text: {"text": [{"text": "В этой задаче рассмотрим, как происходит замедление и посадка выведенного из эксплуатации космического шаттла, показанного на рисунке 1. <img_0> Процесс возвращения шаттла на Землю можно разделить на следующие этапы: $\it1)$ На шаттле на несколько минут включается двигатель, придающим ему импульс против движения, и он выходит на эллиптическую орбиту, вводящую его в атмосферу; $\it2)$ Шаттл входит в атмосферу на высоте около $120\ км$ со скоростью $7.6\ \cfrac{км}с$ под углом $40^\circ$ к горизонту; $\it3)$ На высоте около $70\ км$ при скорости $6.7\ \cfrac{км}с$ оболочка шаттла разогревается до максимальной температуры; $\it4)$ На высоте $55\ км$ при скорости $3.7\ \cfrac{км}с$ угол, под которым шаттл движется к горизонту, начинает уменьшаться; $\it5)$ Шасси выпускаются на скорости $430\ \cfrac{км}ч=120\ \cfracмс$, шаттл приземляется на скорости $346\ \cfrac{км}ч=96\ \cfracмс$. В момент времени $t$ шаттл массой $m$, движущийся со скоростью $v$, выбрасывает газ в направлении движения со скоростью $u$ относительно шаттла с массовым расходом $-\cfrac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Выразите ускорение шаттла $a$ через $\cfrac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$. Обозначим начальные и конечные массу и скорость шаттла как $m_i$, $v_i$ и $m_f$, $v_f$ соответственно."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Выразите $v_f$ через $v_i$, $m_i$ и $m_f$. Когда шасси касаются земли, у шаттла раскрывается тормозной парашют диаметром $12\ м$, как показано на рисунке 2. Парашют закрывается по достижении шаттлом скорости $110\ \cfrac{км}ч$. <img_1> После соприкосновения со взлётно-посадочной полосой и до закрытия парашюта скорость шаттла меняется по закону:\[v(t)=\frac a{bt+1},\]где $t$ — время с момента раскрытия парашюта, а $a$ и $b$ — известные постоянные. Пусть $v_i$ и $v_f$ — начальная и конечная скорости шаттла соответственно, $m$ — масса шаттла, а $\tau$ — время закрытия парашюта."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "Выразите $a$ и $b$ через $v_i$, $v_f$ и $\tau$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": null}, "text": "Выразите силу $f(t)$, действующую на шаттл, через $m$, $v_i$, $v_f$, $\tau$ и $v(t)$. Сила сопротивления воздуха, действующая на шаттл, равна:\[f=\frac12C\rho Sv^2,\]где $C$ — коэффициент лобового сопротивления, $\rho$ — плотность воздуха, а $S$ — сечение парашюта. Для рассматриваемого шаттла $C=1.42$, $m=78\,000\ кг$, плотность воздуха $\rho=1.225\ \cfrac{кг}{м^3}$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": null}, "text": "Найдите время $\tau$, в течение которого был открыт парашют. Какое расстояние $L$ преодолел за это время шаттл? На какую величину $\Delta E$ уменьшилась за это время его кинетическая энергия? Когда шаттл входит в атмосферу, его оболочка очень сильно разогревается (см. рис. 3). Это происходит потому, что молекулы воздуха сталкиваются с шаттлом на очень большой скорости. Известно, что внутренняя энергия молекул двухатомного газа при высоких температурах равна $\cfrac72k_BT$, где $k_B\approx1.4\cdot10^{-23}\ \cfrac{Дж}К$ — постоянная Больцмана. Молярная масса воздуха $\mu=29\ \cfracг{моль}$, постоянная Авогадро $N_A\approx6.0\cdot10^{23}\ моль^{-1}$. Рис. 3"}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": null}, "text": "Оцените максимальную температуру $T$ газа вокруг оболочки шаттла."}]}
answer: [{"condition": "Выразите ускорение шаттла $a$ через $\cfrac{\mathrm dm}{\mathrm dt}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[a=\frac um\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $v_f$ через $v_i$, $m_i$ и $m_f$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[v_f=v_i-u\ln\frac{m_i}{m_f}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $a$ и $b$ через $v_i$, $v_f$ и $\tau$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[a=v_i,\quad b=\frac1\tau\left(\frac{v_i}{v_f}-1\right)\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите силу $f(t)$, действующую на шаттл, через $m$, $v_i$, $v_f$, $\tau$ и $v(t)$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f(t)=\frac m\tau\left(\frac1{v_f}-\frac1{v_i}\right)v(t)^2\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите время $\tau$, в течение которого был открыт парашют. Какое расстояние $L$ преодолел за это время шаттл? На какую величину $\Delta E$ уменьшилась за это время его кинетическая энергия? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\tau=18\ с,\quad L=910\ м,\quad\Delta E=3.2\cdot10^8\ Дж\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените максимальную температуру $T$ газа вокруг оболочки шаттла. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T=2.2\cdot10^3\ К\] Ответы того же порядка, полученные из логически верных соображений, также считаются правильными."]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "??"}]