text: {"text": [{"text": "С одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите теплоемкость газа в точке $A$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна?"}]}
answer: [{"condition": "Найдите теплоемкость газа в точке $A$. ", "solution": {"text": "Из определения теплоемкости, первого закона термодинамики и формулы для внутренней энергии одного моля идеального газа $U=c_{v} T$ получаем для теплоемкости одного моля: $$ c=\frac{\delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U+p \Delta V}{\Delta T}=\frac{c_{v} \Delta T+p \Delta V}{\Delta T}=c_{v}+p \frac{\Delta V}{\Delta T} . $$ Вычислим отношение $\frac{\Delta V}{\Delta T}$ в точке $A$ заданного процесса. Для этого рассмотрим бесконечно малый участок процесса от точки $A$ $\left(p_{A}=2 p_{0}, V_{A}=V_{0}\right)$ до близкой точки $B\left(p_{B}=p_{A}+\Delta p; V_{B}=V_{A}+\Delta V\right)$. Очевидно, $\Delta p$ и $\Delta V$ имеют разные знаки. Запишем уравнение процесса в виде $$ \frac{p}{p_{0}}+\frac{V}{V_{0}}=3. \quad (1) $$ В точке $A$ $$ \frac{p_{A}}{p_{0}}+\frac{V_{A}}{V_{0}}=3, \quad (2) $$ в точке $B$ $$ \frac{p_{A}+\Delta p}{p_{0}}+\frac{V_{A}+\Delta V}{V_{0}}=3. \quad (3) $$ Вычитая $(2)$ из $(3)$, для малых изменений $\Delta p$ и $\Delta V$ получаем $$ \frac{\Delta p}{p_{0}}+\frac{\Delta V}{V_{0}}=0. \quad (4) $$ Еще одно соотношение для малых изменений можно получить из уравнения Менделеева - Клапейрона для начального и конечного состояний: $$ p_{A} V_{A}=R T_{A}, \quad \left(p_{A}+\Delta p\right)\left(V_{A}+\Delta V\right)=R\left(T_{A}+\Delta T\right) . $$ Раскроем скобки, вычтем из второго уравнения первое и пренебрежем малой поправкой $\Delta p \Delta V$: $$ p_{A} \Delta V+V_{A} \Delta p=R \Delta T, \text { или } 2 p_{0} \Delta V+V_{0} \Delta p=R \Delta T. \quad (5) $$ Теперь исключим $\Delta p$ из $(4)$ и $(5)$: $$ p_{0} \Delta V=R \Delta T, \text { или } p_{0} \frac{\Delta V}{\Delta T}=R. $$ Из формулы $(1)$ для теплоемкости газа в точке $A$ получаем $$ c=c_{v}+p_{A} \frac{\Delta V}{\Delta T}=c_{v}+2 p_{0} \frac{\Delta V}{\Delta T}=c_{v}+2 R=\frac{7}{2} R . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ c=c_{v}+p_{A} \frac{\Delta V}{\Delta T}=\frac{7}{2} R . $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "В какой точке процесса теплоемкость газа максимальна? ", "solution": {"text": "График данного процесса касается изотермы в точке $\left(1.5 p_{0}; 1.5V_{0}\right)$. Теплоемкость газа в левой окрестности этой точки стремится к бесконечности и, следовательно, максимальна."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Теплоемкость газа в левой окрестности точки $\left(1.5 p_{0}; 1.5V_{0}\right)$ стремится к бесконечности и, следовательно, максимальна."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]