text: {"text": [{"text": "В некоторых приложениях возникает необходимость в получении крайне узких потоков жидкости. Узость потока значительно ускоряет смешивание вещества с окружением, что позволяет изучать быстропротекающие химические реакции. Также использование узких потоков позволяет уменьшить количество используемого вещества. Если создавать узкий поток с помощью поршня, выдавливающего жидкость через узкое отверстие, полученное течение оказывается крайне турбулентным. Это сильно затрудняет эксперименты. Изготовление достаточно узких каналов также достаточно трудоемко. Эти сложности можно обойти, если сжимать поток, окружая его потоком другой жидкости. В зависимости от параметров течения, ширина центральной части потока может существенно уменьшаться. Это явление называется гидродинамической фокусировкой. В этой задаче мы рассмотрим простейшие модели гидродинамической фокусировки."}, {"text": "Часть A. Течение одной жидкости (2.7 балла) Известно, что если скорость жидкости зависит только от координаты $x$ и направлена вдоль оси $y$, то между двумя слоями жидкости действует сила $$ F = \eta S \frac{dv}{dx}. $$ $S$ — площадь соприкосновения жидкостей. Сила, действующая на более медленно движущийся слой направлена в сторону его движения. Рассмотрим течение жидкости в щели между двумя параллельными плоскостями. Расстояние между двумя плоскостями $d$, ширина плоскостей $w$, длина $L$. Разность давлений на краях системы $\Delta P$. Вязкость жидкости $\eta$. Ось $x$ направлена перпендикулярно плоскостям, ось $y$ — в направлении течения жидкости. Мы считаем, что $d\ll w$, поэтому можно пренебрегать эффектами на границе считать, что скорость течения зависит только от $x$ и всюду направлена вдоль оси $y$. Течение везде считаем стационарным, то есть распределение скоростей не зависит от времени."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть $v(x)$ — скорость течения жидкости в щели. Начало координат оси $Ox$ находится посередине между плоскостями, а плоскости, ограничивающие течение, находятся при $x = \pm d/2$. Разность давлений на противоположных краях щели равна $\Delta P$. Рассматривая силы, действующие на бесконечно малый слой жидкости толщины $dx$, получите дифференциальное уравнение на $v(x)$. Найдите из него $v(x)$. На стенках щели скорость обращается в 0. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,80"}, "text": "Теперь рассмотрим течение жидкости через длинную круглую трубку длины $L$ и радиуса $r$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. И для течения через щель, и для течения через трубку поток пропорционален разности давлений на концах. Зависимость потока от давления можно записать в виде $q = \Delta P/ R$, где $R$ — гидродинамическое сопротивление трубки (или щели)."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите гидродинамические сопротивления щели $R_s$ и трубки $R_t$. Ответ выразите через геометрические размеры, заданные в пунктах A1 и A2 соответственно и через вязкость жидкости $\eta$."}, {"text": "Часть B. Два типа жидкостей (1.4 балла) Пусть теперь между плоскостями текут два типа жидкостей. На центральном участке течет интересующий нас образец (все относящиеся к нему величины будем обозначать индексом 1). Ширина его потока $w_1$. Оставшуюся часть потока (по краям) занимает жидкость 2, которая сжимает образец (см. рисунок). В последующих частях задачи нас будет интересовать отношение ширины образца к общей ширине потока $w_1/w$. Мы будем считать, что ширина потока много больше толщины щели $w_1 \gg d$. Тогда влиянием области соприкосновения жидкостей на поток можно пренебречь, и считать, что скорость жидкости в каждой точке зависит только от ее свойств и координаты $x$ (ось $Ox$ перпендикулярна плоскостям). На границах щели при $x = \pm d/2$ скорость обращается в 0 как в части A. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,70"}, "text": "Жидкость вязкости $\eta$ течет по трубке радиуса $r$ и длины $L$ под действием разности давлений $\Delta P$ (как в A2). Найдите мощность сил вязкого трения."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть заданы объемные расходы $q_1$ и $q_2$ жидкостей 1 и 2, а также их средние скорости $\langle v_1\rangle$ и $\langle v_2\rangle$. Найдите относительную ширину потока образца $w_1/w$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть заданы вязкости жидкостей $\eta_1$ и $\eta_2$, а их средние скорости определяются результатами части $A$. Выразите $w_1/w$ через $q_1$, $q_2$, $\eta_1$ и $\eta_2$. Эффектами, которые происходят на границе между жидкостями 1 и 2, можно пренебречь, так как они важны только в области шириной порядка $d \ll w$. Жидкости 1 и 2 поступают из двух резервуаров, расположенных на высотах $h_1$ и $h_2$ под действием силы тяжести. Эти резервуары соединены с основной частью установки системой трубок. Можно считать, что поток жидкости через каждую трубку не зависит от времени и пропорционален разности давлений на ее концах $$ q_i = \Delta P_i/R_i. $$ Здесь $R_i$ — гидростатическое сопротивление трубки. Это сопротивление зависит от параметров трубки и от свойств жидкости. Разность давлений на концах трубки создается за счет силы тяжести. Для того, чтобы сделать поток не зависящим от параметров щели, нужно чтобы сопротивления трубок были много больше сопротивления всех остальных частей схемы. Для этого в трубки добавляются специальные очень узкие цилиндрические капилляры — реостаты. В дальнейшем мы будем считать, что все сопротивление подводящих трубок определяется сопротивлением этих реостатов. Предположим, что геометрические размеры реостатов (их радиусы и длины) для источников обоих жидкостей одинаковы."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите отношение потоков $q_1/q_2$, если заданы плотности жидкостей ($\rho_1$ и $\rho_2$), их вязкости ($\eta_1$ и $\eta_2$) и высоты, на которые подняты резервуары $h_1$ и $h_2$."}, {"text": "Часть C. Учет гравитации (2.8 балла) Эксперименты показывают, что в случае разных плотностей жидкостей 1 и 2 сфокусированный поток наиболее стабилен, когда направление течения вертикально. В таком случае ширина потока может измениться под действием силы тяжести."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите соответствующее отношение ширин потоков $w_1/w$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Опять рассмотрим течение одной жидкости между плоскостями. Однако теперь скорость создается не только за счет разности давлений, но и за счет силы тяжести. Геометрия такая же как и в части A1, сила тяжести направлена вдоль оси $y$. Поток жидкости сонаправлен с силой тяжести. Найдите среднюю скорость жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $\eta$, $d$, $\Delta P$, $L$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть теперь между плоскостями течет два типа жидкостей, как в части $B$. Написав выражения для средних скоростей жидкостей 1 и 2, исключите из них разность давлений (она одинакова для обеих жидкостей) найдите отношение $\langle v_1 \rangle / \langle v_2 \rangle$. Выразите ответ через $\langle v_2 \rangle$, $\eta_1$, $\eta_2$, $d$, $g$, $\rho_1$, $\rho_2$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,00"}, "text": "Подставьте выражение для средних скоростей в формулу для относительной ширины сфокусированного потока из B1. Получите уравнение для определения ширины вида $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. $$\frac{w}{w_1} = \dots$$ В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации."}, {"text": "Часть D. Эксперимент (3.1 балла) На эксперименте можно непосредственно регулировать не величину потока жидкости, а высоту, на которой расположен соответствующий резервуар. Ускорение свободного падения $g = 9.8~м/с^2$. В качестве жидкости 2 используется вода, которая все время подается с высоты $h_2 = 0.5~м$. Плотность воды $\rho_2 = 10^3~кг/м^3$. Вязкость воды $\eta = 8.9 \cdot10^{-4} кг/(м \cdot c)$ Реостат представляет собой капилляр радиуса $r= 130~мкм$ и длины $L=0.5~м$ Используется щель с длиной $l = 43~мм$, шириной $w= 3~мм$, $d = 175~ мкм$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,60"}, "text": "Решите это уравнение и найдите относительную ширину сфокусированного потока $w_1/w$. Ответ выразите через безразмерные величины $\alpha$, $\beta$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите гидродинамическое сопротивление каждого из реостатов, если по ним течет вода. Пусть в качестве жидкости 1 используется раствор соли, плотность которого $\rho_1 = 1.15 \cdot 10^3~кг/м^3$, а вязкость совпадает с вязкостью воды. Найдите $q_G$ для такой щели."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите относительную ширину потока жидкости 1 (раствора соли) $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,30"}, "text": "Как изменится значение ширины потока, если пренебречь влиянием силы тяжести? Вычислите относительную ширину потока для тех же параметров $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$, что и в предыдущем пункте, не учитывая силу тяжести."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,30"}, "text": "Пусть теперь по центру течет некоторая жидкость 1, плотность которой равна $\rho_1^\prime = 0.8 \cdot 10^3 кг/м^3$, а вязкость совпадает с вязкостью воды. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$."}, {"balls": {"number": "D5", "exponent": "0,80"}, "text": "Постройте качественно на одном графике зависимости $w_1/w$ от $h_2/h_1$ для трех случаев: a) гравитации нет, b) по центру течет раствор соли, c) по центру течет жидкость с плотностью $\rho_1^\prime$. Все параметры как в предыдущих пунктах, высота $h_2$ фиксирована, меняется только $h_1$."}, {"balls": {"number": "D6", "exponent": "0,80"}, "text": "Во всех расчетах мы предполагали, что потоки не зависели от времени. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$. Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$."}]}
answer: [{"condition": "Пусть $v(x)$ — скорость течения жидкости в щели. Начало координат оси $Ox$ находится посередине между плоскостями,  а плоскости, ограничивающие течение, находятся при $x  = \pm d/2$. Разность давлений на противоположных краях щели равна $\Delta P$. Рассматривая силы, действующие на бесконечно малый слой жидкости толщины $dx$, получите дифференциальное уравнение на $v(x)$. Найдите из него $v(x)$. На стенках щели скорость обращается в 0.  Найдите среднюю скорость течения жидкости $\langle v \rangle$ (выразите ее через $\Delta P$, $L$, $\eta$, d). Найдите поток (поток — объем жидкости, протекающий через щель в единицу времени) жидкости через щель. Выразите ответ через $\Delta P$, $L$, $\eta$, $d$, $w$. ", "solution": {"text": "Скорость течения жидкости постоянна, поэтому сумма силы давления и силы вязкого трения, действующей на слой жидкости толщины $dx$ должна быть равна нулю, откуда получаем уравнение $$ \eta \frac{d^2 v}{dx^2}= -\frac{\Delta P}{L}, $$ его решение, удовлетворяющее правильным граничным условиям $$ v(x) = \frac{\Delta P}{2 \eta L} \left( \frac{d^2}{4} -x^2\right). $$ Интегрируя, находим среднюю скорость $$ \langle v \rangle =\frac{1}{d} \int_{-d/2}^{d/2}dx\, v(x) = \frac{\Delta P d^2}{12 \eta L} $$ и поток $$ q = dw\langle v \rangle = \frac{d^3 w}{12 \eta L} \Delta P. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\langle v \rangle =\frac{\Delta P d^2}{12 \eta L}, \quad q = \frac{d^3 w}{12 \eta L} \Delta P.$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Теперь рассмотрим течение жидкости через длинную круглую трубку длины $L$ и радиуса $r$.  Из соображений симметрии скорость при течении через трубку зависит только от расстояния до ее оси. На границе трубки скорость обращается в 0. Найдите зависимость скорости от расстояния до оси $\rho$. Разность давлений на между концами трубки $\Delta P$, вязкость жидкости $\eta$.   Найдите объемный расход $q$ при течении жидкости через трубку. Ответ выразите через $\Delta P$, $L$, $r$, $\eta$. ", "solution": {"text": "Приравнивая нулю силу, действующую на цилиндр жидкости радиуса $\rho$, находим уравнение $$ 2 \pi \rho \frac{dv}{d\rho}\eta L = -\pi \rho ^2 \Delta P, \quad \frac{dv}{d\rho} =- \rho \frac{\Delta P}{2 \eta L}. $$ Его решение $$ v(\rho) = \frac{\Delta P}{4 \eta L} (r^2 - \rho^2), $$ откуда поток равен $$ q = \int_0^r 2\pi \rho d\rho\, v(\rho) = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите гидродинамические сопротивления щели $R_s$ и трубки $R_t$.  Ответ выразите через геометрические размеры, заданные в пунктах A1 и A2 соответственно и через вязкость жидкости $\eta$. ", "solution": {"text": "Используя результаты предыдущих пунктов, получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ R_s =\frac{12 \eta L}{d^3w} ,\quad R_t = \frac{8 \eta L}{\pi r^4} $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Жидкость вязкости $\eta$ течет по трубке радиуса $r$ и длины $L$ под действием разности давлений $\Delta P$ (как в A2). Найдите мощность сил вязкого трения. ", "solution": {"text": "Работа сил вязкого трения равна по модулю и противоположна по знаку работе сил давления (жидкость движется равномерно, поэтому полная работа равна нулю). Сила давления, действующая на узкий цилиндр жидкости площади $dS$ (ось цилиндра параллельна направлению движения жидкости) равна $F =\Delta P dS $. Соответствующий вклад в мощность $dW = \Delta P dS v$, а полная мощность сил трения $$ W = -\int \Delta P v dS = - \Delta P q. $$ $$W =-q\Delta P =-\Delta P^2/R= - \frac{\pi r^4}{8 \eta L}\Delta P^2$$ Альтернативно можно использовать факт, что в бесконечно малом объеме мощность сил вязкого трения $dW = - dV \eta (dv/d\rho)^2$. Интегрируя по объему, найдем $$ W = \int dV \eta (dv/d\rho)^2= - \eta L \int_0^r d\rho\, 2\pi \rho (dv/d\rho)^2 = - \frac{\pi r^4}{8 \eta L}\Delta P^2. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$W = - \frac{\pi r^4}{8 \eta L}\Delta P^2$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Пусть заданы объемные расходы $q_1$ и $q_2$ жидкостей 1 и 2, а также их средние скорости  $\langle v_1\rangle$ и $\langle v_2\rangle$. Найдите относительную ширину потока образца $w_1/w$. ", "solution": {"text": "Напишем выражения для потоков жидкостей через их средние скорости и ширины потоков: $$ q_1 = \langle v_1 \rangle d w_1, \quad q_2 = \langle v_2 \rangle d w_2= \langle v_2 \rangle d (w-w_1). $$ Решая полученные уравнения, находим $$ \frac{q_2}{q_1} = \frac{\langle v_2 \rangle}{\langle v_1 \rangle}\left( \frac{w}{w_1}-1\right), \quad \frac{w_1}{w} = \frac{1}{1+ q_2 \langle v_1 \rangle/q_1\langle v_2 \rangle}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w}=\frac{1}{1+ q_2 \langle v_1 \rangle/q_1\langle v_2 \rangle}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Пусть заданы вязкости жидкостей $\eta_1$ и $\eta_2$, а их средние скорости определяются результатами части $A$. Выразите $w_1/w$ через  $q_1$, $q_2$, $\eta_1$ и $\eta_2$. Эффектами, которые происходят на границе между жидкостями 1 и 2, можно пренебречь, так как они важны только в области шириной порядка $d \ll w$. ", "solution": {"text": "Из формул для средних скоростей $$ \frac{\langle v_1 \rangle}{\langle v_2 \rangle} = \frac{\eta_2}{\eta_1} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w}=\frac{1}{1+ q_2 \eta_2/q_1\eta_1}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите отношение потоков $q_1/q_2$, если заданы плотности жидкостей ($\rho_1$ и $\rho_2$), их вязкости ($\eta_1$ и $\eta_2$) и высоты, на которые подняты резервуары $h_1$ и $h_2$. ", "solution": {"text": "$$ \frac{q_1}{q_2} = \frac{\rho_1 g h_1/R_1}{\rho g h_2/R_2} = \frac{\rho_1 h_1}{\rho_2 h_2} \frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho_1 h_1 \eta_2}{\rho_2 h_2 \eta_1 } $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{q_1}{q_2} = \frac{\rho_1 h_1 \eta_2}{\rho_2 h_2 \eta_1} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите соответствующее отношение ширин потоков $w_1/w$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w} = \frac{1}{1+ \rho_2 h_2/ \rho_1 h_1} $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Опять рассмотрим течение одной жидкости между плоскостями. Однако теперь скорость создается не только за счет разности давлений, но и за счет силы тяжести. Геометрия такая же как и в части A1, сила тяжести направлена вдоль оси $y$. Поток жидкости сонаправлен с силой тяжести. Найдите среднюю скорость жидкости. Выразите ответ через $\rho$, $g$, $\eta$, $d$, $\Delta P$, $L$. ", "solution": {"text": "Без учета гравитации $$ \langle v \rangle =\frac{ d^2}{12 \eta L} \Delta P. $$ За счет гравитации возникает дополнительный вклад в разность давлений $$ \Delta P \to \Delta P + \rho g L. $$ Отсюда скорость"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \langle v \rangle =\frac{ d^2}{12 \eta } \left(\frac{\Delta P}{L}+ \rho g\right) $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Пусть теперь между плоскостями течет два типа жидкостей, как в части $B$. Написав выражения для средних скоростей жидкостей 1 и 2, исключите из них разность давлений (она одинакова для обеих жидкостей) найдите отношение $\langle v_1 \rangle / \langle v_2 \rangle$. Выразите ответ через $\langle v_2 \rangle$, $\eta_1$, $\eta_2$, $d$, $g$, $\rho_1$, $\rho_2$. ", "solution": {"text": "Запишем выражения для средних скоростей двух жидкостей $$ \langle v_1 \rangle =\frac{ d^2}{12 \eta_1 } \left(\frac{\Delta P}{L}+ \rho_1 g\right), \quad \langle v_2 \rangle =\frac{ d^2}{12 \eta_2 } \left(\frac{\Delta P}{L}+ \rho_2 g\right). $$ Умножим эти уравнения на соответствующие вязкости и вычтем одно из другого $$ \eta_1 \langle v_1 \rangle - \eta_2 \langle v_2 \rangle = \frac{gd^2}{12 } (\rho_1 - \rho_2). $$ Разделив на $\eta_1 \langle v_2 \rangle$ получим $$ \frac{\langle v_1 \rangle}{\langle v_2 \rangle} - \frac{\eta_2}{\eta_1} = \frac{g d^2}{12 \eta_1 \langle v_2 \rangle} (\rho_1-\rho_2) $$ откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{\langle v_1 \rangle}{\langle v_2 \rangle} = \frac{\eta_2}{\eta_1} \left( 1+\frac{g d^2}{12 \eta_2 \langle v_2 \rangle} (\rho_1-\rho_2)\right) $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Подставьте выражение для средних скоростей в формулу для относительной ширины сфокусированного потока из B1. Получите уравнение для определения ширины вида  $$\frac{w}{w_1} = \dots$$  В правую часть могут входить отношение $\frac{w_1}{w}$ и безразмерные параметры $\alpha = q_2 \eta_2/q_1 \eta_1$, $\beta = (\rho_1 - \rho_2)q_G/ \rho_2 q_2$. Здесь $q_G= \rho_2 g d^3 w/12\eta_2$ — величина с размерностью потока жидкости, характеризующая влияние гравитации. ", "solution": {"text": "Используем соотношение из B1 $$ \frac{w}{w_1}=1+ q_2 \langle v_1 \rangle/q_1\langle v_2 \rangle.$$ Подставим в него найденное ранее отношение скоростей $$ \frac{w}{w_1}=1+ \frac{q_2 \eta_2}{q_1 \eta_1} \left( 1+\frac{g d^2}{12 \eta_2 \langle v_2 \rangle} (\rho_1-\rho_2) \right). $$ Выразим среднюю скорость $\langle v_2 \rangle$ через соответствующий поток: $$ \langle v_2 \rangle = \frac{q_2}{d w_2} = \frac{q_2}{d(w-w_1)}. $$ Тогда $$ \frac{w}{w_1}=1+ \frac{q_2 \eta_2}{q_1 \eta_1} \left( 1+\frac{g d^3}{12 \eta_2 q_2} (\rho_1-\rho_2) (w-w_1)\right). $$ Преобразуем это выражение: $$ \frac{w}{w_1}=1+ \frac{q_2 \eta_2}{q_1 \eta_1} \left( 1+\frac{g d^3 w}{12 \eta_2 q_2} (\rho_1-\rho_2) \frac{w-w_1}{w}\right) = $$ $$ 1 + \alpha \left( 1+ \frac{q_G (\rho_1 - \rho_2)}{q_2 \rho_2}\left(1- \frac{w_1}{w}\right)\right) = 1+ \alpha \left( 1+ \beta \left(1- \frac{w_1}{w} \right)\right). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w}{w_1} = 1+ \alpha \left( 1+ \beta \left(1- \frac{w_1}{w} \right)\right). $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Решите это уравнение и найдите относительную ширину сфокусированного потока $w_1/w$. Ответ выразите через безразмерные величины $\alpha$, $\beta$. ", "solution": {"text": "Получили квадратное уравнение $$ \alpha \beta\frac{w_1^2}{w^2} - (1 + \alpha + \alpha \beta)\frac{w_1}{w} +1 = 0. $$ Его решение (нужный нам корень должен быть меньше 1, поэтому берем знак -)"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w} = \frac{1}{2 \alpha \beta} \left( 1 + \alpha + \alpha \beta -\sqrt{(1 + \alpha + \alpha \beta)^2-4 \alpha \beta}\right) $$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите гидродинамическое сопротивление каждого из реостатов, если по ним течет вода. Пусть в качестве жидкости 1 используется раствор соли, плотность которого  $\rho_1 = 1.15 \cdot 10^3~кг/м^3$, а вязкость совпадает с вязкостью воды. Найдите $q_G$ для такой щели. ", "solution": {"text": "Подставляем приведенные выше числа в формулы для сопротивления и $q_G$ $$ R = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}, \quad q_G = \frac{\rho_2 g d^3 w}{12 \eta_2} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ R = 3.97 \cdot 10^{12}~ Па\cdot с/м^3, \quad q_G = 1.48\cdot 10^{-8} м^3/c. $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите относительную ширину потока жидкости 1 (раствора соли)  $w_1/w$ для случаев, когда жидкость 1 подается с высот $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. ", "solution": {"text": "Подставим числа в формулы, полученные в C4. Подставим числа в формулы из B4. Получим значения для $h= 0.25~м, \,0.5~м, \,1.0~м$ соответственно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w} =0.190;\, 0.346; 0.563. $$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Как изменится значение ширины потока, если пренебречь влиянием силы тяжести? Вычислите относительную ширину потока для тех же параметров $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$, что и в предыдущем пункте, не учитывая силу тяжести. ", "solution": {"text": "Подставим числа в формулы из B4. Получим значения для $h= 0.25~м, \,0.5~м, \,1.0~м$ соответственно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w} =0.365;\, 0.535; 0.697. $$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Пусть теперь по центру течет некоторая жидкость 1, плотность которой равна $\rho_1^\prime = 0.8 \cdot 10^3 кг/м^3$, а вязкость совпадает с вязкостью воды.  Найдите отношение $w_1/w$ для значений $h_1 = 0.25~м,\, 0.5~м,\,1.0~м$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{w_1}{w} =0.666;\, 0.715; 0.775. $$"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Постройте качественно на одном графике зависимости $w_1/w$ от $h_2/h_1$ для трех случаев: a) гравитации нет, b) по центру течет раствор соли, c) по центру течет жидкость с плотностью $\rho_1^\prime$. Все параметры как в предыдущих пунктах, высота $h_2$ фиксирована, меняется только $h_1$. ", "solution": {"text": "<img_1> На рисунке приведены графики для случаев a), b), c) соответственно. Обратите внимание, что все три зависимости монотонно убывают, а также на порядок расположения кривых (когда плотность центральной жидкости больше, поток становится уже после учета гравитации, а когда меньше — поток наоборот расширяется)."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D5", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Во всех расчетах мы предполагали, что потоки не зависели от времени.  Пусть резервуар для воды (жидкости 2) представляет собой цилиндр радиуса $r_r = 20~мм$.  Оцените время, за которое уровень воды в резервуаре уменьшается на $\delta h_2 = 10~см$. Если эксперимент провести за время такого порядка, изменение уровня воды в резервуаре практически на нем не скажется. Начальный уровень равен $h_2 = 0.5~м$. ", "solution": {"text": "Скорость уменьшения уровня воды можно оценить из $$ \pi r_r^2 \frac{dh_2}{dt} = -q_2 = -\frac{\rho_2 g h_2}{R}. $$ Считая эту скорость приближенно постоянной, находим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta t \approx \frac{\pi r_r^2 \delta h_2 R}{\rho_2 g h_2} \approx 10^5 ~с. $$"]}, "number_part": "D6", "exponent_part": "0,80"}]