text: {"text": [{"text": "Твердый однородный сферический шарик массой $m$ и радиусом $R$ изготовлен из непроводящего материала и имеет заряд $Q$, распределенный равномерно по объему. Шарик помещен на большую горизонтальную поверхность и приведен в движение качения без проскальзывания таким образом, что его центр начинает двигаться с начальной горизонтальной скоростью $v_0$. Имеется однородное магнитное поле с индукцией $B$, перпендикулярной поверхности. Коэффициент трения настолько велик, что шарик не скользит по поверхности. Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, равен $2mR^2/5$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Опишите движение центра шарика и форму его траектории. Подсказка: Возможно, Вам пригодится следующее тождество: $$\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})-\vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b})$$ справедливое для любых векторов $\vec a, \vec b$ и $\vec c$."}]}
answer: [{"condition": "Опишите движение центра шарика и форму его траектории. ", "solution": {"text": "Силы, действующие на шарик: сила трения $\vec{F}$, сила тяготения, нормальная сила и сила Лоренца $\vec{F}_L$. Ни одна из этих сил не совершает механической работы по отношению к шарику, так что кинетическая энергия шарика не изменяется. Из условия чистого качения скорость центра шарика $v$пропорциональна угловой скорости $\omega$ движения качения, то есть полная кинетическая энергия может быть выражена через $v^2$. В результате, скорость центра шарика остается постоянной, но направление скорости может изменяться. Полная сила Лоренца, действующая на шарик, может быть выражена через скорость центра шарика \begin{equation} {\vec{F}}_L=Q\,\vec{v}\times\vec{B}\ \ \end{equation} Это можно показать, суммируя силы Лоренца, действующие на элементы шарика. $\textbf{Доказательство 1.}$ Обозначим небольшую частицу заряда шарика за $\Delta Q_{i}$, вектор его положения, направленный от центра шарика за $\vec{x}_i$. Скорость этой частицы $$\vec{v}_i=\vec{v}+\vec{\omega} \times \vec{x}_i$$ так что суммарная сила Лоренца может быть записана как $$\vec{F}_L=\sum_i{\Delta Q_i\,\vec{v}_i\times\vec{B}}=\sum_i{\Delta Q_i\,\vec{v}\times\vec{B}}+\sum_i{\Delta Q_i\,(\vec\omega\times\vec x_i)\times\vec{B}}$$ Вторая сумма равна нулю, так как члены, содержащие $\vec x_i$ и $-\vec x_i$ сокращаются. В первой сумме $\vec{v}\times\vec{B}$ можно вынести за скобки, поэтому заряд $Q$ можно считать точечным и поместить его в центре масс. Скорость центра шарика не изменяется, поэтому результирующая сила (которая горизонтальна) должна быть перпендикулярной скорости $\vec{v}$ его центра. Так как сила Лоренца всегда перпендикулярна $\vec{v}$, сила трения $\vec{F}$ тоже должна быть перпендикулярной $\vec{v}$. Величина $\vec{F}$ не может зависеть от положения шарика, а зависит только от его скорости, поэтому $\left|\vec{F}\right|$ в процессе движения не изменяется. Поэтому результирующая сила (а следовательно, ускорение центра шарика) постоянная по величине. Следовательно, шарик совершает круговое движение со скоростью $\left|\vec{v}\right|=\ v_0$ (см. рисунок). <img_0> Теперь можно записать уравнение движения шарика. Ускорение центра масс направлено горизонтально и вызвано действием силы трения и суммарной силой Лоренца. С помощью уравнения второй закон Ньютона в радиальном направлении может быть записан как $$Qvb-F=mr\Omega^2,$$ Здесь $r$ — радиус круговой траектории центра масс и $\Omega$ — угловая скорость кругового движения. Можно получить соотношение между двумя угловыми скоростями из условия чистого качения: $$v_0=R\omega=r\Omega$$ Магнитное поле также создает крутящий момент, действующий на шарик. Момент равен $$\vec\tau_L=\cfrac{Q}{2m}\vec L\times\vec B,$$ Здесь $\vec{L}$ — момент импульса шарика относительно его центра. $\textbf{Доказательство 2.}$ При качении шарика по поверхности движущиеся заряды образуют замкнутые токи, которые создают магнитный момент. Небольшая частица заряда $\Delta Q_i$ соответствует току $$I_i=\cfrac{|\vec\omega|}{2\pi}\Delta Q_i,$$ так что вклад этого элемента в суммарный магнитный момент$\vec\mu$ имеет величину $I_i\pi x^2_{i,\perp}$. Здесь $x_{i,\perp}$ — расстояние от оси вращения шарика. Направление суммарного магнитного момента параллельно вектору $\vec\omega$, а его величина может быть записана как сумма $$\vec\mu=\cfrac{1}{2}\vec\omega\sum_i \Delta Q_i x^2_{i,\perp}.$$ При этом не нужно вычислять сумму (интеграл), если использовать аналогию с моментом инерции: $$\sum_i{m_ix^2_{i,\perp}}=\frac{2}{5}mR^2 \implies \sum_i{Q_ix^2_{i,\perp}}=\cfrac{2}{5}QR^2$$ Поэтому суммарный магнитный крутящий момент, действующий на шарик $$\vec\tau_L=\vec\mu\times\vec B=\cfrac{1}{5}QR^2\times\vec B=\cfrac{Q}{2m}\vec L\times \vec B.$$ Угловое ускорение шарика вызвано моментом силы трения и магнитным крутящим моментом. Как видно из рисунка, оба крутящих момента имеют одинаковое направление, перпендикулярное угловой скорости шарика. В результате ось вращения шарика прецессирует в горизонтальной плоскости. Дл удовлетворения условия чистого качения угловая скорость прецессии должна равняться $\Omega$. В ходе прецессии скорость изменения момента импульса есть $\left|\vec{L}\right|\Omega$, так что уравнение вращательного движения относительно центра шарика: $$\cfrac{1}{5}QR^2 \omega B+RF=\cfrac{2}{5}mR^2\omega\Omega$$ Здесь $\cfrac{1}{5}QR^2\omega B=\left|\vec\tau_L\right|$, $\cfrac{2}{5}mR^2\omega\Omega=\left|\vec{L}\right|$. Из уравнений выше можно получить радиус и угловую скорость кругового движения: $$r=\cfrac{7}{6}\cfrac{mv_0}{QB}, \quad\Omega=\cfrac{6}{7} \cfrac{QB}{m}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Центр шарика движется по окружности радиуса $r=\cfrac{7}{6}\cfrac{mv_0}{QB}$ с угловой скоростью $\Omega=\cfrac{6}{7} \cfrac{QB}{m}$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]