text: {"text": [{"text": "Два металлических шарика, массой $M$ и радиуса $R$ каждый, соединены жестким диэлектрическим(!) невесомым стержнем длины $L \gg R$. Гантель помещают в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Трения нет, система находится в невесомости."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите период малых колебаний системы вокруг устойчивого положения равновесия."}]}
answer: [{"condition": "Найдите период малых колебаний системы вокруг устойчивого положения равновесия. ", "solution": {"text": "Найдём дипольный момент шара, помещённого в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$. Электрическое поле шара эквивалентно полю точечного диполя с дипольным моментом $\vec{p}_0$, помещённого в его центре, тогда суммарное поле в точке, имеющей радиус-вектор $\vec{r}$ относительно центра шара, равняется: $$\vec{E}=\vec{E}_0+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(\frac{3(\vec{p}_0\cdot{\vec{r}})\vec{r}}{r^2}-\vec{p}_0\right) $$ Запишем условие равенства нулю тангенциальной компоненты поля $\vec{E}$ на поверхности шара $$\left[\vec{E}\times\vec{r}\right]=0 $$ откуда найдём дипольный момент шара $\vec{p}_0$: $$\vec{p}_0=4\pi\varepsilon_0 R^3\vec{E}_0 $$ Перейдём к системе из двух шаров. Помимо воздействия на них внешнего поля, шары также влияют друг на друга. Это приводит к тому, что суммарный дипольный момент системы зависит от её расположения. Найдём суммарным дипольный момент системы. Поскольку $R\ll{L}$, можно работать в линейном приближении. Это означает, что поля диполей, возникших из-за помещения шаров во внешнее поле, можно считать однородными. Введём некоторую нумерацию шаров $1$ и $2$. Пусть $\vec{r}$ - радиус-вектор шара $2$ относительно шара $1$. Тогда радиус-вектор шара $1$ относительно шара $2$ равен $-\vec{r}$. Тогда изменение вектора дипольного момента следующее: $$\Delta{\vec{p}}=\Delta{\vec{p}_1}+\Delta{\vec{p}_2}=4\pi\varepsilon_0 R^3\left(\vec{E}(\vec{r})+\vec{E}(-\vec{r})\right)=\frac{8\pi\varepsilon_0R^6}{L^3}\left(\frac{3(\vec{E}_0\cdot{\vec{r}})\vec{r}}{L^2}-\vec{E}_0\right) $$ Момент сил, действующих на систему диполей с суммарным дипольным моментом $\vec{p}$ со стороны однородного внешнего поля: $$\vec{M}=\left[\vec{p}\times\vec{E}_0\right] $$ Откуда: $$\vec{M}=\left[\Delta{\vec{p}}\times\vec{E}_0\right]=\frac{24\pi\varepsilon_0 R^6(\vec{E}_0\cdot{\vec{r}})}{L^5}\left[\vec{r}\times\vec{E}_0\right] $$ В положении равновесие момент силы равен нулю, однако таких расположений стержня два - вдоль направления электрического поля и перпендикулярно ему. Положение стержня, перпендикулярное направлению электрического поля, является неустойчивым. Тогда далее из уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс имеем: $$I\ddot{\alpha}=\frac{ML^2\ddot{\alpha}}{2}=-\frac{24\pi\varepsilon_0 R^6E^2_0\alpha}{L^3} $$ Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0$, равной $$\omega_0=\sqrt{\frac{48\pi\varepsilon_0R^6E^2_0}{ML^5}} $$ откуда получим выражение для периода колебаний $T$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $T=\sqrt{\cfrac{\pi ML^5}{12\varepsilon_0 E^2_0R^6}}$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]