text: {"text": [{"text": "Ионы внутри ионных ловушек взаимодействуют с падающим на них светом, поэтому можно получить их "фотографии". Для этого можно использовать флуоресценцию: процесс самопроизвольного перехода между двумя состояниями системы, сопровождающийся излучением света. Рассмотрение любой системы с точки зрения квантовой механики приводит к тому, что у этой системы выделяются дискретные энергетические уровни и соответствующие им состояния. Другими словами стационарное состояние квантовой системы (в отличии от классической) не может быть вообще любым, а лишь одним из некоторого дискретного набора. Для описания громадного количества свойств квантовых объектов достаточно использовать двухуровневую систему (ДУС) - то есть рассматривать переходы системы только между двумя ее уровнями. В частности рассмотрим два уровня в ионе $\rm ^{41}Ca^+$. Чтобы различать их, назовем их $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Разность энергий между ними соответствует энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Энергия фотона задается уравнением $\hbar \omega$, где $\hbar=1.05 \cdot 10^{-34}~\text{Дж}\cdot\text{с}$ - постоянная Планка, а $\omega = 2\pi c / \lambda$ - частота фотона. Скорость света $c=2.98 \cdot 10^8~\text{м}/\text{с}$, элементарный заряд $e=1.602 \cdot 10^{-19}~\text{Кл}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. Любая ДУС находится не в чистом вакууме, а в "бане" электромагнитного излучения, с которой она может обмениваться энергией. Это приводит к тому, что если ДУС находится не в состоянии с наименьшей энергией, то она с некоторой вероятностью излучает фотоны. В нашем случае это проявляется в том, что если ион $\rm ^{41}Ca^+$ находится в состоянии $4^2P_{1/2}$ то он с вероятностью в единицу времени $\Gamma = dP/dt$ самопроизвольно релаксирует в состояние $4^2S_{1/2}$ при этом испуская фотон с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$. Это явление и называется флюоресценцией."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы. Принцип неопределенности Гейзенберга состоит в том, что для любого квантового объекта существует принципиально непреодолимая неопределенность определения импульса $\sigma_p$ и неопределенность определения координаты $\sigma_x$, которые связаны выражением"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$. Поглощение ионом света и флюоресценция используются для уменьшения их кинетической энергии, то есть для охлаждения. Такой метод называется доплеровским охлаждением. Его идея заключается в том, что двигающийся ион поглощает свет не длины волны $\lambda$ а длины волны $\lambda + \delta \lambda$ из-за эффекта Доплера."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергией $\hbar \omega$ между уровнями иона?"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": null}, "text": "Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади? Если ион поглощает фотон, то ему передается импульс фотона $\hbar \omega/c$. При флюоресценции наоборот ион отдает импульс $\hbar \omega/c$ испущенному фотону. Но при этом импульс поглощаемых фотонов направлен в одну сторону, а импульс испущенных фотонов направлен в случайном направлении! Поэтому, освещая ион светом с частотой $\omega + \delta \omega$ мы действуем на него в среднем не нулевой силой."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": null}, "text": "Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$. Для нахождения изменения импульса иона возможен и энергетический анализ, но он предполагает более тонкое изучение картины явления: большая часть энергии $\hbar \omega$ идет на изменение энергии конкретного электрона, и малая часть $\hbar \omega$ на изменение кинетической энергии всего иона. Оценить соотношение между этими величинами можно с помощью закона сохранения импульса. На самом деле спектр поглощения иона обладает некоторой шириной, то есть он поглощает фотоны не только с частотой (в системе отсчета иона) в точности равной частоте перехода $\omega$. Характер спектра поглощения напрямую связан с вероятностью в единицу времени $\Gamma $ самопроизвольного перехода. Если частота фотона (в системе отсчета иона) равна $\omega + \Delta \omega$, то вероятность поглощения задается выражением: \[ P = \frac{\Gamma^2}{\Delta \omega^2 + \Gamma^2}.\] Обратите внимание, что это не вероятность в единицу времени, а просто вероятность поглощения при пролете фотона через эффективную площадь сечения иона $\sigma$."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": null}, "text": "Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": null}, "text": "Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$, запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$."}, {"balls": {"number": "A9", "exponent": null}, "text": "Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем? Охладив ион, мы можем приступать к изучению его взаимодействия с разными физическими объектами. При этом можно получать "изображение" иона. Как мы обсудили выше, ион взаимодействует со светом. При этом использовать свет охлаждающего лазера не удобно и обычно прибегают к другому методу. Добавим 3-ий уровень $3^2D_{3/2}$ в рассмотрение. Тогда ион из возбужденного состояния будет не только самопроизвольно релаксировать при переходах $4^2P_{1/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda = 397~\text{нм}$, но и самопроизвольно релаксировать путем $4^2P_{1/2} \to 3^2D_{3/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_1=866~\text{нм}$ и $3^2D_{3/2} \to 4^2S_{1/2}$ с испусканием фотона с длиной волны $\lambda_2$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A10", "exponent": null}, "text": "Чему равно $\lambda_2$? Будем использовать флуоресцентный свет с длиной волны $\lambda_1$ для получения изображения иона. Для этого постав оптический фильтр непрозрачный для $\lambda$ и $\lambda_2$ и после него плоскую линзу диаметром $D$ и с фокусным расстоянием $f$ и за ней светочувствительную матрицу. Расстояние от плоскости линзы до иона равно $a$."}, {"balls": {"number": "A11", "exponent": null}, "text": "При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительно матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите разность энергий $\Delta E = E_{4^2P_{1/2}} - E_{4^2S_{1/2}}$ в электрон-вольтах между состояниями $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$. ", "solution": {"text": "Разность энергий равна энергии фотона с длиной волны $\lambda=397~\text{нм}$: \[\Delta E = \hbar \omega = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta E = \frac{2\pi \hbar c}{\lambda} = 3.12~\text{эВ}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "С помощью программы Mathieu.py найдите отношение $A=x_\text{max}/(dx / d \xi)_\text{max}$ максимального значения $x$ к максимальному значению $dx / d \xi$ в ходе колебаний. Покажите, что эта величина не зависит от начальных условий т.е. $x(0)$ и $dx/d\xi(0)$, которые задаются в 12-ой и 13-ой строчке программы. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A =1.46\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените минимальную возможную неопределенность $\sigma_x$ положения иона $\rm ^{41}Ca^+$ в ловушке, считая, что $\sigma_x/\sigma_{dx/d\xi} = A$. Ответ выразите через массу иона $m$, $\omega$ и $A$. Рассчитайте значение $\sigma_x$ для $\omega_0=9.4 \cdot 10^9~\text{с}^{-1}$. Сравните $\sigma_x$ с длиной волны $\lambda$. ", "solution": {"text": "$$\sigma_p = m \sigma_{dx/dt} = m\omega \sigma_{dx/d\xi}/2 = m\omega \sigma_x/2A $$Поэтому\[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{\omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \sigma_x = \sqrt{\frac{A \hbar}{ \omega m}} = 4.9~\text{Å} \ll \lambda \]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть ион двигается со скоростью $v \ll c$ вдоль оси $x$. Вдоль этой же оси летит фотон с частотой $\omega + \delta \omega$. При каком значении $\delta \omega=\delta\omega_0$ энергия фотона в системе отсчета иона совпадает с разностью энергией $\hbar \omega$ между уровнями иона? ", "solution": {"text": "Энергия фотона в лабораторной СО равна $E_p=\hbar(\omega + \delta \omega)$, а проекция импульса на ось $x$ равна $p_{p x} = \hbar(\omega + \delta \omega) /c$. Запишем преобразования Лоренца, чтобы найти энергию фотона в СО иона $E_p'$:$$ E_p' = \gamma (E_p - \beta p_{px}c) =\gamma \hbar (\omega + \delta \omega_0)(1-\beta)= \hbar (\omega + \delta \omega_0) \sqrt{\cfrac{1-\beta}{1+\beta}}$$Здесь $\beta = v/c$. С другой стороны энергия фотона в СО иона совпадает совпадает с энергией перехода между энергетическими уровнями: $E_p' = \hbar \omega$. Отсюда находим точное решение для $\delta \omega_0$:$$ \delta \omega_0 = \omega \Bigg( \sqrt{\cfrac{1+\beta}{1-\beta}} - 1 \Bigg) $$Используя приближение $\beta = v/c \ll 1$ получаем:\[ \delta \omega_0 \approx \omega \frac{v}{c} \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \delta \omega_0 = \omega \frac{v}{c} \]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Если интенсивность лазера равна $I$, а частота излучения $\omega$ то чему равен поток $\Phi=dN/dt$ фотонов через единицу площади? ", "solution": {"text": "$I = \hbar \omega \Phi$, поэтому $\Phi = \cfrac{I}{\hbar \omega}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \Phi = \frac{I}{\hbar \omega}\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднее изменение импульса $\delta p$ иона после поглощения и испускания фотона с частотой $\omega + \delta \omega$, который летел в направлении оси $x$. Считайте, что $\delta \omega \ll \omega$ и скорость иона $v \ll c$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим излучение фотона ионом в его собственной системе отсчета. Обозначим угол между импульсом испущенного фотона в СО иона и положительным направлением оси $x$ за $\theta$. Так как в этой СО все направления излучения равновероятны, вероятность того, что угол $\theta$ будет находиться в интервале $[\theta, \theta + d\theta]$ пропорциональна телесному углу и равна $dw = \cfrac{2\pi \sin \theta d \theta }{4 \pi} = \sin \theta d \theta/2$.Найдем проекцию импульса испущенного фотона на ось $x$ в лабораторной СО, используя преобразования Лоренца:\[ p_{2x} = \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \]Посчитаем среднее значение $p_{2x}$:\[ \overline p_{2x} = \int_0^\pi \cfrac{\gamma \hbar \omega(\cos \theta + \beta)}{c} \cdot \cfrac{\sin \theta d \theta}{2} = \cfrac{\gamma \beta \hbar \omega}{c} \]Проекция изменения импульса иона на ось $x$ равна разности проекций импульсов поглощенного и испущенного ионов:\[ \delta p_x = \cfrac{\hbar (\omega + \delta \omega)}{c} - \overline p_{2x} = \cfrac{\hbar \omega}{c} \Big( 1+ \cfrac{\delta \omega}{\omega} - \cfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} \Big) \]С учетом приближения $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$:\[ \delta p_x \approx \frac{\hbar \omega}{c}\]Усредненные проекции импульса испущенного фотона в лабораторной СО на оси $y$ и $z$ равны 0, поэтому $\delta p = \delta p_x$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[ \delta p = \frac{\hbar \omega}{c}\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените среднее время жизни возбужденного состояния иона $\tau_1'$, измеренное в его собственной системе отсчета. Выразите ответ через $\Gamma$. ", "solution": {"text": "Для ответа сгодится оценка $\tau_1'=1/\Gamma$, однако можно найти и точное значение. Будем считать, ион перешел в возбужденное состояние в момент $t'=0$.Обозначим вероятность нахождения иона в возбужденном состоянии к момент $t'$ за $P_1(t')$. Мы, что знаем вероятность испускания фотона в промежутке $t'\in[t';t'+dt']$ (при условии, что фотон не был испущен ранее $t'$) равна $\Gamma dt'$, поэтому$$P_1(t'+dt') = P(t')(1-\Gamma dt')$$Отсюда получаем дифференциальное уравнение на $P_1$:$$ \cfrac{dP_1}{P_1} = - \Gamma dt' $$С учетом начального условия $P_1(0) = 1$, находим:$$ P_1(t') = \exp(-\Gamma t') $$Выразим $\tau_1'$:$$ \tau_1' = \int_0^{+\infty} t' \cdot \Gamma \exp(-\Gamma t') dt' = \cfrac{1}{\Gamma} $$ $$ \tau_1' = \cfrac{1}{\Gamma} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A7", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите среднюю силу $F$, действующую на ион, двигающийся со скоростью $v$ внутри луча лазера интенсивности $I$ и частотой $\omega + \delta \omega$ (эта частота задана в системе отсчета лаборатории). В полученном выражении постоянная составляющая не представляет интереса. Выделите переменную составляющую $F_\text{пер}$, зависящую от скорости $v$ и, считая, что время нахождения иона в возбужденном состоянии много меньше времени нахождения в невозбужденном, а также $\Gamma \gg v\delta \omega/c$ и $v/c \ll 1$,  запишите выражение для нее через $v$, $\omega$, $\delta \omega$, $\Gamma$, $I$ и $\sigma$, $c$. ", "solution": {"text": "Найдем среднее время между испусканием и поглощением фотона в СО иона $\tau_2'$ В системе отсчета иона $\Phi' = \gamma \Phi$, а энергия налетающего фотона равна $\gamma \hbar (\omega + \delta \omega)(1-\beta) = \hbar(\omega + \Delta \omega)$. Среднее время жизни невозбуженного состояния определяется как: $$\tau_2' = \cfrac{1}{P\Phi' \sigma} = \cfrac{( \gamma(1-\beta)(\omega + \delta \omega) -\omega)^2 + \Gamma^2}{\Gamma^2 \gamma \Phi \sigma}$$ Запишем выражение для среднего времени между испусканием и поглощением в лабораторной СО с учетом приближений $\beta \ll 1$ и $\delta \omega \ll \omega$: $$ \tau_2 = \gamma \tau_2' \approx \cfrac{\Gamma^2 + (\delta \omega - \beta \omega)^2}{\Gamma^2 \Phi \sigma} $$ По условию $\Gamma \gg \Phi \sigma$, поэтому сила действующая на ион равна: $$ F_x \approx \cfrac{\delta p_x}{\tau_2} = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 } $$ Теперь выделим переменную и постоянные составляющие силы: $$ F \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F = \frac{I\sigma}{c} \frac{\Gamma^2}{\left(\delta \omega - \omega \frac{v}{c}\right)^2 + \Gamma^2 } \simeq \frac{I\sigma}{c} + \frac{I\sigma}{c^2} \frac{2 \Gamma^2 \delta \omega \, \omega v }{(\delta \omega^2 + \Gamma^2)^2}\]"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Какой знак должен быть у $\delta \omega$ чтобы ион охлаждался, т.е. его кинетическая энергия уменьшалась со временем? ", "solution": {"text": "При охлаждении импульс иона должен уменьшаться, поэтому $\delta \omega < 0$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta \omega < 0\]"]}, "number_part": "A9", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равно $\lambda_2$? ", "solution": {"text": "Запишем разницу энергий уровней $4^2S_{1/2}$ и $4^2P_{1/2}$ двумя способами:$$ \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda} = \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_1} + \cfrac{2\pi \hbar}{\lambda_2} $$Откуда:\[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda}{\lambda_1 - \lambda}=733~\text{нм}\]"]}, "number_part": "A10", "exponent_part": "??"}, {"condition": "При каком расстоянии $b$ от плоскости линзы до светочувствительно матрицы на ней образуется наиболее четкое изображение иона? Оцените размер наиболее четкого изображения иона для линзы с $f=0.6~\text{мм}$, $D=0.2~\text{мм}$. ", "solution": {"text": "Из формулы тонкой линзы получим $b$:$$ \cfrac{1}{a} + \cfrac{1}{b} = \cfrac{1}{f}, $$$$b = \frac{af}{a-f} $$Размер пятная ограничен снизу дифракционным пределом:$$ s = \cfrac{1.22 \lambda f}{D} = 3.1\: мкм$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[b = \frac{af}{a-f}, \quad s=\frac{1.22 \lambda f}{D} = 3.1~\text{мкм}\]"]}, "number_part": "A11", "exponent_part": "??"}]