text: {"text": [{"text": "Эквивалентная схема реального источника переменного напряжения частоты $\omega = 1.00\cdot 10^3~с^{-1}$ состоит из идеального источника напряжения амплитудой $U = 15.0~В$, резистора $r = 2019~Ом$ и конденсатора $C = 100~мкФ$. К источнику можно подключать в качестве нагрузки различные схемы из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "При какой нагрузке выделяющаяся в ней тепловая мощность будет максимальна? Предложите схему нагрузки и рассчитайте параметры входящих в неё элементов. Если вы нашли несколько решений, приведите самый простой вариант. Найдите также саму максимальную мощность."}]}
answer: [{"condition": "При какой нагрузке выделяющаяся в ней тепловая мощность будет максимальна? Предложите схему нагрузки и рассчитайте параметры входящих в неё элементов. Если вы нашли несколько решений, приведите самый простой вариант. Найдите также саму максимальную мощность. ", "solution": {"text": "Пусть $R$ — активная составляющая нагрузки (действительная часть импеданса), а $X$ — реактивная составляющая всей цепи (мнимая часть полного импеданса). Тогда амплитуда тока равна$$I=\frac{U}{\sqrt{(r+R)^2}+X^2}.$$Средняя тепловая мощность в нагрузке$$P=\frac{1}{2}I^2R=\frac{U^2R}{2[(r+R)^2+X^2]}.$$Видно, что максимальной мощности соответствует $X = 0$, т.е. в цепи не должно быть сдвига фаз. Оставшееся выражение имеет максимум при $R = r$.Сдвиг фаз будет нулевым, если последовательно конденсатору подключить катушку, такую что $\frac{1}{\omega C}=\omega L$ откуда $L=\frac{1}{\omega^2C}=1.00\cdot10^{-2}~Гн$.Получается, что простейшая нагрузка должна состоять из последовательно соединённых резистора, сопротивлением $2019~Ом$ и катушки индуктивностью $1.00 \cdot 10^{−2}~Гн$.Максимальная мощность равна$$P_{\max}=\frac{1}{2}\frac{U^2}{4r}=\frac{U^2}{8r}=13.9~мВт.$$"}, "answer": {"answers": ["<img_1>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]