text: {"text": [{"text": "В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, совершенного над фиксированным количеством одноатомного идеального газа (см. рисунок). <img_0> От времени чернила выцвели, и информация про направления некоторых процессов была утрачена. Также была утрачена и информация про то, что отложено по оси абсцисс. Известно лишь, что на оси абсцисс отложена одна из следующих величин: объем, давление, температура или плотность, а шкала выполнена в условных единицах. По оси ординат отложена молярная теплоемкость газа $C$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите максимально возможный КПД цикла."}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимально возможный КПД цикла. ", "solution": {"text": "Заметим, что цикл состоит из трех процессов, с теплоемкостями $\frac{5}{2} R$, $\frac{3}{2} R$ и $2 R$, значит первые два процесса — изохорический и изобарический соответственно. Выясним какой процесс имеет теплоемкость $2 R$. По определению теплоемкости $$ C=\frac{\delta Q}{d T}=\frac{\frac{3}{2}(P d V+V d P)+P d V}{\frac{1}{R}(P d V+V d P)}=2 R, $$ откуда получим $P d V=V d P$ или $\frac{P}{V}=\frac{d P}{d V}$, что соответствует процессу в котором давление пропорционально объему. Заметим, что изохорический процесс на графике в условии представлен в виде точки, что означает, что по оси абсцисс отложен объем или плотность. Рассмотрим вариант, где по оси абсцисс отложен объем. Тогда используя тот факт, что один из процессов — это изобарическое расширение и что изохорический процесс происходит при наименьшем значении объема на изобаре, получаем следующий вид цикла (см. рисунок). <img_1> Найдем его КПД, обозначив минимальные давления и объем за $P_{0}$ и $V_{0}$. Здесь тепло подводится в изохорическом и изобарическом процессах. $$ \eta=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2 P_{0} \cdot 2 V_{0}}{\frac{3}{2}\left(3 P_{0} \cdot 3 V_{0}-P_{0} V_{0}\right)+3 P_{0} \cdot\left(3 V_{0}-V_{0}\right)}=\frac{2 P_{0} V_{0}}{18 P_{0} V_{0}}=\frac{1}{9}. $$ Если по оси абсцисс графика из условия отложена плотность или $\frac{1}{V}$, то соответствующий график процесса представлен на рисунке ниже. <img_2> Рассчитаем КПД цикла в этом случае. Тепло подводится только на участке, на котором $P \sim V$. $$ \eta=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2 P_{0} \cdot 2 V_{0}}{\frac{3}{2}\left(3 P_{0} \cdot 3 V_{0}-P_{0} V_{0}\right)+\frac{P_{0}+3 P_{0}}{2} \cdot\left(3 V_{0}-V_{0}\right)}=\frac{2 P_{0} V_{0}}{16 P_{0} V_{0}}=\frac{1}{8}. $$ Таким образом максимальный КПД цикла равен $$ \eta=\frac{1}{8}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \eta=\frac{1}{8}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]