text: {"text": [{"text": "Очень длинная цепочка составлена из батарей с ЭДС $\mathscr{E}=12~В$, внутренним сопротивлением $r=4~Ом$ и резисторов с сопротивлением $R=15~Ом$ (см. рисунок $а$). <img_0> <img_1>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите ЭДС $\mathscr{E}_{0}$ и внутреннее сопротивление $r_{0}$ эквивалентной батареи (см. рисунок $б$)."}]}
answer: [{"condition": "Определите ЭДС $\mathscr{E}_{0}$ и внутреннее сопротивление $r_{0}$ эквивалентной батареи (см. рисунок $б$). ", "solution": {"text": "Выделяем одно звено цепочки и подсоединяем к нему эквивалентную батарею (см. рисунок ниже). <img_2> Напряжение на входе (между точками $A$ и $B$ ) должно быть равно $\mathscr{E}_{0}$, т. е. ЭДС разомкнутой батареи. Следовательно, $$ \mathscr{E}_{0}=\mathscr{E}+\frac{\mathscr{E}_{0} R}{R+r_{0}}. \quad (1) $$ Для отыскания $r_{0}$ накоротко замкнем вход $A B$ (см. рисунок ниже). <img_3> Тогда сила тока короткого замыкания $$ i_{1}=\frac{\mathscr{E}_{0}}{r_{0}}. $$ Найдем силу тока $i_{1}$ из законов Кирхгофа: $$ \left\{\begin{array}{l} i_{1} r-i_{2} R=\mathscr{E}, \quad (2) \\ i_{3} r_{0}+i_{2} R=\mathscr{E}_{0}, \quad (3) \\ i_{3}=i_{1}+i_{2}. \quad (4) \end{array}\right. $$ Из $(4)$ и $(3)$ имеем $\left(i_{1}+i_{2}\right) r_{0}+i_{2} R=\mathscr{E}_{0}$, отсюда $i_{2}\left(r_{0}+R\right)=0$, т. е. $i_{2}=0$. Из $(2)$ находим $i_{1}=\frac{\mathscr{E}}{r}=\frac{\mathscr{E}_{0}}{r_{0}}$; $\mathscr{E}_{0}=\frac{r_{0}}{r} \mathscr{E}$. Подставляем полученное выражение для $\mathscr{E}_{0}$ в $(1)$: $$ \frac{r_{0}}{r} \mathscr{E}=\mathscr{E}+\frac{R}{R+r_{0}} \frac{r_{0}}{r} \mathscr{E}. \quad (5) $$ Из $(5)$ получаем квадратное уравнение относительно $r_{0}$: $$ r_{0}^{2}-r_{0} r-R r=0, \\ r_{0}=\frac{r}{2}\left(1 \pm \sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right). $$ Знак «$-$» не подходит, так как тогда $r_{0}<0$. Итак, $$ r_{0}=\frac{r}{2}\left(1+\sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right)=10~Ом. \\ \mathscr{E}_{0}=\frac{\mathscr{E}}{2}\left(1+\sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right)=30~В. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \mathscr{E}_{0}=\frac{\mathscr{E}}{2}\left(1+\sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right)=30~В. $$ $$ r_{0}=\frac{r}{2}\left(1+\sqrt{1+4 \frac{R}{r}}\right)=10~Ом. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]