text: {"text": [{"text": "В вершинах правильного 17-угольника расположены 17 одинаковых линз. Оптические центры линз находятся точно в вершинах многоугольника, плоскости линз перпендикулярны одной из сторон, примыкающей к линзе. Фокусные расстояния линз равны $F=10~см$ и равны длине стороны 17-угольника. Одну из линз освещают параллельным световым потоком, направленным вдоль ее оптической оси. Оказалось, что один из лучей имеет замкнутую траекторию. <img_0>"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите радиус окружности, вписанной в эту траекторию. Рассмотрите два случая: все линзы собирающие; все линзы рассеивающие. Считайте все углы малыми, так что $\sin\alpha \approx \operatorname{tan}\alpha \approx \alpha$."}]}
answer: [{"condition": "Определите радиус окружности, вписанной в эту траекторию. Рассмотрите два случая: все линзы собирающие; все линзы рассеивающие. ", "solution": {"text": "Рассмотрим луч $AB$ идущий параллельно одной из сторон многоугольника. Чтобы он описал замкнутую траекторию, необходимо, чтобы после преломления в линзе луч шел параллельно следующей стороне. Для этого луч должен отклониться на угол$$\alpha=\frac{2\pi}{17}. \tag{1}$$ <img_1> <img_2> <img_3> В этом случае длина стороны 17-угольника, образуемого траекторией луча будет равна$$l=F-F\operatorname{tg}^2\alpha=F(1-\alpha^2). \tag{5}$$Тогда радиус вписанной окружности $$R=F\frac{1-\alpha^2}{\alpha}=23.4~см. \tag{6}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Для собирающих линз: $$R=\frac{F(1+\alpha^2)}{\alpha}=30.8~см.$$Для рассеивающих линз: $$R=F\frac{1-\alpha^2}{\alpha}=23.4~см. $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "3,00"}]