text: {"text": [{"text": "Стигматическое изображение — изображение, каждая точка которого соответствует ровно одной точке изображаемого объекта. Оптическая система, формирующая стигматическое изображение трёхмерной области, называется абсолютной. Для формирования стигматического изображения необходимо, чтобы лучи, испущенные каждой точкой оптического объекта, после прохождения через оптическую систему пересекались строго в одной точке. Как следствие, в таких системах отсутствуют явления аберрации и дифракции света. Примером абсолютной оптической системы является «Рыбий глаз» Максвелла, представляющий собой неоднородную сферически-симметричную среду. В рамках данной задачи вам сначала предстоит описать оптические параметры «Рыбьего глаза», а затем проанализировать изображения, получаемые при использовании данной системы."}, {"text": "Часть A. Показатель преломления «Рыбьего глаза» (3.5 балла) Для начала рассмотрим среду с произвольной зависимостью $n(r)$. Обозначим центр среды за точку $O$, а точку траектории луча - за $A$, при этом $OA=r$. Также введём угол $\alpha$ между волновым вектором луча $\vec{k}$ и вектором $\overrightarrow{OA}$ . <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Кривизной плоской кривой $\rho$ называется величина, обратная радиусу кривизны траектории. Она может быть найдена следующим образом: $$\rho=\frac{d\theta}{dl} $$ где $dl$ — элемент длины кривой, а $d\theta$ — угол поворота касательной к кривой. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через $r$, $\alpha$ и $\displaystyle\frac{d\alpha}{dr}$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Рассмотрим произвольную траекторию луча. Пусть при ${OA}_0=r_0$ показатель преломления $n(r_0)=n_0$, а угол $\alpha(r_0)=\alpha_0$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. «Рыбий глаз» Максвелла обладает следующим свойством: любой луч, испущенный в некоторой его точке, движется по линии постоянной кривизны."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Используя результат пункта $\textbf{A2}$ , покажите, что кривизна траектории любого луча постоянна при условии: $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2} $$ где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные. Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,20"}, "text": "Чему равна максимально возможная кривизна траектории луча $\rho_{max}$ при произвольных значениях $r_0$ и $\alpha_0$? Ответ выразите через $a$. Ответ выразите через $a$. Ответ выразите через $a$. Ответ выразите через $a$. Ответ выразите через $a$. Ответ выразите через $a$. Ответ выразите через $a$."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,80"}, "text": "Покажите, что траектории всех лучей, испущенных из точки $A$, находящейся на расстоянии $r_0$ от точки $O$, действительно проходят через одну общую точку $B$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$."}, {"text": "Часть B. Источники на поверхности «Рыбьего глаза» (2.5 балла) В 1905 году Роберт Вуд реализовал идею «Рыбьего глаза», в качестве которого использовался шар радиуса $R$, показатель преломления $n$ вещества которого зависел от расстояния $r$ до центра шара по закону: $$n(r)=\displaystyle\frac{2}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{R}\right)^2} $$ В этой части задачи вам предлагается исследовать изображения точечных источников света на поверхности «Рыбьего глаза» в системе, состоящей из него и идеальной собирающей линзы. На поверхности «Рыбьего глаза» расположены два точечных источника света. На рисунке, приведённом на миллиметровой бумаге, показаны положения точечных источников света $S_1$ и $S_2$, их изображений в системе, состоящей из «Рыбьего глаза» и идеальной собирающей линзы $S'_1$ и $S'_2$ (причём неизвестно, соответствуют ли источник и изображение с одинаковыми индексами друг другу), а также главного оптического центра линзы $O$. Рисунок приведён в некотором масштабе, $L=10~\text{см}$ — длина стороны квадратной клетки. «Рыбий глаз» целиком находится за фокальной плоскостью линзы. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,80"}, "text": "Из принципа Ферма следует, что время движения всех лучей от точки $A$ до точки $B$ одинаково. Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$ Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$ Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$ Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$ Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$ Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$ Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка. Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$. $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл: $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1 $$"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,20"}, "text": "Найдите радиус «Рыбьего глаза» $R$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,10"}, "text": "Соответствует ли изображение $S'_1$ источнику $S_1$? Ответ обоснуйте."}, {"text": "Часть C. Фокусное расстояние «Рыбьего глаза» (2.0 балла) В данной части задачи вам предстоит описать «Рыбий глаз» как линзу в оптической системе. Во всех пунктах этой части задачи работайте в параксиальном приближении. Рассмотрим шар радиуса $R$, показатель преломления вещества $n$ которого зависит от расстояния $r$ до его центра по закону: $$n(r)=\displaystyle\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2}\qquad n_1\geq{1+\left(\displaystyle\frac{R}{a}\right)^2} $$ Напомним, что оптическим центром оптической системы (если он существует) называется такая точка $O$, что любой луч, проходящий через неё, не преломляется и не смещается. Для «Рыбьего глаза» такой точкой является его центр. Фокусным расстоянием $F$ оптической системы называется расстояние между её оптическим центром $O$ и точкой фокусировки $F'$ параллельного пучка лучей, проходящих вблизи оптического центра системы, т.е $F=OF'$. Рассмотрим луч, падающий на «Рыбий глаз» с углом падения $\alpha\ll{1}$. Обозначим углы так, как показано на рисунке: 1) $\alpha$ — угол падения луча; 2) $\theta$ — угол преломления луча; 3) $\Delta\varphi$ — угол поворота вектора скорости луча при движении внутри «рыбьего глаза»; 4) $\Delta\alpha$ — полный угол поворота вектора скорости луча; 5) $\beta=\angle{NOM}$ — угол, характеризующий точку, в которой луч покидает «рыбий глаз». Далее, если точка фокусировки $F'$ находится левее точки $O$, будем считать «Рыбий глаз» рассеивающей линзой, а если правее — собирающей. <img_2>"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,20"}, "text": "Найдите фокусное расстояние линзы $F$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите $\Delta{\varphi}$. Ответ выразите через $\alpha$, $n_1$, $a$ и $R$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,30"}, "text": "$\Delta{\alpha}$ можно представить как $\Delta{\alpha}=k\alpha$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите фокусное расстояние $F$ «Рыбьего глаза» через $R$ и $k$."}, {"text": "Часть D. Определение параметров «Рыбьего глаза» (4.0 балла) В данной части задачи анализируется следующая оптическая система: На главной оптической оси идеальной тонкой линзы некоторого радиуса $r$ расположен центр $O$ «Рыбьего глаза» радиуса $R=15~\text{см}$ на расстоянии $L=20~\text{см}$ от центра линзы $O'$. За линзой на том же расстоянии $L$ от неё расположен плоский экран. На рыбий глаз параллельно главной оптической оси линзы направляют очень узкий лазерный пучок света, расположенный на высоте $h$ над главной оптической осью линзы, который после прохождения оптической системы попадает на экран. Фокусные расстояния линзы и «Рыбьего глаза» обозначим за $F$ и $F_0$ соответственно. Напомним, что фокусное расстояние $F$ это алгебраическая величина, являющаяся положительной для собирающей линзы и отрицательной для рассеивающей. <img_3> На графике приведены две зависимости координаты $y$ лазерного пучка на экране от высоты $h$ лазера над главной оптической осью. Синяя (верхняя) зависимость получается при прохождения лазерного пучка через линзу, а красная (нижняя) зависимость получается, если лазерный пучок падает сразу на экран, минуя линзу. В эксперименте с линзой радиуса $r$ наблюдается скачок $y$ при $h_1=2.10~\text{см}$, а также стремление $y$ к бесконечности при $h_2=8.66~\text{см}$. Производная $\cfrac{dy}{dh}$ в нуле в эксперименте с линзой оказалась равна $k_1=8.62$. Линзу убрали, а эксперимент повторили, что целиком отображается нижней (красной) зависимостью. Производная $\displaystyle\frac{dy}{dh}$ в нуле в эксперименте без линзы оказалась равна $k_2=5.80$. Во всех пунктах данной части задачи обозначение углов то же, что было введено в части $\textbf{C}$, т.е $\Delta{\alpha}=k\alpha$. <img_4> В пунктах $\textbf{D1-D5}$ работайте в параксиальном приближении."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,00"}, "text": "При фиксированных значениях $n_1$ укажите, собирающей или рассеивающей является линза при разных значениях параметра $a$. Ответ обоснуйте. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите зависимость координаты $y$ пучка на экране от $h< h_1$ в эксперименте с линзой. Ответ выразите через $h$, $L$, $F_0$, $F$ и $R$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите зависимость координаты $y$ пучка на экране от $h< h_1$ в эксперименте без линзы. Ответ выразите через $h$, $L$, $F_0$, $F$ и $R$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите с точностью до третьей значащей цифры значения фокусного расстояния «Рыбьего глаза» $F_0$ и коэффициента пропорциональности $k$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,30"}, "text": "Определите численное значение радиуса линзы $r$."}, {"balls": {"number": "D5", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите с точностью до третьей значащей цифры численное значение фокусного расстояния линзы $F$. Собирающая или рассеивающая эта линза? Коэффициента пропорциональности $k$ недостаточно для определения параметров $n_1$ и $a$ «Рыбьего глаза». Из асимптотического стремления $y$ к бесконечности при значении $h=h_2$ получим второе уравнение, связывающее $n_1$ и $a$. Для этого необходимо точно описать траекторию луча в «Рыбьем глазе». Угол падения пучка при значении $h=h_2$ обозначим за $\alpha_0$."}, {"balls": {"number": "D6", "exponent": "0,60"}, "text": "Получите точное выражение для $\Delta{\varphi}$. Ответ выразите через $\alpha$, $n_1$, $a$, $R$."}, {"balls": {"number": "D7", "exponent": "0,60"}, "text": "Получите уравнение, определяющее $n_1$. Уравнение должно содержать только $n_1$, $\alpha_0$ и $k$. Уравнение, полученное вами, не может быть решено на предоставленном вам калькуляторе, поскольку не может быть внесено в него целиком. Однако, углы $\theta$ и $\Delta{\varphi}$ могут быть найдены с помощью калькулятора."}, {"balls": {"number": "D8", "exponent": "1,00"}, "text": "Внесите в таблицу в листе ответов значения углов $\theta(n_1)$ и $\Delta{\varphi}(n_1)$ с точностью до сотых градуса для указанных значений $n_1$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$."}]}
answer: [{"condition": "Кривизной плоской кривой $\rho$ называется величина, обратная радиусу кривизны траектории. Она может быть найдена следующим образом: $$\rho=\frac{d\theta}{dl} $$ где $dl$ — элемент длины кривой, а $d\theta$ — угол поворота касательной к кривой. Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через $r$, $\alpha$ и $\displaystyle\frac{d\alpha}{dr}$. ", "solution": {"text": "Траектория луча будет плоской. Если $\alpha$ - угол между вектором скорости луча и линией $OA$, а $\varphi$- угол поворота линии $OA$: $$\tan\alpha=\frac{rd\varphi}{dr} $$ По определению кривизна равна $$\rho=\frac{d\theta}{dl} $$ где $dl$ - элемент длины траектории, а $d\theta$ - угол поворота касательной к ней. Выражения для $dl$ и $d\theta$ следующие: $$dl=\frac{dr}{\cos\alpha} \quad\quad\quad d\theta=d\alpha+d\varphi $$ Тогда $$\rho=\cos\alpha\left(\frac{d\alpha}{dr}+\frac{d\varphi}{dr}\right) $$ Выражая:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\rho=\frac{d\sin\alpha}{dr}+\frac{\sin\alpha}{r} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Рассмотрим произвольную траекторию луча. Пусть при ${OA}_0=r_0$ показатель преломления $n(r_0)=n_0$, а угол $\alpha(r_0)=\alpha_0$.  Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$  через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$. ", "solution": {"text": "Докажем, что для любой траектории луча в сферически симметричной среде выполняется $$nr\sin\alpha=const=n_0r_0\sin\alpha_0 $$ Рассмотрим два тонких сферических слоя, радиусы которых $R_1$ и $R_2$. показатель преломления среды при $R\leq{R_1}$ равен $n_1$, а при $R_1\leq{R}\leq{R_2}$ - $n_2$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ - углы падения и преломления на сфере радиуса $R_1$. Из Закона Снэлла для преломления получим: $$n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta $$ Пусть $\gamma$ - угол падения на сфере радиуса $R_2$. Из теоремы синусов находим: $$\displaystyle\frac{R_1}{\sin\gamma}=\displaystyle\frac{R_2}{\sin\beta} $$ Исключим $\sin\beta$, получим: $$n_1R_1\sin\alpha=n_2R_2\sin\gamma $$ что и доказывает инвариантность величины $nr\sin\alpha$. <img_5> Отсюда находим: $$\frac{d\sin\alpha}{dr}=-\frac{n_0r_0\sin\alpha_0}{n^2r^2}\left(n+r\frac{dn}{dr}\right)\qquad\frac{\sin\alpha}{r}=\frac{n_0r_0\sin\alpha_0}{nr^2} $$ Подставляя в выражение для кривизны:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\rho=-\frac{n_0r_0\sin\alpha_0}{n^2r}\frac{dn}{dr} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Используя результат пункта $\textbf{A2}$ , покажите, что кривизна траектории любого луча постоянна при условии:  $$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2}  $$  где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные.  Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными.  Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$. ", "solution": {"text": "$\textit{Примечание:}$ полученные далее результаты могут быть найдены и прямой подстановкой выражения $n(r)$ в дифференциальное уравнение для $\rho$. Если траектория луча имеет постоянную кривизну, переменные разделяются: $$\int\frac{dn}{n^2}=-\frac{\rho}{n_0r_0\sin\alpha_0}\int rdr $$ Откуда $$\frac{1}{n}=\frac{\rho r^2}{2n_0r_0\sin\alpha_0}+C $$ где $C$ - некоторая постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий: $$\displaystyle\frac{1}{n_0}-\displaystyle\frac{\rho r_0}{2n_0\sin\alpha_0}=C $$ Как видно, данная в условии задачи зависимость является решением полученного уравнения. Отсюда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\rho=\displaystyle\frac{2r_0\sin\alpha_0}{a^2+r^2_0} $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Чему равна максимально возможная кривизна траектории луча $\rho_{max}$ при произвольных значениях $r_0$ и $\alpha_0$?  Ответ выразите через $a$. ", "solution": {"text": "Максимум, во-первых, достигается при $\sin\alpha_0=1$, а во-вторых - при $r_0=a$. Отсюда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\rho_{max}=\frac{1}{a} $$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Покажите, что траектории всех лучей, испущенных из точки $A$, находящейся на расстоянии $r_0$ от точки $O$, действительно проходят через одну общую точку $B$.  Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$. ", "solution": {"text": "Так как $\rho\sim\sin\alpha_0$, центры всех окружностей лежат на прямой, перпендикулярной $OA$, при этом расстояние от этой прямой до точки $A$ равно $l=\displaystyle\frac{r^2_0+a^2}{2r_0}$. <img_6> Любые две окружности если пересекаются, то в двух точках. Тогда в силу симметрии вторая точка пересечения $B$ для всех окружностей будет общей и находится от точки $A$ на расстоянии $AB$, равном:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$AB=r_0+\displaystyle\frac{a^2}{r_0} $$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Из принципа Ферма следует, что время движения всех лучей от точки $A$ до точки $B$ одинаково.  Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка.  Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$.  $\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл:  $$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad  -1<{k}<1  $$ ", "solution": {"text": "$$\textbf{Первый способ} $$ Наиболее простой подход - рассмотреть луч, идущий вдоль линии $OA$. Движение будет прямолинейным, тогда: $$T=\int\limits_0^{r_0}\frac{ndr}{c}+\int\limits_0^{\frac{a^2}{r_0}}\frac{ndr}{c} $$ Подставляя зависимость $n(r)$ и вводя замену переменной $t=\displaystyle\frac{r}{a}$: $$T=\frac{n_1 a}{c}\left(\int\limits_0^{\frac{r_0}{a}}\frac{dt}{1+t^2}+\int\limits_0^{\frac{a}{r_0}}\frac{dt}{1+t^2}\right)=\frac{n_1a}{c}\left(\arctan\frac{r_0}{a}+\arctan\frac{a}{r_0}\right) $$ Таким образом, от $r_0$ время не зависит. $$\textbf{Второй способ} $$ Этот же результат можно получить, явно рассматривая движение по окружности. Рассмотрим ту, для которой $\alpha_0=\frac{\pi}{2}$. Пусть $\beta$ - угловое перемещение луча по окружности от начального положения. Тогда для $r^2$ из теоремы косинусов имеем: $$r^2=\left(\frac{a^2+r^2_0}{2r_0}\right)^2+\left(\frac{a^2-r^2_0}{2r_0}\right)^2-2\left(\frac{a^2+r^2_0}{2r_0}\right)\left(\frac{a^2-r^2_0}{2r_0}\right)\cos\beta $$ Перепишем чуть компактнее: $$r^2=\frac{a^4+r^4_0}{2r^2_0}-\frac{a^4-r^4_0}{2r^2_0}\cos\beta $$ Для промежутка времени имеем: $$dT=\frac{nd\beta}{c\rho}=\frac{a^2r_0n_1}{c(a^2+r^2_0)}\frac{d\beta}{1-\frac{a^2-r^2_0}{a^2+r^2_0}\cos\beta} $$ откуда $$T=\frac{nd\beta}{c\rho}=\frac{a^2r_0n_1}{c(a^2+r^2_0)}\int\limits_0^{\pi}\frac{d\beta}{1-\frac{a^2-r^2_0}{a^2+r^2_0}\cos\beta}=\frac{\pi a^2r_0n_1}{c(a^2+r^2_0)\sqrt{1-\left(\frac{a^2-r^2_0}{a^2+r^2_0}\right)^2}} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=\frac{\pi n_1a}{2c} $$"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите радиус «Рыбьего глаза» $R$. ", "solution": {"text": "Обозначим изображения источников в "Рыбьем глазе" за $S^{''}_1$ и $S^{''}_2$ в соответствии с индексами. Точки $S^{''}_1$ и $S^{''}_2$ лежат на прямых, проходящих через точку $O$ и точки $S'_1$, $S'_2$. В данном случае $r_0=a=R$, поэтому изображения точечных источников в "Рыбьем глазе" расположены в его диаметрально противоположных точках, откуда можно сделать вывод, что точки $S_1$, $S_2$, $S^{''}_1$ и $S^{''}_2$ образуют прямоугольник. Отсюда ясно, что точки $S^{''}_1$ и $S^{''}_2$ также лежат и на прямых, проходящих через точки $S_1$ и $S_2$ перпендикулярно отрезку $S_1S_2$. Проводя эти прямые до пересечений, найдём положения точек $S^{''}_1$ и $S^{''}_2$, при этом учитывая, что $S^{''}_1S^{''}_2\parallel{S_1S_2}$. Величина $S_1S^{''}_1$ является диаметром шара, измеряя который найдём: <img_7>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R\approx{2,80L=28,0~\text{см}} $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Соответствует ли изображение $S'_1$ источнику $S_1$? Ответ обоснуйте. ", "solution": {"text": "Как видно из построений в пункте $\textbf{B1}$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Изображение $S'_1$ не может соответствовать источнику $S_1$."]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Найдите фокусное расстояние линзы $F$. ", "solution": {"text": "Проведём прямые, проходящие через пары точек $\left(S^{'}_1, S^{'}_2\right)$ и $\left(S^{''}_1, S^{''}_2\right)$ до пересечения в точке $M$. Эта точка принадлежит плоскости линзы. Поскольку положение главного оптического центра $O$ нам известно, сразу восстановим плоскость линзы и её главную оптическую ось. <img_8> Луч, идущий через изображение $S'_2$ параллельно главной оптической оси, до преломления в точке $A$ проходит через фокус линзы $F$. Проведя данный луч, находим: <img_9>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F\approx{1{,}5L}=15~\text{см} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Найдите $\Delta{\varphi}$. Ответ выразите через $\alpha$, $n_1$, $a$ и $R$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся решением пункта $\textbf{A5}$. В точке $B$, находящейся на расстоянии $R+\displaystyle\frac{a^2}{R}$ от точки преломления луча $A$ произошла бы фокусировка лучей, вышедших одновременно из точки $A$. Обозначим показатель преломления "Рыбьего глаза" на поверхности за $n_0=\displaystyle\frac{n_1}{1+\displaystyle\frac{R^2}{a^2}}$ . Тогда угол преломления луча $\theta=\displaystyle\frac{\alpha}{n_0}$. За время движения луча от точки $A$ до точки $B$ вектор скорости луча повернулся бы на угол $2\theta$. Поскольку мы работаем в параксиальном приближении:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta\varphi=\displaystyle\frac{4\alpha R^2}{n_1a^2} $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "$\Delta{\alpha}$ можно представить как $\Delta{\alpha}=k\alpha$.  Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$. ", "solution": {"text": "Найдём угол $\beta$: $$\pi-\alpha+\beta=2\pi-(\pi-\Delta{\varphi})-2\theta\Rightarrow{\beta=\alpha+\Delta{\varphi}-2\theta}=\alpha\left(1+\displaystyle\frac{2(R^2-a^2)}{n_1a^2}\right) $$ При этом полный угол поворота луча $\Delta{\alpha}$ равен $$\Delta{\alpha}=\alpha+\beta=2\alpha\left(1+\displaystyle\frac{(R^2-a^2)}{n_1a^2}\right) $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$k=2\left(1+\displaystyle\frac{(R^2-a^2)}{n_1a^2}\right) $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите фокусное расстояние  $F$ «Рыбьего глаза» через $R$ и $k$. ", "solution": {"text": "Тогда для фокусного расстояния имеем: $$F=R-\displaystyle\frac{\beta R}{\Delta{\alpha}} $$ или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F=\frac{R}{k} $$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "При фиксированных значениях $n_1$ укажите, собирающей или рассеивающей является линза при разных значениях параметра $a$. Ответ обоснуйте.  Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$. ", "solution": {"text": "Подставляя значение $k$, получим: $$F=\displaystyle\frac{R}{2\left(1+\displaystyle\frac{R^2-a^2}{n_1a^2}\right)} $$ Поскольку $n_1>1$, знаменатель выражения для $F$ всегда положительный. На графике приведены зависимости $F(x)$ для значения $R=5~\text{у.е}$ при $n_1=1.5;~2.0;~2.5;~3.0;~4.0$ ( сверху-вниз ). При этом значение параметра $\cfrac{R}{a}\leq{\sqrt{n_1-1}}$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Линза всегда является собирающей  На графике приведены зависимости $F(x)$ для значения $R=5~\text{у.е}$ при $n_1=1.5;~2.0;~2.5;~3.0;~4.0$ ( сверху-вниз ). При этом значение параметра $\cfrac{R}{a}\leq{\sqrt{n_1-1}}$", "<img_10>"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите зависимость координаты $y$ пучка на экране от $h< h_1$ в эксперименте с линзой. Ответ выразите через $h$, $L$, $F_0$, $F$ и $R$. ", "solution": {"text": "В параксиальном приближении угол падения $\alpha=\cfrac{h}{R}$. После прохождения рыбьего глаза пучок движется под углом $\Delta\alpha=k\alpha$ к главной оптической оси линзы, причём так, будто бы он испущен из её фокуса. Тогда он пересекается плоскость линзы в точке с координатой $y_1$, равной: $$y_1=k\alpha(L-F_0) $$ Пучок параллельных лучей собирается в фокальной плоскости линзы. Исходя из этого восстановим ход пучка после прохождения линзы. Пусть после прохождения линзы пучок движется под углом $\gamma$ к её главной оптической оси. Тогда: $$\gamma F+y_1=\Delta\alpha F $$ откуда: $$\gamma=\Delta\alpha\left(1-\frac{L-F_0}{F}\right) $$ Для координаты $y$ пучка на экране получим: $$y=y_1+\gamma L=(k+1)\alpha\left(L-(L-F_0)\left(\frac{L}{F}-1\right)\right) $$ или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$y(h)=\frac{h}{F_0}\left(L-(L-F_0)\left(\frac{L}{F}-1\right)\right) $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите зависимость координаты $y$ пучка на экране от $h< h_1$ в эксперименте без линзы. Ответ выразите через $h$, $L$, $F_0$, $F$ и $R$. ", "solution": {"text": "При значении $h=h_1$ на графике наблюдается скачок, обусловленный тем, что пучок света не пересекает плоскость линзы и сразу падает на экран. Сразу находим: $$y=k\alpha(2L-F_0) $$ или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$y(h)=\frac{h}{F_0}(2L-F_0) $$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите с точностью до третьей значащей цифры значения фокусного расстояния «Рыбьего глаза» $F_0$ и коэффициента пропорциональности $k$. ", "solution": {"text": "Для $F_0$ имеем: $$F_0=\frac{R}{k} $$ Тогда из выражения для $k_2$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_0=\frac{2L}{1+k_2}=5,88~\text{см} $$", "Ответ: $$k=\frac{R}{F_0}=2,55 $$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Определите численное значение радиуса линзы $r$. ", "solution": {"text": "В момент скачка луч проходит через край линзы, не преломляясь в ней. Пусть координата $y$ пучка на экране при это равна $H'=12,7~\text{см}$. Из подобия треугольников находим: $$\frac{r}{L-F_0}=\frac{H'}{2L-F_0} $$ откуда: $$r=\frac{(L-F_0)H'}{2L-F_0} $$ После численной подстановки:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r=5,26~\text{см} $$"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите с точностью до третьей значащей цифры численное значение фокусного расстояния линзы $F$. Собирающая или рассеивающая эта линза? ", "solution": {"text": "Из выражения для $k_1$ находим: $$F=\frac{kL(L-F_0)}{k(2L-F_0)-k_1R}=\frac{L(L-F_0)}{2L-F_0(1+k_1)} $$ После численной подстановки находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F=-17{,}1~\text{см} $$", "Ответ: Линза является рассеивающей"]}, "number_part": "D5", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите точное выражение для $\Delta{\varphi}$. Ответ выразите через $\alpha$, $n_1$, $a$, $R$. ", "solution": {"text": "Радиус окружности, по которой движется пучок, равен: $$R_0=\frac{R^2+a^2}{2R\sin\theta} $$ Из теоремы косинусов найдём расстояние между центрами окружности и "рыбьего глаза": $$L^2=R^2+R^2_0-2RR_0\sin\theta=R^2+\cfrac{(R^2+a^2)^2}{4R^2\sin^2\theta}-(R^2+a^2) $$ Подставляя $\sin\theta$, получим: $$L^2=a^2\left(\frac{n^2_1a^2}{4R^2\sin^2\alpha}-1\right) $$ Воспользуемся теоремой синусов: $$\frac{L}{\cos\theta}=\frac{R}{\sin\cfrac{\Delta{\varphi}}{2}} $$ Таким образом: $$\Delta{\varphi}=2\arcsin\frac{R\cos\theta}{L} $$ откуда находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{\varphi}=2\arcsin\left(\frac{R}{a}\sqrt{\frac{1-\cfrac{\sin^2\alpha(R^2+a^2)^2}{n^2_1a^4}}{\cfrac{n^2_1a^2}{4R^2\sin^2\alpha}-1}}\right) $$"]}, "number_part": "D6", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Получите уравнение, определяющее $n_1$. Уравнение должно содержать только $n_1$, $\alpha_0$ и $k$. ", "solution": {"text": "Для угла поворота пучка имеем: $$\Delta{\alpha}=2\alpha-2\theta+\Delta\varphi $$ Отсюда: $$\Delta\alpha=2\alpha-2\arcsin\left(\frac{\sin\alpha(R^2+a^2)}{n_1a^2}\right)+2\arcsin\left(\frac{R}{a}\sqrt{\frac{1-\cfrac{\sin^2\alpha(R^2+a^2)^2}{n^2_1a^4}}{\cfrac{n^2_1a^2}{4R^2\sin^2\alpha}-1}}\right) $$ Из выражения для коэффициента $k$ находим: $$\frac{R^2}{a^2}=1+\frac{n_1(k-2)}{2} $$ Подставляя, получим: $$\Delta\alpha=2\alpha-2\arcsin\left(\frac{\sin\alpha}{n_1}\left(2+\frac{n_1(k-2)}{2}\right)\right)+2\arcsin\left(\sqrt{\left(1+\frac{n_1(k-2)}{2}\right)\left(\cfrac{1-\left(\cfrac{\sin\alpha}{n_1}\left(2+\cfrac{n_1(k-2)}{2}\right)\right)^2}{\cfrac{n^2_1}{4\sin^2\alpha\left(1+\cfrac{n_1(k-2)}{2}\right)}-1}\right)}\right) $$ Асимптотическое стремление к бесконечности достигается при $\Delta\alpha=\cfrac{\pi}{2}$. Тогда уравнение на $n_1$ следующее:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{\pi}{2}=2\alpha_0-2\arcsin\left(\frac{\sin\alpha_0}{n_1}\left(2+\frac{n_1(k-2)}{2}\right)\right)+2\arcsin\left(\sqrt{\left(1+\frac{n_1(k-2)}{2}\right)\left(\cfrac{1-\left(\cfrac{\sin\alpha_0}{n_1}\left(2+\cfrac{n_1(k-2)}{2}\right)\right)^2}{\cfrac{n^2_1}{4\sin^2\alpha_0\left(1+\cfrac{n_1(k-2)}{2}\right)}-1}\right)}\right) $$"]}, "number_part": "D7", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Внесите в таблицу в листе ответов значения  углов $\theta(n_1)$ и $\Delta{\varphi}(n_1)$ с точностью до сотых градуса для указанных значений $n_1$.  Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$. ", "solution": {"text": "Решая уравнение на $n_1$, находим: Найдём и $a$: $$a=\frac{R}{\sqrt{1+\cfrac{n_1(k-2)}{2}}} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$n_1=5,1 $$  Найдём и $a$: $$a=\frac{R}{\sqrt{1+\cfrac{n_1(k-2)}{2}}} $$", "Ответ: $$a=9,7~\text{см} $$"]}, "number_part": "D8", "exponent_part": "1,00"}]