text: {"text": [{"text": "В головокружительном аттракционе человек массой $m=70~кг$ прыгает с платформы вниз в озеро*. К ногам человека привязан конец резинового жгута некоторой длины $L$ и жёсткости $k$. Другой конец жгута прикреплён к платформе. У поверхности воды, пролетев расстояние $h=90~м$, человек должен иметь нулевую скорость и ускорение $a_{0}=2 g$. Считайте, что $g=10~м/с^{2}$, а жгут подчиняется закону Гука. Размерами человека, массой жгута, сопротивлением воздуха и другими потерями можно пренебречь. Определите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Длину $L$ нерастянутого жгута и его жёсткость $k$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Удлинение жгута в положении равновесия."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Максимальную скорость $v_{\max }$ падения человека."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Время $\tau$ падения человека до поверхности воды. Внимание! От точности ваших расчётов, возможно, будет зависеть жизнь человека!"}]}
answer: [{"condition": "Длину $L$ нерастянутого жгута и его жёсткость $k$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии и условия нулевой скорости человека у поверхности воды: $$ m g h=\frac{k(h-L)^{2}}{2}. $$ По закону Гука $F_{упр}=k(h-L)$. Запишем второй закон Ньютона для человека в нижней точке: $$ m a_{0}=F_{yпp}-m g=2 m g. $$ Тогда $F_{упр}=3 m g=k(h-L)=\frac{2 m g h}{h-L}$, откуда следует, что $$ L=h / 3=30~м, \quad k=\frac{2 m g h}{(h-L)^{2}}=\frac{9}{2} \frac{m g}{h}=35~Н/м. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L=30~м, \quad k=35~Н/м. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Удлинение жгута в положении равновесия. ", "solution": {"text": "После затухания колебаний (в положении равновесия) длина жгута увеличится на $x_{0}=m g / k=2 h / 9=20~м$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $x_{0}=20~м$."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Максимальную скорость $v_{\max }$ падения человека. ", "solution": {"text": "Максимальная скорость падения достигается в точке $D$ при пролёте через положение равновесия (см. рисунок). Запишем закон сохранения энергии: $$ \frac{m v_{\max }^{2}}{2}=m g\left(L+x_{0}\right)-\frac{k x_{0}^{2}}{2}, $$ откуда найдём $v_{\max }=\frac{2}{3} \sqrt{2 g h}=28.3~м/с$. Обратите внимание на то, что $\sqrt{2 g h}$ - это скорость свободного падения тела с высоты $h$. <img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $v_{\max }=28.3~м/с$."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Время $\tau$ падения человека до поверхности воды. ", "solution": {"text": "Для вычисления времени падения человека до поверхности воды направим координатную ось $x$ с началом координат в точке $D$ вниз. Примем, что в момент времени $t=0$ человек пролетает мимо точки $D(x=0)$. Тогда его дальнейшее движение до точки $E$ и обратно до точки $C$ можно описать формулой $x=A \sin \omega t$. Определим время движения человека на трёх участках пути: $B C$, $C D$ и $D E$. a) На отрезке $B C$ происходит свободное падение. Соответствующее время $\tau_{B C}=\sqrt{2 L / g}=\sqrt{2 h /(3 g)}=\tau_{0} / \sqrt{3}$, где $\tau_{0}=\sqrt{2 h / g}$ - время свободного падения с высоты $h$. б) После пролёта человека мимо точки $C$ жгут начал натягиваться и дальнейшее движение происходило по гармоническому закону. Обозначим амплитуду колебаний $A$. Круговая частота $\omega=\sqrt{k / m}=\sqrt{9 g /(2 h)}=0.71~c^{-1}$. Время движения до точки $D$ найдём из соотношения: $$ -x_{0}=A \sin \left(-\tau_{C D} \omega\right), \quad \text { или } \quad x_{0}=A \sin \omega \tau_{C D}. $$ Поскольку $x_{0}=A / 2$, то $\omega \tau_{C D}=\pi / 6$, и время $$ \tau_{C D}=\frac{\pi}{6 \omega}=\frac{\pi}{18} \sqrt{\frac{2 h}{g}}=\frac{\pi}{18} \tau_{0}. $$ в) Время движения на отрезке $D E$ равно четверти периода $T$ колебательного процесса: $$ \tau_{D E}=\frac{T}{4}=\frac{1}{4} \frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{2 h}{g}}=\frac{\pi}{6} \tau_{0}. $$ Таким образом, полное время $\tau$ падения человека до воды будет paвно $$ \tau=\tau_{B C}+\tau_{C D}+\tau_{D E}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2 \pi}{9}\right) \tau_{0}=5.41~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2 \pi}{9}\right) \tau_{0}=5.41~с. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]