text: {"text": [{"text": "Часть А. Движение газа вдоль трубы переменного сечения (5 баллов) В этой части задачи газ молярной массы $\mu$ стационарно движется по прямолинейной горизонтальной трубе без трения о её стенки. Входные параметры газа $v_0, T_0, S_0, \rho_0$, а также $C_p$ считайте заданными. Также считайте любое сечение симметричным и пренебрегайте составляющими скорости, которые перпендикулярны оси симметрии. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть труба адиабатически изолирована. Получите зависимость скорости газа от его температуры."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,70"}, "text": "Покажите, что при течении газа выполняется соотношение $$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}.$$"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Теперь к любому участку трубы длиной $L$ подводится тепловая мощность $N=kL$. Получите выражение для скорости газа как функцию от $x$ и $T$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Теперь и температура газа линейно зависит от $x$ по закону $T=T_0+\alpha x$. Покажите, что газ движется по трубе равноускоренно и найдите это ускорение $a$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,50"}, "text": "Получите уравнение политропного процесса с постоянной молярной теплоёмкостью $C$ в координатах $(P, \rho)$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,20"}, "text": "Покажите, что в условиях пункта А4 газ движется так, будто бы находится в политропном процессе."}, {"text": "Часть B. Замкнутая труба (5 баллов) Рассмотрим четырёхугольник $abcd$, по которому стационарно движется некоторая масса газа. Введём обозначения: $ab=L_1, bc=L_2, cd=L_3, da=L_4$. На участке $ab$: $\frac{dT}{dx}=A, \frac{dN}{dx}=\alpha$; на участке $bc$: $\frac{dT}{dx}=B, \frac{dN}{dx}=\beta$; $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A$ считайте заданными. Для участка $cd$: $\frac{dT}{dx}=-A, \frac{dN}{dx}=-\alpha$ и для $da$: $\frac{dT}{dx}=-B, \frac{dN}{dx}=-\beta$. Ось $x$ направлена для каждой трубы от первой точки участка ко второй (например, для $ab$ от $a$ к $b$). <img_1>"}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,80"}, "text": "Получите выражение для плотности газа как функцию $x$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,10"}, "text": "Найдите массовый расход газа $\dot{m}$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите теплоты $\delta Q_{ab}, \delta Q_{bc}, \delta Q_{cd}, \delta Q_{da}$, полученные порцией газа массой $dm$ на данных участках четырехугольника. Ответы могут быть выражены через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, \beta, B, L_1, L_2, L_3, L_4$ и $dm$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Получите $\beta$ и $B$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,50"}, "text": "Докажите, что для стационарности такой системы необходимо, чтобы молярная теплоёмкость газа была постоянна в течении всего цикла."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите ускорения $a_{ab}$ и $a_{bc}$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите скорости $v_b, v_c$ и $v_d$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите минимальное время $t$, через которое газ возвращается в начальное положение. Ответ выразите через скорости в точках пересечения труб и ускорения в трубах (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6)."}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите массу газа в трубе. Ответ выразите через $\dot{m}$ и $t$ (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6)."}]}
answer: [{"condition": "Пусть труба адиабатически изолирована. Получите зависимость скорости газа от его температуры. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: ЗСЭ $$P_0 dV_0-PdV=dm\left(\frac{v^2-v_0^2}{2}+\frac{C_V}{\mu}(T-T_0)\right)$$", "Ответ: Преобразуя,получим $$v^2+\frac{2C_p}{\mu}T=const$$", "Ответ: Ответ $$v=\sqrt{v_0^2+\cdot{2C_p}{\mu(T_0-T)}}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Покажите, что при течении газа выполняется соотношение $$v\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}.$$ ", "solution": {"text": "Закон изменения импульса для газа $$-Sdp=adm$$ Равенство $a=v\frac{dv}{dx}$ доказывает требуемое"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Теперь к любому участку трубы длиной $L$ подводится тепловая мощность $N=kL$. Получите выражение для скорости газа как функцию от $x$ и $T$. ", "solution": {"text": "ЗСЭ $$Ndt=P_0dV_0-PdV=dm(\frac{v^2-v_0^2}{2}+C_V(T-T_0))$$ Проведя преобразования,получим $$v^2=v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2N}{m}$$ Ответ $$ $$ $$v=\sqrt{v_0^2+\frac{2C_P}{\mu}(T_0-T)+\frac{2kx}{\rho_0S_0v_0}}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Теперь и температура газа линейно зависит от $x$ по закону $T=T_0+\alpha x$. Покажите, что газ движется по трубе равноускоренно и найдите это ускорение $a$. ", "solution": {"text": "$a=v\frac{dv}{dx}=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}=const$, что доказывает требуемое"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Получите уравнение политропного процесса с постоянной молярной теплоёмкостью $C$ в координатах $(P, \rho)$. ", "solution": {"text": "$$C={C_V}+\frac{\nu RT}{V} \frac{dV}{dT}$$ $$ $$ После интегрирования имеем $TV^{n-1}=const$ $$ $$ $$P\rho^{-n}=const$$ $$ $$ где $n=\frac{C_P - C}{C_V - C}$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Покажите, что в условиях пункта А4 газ движется так, будто бы  находится в политропном процессе. ", "solution": {"text": "Из уравнения состояния и условия $\alpha=\frac{dT}{dx}=const$ имеем $$ $$ $$a=v\frac{dv}{dx}=−\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx}=-\frac{RT}{\mu P}\frac{dP}{dT}\frac{dT}{dx}=-\frac{\alpha R}{\mu}\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}$$ $$ $$ Но поскольку $a=-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}=const$ $$ $$ $\frac{T}{P}\frac{dP}{dT}=\frac{\mu}{\alpha R}\left(\frac{\alpha C_P}{\mu}-\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)=const$ - уравнение политропы $$ $$ После интегрирования имеем $$ $$ $$TP^{\frac{1}{\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}-\frac{C_P}{R}}}=TP^\frac{R}{C -C_P}=const$$ $$ $$ Для дальнейшего решения отметим, что $$ $$ $$C=\frac{\mu k}{\alpha \rho_0S_0v_0}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Получите выражение для плотности газа как функцию $x$. ", "solution": {"text": "Из уравнения политропы $$ $$ $$\rho=\rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^\frac{1}{1-n}$$ $$ $$ Находя $n$ из $A6$, получим $$ $$ $$\rho=\rho_0\left(\frac{T_0}{T_0+\alpha x}\right)^{1-\frac{C_P}{R}+\frac{\mu k}{\alpha R\rho_0S_0v_0}}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите массовый расход газа $\dot{m}$. ", "solution": {"text": "$$\dot{m}=\rho_0S_0v_0$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Найдите теплоты $\delta Q_{ab}, \delta Q_{bc}, \delta Q_{cd}, \delta Q_{da}$, полученные порцией газа массой $dm$ на данных участках четырехугольника. Ответы могут быть выражены через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, \beta, B, L_1, L_2, L_3, L_4$ и $dm$. ", "solution": {"text": "Из первого начала термодинамики и пункта ${A6}$ $$\frac{\delta Q}{dm}={\frac{C}{\mu}}(T - T_0)$$ $$ $$ Подставляя в последнее уравнение выражение для теплоёмкости,полученное в $A6$ и разницы температур,имеем $$ $$ $$Q_1=\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_1$,$Q_2=\frac{\beta dm}{\rho_0S_0v_0}L_2$,$Q_3=-\frac{\alpha dm}{\rho_0S_0v_0}L_3$,$Q_4=-\frac{\beta dm}{\rho_0S_0v_0}L_4$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Получите $\beta$ и $B$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$. ", "solution": {"text": "Поскольку состояние стационарное,четырёхугольник получает нулевую тепловую мощность. Отсюда $$ $$ $$\alpha(L_1-L_3)+\beta(L_2-L_4)=0$$ Тогда ответ на первый вопрос: $\beta=\alpha\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$ $$ $$ Найдём разницу температур в точках $c$ и $a$ двумя способами $$ $$ $$T_c-T_a=AL_1+BL_2=AL_3+BL_4$$ Отсюда ответ на второй вопрос:$B=A\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Докажите, что для стационарности такой системы необходимо, чтобы молярная теплоёмкость газа была постоянна в течении всего цикла. ", "solution": {"text": "В пункте $A6$ мы получили $$ $$ $$C=\frac{\mu }{ \rho_0S_0v_0}\frac{dN}{dx}\frac{dx}{dT}$$ $$ $$ Для $ab$ и $cd$ $$ $$ $${C_1}=\frac{\mu\alpha}{A\rho_0S_0v_0}$$ $$ $$ Для $bc$ и $da$ $$ $$ $${C_2}=\frac{\mu\beta}{B\rho_0S_0v_0}$$ $$ $$ Поскольку из пункта $B_3$ следует,что $\frac{\alpha}{A}=\frac{\beta}{B}$ $$ $$ $${C_1}={C_2}$$ $$ $$ Поскольку процессы во всех трубах политропные,молярная теплоёмкость газа одинакова во всём процессе"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Найдите ускорения $a_{ab}$ и $a_{bc}$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$. ", "solution": {"text": "Подставляя $A$,$B$,$\alpha$,$\beta$ в выражение в пункте $A4$,имеем $$ $$ $$a_{ab}=-\frac{AC_P}{\mu}+\frac{\alpha}{\rho_0S_0v_0}$$ $$ $$ $$a_{bc}=\left(-\frac{\alpha C_P}{\mu}+\frac{k}{\rho_0S_0v_0}\right)\frac{L_1-L_3}{L_4-L_2}=a_{ab}\frac{B}{A}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите скорости $v_b, v_c$ и $v_d$ через $v_a, S_a, T_a, \rho_a, \mu, C_P, \alpha, A, L_1, L_2, L_3, L_4$. ", "solution": {"text": "Подставляя ранее полученные результаты в формулу $v^2=v_0^2+2{a_x}x$,имеем $$ $$ $$v_b^2=v_0^2+2a_{ab}L_1$$ $$ $$ $$v_c^2=v_0^2+2(a_{ab}L_1+a_{bc}L_2)$$ $$ $$ $$v_d^2=v_0^2+2a_{bc}L_4$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите минимальное время $t$, через которое газ возвращается в начальное положение. Ответ выразите через скорости в точках пересечения труб и ускорения в трубах (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6). ", "solution": {"text": "Выразим время через изменения скорости на отдельных участках трубы и ускорения в них $$t=\frac{v_b+v_c-v_a-v_d}{a_{ab}}+\frac{v_c+v_d-v_a-v_b}{a_{bc}}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B7", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите массу газа в трубе. Ответ выразите через $\dot{m}$ и $t$ (пункт не оценивается, если не выполнены B5 и B6). ", "solution": {"text": "Масса газа в трубе $m=\dot{m}t$ "}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,20"}]