text: {"text": [{"text": "Плотность слоя жидкости высотой $H$, заполняющей полностью закрытый толстостенный цилиндрический сосуд, линейно уменьшается с высотой от $\rho_{max}$ до малой величины, которую можно принять равной нулю. Над жидкостью находится тонкий слой насыщенного пара, давлением которого можно пренебречь по сравнению с гидростатическим давлением жидкости. Снизу в жидкость погружают перевернутую пробирку объемом $V_{0}$, масса $M$ которой сосредоточена возле горлышка, а длина значительно меньше $H$. В пробирке находится газ, занимающий объем $V_{1}$, масса которого значительно меньше массы пробирки. Температура системы поддерживается постоянной. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,75"}, "text": "Может ли пробирка неподвижно зависнуть в сосуде?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "0,50"}, "text": "Если да, то при каких условиях и на какой высоте от дна?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "0,75"}, "text": "Будет ли ее положение равновесия устойчивым? Объем стенок пробирки мал по сравнению с $V_{1}$."}]}
answer: [{"condition": "Может ли пробирка неподвижно зависнуть в сосуде? ", "solution": {"text": "Найдем сначала изменение плотности жидкости и давления по высоте сосуда:$$\rho_{жидкости}(h)=\rho_{\max}\left(1-\frac{h}{H} \right); \ (1) \\p(h)=\int\limits_h^H\rho(x)g\,dx=\frac{1}{2}\rho_{\max} gH\left(1-\frac{h}{H} \right)^{2}. \ (2)$$Видно, что в верхней части сосуда давление убывает до нуля. Это значит, что в этой области объем газа превысит объем пробирки, и пузырьки газа будут выходить из нее наружу. Пока газ не выходит из пробирки, происходит его изотермическое расширение, так что$$p(h)V(h)=\frac{1}{2}\rho_{\max}gHV_{1}, \ (3)$$откуда, с учетом $(2)$,$$V(h)=\frac{V_{1}}{\left(1-\frac{h}{H} \right)^{2}}. \ (4)$$Формула $(4)$ справедлива при $V(h) < V_{0}$, т.е. при$$h< H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right). \ (5)$$С учетом $(4)$-$(5)$ можно записать среднюю плотность газа в пробирке с учетом массы ее стенок:$$\begin{equation*}\rho_{газа}(h)=\frac{M}{V(h)}=\begin{cases} \rho_{1}\left(1-\frac{h}{H} \right)^{2}, h < H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right);\\ \rho_{0}, h \ge H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right), \ (6) \end{cases}\end{equation*}$$где использованы обозначения $\rho_{0,1} = M/ V_{0,1}$.Различные варианты хода зависимостей $\rho/\rho_{\max}$ от $h/H$ представлены на рис. 1-3. Кривая $1$ всюду соответствует жидкости, кривая $2$ — средней плотности газа в пробирке с учетом массы ее стенок.Кривые $1$ и $2$ не пересекаются (рис.1), если при $h=H\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}} \right)$ выполняется условие $\rho_{газа} > \rho_{жидкости}$, т.е.$$\frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} > \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}}. \ (7)$$ <img_1> В этом случае пробирка всегда будет тонуть. Если одновременно выполняются условия$$\frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} < \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}}, \quad \rho_{1} > \rho_{\max}, \ (8)$$кривые пересекаются в двух точках (рис. 2):$$h=H\left(1-\frac{\rho_{\max}}{\rho_{1}} \right) \text{ (точка $A$)}; \ (9) \\h=H\left(1-\frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} \right) \text{ (точка $B$)}. \ (10)$$ <img_2> Точка $A$ является неустойчивой, поскольку при отклонении от нее вниз пробирка будет тонуть, а при отклонении вверх — всплывать. Точка $B$ на первый взгляд кажется устойчивой.Если выполнены условия $$\rho_{1} < \rho_{\max}, \quad \frac{\rho_{0}}{\rho_{\max}} < \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{0}}}, \ (11)$$остается только одна точка пересечения $B$ (рис. 3). <img_3> Однако при анализе ее устойчивости надо иметь в виду, что на горизонтальном участке кривой $2$ при движении вправо газ все время вытекает из пробирки. Поэтому движение влево будет совсем иным, а именно по параболе вида $(6)$ (верхняя строка), но с новым (большим) значением $\rho_{1}$, соответствующим оставшемуся в пробирке количеству газа. <img_4>"}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,75"}, {"condition": "Если да, то при каких условиях и на какой высоте от дна? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Будет ли ее положение равновесия устойчивым? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ:"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "0,75"}]