text: {"text": [{"text": "У кубического тонкостенного аквариума ($ a\times a\times a$) разбилась боковая стенка. Новую стенку ($ a\times a$) решили прижать пружинными фиксаторами. Первую пружину жесткостью $2k$ закрепили у середины верхнего ребра новой стенки, а вторую пружину жесткостью $k$ — у середины нижнего ребра. После этого аквариум придвинули к вертикальной стене (см. рис.). Все поверхности в местах контакта новой стенки с аквариумом плоские и гладкие. Новая стенка жесткая, полностью перекрывает прилегающие боковые стенки и дно, и параллельна плоскости стены. Сила трения в месте контакта стенки со столом пренебрежимо мала. Длины пружин в недеформированном состоянии одинаковы. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Каким должно быть минимальное сжатие пружин, чтобы аквариум можно было наполнить водой плотностью $\rho$ до краёв? Во время заполнения аквариум считать неподвижным, а вода не просачивается в местах контакта стенки с аквариумом."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Каким станет минимальное сжатие пружин, если их поменять местами? Ускорение свободного падения $g$ считать известным."}]}
answer: [{"condition": "Каким должно быть минимальное сжатие пружин, чтобы аквариум можно было наполнить водой плотностью $\rho$ до краёв? Во время заполнения аквариум считать неподвижным, а вода не просачивается в местах контакта стенки с аквариумом. ", "solution": {"text": "Метод 1:Воспользуемся методом виртуальных перемещений для определения сил.Для этого определим изменение потенциальной энергии равное работе силы тяжести. Представим, что жидкость переходит из верхнего слоя в образовавшееся пространство, тогда $A_g = -\Delta \Pi \leq -A_F$. Масса перешедшей жидкости $m = \rho a^2 \delta x$.Для равнодействующей сил давления получаем:\[ (2k\Delta x + k\Delta x) \delta x \geq (\rho a^2 \delta x)g \frac{a}{2} \Rightarrow k\Delta x \geq \frac{\rho g a^3}{6}\]Для моментов сил давления относительно верхнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на $\frac{2a}{3}$:\[ k\Delta x \delta x \geq \frac{\rho a^2 \delta x}{2}g \frac{2a}{3} \Rightarrow k\Delta x \geq \frac{\rho g a^3}{3}\]Для моментов сил давления относительно нижнего ребра получаем, что центр тяжести слоя жидкости опускается на $\frac{a}{3}$:\[2k\Delta x \delta x \geq \frac{\rho a^2 \delta x}{2}g \frac{a}{3} \Rightarrow k\Delta x \geq \frac{\rho g a^3}{12}\] <img_1> Метод 2: <img_2> Метод 3:Строгий математический рассчёт силы и моментов сил можно опровести с помощью интегрирования.Определим давление как функцию $y$ - глубины от поверхности жидкости: $p(y) = \rho gy$.Суммарная сила давления воды: \[F_P = \int\limits_{0}^{a} p( y)a dy = \frac{\rho g a^3}{2}\] Момент силы относительно верхней кромки:\[M_{в} = \int\limits_{0}^{a} yp(y) ady = \frac{\rho g a^4}{3}\] Момент силы относительно нижней кромки:\[M_{н} = \int\limits_{0}^{a} (a - y)p( y) ady = \frac{\rho g a^4}{6}\] Условия для отсутствия протечек можно записать в виде неравенств: Очевидно, неравенство $ k\Delta x\ge \frac{\rho g a^3}{3}$ наиболее жесткое.Откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ \Delta x_{min}=\frac{\rho ga^{3}}{3k}$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Каким станет минимальное сжатие пружин, если их поменять местами? ", "solution": {"text": "Отметим, что, поскольку пружины сжимаются одинаково, суммарная сила, с которой они будут давить на стенку аквариума будет в 2 раза больше силы давления воды.Если пружины в условии поменять местами, последние 2 условия примут вид: Откуда $\Delta x_{min}=\frac{\rho ga^{3}}{6k}$. При этом суммарная сила, с которой пружины будут давить на стенку аквариума в точности совпадет с силой давления."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\Delta x_{min}=\frac{\rho ga^{3}}{6k}$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]