text: {"text": [{"text": "В трубе сечения $S$ течёт взвесь - жидкость, переносящая с собой мелкие сжимаемые гранулы (см. рисунок). <img_0> На участке с давлением $p$ объём отдельной гранулы $V$, а на участке с пониженным давлением $p-\Delta p$ объём гранулы $V+\Delta V$. Число гранул, проходящих за единицу времени через любое сечение трубы, равно $\nu$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите массу взвеси $\mu$, проходящую через трубу за единицу времени при стационарном течении, если трения со стенками трубы нет, а скорость жидкости и гранул по всему сечению одинакова. Изменением плотности жидкости пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Найдите массу взвеси $\mu$, проходящую через трубу за единицу времени при стационарном течении, если трения со стенками трубы нет, а скорость жидкости и гранул по всему сечению одинакова. ", "solution": {"text": "Если $n_{1}$, $n_{2}$ и $u_{1}$, $u_{2}$ концентрации гранул и скорости течения на указанных в условии участках трубы, то $\nu=n_{1} u_{1} S$ и $\nu=n_{2} u_{2} S$. Из несжимаемости жидкости следует постоянство объёмного расхода: $$ u_{1} S\left(1-n_{1} V\right)=u_{2} S \left(1-n_{2}(V+\Delta V)\right). $$ Отсюда находится разность скоростей течения на указанных участках $\Delta u=u_{2}-u_{1}=\nu \Delta V / S$. Рассмотрим смещение объема взвеси между указанными участками за время $d t$, при этом задняя граница объема сместится вправо на $u_{1} d t$, а передняя на $u_{2} d t$. В области пересечения картина течения прежняя. От исходного отрезка сзади «отрезается» кусок $u_{1} d t$ с массой $d m=\mu d t$, а спереди добавляется кусок $u_{2} d t$ с той же массой. Определим суммарную силу, действующую на отрезок взвеси, через изменение импульса: $$ F=\frac{d p}{d t}=\frac{d m}{d t}\left(u_{2}-u_{1}\right)=\mu\left(u_{2}-u_{1}\right)=\Delta p S, $$ откуда $$ \mu=\frac{\Delta p S}{u_{2}-u_{1}}=\frac{\Delta p S^{2}}{\nu \Delta V}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \mu=\frac{\Delta p S^{2}}{\nu \Delta V}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]