text: {"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Баллистическая ракета запускается с северного полюса. Цель расположена на широте $\varphi$ ($\varphi>0$, для северного полушария и $\varphi<0$ для южного). Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно запускать ракету, чтобы ее начальная скорость была минимальной? Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Баллистическая ракета запускается с северного полюса. Цель расположена на широте $\varphi$ ($\varphi>0$, для северного полушария и $\varphi<0$ для южного). Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно запускать ракету, чтобы ее начальная скорость была минимальной?  Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь. ", "solution": {"text": "<img_0> Пусть $2a$ - удвоенная большая полуось эллиптической орбиты, $R$ - радиус Земли, $v_0$ - начальная скорость, а $M$ и $m$ - массы Земли и ракеты соответственно. Тогда из выражения для энергии на эллиптической орбите получим:$$\displaystyle\frac{mv^2_0}{2}-\displaystyle\frac{GMm}{R}=-\displaystyle\frac{GMm}{2a}$$Из полученного выражения видно, что начальная скорость $v_0$ тем меньше, чем меньше удвоенная полуось эллиптической орбиты $2a$. Пусть $F$ - второй фокус эллиптической орбиты. Для минимизации удвоенной полуоси сразу отметим, что:$$2a=OA+AF$$Величина $OA$ является фиксированной и равна $R$, а величина $AF$ - переменная, значит, для минимизации удвоенной полуоси эллиптической орбиты необходимо минимизировать величину $AF$.Поскольку положение точки $A$ фиксировано, а возможное ГМТ $F$ - серединный перпендикуляр к $AB$, минимальное значение достигается тогда, когда второй фокус эллиптической орбиты $F$ находится в точке $C$, введённой ранее. <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\alpha=\cfrac{\pi}{8}+\cfrac{\varphi}{4}$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]