text: {"text": [{"text": "В электрической цепи, представленной на рисунке, ключ $K$ разомкнут и токи не текут. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "силы токов, протекающих через батареи $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$ сразу после замыкания ключа $K$;"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "изменение электростатической энергии $\Delta W$ системы после прекращения токов;"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "работы $A_{1}$ и $A_{2}$ батарей $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$ за все время процесса;"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "количество теплоты $Q$, выделившееся на резисторах после замыкания ключа $K$."}]}
answer: [{"condition": "Определите: ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "силы токов, протекающих через батареи $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$ сразу после замыкания ключа $K$; ", "solution": {"text": "До замыкания ключа $K$ на конденсаторах были одинаковые разности потенциалов $U_{0}=\mathscr{E}_{1} / 2$ и заряды $q_{0}=C \mathscr{E}_{1} / 2$. Полярность указана на рисунке ниже. <img_1> В момент замыкания ключа $K$ заряды конденсаторов и напряжения на них не могут мгновенно измениться. В цепи появляются токи $I$, $I_{1}$ и $I_{2}$ (см. рисунок $1$). <img_2> Согласно законам Кирхгофа: $$ I r=\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}-U_{0} \Rightarrow I=\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}. $$ Здесь $I$ — ток через $\mathscr{E}_{2}$. Далее $$ I_{2} r+I r=\mathscr{E}_{2}+U_{0}, \\ I_{2}=-I+\frac{\mathscr{E}_{2}+U_{0}}{r}=-\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}+\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}=0. $$ Следовательно, $I_{1}=I=\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}$, где $I_{1}$ — ток через $\mathscr{E}_{1}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I_{\mathscr{E}_{1}}=I_{\mathscr{E}_{2}}=\frac{\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1} / 2}{r}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "изменение электростатической энергии $\Delta W$ системы после прекращения токов; ", "solution": {"text": "Начальная энергия системы $W_{0}=2 G U_{0}^{2} / 2=C \mathscr{E}_{1}^{2} / 4$. В конечном состоянии (т.е. после затухания токов) напряжения на конденсаторах равны $U_{1}=\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}$ и $U_{2}=\mathscr{E}_{2}$. Полярность указана на рисунке $2$. <img_3> Энергия системы в конечном состоянии есть: $$ W=\frac{C \mathscr{E}_{2}^{2}}{2}+\frac{C\left(\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)^{2}}{2}. $$ Изменение энергии $$ \Delta W=W-W_{0}=\frac{C}{4}\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right)^{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta W=\frac{C}{4}\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right)^{2}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "работы $A_{1}$ и $A_{2}$ батарей $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$ за все время процесса; ", "solution": {"text": "До замыкания ключа суммарный заряд на левых обкладках конденсаторов был равен нулю. В конечном состоянии$$\left.\begin{array}{l}q_{1}=C\left(\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}\right), \\q_{2}=C \mathscr{E}_{2}\end{array}\right\} \Rightarrow q=q_{1}+q_{2}=C\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right).$$Это означает, что через батарею $\mathscr{E}_{2}$ протек заряд $q$ и батарея совершила работу$$A_{2}=q \mathscr{E}_{2}=C \mathscr{E}_{2}\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right).$$Через батарею $\mathscr{E}_{1}$ протек заряд$$\Delta q=q_{1}-q_{0}=C\left(\mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)-\frac{C \mathscr{E}_{1}}{2}=\frac{C \mathscr{E}_{1}\left(2 \mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)}{2}.$$Батарея совершила работу$$A_{1}=\Delta q \mathscr{E}_{1}=\frac{C\mathscr E_1\left(2 \mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)}{2}.$$Обе батареи совершили работу $A=A_{1}+A_{2}=\frac{C\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right)^{2}}{2}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A_{1}=\frac{C\mathscr E_1\left(2 \mathscr{E}_{2}+\mathscr{E}_{1}\right)}{2}.$$$$A_{2}=C \mathscr{E}_{2}\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right).$$$$A=A_{1}+A_{2}=\frac{C\left(\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2}\right)^{2}}{2}.$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "количество теплоты $Q$, выделившееся на резисторах после замыкания ключа $K$. ", "solution": {"text": "По закону сохранения энергии $A=\Delta W+Q$, где $Q$ — выделившееся тепло. Следовательно, $Q=A-\Delta W=\frac{C (\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2})^{2}}{4}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q=\frac{C (\mathscr{E}_{1}+2 \mathscr{E}_{2})^{2}}{4}. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]