплоёмкость льда $c_{л} = 2100~Дж/(кг \cdot ^\circ С)$, удельная теплота плавления льда $\lambda= 330~кДж/кг$, коэффициент теплопроводности льда в $4$ раза больше коэффициента теплопроводности воды. $\textit{Указание}$. Считайте, что мощность теплового потока $P$ вдоль цилиндра, между торцами которого поддерживается постоянная разность температур $\Delta t$, равна: $$ P = \frac{kS\Delta t}{L}, $$ где $k$ —коэффициент теплопроводности среды, $S$ — площадь торца цилиндра, $L$ — длина цилиндра."}]}
answer: [{"condition": "Найдите расстояния $L_2$ и $L_3$. ", "solution": {"text": "Пусть в первом случае столб воды имеет длину $L_{в}$, а столб льда $L_{л}$. Тогда: $$ L_{в}+L_{л}=L_{2}. \qquad (1) $$ Так как масса содержимого между поршнями постоянна: $$ L_{в}\rho_{в}+L_{л}\rho_{л}=L_{1}\rho_{в}. \qquad (2) $$ Поскольку тепловые потоки через лёд и воду равны, то: $$ \frac{kS(t_{2}-t_{0})}{L_{в}}=\frac{4kS(t_{0}-t_{1})}{L_{л}}, \text{ где } t_{0}=0^\circ. \quad (3) $$ Из уравнения $(3)$, с учётом заданных температур находим, что $L_{л}=10L_{в}$. Из уравнений $(1)$ и $(2)$ получим: $L_{в}=8~см$, и $L_{2}=11L_{в}=88~см$. Тепловой поток $P$ через каждое сечение одинаково: $$ P=\frac{kS(t_{2}^{'}-t_{1}^{'})}{\Delta L}, $$ где $t_{1}^{'}$, $t_{2}^{'}$ — температура слева и справа от фрагмента цилиндра длиной $\Delta L$. Отсюда $t_{2}^{'}-t_{1}^{'}=(P\Delta L)/(kS)$, то есть $\Delta t \sim \Delta L$. Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру (лёд $t_{л}=-20^\circ$, вода $t_{в}=8^\circ$). После того, как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой $t$. При охлаждении воды до температуры плавления $выделится$ количество теплоты $$ Q_{1} =L_{в}S\rho_{в}c_{в}t_{в}=33 600 L_{в}S\rho_{в}. $$ Для нагревания льда до температуры плавления $потребуется$ количество теплоты $$ Q_{2}=10L_{в}S 0.9 \rho_{в}c_{л}(0-t_{л})=378 000 L_{в}S\rho_{в}. $$ Следовательно, вода точно охладится до $0^\circ$ и начнёт замерзать. При замерзании выделится количество теплоты $$ Q_{3}=\lambda L_{в}S \rho_{в}=330 000 L_{в}S\rho_{в}. $$ Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лёд до температуры плавления. Следовательно, вся вода замёрзнет. Тогда: $$ L_{3}=\frac{10}{9}L_{1} \approx 88.9~см. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L_2=88~см, \quad L_3\approx88.9~см. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]