text: {"text": [{"text": "Заряд $Q$ равномерно распределен по поверхности диэлектрической тонкостенной закрепленной трубы радиуса $R$ и длиной $H$. Бусинка с тем же по знаку зарядом может свободно скользить по тонкой непроводящей спице, совпадающей с диаметром серединного (равноудаленного от торцов) сечения."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите период $T$ малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. Удельный заряд бусинки $\gamma=q / m$ считайте известным. Силой тяжести можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Найдите период $T$ малых колебаний бусинки относительно положения равновесия. ", "solution": {"text": "Для определения зависимости $E_{r}(r)$ вблизи положения равновесия воспользуемся теоремой Гаусса: поток вектора $\vec{E}$ через поверхность соосного с заряженным небольшого цилиндра (радиус основания $r$, высота $2 x$ ($x \ll r \ll R, H$) равен нулю. Для начала найдем $E_{x}(x)$. Это поле однородно заряженного кольца высотой $2 x$, лежащего на дальнем от текущей точки крае цилиндра. Заряд кольца - $2 x Q / H$. Расстояние до точки наблюдения $L \approx \sqrt{R^{2}+H^{2} / 4}$. Тогда поле кольца на оси $$ E_{x}(x)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{H} 2 x \cdot \frac{1}{L^{2}} \cdot \frac{H}{2 L}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{L^{3}} x. $$ Вычислим величины потоков: $\Phi_{осн}$ через основание и $\Phi_{бок}$ через боковую поверхность гауссова цилиндра: $$ \Phi_{осн}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{L^{3}} x \cdot \pi r^{2}, \quad \Phi_{бок}=2 \pi r \cdot 2 x \cdot E_{r}(r). $$ По теореме Гаусса $2 \Phi_{ocн}+\Phi_{бок}=0$, значит, $$ 2 \pi r \cdot 2 x \cdot E_{r}(r)=-2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{L^{3}} x \cdot \pi r^{2} . $$ Отсюда получаем, что в плоскости кольца при смещении $r$ из центра величина вектора напряженности пропорциональна смещению: $$ E_{r}(r)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{2 L^{3}} r. $$ Уравнение движения бусинки $$ m \ddot{r}=q E_{r}(r)=-q \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{2 L^{3}} r. $$ Частота гармонических колебаний $$ \omega=\sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{m} \frac{Q}{2 L^{3}}}=\frac{1}{L} \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\gamma Q}{2 L}}, $$ Период $$ T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \sqrt{2} \pi L \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} L}{\gamma Q}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2 \sqrt{2} \pi L \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_{0} L}{\gamma Q}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]