text: {"text": [{"text": "Три тела (материальные точки) массами $m, 2m$ и $3m$ закреплены на концах невесомых стержней длины $L$. Все три стержня соединены шарниром, который позволяет им свободно вращаться (т.е. угол между стержнями может изменяться). В начальный момент времени угол между стержнями равен $120^\circ$, система покоится, а стержни и тела находятся в одной плоскости. Самому тяжелому телу ($3m$) мгновенно ударом сообщают скорость $v_0$, направленную перпендикулярно стержню и лежащую в плоскости фигуры. Силой тяжести пренебречь. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите ускорения всех трех тел сразу после удара."}]}
answer: [{"condition": "Найдите ускорения всех трех тел сразу после удара. ", "solution": {"text": "<img_1> <img_2> Перейдём к нахождению ускорений. Пусть $T/m=a$. Тогда:$$\vec{a}_1=a\vec{e}_1\quad\vec{a}_2=\displaystyle\frac{a\vec{e}_2}{2}\quad\vec{a}_3=\displaystyle\frac{a\vec{e}_3}{3}$$Направление ускорения шарнира $\vec{a}_O$ неизвестно, однако в явном виде оно нам не понадобится. Заметим, что поскольку стержни $1$ и $2$ не вращаются, проекции ускорения шарнира $O$ на их направления равны модулям ускорений соответствующих тел, что можно записать в следующем виде:$$a=\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_1}\qquad \displaystyle\frac{a}{2}=\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_2}$$Рассмотрим движение тела $3$ относительно шарнира $O$. Относительно движение происходит по окружности, причём, поскольку сразу после удара скорость шарнира равна нулю:$$(\vec{a}_3-\vec{a}_O)\cdot{\vec{e}_3}=\displaystyle\frac{v^2_0}{L}$$откуда$$\displaystyle\frac{a}{3}=\displaystyle\frac{v^2_0}{L}+\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_3}$$ <img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $a_1=\cfrac{6}{11} \cfrac{v_0^2}{L}\quad a_2=\cfrac{3}{11} \cfrac{v_0^2}{L}\quad a_3=\cfrac{2}{11} \cfrac{v_0^2}{L}$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]