text: {"text": [{"text": "Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были изображены идеальная тонкая линза, предмет и его изображение. Из текста следует, что предмет представляет собой стержень длины $l$ с двумя точечными источниками на концах. Стержень и главная оптическая ось находились в плоскости рисунка, а также стержень не пересекал плоскость линзы. От времени чернила выцвели и на рисунке остались видны лишь сами источники и их изображения, причём неизвестно, какая из четырёх точек чему соответствует. Интересно, что эти точки располагаются в вершинах и в центре равностороннего треугольника (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите, самому предмету или его изображению принадлежит точка в центре треугольника."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Восстановите оптическую схему (предмет, изображение, линзу, её главную оптическую ось, фокусы) с точностью до поворота рисунка на $120^{\circ}$ и отражения."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите фокусное расстояние линзы. Примечание. Линза называется идеальной, если любой пучок параллельных лучей фокусируется в фокальной плоскости."}]}
answer: [{"condition": "Определите, самому предмету или его изображению принадлежит точка в центре треугольника. ", "solution": {"text": "Предположим, что стержень с источниками - одна из сторон треугольника (например, $A B$), точки $A_{1}$ и $B_{1}$ - их изображения (см. рисунок). <img_1> Toгда лучи $A A_{1}$ и $B B_{1}$ пересекаются на середине стороны $B B_{1}$ в точке $O$, которая является центром линзы. Луч, идущий от $A$ через $B$, преломляется в плоскости линзы и идёт далее через их изображения $A_{1}$ и $B_{1}$. Тогда середина $A B$, точка $K$, принадлежит плоскости линзы. Но в этом случае плоскость линзы $O K$ пересекает стержень $A B$, что невозможно. Следовательно, центр треугольника - один из концов стержня."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Центр треугольника - один из концов стержня."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Восстановите оптическую схему (предмет, изображение, линзу, её главную оптическую ось, фокусы) с точностью до поворота рисунка на $120^{\circ}$ и отражения. ", "solution": {"text": "Рассмотрим этот вариант. Прямые $A B$ и $A_{1} B_{1}$ пересекаются на середине $A_{1} B_{1}$ в точке $K$, принадлежащей плоскости линзы (см. рисунок ниже). <img_3> Итак, $O K$ - плоскость линзы, точка $O$ - её центр. Прямая $P Q$, проходящая через точку $O$ перпендикулярно $O K$, - главная оптическая ось. Точки $A_{1}$ и $B_{1}$ - концы изображения. Само изображение «разорвано» и представляет собой два луча, лежащие на прямой $A_{1} B_{1}$, уходящие из точек $A_{1}$ и $B_{1}$ на бесконечность. Линза - собирающая, только такая линза может давать «разорванное» изображение."}, "answer": {"answers": ["<img_2>"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите фокусное расстояние линзы. ", "solution": {"text": "Определить положение фокусов и фокусное расстояние несложно. Пустим луч $A M$ из точки $A$ параллельно оси линзы $P Q$ до пересечения с плоскостью линзы в точке $M$. После преломления луч пойдёт через изображение $A_{1}$. Пересечение $M A_{1}$ с $P Q$ - точка $F$ - и есть главный фокус линзы. Так как $O K$ - средняя линия треугольника, а точка $O$ - середина $A A_{1}$, $O F=\frac{1}{4} h$, где $h$ - высота треугольника, $h=\frac{3}{2} A B=\frac{3}{2} l$. Таким образом, фокусное расстояние $O F=\frac{3}{8} l$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Фокусное расстояние $O F=\frac{3}{8} l$."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]