text: {"text": [{"text": "В некоторых случаях для предохранения электроприборов от больших изменений входного напряжения применяются нелинейные полупроводниковые элементы (варисторы), включаемые параллельно прибору (то есть нагрузочному сопротивлению). <img_0> На рисунке выше изображена цепь постоянного тока. Здесь $R_{Н}=10~Ом$ - сопротивление нагрузки, $R=10~Ом$ - балластное сопротивление, $В$ - нелинейный элемент, вольтамперная характеристика которого изображена на рисунке ниже, $I$ - показания амперметра $А$, $\mathscr{E}$ - входное напряжение. В номинальном режиме амперметр показывает силу тока $I=I_{0}=1.0~А$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите входное напряжение $\mathscr{E}_{1}$ в номинальном режиме, а также напряжение $\left(U_{В}\right)_{1}$ и силу тока $\left(I_{В}\right)_{1}$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Пусть входное напряжение возросло в $2$ раза и стало равным $\mathscr{E}_{2}=2 \mathscr{E}_{1}$. Определите, на сколько увеличилось напряжение на нагрузке и на сколько изменилась сила тока, протекающего через варистор."}]}
answer: [{"condition": "Определите входное напряжение $\mathscr{E}_{1}$ в номинальном режиме, а также напряжение $\left(U_{В}\right)_{1}$ и силу тока $\left(I_{В}\right)_{1}$. ", "solution": {"text": "Пусть сила тока $I=I_{0}$. Обозначим через $I_{Н}$ и $I_{В}$ токи, текущие через резистор и варистор соответственно (см. рисунок ниже). <img_2> Тогда напряжение на варисторе: $$ \mathscr{E}-I R=U_{В}=I_{Н} R_{Н}=\left(I-I_{В}\right) R_{Н}. $$ Отсюда следует, что для определения $(I_{В})_{1}$ и $(U_{В})_{1}$ на графике ВАХ нужно построить прямую линию $I_{В}=I-U_{В} / R_{Н}$, называемую нагрузочной характеристикой. Строим этот линейный график: при $U_{В}=0$, $I_{В}=I=I_{0}=1~А$, а при $I_{В}=0$, $U_{В}=I_{0} R_{Н}=10~В$. Откладываем по осям $I_{В}=1~А$, $U_{В}=10~В$ (см. рисунок ниже). <img_3> Находим по графику: $(I_{В})_{1} \approx 0.34~А$, $(U_{В})_{1}=(U_{Н})_{1} \approx 6.4~В$. Из уравнения $\mathscr{E}=U_{В}+I R$ находим: $$ \mathscr{E}_{1}=(U_{В})_{1}+I_{0} R=16.4~В. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \mathscr{E}_{1}=(U_{В})_{1}+I_{0} R=16.4~В. $$ $$ (I_{В})_{1} \approx 0.34~А. $$ $$ (U_{В})_{1} \approx 6.4~В. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть входное напряжение возросло в $2$ раза и стало равным $\mathscr{E}_{2}=2 \mathscr{E}_{1}$. Определите, на сколько увеличилось напряжение на нагрузке и на сколько изменилась сила тока, протекающего через варистор. ", "solution": {"text": "Теперь напряжение источника возросло в $2$ раза и стало равно $\mathscr{E}_{2}=2 \mathscr{E}_{1}=32.8~В$. Найдём связь $U_{В}$ и $I_{Н}$ : $$ \mathscr{E}_{2}-I R=\mathscr{E}_{2}-I_{Н} R-I_{В} R=U_{В}, \quad \text { а поскольку } \quad I_{Н}=\frac{U_{В}}{I_{Н}}, $$ имеем: $$ \mathscr{E}_{2}-\frac{U_{В}}{R_{Н}} R-I_{В} R=U_{В}. $$ Получаем уравнение прямой: $$ I_{В}=\frac{\mathscr{E}_{2}}{R}-U_{В}\left(\frac{1}{R_{Н}}+\frac{1}{R}\right) . $$ Отложим по осям: $$ \begin{gathered} I_{В}=0, \quad U_{В}=\frac{\mathscr{E}_{2} R_{Н} R}{R\left(R_{Н}+R\right)}=16.4~B, \\ U_{В}=0, \quad I_{В}=\frac{\mathscr{E}_{2}}{R} \approx 3.3~А. \end{gathered} $$ Построим нагрузочную характеристику и найдём: $$ \left(I_{В}\right)_{2} \approx 1.42~А, \quad \left(U_{В}\right)_{2} \approx 9.2~В, $$ откуда $$ \begin{gathered} \Delta U_{Н}=\Delta U_{В}=\left(U_{В}\right)_{2}-\left(U_{В}\right)_{1}=2.8~В \\ \Delta I_{В}=\left(I_{В}\right)_{2}-\left(I_{В}\right)_{1}=1.1~А. \end{gathered} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \Delta U_{Н}=\left(U_{В}\right)_{2}-\left(U_{В}\right)_{1}=2.8~В $$ $$ \Delta I_{В}=\left(I_{В}\right)_{2}-\left(I_{В}\right)_{1}=1.1~А. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]