text: {"text": [{"text": "<img_0> Многие гоночные автомобили бывают оснащены регулируемыми дефлекторами для создания дополнительного вертикального давления на автомобиль. При этом сила давления равна $f_B = c_B v^2$, где $v$ — скорость автомобиля, $c_B$ — постоянная величина. Сила давления направлена вверх, если вверх направлена передняя часть дефлектора, и наоборот. Действующая на автомобиль сила сопротивления воздуха равна $f_A = c_A v^2$, где $v$ — скорость автомобиля, $c_A$ — постоянная величина. Масса автомобиля равна $m$, коэффициент трения покоя между шинами и асфальтом равен $\mu_S$ ($\mu_S < 1$). Когда автомобиль движется со скоростью $v$ по прямой горизонтальной дороге, на него действует дополнительно сила трения качения, пропорциональная весу автомобиля с коэффициентом, равным $\mu_R$ ($\mu_R < \mu_S$). Передняя часть дефлектора направлена вверх. Найдите мощность двигателя автомобиля при данной скорости $v$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "8,00"}, "text": "Найдите максимальную мощность $P_{max}$, которая достигается двигателем на всём диапазоне возможных скоростей. Теперь автомобиль движется с постоянной скоростью по кольцевой дороге радиуса $r$. Силой трения качения можно пренебречь, а максимально возможную мощность двигателя можно считать достаточно большой. Найдите максимальную скорость $v_{max}$, при которой автомобиль не соскальзывает с дороги и не отрывается от земли для двух разных положений дефлектора."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "12,00"}, "text": "При каком его положении $v_{max}$ окажется больше?"}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимальную мощность $P_{max}$, которая достигается двигателем на всём диапазоне возможных скоростей. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P=\left(c_{A}-\mu_{R} c_{B}\right) v^{3}+\mu_{R} m g v.\] Если $c_A \leq \mu_R c_B$ или $\mu_{R} c_{B}>c_{A} \geq \frac{2 \mu_{R} c_{B}}{3}\left[1-\frac{\mu_{R}}{\left(3 \mu_{S}-2 \mu_{R}\right)}\right]$, то\[P_{\max } = c_{A} \mu_{S} \sqrt{\left(\mu_{S}-\mu_{R}\right)}\left(\frac{m g}{c_{B}\left(\mu_{S}-\mu_{R}\right)+c_{A}}\right)^{3/2}.\] Если $c_{A} < \frac{2 \mu_{R} c_{B}}{3}\left[1-\frac{\mu_{R}}{\left(3 \mu_{S}-2 \mu_{R}\right)}\right]$, то\[P_{max} = \frac{2 \sqrt{3}\left(m g \mu_{R}\right)^{3/2}}{9 \sqrt{\left(\mu_{R} c_{B}-c_{A}\right)}}.\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "8,00"}, {"condition": "При каком его положении $v_{max}$ окажется больше? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Введём для удобства $a = c_B^2 \mu_S^2 - \frac{m^2}{r^2} - c_A^2$; $\varepsilon = 1$, когда передняя часть дефлектора наклонена вниз, $\varepsilon = -1$ иначе. Тогда: если $a = 0$, $\varepsilon = 1$, то\[v_{max} = \infty,\] если $a = 0$, $\varepsilon = -1$, то\[v_{max} = \sqrt{\frac{mg}{2c_B}},\] если $a > 0$, $\varepsilon = 1$, то\[v_{max} = \infty,\] если $a > 0$, $\varepsilon = -1$, то\[v_{max}=\sqrt{\frac{m g \mu_S}{c_{B} \mu_{S}+\sqrt{m^{2} / r^{2}+c_{A}^{2}}}},\] если $a < 0$, $\varepsilon = \pm 1$, то\[v_{max}=\sqrt{\frac{m g \mu_S}{- \varepsilon c_{B} \mu_{S}+\sqrt{m^{2} / r^{2}+c_{A}^{2}}}}.\] В любом случае скорость $v_{max}$ будет больше при $\varepsilon = 1$, то есть когда передняя часть дефлектора наклонена вниз."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "12,00"}]