text: {"text": [{"text": "Рассмотрим широкий проводящий лист, удельным поверхностным сопротивлением $\rho_s$. Два маленьких электрода расположены в точках $A$ и $B$ на расстоянии $s=|AB|$ друг от друга. Сопротивление между этими точками равно $R_1$. Из листа вырезают круг радиуса $r$, с центром в точке $O$, такой, что $\angle AOB=\theta$ и $|OA|=|OB| < r$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Обозначив новое сопротивление между точками $A$ и $B$ как $R_2$, найдите разность сопротивлений: $\Delta=R_2 - R_1$."}]}
answer: [{"condition": "Обозначив новое сопротивление между точками $A$ и $B$ как $R_2$, найдите разность сопротивлений: $\Delta=R_2 - R_1$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим растекание тока $I$ от одного электрода по поверхности листа. Пусть толщина листа равна $h$. Тогда на расстоянии $r$ от электрода плотность тока $j$ в силу симметрии равна:$$j(r)=\frac{I}{2\pi rh}$$Из закона Ома в дифференциальной форме получим:$$\vec{E}=\vec{j}\rho$$Учитывая, что $\rho_s=\displaystyle\frac{\rho}{h}$, найдём электрическое поле в пластине на расстоянии $r$ от электрода$$\vec{E}=\frac{I\rho_s}{2\pi r}\vec{e}_r$$Таким образом, электрическое поле, возникающее в пластине, эквивалентно полю бесконечной заряженной нити, расположенной перпендикулярно листу в месте нахождения электрода.При протекании электрического тока между электродами электрическое поле в пластине эквивалентно полю двух бесконечных заряженных нитей с некоторыми линейными плотностями $\lambda$ и $-\lambda$, расположенных в точках $A$ и $B$ соответственно перпендикулярно листу, что напрямую следует из наложения токов друг на друга.Подключим электроды к кругу, как сказано в условии. Сразу отметим, что на его границе должна отсутствовать нормальная компонента вектора плотности тока $j_n$, а значит и нормальная компонента электрического поля $E_n$, поскольку заряд не может вытекать из круга в окружающую среду. Это приводит к перераспределению зарядов в объёме круга, чтобы создать электрическое поле, удовлетворяющее данному граничному условию, а также условию постоянства во времени заряда круга. Таким образом, задача свелась к нахождению распределения электрического поля внутри круга.Для этого решим следующую электростатическую задачу: Рассмотрим бесконечную заряженную с линейной плотностью заряда $\lambda_1$ нить $O_1$, расположенную внутри цилиндра радиуса $R$ на расстоянии $l < R$ от его оси $O$.Необходимо найти систему зарядов, компенсирующих нормальную компоненту электрического поля нити $O_1$ на поверхности цилиндра в любой его точке.Для нормальной компоненты поля нити $O_1$ имеем:$$E_{1_\perp}=\frac{k\lambda_1(R-l\cos\varphi)}{R^2+l^2-2Rl\cos\varphi}$$Вводя величину $a=\displaystyle\frac{l}{R}$, получим:$$E_{1_\perp}=\frac{k\lambda_1}{R}\frac{1-a\cos\varphi}{1+a^2-2a\cos\varphi}=\frac{k\lambda_1}{R}\left(1+\frac{a(\cos\varphi-a)}{1+a^2-2a\cos\varphi}\right)$$Далее, рассмотрим нить $O_2$ с некоторой линейной плотностью заряда $\lambda_2$, расположенную на расстоянии $L < R$ от оси цилиндра:$$E_{2_\perp}=\frac{k\lambda_2(R-L\cos\varphi)}{R^2+L^2-2RL\cos\varphi}$$Вводя величину $b=\frac{R}{L}$$$E_{2_\perp}=\frac{k\lambda_2}{L}\frac{b-\cos\varphi}{1+b^2-2b\cos\varphi}$$Как можно увидеть, при $a=b$ дроби, зависящие от $\varphi$, совпадают. Суммарная нормальная компонента электрического поля на поверхности цилиндра равна:$$E_{\perp}=E_{1_\perp}+E_{2_\perp}=\frac{k\lambda_1}{R}+\frac{k(\cos\varphi-a)}{1+a^2-2a\cos\varphi}\left(\frac{\lambda_1a}{R}-\frac{\lambda_2}{L}\right)$$Отсюда видно, что при $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ нормальная компонента электрического поля является постоянной и равной $E_\perp=\frac{k\lambda}{R}$. Таким образом, для компенсации нормальной компоненты электрического поля на поверхности цилиндра к системе также нужно добавить нить с линейной плотностью заряда $-\lambda$, расположенную на оси цилиндра.Далее, отметим, что при рассмотрении пары нитей с линейным плотностями заряда $\lambda$ и $-\lambda$ нити, расположенные на оси цилиндра, компенсируют друг друга, и распределение электрического поля создаётся лишь четырьмя нитями $A$, $A_1$, $B$ и $B_1$.Для сопротивления между электродами $A$ и $B$ имеем:$$R_2=\frac{\varphi_A-\varphi_B}{I}=R_1+\frac{\Delta{\varphi}_{A_1}+\Delta{\varphi}_{B_1}}{I}$$где $\Delta{\varphi}_{A_1}$ и $\Delta{\varphi}_{B_1}$ - разности потенциалов между точками $A$ и $B$. создаваемые нитями, расположенными в точках $A_1$ и $B_1$. Для них имеем:$$\Delta{\varphi}_{A_1}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\int\limits_{A_1A}^{A_1B}\frac{dr}{r}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\ln\frac{A_1B}{A_1A}\quad\Delta{\varphi}_{B_1}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\int\limits_{B_1B}^{B_1A}\frac{dr}{r}=\frac{I\rho_s}{2\pi}\ln\frac{B_1A}{B_1B}$$В нашей задаче$$AA_1=BB_1=\frac{2R^2\cos\frac{\varphi}{2}}{s}-\frac{s}{2\cos\frac{\varphi}{2}}$$$$A_1B=AB_1=\sqrt{s^2+\left(\frac{2R^2\cos\frac{\varphi}{2}}{s}-\frac{s}{2\cos\frac{\varphi}{2}}\right)^2+2s\left(\frac{2R^2\cos\frac{\varphi}{2}}{s}-\frac{s}{2\cos\frac{\varphi}{2}}\right)\sin\frac{\varphi}{2}}$$откуда окончательно получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta=\frac{\rho_s}{\pi}\ln\sqrt{\left(\frac{2s^2\cos\frac{\varphi}{2}}{4R^2\cos^2\frac{\varphi}{2}-s^2}\right)^2+1+\frac{2s^2\sin\varphi}{4R^2\cos^2\frac{\varphi}{2}-s^2}} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]