title: Ma trận (toán học)

text:
Trong toán học, ma trận (Tiếng Anh: matrix) là một mảng chữ nhật, hoặc hình vuông (được gọi là ma trận vuông - số dòng bằng số cột) – các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng giá trị trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.

Khi các ma trận có cùng kích thước (chúng có cùng số hàng và cùng số cột) thì có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các biến đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như . Ví dụ, phép quay các vectơ trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác không. Quan niệm hình học của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Trong mỗi nhánh của vật lý học, bao gồm cơ học cổ điển, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý, như chuyển động của vật rắn. Trong đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và thống kê, các ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp các xác suất; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán PageRank để xếp hạng các trang trong lệnh tìm kiếm của Google. Phép tính ma trận tổng quát hóa các khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ đối với số chiều lớn hơn.

Một nhánh chính của giải tích số dành để phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính toán ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một lĩnh vực nghiên cứu rộng ngày nay. Phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa các tính toán cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của các ma trận đặc biệt, như ma trận thưa (sparse) và ma trận gần chéo, giúp giải quyết những tính toán trong phương pháp phần tử hữu hạn và những tính toán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện trong cơ học thiên thể và lý thuyết nguyên tử. Một ví dụ đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn các toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.

Định nghĩa
Ma trận là một mảng chữ nhật hoặc hình vuông (ma trận vuông) chứa các số hoặc những đối tượng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận. Hay gặp nhất đó là ma trận trên một trường F là một mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của F. Bài viết này đề cập đến các ma trận thực và phức, tức là các ma trận mà các phần tử của nó là những số thực hoặc số phức. Những loại ma trận tổng quát hơn được thảo luận ở bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:

Các số, ký hiệu hay biểu thức trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa các phần tử trong ma trận được gọi tương ứng là hàng và cột.

Độ lớn
Độ lớn hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Lịch sử
Ma trận có một lịch sử dài về ứng dụng trong giải các phương trình tuyến tính nhưng chúng được biết đến là các mảng cho tới tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính, bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học người Ý Girolamo Cardano giới thiệu phương pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển Ars Magna. Nhà toán học Nhật Bản Seki đã sử dụng phương pháp mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683. Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên biểu diễn các biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659). Giữa các năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin hay tìm nghiệm và nghiên cứu trên 50 loại ma trận khác nhau. Cramer đưa ra quy tắc của ông vào năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh "matrix" (tiếng Latin là "womb", dẫn xuất từ mater—mẹ) do James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850, khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng cách xóa đi các hàng và các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:
 Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về "Ma trận" là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, mà những định thức khác nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.

Arthur Cayley đăng một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phép biến đổi quay đã được khảo sát trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia những ma trận này và chứng tỏ các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã nghiên cứu và minh chứng tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận. Lý thuyết ma trận sơ khai bị giới hạn ở cách sử dụng các mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm nên cuộc cách mạng cho lý thuyết này. Ông áp dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận trong đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = [ai,j] để biểu diễn một ma trận với ai,j là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j.

Quá trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau. Các bài toán số học dẫn Gauss đi tới liên hệ các hệ số của dạng toàn phương, những đa thức có dạng  và ánh xạ tuyến tính trong không gian ba chiều với ma trận. Eisenstein đã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là người đầu tiên chứng minh những mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = [ai,j]: thay thế lũy thừa ajk bằng ajk trong đa thức
,
với Π ký hiệu tích các hệ số đứng đằng sau. Ông cũng chứng tỏ vào năm 1829 rằng giá trị riêng của các ma trận đối xứng là thực. Jacobi nghiên cứu "định thức hàm"—mà về sau trở thành định thức Jacobi như cách gọi của Sylvester—nó được ứng dụng để nghiên cứu các biến đổi hình học ở mức cục bộ (hay vô cùng bé); bài báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker  và Zur Determinantentheorie của Weierstrass, cả hai đều được công bố vào năm 1903, lần đầu tiên đã coi định thức theo cách tiên đề hóa, ngược lại so với cách tiếp cận cụ thể ở những lần trước đó như trong công thức của Cauchy.

Nhiều định lý ban đầu chỉ phát biểu cho các ma trận nhỏ, ví như định lý Cayley–Hamilton được chứng minh cho ma trận 2×2 như Cayley chỉ ra trong luận án của mình, và bởi Hamilton cho ma trận 4×4. Frobenius, dựa trên các dạng song tuyến tính, đã tổng quát định lý sang mọi kích thước (1898). Cũng vào cuối thế kỷ 19 phương pháp khủ Gauss–Jordan (tổng quát hóa cho trường hợp đặc biệt đó là phép khử Gauss) do nhà trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới vai trò trung tâm trong đại số tuyến tính, một phần nhờ ứng dụng của nó trong phân loại hệ thống số siêu phức trong thế kỷ trước.

Sự khởi đầu của cơ học ma trận do các nhà vật lý Heisenberg, Born và Jordan nêu ra đã dẫn tới nghiên cứu về ma trận có vô hạn hàng và cột. Later, von Neumann đã thiết lập lên phát biểu toán học của cơ học lượng tử, bằng cách phát triển xa hơn các khái niệm của giải tích hàm như toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert, mà, nói sơ lược, tương ứng với không gian Euclide, nhưng có vô hạn hướng độc lập.

Lịch sử việc sử dụng từ "ma trận" trong toán học
Từ này đã được sử dụng theo những cách khác thường bởi ít nhất hai tác giả có tầm quan trọng trong lịch sử Bertrand Russell và Alfred North Whitehead trong cuốn Principia Mathematica (1910–1913) sử dụng từ "ma trận" trong ngữ cảnh tiên đề về khả năng rút gọn. Alfred Tarski trong cuốn sách Introduction to Logic năm 1946 của ông đã sử dụng từ "ma trận" đồng nghĩa với khái niệm bảng chân trị như được sử dụng trong logic toán học.

Ký hiệu

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông:

Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông:

Ký hiệu cụ thể cho ma trận rất đa dạng, với một số xu hướng viết phổ biến cho nó. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái viết hoa (như A trong ví dụ trên), trong khi với chữ cái viết thường có hai chỉ số viết dưới (ví dụ a11, hay a1,1) biểu diễn cho phần tử của ma trận. Ngoài cách sử dụng ký hiệu chữ viết hoa cho ma trận, nhiều tác giả sử dụng kiểu viết nhấn mạnh cho từ, mà phổ biến là cách viết đậm (không nghiêng), để phân biệt ma trận với những đối tượng toán học khác.  Một cách ký hiệu khác là sử dụng cách viết hai đường gạch dưới chân của từ ký hiệu, mà có hoặc không có cách viết đậm, (ví dụ ).

Phần tử trong hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A đôi khi được viết thành i,j, (i,j), hoặc phần tử thứ (i,j) của ma trận, và cách viết hay gặp nhất đó là ai,j, hay aij. Cách ký hiệu khác cho phần tử của ma trận là A[i,j] hay Ai,j. Ví dụ, phần tử (1,3) trong ma trận A là 5 (cũng được viết là a13, a1,3, A[1,3] hoặc A1,3):

Thỉnh thoảng, các phần tử của ma trận có thể được xác định theo một công thức như ai,j = f(i, j). Ví dụ, mỗi phần tử của ma trận A dưới đây được xác định bằng aij = i − j.

Trong trường hợp này, chính ma trận được xác định theo công thức đó, với cách viết trong dấu ngoặc vuông hoặc ngoặc đơn mở rộng. Ví dụ, ma trận ở trên được ký hiệu là A = [i-j], hoặc A = ((i-j)). Nếu ma trận có kích thước m × n, công thức đề cập ở trên f(i, j) là đúng cho bất kỳ i = 1,..., m và bất kỳ j = 1,..., n. Có thể viết tách biệt kích thước của ma trận, hoặc sử dụng cách viết m × n như là chỉ số dưới. Ví dụ, ma trận A ở trên bằng 3 × 4 và có thể viết ký hiệu là A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1,..., 4), hay A = [i − j]3×4.

Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết những mảng có hai chỉ số (hay mảng của mảng) để biểu diễn ma trận m-×-n. Một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu ma trận bằng cách đánh số chỉ số của mảng tại 0, như trong trường hợp mảng m-×-n được đánh số bằng  và . Bài viết này tuân theo cách quy ước thường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu bằng 1.

Dấu hoa thị đôi khi được sử dụng để chỉ toàn bộ các hàng hoặc cột trong ma trận. Ví dụ, a để chỉ hàng thứ i của ma trận A, và a để chỉ cột thứ  j của ma trận A. Tập hợp mọi ma trận dạng m-×-n ký hiệu là  hoặc  cho mọi ma trận.

Các phép toán cơ bản

Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân một số với ma trận, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.

Phép cộng, nhân một số với ma trận, và ma trận chuyển vị

Những tính chất tương tự đối với số thực có thể mở rộng ra đối với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có tính chất giao hoán, hay tổng của các ma trận không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính:

A + B = B + A.
(A + B) + C = A + (B + C)

Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận.
(cA)T = c(AT)
(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
(AB)T=BTAT

Nhân ma trận

Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nếu A là một ma trận m-x-n và B là một ma trận n-x-p, thì ma trận tích AB là ma trận m-x-p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong A với cột tương ứng trong B:

,

với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ p. Ví dụ, phần tử gạch chân bên dưới 2340 trong tích được xác định bằng

Phép nhân ma trận thỏa mãn quy tắc (AB)C = A(BC) (tính chất kết hợp), và (A+B)C = AC+BC cũng như C(A+B) = CA+CB (luật phân phối trái và phải), khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận. Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu A và B lần lượt có số chiều m-x-n và n-x-k, và  Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là
AB ≠ BA,
hay phép nhân ma trận không có tính giao hoán, một đặc điểm khác với các trường số (hữu tỉ, thực, hay phức) mà tích của các số không phụ thuộc vào thứ tự của các số thực hiện trong phép nhân. Ví dụ về nhân hai ma trận không có tính giao hoán:

trong khi

Bên cạnh phép nhân ma trận thông thường như đã miêu tả, có một số phép toán tác dụng lên ma trận ít gặp mà có thể coi như là phép nhân ma trận, ví dụ như tích Hadamard và tích Kronecker. Chúng xuất hiện khi giải phương trình ma trận, như phương trình Sylvester.

Phép toán hàng

Có ba loại phép toán hàng:
 cộng hàng, tức là cộng các hàng lại với nhau.
 nhân hàng, tức là nhân mọi phần tử trong hàng với một hằng số khác 0;
 chuyển hàng, thay đổi vị trí hai hàng cho nhau trong ma trận;
Các phép toán này được áp dụng trong một số lĩnh vực, bao gồm giải phương trình tuyến tính và tìm ma trận ngược.

Ma trận con
Ma trận con của một ma trận nhận được bằng cách xóa bất kỳ các hàng và các cột. Ma trận con được ký hiệu là Mij với i là dòng bị xóa, j là cột bị xóa. Ví dụ, từ ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con 2x3 bằng cách xóa hàng 3 và cột 2:

Định thức con và phần phụ đại số của ma trận tìm được bằng cách tính định thức của những ma trận con nhất định.

Ma trận con chính là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột. Mỗi tác giả có một cách định nghĩa khác nhau. Theo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng còn lại bằng tập chỉ số cột còn lại. Một số tác giả khác định nghĩa ma trận con chính là một trong những ma trận con có k hàng và cột đầu tiên, đối với một số giá trị k, là những ma trận còn lại sau khi xóa hàng hoặc/và cột; loại ma trận con này còn được gọi là ma trận con chính trước (leading principal submatrix).

Phương trình tuyến tính

Ma trận được dùng để viết gọn và nghiên cứu phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, nếu A là một ma trận mxn, x là vectơ cột (ma trận n×1) của n biến x1, x2,..., xn, và b là một vectơ cột m×1, thì phương trình ma trận

là tương đương với hệ phương trình tuyến tính

Khi sử dụng ma trận, cách viết này có thể được giải quyết gọn gàng hơn thay vì cách viết ra tất cả các phương trình riêng biệt. Nếu n = m và các phương trình là độc lập khi đó để giải quyết bài toán này ta viết

trong đó A là ma trận khả nghịch của A. Nếu A không nghịch đảo, các giải pháp — nếu có — có thể được áp dụng bằng cách sử dụng giả nghịch đảo.

Biến đổi tuyến tính

Ma trận và phép nhân ma trận cho thấy những đặc điểm cơ bản của chúng khi liên hệ với biến đổi tuyến tính, cũng còn gọi là ánh xạ tuyến tính.Một ma trận thực mxn A đại diện cho phép biến đổi tuyến tính Rn → Rm ánh xạ mỗi vectơ x trong Rn vào tích (hay ma trận) Ax, mà là một vectơ trong Rm. Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính f: Rn → Rm đại diện bởi một ma trận duy nhất A mxn: một cách tường minh, phần tử  của A là tọa độ thứ i của f(ej), với ej = (0,...,0,1,0,...,0) là vectơ đơn vị với một trong vị trí thứ j và 0 ở những vị trí khác. Ma trận A được nói là biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính f, và A được gọi là ma trận biến đổi của f.

Ví dụ, ma trận vuông 2×2

có thể coi như là biến đổi của hình vuông đơn vị thành một hình bình hành với các đỉnh của nó nằm tại , , , và . Hình bình hành trong ảnh bên cạnh thu được bằng cách nhân A với mỗi vectơ cột  và . Những vectơ này xác định lên đỉnh của hình vuông đơn vị sau phép biến đổi.

Bảng sau liệt kê một số ma trận thực 2 × 2 găn với ánh xạ tuyến tính của R2. Hình màu lam ban đầu được ánh xạ thành hình màu lục. Điểm gốc (0,0) được đánh dấu là điểm màu đen.

Đặt tương ứng 1-1 giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, phép nhân ma trận tương ứng với phép hợp các ánh xạ: nếu một ma trận kxm B biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác g: Rm → Rk, thì hợp của  biểu diễn bằng BA vì
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.
Phương trình cuối cùng là hệ quả từ tính kết hợp của phép nhân ma trận.

Hạng của ma trận A là số lớn nhất các vectơ hàng độc lập tuyến tính của ma trận, mà cũng bằng số lớn nhất các vectơ cột độc lập tuyến tính của nó. Tương đương với hạng của ma trận là chiều Hamel của ảnh của ánh xạ tuyến tính biểu diễn bởi A. Định lý hạng và số chiều của hạch nói rằng số chiều của hạch (kernel) ma trận cộng với hạng của nó bằng số cột của ma trận.

Ma trận vuông

Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận nxn còn gọi là ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng bậc đều thực hiện được phép cộng và nhân với nhau.
Các phần tử aii tạo thành đường chéo chính của ma trận vuông. Chúng nằm trên một đoạn thẳng tưởng tượng bắt đầu từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của ma trận.

Các loại ma trận đặc biệt
{| class="wikitable" style="float:right; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
|-
! Tên!! Ví dụ với n = 3
|-
| Ma trận chéo || style="text-align:center;" |
|-
| Ma trận tam giác dưới || style="text-align:center;" |
|-
| Ma trận tam giác trên || style="text-align:center;" |
|}

Ma trận tam giác và ma trận đường chéo
Nếu mọi phần tử của A ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác trên. Tương tự, nếu mọi phần tử của A ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi là ma trận đường chéo.

Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị In có số chiều n là một ma trận nxn trong đó mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả những phần tử khác đều bằng 0, ví dụ

Nó là một ma trận vuông bậc n, và cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo. Nó được gọi là ma trận đơn vị bởi vì khi thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được kết quả của chính ma trận đó:
AIn = ImA = A với ma trận A bất kỳ mxn.

Một bội số vô hướng khác không của ma trận đơn vị được gọi là ma trận vô hướng (scalar matrix). Nếu các mục nhập ma trận đến từ một trường thì ma trận vô hướng tạo thành một nhóm, dưới phép nhân ma trận, là đẳng cấu với nhóm nhân các phần tử khác không của trường.

Ma trận đối xứng hoặc phản đối xứng

Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là A = AT, là ma trận đối xứng. Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e., A = −AT, thì A được gọi là ma trận phản đối xứng (skew-symmetric matrix). Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệm ma trận Hermite, mà thỏa mãn A∗ = A, với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận chuyển vị.

Theo định lý phổ (spectral theorem), ma trận đối xứng phần tử thực và ma trận Hermite phần tử phức có một cơ sở riêng; nghĩa là mỗi vectơ có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực. Định lý này có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận vô hạn chiều, xem bên dưới.

Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó

Ma trận vuông A gọi là khả nghịch hay không suy biến nếu tồn tại một ma trận B sao cho
 AB = BA = In.
Nếu B tồn tại, thì nó là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu bằng A−1.

Ma trận nghịch đảo có những tính chất sau:

(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1A-1
(AT)-1 = (A-1)T

Ma trận xác định

Ma trận đối xứng n×n được gọi là xác định dương (tương ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ khác 0 x ∈ Rn dạng toàn phương xác định bởi
Q(x) = xTAx
chỉ nhận các giá trị dương (tương ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dương). Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm (tương ứng chỉ nhận giá trị không dương), ma trận đối xứng được gọi là bán xác định dương (tương ứng bán xác định âm); và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trận bán xác định dương hoặc ma trận bán xác định âm.

Ma trận đối xứng là xác định dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương, hay ma trận là bán xác định dương và khả nghịch. Bảng bên phải chỉ ra hai khả năng cho ma trận 2x2.

Ma trận xác định A cho phép thu được dạng song tuyến tính khi nó kết hợp hai vectơ khác nhau:
BA (x, y) = xTAy.

Ma trận trực giao
Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho các cột và hàng là những vectơ đơn vị trực giao (nghĩa là vectơ trực chuẩn). Hay nói tương đương, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó:

mà

với I là ma trận đơn vị.

Ma trận trực giao A cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa ), unita (), và chuẩn tắc (). Định thức của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng  hoặc . Ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng . Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao với định thức bằng  là một phép quay thuần túy không có phản chiếu, tức là, phép biến đổi bảo toàn định hướng của cấu trúc đã biến đổi, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng  là phép phản xạ thuần túy hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Ma trận đơn vị có định thức bằng  và là phép quay thuần túy theo một góc bằng 0.

Tương tự số phức của ma trận trực giao là một ma trận unita.

Các tính toán chủ yếu

Vết

Vết của ma trận, tr(A) của một ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó. Trong khi phép nhân ma trận không có tính giao hoán, thì vết của tích hai ma trận là độc lập với thứ tự nhân của hai ma trận:
 tr(AB) = tr(BA).
Điều này có thể rút ngay ra được từ định nghĩa nhân hai ma trận:

Theo đó, vết của kết quả của nhiều hơn hai ma trận là độc lập với hoán vị vòng của các ma trận, tuy nhiên, điều này nói chung không áp dụng cho các hoán vị tùy ý (ví dụ trong thực tế, tr(ABC) ≠ tr(BAC)). Ngoài ra, vết của ma trận bằng vết của ma trận chuyển vị, hay
tr(A) = tr(A).

Định thức

Định thức của ma trận vuông (ký hiệu là det(A) hay |A|) là một số chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này. Ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác 0. Giá trị tuyệt đối của định thức ma trận trực giao bằng diện tích (trong R2) hoặc thể tích (trong R3) của ảnh của hình vuông đơn vị (hay hình lập phương đơn vị), trong khi dấu của nó tương ứng với hướng của ánh xạ tuyến tính tương ứng: định thức là dương nếu và chỉ nếu hướng được bảo toàn.

Định thức của ma trận 2 x 2 cho bởi công thức

Định thức của ma trận 3 x 3 bao gồm 6 số hạng (hay quy tắc Sarrus). Công thức Leibniz tổng quát hai công thức này cho mọi số chiều của ma trận.

Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức ma trận:
det(AB) = det(A) • det(B).

Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳ vào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thức bằng cách nhân nó với −1. Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một ma trận tam giác dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận tam giác, định thức của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ.

Cuối cùng, khai triển Laplace biểu diễn định thức trong số hạng của các phần phụ đại số, nghĩa là định thức của các ma trận nhỏ hơn. Khai triển này có thể dùng để đưa ra định nghĩa theo phương pháp đệ quy đối với định thức (mà bắt đầu bằng định thức của ma trận 1 x 1, mà nó có một phần tử duy nhất, hay thậm chí định thức của ma trận 0 x 0, định nghĩa bằng 1), mà có thể coi như tương đương với công thức Leibniz. Ứng dụng của định thức bao gồm việc giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng quy tắc Cramer, với thương của hai định thức của hai ma trận liên quan bằng giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình. Khai triển Laplace cho ma trận bất kỳ như sau:

với

Các tính chất của định thức:

|A| = |AT|
 Đảo vị trí 2 dòng của ma trận sẽ làm định thức của ma trận đổi dấu
 Nhân một dòng của ma trận với n sẽ làm giá trị định thức tăng lên n lần
 Thay thế một dòng của ma trận bằng cách nhân một dòng khác của ma trận với n rồi cộng với dòng đó không làm thay đổi giá trị định thức
 Nếu một dòng của ma trận là tích của một dòng khác với n thì định thức của ma trận bằng 0

Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo A−1 chỉ tồn tại khi và chỉ khi |A| ≠ 0. Công thức tính ma trận nghịch đảo như sau:

 với

Vectơ riêng và trị riêng

Một số λ và một vectơ khác 0 v thỏa mãn

được gọi lần lượt là giá trị riêng và vectơ riêng của A. Số λ là một trị riêng của một ma trận n×n A nếu và chỉ nếu A−λIn là không khả nghịch, mà tương đương với

Đa thức pA trong biến vô định (indeterminate variable) X cho bằng cách khai triển định thức det(XIn−A) được gọi là đa thức đặc trưng của A. Nó là một đa thức lồi (monic polynomial) có bậc n. Do vậy phương trình đa thức pA(λ) = 0 có nhiều nhất n nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận. Chúng có thể nhận giá trị phức ngay cả khi các phần tử trong A là thực. Theo định lý Cayley–Hamilton, pA(A) = 0, tức là, kết quả của sự thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu được ma trận rỗng.

Khía cạnh tính toán
Tính toán các tính chất liên quan tới ma trận có thể dùng nhiều kỹ thuật khác nhau. Nhiều vấn đề được giải quyết bằng cả những thuật toán trực tiếp hoặc bằng phương pháp lặp. Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của một ma trận vuông bằng cách tính dãy các vectơ xn hội tụ về một vectơ riêng khi n tiến tới vô tận.

Để có thể chọn thuật toán thích hợp hơn cho mỗi vấn đề cụ thể, điều quan trọng là xác định được cả tính chính xác và hiệu quả của mọi thuật toán khả dĩ. Phạm vi nghiên cứu những vấn đề này được gọi là đại số tuyến tính bằng số (numerical linear algebra). Với những vấn đề về phương pháp tính khác, hai khía cạnh chính đó là độ phức tạp của thuật toán (complexity of algorithm) và sự ổn định bằng số (numerical stability) của chúng.

Xác định độ phức tạp của thuật toán có nghĩa là tìm chặn trên hoặc ước lượng có bao nhiêu thao tác cơ bản như phép cộng và nhân vô hướng cần thiết để thực hiện một số thuật toán, ví dụ như phép nhân hai ma trận. Ví dụ, tính tích của hai ma trận bậc n x n sử dụng định nghĩa ở trên cần n3 phép nhân, do bất kỳ n2 phần tử của tích, cần có n phép nhân.  Thuật toán Strassen tốt hơn thuật toán "thô" này; nó chỉ cần n2,807 phép nhân. Cách tiếp cận đẹp hơn thường kết hợp với những đặc điểm nhất định của thiết bị tính toán.

Trong nhiều vấn đề thực tiễn, chúng ta biết thêm các thông tin về những ma trận tham gia vào quá trình tính toán. Một trường hợp đặc biệt đó là "ma trận thưa" (sparse matrix), tức là phần lớn các phần tử trong ma trận bằng 0. Có những thuật toán được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b cho những ma trận thưa A, như phương pháp gradien liên hợp (conjugate gradient method).

Nói một cách sơ lược, một thuật toán được gọi là ổn định bằng số (numerically stable), nếu những độ lệch nhỏ trong giá trị đưa vào không dẫn tới sự thay đổi lớn trong kết quả của chúng. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận thông qua công thức Laplace (Adj (A) ký hiệu cho ma trận phụ hợp của A)
A−1 = adj(A) / det(A)
có thể dẫn tới sai số lớn do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Ma trận chuẩn tắc (norm matrix) được ứng dụng để nắm bắt điều kiện của những vấn đề đại số tuyến tính, như tính ma trận nghịch đảo.

Hầu hết ngôn ngữ lập trình máy tính hỗ trợ mảng nhưng không được thiết kế với các lệnh cài sẵn cho ma trận. Thay vào đó, các thư viện bên ngoài có sẵn cung cấp các phép toán ma trận trên mảng, trong gần như tất cả các ngôn ngữ lập trình được sử dụng hiện nay. Thao tác ma trận là một trong những ứng dụng số sớm nhất của máy tính. Dartmouth BASIC ban đầu có các lệnh tích hợp cho phép số học ma trận trên mảng từ việc triển khai thế hệ thứ 2 vào năm 1964. Ngay từ những năm 1970, một số máy tính để bàn kỹ thuật như HP 9830 có hộp ROM (ROM cartridges) để cho thêm các lệnh BASIC đối với ma trận. Một số ngôn ngữ máy tính như APL được thiết kế để thao tác với ma trận và các chương trình phần mềm toán học khác nhau có thể được sử dụng để hỗ trợ tính toán với ma trận.

Phân tích ma trận

Có một số phương pháp để đưa ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn. Các nhà toán học thường coi chúng là kỹ thuật phân tích ma trận hoặc  nhân tử hóa ma trận. Họ quan tâm tới những kỹ thuật này vì chúng bảo tồn một số tính chất nhất định của ma trận trong quá trình biến đổi, như định thức, hạng hay nghịch đảo, do đó những đại lượng này có thể dễ dàng tính toán sau khi áp dụng phép biến đổi, hoặc những tính toán ma trận sẽ dễ dàng hơn về mặt thuật toán thực thi đối với một số ma trận đặc biệt.

Phương pháp phân tích LU ma trận chính là kỹ thuật phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới (L) với một ma trận tam giác trên (U). Khi phương pháp phân tích này được thực hiện, những hệ phương trình tuyến tính có thể giải một cách hữu hiệu hơn bằng những kỹ thuật đơn giản như thay thế tiến và lùi (forward and back substitution). Tương tự, tính nghịch đảo của ma trận tam giác sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ma trận tổng quát. Phép khử Gauss tương tự như một thuật toán; nó biến đổi ma trận bất kỳ thành dạng hàng bậc thang (row echelon form). Cả hai phương pháp được tiến hành bằng cách nhân ma trận với những ma trận cơ sở phù hợp, hay những ma trận thu được từ việc hoán vị các cột hoặc hàng cho nhau và cộng thêm một số bội lần một hầng vào hàng khác.  Kỹ thuật phần tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ A thành tích của UDV∗, với U và V là các ma trận unita và D là ma trận chéo hóa.

Phân tích ma trận thành ma trận chỉ có các phần tử là các giá trị riêng (eigendecomposition) hay chéo hóa biểu diễn A thành tích VDV−1, với D là ma trận đường chéo và V là một ma trận khả nghịch phù hợp.  Nếu A được viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Tổng quát hơn, và áp dụng đối với mọi ma trận, phép phân tích Jordan biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), để đưa các ma trận về dạng mà chỉ những phần tử khác 0 là các giá trị riêng λ1 đến λn của A, nằm trên đường chéo chính và có thể có các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 1 như chỉ ra ở hình bên. Dựa theo kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc n của A (tức là thực hiện nhân ma trận A với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua
An = (VDV−1)n = VDV−1VDV−1...VDV−1 = VDnV−1
và lũy thừa của ma trận đường chéo được tính trực tiếp khi lấy lũy thừa của các phần tử nằm trên đường chéo chính, mà cách này dễ dàng hơn rất nhiều khi thực hiện từng lần nhân với A. Phương pháp này còn được ứng dụng để tính lũy thừa ma trận (matrix exponential) eA, do nó xuất hiện thường xuyên trong lúc giải phương trình vi phân tuyến tính, logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix). Để tránh trường hợp sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học nêu những thuật toán tốt hơn như phân tích Schur sẽ được ứng dụng.

Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa
Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với các phần tử là những dạng tổng quát hơn như là trường hay thậm chí là vành, trong khi đại số tuyến tính mã hóa các tính chất của ma trận thành khái niệm các ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự mở rộng khác đó là tenxơ, mà có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa các phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy các số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa các số. Ma trận với những tính chất đòi hỏi nhất định có xu hướng tạo thành nhóm gọi là nhóm ma trận. Tương tự trong những điều kiện nhất định, ma trận dạng vành được gọi là vành ma trận. Mặc dù tích của ma trận nói chung không giao hoán nhưng ma trận nhất định có dạng trường được gọi là trường ma trận.

Ma trận với các phần tử mở rộng
Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là số thực hoặc số phức.Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức. Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các tập hợp có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia được xác định, có thể được sử dụng thay cho R hoặc C, như số hữu tỉ hoặc trường hữu hạn. Ví dụ, lý thuyết mã hóa sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một trường đóng đại số, như C, từ một tập hợp ngoài.

Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một vành R. Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(n, R) của mọi ma trận vuông n x n trên R là một vành gọi là vành ma trận, đẳng cấu vào vành tự đồng cấu của R-mô đun Rn bên trái. Nếu vành R là giao hoán, nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(n, R) là một đại số kết hợp (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi n = 1) trên R. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán R vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong R, được tổng quát lên đối với trường F, nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch. Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).

Ma trận không phải lúc nào cũng có toàn bộ các phần tử của nó thuộc về cùng một vành – hay thậm chí trong vành bất kỳ nào đó. Một trường hợp đặc biệt nhưng hay gặp đó là ma trận khối (block matrix), mà có thể coi là ma trận với phần tử chính là những ma trận. Những phần tử này không cần thiết phải là ma trận toàn phương, và do vậy không cần phải là thành viên của một vành thông thường bất kỳ; nhưng kích thước của chúng phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ tuyến tính Rn → Rm là tương đương với ma trận m x n, như đã miêu tả ở trên. Tổng quát hơn, bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào  giữa hai không gian vectơ có chiều hữu hạn có thể được miêu tả bằng ma trận A = (aij), sau khi chọn cơ sở v1,..., vn của V, và w1,..., wm của W (do vậy n là chiều của V và m là chiều của W), sao cho

Nói cách khác, cột j của A biểu diễn ảnh của vj theo các vectơ cơ sở  wi của W; vì thế mối liên hệ này xác định một cách duy nhất các phần tử của ma trận A. Chú ý rằng ma trận phụ thuộc vào cách lựa chọn cơ sở: chọn cơ sở khác nhau sẽ cho các ma trận khác nhau nhưng tương đương. Nhiều khái niệm cụ thể nêu ở trên có thể được giải thích lại theo cách này, ví dụ, ma trận chuyển vị AT miêu tả chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính cho bởi A, mà liên quan tới cơ sở đối ngẫu.

Những tính chất này có thể được phát biểu lại theo một cách tự nhiên hơn: phạm trù của mọi ma trận với phần tử trong một trường  trang bị phép nhân như là tổ hợp tương đương với phạm trù của không gian vectơ hữu hạn chiều và ánh xạ trên trường này.

Tổng quát hơn, tập hợp các ma trận m×n có thể dùng để biểu diễn ánh xạ tuyến tính R giữa những mô đun tự do Rm và Rn cho một vành bất kỳ R với phần tử đơn vị. Khi hợp n = m của những ánh xạ này xảy ra sẽ đưa đến vành ma trận của các ma trận n×n biểu diễn cho vành tự đẳng cấu của Rn.

Nhóm ma trận

Nhóm là một cấu trúc toán học chứa một tập hợp các đối tượng cùng với một phép toán hai ngôi, tức là phép toán kết hợp hai đối tượng bất kỳ cho kết quả một đối tượng thứ ba mà tuân theo những đòi hỏi nhất định. Một nhóm trong đó các đối tượng là những ma trận và phép toán nhóm là phép nhân ma trận được gọi là nhóm ma trận. Vì trong nhóm mỗi phần tử đều phải có phần tử nghịch đảo của nó, nhóm ma trận tổng quát nhất là những nhóm chứa mọi ma trận khả nghịch trong số chiều cho trước, hay còn gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.

Bất kỳ tính chất nào của ma trận được bảo toàn dưới phép nhân ma trận và phép nghịch đảo có thể được sử dụng để định nghĩa ra một nhóm ma trận. Ví dụ,  ma trận với kích thước cho trước và định thức bằng 1 tạo thành nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát, gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt. Ma trận trực giao xác định bằng điều kiện
MTM = I,
tạo thành nhóm trực giao. Mỗi nhóm trực giao có định thức bằng 1 hoặc −1. Các ma trận trực giao có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con gọi là nhóm trực giao đặc biệt.

Mỗi nhóm hữu hạn là phép đẳng cấu vào một nhóm ma trận, mà chúng ta có thể coi là biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng. Nhóm tổng quát có thể được nghiên cứu thông qua nhóm ma trận, mà các nhà đại số đã hiểu khá tốt về chúng, thông qua lý thuyết biểu diễn.

Ma trận vô hạn
Cũng có thể coi ma trận có vô số hàng và/hoặc cột ngay cả khi là các đối tượng vô hạn, người ta không thể viết ra các ma trận như vậy một cách rõ ràng. Tất cả những gì quan trọng là đối với mọi phần tử trong các hàng tập chỉ mục và mọi phần tử trong các cột tập chỉ mục đều có một mục nhập được xác định rõ ràng (các tập chỉ mục này thậm chí không cần phải là tập con của các số tự nhiên). Các phép toán cơ bản của cộng, trừ, nhân vô hướng và chuyển vị vẫn có thể được xác định mà không gặp vấn đề gì; tuy nhiên phép nhân ma trận có thể liên quan đến các phép tổng vô hạn để xác định các mục nhập kết quả và chúng không được định nghĩa nói chung.

Nếu R là bất kỳ vành nào có sự thống nhất, sau đó là vành của các biến thể  như một mô-đun bên phải R là đẳng cấu với vòng của ma trận hữu hạn cột  có mục nhập được chỉ mục bởi  và mỗi cột chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0. Các tự đồng cấu của M được coi là kết quả mô-đun R bên trái trong một đối tượng tương tự, ma trận hữu hạn hàng  mà mỗi hàng chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0.

Nếu ma trận vô hạn được sử dụng để mô tả bản đồ tuyến tính thì chỉ những ma trận đó mới có thể được sử dụng cho tất cả các cột của chúng có trừ một số hữu hạn các mục nhập khác 0, vì lý do sau. Đối với ma trận A để mô tả ánh xạ tuyến tính f: V→W, căn cứ cho cả hai không gian phải được chọn; nhớ lại rằng theo định nghĩa, điều này có nghĩa là mọi vectơ trong không gian có thể được viết duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các vectơ cơ sở, do đó được viết dưới dạng vectơ (cột) v của hệ số, chỉ có hữu hạn mục nhậpv là số khác 0. Bây giờ các cột của A mô tả hình ảnh bằng f của các vectơ cơ sở riêng lẻ của V trong cơ sở của W, điều này chỉ có ý nghĩa nếu các cột này chỉ có hữu hạn nhiều mục khác. Tuy nhiên, không có hạn chế đối với các hàng của A: trong kết quả A·v chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 của v có liên quan, vì vậy mỗi một trong số các mục nhập của nó, ngay cả khi nó được cho dưới dạng tổng vô hạn của các tích, chỉ liên quan đến rất nhiều số hạng khác nhau và do đó được xác định rõ ràng. Hơn nữa, điều này dẫn đến việc hình thành một tổ hợp tuyến tính của các cột A mà chỉ liên quan đến hữu hạn trong số chúng một cách hiệu quả, trong khi kết quả chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0 vì mỗi cột đó đều có. Kết quả của hai ma trận thuộc loại đã cho được xác định rõ ràng (với điều kiện là bộ chỉ mục cột và chỉ số hàng khớp với nhau), có cùng kiểu và tương ứng với thành phần của bản đồ tuyến tính.

Nếu R là vành định mức thì điều kiện về tính hữu hạn của hàng hoặc cột có thể được nới lỏng. Với quy chuẩn được đưa ra, chuỗi hoàn toàn hội tụ có thể được sử dụng thay cho các tổng hữu hạn. Ví dụ, ma trận có tổng cột là chuỗi hội tụ tuyệt đối tạo thành một vành. Tương tự, các ma trận có tổng hàng là chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng tạo thành một vành.

Ma trận vô hạn cũng có thể được sử dụng để mô tả toán tử trên không gian Hilbert, nơi nảy sinh các câu hỏi hội tụ và liên tục, dẫn đến một số ràng buộc nhất định phải được áp đặt. Tuy nhiên, quan điểm rõ ràng về ma trận có xu hướng làm xáo trộn vấn đề, và các công cụ trừu tượng và mạnh mẽ hơn của Giải tích hàm được sử dụng để thay thế.

Ma trận rỗng
Ma trận rỗng được định nghĩa là ma trận với số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) bằng 0. Khái niệm ma trận rỗng giúp giải quyết với những ánh xạ có sự tham gia của không gian vectơ không (zero vector space). Ví dụ, nếu A là ma trận 3 x 0 và B là ma trận 0 x 3, thì AB là ma trận không 3 x 3 tương ứng với ánh xạ rỗng từ không gian 3 chiều V vào chính nó, trong khi BA là ma trận 0 x 0. Không có ký hiệu chung cho ma trận rỗng, nhưng hầu hết các hệ thống đại số máy tính cho phép tạo ra và thực hiện tính toán với chúng. Định thức của ma trận 0 x 0 định nghĩa bằng 1 khi xét tới tích rỗng (empty product) xuất hiện trong công thức Leibniz cho định thức bằng 1. Giá trị này cũng tương thích với thực tế rằng ánh xạ đồng nhất từ không gian hữu hạn chiều nào vào chính nó đều có định thức bằng 1, một kết quả thường được coi là một phần của đặc trưng hóa của định thức.

Ứng dụng
Có rất nhiều ứng dụng của ma trận, cả trong toán học lẫn những ngành khoa học khác. Một số chỉ là tận dụng sự thuận tiện khi biểu diễn một cách ngắn gọn tập hợp số bên trong một ma trận. Ví dụ, trong lý thuyết trò chơi và kinh tế học, ma trận tiền trả (payoff matrix) chứa số tiền trả của hai người chơi, phụ thuộc vào tập hợp (hữu hạn) các khả năng mà người chơi sẽ chọn. Khai thác văn bản và các ý điển tự động biên tập sử dụng các ma trận phần tử văn bản (document-term matrix) như tf-idf để đánh dấu tần suất một từ nhất định xuất hiện trong một vài văn bản.

Có thể biểu diễn số phức thông qua một ma trận thực 2 x 2 dưới đây

mà tương ứng phép cộng và nhân mỗi số phức chính là phép cộng và nhân mỗi ma trận. Ví dụ, ma trận quay 2 x 2 biểu diễn phép nhân với một số phức có giá trị tuyệt đối bằng 1, như ở trên. Cách giải thích này cũng tương tự đối với quaternion và đại số Clifford nói chung.

Những kỹ thuật mã hóa ban đầu như mật mã Hill cũng áp dụng lý thuyết ma trận. Tuy nhiên, do bản chất tuyến tính của ma trận, những mã này bị phá tương đối dễ. Đồ họa máy tính sử dụng ma trận để vừa biểu diễn ma trận và để tính toán sự biến đổi của các đối tượng sử dụng ma trận quay aphin để đạt được các tác vụ như chiếu một vật thể ba chiều lên màn hình hai chiều, tương ứng với góc quan sát lý thuyết của một camera. Ma trận trên một vành đa thức có vai trò quan trọng đối với lý thuyết điều khiển.

Hóa học áp dụng ma trận theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt từ khi ứng dụng cơ học lượng tử để nghiên cứu liên kết phân tử và phổ học. Các ví dụ bao gồm ma trận đan xen (overlap matrix) và ma trận Fock sử dụng để giải phương trình Roothaan nhằm tìm ra obitan phân tử theo phương pháp Hartree–Fock.

Lý thuyết đồ thị

Ma trận kề của một đồ thị hữu hạn là khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị. Nó biểu diễn hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị có được nối với nhau bằng cạnh của đồ thị hay không. Ma trận chỉ chứa hai giá trị (1 và 0 có nghĩa lần lượt "có" và "không") được gọi là ma trận lôgic. Ma trận khoảng cách chứa thông tin về khoảng cách giữa các cạnh. Những khái niệm này được áp dụng cho các website kết nối bởi siêu liên kết hoặc các thành phố kết nối bằng những con đường vv, mà trong hầu hết các trường hợp (ngoại trừ mạng lưới liên kết rất dày đặc) ma trận thường là thưa, nghĩa là nó chỉ chứa vài phần tử khác 0. Do vậy, các thuật toán ma trận sửa đổi có thể áp dụng cho lý thuyết mạng.

Giải tích và hình học
Ma trận Hesse của hàm số khả vi ƒ: Rn → R chứa đạo hàm bậc hai của ƒ với các thành phần tọa độ, tức là

 Nó mã hóa thông tin về độ biến thiên cục bộ của hàm số: tại một điểm tới hạn x = (x1, ..., xn), là điểm mà đạo hàm riêng bậc nhất  của ƒ triệt tiêu, hàm số có giá trị cực tiểu nếu ma trận Hess là xác định dương. Quy hoạch toàn phương có thể được sử dụng để tìm cực tiểu hay cực đại toàn cục của các hàm số toàn phương liên hệ mật thiết với ma trận gắn với chúng (xe ở trên).

Một ma trận khác thường được sử dụng trong các vấn đề hình học đó là ma trận Jacobi của ánh xạ khả vi f: Rn → Rm. Nếu f1,..., fm ký hiệu là các thành phần của f, thì ma trận Jacobi xác định bởi

Nếu n > m, và nếu hạng của ma trận Jacobi đạt giá trị lớn nhất bằng m, f là hàm khả nghịch tại điểm đó theo như định lý hàm ẩn.

Các nhà toán học có thể phân loại phương trình đạo hàm riêng bằng cách xét ma trận các hệ số của những toán tử vi phân bậc cao nhất của phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng eliptic ma trận này xác định dương và có ảnh hưởng quyết định đến tập hợp nghiệm khả dĩ của bài toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng.

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số quan trọng để giải phương trình đạo hàm riêng, được ứng dụng rộng rãi trong việc mô phỏng các hệ thống thực phức hợp. Phương pháp này đánh giá xấp xỉ nghiệm của phương trình bằng cách phân chia phương trình thành các hàm tuyến tính, mà những hàm này được chọn để lưới tạo ra đủ mịn, mà từ đó có thể viết phương trình dưới dạng phương trình ma trận.

Lý thuyết xác suất và thống kê

Ma trận quá trình ngẫu nhiên là những ma trận vuông mà các hàng của nó là các vectơ xác suất, tức là vectơ có các thành phần không âm và tổng của chúng bằng 1. Ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để tìm xích Markov với những trạng thái hữu hạn. Một hàng của ma trận ngẫu nhiên cho phân bố xác suất của vị trí tiếp theo của một số hạt ở trong trạng thái tương ứng với hàng đó. Các tính chất của xích Markov giống như điểm hấp dẫn (attractor), những điểm trạng thái mà các hạt cuối cùng đạt tới, có thể được suy ra từ những vectơ riêng của ma trận chuyển tiếp.

Lý thuyết thống kê cũng áp dụng ma trận trong nhiều dạng khác nhau. Thống kê mô tả đề cập tới tập hợp dữ liệu được mô tả, mà chúng được biểu diễn bằng các ma trận dữ liệu, sau đó các nhà thống kê sử dụng những kỹ thuật "thu giảm số biến" (dimensionality reduction" để khảo sát các ma trận này. Ma trận hiệp phương sai mã hóa phương sai tương hỗ của các biến ngẫu nhiên. Các kỹ thuật khác sử dụng ma trận là bình phương tối thiểu, một phương pháp xấp xỉ tập hợp hữu hạn những cặp điểm (x1, y1), (x2, y2),..., (xN, yN), bằng một hàm số tuyến tính
yi ≈ axi + b, i = 1,..., N do chúng có thể được thiết lập dựa trên ngôn ngữ của lý thuyết ma trận, với liên hệ đến kỹ thuật phân tích thành tích các ma trận giá trị riêng đặc biệt (singular value decomposition).

Ma trận ngẫu nhiên là ma trận với phần tử là những số ngẫu nhiên, phù hợp cho nghiên cứu tính chất phân bố xác suất, như là ma trận phân bố chuẩn. Ngoài lý thuyết xác suất, chúng còn được áp dụng trong phạm vi từ lý thuyết số tới vật lý học.

Đối xứng và các biến đổi trong vật lý học

Các biến đổi tuyến tính và những đối xứng đi kèm đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Ví dụ, các hạt cơ bản trong lý thuyết trường lượng tử được phân loại nhờ những biểu diễn của nhóm Lorentz trong thuyết tương đối hẹp và, cụ thể hơn, bởi ứng xử của chúng dưới nhóm spin. Những biểu diễn tường minh bao gồm ma trận Pauli và ma trận gamma tổng quát hơn là phần tích phân của miêu tả vật lý đối với fermion, mà hoạt động như là spinor. Đối với ba loại quark nhẹ nhất, có thể biểu diễn chúng bằng nhóm unita đặc biệt SU(3); và các nhà vật lý sử dụng ma trận biểu diễn thuận tiện gọi là ma trận Gell-Mann khi tính toán liên quan, ma trận này cũng được sử dụng cho nhóm chuẩn SU(3) mà nó trở thành cơ sở cho lý thuyết miêu tả về tương tác mạnh, sắc động lực học lượng tử. Ma trận Cabibbo–Kobayashi–Maskawa, biểu diễn trạng thái cơ bản các quark khi tham gia vào tương tác yếu, nó không giống như ma trận Gell-Mann, nhưng có liên hệ tuyến tính với trạng thái cơ bản các quark xác định lên hạt tổ hợp với tính chất và khối lượng cụ thể.

Tổ hợp tuyến tính của các trạng thái lượng tử
Mô hình đầu tiên về cơ học lượng tử (Heisenberg, 1925) biểu diễn các toán tử của lý thuyết bằng các ma trận vô hạn chiều tác dụng lên các trạng thái lượng tử. Lý thuyết này còn được gọi là cơ học ma trận. Một ví dụ cụ thể đó là ma trận mật độ đặc trưng cho trạng thái "trộn" của một hệ lượng tử như là tổ hợp tuyến tính của các trạng thái riêng thuần tuý và cơ bản.

Ví dụ khác về ma trận trở thành công cụ quan trọng cho miêu tả các thí nghiệm tán xạ là hoạt động trung tâm của vật lý hạt thực nghiệm: Những phản ứng va chạm xảy ra trong các máy gia tốc, nơi các hạt được cho va chạm đối đầu vào nhau trong một miền va chạm nhỏ, với kết quả sau va chạm sinh ra những hạt mới, có thể được miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái những hạt hình thành với tổ hợp tuyến tính của các hạt tham gia vào va chạm. Tổ hợp tuyến tính này cho bởi ma trận gọi là ma trận S, nó chứa mọi thông tin về các tương tác khả dĩ giữa những hạt tham gia vào va chạm.

Dao động riêng
Ứng dụng phổ biến của ma trận trong vật lý học là dùng để miêu tả hệ dao động điều hòa tuyến tính. Phương trình chuyển động của những hệ này có thể miêu tả theo dạng ma trận, với ma trận khối lượng nhân với một vectơ tọa độ sẽ cho số hạng động học, ma trận lực nhân với vectơ chuyển dời vị trí sẽ cho đặc trưng của tương tác. Cách tốt nhất để thu được nghiệm của hệ phương trình đó là xác định các vectơ riêng của hệ, hay các dao động riêng, bằng cách chéo hóa phương trình ma trận. Các kỹ thuật như thế này là quan trọng khi nghiên nghiên cứu nội động lực phân tử: các dao động bên trong của hệ chứa các nguyên tử thành phần liên kết với nhau. Chúng cũng cần thiết để miêu tả dao động cơ học, dao động trong mạch điện.

Quang hình học
Quang hình học sử dụng các ứng dụng của ma trận nhiều hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ này, bản chất sóng của ánh sáng được bỏ qua. Mô hình kết quả trong đó tia sáng trở thành tia hình học. Nếu sự lệch của tia sáng bởi các quang cụ là nhỏ, tác dụng của một thấu kính hoặc dụng cụ phản xạ lên một tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2x2 gọi là ma trận chuyển tiếp tia (ray transfer matrix): các thành phần của vec tơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các tính chất của quang cụ. Thực sự có hai kiểu ma trận, trong đó ma trận khúc xạ miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ma trận tịnh tiến miêu tả sự tịnh tiến của mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kề cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng.
Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và các dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.

Điện tử học
Phương pháp phân tích dòng điện vòng (mesh analysis) truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà có thể miêu tả bằng ma trận.

Hoạt động của nhiều linh kiện điện tử được miêu tả bằng ma trận. Nếu A là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp vào v1 và dòng vào i1, gọi B là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp ra v2 và dòng ra i2. Thì hoạt động của linh kiện điện tử được miêu tả bằng phương trình B = H • A, với H là ma trận 2 x 2 chứa một phần tử trở kháng (h12), và một phần tử độ dẫn (admitance) (h21) và hai đại lượng không thứ nguyên (h11 và h22). Việc tính toán mạch điện thu về việc nhân các ma trận.

Tham khảo

Tham khảo

 .

 *

Tham khảo về vật lý

Tham khảo về lịch sử
 A. Cayley  A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
 , reprint of the 1907 original edition

Liên kết ngoài

 Bách khoa toàn thư

 Lịch sử
 MacTutor: Matrices and determinants
 Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
 Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors

 Sách trực tuyến

 Phần mềm tính ma trận trực tuyến

 , a freeware package for matrix algebra and statistics

Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)

Đại số trừu tượng
Đại số tuyến tính


title: Oldenburg (huyện)

text:
Oldenburg là một huyện ở Niedersachsen, Đức. Các đơn vị giáp ranh (từ phía đông theo chiều kim đồng hồ) là: các huyện Diepholz, Vechta, Cloppenburg và Ammerland, thành phố Oldenburg, huyện Wesermarsch và thành phố Delmenhorst.

Lịch sử

Huyện Oldenburg đã được lập năm 1933. Cho đến năm 1988, thủ phủ nằm ở thành phố Oldenburg. Sau đó huyện lỵ là Wildeshausen.

Địa lý

Huyện này nằm giữa vùng đô thị Oldenburg và Bremen. Sông Hunte chảy qua huyện theo hướng nam-bắc.

Các thị xã và đô thị

Tham khảo

Liên kết ngoài
 Trang mạng chính thức (tiếng Đức)

Huyện của bang Niedersachsen
Oldenburg (huyện)


title: HMS Cassandra (1916)

text:
HMS Cassandra là một tàu tuần dương hạng nhẹ thuộc lớp tàu tuần dương C của Hải quân Hoàng gia Anh Quốc, được chế tạo trong giai đoạn Chiến tranh Thế giới thứ nhất, và là chiếc dẫn đầu của lớp phụ Caledon. Lớp phụ này, vốn còn bao gồm HMS Calypso, HMS Caledon và HMS Caradoc, giữ lại kiểu dáng hai ống khói của hai lớp phụ trước đó; nhưng hệ thống động lực có khác biệt đôi chút, cũng như là cấu trúc thượng tầng. Dàn hỏa lực chính bao gồm năm khẩu BL 152 mm (6 inch) Mark XII, và dàn pháo hạng hai gồm hai khẩu QF 76 mm (3 inch) và hỏa lực phòng không gồm bốn khẩu 3 pounder.

Cassandra được đặt lườn tại xưởng đóng tàu Vickers Limited ở Barrow in Furness vào tháng 3 năm 1916. Nó được hạ thủy vào ngày 25 tháng 11 năm 1916 và đưa ra hoạt động cùng Hải quân Hoàng gia vào tháng 6 năm 1917. Cassandra có một cuộc đời phục vụ ngắn ngủi. Thoạt tiên nó được bố trí vào Hải đội Tuần dương nhẹ 6 thuộc Hạm đội Grand, và chịu đựng một tai nạn khi cùng với tàu chị em HMS Caradoc bị mắc cạn tại đảo Fair vào ngày 15 tháng 8 năm 1917 nhưng cả hai đều được giải thoát thành công. Dù sao nó cũng sống sót qua cuộc chiến tranh, và được gửi đến hoạt động tại biển Baltic chống lại lực lượng Bolshevik. Vào ngày 5 tháng 12 năm 1918 nó đi vào một bãi mìn của Đức không được ghi chú, và trúng phải một quả thủy lôi. Cassandra chìm trong vịnh Phần Lan với tổn thất 10 thủy thủ, nhưng khoảng 400 người sống sót đã được cứu vớt.

Hải quân Estonia và Bảo tàng Hàng hải Estonia vào tháng 8 năm 2010 đã công bố rằng họ tìm thấy xác tàu đắm của HMS Cassandra cùng với hai tàu xà-lúp lớp Flower HMS Myrtle và HMS Gentian gần đảo Saaremaa ở độ sâu 60–100 m.

Tham khảo

 Colledge, J. J.; Warlow, Ben (1969). Ships of the Royal Navy: the complete record of all fighting ships of the Royal Navy (Rev. ed.). London: Chatham. ISBN 978-1-86176-281-8. OCLC 67375475.
 Jane's Fighting Ships of World War One (1919), Jane's Publishing Company
Ships of the Caledon class

Lớp tàu tuần dương C
Tàu tuần dương của Hải quân Hoàng gia Anh
Tàu tuần dương trong Thế Chiến I
Xác tàu đắm trong biển Baltic
Sự kiện hàng hải 1918


title: Thézan-lès-Béziers

text:
Thézan-lès-Béziers là một commune thuộc tỉnh Hérault trong vùng Occitanie ở phía nam nước Pháp.

Xem thêm
Commune của tỉnh Hérault

Tham khảo
INSEE
IGN

Xã của Hérault


title: Contalmaison

text:
Contalmaison là một xã ở tỉnh Somme, vùng Hauts-de-France, Pháp.

Địa lý
Thị trấn này tọa lạc trên đường D147 và đường D20, khoảng 30 dặm Anh về phía đồng bắc của Amiens.

Dân số

Xem thêm
Xã của tỉnh Somme

Tham khảo

Liên kết ngoài
 Contalmaison trên trang mạng của INSEE
 Contalmaison trên trang mạng của Quid

Xã của Somme


title: Gonomyia peracuta

text:
Gonomyia peracuta là một loài ruồi trong họ Limoniidae. Chúng phân bố ở vùng Tân nhiệt đới.

Liên kết ngoài

Tham khảo

Gonomyia
Limoniidae ở vùng Neotropic


title: Phinaea ecuadorana

text:
Phinaea ecuadorana là một loài thực vật thuộc họ Gesneriaceae. Đây là loài đặc hữu của Ecuador. Môi trường sống tự nhiên của chúng là vùng núi ẩm nhiệt đới hoặc cận nhiệt đới.

Loài này hiện được coi là đồng nghĩa với danh pháp Amalophyllon divaricatum, một loài khá phổ biến ở miền nam Ecuador và miền bắc Peru.

Chú thích

Tham khảo
 Clark, J.L., Skog, L.E. & Pitman, N. 2004. Phinaea ecuadorana. 2006 IUCN Red List of Threatened Species.  Truy cập 23 tháng 8 năm 2007.

Phinaea
Thực vật đặc hữu Ecuador
Thực vật dễ tổn thương


title: La Chevallerais

text:
La Chevallerais là một xã thuộc tỉnh Loire-Atlantique, trong vùng Pays de la Loire ở phía tây nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao từ 18-42 mét trên mực nước biển. Theo điều tra dân số năm 2006 của INSEE, xã có dân số 1149 người.

Tham khảo

Xã của Loire-Atlantique


title: Palicourea jaramilloi

text:
Palicourea jaramilloi là một loài thực vật thuộc họ Rubiaceae. Đây là loài đặc hữu của Ecuador.

Chú thích

Tham khảo
 Jaramillo, T., Cornejo, X. & Pitman, N. 2004. Palicourea jaramilloi. 2006 IUCN Red List of Threatened Species.  Truy cập 23 tháng 8 năm 2007.

Thực vật Ecuador
Palicourea
Thực vật dễ tổn thương


title: Vượng Giác Ca môn

text:
Vượng Giác Ca môn (, tiếng Anh: As Tears Go By), nghĩa là Carmen Vượng Giác là bộ phim đầu tay của đạo diễn Hồng Kông Vương Gia Vệ được công chiếu lần đầu năm 1988. Bộ phim có mang đề tài quen thuộc của điện ảnh Hồng Kông là các băng đảng xã hội đen đồng thời cho thấy những ảnh hưởng từ tác phẩm Mean Streets của Martin Scorsese, dàn diễn viên chính của Vượng Giác Ca môn gồm Lưu Đức Hòa, Trường Học Hữu và Trương Mạn Ngọc. Bộ phim đã được lựa chọn tham gia chương trình Semaine internationale de la critique tại Liên hoan phim Cannes 1989, với vai diễn trong phim Trương Học Hữu đã được trao giải Vai nam phụ xuất sắc nhất trong Giải thưởng Điện ảnh Hồng Kông lần thứ 8.

Nội dung
Hoa (Lưu Đức Hoa) là một tay anh chị có tiếng trong giới xã hội đen vì sự liều lĩnh, tuy nhiên Hoa có điểm yếu luôn muốn bao bọc bảo vệ cho đàn em thân tín là Dăng (Trương Học Hữu), một tay côn đồ luôn có hành động và lời nói thiếu suy nghĩ. Trong một lần tới Cửu Long khám bệnh, em họ Hoa là Nga (Trương Mạn Ngọc) tới ở nhờ nhà Hoa. Hoa và Nga nhanh chóng phải lòng nhau, tuy nhiên Nga vẫn quyết định trở về quê vì cô không thể sống cùng một tay anh chị luôn gặp chuyện rắc rối. Sau một thời gian, Hoa quyết định tình về quê Nga để tỏ tình, hai người có những thời gian hạnh phúc bên nhau ở quê Nga và cô đề nghị Hoa rời bỏ giới xã hội đen để sống với cô. Tuy nhiên ở Cửu Long, Dăng lại gây chuyện với tay anh chị đối địch của Hoa và bị gã này đánh đập, bắt giữ. Không muốn thấy người anh em thân thiết gặp tai họa, Hoa đành phải quay lại Cửu Long cứu đàn em và hứa với Nga rằng anh sẽ sớm quay lại với cô.

Sản xuất và công chiếu
Sau một thời gian thành công trong vai trò biên kịch điện ảnh, Vương Gia Vệ quyết định chuyển sang làm đạo diễn với bộ phim đầu tay Vượng Giác Ca môn. Bộ phim do giám chế nổi tiếng của Hồng Kông là Đặng Quang Vinh chịu trách nhiệm sản xuất, phim do chính Vương viết kịch bản và được quay bởi Lưu Vỹ Cường, người sau này nổi tiếng với bộ phim Vô gian đạo. Tuy có kết cấu theo kiểu phim xã hội đen Hồng Kông truyền thống nhưng Vượng Giác Ca môn cũng cho thấy ảnh hưởng lớn từ tác phẩm nổi tiếng Mean Streets của Martin Scorsese. Tại Giải thưởng Điện ảnh Hồng Kông lần thứ 8 Trương Học Hữu đã giành giải Vai nam phụ xuất sắc nhất với vai Dăng trong Vượng Giác Ca môn, phim còn chiến thắng ở hạng mục Chỉ đạo nghệ thuật (Trần Thúc Bình).

Tham khảo

Liên kết ngoài

Phim năm 1988
Phim do Vương Gia Vệ đạo diễn
Phim xã hội đen
Giải thưởng Điện ảnh Hồng Kông Vai nam phụ
Phim Hồng Kông
Phim tiếng Quảng Đông
Phim đạo diễn đầu tay
Phim hành động Hồng Kông
Phim quay tại Hồng Kông


title: Ochtrup

text:
Ochtrup là một đô thị ở huyện Steinfurt, trong Nordrhein-Westfalen, Đức. Đô thị này tọa lạc khoảng 20 km về phía tây của Rheine và 20 km về phía đông của Enschede.

Tham khảo

Thị trấn ở Nordrhein-Westfalen


title: Elater splendens

text:
Elater splendens là một loài bọ cánh cứng trong họ Elateridae. Loài này được Gurjeva miêu tả khoa học năm 1974.

Chú thích

Tham khảo

Elater


Chiến tranh giữa các vì sao: Tập I – Hiểm họa bóng ma (tên gốc tiếng Anh: Star Wars: Episode I – The Phantom Menace) là một bộ phim sử thi không gian của Mỹ năm 1999 được biên kịch và đạo diễn bởi George Lucas, sản xuất bởi Lucasfilm và phân phối bởi 20th Century Fox. Tuy là phần thứ nhất nhưng nó được quay sau ba phần khác của bộ phim. Lý do chính là do đạo diễn nghĩ rằng kỹ thuật lúc bấy giờ chưa cho phép ông quay phim theo ý ông muốn.

Phần phim này bắt đầu với hai hiệp sĩ Jedi, đại diện cho Hội đồng Jedi can thiệp hòa giải sự tranh cãi giữa Liên đoàn Thương mại và hành tinh Naboo. Khi việc hòa giải không thành, hai hiệp sĩ Jedi hộ tống nữ hoàng Padmé Amidala chạy trốn khỏi hành tinh Naboo. Trên đường đi đến hành tinh Coruscant tìm cách hòa giải mâu thuẫn, họ phải ghé hành tinh Tatooine để tìm vật liệu sửa phi thuyền. Tại đây hiệp sĩ Qui-Gon Jinn gặp cậu bé nô lệ Anakin Skywalker. Ông tin rằng cậu bé, với các tài năng kỳ lạ, sẽ là một hiệp sĩ đem lại sự cân bằng cho vũ trụ rối loạn.

Hiểm họa bóng ma được phát hành vào ngày 19 tháng 5 nãm 1999, gần 16 năm sau khi phần VI của bộ phim Người Jedi trở lại được chiếu trên màn ảnh bạc. Tuy gặp nhiều phê bình khác nhau, Hiểm họa bóng ma đem lại khoảng 924,3 triệu Mỹ kim trên toàn thế giới cho nhà sản xuất và phát hành phim.

Nội dung
Liên Đoàn Thương Mại tạo ra tình trạng hỗn loạn cho nền Cộng hòa Thiên hà bằng cách phong tỏa hành tinh Naboo do mâu thuẫn về đạo luật thuế được ban hành liên quan đến các tuyến đường thương mại Thiên hà. Lãnh đạo của phe Cộng hòa, Đại Pháp Quan tối cao Finis Valorum, cử hai hiệp sĩ Jedi Qui-Gon Jinn và đệ tử của ông, Obi-Wan Kenobi, đến đàm phán với Phó vương Liên đoàn Thương mại, Nute Gunray. Darth Sidious, một chúa tể Sith và là kẻ đứng sau Liên đoàn Thương mại, ra lệnh cho Phó vương giết các Jedi đó và bắt đầu cuộc xâm lược của chúng bằng đội quân chiến đấu người máy. Hai Jedi trốn thoát và chạy trốn đến Naboo. Trong cuộc xâm lược trên Naboo, Qui-Gon giải cứu một người Gungan bị ruồng bỏ, Jar Jar Binks. Mang ơn Qui-Gon, Jar Jar dẫn hai Jedi đến Otoh Gunga, thành phố dưới nước của người Gungan. Các Jedi đã thất bại trong việc thuyết phục thủ lĩnh người Gungan, Boss Nass, giúp đỡ cư dân trên bề mặt hành tinh, nhưng bù lại có được sự hướng dẫn của Jar Jar và phương tiện di chuyển dưới nước để đến Theed, thành phố thủ phủ của Naboo. Sau khi giải cứu Nữ hoàng Padmé Amidala, cả nhóm trốn thoát khỏi Naboo trên chiếc phi thuyền hoàng gia của cô ấy và tiến đến hành tinh thủ đô của phe Cộng hòa, Coruscant.

Dù vượt qua sự phong tỏa của Liên đoàn, nhưng con tàu bị hư hại khi bay trong mưa đạn và siêu ổ đĩa của nó gặp trục trặc. Con tàu hạ cánh để sửa chữa trên hành tinh sa mạc xa xôi Tatooine, nằm ngoài phạm vi quyền hạn của Cộng hòa. Qui-Gon, Jar Jar, người máy R2-D2, và Padmé (cải trang thành một trong những nữ hầu của cô) đi đến khu định cư của Mos Espa để mua một bộ phận mới cho siêu ổ đĩa của họ. Họ chạm trán với một tay buôn rác, Watto, và nô lệ chín tuổi của hắn, Anakin Skywalker, một phi công và kỹ sư tài năng, người đã chế tạo một Người máy chuyên về nghi thức ngoại giao: C-3PO.

Qui-Gon cảm nhận được sự hiện diện mạnh mẽ của Thần lực bên trong Anakin, ông tin rằng cậu là "Người được chọn" đã được tiên đoán từ rất lâu và có sứ mệnh khôi phục lại sự cân bằng cho Thần lực. Vì Watto từ chối chấp nhận thanh toán bằng tiền Cộng hòa, Qui-Gon phải đặt cược cả bộ phận siêu ổ dĩa và sự tự do của Anakin trong một cuộc đua phi thuyền (podrace).  Anakin thắng cuộc đua sau đó gia nhập nhóm để được đào tạo thành Jedi và phải miễn cưỡng bỏ lại mẹ của mình, Shmi. Trên đường đến phi thuyền của họ, Qui-Gon gặp Darth Maul, đệ tử của Sidious, người được cử đi bắt Amidala. Sau một cuộc đấu kiếm nhanh chóng, Qui-Gon trốn thoát trên con tàu sao cùng những người khác.

Qui-Gon và Obi-Wan hộ tống Padmé đến Coruscant để cô ấy có thể trình bày vụ việc của người dân cho Valorum và Thượng viện Thiên hà. Qui-Gon xin phép Hội đồng Jedi để có thể đào tạo Anakin thành Jedi, nhưng Hội đồng từ chối, lo ngại rằng Anakin dễ bị khuất phục bởi mặt tối của Thần lực. Không nản lòng, Qui-Gon quyết tâm nhận Anakin làm đệ tử mới của mình. Trong khi đó, Thượng nghị sĩ Palpatine của Naboo thuyết phục Amidala kêu gọi bỏ phiếu bất tín nhiệm đối với Valorum để bầu ra một nhà lãnh đạo có năng lực hơn và giải quyết cuộc khủng hoảng. Mặc dù cô ấy thành công trong việc thúc đẩy cuộc bỏ phiếu, Amidala trở nên bất mãn với sự suy đồi của Thượng viện và quyết định quay trở về Naboo. Qui-Gon và Obi-Wan được lệnh của Hội đồng Jedi để hộ tống nữ hoàng và điều tra sự trở lại của người Sith, giống loài mà họ tưởng rằng đã tuyệt chủng trong hơn một thiên niên kỷ.

Trên hành tinh Naboo, Padmé tiết lộ mình là nữ hoàng trước những người Gungan để lấy lòng tin của họ, và thuyết phục họ giúp chống lại Liên đoàn Thương mại. Jar Jar được phong làm tướng và gia nhập bộ tộc của mình trong trận chiến chống lại đội quân người máy, trong khi Padmé dẫn đầu cuộc tìm kiếm Gunray ở Theed. Qui-Gon bảo Anakin ẩn náu bên trong một máy bay tiêm kích trong nhà chứa phi thuyền của cung điện, nhưng cậu vô tình kích hoạt chế độ lái tự động của nó và bay vào không gian, tham gia cùng các phi công Naboo trong trận chiến chống lại tàu điều khiển người máy của Liên đoàn. Với sự giúp đỡ của R2-D2, Anakin điều khiển phi thuyền chiến đấu xông vào con tàu và phá hủy nó từ bên trong, vô hiệu hóa đội quân người máy. Trong khi đó, Maul, người được Sidious phái đến để hỗ trợ Gunray, giao chiến với Qui-Gon và Obi-Wan trong một cuộc đọ sức bằng kiếm ánh sáng. Hắn ta đâm trọng thương Qui-Gon, nhưng sau đó bị Obi-Wan chém nửa người, và phần còn lại của hắn ta rơi xuống một cái hầm. Qui-Gon yêu cầu Obi-Wan huấn luyện Anakin trước khi chết trong vòng tay của anh ta.

Sau trận chiến, Gunray bị lực lượng Cộng hòa bắt giữ, và Palpatine được bầu làm Đại Pháp Quan. Sư phụ Yoda đề cử Obi-Wan lên cấp bậc Hiệp sĩ Jedi và miễn cưỡng chấp nhận Anakin làm đệ tử của Obi-Wan . Một đám tang được tổ chức cho Qui-Gon với sự tham dự của các Jedi khác, họ hiểu rằng vẫn còn một người Sith khác vì luôn có hai người (một cặp sư phụ và đệ tử). Trong cuộc diễu hành ăn mừng trên Naboo, Padmé tặng một món quà cảm ơn người Gungan để thiết lập hòa bình.

Ghi chú

Tham khảo
Chú thích

Nguồn

Liên kết ngoài

  tại StarWars.com
  tại Lucasfilm.com

  tại Corona's Coming Attractions

Chiến tranh giữa các vì sao
Phim của 20th Century Fox
Phim khoa học viễn tưởng Mỹ
Phim sử thi
Phim có doanh thu trên một tỷ đô-la Mỹ
Phim năm 1999
Phim sử thi của Mỹ
Phim Mỹ
Phim hành động khoa học viễn tưởng Mỹ
Phim về trẻ em
Phim quay tại Ý
Phim người máy
Phim về cuộc xâm lược của người ngoài hành tinh
Phim của Walt Disney Pictures
Phim hành động Mỹ
Phim phiêu lưu Mỹ
Phim hành động thập niên 1990
Phim khoa học viễn tưởng thập niên 1990
Nhạc nền phim của John Williams
Phim tiền truyện


title: Pyrophorus expeditus

text:
Pyrophorus expeditus là một loài bọ cánh cứng trong họ Elateridae. Loài này được Costa miêu tả khoa học năm 1972.

Chú thích

Tham khảo

Pyrophorus


title: Mayres, Puy-de-Dôme

text:
Mayres là một xã ở tỉnh Puy-de-Dôme trong vùng Auvergne-Rhône-Alpes miền trung nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 750 mét trên mực nước biển.

Tham khảo
INSEE

Xã của Puy-de-Dôme


title: Diphyllarium

text:
Diphyllarium là một chi thực vật có hoa thuộc họ Fabaceae. Nó thuộc phân họ Faboideae.

Chú thích

Tham khảo


title: Rhyacophila sumdopa

text:
Rhyacophila sumdopa là một loài Trichoptera trong họ Rhyacophilidae. Chúng phân bố ở miền Ấn Độ - Mã Lai.

Tham khảo

Động vật khu vực sinh thái Indomalaya
Rhyacophila


title: 10558 Karlstad

text:
10558 Karlstad (1993 RB7) là một tiểu hành tinh vành đai chính được phát hiện ngày 15 tháng 9 năm 1993 bởi E. W. Elst ở Đài thiên văn Nam Âu.

Tham khảo

Liên kết ngoài
 JPL Small-Body Database Browser ngày 10558 Karlstad

Tiểu hành tinh vành đai chính
Thiên thể phát hiện năm 1993


title: Kranenburg, Kleve

text:
Kranenburg là một đô thị ở huyện Cleves trong bang Nordrhein-Westfalen, Đức. Đô thị này tọa lạc gần biên giới với Hà Lan,  về phía đông nam của Nijmegen và  về phía tây của Cleves.

Các khu vực dân cư
 Kranenburg (Kranenburg)
 Nütterden
 Schottheide
 Mehr (Kranenburg)
 Frasselt
 Zyfflich
 Wyler
 Niel (Kranenburg)
 Grafwegen

Tham khảo


title: Lier, Antwerpen

text:
Lier () là một đô thị ở tỉnh Antwerp. Đô thị này gồm thành phố Lier và làng Koningshooikt. Tại thời điểm ngày 1 tháng 1 năm 2006, Lier có dân số 33.272 người. Tổng diện tích là 49,70 km² với mật độ dân số là 669 người trên mỗi km².

Tham khảo

Liên kết ngoài

 Trang mạng chính thức (tiếng Hà Lan)

Xã của Antwerpen


title: Ruppertsberg

text:
Ruppertsberg là một đô thị thuộc huyện Bad Dürkheim, trong bang Rheinland-Pfalz, phía tây nước Đức. Đô thị Ruppertsberg có diện tích 8,07 km², dân số thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2006 là 1412 người.

Tham khảo

Xã và đô thị ở huyện Bad Dürkheim


title: 94 TCN

text:
Năm 94 TCN là một năm trong lịch Julius.

Sự kiện

Sinh

Mất

Tham khảo

Năm 94 TCN


title: Tẩy tủy kinh

text:
Tẩy tủy kinh tương truyền là phần Hậu bộ của Dịch Cân Tẩy Tủy Kinh do Bồ Đề Đạt Ma truyền lại khi ông đến Tung Sơn Thiếu Lâm tự để truyền phật pháp. Nội dung của bộ kinh là phương pháp tu luyện khí công và võ thuật. Đây là thần công đứng đầu trong tứ đại thần công của thiếu lâm tự, tương truyền người luyện có thể hồi xuân như cũ mãi mãi không già.

Chú thich

Tham khảo

Cung Bằng Trình, Đạt Ma "Dịch cân kinh" luận khảo
Tẩy tủy kinh giải thích

Võ Thiếu Lâm
Khí công


title: Deromecus fulvus

text:
Deromecus fulvus là một loài bọ cánh cứng trong họ Elateridae. Loài này được Fleutiaux miêu tả khoa học năm 1907.

Chú thích

Tham khảo

Deromecus


title: Freistadt

text:
Freistadt ("thành phố tự do") là một đô thị của Áo. Đô thị này có diện tích km², dân số thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2005 là người. Freistadt thuộc bang Oberösterreich trong vùng Mühlviertel. Đây là trung tâm thương mại của các làng xung quanh. Các thành phố gần đô thị này gồm có Linz, thủ phủ của Oberösterreich, khoảng 40 km về phía nam và České Budějovice, thủ phủ của Nam Bohemia, khoảng 60 km về phía bắc.

Tham khảo

Liên kết ngoài

 Official Webpage of Freistadt (German only)
 Tourist Information


title: Perdita stabilis

text:
Perdita stabilis là một loài Hymenoptera trong họ Andrenidae. Loài này được Timberlake mô tả khoa học năm 1968.

Chú thích

Tham khảo

Perdita
Động vật được mô tả năm 1968


title: Onoba subantarctica

text:
Onoba subantarctica là một loài ốc biển nhỏ, là động vật thân mềm chân bụng sống ở biển trong họ Rissoidae.

Miêu tả

Phân bố

Chú thích

Tham khảo

Onoba


title: Pietra de' Giorgi

text:
Pietra de' Giorgi là một đô thị ở tỉnh Pavia trong vùng Lombardia của Ý, có cự ly khoảng 45 km về phía nam của Milan và khoảng 15 km về phía đông nam của Pavia. Tại thời điểm ngày 31 tháng 12 năm 2004, đô thị này có dân số 857 người và diện tích là 11 km².

Pietra de' Giorgi giáp các đô thị sau: Broni, Castana, Cigognola, Lirio, Montalto Pavese, Mornico Losana, Redavalle, Santa Giuletta, Santa Maria della Versa.

Biến động dân số

Tham khảo

Đô thị tỉnh Pavia
Thành phố và thị trấn ở Lombardia


title: Saint-Sulpice-de-Favières

text:
Saint-Sulpice-de-Favières là một xã ở tỉnh Essonne thuộc vùng Île-de-France miền bắc nước Pháp.Paris.

Theo điều tra dân số năm 1999, dân số xã này là 315 người. Ước tính dân số năm 2007 là 323.

Danh xưng cư dân địa phương Saint-Sulpice-de-Favières trong tiếng Pháp là Saint-Sulpiciens.

Tham khảo

Mayors of Essonne Association
 INSEE commune file

Liên kết ngoài

Trang mạng chính thức
 Website of the Domaine de Segrez
Mérimée database - Cultural heritage
Land use (IAURIF)

Xã của Essonne


title: Rheocles lateralis

text:
The zona (Rheocles lateralis) là một loài cá in the Bedotiidae family. It is đặc hữu to Madagascar. Its natural habitat is rivers.

Nguồn

Chú thích

Tham khảo

Rheocles


title: 1764 Cogshall

text:
1764 Cogshall là một tiểu hành tinh được phát hiện tại ở Đài thiên văn Goethe Link gần Brooklyn, Indiana bởi Chương trình tiểu hành tinh Indiana.

Tham khảo

Tiểu hành tinh vành đai chính
Thiên thể phát hiện năm 1953


title: Clanis mcguirei

text:
Clanis mcguirei là một loài bướm đêm thuộc họ Sphingidae. Nó được tìm thấy ở Thái Lan.

Chú thích

Tham khảo

Clanis


title: Aeritalia F-104S Starfighter

text:
Aeritalia F-104S Starfighter là phiên bản do Ý chế tạo của loại máy bay tiêm kích Lockheed F-104 Starfighter, nó được trang bị cho không quân Ý (AMI, Aeronautica Militare Italiana). F-104S cũng được Không quân Thổ Nhĩ Kỳ sử dụng cho đến giữa thập niên 1990. F-104S cũng là sự phát triển cuối cùng đối với F-104 Starfighter.

Có nguồn gốc từ các nghiên cứu thiết kế của Lockheed về "Super Starfighter", F-104S là một trong những phiên bản hiện đại nhất của dòng F-104. F-104S (nâng cấp lên chuẩn ASA/M) ngừng hoạt động vào tháng 10/2004.

Thiết kế và phát triển

Dòng F-104 bước vào giai đoạn phát triển thứ hai với F-104G. Trong khi Không quân Hoa Kỳ (USAF) không còn quan tâm tới F-104, thì Lockheed đã đề xuất Model CL-901 với động cơ J79-GE-19 mới và tên lửa Sparrow III mới; "G" là ký hiệu của "Germany" (Đức), đây là quốc gia đã phát triển cùng Lockheed để ra phiên bản F-104G, trong khi "S" là viết tắt của từ "Sparrow" nghĩa là phiên bản "Sparrow" cải tiến. Những phát triển đề xuất khác gồm CL-958 với cánh lớn hơn, CL-981 với cánh mũi sau buồng lái, và CL-984 tối ưu cho các nhiệm vụ đột kích độ cao thấp. Một chiếc RF-104G được sửa đổi và bay vào tháng 12/1966 là mẫu thử của CL-901 "Super Starfighter". CL-901 có lối dẫn khí lớn hơn một chút và van bằng thép bên trong cho phép nhiệt độ hoạt động từ 121 °C đến 175 °C, và đạt tốc độ tối đa lên tới Mach 2,2.

Trong 5 năm đầu tiên phục vụ ở Ý, 23 chiếc F-104G đã bị mất, chỉ còn 80 tới 90 chiếc F-104 (trên tổng số 149 chiếc đã mua) ở điều kiện hoạt động tốt, nên Ý quyết định mua một máy bay tiêm kích đánh chặn và tiêm kích-bom mới để tăng cường cho các đơn vị ở tiền tuyến.

Không quân Ý (AMI) vào giữa thập niên 1960 đã đưa ra ban hành chương trình "AW-X" (All-Weather-X aircraft – máy bay Mọi thời tiết X) về một loại máy bay tiêm kích mọi thời tiết mới, từ đó đã dẫn tới việc đánh giá các loại máy bay có sẵn sau: McDonnell Douglas F-4B/C Phantom, Mirage IIIC-1, BAC Lightning và North American F-100S Super Sabre. Sự lựa chọn cuối cùng là Lockheed CL-980 (một phiên bản đơn giản hóa với cùng kiểu cánh của Model CL-901). Ngày 26/1/1996, AMI chọn F-104S làm máy bay tiêm kích tương lai của mình. Chiếc F-104S đầu tiên là một chiếc F-104G do Fiat sửa đổi có số seri 'MM6658, đóng vai trò như một mẫu thử khí động và bay lần đầu ngày 22/12/1966, mẫu thử thứ hai MM6660 lắp hệ thống điện tử mới gần với cấu hình cuối cùng bay ngày 28/2/1967. MM.6701 là chiếc F-104S được hãng Aeritalia sản xuất đầu tiên bay ngày 30/12/1968.

F-104S được thiết kế để mang tên lửa AIM-7 Sparrow (bỏ đi pháo Vulcan). Trong vai trò cường kích, F-104S có 9 giá treo, có thể mang tới 7 quả bom 227 kg (500 lb) hoặc 340 kg (750 lb); về mặt lý thuyết một chiếc F-104S có thể mang 4 tới 5 quả bom, 2 thùng nhiên liệu phụ và 2 tên lửa AIM-9.

Loại máy bay mới này được đưa vào biên chế giữa năm 1991, thuộc 22° Gruppo (51° Stormo); trong năm đó, F-104S đã tích lũy được 460 giờ bay.

AMI mua 205 chiếc, tất cả giao hàng từ năm 1969 tới 1979, 100 chiếc giao tháng 1/1973, chiếc thứ 200 giao tháng 5/1976. F-104S được chế tạo thành 2 phiên bản; một phiên bản đánh chặn trang bị tên lửa AIM-7 Sparrow (pháo M61 Vulcan bị loại bỏ); và phiên bản tiêm kích-bom, giữ lại pháo và bom cũng như các vũ khí không đối diện khác. Các phiên bản có thể hoán đổi cho nhau, nên không rõ có bao nhiêu chiếc mỗi phiên bản được chế tạo.

Lịch sử hoạt động
Ý
Các phi đoàn của AMI trang bị F-104G và S là: 9, 10, 12, 18 (đánh chặn, tiêm kích-bom), 20 (huấn luyện), 21, 22, 23, 28, 102 (trinh sát), 154, 155 và 156 (ném bom)

Động cơ J79-GE-19 cho phép F-104S có vận tốc leo cao nhanh hơn, đạt vận tốc Mach 2 tại độ cao 12.000 m (39.370 ft) trong khoảng 5 phút.

Napoleone Bragagnolo một phi công thử nghiệm cho Aeritalia, đã hạ cánh tại Ciampino, Roma, sau 19 phút và 30 giây kể từ khi cất cánh từ Torino. Trong chuyến bay này máy bay mang theo 2 thùng nhiên liệu phụ, bay lên độ cao 15 km (49.213 ft) và tăng tốc lên vận tốc Mach 2. Máy bay vẫn còn 1.300 l (290 imp gal; 340 US gal) nhiên liệu sau khi hạ cánh; đủ để đến Palermo với vận tốc cận âm. Vận tốc trung bình trong chuyến bay là Mach 1,5. Ngay cả với những chiếc Starfighter mới, tỉ lệ tổn thấ vận ở mức cao, đỉnh điểm là vào năm 1973 và 1975 (10 chiếc F-104 thuộc mọi phiên bản của AMI đã bị mất khi đang hoạt động). Tính đến năm 1997, Ý đã mất 137 (chiếm 38%) chiếc F-104 trong tổng số giờ bay là 928.000 giờ bay (trung bình mất 14,7 chiếc cho 100.000 giờ). Mặc dù tỉ lệ này đã giảm xuống vào thập niên 1980 (33 chiếc giai đoạn 1981-1990), cuộc tranh luận về độ tin cậy của F-104 vẫn thường diễn ra khốc liệt trên các phương tiện thông tin đại chúng. Thập niên 1980, tỉ lệ tổn thất đã giảm xuống, thậm chí nhiều hơn so với thập niên 1990, khi tất cả các phiên bản cũ (trừ TF-104) bị loại bỏ. Chiếc F-104 cuối cùng của Ý ngừng hoạt động năm 2004, F-104 đã bay khoảng 1 triệu giờ bay trong 40 năm phục vụ.

Thổ Nhĩ Kỳ
Thổ Nhĩ Kỳ là khách hàng của Aeritalia F-104S. Đơn đặt hàng đầu tiên được ký năm 1974, mua một lô 18 chiếc và được đưa vào trang bị tháng 12/1974. Những máy bay đầu tiên này là một món quà từ Libya; phần thưởng cho sự hỗ trợ kỹ thuật của Thổ Nhĩ Kỳ để cải thiện năng lực của Không quân Libya. 18 chiếc khác được đặt hàng vào tháng 5/1975, cuối cùng tăng lên thành 40 chiếc, nhưng một lô khác (20 chiếc) đã bị hủy, có lẽ vì F-4 đã được giao cho Thổ Nhĩ Kỳ. Chúng phục vụ trong các đơn vị 142 và 182 Filo từ thập niên 1970, khoảng một tá F-104S vẫn phục vụ cho đến giữa thập niên 1990. Dù 200 tên lửa Selenia AIM-7 được mua, nhưng F-104S ít khi mang chúng, do đó chủ yếu F-4E được trang bị loại tên lửa này.

Nâng cấp kéo dài tuổi thọ

2 chương trình nâng cấp đã được thực hiện trước khi AMI đưa vào trang bị Eurofighter Typhoon, kết quả là F-104S-ASA và F-104S-ASA/M.

F-104S-ASA
F-104ASA (Aggiornamento Sistemi d'Arma), được phát triển vào năm 1986, dùng một radar Fiar Setter, có khả năng 'look-down' và tương thích với tên lửa Selenia Aspide. AIM-9L sau đó được dùng như vũ khí chính thay thế các phiên bản "B" và "F" của loại tên lửa này, trong khi tên lửa AIM-7 cũ hơn vẫn được giữ lại. Mỗi cánh thường mang 1 tên lửa AIM-7. Tổng cộng có 147 khung thân của F-104S được chuyển đổi thành chuẩn ASA với chi phí khoảng 600 tỉ lire, chiếc ASA cuối cùng được gioa vào đầu thập niên 1990.

F-104S-ASA/M
Gói nâng cấp ASA/M (ban đầu được gọi là gói nâng cấp 'ECO' (Estensione Capacità Operative)) tập trung vào việc cải thiện độ tin cậy hơn là cải tiến khả năng chiến đấu, có 49 chiếc ASA được nâng cấp. 15 chiếc TF-104G cũng được tham gia vào chương trình này.

Biến thể

F-104S (Lockheed Model CL-901) 246 chiếc chủ yếu do Fiat và Aeritalia (1 chiếc mất trong khi chuyển giao) sản xuất, nâng cấp với vai trò đánh chặn có radar NASARR R-21G/H, thêm 2 giá treo ở cánh và 2 ở dưới bụng (nâng số giá treo lên 9), động cơ J79-GE-19 nâng cấp có lực đẩy 52,8 kN (11.870 lbf) (79,6 kN/17.900 lbf khi đốt tăng lực), thêm 2 cánh ngang đuôi để ổn định khi bay ở vận tốc lớn. Pháo M61 20 mm bị bỏ đi, thay vào đó là hệ thống điện tử cho tên lửa, biến thể tiêm kích-bom vẫn giữ lại pháo. Mang được 2 tên lửa Sparrow; và 2 tên lửa Sidewinder, về mặt lý thuyết là bốn hoặc sáu Sidewinder, hoặc 7 quả bom 340 kg (750 lb) (thường 2 tới 4 quả bom 227–340 kg/500-750 lb). Tầm bay tăng lên 1.250 km (777 dặm) với 4 thùng nhiên liệu, tầm bay chuyển sân 2.940 km (1.827 dặm).

F-104S-ASA (Aggiornamento Sistemi d'Arma - "Nâng cấp Hệ thống Vũ khí ") – một phiên bản nâng cấp của Ý, 147 chiếc được nâng cấp từ số đã có, nâng cấp với radar Fiat R21G/M1, mang tên lửa AIM-9L và Selenia Aspide. Do tên lửa Aspide chậm giao hàng nên nó cũng được gọi là ASA-1 với tên lửa Sparrow và ASA-2 khi mang tên lửa Aspide, cuối cùng tất cả F-104S được nâng cấp thành chuẩn ASA-2. Tiêm kích-bom không được cải tiến đáng kể trong gói nâng cấp ASA, sau đó được sử đổi thành chuẩn đánh chặn (CI) không có M61.

F-104S-ASA/M (Aggiornamento Sistemi d'Arma/Modificato - "Nâng cấp/Sửa đổi Hệ thống Vũ khí") – 49 chiếc F-104S-ASA và 15 chiếc TF-104G hai chỗ được nâng cấp từ năm 1998 lên chuẩn ASA/M với GPS, dẫn đường chiến thuật (TACAN) và dẫn đường quán tính Litton LN-30A2, khung thân tân trang lại, buồng lái nâng cấp. Các thiết bị dùng cho nhiệm vụ đột kích bị loại bỏ, gồm cả IRST.

Quốc gia sử dụng

Không quân Ý

Không quân Thổ Nhĩ Kỳ

 Tính năng kỹ chiến thuật (F-104S)

Dữ liệu lấy từ "Jane's All the World's Aircraft, 1976-1977"
Đặc điểm riêng
Tổ lái: 1
Chiều dài: 16,7 m (54 ft 9 in)
Sải cánh: 6,68 m (21 ft 11 in)
Chiều cao: 4,11 m (13 ft 6 in)
Diện tích cánh: 18,2 m² (196 ft²)
Trọng lượng rỗng: 6.760 kg (14.900 lb)
Trọng lượng có tải: 9.840 kg (21.690 lb)
Trọng lượng cất cánh tối đa: 14.060 kg (31.000 lb)
Động cơ: 1 động cơ tuabin đốt tăng lực General Electric J79-GE-19, lực đẩy 52,8 kN (11.870 lbf), đốt tăng lực 79,6 kN (17.900 lbf)
Hiệu suất bay
Vận tốc cực đại: 2.330 km/h (1.450 mph, 1.259 kn, Mach 2,2) trên độ cao 11.000 m (36.000 ft)
Vận tốc hành trình: 981 km/h (610 mph, 530 kn) trên độ cao 11.000 m (36.000 ft)
Tầm bay: 2.920 km (1.815 mi, 1.576 nmi)
Trần bay: 17.680 m (58.000 ft)
Vận tốc lên cao: 277 m/s (54.850 ft/phút)
Lực nâng của cánh: 680 kg/m²
Lực đẩy/trọng lượng: 0,78:1
Vũ khí
1 pháo M61A1 Vulcan 20 mm (0,79 in) với 725 viên đạn.
Tên lửa AIM-9 và AIM-7
Bom
Hệ thống điện tử

Xem thêm
Máy bay có cùng sự phát triển
 F-104 Starfighter
 Canadair CF-104
Máy bay có tính năng tương đương
 English Electric Lightning
 Sukhoi Su-15

Tham khảo
Ghi chú

Tài liệu

 "Aeritalia: Cornerstone of Italian Aerospace." Air International Volume 16, No. 2, February 1979.
 Bowman, Martin W. Lockheed F-104 Starfighter. Ramsbury, Marlborough, Wiltshire, UK: Crowood Press Ltd., 2000. ISBN 1-86126-314-7.
 Fricker, John and Jackson, Paul. "Lockheed F-104 Starfighter". Wings of Fame. Volume 2 1996. London: Aerospace Publishing, p. 38 - 99. ISBN 1-874023-69-7.
 Gianvanni, Pietro. "F-104 Starfighter." Ed.Ai editions, June 1998.
 Michell, Simon, ed. "Alenia (Lockheed) F-104S ASA Starfighter Upgrade." Jane's Civil and Military Aircraft Upgrades 1994-95. Coulsdon, Surrey, UK: Jane's Information Group, 1994. ISBN 0-7106-1208-7.
 Niccoli, Ricardo. "'S' is for 'Sparrow'." Air Enthusiast Issue 117, May–June 2005.
 Niccoli, Ricardo. "Starfighters in the AMI". Air International Volume 31, No. 6, December 1986.
 Pace, Steve. F-104 Starfighter: design, Development and Worldwide Operations of the First Operational Mach 2 Fighter. St. Paul, Minnesota: Motorbooks International, 1992. ISBN 0-87938-608-8.
 Sgarlato, Nico. "F-104 Starfighter" (in Italian). Delta editions, Great Planes Monograph series, February 2004.
 Taylor, John W.R., ed. "Aeritalia (Lockheed) F-104S" Jane's All the World's Aircraft, 1976-1977''. London: Macdonald and Jane's. 1976. ISBN 0-531-03278-7.

F-104S
Máy bay tiêm kích Ý 1960–1969
F-104S Starfighter
F-104S Starfighter
Máy bay một động cơ phản lực


title: Roye-sur-Matz

text:
Roye-sur-Matz là một xã thuộc tỉnh Oise trong vùng Hauts-de-France phía bắc nước Pháp. Xã này nằm ở khu vực có độ cao trung bình 70 mét trên mực nước biển.

Tham khảo

INSEE

Royesurmatz


title: Golem

text:
Trong truyền thuyết Do Thái, Golem là tên của con quái vật được làm từ bùn cũng giống như con người nhưng mạnh và khỏe hơn loài người. Câu chuyện tường thuật nổi tiếng đầu tiên về Golem từ cuối thế kỷ 16 liên quan tới Judah Loew ben Bezalel, người đứng đầu giáo sĩ Do Thái của Praha.

Lịch sử

Từ nguyên
Từ golem chỉ xuất hiện một lần trong Cựu Ước: bài Thánh Vịnh 139:16 sử dụng từ , được dịch ra tiếng Việt là "bào thai". Sách Mishnah dùng tên này để chỉ đến con người không văn minh: "Người không văn minh có bảy đặc tính và người có học thức có bảy," tạm dịch từ tiếng Do Thái trong Pirkei Avos 5:9. Trong tiếng Do Thái hiện đại, golem có nghĩa "ngu ngốc" hoặc "không tự lực được".

Câu chuyện sớm nhất
Câu chuyện về Golem sớm nhất được nhắc tới bởi Do tháo giáo. Trong Talmud (phúc âm Sanhedrin trang 38), Adam ban đầu được tạo ra theo kiểu golem, khi bùn của ông được nhào nhặn thành hình khối dị dạng. Giống Adam, tất cả golem được tạo từ bùn. Golem được tạo từ những đấng rất linh thiêng kề cận Thiên Chúa. Vì là những người thân cận với Thiên Chúa, những đấng linh thiêng được ban cho một phần sự thông thái và sức mạnh của chúa. Một trong những sức mạnh đó của họ là có thể tạo sự sống từ những vật chất. Dù vậy, tạo vật của họ vẫn chỉ là cái bóng so với tạo vật của Thiên Chúa.

Trước đó, quan điểm về golem đã được phát triển, điểm yếu chính lớn nhất của golem là không thể nói. Trong Sanhedrin trang 65 miêu Rava đang tạo ra một con người (gavra). Ông ta gửi nó đến Rav Zeira; Rav Zeira cố gắng trò chuyện với nó, nhưng nó không thể trả lời. Sau đó Rav Zeira tức giận và nói: "Ngươi được tạo ra bởi phép thuật; giờ hãy trở về với cát bụi."

Tham khảo

Văn hóa dân gian Séc
Thực hành Kabbalah
Praha
Tên tiếng Hebrew
Từ ngữ Kabbalah
Truyền thuyết đô thị
Truyền thuyết siêu nhiên


title: Ariaramnes

text:
{{Nhiều vấn đề|
Ariaramnes (tiếng Ba Tư cổ: ⁵⁶⁷⁸⁹⁰⁹⁰, Ariyāramna "Ông là người mang lại hòa bình cho thần dân Aryan (còn gọi là Iran)") là ông nội của Darius I, và có thể là vua xứ Parsa, vương quốc cổ ở Đế quốc Ba Tư xưa.

Ariaramnes có lẽ là anh vua Cyrus I của Anshan đồng thời là con vua Teispes, nhưng không chắc chắn. Nói cách khác thì ông là một thành viên nhà Achaemenid. Theo chứng minh bởi bi văn tại Bisitun thì ông là vị vua đầu tiên của một nhánh Achaemenid khác, đã cai trị song song với Cyrus I và con trai là Cambyses I.

Chú thích

Vua nhà Sasan
Vua nhà Achaemenes
Vua Hakhamanishian


title: Plectromacronema subfuscum

text:
Plectromacronema subfuscum là một loài Trichoptera thuộc họ Hydropsychidae. Chúng phân bố ở vùng Tân nhiệt đới.

Tham khảo

Trichoptera vùng Tân nhiệt đới
Plectromacronema


title: Thụy Vân

text:
Thụy Vân có thể là:

Địa danh
 Xã Thụy Vân, thành phố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ

Nhân danh
 NSND Thụy Vân (sinh năm 1940), nổi tiếng với vai Vân trong bộ phim Nổi gió
 Nguyễn Thụy Vân, người đoạt giải Á hậu 2 tại cuộc thi Hoa hậu Việt Nam 2008, hiện đang làm MC tại VTV.


title: Vladimir Alekseyevich Soloukhin

text:
Vladimir Alekseyevich Soloukhin (tiếng Nga: Влади́мир Алексе́евич Солоу́хин) (14 tháng 6 năm 1924 – 4 tháng 4 năm 1997) – nhà thơ, nhà văn Nga Xô Viết.

Tiểu sử
Vladimir Soloukhin sinh ra trong một gia đình nông dân ở làng Alepino, tỉnh Vladimir. Mẹ là một người yêu thơ ca, thuộc lòng nhiều trường ca của Nicolay Nekrasov, Aleksey Tolstoy nên có ảnh hưởng đối với cậu con trai đã thích đọc thơ từ năm lên 4 tuổi. Học xong trường phổ thông, Soloukhin vào học trường trung cấp cơ khí trong các năm 1938 – 1942. In những bài thơ đầu tiên ở báo Призыв của tỉnh Vladimir năm 1939. Tốt nghiệp trường trung cấp, Soloukhin làm việc ở đơn vị bảo vệ pháo đài Kremli. Năm 1951 tốt nghiệp trường viết văn làm biên tập của báo Молодая Гвардия (1958 – 1981), đồng thời là biên tập của tạp chí Наш современник.

Đề tài chính trong tác phẩm của Sloukhin là làng quê Nga. Ông là một đại diện tiêu biểu của "các nhà văn nông thôn". Đầu tiên thơ của Soloukhin theo thể thơ truyền thống càng về cuối thơ của ông càng phá cách và gần gũi với thơ văn xuôi. Đề tài tôn giáo cũng chiếm một mảng lớn trong sáng tác của ông. Soloukhin phê phán thế giới quan cộng sản, quốc tế và vô thần mặc dù ông cũng từng là người đã đứng trên nhân sinh quan cộng sản để phê phán tác phẩm Bác sĩ Zhivago của Boris Pasternak.

Vladimir Soloukhin đi nhiều nơi trên thế giới, tác phẩm của ông cũng được dịch ra nhiều thứ tiếng, trong đó có tiếng Việt. Ông được tặng nhiều huân, huy chương và nhiều giải thưởng của Nhà nước Liên Xô và Liên bang Nga.

Vladimir Soloukhin mất ở Moskva ngày 4 tháng 4 năm 1997, an táng ở làng quê Alepino.

Tác phẩm
Thơ:
Дождь в степи (1953)
Разрыв-трава (1956)
Журавлиха (1959)
Колодец (1959)
Как выпить солнце (1961)
Имеющий в руках цветы (1962)
Жить на земле (1965)
С лирических позиций (1965)
Не прячьтесь от дождя (1967)
Аргумент (1972)
Разрыв-трава (1972)
Славянская тетрадь (1972)
Седина (1977)
Văn xuôi:
Рождение Зернограда (1955)
Золотое дно (1956)
Владимирские просёлки (1957)
Терновник (1959)
Капля росы (1960)
Григоровы острова: Заметки о зимнем ужении рыбы (1963)
Мать-мачеха (1964)
Письма из Русского музея (1966)
Третья охота (1967)
Чёрные доски: Записки начинающего коллекционера (1969)
Трава (1972)
Прекрасная Адыгене (1973)
Олепинские пруды (1973)
Посещение 3ванки(1975)
Приговор (1975)
Последняя ступень: Исповедь вашего современника (1976, издана в 1995)
Слово живое и мёртвое (1976)
Камешки на ладони (1977)
Время собирать камни (1980)
Продолжение времени (1982)
Смех за левым плечом (1989)
Древо (1991)
При свете дня (1992)
Солёное озеро (1994)
Чаша (1998, опубликованы посмертно)

Một số bài thơ

Tham khảo

Liên kết ngoài
 Биография на Хроно.ру
 Избранные произведения
 Поэзия В. А. Солоухина
 Страничка памяти Владимира Алексеевича Солоухина
 Памяти Владимира Солоухина, видеофайл

Nhà thơ Nga
Nhà văn Nga


title: Bickendorf

text:
Bickendorf là một xã ở huyện Bitburg-Prüm, trong bang Rheinland-Pfalz, phía tây nước Đức. Xã Bickendorf có diện tích 5,49 km², dân số thời điểm ngày 30 tháng 6 năm 2006 là 488 người.

Tham khảo

Xã của bang Rheinland-Pfalz
Xã và đô thị ở huyện Bitburg-Prüm