text: {"text": [{"text": "На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится длинная доска массой $m_{1}$, на правый край которой помещён брусок массой $m_{2}$. Брусок соединён со стенкой лёгкой нерастянутой пружиной жёсткости $k$. К доске с помощью лёгкой нерастяжимой нити, перекинутой через блок, прикреплён груз массой $M$ (см. рисунок). <img_0> В начальный момент система покоится. Между доской и бруском существует сухое трение. Длина доски и начальное расстояние от блока до доски достаточно велики."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Какой путь $L$ преодолеет брусок к тому моменту времени, когда между ним и доской начнётся проскальзывание? Исследуйте, как результат зависит от коэффициента трения $\mu$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Вычислите время $t$ движения бруска, за которое он преодолеет расстояние $L$."}]}
answer: [{"condition": "Какой путь $L$ преодолеет брусок к тому моменту времени, когда между ним и доской начнётся проскальзывание? Исследуйте, как результат зависит от коэффициента трения $\mu$. ", "solution": {"text": "Применим второй закон Ньютона для движущихся тел: груза, доски и бруска: $$ \begin{aligned} T-F_{\text {тр }} &=m_{1} a_{1}, \\ M g-T &=M a_{1}, \\ F_{\text {тр }}-k x &=m_{2} a_{2}. \end{aligned} $$ Здесь $T$ - сила натяжения нити, $F_{тр}$ - сила трения, $x$ - удлинение пружины. Пока $F_{тр}<\mu m_{2} g$, проскальзывания не будет. Искомый путь $L$ найдём из условия $a_{1}=a_{2}$, или иначе: $$ \frac{M g-\mu m_{2} g}{m_{1}+M}=\frac{\mu m_{2} g-k x}{m_{2}}. $$ Отсюда $$ L=\frac{g}{k} \frac{m_{2}}{m_{1}+M} \cdot\left[\mu\left(m_{1}+m_{2}+M\right)-M\right]. $$ Если $$ \mu<\frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}=\mu_{\min }, $$ сразу начинается проскальзывание, то есть $L=0$. При достаточно большом коэффициенте трения $\mu$ система, будучи предоставленная самой себе, начнёт совершать колебательное движение с амплитудой $A=M g / k$. Максимальное растяжение пружины равно $2 A$. Тогда из условия $L_{\max }=2 A$ мы сможем определить минимальный коэффициент трения $\mu_{0}$, при котором проскальзывания не будет: $$ \mu_{0}=\frac{M}{m_{2}} \frac{2 m_{1}+m_{2}+2 M}{m_{1}+m_{2}+M}. $$ Итак, если $\mu>\mu_{0}$, то $L \rightarrow \infty$. Если $$ \frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}<\mu<\mu_{0}=\frac{M}{m_{2}} \frac{2 m_{1}+m_{2}+2 M}{m_{1}+m_{2}+M}, $$ то $$ L=\frac{g}{k} \frac{m_{2}}{m_{1}+M} \cdot\left[\mu\left(m_{1}+m_{2}+M\right)-M\right] . $$ Если $$ \mu<\mu_{\min }=\frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}, \quad \text { то } \quad L=0. $$ Зависимость $L$ от $\mu$ изображена на рисунке."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Если $\mu>\mu_{0}$, то $L \rightarrow \infty$. Если $$ \frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}<\mu<\mu_{0}=\frac{M}{m_{2}} \frac{2 m_{1}+m_{2}+2 M}{m_{1}+m_{2}+M}, $$ то $$ L=\frac{g}{k} \frac{m_{2}}{m_{1}+M} \cdot\left[\mu\left(m_{1}+m_{2}+M\right)-M\right] . $$ Если $$ \mu<\mu_{\min }=\frac{M}{m_{1}+m_{2}+M}, \quad \text { то } \quad L=0. $$", "<img_1>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Вычислите время $t$ движения бруска, за которое он преодолеет расстояние $L$. ", "solution": {"text": "Теперь вычислим время движения бруска до начала проскальзывания. В это время система движется по гармоническому закону: $$ L=\frac{M g}{k}(1-\cos \omega t), $$ где $\omega^{2}=k /\left(m_{1}+m_{2}+M\right)$. Отсюда получим, что при $\mu \leqslant \mu_{0}$: $$ t=\left(\frac{m_{1}+m_{2}+M}{k}\right)^{1 / 2} \cdot \arccos \left(1-\frac{k L}{M g}\right) . $$ А при $\mu>\mu_{0}$ проскальзывание никогда не начнется."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t=\left(\frac{m_{1}+m_{2}+M}{k}\right)^{1 / 2} \cdot \arccos \left(1-\frac{k L}{M g}\right) . $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]