text: {"text": [{"text": "Электрическая цепь состоит из двух одинаковых нелинейных элементов $X$, потенциометра, сопротивление между неподвижными контактами которого $R= 100~Ом$, и идеальной батарейки с напряжением $U_{0} = 10~В$ (см. рисунок). <img_0> Вольт-амперная характеристика элемента $X$ приведена на рисунке ниже. <img_1> Определите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при крайних положениях движка потенциометра."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при положении движка потенциометра в центре."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Минимальную суммарную мощность, выделяющуюся на двух нединейных элементах. При каких положениях движка потенциометра эта мощность достигается? Ответ обоснуйте."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при положении движка потенциометра, в котором сопротивление его левого плеча равно $25~ Ом$."}]}
answer: [{"condition": "Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при крайних положениях движка потенциометра. ", "solution": {"text": "При крайних положениях движка реостата напряжение на одном из элементов $X$ равно нулю, а на втором $10~В$. Из графика видно, что через второй элемент при этом течёт ток $(200 \pm 2)~мА$, значит, суммарная мощность $W_{1}=(0+10\cdot0.2)~Вт=(2.00 \pm 0.02)~Вт$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ W_{1}=(2.00 \pm 0.02)~Вт. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при положении движка потенциометра в центре. ", "solution": {"text": "При центральном положении реостата получаем симметричную цепь, следовательно, напряжение на каждом из элементов $X$ будет $5~В$. По графику ток равен $(60 \pm 3)~мА$, и суммарная мощность $W_{2}=(2 \cdot 5 \cdot 0.06)~Вт=(0.60 \pm 0.03)~Вт$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ W_{2}=(0.60 \pm 0.03)~Вт. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Минимальную суммарную мощность, выделяющуюся на двух нединейных элементах. При каких положениях движка потенциометра эта мощность достигается? Ответ обоснуйте. ", "solution": {"text": "Исходя из $1$ и $2$ пунктов, логично предположить, что минимальная мощность достигается при центральном положении движка реостата. Сдвинем движок реостата из центрального положения в левую сторону. Пусть при этом напряжение на левом элементе уменьшилось на $U^{'}$ и стало $\frac{U_{0}}{2}-U^{'}$, тогда на правом элементе напряжение стало равным $\frac{U_{0}}{2}+U^{'}$. На левом элементе ток стал равен $I_{0}+\Delta I_{л}$, а на правом $I_{0}+\Delta I_{п}$, где $I_{0}$ — ток через элементы $X$ при центральном положении движка реостата. $$ \Delta P= \left( \frac{U_{0}}{2}-U^{'}\right) (I_{0}+\Delta I_{л})+\left( \frac{U_{0}}{2}+U^{'}\right) (I_{0}+\Delta I_{п})-U_{0}\cdot I_{0}=\frac{U_{0}}{2}(\Delta I_{л}+\Delta I_{п})+U^{'}(\Delta I_{п}-\Delta I_{л}). $$ Заметим, что $\Delta I_{п} > 0$, а $\Delta I_{л} < 0$. Кроме того, так как график ВАХ по мере увеличения напряжения растет все быстрее, то $|\Delta I_{п}| > |\Delta I_{л}|$, поэтому $\Delta P > 0$ при любых $U^{'}$, значит, центральное положение движка реостата соответствует минимальной мощности. То есть $W_{\min}=W_{2}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Центральное положение движка реостата соответствует минимальной мощности. То есть $W_{\min}= W_{2}$."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Суммарную мощность, выделяющуюся на двух нелинейных элементах, при положении движка потенциометра, в котором сопротивление его левого плеча равно $25~ Ом$. ", "solution": {"text": "Нарисуем эквивалентную схему. <img_2> Сопротивление левого резистора $R_{1}=25~Ом$, а правого $R_{2}=75~Ом$. пусть напряжение на левом резисторе равно $U$, токи через резисторы равны $I_{1}$ и $I_{2}$, а через элементы $X$ — $I_{3}$ и $I_{4}$. Тогад можем записать: $$ \left\{ \begin{array}{ll} I_{1}=\frac{U}{R_{1}} \\ I_{2}=\frac{U_{0}-U}{R_{2}} \\ I_{1}+I_{3}=I_{2}+I_{4} \end{array} \right. $$ Откуда получим $I_{4}-I_{3}=U\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}} \right)-\frac{U_{0}}{R_{2}}=U \cdot 0.053~Ом^{-1}-133~мА$. Из полученного выражения видно, что по мере роста $U$ от $0$ до $\frac{U_{0}}{2}$ разность токов будет монотонно возрастать. Если же искать разность токов исходя из ВАХ, то по мере увеличения $U$ разность токов будет монотонно убывать. Последовательными приближениями подберем значение $U$, удовлетворяющее нашему выражению и ВАХ. Получим $U=(3.5 \pm 0.2)~В$. Тогда из графика находим токи через элементы $X$, примерно равные соответственно $I_{3}=(35 \pm 4)~мА$ и $I_{4}=(87 \pm 5)~мА$. Суммарная выделяющаяся мощность $$ W=I_{3}\cdot U+I_{4}(U_{0}-U)=(0.035 \cdot 3.5+0.087 \cdot(10-3.5))~Вт=(0.7 \pm 0.1)~Вт. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ W=(0.7 \pm 0.1)~Вт. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]