text: {"text": [{"balls": {"number": "a", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите отношение интенсивностей в центральном максимуме двух дифракционных картин, которые получены на щели: в одном случае ширина щели равна $a$, во втором случае — $b$. Считайте, что щели освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света. Рассмотрим дифракционную решетку, состоящую из последовательности одинаковых равноотстоящих щелей."}, {"balls": {"number": "b", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите соотношение между интенсивностями в максимуме первого порядка дифракционных картин, которые получены на дифракционных решетках с периодом $l$ (период — расстояние между центрами двух соседних щелей), при этом в одном случае ширина щели равна $a$, а во втором случае — $(l-a)$. Считайте, что дифракционные решетки освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света."}, {"balls": {"number": "c", "exponent": "2,50"}, "text": "Докажите, что если дифракционная решётка представляет собой последовательность одинаковых равноотстоящих щелей, то интенсивность дифрагированного света $I_\text{dif}$ (интенсивность в максимумах всех порядков, кроме нулевого) не превышает $1/4$ от интенсивности падающего на решётку света. При каком условии выполняется равенство $I_\text{dif}=I_\text{inc}/4$ (т.е. яркость дифракционной картины максимальна)? Большей яркости (т.е. $I_\text{dif} > I_\text{inc}/4$) можно добиться, используя отражательную дифракционную решётку, в которой плоскость каждой бороздки составляет угол $\alpha$ с плоскостью решётки $P_1P_2$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "d", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите этот угол для дифракционной решётки, имеющей $n=2000~\text{штрихов}/\text{мм}$, если падающий на неё луч с длиной волны $\lambda_0=500~нм$ образует максимум первого порядка в направлении падения, причём этот максимум оказывается самым ярким в дифракционной картине. Дифракционную решётку из предыдущего пункта используют в монохроматоре, в котором дифрагированный пучок падает на выходную щель, после чего попадает на вогнутое зеркало с радиусом кривизны $R=1~м$."}, {"balls": {"number": "e", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите спектральную ширину $\Delta\lambda$ и длину когерентности света, выходящего из монохроматора, освещаемого белым светом, если ширина выходной щели $d=20~мкм$, а монохроматор настроен на длину волны $\lambda_0=500~нм$. Вычислите эти величины."}, {"balls": {"number": "f", "exponent": "1,50"}, "text": "Какую минимальную разность длин волн монохроматического света можно различить с помощью решётки из пункта d, если её длина составляет $10~см$, и свет, отразившись от зеркала, падает на CCD-матрицу с плотностью пикселей $200~\text{пикселей}/\text{мм}$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите отношение интенсивностей в центральном максимуме двух дифракционных картин, которые получены на щели: в одном случае ширина щели равна $a$, во втором случае — $b$. Считайте, что щели освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света. ", "solution": {"text": "Угловое распределение амплитуды электрического поля задаётся выражением:\[E(\theta)=\int_0^aCe^{i(\omega t-kx\sin\theta}~\mathrm dx,\]где $k$ — модуль волнового вектора, а $\theta$ — угол дифракции. Распределение интенсивности света в этом случае:\[I(\theta)=E(\theta)E^*(\theta)=CC^*a^2\left[\frac{\sin(ka\sin~\theta/2)}{ka\sin~\theta/2}\right]^2,\]откуда\[\frac{I_{0\:a}}{I_{0\:b}}=\frac{a^2}{b^2}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{I_{0\:a}}{I_{0\:b}}=\frac{a^2}{b^2}\]"]}, "number_part": "a", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите соотношение между интенсивностями в максимуме первого порядка дифракционных картин, которые получены на дифракционных решетках с периодом $l$ (период — расстояние между центрами двух соседних щелей), при этом в одном случае ширина щели равна $a$, а во втором случае — $(l-a)$. Считайте, что дифракционные решетки освещаются одинаковыми когерентными монохроматическими пучками света. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Дифракционные картины для каждой из решёток:\[E_a(\theta)=\sum_m\int_{ml}^{ml+a}Ce^{i(\omega t-kx\sin\theta)}~\mathrm dx\quadи\quad E_{l-a}(\theta)=\sum_m\int_{ml+1}^{ml+l}Ce^{i(\omega t-kx\sin\theta)}~\mathrm dx.\]Складывая эти два распределения, получим распределение поля, соответствующее отсутствию преграды:\[E_a(\theta)+E_{l-a}(\theta)=E_{inc}(\theta)=\begin{cases}0&\text{геометрическая тень}\\E_0&\text{направление падения}\end{cases}\]Поскольку главный максимум первого порядка наблюдается в геометрической тени,\[E_{a(1)}+E_{l-a(1)}=0\implies E_{a(1)}=-E_{l-a(1)}\implies I_{a(1)}=E_{a(1)}E^*_{a(1)}=E_{l-a(1)}E^*_{l-a(1)}=I_{l-a(1)}.\]Итого, главные максимумы первого порядка двух решёток будут иметь одинаковую интенсивность."]}, "number_part": "b", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Докажите, что если дифракционная решётка представляет собой последовательность одинаковых равноотстоящих щелей, то интенсивность дифрагированного света $I_\text{dif}$ (интенсивность в максимумах всех порядков, кроме нулевого) не превышает $1/4$ от интенсивности падающего на решётку света. При каком условии выполняется равенство $I_\text{dif}=I_\text{inc}/4$ (т.е. яркость дифракционной картины максимальна)? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Рассмотрим дополнительную решётку, освещённую тем же пучком света. В этом случае можно записать:"]}, "number_part": "c", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Найдите этот угол для дифракционной решётки, имеющей $n=2000~\text{штрихов}/\text{мм}$, если падающий на неё луч с длиной волны $\lambda_0=500~нм$ образует максимум первого порядка в направлении падения, причём этот максимум оказывается самым ярким в дифракционной картине. ", "solution": {"text": "Проблема рассматриваемых решёток состоит в том, что они амплитудные, поэтому главный дифракционный максимум накладывается на максимум $\theta=0$. Чтобы избежать этого, в решётке должны происходить периодические изменения фазы падающей волны. На практике обычно используются отражательные решётки, поверхность борозд в которой наклонена под некоторым углом к плоскости решётки.\[\sin i+\sin\alpha=nm\lambda_0.\]Для $m=1$ и $i=\alpha$ (максимум интенсивности) получим:\[2\sin\alpha=n\lambda_0\implies\alpha=30^\circ.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\alpha=30^\circ\]"]}, "number_part": "d", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите спектральную ширину $\Delta\lambda$ и длину когерентности света, выходящего из монохроматора, освещаемого белым светом, если ширина выходной щели $d=20~мкм$, а монохроматор настроен на длину волны $\lambda_0=500~нм$. Вычислите эти величины. ", "solution": {"text": "Спектральная ширина:\[\Delta\lambda=\frac d{D_\alpha R/2}=2d\cos\alpha/Rn=17~пм.\]Длина когерентности равна длине оптического пути, после прохождения которого уже не наблюдается дифракционная картина. Распределение интенсивности в двулучевом интерферометре, освещаемом в диапазоне $[\lambda_0-\Delta\lambda/2,\lambda_0+\Delta\lambda/2]$ и $[\nu_0-\Delta\nu/2,\nu_0+\Delta\nu/2]$, имеет вид:\[I=\int\limits_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}2\frac{I_0}{\Delta\nu}\left(1+\cos\frac{2\pi\nu}cL\right)~\mathrm d\nu=2\frac{I_0}{\Delta\nu}\left.\left(\nu+\frac{\sin~\frac{2\pi\nu}cL}{\frac{2\pi}cL}\right)\right|_{\nu_0-\Delta\nu/2}^{\nu_0+\Delta\nu/2}\\\implies I=2I_0\left(1+\frac{\sin~\frac{\pi\Delta\nu}cL}{\frac{\pi\Delta\nu}cL}\cos\frac{2\pi\nu_0}cL\right).\]Видность дифракционной картины\[V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}=\frac{\left|\frac{\pi\Delta\nu}cL\sin\right|}{\frac{\pi\Delta\nu}cL}.\]Здесь $L$ — разность оптических путей интерферирующих волн. Первое исчезновение дифракционной картины происходит при:\[V=0\implies\frac{\pi\Delta\nu}cL_c=\pi\implies L_c=\frac c{\Delta\nu}=\frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[L_c=\frac{Rn\lambda_0^2}{d\sqrt3}=1.5~см\]"]}, "number_part": "e", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Какую минимальную разность длин волн монохроматического света можно различить с помощью решётки из пункта d, если её длина составляет $10~см$, и свет, отразившись от зеркала, падает на CCD-матрицу с плотностью пикселей $200~\text{пикселей}/\text{мм}$. ", "solution": {"text": "Разрешающая способность в первом порядке:\[P=\frac\lambda{\delta\lambda}=N=nL=2\cdot10^5.\]Следовательно, наименьший диапазон, различимый дифракционной решёткой, равен $\delta\lambda=2.5~пм$. При этом наименьший различимый диапазон из-за конечного размера пикселя будет равен:\[\delta\lambda'=2\cdot5~мкм\cdot\frac{\cos\alpha}{Rn}=4.3~пм.\]Таким образом, минимальный различимый спектральный диапазон у данного спектрометра равен $4.3~пм$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta\lambda_\mathrm{min}=4.3~пм\]"]}, "number_part": "f", "exponent_part": "1,50"}]