text: {"text": [{"text": "Две полые медные сферы радиуса $R=10~см$ соединены медным цилиндрическим стержнем длины $L=1~м$ и радиусом $r=1~мм$. Масса полученной гантели равна $m=150~г$. Гантель помещают в очень сильное магнитное поле индукцией $B=2~МТ$, направленное перпендикулярно стержню. Гантели сообщают начальную скорость $v=1~м/с$, направленную вдоль стержня. Однако такая конфигурация неустойчива: гантель начнет колебаться. Когда колебания прекратятся, гантель займет устойчивое положение и будет двигаться с некоторой скороcтью $u$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите аналитическое и численное значение конечной скорости $u$. Гантель движется в невесомости в вакууме."}]}
answer: [{"condition": "Найдите аналитическое и численное значение конечной скорости $u$. ", "solution": {"text": "Запишем закон изменения импульса для гантели:$$\cfrac{md\vec{v}_C}{dt}=\int dq\bigl[\vec{v}\times\vec{B}\bigr]=\Biggl[\int \vec{v}dq\times\vec{B}\Biggr]$$где $\vec{v}_C$ - скорость движения центра масс системы.В то же время:$$\int \vec{v}dq=\int \cfrac{d\vec{r}}{dt}dq=\cfrac{d}{dt}\int \vec{r}dq=\cfrac{d\vec{p}}{dt}$$где $\vec{p}$ - дипольный момент системы.Таким образом:$$\cfrac{md\vec{v}_C}{dt}=\Bigl[\cfrac{d\vec{p}}{dt}\times\vec{B}\Bigr]\Rightarrow{m\vec{v}_C-\bigl[\vec{p}\times\vec{B}\bigr]}=\vec{C}$$где $\vec{C}$ - постоянный вектор.Рассмотрим поступательное движение гантели со скоростью $\vec{u}$. В системе отсчёта, связанной с ней, возникнет в ней электрическое поле $\vec{E}$, равное:$$\vec{E}=\bigl[\vec{u}\times\vec{B}\bigr]$$Введём поляризуемость гантели $\alpha$, связывающую $\vec{p}$ и $\vec{E}$:$$\vec{p}=\alpha\vec{E}$$Тогда имеем:$$m\vec{u}+\alpha_2\bigl[\vec{B}\times\bigl[\vec{u}\times\vec{B}\bigr]\bigr]=m\vec{v}+\alpha_1\bigl[\vec{B}\times\bigl[\vec{v}\times\vec{B}\bigr]\bigr]$$где $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - поляризуемости гантели в начальном и конечном состояниях.Поскольку $\vec{v}\perp\vec{B}$, то и $\vec{u}\perp\vec{B}$. Тогда получим:$$\vec{u}\left(m+\alpha_2B^2\right)=\vec{v}\left(m+\alpha_1B^2\right)\Rightarrow \vec{u}=\vec{v}\cdot\cfrac{m+\alpha_1B^2}{m+\alpha_2B^2}$$Задача свелась к определению $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Определим поляризуемость $\alpha_1$.Исходно гантель расположена в эффективном электрическом поле $\vec{E}_1=\bigl[\vec{v}\times\vec{B}\bigr]$, перпендикулярном цилиндру. Тогда, если пренебречь краевыми эффектами, поляризуемость складывается из поляризуемости шаров и поляризуемости цилиндра, поскольку поля диполей падают с расстоянием по кубическому закону, а отсутствие влияния поля цилиндра обусловлено соотношением $r/R\ll{1}$ и пренебрежением краевыми эффектами.Шар в однородном поле поляризуется и его поля эквивалентно полю диполя, помещённого в его центр. Имеем:$$\vec{E}_{out}=\vec{E}_1+\cfrac{3\bigl(\vec{p}\cdot\vec{r}\bigr)\vec{r}-r^2\vec{p}}{4\pi\varepsilon_0r^5}$$где $\vec{p}$ и $\vec{r}$ - дипольный момент шара и радиус-вектор внешней для него точки относительно центра.Поскольку тангенциальная компонента электрического поля на поверхности шара равна нулю, имеем:$$\bigl[\vec{E}\times\vec{r}\bigr]=\Biggl[\left(\vec{E}_1-\cfrac{\vec{p}}{4\pi\varepsilon_0R^3}\right)\times\vec{r}\Biggr]=0\Rightarrow \vec{p}=4\pi\varepsilon_0R^3\vec{E}_1$$Тогда поляризуемость шара равна:$$\alpha_\text{ш}=4\pi\varepsilon_0R^3$$Перейдём к цилиндру. Поскольку цилиндр помещён в поле, перпендикулярное его оси, он становится протяжённым диполем с дипольным моментом на единицу длины $\vec{p}_0$. Определим поле такой системы, рассматривая его как поле проводов с линейными плотностями $\lambda$ и $-\lambda$, причём положительно заряженный провод имеет радиус-вектор $\vec{l}$ относительно отрицательно заряженного ($\vec{p}_0=\lambda\vec{l}$):$$\vec{E}=\cfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{\vec{r}}{r^2}-\cfrac{\vec{r}+\vec{l}}{\bigl|\vec{r}+\vec{l}\bigr|^2}\right)$$Разложим второе слагаемое с учётом $l\ll{r}$:$$\cfrac{\vec{r}+\vec{l}}{\bigl|\vec{r}+\vec{l}\bigr|^2}\approx \cfrac{\vec{r}+\vec{l}}{r^2(1+2\bigl(\vec{r}\cdot\vec{l}\bigr)/r^2)}\approx\cfrac{(\vec{r}+\vec{l})(1-2\bigl(\vec{r}\cdot\vec{l}\bigr)/r^2)}{r^2}\approx\cfrac{\vec{r}}{r^2}+\cfrac{\vec{l}}{r^2}-\cfrac{2\bigl(\vec{r}\cdot\vec{l}\bigr)\vec{r}}{r^4}$$откуда:$$\vec{E}=\cfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{2\bigl(\vec{r}\cdot\vec{l}\bigr)\vec{r}}{r^4}-\cfrac{\vec{l}}{r^2}\right)=\cfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{2\bigl(\vec{p}_0\cdot\vec{r}\bigr)\vec{r}}{r^4}-\cfrac{\vec{p}_0}{r^2}\right)$$Тогда для электрического поля вне цилиндра имеем:$$\vec{E}=\vec{E}_1+\cfrac{2\bigl(\vec{p}_0\cdot\vec{r}'\bigr)\vec{r}'-r'^2\vec{p}_0}{2\pi\varepsilon_0r^4}$$Здесь $\vec{r}'$ - радиус вектор внешней точки относительно оси цилиндра.На поверхности цилиндра тангенциальная компонента равна нулю, поэтому вновь имеем:$$\bigl[\vec{E}\times\vec{r}\bigr]=\Biggl[\left(\vec{E}_1-\cfrac{\vec{p}_0}{2\pi\varepsilon_0r^2}\right)\times\vec{r}'\Biggr]\Rightarrow \vec{p}_0=2\pi\varepsilon_0r^2\vec{E}_1$$Тогда поляризуемость цилиндра равна:$$\alpha_\text{ц}=\cfrac{p_0L}{E_1}=2\pi\varepsilon_0r^2L$$Складывая поляризуемости шаров и поляризуемость цилиндра, находим:$$\alpha_1=2\alpha_\text{ш}+\alpha_\text{ц}=2\pi\varepsilon_0(r^2L+4R^3)$$Вообще говоря, учёт поляризуемости цилиндра с учётом численных значений не является обязательным, однако это можно обосновать лишь с получением конечной формулы, действительно:$$\cfrac{r^2L}{4R^3}=\cfrac{10^3}{4\cdot(10^2)^3}=\cfrac{1}{4\cdot 10^3}\ll{1}$$Увеличение радиуса $r$ цилиндра даже на порядок сохранит обоснованность потенциального пренебрежения. Определим конечное положение гантели. В нём момент сил, действующий на неё со стороны эффективного электрического поля $\vec{E}_2=\bigl[\vec{u}\times\vec{B}\bigr]$ должен быть равен нулю, что возможно, если $\vec{M}=\bigl[\vec{p}_2\times\vec{E}_2\bigr]=0$, т.е векторы $\vec{p}_2$ и $\vec{E}_2$ должны быть коллинеарными. При вращении гантели в стержне возникает электрический ток, переносящий заряд с одного шара на другой, что является доминирующим вкладом в дипольный момент системы. Тогда, поскольку сфера во внешнем поле $\vec{E}_2$ приобретает дипольный момент, сонаправленный с $\vec{E}_2$, необходимо, чтобы вклад в дипольный момент, обусловленный перетёкшим зарядом, также была коллинеарным полю $\vec{E}_2$. Это возможно в двух следующих случаях:В начальном положении гантели, поскольку в нём шары не заряжены;В положении, в котором гантель ориентирована вдоль поля $\vec{E}_2$.Перейдём к определению $\alpha_2$. Вклад в поляризуемость дают: Поляризуемость шаров;Диполь, образованный перетёкшим зарядом с одного шара на другой;Поляризуемость цилиндра, помещённого в продольное поле. Для начала пренебрежём полем, создаваемым цилиндром.Разность потенциалов между положительно и отрицательно заряженным шарами равна:$$\Delta{\varphi}=-E_2L+\cfrac{2q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{1}{R}-\cfrac{1}{L+2R}\right)+\Delta{\varphi_\text{дип}}=0$$где $\Delta{\varphi}_\text{дип}$ - разность потенциалов, обусловленная дипольным вкладом.Здесь мы учли, что внутри шаров электрическое поле равняется нулю, а на их поверхности тангенциальная компонента электрического поля равна нулю, и поэтому вклад в разность потенциалов со стороны поля $\vec{E}_2$ имеем множитель $L$, а не $L+2R$, ибо дипольное распределение заряда на поверхности шара компенсирует другой вид вклада.Потенциал поля диполя равен:$$\varphi_\text{дип}=\cfrac{\bigl(\vec{p}\cdot\vec{r}\bigr)\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}$$поэтому:$$\Delta{\varphi}_\text{дип}=-\cfrac{2p_2}{4\pi\varepsilon_0R^2}=-2E_2R$$откуда определяем заряд $q$:$$q=\cfrac{2\pi\varepsilon_0R(L+2R)^2E_2}{L+R}$$и для вклада в дипольный момент, обусловленного перетёкшим зарядом, находим:$$p_q=\cfrac{2\pi\varepsilon_0RL(L+2R)^2E_2}{L+R}$$Тогда для поляризуемости $\alpha_2$ предварительно получим:$$\alpha_2=2\pi\varepsilon_0\left(4R^3+\cfrac{LR(L+2R)^2}{(L+R)}\right)$$Вообще говоря, полученного выражения уже достаточно, чтобы дать ответ, что мы и сделаем: Далее мы покажем, что наше предположение о пренебрежении вкладом цилиндра в поляризацию было верным (при желании этот участок решения может быть пропущен, однако если вы в нём разберётесь - вы приобретёте ряд полезных навыков).   "}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$u=v\cdot\cfrac{m+2\pi\varepsilon_0B^2(r^2L+4R^3)}{m+2\pi\varepsilon_0B^2\left(4R^3+\cfrac{LR(L+2R)^2}{(L+R)}\right)}\approx4{,}43~\text{мм}/\text{с}$$  Далее мы покажем, что наше предположение о пренебрежении вкладом цилиндра в поляризацию было верным (при желании этот участок решения может быть пропущен, однако если вы в нём разберётесь - вы приобретёте ряд полезных навыков)."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]