text: {"text": [{"text": "В одном из проектов для полетов космических аппаратов в Солнечной системе предполагалось использовать солнечный парус площадью $S=1~км^2$. Парус раскрывается, когда аппарат движется вокруг Солнца по земной орбите, радиус которой $R_3=1.5\cdot 10^8~км$. При дальнейшем движении парус постоянно ориентирован перпендикулярно солнечным лучам, давление которых на земной орбите составляет $р=10^{-5}~Па$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "При какой массе космического аппарата он может улететь из Солнечной системы?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "При какой максимальной массе аппарат может достичь орбиты Марса, радиус которой $R_м=2.3\cdot 10^{8}~км$? Гравитационное влияние Земли и других планет не учитывать. Произведение массы Солнца на гравитационную постоянную $GM_С=1.3 \cdot 10^{11}~км^3/с^2$."}]}
answer: [{"condition": "При какой массе космического аппарата он может улететь из Солнечной системы? ", "solution": {"text": "При раскрытии солнечного паруса на аппарат действуют сила притяжения Солнца и сила давления солнечных лучей. Результирующая этих сил —$$\begin{aligned}F_{эф}=G \frac{M_С m}{R_З^2}-p S=G \frac{M_С m}{R_З^2}-\frac{G m R_З^2 p S}{G m R_З^2}= \\=G \frac{\left(M_С-p S R_З^2 / G m\right) m}{R_З^2} .\end{aligned}$$Мы видим, что давление солнечных лучей как бы уменьшает силу притяжения аппарата к Солнцу эта сила оказывается такой, как если бы Солнце имело не массу $M_С$, а некую меньшую эффективную массу, равную$$M_{эф}=M_{С}-\frac{p S R_З^2}{G m} .$$Пользуясь введенной эффективной массой, мы можем дальше решать задачу без учета давления солнечных лучей.Полная энергия космического аппарата в гравитационном поле тела с массой $M_{эф}$ —$$E=\frac{m v^2}{2}-G \frac{m M_{эф}}{R} .$$Согласно закону сохранения энергии эта энергия в любой точке орбиты аппарата должна быть равна$$E=\frac{m v_З^2}{2}-G \frac{m M_{эф}}{R_З},$$где $v_З$ — скорость, которую имел аппарат в момент раскрытия паруса на расстоянии $R_З$ от Солнца. Эту скорость найдем из уравнения движения aппaрата по земной орбите под действием силы притяжения Солнца:$$\frac{m v_З^2}{R_З}=G \frac{m M_{С}}{R_З^2} \Rightarrow v_З=\sqrt{G \frac{M_{С}}{R_З}} .$$Таким образом,$$E=G \frac{m}{R_З}\left(\frac{M_{С}}{2}-M_{эф}\right)=G \frac{m}{R_З}\left(\frac{p S R_З^2}{G m}-\frac{M_{С}}{2}\right) .$$Aппарат может улететь из Солнечной системы, если $E \geqslant 0$, то есть при условии$$\frac{p S R_З^2}{G m}-\frac{M_С}{2} \geqslant 0 .$$Отсюда находим, при какой массе аппарата это возможно:$$M \leqslant \frac{2 p S R_З^2}{G M_С} \approx 3.46 \cdot 10^3~кг .$$ <img_0>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M \leqslant \frac{2 p S R_З^2}{G M_С} \approx 3.46 \cdot 10^3~кг .$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При какой максимальной массе аппарат может достичь орбиты Марса, радиус которой $R_м=2.3\cdot 10^{8}~км$? ", "solution": {"text": "При большей массе аппарат будет двигаться по замкнутым орбитам.Пусть при некоторой массе $m_1$ орбита аппарата касается орбиты Марса. (Из всех возможных масс $m$, при которых аппарат достигает орбиты Марса (пересекает ее), $m_1$ - максимальна.) В этом случае орбита аппарата — эллипс, большая ось которого равна $R_З+R_М$ (см. рисунок). В точках касания скорость аппарата перпендикулярна радиусу-вектору aппapaтa.Согласно закону сохранения энергии$$\begin{aligned}\frac{m_1 v_З^2}{2}-G \frac{m_1 M_{эф}}{R_З}= & \frac{m_1 v_М^2}{2}-G \frac{m_1 M_{эф}}{R_М} \Rightarrow \\& \Rightarrow v_З^2-v_М^2=2 G M_{эф}\left(\frac{1}{R_З}-\frac{1}{R_М}\right) .\end{aligned}$$Согласно второму закону Қеплера$$v_З R_З=v_{М} R_{М} \Rightarrow v_{М}=v_З \frac{R_З}{R_{М}} .$$Подставляя это выражение для $v_М$ и учитывая, что $v_З=\sqrt{G \frac{M_С}{R_З}}$, после несложных преобразований получим:$$2 M_{эф} R_{М}=M_{С}\left(R_{М}+R_З\right) .$$или$$2\left(M_{С}-\frac{p S R_З}{G m}\right) R_М=M_С\left(R_М+R_З\right) .$$Отсюда найдем максимальную массу $m_1$ аппарата, при которой аппарат может достичь орбиты Марса$$m_1=\frac{2 p S R_З^2}{G M_С} \frac{R_M}{R_М-R_З} \approx 10^4~кг .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m_1=\frac{2 p S R_З^2}{G M_С} \frac{R_M}{R_М-R_З} \approx 10^4~кг .$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]