text: {"text": [{"text": "На круглый блок радиуса $R$ положили канат длиной $L$ и массы $m$, который начал соскальзывать с блока без трения. В момент, когда разность высот свисающих с блока концов каната равна половине длины каната, найти:"}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "2,00"}, "text": "ускорение каната;"}, {"balls": {"number": "2.", "exponent": "1,50"}, "text": "натяжение каната в верхней точке;"}, {"balls": {"number": "3.", "exponent": "1,50"}, "text": "точку каната, в которой сила натяжения максимальна (достаточно найти угол между радиусом в эту точку и вертикалью)."}]}
answer: [{"condition": "ускорение каната; ", "solution": {"text": "Пусть $l_1$ и $l_2$ — длины свисающих концов $(l_1 < l_2)$. Тогда $l_2-l_1=\frac{L}{2}$ и $l_1+l_2+\pi R=L$, откуда $l_2=\frac{3}{4}L-\frac{\pi}{2}R$.Пусть в момент, когда разность высот концов каната равна $h=l_2-l_1=\frac{L}{2}$ за малое время $\Delta t$ канат сместился на $\Delta x$. Так как в отсутствие трения силы, действующие на канат со стороны блока, работы не совершают, увеличение кинетической энергии каната равно уменьшению его потенциальной энергии, которое легко найти, заметив, что перемещение каната вдоль себя эквивалентно опусканию кусочка длины $\Delta x$ на высоту $$\Delta \frac{mv^2}{2}=\frac{m}{L}\Delta x\cdot gh, \\ \frac{m2v\Delta v}{2}=\frac{m}{L}v\Delta t\cdot gh.$$Отсюда$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{h}{L}g=\frac{g}{2}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a=\frac{h}{L}g=\frac{g}{2}.$$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "натяжение каната в верхней точке; ", "solution": {"text": "Запишем аналогично п.1 ЗСЭ для малого промежутка времени $\Delta t$ для правой (от верхней точки) части каната. Пусть $l=l_2+\frac{\pi}{2}R=\frac{3}{4}L$ — длина этой части, $M=m\frac{l}{L}=\frac{3}{4}m$ — её масса, $T$ — сила натяжения каната в верхней точке, $H=l_2+R=\frac{3}{4}L-R\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$ — разность высот верхней точки каната и нижней точки его длинного конца. Тогда:$$\Delta\frac{Mv^2}{2}=\frac{m}{L}\Delta x\cdot gH-T\Delta x, \\ Mva=\frac{m}{L}v\cdot gH-Tv, \\ T=\frac{mgH}{L}-Ma=mg\left[\frac{3}{8}+\frac{R}{L}\left(1-\frac{\pi}{2}\right)\right].$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=mg\left[\frac{3}{8}+\frac{R}{L}\left(1-\frac{\pi}{2}\right)\right].$$"]}, "number_part": "2.", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "точку каната, в которой сила натяжения максимальна (достаточно найти угол между радиусом в эту точку и вертикалью). ", "solution": {"text": "Запишем второй закон Ньютона для маленького кусочка каната в проекции на касательную к нему ось:$$\Delta m\cdot a=\Delta m\cdot g\sin\alpha+T_1-T_2.$$Если кусочек выбран в месте с максимальной силой натяжения, то $T_1=T_2$, откуда получаем$$\sin\alpha=\frac{a}{g}=\frac{1}{2}, \\ \alpha=30^{\circ}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\alpha=30^{\circ}.$$"]}, "number_part": "3.", "exponent_part": "1,50"}]