text: {"text": [{"text": "Один моль идеального одноатомного газа, находящийся в цилиндре под поршнем, квазистатически нагревают от температуры $T_{1} =300~К$ до $T_{2} =600~К$, изменяя объём таким образом, что зависимость теплоёмкости газа $C$ от температуры имеет вид, показанный на рисунке ниже. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите работу, совершённую над газом от состояния, в котором график зависимости его объёма от температуры достигал локального максимума, до состояния, в котором этот же график достигал локального минимума. Ответ выразите в джоулях, считая универсальную газовую постоянную равной $R = 8.31~Дж/К$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите работу, совершённую над газом от состояния, в котором график зависимости его объёма от температуры достигал локального максимума, до состояния, в котором этот же график достигал локального минимума. Ответ выразите в джоулях, считая универсальную газовую постоянную равной $R = 8.31~Дж/К$. ", "solution": {"text": "Из первого начала термодинамики следует, что$$\delta Q=dU+dA,$$где $\delta Q$ представляет собой количество подводимого тепла, $dU$ — изменение внутренней энергии, $dA$ — совершенная газом работа. Для одного моля идеального газа можно записать эти величины через изменение объема $dV$ и температуры $dT$ при известном давлении $p$ в следующем виде$$\delta A=pdV, \\dU=C_{V}dT.$$По определению теплоемкости имеем$$C=\frac{\delta Q}{dT},$$тогда из соотношений выше получаем $$p\frac{dV}{dT}=C-C_{V},$$при молярной теплоемкости одноатомного газа при постоянном объеме равной $$C_{V}=\frac{3}{2}R.$$Из приведенного в условии графика видно, что при температуре$$T^{*}_{1}=350~К$$теплоемкость $C=C_{V}$ и, соответственно, $\frac{dV}{dT}=0$. При переходе через эту температуру знак производной $\frac{dV}{dT}$ изменяется с плюса на минус. Значит, при этой температуре объём газа достигает локального максимума: $T_{\max}=T^{*}_{1} = 350~К$. При температуре $T^{*}_{2} = 500~К$ производная $\frac{dV}{dT}$ также равняется нулю, а при переходе через эту точку знак ее производной изменяется с минуса на плюс. Это означает, что $T^{*}_{2}$ является точкой локального минимума объёма: $T_{\min}= T^{*}_{2}= 500~К$. <img_1> На участке от $T^{*}_{1}= 350~К$ до $T^{*}_{2}= 500~К$ газ получает теплоту $Q$, численно равную площади под зависимостью $C(T)$, то есть площади фигуры $ABCDE$. Изменение внутренней энергии $\Delta U=C_{V}(T^{*}_{2}-T^{*}_{1})$ численно равно площади прямоугольника $ABDE$. По первому началу термодинамики $A=\Delta U-Q$, поэтому работа над газом от $T^{*}_{1}$ до $T^{*}_{2}$ численно равна разности площадей прямоугольника $ABDE$ и фигуры $ABCDE$, т.е. площади заштрихованной фигуры $BDC$: $$A=\frac{1}{4}R(T^{*}_{2}-T^{*}_{1})=312~Дж.$$ Дополнение: Явная зависимость $V(T)$: $$\frac{V}{V_{1}}=\left(\frac{T}{T_{1}}\right)^{7/2} \exp\left(-\frac{T-T_{1}}{\Delta T_{1}}\right),$$        при $T_{1}=300~К \le T \le T_{0}=400~К$ и $\Delta T_{1}=100~К$; $$\frac{V}{V_{0}}=\left(\frac{T}{T_{0}}\right)^{-5/2} \exp\left(\frac{T-T_{0}}{\Delta T_{2}}\right),$$        при $T_{0}=400~К \le T \le T_{2}=600~К$ и $\Delta T_{2}=200~К$; Зависимости $V(T)$ и $P(V)$ в процессе нагрева газа показаны на рисунках ниже. <img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=\frac{1}{4}R(T^{*}_{2}-T^{*}_{1})=312~Дж.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]