text: {"text": [{"text": "Тело остывает в воздухе так, что скорость теплообмена пропорциональна разности температур тела и воздуха. На графике показана зависимость температуры тела от времени. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите температуру воздуха."}]}
answer: [{"condition": "Найдите температуру воздуха. ", "solution": {"text": "Возможное решение. Мощность потока теплоты от тела в воздух пропорциональна разности температур тела $T$ и воздуха $T_x$ с коэффициентом $\alpha$, то есть$$P=\alpha(T-T_x), \tag{1}$$в результате чего тело с теплоемкостью $C$ за время $dt$ остывает на $dT$, которое подчиняется уравнению баланса теплоты$$CdT=-Pdt. \tag{2}$$Уравнения $(1)$ и $(2)$ при начальном условии $T=T_0$ имеют решение$$T(t)=T_x+(T_0-T_x)e^{\beta t}, \tag{3}$$где $\beta=\alpha/C$ — некоторая постоянная.Пусть за некоторый интервал времени тело остыло от температуры $T_0$ до температуры $T_1$, тогда из $(3)$ $$(T_1-T_0)=\gamma(T_0-T_x). \tag{4}$$где $\gamma$ — постоянная. За следующий такой же промежуток времени эта разность также изменится в $\gamma$ раз$$(T_2-T_1)=\gamma(T_1-T_x). \tag{5}$$Из этих уравнений следует уравнение$$\frac{(T_0-T_x)}{T_1-T_0}=\frac{(T_1-T_x)}{T_2-T_0}, \tag{6}$$которое имеет решение$$T_x=\frac{T_0T_2-T_1^2}{(T_0+T_2)-2T_1}. \tag{7}$$Из графика легко найти: начальная температура $T_0= 373~К$, через $10$ минут $T_1= 337~К$, через $20$ минут $T_2=319~К$. Подставляя эти значения в формулу $(7)$, находим, что комнатная температура равна$$T_x=301~К=28^{\circ}\mathrm{C}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T_x=301~К=28^{\circ}\mathrm{C}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]