text: {"text": [{"text": "Замкнутая стеклянная трубка с отводом, погружённым в открытый сверху сосуд со ртутью, в верхней своей части содержит столбик воздуха. Его границы со ртутью находятся на расстоянии $R$ от оси симметрии системы (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, с какой угловой скоростью нужно вращать систему вокруг этой оси, чтобы давление воздуха изменилось в $n$ раз. Начальное давление воздуха $p_{0}$, плотность ртути $\rho$, её уровень в сосуде можно считать неизменным."}]}
answer: [{"condition": "Определите, с какой угловой скоростью нужно вращать систему вокруг этой оси, чтобы давление воздуха изменилось в $n$ раз. ", "solution": {"text": "Выделим небольшой участок ртути длиной $\Delta l$, находящийся на расстоянии $l$ от оси вращения (см. рисунок ниже). <img_1> Масса этого участка $\Delta m=\rho \Delta l S$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки. Пусть $p_{1}$ — давление ртути на правой границе участка, $p_{2}$ — на левой, $\Delta p=p_{2}-p_{1}$. Рассматриваемый участок движется с центростремительным ускорением $a=\omega^{2} l$. По второму закону Ньютона: $$ \Delta m \omega^{2} l=(p_{2}-p_{1}) S=\Delta p S, \quad \text { откуда } \quad \Delta p=\rho \omega^{2} l \Delta l. $$ <img_2> На рисунке выше представлен график зависимости $\Delta p / \Delta l$ от расстояния до оси вращения $l$. Изменение давления при перемещении от $l=0$ до $l=r$ есть площадь треугольника под этим графиком: $$ p(r)-p(0)=\frac{1}{2} \rho \omega^{2} r^{2}. \quad (1) $$ Давление воздуха после раскручивания $p=n p_{0}$. Поскольку температура воздуха не изменяется, то $p r=p_{0} R$, где $r$ — новое расстояние от центра вращения до границы воздуха со ртутью. Подставив эти условия в уравнение $(1)$, получим: $$ (n-1) p_{0}=\frac{1}{2} \rho \omega^{2} \frac{R^{2}}{n^{2}}, \quad \text { откуда } \quad \omega=\frac{n}{R} \sqrt{\frac{2 p_{0}(n-1)}{\rho}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega=\frac{n}{R} \sqrt{\frac{2 p_{0}(n-1)}{\rho}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]