text: {"text": [{"text": "Небольшой игрушечный танк поместили на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "7,00"}, "text": "За какое минимальное время $\tau$ танк, двигаясь с постоянной скоростью, сможет проехать по окружности радиуса $R$?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "5,00"}, "text": "Чему будет равен максимальный угол $\gamma$ между векторами силы трения и ускорения танка во время этого движения? Коэффициент трения между гусеницами и плоскостью равен $\mu$. Ускорение свободного падения $g$."}]}
answer: [{"condition": "За какое минимальное время $\tau$ танк, двигаясь с постоянной скоростью, сможет проехать по окружности радиуса $R$? ", "solution": {"text": "Ускорение танка, движущегося с постоянной скоростью $v$, равно $a = \dfrac{v^2}{R}$ и в любой точке траектории направлено вдоль наклонной плоскости к центру окружности. В плоскости, в которой происходит движение, лежат: вектор силы трения покоя (гусеницы не проскальзывают) $F_{тр}$, вектор $ma$ и $F = mg\sin\alpha$ – составляющая вектора силы тяжести вдоль плоскости. В перпендикулярном к плоскости направлении на танк действует сила нормальной реакции $N = mg\cos\alpha$. <img_1> Сила трения покоя может принимать любое значение из интервала $$ 0 \lt F_{тр} \lt \mu mg\cos\alpha.$$ Чтобы время движения танка было минимальным, он должен двигаться с максимально возможной скоростью. Но при больших скоростях силы трения может не хватать для движения с нужным ускорением. Выразим силу трения из второго закона Ньютона: $$ \vec{F}_{тр} = m\vec{a} - \vec{F}. $$ Из полученной формулы следует, что модуль разности векторов $m\vec{a}$ и $\vec{F}$ максимален, когда эти векторы направлены противоположно, т.е. в нижней точке траектории. Следовательно, танк сможет пройти всю траекторию с постоянной скоростью $v$, если выполнится условие: $$ m\dfrac{v^2}{R} \leqslant \mu mg\cos\alpha - mg\sin\alpha, $$ которое и определяет максимальную скорость: $$ v_{max} = \sqrt{gR(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)},$$ и минимальное время движения танка по окружности: Разумеется, все это справедливо при $\mu \gt tg~\alpha$, в противном случае без проскальзывания танк не смог бы даже стоять на месте."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{min} = \dfrac{2\pi R}{v_{max}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}}\sqrt{\dfrac{R}{g}}.$$  Разумеется, все это справедливо при $\mu \gt tg~\alpha$, в противном случае без проскальзывания танк не смог бы даже стоять на месте."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "7,00"}, {"condition": "Чему будет равен максимальный угол $\gamma$ между векторами силы трения и ускорения танка во время этого движения? ", "solution": {"text": "Найдем максимальный угол между вектором силы трения и ускорения танка. Поскольку вектор $m\vec{a}$ имеет фиксированную величину, но разное направление в разных точках траектории, а вектор $\vec{F}$ – фиксированную величину и направление, то геометрически формула $$ \vec{F}_{тр} = m\vec{a} - \vec{F} $$ означает, что концы векторов сил трения лежат на окружности с радиусом, равным модулю вектора $m\vec{a}$, а их начала находятся в точке, которая сдвинута на величину $\vec{F}$ по отношению к центру этой окружности (см. рисунок; показано вычитание только одной пары векторов). <img_2> Как следует из рисунка, может реализовываться два варианта. 1) Если модуль силы $\vec{F}$ больше модуля вектора $m\vec{a}$ или $$ mg\sin\alpha \gt mg(\mu \cos\alpha - \sin\alpha) \Rightarrow \mu \lt 2tg~\alpha \text{(малое трение)},$$ сдвиг окружности, на которой лежат концы вектора силы трения, больше ее радиуса (именно этот случай показан на рисунке), и угол $\gamma$ между вектором силы трения и вектором $m\vec{a}$ (отмечен дугой на рисунке) изменяется от $\gamma = 0^\circ$ (векторы $m\vec{a}$ и силы $\vec{F}$ сонаправлены) до $\gamma = 180^\circ$ (векторы $m\vec{a}$ и силы $\vec{F}$ направлены противоположно). Если же модуль силы $\vec{F}$ меньше модуля вектора $m\vec{a}$, или $$mg\sin\alpha \lt mg(\mu \cos\alpha - \sin\alpha) \Rightarrow \mu \gt 2tg~\alpha \text{(большое трение)}, $$ то и в случае сонаправленных векторов $m\vec{a}$ и $\vec{F}$, и в случае противоположно направленных, угол между векторами $m\vec{a}$ и $\vec{F}$ равен нулю, и, следовательно, существует максимальный угол между этими векторами (вычитание векторов $m\vec{a}$ и $\vec{F}$ выполнено на рисунке). <img_3> Для нахождения этого угла можно применить теорему синусов к треугольнику сил: $$ \dfrac{F}{\sin\gamma} = \dfrac{ma}{\sin\beta}, $$ где $\beta$ – угол между вектором силы трения и вектором $-\vec{F}$ (см. рисунок). Поскольку модули векторов $m\vec{a}$ и $\vec{F}$ неизменны во всех точках траектории, то угол $\gamma$ максимален, когда максимален синус угла $\beta$, т.е. $\beta = 90^\circ$. В этом случае синус максимального угла между векторами силы трения и ускорения равен:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \sin\gamma = \dfrac{\sin\alpha}{\mu \cos\alpha - \sin\alpha} = \dfrac{tg~\alpha}{\mu - tg~\alpha}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "5,00"}]