text: {"text": [{"text": "Сопротивление фоторезистора зависит от мощности света, попадающего на его рабочую поверхность (см. рисунок 1). Зависимость сопротивления $R$ от мощности падающего света $P$ можно описать степенной функцией:$$ R = \alpha P^{1/n}, $$где $\alpha$ — неизвестный размерный коэффициент. <img_0>"}, {"text": "Часть A В этой части вам предстоит определить степень $n$ в предложенной теоретической зависимости. <img_1> У фонарика есть три режима работы: яркий, тусклый и мигающий, которые переключаются последовательным нажатием кнопки вкл/выкл."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "3,00"}, "text": "Направляя фоторезистор на фонарик, снимите зависимость сопротивления фоторезистора $R$ от расстояния между фонариком и фоторезистором $r$. Измеряйте также сопротивление фоторезистора при фоновом освещении."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,40"}, "text": "Используя уравнение $(1)$, получите выражение, связывающее сопротивление $R$ и расстояние $r$. Данное выражение может включать в себя неизвестную мощность фонового освещения."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,40"}, "text": "Используя полученную в п. зависимость определите показатель степени $n$. зависимость определите показатель степени $n$. зависимость определите показатель степени $n$. зависимость определите показатель степени $n$. зависимость определите показатель степени $n$. зависимость определите показатель степени $n$. зависимость определите показатель степени $n$."}, {"text": "Часть B В этой части предлагается определить диаграмму направленности для фоторезистора. <img_2>"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,40"}, "text": "Используя полученные данные, оцените, при каком расстоянии между фонариком и резистором можно пренебречь влиянием фона. При расчетах считайте мощность фонового освещения в $10$ раз меньше мощности света от фонарика, попадающего на фоторезистор."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "4,00"}, "text": "С помощью предложенной установки (рис. 3) измерьте зависимость коэффициента чувствительности $\theta$ фоторезистора от угла падения света $\varphi$ с максимальной точностью. Укажите параметры вашей установки, которые вы использовали для данных измерений."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,40"}, "text": "Постройте диаграмму направленности на графике в полярных координатах."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,40"}, "text": "Определите рабочий диапазон углов $\varphi$ для исследуемого фоторезистора. <img_3> <img_4>"}]}
answer: [{"condition": "Направляя фоторезистор на фонарик, снимите зависимость сопротивления фоторезистора $R$ от расстояния между фонариком и фоторезистором $r$. Измеряйте также сопротивление фоторезистора при фоновом освещении. ", "solution": {"text": "Соберем установку в соответствии с рис. 2. Убедимся, что линейка, прилегающая к струбцине, опирается на оба ребра струбцины и не изгибается под давлением клипсы. Убедимся, что длинные линейки установлены строго вертикально. Поставим фонарик непосредственно под фоторезистором. Опустим короткую линейку с фоторезистором до положения, при котором светодиод фонарика окажется прижатым к торцу бумажного цилиндра. Измерим зависимость $R(r)$. Будем периодически закрывать фонарь деревянной линейкой с иглой и измерять сопротивление резистора при фоновом освещении $R_{ф}$. При измерениях важно не менять положения своего тела, так как это сильно влияет на значение фонового сопротивления. Сопротивление фоторезистора при фоновом освещении в авторском эксперименте при неизменном положении тела экспериментатора варьировались от $30~кОм$ до $40~кОм$. | $r,\~ мм$ | 42 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 106 | 129 | 156 | 181 | 207 | 235 | 262 | 291 | 322 | 356 | 391 | | $\\ln ({r}/{r\_0})$ | 3\.74 | 3\.81 | 3\.91 | 4\.01 | 4\.09 | 4\.17 | 4\.25 | 4\.32 | 4\.38 | 4\.44 | 4\.50 | | $\\ln ({R}/{R\_0})$ | 4\.66 | 4\.86 | 5\.05 | 5\.20 | 5\.33 | 5\.46 | 5\.57 | 5\.67 | 5\.77 | 5\.87 | 5\.97 | | | | | | | | | | | | | |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $r,\~ мм$ | 42 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 106 | 129 | 156 | 181 | 207 | 235 | 262 | 291 | 322 | 356 | 391 | | $\\ln ({r}/{r\_0})$ | 3\.74 | 3\.81 | 3\.91 | 4\.01 | 4\.09 | 4\.17 | 4\.25 | 4\.32 | 4\.38 | 4\.44 | 4\.50 | | $\\ln ({R}/{R\_0})$ | 4\.66 | 4\.86 | 5\.05 | 5\.20 | 5\.33 | 5\.46 | 5\.57 | 5\.67 | 5\.77 | 5\.87 | 5\.97 | | | | | | | | | | | | | | | $r,\~ мм$ | 95 | 100 | 105 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 180 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 415 | 451 | 491 | 536 | 607 | 700 | 790 | 877 | 971 | 1164 | | $\\ln ({r}/{r\_0})$ | 4\.55 | 4\.61 | 4\.65 | 4\.70 | 4\.79 | 4\.87 | 4\.94 | 5\.01 | 5\.08 | 5\.19 | | $\\ln ({R}/{R\_0})$ | 6\.03 | 6\.11 | 6\.20 | 6\.28 | 6\.41 | 6\.55 | 6\.67 | 6\.78 | 6\.88 | 7\.06 | | | | | | | | | | | | | | $r,\~ мм$ | 200 | 220 | 240 | 280 | 320 | 360 | 400 | 440 | 480 | 520 | | $R, \~Ом$ | 1386 | 1603 | 1835 | 2370 | 2940 | 3540 | 4230 | 4960 | 5720 | 6520 | | $\\ln ({r}/{r\_0})$ | 5\.30 | 5\.39 | 5\.48 | 5\.63 | 5\.77 | 5\.89 | 5\.99 | 6\.09 | 6\.17 | 6\.25 | | $\\ln ({R}/{R\_0})$ | 7\.23 | 7\.38 | 7\.51 | 7\.77 | 7\.99 | 8\.17 | 8\.35 | 8\.51 | 8\.65 | 8\.78 | Ответ: $r,~ мм$4245505560657075808590$R, ~Ом$106129156181207235262291322356391$\ln ({r}/{r_0})$3.743.813.914.014.094.174.254.324.384.444.50$\ln ({R}/{R_0})$4.664.865.055.205.335.465.575.675.775.875.97$r,~ мм$95100105110120130140150160180$R, ~Ом$4154514915366077007908779711164$\ln ({r}/{r_0})$4.554.614.654.704.794.874.945.015.085.19$\ln ({R}/{R_0})$6.036.116.206.286.416.556.676.786.887.06$r,~ мм$200220240280320360400440480520$R, ~Ом$1386160318352370294035404230496057206520$\ln ({r}/{r_0})$5.305.395.485.635.775.895.996.096.176.25$\ln ({R}/{R_0})$7.237.387.517.777.998.178.358.518.658.78"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Используя уравнение $(1)$, получите выражение, связывающее сопротивление $R$ и расстояние $r$. Данное выражение может включать в себя неизвестную мощность фонового освещения. ", "solution": {"text": "Для определения степени $n$ запишем выражение для мощности света, падающего на фоторезистор: \begin{equation} P = P_{фон}+\frac{I}{r^2}, \end{equation} где $P_{фон}$ — мощность фонового света, а слагаемое ${I}/{r^2}$ — мощность света, попадающего на фоторезистор от фонарика. Мощность света фонарика убывает обратно пропорционально квадрату расстояния $r$ между фоторезистором и светодиодом фонарика, так как размеры светодиода пренебрежимо малы по сравнению с характерными исследуемыми расстояниями между фонариком и фоторезистором. Из выражения $(3)$ видно, что при небольших расстояниях $r$, второе слагаемое будет иметь больший вклад. Однако при малых расстояниях существенная доля световой энергии может падать на фоторезистор за счет отражения от внутренних стенок цилиндра и измерения могут отклониться от предложенной модели. То есть в некоторой области расстояний, которая ограничена сверху и снизу, выражение для мощности падающего на фоторезистор света можно записать как: \begin{equation} P = \frac{I}{r^2}. \end{equation} Для диапазона расстояния, в котором зависимость может быть описан формулой 4 для сопротивления фоторезистора можно написать: \begin{equation} R = \alpha P^{1/n} = \frac{\alpha I^{1/n}}{r^{2/n}} \end{equation} Прологарифмируем полученное выражение:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} \ln R = \ln \left(\alpha I^{1/n}\right) -\frac{2}{n}\,\ln r\end{equation}"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Используя полученную в п. A1 зависимость определите показатель степени $n$. ", "solution": {"text": "Построим график $\ln(R)$ от $\ln(r)$ и определим коэффициент его наклона $k$ в диапазоне линейности графика. <img_5> Найдем угловой коэффициент наклона графика $k=1.6$. Используя это значение, рассчитаем величину степени $n$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} n =-2/k = -1{.}25\end{equation}"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Используя полученные данные, оцените, при каком расстоянии между фонариком и резистором можно пренебречь влиянием фона. При расчетах считайте мощность фонового освещения в $10$ раз меньше мощности света от фонарика, попадающего на фоторезистор. ", "solution": {"text": "Пусть сопротивление фоторезистора равно $R_{фон}$ при освещении фоновым излучением с мощностью $P_{фон}$. Пусть фоторезистор дополнительно освещается фонариком и падающая от фонарика мощность $P_{фонар}=10P_{фон}$ в десять раз большей чем мощность фонового излучения. Тогда полная мощность излучения, падающего на фоторезистор, равна сумме мощности фонового излучения и мощности излучения фонарика в данной точке: \begin{equation} P=P_{фонар}+P_{фон}=11P_{фон}. \end{equation} Назовем $R_{пр}$ сопротивление фоторезистора, которое соответствует максимальному сопротивлению, при котором мы еще можем пренебречь фоновым излучением. Найдем отношение сопротивления фоторезистора $R_{пренебреж}$ и сопротивления при фоновом освещении: \begin{equation} \left(\frac{R_{пр}}{R_ф}\right) = \left(\frac{P}{P_ф} \right)^{1/n}=11^{-1/1.25} = 0.147. \end{equation} Тогда, поскольку измеренное значение сопротивления фоторезистора при освещении только фоновым излучением равно $R_ф=(35\pm5) \ кОм$, легко рассчитать величину сопротивления $R_{пр}$: \begin{equation} R_{пр}=0.147\cdot R_{ф}=(5.2\pm0.7) \ кОм. \end{equation} Найдем соответствующее найденному сопротивлению расстояние между фоторезистором и светодиодом фонарика по таблице измерений: При расстояниях между фонариком и фоторезистором больше, чем $r_{пр}$ нельзя пренебречь фоновым излучением."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[r_{пр}=(450\pm50) \ мм\]  При расстояниях между фонариком и фоторезистором больше, чем $r_{пр}$ нельзя пренебречь фоновым излучением."]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "С помощью предложенной установки (рис. 3) измерьте зависимость коэффициента чувствительности $\theta$ фоторезистора от угла падения света $\varphi$ с максимальной точностью. Укажите параметры вашей установки, которые вы использовали для данных измерений. ", "solution": {"text": "Соберем установку в соответствии с рис. 3 условия задачи. Разместим фонарик на расстоянии $15~см$ от оси вращения фоторезистора, то есть от иглы, воткнутой в линейку. Чтобы подвижная линейка при вращении относительно иглы оставалась вертикальной, прикрепим к задней части подвижной линейки клипсу, которая будет выполнять роль дополнительной точки опоры. Измерим зависимость сопротивления фоторезистора от угла поворота линейки. За ноль отсчета угла выберем направление, в котором плоскость фоторезистора перпендикулярна направлению на фонарик. В этой части важно учитывать зависимость мощности фонового освещения от угла поворота фоторезистора, так как она может существенно изменяться в зависимости от направления угла обзора фоторезистора в установке. Чтобы определить коэффициент $\theta$, получим связь между измеряемыми сопротивлениями и мощностью излучений. Запишем выражение $(1)$ для случая измерений с включенным фонариком: \begin{equation} R(\varphi) = \alpha \Big(P_{фон}(\varphi)+P_{фонар}(\varphi)\Big)^{1/n}. \end{equation} При выключенном фонарике можем измерить сопротивление фоторезистора соответствующее мощности только фонового излучения. Это сопротивление зависит от мощности фонового излучения следующим образом: \begin{equation} R_{фон}(\varphi) = \alpha \Big(P_{фон}(\varphi)\Big)^{1/n}. \end{equation} Таким образом получаем: \begin{equation} R^n(\varphi) = R_{фон}^n(\varphi)+\alpha P_{фонар}(\varphi) = R_{фон}^n(\varphi) + \alpha P_{0}\theta(\varphi). \end{equation} Выразим $\theta$: \begin{equation} \theta = \frac{R^n(\varphi)-R_{фон}^n(\varphi)}{\alpha P_0}. \end{equation} Необходимо нормировать коэффициент чувствительности на единицу. Мощность $P_0$ освещения от фонарика в некоторой точке пространства, в которой располагается фоторезистор, остается постоянной. Максимуму коэффициента $\theta$ соответствует угол $0^о$ поворота линейки. Таким образом итоговое выражение для коэффициента чувствительности фоторезистора: \begin{equation} \theta = \frac{R^n(\varphi)-R_{фон}^n(\varphi)}{R^n(0^о)-R_{фон}^n(0^о)} \end{equation} Измерим зависимость $R$ и $R_{фон}$ от угла $\varphi$: | $\\varphi, \~^\\circ $ | \-90 | \-85 | \-80 | \-75 | \-70 | \-65 | \-60 | \-55 | \-50 | \-45 | \-40 | \-35 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 2110 | 2070 | 1930 | 1730 | 1590 | 1440 | 1340 | 1261 | 1208 | 1165 | 1123 | 1081 | | $R\_{фон}, \~Ом$ | 2210 | 2240 | 2260 | 2320 | 280 | 2410 | 2430 | 2480 | 2460 | 2500 | 2550 | 2530 | | $\\theta$ | 0\.03 | 0\.05 | 0\.11 | 0\.21 | 0\.30 | 0\.41 | 0\.50 | 0\.59 | 0\.64 | 0\.70 | 0\.77 | 0\.82 | | | | | | | | | | | | | | |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $\\varphi, \~^\\circ $ | \-90 | \-85 | \-80 | \-75 | \-70 | \-65 | \-60 | \-55 | \-50 | \-45 | \-40 | \-35 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 2110 | 2070 | 1930 | 1730 | 1590 | 1440 | 1340 | 1261 | 1208 | 1165 | 1123 | 1081 | | $R\_{фон}, \~Ом$ | 2210 | 2240 | 2260 | 2320 | 280 | 2410 | 2430 | 2480 | 2460 | 2500 | 2550 | 2530 | | $\\theta$ | 0\.03 | 0\.05 | 0\.11 | 0\.21 | 0\.30 | 0\.41 | 0\.50 | 0\.59 | 0\.64 | 0\.70 | 0\.77 | 0\.82 | | | | | | | | | | | | | | | | $\\varphi, \~^\\circ $ | \-30 | \-25 | \-20 | \-15 | \-10 | \-5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 1057 | 1029 | 1009 | 1003 | 993 | 987 | 993 | 995 | 1005 | 1013 | 1039 | 1062 | 1096 | | $R\_{фон}, \~Ом$ | 2570 | 2570 | 2620 | 2650 | 2640 | 2630 | 2670 | 2660 | 2690 | 2670 | 2700 | 2650 | 2680 | | $\\theta$ | 0\.87 | 0\.91 | 0\.96 | 0\.97 | 0\.99 | 1\.00 | 1\.00 | 0\.99 | 0\.98 | 0\.96 | 0\.92 | 0\.88 | 0\.83 | | | | | | | | | | | | | | | | | $\\varphi, \~^\\circ $ | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $R, \~Ом$ | 1131 | 1173 | 1219 | 1266 | 1328 | 1418 | 1520 | 1665 | 1813 | 1996 | 2140 | 2180 | | $R\_{фон}, \~Ом$ | 2640 | 2690 | 2630 | 2610 | 2560 | 2530 | 2480 | 2440 | 2410 | 2370 | 3320 | 2280 | | $\\theta$ | 0\.78 | 0\.73 | 0\.67 | 0\.61 | 0\.54 | 0\.46 | 0\.37 | 0\.27 | 0\.19 | 0\.11 | 0\.05 | 0\.03 | | | | | | | | | | | | | | | Ответ: $\varphi, ~^\circ $-90-85-80-75-70-65-60-55-50-45-40-35$R, ~Ом$211020701930173015901440134012611208116511231081$R_{фон}, ~Ом$22102240226023202802410243024802460250025502530$\theta$0.030.050.110.210.300.410.500.590.640.700.770.82$\varphi, ~^\circ $-30-25-20-15-10-5051015202530$R, ~Ом$105710291009100399398799399510051013103910621096$R_{фон}, ~Ом$2570257026202650264026302670266026902670270026502680$\theta$0.870.910.960.970.991.001.000.990.980.960.920.880.83$\varphi, ~^\circ $354045505560657075808590$R, ~Ом$113111731219126613281418152016651813199621402180$R_{фон}, ~Ом$264026902630261025602530248024402410237033202280$\theta$0.780.730.670.610.540.460.370.270.190.110.050.03"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "4,00"}, {"condition": "Постройте диаграмму направленности на графике в полярных координатах. ", "solution": {"text": "Нанесем измеренную зависимость на график в полярных координатах."}, "answer": {"answers": ["<img_6>"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Определите рабочий диапазон углов $\varphi$ для исследуемого фоторезистора. Рабочим диапазоном фоторезистора назовем такие углы, для которых коэффициент чувствительности $\theta$ более $70\%$.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Найдем область углов, в которой коэффициент чувствительности принимает значения больше $0.7$. Получаем, что рабочий диапазон углов исследуемого в задаче фоторезистор составляет:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[-40^\circ < \varphi < 40^\circ\]", "solution": {"text": "Найдем область углов, в которой коэффициент чувствительности принимает значения больше $0.7$. Получаем, что рабочий диапазон углов исследуемого в задаче фоторезистор составляет:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[-40^\circ < \varphi < 40^\circ\]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]