text: {"text": [{"text": "В стакан с водой опустили нагреватель и сняли зависимость температуры воды от времени (см. таблицу)."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "На сколько градусов остынет вода за $1$ мин, если нагреватель отключить от сети при температуре $t_1=50^\circ С$?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Закипит ли вода, если нагреватель не выключать достаточно долго? Мощность нагревателя считать неизменной."}]}
answer: [{"condition": "На сколько градусов остынет вода за $1$ мин, если нагреватель отключить от сети при температуре $t_1=50^\circ С$? ", "solution": {"text": "Мы считаем, что скорость отдачи тепла в окружающую среду пропорциональна резкости температур в ней. Поэтому: $$P_{отд}=-\alpha\left(T-T_0\right)$$Запишем уравнение теплового баланса в дифференциальной форме:$$C d T=\left(P_{отд}+P_{нагр}\right) d t$$$C$ — теплоемкость системы,$d T$ — изменение температуры,$ d t$ — малый промежуток времени.Или $$C \cdot \frac{d T}{d t}=P_{отд}+P_{нагр}=-\alpha\left(T-T_0\right)+P_{нагр}=\\=-\alpha T+\left(P_{нагр}+\alpha T_0\right) .$$Составим по графику таблицу $\frac{\Delta T}{\Delta t}$, где $\Delta t=1~мин$. $T,^\circ {\mathrm C}$2026.231.836.841.445.649.352.755.858.5$\frac{\Delta T}{\Delta t}, \frac{{ }^{\circ} \mathrm{C}}{мин}$6.25.65.04.64.23.73.43.12.72.6 Нанесем точки на график.Проводим прямую и получаем: $\frac{\Delta T}{\Delta t}=A T+B$, где $A=-0.0948 ~мин^{-1}$, $B=8.076\frac{^{\circ} \mathrm{C}}{мин} $$T_0=20^{\circ} \mathrm{C}$, потому что такая температура указана при $t=0~мин$$$\frac{\Delta T}{\Delta t} \approx \frac{1}{C}\left(-\alpha T+\left(P_{нагр}+\alpha T_0\right)\right) \\\alpha=\left[\begin{array}{ll}0.0948 & \frac{1}{мин}\end{array}\right] C \\P_{нагр}+\alpha T_0=\left[\begin{array}{lll}8.076 & \frac{^\circ \mathrm{C}}{мин}\end{array}\right] \mathrm{C}.$$Ответим на вопросы задачи.$1)$ Скорость остывания при $t_1=50~^\circ \mathrm{C}$ равна $-\alpha(t_1-T_0).$ Время $1~мин $ считаем малым, так что скорость остывания $\approx$ постоянна.$$C\Delta T_{t_1}=-\alpha\left(t_1-T_0\right) \cdot 1~мин=\\=-\left(t_1-T_0\right) \cdot 1~мин\left[0.0948 \frac{1}{мин}\right] \cdot C \\\Delta T_{t_1}=-\left(t_1-T_0\right) \cdot 0.0948 \approx-2.8^{\circ} \mathrm{C} .$$ | $T,^\\circ {\\mathrm C}$ | 20 | 26\.2 | 31\.8 | 36\.8 | 41\.4 | 45\.6 | 49\.3 | 52\.7 | 55\.8 | 58\.5 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\\frac{\\Delta T}{\\Delta t}, \\frac{{ }^{\\circ} \\mathrm{C}}{мин}$ | 6\.2 | 5\.6 | 5\.0 | 4\.6 | 4\.2 | 3\.7 | 3\.4 | 3\.1 | 2\.7 | 2\.6 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\approx$ на $28^{\circ} \mathrm{C} $ остынет."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Закипит ли вода, если нагреватель не выключать достаточно долго? Мощность нагревателя считать неизменной. ", "solution": {"text": "Действительно, величина $\Delta T_{t_1}$ мала по сравнению с $(t_1-t_0)$ т.г. скорость остывания можно было считать постоянной. $2)$ $\frac{\Delta T}{\Delta t}$ образуется в ноль при $T_{max}=-\frac BA=85^{\circ} \mathrm{C} $.Это значит, что нагреть воду более $85^{\circ} \mathrm{C} $ не удастся $\Rightarrow $ она не закипит, а $T$ установится $\approx 85^{\circ} \mathrm{C} $ <img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Нет, не закипит."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]