text: {"text": [{"text": "Когда газовый пузырек в жидкости подвержен воздействию переменного давления, с ним могут происходит существенные изменения. Например, после значительного расширения он может быстро схлопнуться до малого радиуса и излучать свет концу процесса схлопывания. Это явление называется пузырьковая люминесценция. При этом газ в пузырьке проходит циклические процессы, которые обычно состоят из трех стадий: расширение, схлопывание, и многократные колебания. В этой задаче мы главным образом будем рассматривать стадию схлопывания.Предположим, что в течение всего времени пузырек остается сферическим, и его центр масс покоится относительно жидкости (см. рис). Считайте что давление, температура, и плотность всегда однородны в пузырьке при уменьшении его размеров. Жидкость, содержащая пузырек, предполагается изотропной, невязкой, несжимаемой и гораздо большей размеров пузырька. Эффектами гравитации и поверхностного натяжения пренебрегите, так что давления с обеих сторон границы жидкость—пузырек всегда равны. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Радиальное движение границы пузырек—жидкость (2 балла) Если радиус пузырька $R=R(t)$ изменяется с течением времени $t$, граница пузырек—жидкость будет двигаться с радиальной скоростью $\dot R\equiv \mathrm dR/\mathrm dt$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Запишите выражение для радиальной скорости жидкости $\dot r=\mathrm dr/\mathrm dt$ на расстояние $r$ от центра пузырька."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,60"}, "text": "Получите выражение для полной кинетической энергии $E_\mathrm k$ жидкости. Выразите ответ через $\rho_0$, $R$ и $\dot R$. Считайте, что внешнее давление $P_0$, действующее на внешнюю поверхность $r=r_0$ жидкости, постоянно. Пусть $P=P(R)$ представляет давление газа в пузырьке, когда его радиус равен $R$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите работу $\mathrm dW$, совершаемую жидкостью, когда радиус пузырька изменяется от $R$ до $R+\mathrm dR$. Используйте $P_0$ и $P$ для нахождения выражения $\mathrm dW$. Работа $\mathrm dW$ должна быть равна соответствующему изменению полной кинетической энергии жидкости. Отсюда получается уравнение Бернулли:$$\frac 12\rho_0\,\mathrm d(R^m\dot R^2)=(P-P_0)R^n\,\mathrm dR.$$"}, {"text": "Часть B. Схлопывание газового пузыря (5 баллов) В дальнейшем мы рассматриваем схлопывание пузырька. Плотность жидкости $\rho_0=1.0\cdot 10^3~кг/м^3$, температура $T_0=300~К$ и внешнее давление $P_0=1.01\cdot10^5~Па$. Положим, что $\rho_0$, $T_0$, и $P_0$ остаются постоянными в течение всего времени, и пузырек схлопывается адиабатически без перехода вещества через границу пузырек—жидкость. Пузырек заполнен идеальным газом. Отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме равно $\gamma=5/3$. Температура газа равна $T_0$, его давление — $P_0$, равновесный радиус пузырька $R_0=5.00~мкм$. Пусть теперь этот пузырек начинает схлопываться, и в момент времени $t=0$ его радиус равен $R(0)=R_i=7R_0$, $\dot R(0)=0$, а температура газа $T_i=T_0$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите показатели $m$ и $n$ в уравнении."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,80"}, "text": "Выразите давление $P\equiv P(R)$ и температуру $T\equiv T(R)$ идеального газа в пузырьке как функцию радиуса $R$ во время его схлопывания, полагая процессы в газе квазистатическими. Введём для удобства величину $\beta\equiv R/R_i$. Тогда закон сохранения энергии принимает форму:$$\frac12\rho_0\dot \beta^2+U(\beta)=0.$$Пусть $P_i\equiv P(R_i)$ обозначает давление газа в пузырьке при $R=R_i$. Если мы введем отношение $Q\equiv P_i/[(\gamma-1)P_0]$, тогда функция $U(B)$ может быть записана как $$U(\beta)=\mu\beta^{-5}[Q(1-\beta^2)-\beta^2(1-\beta^3)].$$"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Выразите коэффициент $\mu$ через $R_i$ и $P_0$. Пусть $R_\mathrm m$ обозначает минимальный радиусом пузырька в процессе его схлопывания, а $\beta_\mathrm m\equiv R_\mathrm m/R_i$. При $Q\ll1$ имеем $\beta_\mathrm m\approx C_\mathrm m\sqrt Q$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите константу $C_\mathrm m$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,40"}, "text": "Вычислите $R_\mathrm m$ для $R_i=7R_0$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите температуру $T_\mathrm m$ газа при $\beta=\beta_\mathrm m$. Положим $R_i=7R_0$. Пусть $\beta_\mathrm u$ обозначает величину $\beta$, при которой безразмерная радиальная скорость $u\equiv |\dot\beta|$ достигает своей максимальной величины. Температура газа резко возрастает для величин $\beta$, близких к $\beta_\mathrm u$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите выражение и дайте оценку для $\beta_\mathrm u$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть $\bar u$ обозначает величину $u$, при которой $\beta=\bar \beta\equiv(\beta_\mathrm m+\beta_\mathrm u)/2$. Найдите $\bar u$."}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите выражение и оцените промежуток времени $\Delta t_\mathrm m$, при котором $\beta$ уменьшиться от $\beta_\mathrm u$ до минимального значения $\beta_\mathrm m$."}]}
answer: [{"condition": "Запишите выражение для радиальной скорости жидкости $\dot r=\mathrm dr/\mathrm dt$ на расстояние $r$ от центра пузырька. ", "solution": {"text": "Из сохранения потока для жидкости имеем:\[\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=4\pi R^2\dot R=4\pi r^2 \dot r\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\dot r=\frac{R^2}{r^2}\dot R\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите выражение для полной кинетической энергии $E_\mathrm k$ жидкости. Выразите ответ через $\rho_0$, $R$ и $\dot R$. ", "solution": {"text": "Кинетическая энергия жидкости:\[E_\mathrm k=\frac\rho2\int\limits_R^{+\infty}\left(\frac{R^2}{r^2}\dot R\right)^2\,4\pi r^2\,\mathrm dr=\frac\rho2\cdot4\pi R^4\dot R^2\int\limits_R^{+\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}=2\pi \rho R^3\dot R^2.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[E_\mathrm k=2\pi \rho R^3\dot R^2\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите работу $\mathrm dW$, совершаемую жидкостью, когда радиус пузырька изменяется от $R$ до $R+\mathrm dR$. Используйте $P_0$ и $P$ для нахождения выражения $\mathrm dW$. ", "solution": {"text": "Жидкость совершает работу:\[\mathrm dW=P_0\,\mathrm dV-P\,\mathrm dV=(P_0-P)\cdot4\pi R^2\,\mathrm d R\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathrm dW=(P_0-P)\cdot4\pi R^2\,\mathrm d R\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите показатели $m$ и $n$ в уравнении. ", "solution": {"text": "Поскольку работа, совершаемая жидкостью, и изменение её кинетической энергии связаны соотношением:\[\mathrm dW+\mathrm d E_\mathrm k=0,\]получим уравнение Бернулли в виде:\[2\pi \rho\,\mathrm d\left[ R^3\dot R^2\right]=4\pi(P-P_0)R^2\,\mathrm d R,\\\frac\rho2\,\mathrm d\left[ R^3\dot R^2\right]=(P-P_0)R^2\,\mathrm d R\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[m=3,\qquad n=2\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Выразите давление $P\equiv P(R)$ и температуру $T\equiv T(R)$ идеального газа в пузырьке как функцию радиуса $R$ во время его схлопывания, полагая процессы в газе квазистатическими. ", "solution": {"text": "Поскольку количество вещества внутри пузыря не меняется:\[P R^3=P_0R_0^3.\]Поскольку с воздухом в пузырьке происходит квазистатический адиабатический процесс, то зависимость давления от объёма:\[P(R)=P_\mathrm i\left(\frac{R_\mathrm{i}^3}{R^3}\right)^\gamma=P_\mathrm i\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^5=P_\mathrm i\left(\frac{R_0}{R_\mathrm i}\right)^3\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^5.\] Тогда температура зависит от радиуса как:\[T(R)=T_0\left(\frac{R_\mathrm{i}^3}{R^3}\right)^{\gamma-1}=T_0\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^2.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P(R)=P_\mathrm i\left(\frac{R_0}{R_\mathrm i}\right)^3\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^5\]  Тогда температура зависит от радиуса как:\[T(R)=T_0\left(\frac{R_\mathrm{i}^3}{R^3}\right)^{\gamma-1}=T_0\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^2.\]", "Ответ: \[T(R)=T_0\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^2\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Выразите коэффициент $\mu$ через $R_i$ и $P_0$. ", "solution": {"text": "Подставляя полученные в предыдущем пункте зависимости в уравнение Бернулли, получим:\[\frac{1}{2R^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dR}\left[R^3\dot R^2\right]=\frac{P-P_0}{\rho_0}=\frac{P_0}{\rho_0}\left[\frac{P_\mathrm i}{P_0}\left(\frac{R_\mathrm i}{R}\right)^{3\gamma}-1\right].\]Это выражение можно переписать через $\beta$:\[\frac{1}{2\beta^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\beta}\left[\beta^3\dot\beta^2\right]=\frac{P_0}{\rho_0R_\mathrm i^2}\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\beta^{-5}-1\right).\]Проинтегрируем это выражение от $1$ до $\beta$:\[\begin{aligned}\frac{1}{2}\beta^3\dot\beta^2&=\frac{P_0}{\rho_0}\int\limits_1^\beta\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\xi^{-3}-\xi^2\right)\,\mathrm d\xi=\\&=\frac{P_0}{\rho_0}\left[\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\right)\frac{1-\beta^{-2}}{2}-\frac{\beta^3-1}{3}\right]=\\&=\frac{P_0}{6\rho_0\beta^2}\left[3\left(\frac{P_\mathrm i}{P_0}\right)\left({\beta^2-1}\right)-2\beta^2\left(\beta^3-1\right)\right].\end{aligned}\]Отсюда:\[\frac{1}{2}\rho_0\dot\beta^2=-U(\beta)=-\frac{P_0}{3R_\mathrm{i}^2\beta^5}\left[Q(1-\beta^2)-\beta^2(1-\beta^3)\right]=-\frac{P_0(1-\beta^2)}{3R_\mathrm{i}^2\beta^5}\left[Q-\beta^2\frac{1-\beta^3}{1-\beta^2}\right].\]Таким образом,"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mu=\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите константу $C_\mathrm m$. ", "solution": {"text": "Радиус пузырька минимален, когда:\[\dot R=R_\mathrm i\dot\beta=0.\]Из уравнения предыдущего пункта получим:\[Q=\frac{\beta_\mathrm{m}^2}{1-\beta_\mathrm{m}^2}(1-\beta_\mathrm{m}^3)=\beta_\mathrm{m}^2\left(1+\frac{\beta_\mathrm{m}^2}{1+\beta_\mathrm{m}}\right).\]Чтобы выполнялось неравенство $Q\ll1$, $\beta_\mathrm{m}$ тоже должна быть малой величиной. При этом:\[Q\approx\beta_\mathrm{m}^2\implies \beta_\mathrm{m}\approx\sqrt Q,\]т.е."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[C_\mathrm m=1\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Вычислите $R_\mathrm m$ для $R_i=7R_0$. ", "solution": {"text": "Найдём $Q$:\[Q=\frac{P_\mathrm i}{P_0(\gamma-1)}=\frac{1}{\gamma-1}\left(\frac{R_0}{R_\mathrm i}\right)^3=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{7}\right)^3=0.00437.\]Тогда:\[\beta_\mathrm m=\sqrt Q=0.0661\implies R_\mathrm m=\beta_\mathrm mR_\mathrm i=\sqrt{Q} R_\mathrm i=2.31~мкм.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[R_\mathrm m=2.31~мкм\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите температуру $T_\mathrm m$ газа при $\beta=\beta_\mathrm m$. ", "solution": {"text": "\[T_\mathrm m=\left(\frac{1}{\beta_\mathrm m}\right)^2T_0=6.86\cdot10^4~К\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[T_\mathrm m=6.86\cdot10^4~К\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите выражение и дайте оценку для $\beta_\mathrm u$. ", "solution": {"text": "Максимум радиальной скорости соответствует максимуму функции $-U(\beta)$. Выражение для функции $U(\beta)$:\[U(\beta)=\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2}\left[Q\left(\frac{1}{\beta^5}-\frac{1}{\beta^3}\right)-\left(\frac{1}{\beta^3}-1\right)\right].\]Условие экстремума:\[\left.\frac{\mathrm dU}{\mathrm d\beta}\right|_{\beta=\beta_\mathrm u}=-\frac{P_0}{3R_\mathrm i^2\beta_\mathrm u}\left[Q\left(\frac{5}{\beta_\mathrm u^5}-\frac{3}{\beta_\mathrm u^3}\right)-\frac{3}{\beta_\mathrm u^3}\right]=0.\]Отсюда:\[Q=\frac{3\beta_\mathrm u^2}{5-3\beta_\mathrm u^2}\implies \beta_\mathrm u^2=\frac{5}{3}\frac{Q}{1+Q}\approx\frac{5}{3}Q\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\beta_\mathrm u=\sqrt{5Q/3}=0.0852\]"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пусть $\bar u$ обозначает величину $u$, при которой $\beta=\bar \beta\equiv(\beta_\mathrm m+\beta_\mathrm u)/2$. Найдите $\bar u$. ", "solution": {"text": "Найдём $\bar\beta$:\[\bar\beta\equiv\frac12(\beta_\mathrm m+\beta_\mathrm u)=0.0757.\]Этому соответствует скорость:\[\bar u=-\dot\beta(\bar \beta)=\sqrt{-\frac{2}{\rho_0}U(\bar\beta)}=\sqrt{\frac{2P_0\left(1-\bar\beta^2\right)}{4\rho_0R_\mathrm i^2\bar\beta^3}\left[1-\frac{Q}{\bar\beta^2}+\frac{\bar\beta^2}{1+\bar\beta}\right]}=5.52\cdot10^6.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\bar u=5.52\cdot10^6\]"]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите выражение и оцените промежуток времени $\Delta t_\mathrm m$, при котором $\beta$ уменьшиться от $\beta_\mathrm u$ до минимального значения $\beta_\mathrm m$. ", "solution": {"text": "$\Delta t_\mathrm m$ можно оценить как:\[\Delta t_\mathrm m=\frac{\beta_\mathrm u-\beta_\mathrm m}{\bar u}=3.45\cdot10^{-9}~с\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta t_\mathrm m=3.45\cdot10^{-9}~с\]"]}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,80"}]