text: {"text": [{"text": "В колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности $L=0.1~Гн$ и конденсатора емкости $C=10~мкФ$, включен «электронный ключ», составленный из двух одинаковых диодов (см. рисунок). <img_0> Вольтамперная характеристика диодов показана на рисунке ниже.. <img_1> Пороговое напряжение, при котором диод открывается, $U_{п}=0.7~В$. Перед замыканием ключа $K$ напряжение на конденсаторе равно $U_{0}=4.5~В$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Через какое время после замыкания ключа $K$ колебания в контуре прекратятся и установится стационарный режим?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему будет равно установившееся (остаточное) напряжение на конденсаторе?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Постройте график зависимости напряжения $U_{с}$ на конденсаторе от времени."}]}
answer: [{"condition": "Через какое время после замыкания ключа $K$ колебания в контуре прекратятся и установится стационарный режим? ", "solution": {"text": "Рассмотрим интервал времени после замыкания ключа $K$, когда ток течет через нижний диод. Уравнение для напряжения $U_{C}$ на конденсаторе: $U_{C}=U_{п}+U_{L}$ или, с учетом того что $U_{L}=-L \frac{d J}{d t}$, и $J=\frac{d q}{d t}=C \frac{d U_{C}}{d t}$, $\frac{d^{2} U_{C}}{d t^{2}}+\frac{1}{L C} U_{C}=\frac{1}{L C} U_{п}$. Из этого уравнения видно, что напряжение на конденсаторе будет меняться по гармоническому закону с частотой $\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}}$. Из энергетических соображений найдем экстремальные значения напряжений $U_{Э}$на конденсаторе: $$ \frac{C U_{0}^{2}}{2}=C (U_{0}-U_{Э}) U_{п}+\frac{C U_{Э}^{2}}{2}. $$ Это уравнение имеет два корня: $$ U_{Э 1}=U_{0}, U_{Э 2}=-(U_{0}-2 U_{п}) $$ Зависимость $U_{C}(t)$ будет иметь вид: $$ U_{C}(t)=(U_{0}-U_{п}) \cos (\omega_{0} t)+U_{п} $$ при $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$, где $T=2 \pi \sqrt{L C}$ — период колебаний. После $n$ полупериодов напряжение на конденсаторе $$ U_{C п}=(-1)^{n} (U_{0}-2 n U_{п})(n=1,2,3, \ldots). $$ Очевидно, что колебания в контуре прекратятся, когда $$ |U_{C п}|<|U_{п}|. $$ В нашем случае $n=3$, поэтому время установления стационарного режима $$ \tau=3 \pi \sqrt{L C}=9.42 \cdot 10^{-3}~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \tau=3 \pi \sqrt{L C}=9.42 \cdot 10^{-3}~с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Чему будет равно установившееся (остаточное) напряжение на конденсаторе? ", "solution": {"text": "Остаточное напряжение на конденсаторе $$ U_{C}=-0.3~B. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ U_{C}=-0.3~B. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Постройте график зависимости напряжения $U_{с}$ на конденсаторе от времени. ", "solution": {"text": "График $U_{C}(t)$ представлен на рисунке. $\textit{Примечание}$. Эта задача аналогична механической задаче о колебании груза на пружине при наличии сухого трения."}, "answer": {"answers": ["<img_2>"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]