text: {"text": [{"text": "Узкая цилиндрическая пробирка со смещенным центром масс плавает вертикально в воде в очень широком сосуде. В состоянии равновесия пробирка погружена в воду на глубину $h_0$. Площадь поперечного сечения пробирки равна $S_0$ <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,80"}, "text": "Определите период малых вертикальных колебаний пробирки. Пробирку помещают в цилиндрический сосуд с площадью поперечного сечения $S$, заполненный водой. Пробирка совершает малые колебания вдоль оси сосуда. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A2.1", "exponent": "1,20"}, "text": "Пробирка опустилась на малую величину $x$. Выразите изменение потенциальной энергии системы через $x$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$."}, {"balls": {"number": "A2.2", "exponent": "0,60"}, "text": "Вблизи положения равновесия скорость пробирки равна $v_0$. Выразите кинетическую энергию системы через скорость пробирки $v_0$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$. Считайте, что в зазоре между пробиркой и стенками сосуда вся жидкость движется с одинаковой скоростью $v$."}, {"balls": {"number": "A2.3", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите период колебаний пробирки в сосуде."}]}
answer: [{"condition": "Определите период малых вертикальных колебаний пробирки. ", "solution": {"text": "<img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}.$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пробирка опустилась на малую величину $x$. Выразите изменение потенциальной энергии системы через $x$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$. ", "solution": {"text": "<img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta U=\frac{1}{2}\frac{S_0 S}{S-S_0}\rho gx^2.$$"]}, "number_part": "A2.1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Вблизи положения равновесия скорость пробирки равна $v_0$. Выразите кинетическую энергию системы через скорость пробирки $v_0$, глубину погружения $h_0$, площади сечений $S$, $S_0$, плотность воды $\rho$. Считайте, что в зазоре между пробиркой и стенками сосуда вся жидкость движется с одинаковой скоростью $v$. ", "solution": {"text": "<img_4>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$K=\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho h_0v_0^2. $$"]}, "number_part": "A2.2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите период колебаний пробирки в сосуде. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение закона сохранения энергии для рассматриваемой системы$$\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho h_0v_0^2+\frac{1}{2}\frac{S_0S}{S-S_0}\rho gx^2=E=\operatorname{const}. \tag{14}$$Это уравнение также является уравнением гармонических колебаний с периодом$$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}. \tag{15}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}. $$"]}, "number_part": "A2.3", "exponent_part": "0,40"}]