text: {"text": [{"text": "В одном калориметре находится смесь воды и льда, в другом — вода при температуре $100~{}^{\circ} \mathrm{C}$. Горячую воду начинают охлаждать следующим образом: маленький металлический шарик на нити опускают в холодную воду, затем переносят в горячую, затем опять в холодную и т.д. При этом каждый раз успевает установиться тепловое равновесие, а весь цикл занимает одно и то же время. График зависимости массы льда в «холодном» калориметре от времени изображен на рисунке. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "До какой температуры охладилась горячая вода, когда весь лед растаял? Теплообменом с атмосферой можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "До какой температуры охладилась горячая вода, когда весь лед растаял? ", "solution": {"text": "На каждом шаге, продолжительность которого обозначим через $\tau$, металлический шарик нагревается в горячем калориметре, отбирая у него теплоту, и охлаждается в холодном, отдавая теплоту. Обозначим через $T_{1}$ и $T_{2}$ температуры калориметров, а через $C$ — теплоемкость шарика. Тогда на каждом шаге горячий калориметр отдает теплоту $C\left(T_{1}-T_{2}\right)$, а холодный получит такое же количество теплоты. Оно пойдет на плавление льда массой$$-\Delta m=\frac{C}{\lambda}\left(T_{1}-T_{2}\right)$$($\lambda$ — удельная теплота плавления льда). Следовательно, лед плавится со скоростью$$-\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{C}{\lambda \tau}\left(T_{1}-T_{2}\right),$$которая оказывается пропорциональной разности температур калориметров.Аппроксимируем начало графика $m(t)$ в условии задачи прямой. Ее угловой коэффициент $k_{1}=-0.4~г/с$. Вблизи точки графика, где $m=0$, его можно заменить прямой с угловым коэффициентом $k_{2}=-0.2~г/с$.Поскольку в начальный момент времени разность температур равна $100~{}^{\circ} \mathrm{C}$, конечная точка соответствует разности температур $50~{}^{\circ} \mathrm{C}$. Следовательно, когда весь лед растает, горячая вода охладиться до $50~{}^{\circ} \mathrm{C}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$-\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{C}{\lambda \tau}\left(T_{1}-T_{2}\right),$$Когда весь лед растает, горячая вода охладиться до $50~{}^{\circ} \mathrm{C}$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]