text: {"text": [{"text": "Адиабатическая атмосфера — атмосфера, находящаяся в равновесии, в которой возможные перемещения воздушных масс происходят без теплообмена друг с другом. В стандартной модели адиабатической атмосферы рассматривается равновесие сухого воздуха. В действительности, в воздухе содержится водяной пар, который, достигая насыщения, конденсируется. Конденсация пара приводит к тому, что величина температурного градиента существенно отличается от полученного в модели сухого воздуха. Учёт содержания водяных паров в атмосфере и является основой данной задачи. Во всех пунктах задачи считайте для любой точки атмосферы верным, что: 1) температуры воздуха и водяных паров равны; 2) отношение плотности водяных паров к плотности воздуха $\cfrac{\rho_\text{п}}{\rho_\text{в}}=\alpha\ll{1}$. Считайте известными следующие данные: 1) ускорение свободного падения $g=9.8~м/с^2$; 2) атмосферное давление на поверхности Земли $p_0=1.01\cdot{10^5}~\text{Па}$; 3) ненасыщенный водяной пар является идеальным трёхатомным газом с молярной массой $\mu_\text{п}=18~г/моль$ с показателем адиабаты $\gamma_\text{п}$; 4) воздух является идеальным двухатомным газом с молярной массой $\mu_\text{в}=29~г/моль$ с показателем адиабаты $\gamma_\text{в}$; 5) универсальная газовая постоянная $R=8.31~Дж/(моль\cdot К)$; 6) удельная теплоёмкость воды равна $c=4200~Дж/(кг\cdot К)$ и не зависит от температуры; 7) удельная теплота парообразования воды при $T_n=273~\text{К}$ равна $\lambda_n=2.491\cdot{10^6}~Дж/кг$. 8) график зависимости давления водяных паров от температуры $p_\text{н.п}(T)$ в диапазоне температур $273~\text{К}-293~\text{К}$ представлен на рисунке ниже: <img_0>"}, {"text": "Часть A. Определение точки конденсации (2.5 балла) Рассмотрим адиабатическую атмосферу, состоящую из сухого воздуха. На поверхности Земли температура воздуха равна $T_0$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите температуру воздуха $T_\text{в}$ на высоте $h$ над поверхностью Земли. Ответ выразите через $T_0$, $g$, $\mu_\text{в}$, $R$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{в}$. Далее в рамках данной части задачи температура зависит от высоты по закону, найденному в пункте $\textbf{A1}$. Также в рамках данной части задачи считайте, что механически водяной пар не взаимодействует с воздухом. Пусть относительная влажность паров $\varphi=\cfrac{p_\text{п}}{p_\text{н.п}}$ на поверхности Земли равна $\varphi_0$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите зависимость давления водяных паров от температуры $p_\text{п}(T)$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$."}, {"text": "Часть B. Конденсация водяных паров(5.5 балла) После насыщения водяной пар начинает конденсироваться. Это существенно искажает вид зависимости $T_\text{в}(h)$, найденный в пункте $\textbf{A1}$. Считайте, что весь сконденсировавшийся водяной пар мгновенно выпадает в виде осадков. Для исследования конденсации водяных паров необходимо учесть, что удельная теплота парообразования отличается от значения, известного для $T_n=273~\text{К}$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Используя график зависимости $p_\text{н.п}(T)$, найдите для $\varphi_0=65\text{%}$ и $T_0=287~\text{К}$ высоту $h$ над поверхностью Земли, на которой пар становится насыщенным."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Удельная теплота парообразования зависит от температуры $T$ следующим образом: $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n) $$ Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$. $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. Рассмотрим воздушную массу $m_\text{в}$, находящуюся в равновесии. В объёме воздуха $V_\text{в}$ отношение массы водяного пара в выделенной массе сухого воздуха $\alpha=\cfrac{m_\text{п}}{m_\text{в}}$ зависит от высоты $h$, т.е $\alpha=\alpha(h)$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,50"}, "text": "Покажите, что при перемещении выделенной воздушной массы количество теплоты, полученное системой, заключённой в её объёме, можно представить так: $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$ $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$ $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$ $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$ $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$ $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$ $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right) $$"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите $\cfrac{d\alpha}{dz}$. Ответ выразите через $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $P_\text{в}$, $P_\text{н.п}$, $\cfrac{dP_\text{н.п}}{dT}$, $\cfrac{dT}{dz}$ и $\cfrac{dP_\text{в}}{dz}$"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите температурный градиент $\cfrac{dT}{dz}$. Ответ выразите через $\alpha$, $g$, $R$, $\gamma_\text{в}$, $T$, $\mu_\text{в}$, $\mu_\text{п}$ и $\lambda(T)$. На приведённом графике приведена зависимость температуры $T$ в атмосфере от высоты $h$ над поверхностью Земли. Разметка координатных осей неизвестна. Излом на графике происходит при температуре $T_1=283~\text{К}$, а начало координат соответствует поверхности Земли (см.рис). <img_1>"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,80"}, "text": "Найдите температуру $T_0$ на поверхности Земли."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,70"}, "text": "Оцените, на какой высоте $h_2$ начинает выпадать снег."}]}
answer: [{"condition": "Найдите температуру воздуха $T_\text{в}$ на высоте $h$ над поверхностью Земли. Ответ выразите через $T_0$, $g$, $\mu_\text{в}$, $R$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{в}$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим перемещение порции воздуха на высоту $h$: $$P_1dV_1-P_2dV_2=\frac{C_Vdm}{\mu_\text{в}}(T-T_0)+dmgh $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=T_0-\frac{\mu_\text{в}gh}{C_P}=T_0-\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}gh}{\gamma_\text{в}R} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите зависимость давления водяных паров от температуры $p_\text{п}(T)$.  Ответ выразите через $\varphi_0$, $p_{\text{п}0}$, $T_0$, $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $\gamma_\text{в}$ и $T$. ", "solution": {"text": "Из условия равновесия пара получим: $$dP_\text{п}=-\rho_\text{п}gdh $$ откуда: $$\frac{dP_\text{п}}{P_\text{п}}=\frac{\mu_\text{п}\gamma_\text{в}}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}\frac{dT}{T} $$ Интегрируя, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$P_\text{п}=\varphi_0P_{\text{п}0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\mu_\text{п}\gamma_\text{в}}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}} $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Используя график зависимости $p_\text{н.п}(T)$, найдите для $\varphi_0=65\text{%}$ и $T_0=287~\text{К}$ высоту $h$ над поверхностью Земли, на которой пар становится насыщенным. ", "solution": {"text": "Решая уравнений графически, находим: $$T_\text{нас}\approx{6{,6}^\circ C} $$ Тогда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h=\displaystyle\frac{\gamma_\text{в}R(T_0-T_\text{нас})}{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}\approx{757~\text{м}} $$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Удельная теплота парообразования зависит от  температуры $T$ следующим образом:  $$\lambda(T)=\lambda_n+k(T-T_n)  $$  Найдите $k$. Ответ выразите через $c$, $R$, $\mu_\text{п}$ и показатель адиабаты $\gamma_\text{п}$.  $\textit{Примечание:}$ если вы не можете решить этот пункт, то в дальнейшем считайте, что $\lambda=\lambda_n=const$. К потере баллов это не приводит. ", "solution": {"text": "Количество теплоты, требуемое для испарения массы $m$ равняется: $$Q=U_\text{п}-U_\text{ж}+A $$ Поскольку плотностью воды можно пренебречь: $$A=pV=\displaystyle\frac{mRT}{\mu} $$ Поскольку жидкость слабо сжимаема, количество теплоты, необходимое для её нагревания в любом процессе, с хорошей точностью пропорционально изменению её внутренней энергии: $$U_\text{ж}(T_2)-U_\text{ж}(T_1)=cm(T_2-T_1) $$ тогда $$U_\text{ж}(T)=cmT+mC $$ где $C$ - некоторая постоянная величина Тогда: $$Q=mC+m\left(\displaystyle\frac{\gamma_\text{п}R}{\mu_\text{п}(\gamma_\text{п}-1)}-c\right)T=\lambda(T)m $$ Определяя $C$ из начальных условий, находим: $$\lambda(T)=\lambda_n+\left(c-\frac{\gamma_\text{п}R}{(\gamma_\text{п}-1)\mu_\text{п}}\right)(T_n-T) $$ Получим ответ:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$k=\frac{\gamma_\text{п}R}{(\gamma_\text{п}-1)\mu_\text{п}}-c $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Покажите, что при перемещении выделенной воздушной массы количество теплоты, полученное системой, заключённой в её объёме, можно представить так:  $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda d\alpha\right)  $$ ", "solution": {"text": "Для подведённого к системе количества теплоты имеем: $$\delta{Q}=\frac{C_Vm_\text{в}}{\mu_\text{в}}+P_\text{в}dV_\text{в}+\lambda(T)dm_\text{п} $$ или же $$\delta{Q}=\frac{C_Pm_\text{в}}{\mu_\text{в}}dT-V_\text{в}dP_\text{в}+\lambda(T)dm_\text{п} $$ Из условия равновесия воздуха: $$dP_\text{в}=-\rho_\text{в}gdh $$ откуда: $$\delta{Q}=m_\text{в}\left(\frac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}dT+gdz+\lambda(T)d\alpha\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите $\cfrac{d\alpha}{dz}$. Ответ выразите через $\mu_\text{п}$, $\mu_\text{в}$, $P_\text{в}$, $P_\text{н.п}$, $\cfrac{dP_\text{н.п}}{dT}$, $\cfrac{dT}{dz}$ и $\cfrac{dP_\text{в}}{dz}$ ", "solution": {"text": "Для $\alpha$ с учётом уравнения состояния имеем: $$\alpha=\frac{m_\text{п}}{m_\text{в}}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\frac{P_\text{п}}{P_\text{в}} $$ Дифференцируя: $$\frac{d\alpha}{dz}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\left(\frac{1}{P_\text{в}}\frac{dP_\text{п}}{dz}-\frac{P_\text{п}}{P^2_\text{в}}\frac{dP_\text{в}}{dz}\right) $$ Рассмотрим производную давления пара по высоте как производную сложной функции: $$\frac{dP_\text{п}}{dz}=\frac{dP_\text{п}}{dT}\frac{dT}{dz} $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{d\alpha}{dz}=\frac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\left(\frac{1}{P_\text{в}}\frac{dP_\text{п}}{dT}\frac{dT}{dz}-\frac{P_\text{п}}{P^2_\text{в}}\frac{dP_\text{в}}{dz}\right) $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите температурный градиент $\cfrac{dT}{dz}$. Ответ выразите через $\alpha$, $g$, $R$, $\gamma_\text{в}$, $T$, $\mu_\text{в}$, $\mu_\text{п}$ и  $\lambda(T)$. ", "solution": {"text": "Приравнивая $\delta{Q}$ к нулю, находим: $$\frac{dT}{dz}=-\cfrac{g-\lambda \cfrac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\cfrac{P_\text{п}}{P^2_\text{в}}\cfrac{dP_\text{в}}{dz}}{\cfrac{\gamma_\text{в}R}{\mu_\text{в}(\gamma_\text{в}-1)}+\lambda \cfrac{\mu_\text{п}}{\mu_\text{в}}\cfrac{1}{P_\text{в}}\cfrac{dP_\text{п}}{dT}} $$ Величину $\frac{dP_\text{п}}{dT}$ найдём из уравнения Клапейрона - Клаузиуса: $$\frac{dP_\text{п}}{dT}=\frac{\mu_\text{п}\lambda(T)P_\text{п}}{RT^2} $$ После подстановки которой получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{dT}{dz}=-\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}{\gamma_\text{в} R}\frac{\left(1+\cfrac{\lambda(T)\mu_\text{в}\alpha}{RT}\right)}{\left(1+\cfrac{\lambda(T)\mu_\text{п}\alpha}{RT}\cfrac{(\gamma_\text{в}-1)\lambda(T)\mu_\text{в}}{\gamma_\text{в}RT}\right)} $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите температуру $T_0$ на поверхности Земли. ", "solution": {"text": "Рассмотрим точку излома на графике. В этой точке $\alpha=\alpha_1$. Причиной излома является начало процесса конденсирования, в связи с чем для градиента температур слева от точки излома применима формула из части $A1$, а справа — формула из части $B4$. Тогда значение $\alpha_1$ можно найти из отношения угловых коэффициентов в точке излома: $$k=-\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{T\to T_{1}-0 } \displaystyle\frac{\gamma_\text{в}R}{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g} $$ откуда: $$\alpha_1=\displaystyle\frac{1-k}{\displaystyle\frac{\lambda(T_1)\mu_\text{п}}{RT_1}\left(k\displaystyle\frac{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}{\gamma_\text{в} R}\displaystyle\frac{\lambda(T_1)}{gT_1}-\displaystyle\frac{\mu_\text{в}}{\mu_\text{п}}\right)}\approx{1{,}01}\cdot{10^{-2}} $$ Далее: $$\alpha_1=\displaystyle\frac{\mu_\text{п}p_\text{н.п}(T_1)}{\mu_\text{в}p_\text{в}} $$ Из уравнения адиабаты для сухого воздуха имеем: $$p_\text{в}=p_0\left(\displaystyle\frac{T_1}{T_0}\right)^{\frac{\gamma_\text{в}}{\gamma_\text{в}-1}} $$ Тогда получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T_0=T_1\left(\displaystyle\frac{\alpha_1\mu_\text{в}p_0}{\mu_\text{п}p_\text{н.п}(T_1)}\right)^{\frac{\gamma_\text{в}-1}{\gamma_\text{в}}}\approx{309{,}2~\text{К}} $$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,80"}, {"condition": "Оцените, на какой высоте $h_2$ начинает выпадать снег. ", "solution": {"text": "Из углового коэффициента первого участка графика находим высоту $h_1$, соответствующую излому на графике: $$h_1=\displaystyle\frac{\gamma_\text{в}R(T_0-T_1)}{(\gamma_\text{в}-1)\mu_\text{в}g}\approx{2680~\text{м}} $$ Проведя прямую, соответствующую температуре $T_\text{пл}=273~\text{К}$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h_2\approx{4{,}69~\text{км}} $$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,70"}]