text: {"text": [{"text": "На рисунке изображен длинный резиновый воздушный шарик, который популярен на вечеринках по случаю дней рождения. Частично надутый воздушный шар обычно разделяется на две цилиндрические области с сильно отличающимися радиусами. Используя простую модель, попробуем разобраться в причинах такого разделения. <img_0> Частично надутый воздушный шарик Воздушный шарик имеет форму однородного цилиндра (за исключением концов). Все процессы будем считать изотермическими и происходящими при комнатной температуре. Давление $P$ в воздушном шарике превышает атмосферное давление $P_0$ на очень малую величину, так что воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Силой тяжести и весом воздушного шарика можно пренебречь. Процесс изменения объема воздушного шарика считайте медленным и квазистатическим. В пунктах A1-A4 предполагается, что воздушный шарик надут всюду однородно по его длине. Обозначим как $r_0$ и $L_0$ начальные радиус и длину воздушного шарика до его надувания."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,80"}, "text": "Воздушный шарик удерживается за один из его концов, по которому поступает воздух, в то время как остальная часть шарика висит свободно. Вычислите отношение $\sigma_L$/$\sigma_t$ между продольным «поверхностным» натяжением $\sigma_L$ (в направлении, параллельном оси воздушного шарика) и поперечным «поверхностным» натяжением $\sigma_t$ (в направлении, касательном к поперечному сечению воздушного шарика). «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. При малых растяжениях шарика справедлив линейный закон Гука. Будем считать, что длина воздушного шара остается постоянной и равной $L_0$, в то время как «поверхностное» натяжение $\sigma_t$ линейно зависит от изменения отношения $\frac{r}{r_0}$:\begin{equation} \sigma_t = k \left( \frac{r}{r_0} -1 \right) \tag{1} \end{equation}"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Используя формулу $(1)$, получите выражение для зависимости давления $P$ в воздушном шарике от его объема $V$. Изобразите (качественно) зависимость $P - P_0$ как функцию объема $V$. Исходя из закона Гука, найдите максимальное давление внутри воздушного шарика $P_{\max}$. В действительности отношение $r/r_0$ достаточно велико (см. рисунок 1), так что нужно учитывать нелинейное поведение резины и связанное с ним изменением длины воздушного шарика. Учет этих нелинейных свойств материала резины позволяет существенно уточнить формулу для давления внутри шарика, которое оказывается выше, чем результат, полученный в пункте A2. В реальном воздушном шарике график зависимости $\sigma_t (r)$ радиуса шарика состоит из трех частей: Описанная выше зависимость показана на рисунке 2."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,30"}, "text": "Изобразите качественно график зависимости разности давлений $P-P_0$ как функцию объема $V$ однородно надутого воздушного шара, материал резины которого ведет себя согласно рисунку 2. Укажите точки экстремумов на графике, на том же графике укажите точки, соответствующие значениям $r = 1$ см и $r = 2.5$ см. Вычислите разность давлений $P-P_0$ для этих двух значений радиуса с $10\text{%}$-ой точностью. <img_1> <img_2> Нелинейное поведение материала резины, исследованное в пункте A3, приводит к тому, что зависимость разности давлений $P-P_0$ внутри воздушного шарика от его объема $V$ аппроксимируется следующей кубической зависимостью: \begin{equation} P - P_0 = a \left( \left(V-u\right)^3 - b\left(V-u\right) + c \right), \tag{2} \end{equation} где $a$, $b$, $c$ и $u$ — положительные константы. Пусть объем $u$ больше, чем объем не надутого воздушного шара $V_0$, а $c$ принимает такие значения, при которых функция $(2)$ положительна для всех $V > V_0$. См. рис. 3. Воздушный шарик соединен с большим воздушным резервуаром, в котором может поддерживаться контролируемое насосом давление $P$. Может случиться так, что некоторым значениям давления $P$ соответствуют несколько равновесных значений $V$. Если воздушный шарик, находящийся в равновесии, испытывает случайные возмущения (такие как локальное растяжение внешними силами), то он может перейти в другое равновесное состояние с отличным объемом. Такой переход возможен, только если он будет энергически выгодным для всей системы, состоящей из воздушного шарика, атмосферы и насоса, поддерживающего давление $P$. Пусть давление медленно увеличивается от значения $P_0$, и на каждом шаге существуют достаточные возмущения. Тогда резкое увеличение объема шарика может произойти только по достижении критического давления $P_c$, при котором полная энергия, необходимая для перехода между двумя равновесными состояниями равна нулю. Выше этого критического давления, переход от меньшего объема к большему, сопровождается выделением энергии и наоборот. Такие резкие переходы часто встречаются в природе, и иногда называются фазовыми переходами."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "2,30"}, "text": "Используя зависимость $(2)$, получите выражения для $P_c$, объема $V_1$ воздушного шарика перед скачком и объема $V_2$ после скачка. Выразите ответы через $a$, $b$, $c$ и $u$. В реальности мальчик на дне рождения неспособен подавать достаточно воздуха для мгновенного изменения объема воздушного шарика, описанного выше. Вместо этого воздух накачивается в воздушный шарик постепенно, эффективно контролируя увеличение объема воздушного шара, а не давление в нем. В этом случае становится возможным новый тип поведения шарика. Если сложится ситуация благоприятная для минимизации полной энергии системы, то воздушный шарик разделиться на две цилиндрические области с различными радиусами, длины которых будут постепенно изменяться. Энергией границы раздела можно пренебречь. Мы также пренебрежем длиной пограничного слоя (эти предположения действительны для очень длинного воздушного шара)."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,00"}, "text": "Изобразите качественный график зависимости разности давлений $P-P_0$ от объема $V$, учитывая разделение объема шарика на две части. Укажите на осях давление $P_c-P_0$ и объемы $V_1$ и $V_2$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,40"}, "text": "Пусть шарик находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите длину $L_{\text{thin}}$ более тонкой области как функция полного объема воздушного шара $V$. Выразите свой ответ через $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "1,20"}, "text": "Пусть шарик опять находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите удельную работу $\Delta W / \Delta L_{\text{thin}}$, которую необходимо совершить, чтобы преобразовать единицу длины тонкой области в толстую область. Выразите свой ответ через $P_c$, $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области."}]}
answer: [{"condition": "Воздушный шарик удерживается за один из его концов, по которому поступает воздух, в то время как остальная часть шарика висит свободно. Вычислите отношение $\sigma_L$/$\sigma_t$ между продольным «поверхностным» натяжением $\sigma_L$ (в направлении, параллельном оси воздушного шарика) и поперечным «поверхностным» натяжением $\sigma_t$ (в направлении, касательном к поперечному сечению воздушного шарика).  «Поверхностное» натяжение воздушного шарика – это сила, с которой соседние части воздушного шарика действуют друг на друга, отнесенная к единице длины границы между ними. ", "solution": {"text": "Решение через силы Пусть радиус шарика равен $r$, а давление внутри него — $P$.Рассмотрим сечение шарика, перпендикулярное его оси. На часть шарика, отсекаемую этим сечением, действует сила вдоль его оси, равная:\[2\pi r\sigma_L-\pi r^2(P-P_0)\implies \sigma_L=\frac{r}{2}(P-P_0).\]Рассмотрим теперь сечение шарика, рассекающее его пополам вдоль оси. На любую из половинок шарика действует сила, перпендикулярная его оси и равная:\[2x\sigma_t-2rx(P-P_0)\implies \sigma_t=\] Решение через энергию Если растянуть шарик в длину на величину $\mathrm dL$, его энергия увеличится на:\[\mathrm dE_L=2\pi r\sigma_L\,\mathrm dL.\]Если растянуть шарик, увеличив его радиус на $\mathrm dr$, его энергия увеличится на:\[\mathrm dE_t=L\sigma_t\cdot 2\pi\,\mathrm dr.\]Применим к шарику обе эти деформации так, чтобы его объём (а значит, внутренняя энергия и давление газа внутри) не изменятся. Это происходит при:\[\pi r^2\,\mathrm dL+L\,\mathrm{d}\left(\pi r^2\right)=0\implies r\,\mathrm dL=-2L\,\mathrm dr.\]Тогда в равновесном состоянии суммарная энергия должна экстремум, то есть:\[\mathrm dE_l+\mathrm dE_t=0\implies\\0=2\pi\sigma_Lr\,\mathrm dL-\pi\sigma_t\cdot\left(-2L\,\mathrm dr\right)=\left(2\pi\sigma_L-\pi\sigma_t\right)r\,\mathrm dL,\]откуда приходим к тому же ответу."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\sigma_L/\sigma_t=1/2\]  Решение через энергию Если растянуть шарик в длину на величину $\mathrm dL$, его энергия увеличится на:\[\mathrm dE_L=2\pi r\sigma_L\,\mathrm dL.\]Если растянуть шарик, увеличив его радиус на $\mathrm dr$, его энергия увеличится на:\[\mathrm dE_t=L\sigma_t\cdot 2\pi\,\mathrm dr.\]Применим к шарику обе эти деформации так, чтобы его объём (а значит, внутренняя энергия и давление газа внутри) не изменятся. Это происходит при:\[\pi r^2\,\mathrm dL+L\,\mathrm{d}\left(\pi r^2\right)=0\implies r\,\mathrm dL=-2L\,\mathrm dr.\]Тогда в равновесном состоянии суммарная энергия должна экстремум, то есть:\[\mathrm dE_l+\mathrm dE_t=0\implies\\0=2\pi\sigma_Lr\,\mathrm dL-\pi\sigma_t\cdot\left(-2L\,\mathrm dr\right)=\left(2\pi\sigma_L-\pi\sigma_t\right)r\,\mathrm dL,\]откуда приходим к тому же ответу."]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,80"}, {"condition": "Используя формулу $(1)$, получите выражение для зависимости давления $P$ в воздушном шарике от его объема $V$. Изобразите (качественно) зависимость $P - P_0$ как функцию объема $V$. Исходя из закона Гука, найдите максимальное давление внутри воздушного шарика $P_{\max}$. ", "solution": {"text": "Разность давлений находим, пользуясь промежуточными результатами предыдущего пункта:\[P=P_0+\frac{\sigma_t}{r}=P_0+\frac{k(r-r_0)}{r_0r}=P_0+k\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r}\right).\]Поскольку объём связан с радиусом как:\[V=\pi r^2L_0,\]получим искомую зависимость: Функция $P-P_0$ выходит из нуля при $V=\pi r_0^2L_0$ и монотонно асимптотически стремится к значению $k/r_0$ при $V\to+\infty$. Максимальное давление внутри шарика достигается при $V\to+\infty$ и равно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P(V)=P_0+k\left(\frac{1}{r_0}-\sqrt{\frac{\pi L_0}{V}}\right)\]  Функция $P-P_0$ выходит из нуля при $V=\pi r_0^2L_0$ и монотонно асимптотически стремится к значению $k/r_0$ при $V\to+\infty$. Максимальное давление внутри шарика достигается при $V\to+\infty$ и равно:", "Ответ: \[P_{\max}=P_0+\frac{k}{r_0}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Изобразите качественно график зависимости разности давлений $P-P_0$ как функцию объема $V$ однородно надутого воздушного шара, материал резины которого ведет себя согласно рисунку 2. Укажите точки экстремумов на графике, на том же графике укажите точки, соответствующие значениям $r = 1$ см и $r = 2.5$ см. Вычислите разность давлений $P-P_0$ для этих двух значений радиуса с $10\text{%}$-ой точностью. ", "solution": {"text": "Качественно график зависимости $P-P_0$ от $V$ ведёт себя так же, как график $P-P_0=\sigma_t/r$ от $r$, который легко построить. График растёт от нуля, потом спадает, а в конце начинает резко увеличиваться снова. Точки $r=1~см$ и $r=2.5~см$ лежат на убывающем участке недалеко от локальных максимума/минимума (но не совпадают с ними). Качественный график представлен на рисунке ниже: <img_3> Искомые давления можно найти как: $(P-P_0)(r=1~см)=\dfrac{\sigma}{r}=\dfrac{30}{0.01}~Па=3000~Па,\\ (P-P_0)(r=2.5~см)=\dfrac{\sigma}{r}=\dfrac{30}{0.025}~Па=1200~Па.$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[(P-P_0)(r=1~см)=3000~Па,\qquad (P-P_0)(r=2.5~см)=1200~Па\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Используя зависимость $(2)$, получите выражения для $P_c$, объема $V_1$ воздушного шарика перед скачком и объема $V_2$ после скачка. Выразите ответы через $a$, $b$, $c$ и $u$. ", "solution": {"text": "Шарик совершает над насосом работу:\[W_\mathrm{mech}=-P(V_\mathrm f-V_\mathrm i),\]а над атмосферой:\[W_\mathrm{surr}=P_0(V_\mathrm f-V_\mathrm i).\]Условие энергетического равновесия для перехода состояния шарика:\[W_\mathrm{rubber}+W_\mathrm{surr}+W_\mathrm{mech}=0.\]Отсюда мгновенно получаем правило Максвелла:\[\int\limits_{V_\mathrm i}^{V_\mathrm f}(P-P_0)\,\mathrm dV=(P-P_0)(V_\mathrm f-V_\mathrm i).\]Поскольку функция $P(V)$ симметрична относительно точки $(V,P-P_0)=(u,ac)$, правило Максвелла может быть выполнено при: При этом на значения объёма $V_{1,2}$ получим кубическое уравнение:\[(V-u)^3-b(V-u)=0\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P_\mathrm c=P_0+ac\]  При этом на значения объёма $V_{1,2}$ получим кубическое уравнение:\[(V-u)^3-b(V-u)=0\implies\]", "Ответ: \[V_{1,2}=u\pm\sqrt b\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "2,30"}, {"condition": "Изобразите качественный график зависимости разности давлений $P-P_0$ от объема $V$, учитывая разделение объема шарика на две части. Укажите на осях давление $P_c-P_0$ и объемы $V_1$ и $V_2$. ", "solution": {"text": "В диапазоне объёмов $V\in[V_1,V_2]$ произойдёт разделение шарика на тонкую и толстую часть, которое происходит при постоянном давлении $P_\mathrm c$. На других участках графика зависимость $P-P_0$ от $V$ монотонно растёт, претерпевая разрыв производной в момент начала фазового перехода. Соответствующий рисунок:"}, "answer": {"answers": ["<img_4>"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть шарик находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите длину  $L_{\text{thin}}$ более тонкой области как функция полного объема воздушного шара $V$. Выразите свой ответ через $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области. ", "solution": {"text": "При изменении полного объёма шарика от $V_1$ до $V_2$ объём тонкой части линейно уменьшается от $V_1$ до $0$, т.е.:\[V_\mathrm{thin}=\frac{V_1}{V_2-V_1}(V_2-V).\]Так как $L_\mathrm{thin}=V_\mathrm{thin}/\pi r_1^2$, получаем ответ:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[L_\mathrm{thin}=\frac{V_1(V_2-V)}{\pi r_1^2(V_2-V_1)}\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Пусть шарик опять находится в условиях, при которых возможно его разделение на две цилиндрические области различных радиусов. Найдите удельную работу $\Delta W / \Delta L_{\text{thin}}$, которую необходимо совершить, чтобы преобразовать единицу длины тонкой области в толстую область. Выразите свой ответ через $P_c$, $V_1$, $V_2$ и радиус $r_1$ более тонкой области. ", "solution": {"text": "При преобразовании длины $\mathrm dL_\mathrm{thin}$ тонкой области в толстую, объём шарика увеличивается на величину:\[\mathrm dV=\frac{V_2-V_1}{V_1}\mathrm dV_\mathrm{thin}=\frac{\pi r_1^2(V_2-V_1)}{V_1}\mathrm dL_\mathrm{thin}.\]Для этого необходимо совершить работу:\[\mathrm dW=P_\mathrm c\,\mathrm dV=\frac{\pi r_1^2P_\mathrm c(V_2-V_1)}{V_1}\mathrm dL_\mathrm{thin}.\]Таким образом, искомая величина:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{\mathrm dW}{\mathrm dL_\mathrm{thin}}=\frac{\pi r_1^2P_\mathrm c(V_2-V_1)}{V_1}\]"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "1,20"}]