text: {"text": [{"text": "Теплоемкости тел могут зависеть от температуры (например, при низких температурах). Два одинаковых тела, удельные теплоемкости которых зависят от температуры $t$ по закону $$ c(t)=c_{0}(1+\alpha t), $$ (где $c_{0}$ и $\alpha$ — известные постоянные величины) приведены в тепловой контакт. Начальные температуры тел равны $t_{1}$ и $t_{2}$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Определите установившуюся температуру тел. Потерями теплоты пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Определите установившуюся температуру тел. ", "solution": {"text": "Построим график зависимости теплоемкости тел от температуры. <img_0> Площадь под этим графиком численно равна количеству полученной или отданной теплоты. Так как теплоемкости тел одинаковы, условию теплового баланса соответствует равенство площадей трапеций под графиком от $t_{1}$ до установившейся температуры $t^{*}$ и от $t^{*}$ до $t_{2}$. Из этого условия следует равенство$$(c(t_{1})+c(t^{*}))\cdot (t^{*} -t_{1})=(c(t_{2})+c(t^{*}))\cdot (t_{2}-t^{*}). \ (1.4)$$Подстановка выражения для теплоемкости приводит к уравнению$$(1+\alpha t_{1}+1+\alpha t^{*})(t^{*}-t_{1})=(1+\alpha t_{2}+1+\alpha t^{*})(t_{2}-t^{*}), \ (1.5)$$положительный корень которого дает ответ на вопрос задачи:$$t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{1+\alpha(t_{1}+t_{2})+\frac{\alpha^{2}}{2}(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})}-1 \right)=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). \ (1.6)$$ Примечания. 1. Возможен интересный геометрический вариант решения данной задачи. Продлим график зависимости теплоемкости от температуры до пересечения с осью температур (точка $A$). <img_1> Обозначим площади треугольников от точки $A$ до соответствующих температур $S_{1}$, $S^{*}$, $S_{2}$. Так как эти треугольники подобны, то их площади пропорциональны квадратам высот, то есть $c^{2}(t)$. Условие равенства нужных площадей имеет вид$$S_{2}-S^{*}=S^{*}-S_{1.}$$Откуда следует$$S^{*}=\frac{S_{1}+S_{2}}{2},$$или$$(1+\alpha t^{*})^{2}=\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}.$$Из этого уравнения конечная температура $t^{*}$ выражается элементарно. 2. Допустимо получить выражение для внутренней энергии тел (проинтегрировав теплоемкости) и затем записать закон ее сохранения."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t^{*}=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{(1+\alpha t_{1})^{2}+(1+\alpha t_{2})^{2}}{2}}-1 \right). $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]