text: {"text": [{"text": "Длинный брусок квадратного сечения свободно плавает в воде, при этом одна из боковых граней находится над поверхностью воды и параллельна ей (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При какой плотности материала бруска это возможно?"}]}
answer: [{"condition": "При какой плотности материала бруска это возможно? ", "solution": {"text": "Брусок плавает в устойчивом положении, если при его отклонении на небольшой угол $\alpha$ (см. рисунок) возникает вращающий момент сил. <img_1> Момент сил удобно считать относительно продольно оси, проходящей через центр $C$ торцевого сечения бруска, так как относительно этой оси момент силы тяжести бруска равен нулю. Момент архимедовой силы, действующей на погруженную в воду часть бруска, равен $$ M=M_{O K D}-\left(M_{A B D N}-M_{O N E}\right). $$ Обозначим $M_{A B D N}$ через $M_{1}$, а $M_{O K D}$ — через $M_{2}$. Поскольку по модулю $M_{O K D}=M_{O N E}=M_{2}$, то положение бруска будет устойчивым, если $2 M_{2}>M_{1}$. В свою очередь, имеем $$ M_{1}=\rho g L a h l_{1}, $$ где $\rho$ — плотность воды, $L$ — длина бруска, $l_{1}=\left(\frac{a}{2}-\frac{h}{2}\right) \alpha$, $$ M_{2}=\rho g L \frac{1}{2} \frac{a}{2} \frac{a}{2} \alpha l_{2}, $$ где $$ l_{2}=\frac{2}{3} \frac{a}{2}+\left(h+\frac{a}{2}\right) \alpha. $$ Неизвестную величину $h$ можно найти из условия $$ \rho a h L=\rho_{x} a^{2} L, $$ где $\rho_{x}$ — плотность бруска. Введем обозначение: $x=\rho_{x} / \rho$, тогда $h=x a$. С учетом этого условие устойчивости бруска примет вид $$ x^{2}-\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) x+\frac{2-3 \alpha}{12}>0. $$ Поскольку $\alpha$ — малый параметр, неравенство можно упростить: $x^{2}-x+\frac{1}{6}>0$. Решая это неравенство, получим $$ 0$$ Так как плотность воды равна $\rho=1~г/см^{3}$, имеем окончательно $$ 0<\rho_{x}<0.21~г/см^{3} \text { и } 0.79~ г/см^{3}<\rho_{x}<1~г/см^{3}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ 0<\rho_{x}<0.21~г/см^{3} \text { и } 0.79~ г/см^{3}<\rho_{x}<1~г/см^{3}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]