text: {"text": [{"text": "По~прямому участку дороги с~одинаковой скоростью $v$ друг за~другом едут две машины, одна из~которых при~торможении замедляется с~ускорением~$a_1$, а~другая с~ускорением~$a_2$. Если начнет тормозить водитель передней машины, то~водитель задней среагирует и~нажмет на~педаль тормоза не~сразу, а~с~задержкой~$\tau=1.0~с$. В~зависимости от~того, какая из~машин будет ехать впереди, минимальная безопасная дистанция, позволяющая избежать столкновения между ними, окажется равной либо~$L_1=5~м$, либо~$L_2=40~м$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, с~какой скоростью едут машины."}]}
answer: [{"condition": "Определите, с~какой скоростью едут машины. ", "solution": {"text": "Если машины не~встречаются до~полной остановки, то~безопасное расстояние между ними складывается из~разности тормозных путей до~полной остановки и~длины участка, на~котором задний автомобиль движется с~постоянной скоростью. Такой сценарий однозначно реализуется, если сзади едет машина, тормозящая с~меньшим ускорением $a_1$ (см.~график зависимости мгновенной скорости~$u$ машин от~времени~$t$~(см. рисунок ниже)). <img_0> Безопасная дистанция, при~этом принимает большее значение $(L_2)$. $$ \begin{gather*} L_2=v\tau+\frac{v^2}{2a_2}-\frac{v^2}{2a_1} \quad или \quad L_2=v\tau+\frac{v^2}{2}\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}. \end{gather*} $$ Возможна ситуация, при~которой задняя машина, начинающая торможение позже, но~движущаяся затем с~большим ускорением, догоняет переднюю, когда та еще не~остановилась~(см. рисунок ниже). <img_1> Для реализации этого случая, необходимо выполнение условия: $$ \begin{equation} \tau+\frac{v}{a_2}<\frac{v}{a_1}, \text{ или } v>\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}\tau \tag 1 \end{equation} $$ Тогда безопасная дистанция рассчитывается по формуле $L_1=\frac{1}{2}\tau(v-v_1)$, и с~учетом соотношений: $v-v_1=a_1t$ и $v-v_1=a_2(t-\tau)$ $$ \begin{gather*} L_1=\frac{1}{2}\tau^2\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}, \quad откуда \quad L_2=v\tau+\frac{v^2}{4}\frac{\tau^2}{L_1}. \end{gather*} $$ Решая квадратное уравнение $v^2\tau^2+4L_1v\tau-4L_1L_2=0$ относительно $v$, получим: $$ \begin{equation} v=\frac{2L_1}{\tau}\left(\sqrt{1+\frac{L_2}{L_1}}-1\right)=20~м/с. \tag 2 \end{equation} $$ В предположении встречи после остановки первой машины получается ответ: $v=\frac{L_1+L_2}{2\tau}=22/5~м/с$, что принципиально неверно для~заданных в~условии расстояний. Отметим, что так как $\frac{a_1a_2}{a_2-a_1}=\frac{2L_1}{\tau^2}$, условие~$(1)$ может быть записано так~$v >2L_1/\tau$. Сравнение этого неравенства с~формулой~$(2)$ дает простое выражение для~условия реализации встречи машин до~остановки $(L_2/L_1>3)$. На рисунке ниже представлена графическая интерпретация этого неравенства. <img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \begin{equation} v=\frac{2L_1}{\tau}\left(\sqrt{1+\frac{L_2}{L_1}}-1\right)=20~м/с. \end{equation} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]