text: {"text": [{"text": "Маленькая шайба массы $m_{1}$ лежит на краю длинной доски массой $m_{2}$, покрытой смазкой (см. рисунок). <img_0> Трение между шайбой и доской вязкое (сила трения, действующая на шайбу, $\vec{F}=-\alpha_{отн} \cdot \vec{v}_{отн}$, где $\vec{v}_{отн}$ — скорость шайбы относительно доски). Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Шайбе сообщают скорость $v_{0}$, направленную вдоль доски."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба?"}]}
answer: [{"condition": "С какими скоростями будут двигаться шайба и доска через достаточно большой промежуток времени? ", "solution": {"text": "Пусть $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ — скорости шайбы и доски соответственно. Обозначим через $\vec{u}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}$ их относительную скорость. Найдем $\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}$. По второму закону Ньютона$$m_{1} \frac{\Delta \vec{v}_{1}}{\Delta t}=-\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right), \quad m_{2} \frac{\Delta \vec{v}_{2}}{\Delta t}=\alpha\left(\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right) .$$Отсюда$$\frac{\Delta \vec{u}}{\Delta t}=-\alpha\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) \vec{u}=-\frac{\vec{u}}{\tau}, \text{ где } \frac{1}{\tau}=\frac{\alpha}{\mu}, \quad \frac{1}{\mu}=\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right).$$Постоянная $\tau$ имеет размерность времени, а $\mu$ — массы. Таким образом, относительная скорость $\vec{u}$ будет изменяться по тому же закону, что и скорость материальной точки массой $\mu$, движущейся в вязкой среде с силой сопротивления $-\alpha \vec{u}$. Со временем эта материальная точка затормозится — установившееся значение скорости $\vec{u}$ будет равно нулю, то есть скорости шайбы и доски станут одинаковыми. Их значения $\vec{v}$ можно найти из закона сохранения импульса:$$m_{1} \vec{v}+m_{2} \vec{v}=m_{1} \vec{v}_{0}, \quad v=v_{0} \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} .$$Обозначим через $\vec{r}$ вектор, соединяющий шайбу и конец доски. Поскольку $\vec{u}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$, имеем$$\Delta \vec{r}=\vec{u} \Delta t=-\tau \Delta \vec{u} .$$При изменении скорости $u$ от $v_{0}$ до нуля $\left(\Delta u=-v_{0}\right)$ расстояние $r$ между шайбой и концом доски изменяется на$$\Delta r=v_{0} \tau.$$Таким образом, в установившемся режиме шайба и доска будут двигаться со скоростью $v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}$, а шайба удалится от края доски на расстояние$$L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\frac{v_{0} m_{1}}{m_{1}+m_{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "На каком расстоянии $L$ от края доски окажется шайба? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L=v_{0} \tau=\frac{v_{0}}{\alpha} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]