text: {"text": [{"text": "Рассмотрим разреженный электронный газ при температуре $T=T_0$, находящийся в однородном магнитном поле. В начальный момент времени индукция магнитного поля равна $B_0$, а затем постепенно увеличивается до $B=2B_0$. Во время увеличения магнитного поля, скорость его роста мала $\cfrac{dB}{dt}\ll\cfrac{B^2e}{m}$, где $e$ — элементарный заряд, а $m$ — масса электрона. Определим характерное время $\tau$ этого процесса как величину $\left(\cfrac{d\ln B}{dt}\right)^{-1}$, тогда вышеописанное условие можно выразить как $\tau\gg \cfrac{m}{Be}$. Разреженность газа можно описать средней длиной свободного пробега $\lambda$ и средним временем между столкновениями $t\approx \lambda\sqrt{\cfrac{m}{kT}}$. Мы полагаем, что газ разрежен настолько, что выполнено $t\gg\tau$. Когда индукция магнитного поля достигла значения $B=2B_0$, она остается постоянной в течение долгого времени $\mathcal T\gg t$, а затем уменьшается до исходного значения $B=B_0$ (характерное время этого процесса тоже равно $\tau$)."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему равна конечная температура $T'$ электронного газа, когда он придет в состояние термодинамического равновесия? Примечание: при медленном (адиабатическом) возмущении квантово-механическая система сохраняет свое квантовое состояние, если характерные времена процесса много больше $\hbar/\Delta E$, где $\Delta E$ — разница энергетических уровней между соседними состояниями."}]}
answer: [{"condition": "Чему равна конечная температура $T'$ электронного газа, когда он придет в состояние термодинамического равновесия? ", "solution": {"text": "В равновесном состоянии газа все три движения являются равноправными, т.е: $$\overline{v^2_x}=\overline{v^2_y}=\overline{v^2_z} $$ Пусть в начальном состоянии среднеквадратичный модуль скорости газа равен $v_0$. Тогда: $$\left(\overline{v^2_{x_0}}, \overline{v^2_{y_0}}, \overline{v^2_{z_0}}\right)=\left(\frac{v^2_0}{3},\frac{v^2_0}{3}, \frac{v^2_0}{3}\right) $$ В очень сильно разреженном газе любое возмущение выравнивается по всем его молекулам очень большое время, много большее, чем любые другие характерные времена процессов, рассматриваемых в задаче. В силу соотношения между рассмотренными в условии задачи временных параметров $\tau, t~\text{и}~T$, можно считать, что: 1) поскольку $T\gg{t}$, за время ожидания в газа достигается состояние равновесия; 2) поскольку $t\gg{\tau}$, во время изменения магнитного поля взаимодействием молекул газа друг с другом можно пренебречь; 3) поскольку $\tau\gg{\frac{m}{eB}}$, во время изменения магнитного поля молекулы газа движутся по винтовым линиями, радиус которых меняется очень медленно. При изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, приводящее к изменению скоростей молекул газа. Если ось $z$ направлена вдоль магнитного поля, то проекции скоростей молекул на данную ось остаются постоянными при изменении магнитного поля. Пусть $u$ - компонента скорости газа, перпендикулярная оси $z$, а $R$ - радиус винтовой линии. Тогда при движении в постоянном магнитном поле: $$\frac{mu^2}{R}=euB $$ Далее, пусть магнитное поле изменяется со скоростью $\dot{B}$. Найдём среднее за один оборот тангенциальное ускорение молекулы, считая радиус $R$ постоянным: $$m\overline{\dot{u}}=-e\frac{\oint_L\vec{E}\cdot{d\vec{r}}}{2\pi R}=e\frac{\dot{\Phi}}{2\pi R}=\frac{eR\dot{B}}{2} $$ Из уравнений движения, усреднённых за несколько периодов, найдём: $$\frac{\dot{B}}{B}=2\frac{\dot{u}}{u}\Rightarrow \frac{u^2}{B}=const $$ Последнее соотношение является адиабатическим инвариантом для частицы в магнитном поле. Поскольку $u^2=v^2_x+v^2_y$, сразу после изменения магнитного поля от $B_0$ до $2B_0$, имеем: $$\left(\overline{v^2_{x'}}, \overline{v^2_{y'}}, \overline{v^2_{z'}}\right)=\left(\frac{v^2_0}{3},\frac{2v^2_0}{3}, \frac{2v^2_0}{3}\right) $$ Таким образом, для среднеквадратичного значения скорости находим: $$\overline{v^2_1}=\frac{5v^2_0}{3} $$ Далее, за большое время ожидания $T$ направления вновь становятся равноправными: $$\left(\overline{v^2_{x_1}}, \overline{v^2_{y_2}}, \overline{v^2_{z_1}}\right)=\left(\frac{5v^2_0}{9},\frac{5v^2_0}{9}, \frac{5v^2_0}{9}\right) $$ Далее, магнитное поле возвращается к начальному значению $B_0$ за время порядка $\tau$. Аналогично первому изменению, сразу после перехода получим: $$\left(\overline{v^2_{x"}}, \overline{v^2_{y"}}, \overline{v^2_{z"}}\right)=\left(\frac{5v^2_0}{9},\frac{5v^2_0}{18}, \frac{5v^2_0}{18}\right) $$ Для конечной среднеквадратичной скорости имеем: $$\overline{v^2_{\text{к}}}=\frac{10v^2_0}{9} $$ Поскольку температура является мерой кинетической энергии молекул, т.е $T\sim\overline{v^2}$, окончательно получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $T'=\cfrac{10}{9}T_0$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]