text: {"text": [{"text": "У вертикальной стенки стоит палочка $A B$ длиной $L$ (см. рисунок). <img_0> На ее нижнем конце $B$ сидит жук. В тот момент, когда конец $B$ начали двигать вправо по полу с постоянной скоростью $v$, жук пополз по палочке с постоянной скоростью $u$ относительно нее."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На какую максимальную высоту над полом поднимется жук за время своего движения по палочке, если ее верхний конец не отрывается от стенки?"}]}
answer: [{"condition": "На какую максимальную высоту над полом поднимется жук за время своего движения по палочке, если ее верхний конец не отрывается от стенки? ", "solution": {"text": "Пусть $G$ — место нахождения жука на палочке, $M$ — середина палочки, $G K=h$ — высота жука над полом, $O N=H$ — расстояние от угла $O$ до палочки (см. рисунок), $t$ — время, прошедшее с начала движения жука, тогда: $$ O B=v t, \quad B G=u t, \quad A M=O M=\frac{L}{2}. $$ <img_1> Треугольники $O N B$ и $G K B$ подобны, так как они прямоугольные и угол $\beta$ общий, поэтому: $$ \frac{G K}{O N}=\frac{B G}{O B}, \quad \text { или } \quad \frac{h}{H}=\frac{u t}{v t}=\frac{u}{v}, $$ откуда $$ h=H \frac{u}{v} . $$ В прямоугольном треугольнике $O M N$ катет $O N=H \leqslant O M=\frac{L}{2}$ ($ОМ$ гипотенуза), причем равенство достигается при $\beta=45^{\circ}$. Следовательно, $$ h_{\max }=H_{\max } \frac{u}{v}=\frac{L}{2} \frac{u}{v}. $$ Этот результат верен, если за время $t_{\max }=\frac{L \cos 45^{\circ}}{v}$ жук не успевает доползти до верхнего конца палочки, то есть когда $u t_{\max }$$ h_{\max }=\sqrt{L^{2}-(v t)^{2}}=L \sqrt{1-\frac{v^{2}}{u^{2}}} . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ h_{\max }=L \sqrt{1-\frac{v^{2}}{u^{2}}} . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]