text: {"text": [{"text": "В теплоизолированном цилиндре, расположенном вертикально, под невесомым не проводящим тепло свободно перемещающимся поршнем находится $v=1~моль$ идеального одноатомного газа при температуре $T_{1}=300~К$ (см. рисунок). <img_0> Сверху над поршнем находится ртуть, заполняющая цилиндр до открытого верхнего края. Объем газа в два раза больше объема ртути, давление в газе вдвое превышает внешнее атмосферное давление. Система находится в состоянии равновесия."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какое минимальное количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы вытеснить из сосуда всю ртуть?"}]}
answer: [{"condition": "Какое минимальное количество теплоты нужно подвести к газу, чтобы вытеснить из сосуда всю ртуть? ", "solution": {"text": "Пусть $p_{а}$ —атмосферное давление, $S$ — площадь поршня, $H$ и $2 H$ — начальные высоты соответственно столбов ртути и газа, $x$ — высота газа в новом равновесном положении поднявшегося поршня. Найдем выражение для подведенного количества теплоты $Q$ в зависимости от $x$. Давление в газе складывается из атмосферного и давления столба ртути высотой $3 H-x$: $$ p_{x}=\frac{4 H-x}{H} p_{а}. \quad (1) $$ Температуру $T_{x}$ газа для того момента, когда поршень находится на высоте $x$, найдем из уравнения Менделеева-Клапейpoнa: $$ \frac{p_{x} S x}{T_{x}}=\frac{2 p_{а} S 2 H}{T_{1}}. $$ Отсюда с учетом выражения $(1)$ имеем $$ T_{x}=\frac{(4 H-x) x}{4 H^{2}} T_{1}. $$ Изменение внутренней энергии газа, произошедшее при подъеме поршня до высоты $x$, равно $$ \Delta U=\nu C_{V}\left(T_{x}-T_{1}\right)=-\left(\frac{x-2 H}{2 H}\right)^{2} \nu C_{V} T_{1}=-\frac{3(x-2 H)^{2}}{8 H^{2}} \nu R T_{1}. \quad (2) $$ Здесь $C_{V}=3 R / 2$. Работа газа при линейном (по $x$) изменении давления от $2 p_{а}$ до $p_{x}$ равна $$ A=\frac{2 p_{а}+p_{x}}{2}(x S-2 H S)=\frac{(6 H-x)(x-2 H)}{2 H} p_{а} S. $$ Так как в начальном положении $$ 2 p_{а} \cdot 2 H S=\nu R T_{1}, $$ то $$ A=\frac{(6 H-x)(x-2 H)}{8 H^{2}} \nu R T_{1}. \quad (3) $$ По закону сохранения энергии $Q=\Delta U+A$. С учетом выражений $(2)$ и $(3)$ имеем $$ \begin{aligned} &Q=\left(-x^{2}+5 H x-6 H^{2}\right) \frac{\nu R T_{1}}{2 H^{2}}= \\ &=(x-2 H)(3 H-x) \nu R T_{1} 2 H^{2}. \end{aligned} $$ Формальная подстановка $x=3 H$ дает неверный ответ: $Q=0$. Рассмотрим график зависимости $Q(x)$ (см. рисунок). <img_1> Для достижения равновесного положения системы при $x=2.5 H$ надо подать максимальное количество теплоты $Q_{0}=\frac{\nu R T_{1}}{8} \approx 312~Дж$. Для достижения равновесных положений при $x>2.5 H$ необходимо $QИтак, $Q_{\min }=\frac{\nu R T_{1}}{8} \approx 312~Дж$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q_{\min }=\frac{\nu R T_{1}}{8} \approx 312~Дж. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]