text: {"text": [{"text": "Небольшая шайба $B$ скользит по гладкой внутренней поверхности воронки, описывая окружность в горизонтальной плоскости. В результате незначительного толчка вверх вдоль поверхности скольжения шайба сошла с орбиты и вылетела из воронки со скоростью $v$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Зная, что расстояние $H$ от начала координат до дна воронки равно $100~см$, $H_{1}=75~см$, найдите $v$. Считать, что для точек профиля внутренней поверхности воронки координата $y$ обратно пропорциональна квадрату радиуса воронки $r$: $y \sim \frac{1}{r^{2}}$ (см. разрез воронки на рисунке). <img_0>"}]}
answer: [{"condition": "Зная, что расстояние $H$ от начала координат до дна воронки равно $100~см$, $H_{1}=75~см$, найдите $v$. ", "solution": {"text": "Пусть шайба массой $m$ вращается по окружности радиусом $R$ со скоростью $v_{0}$ на высоте $h$. Ясно, что $\frac{m v_{0}^{2}}{R}=m g \operatorname{tg} \alpha$, отсюда $v_{0}^{2}=g R \operatorname{tg} \alpha$ (см. рисунок). <img_1> Для профиля воронки $y=-k / r^{2}$, где $k>0$ имеем $y^{\prime}=\frac{d y}{d x}=\frac{2 k}{r^{3}}=-2 y / r .$ Тогда $$ \operatorname{tg} \alpha=\left.y^{\prime}\right|_{r=R}=-2 y / R=\frac{2(H-h)}{R}. $$ Следовательно, $v_{0}^{2}=g R \operatorname{tg} \alpha=2 g(H-h)$. По закону сохранения энергии $$ \frac{m v^{2}}{2}+m g H_{1}=\frac{m v_{0}^{2}}{2}+m g h. $$ Из последних двух равенств находим $v=\sqrt{2 g\left(H-H_{1}\right)} \approx 3.8~м/с$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\sqrt{2 g\left(H-H_{1}\right)} \approx 3.8~м/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]