text: {"text": [{"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Изначально покоящийся электрон ускоряется напряжением $U=km_0c^2/e$, где $m_0$ — масса электрона, $e$ — элементарный заряд, $c$ — скорость света, $k$ — безразмерная величина. Электрон сталкивается с покоящимся позитроном и аннигилирует, создавая два фотона. Направление, в котором испущен один из фотонов, определяет направление, в котором испущен второй. Найдите минимально возможный угол $\alpha_\min$ между направлениями испускания фотонов. Ответ выразите через $k$. Проведите численный расчет для $k=1$."}]}
answer: [{"condition": "Изначально покоящийся электрон ускоряется напряжением $U=km_0c^2/e$, где $m_0$ — масса электрона, $e$ — элементарный заряд, $c$ — скорость света, $k$ — безразмерная величина. Электрон сталкивается с покоящимся позитроном и аннигилирует, создавая два фотона. Направление, в котором испущен один из фотонов, определяет направление, в котором испущен второй. Найдите минимально возможный угол $\alpha_\min$ между направлениями испускания фотонов. Ответ выразите через $k$. Проведите численный расчет для $k=1$. ", "solution": {"text": "Найдём энергию электрона после разгона напряжением:$$E_{\text{э}}=m_0c^2+eU=m_0c^2(1+k)$$Воспользуемся связью энергии-импульса$$E^2_{\text{э}}=p^2_{\text{э}}c^2+m^2_0c^4$$откуда:$$p_{\text{э}}=m_0c\sqrt{k(2+k)}$$Масса позитрона равна массе электрона, поэтому энергия системы равна:$$E=E_{\text{э}}+E_{\text{п}}=m_0c^2(2+k)$$Поскольку масса фотона равна нулю, для него верно:$$E=pc$$откуда получим уравнения, связывающие импульсы фотонов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$:$$E=(p_1+p_2)c\qquad \vec{p}_{\text{э}}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$$Далее можно действовать двумя способами. Алгебраический подход: Из выражения для импульса $\vec{p}$ получим: $$p^2_\text{э}=p^2_1+p^2_2+2p_1p_2\cos\alpha=(p_1+p_2)^2-2p_1p_2(1-\cos\alpha)$$ Учитывая, что $p_1+p_2=E/c$, и что $2(1-\cos\alpha)=4\sin^2\alpha/2$, получим: $$\sin^2\alpha/2=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4p_1p_2c^2}=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4p_1c(E-p_1c)}$$ Максимальное значение знаменателя достигается, если $p_1=p_2=E/2c$. Тогда: $$\sin^2\alpha_{min}/2=\cfrac{E^2-p^2_\text{э}c^2}{4(E/2)^2}=1-\left(\cfrac{p_\text{э}c}{E}\right)^2$$ Геометрический подход: <img_0> <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\alpha_\min=2\arccos\sqrt{\cfrac{k}{k+2}}$ $\alpha_\min(k=1)=109.5^\circ$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]