text: {"text": [{"text": "Диполь представляет собой два точечных заряда $+q$ и $-q$, закреплённых на расстоянии $l$ друг от друга. Масса диполя $m$. Диполь ориентирован вдоль оси $x$ и влетает со скоростью $v_{0}$ в область электрического поля длиной $2L \gg l$ (см. рисунок). <img_0> В этой области вектор напряжённости электрического поля $\vec{E}$ везде направлен вдоль оси $x$, а его модуль изменяется по закону $$ E(x)=E_{0}\left(1-\frac{x^{2}}{L^{2}}\right) . $$"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите зависимость силы $F$, действующей на диполь, от его координаты $x$, максимальную скорость диполя, а также время пролёта области электрического поля. Считайте, что ориентация диполя в пространстве не меняется. Примечание. Такое электрическое поле можно создать между пластинами плоского конденсатора с помощью распределённого объёмного заряда."}]}
answer: [{"condition": "Найдите зависимость силы $F$, действующей на диполь, от его координаты $x$, максимальную скорость диполя, а также время пролёта области электрического поля. Считайте, что ориентация диполя в пространстве не меняется. ", "solution": {"text": "Сила $F(x)$, действующая на диполь со стороны электрического поля, является суммой сил, действующих на заряды $+q$ и $-q$. Пусть координата центра диполя $x$, тогда $$ F(x)=q E(x+l / 2)-q E(x-l / 2)=q \frac{d E}{d x} l=-2 q l E_{0} \frac{x}{L^{2}}. $$ Запишем второй закон Ньютона для диполя: $$ m \ddot{x}=F(x)=-2 \frac{q l E_{0}}{L^{2}} x. $$ Полученное уравнение имеет вид уравнения гармонических колебаний с циклической частотой $\omega$ : $$ \omega=\sqrt{2 \frac{q l E_{0}}{m L^{2}}}. $$ Пусть диполь влетает в область электрического поля в момент времени $t=0$. Тогда решение уравнения для $m \ddot{x}$ можно записать в виде $$ x(t)=A \sin (\omega t+\varphi), \quad v(t)=A \omega \cos (\omega t+\varphi). $$ Начальные условия имеют вид $$ \begin{aligned} &x(0)=-L=A \sin \varphi, \\ &v(0)=v_{0}=A \omega \cos \varphi, \end{aligned} $$ откуда находим $$ \varphi=-\operatorname{arctg} \frac{\omega L}{v_{0}}, \quad A=L \sqrt{1+\left(\frac{v_{0}}{\omega L}\right)^{2}} . $$ Зная уравнение движения, можно найти максимальную скорость диполя: $$ v_{\max }=A \omega=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \frac{q l E_{0}}{m}} . $$ В силу симметрии задачи полное время $t$ пролета области электрического поля равно удвоенному времени полета от $x=-L$ до начала координат, то есть $$ t=2 \frac{|\varphi|}{\omega}=2 \operatorname{arctg} \frac{\omega L}{v_{0}}=2 \operatorname{arctg} \sqrt{\frac{2 q l E_{0}}{m v_{0}^{2}}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ F(x)=-2 q l E_{0} \frac{x}{L^{2}}. $$ $$ v_{\max }=A \omega=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \frac{q l E_{0}}{m}} . $$ $$ t= 2 \operatorname{arctg} \sqrt{\frac{2 q l E_{0}}{m v_{0}^{2}}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]