text: {"text": [{"text": "<img_0> Принцип эквивалентности Эйнштейна гласит, что законы физики в присутствие гравитации работают так же, как в отсутствие гравитации в неинерциальных системах отсчёта, движущихся с соответствующим ускорением. Два примера этого принципа будут рассмотрены в этой задаче. Когда луч света перемещается из области с меньшим гравитационным потенциалом в область с большим, его длина волны увеличивается. Это явление называется гравитационным красным смещением. Рассмотрим луч света с длиной волны $\lambda_0$, который излучается вертикально вверх из точки $A$ рядом с поверхностью сферической однородной звезды, и попадает на зафиксированный на расстоянии $L$ по вертикали от точки $A$ приёмник $B$. Известно, что масса звезды равна $M$, а её радиус равен $R$ $\left(R\gg L\right)$. Гравитационное поле считайте слабым, так что применимы приближения ньютоновской теории гравитации. Скорость света в вакууме равна $c$, гравитационная постоянная равна $G$."}, {"balls": {"number": "1.1", "exponent": "11,00"}, "text": "Найдите длину волны $\lambda'$ принимаемого света. Предположим, что, как показано на рисунке, свет испускает из точки $A$ с одной стороны длинного ящика и принимается в точке $B$ на другой его стороне. Ящик имеет при том длину $L$ и находится вдали от гравитационных полей. В момент времени $t=0$ ящик начинает равномерно ускоряться в направлении AB, его ускорение равно $a$ $\left(aL \ll c^2 \right)$, и одновременно с этим из $A$ испускается луч света."}, {"balls": {"number": "1.2", "exponent": "12,00"}, "text": "В рамках специальной теории относительности найдите длину волны света $\lambda''$, принимаемую в точке $B$."}, {"balls": {"number": "1.3", "exponent": "2,00"}, "text": "Сравните результаты, полученные в п. 1.1 и п. 1.2. Чему должно быть равно ускорение $a$, если следовать принципу эквивалентности? Первая экспериментальная проверка гравитационного красного смещения на Земле была проведена с помощью детектора, работающего на основе эффекта Мессбауэра. Такой детектор может определять энергию $\gamma$-квантов с очень хорошей точностью. По аналогии с п. 1.1, стационарный источник $\gamma$-излучения размещается около поверхности земли, частота излучаемых им $\gamma$-квантов равна $\nu_0$. Детектор размещается в точке $B$ на пути излучения. Известно, что детектор может поглощать только $\gamma$-кванты, имеющие частоту $\nu_0$ в системе отсчёта детектора. Чтобы обнаружить $\gamma$-кванты, испущенные из $A$, детектору необходимо придать некоторую направленную вертикально вниз скорость. В период с 1960 по 1964 год Паунд, Ребка и Снайдер использовали башню физической лаборатории Джефферсона в Гарвардском университете для проведения данного эксперимента. В их эксперименте $L=22.6~\text{м}$. Ускорение свободного падения на поверхности земли $g=9.81~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, скорость света в вакууме $c=3.00\cdot10^8~\frac{\text{м}}{\text{с}}$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "10,00"}, "text": "Найдите, с какой скоростью $v$ должен двигаться при этом детектор, чтобы обнаружить $\gamma$-квант, излученный в точке $A$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите длину волны $\lambda'$ принимаемого света. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\lambda' = \lambda_0 \left( 1 + \frac{GM}{R^2} \frac{L}{c^2} \right).\]"]}, "number_part": "1.1", "exponent_part": "11,00"}, {"condition": "В рамках специальной теории относительности найдите длину волны света $\lambda''$, принимаемую в точке $B$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\lambda'' = \lambda_0 \left( 1 + a \frac{L}{c^2} \right).\]"]}, "number_part": "1.2", "exponent_part": "12,00"}, {"condition": "Сравните результаты, полученные в п. 1.1 и п. 1.2. Чему должно быть равно ускорение $a$, если следовать принципу эквивалентности? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[a = \frac{GM}{R^2}.\]"]}, "number_part": "1.3", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите, с какой скоростью $v$ должен двигаться при этом детектор, чтобы обнаружить $\gamma$-квант, излученный в точке $A$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[v = 7.39 \cdot 10^{-7}~\frac{\text{м}}{\text{с}}.\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "10,00"}]