text: {"text": [{"text": "В 1768 году французский химик Антуан Боме разработал современную конструкцию ареометра. В ареометре Боме плотность жидкости измерялась в градусах. Причём изобретателю пришлось ввести две разных шкалы — для жидкостей легче и тяжелее воды. Эти шкалы и сегодня используются в некоторых областях химической и пищевой промышленности. Для жидкостей тяжелее воды Боме определял шкалу так: нижний предел — $0~\mathrm{B}^\circ$ (0 градусов Боме) соответствует плотности воды $\rho_в=1000~кг/м^3$, а верхний — $N=66~\mathrm{B}^\circ$ - плотности концентрированной серной кислоты $\rho_к=1842~кг/м^3$. При этом традиционное значение плотности $\rho$ жидкости и её плотность в градусах Боме $n$ связаны соотношением: $$\dfrac{\rho}{\rho_в}=\dfrac{A_0}{A_0-n},$$ где $A_0$ — постоянный переводной коэффициент. Однако в некоторых современных источниках даётся другое определение. В них пишут, что количество градусов Боме для тяжёлых жидкостей численно равно концентрации раствора поваренной соли по массе(*), выраженной в процентах. То есть, для перевода плотности $\rho$ в градусы Боме предлагается посчитать процентную концентрацию соляного раствора, имеющего такую же плотность $\rho$. В соответствии с этими источниками между плотностью жидкости $\rho$ и количеством градусов Боме $n$ также существует «несложная математическая» зависимость: $$\dfrac{\rho}{\rho_в}=\dfrac{A}{B-n},$$ где $A$ и $B$ — постоянные коэффициенты."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите значение коэффициента $A_0$ для оригинального определения."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "С учётом того, что плотность поваренной соли равна $\rho_с=2165~кг/м^3$, найдите значения коэффициентов $A$ и $B$ из современного определения. Считайте, что объём солевого раствора равен сумме объёмов его компонентов."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Сделайте вывод о том, можно ли считать современное определение соответствующим оригинальному."}]}
answer: [{"condition": "Найдите значение коэффициента $A_0$ для оригинального определения. ", "solution": {"text": "Определим значение коэффициента $A_0$. Воспользуемся выражением, данным в условии задачи, и подставим в него $\rho=\rho_к$ и $n=N$:$$\frac{\rho_к}{\rho_в}=\frac{A_0}{A_0-N}.\tag{1}$$Выразим коэффициент $A_0$:$$A_0=\frac{\frac{\rho_к}{\rho_в}N}{\frac{\rho_к}{\rho_в}-1}=\frac{\frac{1842}{1000}\cdot66}{\frac{1842}{1000}-1}$$Коэффициент $A_0$ безразмерен и равен:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A_0=144{,}4$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "С учётом того, что плотность поваренной соли равна $\rho_с=2165~кг/м^3$, найдите значения коэффициентов $A$ и $B$ из современного определения. ", "solution": {"text": "Теперь разберёмся с достоверностью современных источников. Запишем выражения для концентрации $n'$:$$n'=\frac{m_с}{m_с+m_в}.$$Тогда по современному определению градусы Боме:$$n=\frac{m_с}{m_с+m_в}\cdot 100.\tag{2}$$Здесь $m_с$ — масса соли в растворе, $m_в$ — масса воды в растворе. Перепишем это выражение и определим величины, которые нам понадобятся для дальнейших расчётов.$$\frac{1}{n'}=\frac{m_{с}+m_в}{m_с}=1+\frac{m_в}{m_с};\\\frac{m_в}{m_с}=\frac{1}{n'}-1=\frac{1-n'}{n'}.$$Запишем выражение для плотности раствора $\rho$:$$\rho=\frac{m_с+m_в}{\dfrac{m_с}{\rho_с}+\dfrac{m_в}{\rho_в}}.\tag{3}$$Приведенные далее два варианта математических преобразований немного отличаются друг от друга, но приводят к одному результату. Способ 1: Преобразуем выражение для плотности, для этого вынесем за скобки в знаменателе массу соли в растворе $m_с$:$$\rho=\frac{m_с+m_в}{m_с}\cdot\frac1{\frac1{\rho_с}+\frac{m_в}{m_с}\cdot\frac1{\rho_в}}.$$Подставим ранее найденные выражения и проделаем математические преобразования:$$\rho=\frac1{n'}\cdot\frac1{\frac1{\rho_с}+\frac{(1-n^{\prime})}{n^{\prime}}\cdot\frac1{\rho_в}}=\frac1{n^{\prime}\left(\frac1{\rho_с}-\frac1{\rho_в}\right)+\frac1{\rho_в}}=\frac{\rho_с\rho_в}{\rho_с-(\rho_с-\rho_в)\cdot n^{\prime}}.$$В знаменателе вынесем за скобки разность плотностей поверенной соли и воды:$$\rho=\frac{\frac{\rho_с\rho_в}{\rho_с-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.$$Поделим последнее выражение на плотность воды:$$\frac\rho{\rho_в}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_С-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.\tag{4}$$ Способ 2: Преобразуем выражение для плотности, для этого разделим числитель и знаменатель на $m_с+m_в$ и выразим отношения масс через $n'$:$$\rho=\frac{\rho_{с}\rho_{в}}{\frac{\rho_{в}m_{с}}{m_{с}+m_{в}}+\frac{\rho_{с}m_{в}}{m_{с}+m_{в}}}=\frac{\rho_{с}\rho_{в}}{\rho_{в}n^{\prime}+\rho_{с}(1-n^{\prime})}=\frac{\rho_{с}\rho_{в}}{\rho_{с}-(\rho_{с}-\rho_{в})\cdot n^{\prime}}.$$ Теперь разделим числитель и знаменатель на $\rho_{с}-\rho_{в}$:$$\rho=\frac{\frac{\rho_с\rho_в}{\rho_с-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.$$ Поделим последнее выражение на плотность воды:$$\frac\rho{\rho_в}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_С-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}.\tag{4}$$Выразим концентрацию раствора $n'$ (она же градусы Боме в соответствии с современными источниками) в процентах. Для этого умножим и поделим выражение (4) на 100:$$\frac\rho{\rho_в}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}-n^{\prime}}\cdot\frac{100}{100}=\frac{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}\cdot100}{\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}\cdot100-n}.\tag{4}$$Так как в условии задачи написано, что «между плотностью водного раствора поваренной соли $\rho$ и количеством градусов Боме $n$ (в трактовке современных источников) существует несложная математическая зависимость$$\frac{\rho}{\rho_в}=\frac{A}{B-n},$$ то сравнив два последних выражения, получаем, что$$A=B=\frac{\rho_с}{\rho_с-\rho_в}\cdot100.$$Коэффициенты $A$ и $B$ безразмерны. Посчитаем их значения:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=B=\frac{2165}{2165-1000}\cdot100\approx186.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Сделайте вывод о том, можно ли считать современное определение соответствующим оригинальному. ", "solution": {"text": "Таким образом, итоговая формула для перевода градусов Боме $n$ в плотность раствора имеет вид:$$\frac{\rho}{\rho_в}=\frac{186}{186-n}.$$ Подставляя любое значение $n\neq0$, например $n=1$, в историческую и современную формулы, не сложно увидеть, что значения полученных плотностей $\rho$ не будут одинаковыми."}, "answer": {"answers": ["Ответ: шкалы отличаются."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]