text: {"text": [{"text": "В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, произведённого над неизвестным количеством $\nu$ азота. В координатах $(T, C)$, где $C$ - теплоёмкость газа, а $T$ - температура, график цикла представляет собой четыре отрезка: $a \rightarrow b$, $e \rightarrow f$, $c \rightarrow b$, $e \rightarrow d$ (см. рисунок) . <img_0> К сожалению, положение начала координат оказалось утраченным. Пояснительные записи указывали, что теплоёмкости $C_{d}=1.000~Дж/К$, $C_{a}=0.715~ Дж/К$, а также, что: $$ T_{c}-T_{b}=2\left(T_{b}-T_{a}\right)=200~K, \quad \text { и } \quad \frac{p_{c}}{p_{a}}=\frac{V_{c}}{V_{a}} $$"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите работу газа $A$ за цикл и КПД цикла $\eta$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите значения температуры $T_{a}$, $T_{b}$ и $T_{c}$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Нарисуйте график цикла в координатах $(p, V)$ и определите количество вещества $\nu$. Примечание. Процесс с постоянной теплоёмкостью $C$ называется политропным и для него справедливо соотношение $$ p V^{n}=\mathrm{const} $$ где $n$ - постоянная, показатель политропы."}]}
answer: [{"condition": "Найдите работу газа $A$ за цикл и КПД цикла $\eta$. ", "solution": {"text": "Качественно изобразим процесс на графике в привычных $(p, V)$ координатах (см. рисунок). <img_1> График состоит из четырёх политроп: процессу $a b$ соответствует линия $12$, $e f-23$, $c b-34$, $e d-41$. Также важно отметить, что точки $2$ и $4$ лежат на одной изотерме $\left(T_{2}=T_{4}=T_{b}\right)$. Поскольку теплота, переданная газу в процессе с постоянной теплоёмкостью, равна $Q=C \Delta T$, то в координатах $C T$ теплота процесса численно равна площади под графиком. Из графика в условии видно, что на участках $12$ и $23$ тепло подводится, а на участках $34$ и $41$ - отводится. Найдём подведённую теплоту $Q+$ и отданную теплоту $Q_{-}$ : $$ \begin{aligned} Q_{+}=Q_{12}+Q_{23}=C_{a}\left(T_{2}-T_{1}\right)+C_{d}\left(T_{3}-T_{2}\right)=271.5~Дж. \\ Q_{-}=Q_{34}+Q_{41}=-C_{a}\left(T_{3}-T_{2}\right)-C_{d}\left(T_{2}-T_{1}\right)=-243~Дж. \end{aligned} $$ По первому началу термодинамики полная теплота в цикле равна работе, совершённой газом: $$ A=Q_{+}+Q_{-}=28.5~Дж, \quad \text { тогда } \quad \eta=\frac{A}{Q_{+}}=0.105. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A=Q_{+}+Q_{-}=28.5~Дж. $$ $$ \eta=\frac{A}{Q_{+}}=0.105. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите значения температуры $T_{a}$, $T_{b}$ и $T_{c}$. ", "solution": {"text": "Из уравнения политропы и уравнения состояния идеального газа $p V / T = \text{const}$ следует связь между $T$ и $V$: $$ T V^{n-1}= \text{const}, \quad \text { или } \quad\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{\frac{1}{1-n}}=\frac{V}{V_{0}} $$ Запишем уравнение выше для четырёх процессов: $$ \begin{aligned} &\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{\frac{1}{1-n_{a}}}=\frac{V_{1}}{V_{2}}, \quad\left(\frac{T_{2}}{T_{3}}\right)^{\frac{1}{1-n_{d}}}=\frac{V_{2}}{V_{3}}, \\ &\left(\frac{T_{3}}{T_{4}}\right)^{\frac{1}{1-n_{a}}}=\frac{V_{3}}{V_{4}}, \quad\left(\frac{T_{4}}{T_{1}}\right)^{\frac{1}{1-n_{d}}}=\frac{V_{4}}{V_{1}}. \end{aligned} $$ Перемножим все равенства: $$ \left(\frac{T_{1} T_{3}}{T_{2} T_{4}}\right)^{\frac{n_{a}-n_{d}}{\left(1-n_{a}\right)\left(1-n_{d}\right)}}=1, \quad \text { откуда } \quad T_{1} T_{3}=T_{2} T_{4}=T_{2}^{2}. $$ Запишем уравнение выше, используя $T_{2}=T_{1}+T_{0}$ и $T_{3}=T_{1}+3 T_{0}$, где $T_{0}=100~К$ : $$ T_{1}\left(T_{1}+3 T_{0}\right)=\left(T_{1}+T_{0}\right)^{2}, \quad \text { откуда } \quad T_{1}=T_{0} $$ Таким образом, получим $T_{1}=100~К, T_{2}=200~К$ и $T_{3}=400~К$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $T_{1}=100~К, T_{2}=200~К$ и $T_{3}=400~К$."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Нарисуйте график цикла в координатах $(p, V)$ и определите количество вещества $\nu$. ", "solution": {"text": "Найдём связь между показателем политропы $n$ и теплоёмкостью $C$. Поскольку $p V / T= \text{const}$ и $p V^{n}=\text{const}$, то $$ \frac{T}{V} V^{n}=T V^{n-1}=\text{const}. $$ Дифференцируя уравнение выше, найдём $\Delta V$ и $\Delta T$ : $$ V^{n-1} \Delta T+(n-1) T V^{n-2} \Delta V=0, \quad \text { откуда } \quad \Delta V=\frac{\Delta T}{1-n} \frac{V}{T}. $$ Запишем первый закон термодинамики: $$ \begin{gathered} \Delta Q=C \Delta T=\Delta U+A=C_{V} \Delta T+p \Delta V=C_{V} \Delta T+p \frac{\Delta T}{1-n} \frac{V}{T}, \\ \left(C-C_{V}\right) \Delta T=\frac{\Delta T}{1-n} \frac{p V}{T}=\frac{\nu R \Delta T}{1-n}. \end{gathered} $$ Таким образом, $$ n=1-\frac{\nu R}{C-C_{V}}=\frac{C-C_{p}}{C-C_{V}}. $$ Прологарифмируем уравнение политропы, получим $$ \ln \frac{p}{p_{0}}+n \ln \frac{V}{V_{0}}=\text{const}, $$ откуда следует, что в координатах $x y$, где $x=\ln V / V_{0}$, a $y=\ln p / p_{0}$, график политропы представляет прямую с наклоном $-n$, следовательно, график всего цикла будет параллелограммом, у которого точки $2$ и $4$ лежат на прямой $x+y=\text{const}$ (см. рисунок ниже). <img_3> Из условия $p_{1} / p_{3}=V_{1} / V_{3}$ находим, что точки $1$ и $3$ лежат на прямой $x-y=\text{const}$. Таким образом, диагонали параллелограмма перпендикулярны, следовательно, график цикла является ромбом. Поскольку диагональ $13$ ромба является биссектрисой, то углы наклона политроп в сумме дают $90^{\circ}$, откуда следует, что произведение угловых коэффициентов равно $1$: $$ n_{a} n_{d}=\frac{C_{p}-C_{a}}{C_{a}-C_{V}} \cdot \frac{C_{p}-C_{d}}{C_{d}-C_{V}}=1, $$ откуда $$ C_{a}+C_{d}=C_{p}+C_{V}=\nu\left(c_{p}+c_{V}\right), $$ где $c_{p}$ и $c_{V}$ - молярные теплоёмкости. Окончательно найдём $$ \nu=\frac{C_{a}+C_{d}}{c_{p}+c_{V}}=34.4~ммоль. $$ Заметим, что $C_{a}=\nu c_{v}$, а $C_{d}=\nu c_{p}$, следовательно, цикл процесса состоит из двух изобар и двух изохор (см. рисунок ниже). <img_4>"}, "answer": {"answers": ["<img_2>", "Ответ: $$ \nu=\frac{C_{a}+C_{d}}{c_{p}+c_{V}}=34.4~ммоль. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]