text: {"text": [{"text": "В этой задаче изучается поведение давления в жидкости, связанное с волнами в трубе. В заданиях рассматривается гидравлический удар, который проявляется при медленном и быстром перекрытии управляющих клапанов. В задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема $V_0$ находится в равновесии при давлении $P_0$. Тогда если давление изменится на $\Delta P$, то его объем изменится на $\Delta V$, и он будет пропорционален $\Delta P$: $$\Delta P = -B~ \frac{\Delta V}{V_0}$$ где $B$ — модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна$\rho_0=1.0\times 10^3~\rm кг/м^3 $ и $B=2.2 ~\rm ГПа$."}, {"text": "Часть A. Избыточное давление и распространение волны давления (2.2 балла) По цилиндрической трубе длины $L$ в установившемся режиме течет вода в направлении $+x$. Ее скорость $v_0$, плотность $\rho_0$ и давление $P_0$. Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины $h$, а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Пусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления $\Delta P_{\rm s} \equiv P_{\rm1} -P_{\rm 0}$ и скорости $\Delta v =v_1- v_0$, причем $v_{\rm1} \le 0$. Это вызывает продольную волну избыточного давления $\Delta P_{\rm s}$, распространяющуюся в направлении $-x$ со скоростью $c$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,60"}, "text": "Избыточное давление $\Delta P_{\rm s}$ и скачок скорости $\Delta v$ связаны следующим образом: $\Delta P_{\rm s} = \alpha \rho_0 c \Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c = \beta + \sqrt{\gamma B/\rho_0}$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$."}, {"text": "Часть B. Модель клапана, управляющего потоком (1 балл) На рисунке 2 показана модель клапана $\rm {T}$ и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка $\Delta L$, радиуса $R$ на конце $A$ трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен $r$. Клапан открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь. Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость $v_{\rm in}$, давление $P_{\rm in}$ и плотность $\rho_0$. На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока. <img_1> Известно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна $v_c$, а радиус сечения потока равен $r_{\rm c} =r\sqrt C_{\rm c}$. Здесь $ C_{\rm c}$ — , и он зависит от отношения $r/R$ и угла $\beta$. Зависимость приведена в Таблице 1."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,60"}, "text": "Рассчитайте $c$ и $\Delta P_s$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0~{\rm м/с}$ и $v_1 = 0$."}, {"text": "Часть С. Гидравлический удар при быстром закрытии клапана (1.8 балла) Рассмотрим снова систему труба-резервуар (рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца $\rm B$ трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется ."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите избыточное давление $\Delta P_{\rm in} =P_{\rm in}-P_{\rm a}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\rho_0$, $v_{\rm in}$, $r$, $R$ и $C_c$. Во всех заданиях частей C и D рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения:"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\rm T$ полностью открыт ($r=R$) (см. рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\rho_0, g, h$ и $P_{\rm a}$."}, {"text": "Часть D. Гидравлический удар при медленном закрытии клапана (5.0 баллов) Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги. Начиная с момента времени $t=0$, и далее каждые $\tau=2L/c$ происходит мгновенное изменение радиуса $r$ клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части B). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы. Для каждого шага $n$ в таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса $r_n$. Также указаны обозначения давления в жидкости $P_n$ и скорости потока $v_n$ вблизи клапана. Плотность жидкости $\rho_0$ и скорость распространения волны $c$ можно считать постоянными. Пусть $n =0,1,2,3,4$. Определим $\Delta P_n =P_n-P_0$ и $\Delta v_n =v_n-v_0$. Работайте в приближении, что $P_h =P_0$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,20"}, "text": "Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r = 0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\rho_0gh$. Пусть $\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\tau/2$ и $\tau$?"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "3,00"}, "text": "Выразите $\Delta P_n/(\rho_0 c)$ через $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в таблице 2. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "2,00"}, "text": "Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~{\rm м/с}$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$. Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$. Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$."}]}
answer: [{"condition": "Избыточное давление $\Delta P_{\rm s}$ и скачок скорости $\Delta v$ связаны следующим образом: $\Delta P_{\rm s} = \alpha \rho_0 c \Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c = \beta + \sqrt{\gamma B/\rho_0}$.   Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,60"}, {"condition": "Рассчитайте $c$ и $\Delta P_s$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0~{\rm м/с}$ и $v_1 = 0$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите избыточное давление $\Delta P_{\rm in} =P_{\rm in}-P_{\rm a}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\rho_0$, $v_{\rm in}$, $r$, $R$ и $C_c$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\rm T$ полностью открыт ($r=R$) (см. рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\rho_0, g, h$ и $P_{\rm a}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r = 0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\rho_0gh$. Пусть $\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\tau/2$ и $\tau$? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Выразите $\Delta P_n/(\rho_0 c)$ через $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в таблице 2.   Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~{\rm м/с}$.   На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$.   Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$.   Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D2", "exponent_part": "2,00"}]