text: {"text": [{"text": "Частицы с массами $M$ и $m$ и зарядами $q$ и $(-q)$ соответственно вращаются с угловой скоростью $\omega$ по окружностям вокруг оси, направленной параллельно внешнему однородному электрическому полю с напряжённостью $E$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите расстояние $R$ между частицами и расстояние $H$ между плоскостями их орбит."}]}
answer: [{"condition": "Найдите расстояние $R$ между частицами и расстояние $H$ между плоскостями их орбит. ", "solution": {"text": "Направим ось $O y$ вдоль вектора напряжённости поля $\vec{E}$, а ось $O x$ перпендикулярно ей (см. рисунок). <img_1> Пусть отрезок, соединяющий частицы, составляет с осью $O y$ угол $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона для частиц в проекции на введённые оси в момент времени, когда ускорения частиц направлены вдоль оси $O x$:$$\begin{array}{ll}\text{Ось } O x: & M \omega^{2} r_{1}=\frac{k q^{2} \sin \alpha}{R^{2}}, \qquad (1)\\& -m \omega^{2} r_{2} =-\frac{k q^{2} \sin \alpha}{R^{2}}, \qquad (2)\\\text {Ось } O y: & q E=\frac{k q^{2} \cos \alpha}{R^{2}}, \qquad (3)\end{array}$$где $r_{1}$ и $r_{2}$ — орбиты окружностей, по которым движутся частицы $M$ и $m$ соответственно. Заметим также, что$$r_{1}+r_{2}=R \sin \alpha. \qquad (4)$$Таким образом, из $(1)$, $(2)$ и $(4)$ находим:$$R=\sqrt[3]{\frac{k q^{2}}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}}.$$Наконец, используя $(3)$, получим:$$H=R \cos \alpha=\frac{q E}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R=\sqrt[3]{\frac{k q^{2}}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}}.\\H=\frac{q E}{\omega^{2}} \frac{M+m}{M m}.$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]