text: {"text": [{"text": "<img_0> Шесть внешне неотличимых резисторов соединены в цепь, как показано на рисунке. Известно, что сопротивление пяти из них в точности равно $2~\Omega$, а сопротивление последнего отличается от этого значения. С помощью омметра можно три раза измерить сопротивление между любыми двумя точками цепи."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Можно ли с помощью трёх измерений однозначно определить неисправный резистор? Если можно, то вкратце опишите алгоритм его нахождения."}]}
answer: [{"condition": "Можно ли с помощью трёх измерений однозначно определить неисправный резистор? Если можно, то вкратце опишите алгоритм его нахождения. ", "solution": {"text": "Данная схема эквивалентна состоящему из резисторов тетраэдру. Если значения сопротивления всех резисторов одинаковы, то из симметрии будет следовать, что сопротивление между любой парой точек из $A$, $B$, $C$ и $D$ должно быть одинаковым. При измерении сопротивления между точками $B$ и $C$ из симметрии видно, что потенциалы точек $A$ и $D$ равны, поэтому через резистор $AD$ не будет течь ток. Следовательно, такая схема эквивалентна параллельному подключению трёх резисторов $BAC$, $BCD$ и $BC$. Обозначим измеряемое сопротивление $r$, тогда\[\frac{1}{r}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}+\frac{1}{R}=\frac{2}{R},\]откуда $r=\frac{R}{2}$. Поскольку $R=2~\Omega$, то\[r=1~\Omega.\] Чтобы обнаружить неисправный резистор, можно измерить попарные сопротивления между любыми тремя точками узла, например, $A$, $B$ и $C$. Обозначим измеренные значения сопротивления $r_{AB}$, $r_{BC}$ и $r_{CA}$. Если неисправный резистор подключен между какими-то из этих трёх точек (например, между точками $A$ и $B$), то из симметрии легко видеть, что $r_{CA}=r_{BC}\neq r_{AB}$ и $r_{AB}\neq1~\Omega$. Если же неисправным является резистор между одной из трёх выбранных точек (например, $A$) и $D$, то из соображений симметрии $r_{AC}=r_{AB}\neq r_{BC}$, и, когда измерение проводится между $B$ и $C$, ток через $AD$ отсутствует в силу симметрии, потому значение сопротивления $AD$ не влияет на результат измерения. Таким образом, должно быть $r_{BC}=1~\Omega$, т.е. результат должен совпадать с результатом в схеме, где у всех резисторов $R=2~\Omega$. Итак, два из трёх измеренных значений должны быть одинаковыми, а одно должно отличаться. Если оно не равно $1~\Omega$, то неисправным является резистор, подключенный к этим двум узлам. Если же оно равно $1~\Omega$, то неисправным является резистор, подключенный между другими двумя узлами."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Да, можно. Необходимо измерить попарные сопротивления между любыми тремя точками узла. Два из них должны совпадать, а одно должно отличаться. Если оно не равно $1~\Omega$, то неисправным является резистор, подключенный к этим двум узлам. Если же оно равно $1~\Omega$, то неисправным является резистор, подключенный между другими двумя узлами."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}]