text: {"text": [{"text": "Если силу $F$, растягивающую резиновый шнур, увеличить на $\Delta F$, то его длина увеличится на некоторую величину $\Delta l$. При малых значениях $\Delta l$, то есть при $\Delta l\ll l$, изменение силы пропорционально изменению длины (здесь $l$ — длина растянутого силой $F$ шнура): $$\Delta F=k \Delta l$$ где $k$ — коэффициент жёсткости, который определяется упругими свойствами резины и геометрическими размерами шнура. Упругие свойства изотропного материала определяются его модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\mu$. Модуль Юнга $E$ определяет продольную деформацию. В соответствии с законом Гука относительная продольная (вдоль силы) $\varepsilon_l$ деформация шнура при увеличении (уменьшении) растягивающей силы $F$ на небольшую величину $\Delta F$ равна: $$\varepsilon_l=\frac{\Delta l}{l}=\frac{\Delta F}{ES}$$ где $l$ и $S$ — соответственно длина шнура и площадь поперечного сечения шнура, растянутого силой $F$. Коэффициент Пуассона связывает величины продольной (вдоль силы) и поперечных деформаций. Так, при растяжении (сжатии) бруска прямоугольного сечением $a\times b$ небольшое изменение $\Delta a$ и $\Delta b$ его поперечных размеров $a$ и $b$ связаны с продольной деформацией $\Delta l/l$ соотношением: $$\frac{\Delta a}{a}=\frac{\Delta b}{b}=-\mu \frac{\Delta l}{l}$$ $$(\Delta a \ll a, ~~\Delta b \ll b, ~~ \Delta l\ll l).$$ Знак минус отражает тот факт, что при удлинении бруска ($\Delta l>0$ ), его поперечные размеры, как известно, уменьшаются ( $\Delta a, \Delta b<0$ ) и, наоборот, — при укорочении ( $\Delta l<0$ ) — увеличиваются $(\Delta a, \Delta b>0)$. В частности, для резинового шнура при $\varepsilon_l=\Delta l/ l \ll 1$ относительное изменение его диаметра $\varepsilon_{d}:$ $$\varepsilon_d=\frac{\Delta d}{d}=-\mu \frac{\Delta l}{l}$$"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Снимите зависимость относительной длины $l/l_0$ резинового шнура от приложенной силы $F$ вплоть до значений $l\sim 3l_0$, где $l_0$ — длина недеформированного куска шнура."}, {"balls": {"number": "2.0", "exponent": null}, "text": "Выразите коэффициент жёсткости резинового шнура через модуль Юнга и его геометрические параметры."}, {"balls": {"number": "3.0", "exponent": null}, "text": "Предполагая, что модуль Юнга и объём резины в процессе деформации не изменяются, получите теоретическую зависимость $l/l_0$ от $F$."}, {"balls": {"number": "4.0", "exponent": null}, "text": "Сравните экспериментальную зависимость с теоретической, полученной в $п. 3.$"}, {"balls": {"number": "5.0", "exponent": null}, "text": "До каких значений $l/l_0$ модуль Юнга можно считать константой?"}, {"balls": {"number": "6.0", "exponent": null}, "text": "Рассчитайте модуль Юнга $E$ резины."}, {"balls": {"number": "7.0", "exponent": null}, "text": "Найдите теоретическое значение коэффициента Пуассона $\mu$, при котором объём резинового шнура при деформациях не изменяется."}, {"balls": {"number": "8.0", "exponent": null}, "text": "Определите экспериментально коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлен резиновый бинт."}]}
answer: [{"condition": "Снимите зависимость относительной длины $l/l_0$ резинового шнура от приложенной силы $F$ вплоть до значений $l\sim 3l_0$, где $l_0$ — длина недеформированного куска шнура. ", "solution": {"text": "С помощью бруска и струбцины закрепляем резиновый шнур на столе с закреплённой мерной лентой. Растягиваем шнур, подцепив его к динамометру и, используя мерную ленту, снимаем зависимость $l(F)$ (см. таблицу) ( $l$ — длина шнура в сантиметрах, $F$ — показания динамометра, $l /l_0$ — отношение длины резины к длине $l_0$ недеформированного шнура): Таблица 1 Зависимость $l(F)$ Эти измерения удобно проводить следующим образом: закрепляем шнур над шкалой, делаем на шнуре две отметки, расстояние между которыми равно, например, $l_0=30~см$. Подцепляем к шнуру динамометр, растягиваем шнур и измеряем расстояние $l$ между метками на резине в зависимости от показаний динамометра $F$. | $№$ | $F,H$ | $l,\~см$ | $l\_0/l$ | | --- | --- | --- | --- | | 1 | 0 | 30\.0 | 1\.00 | | 2 | 0\.5 | 32\.1 | 0\.94 | | 3 | 1\.0 | 35\.6 | 0\.84 | | 4 | 1\.5 | 39\.6 | 0\.76 | | 5 | 2\.0 | 47\.2 | 0\.64 | | 6 | 2\.5 | 55\.4 | 0\.54 | | 7 | 3\.0 | 64\.3 | 0\.47 | | 8 | 3\.5 | 71\.8 | 0\.42 | | 9 | 4\.0 | 79\.8 | 0\.38 | | 9 | 4\.5 | 86\.3 | 0\.35 | | 10 | 5\.0 | 90\.8 | 0\.33 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $№$ | $F,H$ | $l,\~см$ | $l\_0/l$ | | --- | --- | --- | --- | | 1 | 0 | 30\.0 | 1\.00 | | 2 | 0\.5 | 32\.1 | 0\.94 | | 3 | 1\.0 | 35\.6 | 0\.84 | | 4 | 1\.5 | 39\.6 | 0\.76 | | 5 | 2\.0 | 47\.2 | 0\.64 | | 6 | 2\.5 | 55\.4 | 0\.54 | | 7 | 3\.0 | 64\.3 | 0\.47 | | 8 | 3\.5 | 71\.8 | 0\.42 | | 9 | 4\.0 | 79\.8 | 0\.38 | | 9 | 4\.5 | 86\.3 | 0\.35 | | 10 | 5\.0 | 90\.8 | 0\.33 | Ответ: $№$$F,H$$l,~см$$l_0/l$1030.01.0020.532.10.9431.035.60.8441.539.60.7652.047.20.6462.555.40.5473.064.30.4783.571.80.4294.079.80.3894.586.30.35105.090.80.33  Эти измерения удобно проводить следующим образом: закрепляем шнур над шкалой, делаем на шнуре две отметки, расстояние между которыми равно, например, $l_0=30~см$. Подцепляем к шнуру динамометр, растягиваем шнур и измеряем расстояние $l$ между метками на резине в зависимости от показаний динамометра $F$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите коэффициент жёсткости резинового шнура через модуль Юнга и его геометрические параметры. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: По закону Гука:$\Delta l/l=\Delta F/ES \rightarrow \Delta F=(ES/l)\Delta l=k\Delta l \rightarrow k=ES/l$,где $S=\pi d^2/4$ — поперечное сечение цилиндрического шнура."]}, "number_part": "2.0", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Предполагая, что модуль Юнга и объём резины в процессе деформации не изменяются, получите теоретическую зависимость $l/l_0$ от $F$. ", "solution": {"text": "По закону Гука для небольших деформаций$\mathrm dl/l=\mathrm dF/ES\rightarrow \mathrm dl/l^2=\mathrm dF/ESl=\mathrm dF/ EV=\mathrm dF/EV_0$.Здесь $V=Sl=S_0 l_0=\pi d_0^2l_0/4$ — объём шнура, который, по условию, не изменяется; $l_0$, $d_0$, — длина и диаметр, а $S_0=\pi d_0^2/4$ — площадь сечения недеформированного шнура.Интегрируем уравнение:$ \mathrm dl / l^2=\mathrm dF/EV_0 \rightarrow 1 / l_0-1 / l=F/EV_0 \rightarrow l /l_0=1/\left(1-F/ES_0\right)$ — зависимость $l(F)$ при условии, что модуль Юнга $E$ и объём $V$ резины при деформации не изменятся. Линеаризованный график зависимости $l(F)$Модуль Юнга: $E=(1.1\pm0.1)~МПа$"}, "answer": {"answers": ["<img_0>"]}, "number_part": "3.0", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Сравните экспериментальную зависимость с теоретической, полученной в $п. 3.$  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: В координатах ($F, l_0/l$) график теоретической зависимости $l(F)$ имеет вид прямой линии $l_0/l=1-\beta F$, тангенс угла наклона которой $\beta=1/ES_0$.Для сравнения теории с экспериментом, используя данные таблицы, строим график линеаризованной зависимости $l(F)$, откладывая по оси $\mathrm{OY}$ значения $l_0/l$, а по оси $\mathrm{OX}$ — показания динамометра $F$.Вплоть до значений $l_0/l \sim 0.4-0.5$ график этой зависимости хорошо экстраполируется прямой линией с тангенсом угла наклона$\beta=\Delta\left(l_0/l\right) / \Delta F=-0.18~Н^{-1}$."]}, "number_part": "4.0", "exponent_part": "??"}, {"condition": "До каких значений $l/l_0$ модуль Юнга можно считать константой?  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Поскольку теоретическая зависимость $l(F)$ была получена в предположении $E=\operatorname const$, то естественно предположить, что отклонение от теоретической зависимости при больших деформациях связано с тем, что модуль Юнга при больших напряжениях начинает зависеть от самой деформации, т.е. перестаёт быть величиной постоянной. Как видно из рисунка заметное отклонение экспериментальных точек от линеаризованного графика $l(F)$ наблюдается при длинах шнура $l>\sim 2.5~l_0$."]}, "number_part": "5.0", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Рассчитайте модуль Юнга $E$ резины. ", "solution": {"text": "Экспериментальное значение модуля Юнга определяем по углу наклона $|\beta|=1 ES_0=0.182~Н^{-1}$ экстраполированного прямой $l_0/l=1-\beta F$ линеаризованного графика зависимости $l(F)$:$E=1/|\beta|S_0=4/|\beta|\pi d_0^2=112~Н/см^2=1.12~МПа$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Вывод: модуль Юнга в пределах точности эксперимента является постоянной величиной $E=(110\pm10)~Н/см^2$ при $l/l_0 < \sim 2.2$."]}, "number_part": "6.0", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите теоретическое значение коэффициента Пуассона $\mu$, при котором объём резинового шнура при деформациях не изменяется.  ", "solution": {"text": "Для шнура цилиндрической формы длиной $l$ и диаметром $d$ объём:$V=1/4ld^{2} \rightarrow d^{2}=4 V /l$.Возьмём «логарифмическую производную» последнего выражения, т.е. прологарифмируем обе его части и найдём их дифференциалы, считая ${V}=\operatorname {const}$. Получим:$2 \Delta d/d=-\Delta l/ l \rightarrow$$\Delta d/d=-1/2 \Delta l/ l \rightarrow$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\mu=-1/2$ — при таком значении коэффициента Пуассона объём материала при его деформациях не изменяется."]}, "number_part": "7.0", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите экспериментально коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлен резиновый бинт. ", "solution": {"text": "Найдём теоретическую зависимость ширины ленты $b/b_{0}$ от длины $l/l_{0}$ при её растяжении.Эта зависимость получается из дифференциального уравнения, определяющего коэффициент Пуассона:$db/b=-\mu dl/l\rightarrow$$b/b_{0}=\left(l/l_{0}\right)^{-\mu}$ <img_2> Таблица 2 Зависимость $b(l)$ $l,~мм$$b,~мм$$\ln b$$\ln l$155 $(l_0)$50 $(b_0)$3.915.0418047.53.865.1920045.53.825.322044.03.785.3923843.03.765.4727041.03.715.629240.03.695.6730739.03.665.73 Для определения коэффициента Пуассона построим график зависимости $b (l)$ в двойном логарифмическом масштабе. В таком масштабе эта зависимость представляет собой прямую линию, с тангенсом угла $\alpha$ наклона, равным коэффициенту Пуассона $\mu=-\operatorname{tg} \alpha$:$\ln {b}={C}-\mu \ln l$. Линеаризованный график зависимости ${b}(l)$ строим, используя данные Таблицы № 2: | $l,\~мм$ | $b,\~мм$ | $\\ln b$ | $\\ln l$ | | --- | --- | --- | --- | | 155 $(l\_0\)$ | 50 $(b\_0\)$ | 3\.91 | 5\.04 | | 180 | 47\.5 | 3\.86 | 5\.19 | | 200 | 45\.5 | 3\.82 | 5\.3 | | 220 | 44\.0 | 3\.78 | 5\.39 | | 238 | 43\.0 | 3\.76 | 5\.47 | | 270 | 41\.0 | 3\.71 | 5\.6 | | 292 | 40\.0 | 3\.69 | 5\.67 | | 307 | 39\.0 | 3\.66 | 5\.73 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Коэффициент Пуассона $\mu=0.36$", "<img_1>", "Ответ: График хорошо экстраполируется прямой $y=5.72-0.36{x} \rightarrow$ Коэффициент Пуассона резины, из которой изготовлена лента, $\mu=0.36$."]}, "number_part": "8.0", "exponent_part": "??"}]