text: {"text": [{"text": "В горизонтально расположенный плоский конденсатор до середины вставлен брусок, который может скользить без трения между пластинами конденсатора (см. рисунок). <img_0> Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$. В некоторый момент времени брусок без толчка отпускают."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите зависимость скорости бруска $v$ от времени и постройте ее график. Геометрические размеры бруска $b \times b \times d$, его диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$, плотность $\rho$. Расстояние между пластинами конденсатора $d$, их размеры $b \times b$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите зависимость скорости бруска $v$ от времени и постройте ее график. ", "solution": {"text": "Воспользуемся законом сохранения энергии системы «источник—конденсатор—брусок». Источник тока совершает работу по увеличению электрической энергии конденсатора и кинетической энергии бруска:$$\left(q-q_{0}\right) U=\frac{C U^{2}}{2}-\frac{C_{0} U^{2}}{2}+\frac{m v^{2}}{2}, \qquad (1)$$где $q$ — заряд конденсатора в текущий момент времени, $q_{0}$ — начальный заряд конденсатора, $m$ — масса бруска, $v$ — текущее значение его скорости.Поскольку $q=C U$, $q_{0}=C_{0} U$, выражение $(1)$ преобразуем к виду$$\frac{\left(C-C_{0}\right) U^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}. \qquad (2)$$Обозначим через $x$ расстояние, на которое брусок вошел между пластинами конденсатора. Тогда$$C-C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1)\left(x-\frac{b}{2}\right) b}{d}. \qquad (3)$$Подставим $(3)$ в $(2)$:$$\left[\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) b U^{2}}{2 d}\right]\left(x-\frac{b}{2}\right)=\frac{m v^{2}}{2}. \qquad (4)$$Известно, что работа силы $F$ по перемещению $(x-x_{0})$ тела массы $m$ равна изменению кинетической энергии тела:$$F (x-x_{0})=\frac{m v^{2}}{2}. \qquad (5)$$Сравнивая $(4)$ и $(5)$, видим, что на брусок в конденсаторе действует сила $F$, равная выражению в квадратных скобках. Следовательно, ускорение бруска$$a=\frac{F}{m}=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2}}{2 b d^{2} \rho}. \qquad (6)$$Брусок будет двигаться со скоростью$$v=a t=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2}}{2 b d^{2} \rho} t$$до момента времени $\tau=\sqrt{\frac{b}{a}}$, когда брусок полностью втянется в конденсатор и его скорость достигнет максимального значения, равного$$v_{\max}=\sqrt{a b}.$$Затем она будет уменьшаться по линейному закону $v=a(2 \tau-t)$ до момента времени $2 \tau$. После этого все этапы движения повторятся в обратном порядке (см. рисунок)."}, "answer": {"answers": ["<img_1>", "Ответ: $$ v=\frac{\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2}}{2 b d^{2} \rho} t. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]