text: {"text": [{"text": "В свободном пространстве на окружности радиуса $R_{0}$ в вершинах вписанного квадрата расположены четыре точечные массы $m$. Две из них несут заряд $+q$, а две другие $-q$ (см. рисунок). <img_0> В начальный момент этим материальным точкам сообщают одинаковые по модулю скорости, направленные по касательной к окружности по часовой стрелке. Известно, что достигаемое в процессе движения минимальное расстояние от любой из точечных масс до центра $O$ начальной окружности равно $R_{1}$ $(R_{1} < R_{0})$. Предположим, что за время наблюдения симметрия системы относительно оси симметрии $O$ не нарушается. Пренебрегая действием гравитационных сил:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите траектории движения материальных точек."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите период движения материальных точек."}]}
answer: [{"condition": "Определите траектории движения материальных точек. ", "solution": {"text": "Вследствие симметрии все материальные точки будут двигаться по одинаковым траекториям, оставаясь в каждый момент времени на окружности некоторого переменного радиуса $r(t)$ и в вершинах квадрата со сторонами $a=\sqrt{2} r$. На каждую материальную точку действуют три силы $\vec{F}_{1}$, $\vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$ (см. рисунок). <img_1> По закону Кулона модули этих сил: $$ F_{1}=F_{2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{2 r^{2}}, \quad F_{3}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{4 r^{2}}. $$ Результирующая сила всегда направлена к центру (точка $O$), a её модуль равен $$ F(r)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{q^{2}}{2 r^{2}} \sqrt{2}-\frac{q^{2}}{4 r^{2}}\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r^{2}}\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right). $$ Отсюда следует, что каждая из материальных точек движется так, как если бы из центра её притягивал заряд, противоположный по знаку и равный по абсолютной величине: $$ Q=q\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right). $$ Формула для $F(r)$ аналогична закону Кулона (или закону всемирного тяготения), то есть $F(r) \sim 1 / r^{2}$. Поэтому траектории точек эллипсы с большой осью $R_{0}+R_{1}$. Точка $O$ находится в одном из фокусов этих эллипсов."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Траектории точек эллипсы с большой осью $R_{0}+R_{1}$. Точка $O$ (центр) находится в одном из фокусов этих эллипсов."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите период движения материальных точек. ", "solution": {"text": "Период $T$ обращения точек по эллиптической орбите может быть найден из третьего закона Кеплера. Найдём сначала период $T_{0}$ обращения точечной массы $m$, движущейся под действием силы $F(r)$ по круговой орбите радиуca $r=R_{0}$: $$ T_{0}=\frac{2 \pi R_{0}}{v_{0}}, \quad \frac{m v_{0}^{2}}{R_{0}}=F\left(R_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{R_{0}^{2}}\left(\frac{2 \sqrt{2}-1}{4}\right). $$ Из этих соотношений следует: $$ v_{0}=q\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{2 \sqrt{2}-1}{4 m R_{0}}\right)^{1 / 2}. $$ Такая скорость должна быть сообщена материальным точкам, чтобы они двигались по окружности радиуса $R_{0}$. Тогда $$ T_{0}=\frac{2 \pi}{q}\left(4 \pi \varepsilon_{0} \frac{4 m R_{0}^{3}}{2 \sqrt{2}-1}\right)^{1 / 2}. $$ По третьему закону Кеплера: $$ \left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{2}=\left(\frac{R_{0}+R_{1}}{2 R_{0}}\right)^{3}, $$ откуда $$ T=T_{0}\left(\frac{R_{0}+R_{1}}{2 R_{0}}\right)^{3 / 2}. $$ Используя формулу для $T_{0}$, получим период движения точек: $$ T=\frac{2 \pi}{q}\left(4 \pi \varepsilon_{0} \frac{m\left(R_{0}+R_{1}\right)^{3}}{2(2 \sqrt{2}-1)}\right)^{1 / 2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=\frac{2 \pi}{q}\left(4 \pi \varepsilon_{0} \frac{m\left(R_{0}+R_{1}\right)^{3}}{2(2 \sqrt{2}-1)}\right)^{1 / 2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]