text: {"text": [{"text": "Общая теория относительности Эйнштейна предсказывает, что перераспределение плотности материи вызывает возмущение метрики пространства-времени, выражающееся в виде гравитационных волн. Для простоты будем рассматривать волну, распространяющуюся вдоль оси $Oz$. Для любого фиксированного $z$ дифференциал расстояния $dr$ между двумя точками с координатами $(x, y)$ и $(x + dx, y+dy)$ задаётся формулой:$$\mathrm{d} r=\sqrt{\left(1+f_{1}\right)(\mathrm{d} x)^{2}+f_{2}(\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\mathrm{d} y \mathrm{~d} x)+\left(1-f_{1}\right)(\mathrm{d} y)^{2}},$$где гравитационная волна представлена возмущениями $f_1$ и $f_2$. Считайте, что плоские гравитационные волны представимы в виде:$$f_1 = A \sin{\left[ \omega \left( t - \frac{z}{c} \right) \right]},\, f_2 = 0,\, 0 < A \ll 1,$$где $A$ и $\omega$ — амплитуда и частота волны соответственно, $c$ — скорость света."}, {"balls": {"number": "1.1", "exponent": "4,00"}, "text": "Поместим два детектора в плоскости $xOy$: один в начале координат $O$, другой — на расстоянии $R$ от начала координат под углом $\theta$ к оси $Ox$. Найдите приближённое выражение для отклонения $D - R$ расстояния между детекторами от $R$ при прохождении гравитационной волны."}, {"balls": {"number": "1.2", "exponent": "3,00"}, "text": "Поместим решётку детекторов на окружности радиуса $R$ с центром в точке $O$ в плоскости $xOy$. При прохождении гравитационной волны пространственные координаты могут быть переопределены как $(X,Y)$ так, что расстояние между точками $(X,Y)$ и $(X+dX,Y+dY)$ будет равно $\sqrt{(dX)^2 + (dY)^2}$. Найдите форму решётки детекторов в новой системе координат в момент времени $t$."}, {"balls": {"number": "1.3", "exponent": "6,00"}, "text": "Если в положительном направлении оси $Oz$ распространяются одновременно две гравитационные волны вида:$$f_1 = A \sin{\left[ \omega \left( t - \frac{z}{c} \right) \right]},\, f_2 = 0$$и$$f_1 = A \sin{\left[ \omega \left( t - \frac{z}{c} \right) + \varphi \right]},\, f_2 = 0,\, 0 \leq \varphi < 2 \pi.$$Каким условиям должны удовлетворять $\omega$ и $\varphi$, чтобы амплитуда колебаний расстояния между датчиком в начале координат $O$ и в точке $(R \cos{\theta}, R \sin{\theta})$ была максимальной? Минимальной?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "7,00"}, "text": "Предположим, что источником гравитационных волн является двойная звезда. Массы компонентов равны $M$, за начало координат $O$ возьмём центр масс системы. Если компоненты вращаются в плоскости $xOy$, то $f_1$ и $f_2$ можно записать как$$f_{1}=\frac{8 \pi G}{c^{4}} \frac{2}{l} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} t^{2}}\left[I_{1}\left(T-\frac{l}{c}\right)\right],\,f_{2}=\frac{8 \pi G}{c^{4}} \frac{2}{l} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} t^{2}}\left[I_{2}\left(T-\frac{l}{c}\right)\right],$$где $G$ — гравитационная постоянная, а $l$ — расстояние вдоль оси $Oz$ от начала координат $O$ до точки обнаружения гравитационной волны (много больше расстояния между компонентами), и $I_{1}(t)=\left[x_{1}^{\prime 2}(t)+x_{2}^{\prime 2}(t)\right] M, \, I_{2}(t)=x_{1}^{\prime}(t) y_{2}^{\prime}(t) M$. Найдите амплитуды $f_1$ и $f_2$ в точке обнаружения, если частота гравитационной волны равна $\omega$. Для расчёта параметров орбиты двойной звезды можно использовать Ньютонову механику."}]}
answer: [{"condition": "Поместим два детектора в плоскости $xOy$: один в начале координат $O$, другой — на расстоянии $R$ от начала координат под углом $\theta$ к оси $Ox$. Найдите приближённое выражение для отклонения $D - R$ расстояния между детекторами от $R$ при прохождении гравитационной волны. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[D - R = R \left( \frac{1}{2} A \cos{2 \theta} \right) \sin{\omega x}.\]"]}, "number_part": "1.1", "exponent_part": "4,00"}, {"condition": "Поместим решётку детекторов на окружности радиуса $R$ с центром в точке $O$ в плоскости $xOy$. При прохождении гравитационной волны пространственные координаты могут быть переопределены как $(X,Y)$ так, что расстояние между точками $(X,Y)$ и $(X+dX,Y+dY)$ будет равно $\sqrt{(dX)^2 + (dY)^2}$.  Найдите форму решётки детекторов в новой системе координат в момент времени $t$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{X^{2}}{\left[R\left(1+\frac{1}{2} A \sin \omega x\right)\right]^2}+\frac{Y^{2}}{\left[R\left(1-\frac{1}{2} A \sin \omega x\right)\right]^2}=1.\]"]}, "number_part": "1.2", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Если в положительном направлении оси $Oz$ распространяются одновременно две гравитационные волны вида:$$f_1 = A \sin{\left[ \omega \left( t - \frac{z}{c} \right) \right]},\, f_2 = 0$$и$$f_1 = A \sin{\left[ \omega \left( t - \frac{z}{c} \right) + \varphi \right]},\, f_2 = 0,\, 0 \leq \varphi < 2 \pi.$$Каким условиям должны удовлетворять $\omega$ и $\varphi$, чтобы амплитуда колебаний расстояния между датчиком в начале координат $O$ и в точке $(R \cos{\theta}, R \sin{\theta})$ была максимальной? Минимальной? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Амплитуда максимальна при $\omega = \frac{\left( 2k+1 \right) \pi}{4},\ \varphi = \left( 2k + 1 \right) \pi,\ k \in \mathbb{Z}$ и минимальна при $\omega = \frac{k \pi}{2},\ \varphi = 2k \pi,\ k \in \mathbb{Z}.$"]}, "number_part": "1.3", "exponent_part": "6,00"}, {"condition": "Предположим, что источником гравитационных волн является двойная звезда. Массы компонентов равны $M$, за начало координат $O$ возьмём центр масс системы. Если компоненты вращаются в плоскости $xOy$, то $f_1$ и $f_2$ можно записать как$$f_{1}=\frac{8 \pi G}{c^{4}} \frac{2}{l} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} t^{2}}\left[I_{1}\left(T-\frac{l}{c}\right)\right],\,f_{2}=\frac{8 \pi G}{c^{4}} \frac{2}{l} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} t^{2}}\left[I_{2}\left(T-\frac{l}{c}\right)\right],$$где $G$ — гравитационная постоянная, а $l$ — расстояние вдоль оси $Oz$ от начала координат $O$ до точки обнаружения гравитационной волны (много больше расстояния между компонентами), и $I_{1}(t)=\left[x_{1}^{\prime 2}(t)+x_{2}^{\prime 2}(t)\right] M, \, I_{2}(t)=x_{1}^{\prime}(t) y_{2}^{\prime}(t) M$. Найдите амплитуды $f_1$ и $f_2$ в точке обнаружения, если частота гравитационной волны равна $\omega$. Для расчёта параметров орбиты двойной звезды можно использовать Ньютонову механику. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f_1 = \frac{16 \pi}{l c^4} \omega^{2/3} \left( GM \right)^{5/3},\ f_2 = \frac{8 \pi}{l c^4} \omega^{2/3} \left( GM \right)^{5/3}.\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "7,00"}]