text: {"text": [{"text": "Из-за своей спонтанной намагниченности сегнетоэлектрики проявляют свойства : их отклик на внешнее поле (зависимость поляризации $P$ от внешнего электрического поля $E$) зависит от состояния, в котором они находились до этого."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите, какую работу $\delta A$ должно совершить внешнее поле при изменении поляризации единицы объёма сегнетоэлектрика на $\mathrm dP$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Как связаны между собой теплота $\delta Q$, выделившая внутри сегнетоэлектрика, работа внешнего поля $\delta A$ и изменение внутренней энергии $\mathrm dA$?"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Выразите в виде интеграла работу $A$, которую совершило внешнее поле над единицей объёма сегнетоэлектрика при прохождении полного цикла увеличения и уменьшения электрического поля. Насколько при этом изменилась плотность внутренней энергии $\Delta U$ сегнетоэлектрика? Какая теплота $Q$ выделилась в сегнетоэлектрике на единицу объёма? Рассмотрим петлю гистерезиса одного из наиболее широко используемых сегнетоэлектриков — . Она приведена на графике ниже. <img_0> По горизонтальной оси отложена напряжённость внешнего электрического поля в $кВ/см$, по вертикальной оси — поляризация сегнетоэлектрика в $мкКл/см^2$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Какая теплота $Q$ выделится в при этом в плёнке? Пусть теперь на плёнку подают переменное напряжение с эффективным напряжением $V_\mathrm{eff}=220~В$ и частотой $\nu=50~Гц$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Найдите среднюю тепловую мощность $\dot Q$, выделяющуюся в плёнке."}]}
answer: [{"condition": "Найдите, какую работу $\delta A$ должно совершить внешнее поле при изменении поляризации единицы объёма сегнетоэлектрика на $\mathrm dP$. ", "solution": {"text": "При изменении поляризации поле совершает работу по разделению зарядов, равную:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta A=E\,\mathrm dP\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Как связаны между собой теплота $\delta Q$, выделившая внутри сегнетоэлектрика, работа внешнего поля $\delta A$ и изменение внутренней энергии $\mathrm dA$? ", "solution": {"text": "Работа $\delta A$, теплота $\delta Q$ и изменение внутренней энергии $\mathrm dU$ связаны между собой в соответствии с первым началом термодинамики:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta A=\delta Q+\mathrm dU\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите в виде интеграла работу $A$, которую совершило внешнее поле над единицей объёма сегнетоэлектрика при прохождении полного цикла увеличения и уменьшения электрического поля. Насколько при этом изменилась плотность внутренней энергии $\Delta U$ сегнетоэлектрика? Какая теплота $Q$ выделилась в сегнетоэлектрике на единицу объёма? ", "solution": {"text": "Работа выражается интегралом:\[A=\oint E\,\mathrm dP\]по всему циклу. Чтобы интеграл можно было вычислить явно (поскольку известны только зависимости $P_{\pm}(E)$), интеграл необходимо преобразовать методом интегрирования по частям:\[\begin{aligned}A&=\oint E\,\mathrm dP=EP\Bigg|_{(E_1,P_1)}^{(E_1,P_1)}-\oint P\,\mathrm dE=\\&=-\left[\int\limits_{E_1}^{E_2}P_-\,\mathrm dE+\int\limits_{E_2}^{E_1}P_+\,\mathrm dE\right]=\\&=\int\limits_{E_1}^{E_2}(P_+-P_-)\,\mathrm dE.\end{aligned}\]Поскольку внутренняя энергия сегнетоэлектрика является функцией состояния и может зависеть только от его поляризации $P$ и внешнего поля $E$, её изменение в цикле должно быть равно $\Delta U=0$. Тогда $Q=A$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[Q=A=\int\limits_{E_1}^{E_2}(P_+-P_-)\,\mathrm dE,\quad \Delta U=0\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какая теплота $Q$ выделится в при этом в плёнке? ", "solution": {"text": "Поскольку $|V_{\min,\max}| > 300~В$, то:\[|E_{\min,\max}| > \dfrac{300~В}{10~мкм} = 300~\dfrac{кВ}{см},\]диапазон напряжений полностью покрывает петлю гистерезиса BTO, и выделившаяся теплота будет равна:\[\begin{aligned}Q&=V\int\limits_{E_{\min}}^{E_{\max}}(P_+-P_-)\,\mathrm dE\approx \\&\approx V\int\limits_{-300~кВ/см}^{300~кВ/см}(P_+-P_-)\,\mathrm dE=\\&=d \cdot S\cdot S_{граф.}=10^{-3}~см^3\cdot S_{граф.}, \end{aligned}\]где $S_{граф.}$ — площадь под графиком. Её можно найти по клеточкам:\[S_{граф.}\approx6.40\cdot10^3~\frac{кВ}{см}\cdot\frac{мкКл}{см^2}=6.40~\frac{Дж}{см^3}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[Q=6.40~мДж\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднюю тепловую мощность $\dot Q$, выделяющуюся в плёнке. ", "solution": {"text": "Эффективное напряжение — это среднеквадратичное напряжение при синусоидальных колебаниях, связанное с амплитудой колебаний $V_\mathrm m$ как:\[V_{\mathrm{eff}}=\frac{V_\mathrm m}{\sqrt2}\implies V_{\mathrm m}=\sqrt2 V_{\mathrm {eff}}\approx 311~В.\]Это снова покрывает всю петлю гистерезиса BTO, поэтому выделяющаяся мощность находится как:\[\dot Q=\nu\cdot Q = 0.32~Вт,\]где $Q$ — теплота, найденная в предыдущем пункте."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\dot Q=0.32~Вт\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}]