text: {"text": [{"text": "Небольшой шарик движется с постоянной скоростью $v_0$, по гладкой горизонтальной поверхности и попадает в точке $A$ в цилиндрический вертикальный колодец глубиной $H$ и радиусом $R$ (см. рис а). Вектор скорости шарика составляет угол $\alpha$ с диаметром колодца, проведенным в точку $A$. <img_0> <img_1>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каком соотношении между $R, H, v_0$ и $\alpha$ шарик после упругих соударений со стенками и дном сможет "выбраться" из колодца? При упругом ударе шарика модуль скорости остается постоянным, а угол падения равен углу отражения (см. рис б)."}]}
answer: [{"condition": "При каком соотношении между $R, H, v_0$ и $\alpha$ шарик после упругих соударений со стенками и дном сможет "выбраться" из колодца? ", "solution": {"text": "При ударах о боковые стенки не меняется проекция скорости шарика на вертикальную ось, потому что нормаль к боковой поверхности цилиндра горизонтальна. <img_2> Поэтому боковые стенки не влияют на время нахождения шарика ниже уровня земли. Оно такое же, как будто шарик падал бы просто вертикально, и равно $2\sqrt{\frac{2H}{g}}=t_0$.Чтобы шарик через время $t_0$ выбрался из колодца, необходимо, чтобы через время $t_0$ он оказался на его границе. <img_3> Если шарик за время $t_0$ не выберется из колодца, то ровно через время $2t_0$ после падения в колодец шарик снова окажется на уровне земли.И вообще: шарик будет оказываться на уровне земли через времена $t_0$, $2t_0$, $3t_0$, $\dots$ после падения в колодец.Он выберется тогда и только тогда, когда $\exists~n\in \mathbb{N}$ такое, что $\frac{nv_0t_0}{l_0} \in \mathbb{N}$, то есть за время $nt_0$ шарик снова попадет на границу круга.Такое условие равносильно $\frac{v_0t_0}{l_0} \in \mathbb{Q}$.Итак, шарик выберется из колодца если и только если отношение $\frac{v_0t_0}{l_0}=\frac{v_0}{R\cos\alpha}\sqrt{\frac{2H}{g}}$ рационально."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Если и только если $$\frac{V_0}{R\cos\alpha}\sqrt{\frac{2H}{g}}\in Q.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]