text: {"text": [{"text": "Маленький шарик подвешен к балке на тонкой невесомой нити длиной $l=10~см$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какую наименьшую скорость $v_{0}$ необходимо сообщить шарику в горизонтальном направлении, чтобы он ударился о кронштейн в точке подвеса?"}]}
answer: [{"condition": "Какую наименьшую скорость $v_{0}$ необходимо сообщить шарику в горизонтальном направлении, чтобы он ударился о кронштейн в точке подвеса? ", "solution": {"text": "<img_1> Для положения шарика, когда сила натяжения нити становится равной нулю, имеем (см. рисунок): $$ -m g \cos \alpha=\frac{m v^{2}}{l}; \quad (1) $$ здесь $m$ — масса шарика. Запишем закон сохранения энергии для этой же точки: $$ \frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}+m g l(1-\cos \alpha). \quad (2) $$ Из $(1)$ и $(2)$ получаем $$ \cos \alpha=-\frac{v_{0}^{2}-2 g l}{3 g l}, v^{2}=-g l \cos \alpha. $$ Далее до точки подвеса шарик летит по параболе: $$ \left\{\begin{array}{l} -v \cos \alpha t=x, \\ y+v \sin \alpha t-\frac{q t^{2}}{2}=0, \end{array}\right. $$ где $x=l \sin \alpha$, $y=-l \cos \alpha$. Тогда $$ t = \frac{n \sin \alpha + \sqrt{v^2 \sin^2 \alpha-2 l g \cos \alpha}}{g} $$ и $$ t=-\frac{l}{v} \operatorname{tg} \alpha. $$ Приравнивая друг другу эти выражения и учитывая, что $$ -g l \cos \alpha=v^{2}, $$ получаем $$ v \sin \alpha+\sqrt{v^{2} \sin ^{2} \alpha+2 v^{2}}=\frac{v^{2} \sin \alpha}{v \cos ^{2} \alpha}. \quad (3) $$ Решая уравнение $(3)$, находим $\sin ^{2} \alpha=\frac{2}{3}$, $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3} \approx-0.577$, $$ v_{0}=\sqrt{\lg (2-3 \cos \alpha)} \approx 1.93~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{0}=\sqrt{\lg (2-3 \cos \alpha)} \approx 1.93~м/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]