text: {"text": [{"text": "В горизонтальный цилиндрический сосуд герметично вставлен поршень, перемещающийся с помощью прикреплённой к нему рукоятки. В сосуде находится насыщенный пар воды при температуре $T_0=333~\text{К}$. Жидкой фазы воды в сосуде нет.Водяной пар можно считать идеальным многоатомным газом. Удельная теплота парообразования воды при температуре $T_0$ равна $L=2{.}36~\text{МДж}/\text{кг}$ и в рамках задачи может считаться не зависящей от температуры. Универсальная газовая постоянная равна $R=8{.}31~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}})$. Молярная масса воды равна $\mu=18.0~\text{г}/\text{моль}$.Считайте известным, что малые относительные изменения давления насыщенного пара и его абсолютной температуры вблизи значений $p_0(T_0)$ и $T_0$ соответственно связаны соотношением $\varepsilon_p=\Delta{p}/p_0=\alpha\varepsilon_T=\alpha\cdot\Delta{T}/T_0$, где $\alpha=15{.}3$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным. Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? Рассмотрим адиабатически изолированный сосуд."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$."}]}
answer: [{"condition": "Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным.  Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе? ", "solution": {"text": "Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем: $$\delta{Q}=dU+\delta{A}=dU+pdV=dU+d(pV)-Vdp{.} $$ Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева-Клапейрона: $$U=\nu C_VT\qquad pV=\nu RT{.} $$ Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе: $$d(pV)=\nu RdT{.} $$ Тогда получим: $$\delta{Q}=\nu C_VdT+\nu RdT-Vdp=\nu C_pdT-Vdp{,} $$ где $C_p=C_V+R=4R$ — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении. Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры $(p{,}T)$, имеем: $$C=\cfrac{\delta{Q}}{dT}=\nu C_p-V\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu C_p-\cfrac{\nu RT}{p}\cdot\cfrac{dp}{dT}=\nu\left(C_p-R\cdot\cfrac{\varepsilon_p}{\varepsilon_T}\right){.}$$ Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$C_\text{нас}=C_p-\alpha R=R(4-\alpha)=-93{.}9~\text{Дж}/(\text{моль}\cdot{\text{К}}){.}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_1$ в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$. ", "solution": {"text": "При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса: Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии. Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим: $$pV=\nu RT\Rightarrow pdV+Vdp=\nu RdT=\cfrac{pVdT}{T}\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_T} {.}$$ Запишем первое начало термодинамики: $$dU=-\delta{A}\Rightarrow \nu C_VdT=-pdV=-\cfrac{\nu RTdV}{V}\Rightarrow{\varepsilon_T=-\cfrac{R\varepsilon_V}{C_V}} {.}$$ Обратим внимание, что $\varepsilon_T>0$, поскольку $\varepsilon_V<0$. Далее находим: $$\varepsilon_p=\varepsilon_T-\varepsilon_V=\varepsilon_T\left(1+\cfrac{C_V}{R}\right)=\cfrac{C_p\varepsilon_T}{R}=4\varepsilon_T<\alpha\varepsilon_T {.}$$ Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. Тогда полученное нами выражение для $\varepsilon_T$ является применимым и температура увеличивается на величину, равную:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{T}=T_0\cdot\cfrac{\beta}{C_V/R}=\cfrac{\beta T_0}{3}\approx 5{.}6~\text{К}{.}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите изменение температуры $\Delta{T}_2$ в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину $\beta=5\text{%}$. ", "solution": {"text": "Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно. Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде:$$pV=\nu RT\Rightarrow{\varepsilon_p+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu+\varepsilon_T}\Rightarrow{\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=\varepsilon_\nu}{,}$$поскольку в рассматриваемом процессе $\varepsilon_p=\alpha\varepsilon_T$. Из первого начала термодинамики:$$\delta{Q}_\text{нас}+L dm=0{,}$$где $Q_\text{нас}$ - количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а $dm=\mu d\nu$ - изменение массы водяного пара.Поскольку состояние не конденсирующегося водяного пара в координатах $(p{,}T)$ описывается кривой фазового равновесия — его теплоёмкость равна теплоёмкости $\nu C_\text{нас}$, полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты $\delta{Q}_\text{нас}$ имеем:$$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_\text{нас}dT{.}$$ Примечание: Отметим, что формула $$\delta{Q}_\text{нас}=\nu C_VdT+pdV{,}$$ где $dV$ – изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина $dV$ не равна изменению объёма, занимаемого не конденсирующимся водяным паром. Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим:$$\nu C_\text{нас}dT+\lambda\mu d\nu=0\Rightarrow{=\varepsilon_\nu=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }}{.}$$Отсюда:$$\varepsilon_T(\alpha-1)+\varepsilon_V=-\cfrac{C_\text{нас}T\varepsilon_T}{\mu\lambda }{.}$$Окончательно находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta{T}=-T_0\cdot\cfrac{\beta}{\alpha-1+\cfrac{(C_p-\alpha R)T_0}{\mu\lambda}}=-T_0\cdot\cfrac{\beta}{\alpha-1+\cfrac{(4-\alpha)R}{\mu\lambda}}\approx-1{.}2~\text{К}{.}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]