text: {"text": [{"text": "На вход гладкой прямолинейной трубы постоянного сечения $S$, ось которой горизонтальна, поступает идеальный многоатомный газ, движущийся со скоростью $v_1$. Давление газа на входе в трубу равно $P_1$, плотность – $\rho_1$. Давление газа на выходе из трубы равно $P_2=P_1+\Delta{P}$. Определите:"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "плотность $\rho_2$ и скорость $v_2$ газа на выходе из трубы;"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "отношение температур газа $T_2/T_1$ на выходе и на входе в трубу соответственно;"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "тепловую мощность $N$, выделяемую трубой в окружающую среду. Считайте, что в любом перпендикулярном сечении трубы плотность и давление газа не изменяются со временем. Считайте, что во входном сечении плотность и давление газа во всех точках одинаковы. То же относится и к выходному сечению."}]}
answer: [{"condition": "плотность $\rho_2$ и скорость $v_2$ газа на выходе из трубы; ", "solution": {"text": "Поскольку система находится в стационарном состоянии, то масса газа в трубе в любой момент постоянна. Значит масса газа втекающего в трубу за малое время $dt$ должна равняться массе вытекающего газа $${\rho_1}Sv_1dt={\rho_2}Sv_2dt={\mu}dt, $$ где $\mu$ - массовый расход газа. \newline Так как сечение трубы постоянное и вязкое трение мало, то импульс газа, находящегося в трубе, изменяется за счет сил давления окружающего газа на торцы трубы. Запишем изменение импульса газа, находящегося в трубе, в проекции на ось $x$, направленную по движению газа: $$dp_x=\left(P_1S-P_2S\right)dt. $$ С другой стороны, так как скорость газа в любом сечении остается постоянной, то изменение импульса газа, находящегося в трубе, можно рассчитать как разность импульсов порции газа, вышедшей из трубы за малое время $dt$ и импульса порции газа, вошедшей в трубу за это время $$dp_x=\mu\left(v_2-v_1\right)dt $$ Приравнивая выражения для $dp_x$ и используя выражение для $\mu$, получим: $$\rho_2=\frac{{\rho_1}^2{v_1}^2}{{\rho_1}{v_1}^2-\Delta{P}};\left(\rho_2=~\frac{{\rho_1}^2{v_1}^2}{{\rho_1}{v_1}^2+P_1-P_2}\right) $$ $$v_2=v_1-\frac{\Delta{P}}{{\rho_1}v_1};~\left(v_2=v_1-\frac{P_2-P_1}{{\rho_1}v_1}\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "отношение температур газа $T_2/T_1$ на выходе и на входе в трубу соответственно; ", "solution": {"text": "Из уравнение состояния идеального газа, записанного для порций газа на входе в трубу и на выходе из нее имеем: $$\frac{T_2}{T_1}=\frac{P_2\rho_1}{P_1\rho_2}=\frac{P_2v_2}{P_1v_1}, $$ откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{T_2}{T_1}=\left(1+\frac{\Delta{P}}{P_1}\right)\left(1-\frac{\Delta{P}}{{\rho_1}{v_1}^2}\right);\left(\frac{T_2}{T_1}=\frac{P_2}{P_1}\left(1-\frac{P_2-P_1}{{\rho_1}{v_1}^2}\right)\right) $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "тепловую мощность $N$, выделяемую трубой в окружающую среду. ", "solution": {"text": "Запишем закон сохранения энергии для газа находящегося в трубе, рассмотрев малый промежуток времени $dt$. За это время над газом совершают работу внешние силы давления, изменяются его кинетическая и внутренняя энергии и часть энергии выделяется в окружающую среду $$P_1dV_1-P_2dV_2={\mu}dt\left(\frac{{v_2}^2-{v_1}^2}{2}+\frac{C_V}{M}\left(T_2-T_1\right)\right)+Ndt, $$ где $M$ - молярная масса газа. Таким образом $$N=\rho_1Sv_1\left(\frac{{v_1}^2-{v_2}^2}{2}+\frac{C_P}{M}\left(T_1-T_2\right)\right) $$ Подставив полученные ранее соотношения, окончательно получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$N={\rho_1}Sv_1\left(\frac{{v_1}^2}{2}\left(1-\left(1-\frac{\Delta{P}}{{\rho_1}{v_1}^2}\right)^2\right)+\frac{4P_1}{\rho_1}\left(1-\left(1+\frac{\Delta{P}}{P_1}\right)\left(1-\frac{\Delta{P}}{{\rho_1}{v_1}^2}\right)\right)\right) $$ $$\left(N={\rho_1}Sv_1\left(\frac{{v_1}^2}{2}\left(1-\left(1-\frac{P_2-P_1}{{\rho_1}{v_1}^2}\right)^2\right)+\frac{4P_1}{\rho_1}\left(1-\frac{P_2}{P_1}\left(1-\frac{P_2-P_1}{{\rho_1}{v_1}^2}\right)\right)\right)\right) $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]