text: {"text": [{"text": "К сопротивлению $R=2.0~Ом$ подключена бесконечная система источников питания так, как показано на рисунке. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1.", "exponent": "4,00"}, "text": "Определите силу тока, протекающего через сопротивление $R$. Э.д.с источников тока и их внутренние сопротивления известны и равны: $\mathcal{E}_1=2.0~В$, $r_1=1.0~Ом$ и $\mathcal{E}_2=1.0~В$, $r_2=2.0~Ом$."}]}
answer: [{"condition": "Определите силу тока, протекающего через сопротивление $R$. ", "solution": {"text": "Заменим бесконечную цепочку источников тока неким эффективным источником тока с э.д.с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Тогда получится схема, изображенная на рисунке слева. Теперь отсоединим сопротивление $R$ и добавим еще два источника тока, а затем подсоединим обратно сопротивление $R$. Получится схема, изображенная на рисунке. Так как число ячеек с элементами бесконечно велико, то обе схемы должны быть эквивалентны при любой величине сопротивления $R$. <img_1> Из законов постоянного тока можно показать, что справедливы следующие два утверждения:$1.$ Пусть имеются два источника тока с $\mathcal{E}_1$, $r_1$ и $\mathcal{E}_2$, $r_2$, соединенные последовательно. Тогда их можно заменить одним источником тока с $\mathcal{E}=\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2$ и $r=r_1+r_2$.$2.$ Пусть имеются два источника тока с $\mathcal{E}_1$, $r_1$ и $\mathcal{E}_2$, $r_2$, соединенные параллельно. Тогда их можно заменить одним источником тока с $\mathcal{E}=(\mathcal{E}_1r_2+\mathcal{E}_2r_1)/(r_1+r_2)$ и $r=r_1r_2/(r_1+r_2)$.Теперь, применяя $1$ и $2$ к правой схеме, мы должны получить левую схему, а значит должны выполняться соотношения$$\mathcal{E}=\frac{(\mathcal{E}+\mathcal{E}_1)r_2+\mathcal{E}_2(r+r_1)}{r+r_1+r_2}, \tag{1}$$$$r=\frac{r_2(r+r_1)}{r+r_1+r_2}. \tag{2}$$Отсюда находим решение$$\mathcal{E}=\mathcal{E}_2+\frac{\mathcal{E}_1}{2}\left(\sqrt{1+\frac{4r_2}{r_1}}-1\right)=3.0~В, \tag{3}$$$$r=\frac{r_1}{2}\left(\sqrt{1+\frac{4r_2}{r_1}}-1\right)=1.0~Ом. \tag{4}$$Значит, сила тока, протекающего через сопротивление $R$, равна$$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=1.0~А. \tag{5}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=1.0~А.$$"]}, "number_part": "1.", "exponent_part": "4,00"}]