text: {"text": [{"text": "На длинном тонкостенном диэлектрическом цилиндре радиуса $R$, длины $L \gg R$ и массы $M$ размещён электрический заряд с одинаковой поверхностной плотностью $\sigma~(Кл / м^{2})$. Цилиндр может свободно (без трения) вращаться вокруг своей оси под действием груза массы $m$, подвешенного на невесомой нити, намотанной на цилиндр (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите ускорение груза. Магнитную постоянную $\mu_{0}$ считать заданной."}]}
answer: [{"condition": "Определите ускорение груза. Магнитную постоянную $\mu_{0}$ считать заданной. ", "solution": {"text": "При вращении цилиндра возникает круговой ток, создающий магнитное поле внутри цилиндра. Полная сила тока, текущего по поверхности цилиндра, равна $I=\sigma v L$, где $v$ - линейная скорость зарядов. Ток, приходящийся на единицу длины цилиндра, $i=I / L=\sigma v$. Магнитное поле $B$ внутри цилиндра совпадает с магнитным полем длинной катушки: $$ \mathrm{B}=\frac{\mu_{0} I}{L}=\mu_{0} \sigma v. $$ Плотность магнитной энергии $w_{М}=B^{2} /\left(2 \mu_{0}\right)=\mu_{0} \sigma^{2} v^{2} / 2$. Полная энергия магнитного поля $W_{М}=w_{М} \cdot \pi R^{2} L=k v^{2} / 2$, где $$ k=\pi \mu_{0} \sigma^{2} R^{2} L. $$ Кинетическая энергия вращающегося цилиндра и груза $$ W_{К}=(m+M) v^{2} / 2. $$ Если координатную ось $x$ направить вниз, то потенциальная энергия груза запишется в виде $$ W_{П}=-m g x+\text { const}. $$ Запишем теперь закон сохранения энергии, включая механическую энергию вращающегося цилиндра и груза и энергию магнитного поля внутри цилиндра: $$ W_{К}+W_{П}+W_{М}=\mathrm{const} \quad или \quad(m+M+k) \frac{v^{2}}{2}-m g x=\mathrm{const}. $$ Принимая во внимание, что $v=\frac{d x}{d t}$ и $a=\frac{d v}{d t}$, продифференцировав это уравнение по времени, получим: $$ a=\frac{m g}{m+M+k}=\frac{m g}{m+M+\pi \mu_{0} \sigma^{2} R^{2} L}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a=\frac{m g}{m+M+\pi \mu_{0} \sigma^{2} R^{2} L} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]