text: {"text": [{"text": "В данной работе вам потребуется определить радиус выданной нити тремя различными способами. Так как измеряемые эффекты достаточно тонкие, далее вам потребуется постичь дзен. 1. Катушка с ниткой 2. Две одинаковых гайки 3. Штатив с лапкой и муфтой 4. Линейка 5. Секундомер 6. Весы 7. Клейкая масса 8. Мерная лента 9. Ножницы и скотч по требованию"}, {"text": "Часть A. Геометрия винтовых линий (1 балл) Винтовой линией на поверхности цилиндра радиуса $R$ называется такая кривая, что в любой её точке касательная к ней составляет одинаковый угол с осью симметрии цилиндра (см. рис). Координаты $x$ и $y$ точек винтовой линии определяются выражениями $$x=R\cos(\varphi);~y=R\sin(\varphi) $$ Во всех пунктах данной части длина кривой равняется $l$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Пусть кривая совершает один оборот вокруг цилиндра радиуса $R<\frac{l}{2\pi}$ (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$) Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть $\varphi_B-\varphi_A=\Delta{\varphi}$. Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$"}, {"text": "Часть В. Подготовительная (4 балла)"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Для $\frac{R\Delta{\varphi}}{l}\ll1$ покажите, что $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ Полученные формулы пригодятся в дальнейших частях задачи."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,10"}, "text": "Измерьте массу гайки $m$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,90"}, "text": "Измерьте радиус нити $r_1$ методом рядов."}, {"text": "Часть C. Крутим гайку ( баллов) Соберите установку по схеме ниже. Длина нитей должна быть равна 30-45 см. В верхней точке расстояние между нитями должно быть порядка 1 мм или меньше. Точка скрепления нитей должна быть зафиксирована. Обратите внимание, что в положении равновесия нити закручены на какой-то угол."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "3,00"}, "text": "Измерьте момент инерции гайки относительно её главной оси. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$."}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": null}, "text": "Запишите расстояние $L$ от точки подвеса до точки скрепления для вашей установки. <img_1>"}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "1,70"}, "text": "При закручивании нитей на угол $\varphi$ гайка поднимается на высоту $h$. Снимите зависимость $h(\varphi)$ в максимально широком диапазоне (до углов порядка $500\pi$), закручивая гайку против часовой стрелки, если смотреть на на неё сверху вниз. В дальнейшем будем называть это направление закрутки правым. Следите за тем, чтобы отрезки нитей ниже точки скрепления не перекручивались. На нитях не должны появляться узелки и катышки."}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "1,10"}, "text": "Снимите аналогичную зависимость для закручивания в другую сторону. Убедитесь в асимметрии установки. ВАЖНО: Все дальнейшие измерения проводите при закручивании гайки против часовой стрелки, если смотреть на установку сверху. ВАЖНО: при построении всех дальнейших теоретических зависимостей считайте нити нерастяжимыми."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,30"}, "text": "Выведите теоретическую зависимость $h(\varphi)$. Пользуясь этим, линеаризуйте зависимость, полученную в пункте С2."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "1,20"}, "text": "Для правой закрутки нити постройте график зависимости $h(\varphi)$ в координатах, в которых он является линейным. Из углового коэффициента еще раз определите радиус нити $r_2$."}, {"balls": {"number": "С6", "exponent": "0,70"}, "text": "Получите теоретическую зависимость $\tau$ от параметров установки, где $\tau(h)$ - время, за которое гайка останавливается, если её отпустить с высоты $h$."}, {"balls": {"number": "С7", "exponent": "1,00"}, "text": "Для правой закрутки экспериментально получите зависимость $\tau(h)$."}, {"balls": {"number": "С8", "exponent": "2,50"}, "text": "Снимите зависимость $\tau(L)$. Постройте линеаризованный график."}, {"balls": {"number": "C9", "exponent": "1,20"}, "text": "Модулем кручения $f$ однородного стержня называют коэффициент пропорциональности в формуле $M = f \cdot \varphi$, где $M$ - закручивающий момент сил, приложенных к основанию стержня, $\varphi$ - угол поворота основания стержня. Определите коэффициент $C$ в зависимости $f = C/L$, где $f$ - собственный модуль кручения одной нити, $L$ - длина нити. Опишите метод. Оцените отношение $\frac{C}{mgr^2}$. Убедитесь, что рассмотренный эффект почти не влияет на полученные результаты."}, {"text": "Часть D. Крутим линейку (5 баллов) В этой части задачи используется экспериментальная установка, изображенная на рисунке ниже. Линейка подвешена на двух нитях параллельно полу, причём расстояние между концами нити на штативе мало, а на линейке - велико. Обозначим как $\tau'(\varphi)$ время, нужное системе, закрученной на угол $\varphi$, чтобы снова остановиться. <img_2> Перейдем к построению теоретической модели. Пусть линейка изначально повернута на угол $\varphi_0$ от положения равновесия."}, {"balls": {"number": "C10", "exponent": "0,30"}, "text": "Заметьте, что гайка раскручивается до неразличимых глазом угловых скоростей. Оцените по порядку, с какой максимальной угловой скоростью она вращается."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,20"}, "text": "Считая известным, что при отклонении линейки на угол $\varphi$ от положения равновесия изменение её высоты представимо в виде $$h=A{\varphi}, $$h=A{\varphi}, $$h=A{\varphi}, $$ $$h=A{\varphi}, $$ $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. $$h=A{\varphi}, $$ выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,80"}, "text": "Получите теоретическую зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. Соберите установку, изображенную на рисунке. Используйте $R_0\approx 24$ см, $H_0 < 40$ см."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "1,50"}, "text": "Снимите зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. Измерения проводите в диапазоне $\varphi_0 \in [\pi; 10\pi]$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "1,50"}, "text": "Постройте линеаризованный график и в третий раз определите радиус нити $r_3$."}]}
answer: [{"condition": "Пусть кривая совершает один оборот вокруг цилиндра радиуса $R<\frac{l}{2\pi}$  (т.е $\varphi_B-\varphi_A=2\pi$)  Найдите угол между касательной к кривой и осью симметрии цилиндра. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Угол наклона постоянен, так что "развернув" винтовую линию получим $$ l \sin \theta = 2\pi R $$ откуда $$ \theta = \text{arcsin} \frac{2\pi R}{l} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть  $\varphi_B-\varphi_A=\Delta{\varphi}$.  Выразите $z_B-z_A$ через $l$, $R$ и $\Delta{\varphi}$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Длина куска винтовой линии $d\varphi$ равна по теореме Пифагора $$ dl = \sqrt{(R\,\text{tg} \theta\, d\varphi)^2 + (Rd\varphi)^2}=d\varphi \sqrt{R^2\,\text{tg} ^2\theta\, +R^2} $$ Поэтому полная длина равна $l = R\Delta \varphi \sqrt{\,\text{tg}^2 \theta\, +1}$, откуда получаем $\text{tg} \theta\, =\sqrt{(\frac{l}{R\Delta \varphi})^2-1}$ и $$ \Delta z = z_B - z_A = R\,\text{tg} \theta\, \Delta \varphi = \sqrt{l^2 - (R\Delta \varphi)^2} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Для $\frac{R\Delta{\varphi}}{l}\ll1$ покажите, что  $$z_B-z_A=l-\frac{(R\Delta{\varphi})^2}{2l}$$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Раскладывая предыдущую формулу в ряд Тейлора получим ответ."]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Измерьте массу гайки $m$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Взесим гайку на весах. Разброс масс гаек достаточно большой. Ответ: $m = 10.0 \pm 0.4 \; г$."]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Измерьте радиус нити $r_1$ методом рядов. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Измерим радиус, плотно наматывая нить на линейку $N$ раз. Если длина намотанной части равна $D$, то радиус нити равен $r = \frac{D}{2N}$. Получим $N = 60$, $D = 12\pm 1 \; мм$ и $r = 0.10\pm0.01 \; мм$."]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Измерьте момент инерции гайки относительно её главной оси.  Считайте, что $g = 9,8$ $\text{м}/\text{с}^2$. ", "solution": {"text": "<img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Соберем бифилярный подвес (см. рис.). Нужно следить, чтобы гайка была параллельна полу. Из теории период крутильных колебаний будет равен $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{IL}{mgaR}} $$ Отсюда находим $$ I=\frac{mgaRT^2}{4\pi^2L} $$ Численно $I = (5.1 \pm 0.5) \cdot 10^{-7} \; \text{кг}\cdot\text{м}^2$. Чтобы увеличить точность измерения $a$ стоит взять его достаточно большим, но так чтобы успевать "ловить" период $T$. Чтобы точно измерить $R$ можно прокатить гайку по линейке. При перекате между гранями гайка проскальзывает по линейке. От этого можно избавиться прилепив очень тонкий слой клейкой массы на уголки гайки. Если гайка проехала расстояние $l$ за $N$ перекатов, ее длина радиус равен $$ R = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{l}{N} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Запишите расстояние $L$ от точки подвеса до точки скрепления для вашей установки. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При закручивании нитей на угол $\varphi$ гайка поднимается на высоту $h$. Снимите зависимость $h(\varphi)$ в максимально широком диапазоне (до углов порядка $500\pi$), закручивая гайку против часовой стрелки, если смотреть на на неё сверху вниз. В дальнейшем будем называть это направление закрутки правым. Следите за тем, чтобы отрезки нитей ниже точки скрепления не перекручивались.  На нитях не должны появляться узелки и катышки. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С2", "exponent_part": "1,70"}, {"condition": "Снимите аналогичную зависимость для закручивания в другую сторону. Убедитесь в асимметрии установки. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С3", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Выведите теоретическую зависимость $h(\varphi)$.  Пользуясь этим, линеаризуйте зависимость, полученную в пункте С2. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Систему из двух перекрученных нитей можно рассматривать как две винтовые линии с ненулевой "толщиной" линии. Точки соприкосновения двух нитей лежат на одной прямой, которая является осью винтовой линии. Поэтому и радиус винтовой линии равен радиусу нитей $r$. Используя результат A3 получим $$ h = \frac{(r\varphi)^2}{2L} $$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Для правой закрутки нити постройте график зависимости $h(\varphi)$ в координатах, в которых он является линейным. Из углового коэффициента еще раз определите радиус нити $r_2$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Как следует из предыдущего пункта зависимость $h(\varphi^2)$ должна быть линейной. Построим график в этих осях. Получается прямая. Ее угловой коэффициент из теории равен $$ k = \frac{r^2}{2L} $$ откуда находим $r_2 = \sqrt{2Lk}$."]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Получите теоретическую зависимость $\tau$ от параметров установки, где $\tau(h)$ - время, за которое гайка останавливается, если её отпустить  с высоты $h$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Запишем закон сохранения энергии: $$ E = mgh + \frac{I\omega^2}{2} = mg\frac{(r\varphi)^2}{2L} + \frac{I\dot{\varphi}^2}{2}=\text{const} $$ Дифференцируя это по времени, получим $$ 0=mg\frac{r^2\varphi \dot{\varphi}}{L}+I\dot{\varphi}\ddot{\varphi} $$ откуда $$ \ddot{\varphi} + \frac{mgr^2}{IL}\varphi=0. $$ Это уравнение гармонических колебаний с частотой $\omega_0 = \sqrt{\frac{mgr^2}{IL}}$. Время до первой остановки равно половине периода, т.е. $$ \tau = \frac{1}{2} \frac{2\pi}{\omega_0} = \pi \sqrt{\frac{IL}{mgr^2}} $$"]}, "number_part": "С6", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Для правой закрутки экспериментально получите зависимость $\tau(h)$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Измерив $\tau(h)$, получим, что это константа с точностью до случайной погрешности $\approx 1 c$, что и соответствует гармноническим колебаниям - период не зависит от амплитуды."]}, "number_part": "С7", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Снимите зависимость $\tau(L)$. Постройте линеаризованный график. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Из пункта C6 $$\tau = \pi \sqrt{\frac{IL}{mgr^2}}.$$ Построим график в осях $\tau(\sqrt{L})$. Он линейный, что подверждает теоретическую формулу для $\tau$."]}, "number_part": "С8", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Модулем кручения $f$ однородного стержня называют коэффициент пропорциональности в формуле $M = f \cdot \varphi$, где $M$ - закручивающий момент сил, приложенных к основанию стержня, $\varphi$ - угол поворота основания стержня. Определите коэффициент $C$ в зависимости $f = C/L$, где $f$ - собственный модуль кручения одной нити, $L$ - длина нити. Опишите метод. Оцените отношение $\frac{C}{mgr^2}$. Убедитесь, что рассмотренный эффект почти не влияет на полученные результаты. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Подвесим гайку на одной нити так, чтобы натянутая нить располагалась на оси вращательной симметрии гайки. Из теории известно, что при этом будут происходить гармонические колебания с периодом $$T_f = 2\pi \sqrt{\frac{I}{f}}$$ Таким образом: $$f = 4\pi^2 \frac{I}{T_{f}^{2}} = \frac{C}{L} \Leftrightarrow T_{f}^{2} = 4\pi^2 \frac{I}{C} L$$ Проведем измерения $T_{f}(L)$ и построим график в координатах $T_{f}^2(L)$. По коэффициенту наклона определим $C$: $$C = (1.9 \pm 0.3) \cdot 10^{-9} \: Н \cdot м$$"]}, "number_part": "C9", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Заметьте, что гайка раскручивается до неразличимых глазом угловых скоростей. Оцените по порядку, с какой максимальной угловой скоростью она вращается. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Энергия системы равна $$E = \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} + mgh = \frac{I \dot{\varphi}^2}{2} + \frac{mgr^2}{2L}\varphi^2 $$ Приравняем энергию системы в верхней и нижней точке: $$ \frac{I\omega^2}{2}=mgh $$ откуда $$ \omega = \sqrt{\frac{2mgh}{I}} $$ Взяв $ h = 30 \; мм$ и подставив числа, получим $\omega_{max} \approx 160 \; рад/с $."]}, "number_part": "C10", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Считая известным, что при отклонении линейки на угол $\varphi$ от положения равновесия изменение её высоты представимо в виде  $$h=A{\varphi},  $$  выразите $A$ через $R_0$,$H_0$ и $r$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: При переходе из прямого участка нити в винтовую линию ее угол наклона не меняется. "Развернув" нить и записав теорему Пифагора получим $$ H^2+(R_0+r\varphi)^2={H_0}^2+{R_0}^2 $$ Диффернцируя это по $\varphi$ получим $$ 2{H_0}\frac{dH}{d\varphi}+2{R_0}r=0 $$ (здесь мы пренебрегли слагаемым $2r^2\varphi$). Отсюда $$ H=H_0-\frac{R_0}{H_0}r\varphi $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Получите теоретическую зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Линейку можно считать длинным однородным стержнем, тогда ее момент инерции равен $I=\frac{1}{3}mR_0^2$. Запишем закон сохранения энергии: $$ E = mgh + \frac{I\dot{\varphi}^2}{2}=mgA\varphi+\frac{I\dot{\varphi}^2}{2}=\text{const} $$ Диффиринцируя это по времени: $$ 0 = mgA\dot{\varphi} + I\dot{\varphi}\ddot{\varphi} $$ откуда $$ \ddot{\varphi}=-\frac{mgA}{I}=\text{const} $$ Это уравнение равноускоренного движения. Время до остановки равно удвоенному времени прохождения из крайнего положения в положение равновесия: $$ \tau' = 2 \sqrt{\frac{2I\varphi_0}{mgA}}=2\sqrt{\frac{2R_0^2\varphi_0}{3gA}}=2\sqrt{\frac{2H_0R_0\varphi_0}{3gr}} $$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Снимите зависимость $\tau'(\varphi_0)$, где $\tau'$ - время от начала движения линейки до момента ее первой остановки, $\varphi_0$ - начальный угол закручивания нитей. Измерения проводите в диапазоне $\varphi_0 \in [\pi; 10\pi]$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Постройте линеаризованный график и в третий раз определите радиус нити $r_3$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Учитывая D2 построим график в координатах $\tau'(\sqrt{\varphi_0})$. Он линейный. Из теории, его угловой коэффициент равен $k=2\sqrt{\frac{2H_0R_0}{3gr}}$. Отсюда найдем $r_3=\frac{8H_0R_0}{3gk^2}$."]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "1,50"}]