text: {"text": [{"text": "Рассмотрим произвольный нерелятивистский одноатомный газ. Если бы размерами молекул газа и их взаимодействием можно было пренебречь, мы пришли бы к модели идеального газа, однако для описания реальных газов эта модель не всегда оказывается применимой. Альтернативой выступает построенная Ван-дер-Ваальсом модель, в которой уравнение состояния для 1 моля газа имеет вид:\[\left(P+\frac a{V^2}\right)\left(V-b\right)=RT,\]где $T$, $P$ и $V$ — температура, давление и объём газа соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная, $a$ и $b$ — некоторые положительные величины. Несложно видеть, что для любого фиксированного $T$ в пределе $V\to+\infty$ эта модель переходит в модель идеального газа."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Каков физический смысл величины $b$? Оцените её, считая молекулы газа твёрдыми шариками радиуса $r$. Постоянная Авогадро равна $N_A$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Перепишите уравнение Ван-дер-Ваальса для $N$ молей газа. Молярный объём газа $v$ не должен содержаться в ответе. Известно, что молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме $C_V$ удовлетворяет условию:\[\left(\frac{\partial C_V}{\partial v}\right)_T=\left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_v,\]где $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y$ означает производную $f$ по $x$ при постоянном $y$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Покажите, что $C_V=\operatorname{const}$ и найдите её значение. Известно, что молярная внутренняя энергия $u$ газа Ван-дер-Ваальса равна:\[u=C_VT-\frac av.\]"}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Получите выражение для молярной энтропии $s(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса. Запишите уравнение адиабатического процесса для газа Ван-дер-Ваальса."}, {"balls": {"number": "5", "exponent": null}, "text": "Найдите подводимую к газу $(Q_1)$ и отводимую от газа $(Q_2)$ теплоту. Найдите КПД цикла $\eta$ и представьте его как функцию только температур $T_1$ и $T_2$. Наконец, определим коэффициент изотермической сжимаемости как:\[\kappa_T=-\frac1v\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T.\]"}, {"balls": {"number": "6", "exponent": null}, "text": "Получите выражение для коэффициента изотермической сжимаемости $\kappa_T(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса в предельном случае $a\ll Pv^2$. В каком диапазоне могут лежать значения $\kappa_T$? Каков физический смысл полученного результата?"}]}
answer: [{"condition": "Каков физический смысл величины $b$? Оцените её, считая молекулы газа твёрдыми шариками радиуса $r$. Постоянная Авогадро равна $N_A$. ", "solution": {"text": "Из-за конечного размера молекул существует конечный минимальный объём, который может занимать газ. Таким образом, $b$ — молярный объём молекул.Рассмотрим пару молекул. Поскольку они не могут сблизиться на расстояние меньше $2r$, то этой паре молекул соответствует минимальный объём $\frac{4\pi}{3}(2r)^3$, тогда на одну молекулу приходится $\frac{16\pi}{3}r^3\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[b=\frac{16}3\pi N_Ar^3\ -\text{ молярный объём молекул}\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Перепишите уравнение Ван-дер-Ваальса для $N$ молей газа. Молярный объём газа $v$ не должен содержаться в ответе. ", "solution": {"text": "Изменяются только аддитивные величины. В уравнении Ван-дер-Ваальса объём изменяется на $V \to V/N \implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(P+\frac{aN^2}{V^2}\right)\left(V-Nb\right)=NRT\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Покажите, что $C_V=\operatorname{const}$ и найдите её значение. Внимание! Не подставляйте этот результат в последующие выкладки!
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Давление одного моля газа:\[p=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2},\]где $v$ — молярный объём. Тогда\[\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v=\frac{R}{v-b},\quad \left(\frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_v=0\implies\left(\frac{\partial C_V}{\partial v}\right)_T=T\left(\frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_v=0.\]Таким образом, теплоёмкость газа Ван-дер-Ваальса не зависит от его объёма (т.е. зависит только от температуры). Поскольку в пределе больших объёма и температуры ($v\gg b$, $T\gg a/vR$) теплоёмкость газа Ван-дер-Ваальса совпадает с теплоёмкостью идеального газа, то они совпадают и при других объёмах и температурах $\implies$
  
  
                          
   \[C_V=\frac32R\]", "solution": {"text": "Давление одного моля газа:\[p=\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2},\]где $v$ — молярный объём. Тогда\[\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_v=\frac{R}{v-b},\quad \left(\frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_v=0\implies\left(\frac{\partial C_V}{\partial v}\right)_T=T\left(\frac{\partial^2 p}{\partial T^2}\right)_v=0.\]Таким образом, теплоёмкость газа Ван-дер-Ваальса не зависит от его объёма (т.е. зависит только от температуры). Поскольку в пределе больших объёма и температуры ($v\gg b$, $T\gg a/vR$) теплоёмкость газа Ван-дер-Ваальса совпадает с теплоёмкостью идеального газа, то они совпадают и при других объёмах и температурах $\implies$ \[C_V=\frac32R\]"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Получите выражение для молярной энтропии $s(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса. Запишите уравнение адиабатического процесса для газа Ван-дер-Ваальса. Примечание: Ваш ответ может содержать неопределённые константы.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Внутренняя энергия одного моля газа Ван-дер-Ваальса равна:\[u=C_VT-\frac{a}{v}\implies\mathrm du=C_V~\mathrm dT+\frac{a}{v^2}\mathrm dv.\]Первое начало термодинамики:\[\delta Q=\mathrm du+\delta A.\]Дифференциал энтропии:\[\mathrm ds=\frac{\delta Q}{T}=\frac{1}{T}~\mathrm du+\frac{p}{T}~\mathrm dv=\frac{1}{T}\left(C_V~\mathrm dT+\frac{a}{v^2}~\mathrm dv\right)+\frac{1}{T}\left(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\right)~\mathrm dv=C_V\frac{\mathrm dT}{T}+\frac{R}{v-b}~\mathrm dv\implies\]
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[s(T,v)=C_V\ln T+R\ln(v-b)+s_0\]
  
                      
  
                          
   А адиабатическом процессе энтропия постоянна, поэтому:\[C_V\ln T+R\ln(v-b)=\operatorname{const}\implies \]
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[(v-b)T^{C_V/R}=\operatorname{const}\]", "solution": {"text": "Внутренняя энергия одного моля газа Ван-дер-Ваальса равна:\[u=C_VT-\frac{a}{v}\implies\mathrm du=C_V~\mathrm dT+\frac{a}{v^2}\mathrm dv.\]Первое начало термодинамики:\[\delta Q=\mathrm du+\delta A.\]Дифференциал энтропии:\[\mathrm ds=\frac{\delta Q}{T}=\frac{1}{T}~\mathrm du+\frac{p}{T}~\mathrm dv=\frac{1}{T}\left(C_V~\mathrm dT+\frac{a}{v^2}~\mathrm dv\right)+\frac{1}{T}\left(\frac{RT}{v-b}-\frac{a}{v^2}\right)~\mathrm dv=C_V\frac{\mathrm dT}{T}+\frac{R}{v-b}~\mathrm dv\implies\] А адиабатическом процессе энтропия постоянна, поэтому:\[C_V\ln T+R\ln(v-b)=\operatorname{const}\implies \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[s(T,v)=C_V\ln T+R\ln(v-b)+s_0\]  А адиабатическом процессе энтропия постоянна, поэтому:\[C_V\ln T+R\ln(v-b)=\operatorname{const}\implies \]", "Ответ: \[(v-b)T^{C_V/R}=\operatorname{const}\]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите подводимую к газу $(Q_1)$ и отводимую от газа $(Q_2)$ теплоту. Найдите КПД цикла $\eta$ и представьте его как функцию только температур $T_1$ и $T_2$. ", "solution": {"text": "Вычислим теплоту через изменение энтропии:\[Q_1=T_1\Delta s_1=\Big[(C_V\ln T_1+R\ln(v_2-b)+s_0)-(C_V\ln T_1+R\ln(v_1-b)+s_0)\Big]T_1\implies\] Действуем аналогично:\[Q_2=-T_2\Delta s_2=-\Big[(C_V\ln T_2+R\ln(v_4-b)+s_0)-(C_V\ln T_2+R\ln(v_3-b)+s_0)\Big]T_2\implies\] \[\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}\dfrac{\ln\frac{v_3-b}{v_4-b}}{\ln\frac{v_2-b}{v_1-b}}.\]Однако из уравнения адиабаты следует:\[\frac{v_3-b}{v_2-b}=\frac{v_4-b}{v_1-b}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{C_V/R}\implies\frac{v_2-b}{v_1-b}=\frac{v_3-b}{v_4-b}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[Q_1=RT_1\ln\frac{v_2-b}{v_1-b}\]  Действуем аналогично:\[Q_2=-T_2\Delta s_2=-\Big[(C_V\ln T_2+R\ln(v_4-b)+s_0)-(C_V\ln T_2+R\ln(v_3-b)+s_0)\Big]T_2\implies\]", "Ответ: \[Q_2=RT_2\ln\frac{v_3-b}{v_4-b}\]  \[\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}\dfrac{\ln\frac{v_3-b}{v_4-b}}{\ln\frac{v_2-b}{v_1-b}}.\]Однако из уравнения адиабаты следует:\[\frac{v_3-b}{v_2-b}=\frac{v_4-b}{v_1-b}=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{C_V/R}\implies\frac{v_2-b}{v_1-b}=\frac{v_3-b}{v_4-b}\implies\]", "Ответ: \[\eta=1-\frac{T_2}{T_1}\]"]}, "number_part": "5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Получите выражение для коэффициента изотермической сжимаемости $\kappa_T(T,v)$ газа Ван-дер-Ваальса в предельном случае $a\ll Pv^2$. В каком диапазоне могут лежать значения $\kappa_T$? Каков физический смысл полученного результата? ", "solution": {"text": "Для одного моля газа Ван-дер-Ваальса:\[\left(p+\frac{a}{v^2}\right)\left(v-b\right)=RT\implies\\R~\mathrm dT={\bigl(}v-b{\bigr)}\mathrm{d}p+{\left(p+{\frac{a}{v^{2}}}\right)}\mathrm{d}v-{\bigl(}v-b{\bigr)}{\frac{2a}{v^{3}}}\mathrm{d}v={\bigl(}v-b{\bigr)}\mathrm{d}p+{\Biggl[}{\frac{R T}{v -b}}-{\bigl(}v-b{\bigr)}{\frac{2a}{v^{3}}}{\Biggr]}\mathrm{d}v.\]Для нахождения изотермической сжимаемости нужно положить $\mathrm dT=0$, тогда:\[\kappa_T=-\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial p}\right)_T=-\frac{1}{v}\left[\frac{2a}{v^3}-\frac{RT}{(v-b)^2}\right]^{-1}\implies\kappa_T^{-1}=\frac{RTv}{(v-b)^2}-\frac{2a}{v^2}.\]Поскольку\[\frac{RT}{v-b}=p+\frac{a}{v^2}\]из уравнения состояния, то: В случае $a\ll Pv^2$ выражение упрощается до:\[\kappa_T^{-1}=\frac{v}{v-b}p\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\kappa_T^{-1}(T,v)=\frac v{v-b}\left[p+\frac a{v^2}-\frac{2a(v-b)}{v^3}\right]\]  В случае $a\ll Pv^2$ выражение упрощается до:\[\kappa_T^{-1}=\frac{v}{v-b}p\implies\]", "Ответ: \[0 < \kappa_T(T,v) < p^{-1}\]", "Ответ: Поскольку $\kappa_T > 0$, то газ Ван-дер-Ваальса в этом пределе устойчив. $\kappa_T\to0$ при $v\to b$ соответствует поведению жидкости, а $\kappa_T \to p^{-1}$ при $v\to\infty$ — поведению идеального газа."]}, "number_part": "6", "exponent_part": "??"}]