text: {"text": [{"text": "Стеклянный шар объемом $V$ и плотностью $\rho_{0}$ находится в сосуде с водой, плотность которой $\rho$ (см. рисунок). <img_0> Воды достаточно много, так что шар полностью погружен в нее. Острый угол между стенкой конического сосуда и горизонтом составляет $\alpha$. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Сосуд движется с постоянным ускорением $\vec{a}$, направленным под острым углом $\gamma$ к вертикали."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите силы давления шара на дно и стенку сосуда."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каком соотношении между параметрами задачи $V$, $\rho_{0}$, $\rho$, $\alpha$, $\gamma$ шар не будет отрываться от дна при любых значениях ускорения $a>0$ ?"}]}
answer: [{"condition": "Найдите силы давления шара на дно и стенку сосуда. ", "solution": {"text": "На шар (см. рисунок) действуют сила тяжести $P=\rho_{0} V g$, силы $N_{1}$ и $N_{2}$ со стороны дна и стенки сосуда, сила Архимеда $F_{a}$ со стороны воды. <img_1> Разложим для удобства $F_{a}$ на горизонтальную и вертикальную составляющие $F_{a x}$ и $F_{a y}$. Эти составляющие найдем, записав уравнения движения в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси $x$ и $y$ для мысленно выделенного водяного шара объемом $V$, движущегося с ускорением $a$: $$ F_{a x} = \rho V a \sin \gamma, \quad F_{a y}-\rho V g=\rho V a \cos \gamma. $$ Отсюда $F_{a x}=\rho V a \sin \gamma$, $F_{a y}=\rho V(g+a \cos \gamma)$. Запишем уравнения движения для стеклянного шара в проекциях на оси $x$ и $y$ : $$ \begin{gathered} F_{a x}+N_{2} \sin \alpha=\rho_{0} V a \sin \gamma, \\ F_{a y}-\rho_{0} V g+N_{1}+N_{2} \cos \alpha=\rho_{0} V a \cos \gamma . \end{gathered} $$ Из двух последних уравнений с учетом найденных выражений для $F_{a x}$ и $F_{a y}$ находим силы давления на дно и стенку: $$ \begin{gathered} N_{1}=\left(\rho_{0}-\rho\right) V(a \cos \gamma -a \sin \gamma \operatorname{ctg} \alpha+g), \\ N_{2}=\left(\rho_{0}-\rho\right) V a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} . \end{gathered} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ N_{1}=\left(\rho_{0}-\rho\right) V(a \cos \gamma -a \sin \gamma \operatorname{ctg} \alpha+g). $$ $$ N_{2}=\left(\rho_{0}-\rho\right) V a \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "При каком соотношении между параметрами задачи $V$, $\rho_{0}$, $\rho$, $\alpha$, $\gamma$ шар не будет отрываться от дна при любых значениях ускорения $a>0$ ? ", "solution": {"text": "Шар не будет отрываться от дна, если $N_{1}>0$, то есть $a \cos \gamma-a \sin \gamma \operatorname{ctg} \alpha+g>0$. Перепишем неравенство в виде $\sin \gamma \operatorname{ctg} \alpha-\cos \gamma<\frac{g}{a}$. Это неравенство выполнено для любых $a>0$ при $\sin \gamma \operatorname{ctg} \alpha-\cos \gamma<0$. Отсюда следует, что при любых $V$, $\rho_{0}$, $\rho\left(\rho_{0}>\rho\right)$ отрыва от дна не будет при $\alpha>\gamma$. Заметим, что последнее условие можно получить из физических соображений, не прибегая к анализу выражения для $N_{1}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: При любых $V$, $\rho_{0}$, $\rho\left(\rho_{0}>\rho\right)$ отрыва от дна не будет при $\alpha>\gamma$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]