text: {"text": [{"text": "Работа над повышением КПД паросиловых установок является важной частью снижения экономических затрат на поддержание электростанций. Развитие данной отрасли всегда упиралось в сложности технической реализации установок, а также в переход реального газа в жидкую фазу. Инженеры сформулировали следующие требования к веществам, используемым в циклах:"}, {"text": "Часть A. Цикл Ренкина с идеальным газом (2.0 балла). Рассмотрим цикл Ренкина с идеальным многоатомным газом. Абсолютные температуры в точках $1$, $2$ и $4$ обозначим за $T_1$, $T_2$ и $T_4$ соответственно. Введём величины $\alpha$ и $\beta$, определяющие соотношение между температурами и давлениями в точках $2$ и $4$: $$\alpha=\cfrac{T_4}{T_2}\qquad \beta=\cfrac{p_4}{p_2} $$"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,70"}, "text": "Выразите отведённое от газа за цикл количество теплоты $Q_-$ через $T_1$, $T_2$, $T_4$, $R$, количество вещества газа $\nu$ и показатель адиабаты $\gamma$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,80"}, "text": "Выразите отношение $T_1/T_4$ через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$."}, {"text": "Часть B. Бинарный газово-пароводяной цикл (2.5 балла). В данной части задачи рассматривается бинарный цикл, представляющий собой комбинацию газового и пароводяного циклов. Считайте известными следующие данные: $$t_1=640^{\circ}\mathrm{C}\quad t_2=40^{\circ}\mathrm{C}\quad t_3=470^{\circ}\mathrm{C}\quad t_4=230^{\circ}\mathrm{C} $$ В изобарных процессах между ртутью и водяным паром происходит теплообмен, так что количество теплоты, отведённое от паров ртути на участке $b_\text{(р)}-c_\text{(р)}$ равно количеству теплоты, подведённому к парам воды на участке $d_\text{(в)}-a_\text{(в)}$: $$-Q_{bc(\text{р})}=Q_{da(\text{в})} $$"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Получите выражение для КПД цикла $\eta_1$. Ответ выразите через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. Как уже говорилось ранее, реальным газам свойственен переход в жидкую фазу. В соответствии с требованиями инженеров к рабочим веществам бинарных циклов, опытным путём было установлено, что вода и ртуть компенсируют недостатки друг друга. Вода не удовлетворяет условию низкой теплоемкости в жидкой фазе и обладает низкой критической температурой, но удовлетворяет условию не слишком низкого значения давления в конденсаторе. Ртуть же имеет невысокое давление насыщенных паров при высоких температурах и высокую критическую температуру при сравнительно невысоком давлении, но очень низкое давление насыщенных паров в конденсаторе. В процессе вода при температурах, близких к критической, обменивается теплом с ртутью при сравнительно невысоких для ртути температурах (порядка $200-300^\circ\mathrm{C}$). Во всех последующих частях задачи рассматриваются циклы с водой и ртутью. Индексами $\text{''(р)''}$ и $\text{''(в)''}$ будем характеризовать ртутный и водяной циклы соответственно. Используйте обозначения, численные данные и приближения, описанные ниже: <img_0> <img_1> <img_2> <img_3> <img_4> <img_5>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите отношение масс ртути и воды $m_\text{(р)}/m_\text{(в)}$, участвующих в цикле."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,40"}, "text": "Используя графики зависимости давления насыщенных паров ртути и воды от температуры, оцените значения давлений $p_{c\text{(р)}}$ и $p_{c\text{(в)}}$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите КПД ртутного и водяного цикла $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$ соответственно."}, {"text": "Часть C. Цикл Ренкина с промежуточным перегревом пара (2.0 балла). Температура в точке $1$ равна $t_1=630^{\circ}\mathrm{C}$. В точке $3$ давление в системе равно $p_3=16~\text{кПа}$, а в точке $4$ — $p_4=2{,}8~\text{Мпа}$. Цикл проводится с массой $m_\text{в}=17~\text{кг}$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите КПД $\eta_\text{гп}$ бинарного газово-пароводяного цикла. Сравните его с $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$. В действительности, рассмотренный в части $\mathrm{B}$ бинарный цикл работает несколько иначе, поскольку теплоёмкость водяного пара зависит от температуры даже при постоянном давлении. Это связано как с тем, что насыщенный пар воды в действительности не является идеальным газом, так и с тем, что при повышении температуры газа вклад колебательного движения молекул в их кинетическую энергию перестаёт быть пренебрежимо малым, поэтому во всех последующих пунктах задачи считать пар воды идеальным газом уже нельзя. В действительности, молярная теплоёмкость пара воды $C_V$ зависит как от температуры, так и от давления, однако в рамках задачи при поиске элементарного количества теплоты $\delta{Q}$ зависимость $C_V$ от давления можно считать слабой, а также воспользоваться приближением изменения теплоёмкости скачком: $$C_V=\begin{cases} 3R\quad\text{при}\quad{t\leq{180^{\circ}C}}\\ 7R/2\quad\text{при}\quad{t>180^{\circ}C} \end{cases} $$ поскольку теплоёмкость $C_V$ непрерывно зависит и от температуры, и от давления, любое интегральное уравнение состояния в координатах $pT$ (к примеру, уравнение Пуассона для адиабатического процесса), применённое при температуре, большей $t_{crit}\approx200^\circ$, будет давать существенную ошибку и приводить к При температурах, меньших $t_{crit}$, можно с хорошей точностью пользоваться уравнениями состояния даже в координатах $pT$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите температуры системы в точках $2$, $3$, $4$, $5$ и $6$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите количество теплоты $Q_+$, подведённое к системе за цикл."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите количество теплоты $Q_-$, отведённое от системы за цикл."}, {"text": "Часть D. Бинарный цикл Ренкина (3.5 балла) Циклы проводятся согласованно и таким образом, что количество теплоты, отведённое от ртути на участке $b_\text{р}-c_\text{р}$ равно количеству теплоты, подведённому к парам воды на участке $e_\text{в}-f_\text{в}$: $$-Q_{bc(\text{р})}=Q_{ef(\text{в})} $$ Процессы $b_\text{р}-c_\text{р}$ и $e_\text{в}-f_\text{в}$ проводятся при одинаковой температуре. Давления в точках $b_\text{в}$, $c_\text{в}$ и $e_\text{в}$ водяного цикла равны соответственно: $$p_{b(\text{в})}=25~\text{кПа}\qquad p_{c(\text{в})}=88~\text{кПа}\qquad p_{e(\text{в})}=1{,}2~\text{МПа} $$ Отношение масс ртути и воды $m_\text{р}/m_\text{в}=10{,}3$"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите работу газа $A$ за цикл и его КПД $\eta_2$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите температуры в точках $b_\text{в}$, $c_\text{в}$, $d_\text{в}$, $e_\text{в}$, $f_\text{в}$ водяного цикла."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите температуру в точке $a_\text{в}$ водяного цикла."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите давление ртути на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите КПД бинарного цикла Ренкина с ртутью и водой $\eta_3$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите отведённое от газа за цикл количество теплоты  $Q_-$ через $T_1$, $T_2$, $T_4$, $R$, количество вещества газа $\nu$ и показатель адиабаты $\gamma$. ", "solution": {"text": "Решение в $TS$ координатах. <img_6> Тепло отводится от газа в изотермическом процессе, поэтому для $Q_-$ получим: $$Q_-=T_2(S_2-S_3) $$ где $S_2$ и $S_3$ - энтропия газа в точках $2$ и $3$ соответственно. Поскольку изменение энтропии в адиабатических процессах равно нулю: $$S_2-S_3=S_1-S_4=\int\limits_{T_4}^{T_1}\cfrac{\nu C_pdT}{T}=\cfrac{\gamma\nu R}{\gamma-1}\ln\cfrac{T_1}{T_4} $$ откуда находим Решение в $pV$ или $pT$ координатах. <img_7> Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: $$pV=\nu RT $$ Тепло отводится от газа в изотермическом процессе, в котором $\delta{Q}=\delta{A}$, поэтому: $$\delta{Q}=pdV=\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow Q_-=\nu RT_2\int\limits_{V_3}^{V_2}\cfrac{dV}{V}=\nu RT_2\ln\cfrac{V_2}{V_3} $$ Поскольку процесс $23$ изотермический — $V_2/V_3=p_3/p_2$. Перепишем выражение для $Q_-$: $$Q_-=\nu RT\ln\cfrac{p_3}{p_2} $$ Для идеального газа в квазистатическом адиабатическом процессе верно уравнение Пуассона: $$p\sim{T^{\gamma/(\gamma-1)}} $$ поэтому: $$\begin{cases} \cfrac{p_1}{p_2}=\left(\cfrac{T_1}{T_2}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}\\ \cfrac{p_4}{p_3}=\left(\cfrac{T_4}{T_3}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} \end{cases} \implies{\cfrac{p_3}{p_2}=\left(\cfrac{T_1}{T_4}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}} $$ Поскольку $T_3=T_2$ и $p_4=p_1$. Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q_-=\cfrac{\gamma \nu RT_2}{\gamma-1}\ln\cfrac{T_1}{T_4} $$  Решение в $pV$ или $pT$ координатах. На диаграмме представлен качественный график процесса в координатах $pV$. Используем уравнение Менделеева-Клапейрона: $$pV=\nu RT $$ Тепло отводится от газа в изотермическом процессе, в котором $\delta{Q}=\delta{A}$, поэтому: $$\delta{Q}=pdV=\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow Q_-=\nu RT_2\int\limits_{V_3}^{V_2}\cfrac{dV}{V}=\nu RT_2\ln\cfrac{V_2}{V_3} $$ Поскольку процесс $23$ изотермический — $V_2/V_3=p_3/p_2$. Перепишем выражение для $Q_-$: $$Q_-=\nu RT\ln\cfrac{p_3}{p_2} $$ Для идеального газа в квазистатическом адиабатическом процессе верно уравнение Пуассона: $$p\sim{T^{\gamma/(\gamma-1)}} $$ поэтому: $$\begin{cases} \cfrac{p_1}{p_2}=\left(\cfrac{T_1}{T_2}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}\\ \cfrac{p_4}{p_3}=\left(\cfrac{T_4}{T_3}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} \end{cases} \implies{\cfrac{p_3}{p_2}=\left(\cfrac{T_1}{T_4}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}} $$ Поскольку $T_3=T_2$ и $p_4=p_1$. Окончательно:", "Ответ: $$Q_-=\cfrac{\gamma \nu RT_2}{\gamma-1}\ln\cfrac{T_1}{T_4} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Выразите отношение $T_1/T_4$ через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение адиабаты для процесса $1-2$ в координатах $pT$: $$p^{1-\gamma}T^\gamma=const\Rightarrow{\cfrac{T_1}{T_2}=\left(\cfrac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} $$ Поскольку $p_1=p_4$ $$\cfrac{T_1}{T_2}=\beta^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} $$ Также, поскольку $T_2=T_4/\alpha$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{T_1}{T_4}=\cfrac{\beta^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{\alpha} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Получите выражение для КПД цикла $\eta_1$. Ответ выразите через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.  Найдите численное значение $\eta_1$ при $p_2=15~\text{кПа}$, $p_4=60~\text{кПа}$, $T_2=340~\text{К}$ и $T_4=400~\text{К}$. ", "solution": {"text": "Поскольку $Q_+=C_p(T_1-T_4)$, имеем: $$\eta_1=1-\cfrac{C_pT_2\ln(T_1/T_4)}{C_p(T_1-T_4)} $$ откуда Для $\alpha$ и $\beta$ имеем: $$\alpha=\cfrac{20}{17}\qquad \beta=4 $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta_1=1-\cfrac{\ln\left(\beta^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}/\alpha\right)}{\beta^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-\alpha} $$  Для $\alpha$ и $\beta$ имеем: $$\alpha=\cfrac{20}{17}\qquad \beta=4 $$ откуда:", "Ответ: $$\eta_1=0{,}226 $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите отношение масс ртути и воды $m_\text{(р)}/m_\text{(в)}$, участвующих в цикле. ", "solution": {"text": "Решение в $TS$ координатах. <img_8> Поскольку количества теплоты, полученные и отданные водяным и ртутным парами соответственно в изобарных политропных процессах одинаковы при одинаковых изменениях температурах - теплоёмкости в изобарных процессах также одинаковы: $$C_{p\text{(в)}}=\cfrac{m_\text{(в)}\gamma_\text{(в)}R}{\mu_\text{(в)}(\gamma_\text{(в)}-1)}=\cfrac{m_\text{(р)}\gamma_\text{(р)}R}{\mu_\text{(р)}(\gamma_\text{(р)}-1)}=C_{p\text{(р)}} $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{m_\text{(р)}}{m_\text{(в)}}=\cfrac{\mu_\text{(р)}}{\mu_\text{(в)}}\cfrac{\gamma_\text{(р)}-1}{\gamma_\text{(р)}}\cfrac{\gamma_\text{(в)}}{\gamma_\text{(в)}-1}=17{,}81 $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя графики зависимости давления насыщенных паров ртути и воды от температуры, оцените значения давлений $p_{c\text{(р)}}$ и $p_{c\text{(в)}}$. ", "solution": {"text": "Искомые давления равны давлениям насыщенных паров при температурах $t_4$ для ртути и $t_2$ для воды. Из графиков находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p_{c\text{(р)}}=6~\text{кПа} $$", "Ответ: $$p_{c\text{(в)}}\approx{7-8~\text{кПа}} $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите КПД ртутного и водяного цикла $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$ соответственно. ", "solution": {"text": "Примечание: во всех пунктах далее подразумевается, что $T_i=t_i+T_0$, где $T_0=273~\text{К}$. Изменение энтропии в изотермических и изобарных процессах одинаковы, поэтому: $$\Delta{S}=\int\limits_{T_4}^{T_3}\cfrac{C_pdT}{T}=C_p\ln\cfrac{T_3}{T_4} $$ Количество теплоты, полученное ртутью в изотермическом процессе, равно: $$Q_{+\text{(р)}}=T_1\Delta{S} $$ Количество теплоты, отданное водяным паром в изотермическом процессе, равно: $$Q_{-\text{(в)}}=T_2\Delta{S} $$ В изобарном процессе водяной пар получает а ртуть отдаёт количество теплоты $Q_p$, равное: $$Q_p=C_p(T_3-T_4) $$ поэтому ответы для $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$ следующие:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta_\text{(р)}=1-\cfrac{T_3-T_4}{T_1\ln(T_3/T_4)}=0{,}326 $$", "Ответ: $$\eta_\text{(в)}=1-\cfrac{T_2\ln(T_3/T_4)}{T_3-T_4}=0{,}491 $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите КПД $\eta_\text{гп}$ бинарного газово-пароводяного цикла. Сравните его с $\eta_\text{(р)}$ и $\eta_\text{(в)}$. ", "solution": {"text": "Решение в $TS$ координатах. Поскольку в изобарном процессе газы обмениваются теплом друг с другом - к системе, участвующей в бинарном цикле, извне подводится тепло только в ртутном изотермическом процессе. Тогда КПД бинарного цикла такой же, как и у цикла Карно, состоящего из двух изотерм и двух адиабат с температурами $T_1$ и $T_2$: $$\eta_\text{Карно}=1-\cfrac{T_\text{х}}{T_\text{н}} $$ Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta_\text{гп}=1-\cfrac{T_2}{T_1}=0{,}657>\eta_\text{(р)}{,}\eta_\text{(в)} $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите температуры системы в точках $2$, $3$, $4$, $5$ и $6$. ", "solution": {"text": "Поскольку процесс $23$ изотермический, а изменением температуры на участке $34$ по условию можно пренебречь - температуры $t_2$, $t_3$ и $t_4$ равны температуре насыщенного пара при давлении $p_3=16~\text{кПа}$, т. е: Температуры системы в точках $5$ и $6$ соответствуют температуре насыщенного пара при давлении $p_4=2{,}8~\text{МПа}$, т. е:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_2=t_3=t_4=t'_1=55^{\circ}\mathrm{C} $$  Температуры системы в точках $5$ и $6$ соответствуют температуре насыщенного пара при давлении $p_4=2{,}8~\text{МПа}$, т. е:", "Ответ: $$t_5=t_6=t'_2=230^{\circ}\mathrm{C} $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите количество теплоты $Q_+$, подведённое к системе за цикл. ", "solution": {"text": "<img_9> На участке $4-5$ жидкость нагревается, на участке $5-6$ - испаряется, а участок $6-1$ соответствует перегреванию водяного пара. Тогда для $Q_+$ имеем: $$Q_+=cm(t_5-t_4)+L(t_5)m+\cfrac{\gamma_\text{(в)}mR(t_1-t_6)}{\mu_{\text{(в)}}(\gamma_\text{(в)}-1)} $$ Поскольку $t_6>180^{\circ}\mathrm{C}$ - показатель адиабаты водяного пара равен $9/7$. Подставляя численные значения, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q_+=57{,}35~\text{МДж} $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите количество теплоты $Q_-$, отведённое от системы за цикл. ", "solution": {"text": "Количество теплоты, отданное за цикл в изотермическом процессе, равняется: $$Q_-=T_2(S_2-S_3) $$ Найдём изменение энтропии другим способом, учитывая, что процессы $1-2$ и $3-4$ являются адиабатными: $$S_2-S_3=S_5-S_4+S_6-S_5+S_1-S_6=m\left(c\ln\cfrac{T_5}{T_4}+\cfrac{L(t_5)}{T_5}+\cfrac{\gamma_\text{(в)}R}{\mu_\text{(в)}(\gamma_\text{(в)}-1)}\ln\cfrac{T_1}{T_6}\right) $$ Таким образом: $$Q_-=mT_2\left(c\ln\cfrac{T_5}{T_4}+\cfrac{L(t_5)}{T_5}+\cfrac{\gamma_\text{(в)}R}{\mu_\text{(в)}(\gamma_\text{(в)}-1)}\ln\cfrac{T_1}{T_6}\right) $$ Подставляя численные значение, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q_-=36{,}83~\text{МДж} $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите работу газа $A$ за цикл и его КПД $\eta_2$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся законом сохранения энергии: $$A=Q_+-Q_- $$ откуда: По определению: $$\eta_2=\cfrac{A}{Q_+}=1-\cfrac{Q_-}{Q_+} $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=20{,}52~\text{МДж} $$  По определению: $$\eta_2=\cfrac{A}{Q_+}=1-\cfrac{Q_-}{Q_+} $$ откуда:", "Ответ: $$\eta_2=0{,}358 $$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите температуры в точках $b_\text{в}$, $c_\text{в}$, $d_\text{в}$, $e_\text{в}$, $f_\text{в}$ водяного цикла. ", "solution": {"text": "Температуры в точках $b_{(\text{в})}$, $c_{(\text{в})}$ и $d_{(\text{в})}$ одинаковы и равны температуре насыщенного пара воды при давлении $p_{c(\text{в})}$: Температуры в точках $e_{(\text{в})}$ и $f_{(\text{в})}$ одинаковы и равны температуре насыщенного пара воды при давлении $p_{e(\text{в})}$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_{b(\text{в})}=t_{c(\text{в})}=t_{d(\text{в})}=t_1=96^{\circ}\mathrm{C} $$  Температуры в точках $e_{(\text{в})}$ и $f_{(\text{в})}$ одинаковы и равны температуре насыщенного пара воды при давлении $p_{e(\text{в})}$:", "Ответ: $$t_{e(\text{в})}=t_{f(\text{в})}=t_2=188^{\circ}\mathrm{C} $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите температуру в точке $a_\text{в}$ водяного цикла. ", "solution": {"text": "<img_10> Поскольку процессы $a_\text{в}-b_\text{в}$ и $c_\text{в}-d_\text{в}$ являются адиабатическими - изменение энтропии на участках $d_\text{в}-e_\text{в}-f_\text{в}-a_\text{в}$ равно изменению энтропии на участке $c_\text{в}-b_\text{в}$: $$S_{b\text{(в)}}-S_{c\text{(в)}}=S_{e\text{(в)}}-S_{d\text{(в)}}+S_{f\text{(в)}}-S_{e\text{(в)}}+S_{a\text{(в)}}-S_{f\text{(в)}} $$ Для изменении энтропии воды на участках $d_\text{в}-e_\text{в}-f_\text{в}-a_\text{в}$ имеем: $$S_{a\text{(в)}}-S_{d\text{(в)}}=m_\text{в}\left(c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}\right) $$ Для изменения энтропии на участке $c_\text{в}-b_\text{в}$ имеем: $$S_{b\text{(в)}}-S_{c\text{(в)}}=\cfrac{m_\text{в}L_\text{в}(T_1)}{T_1}+\cfrac{A_\text{пар}}{T_1} $$ где $A_\text{пар}$ - работа водяного пара при расширении. Найдём её: $$A_\text{пар}=\int\limits_{V_0}^{V_\text{к}}pdV=\nu RT\int\limits_{V_0}^{V_\text{к}}\cfrac{dV}{V}=\nu RT\ln\cfrac{V_\text{к}}{V_0} $$ Поскольку пар расширяется по изотерме: $$\cfrac{V_\text{к}}{V_0}=\cfrac{p_0}{p_\text{к}}=\cfrac{p_{c\text{(в)}}}{p_{b\text{(в)}}} $$ Мы получили уравнение, содержащее $T_a$: $$\cfrac{L_\text{в}(T_1)}{T_1}+\cfrac{R}{\mu_\text{в}}\ln\cfrac{p_{c\text{(в)}}}{p_{b\text{(в)}}}=c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2} $$ Найдём численные $L_\text{в}(T_1)$ и $L_\text{в}(T_2)$: $$L_\text{в}(T_1)=2{,}27~\text{МДж}\qquad L_\text{в}(T_2)=1{,}98~\text{МДж} $$ Окончательно получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_{a\text{(в)}}\approx{677^{\circ}\mathrm{C}} $$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите давление ртути на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$. ", "solution": {"text": "Обозначим температуру в точке $e_\text{р}$ за $T_4$. Тогда для изменения энтропии на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$ имеем: $$S_{a\text{(р)}}-S_{d\text{(р)}}=m_\text{р}\left(c_\text{р}\ln\cfrac{T_4}{T_2}+\cfrac{L_\text{р}(T_4)}{T_4}\right) $$ С другой стороны, это же изменение энтропии равно изменению энтропии на участке $c_\text{р}-b_\text{р}$, которое, в свою очередь, равно изменению энтропии воды на участке $e_\text{в}-f_\text{в}$: $$S_{f\text{(в)}}-S_{f\text{(в)}}=\cfrac{m_\text{в}L_\text{в}(T_2)}{T_2} $$ Приравнивая, получим зависимость $L_\text{р}(T_4)$: $$L_\text{р}(T_4)=\cfrac{m_\text{в}L_\text{в}(T_2)T_4}{m_\text{р}T_2}-c_\text{р}T_4\ln\cfrac{T_2}{T_4} $$ Построим данную функцию на границе зависимости $L_\text{р}(t)$ и найдём решение: $$t_4\approx 610^{\circ}\mathrm{C} $$ Сразу определим $L_\text{р}(t_4)$: $$L_\text{р}(t_4)\approx 288~\text{кДж}/\text{кг} $$ Давление ртути на искомом участке равно давлению насыщенного пара ртути при данной температуре. Окончательно имеем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$p_{e\text{(р)}}\approx 2{,}6~\text{МПа} $$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Найдите КПД бинарного цикла Ренкина с ртутью и водой $\eta_3$. ", "solution": {"text": "Ртуть на участке $b_\text{р}-c_\text{р}$ обменивается теплом с водой на участке $e_\text{в}-f_\text{в}$, поэтому извне подводится тепло к ртути на участке $d_\text{р}-e_\text{р}-a_\text{р}$, а также к воде на участках $d_\text{в}-e_\text{в}$ и $f_\text{в}-a_\text{в}$. Тогда для подведённого количества теплоты на единицу массы воды $Q_{+3}/m_\text{в}$ получим: $$\cfrac{Q_{+3}}{m_\text{в}}=\left(c_\text{в}(t_2-t_1)+\cfrac{\gamma_\text{в}R(t_3-t_2)}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\right)+\cfrac{m_\text{р}}{m_\text{в}}\left(c_\text{р}(t_4-t_2)+L_\text{р}(t_4)\right)\approx{4{,}976~\cfrac{\text{МДж}}{\text{кг}}} $$ Тепло в системе отводится только от воды на участке $b_\text{в}-c_\text{в}$, поэтому для отведённого количества теплоты на единицу массы воды $Q_{-3}/m_\text{в}$ имеем: $$\cfrac{Q_{-3}}{m_\text{в}}=\cfrac{T_1(S_{b\text{(в)}}-S_{c\text{(в)}})}{m_\text{в}} $$ Из результатов пункта $\mathrm{D2}$: $$\cfrac{S_{b\text{в}}-S_{c\text{в}}}{m_\text{в}}=\left(c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}\right) $$ Откуда: $$\cfrac{Q_{-3}}{m_\text{в}}=T_1\left(c_\text{в}\ln\cfrac{T_2}{T_1}+\cfrac{L_\text{в}(T_2)}{T_2}+\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\ln\cfrac{T_{a\text{(в)}}}{T_2}\right)\approx{2{,}484~\cfrac{\text{МДж}}{Кг}} $$ Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\eta_3\approx{0{,}50} $$"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "1,00"}]