text: {"text": [{"text": "Для измерения электрического сопротивления широко используются мостовые схемы. <img_0> На рисунке показана электрическая схема моста Уитстона, предназначенная для измерения неизвестного сопротивления $R_{x}$. Сопротивления резисторов $R_{1}$ и $R_{2}$ можно плавно изменять. Сопротивление резистора $R_{0}$ известно с высокой точностью. Изменяя сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$, добиваются, чтобы ток $i$ через миллиамперметр стал равным нулю. В этом случае говорят, что мост сбалансирован."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "1,50"}, "text": "Выразите неизвестное сопротивление $R_{x}$ через сопротивления $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{0}$ при условии сбалансированности моста."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "0,50"}, "text": "В реальных измерениях практически невозможно точно зафиксировать отсутствие тока через миллиамперметр, так как его чувствительность ограничена. Пусть минимальное значение силы тока, которое может зафиксировать миллиамперметр равно $i_{0}$ (то есть при $i < i_{0}$ миллиамперметр показывает ноль). Определите относительную погрешность измерения сопротивления $R_{x}$, вызванную неточностью определения нулевого значения тока через миллиамперметр. Общую силу тока в цепи $I_{0}$ считайте постоянной и известной, причем $I_{0}\gg i_{0}$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите неизвестное сопротивление $R_{x}$ через сопротивления $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{0}$ при условии сбалансированности моста. ", "solution": {"text": "На рисунке показано направление протекания электрических токов и их обозначение. Силы токов через резисторы могут быть найдены из очевидных соотношений$$$$ <img_1> Из распределения токов, показанного на рисунке, следует, что сила тока через миллиамперметр равна $$i=I_{1}-I_{2}=I_{0}\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}} \right). \ (3)$$Чтобы сила тока через миллиамперметр стала равной нулю, необходимо выполнение условия (условие сбалансированности моста)$$\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}=\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}},$$или$$\frac{R_{1}}{R_{0}}=\frac{R_{2}}{R_{x}}. \ (4)$$из которого следует формула для определения неизвестного сопротивления$$R_{x}=R_{0}\frac{R_{2}}{R_{1}}. \ (5)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R_{x}=R_{0}\frac{R_{2}}{R_{1}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "В реальных измерениях практически невозможно точно зафиксировать отсутствие тока через миллиамперметр, так как его чувствительность ограничена. Пусть минимальное значение силы тока, которое может зафиксировать миллиамперметр равно $i_{0}$ (то есть при $i < i_{0}$ миллиамперметр показывает ноль). Определите относительную погрешность измерения сопротивления $R_{x}$, вызванную неточностью определения нулевого значения тока через миллиамперметр. Общую силу тока в цепи $I_{0}$ считайте постоянной и известной, причем $I_{0}\gg i_{0}$. ", "solution": {"text": "Для определения погрешности этой формулы следует решить уравнение (3). В ходе решения можно использовать условие малости силы тока $i$. Обозначим $\frac{i}{I_{0}}=\eta$, и при проведении преобразований учтем, что $\eta \ll 1 $:$$\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}=\eta \Rightarrow \frac{R_{2}}{R_{2}+R_{x}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\eta \\\frac{R_{2}+R_{x}}{R_{2}}=\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{0}}-\eta \right)^{-1}=\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}}\left(1-\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{-1} \approx \frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \left(1+\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right) \\1+\frac{R_{x}}{R_{2}}=\left(1+\frac{R_{0}}{R_{1}} \right) \left(1+\eta\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)=1+\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta \left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2} \Rightarrow R_{x}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta\left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2}.$$Перепишем последнее соотношение в виде $$R_{x}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}+\eta\left(\frac{R_{1}+R_{0}}{R_{1}} \right)^{2}=R_{2}\frac{R_{0}}{R_{1}}\left(1+\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}} \right), \ (6)$$откуда следует, что относительная погрешность формулы (5) равна$$\varepsilon =\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}}. \ (7)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\varepsilon =\eta\frac{(R_{1}+R_{0})^{2}}{R_{1}R_{2}}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "0,50"}]