text: {"text": [{"text": "Оптическая система состоит из большого количества собирающих линз с фокусным расстоянием $F$ с общей главной оптической осью. Центры соседних линз находятся на одинаковом расстоянии $d\ll{F}$ друг от друга, при этом толщиной линзы можно пренебречь по сравнению с $d$. Луч перед преломлением в центре первой линзы пересекает главную оптическую ось под углом ${\alpha}\ll{1}$, и сразу после преломления в последней пересекает главную оптическую ось под тем же углом. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "5,00"}, "text": "Найдите минимально возможное расстояние $L$ между крайними линзами."}]}
answer: [{"condition": "Найдите минимально возможное расстояние $L$ между крайними линзами. ", "solution": {"text": "Введём систему координат $YOX$, начало которой совпадает с центром первой линзы, ось $OX$ направлена вдоль главной оптической оси, а ось $OY$ перпендикулярно ей. Пусть после преломления в $i-ой$ линзе луч направлен под углом $\alpha_i$ к главной оптической оси, а координата $y$ при преломлении в ней - $y_i$. Тогда после построения хода луча в $i-ой$ линзе получим $$F(\alpha_{i}-\alpha_{i+1})=y_i $$ Поскольку линзы находятся очень близко, изменение угла можно считать непрерывным, а отсюда $$\alpha_{i+1}-\alpha_{i}=\frac{d\alpha}{dx}\cdot{d} $$ Комбинируя последние два выражения $$\frac{d\alpha}{dx}=-\frac{y}{Fd} $$ С другой стороны $$\alpha=\frac{dy}{dx} $$ Дифференцируя последнее соотношение по $x$, получаем уравнение гармонических колебаний $$\frac{d^2{y}}{dx^2}=-\frac{y}{Fd} $$ решением которого с учётом начальных условий $$y(0)=0 $$ является $$y=A\sin\left(\frac{x}{\sqrt{Fd}}\right) $$ Решениями уравнения $y(L)=0$ являются $$L={\pi}N\sqrt{Fd} $$ Минимум достигается при $N=1$, и окончательно $$L_{min}={\pi}\sqrt{Fd} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "5,00"}]