text: {"text": [{"text": "Рассмотрим классическую механическую систему с некоторым параметром $\lambda$, который может медленно меняться с течением времени. Если движение системы периодическое с периодом $T$, изменение параметра можно считать медленным при условии $$ T\frac{d\lambda}{dt}\ll{\lambda}. $$ В общем случае по временем $T$ можно понимать характерное время процессов, протекающих в системе. Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении параметров системы. Можно доказать, что адиабатическим инвариантом является величина $$ I=\frac{1}{2\pi}\oint pdq. $$ Здесь $p$ — одна из проекций импульса системы, $q$ — соответствующая координата. Если изобразить периодическое движение частицы в координатах $p$, $q$, при периодическом движении получим замкнутую кривую. Тогда интеграл в определении $I$ равен площади, ограниченной этой кривой."}, {"text": "Часть A. Движение между двумя стенками (0.8 балла) <img_0> По гладкой горизонтальной спице между двумя вертикальными стенками может скользить бусинка массы $m$. Все удары бусинки со стенками абсолютно упругие. Одна стенка неподвижна, а вторая стенка движется по направлению к первой со скоростью $u$, удовлетворяющей соотношению $u\ll{v}$, где $v$ - скорость бусинки. Начальное расстояние между стенками равняется $L_0$, начальная скорость бусинки $v_0$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите скорость бусинки сразу после соударения с подвижной стенкой."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите изменение расстояния между стенками за время между двумя последовательными соударениями бусинки с подвижной стенкой. Необходимо получить точную формулу."}, {"text": "Часть B. Движение между стенкой и тяжёлой частицей (1.2 балла) <img_1> Данная часть задачи является фактическим продолжением предыдущей. Отличие состоит в том, что теперь на лёгкую частицу массы $m$, движущуюся со скоростью $v_0$ налетает со скоростью $u\ll{v_0}$ частица массы $M\gg{m}$. С другой стороны по-прежнему неподвижная стенка. Начальное расстояние между частицами равнялось $L_0$. Известно, что в процессе движения максимальная скорость легкой частицы равнялась $kv_0$. Массы частиц не даны!"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите выражение для адиабатического инварианта $I$ для рассмотренной системы и определите скорость бусинки в момент, когда расстояние между стенками уменьшилось до значения $L$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите отношение масс $M/m$ через $u, v_0$ и $k$."}, {"text": "Часть C. Модель иона (1.5 балла) <img_2> В данной части рассматривается упрощённая модель иона ${H_2}^+$. Две частицы массы $M$ и находящаяся между ними частица массы $m\ll{M}$ могут двигаться по гладкой горизонтальной спице. Лёгкая частица притягивается к тяжёлым с постоянными силами $F$. В момент, когда расстояние между тяжёлыми частицами равнялось $L_0$, скорость лёгкой частицы в системе отсчета центра масс двух тяжелых частиц равняется $v_0$. Вам предлагается исследовать положение равновесия данной системы, а также найти частоту её малых колебаний вблизи него. Обозначим расстояние между тяжелыми частицами за $x$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Через какое время тяжёлая частица остановится? Ответ выразите через $L_0, v_0, u$ и $k$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Получите выражение для кинетической энергии системы. Ответ выразите через $M, m, x, \dot{x}, v_0$ и $L_0$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,20"}, "text": "Получите выражение для потенциальной энергии системы. Ответ выразите через $F$ и $x$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "При каком значении $x$ система находится в положении равновесия? Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$."}, {"text": "Часть D. Движение внутри эллипса (2.2 балла) <img_3> По гладкой горизонтальной поверхности ограниченной вертикальными стенками может свободно двигаться маленькая шайба. Стенки ограничивают часть поверхности в форме эллипса с большой и малой полуосями $a$ и $b$ соответственно. В положении с координатами $(r;0)$ шайбе сообщили скорость, проекции которой равны $v_x=v_0\sin\alpha; v_y=v_0\cos\alpha$, причём $r\ll{a,b}$, $\alpha\ll{1}$. От вас потребуется в первом приближении по этим малым параметрам описать движение шайбы."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите циклическую частоту малых колебаний системы вблизи положения равновесия. Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,00"}, "text": "Можно показать, что в рассматриваемом приближении квадрат компоненты $v_x$ скорости шайбы зависит от координаты $x$ как $v^2_x=A+Bx+Cx^2$. Выразите $A, B$ и $C$ через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите максимальное значение координаты $x$ шайбы в процессе движения. Ответ выразите через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$."}, {"text": "Часть E.Математический маятник на наклонной плоскости (1.3 балла) К гладкой наклонной плоскости привязан математический маятник, совершающий малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. В этой части задачи вам предлагается исследовать, как изменяется амплитуда колебаний маятника с изменением угла наклона плоскости, а также длины маятника. В начальный момент амплитуда колебаний (измеряется угол отклонения маятника от положения равновесия) равна $\varphi_0 \ll 1$, длина маятника равна $L_0$, а угол наклона плоскости равен $\alpha_0$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,60"}, "text": "Через какое время после запуска шайба впервые окажется в точке с координатой $x=0$? Какое условие на соотношение $a/b$ должно выполняться для применимости полученного результата?"}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите адиабатический инвариант $I$ для гармонического осциллятора с массой $m$, колеблющегося с циклической частотой $\omega_0$ и амплитудой $A$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть при неизменном угле наклона длину маятника адиабатически медленно увеличили до $L$. Найдите новую амплитуду колебаний маятника $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, L_0$ и $L$."}, {"text": "Часть F. Ларморовская прецессия в медленно изменяющемся магнитном поле (2.5 балла) Рассмотрим кольцо массы $M$,равномерно заряженное по периметру зарядом $q$, помещённое в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B_0}$. Кольцо раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\vec{\omega}$ и отпустили. Угол между векторами магнитной индукции и угловой скорости вращения кольца в начальный момент равен ${\alpha_0}$. Примечание: Магнитный момент системы зарядов можно вычислить по формуле $$\vec{m}=\int\frac{[\vec{r}\times\vec{v}]}{2}dq $$"}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "0,40"}, "text": "Пусть при неизменной длине маятника угол наклона адиабатически медленно увеличили до значения $\alpha$. Найдите новую амплитуду колебаний $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, \alpha$ и $L_0$."}, {"balls": {"number": "F1", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите вектор магнитного момента кольца $\vec{m}$ через $q$,$M$ и вектор его момента импульса относительно центра $\vec{L}$."}, {"balls": {"number": "F2", "exponent": "0,20"}, "text": "Покажите, что модуль момента импульса $L$ остаётся постоянным."}, {"balls": {"number": "F3", "exponent": "0,70"}, "text": "Покажите, что ось кольца испытывает прецессию и найдите вектор угловой скорости $\vec{\Omega}$ этой прецессии. Ответ выразите через $q$, $M$ и $\vec{B_0}$. Считайте, что $\Omega\ll{\omega}$."}, {"balls": {"number": "F4", "exponent": "0,70"}, "text": "Магнитное поле адиабатически медленно начинают уменьшать со скоростью $\dot{B}$. Найдите момент сил (модуль и направление), действующих на кольцо со стороны вихревого электрического поля. В этом и следующем пункте считйте, что $\alpha_0=\pi/2$."}, {"text": "Часть G. Движение в неоднородном магнитном поле (3.0 балла) Одним из методов удержания частиц в магнитной ловушке в продольном (по полю) направлении состоит в использовании магнитных пробок, или магнитных зеркал, — областей, в которых напряжённость магнитного поля сильно (но плавно) возрастает. Такие области могут отражать налетающие на них вдоль силовых линий заряженные частицы. При движении заряженной частицы в "зеркальной" магнитной ловушке радиус траектории частицы уменьшается при продвижении в область сильного поля. В рамках двух последних частей мы изучим движение в таких полях. Для магнитных зеркал определим коэффициент зеркальности $r_m$ $$r_m=\frac{B_{max}}{B_{min}} $$ Во всех пунктах считайте, что траектории частиц представляют собой медленно изменяющиеся спирали с малым углом наклона, ведущие центры которых совпадают с силовыми линиями магнитного поля. Введём также компоненты скорости $v_{||}$ и $v_\perp$ ($v_{||}\ll v_{\perp}$), обозначающие компоненты скорости частицы, направленные вдоль и перпендикулярно направлению магнитного поля соответственно."}, {"balls": {"number": "F5", "exponent": "0,70"}, "text": "Значение магнитного поля уменьшилось до $\vec{B_1}$. Найдите угол между осью вращения и направлением магнитного поля. Изменение угла можно считать малым."}, {"balls": {"number": "G1", "exponent": "0,20"}, "text": "Рассмотрим для начала плоское движение в однородном магнитном поле с индукцией $B_0$. Пусть его производная по времени равна $\dot{B}$ и изменение происходит адиабатически медленно. Начальная скорость частицы равна $v_0$,её масса $M$, а заряд $q$. Выразите тангенциальное ускорение частицы $\dot{{v_\perp}}$ через $M, q, v_0, B_0$ и $\dot{B}$."}, {"balls": {"number": "G2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть магнитное поле медленно изменило величину до значения $B$. Выразите скорость частицы $v_\perp$ через $v_0, B_0$ и $B$. Перейдём к неоднородному магнитному полю. Поскольку ведущий центр траектории электрона перемещается вдоль силовой линии. Будем считать, что магнитное поле изменяется только в данном направлении."}, {"balls": {"number": "G3", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть угол наклона винтовой линии равен $\alpha$ и мал. Покажите, что усреднённая по времени сила, действующая в направлении магнитного поля на заряд эквивалентна взаимодействию магнитного диполя с неоднородным полем. Найдите величину силы $F_{||}$. Ответ выразите через $m, v, q, B_z$ и $\frac{dB_z}{dz}$, где ось $z$ сонаправлена с магнитным полем. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле."}, {"balls": {"number": "G4", "exponent": "0,70"}, "text": "Используя результаты предыдущих пунктов, определите зависимость угла $\alpha$ от величины магнитного поля $B$ Ответ выразите через $\alpha_0, B_0$ и $B$."}, {"text": "Часть H. Установка для реализации магнитного зеркала (2.5 балла) <img_4> Мы изучили движение в неоднородных магнитных полях и готовы перейти к исследованию задачи о магнитных зеркалах. Схема, используемая для их реализации, представлена на рисунке. Она представляет собой два соосных витка одинакового радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $2H\gg{R}$ друг от друга. По виткам протекают токи одинаковой силы $I$ в одном направлении. витки помещены в область большого однородного магнитного поля с индукцией $B_0$, направленного вдоль их осей. Целью данной задачи является исследование силовых линий такой системы и, как следствие, описание траектории ведущего центра орбиты электронов."}, {"balls": {"number": "G5", "exponent": "0,60"}, "text": "Выразите максимально возможное значение угла $\alpha$ через $r_m$."}, {"balls": {"number": "H1", "exponent": "0,40"}, "text": "Получите точную формулу зависимости индукции магнитного поля от координаты $x$. Начало координат находится по центру между витками, ось $x$ направлена вдоль магнитного поля. Найдите, учитывая малость некоторых параметров, также максимальное и минимальное значение суммарной индукции магнитного поля на оси витков."}, {"balls": {"number": "H2", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите коэффициент зеркальности $r_m$ для данной системы. Учтите здесь и в дальнейшем, что $H\gg{R}$."}, {"balls": {"number": "H3", "exponent": "1,00"}, "text": "Качественно нарисуйте силовую линию, проходящую через плоскость кольца на малом расстоянии $R_0\ll{R}$ от его оси в координатах $r'(x)$, где $r'$ — расстояние до оси симметрии системы. Найдите максимальное значение $r'$ и выразите ответ в виде: $r' \approx A + B (r-1)$."}, {"balls": {"number": "H4", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите максимальное значение угла $\alpha$ в процессе движения, если отражения от магнитных зеркал происходит в плоскости колец. Считайте, что точки разворота частицы находятся достаточно близко к центрам колец. Учтите малость $r_m$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите скорость бусинки сразу после соударения с подвижной стенкой. ", "solution": {"text": "При упругом отражении относительная скорость стенки и бусинки не меняется по модулю, но меняется по направлению, поэтому $$v_1=v_{отн}+u=v_0+2u $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите изменение расстояния между стенками за время между двумя последовательными соударениями бусинки с подвижной стенкой. Необходимо получить точную формулу. ", "solution": {"text": "Время между двумя последовательными соударениями проще всего вычислить, рассмотрев столкновение с симметричной стенкой, движущейся с той же скоростью. Отсюда $$\Delta{t}=\frac{2L_0}{v_1+u} $$ Найдём изменение расстояния $$\Delta{L}=-u\Delta{t}=-\frac{2L_0u}{v_0+3u} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите выражение для адиабатического инварианта $I$ для рассмотренной системы и определите скорость бусинки в момент, когда расстояние между стенками уменьшилось до значения $L$. ", "solution": {"text": "Из результатов предыдущих двух пунктов при условии $u\ll{v}$ $$\frac{\Delta{L}}{L}=-\frac{2u}{v_0+3u}\approx-\frac{\Delta{v}}{v} $$ откуда после интегрирования $$Lv=const=L_0v_0 $$ Учитывая физический смысл адиабатического инварианта $$I=\frac{L_0v_0}{\pi} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите отношение масс $M/m$ через $u, v_0$ и $k$. ", "solution": {"text": "Максимальная скорость лёгкой частицы достигается в момент, когда тяжёлая останавливается. Из ЗСЭ $$\frac{Mu^2}{2}+\frac{m{v_0}^2}{2}=\frac{k^2m{v_0}^2}{2} $$ откуда $$\frac{M}{m}=\left(\frac{v_0}{u}\right)^2\left(k^2-1\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Через какое время тяжёлая частица остановится? Ответ выразите через $L_0, v_0, u$ и $k$. ", "solution": {"text": "Найдём из ЗСЭ скорость тяжёлой частицы как функцию расстояния $x$ между ней и стенкой. Из условия сохранения адиабатического инварианта для лёгкой частицы $$v(x)=\frac{v_0L_0}{x} $$ Тогда из ЗСЭ с учётом того, что скорость тяжёлой частицы $v_т=-\frac{dx}{dt}$ получим $$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac{m{v_o}^2}{M}\left(k^2-\left(\frac{L_0}{x}\right)^2\right)=\frac{u^2}{k^2-1}\left(k^2-\left(\frac{L_0}{x}\right)^2\right) $$ откуда $$dt=-\frac{\sqrt{k^2-1}}{k^2u}\frac{k^2xdx}{\sqrt{k^2x^2-{L_0}^2}} $$ Интегрируя $$t=\frac{\sqrt{k^2-1}}{k^2u}\int\limits_0^{{L_0}^2(k^2-1)}\frac{dz}{\sqrt{z}}=\frac{L_0}{u}\left(1-\frac{1}{k^2}\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Получите выражение для кинетической энергии системы. Ответ выразите через $M, m, x, \dot{x}, v_0$ и $L_0$. ", "solution": {"text": "Учитывая покой системы, центр масс неподвижен.Значит, кинетическая энергия тяжёлых частиц может быть выражена через приведённую массу $\mu$ и их относительную скорость $$E_M=\frac{M\dot{x}^2}{4} $$ Кинетическая энергия лёгкой частицы может быть найдена из условия сохранения адиабатического инварианта $$E_m=\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{2x^2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Получите выражение для потенциальной энергии системы. Ответ выразите через $F$ и $x$. ", "solution": {"text": "Взаимодействия лёгкой частицы с обеими тяжёлыми можно представить как взаимодействие самих тяжёлых частиц. С учётом притяжения и постоянства силы $$W_p=Fx+C $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "При каком значении $x$ система находится в положении равновесия? Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$. ", "solution": {"text": "Из ЗСЭ $$E_m+E_M+W_p=E_0 $$ отсюда $$\frac{M\dot{x}^2}{4}+\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{2x^2}+Fx=const $$ В положении равновесия эффективный потенциал минимален.Дифференцируя $$F=\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{x^3} $$ откуда $$x_0=\left(\frac{m{v_0}^2{L_0}^2}{F}\right)^{\frac{1}{3}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите циклическую частоту малых колебаний системы вблизи положения равновесия. Ответ выразите через $M, m, v_0, L_0$ и $F$. ", "solution": {"text": "Вычислим вторую производную эффективного потенциала $$\frac{d^2{U_{eff}}}{dx^2}=\frac{3m{v_0}^2{L_0}^2}{{x_0}^4} $$ после чего получим уравнение гармонических колебаний $$\frac{M\dot{x}^2}{4}+\frac{1}{2}\frac{d^2{U_{eff}}}{dx^2}=C $$ Откуда после дифференцирования $${\omega_0}^2=\frac{6m{v_0}^2{L_0}^2}{M}\left(\frac{F}{m{v_0}^2{L_0}^2}\right)^{\frac{4}{3}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Можно показать, что в рассматриваемом приближении квадрат компоненты $v_x$ скорости шайбы зависит от координаты $x$ как $v^2_x=A+Bx+Cx^2$. Выразите $A, B$ и $C$ через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$. ", "solution": {"text": "Для движения вдоль оси $y$ сохраняется адиабатический инвариант $$v_yy=const $$ С учётом начальных условий $${v_y}^2=\frac{{v_0}^2\cos^2(\alpha){y_0}^2}{y^2}=\frac{{v_0}^2\cos^2(\alpha)\left(1-\left(\frac{r}{a}\right)^2\right)}{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} $$ учитывая малость $x$ и ЗСэ $${v_x}^2={v_0}^2-{v_y}^2={v_0}^2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{r^2}{a^2}\cos^2(\alpha)\right)-\left(\frac{{v_0}\cos(\alpha)x}{a}\right)^2 $$ Таким образом $$A={v_0}^2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{r^2}{a^2}\cos^2(\alpha)\right) $$ $$B=0 $$ $$C=-\left(\frac{{v_0}\cos(\alpha)}{a}\right)^2 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите максимальное значение координаты $x$ шайбы в процессе движения. Ответ выразите через $v_0$, $\alpha, a, b$ и $r$. ", "solution": {"text": "Из ЗСЭ получим $${v_x}^2={v_0}^2-{v_y}^2={v_0}^2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{r^2}{a^2}\cos^2(\alpha)\right)-\left(\frac{{v_0}\cos(\alpha)x}{a}\right)^2 $$ При максимуме $x$ левой части стоит ноль, поэтому $$x_{max}=\sqrt{a^2\sin^2(\alpha)+r^2\cos^2(\alpha)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Через какое время после запуска шайба впервые окажется в точке с координатой $x=0$? Какое условие на соотношение $a/b$ должно выполняться для применимости полученного результата? ", "solution": {"text": "Движение вдоль оси $x$ представляет собой гармонические колебания с циклической частотой $\frac{v_0\cos(\alpha)}{a}$,поэтому $$t=\frac{a}{v_0\cos(\alpha)}\left(\frac{\pi}{2}+\arccos{\frac{r}{\sqrt{a^2\sin^2(\alpha)+r^2\cos^2(\alpha)}}}\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите адиабатический инвариант $I$ для гармонического осциллятора с массой $m$, колеблющегося с циклической частотой $\omega_0$ и амплитудой $A$. ", "solution": {"text": "Площадь фазовой траектории в случае гармонического осциллятора - это площадь эллипса с полуосями $A$ и $m {\omega_0}A$. Таким образом $$I=\frac{m A^2\omega_0}{2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть при неизменном угле наклона длину маятника адиабатически медленно увеличили до $L$. Найдите новую амплитуду колебаний маятника $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, L_0$ и $L$. ", "solution": {"text": "Циклическая частота такого маятника следующая $$\omega_0=\sqrt{\frac{g\sin(\alpha)}{L}} $$ А адиабатический инвариант $$I=\frac{m L^2{\varphi}^2}{2}\sqrt{\frac{g\sin(\alpha)}{L}} $$ Таким образом, при неизменном угле $$\varphi=\varphi_0\left(\frac{L_0}{L}\right)^{\frac{3}{4}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Пусть при неизменной длине маятника угол наклона адиабатически медленно увеличили до значения $\alpha$. Найдите новую амплитуду колебаний $\varphi$. Ответ выразите через $\varphi_0, \alpha_0, \alpha$ и $L_0$. ", "solution": {"text": "Используя результат предыдущего пункта $$\varphi=\varphi_0\left(\frac{\sin(\alpha_0)}{\sin(\alpha)}\right)^{\frac{1}{4}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите вектор магнитного момента кольца $\vec{m}$ через $q$,$M$ и вектор его момента импульса относительно центра $\vec{L}$. ", "solution": {"text": "По определению $$\vec{L}=\int[\vec{r}\times\vec{v}]dm $$ Учитывая, что кольцо однородное и равномерно заряжено по периметру $$\vec{m}=\frac{q}{2m}\vec{L} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Покажите, что модуль момента импульса $L$ остаётся постоянным. ", "solution": {"text": "Момент сил ,действующих на магнитный момент в магнитном поле $$\vec{M}=[\vec{m}\times\vec{B}] $$ $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}=\frac{q}{2m}[\vec{L}\times\vec{B}] $$ Отсюда следует, что производная вектора момента импульса перпендикулярна ему, откуда и следует, что момент импульса по модулю сохраняется."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Покажите, что ось кольца испытывает прецессию и найдите вектор угловой скорости $\vec{\Omega}$ этой прецессии. Ответ выразите через $q$, $M$ и $\vec{B_0}$. Считайте, что $\Omega\ll{\omega}$. ", "solution": {"text": "Пусть угловая скорость вращения вектора момента импульса равна $\vec{\Omega}$ $$\frac{d\vec{L}}{dt}=[\vec{\Omega}\times\vec{L}]=\frac{q}{2m}[\vec{L}\times\vec{B}] $$ Откуда $$[\vec{\Omega}+\frac{q}{2m}\vec{B}\times\vec{L}]=0 $$ и окончательно $$\vec{\Omega}=-\frac{q}{2m}\vec{B} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F3", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Магнитное поле адиабатически медленно начинают уменьшать со скоростью  $\dot{B}$. Найдите момент сил (модуль и направление), действующих на кольцо со стороны вихревого электрического поля. В этом и следующем пункте считйте, что $\alpha_0=\pi/2$. ", "solution": {"text": "Есть только одна компонента момента сил - направленная вдоль магнитного поля Вихревое поле,возникающее на расстоянии $r$ от оси, проходящей через центр вдоль магнитного поля $$E=-\frac{\dot{B}r}{2} $$ $$M_z=\int E(r)rdq=-\int\frac{\dot{B}r^2dq}{2}=-\frac{\dot{B}I_zq}{2m} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Значение магнитного поля уменьшилось до $\vec{B_1}$. Найдите угол между осью вращения и направлением магнитного поля. Изменение угла можно считать малым. ", "solution": {"text": "Момент импульса кольца складывается из быстрой компоненты вращения, а также из компоненты, связанной с прецессией. Тогда производная момента импульса в проекции на ось Z следующая $$\frac{dL_z}{dt}=I_z\dot{\Omega}-I_r{\omega}\dot{\alpha}=-\frac{\dot{B}I_zq}{2m}-I_r{\omega}\dot{\alpha}=M_z=-\frac{\dot{B}I_zq}{2m} $$ Откуда $$\dot{\alpha}=0 $$ Таким образом, угол $\alpha$ при медленно уменьшении поля остаётся постоянным и ответ $$\alpha_1=\frac{\pi}{2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "F5", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Рассмотрим для начала плоское движение в однородном магнитном поле с индукцией $B_0$. Пусть его производная по времени равна $\dot{B}$ и изменение происходит адиабатически медленно. Начальная скорость частицы равна $v_0$,её масса $M$, а заряд $q$. Выразите тангенциальное ускорение частицы $\dot{{v_\perp}}$ через $M, q, v_0, B_0$ и $\dot{B}$. ", "solution": {"text": "Используя полученные ранее выражения для вихревого электрического поля $$\dot{v_\perp}=\frac{qmv_{\perp}\dot{B}}{2qBm}=\frac{v_{\perp}\dot{B}}{2B} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть магнитное поле медленно изменило величину до значения $B$. Выразите скорость частицы $v_\perp$  через $v_0, B_0$ и $B$. ", "solution": {"text": "После интегрирования полученного выражения в предыдущем пункте $$\frac{{v_\perp}^2}{B}=const $$ Откуда $$v_\perp=v_0\sqrt{\frac{B}{B_0}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть угол наклона винтовой линии равен $\alpha$ и мал. Покажите, что усреднённая по времени сила, действующая в направлении магнитного поля на заряд эквивалентна взаимодействию магнитного диполя с неоднородным полем. Найдите величину силы $F_{||}$. Ответ выразите через $m, v, q, B_z$ и $\frac{dB_z}{dz}$, где ось $z$ сонаправлена с магнитным полем.  Указание: Мы уже упоминали, что любые заряженные частицы обладают магнитным моментом. Поэтому вам достаточно рассмотреть контур с постоянным током, движущийся в неоднородном магнитном поле. ", "solution": {"text": "Рассмотрим проводник с током $I$,текущим по правилу правого винта. Рассмотрим замкнутую поверхность имеющую два сечения в форме проводника. По теореме Гаусса поток через неё равен нулю, поэтому $$SdB_z=d\Phi=dz\int B_\perp dl $$ Для $F_z$ имеем $$F_z=I\int B_\perp dl=Is\frac{dB_z}{dz}=m_z\frac{dB_z}{dz} $$ Момент импульса частицы направлен против магнитного поля, найдём его по модулю $$L_z=-m{v_\perp} r=-\frac{m^2{v_\perp}^2}{qB} $$ $$m_z=\frac{q}{2m}L_z=-\frac{m{v_\perp}^2}{2B} $$ И окончательно $$F_z=-\frac{m{v_\perp}^2}{2B}\frac{dB_z}{dz} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Используя результаты предыдущих пунктов, определите зависимость угла $\alpha$ от величины магнитного поля $B$ Ответ выразите через $\alpha_0, B_0$ и $B$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения энергии следует, что модуль скорости частицы не меняется. Перпендикулярная компонента скорости выражается как $$ v_\perp = v \cos \alpha. $$ Из инварианта, найденного в предыдущем пункте $$ v_\perp^2 = v_{0\perp}^2 \frac{B}{B_0}. $$ Отсюда $$ \cos \alpha= \cos \alpha_0 \sqrt{\frac{B}{B_0}}. $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Выразите максимально возможное значение угла $\alpha$ через $r_m$. ", "solution": {"text": "Для возможности работы магнитного зеркала необходимо, чтобы $\sin(\alpha)$ принимал любые значения вплоть до нуля. Тогда $$\cos(\alpha_0)\geq\frac{1}{\sqrt{r}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "G5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Получите точную формулу зависимости индукции магнитного поля от координаты $x$. Начало координат находится по центру между витками, ось $x$ направлена вдоль магнитного поля. Найдите, учитывая малость некоторых параметров, также максимальное и минимальное значение суммарной индукции магнитного поля на оси витков. ", "solution": {"text": "Из закона Био-Савара-Лапласа $$d\vec{B}=\frac{\mu_0~I}{4\pi}\frac{[d\vec{r}\times\vec{r}]}{r^3} $$ с учётом одинаковой направленности сил тока получим $$B(x)=B_0+\frac{\mu_0~IR^2}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{R^2+(H-x)^2}}+\frac{1}{\sqrt{R^2+(H+x)^2}}\right) $$ Максимум данной функции достигается в центрах витков, а минимум - при $x=0$. Отсюда с учётом малости полей витков $$B_{min}=B_0 $$ $$B_{max}=B_0+\frac{\mu_0~I}{2R} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите коэффициент зеркальности $r_m$ для данной системы. Учтите здесь и в дальнейшем, что $H\gg{R}$. ", "solution": {"text": "$$r=1+\frac{\mu_0~I}{2B_0R} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Качественно нарисуйте силовую линию, проходящую через плоскость кольца на малом расстоянии $R_0\ll{R}$ от его оси в координатах $r'(x)$, где $r'$ — расстояние до оси симметрии системы. Найдите максимальное значение $r'$ и выразите ответ в виде: $r' \approx  A + B (r-1)$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим трубку силовых линий, симметричную относительно оси системы и ограниченную линиями, проходящими на расстоянии $R_0$ через плоскость кольца. Поскольку поток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю, можем написать соотношение $$ B_{max} R_0^2 = B_{min} r'^2. $$ Отсюда $$ r' = R_0 \sqrt{\frac{B_{max}}{B_{min}}} = R_0 \sqrt{1+\frac{\mu_0~I}{2B_0R}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите максимальное значение угла $\alpha$ в процессе движения, если отражения от магнитных зеркал происходит в плоскости колец. Считайте, что точки разворота частицы находятся достаточно близко к центрам колец. Учтите малость $r_m$. ", "solution": {"text": "$$\cos^2(\alpha_0)=\frac{1}{r} $$ Поэтому $$\sin^2(\alpha_{max})=1-\frac{1}{r}=\frac{\mu_0~I}{2B_0R} $$ Или $$\alpha_{max}\approx{\sqrt{\frac{\mu_0~I}{2B_0R}}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "H4", "exponent_part": "0,50"}]