text: {"text": [{"text": "Обычно при изучении излучения мы фиксируем только интенсивность колебаний. Однако колебания характеризуются не только амплитудой, но и фазой. Если использовать информацию про фазу колебаний, можно получить новые возможности для оптических приборов. Например, записав информацию про фазу на фотопластинке, можно с ее помощью воссоздать объемное изображение. Такие изображения называются голограммами и их можно встретить практически везде. В отличие от обычной фотографии, если смотреть на голограмму под разными углами, изображение будет изменяться, как если бы мы осматривали предмет с разных сторон. В части A задачи мы исследуем фазовые соотношения при формировании изображения линзой. В частях B и C рассмотрим, как работают простейшие модели голограмм. <img_0> <img_1>"}, {"text": "Часть A. Дифракция (4 балла) Пусть в пространстве распространяется монохроматическая электромагнитная волна с волновым числом $k$. Будем задавать волну в комплексном виде $$ E = f(\vec{r})e^{-i \omega t}. $$ Здесь величина $f$ — комплексная функция координат, которая задает распределение амплитуды и фазы в волне. Будем называть ее комплексной амплитудой волны. Физическое значение электрического поля равно вещественной части этого выражения. В дальнейшем не будем писать зависимость поля в волне от времени. Нас будет интересовать распределение комплексной амплитуды $f(r)$ в пространстве. Поляризацию электромагнитных волн нигде дальше учитывать не будет. Основное направление распространения волн, от которого отсчитываем все углы — ось $z$. Интенсивность электромагнитной волны в данной точке пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды. Поскольку нас будут интересовать только относительные величины интенсивностей, будем в дальнейшем называть величину $I = |f(r)|^2$. Оказывается, что если задать комплексную амплитуду монохроматической волны известной частоты на некоторой поверхности (например в плоскости $z=0$), то по ней можно будет восстановить комплексную амплитуду волны во всем пространстве. Во всей этой части мы работаем с монохроматическим излучением и считаем известным волновое число $k$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Пусть плоская волна амплитуды $E_0$ распространяется в плоскости $x z$ под углом $\theta$ к оси $z$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть в плоскости $z = 0$ комплексная амплитуда имеет вид $f = E_0 e^{i u x}$. Найдите выражение для комплексной амплитуды в плоскости с произвольной координатой $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны. Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$. Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,70"}, "text": "Пусть в плоскости $z = 0$ находится дифракционная решетка, коэффициент пропускания которой (по амплитуде) имеет вид: $$ $$ $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. $$ \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x. $$ Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$. Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,60"}, "text": "За дифракционной решеткой из предыдущего пункта поставили линзу с фокусным расстоянием $F$. Какое изображение будет в фокальной плоскости такой линзы? Укажите его характерные размеры."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,50"}, "text": "Оказывается, что на некотором расстоянии от периодической структуры распределение интенсивности точно такое же, как на ней самой. (Это явление называется саморепродукцией.) (Это явление называется саморепродукцией.) (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? (Это явление называется саморепродукцией.) При каких значениях координаты $z$ это происходит? Пусть теперь дифракционная решетка изготовлена из прозрачного вещества толщины $h$, показатель преломления которого меняется по закону $$ n = n_0 + n_1 \cos u x. $$ Но поскольку такая структура прозрачна, мы не сможем ее увидеть. Чтобы преодолеть эту сложность, поместим ее на расстоянии $2F$ от линзы с фокусным расстоянием $F$. Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$. Тогда распределение комплексной амплитуды в изображении будет таким же, как и в плоскости самой решетки, с точностью до замены $x \to -x$. Поэтому мы все еще ничего не увидим. Решетка располагается в плоскости $z = 0$, линза — в плоскости $z = 2F$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,50"}, "text": "Считая, что $k h n_1 \ll 1$, запишите выражение для комплексной амплитуды волны между линзой и дифракционной решеткой. Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)?"}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,50"}, "text": "Разместим на оптической оси в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$) небольшую пластинку (размером меньше, чем размер изображения в фокальной плоскости, так что изменяется только его центральная часть), которая вносит дополнительное запаздывание по фазе $\pi/2$. Как теперь выглядит изображение на расстоянии $2F$ от линзы (в плоскости $z = 4F$)? Запишите зависимость интенсивности от $x$."}, {"text": "Часть B. Голограмма (4.5 баллов) Для того, чтобы записать волну, мало информации про интенсивность. Нужно еще записать фазу волны. Это можно сделать следующим способом. Нужно осветить предмет лазером. Потом направить рассеянный объектом свет направить на экран, заставив на нем же интерферировать со светом непосредственно от лазера (опорная волна). То есть мы фотографируем интерференционную картину света от предмета и опорной волны, а потом используем эту фотографию для восстановление света, идущего от объекта. Во всей этой части можно считать, что углы распространения волн с осью $z$ много меньше 1."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "0,50"}, "text": "Теперь вместо прозрачной пластинки, вносящей сдвиг фаз, поставили непрозрачный экран такого же размера. Запишите зависимость интенсивности от $x$ в этом случае."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,20"}, "text": "Пусть от предмета идет одна плоская волна амплитуды $E_1$ под углом $\alpha$ к оси $z$, опорная волна амплитуды $ E_0$ падает под углом $-\theta$ к оси $z$ (знак $-$ означает, что угол отсчитывается в противоположную сторону, при этом $\theta > 0$). Фотографическая пластинка расположена в плоскости $z = 0$. Найдите распределение интенсивности $I(x)$ на пластинке. Коэффициент пропускания пластинки после обработки связан с интенсивностью падающего света соотношением $\tau = 1 - \gamma I$. Считайте, что значение интенсивности таковы, что всегда $\tau > 0$. Таким образом, пластинка превращается в дифракционную решетку, которая и является голограммой."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть на полученную таким способом голограмму падает только опорная волна (под тем же углом, что и в предыдущем пункте). В результате дифракции за пластинкой будет несколько плоских волн. Найдите, под какими углами к оси $z$ они будут распространяться. Оказывается, одна из восстановленных волн совпадает с падающей волной, которая шла от предмета при записи голограммы. Ее естественно считать восстановленным изображением. Однако обычно объект излучает более одной плоской волны."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть теперь от объекта идут две плоских волны амплитуд $E_1$ и $E_2$ под близкими друг к другу углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ соответственно. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$. Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,20"}, "text": "Пусть теперь голограмма освещается только опорной волной. Сколько волн будет распространяться за голограммой, под какими углами и с какими амплитудами? Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2 \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$."}, {"text": "Часть волн из предыдущего пункта можно сгруппировать в изображения объекта. Сколько у объекта будет изображений и где они будут расположены?"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,50"}}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть голограмма имеет конечную ширину $D$. Какое минимальное угловое расстояние $\Delta \alpha$ между лучами можно будет различить в формируемом ей изображении?"}, {"text": "Часть С. Объемная голограмма (1.5 балла) Рассмотренные выше голограммы неудобны для практического использования, поскольку для формирования изображения необходимо когерентное освещение (лазер). Для того, чтобы обойти эту сложность можно использовать объемные голограммы."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "1,00"}, "text": "Мы пока рассматривали только монохроматическое излучение. Пусть теперь на голограмму из пункта B4 падает восстанавливающая волна с конечной шириной спектра $\Delta \lambda$. Из-за этого угловая ширина изображения увеличится. Оцените, при какой максимальной ширине спектра $\Delta \lambda$ можно будет восстановить объект с угловым размером $\Delta \alpha$. Выразите ответ через длину волны $\lambda$ и углы $\alpha$ и $\theta$."}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "0,80"}, "text": "На пластинку падает волна от источника под углом $\alpha$, опорная волна падает на пластинку по нормали. Тогда в объеме пластинки возникнут объемные интерференционные полосы. Найдите расстояние $d$ между плоскостями, в которых интенсивность максимальна, а также угол $\beta$ между этими плоскостями и осью $z$."}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "0,70"}, "text": "Падающее на голограмму излучение отражается от плоскостей максимальной интенсивности зеркально. Пусть пластина освещается белым светом, падающим на нее по нормали. При каком условии на длину волны интенсивность отраженного света будет максимальной? Под каким углом $\alpha^\prime$ направлена отраженная волна? Таким образом, для того, чтобы толстая голограмма образовывала изображение, не нужно использовать монохроматический свет лазера, достаточно обычного освещения! Такая голограмма уже достаточно похожа на те, что можно встретить, например, на магнитах."}]}
answer: [{"condition": "Пусть плоская волна амплитуды $E_0$ распространяется в плоскости $x z$ под углом $\theta$ к оси $z$.  Запишите выражение для комплексной амплитуды $f(\vec{r})$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f(\vec{r}) = E_0 e^{i k z \cos \theta + i k x \sin \theta} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть в плоскости $z = 0$ комплексная амплитуда имеет вид   $f = E_0 e^{i u x}$. Найдите выражение для комплексной амплитуды в плоскости с произвольной координатой $z$.  В ответ должно входить волновое число волны $k$ волны.  Получите приближенное выражение в случае $u \ll k$.  Ищите решение в виде плоской волны, распространяющейся под острым углом к оси $z$. ", "solution": {"text": "Поскольку известно, что волна плоская, можно определить проекцию ее волнового вектора на ось $x$: $k_x = u$. С учетом направления распространения $k_z = \sqrt{k^2 - u^2} \approx k - \frac{u^2}{2k}$. Таким образом, волна распространяется под углом $\arcsin \frac{u}{k}$ к оси $z$. Формулы применимы при условии $u \ll k$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f(\vec{r}) = E_0 e^{i \sqrt{k^2 -u^2} z + i u x } \approx E_0 e^{i k z - i \frac{u^2}{2 k}z + i u x} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть в плоскости $z = 0$ находится дифракционная решетка, коэффициент пропускания которой (по амплитуде) имеет вид:  $$  \tau (x) = \alpha + \beta \cos u x.  $$  Перпендикулярно решетке на нее падает плоская электромагнитная волна с волновым числом $k$ и амплитудой $E_0$.  Найдите выражение для комплексной амплитуды волны в плоскости с $z>0$.  Используйте результат предыдущего пункта и принцип суперпозиции. ", "solution": {"text": "Амплитуда волны в плоскости $z = 0$ сразу после прохождения дифракционной решетки равна $$ f = E_0 (\alpha + \beta \cos ux) = E_0 \alpha + \frac{E_0 \beta}{2} \left( e^{i u x} + e^{-i ux}\right). $$ Получаем 3 слагаемых, каждое из которых аналогично рассмотренному в предыдущем пункте. Значит по принципу суперпозиции за решеткой будет распространяться 3 плоских волны, а комплексная амплитуда имеет вид"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f = \alpha E_0 e^{i k z} + \frac{\beta E_0}{2} e^{i \sqrt{k^2 -u^2} z + i u x } + \frac{\beta E_0}{2} e^{i \sqrt{k^2 -u^2} z - i u x } $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "За дифракционной решеткой из предыдущего пункта поставили линзу с фокусным расстоянием $F$. Какое изображение будет в фокальной плоскости такой линзы? Укажите его характерные размеры. ", "solution": {"text": "Линза собирает каждую из плоских волн в одну точку. Поэтому изображение в фокальной плоскости — 3 точки, одна из которых лежит на оптической оси, а остальные две смещены на расстояние $$ d = F \tan \theta = F \frac{u}{\sqrt{k^2 - u^2}} \approx F \frac{ u}{k} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: 3 точки на расстоянии $F \frac{ u}{k}$."]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Оказывается, что на некотором расстоянии от периодической структуры распределение интенсивности точно такое же, как на ней самой.  (Это явление называется саморепродукцией.)  При каких значениях координаты $z$ это происходит? ", "solution": {"text": "За периодической структурой распространяется 3 плоских волны. Распределение интенсивности зависит от их относительных фаз, поэтому исходное изображение восстановится, если восстановятся такие же фазовые соотношения между волнами, как и в плоскости $z = 0$. Фаза центральной волны зависит от координаты как $k z$, а побочных волн как $\sqrt{k^2 -u^2} z$, поэтому фазы выровняются при условии $$ z (k - \sqrt{k^2 -u^2}) = 2 \pi m. $$ $m$ — целое число."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ z = \frac{2 \pi m}{k - \sqrt{k^2 -u^2}} \approx \frac{4 \pi m k}{u^2}. $$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Считая, что $k h n_1 \ll 1$, запишите выражение для комплексной амплитуды волны между линзой и дифракционной решеткой.  Как будет выглядеть изображение в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$)? ", "solution": {"text": "Дифракционная решетка создает для проходящей волны дополнительную фазу $$ e^{i n_1 k h \cos ux} \approx 1 + i n_1 k h \cos u x . $$ Постоянную фазу $e^{i k n_0 h}$ не учитываем, поскольку она не влияет на распределение интенсивностей. Тогда амплитуда волны сразу после решетки $$ f = E_0 (1 + i n_1 k h \cos u x ) = E_0 + \frac{ i n_1 k h E_0}{2} \left( e^{i u x} + e^{-i ux} \right) $$ То есть опять получили 3 плоских волны, а значит изображение в плоскости линзы — 3 точки, как и в A4"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ f = E_0 (1 + i n_1 k h \cos u x ) = E_0 + \frac{ i n_1 k h E_0}{2} \left( e^{i u x} + e^{-i ux} \right) $$"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Разместим на оптической оси в фокальной плоскости линзы ($z = 3F$) небольшую пластинку (размером меньше, чем размер изображения в фокальной плоскости, так что изменяется только его центральная часть), которая вносит дополнительное запаздывание по фазе $\pi/2$. Как теперь выглядит изображение на расстоянии $2F$ от линзы (в плоскости $z = 4F$)? Запишите зависимость интенсивности от $x$. ", "solution": {"text": "Если добавить пластинку, фаза центральной волны увеличится на $\pi /2$, а ее амплитуда умножится на $i$. Поскольку известно, что без пластинки распределение амплитуды в плоскости $z = 4F$ такое же, как и в плоскости дифрешетки (линза не вносит дополнительной разности фаз), амплитуду с пластинкой можно получить, умножив амплитуду центальной волны на $i$, $$ f = i E_0 (1 + n_1 k h \cos u x) $$ а значит интенсивность"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = E_0^2 (1 + n_1 k h \cos u x)^2 \approx E_0^2 (1 + 2n_1 k h \cos u x ) $$"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Теперь вместо прозрачной пластинки, вносящей сдвиг фаз, поставили непрозрачный экран такого же размера. Запишите зависимость интенсивности от $x$ в этом случае. ", "solution": {"text": "Если в центре поставить пластинку, то центральная волна пропадет, и останется только член с косинусом, а амплитуда в изображении $$ f = i E_0 n_1 k h \cos u x $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = (E_0 n_1 k h)^2 \cos^2 ux. $$"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть от предмета идет одна плоская волна амплитуды $E_1$ под углом $\alpha$ к оси $z$, опорная волна амплитуды $ E_0$ падает под углом $-\theta$ к оси $z$ (знак $-$ означает, что угол отсчитывается в противоположную сторону, при этом $\theta > 0$). Фотографическая пластинка расположена в плоскости $z = 0$. Найдите распределение интенсивности $I(x)$ на пластинке. ", "solution": {"text": "Амплитуда в плоскости пластинки $$ f = E_1 e^{i k \alpha x} + E_0 e^{ - i k \theta x}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I = E_0^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_0 \cos k x (\alpha + \theta) $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть на полученную таким способом голограмму падает только опорная волна (под тем же углом, что и в предыдущем пункте). В результате дифракции за пластинкой будет несколько плоских волн. Найдите, под какими углами к оси $z$ они будут распространяться. ", "solution": {"text": "Коэффициент пропускания пластинки $$ \tau(x) = 1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) - 2 \gamma E_0 E_1 \cos k x (\alpha + \theta) $$ При восстановлении амплитуда волны сразу за пластинкой $$ f = E_0 e^{- ik \theta x} \tau(x) = $$ $$ E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) ) - \gamma E_0 ^2 E_1 e^{i k \alpha} - \gamma E_0 ^2 E_1 e^{i k (- \alpha - 2 \theta)} $$ Значит, за пластинкой распространяется 3 волны под углами $\alpha, \, -\theta, \, -\alpha - 2 \theta$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi = \alpha, \, -\theta, \, -\alpha - 2 \theta. $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть теперь от объекта идут две плоских волны амплитуд $E_1$ и $E_2$ под близкими друг к другу углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ соответственно.  Опорная волна идет по-прежнему под углом $\theta$ к нормали, ее амплитуда $E_0$.  Найдите распределение интенсивности в плоскости $z=0$. ", "solution": {"text": "Амплитуда в плоскости $z = 0$: $$ f(x) = E_1 e^{i k \alpha_1 x} + E_2 e^{i k \alpha_2 x} + E_0 e^{ - i k \theta x} $$, значит распределение интенсивности $$ I (x) = E_0^2 + E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos k x(\alpha_1 - \alpha_2) + 2 E_0 E_1 \cos k x (\alpha_1 + \theta) + $$ $$ +2 E_0 E_2 \cos k x (\alpha_2 + \theta) $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I (x) = E_0^2 + E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos k x(\alpha_1 - \alpha_2) + 2 E_0 E_1 \cos k x (\alpha_1 + \theta) + $$ $$ +2 E_0 E_2 \cos k x (\alpha_2 + \theta) $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пусть теперь голограмма освещается только опорной волной. Сколько волн будет распространяться за голограммой, под какими углами и с какими амплитудами?  Считайте, что $\Delta \alpha = \alpha_1 - \alpha_2  \ll \alpha \ll 1$ и $\theta \ll 1$. ", "solution": {"text": "При восстановлении распределение амплитуды волны по голограмме $$ f = E_0 e^{- i k x \theta } (1 - \gamma I(x)) = $$ $$ E_0 e^{- i k x \theta } (1 - \gamma ( E_0^2 + E_1^2 + E_2^2)) - \gamma E_0 E_1 E_2 (e^{ i k x (-\theta + \alpha_1 - \alpha_2) } + e^{ i k x (-\theta + \alpha_2 - \alpha_1) } ) $$ $$ - \gamma E_0^2 E_1 ( e^{i k \alpha_1 x} + e^{i k (-\alpha_1 - 2 \theta) x} ) -\gamma E_0^2 E_2 ( e^{i k \alpha_2 x} + e^{i k (-\alpha_2 - 2 \theta) x} ) $$ Значит в восстановленная волна будет состоять из 7 плоских волн, распространяющихся под углами $$ \varphi = - \theta, - \theta + \alpha_1 - \alpha_2, - \theta + \alpha_2 - \alpha_1, \alpha_1, \alpha_2, - \alpha_1 - 2 \theta, - \alpha_2 - 2 \theta $$ Их амплитуды соответственно равны $$ A = E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2 + E_2^2)), \gamma E_0 E_1 E_2, \gamma E_0^2 E_1, \gamma E_0^2 E_2 $$ Есть одна волна с первой амплитудой и по две волны с оставшимися."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi = - \theta, - \theta + \alpha_1 - \alpha_2, - \theta + \alpha_2 - \alpha_1, \alpha_1, \alpha_2, - \alpha_1 - 2 \theta, - \alpha_2 - 2 \theta $$ $$ A = E_0 (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2 + E_2^2)), \gamma E_0 E_1 E_2, \gamma E_0^2 E_1, \gamma E_0^2 E_2 $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Часть волн из предыдущего пункта можно сгруппировать в изображения объекта. Сколько у объекта будет изображений и где они будут расположены? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Одно изображение образовано двумя волнами, идущими под углами $\alpha_1$, $\alpha_2$, другое — волнами, идущими под углами $-\alpha_1 - 2 \theta$, $-\alpha_2 - 2 \theta$."]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть голограмма имеет конечную ширину $D$. Какое минимальное угловое расстояние $\Delta \alpha$ между лучами можно будет различить в формируемом ей изображении? ", "solution": {"text": "Из-за конечного размера голограммы плоская волна после дифракции приобретает конечную угловую ширину $$ \Delta \varphi \approx \frac{\lambda}{D}. $$ Она и определяет минимальный угловой размер, который можно разрешить"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta \alpha \approx \frac{\lambda}{D} $$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Мы пока рассматривали только монохроматическое излучение. Пусть теперь на голограмму из пункта B4 падает восстанавливающая волна с конечной шириной спектра $\Delta \lambda$. Из-за этого угловая ширина изображения увеличится. Оцените, при какой максимальной ширине спектра $\Delta \lambda$ можно будет восстановить объект с угловым размером $\Delta \alpha$. Выразите ответ через длину волны $\lambda$  и углы $\alpha$  и $\theta$. ", "solution": {"text": "Возьмем голограмму из пункта B2 и посветим на нее восстанавливающей волной с немного другим волновым числом $k^\prime$. Тогда амплитуда в плоскости голограммы будет иметь вид $$ f = E_0 e^{- i k^\prime x } (1 - \gamma (E_0^2 + E_1^2) - 2 \gamma E_0 E_1 \cos k x (\alpha + \theta)) $$ Как и раньше, после разложения косинуса, получим 3 плоских волны. Выберем ту из них, которая отвечает волне, распространяющейся под углом, близким к $\alpha$. Ее амплитуда имеет вид $$ - 2 \gamma E_0^2 E_1 e^{- i k ^\prime x\theta + i k x (\alpha + \theta)} $$ значит эта волна распространяется под углом $$ \alpha^\prime = -\theta + \frac{k}{k^\prime} (\alpha + \theta), $$ то есть изображение сместилось на угол $$ \Delta \alpha = \alpha^\prime - \alpha = \frac{k - k^\prime}{k^\prime} (\alpha +\theta) \approx \frac{\Delta k }{k} (\alpha +\theta) . $$ Значит максимальная ширина спектра $$ \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta \alpha}{\alpha + \theta} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta \lambda = \lambda \frac{\Delta \alpha}{\alpha + \theta} $$"]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "На пластинку падает волна от источника под углом $\alpha$, опорная волна падает на пластинку по нормали. Тогда в объеме пластинки возникнут объемные интерференционные полосы. Найдите расстояние $d$ между плоскостями, в которых интенсивность максимальна, а также угол $\beta$ между этими плоскостями и осью $z$. ", "solution": {"text": "Положения интерференционных максимумов задаются уравнениями $$ (1 - \cos \alpha) z - \sin \alpha x = m \lambda $$ Они представляют собой плоскости, повернутые на угол $\alpha/2$ к оси $z$ (и перпендикулярные плоскости $xz$). Расстояние между плоскостями вдоль оси $x$ $\lambda/\sin \alpha$, а по нормали к ним $\frac{\lambda}{\sin \alpha} \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\lambda}{2 \sin (\alpha/2)}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{\alpha}{2}, \quad d= \frac{\lambda}{ 2 \sin (\alpha/2)} $$"]}, "number_part": "С1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Падающее на голограмму излучение отражается от плоскостей максимальной интенсивности зеркально. Пусть пластина освещается белым светом, падающим на нее по нормали. При каком условии на длину волны интенсивность отраженного света будет максимальной? Под каким углом $\alpha^\prime$ направлена отраженная волна? ", "solution": {"text": "После зеркального отражения волна распространяется под углом $\alpha^\prime = \alpha$ к оси $z$. Из условия Брэгга -Вульфа $2 d \sin \frac{\alpha}{2} = m \lambda^\prime$ находим длины волн, для которых отражение максимально $$ \lambda^\prime = \frac{\lambda}{m} $$ Таким образом среди восстановленных волн есть волна с той же длиной волны, что и исходная, распространяющаяся под тем же углом."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \alpha^\prime = \alpha, \;\lambda^\prime = \frac{\lambda}{m} $$"]}, "number_part": "С2", "exponent_part": "0,70"}]