text: {"text": [{"text": "Двойная звезда состоит из двух звезд, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга. Космонавт Глюк решил вывести космический корабль на орбиту таким образом, чтобы он находился все время на отрезке, соединяющем звезды, на постоянном расстоянии от каждой из звезд и расходовал при этом минимальное количество топлива. Проведя все расчеты, Глюк нашел, что корабль должен находиться на расстоянии $l_{1}$ от первой звезды и $l_{2}$ от второй, и успешно вывел корабль на орбиту."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему равно отношение $M_{1} / M_{2}$ масс звезд?"}]}
answer: [{"condition": "Чему равно отношение $M_{1} / M_{2}$ масс звезд? ", "solution": {"text": "Обе звезды вращаются вокруг общего центра масс $C$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. <img_0> При этом звёзды движутся по окружностям с радиусами $$ R_{1}=\frac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}} l, \quad R_{2}=\frac{M_{1}}{M_{1}+M_{2}} l. $$ где $l=l_{1}+l_{2}$ - расстояние между звездами. Из второго закона Ньютона для движения первой звезды $$ M_{1} \omega^{2} R_{1}=\frac{G M_{1} M_{2}}{l^{2}}, $$ найдем эту угловую скорость: $$ \omega^{2}=\frac{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}{l^{3}}. $$ Космический корабль массой $m$ должен двигаться с той же угловой скоростью вокруг центра масс двойной звезды по окружности радиусом $$ r=\left|R_{1}-l_{1}\right|. $$ Расход топлива минимален, если двигатель выключен. Это возможно, если центростремительное ускорение корабля при движении по окружности создается только суммарной силой тяжести: $$ m \omega^{2} r=-\frac{G M_{1} m}{l_{1}^{2}}+\frac{G M_{2} m}{l_{2}^{2}}. $$ При выборе знаков в правой части предполагалось, что корабль находится между центром масс системы и первой звездой, то есть $l_{1}$$ m \omega^{2}\left(\frac{M_{2} l}{M_{1}+M_{2}}-l_{1}\right)=-\frac{G M_{1} m}{l_{1}^{2}}+\frac{G M_{2} m}{l_{2}^{2}}. $$ Такое же уравнение получается в случае $l_{1}>R_{1}$, так как изменения знаков правой части уравнения для $m \omega^{2} r$ и выражения под знаком модуля в в уравнении для $r$ происходят одновременно. Подставляя в последнее уравнение выражение для частоты, находим $$ \frac{1}{l^{3}}\left(M_{2} l_{2}-M_{1} l_{1}\right)=-\frac{M_{1}}{l_{1}^{2}}+\frac{M_{2}}{l_{2}^{2}}, $$ откуда $$ \frac{M_{1}}{M_{2}}=\frac{\left(l_{1}+l_{2}\right)^{3}-l_{2}^{3}}{\left(l_{1}+l_{2}\right)^{3}-l_{1}^{3}} \cdot \frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{M_{1}}{M_{2}}=\frac{\left(l_{1}+l_{2}\right)^{3}-l_{2}^{3}}{\left(l_{1}+l_{2}\right)^{3}-l_{1}^{3}} \cdot \frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]