text: {"text": [{"text": "Часть A. Заряженная пластина в конденсаторе. Посередине между одинаковыми незаряженными металлическими обкладками плоского конденсатора с площадью $S$ и расстоянием между ними $d\ll{\sqrt{S}}$ находится такая же по форме диэлектрическая пластина массы $m$, заряженная равномерно по поверхности зарядом $q>0$. Обкладки конденсатора подключили к источнику постоянного напряжения $\mathcal{E}$ с нулевым внутренним сопротивлением. Затем пластину отпускают. При движении пластины обкладки конденсатора остаются неподвижными. Обозначим за $x$ отклонение пластины от начального положения, за $q_1$ — заряд левой обкладки, а за $q_2$ — заряд правой обкладки. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите заряды обкладок конденсатора $q_1(x)$ и $q_2(x)$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите силу электростатического взаимодействия $F(x)$ пластины с обкладками через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные. Можно показать, что зависимость смещения пластины $x(t)$ от времени имеет следующий вид $$x(t)=Ae^{at}+Be^{-at}+C, $$ где $a$ зависит только от $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$ и $m$, а $A$, $B$ и $C$ определяются начальными условиями."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $a$, $A$, $B$ и $C$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные."}, {"text": "Часть B. Конденсатор с диэлектриком Плоский конденсатор с площадью обкладок $S$ и расстоянием между ними $d\ll{\sqrt{S}}$ заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и удельным сопротивлением $\rho$. Диэлектрик и обкладки имеют хороший электрический контакт. Пусть разность потенциалов между обкладками конденсатора равна $V$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите скорость пластины $v^*$ в момент удара об обкладку конденсатора через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите заряды $q$ на металлических обкладках конденсатора. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\varepsilon$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите силу тока $I$, протекающего через диэлектрик. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\rho$ и физические постоянные. Из двух предыдущих пунктов следует, что схема такого конденсатора в электрической цепи эквивалентна некоторому соединению резистора с сопротивлением $R$ и конденсатора с емкостью $C$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите $R$ и $C$, а также укажите вид соединения данных элементов (последовательно или параллельно). Теперь сложный конденсатор подключается к источнику постоянного напряжения $\mathcal{E}$, имеющему внутреннее сопротивление $r$. В начальный момент времени конденсатор не заряжен."}, {"text": "Часть C. Конденсатор с двумя диэлектриками Плоский конденсатор с расстоянием между обкладками $d$ заполнен двумя диэлектриками. Один — с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_1$, удельным сопротивлением $\rho_1$ и площадью контакта с обкладками $S_1$, а другой — с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_2$, удельным сопротивлением $\rho_2$ и площадью контакта с обкладками $S_2$. Оба диэлектрика имеют хороший электрический контакт с обкладками конденсатора."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите зависимость от времени силы тока $I(t)$, протекающего через источник. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $r$, $R$, $C$ и $t$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите эквивалентную ёмкость $C_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $d$ и физические постоянные."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите эквивалентное сопротивление $R_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\rho_1$, $\rho_2$ и $d$. Данный конденсатор последовательно с конденсатором ёмкости $C$ подключают к источнику постоянного напряжения $\mathcal{E}$, имеющему нулевое внутреннее сопротивление. Пока ключ был разомкнут, конденсаторы были не заряжены. Напряжение на сложном конденсаторе измеряется идеальным вольтметром $V$. <img_2>"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите заряд $q_C(0)$ на конденсаторе ёмкости $C$ сразу после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите зависимость показаний вольтметра $V(t)$ от времени $t$ после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$, $C_0$, $R_0$ и $t$."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,50"}, "text": "Какое количество теплоты $Q_{R_0}$ выделится на сопротивлении $R_0$? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$. $\textit{Примечание}$ : $$\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln\left(ax+b\right)+C $$ $$\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}+C $$"}]}
answer: [{"condition": "Выразите заряды обкладок конденсатора $q_1(x)$ и $q_2(x)$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Рассмотрим смещение пластины на величину $x$ от центра. Найдём разность потенциалов на обкладках $1$ и $2$ в поле пластины. $$\varphi_{1q}-\varphi_{2q}=-2E_qx=-\frac{qx}{S\epsilon_0} $$ С другой стороны, поскольку конденсатор изначально не заряжен, разность потенциалов в поле конденсатора $$\varphi_{1C}-\varphi_{2C}=\frac{q_1d}{S\epsilon_0} $$ Суммарно $$\varphi_1-\varphi_2=\mathcal{E}=\frac{q_1d-qx}{S\epsilon_0} $$ откуда $$q_1=-q_2=\frac{qx}{d}+\frac{\epsilon_0\mathcal{E}S}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите силу электростатического взаимодействия $F(x)$ пластины с обкладками через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $x$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "$$F_x(x)=\frac{q_1q}{S\epsilon_0}=\frac{q^2x}{S\epsilon_0d}+\frac{\mathcal{E}q}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $a$, $A$, $B$ и $C$ через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Уравнение движения можно записать в виде $$\frac{mS\epsilon_0d}{q^2}\frac{d^2x}{dt^2}=x+\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q} $$ Подставляя полученный вид зависимости $x(t)$, сразу находим $$a=\frac{q}{\sqrt{mS\epsilon_0d}} $$ $$C=-\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{q} $$ Далее учтём, что $x=0,\frac{dx}{dt}$в момент времени $t=0$ $$x=A+B+C=0 $$ $$\frac{dx}{dt}=a\left(A-B\right)=0 $$ откуда $$A=B=-\frac{C}{2} $$ и окончательно $$A=B=\frac{\mathcal{E}S\epsilon_0}{2q} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите скорость пластины $v^*$ в момент удара об обкладку конденсатора через $\mathcal{E}$, $S$, $d$, $q$, $m$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Можно воспользоваться результатом пункта $A3$, а также законом сохранения энергии $$\frac{mv^2}{2}=\int\limits_0^{\frac{d}{2}}F_x(x)dx=\frac{\mathcal{E}q}{2}+\frac{q^2d}{8S\epsilon_0} $$ откуда $$v=\sqrt{\frac{\mathcal{E}q}{m}+\frac{q^2d}{4S\epsilon_0m}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите заряды $q$ на металлических обкладках конденсатора. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\varepsilon$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Под воздействием зарядов на металлических обкладках, электрическое поле внутри диэлектрика уменьшается в $\varepsilon$ раз, откуда $$\frac{V}{d}=\frac{q}{S\epsilon_0\varepsilon} $$ откуда $$q=\frac{\varepsilon\epsilon_0SV}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите силу тока $I$, протекающего через диэлектрик. Ответ выразите через $V$, $S$, $d$, $\rho$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Из закона Ома в дифференциальной форме $$\vec{j}=\frac{\vec{E}}{\rho} $$ Откуда $$\frac{I}{S}=\frac{V}{\rho{d}} $$ Или $$I=\frac{VS}{\rho{d}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите $R$ и $C$, а также укажите вид соединения данных элементов (последовательно или параллельно). ", "solution": {"text": "$$R=\frac{\rho{d}}{S} $$ $$C=\frac{\varepsilon\epsilon_0S}{d} $$ Полученное выражение для силы тока говорит о том, что не все заряды, текущие по подводящим проводам остаются на обкладках конденсатора, а часть из них протекает в объёме диэлектрика. Это говорит о том, что эквивалетная схема представляет собой параллельные резистор $R$ и конденсатор $C$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите зависимость от времени силы тока $I(t)$, протекающего через источник. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $r$, $R$, $C$ и $t$. ", "solution": {"text": "Выражение для силы тока, текущего через источник. следующее $$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)}{rC} $$ Найдём $q_C(t)$. Из первого закона Кирхгофа $$I=I_R+I_C=\frac{q_C}{RC}+I_C $$ откуда $$I_C=\frac{\mathcal{E}}{r}-\frac{q_C(t)(R+r)}{rRC} $$ $$\frac{(R+r)}{rRc}dt=\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C} $$ Интегрируя $$\frac{(R+r)}{rRc}t=\int\limits_0^{q_C}\frac{dq_C}{\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}-q_C}=-\ln\left(1-\frac{q_C(R+r)}{C\mathcal{E}R}\right) $$ или $$q_C(t)=\frac{C\mathcal{E}R}{R+r}\left(1-e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t}\right) $$ и окончательно $$I(t)=\frac{\mathcal{E}}{R+r}+\frac{\mathcal{E}R}{r(R+r)}e^{-\frac{(R+r)}{rRC}t} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Найдите эквивалентную ёмкость $C_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $d$ и физические постоянные. ", "solution": {"text": "Данную систему можно представить как два параллельно соединённых сложных конденсатора, что говорит о том, что эквивалентные сопротивление и ёмкость могут быть вычислены по формулам параллельного соединения. Отсюда $$C_0=C_1+C_2=\frac{\varepsilon_1\epsilon_0S_1}{d}+\frac{\varepsilon_2\epsilon_0S_2}{d} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите эквивалентное сопротивление $R_0$ данного конденсатора. Ответ выразите через $S_1$, $S_2$, $\rho_1$, $\rho_2$ и $d$. ", "solution": {"text": "$$R_0=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{\rho_1\rho_2d}{\rho_1S_2+\rho_2S_1} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите заряд $q_C(0)$ на конденсаторе ёмкости $C$ сразу после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$. ", "solution": {"text": "После замыкания ключа заряд практически мгновенно перераспределяется между обкладками конденсаторов $C$ и $C_0$. Отсюда $$q_C=q_{C_0} $$ а также $$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0} $$ и окончательно $$q_C=\frac{\mathcal{E}CC_0}{C+C_0} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите зависимость показаний вольтметра $V(t)$ от времени $t$ после замыкания ключа. Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$, $C_0$, $R_0$ и $t$. ", "solution": {"text": "Выражение для падения напряжения на источнике следующее $$\mathcal{E}=\frac{q_C}{C}+\frac{q_{C_0}}{C_0} $$ Пусть $q_{R_0}$ - заряд, протёкший через резистор. Тогда $$\mathcal{E}=\frac{q_{R_0}}{C}+q_{C_0}\left(\frac{1}{C}+\frac{1}{C_0}\right) $$ С другой стороны $$\frac{q_{C_0}}{C_0}=I_{R_0}R_0 $$ откуда $$\mathcal{E}=\frac{q_{R_0}}{C}+I_{R_0}R_0\left(1+\frac{C_0}{C}\right) $$ Отсюда $$\frac{dt}{R_0(C+C_0)}=\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}} $$ Учитывая, что $q_{R_0}(0)=0$ $$\frac{t}{R_0(C+C_0)}=\int\limits_0^{q_{R_0}}\frac{dq_{R_0}}{C\mathcal{E}-q_{R_0}}=-\ln\left(1-\frac{q_{R_0}}{C\mathcal{E}}\right) $$ $$q_{R_0}=C\mathcal{E}\left(1-e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}}\right) $$ Дифференцируя $$V(t)=I_{R_0}(t)R_0=\frac{C\mathcal{E}}{C+C_0}e^{-\frac{t}{R_0(C+C_0)}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Какое количество теплоты $Q_{R_0}$ выделится на сопротивлении $R_0$? Ответ выразите через $\mathcal{E}$, $C$ и $C_0$. ", "solution": {"text": "В начальный момент в цепи выделяется количество теплоты $$Q_0=\frac{q_C\mathcal{E}}{2}=\frac{CC_0{\mathcal{E}}^2}{2(C+C_0)} $$ В установившемся режиме конденсатор $C_0$ не заряжен, поэтому за всё время в цепи выделяется количество теплоты $$Q_{\infty}=\frac{C\mathcal{E}^2}{2} $$ $$Q_{R_0}=Q_{\infty}-Q_0=\frac{C^2\mathcal{E}^2}{2(C+C_0)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,50"}]