text: {"text": [{"text": "На гладком горизонтальном столе лежит гантель, состоящая из двух маленьких по размеру шайб, имеющих массы $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенных легким жёстким (деформации стержня малы по сравнению с его размерами) стержнем длины $L$. В момент времени $t=0$ на шайбу с массой $m_{1}$ начинает действовать постоянная по величине горизонтальная сила $F$. Направление действия силы всегда составляет один и тот же острый угол $\alpha$ со стержнем (см. рисунок). <img_0> Считайте известным, что при таком движении угловое ускорение стержня является постоянным. В некоторый момент времени $\tau$ после начала действия силы стержень на мгновение оказался не напряженным (то есть ни сжатым, ни растянутым)."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите угловую скорость $\omega$ вращения стержня в момент времени $\tau$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите угловое ускорение стержня $d \omega / d t$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Чему равен промежуток времени $\tau$?"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Найдите угол поворота стержня к моменту времени $\tau$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите угловую скорость $\omega$ вращения стержня в момент времени $\tau$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим момент времени $\tau$. Так как стержень не напряжен, то ускорение шайбы с массой $m_{2}$ равно нулю. Если выбрать инерциальную систему отсчета, в которой эта шайба в данный момент времени имеет нулевую скорость, то шайба с массой $m_{1}$ в этот момент движется по траектории, радиус кривизны которой равен $L$. Проекция второго закона Ньютона на стержень для шайбы $m_{1}$: $$ m_{1} \omega^{2} L=F \cos \alpha, $$ откуда угловая скорость вращения стержня в этот момент времени: $$ \omega=\sqrt{\frac{F \cos \alpha}{L m_{1}}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega=\sqrt{\frac{F \cos \alpha}{L m_{1}}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите угловое ускорение стержня $d \omega / d t$. ", "solution": {"text": "Найдем угловое ускорение. За небольшой промежуток времени после начала действия силы шайба, к которой приложена сила, сместится в направлении, перпендикулярном к первоначальному направлению расположения стержня, на малое расстояние $$ \Delta L_{попер}=\frac{F \sin \alpha}{m_{1}} \frac{t^{2}}{2}. $$ Следовательно, стержень повернется на малый угол, равный $$ \Delta \varphi=\frac{\Delta L_{попер}}{L}=\frac{F \sin \alpha}{m_{1} L} \frac{t^{2}}{2}. $$ Так как в условии сказано, что угловое ускорение стержня является постоянным, то $$ \Delta \varphi=\beta \frac{t^{2}}{2}, $$ отсюда получаем угловое ускорение $$ \beta=\frac{F \sin \alpha}{L m_{1}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{d \omega}{d t}=\frac{F \sin \alpha}{L m_{1}}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равен промежуток времени $\tau$? ", "solution": {"text": "Так как угловое ускорение постоянно, то $\omega=\beta \tau$, откуда $$ \tau=\sqrt{\frac{L m_{1} \cos \alpha}{F \sin ^{2} \alpha}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=\sqrt{\frac{L m_{1} \cos \alpha}{F \sin ^{2} \alpha}}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите угол поворота стержня к моменту времени $\tau$. ", "solution": {"text": "Угол поворота к моменту времени $\tau$ равен $$ \varphi=\frac{\beta \tau^{2}}{2}=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \varphi=\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{2}. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]