text: {"text": [{"text": "Известно, что один из видов самостоятельного разряда в газах — электрическая дуга — имеет падающую вольтамперную характеристику. Иными словами, напряжение между электродами горящей дуги тем меньше, чем больше сила тока: $U_д=a+b/I$. Последовательно с дуговой лампой в цепь источника тока с ЭДС $\mathcal E =200~В$ включили «балластный» резистор сопротивлением $R$, назначение которого - стабилизировать горение лампы (см. рис.). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Пренебрегая внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов, найдите все значения $R$, при которых дуговая лампа устойчиво горит, выделяя не менее половины всей мощности, затрачиваемой источником. Считайте заданными постоянные значения $a=55~В$ и $b=50~В\cdotА$."}]}
answer: [{"condition": "Пренебрегая внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов, найдите все значения $R$, при которых дуговая лампа устойчиво горит, выделяя не менее половины всей мощности, затрачиваемой источником. Считайте заданными постоянные значения $a=55~В$  и $b=50~В\cdotА$. ", "solution": {"text": "Нарисуем на графике нагрузочную прямую последовательно соединенных $\mathcal{E}$ и $R$ и ВАХ дуговой лампы. Возможны три случая. <img_1> В случае $1$ вообще нет положений равновесия.В случае $2$ положение равновесия одно и неустойчиво: при отклонении влево напряжение на дуге будет больше, чем допускает нагрузочная прямая, следовательно, $i$ будет далее уменьшаться. В случае $3$ есть два положения равновесия. Анализом, как в случае $2$, можно понять, что левое положение не устойчиво, а правое — устойчиво.$$\mathcal{E}-iR=a+\frac{b}{i}.$$$$i^2R+i(a-\mathcal{E})+b=0.$$Для того, чтобы положение равновесия было устойчивым, должно выполнятся следующее условие:$$D=(a-\mathcal{E})^2-4bR > 0.$$$$R < \frac{(\mathcal{E}-a)^2}{4b}=105.125~Ом.$$При больших $R$ либо одно неустойчивое положение равновесия, либо их нет вообще.Для устойчивого положения равновесия (выбираем больший корень):$$i=\frac{\mathcal{E}-a+\sqrt{(a-\mathcal{E})^2-4bR}}{2R}.$$Чтобы выделялось не менее $1/2$ всей мощности источника на лампе, необходимо, чтобы $U_{Д} \ge \frac{\mathcal{E}}{2}$. <img_2> $$U_{Д}=\mathcal{E}-iR=\frac{\mathcal{E}+a-\sqrt{(a-\mathcal{E})^2-4bR}}{2} \ge \frac{\mathcal{E}}{2}$$$$a \ge \sqrt{(a-\mathcal{E})^2-4bR}.$$$$4bR \ge (V-a)^2-a^2.$$$$R \ge \frac{(\mathcal{E}-a)^2-a^2}{4b}=90~Ом.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{\mathcal{E}(\mathcal{E} - 2a)}{4b}\le R \le \frac{(\mathcal{E} - a)^2}{4b},\\ \text{ или } \\90~Ом \le R \le 105.1~Ом. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]