text: {"text": [{"text": "Горизонтальная ось $O O^{\prime}$ может свободно вращаться в подшипниках. Перпендикулярно к ней симметрично прикреплены три одинаковые легкие спицы, составляющие друг с другом угол $120^{\circ}$. На концы спиц насажены одинаковые маленькие шарики $A$, $B$ и $C$. К шарику $A$ на длинной нерастяжимой легкой нити подвешен груз массы $m$. В первом эксперименте ось $O O^{\prime}$ повернули так, что спица с шариком $A$ оказалась горизонтальной (см. рисунок ниже). <img_0> После того как систему отпустили без начальной скорости, груз $m$ начал опускаться с ускорением $a_{1}$. Во втором эксперименте ось $O O^{\prime}$ повернули так, что шарики $A$ и $B$ оказались на одной высоте (см. рисунок ниже). <img_1>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Каким будет ускорение $a_{2}$ груза $m$ сразу после того, как систему вновь отпустят без начальной скорости?"}]}
answer: [{"condition": "Каким будет ускорение $a_{2}$ груза $m$ сразу после того, как систему вновь отпустят без начальной скорости? ", "solution": {"text": "В первом эксперименте ускорение $\vec{a}_{1}$ груза и ускорение $\vec{a}_{A}$ шарика $A$ направлены вертикально вверх и равны по модулю, так как длина $L$ нити не меняется.Пусть масса всех трех шариков равна $M$. По закону сохранения энергии$$\frac{m g a_{1} \Delta t^{2}}{2}=\frac{M\left(a_{A} \Delta t\right)^{2}}{2}+\frac{m\left(a_{1} \Delta t\right)^{2}}{2}. \qquad (1)$$После преобразований $(1)$ получим $m g=M a_{1}+m a_{1}$, откуда$$\frac{M}{m}=\frac{g-a_{1}}{a_{1}}. \qquad (2)$$Во втором эксперименте проекция ускорения $\vec{a}_{A}^{\prime}$ шарика $A$ на вертикальную ось равна ускорению $a_{2}$ шарика массы $m$ (см. рисунок). <img_2> $$a_{A}^{\prime} \sin 60^{\circ}=a_{2} \text { или } a_{A}^{\prime}=\frac{2 a_{2}}{\sqrt{3}}. \qquad (3)$$По закону сохранения энергии$$\frac{m g a_{2} \Delta t^{2}}{2}=\frac{M\left(a_{A}^{\prime} \Delta t\right)^{2}}{2}+\frac{m\left(a_{2} \Delta t\right)^{2}}{2}. \qquad (4)$$С учетом $(3)$ выражение $(4)$ примет вид$$\frac{M}{m}=\frac{3\left(g-a_{2}\right)}{4 a_{2}}. \qquad (5)$$Приравнивая выражения $(2)$ и $(5)$, получим$$a_{2}=\frac{3 g a_{1}}{4 g-a_{1}}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a_{2}=\frac{3 g a_{1}}{4 g-a_{1}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]