text: {"text": [{"text": "В рамках данной задачи вам предлагается изучить векторный подход к задачам, связанным с кеплеровым движением,вывести третий закон Кеплера и решить задачу двух тел."}, {"text": "Часть A.Вектор Лапласа$~$-$~$Рунге$~$-$~$Ленца. Частица массы $m$ движется в центральном поле $U=-\frac{\alpha}{r}$. Энергия системы равняется $E$, момент импульса частицы относительно центра равняется $L$. Перед вами стоит задача описать траекторию частицы $$ $$ Примечание:Вам может понадобиться следующее векторное равенство $$[\vec{a}\times[\vec{b}\times\vec{c}]]=\vec{b}\cdot(\vec{a}\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\vec{b}) $$"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите ускорение частицы $\vec{a}$ в произвольный момент времени. Ответ выразите через $\alpha$,$m$,$r$ и единичный вектор $\vec{e_r}$, направленный вдоль радиус-вектора частицы"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Выразите вектор момент импульса $\vec{L}$ через $m$,$r$ и $\vec{\omega}$, где $\vec{\omega}$ - вектор угловой скорости вращения радиус-вектора."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Покажите, что $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$ $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$ $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$ $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$ $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$ $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$ $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}] $$"}, {"text": "Часть B.Годограф вектора скорости и уравнение траектории."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Используя результаты первых трёх пунктов, покажите, $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}] $$ Из последнего соотношения следует, что векторная величина $$\vec{A}=[\vec{v}\times\vec{L}]-{\alpha}\vec{e_r} $$ является интегралом движения, т.е производная данной величины по времени равняется нулю. $$ $$ Вектор $\vec{A}$ называется вектором Лапласа$~$-$~$Рунге$~$-$~$Ленца. Часто использование данной величины позволяет решить задачи о кеплеровом движении значительно быстрее.Переходим к следующей части"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Найдите скорость частицы с точностью до векторной произвольный постоянной.Ответ выразите через $\alpha$,$\vec{L}$ ,$\vec{e_r}$ и произвольную постоянную $\vec{C}$"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Дайте геометрическую интерпретацию уравнению,полученному в предыдущем пункте,указав геометрическое место точек, где может оказаться конец вектора скорости частицы, а также начало отсчёта вектора скорости."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "Выражение для момента импульса можно преобразовать к виду $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B} $$ Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": null}, "text": "Введём 2 единичных вектора:$\vec{k}$, направленный вдоль момента импульса и $\vec{e_n}$ такой что $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}] $$ Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$. $$ $$ Выражение для $r$ представимо в виде $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}} $$ Выразите $p$ и $e$ через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ Уравнение, полученное в пункте B4, представляет собой уравнение конического сечения относительно одного из его фокусов. В случае $\alpha>0$ Данное уравнение может представлять собой эллипс,параболу и гиперболу, а в случае $\alpha<0$ - только гиперболу, поскольку эксцентриситет $e$ данной орбиты должен быть больше 1. $$ $$ Полученное нами выражение для $e$ в предыдущем пункте содержит неизвестную константу $C$."}, {"text": "Часть C. Третий закон Кеплера. Пусть частица движется по эллиптической орбите. В этой части задачи нам необходимо найти период её обращения. Примечание:Площадь эллипса $S$ равняется $$S={\pi}ab $$"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": null}, "text": "Выразите $e$ через $E$,$L$,$\alpha$,$m$"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": null}, "text": "Из закона сохранения момента импульса следует, что скорость заметания площади радиус-вектором $\sigma$ остаётся постоянной в процессе движения. $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ $$ $$ Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": null}, "text": "Выразите $b$ через $a$ и $e$"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": null}, "text": "Выразите $a$ и $b$ через $E$,$L$,$\alpha$ и $m$"}, {"text": "Часть D. Задача двух тел в случае гравитационного взаимодействия. Рассмотрим две взаимодействующих только друг с другом частицы массами $m_1$ и $m_2$. Поскольку центр масс частиц движется с постоянной скоростью, для описания движения частиц необходимо описать движение частиц друг относительно друга. $$ $$ Пусть $\vec{r_{12}}$ - радиус-вектор, проведённый от первой частицы ко второй."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": null}, "text": "Выразите период обращения $T$ через $a$,$\alpha$ и $m$"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": null}, "text": "Найдите ускорения $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ первой и второй частиц соответственно. Ответы выразите через $\alpha$,$m_1$,$m_2$ и $\vec{r_{12}}$"}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": null}, "text": "Уравнение движения второй частицы относительно первой представимо в следующем виде $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}} $$ Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ Как видно из выражения в пункте $D2$, движение частицы массы $\mu$ в том же силовом поле описывает движение второй частицы относительно первой. $$ $$ Пусть $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ - векторы скоростей первой и второй частиц соответственно."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": null}, "text": "Найдите период обращения второй частицы относительно первой $T_{21}$. Ответ выразите через $\alpha$,$m_1$,$m_2$,$r_{12}$,$\vec{v_1}$,$\vec{v_2}$"}]}
answer: [{"condition": "Найдите ускорение частицы $\vec{a}$ в произвольный момент времени. Ответ выразите через $\alpha$,$m$,$r$ и единичный вектор $\vec{e_r}$, направленный вдоль радиус-вектора частицы ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите вектор момент импульса $\vec{L}$ через $m$,$r$ и $\vec{\omega}$, где $\vec{\omega}$ - вектор угловой скорости вращения радиус-вектора. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Покажите, что  $$\frac{d\vec{e_r}}{dt}=[\vec{\omega}\times\vec{e_r}]  $$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Используя результаты первых трёх пунктов, покажите,  $$\vec{a}=\frac{\alpha}{L^2}\cdot[\vec{L}\times\frac{d\vec{e_r}}{dt}]  $$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите скорость частицы с точностью до векторной произвольный постоянной.Ответ выразите через $\alpha$,$\vec{L}$ ,$\vec{e_r}$ и произвольную постоянную $\vec{C}$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Дайте геометрическую интерпретацию уравнению,полученному в предыдущем пункте,указав геометрическое место точек, где может оказаться конец вектора скорости частицы, а также начало отсчёта вектора скорости. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выражение для момента импульса можно преобразовать к виду  $$\vec{L}=mr\cdot\vec{B}  $$  Выразите вектор $\vec{B}$ черех $\vec{e_r}$,$\vec{L}$,$\alpha$ и $\vec{C}$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Введём 2 единичных вектора:$\vec{k}$, направленный вдоль момента импульса и $\vec{e_n}$ такой что  $$\vec{e_r}=[\vec{e_n}\times\vec{k}]  $$  Пусть угол между векторами $\vec{C}$ и $\vec{e_n}$ равен $\varphi$.  $$  $$  Выражение для $r$ представимо в виде  $$r=\frac{p}{1+e~cos{\varphi}}  $$  Выразите $p$ и $e$  через $L$,$\alpha$,$m$,$C$ и $\varphi$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $e$ через $E$,$L$,$\alpha$,$m$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Из закона сохранения момента импульса следует, что скорость заметания площади радиус-вектором $\sigma$ остаётся постоянной в процессе движения.  $$  $$  Выразите $\sigma$ через $L$ и $m$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $b$ через $a$ и $e$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $a$ и $b$ через $E$,$L$,$\alpha$ и $m$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите период обращения $T$ через $a$,$\alpha$ и $m$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите ускорения $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ первой и второй частиц соответственно. Ответы выразите через $\alpha$,$m_1$,$m_2$ и $\vec{r_{12}}$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Уравнение движения второй частицы относительно первой представимо в следующем виде  $${\mu}\vec{a_{отн}}=-\frac{{\alpha}\vec{r_{12}}}{r^3_{12}}  $$  Выразите $\mu$ через $m_1$ и $m_2$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите период обращения второй частицы относительно первой $T_{21}$. Ответ выразите через $\alpha$,$m_1$,$m_2$,$r_{12}$,$\vec{v_1}$,$\vec{v_2}$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D3", "exponent_part": "??"}]