text: {"text": [{"text": "В 1844 году выдающийся математик и астроном Бессель обнаружил, что собственное (не связанное с движением земного наблюдателя) движение Сириуса происходит примерно по синусоиде (см. рис) с максимальным угловым отклонением от прямолинейного пути $\alpha = 2.3''$ и периодом $T=50~лет$. Бессель предположил (через 18 лет это было подтверждено прямыми наблюдениями), что искривление пути Сириуса вызывается наличием спутника - более слабой звезды. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите отношение массы $m$ спутника (Сириуса В) к массе Солнца $M_С$, если масса основной звезды (Сириуса А) $M=2.3~M_С$. Известно, что радиус земной орбиты $R_0$ виден с Сириуса под углом $\beta =0.376''$. Считать, что орбиты компонент Сириуса круговые, а плоскость орбит перпендикулярна направлению от Солнечной системы к Сириусу."}]}
answer: [{"condition": "Найдите отношение массы $m$ спутника (Сириуса В) к массе Солнца $M_С$, если масса основной звезды (Сириуса А) $M=2.3~M_С$. ", "solution": {"text": "<img_1> $$\left\{\begin{array}{l}\frac{G m_A m_B}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_A m_A ~(1) \\\frac{G m_A m_B}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_B m_B~(2)\end{array}\right.$$$\Omega$ — угловая скорость вращения Сириусов относительно точки $O$Отсюда следует:$$~(1)~и~(2)\Rightarrow \Omega^2 r_A m_A=\Omega^2 r_B m_B \Rightarrow \frac{r_A}{r_B}=\frac{m_B}{m_A}.$$По условию $T=\frac{2\pi}{\Omega}=50~лет\Rightarrow \Omega=\frac{2\pi}{T}$.$$(1)\Rightarrow\frac{G m_B}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_A\\(2)\Rightarrow\frac{G m_A}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2 r_B\\\Downarrow \\\frac{G\left(m_A+m_B\right)}{\left(r_A+r_B\right)^2}=\Omega^2\left(r_A+r_B\right) \Rightarrow \\\Rightarrow \frac{G\left(m_A+m_B\right)}{\left(r_A+r_B\right)^3}=\Omega^2~(3).$$$m_A=2.3 M_C=\mu_A \cdot M_C, \quad \mu_A=2.3$.$m_B=\mu_B M_C, \quad \mu_B$ требуется найти.Пусть $L$ — расстояние от земли до центра масс $O$ системы Сириус $A$ — Сириус $B$. Тогда $$r_A\approx L\alpha \\r_B=\frac{r_A \cdot m_A}{m_B}=L \alpha \cdot \frac{\mu_A}{\mu_B}$$Подставляя в $(3)$, получим: $$\frac{G\left(\mu_A+\mu_B\right) M_C}{L^3 \cdot \alpha^3 \cdot \frac{\left(\mu_A+\mu_B\right)^3}{\mu_B^3}}=\Omega^2~ (4)$$$\frac{G M_c M_3}{R_0^2}=\omega^2 M_3 R_0$ — уравнение движения земли вокруг Солнца, $\omega=\frac{2 \pi}{T_0}$, где $T_0=1~год$.$$\frac{G M_c}{R_0^3}=\omega^2~ (5) .$$По условию $\beta \approx \frac{R_0}{L} \Rightarrow L=\frac{R_0}{\beta}$.Подставляем в $(4)$: $$\frac{G \mu_B^3\left(\mu_A+\mu_B\right) M_C \beta^3}{R_0^3 \alpha^3\left(\mu_A+\mu_B\right)^3}=\Omega^2.$$Используя $(5)$, получим$$\frac{\mu_B^3 \beta^3}{\alpha^3\left(\mu_A+\mu_B\right)^2}=\frac{\Omega^2}{\omega^2}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^2 .$$Подставляя численное значение, получим $$\frac{\mu_B^3}{\left(2.3+\mu_B\right)^2}=0.092 .$$Решая уравнение на калькуляторе, найдем $\mu_B\approx1.0$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $m_B\approx M_C$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]