text: {"text": [{"text": "В сентябре 2021 года учёные из Чикагского университета создали материал, обладающий рекордной анизотропией теплопроводности: теплопроводность материала вдоль выделенного направления оказалась почти в тысячу раз меньше теплопроводности в направлениях, перпендикулярных ему! Такого эффекта они смогли добиться, наслаивая двумерные слои атомов друг на друга со случайной ориентацией, как показано на рисунке $\it1$. В то время как теоретическая сторона данного эффекта довольно сложна и выходит далеко за рамки классической школьной программы, экспериментальная сторона оказывается доступной для понимания и обработки. В этой задаче мы исследуем, как именно учёные смогли измерить теплопроводность материала вдоль различных направлений. <img_0> Для решения задачи вам потребуется обобщение МНК на случай произвольной, не обязательно линейной, зависимости. Пусть в качестве экспериментальной зависимости задан набор точек $(x_i, y_i)$, который мы хотим промоделировать некоторой функцией $f=f(x, a_1, a_2, \dots)$, где $a_1, a_2, \dots$ — параметры, которые можно варьировать. По определению метода наименьших квадратов вариация параметров должна привести к тому, что следующая сумма должна быть минимальной:$$ S = \sum_i~\Delta y_i^2 = \sum_i~\left(y_i-f(x_i, a_1, a_2, \dots)\right)^2 \rightarrow \min_{a_1, a_2, \dots} $$Задача минимизации этой суммы сводится к решению системы уравнений:\[ \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial a_1}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial a_2}=0\\ \dots \end{cases} \]где символ $\partial$ обозначает дифференцирование по параметру, указанному в знаменателе, когда остальные параметры зафиксированы."}, {"text": "Часть A. Поперечная теплопроводность (4.0 балла). Для измерения теплопроводности в направлении, перпендикулярном слоям, однородный образец диаметром $D=1\ мм$ и толщиной $d$ зажимают между двумя плоскими пластинами из материалов с высокой теплопроводностью, один из которых поддерживают при постоянной температуре $T_0$, а к другому подводят постоянную мощность $Q=3.1\cdot10^{-4}\ Вт$. После установления теплового равновесия измеряется температура $T_1$ второй пластины, откуда получается разность $\Delta T=T_1-T_0$. Для уточнения природы механизмов теплопроводности исследователям также необходимо проверить, зависит ли теплопроводность материала от его температуры. <img_1> В таблице в листе ответов вам даны значения разности температур $\Delta T$ в зависимости от толщины образца $d$ для трёх разных значений температуры $T_0$ и двух различных материалов — сульфидов молибдена $\rm(MoS_2)$ и вольфрама $\rm(WS_2)$. В идеальном эксперименте разность температур $\Delta T$ можно было бы описать формулой:\begin{equation}\Delta T=Ad,\tag1\end{equation}где $A=\cfrac{4Q}{\pi\varkappa_\perp D^2}$, а $\varkappa_\perp$ — коэффициент теплопроводности в направлении, перпендикулярном слоям. Однако теплообмен между двумя пластинами происходит не только за счёт теплопроводности, но и за счёт других способов теплопередачи. Их можно с хорошей точностью учесть, добавив в уравнение $(1)$ поправочный член:\begin{equation}\Delta T=Ad-BT_0^{1/2}d^{3/2}.\tag2\end{equation}"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,60"}, "text": "С помощью метода наименьших квадратов получите формулы для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,20"}, "text": "Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ и $B$ для каждой из температур $T_0$. Будем считать, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ не зависит от температуры, если выполнено соотношение:\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2},\]где $\Delta A$ — максимальная разность значений $A$, полученных в предыдущем пункте, а $\overline B$ — среднее арифметическое полученных в предыдущем пункте значений $B$, $d_\max=200\ мкм$, $T_{0\max}=373\ К$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выясните, можно ли по результатам эксперимента заключить, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ зависит от температуры, в листе ответов подчеркните правильный вариант (обе стороны неравенства должны быть явно вычислены в решении). Найдите среднее арифметическое $\overline A$ и вычислите по нему теплопроводность $\varkappa_\perp$."}, {"text": "Часть B. Продольная теплопроводность (6.0 баллов) Для измерения продольной теплопроводности образец толщиной $d$ помещают на горизонтальную поверхность из очень плохо проводящего тепло материала и освещают его в центре тонким лазерным пучком постоянной мощности. В результате в образце устанавливается некоторое распределение температуры, которое можно получить, решив уравнение теплопроводности в полярных координатах. Температура на больших расстояниях от центра лазерного пучка считается равной $T_0$. Чтобы узнать, насколько повысилась температура образца в центре, исследователи измеряют мощность отражённого от него лазерного излучения, поскольку при небольших изменениях температуры $\Delta T$ коэффициент отражения можно с хорошей точностью считать линейной функцией $\Delta T$. Кроме того, в силу излучения и теплопроводности между образцом и окружающей средой, с его поверхности происходит рассеяние тепла с мощностью, пропорциональной разности температур $\Delta T$. Это приводит к тому, что реальная $\Delta T$ оказывается всегда меньше предсказываемой и имеет некоторый предел $\Delta T_\max$. <img_2> Таким образом, нам будут интересны два асимптотических случая: $\it1)$ случай большой толщины образца $d$. При этом вклад теплопроводности внутри образца будет доминирующим, и изменение температуры можно описать уравнением:\begin{equation}\Delta T=\frac Ad-\frac B{d^2},\tag3\end{equation}где $A=\cfrac{A_0}{\varkappa_\parallel}$, $A_0=9.43\ мВт$ и $B$ — некоторые постоянные; $\it2)$ случай малой толщины образца $d$. При этом доминирующим будет вклад теплопроводности и излучения между образцом и окружающей средой, и изменение температуры можно описать уравнением:\begin{equation}\Delta T=\Delta T_{\max}-Cd,\tag4\end{equation}где $C$ — некоторый коэффициент. В таблице в листе ответов вам даны значения разности температуры $\Delta T$ в зависимости от толщины образца $d$ для трёх разных значений температуры $T_0$ и двух различных материалов — сульфидов молибдена $\rm(MoS_2)$ и вольфрама $\rm(WS_2)$. При решении задачи считайте, что половина точек с бóльшим $d$ соответствует случаю $\it1)$, а другая половина — случаю $\it2)$. Рассмотрим сначала случай $\it1)$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,70"}, "text": "Выполните пункты $\bf A2$ и $\bf A3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $A$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ для каждой из температур $T_0$. Отсюда для каждой $T_0$ найдите значения $\varkappa_\parallel$. Найдите коэффициент анизотропии теплопроводности $\rho=\cfrac{\varkappa_\parallel}{\varkappa_\perp}$ при температуре $T_0=273\ К$. В этот раз значения $\varkappa_\parallel$ явно зависят от температуры. Можно предположить, что они удовлетворяют степенной зависимости $\varkappa_\parallel\propto\cfrac1{T_0^n}$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите $n$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,40"}, "text": "Выполните пункты $\bf B2$ и $\bf B3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$. Рассмотрим теперь случай $\it2)$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,60"}, "text": "С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $\Delta T_{\max}$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "1,20"}, "text": "Для каждого из материалов найдите $\Delta T_{\max}$ для каждой из температур $T_0$. Для того, чтобы в будущем улучшить условия проведения эксперимента, учёные хотят узнать, из-за чего в первую очередь теплота передаётся от образца окружающей среде — из-за теплопроводности или излучения. Для этого как раз можно использовать полученные значения $\Delta T_{\max}$. Можно показать, что если доминирующий вклад вносит теплопроводность, то $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{\sqrt{T_0}}$, а если излучение, то $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{T_0^3}$. Попробуем приблизить $\Delta T_{\max}$ степенной зависимостью $\Delta T_{\max}\propto\cfrac1{T_0^m}$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "0,80"}, "text": "Для каждого из материалов найдите $m$. Что вносит в теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад — теплопроводность или излучение? Подчеркните правильный вариант в листе ответов."}]}
answer: [{"condition": "С помощью метода наименьших квадратов получите формулы для нахождения коэффициентов $A$ и $B$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа. ", "solution": {"text": "Согласно методу, описанному в условии, составляем систему уравнений:\[\begin{array}l \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial A}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial B}=0\end{cases},\quadгде\quad S=\sum_i\left(\Delta T_{i\ \mathrm{exp}}-\Delta T_{i\ \mathrm{th}}(d_i, A, B)\right)^2=\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2\end{array}\]Таким образом, система примет вид:\[\begin{cases} \cfrac\partial{\partial A}\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2=0\\\cfrac\partial{\partial B}\sum_i\left(\Delta T_i-Ad_i+BT_0^{1/2}d_i^{3/2}\right)^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_id_i-Ad_i^2+BT_0^{1/2}d_i^{5/2}\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{3/2}-Ad_i^{5/2}+BT_0^{1/2}d_i^3\right)\end{cases}\]Это — система линейных уравнений относительно коэффициентов $A$ и $B$. Коэффициенты в ней представляют собой необходимые произведения вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$. Через средние значения этих произведений по экспериментальной выборке эта система записывается несколько элегантнее в виде:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta Td}-A\overline{d^2}+BT_0^{1/2}\overline{d^{5/2}}\\0=\overline{\Delta Td^{3/2}}-A\overline{d^{5/2}}+BT_0^{1/2}\overline{d^3}\end{cases}\]Решая эту систему, получим окончательно:\[\begin{array}lA=\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^{5/2}}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^3}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\\B=\cfrac1{\sqrt{T_0}}\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^2}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^{5/2}}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\end{array}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\begin{array}lA=\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^{5/2}}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^3}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\\B=\cfrac1{\sqrt{T_0}}\cfrac{\overline{\Delta Td^{3/2}}\cdot\overline{d^2}-\overline{\Delta Td}\cdot\overline{d^{5/2}}}{\overline{d^{5/2}}^2-\overline{d^2}\cdot\overline{d^3}}\end{array}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ и $B$ для каждой из температур $T_0$. ", "solution": {"text": "$T_0=273~К$$\overline\dots$$d,~мкм$20406080100120140160180200 $\Delta T,~К$0.1380.2660.3940.5320.6620.7770.8310.9541.1371.1890.688$\Delta Td,~К\cdotмкм$2.7610.6423.6442.5666.2093.24116.34152.64204.66237.8095.05$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$12.34672918311380.67662.001021.391376.551930.762745.803363.001174.29$d^2,~мкм^2$40016003600640010000144001960025600324004000015400$d^{5/2},~мкм^{5/2}$1788.8510119.2927885.4857243.34100000.00157744.10231910.33323817.23434691.61565685.42191088.57$d^3,~мкм^3$8000640002160005120001000000172800027440004096000583200080000002420000 $T_0=323~К$$\overline\dots$$d,~мкм$20406080100120140160180200 $\Delta T,~К$0.1370.2710.3900.4960.5770.7190.7880.8771.0461.0980.640$\Delta Td,~К\cdotмкм$2.7410.8423.4039.6857.7086.28110.32140.32188.28219.6087.92$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$12.2568.56181.26354.91577.00945.151305.321774.922526.043105.611085.10$d^2,~мкм^2$40016003600640010000144001960025600324004000015400$d^{5/2},~мкм^{5/2}$1788.8510119.2927885.4857243.34100000.00157744.10231910.33323817.23434691.61565685.42191088.57$d^3,~мкм^3$8000640002160005120001000000172800027440004096000583200080000002420000 $T_0=373~К$$\overline\dots$$d,~мкм$20406080100120140160180200 $\Delta T,~К$0.1390.2670.3730.4830.5630.6760.7600.8560.9011.0230.604$\Delta Td,~К\cdotмкм$2.7810.6822.3838.6456.3081.12106.40136.96162.18204.6082.20$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$12.4367.55173.35345.61563.00888.631258.941732.422175.872893.481011.13$d^2,~мкм^2$40016003600640010000144001960025600324004000015400$d^{5/2},~мкм^{5/2}$1788.8510119.2927885.4857243.34100000.00157744.10231910.33323817.23434691.61565685.42191088.57$d^3,~мкм^3$8000640002160005120001000000172800027440004096000583200080000002420000 | $T\_0\=273\~К$ | | | | | | | | | | | $\\overline\\dots$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $d,\~мкм$ | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | | | $\\Delta T,\~К$ | 0\.138 | 0\.266 | 0\.394 | 0\.532 | 0\.662 | 0\.777 | 0\.831 | 0\.954 | 1\.137 | 1\.189 | 0\.688 | | $\\Delta Td,\~К\\cdotмкм$ | 2\.76 | 10\.64 | 23\.64 | 42\.56 | 66\.20 | 93\.24 | 116\.34 | 152\.64 | 204\.66 | 237\.80 | 95\.05 | | $\\Delta Td^{3/2},\~К\\cdotмкм^{3/2}$ | 12\.34 | 6729 | 18311 | 380\.67 | 662\.00 | 1021\.39 | 1376\.55 | 1930\.76 | 2745\.80 | 3363\.00 | 1174\.29 | | $d^2,\~мкм^2$ | 400 | 1600 | 3600 | 6400 | 10000 | 14400 | 19600 | 25600 | 32400 | 40000 | 15400 | | $d^{5/2},\~мкм^{5/2}$ | 1788\.85 | 10119\.29 | 27885\.48 | 57243\.34 | 100000\.00 | 157744\.10 | 231910\.33 | 323817\.23 | 434691\.61 | 565685\.42 | 191088\.57 | | $d^3,\~мкм^3$ | 8000 | 64000 | 216000 | 512000 | 1000000 | 1728000 | 2744000 | 4096000 | 5832000 | 8000000 | 2420000 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $T\_0,\~К$ | 273 | 323 | 373 | | --- | --- | --- | --- | | $A,\~\\cfracК{мм}$ | 7\.46 | 7\.18 | 7\.59 | | $B,\~\\cfrac{К^{1/2}}{мм^{3/2}}$ | 0\.199 | 0\.208 | 0\.298 | Ответ: $T_0,~К$273323373$A,~\cfracК{мм}$7.467.187.59$B,~\cfrac{К^{1/2}}{мм^{3/2}}$0.1990.2080.298"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Выясните, можно ли по результатам эксперимента заключить, что теплопроводность $\varkappa_\perp$ зависит от температуры, в листе ответов подчеркните правильный вариант (обе стороны неравенства должны быть явно вычислены в решении). Найдите среднее арифметическое $\overline A$ и вычислите по нему теплопроводность $\varkappa_\perp$. ", "solution": {"text": "Подставляем числа (учитывая, что $T_{0\max}=373~К$, $d_\max=0.2~мм$):\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2}\implies0.41~\cfracК{мм} < 2.03~\cfracК{мм}~-~зависит~/~\underline{не~зависит}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline A=7.41~\cfracК{мм}\\\ \\\varkappa_\perp=53.3~\cfrac{мВт}{м\cdotК}\ne\varkappa_\perp(T_0)\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выполните пункты $\bf A2$ и $\bf A3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$. ", "solution": {"text": "$T_0=273~К$$\overline\dots$$d,~мкм$20406080100120140160180200 $\Delta T,~К$0.1910.3810.5710.7640.9461.1001.3041.4431.5771.8091.009$\Delta Td,~К\cdotмкм$3.8215.2434.2661.1294.60132.00182.56230.88283.86361.80140.01$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$17.0896.39265.38546.67946.001445.992160.082920.433808.385116.621732.30$d^2,~мкм^2$40016003600640010000144001960025600324004000015400$d^{5/2},~мкм^{5/2}$1788.8510119.2927885.4857243.34100000.00157744.10231910.33323817.23434691.61565685.42191088.57$d^3,~мкм^3$8000640002160005120001000000172800027440004096000583200080000002420000 $T_0=323~К$$\overline\dots$$d,~мкм$20406080100120140160180200 $\Delta T,~К$0.1950.3840.5660.7270.9071.0831.2021.3541.5181.7010.964$\Delta Td,~К\cdotмкм$3.915.3633.9658.1690.7129.96168.28216.64273.24340.2133.04$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$17.4497.15263.05520.20907.001423.641991.122740.303665.904811.151643.70$d^2,~мкм^2$40016003600640010000144001960025600324004000015400$d^{5/2},~мкм^{5/2}$1788.8510119.2927885.4857243.34100000.00157744.10231910.33323817.23434691.61565685.42191088.57$d^3,~мкм^3$8000640002160005120001000000172800027440004096000583200080000002420000 $T_0=373~К$$\overline\dots$$d,~мкм$20406080100120140160180200 $\Delta T,~К$0.2010.3670.5490.7330.8771.0371.1721.3301.4391.6290.933$\Delta Td,~К\cdotмкм$4.0214.6832.9458.6487.70124.44164.08212.80259.02325.80128.41$\Delta Td^{3/2},~К\cdotмкм^{3/2}$17.9892.84255.15524.49877.001363.171941.422691.733475.124607.511584.64$d^2,~мкм^2$40016003600640010000144001960025600324004000015400$d^{5/2},~мкм^{5/2}$1788.8510119.2927885.4857243.34100000.00157744.10231910.33323817.23434691.61565685.42191088.57$d^3,~мкм^3$8000640002160005120001000000172800027440004096000583200080000002420000 Подставляем числа (учитывая, что $T_{0\max}=373~К$, $d_\max=0.2~мм$):\[\Delta A < \overline BT_{0\max}^{1/2}d_\max^{1/2}\implies0.23~\cfracК{мм} < 2.17~\cfracК{мм}~-~зависит~/~\underline{не~зависит}\] | $T\_0\=273\~К$ | | | | | | | | | | | $\\overline\\dots$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $d,\~мкм$ | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | | | $\\Delta T,\~К$ | 0\.191 | 0\.381 | 0\.571 | 0\.764 | 0\.946 | 1\.100 | 1\.304 | 1\.443 | 1\.577 | 1\.809 | 1\.009 | | $\\Delta Td,\~К\\cdotмкм$ | 3\.82 | 15\.24 | 34\.26 | 61\.12 | 94\.60 | 132\.00 | 182\.56 | 230\.88 | 283\.86 | 361\.80 | 140\.01 | | $\\Delta Td^{3/2},\~К\\cdotмкм^{3/2}$ | 17\.08 | 96\.39 | 265\.38 | 546\.67 | 946\.00 | 1445\.99 | 2160\.08 | 2920\.43 | 3808\.38 | 5116\.62 | 1732\.30 | | $d^2,\~мкм^2$ | 400 | 1600 | 3600 | 6400 | 10000 | 14400 | 19600 | 25600 | 32400 | 40000 | 15400 | | $d^{5/2},\~мкм^{5/2}$ | 1788\.85 | 10119\.29 | 27885\.48 | 57243\.34 | 100000\.00 | 157744\.10 | 231910\.33 | 323817\.23 | 434691\.61 | 565685\.42 | 191088\.57 | | $d^3,\~мкм^3$ | 8000 | 64000 | 216000 | 512000 | 1000000 | 1728000 | 2744000 | 4096000 | 5832000 | 8000000 | 2420000 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $T\_0,\~К$ | 273 | 323 | 373 | | --- | --- | --- | --- | | $A,\~\\cfracК{мм}$ | 10\.37 | 10\.44 | 10\.60 | | $B,\~\\cfrac{К^{1/2}}{мм^{3/2}}$ | 0\.197 | 0\.256 | 0\.300 | \\\[\\overline A\=10\.47\~\\cfracК{мм}\\\\\\varkappa\_\\perp\=37\.7\~\\cfrac{мВт}{м\\cdotК}\\ne\\varkappa\_\\perp(T\_0\)\\] Ответ: $T_0,~К$273323373$A,~\cfracК{мм}$10.3710.4410.60$B,~\cfrac{К^{1/2}}{мм^{3/2}}$0.1970.2560.300 \[\overline A=10.47~\cfracК{мм}\\\varkappa_\perp=37.7~\cfrac{мВт}{м\cdotК}\ne\varkappa_\perp(T_0)\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,70"}, {"condition": "С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $A$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа. ", "solution": {"text": "Согласно методу, описанному в условии, составляем систему уравнений:\[\begin{array}l \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial A}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial B}=0\end{cases},\quadгде\quad S=\sum_i\left(\Delta T_{i\ \mathrm{exp}}-\Delta T_{i\ \mathrm{th}}(d_i, A, B)\right)^2=\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2\end{array}\]Таким образом, система примет вид:\[\begin{cases} \cfrac\partial{\partial A}\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2=0\\\cfrac\partial{\partial B}\sum_i\left(\Delta T_i-\cfrac A{d_i}+\cfrac B{d_i^2}\right)^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{-1}-Ad_i^{-2}+Bd_i^{-3}\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i^{-2}-Ad_i^{-3}+Bd_i^{-4}\right)\end{cases}\]Это — система линейных уравнений относительно коэффициентов $A$ и $B$. Коэффициенты в ней представляют собой необходимые произведения вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$. Через средние значения этих произведений по экспериментальной выборке эта система записывается несколько элегантнее в виде:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta Td^{-1}}-A\overline{d^{-2}}+B\overline{d^{-3}}\\0=\overline{\Delta Td^{-2}}-A\overline{d^{-3}}+B\overline{d^{-4}}\end{cases}\]Решая эту систему относительно $A$, получим окончательно:\[A=\frac{\overline{\Delta Td^{-2}}\cdot\overline{d^{-3}}-\overline{\Delta Td^{-1}}\cdot\overline{d^{-4}}}{\overline{d^{-3}}^2-\overline{d^{-2}}\cdot\overline{d^{-4}}}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A=\frac{\overline{\Delta Td^{-2}}\cdot\overline{d^{-3}}-\overline{\Delta Td^{-1}}\cdot\overline{d^{-4}}}{\overline{d^{-3}}^2-\overline{d^{-2}}\cdot\overline{d^{-4}}}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Для сульфида молибдена $\rm(MoS_2)$ найдите $A$ для каждой из температур $T_0$. Отсюда для каждой $T_0$ найдите значения $\varkappa_\parallel$. Найдите коэффициент анизотропии теплопроводности $\rho=\cfrac{\varkappa_\parallel}{\varkappa_\perp}$ при температуре $T_0=273\ К$. ", "solution": {"text": "$T_0=273~К$$\overline\dots$$d,~мкм$120140160180200 $\Delta T,~К$1.3721.1571.0550.9480.846 $\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$11.438.266.595.274.237.16$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$95.2859.0341.2129.2621.1549.19$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$69.4451.0239.0630.8625.0043.08$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$578.70364.43244.14171.47125.00296.75$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$4.8232.6031.5260.9530.6252.106 $T_0=323~К$$\overline\dots$$d,~мкм$120140160180200 $\Delta T,~К$1.4071.2471.1441.0190.948 $\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$11.738.917.155.664.747.64$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$97.7163.6244.6931.4523.7052.23$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$69.4451.0239.0630.8625.0043.08$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$578.70364.43244.14171.47125.00296.75$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$4.8232.6031.5260.9530.6252.106 $T_0=373~К$$\overline\dots$$d,~мкм$120140160180200 $\Delta T,~К$1.4551.3561.1941.1071.024 $\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$12.139.697.466.155.128.11$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$101.0469.1846.6434.1725.6055.33$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$69.4451.0239.0630.8625.0043.08$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$578.70364.43244.14171.47125.00296.75$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$4.8232.6031.5260.9530.6252.106 | $T\_0\=273\~К$ | | | | | | $\\overline\\dots$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $d,\~мкм$ | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | | | $\\Delta T,\~К$ | 1\.372 | 1\.157 | 1\.055 | 0\.948 | 0\.846 | | | $\\Delta Td^{\-1},\~10^{\-3}\~К\\cdotмкм^{\-1}$ | 11\.43 | 8\.26 | 6\.59 | 5\.27 | 4\.23 | 7\.16 | | $\\Delta Td^{\-2},\~10^{\-6}\~К\\cdotмкм^{\-2}$ | 95\.28 | 59\.03 | 41\.21 | 29\.26 | 21\.15 | 49\.19 | | $d^{\-2},\~10^{\-6}\~мкм^{\-2}$ | 69\.44 | 51\.02 | 39\.06 | 30\.86 | 25\.00 | 43\.08 | | $d^{\-3},\~10^{\-9}\~мкм^{\-3}$ | 578\.70 | 364\.43 | 244\.14 | 171\.47 | 125\.00 | 296\.75 | | $d^{\-4},\~10^{\-9}\~мкм^{\-4}$ | 4\.823 | 2\.603 | 1\.526 | 0\.953 | 0\.625 | 2\.106 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $T\_0,\~К$ | 273 | 323 | 373 | | --- | --- | --- | --- | | $A,\~мкм\\cdotК$ | 179\.6 | 218\.8 | 247\.5 | | $\\varkappa\_\\parallel,\~\\cfrac{Вт}{м\\cdotК}$ | 52\.5 | 43\.1 | 38\.1 | \\\[\\rho\=9\.85\\cdot10^2\\] Ответ: $T_0,~К$273323373$A,~мкм\cdotК$179.6218.8247.5$\varkappa_\parallel,~\cfrac{Вт}{м\cdotК}$52.543.138.1 \[\rho=9.85\cdot10^2\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите $n$. ", "solution": {"text": "Вычислить по МНК коэффициенты $\varkappa_{\parallel,0}$ и $n$ для моделирующей функции вида:\[\varkappa_\parallel=\frac{\varkappa_{\parallel,0}}{T_0^n}\]можно с помощью стандартного калькулятора."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n=1.03\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выполните пункты $\bf B2$ и $\bf B3$ для сульфида вольфрама $\rm(WS_2)$. ", "solution": {"text": "$T_0=273~К$$\overline\dots$$d,~мкм$120140160180200160$\Delta T,~К$1.5961.4171.2841.1631.0841.309$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$13.3010.128.036.465.428.67$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$110.8372.3050.1635.9027.1059.26$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$69.4451.0239.0630.8625.0043.08$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$578.70364.43244.14171.47125.00296.75$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$4.8232.6031.5260.9530.6252.106 $T_0=323~К$$\overline\dots$$d,~мкм$120140160180200160$\Delta T,~К$1.6781.4821.3701.2551.1621.389$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$13.9810.598.566.975.819.18$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$116.5375.6153.5238.7329.0562.69$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$69.4451.0239.0630.8625.0043.08$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$578.70364.43244.14171.47125.00296.75$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$4.8232.6031.5260.9530.6252.106 $T_0=373~К$$\overline\dots$$d,~мкм$120140160180200160$\Delta T,~К$1.7631.6071.5091.3551.3071.508$\Delta Td^{-1},~10^{-3}~К\cdotмкм^{-1}$14.6911.489.437.536.549.93$\Delta Td^{-2},~10^{-6}~К\cdotмкм^{-2}$122.4381.9958.9541.8232.6867.57$d^{-2},~10^{-6}~мкм^{-2}$69.4451.0239.0630.8625.0043.08$d^{-3},~10^{-9}~мкм^{-3}$578.70364.43244.14171.47125.00296.75$d^{-4},~10^{-9}~мкм^{-4}$4.8232.6031.5260.9530.6252.106 Вычислить по МНК коэффициенты $\varkappa_{\parallel,0}$ и $n$ для моделирующей функции вида:\[\varkappa_\parallel=\frac{\varkappa_{\parallel,0}}{T_0^n}\]можно с помощью стандартного калькулятора. | $T\_0\=273\~К$ | | | | | | $\\overline\\dots$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $d,\~мкм$ | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 160 | | $\\Delta T,\~К$ | 1\.596 | 1\.417 | 1\.284 | 1\.163 | 1\.084 | 1\.309 | | $\\Delta Td^{\-1},\~10^{\-3}\~К\\cdotмкм^{\-1}$ | 13\.30 | 10\.12 | 8\.03 | 6\.46 | 5\.42 | 8\.67 | | $\\Delta Td^{\-2},\~10^{\-6}\~К\\cdotмкм^{\-2}$ | 110\.83 | 72\.30 | 50\.16 | 35\.90 | 27\.10 | 59\.26 | | $d^{\-2},\~10^{\-6}\~мкм^{\-2}$ | 69\.44 | 51\.02 | 39\.06 | 30\.86 | 25\.00 | 43\.08 | | $d^{\-3},\~10^{\-9}\~мкм^{\-3}$ | 578\.70 | 364\.43 | 244\.14 | 171\.47 | 125\.00 | 296\.75 | | $d^{\-4},\~10^{\-9}\~мкм^{\-4}$ | 4\.823 | 2\.603 | 1\.526 | 0\.953 | 0\.625 | 2\.106 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $T\_0,\~К$ | 273 | 323 | 373 | | --- | --- | --- | --- | | $A,\~мкм\\cdotК$ | 250\.0 | 276\.7 | 325\.7 | | $\\varkappa\_\\parallel,\~\\cfrac{Вт}{м\\cdotК}$ | 37\.7 | 34\.1 | 29\.0 | \\\[\\rho\=1\.000\\cdot10^3\\\\n\=1\.02\\] Ответ: $T_0,~К$273323373$A,~мкм\cdotК$250.0276.7325.7$\varkappa_\parallel,~\cfrac{Вт}{м\cdotК}$37.734.129.0 \[\rho=1.000\cdot10^3\\n=1.02\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "С помощью метода наименьших квадратов получите формулу для нахождения коэффициента $\Delta T_{\max}$ для каждого значения температуры $T_0$ и для каждого из материалов. Ответ выразите через средние по выборке значения произведений вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$, где $k_{1,2}$ — некоторые числа. ", "solution": {"text": "Согласно методу, описанному в условии, составляем систему уравнений:\[\begin{array}l \begin{cases} \cfrac{\partial S}{\partial\left( \Delta T_\max\right)}=0\\ \cfrac{\partial S}{\partial C}=0\end{cases},\quadгде\quad S=\sum_i\left(\Delta T_{i\ \mathrm{exp}}-\Delta T_{i\ \mathrm{th}}(d_i, A, B)\right)^2=\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2\end{array}\]Таким образом, система примет вид:\[\begin{cases} \cfrac\partial{\partial \left(\Delta T_\max\right)}\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2=0\\\cfrac\partial{\partial C}\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)^2=0\end{cases}\implies\begin{cases}0=\sum_i\left(\Delta T_i-\Delta T_\max+Cd_i\right)\\0=\sum_i\left(\Delta T_id_i-\Delta T_\max d_i+Cd_i^2\right)\end{cases}\]Это — система линейных уравнений относительно коэффициентов $A$ и $B$. Коэффициенты в ней представляют собой необходимые произведения вида $\Delta T^{k_1}d^{k_2}$. Через средние значения этих произведений по экспериментальной выборке эта система записывается несколько элегантнее в виде:\[\begin{cases}0=\overline{\Delta T}-\Delta T_\max+C\overline d\\0=\overline{\Delta Td}-\Delta T_\max\overline d+C\overline{d^2}\end{cases}\]Решая эту систему относительно $\Delta T_\max$, получим окончательно:\[\Delta T_\max=\frac{\overline{\Delta T}\cdot\overline{d^2}-\overline d\cdot\overline{\Delta Td}}{\overline{d^2}-\overline d^2}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta T_\max=\frac{\overline{\Delta T}\cdot\overline{d^2}-\overline d\cdot\overline{\Delta Td}}{\overline{d^2}-\overline d^2}\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Для каждого из материалов найдите $\Delta T_{\max}$ для каждой из температур $T_0$. ", "solution": {"text": "Можно, конечно, воспользоваться формулой из предыдущего пункта, но так как моделирующая функция — это попросту линейная зависимость, величину $\Delta T_\max$ можно вычислить по МНК и с помощью стандартного калькулятора. | $T\_0,\~К$ | 273 | 323 | 373 | | --- | --- | --- | --- | | $\\overset{\\mathrm{MoS\_2:}}{\\Delta T\_\\max,\~К}$ | 2\.841 | 2\.451 | 2\.159 | | $\\overset{\\mathrm{WS\_2:}}{\\Delta T\_\\max,\~К}$ | 3\.155 | 2\.679 | 2\.293 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $T\_0,\~К$ | 273 | 323 | 373 | | --- | --- | --- | --- | | $\\overset{\\mathrm{MoS\_2:}}{\\Delta T\_\\max,\~К}$ | 2\.841 | 2\.451 | 2\.159 | | $\\overset{\\mathrm{WS\_2:}}{\\Delta T\_\\max,\~К}$ | 3\.155 | 2\.679 | 2\.293 | Ответ: $T_0,~К$273323373$\overset{\mathrm{MoS_2:}}{\Delta T_\max,~К}$2.8412.4512.159$\overset{\mathrm{WS_2:}}{\Delta T_\max,~К}$3.1552.6792.293"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Для каждого из материалов найдите $m$. Что вносит в теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад — теплопроводность или излучение? Подчеркните правильный вариант в листе ответов. ", "solution": {"text": "Вычислить по МНК коэффициенты $\Delta T_{\max,0}$ и $m$ для моделирующей функции вида:\[\Delta T_\max=\frac{\Delta T_{\max,0}}{T_0^m}\]можно с помощью стандартного калькулятора. Получим в итоге:для $\rm MoS_2$, $m=0.88$ – основной вклад вносит $\underline{теплопроводность}$ / излучение;для $\rm WS_2$, $m=0.83$ – основной вклад вносит $\underline{теплопроводность}$ / излучение. | Материал | $\\rm MoS\_2$ | $\\rm WS\_2$ | | --- | --- | --- | | $m$ | 0\.88 | 0\.83 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | Материал | $\\rm MoS\_2$ | $\\rm WS\_2$ | | --- | --- | --- | | $m$ | 0\.88 | 0\.83 | В теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад вносит теплопроводность. Ответ: Материал$\rm MoS_2$$\rm WS_2$$m$0.880.83 В теплопередачу между образцом и окружающей средой основной вклад вносит теплопроводность."]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "0,80"}]