text: {"text": [{"text": "Знаменитый художник Чжан Цзэдуань времен династии Северная Сун (эпоха Цинмин) на своём главном творении изобразил деревянный (рис. 1), который образует дугу над рекой. Более четырёх веков спустя Леонардо да Винчи оставил похожий рисунок в своей рукописи (рис. 2). Конструкция арочных мостов вызывает удивление и по сей день. <img_0> <img_1> Рассмотрим модель арочного моста, показанную на рисунке ниже. <img_2> Пазы или гвозди в такой конструкции отсутствуют — все компоненты сжаты силами трения и реакции опоры. (Стоит отметить, что реальные арочные мосты всё же требуют наличия пазов из соображений безопасности.)"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите выражение для расстояния $b$ от нижнего конца одного из шестов $D$ до точки контакта с шестом $B$. На рис. 4 и 5 показаны силы, которые действуют в равновесии на шесты $A$ и $B$ соответственно. Рис. 4. Силы, действующие на шест $A$ Рис. 5. Силы, действующие на шест $B$"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Рассмотрите силы, действующие на шесты $A$, $B$ и пары шестов $C$, $D$. Запишите условия равновесия всех шестов. Нарисуйте силы, действующие на пары шестов $C$ и $D$. Для удобства это можно сделать прямо на рис. 3. Численные значения $M=6m$, $\theta=45^\circ$, $L=30~см$, $a=16~см$ и $R=2(\sqrt{2}-1)~см$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "При каких минимальных коэффициентах трения $\mu$ и $\mu'$ возможно равновесие моста в этом случае? Приведите численные ответы с тремя значащими цифрами."}]}
answer: [{"condition": "Найдите выражение для расстояния $b$ от нижнего конца одного из шестов $D$ до точки контакта с шестом $B$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[b=a+4R\operatorname{ctg}\frac{\theta}{2}\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Рассмотрите силы, действующие на шесты $A$, $B$ и пары шестов $C$, $D$. Запишите условия равновесия всех шестов. Нарисуйте силы, действующие на пары шестов $C$ и $D$. Для удобства это можно сделать прямо на рис. 3. ", "solution": {"text": "Изобразим силы: В дальнейшем используем обозначения, введённые на рисунках выше.Равновесие шеста $A$ (второй закон Ньютона $+$ ЗСМИ): Независимое уравнение для шеста $B$ (второй закон Ньютона): Независимое уравнение для пары шестов $C$ (второй закон Ньютона): Равновесие пары шестов $D$ (второй закон Ньютона $+$ ЗСМИ относительно точки контакта с землёй): Альтернативно ЗСМИ можно записать и относительно центра масс, но уравнение будет выглядеть куда более громоздко:\[N_{5}\left({\frac{L}{2}}\cos\theta-R\sin\theta\right)=f_{5}\biggl({\frac{L}{2}}\sin\theta+R\cos\theta\biggr)+N_{2}\biggl({\frac{L}{2}}-a\biggr)+f_{2}R+N_{4}\biggl(b-{\frac{L}{2}}\biggr).\]"}, "answer": {"answers": ["<img_3>", "<img_4>  В дальнейшем используем обозначения, введённые на рисунках выше.Равновесие шеста $A$ (второй закон Ньютона $+$ ЗСМИ):", "Ответ: \begin{cases}N_1+mg=N_2\cos\theta+f_2\sin\theta\\f_1+f_2\cos\theta=N_2\sin\theta\\f_1R=f_2R\end{cases}  Независимое уравнение для шеста $B$ (второй закон Ньютона):", "Ответ: $N_3=2N_4\cos\theta+mg$  Независимое уравнение для пары шестов $C$ (второй закон Ньютона):", "Ответ: $2N_1=N_3+Mg$  Равновесие пары шестов $D$ (второй закон Ньютона $+$ ЗСМИ относительно точки контакта с землёй):", "Ответ: \begin{cases}N_5+N_4\cos\theta=N_2\cos\theta+f_2\sin\theta+Mg\\f_5+N_2\sin\theta=N_4\sin\theta+f_2\cos\theta\\N_{2}a+M g\left(\frac{L}{2}\cos\theta-R\sin\theta\right)=N_{4}b+f_{2}2R\end{cases}  Альтернативно ЗСМИ можно записать и относительно центра масс, но уравнение будет выглядеть куда более громоздко:\[N_{5}\left({\frac{L}{2}}\cos\theta-R\sin\theta\right)=f_{5}\biggl({\frac{L}{2}}\sin\theta+R\cos\theta\biggr)+N_{2}\biggl({\frac{L}{2}}-a\biggr)+f_{2}R+N_{4}\biggl(b-{\frac{L}{2}}\biggr).\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каких минимальных коэффициентах трения $\mu$ и $\mu'$ возможно равновесие моста в этом случае? Приведите численные ответы с тремя значащими цифрами. ", "solution": {"text": "Вычислим $b=a+4R\operatorname{ctg}\frac{\theta}{2}=24~см$. Из условий равновесия шеста $A$:\begin{cases}f_1=f_2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}N_2\\N_1+mg=N_2\end{cases}Из условий равновесия $B$ и $C$:\[N_1=N_4\cos\theta+\frac{1}{2}(M+m)g.\]Комбинируя в одно уравнение:\[(N_{1}+m g)a+M g\left(\frac{L}{2}\cos\theta-R\sin\theta\right)=\left[N_{1}-\frac{1}{2}(M+m)g\right]\frac{b}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}(N_{1}+m g)\cdot 2R,\]откуда\[N_{1}={\frac{m g a+M g\left({\frac{L}{2}}\cos\theta-R\sin\theta\right)+{\frac{1}{2}}(M+m)g{\frac{b}{\cos\theta}}-{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}m g\cdot2R}{\frac{b}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\cdot2R-a}}=10.427mg.\]Тогда силы трения\[f_1=f_2=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}(N_1+mg)=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\frac{M g\left(\frac{L}{2}{\cos\theta}-R\sin\theta\right)+\frac{1}{2}(M+3m)g\frac{b}{\cos\theta}}{\frac{b}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\cdot2R-a}=4.733mg.\]Условия на силы трения\[f_1\le\mu N_1,\qquad f_2\le\mu N_2.\]Поскольку $f_1=f_2$, а $N_2 > N_1$, сначала нарушится первое неравенство. Итого: Добавим условие равновесия $D$:\[N_5=\frac{3}{2}(M+m)g=\frac{21}{2}mg\implies f_{5}=N_{1}\left(\operatorname{tg}\theta-{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}\right)-{\frac{1}{2}}(M+m)g\operatorname{tg}\theta-m g{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}=2.194mg.\]Условие для силы трения $f_5\le\mu'N_5\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mu\geq{\frac{f_{1}}{N_{1}}}=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\frac{M g\left(\frac{L}{2}{\cos\theta}-R\sin\theta\right)+\frac{1}{2}(M+3m)g\frac{b}{\cos\theta}}{m g a+M g\left({\frac{L}{2}}\cos\theta-R\sin\theta\right)+{\frac{1}{2}}(M+m)g{\frac{b}{\cos\theta}}-{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}m g\cdot2R}=0.454\]  Добавим условие равновесия $D$:\[N_5=\frac{3}{2}(M+m)g=\frac{21}{2}mg\implies f_{5}=N_{1}\left(\operatorname{tg}\theta-{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}\right)-{\frac{1}{2}}(M+m)g\operatorname{tg}\theta-m g{\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}}=2.194mg.\]Условие для силы трения $f_5\le\mu'N_5\implies$", "Ответ: \[\mu^{\prime}\geq\frac{f_{5}}{N_{5}}=\frac{2N_{1}}{3(M+m)g}\left(\operatorname{tg}\theta-\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)-\frac{1}{3}\operatorname{tg}\theta-\frac{2m}{3(M+m)}\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=0.209\]"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]