text: {"text": [{"text": "На заводе воду в бутылках (см. рисунок) обезгаживают (извлекают растворенный воздух), газируют углекислым газом до насыщения при температуре $t_{1}=4 ^ \circ С$ и давлении $p_{1}=150~кПа$, а затем герметично закрывают и отправляют на склад, где температура воздуха согласно условиям хранения не превышает $t_{2}=35 ^ \circ С$. <img_0> Пренебрегая изменением объёма жидкости в бутылке, определите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Минимальный объём надводной части $V_{0}$, если максимальное давление в бутылке при хранении $p_{2}=370~кПа$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Уровень $x$, до которого на заводе наливают воду, соответствующий этому объёму. Масса воды в бутылке $m_{в}=2~кг$, молярная масса углекислого газа $\mu=44~г/моль$. Геометрические размеры бутылки: $d=3~см$, $b=10~см$, $h=27~см$, $H=30~см$, $D=13~см$. Примечание. Считайте, что растворимость газов $\sigma$ при постоянной температуре пропорциональна их парциальному давлению над жидкостью (закон Генри), а график зависимости растворимости углекислого газа в воде от температуры при его парциальном давлении $p_{0}=100~кПа$ дан на рисунке ниже. Парциальным давлением паров воды в данном диапазоне температур можно пренебречь. Растворимость $\sigma$~-~это масса газа (в граммах), растворённого в $1~кг$ жидкости. <img_1>"}]}
answer: [{"condition": "Минимальный объём надводной части $V_{0}$, если максимальное давление в бутылке при хранении $p_{2}=370~кПа$. ", "solution": {"text": "При увеличении температуры в объёме $V$ между поверхностью воды и крышкой увеличивается давление газа. Это происходит из-за уменьшения растворимости углекислого газа и его выхода из жидкости. В предельном случае при максимальной температуре $t_{2}$ внутри бутылки должно оказаться максимально допустимое давление $p_{2}$. Найдём массу углекислого газа, которая дополнительно окажется в объёме $V$ при повышении температуры с $t_{1}$ до $t_{2}$. Для этого определим растворимости углекислого газа при этих температурах, воспользовавшись графиком и законом Генри: $$ \sigma_{1}=\sigma_{1}^{\prime} \frac{p_{1}}{p_{0}} \approx 4.50~{г/кг}, \quad \sigma_{2}=\sigma_{2}^{\prime} \frac{p_{2}}{p_{0}} \approx 4.07~{г/кг}, $$ где $\sigma_{1}^{\prime}=3~{г/кг}$ и $\sigma_{2}^{\prime}=1.1~{г/кг}$ - растворимости при температурах $t_{1}$ и $t_{2}$ при атмосферном давлении, найденные из графика. Таким образом, из-за роста температуры в объёме $V$ масса углекислого газа увеличилась на $\Delta m=\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right) m_{В}=0.86~г$. Также необходимо учесть массу $m_{1}$ углекислого газа, который находился над поверхностью воды при герметизации бутылки. Тогда общая масса углекислого газа равна $$ m_{2}=m_{1}+\Delta m=\frac{p_{1} V \mu}{R T_{1}}+\Delta m. $$ Давление углекислого газа в критическом случае равно $p_{2}$ : $$ p_{2} V=\frac{m_{2}}{\mu} R T_{2}=p_{1} V \frac{T_{2}}{T_{1}}+\frac{\Delta m}{\mu} R T_{2}. $$ Таким образом, минимальный надводный объём бутылки $$ V=\frac{\Delta m}{\mu} \frac{R T_{1} T_{2}}{p_{2} T_{1}-p_{1} T_{2}} \approx 250~см^{3}. $$ Объём $V$ складывается из верхнего цилиндрического объёма $V_{1}=\pi d^{2}(H-h) / 4 \approx$ $\approx 21.2~см^{3}$ и объема $V_{2}$ нижнего усечённого конуса (см. рисунок). <img_2> Для расчётов удобно разбить объём фигуры по-другому: объём $V_{к}$ конуса и объём $V_{0}$, оставшийся от цилиндра после изъятия конуса (на рисунке заштрихован): $$ V_{0}=21.2~см^{3}-\pi d^{2}(H-h) / 12 \approx 14.1~см^{3}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ V_{0}=21.2~см^{3}-\pi d^{2}(H-h) / 12 \approx 14.1~см^{3} $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Уровень $x$, до которого на заводе наливают воду, соответствующий этому объёму. ", "solution": {"text": "Итак, $$ V=14.1~см^{3}+\frac{\pi y^{3}}{12} \approx 250~см^{3}, $$ откуда $y \approx 10~см$. Наконец, допустимый уровень жидкости: $$ x=H-y \approx 20~см. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ x=H-y \approx 20~см. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]