text: {"text": [{"text": "Плотность воды считать равной\begin{equation} \rho_0 = 1.00\cdot10^3~{кг}/{м^3}. \end{equation} Экспериментальная установка показана на рис. 1. Две стеклянные трубки соединенные снизу резиновым шлангом закреплены на вертикально расположенном куске картона, рядом с трубками приклеены полоски миллиметровой бумаги. Трубки расположены под некоторыми различными углами к вертикали. Начала отсчета шкал также могут находиться не на одном уровне. С помощью шприцов (один для масла, второй для воды) в трубки можно доливать воду и масло. <img_0> Рис. 1 Пусть в обеих трубках находится вода. Обозначим высоты начал отсчета обеих шкал $h_{10}$, $h_{20}$ (они вам неизвестны). С помощью шкал (полосок миллиметровой бумаги) вы можете (и должны) измерять длины столбиков воды в трубках $l_1, l_2$ . Обозначим $h_1$, $h_2$ — высоты, измеренные по вертикали обоих столбиков. Очевидно, что \begin{equation} h_1 = k_1l_1 ,\quadh_2 = k_2l_2 \tag{1} \end{equation}где $k_1$, $k_2$ — некоторые постоянные коэффициенты (они вам не известны, но могут понадобиться). <img_1> Рис. 2."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Запишите условия равновесия воды в трубке, выразите из него зависимость длины столба $l_2$ от длины столба $l_1$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "2,50"}, "text": "Медленно добавляя воду в трубки, проведите измерения длин столбиков в обеих трубках. По полученным данным постройте график зависимости $l_2 (l_1)$ ."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "С помощью построенного графика определите отношение коэффициентов ${k_1}/{k_2}$, которые входят в формулы $(1)$. Заполните трубки водой примерно наполовину. Теперь вам необходимо добавлять в одну из трубок подсолнечное масло. Во вторую трубку при необходимости можно добавлять воду. Но прежде, чем вы начнете… Все прежние обозначения оставляем в силе и добавляем к ним $\Delta l$ — длину столбика масла в трубке и $\rho_1$ — плотность масла."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "2,50"}, "text": "Запишите условия равновесия жидкостей в этом случае. Получите уравнение, связывающее длины столбиков воды, масла и их плотности. Это уравнение можно привести к виду\begin{equation} al_1 + bl_2 = F(\Delta l) \tag{2} \end{equation}где $a$, $b$ — уже известные коэффициенты, $F(\Delta l) $ — некоторая простая функция от длины столбика масла. Получите уравнение вида $(2)$, так как оно позволяет достаточно просто определить плотность масла по экспериментальным данным. <img_2>"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "2,00"}, "text": "Постепенно добавляя масло в одну трубку, проведите измерения величин $l_1$, $l_2$, $\Delta l$."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,00"}, "text": "Используя полученное уравнение $(2)$ и экспериментальные данные определите плотность масла."}]}
answer: [{"condition": "Запишите условия равновесия воды в трубке, выразите из него зависимость длины столба $l_2$ от длины столба $l_1$. ", "solution": {"text": "В сообщающихся высоты уровней жидкости в обоих коленах в состоянии равновесия равны, поэтому должно выполняться условие Из этого условия следует, что"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}h_{10} + k_1l_1 = h_{20} + k_2l_2\tag{1}\end{equation}  Из этого условия следует, что", "Ответ: \begin{equation}l_2 = \frac{h_{10} - h_{20}}{k_2} + \frac{k_1}{k_2}l_1\tag{2}\end{equation}"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Медленно добавляя воду в трубки, проведите измерения длин столбиков в обеих трубках. По полученным данным постройте график зависимости $l_2 (l_1)$  . ", "solution": {"text": "В таблице ниже приведены результаты измерений длин столбиков воды в обеих трубках (проведены две серии измерений и объединены). График полученной зависимости показан на рисунке. | $l\_2, \~мм$ | 18 | 45 | 68 | 82 | 109 | 133 | 175 | 44 | 60 | 78 | 107 | 135 | 150 | 169 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $l\_1,\~мм$ | 14 | 46 | 72 | 89 | 120 | 148 | 194 | 45 | 64 | 85 | 119 | 151 | 168 | 190 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $l\_2, \~мм$ | 18 | 45 | 68 | 82 | 109 | 133 | 175 | 44 | 60 | 78 | 107 | 135 | 150 | 169 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $l\_1,\~мм$ | 14 | 46 | 72 | 89 | 120 | 148 | 194 | 45 | 64 | 85 | 119 | 151 | 168 | 190 | Ответ: $l_2, ~мм$18456882109133175446078107135150169$l_1,~мм$14467289120148194456485119151168190", "<img_3>"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "С помощью построенного графика определите отношение коэффициентов ${k_1}/{k_2}$, которые входят в формулы $(1)$. ", "solution": {"text": "Коэффициент наклона прямой, рассчитанный по методу наименьших квадратов, оказался равным"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}a = 0.865 \pm 0.08\tag{2}\end{equation}В соответствии с формулой $(1)$ он равен отношению коэффициентов ${k_1}/{k_2}$. Это значение будет использовано в дальнейших расчетах."]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Запишите условия равновесия жидкостей в этом случае. Получите уравнение, связывающее длины столбиков воды, масла и их плотности. Это уравнение можно привести к виду\begin{equation} al_1 + bl_2 = F(\Delta l)         \tag{2} \end{equation}где $a$, $b$ — уже известные коэффициенты, $F(\Delta l) $ — некоторая простая функция от длины столбика масла. Получите уравнение вида $(2)$, так как оно позволяет достаточно просто определить плотность масла по экспериментальным данным. ", "solution": {"text": "В состоянии равновесия суммарные давления жидкостей на нижнем уровне трубок будут равны, что выражается уравнением\begin{equation}\rho_0 (h_{10} + k_1l_1) = \rho_0 (h_{20} + k_2l_2) + k_2\rho_1\Delta l,\tag{3}\end{equation} здесь $\Delta l$ — длина столбика масла.Это уравнение легко преобразуется к виду, указанному в условии, если обе его части разделить на $k_2\rho_0$:\begin{equation}\rho_0 (h_{10} + k_1l_1) = \rho_0 (h_{20} + k_2l_2) + k_2\rho_1\Delta l \implies \end{equation} Теперь, если построить зависимость величины $z ={k_1}l_1 / {k_2} -l_2$ от высоты столбика масла $\Delta l$ , то эта зависимость должна быть линейна, причем коэффициент наклона прямой равен отношению плотностей масла и воды."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}\frac{k_1}{k_2}\, l_1 - l_2 =\frac{\rho_1}{\rho_0}\Delta l + \frac{h_{20} - h_{10}}{k_2}\tag{4}\end{equation}  Теперь, если построить зависимость величины $z ={k_1}l_1 / {k_2} -l_2$ от высоты столбика масла $\Delta l$ , то эта зависимость должна быть линейна, причем коэффициент наклона прямой равен отношению плотностей масла и воды."]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Постепенно добавляя масло в одну трубку, проведите измерения величин $l_1$, $l_2$, $\Delta l$. ", "solution": {"text": "Результаты проведенных измерений показаны в таблице ниже. График зависимости показан на рисунке. | $l\_1, \~мм$ | $l\_2, \~мм$ | $\\Delta l, \~мм$ | $z, \~мм$ | | --- | --- | --- | --- | | 77 | 69 | 0 | \-2\.40 | | 100 | 44 | 52 | 42\.50 | | 115 | 27 | 83 | 72\.48 | | 135 | 6 | 126 | 110\.78 | | 150 | \-14 | 164 | 143\.75 | | 167 | \-32 | 194 | 176\.46 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $l\_1, \~мм$ | $l\_2, \~мм$ | $\\Delta l, \~мм$ | $z, \~мм$ | | --- | --- | --- | --- | | 77 | 69 | 0 | \-2\.40 | | 100 | 44 | 52 | 42\.50 | | 115 | 27 | 83 | 72\.48 | | 135 | 6 | 126 | 110\.78 | | 150 | \-14 | 164 | 143\.75 | | 167 | \-32 | 194 | 176\.46 | Ответ: $l_1, ~мм$$l_2, ~мм$$\Delta l, ~мм$$z, ~мм$77690-2.40100445242.50115278372.481356126110.78150-14164143.75167-32194176.46", "<img_4>"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Используя полученное уравнение $(2)$ и экспериментальные данные определите плотность масла.  ", "solution": {"text": "Коэффициент наклона данного графика (рассчитанный по МНК) равен\begin{equation}a_1= \frac{\rho_1}{\rho_0} = 0.91 \pm 0.03\tag{5}\end{equation}Следовательно, плотность масла равна"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}\rho_1 = a_1 \rho_0 = (0.91 \pm 0.03)\cdot10^3~{кг}/{м^3}\tag{6}\end{equation}"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,00"}]