text: {"text": [{"text": "В закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде радиуса $R$ полностью заполненном водой находится однородный сплошной шар радиуса $R/2$. Сосуд раскрутили вокруг его вертикальной оси до угловой скорости $\omega$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "2,00"}, "text": "Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. Плотность воды — $\rho_{0}$, плотность материала шара — $\rho$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите силу давления шара на боковую поверхность цилиндра. ", "solution": {"text": "На шар действует сила давления со стороны стенки $\vec{F}_{1}$ (которая по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе давления шара на стенку) и сила давления $\vec{F}_{A}$ со стороны жидкости (сила Архимеда). Центр шара движется по окружности радиуса $R/2$ с угловой скоростью $\omega$, поэтому на основании второго закона Ньютона для центра масс можно записать уравнение$$m\omega^{2}\frac{R}{2}=F_{1}+F_{A}, \ (1.1)$$где $m=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho$ — масса шара. Сила Архимеда может быть записана в виде (по аналогии с выводом закона Архимеда из условия равновесия жидкости)$$F_{A}=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2} \right)^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}. \ (1.2)$$Из уравнения (1.1) с учетом формулы (1.2) получаем:$$F_{1}=\frac{1}{6} \pi R^{3} \rho \frac{\omega^{2}R}{2}-\frac{1}{6}\pi R^{3}\rho_{0}\frac{\omega^{2}R}{2}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}). \ (1.3)$$Заметим, что данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$. В противном случае шар не будет касаться стенки (уплывет к оси сосуда), поэтому при $\rho < \rho_{0}$ сила давления будет равна нулю."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_{1}=\frac{1}{12}\pi R^{4}\omega^{2}(\rho-\rho_{0}).$$Данная формула применима, когда плотность материала шара больше плотности жидкости $\rho > \rho_{0}$."]}, "number_part": "1", "exponent_part": "2,00"}]