text: {"text": [{"text": "<img_0> Три материальные точки $A$, $B$ и $C$, имеющие одинаковую массу $m$, образуют равносторонний треугольник, как показано на рисунке. Материальные точки взаимодействуют гравитационно. Известно, что когда все три точки вращаются вокруг оси, проходящей через центр масс системы перпендикулярно плоскости треугольника, с некоторой угловой скоростью $\omega$, их взаимное расположение (т.е. форма треугольника) не меняется с течением времени."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите величину этой угловой скорости $\omega$. Выразите ответ через $m$, $a$ и гравитационную постоянную $G$. Пусть теперь массы материальных точек равны $m_A$, $m_B$ и $m_C$ ($m_A\neq m_B\neq m_C$). Известно, что существует точка $O'$ такая, что при вращении материальных точек с некоторой угловой скоростью вокруг оси, проходящей через неё перпендикулярно плоскости треугольника, взаимное расположение точек тоже не меняется со временем."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите величину этой угловой скорости $\omega'$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите величину этой угловой скорости $\omega$. Выразите ответ через $m$, $a$ и гравитационную постоянную $G$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega=\sqrt{\frac{3Gm}{a^3}}.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите величину этой угловой скорости $\omega'$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\omega'=\sqrt{\frac{G\left(m_A+m_B+m_C\right)}{a^3}}.\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]