markdown:
## Are you sure?
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
**ÐAI S0 TUYFN TÎNH
**
NANC CA0
IUU HA NH N0 I B0
CA N TH0 2008
1
2
Nuc luc
Chuong I. RU T C0 N N0 T T0A N TU TUYF N TÎNH 5
¸1. Ia t va n dc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b
¸2. 1r} rìc ng va vc c to rìc ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
¸J. Ia thu c da c trung cu a mo t toa n tu tuyc n tính . . . . . . 9
¸4. 1oa n tu chc o ho a duo c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
¸b. No t va ì u ng du ng cu a su chc o ho a . . . . . . . . . . . . 14
¸b. 1am gìa c ho a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
¸7. Ia thu c trìc t tìc u. I}nh ly Hamìlton - Callcy . . . . . . . 27
¸8. ßo dc ca n ba n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1
¸9. Ia thu c to ì tìc u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jb
¸10. Ia ng tam gìa c kho ì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J8
¸11. Ia ng chính ta c Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4J
ßa ì ta p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bJ
J
Chuong II. KH0 NC CIAN FUCIID 57
¸1. 1ích vo huo ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b7
¸2. Ia ng ru t go n Causs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b9
¸J. Chua n cu a vc c to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb
¸4. Su tru c gìao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b8
¸b. Co so tru c gìao va co so tru c chua n . . . . . . . . . . . . 72
¸b. Na tra n cu a da ng song tuyc n tính . . . . . . . . . . . . 7b
¸7. Nho m tru c gìao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
¸8. Nho m O(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8J
¸9. Nho m O(3, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8b
¸10. Chc o ho a toa n tu tu lìc n ho p trong kho ng gìan Luclìd . 90
ßa ì ta p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9J
4
Chuong I
RUT C0N N0T T0AN TU
TUYFN TÎNH
¸1. Ðat van de
Cìa su V la kho ng gìan vc c to n chìc u trc n truo ng K va B =
(e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so duo c sa p cu a V . Nc u f la mo t toa n tu tuyc n
tính trong kho ng gìan V thi ma tra n bìc u dìc n f trong co so B duo c
ky hìc u la A = [f]
B
. Cìa su B
= (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so kha c cu a
V , A
= [f]
B
va P = (B −→B
**) la ma tra n chuyc n co so tu B sang
**
B
thi A va A
**lìc n hc vo ì nhau bo ì co ng thu c
**
A
= P
−1
AP.
b
1rong chuong na y chu ng ta nghìc n cu u va n dc tim kìc m trong
kho ng gìan vc c to V mo t co so B sao cho trong do ma tra n cu a toa n
tu f co da ng ”dao }/a o o/a /” co thc duo c. Cu thc hon, ta sc tim
kìc m B sao cho trong do ma tra n cu a f co da ng chc o, hoa c co thc la
da ng tam gìa c cha ng ha n.
Ð|nh nghía 1.1. 1a no ì toa n tu tuyc n tính f ∈ End
K
(V ) c/e c /c a
daa c nc u to n ta ì co so B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho [f]
B
la ma tra n chc o.
Ð|nh nghía 1.2. 1a no ì toa n tu tuyc n tính f ∈ End
K
(V ) /am }/a c
/c a daa c nc u to n ta ì co so B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho [f]
B
la ma tra n
tam gìa c (trc n hoa c duo ì).
\a n dc ru t go n mo t toa n tu tuyc n tính dua vc ca c buo c sau:
1) 1im dìc u kìc n dc mo t toa n tu tuyc n tính chc o ho a duo c (tuong
u ng, tam gìa c ho a duo c).
2) Nc u to an tu f chc o ho a duo c (hay tam gìa c ho a duo c) , ha y
tim mo t co so sao cho trong do ma tra n cu a f co da ng chc o (tuong
u ng, da ng tam gìa c).
Ro ra ng ta cu ng co thc tìc p ca n va n dc na y tho ng qua ngo n ngu
ma tra n. Cu thc nhu sau:
1) Io ì vo ì ma tra n A ∈ M
n
(K), tim dìc u kìc n dc to n ta ì ma tra n
kha ngh}ch P sao cho A
= P
−1
AP la ma tra n chc o (tuong u ng, ma
tra n tam gìa c).
2) 1im P va A
.
b
¸2. Tr| rieng va vec to rieng
Ð|nh nghía 2.1. Cho f ∈ End
K
(V ). 1a no ì vc c to v ∈ V la mo t
vc c to rìc ng cu a f nc u:
(ì) v ,= 0;
(ìì) 1o n ta ì λ ∈ K sao cho f(v) = λv.
Khì do ta no ì λ la mo t /r/ r/e o} //aµ /r/ da c /rao}ï cu a f, va v la
ce c /a r/e o} //aµ ce c /a da c /rao}ï u ng vo ì tr} rìc ng λ.
Nha n xe t.
1) 1hco d}nh nghia, mo ì vc c to rìc ng dc u kha c 0. 1uy nhìc n,
tr} rìc ng co thc ba ng 0. 1ha t va y, nc u kerf ,= 0 thi mo ì vc c to
0 ,= v ∈ Kerf dc u la vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ = 0.
2) Nc u v la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ thi ∀0 ,= μ ∈ K, μv
cu ng la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ.
\a y, ca c vc c to rìc ng cu a f chi co thc la :
- Ca c vc c to kha c 0 cu a Kerf;
- Ca c vc c to kho ng do ì phuong duo ì ta c do ng cu a f.
Ngoa ì ra, do nha n xc t 2) nc n nc u D la mo t duo ng tha ng sình ra
bo ì mo t vc c to rìc ng cu a f thi D ba t bìc n duo ì ta c do ng cu a f.
Ví du 1.
Cho V la kho ng gìan ca c vc c to tu do trong kho ng gìan 3 chìc u
tho ng thuo ng, π la mo t ma t pha ng va D la mo t duo ng tha ng ca t π
vo ì vc c to chi phuong w. Co ì f la phc p chìc u xuo ng ma t phaa ng π
song song vo ì duo ng tha ng D. Khì do , ∀v ∈ π ta dc u co f(v) = v,
nghia la v la vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ = 1. No ì vc c to
7
kha c 0 cu a D la vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ = 0. Ngo aì ra,
ba t ky mo t vc c to kha c 0 na o kha c cu a V cu ng dc u do ì phuong duo ì
ta c do ng cu a f. \a y, 0 va 1 la ca c tr} rìc ng duy nha t cu a f.
Ví du 2.
1rong ma t pha ng xc t f la mo t phc p quay mo t go c θ quanh ta m
O. Nc u θ ,= kπ, k ∈ Z thi mo ì vc c to kha c 0 dc u do ì phuong, do ng
tho ì cu ng kho ng co vc c to kha c 0 na o bìc n tha nh vc c to 0. \a y f
kho ng co ca c vc c to rìc ng.
Ví du 3.
Cho k ∈ K va a nh xa
V −→ V
v −→ kv
la phc p v} tu hc so k.
I}nh ly duo ì da y cho tha y tính cha t quan tro ng cu a vìc c nghìc n
cu u ca c vc c to rìc ng.
Ð|nh ly 2.2. Tca o /a /aµe o //o/ f ∈ End
K
(V ) c/e c /c a daa c ///
ca c// /// /c o /a / mc / ca sa ca a V }c m /ca o ca c ce c /a r/e o} ca a f.
Chu ng minh. Nc u B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so go m toa n ca c vc c
to rìc ng cu a f thi
f(v
1
) = λ
1
v
1
, . . . , f(v
n
) = λ
n
v
n
.
Khì do
[f]
B
= diag(λ
1
, . . . , λ
n
).
Nguo c la ì, gìa su B la mo t co so cu a V trong do ma tra n cu a f co
da ng chc o [f]
B
= diag(λ
1
, . . . , λ
n
). Khì do , f(v
1
) = λ
1
v
1
, . . . , f(v
n
) =
λ
n
v
n
, nghia la v
1
, . . . , v
n
dc u la ca c vc c to rìc ng cu a f.
8
¸3. Ða thuc dac trung cua mot toan tu
tuyen tính
Cìa su f ∈ End
K
(V ) va λ la mo t tr} rìc ng cu a f. Khì do , to n ta ì
0 ,= v ∈ V sao cho f(v) = λv, nghia la (f − λId
V
)v = 0. Nc u B la
mo t co so duo c sa p cu a V thi
[f −λId
V
]
B
[v]
B
= 0.
Io v ,= 0 nc n [v]
B
,= 0. 1u do suy ra det[f − λId
V
]
B
= 0.
Nc u da t A = [f]
B
thi tu do suy ra λ tho a [A − λI
n
[ = 0. Ia t
P
f
(λ) = [A − λI
n
[. Nc u B
la mo t co so duo c sa p kha c cu a V va
A
= [f]
B
thi to n ta ì ma tra n kha ngh}ch P (P chính la ma tra n
chuyc n co so tu B sang B
) sao cho A
= P
−1
AP. 1u do ta co
[A
− λI
n
[ = [P
−1
AP −λI
n
[ = [P
−1
(A−λI
n
)P[ = [A− λI
n
[.
\a y, P
f
(λ) chi phu thuo c va o f ma kho ng phu thuo c va o vìc c
cho n co so cu a V . 1a go ì P
f
(λ) la da //a c da c /rao} cu a to an tu f.
1u nhu ng pha n tích no ì trc n ta nha n tha y ra ng, dc tim tr} da c trung
cu a toa n tu f ta chi vìc c cho n mo t co so B na o do cu a V , xa c d}nh
ma tra n A = [f]
B
, sau do gìa ì phuong trinh da ì so [A−λI
n
[ dc tim
ta t ca ca c nghìc m na m trong truo ng K cu a no .
Ð|nh nghía 3.1. Cìa su da thu c da c trung P
f
(λ) co ca c nghìc m
λ
1
, . . . , λ
p
∈ K, vo ì k
i
la bo ì cu a λ
i
. Khì do ta vìc t
Sp
K
(f) = ¦λ
1
, . . . , λ
1
. ¸¸ .
k
1
, . . . , λ
p
, . . . , λ
p
. ¸¸ .
kp
¦
9
va go ì no la p/c cu a toa n tu f. Nc u A la ma tra n bìc u dìc n f trong
mo t co so duo c sa p na o do cu a V thi ta co thc vìc t Sp
K
(A) thay vi
vìc t Sp
K
(f).
Ca n thìc t luu y ra ng pho cu a toa n tu tuyc n tính phu thuo c va o
truo ng co so K. 1ha t va y, nc u A =
_
2 1
−5 −2
_
thi P
A
(λ) = λ
2
+1.
Khì do Sp
R
(A) = Ø, nhung Sp
C
(A) = ¦±i¦. 1uy nhìc n, khì na o
kho ng thc co gi ga y nha m la n thi ta sc du ng ca c ky hìc u don gìa n la
Sp(f), Sp(A) thay cho Sp
K
(f), Sp
K
(A).
Ví du 4. Cho
f : R
3
−→R
3
f(x
1
, x
2
) = (x
1
+ 2x
2
, −x
1
+ 4x
2
)
Na tra n cu a f trong co so chính ta c la A =
_
1 2
−1 4
_
, suy ra
P
f
(λ) = (λ −2)(λ −3). \a y, Sp(f) = ¦2, 3¦.
¸4. Toan tu cheo hoa duoc
Ð|nh nghía 4.1. Cho f ∈ End
K
(V ). Nc u λ la mo t tr} rìc ng cu a f
thi
E(λ) := ¦v ∈ V [f(v) = λv¦
10
la mo t kho ng gìan con cu a V va ta go ì no la //c o} }/ao cco r/e o}
cu a V a o} ca / /r/ r/e o} λ.
Ne nh de 4.2. C/c λ
1
, . . . , λ
p
/a ca c /r/ r/e o} //a c o/aa ca a f ∈
End
K
(V ). K// dc E(λ
1
) +. . . + E(λ
p
) /a mc / /c o} /ra c //e p.
Chu ng minh. 1a sc chu ng mình ba ng quì na p thco p. Khì p = 1
thi kho ng co gi dc chu ng mình. Cìa su p ≥ 1 va dìc u kha ng d}nh la
du ng do ì vo ì p. 1a ca n chu ng mình
(E(λ
1
) +. . . + E(λ
p
)) ∩ E(λ
p+1
) = 0.
Cìa su v = v
1
+ . . . + v
p
∈ E(λ
p+1
), trong do v
k
∈ E(λ
k
), ∀k ∈
1, k. Khì do f(v) = λ
1
v
1
+. . .+λ
p
v
p
= λ
p+1
v = λ
p+1
(v
1
+. . .+v
p
).
1u do suy ra
(λ
1
−λ
p+1
)v
1
+ . . . + (λ
p
−λ
p+1
)v
p
= 0.
1u gìa thìc t quì na p suy ra (λ
k
− λ
p+1
)v
k
= 0, ∀k ∈ 1, p. Nhung
λ
k
,= λ
p+1
, ∀k ∈ 1, p, nc n tu do suy ra v
k
= 0, ∀k ∈ 1, p, kc o thco
v = 0.
He qua 4.3. Tca o /a f c/e c /c a daa c oe a ca c// oe a V /a /c o} /ra c
//e p ca a ca c //c o} }/ao cco r/e o} ca a oc . Nc / c//o/ va c /ao, }/a
sa λ
1
, . . . , λ
p
/a ca c /r/ r/e o} //a c o/aa ca a f. K// dc . f c/e c /c a
daa c oe a ca c// oe a V = E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
).
Chu ng minh. Cìa su V = E(λ
1
)⊕. . .⊕E(λ
p
). Khì do , nc u B
1
, . . . , B
p
tuong u ng la ca c co so cu a E(λ
1
), . . . , E(λ
p
) thi B = (B
1
, . . . , B
p
) la
co so cu a V . 1u do , a p du ng I}nh ly 2.2 suy ra f chc o ho a duo c.
Nguo c la ì, gìa su f chc o ho a duo c. Khì do , cu ng thco I}nh ly 2.2,
to n ta ì mo t co so B cu a V go m toa n nhu ng vc c to rìc ng cu a f. Cìa
su
B = ¦v
1
, . . . , v
n
1
. ¸¸ .
∈E(λ
1
)
, . . . , w
1
, . . . , w
np
. ¸¸ .
∈E(λp)
¦.
11
Khì do , ro ra ng dimE(λ
1
) +. . . +dimE(λ
p
) = dimV. 1u do suy
ra
V = E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
).
0ua Hc qua no ì trc n ta tha y ra ng so chìc u cu a ca c kho ng gìan
con rìc ng do ng mo t vaì tro quan tro ng trong ba ì toa n chc o ho a mo t
toa n tu tuyc n tính. Io do kha o sa t ca c so chìc u na y la mo t vìc c ca n
thìc t.
Ne nh de 4.4. C/c f ∈ End
K
(V ). Ne a λ /a mc / /r/ r/e o} bc / m ca a
f /// dimE(λ) ≤ m.
Chu ng minh. Cìa su dimE(λ) > m va v
1
, . . . , v
m
, v
m+1
la ca c vc c
to do c la p tuyc n tính cu a E(λ). ßo tu c ho ca c vc c to na y tha nh mo t
co so B cu a V :
B = (v
1
, . . . , v
m
, v
m+1
, w
m+2
, . . . , w
n
).
Khì do
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ O
.
.
.
O λ
A
O B
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
1u do suy ra
P
f
(t) = det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ −t O
.
.
.
O λ − t
A
O B − tI
n−m−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
12
= (λ − t)
m+1
det(B −tI
n−m−1
).
Suy ra λ la tr} rìc ng bo ì kho ng nho hon m+ 1 va ta co mo t ma u
thua n.
ßa y gìo ta da co du dìc u kìc n dc chu ng mình d}nh ly chính vc su
chc o ho a mo t toa n tu tuyc n tính.
Ð|nh ly 4.5. Tca o /a /aµe o //o/ f ∈ End
K
(V ) c/e c /c a daa c ///
ca c// /// ca c d/e a //e o daa / da µ daa c //c a ma o.
//ï P
f
(λ) p/a o ra /re o K, o}//a /a P
f
(λ) cc //e p/a o //c/ //a o/
da o}
P
f
(λ) = (−1)
n
(λ − λ
1
)
m
1
. . . (λ −λ
p
)
mp
, (1)
ca / λ
1
, . . . , λ
p
∈ K ca m
1
+. . . +m
p
= n.
///ï ∀i ∈ 1, p, dimE(λ
i
) = m
i
.
Chu ng minh. Nc u ca c dìc u kìc n (ì) va (ìì) duo c tho a ma n thi V =
E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
). Io do , thco Hc qua 4.J, f chc o ho a duo c.
Nguo c la ì, gìa su f chc o ho a duo c. Nc u P
f
(λ) kho ng pha n ra trc n
K thi no co da ng
P
f
(λ) = Q(λ)(λ − λ
1
)
m
1
. . . (λ −λ
s
)
ms
,
vo ì m
1
+ . . . +m
s
< n. 1hco Nc nh dc 4.4, ta co
dimE(λ
1
) +. . . + dimE(λ
s
) ≤ m
1
+. . . + m
s
< n,
kc o thco f kho ng chc o ho a duo c. \a y P
f
(λ) pha ì pha n ra trc n K,
nghia la no co da ng (1).
Nc u to n ta ì j sao cho dimE(λ
j
) < m
j
thi
dimE(λ
1
) + . . . +dimE(λ
p
) ≤ m
1
+. . . + m
p
< n,
cu ng ma u thua n vo ì tính chc o ho a duo c cu a f. \a y dìc u kìc n (ìì)
cu ng pha ì tho a ma n.
1J
He qua 4.6. Ne a f cc n /r/ r/e o} //a c o/aa /// f c/e c /c a daa c.
¸5. Not vai ung dung cua su cheo hoa
5.1. Tính lu y thu a cu a ma tra n
Cho A ∈ M
n
(K). Cìa su A chc o ho a duo c trc n K. Khì do to n
ta ì mo t ma tra n kha ngh}ch P ∈ M
n
(K) sao cho A
= P
−1
AP la
mo t ma tra n chc o. Cìa su A
= diag(λ
1
, . . . , λ
n
) va ta ca n tính A
k
.
1a co A = PA
P
−1
. 1u do suy ra
A
k
= (PA
P
−1
)
k
= PA
k
P
−1
= Pdiag(λ
k
1
, . . . , λ
k
n
)P
−1
.
Ví du 5. Cho A =
_
1 −1
2 4
_
. 1a tính duo c da thu c da c trung cu a
A la P
A
(λ) = (λ − 2)(λ − 3). Ca c kho ng gìan con rìc ng cu a A la :
E(2) = ¸u = (−1, 1)) va E(3) = ¸v = (−1, 2)).
\a y P =
_
−1 −1
1 2
_
la ma tra n la m chc o A va mo t da ng chc o
cu a A la
A
= P
−1
AP =
_
2 0
0 3
_
.
\i A = PA
P
−1
nc n vo ì mo ì so tu nhìc n n ta co A
n
= PA
n
P
−1
.
14
Io A
**la ma tra n chc o nc n dc da ng tính duo c A
**
n
=
_
2
n
0
0 3
n
_
.
1ìc p thco, tính duo c P
−1
=
_
−2 −1
1 1
_
. Io do
A
n
= PA
n
P
−1
=
_
2
n+1
−3
n
2
n
−3
n
−2
n+1
+ 2.3
n
−2
n
+ 2.3
n
_
.
5.2. Tìm mo t he da y so tho a co ng thu c truy ho i
1a mình ho a y tuo ng tho ng qua mo t ví du sau da y:
Ví du 6. Cìa su ca c da y so thu c (u
n
)
n∈Z
+ va (v
n
)
n∈Z
+ tho a ca c
co ng thu c truy ho ì
_
u
n+1
= u
n
− v
n
v
n+1
= 2u
n
+ 4v
n
vo ì
_
u
0
= 2
v
0
= 1
.
Ha y tim co ng thu c tính ca c so ha ng to ng qua t (phu thuo c n) u
n
va v
n
.
Ia t
X
n
=
_
u
n
v
n
_
va A =
_
1 −1
2 4
_
.
1b
Co ng thu c trc n duo c vìc t la ì nhu sau:
X
n+1
= AX
n
vo ì X
0
=
_
2
1
_
.
1u do tính duo c
X
n
= A
n
X
0
.
\o ì A
n
da duo c tính ba ng co ng thu c phía trc n ta co
_
u
n
v
n
_
=
_
2
n+1
−3
n
2
n
−3
n
−2
n+1
+ 2.3
n
−2
n
+ 2.3
n
__
2
1
_
=
_
2
n+2
−2.3
n
+ 2
n
−3
n
−2
n+2
+ 4.3
n
−2
n
+ 2.3
n
_
.
\a y
_
u
n
= 5.2
n
−3
n+1
v
n
= −5.2
n
+ 6.3
n
.
5.3. Cia i he phuong trình vi pha n tuye n tính he so ha ng
Hc phuong trinh vì pha n tuyc n tính hc so ha ng co da ng sau da y:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
1
dt
= a
11
x
1
+ a
12
x
2
+. . . + a
1n
x
n
;
dx
2
dt
= a
21
x
1
+ a
22
x
2
+. . . + a
2n
x
n
;
.......................................................
dx
n
dt
= a
n1
x
1
+a
n2
x
2
+ . . . +a
nn
x
n
,
1b
trong do mo ì a
ij
dc u la so thu c va mo ì x
i
dc u la ha m thu c kha vì
trc n R. Hc no ì trc n co thc duo c vìc t la ì duo ì da ng ma tra n nhu sau:
dX
dt
= AX, vo ì A = (a
ij
), X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
1a go ì A la ma tra n cu a hc phuong trinh vì pha n da cho. Cìa su
A chc o ho a duo c, nghia la to n ta ì ma tra n chc o A
va ma tra n kha
ngh}ch P sao cho
A
= P
−1
AP.
Xc t A nhu ma tra n cu a toa n tu tuyc n tính f : R
n
−→ R
n
trong
co so chính ta c B
0
. Khì do to n ta ì mo t co so B = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
go m toa n ca c vc c to rìc ng cu a f sao cho ma tra n cu a f trong B la
A
. \o ì x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
thi to a do X cu a x trong co so
chính ta c B
0
va X
**trong co so B co mo ì lìc n hc sau:
**
X
= P
−1
X,
trong do P = (B
0
−→B) la ma tra n chuyc n co so . 1u do ta co
dX
dt
= P
−1
dX
dt
.
Luu y ra ng do A la ma tra n vo ì ca c hc so ha ng nc n P cu ng la
ma tra n vo ì ca c hc so ha ng. 1u ca c co ng thu c trc n, nha n duo c
dX
dt
= A
X
.
17
\i A
**la ma tra n chc o nc n hc trc n duo c gìa ì mo t ca ch dc da ng dc
**
tim ra nghìc m X
**. Cuo ì cu ng nghìc m X cu a hc phuong trinh ban
**
da u duo c tính thco co ng thu c:
X = PX
.
1o m la ì, nc u A la ma tra n chc o ho a duo c thi hc phuong trinh vì
pha n da cho co thc duo c gìa ì qua ca c buo c sau:
1. Chc o ho a ma tra n A, nghia la tim ma tra n kha ngh}ch P sao
cho A
= P
−1
AP la ma tra n chc o.
2. Cìa ì hc
dX
dt
= A
X
.
J. 1im X bo ì co ng thu c X = PX
.
ßa y gìo ta sc mình ho a ba ng mo t ví du sau:
Ví du 7. Cìa ì hc phuong trinh vì pha n
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
dx
dt
= x −y;
dy
dt
= 2x + 4y.
Na tra n cu a hc la A =
_
1 −1
2 4
_
. Ia y la ma tra n da duo c xc t
trong \í du 1.b. 1a da bìc t A chc o ho a duo c, P =
_
−1 −1
1 2
_
la m
18
chc o A va
A
= P
−1
AP =
_
2 0
0 3
_
.
\ìc t la ì hc
dX
dt
= A
X
tha nh hc
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
dx
dt
= 2x
;
dy
dt
= 3y
.
Nghìc m cu a hc na y la
_
x
= C
1
e
2t
y
= C
2
e
3t
, trong do C
1
va C
2
la ca c
ha ng so . 1u do
X =
_
x
y
_
= PX
=
_
−1 −1
1 2
__
x
y
_
=
_
−x
−y
−x
+ 2y
_
.
Suy ra
_
x = −C
1
e
2t
− C
2
e
3t
;
y = C
1
e
2t
+ 2C
2
e
3t
.
5.4. Da y Fihonacii
1
1
Iìbonacìì (1170-12b0) con duoc goì la Lconardo dc Pìza, mot thuong gìa nguoì
Y noì tìcng boì nìcm dam mc toan hoc.
19
Ia y so sau da y duo c go ì la da µ l/bcoac//:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
No ì so ha ng trong da y Iìbonacìì (kc tu so ha ng thu ba) ba ng to ng
cu a haì so ha ng du ng ngay truo c no :
F
k+2
= F
k+1
+ F
k
, k ≥ 0, F
0
= 0, F
1
= 1.
1a co thc da t ca u ho ì la la m thc na o dc tính so ha ng du lo n (thu
1000 cha ng ha n) trong da y Iìbonacìì ma kho ng pha ì tính la n luo t tu
ca c so F
0
= 0, F
1
= 1:
Ia t u
k
:=
_
F
k+1
F
k
_
va A =
_
1 1
1 0
_
. Khì do
u
k+1
= Au
k
.
1u do suy ra
u
k
= A
k
u
0
, vo ì u
0
=
_
1
0
_
.
\a n dc da n dc n vìc c tính A
k
. Ia thu c da c trung f
A
(λ) = λ
2
−λ−1
co ca c nghìc m kha c nhau la
λ
1
=
1 +
√
5
2
, λ
2
=
1 −
√
5
2
.
20
Io do A chc o ho a duo c va mo t da ng chc o cu a A la
D = P
−1
AP =
_
λ
1
0
0 λ
2
_
, vo ì P =
_
λ
1
λ
2
1 1
_
.
1a co
P
−1
=
1
λ
1
−λ
2
_
1 −λ
2
−1 λ
1
_
.
1u ca c co ng thu c trc n ta tính duo c
_
F
k+1
F
k
_
= u
k
= A
k
u
0
=
1
λ
1
− λ
2
_
λ
k+1
1
−λ
k+2
2
λ
k
1
−λ
k
2
_
.
1u do suy ra
F
k
=
1
√
5
__
1 +
√
5
2
_
k
−
_
1 −
√
5
2
_
k
_
.
Co ng thu c cuo ì cu ng ro ra ng co thc ta o ra mo t ba t ngo thu v} vi
ca c so Iìbonacìì vo n la ca c so nguyc n nhung chu ng la ì duo c bìc u dìc n
qua ca c pha n so va ca c ca n ba c haì. 1a t nhìc n chu ng pha ì duo c gìa n
uo c thco mo t ca ch na o do dc cuo ì cu ng nha n duo c nhu ng so nguyc n.
Nha n xc t ra ng
1
√
5
_
1 −
√
5
2
_
k
<
1
2
, vo ì k = 1000,
21
do do F
1000
ba ng so nguyc n lo n nha t bc thua
1
√
5
_
1 +
√
5
2
_
1000
. Ro
ra ng da y la mo t so ra t lo n, va F
1001
co n lo n hon nu a. \i pha n tha p
pha n cu a so na y la qua nho so vo ì pha n nguyc n (la so Iìbonacìì) nc n
ti so F
1001
/F
1000
ca n pha ì ra t ga n vo ì gìa tr}
1 +
√
5
2
≈ 1, 618.
Con so 1, 618 duo c nhu ng nguo ì Hy La p co da ì go ì la // /e ca o}
vi ho cho ra ng nhu ng hinh chu nha t co ti lc ca c ca nh ba ng 1, 618 : 1
la nhu ng hinh dc p nha t. 1o gìa y A4 ma nga y nay chu ng ta dang su
du ng chính la hinh chu nha t co ti lc va ng nhu va y.
¸6. Tam giac hoa
Nc u mo t ma tra n vuo ng A chc o ho a duo c thi , nhu chu ng ta da
tha y o mu c truo c, no co thc co kha nhìc u u ng du ng thu v}. 1uy nhìc n,
kho ng pha ì ma tra n vuo ng na o cu ng chc o ho a duo c. I}nh ly 4.b cho
chu ng ta mo t dìc u kìc n ca n va du dc mo t toa n tu tuyc n tính trong
kho ng gìan vc c to hu u ha n chìc u (hay mo t ma tra n vuo ng) chc o ho a
duo c. \a y, chu ng ta pha ì la m gi nc u A kho ng chc o ho a duo c: 1o n ta ì
nhu ng da ng ru t go n kha c cu a ma tra n vuo ng (hay cu a toa n tu tuyc n
tính) ma nhu ng u ng du ng cu a chu ng cu ng ra t da ng duo c quan ta m.
1rong mu c na y chu ng ta sc xcm xc t mo t su ru t go n nhu va y, duo c
go ì la su /am }/a c /c a.
Ð|nh nghía 6.1. Cho ma tra n vuo ng A = (a
ij
). 1a no ì A la ma
22
/ra o /am }/a c /re o nc u a
ij
= 0, ∀i > j va A la ma /ra o /am }/a c daa /
nc u a
ij
= 0, ∀i < j.
Ne nh de 6.2. Hc / ma /ra o /am }/a c /re o de a dc o} da o} ca / mc / ma
/ra o /am }/a c daa /.
Chu ng minh. Cìa su A la ma tra n tam gìa c trc n va f ∈ End(K
n
)
sao cho ma tra n cu a f trong co so chính ta c B
0
= (e
1
, . . . , e
n
) la A.
Xc t co so B = (e
n
, . . . , e
1
). 1a tha y ma tra n A
cu a f trong co so B
la ma tra n tam gìa c duo ì va A do ng da ng vo ì A
.
ßa ì toa n da t ra la khì na o thi ma tra n A ∈ M
n
(K) do ng da ng vo ì
mo t ma tra n tam gìa c: Io Nc nh dc b.2 nc n ta chi ca n xc t khì na o
ma tra n A do ng da ng vo ì mo t ma tra n tam gìa c trc n. 1hco ngo n ngu
cu a ca c tu do ng ca u tuyc n tính thi va n dc da t ra la khì na o mo t tu
do ng ca u tuyc n tính duo c bìc u dìc n ba ng mo t ma tra n tam gìa c trc n
trong mo t co so na o do .
Ð|nh ly 6.3. f ∈ End(K
n
) /am }/a c /c a daa c /// ca c// /// da //a c
da c /rao} ca a f p/a o ra /re o K.
Chu ng minh. Cìa su f tam gìa c ho a duo c va B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t
co so cu a V = K
n
sao cho [f]
B
=
⎛
⎜
⎝
λ ∗
.
.
.
0 λ
⎞
⎟
⎠.
1u do ta co
P
f
(λ) = det
⎛
⎜
⎝
a
11
−λ ∗
.
.
.
0 a
nn
− λ
⎞
⎟
⎠ = (a
11
− λ) . . . (a
nn
−λ),
2J
nghia la P
f
(λ) pha n ra trc n K.
Nguo c la ì, gìa su P
f
(λ) pha n ra trc n K. 1a chu ng mình ba ng quì
na p ra ng toa n tu f tam gìa c ho a duo c.
Nc u n = 1 thi kho ng co gi dc chu ng mình. \a y, gìa su n > 1 va
kha ng d}nh du ng vo ì n = 1. Co ì λ
1
∈ K la mo t nghìc m na o do cu a
P
f
(λ) va u
1
la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ
1
. ßo tu c (u
1
) dc
co mo t co so c = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
) cu a V . 1a co
A = [f]
C
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ
1
b
2
. . . b
n
0
.
.
. B
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
vo ì B la ma tra n vuo ng ca p n − 1. Xc t kho ng gìan con W =
¸u
2
, . . . , e
n
) va g : W −→ W sao cho ma tra n cu a g trong co so
(u
2
, . . . , u
n
) la B. 1a co
P
f
(λ) = det(A−λI
n
) = (λ
1
−λ)det(B −λI
n−1
) = (λ
1
−λ)P
g
(λ).
\i P
f
(λ) pha n ra trc n K nc n P
g
(λ) cu ng pha n ra trc n K, do
do thco gìa thìc t quì na p ma tra n B tam gìa c ho a duo c. \a y to n ta ì
mo t co so (e
2
, . . . , e
n
) cu a W sao cho ma tra n cu a g trong do la ma
tra n tam gìa c trc n. Khì do ma tra n cu a f trong co so (u
1
, e
2
, . . . , e
n
)
cu ng co da ng tam gìa c trc n.
He qua 6.4. Hc / ma /ra o A ∈ M
n
(C) de a /am }/a c /c a daa c.
Nha n xe t.
1) Nc u ma tra n A do ng da ng vo ì ma tra n tam gìa c A
thi trc n
duo ng chc o chính cu a A
**chi toa n la ca c tr} rìc ng cu a A.
**
24
2) No ì ma tra n A ∈ M
n
(R) dc u tam gìa c ho a duo c trc n trc n
truo ng so phu c C.
He qua 6.5. C/c A ∈ M
n
(R) ca SpA = ¦λ
1
, . . . , λ
n
¦ ⊂ C. K// dc
/a cc
Tr(A) = λ
1
+. . . +λ
n
ca detA = λ
1
. . . λ
n
.
Chu ng minh. Io ca c ma tra n do ng da ng dc u co cu ng vc t va cu ng
d}nh thu c nc n nhu ng dìc u ca n chu ng mình la hìc n nhìc n.
Ví du 8. Na tra n A =
⎛
⎝
−4 0 −2
0 1 0
5 1 3
⎞
⎠
co da thu c da c trung
P
A
(λ) = (λ +2)(1 −λ)
2
nc n thco I}nh ly b.J, A tam gìa c ho a duo c
trc n R. Xcm A nhu ma tra n bìc u dìc n tu do ng ca u tuyc n tính f trong
co so chính ta c. Khì do to n ta ì mo t co so B = (u
1
, u
2
, u
3
) sao cho
ma tra n cu a f trong B co da ng tam gìa c trc n
[f]
B
=
⎛
⎝
1 a b
0 1 c
0 0 −2
⎞
⎠
.
1a sc tính ca c vc c to u
1
, u
2
va u
3
. Nha n xc t ra ng u
1
chính la vc c
to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ
1
= 1. 1a co
A− I
3
=
⎛
⎝
−5 0 −2
0 0 0
5 1 2
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
−5 0 −2
0 0 0
0 1 0
⎞
⎠
.
2b
Cho x
3
= 0 suy ra x
1
= −2. \a y co thc la y u
1
= (−2, 0, 5).
1ính u
2
:
1a co f(u
2
) = au
1
+ u
2
=⇒(f −Id)(u
2
) = au
1
. Io do
⎛
⎝
−5 0 −2
0 0 0
5 1 2
⎞
⎠
⎛
⎝
x
1
x
2
x
3
⎞
⎠
= a
⎛
⎝
−2
0
5
⎞
⎠
.
Cìa ì hc phuong trinh trc n:
⎛
⎝
−5 0 −2 −2a
0 0 0 0
5 1 2 5a
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
−5 0 −2 −2a
0 1 0 3a
0 0 0 0
⎞
⎠
.
Cho a = −1, x
3
= 4 =⇒ x
1
= −2, x
2
= −3. Co thc la y u
2
=
(−2, −3, 4).
1ính u
3
: 1a bìc t ra ng to n ta ì vc c to rìc ng v u ng vo ì tr} rìc ng
λ
2
= −2, nghia la f(v) = −2v. 1a co thc cho n u
3
= v, b = c = 0.
1a co
A+2I
3
=
⎛
⎝
−2 0 −2
0 3 0
5 1 5
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
1 0 1
0 1 0
5 1 5
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
1 0 1
0 1 0
0 0 0
⎞
⎠
.
Io do co thc la y u
3
= (−1, 0, 1). Kìc m tra dc da ng u
1
, u
2
, u
3
do c
la p tuyc n tính, do do chu ng ta o tha nh mo t co so cu a R
3
. 1rong co
2b
so B ma tra n bìc u dìc n cu a f la
A
=
⎛
⎝
1 1 0
0 1 0
0 0 −2
⎞
⎠
.
Na tra n chuyc n tu co so chính ta c sang co so B la
P =
⎛
⎝
−2 −2 −1
0 −3 0
5 4 1
⎞
⎠
.
Cuo ì cu ng ta co A
= P
−1
AP.
¸7. Ða thuc triet tieu. Ð|nh ly Hamilton
- Calley
Cho V la mo t kho ng gìan vc c to trc n truo ng K va Q ∈ K[t]:
Q(t) = a
m
t
m
+a
m−1
t
m−1
+. . . + a
1
t +a
0
.
Nc u f ∈ End
K
(V ) thi ta ky hìc u Q(f) la mo t tu do ng ca u tuyc n
tính cu a V xa c d}nh bo ì
Q(f) = a
m
f
m
+a
m−1
f
m−1
+ . . . +a
1
f + a
0
Id
V
.
27
Nha n xe t. Nc u P, Q ∈ K[t] thi
P(f) ◦ Q(f) = Q(f) ◦ P(f), ∀f ∈ End
K
(V ).
Ð|nh nghía 7.1. Cho f ∈ End
K
(V ) va Q(t) ∈ K[t]. 1a no ì Q(t)
la da //a c /r/e / //e a toa n tu f nc u Q(f) = 0.
Ne nh de 7.2. C/a sa Q(t) /a da //a c /r/e / //e a /ca o /a f ca λ /a mc /
/r/ r/e o} ca a f. K// dc λ /a o}//e m ca a Q(t).
Chu ng minh. Co ì v la mo t vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ.
Khì do f
k
(v) = λ
k
v, ∀k ∈ N. Cìa su
Q(t) = a
m
t
m
+ a
m−1
t
m−1
+. . . + a
1
t + a
0
la da thu c trìc t tìc u f. Khì do ta co
a
m
f
m
+a
m−1
f
m−1
+ . . . +a
1
f + a
0
Id
V
= 0
=⇒(a
m
f
m
+ a
m−1
f
m−1
+. . . + a
1
f +a
0
Id
V
)v = 0
=⇒(a
m
λ
m
+a
m−1
λ
m−1
+ . . . +a
1
λ +a
0
)v = 0.
Io v ,= 0 nc n tu do suy ra
a
m
λ
m
+ a
m−1
λ
m−1
+ . . . +a
1
λ +a
0
= 0 hay Q(λ) = 0.
A p du ng mc nh dc vu a chu ng mình ta tha y ra ng nc u toa n tu f
tho a f
2
= f thi ca c gìa tr} rìc ng cu a f chi co thc la 0 hoa c 1. Nc u
f
3
= f thi ca c tr} rìc ng cu a f chi co thc la 0, 1 hoa c −1.
1uy nhìc n, cu ng ca n thìc t luu y ra ng kho ng pha ì ta t ca ca c nghìc m
cu a Q(t) dc u la tr} rìc ng cu a f. \í du , nc u f = Id
V
thi da thu c
Q(t) = t
2
− t trìc t tìc u f nhung 0 kho ng pha ì la tr} rìc ng cu a f.
Ca u ho ì da u tìc n ma ta co thc da t ra la : Pha ì cha ng do ì vo ì
mo ì toa n tu tuyc n tính f ∈ End
K
(V ) dc u to n ta ì mo t da thu c
28
0 ,= Q(t) ∈ K[t] trìc t tìc u f: Ca u tra lo ì la kha ng d}nh. 1ha t va y, nc u
dim
K
(V ) = n thi End
K
(V )
∼
= M
n
(K), suy ra dim
K
(End
K
(V )) =
n
2
. Io do ca c pha n tu Id
V
, f, f
2
, . . . , f
n
2
phu thuo c tuyc n tính trong
End
K
(V ), suy ra to n ta ì ca c pha n tu a
0
, a
1
, a
2
, . . . , a
n
2 ∈ K, kho ng
pha ì ta t ca dc u ba ng 0 sao cho
a
0
Id
V
+a
1
f +a
2
f
2
+ . . . +a
n
2 f
n
2
= 0.
\a y Q(t) = a
0
+ a
1
t +a
2
t
2
+ . . . + a
n
2t
n
2
la da thu c trìc t tìc u f.
I}nh ly Hamìlton - Callcy ma ta sc chu ng mình duo ì da y cho tha y
da thu c da c trung cu a f la da thu c trìc t tìc u f.
Ð|nh ly 7.3. /Hamìlton - Callcy) Ne a f ∈ End
K
(V ) /// da //a c da c
/rao} P
f
(λ) /r/e / //e a f, o}//a /a P
f
(f) = 0.
Chu ng minh. Co ì K la bao do ng da ì so cu a K. 1ruo c hc t ta chu ng
mình cho truo ng ho p f ∈ End
K
(V ). 1rong truo ng ho p na y f tam
gìa c ho a duo c. Cìa su B = (e − 1, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V sao
cho trong do ma tra n bìc u dìc n f co da ng tam gìa c trc n:
[f]
B
=
⎛
⎜
⎝
λ
1
∗
.
.
.
0 λ
n
⎞
⎟
⎠.
Khì do ta co
P
f
(λ) = (λ
1
−λ) . . . (λ
n
− λ).
1a ca n chu ng mình
P
f
(f) = (λ
1
Id
V
−f) . . . (λ
n
Id
V
−f) = 0.
29
∀i ∈ 1, n, da t
g
i
= (λ
1
Id
V
−f) . . . (λ
i
Id
V
− f).
1a sc chu ng mình ba ng quì na p thco i ra ng g
i
(e
1
) = . . . =
g
i
(e
i
) = 0. Khì do , vo ì i = n ta sc co dìc u ca n pha ì chu ng mình.
\o ì i = 1 ta co
g
1
(e
1
) = (λ
1
Id
V
−f)e
1
= λ
1
e
1
−f(e
1
) = 0.
Cìa su i > 1 va
g
i−1
(e
1
) = . . . = g
i−1
(e
i−1
) = 0.
1a co
g
i
= g
i−1
(λ
i
Id
V
−f) = (λ
i
Id
V
−f)g
i−1
.
Io do
g
i
(e
1
) = . . . = g
i
(e
i−1
) = 0.
Xc t g
i
(e
i
). 1a co
f(e
i
) = a
1
e
1
+ . . . +a
i−1
e
i−1
+λ
i
e
i
,
vo ì a
1
, . . . , a
i−1
la nhu ng pha n tu na o do thuo c K. 1u do suy ra
g
i
(e
i
) = g
i−1
(λ
i
Id
V
−f)(e
i
)
= g
i−1
(λ
i
e
i
− (a
1
e
1
+ . . . +a
i−1
e
i−1
+λ
i
e
i
))
= −a
1
g
i−1
(e
1
) −. . . −a
i−1
g
i−1
(e
i−1
) = 0.
1a da chu ng mình P
f
(f) = 0 hay P
A
(A) = 0, ∀A ∈ M
n
(K).
ßa y gìo , nc u A ∈ M
n
(K) thi ta xcm A nhu mo t ma tra n trc n K va
a p du ng dìc u vu a chu ng mình ta sc co P
A
(A) = 0.
J0
¸8. Bo de can han
Bo de 8.1. C/c f ∈ End
K
(V ) ca Q(t) = Q
1
(t) . . . Q
p
(t), /rco} dc
Q
1
, . . . , Q
p
/a o/a o} da //a c o}aµe o /c ca o} o/aa. K// dc .
Ne a Q(t) /r/e / //e a f /// V = KerQ
1
(f) ⊕. . . ⊕ KerQ
p
(f).
Chu ng minh. 1a sc chu ng mình ba ng quì na p thco p.
Nc u p = 1 thi Q(t) = Q
1
(t), do do nc u Q(f) = 0 thi Q
1
(f) = 0
va V = KerQ
1
(f).
Traa o} /a p p = 2: Cìa su Q(t) = Q
1
(t)Q
2
(t), trong do Q
1
va Q
2
la
nhu ng da thu c nguyc n to cu ng nhau. Khì do , to n ta ì nhu ng da thu c
U
1
va U
2
sao cho
U
1
Q
1
+U
2
Q
2
= 1.
1u do suy ra
U
1
(f)Q
1
(f) + U
2
(f)Q
2
(f) = Id
V
.
Io do ∀x ∈ V , ta co
x = U
1
(f)Q
1
(f)(x) + U
2
(f)Q
2
(f)(x) (1),
kc o thco
V = Im(U
1
(f)Q
1
(f)) + Im(U
2
(f)Q
2
(f)).
\i Q
2
(f)Q
1
(f) = 0 nc n Q
2
(f)U
1
(f)Q
1
(f) = 0, suy ra
Im(U
1
(f)Q
1
(f)) ⊆ KerQ
2
(f).
J1
Ho an to an tuong tu , ta co
Im(U
2
(f)Q
2
(f)) ⊆ KerQ
1
(f).
Io do V = KerQ
1
(f) +KerQ
2
(f).
Cìa su x ∈ KerQ
1
(f) ∩ Q
2
(f). 1u (1) suy ra ngay x = 0. \a y
V = KerQ
1
(f) ⊕ KerQ
2
(f).
Traa o} /a p p > 2: 1a co
Q(t) = (Q
1
(t) . . . Q
p−1
(t))Q
p
(t).
Ia t Q
∗
(t) = Q
1
(t) . . . Q
p−1
(t), ta co Q
∗
(t) va Q
p
(t) la nhu ng da
thu c nguyc n to cu ng nhau. 1hco truo ng ho p p = 2 ta co
V = KerQ
∗
(f) ⊕ KerQ
p
(f).
Ia t W = KerQ
∗
(f) va f = f[
W
. 1a chu ng mình f ∈ End
K
(W).
1ha t va y, ∀x ∈ W, ta co f(x) = f(x). Io x ∈ W nc n Q
∗
(f)(x) = 0,
suy ra Q
∗
(f)f(x) = fQ
∗
(f)(x) = 0, nghia la f(x) ∈ KerQ
∗
(f).
Ngo aì ra, do f = f[
W
nc n Q
∗
(f) = 0. \a y, a p du ng gìa thìc t quì
na p, nha n duo c
W = KerQ
1
(f) ⊕. . . ⊕ KerQ
p−1
(f).
Nhung ∀i ∈ 1, p −1 ta co
KerQ
i
(f) = ¦x ∈ W[Q
i
(f)(x) = 0¦
~¦x ∈ W[Q
i
(f)(x) = 0¦
~KerQ
i
(f).
\a y
V = KerQ
1
(f) ⊕. . . ⊕ KerQ
p−1
(f) ⊕ KerQ
p
(f).
J2
He qua 8.2. C/c f /a mc / /ca o /a /aµe o //o/ /rco} //c o} }/ao ce c
/a n c//e a V /re o K ca }/a sa da //a c da c /rao} P
f
(λ) p/a o ra /re o
K.
P
f
(λ) = (−1)
n
(λ −λ
1
)
α
1
. . . (λ − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j.
K// dc
V = Ker(f −λ
1
Id)
α
1
⊕ . . . ⊕Ker(f − λ
p
Id)
αp
.
Ð|nh nghía 8.3. Cho f la mo t toa n tu tuyc n tính trong kho ng gìan
vc c to n chìc u V trc n K va gìa su da thu c da c trung P
f
(λ) pha n ra
trc n K. 1a go ì
N(λ
i
) := Ker(f − λ
i
Id)
α
i
la //c o} }/ao cco da c /rao}, u ng vo ì tr} da c trung λ
i
.
1hco Hc qua 8.2, nc u da thu c da c trung pha n ra trc n K thi V
pha n tích tha nh to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan con da c trung.
Nha n xe t. 1) Kho ng gìan con rìc ng luo n na m trong kho ng gìan con
da c trung (u ng vo ì cu ng mo t tr} da c trung):
E(λ) ⊆ N(λ).
1ha t va y, nc u x ∈ E(λ) thi (f −λId)x = 0, suy ra (f −λId)
α
x =
0 (α la so bo ì cu a λ) hay x ∈ N(λ).
2) Kho ng gìan con da c trung la ba t bìc n do ì vo ì f, nghia la
f(N(λ)) ⊆ N(λ).
1ha t va y, gìa su x ∈ N(λ). Khì do
JJ
(f −λId)
α
x = 0 =⇒f ◦ (f − λId)
α
x = 0
=⇒(f −λId)
α
◦ f(x) = 0 =⇒f(x) ∈ N(λ).
Ic kc t thu c mu c na y, duo ì da y ta sc xc t mo t u ng du ng cu a ßo dc
ca n ba n.
Cìa su f ∈ End
K
(V ) sao cho f
2
= f. Khì do Q(t) = t(t −1) la
da thu c trìc t tìc u f. \a y, thco ßo dc 8.1, V = Kerf ⊕Ker(f −Id).
1a tha y V la to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan con rìc ng cu a f nc n
f chc o ho a duo c.
Iuo ì da y la mo t kc t qua to ng qua t hon ví du chu ng ta vu a xc t.
Ð|nh ly 8.4. Tca o /a /aµe o //o/ f c/e c /c a daa c /// ca c// /// /c o
/a / mc / da //a c p/a o ra /re o K, cc /ca o o}//e m dao ca /r/e / //e a f.
Chu ng minh. Cìa su f chc o ho a duo c. Khì do to n ta ì mo t co so
B = (v
1
, . . . , v
n
) go m toa n ca c vc c to rìc ng cu a f. Co ì λ
1
, . . . , λ
p
la
ca c tr} rìc ng do ì mo t kha c nhau cu a f. Khì do , ∀v ∈ B to n ta ì mo t
λ
j
, 1 ≤ j ≤ p sao cho (f −λ
j
Id)v = 0. 1u do suy ra
(f −λ
1
Id) . . . (f −λ
p
Id)v = 0.
\a y da thu c Q(t) = (t − λ
1
) . . . (t − λ
p
) pha n ra trc n K, chi co
toa n nghìc m don va trìc t tìc u f.
Nguo c la ì, gìa su
Q(t) = (t −λ
1
) . . . (t − λ
p
), λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j
va Q(t) trìc t tìc u f. Khì do thco ßo dc 8.1
V = Ker(f −λ
1
Id) ⊕ . . . ⊕Ker(f − λ
p
Id)
= E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
),
suy ra f chc o ho a duo c.
J4
¸9. Ða thuc toi tie u
Ð|nh nghía 9.1. Ia thu c don kho ì ba c nho nha t trìc t tìc u toa n tu
tuyc n tính f duo c go ì la da //a c /c / //e a cu a f va ky hìc u la m
f
.
Ne nh de 9.2. Ða //a c Q(t) ∈ K[t] /r/e / //e a f /// ca c// /// Q c//a
/e / c/c m
f
/rco} K[t].
Chu ng minh. Cìa su Q(f) = 0. Chìa Q cho m
f
:
Q(t) = P(t).m
f
+ R(t), deg(R) < deg(m
f
)
(thco quì uo c, da thu c 0 co ba c −∞). \i Q(f) = 0 nc n suy ra
R(f) = 0, kc o thco R(t) = 0 do d}nh nghia da thu c to ì tìc u. Io do
Q(t) = P(t).m
f
.
Nguo c la ì, nc u Q(t) = P(t).m
f
thi Q(f) = P(f)m
f
(f) = 0,
nghia la Q(t) trìc t tìc u f.
He qua 9.3. m
f
/a aa c ca a P
f
.
Chu ng minh. A p du ng I}nh ly Hamìlton-Callcy va Nc nh dc 9.2.
He qua 9.4. Ða //a c /c / //e a /a daµ o/a /.
Chu ng minh. Cìa su m
1
va m
2
la haì da thu c to ì tìc u cu a toa n tu f.
Khì do , thco Nc nh dc 9.2, m
1
[m
2
va m
2
[m
1
. Io m
1
va m
2
dc u la
ca c da thu c don kho ì nc n tu do suy ra m
1
= m
2
.
Ne nh de 9.5. Ta p o}//e m ca a m
f
/ra o} ca / /a p o}//e m ca a P
f
.
Nc / ca c/ //a c, oe a P
f
p/a o ra /re o bac dc o} da / sc K ca a K //a o/
P
f
= (−1)
n
(t −λ
1
)
α
1
. . . (t − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j
Jb
///
m
f
= (t −λ
1
)
β
1
. . . (t −λ
p
)
βp
, 1 ≤ β
i
≤ α
i
, ∀i.
Chu ng minh. 1u Hc qua 9.J suy ra mo ì nghìc m cu a m
f
dc u la
nghìc m cu a P
f
. 1u Nc nh dc 7.2 suy ra mo ì nghìc m cu a P
f
dc u la
nghìc m cu a m
f
.
Ví du 9.
1) A =
⎛
⎝
0 1 2
1 0 2
1 2 0
⎞
⎠
.
1a co P
A
(t) = −(t + 1)(t + 2)(t −3). A p du ng Nc nh dc 9.b suy
ra m
A
(t) = (t + 1)(t + 2)(t − 3).
2) A =
⎛
⎝
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
⎞
⎠
.
1a co P
A
(t) = −(t −1)(t + 2)
2
. A p du ng Nc nh dc 9.b suy ra
m
A
(t) =
_
(t − 1)(t + 2)
(t − 1)(t + 2)
2
.
1a co (A− I
3
)(A+ 2I
3
) = 0. \a y m
A
(t) = (t −1)(t + 2).
Ð|nh ly 9.6. Tca o /a /aµe o //o/ f c/e c /c a daa c oe a ca c// oe a da
Jb
//a c /c / //e a ca a oc p/a o ra /re o K ca /a / ca ca c o}//e m ca a oc
de a /a o}//e m dao.
Chu ng minh. Iìc u kìc n du la du ng do I}nh ly 8.4. Nguo c la ì, gìa su
f chc o ho a duo c. Khì do
P
f
= (−1)
n
(t −λ
1
)
α
1
. . . (t − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j.
1hco chu ng mình I}nh ly 8.4 da thu c Q(t) = (t −λ
1
) . . . (t −λ
p
)
trìc t tìc u f. A p du ng Nc nh dc 9.b suy ra m
f
= Q(t).
Ví du 10.
1) Xc t ma tra n A =
⎛
⎝
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
⎞
⎠
. Ia thu c to ì tìc u cu a A
la m
A
(t) = (t −1)(t −2). 1hco I}nh ly 9.b, A chc o ho a duo c.
2) Na tra n A =
⎛
⎝
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
⎞
⎠
co da thu c da c trung P
A
(t) =
−(t − 1)
3
nc n
m
A
(t) =
⎡
⎣
t −1
(t −1)
2
(t −1)
3
.
1hco I}nh ly 9.b, A chc o ho a duo c ⇐⇒ m
A
(t) = t − 1 ⇐⇒
A− I
3
= 0. Io A ,= I
3
nc n tu do suy ra A kho ng chc o ho a duo c.
J7
J) Na tra n A =
⎛
⎝
3 −1 1
2 0 1
1 −1 2
⎞
⎠
co da thu c da c trung la P
A
(t) =
−(t − 1)(t − 2)
2
, do do
m
A
(t) =
_
(t − 1)(t − 2)
(t − 1)(t − 2)
2
.
1hco I}nh ly 9.b, ta co
A chc o ho a duo c ⇐⇒m
A
(t) = (t−1)(t−2) ⇐⇒(A−I
3
)(A−2I
3
) = 0.
Nhung ba ng ca ch tính toa n tru c tìc p ta tha y ra ng
(A− I
3
)(A−2I
3
) ,= 0,
do do A kho ng chc o ho a duo c.
¸10. Dang tam giac khoi
1rong mu c b ta da bìc t nc u da thu c da c trung cu a toa n tu f trong
kho ng gìan vc c to hu u ha n chìc u pha n ra trc n truo ng co so K thi f
tam gìa c ho a duo c, nghia la to n ta ì mo t co so cu a V sao cho trong do
ma tra n bìc u dìc n f co da ng tam gìa c (trc n hoa c duo ì). No ì chung,
dìc u na y cu ng da cho chu ng ta nhu ng u ng du ng kha to t. 1rong mu c
na y chu ng ta tìc p tu c vìc c ru t go n toa n tu f sao cho co thc ‘‘to t” hon
nu a. Chính xa c hon, nc u da thu c da c trung cu a f pha n ra trc n K thi
ta co thc dua f vc da ng tam gìa c kho ì.
J8
Bo de 10.1. C/c V = V
1
⊕ V
2
⊕. . . ⊕V
p
, /rco} dc V
i
/a ca c //c o}
}/ao cco ba / b/e o dc / ca / f. K// dc , oe a B
1
, B
2
, . . . , B
p
/aao} a o}
/a ca c ca sa ca a V
1
, V
2
, . . . , V
p
/// ma /ra o ca a f /rco} ca sa B =
(B
1
, B
2
, . . . , B
p
) /a
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
M
1
0
M
2
.
.
.
0 M
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=: diag(M
1
, M
2
, . . . , M
n
),
/rco} dc M
i
/a ma /ra o ca a /a o c/e ca a f /e o V
i
.
Chu ng minh. Cìa su B
1
= (u
1
, . . . , u
n
1
), . . . , B
p
= (v
1
, . . . , v
np
). \i
f(V
i
) ⊆ V
i
, ∀i nc n ta co
⎧
⎨
⎩
f(u
1
) = a
11
u
1
+ . . . +a
n
1
1
u
n
1
;
...............................................
f(u
n
1
) = a
1n
1
u
1
+ . . . +a
n
1
n
1
..................................................
⎧
⎨
⎩
f(v
1
) = b
11
v
1
+. . . + b
np1
v
np
;
..............................................
f(v
np
) = b
1np
v
1
+ . . . +b
npnp.
Io do
[f]
B
= diag(M
1
, M
2
, . . . , M
p
).
J9
Ð|nh ly 10.2. /Ru t go n theo da ng tam gia c kho i) C/c f /a mc / /ca o
/a /aµe o //o/ /re o //c o} }/ao ce c /a n c//e a /re o /raa o} K. C/a sa
da //a c da c /rao} ca a f p/a o ra /re o K.
P
f
(λ) = (−1)
n
(λ −λ
1
)
α
1
. . . (λ − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j.
K// dc /c o /a / mc / ca sa B = B
1
∪B
2
∪. . . ∪B
p
ca a V , /rco} dc
B
i
/a mc / ca sa ca a N(λ
i
) sac c/c
[f]
B
= diag(M
1
, M
2
, . . . , M
p
),
ca / M
i
/a ma /ra o b/e a d/e o ca a /a o c/e ca a f /e o //c o} }/ao cco
da c /rao} N(λ
i
) /rco} ca sa B
i
ca M
i
cc da o} /am }/a c /re o.
Chu ng minh. \i N(λ
i
) ba t bìc n do ì vo ì f nc n thco Hc qua 8.2 va
ßo dc 10.1, to n ta ì mo t co so B = B
1
∪ B
2
∪ . . . ∪ B
p
cu a V sao cho
[f]
B
= diag(M
1
, M
2
, . . . , M
p
),
trong do B
i
la mo t co so cu a N(λ
i
), M
i
= [f
i
]
B
i
, vo ì f
i
la ha n chc
cu a f lc n N(λ
i
). Io do ta chi co n ca n chu ng mình ra ng M
i
tam
gìa c ho a duo c va Sp
M
i
= ¦λ
i
, . . . , λ
i
¦ la du .
1hco d}nh nghia, N(λ
i
) = Ker(f −λ
i
ID)
α
i
nc n (f −λ
i
Id)
α
i
x =
0, ∀x ∈ N(λ
i
). \a y (t − λ
i
)
α
i
la da thu c trìc t tìc u f
i
, do do da thu c
to ì tìc u cu a f
i
co da ng
m
f
i
(t) = (t − λ
i
)
γ
i
, vo ì 1 ≤ γ
i
≤ α
i
.
A p du ng Nc nh dc 9.b, suy ra
P
f
i
(t) = (−1)
δ
i
(t − λ
i
)
δ
i
, vo ì δ
i
≥ γ
i
.
\a y P
f
i
(t) pha n ra trc n K va Sp
f
i
= ¦λ
i
, . . . , λ
i
¦, kc o thco M
i
tam gìa c ho a duo c. 1a co n ca n pha ì chu ng mình δ
i
= α
i
, ∀i ∈ 1, p.
1hu c va y, ta co
40
P
f
(t) = [M
1
−tI[ . . . [M
p
− tI[
= P
f
1
(t) . . . P
fp
(t) = (−1)
n
(t − λ
1
)
δ
1
. . . (t −λ
p
)
δp
.
= (−1)
n
(t −λ
1
)
α
1
. . . (t −λ
p
)
αp
.
1u do suy ra δ
i
= α
i
, ∀i ∈ 1, p.
Ví du 11. Cho ma tra n A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −1 2 2
0 0 1 −1
1 −1 1 0
1 −1 1 0
⎞
⎟
⎟
⎠
. Xcm A nhu
ma tra n cu a toa n tu tuyc n tính f : R
4
−→ R
4
, trong co so chính
ta c B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
, e
4
). \i P
f
(t) = t
2
(t − 1)
2
nc n to n ta ì co so
B = (u
1
, u
2
, u
3
, u
4
) sao cho trong co so na y ma tra n cu a f co da ng
tam gìa c kho ì
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 a 0 0
0 1 0 0
0 0 0 b
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Iìc u na y co nghia
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
f(u
1
) = u
1
f(u
2
) = au
1
+u
2
f(u
3
) = 0
f(u
4
) = bu
3
.
\c c to u
1
la vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ = 1. Co thc la y
u
1
= (0, 0, 1, 1). 1hc u
1
va o co ng thu c (f −Id)u
2
= au
1
dc tính u
2
.
41
ßa ng ca ch cho a = 1, co thc la y u
2
= (1, 0, 1, 1) (ta kho ng thc la y
a = 0 vi khì do ca c vc c to u
1
va u
2
sc phu thuo c tuyc n tính). u
3
la
vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ = 0 nc n co thc la y u
3
= (1, 1, 0, 0).
1hc u
3
va o co ng thu c f(u
4
) = bu
3
dc tính u
4
. \o ì b = 1 co thc tính
duo c u
4
= (0, 1, 1, 0). Luu y ra ng ta cu ng kho ng thc la y b = 0 vi khì
do ca c vc c to u
3
va u
4
sc phu thuo c tuyc n tính. \a y
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Na tra n chuyc n co so tu B
0
sang B la
P =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 1 0
0 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Nhu va y chu ng ta da tha y ra ng nc u mo t ma tra n tam gìa c ho a
duo c thi ta co thc la m duo c nhìc u hon thc nu a ba ng ca ch dua ma
tra n bìc u dìc n no vc da ng tam gìa c kho ì. Iìc u na y co lo ì hon trong
ca c u ng du ng. 1hu c va y, nc u do ì vo ì mo t ma tra n tam gìa c vìc c na ng
lc n lu y thu a no ì chung la kho ng thc duo c. 1uy nhìc n, nc u chu ng ta
dua no vc da ng tam gìa c kho ì thi vìc c na ng lc n lu y thu a sc dua vc
tính lu y thu a cu a ca c kho ì trc n duo ng chc o chính. \c pha n minh,
mo ì kho ì nhu va y dc u la mo t ma tra n tam gìa c ma ta t ca ca c pha n tu
na m trc n duo ng chc o chính dc u ba ng nhau. \a y ba ì toa n thu c cha t
42
dua vc vìc c na ng lc n lu y thu a cu a ma tra n tam gìa c da ng
A =
⎛
⎜
⎝
λ ∗
.
.
.
0 λ
⎞
⎟
⎠.
Pha n tích A = λI +N, trong do N =
⎛
⎜
⎝
0 ∗
.
.
.
0 0
⎞
⎟
⎠. 1a chu ng
mình to n ta ì p ≤ n sao cho N
p
= 0. 1hu c va y, ta co P
N
(t) =
(−1)
n
t
n
, nc n m
N
(t) = t
p
, vo ì p ≤ n. Io m
N
(N) = 0 nc n N
p
= 0.
ßa y gìo nha n xc t ra ng λI va N gìao hoa n vo ì nhau nc n ta dc da ng
tính duo c A
k
= (λI + N)
k
ba ng ca ch khaì trìc n nh} thu c Ncwton.
¸11. Dang chính tac Jordan
Ia ng tam gìa c kho ì no ì chung da co thc du ng kha to t cho nhu ng
u ng du ng. 1uy nhìc n, ta co thc tìc n ha nh ru t go n trong tu ng kho ì
cho dc n khì nha n duo c mo t da ng ma thco mo t nghia na o do la dao
}/a o o/a /. Io chính la da o} c//o/ /a c Icrdao ma ta sc dc ca p duo ì
da y.
4J
Ð|nh nghía 11.1. 1a go ì ma tra n da ng sau da y la mo t //c / Icrdao:
J(λ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ 1 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
0 λ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Nc u ca p cu a kho ì ba ng 1 thi ta quì uo c J(λ) = (λ).
Bo de 11.2. C/a sa J(λ) /a mc / //c / Icrdao ca p n. K// dc /a cc .
//ï P
J
(t) = (−1)
n
(t −λ)
n
.
///ï m
J
(t) = (t − λ)
n
.
////ï dimE(λ) = 1.
Chu ng minh. ßa ng ca ch tính toa n tru c tìc p ta tha y ngay nhu ng dìc u
ca n chu ng mình.
Ð|nh ly 11.3. /Jordan) C/c f ∈ End
K
(V ) sac c/c P
f
(t) p/a o ra
/re o K.
1ï C/a sa f c// cc mc / /r/ da c /rao} ca
P
f
(t) = (−1)
n
(t −λ)
n
, m
f
(t) = (t − λ)
β
, dimE(λ) = γ.
K// dc , /c o /a / mc / ca sa B ca a V sac c/c
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
J
1
(λ) 0
J
2
(λ)
.
.
.
0 J
γ
(λ)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=:
¯
J(λ),
44
/rco} dc .
aï J
k
(λ) /a //c / Icrdao,
bï Ca p ca a //c / /a o o/a / /a β,
cï Sc ca c //c / Icrdao /a γ.
?ï Ne a f cc ca c /r/ r/e o} //a c o/aa α
1
, . . . , α
p
ca
P
f
(t) = (−1)
n
(t − λ
1
)
α
1
. . . (t −λ
p
)
αp
/// /c o /a / mc / ca sa B ca a V sac c/c
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
¯
J(λ
1
) 0
¯
J(λ
2
)
.
.
.
0
¯
J(λ
p
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Chu ng minh. 1) Cìa su P
f
(t) = (−1)
n
(t − λ)
n
. \i P
f
(t) pha n ra
trc n K nc n f tam gìa c ho a duo c. Io do to n ta ì mo t co so B
sao cho
[f]
B
=
⎛
⎜
⎝
λ ∗
.
.
.
0 λ
⎞
⎟
⎠ =: A.
Pha n tích A = λI
n
+ N, vo ì N =
⎛
⎜
⎝
0 ∗
.
.
.
0 0
⎞
⎟
⎠ = [u]
B
. Luu
y ra ng f = λId
V
+ u. 1a tha y u la toa n tu lu y lình, nghia la to n
4b
ta ì mo t so tu nhìc n p sao cho u
p
= 0. \i ma tra n bìc u dìc n toa n tu
λId
V
trong mo ì co so dc u la λI
n
nc n ba ì toa n dua vc vìc c ru t go n
toa n tu lu y lình. \a y, gìa su u la toa n tu lu y lình va β la ba c lu y lình
cu a u. Khì do , da thu c to ì tìc u m
u
(t) = t
β
. Io do , u chc o ho a duo c
⇐⇒ β = 1 ⇐⇒ u = 0. \a y, trong nhu ng chu ng mình sau da y ta
sc gìa thìc t u ,= 0. \ìc c chu ng mình d}nh ly sc duo c thu c hìc n tu ng
buo c qua mo t loa t ca c bo dc .
Bo de 11.4. C/c u /a /ca o /a /a µ //o/ ca / ba c /a µ //o/ β > 1. K//
dc , ca c d/e a //e o daa / da µ /aao} daao}.
//ï β = n, o}//a /a P
u
(t) = (−1)
n
ca m
u
(t) = t
n
.
///ï Tc o /a / ce c /a 0 ,= x ∈ V sac c/c
(x, u(x), u
2
(x), . . . , u
n−1
(x))
/a mc / ca sa ca a V /mc / ca sa o/a ca µ se daa c }c / /a mc / co so
xyclìc, cc o /c ao /a u se daa c }c / /a toa n tu xyclìcï.
////ï Tc o /a / mc / ca sa B ca a V sac c/c [u]
B
= J(0).
Chu ng minh. (ìì) =⇒ (ììì). Ia t B = (u
n−1
(x), . . . , u
2
(x), u(x), x).
1a co
[u]
B
= J(0).
(ììì) =⇒ (ìì). Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho [u]
B
= J(0). Khì
do , da t x = e
n
ta co (x, u(x), u
2
(x), . . . , u
n−1
(x)) la mo t co so xyclìc
cu a V .
(ììì) =⇒ (ì). Nc u co (ììì) thi thco 11.2, β = n.
(ì) =⇒ (ììì). Cìa su co (ì). \i u
n−1
,= 0 nc n to n ta ì 0 ,= x ∈ V
sao cho u
n−1
(x) ,= 0. Ia t
e
n
= x, e
n−1
= u(x), . . . , e
1
= u
n−1
(x),
4b
ta sc chu ng mình (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V . Cìa su
n
k=1
λ
k
e
k
=
0, nghia la
n
k=1
λ
k
u
n−k
(x) = 0. La y a nh haì vc qua u
n−1
, nha n
duo c λ
n
= 0. 1uong tu nhu thc , ba ng ca ch na y ta la n luo t thu duo c
λ
n−1
= 0, . . . , e
1
= 0. \a y B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V . Hon
nu a [u]
B
= J(0).
Nho co ßo dc 11.4 ba ì toa n cu a chu ng ta duo c dua vc vìc c chu ng
mình dìc u sau da y:
Nc u u la toa n tu lu y lình thi V la to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng
gìan con ba t bìc n do ì vo ì u, sao cho ha n chc cu a u lc n mo ì kho ng
gìan con na y la mo t toa n tu xyclìc.
Bo de 11.5. Kµ //e a K
p
:= Keru
p
, /a cc da µ
0 = K
0
⊂ K
1
⊂ K
2
⊂ . . . ⊂ K
β−1
⊂ K
β
= V.
Chu ng minh. \i u
p
(x) = 0 =⇒u
p+1
(x) = 0, nc n K
p
⊆ K
p+1
. Na t
kha c, nc u to n ta ì p ∈ 1, β − 1 sao cho K
p
= K
p+1
thi ta co
K
p
= K
p+1
= . . . = K
β
= V.
Iìc u na y da n dc n p la ba c lu y lình cu a u, la dìc u ma u thua n vi p < β.
Bo de 11.6. Tc o /a / ca c //c o} }/ao cco M
1
, . . . , M
β
//c o} /a m
//aa o} //c a ma o ca c d/e a //e o.
//ï K
p
= K
p−1
⊕ M
p
, p ∈ 1, β;
///ï u(M
p
) ⊆ M
p−1
, p ∈ 2, p.
Chu ng minh. \o ì p = β, cho n M
β
la mo t pha n bu na o do cu a
K
β−1
trong K
β
= V . Cìa su da xa y du ng duo c ca c kho ng gìan con
M
β
, M
β−1
, . . . , M
p
tho a ma n ca c dìc u kìc n (ì) va (ìì). 1a sc xa y du ng
47
kho ng gìan con M
p−1
sao cho no cu ng tho a ma n (ì) va (ìì). 1ruo c
hc t ta kìc m tra ca c dìc u kìc n sau da y:
(a) u(M
p
) ⊆ K
p−1
;
(b) u(M
p
) ∩ K
p−2
= 0.
Cìa su x ∈ M
p
. \i M
p
⊆ K
p
nc n u
p
(x) = 0, hay u
p−1
(u(x)) = 0,
nghia la u(x) ∈ K
p−1
. 1a da chu ng mình (a).
ßa y gìo , gìa su y ∈ u(M
p
)∩K
p−2
. Khì do , ta co y = u(x), x ∈ M
p
va u
p−2
(y) = 0, kc o thco u
p−1
(x) = 0, nghia la x ∈ K
p−1
. \a y,
x ∈ K
p−1
∩ M
p
= 0, suy ra x = 0, kc o thco y = u(x) = 0. 1a da
chu ng mình (b). Kc t ho p (a) va (b) ta co
K
p−2
⊕u(M
p
) ⊆ K
p−1
.
Io do to n ta ìG
p−1
la pha n bu cu a K
p−2
⊕ u(M
p
) trong K
p−1
,
ngh|ia la
K
p−1
= K
p−2
⊕u(M
p
) ⊕ G
p−1
.
ßa y gìo nc u da t
M
p−1
= u(M
p
) ⊕G
p−1
thi ta tha y M
p−1
tho a ca c dìc u kìc n (ì) va (ìì).
Bo de 11.7. \a / M
1
, M
2
, . . . , M
β
o/a /rco} 8c de 11.6, /a cc
V = M
1
⊕M
2
⊕M
β
.
Chu ng minh. 1a co
V = K
β
= K
β−1
⊕ M
β
48
= K
β−2
⊕ M
β−1
⊕M
β
= . . . ............................
= M
1
+⊕M
2
⊕. . . ⊕ M
β
.
1ìc p thco, ta sc xa y du ng mo t co so cu a V ba ng ca ch xa y du ng
co so cho mo ì kho ng gìan con M
p
, sau do sa p xc p la ì ca c vc c to co so
ta pha n hoa ch no tha nh ca c co so xyclìc cu a ca c kho ng gìan con cu a
V . 1rong co so cuo ì cu ng na y ma tra n bìc u dìc n f sc co da ng kho ì
duo ng chc o ma trc n duo ng chc o chính la ca c kho ì Jordan. \i mo ì
kho ì Jordan chi chu a du ng mo t vc c to rìc ng nc n so ca c kho ì Jordan
du ng ba ng so chìc u cu a kho ng gìan con rìc ng E(λ).
Bo de 11.8. 4 o/ ca a mc / ca sa ca a M
p
/a mc / /c dc c /a p /aµe o //o/
/rco} M
p−1
.
Chu ng minh. Cìa su (v
1
, . . . , v
r
) la mo t co so cu a M
p
va λ
1
, λ
r
∈ K
sao cho
λ
1
u(v
1
) + . . . +λ
r
u(v
r
) = 0.
Khì do , u(λ
1
v
1
+. . .+λ
r
v
r
) = 0, hay λ
1
v
1
+. . .+λ
r
v
r
∈ Keru =
K
1
⊆ K
p−1
. 1u do suy ra λ
1
v
1
+. . . +λ
r
v
r
∈ M
p
∩ K
p−1
= 0, kc o
thco λ
1
= . . . = λ
r
= 0.
ßa y gìo ta sc la n luo t xa y du ng co so cho M
p
ba t da u tu p = β.
1rong M
β
(ma ta co n ky hìc u la G
β
), la y mo t co so ba t ky na o do .
1ìc p thco, ba ng quì na p lu ì ta sc xa y du ng co so trong M
p−1
nhu sau:
1a co M
P−1
= u(M
p
) ⊕ G
p−1
. La y a nh qua u cu a co so da xa y
du ng trong M
p
ho p vo ì mo t co so cu a G
p−1
ta sc co mo t co so cu a
M
p−1
. ßa ng ca ch na y ta xa y du ng duo c ca c co so B
β
, B
β−1
. . . , B
1
tuong u ng cu a M
β
, M
β−1
. . . , M
1
:
49
B
β
= (v
1
, . . . , v
n
β
)
. ¸¸ .
G
β
,
B
β−1
= (u(v
1
), . . . , u(v
n
β
), ω
1
, . . . , ω
n
β−1
. ¸¸ .
G
β−1
),
B
β−2
= (u
2
(v
1
), . . . , u
2
(v
n
β
), u(ω
1
), . . . , u(ω
n
β−1
), z
1
, . . . , z
n
β−2
. ¸¸ .
G
β−1
),
B
1
= (u
β−1
(v
1
), . . . , u
β−1
(v
n
β
), . . . , x
1
, . . . , x
n
1
. ¸¸ .
G
1
).
\o ì k ∈ 1, β va 0 ,= x ∈ G
k
, da t
I
k
(x) := ¸x, u(x), . . . , u
k−1
(x)).
Bo de 11.9. ∀k ∈ 1, β /a cc
//ï dimI
k
(x) = k.
///ï I
k
(x) /a //c o} }/ao cco ba / b/e o dc / ca / u.
////ï u[
I
k
(x)
/a /ca o /a vµc//c.
Chu ng minh. (ì) Cìa su λ
0
, λ
1
, . . . , λ
k−1
∈ K sao cho
λ
0
x +λ
1
u(x) +. . . + λ
k−1
u
k−1
(x) = 0.
1a c do ng u
k−1
lc n haì vc , nha n duo c λ
0
u
k−1
(x) = 0. Io x ,∈
K
k−1
nc n u
k−1
(x) ,= 0, kc o thco λ
0
= 0. Io do
λ
1
u(x) +. . . +λ
k−1
u
k−1
(x) = 0.
b0
1a c do ng u
k−2
lc n haì vc , nha n duo c λ
1
= 0. Cu tìc p tu c qua
trinh nhu va y, cuo ì cu ng ta nha n duo c λ
0
= λ
1
= . . . = λ
k−1
= 0.
\a y dimI
k
(x) = 0.
(ìì) Hìc n nhìc n.
(ììì) Io d}nh nghia toa n tu xyclìc.
0ua ca ch xa y du ng ca c kho ng gìan con I
k
(x) ta nha n tha y ra ng
V la to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan con
I
β
(v
1
), . . . , I
β
(v
n
β
), I
β−1
(ω
1
), . . . , I
β−1
(ω
n
β−1
), . . . , I
1
(x
1
), . . . , I
1
(x
n
1
).
Nhu va y ma tra n bìc u dìc n toa n tu f trong co so cu a V nha n
duo c ba ng ca ch ghc p ca c co so xyclìc cu a ca c kho ng gìan con I
k
(x)
sc co da ng kho ì duo ng chc o ma mo ì kho ì la mo t kho ì Jordan. 1a da
chu ng mình Pha n 1) cu a I}nh ly 11.J. Pha n 2) cu a d}nh ly na y duoc
chu ng mình nhu sau:
1ruo c hc t pha n tích V tha nh to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan
con da c trung, sau do a p du ng Pha n 1) do ì vo ì mo ì kho ng gìan con
da c trung. Nhu va y d}nh ly da duo c chu ng mình hoa n toa n.
Ví du 12. Cho ma tra n
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
1 2 3 1
−2 −4 −4 −1
⎞
⎟
⎟
⎠
.
1im da ng chính ta c Jordan cu a A. Xcm A nhu ma tra n bìc u dìc n
toa n tu tuyc n tính f ∈ End
R
(R
4
). Ha y chi ro co so trong do f co
b1
da ng chính ta c Jordan da nc u.
Cia i. P
A
(λ) = (λ − 1)
4
. Io A − I
4
,= 0 va (A − I
4
)
2
= 0 nc n
m
A
(λ) = (λ − 1)
2
. 1a tính duo c dimE(1) = 3. Io do da ng chính
ta c Jordan cu a A la
A
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Co ì (u
1
, u
2
, u
3
, u
4
) la co so trong do f co da ng chính ta c no ì
trc n. 1a tha y ca c vc c to u
1
, u
3
va u
4
ca n pha ì cho n sao cho chu ng
ta o tha nh co so cu a kho ng gìan con rìc ng E(1). Hon nu a u
1
ca n pha ì
duo c cho n sao cho ta co thc tim duo c u
2
tho a f(u
1
) = u
1
+u
2
. ßa ng
ca ch tính toa n tru c tìc p ta co thc la y ca c vc c to sau:
u
1
= (0, 0, 1, −2), u
2
= (1, 0, 0, 0), u
3
= (0, 1, 0, −2), u
4
= (1, 0, 0, −1).
Ví du 13. A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 2
0 2 0 0
0 0 2 3
0 0 0 2
⎞
⎟
⎟
⎠
.
1a co P
A
(λ) = (λ − 1)(λ − 2)
3
, dimE(2) = 2, suy ra N(2) co
haì kho ì Jordan. Io dimN(2) = 3 nc n N(2) co mo t kho ì Jordan ca p
1 va mo t kho ì Jordan ca p 2. 1u do suy ra da thu c to ì tìc u cu a A la
b2
m
A
(λ) = (λ − 2)
2
. Ia ng chính ta c Jordan cu a A la
A
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Bai tap
Ba i 1. Cho A, B, C, D ∈ M
n
(R), vo ì CD = DC. Chu ng mình ra ng
det
_
A B
C D
_
= det(AD − BC).
Ba i 2. Cho A, B, C, D ∈ M
n
(R) la ca c ma tra n tho a CD = DC.
Chu ng mình ra ng ma tra n X =
_
A B
C D
_
kha ngh}ch khì va chi
khì Y = AD − BC kha ngh}ch.
Ba i 3. Ky hìc u K
n
[t] la kho ng gìan vc c to go m ca c da thu c cu a K[t]
co ba c ≤ n. Cho toa n tu tuyc n tính
f : R
2
[t] −→R
2
[t],
duo c xa c d}nh nhu sau:
f(Q) = (2t + 1)Q− (t
2
− 1)Q
, ∀Q ∈ R
2
[t].
bJ
Ha y tính f
n
(a
0
+ a
1
t +a
2
t
2
):
Ba i 4. Cho V la kho ng gìan vc c to thu c go m ta t ca ca c ma tra n thu c
ca p 2 co vc t ba ng 0.
(a) 1im mo t co so va so chìc u cu a V .
(b) Cho B =
_
1 0
2 3
_
va f : V −→ V duo c d}nh nghia bo ì
f(X) = XB − BX, ∀X ∈ V . Chu ng mình ra ng f la mo t toa n tu
tuyc n tính trong kho ng gìan V va tính f
n
(A), vo ì A =
_
a b
c −a
_
.
Ba i 5. Cìa su Iìbonacìì xa y du ng da y so cu a minh vo ì F
0
= 1, F
1
= 3
va F
k+2
= F
k+1
+ F
k
, ∀k ≥ 0. Ha y tính ca c so Iìbonacìì mo ì va
chu ng mình ra ng ti so F
k+1
/F
k
cu ng da n to ì ”ti lc va ng”.
Ba i 6. Ha y tim dìc u kìc n do ì vo ì ca c so thu c a, b, c sao cho ma tra n
sau da y chc o ho a duo c:
A =
⎛
⎝
1 a b
0 2 c
0 0 2
⎞
⎠
.
Ba i 7. Cho R la truo ng so thu c va f : R
3
−→ R
3
la mo t toa n tu
tuyc n tính trong kho ng gìan vc c to R
3
duo c xa c d}nh bo ì co ng thu c
f(x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
−x
2
+x
3
, −2x
1
+ 3x
2
, −2x
1
+x
2
+ 2x
3
),
do ì vo ì mo ì pha n tu (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
.
b4
(a) Chu ng mình ra ng toa n tu f chc o ho a duo c trc n R va tim mo t
co so cu a R
3
sao cho ma tra n bìc u dìc n toa n tu f trong co so do la
mo t ma tra n chc o.
(b) \o ì mo ì so nguyc n n ≥ 2, chu ng mình ra ng to n ta ì mo t toa n
tu g : R
3
−→R
3
sao cho g
n
= f.
Ba i 8. Io ì vo ì mo ì ma tra n duo ì da y ha y dua vc da ng tam gìa c va
chi ro ma tra n kha ngh}ch P la m tam gìa c ho a no :
(a) A =
⎛
⎝
3 −1 1
2 0 1
1 −1 2
⎞
⎠
; (b) A =
⎛
⎝
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
⎞
⎠
.
Ba i 9. Cìa ì hc phuong btrinh vì pha n
dX
dt
= AX, vo ì A la ma tra n
trong ßa ì 8.
Ba i 10. 1im da thu c to ì tìc u cu a ca c ma tra n trong ßa ì 8.
Ba i 11. Cìa su toa n tu tuyc n tính f : R
3
−→ R
3
co ma tra n bìc u
dìc n trong co so chính ta c la
A =
⎛
⎝
1 0 0
1 2 1
−1 0 1
⎞
⎠
.
Ha y tim da thu c to ì tìc u cu a f va pha n tích R
3
tha nh to ng tru c
tìc p cu a ca c kho ng gìan con da c trung.
Ba i 12. 1im da ng chính ta c Jordan cu a ca c ma tra n
bb
(a) A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 0 0
1 2 3 1
−2 −5 −4 −1
⎞
⎟
⎟
⎠
; (b)
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −3 0 3
−2 −6 0 13
0 −3 1 3
−1 −4 0 8
⎞
⎟
⎟
⎠
;
(c) A =
⎛
⎜
⎜
⎝
3 −1 1 −7
9 −3 −7 −1
0 0 4 −8
0 0 2 −4
⎞
⎟
⎟
⎠
; (d) A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
bb
Chuong II
KH0NC CIAN FUCIID
¸1. Tích vo huong
Ð|nh nghía 1.1. Cho V la kho ng gìan vc c to trc n truo ng K. A nh xa
ϕ : V V −→K
duo c go ì la mo t da o} sco} /aµe o //o/ trc n V nc u ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈
K, ta co
(ì) ϕ(αx +βy, z) = αϕ(x, z) + βϕ(y, z)
(ìì) ϕ(x, αy + βz) = αϕ(x, y) +βϕ(x, z).
Ð|nh nghía 1.2. Cho V la kho ng gìan vc c to trc n truo ng so thu c R.
Ia ng song tuyc n tính ¸, ) : V V −→ R duo c go ì la mo t //c/ cc
/aa o} trong V nc u no la :
b7
(ì) Io ì xu ng, nghia la ¸x, y) = ¸y, x), ∀x, y ∈ R;
(ìì) xa c d}nh duong, nghia la ¸x, x) ≥ 0, ∀x ∈ V va ¸x, x) =
0 ⇐⇒x = 0.
Cìa su V la mo t kho ng gìan vc c to thu c vo ì tích vo huo ng. Nc u
V hu u ha n chìc u thi ta no ì V la //c o} }/ao /ac//d; nc u V vo ha n
chìc u thi ta no ì V la //c o} }/ao H//ber/.
Ví du 14. Cho kho ng gìan vc c to V = R
n
, vo ì x = (x
1
, . . . , x
n
) va
y = (y
1
, . . . , y
n
), d}nh nghia
¸x, y) := x
1
y
1
+. . . + x
n
y
n
.
Khì do V la kho ng gìan Luclìd. 1ích vo huo ng vu a d}nh nghia duo c
go ì la //c/ cc /aa o} c//o/ /a c trong R
n
.
Ví du 15. \o ì x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
d}nh nghia
¸x, y) := x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
+ 3x
3
y
3
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
.
Ia y la mo t a nh xa song tuyc n tính do ì xu ng. Hon nu a, nhu ng
tính to an duo ì da y cho tha y no co n la a nh xa xa c d}nh duong.
¸x, x) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
1
x
2
= x
2
1
+ 2x
1
x
2
+ x
2
2
+x
2
2
+ 3x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
2
+x
2
2
+ 3x
2
3
≥ 0.
1u do suy ra ¸x, x) = 0 ⇐⇒ x
1
+ x
2
= x
2
= x
3
= 0 ⇐⇒ x
1
=
x
2
= x
3
= 0.
Ví du 16. Xc t kho ng gìan vc c to M
2
(R) go m ca c ma tra n vuo ng ca p
2 trc n truo ng so thu c R. A nh xa ¸A, B) := Tr(A
B) la mo t tích vo
huo ng trong M
2
(R).
b8
Ví du 17. ∀P, Q ∈ R[x], d}nh nghia
¸P, Q) :=
_
1
0
P(x)Q(x)dx.
Hìc n nhìc n da y la mo t da ng song tuyc n tính do ì xu ng trc n R[x].
1a sc chu ng mình no xa c d}nh duong. 1ha t va y, ta co ¸P, P) =
_
1
0
P(x)
2
dx ≥ 0. Cìa su ¸P, P) = 0. \i P(x) la mo t ha m lìc n tu c va
P(x)
2
≥ 0 nc n tu dìc u kìc n
_
1
0
P(x)
2
dx = 0 suy ra P(x)[
[0,1]
= 0.
Io da thu c P(x) chi co thc co mo t so hu u ha n nghìc m nc n tu do
suy ra P(x) ≡ 0.
Ví du 18. Cho W la mo t kho ng gìan con cu a kho ng gìan vc c to V .
Cìa su trong V co tích vo huo ng ¸, )
V
. ∀x, y ∈ W, d}nh nghia
¸x, y)
W
:= ¸x, y)
V
.
Ic tha y da y la mo t tích vo huo ng trong W.
¸2. Da ng ru t gon Causs
1rong tìc t na y ta kha o sa t va n dc la m thc na o dc bìc t duo c mo t
da ng song tuyc n tính do ì xu ng trc n kho ng gìan vc c to V la xa c d}nh
duong hay kho ng. Iìc u na y co nghia la la m thc na o dc nha n bìc t
b9
mo t a nh xa song tuyc n tính do ì xu ng co pha ì la mo t tích vo huo ng
hay kho ng.
Cho V la kho ng gìan vc c to n chìc u trc n K vo ì (e
1
, . . . , e
n
) la
mo t co so cu a V . Cìa su ϕ la mo t da ng song tuyc n tính trc n V va
x =
n
i=1
x
i
e
i
, y =
n
i=1
y
i
e
i
la ca c vc c to ba t ky cu a V duo c bìc u
dìc n tha nh to ho p tuyc n tính cu a ca c vc c to co so . khì do ta co
ϕ(x, y) = ϕ
_
n
i=1
x
i
e
i
,
n
i=1
y
i
e
i
_
=
n
i,j=1
x
i
y
j
ϕ(e
i
, e
j
).
Nc u da t a
ij
= ϕ(e
i
, e
j
) thi ta co
ϕ(x, y) =
n
i,j=1
a
ij
x
i
y
j
.
\a y, nc u ϕ la mo t da ng song tuyc n tính trc n V thi trong mo t co
so na o do cu a V bìc u thu c cu a ϕ duo c vìc t duo ì da ng to ng cu a ca c
don thu c trong do x
i
va y
j
dc u xua t hìc n duo ì da ng lu y thu a ba c nha t.
Ia y la da u hìc u dc chu ng ta dc da ng nha n da ng ca c da ng song tuyc n
tính. \í du ϕ(x, y) = x
1
y
1
+2x
2
y
2
−x
3
y +x
1
y
3
la da ng song tuyc n
tính trc n kho ng gìan R
3
, trong khì ψ(x, y) = 4x
1
y
2
+ . . . kho ng thc
la da ng song tuyc n tính duo c.
\ìc c kìc m tra xcm mo t da ng song tuyc n tính co do ì xu ng hay
kho ng la mo t vìc c dc da ng. 1ha t va y, nc u trong bìc u thu c cu a da ng
song tuyc n tính ϕ ta do ì vaì tro cu a x va y cho nhau ma ϕ kho ng
thay do ì thi no la da ng song tuyc n tính do ì xu ng. 1rong truo ng ho p
nguo c la ì ϕ kho ng do ì xu ng.
b0
ßa y gìo cho K = R va ta ca n kìc m tra xcm mo t da ng song
tuyc n tính do ì xu ng trc n kho ng gìan vc c to thu c co xa c d}nh duong
hay kho ng. Iuo ì da y la mo t phuong pha p thuo c vc Causs cho phc p
chu ng ta la m duo c dìc u do . Luu y la ta da du ng phuong pha p na y
trong khì trinh ba y \í du 2.
Cìa su ϕ(x, x) duo c vìc t duo ì da ng da thu c
ϕ(x, x) = a
11
x
2
1
+ . . . +a
nn
x
2
n
+. . . + a
ij
x
i
x
j
+ . . .
nghia la ϕ(x, x) duo c vìc t duo ì da ng mo t da thu c thua n nha t ba c 2
thco ca cc bìc n x
1
, . . . , x
n
. 1a go ì ca c don thu c chu a x
2
i
la ca c dao
//a c cac o} va ca c don thu c chu a x
i
x
j
la ca c dao //a c c/a o/a /.
Ne nh de 2.1. Ne a ϕ /a mc / //c/ cc /aa o} /rco} V /// /a / ca ca c /e
sc a
ii
ca a ca c dao //a c cac o} de a /a ca c sc daao}.
Chu ng minh. 1ha t va y, nc u to n ta ì mo t i ∈ 1, n sao cho a
ii
≤ 0 thi
a
ii
= ϕ(e
i
, e
i
) ≤ 0, suy ra ϕ kho ng xa c d}nh duong.
1hco mc nh dc vu a chu ng mình, nc u trong bìc u thu c cu a ϕ(x, x)
kho ng co du n don thu c vuo ng thi ϕ kho ng xa c d}nh duong. 1uy
nhìc n, nc u ϕ la da ng song tuyc n tính do ì xu ng sao cho trong bìc u
thu c cu a ϕ(x, y) co chu a du n don thu c vuo ng thi ta chua du co so
dc kc t lua n ϕ co pha ì la mo t tích vo huo ng hay kho ng. Causs da
dc xua t mo t phuong pha p cho phc p chu ng ta co thc dì dc n mo t kc t
lua n nhu va y. 1hu c cha t cu a phuong pha p Causs la dua bìc u thu c cu a
ϕ vc da ng to ng cu a nhu ng don thu c vuo ng ba ng ca c phc p bìc n do ì
tuyc n tính. Ic dc hìc u ta sc la m dìc u na y tho ng qua mo t ví du cu
thc . 1ruo ng ho p to ng qua t cu ng duo c la m hoa n toa n tuong tu nhu
va y.
Ví du 19. 1rong R
3
xc t da ng song tuyc n tính do ì xu ng
ϕ(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
+ 5x
3
y
3
+x
1
y
2
−2x
2
y
3
+x
2
y
1
− 2x
3
y
2
.
b1
1a co
ϕ(x, x) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ 5x
2
3
+ 2x
1
x
2
−4x
2
x
3
.
1uy ϕ(x, x) chu a du 3 so ha ng vuo ng, nhung nhu trc n da no ì,
ta chua thc kc t lua n ϕ co xa c d}nh duong hay kho ng. Phuong pha p
Causs tra ì qua ca c buo c sau:
1. Xc t mo t don thu c vuo ng, x
2
1
cha ng ha n. Sa p xc p ta t ca ca c
don thu c co chu a x
1
la ì vo ì nhau:
ϕ(x, x) = (x
2
1
+ 2x
1
x
2
)
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
1
+2x
2
2
+ 5x
2
3
−4x
2
x
3
.
2. \ìc t bìc u thu c co chu a x
1
tha nh mo t binh phuong:
ϕ(x, x) = (x
1
+x
2
)
2
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
1
−x
2
.¸¸.
b/e a //a c //e m ca c
+2x
2
2
+5x
2
3
−4x
2
x
3
.
J. \ìc t ϕ tha nh to ng cu a mo t binh phuong va mo t bìc u thu c
kho ng chu a x
1
:
ϕ(x, x) = (x
1
+x
2
)
2
+ x
2
2
+ 5x
2
3
− 4x
2
x
3
. ¸¸ .
b/e a //a c //c o} c/a a x
1
.
4. La p la ì qua trinh nhu trc n do ì vo ì bìc u thu c kho ng chu a x
1
:
ϕ(x, x) = (x
1
+ x
2
)
2
+ x
2
2
− 4x
2
x
3
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
2
+5x
3
.
b2
= (x
1
+x
2
)
2
+ (x
2
− 2x
3
)
2
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
2
−4x
3
. ¸¸ .
b/e a //a c //e m ca c
+5x
3
.
1ìc p tu c la m nhu va y cho dc n khì na o ta t ca ca c don thu c nha n
duo c dc u vuo ng; khì do qua trinh sc kc t thu c:
ϕ(x, x) = (x
1
+x
2
)
2
+ (x
2
− 2x
3
)
2
+x
2
3
.
ßìc u thu c cuo ì cu ng sc duo c go ì la da o} ra / }c o Caass cu a ϕ(x, x).
Luu y ra ng da ng ru t go n Causs kho ng duy nha t vi thay vi ba t da u
tu x
1
ta co thc ba t da u ba ng ba t ky mo t bìc n na o kha c.
ßa y gìo ta co thc dc da ng tra lo ì ca u ho ì lìc u ϕ co xa c d}nh duong
hay kho ng. 1ha t va y, ta co
ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒(x
1
+ x
2
)
2
= (x
2
−2x
3
)
2
= x
2
3
= 0
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
1
+ x
2
= 0;
x
2
−2x
3
= 0;
x
3
= 0.
⇐⇒x
1
= x
2
= x
3
= 0.
\a y ϕ xa c d}nh duong, do do no la mo t tích vo huong trong R
3
.
Ví du 20. 1rong R
3
xc t da ng song tuyc n tính do ì xu ng
ϕ(x, y) = x
1
y
1
+ 3x
2
y
2
+ 5x
3
y
3
+ 2x
1
y
2
−4x
1
y
3
+ 6x
2
y
3
.
1a co
ϕ(x, x) = x
2
1
+ 3x
2
2
+ 5x
2
3
+ 2x
1
x
2
−4x
1
x
3
+ 6x
2
x
3
= (x
2
1
+ 2x
1
x
2
−4x
1
x
3
) + 3x
2
2
+ 5x
2
3
+ 6x
2
x
3
bJ
= [x
1
+ (x
2
− 2x
3
)]
2
− (x
2
−2x
3
)
2
+ 3x
2
2
+ 5x
2
3
+ 6x
2
x
3
= (x
1
+ x
2
− 2x
3
)
2
+ 2x
2
2
+x
2
3
+ 10x
2
x
3
= (x
1
+ x
2
− 2x
3
)
2
+ (x
3
+ 5x
2
)
2
− 23x
2
2
.
Cìa ì hc phuong trinh tuyc n tính
_
x
1
+x
2
− 2x
3
= 0;
5x
2
+x
3
=
√
23x
2
.
Cho x
2
= 1, nha n duo c x
1
= 9 + 2
√
23, x
3
= −5 +
√
23. \a y,
vo ì x = (9 + 2
√
23, 1, −5 +
√
23) ,= 0, ta co ϕ(x, x) = 0. Io do ϕ
kho ng xa c d}nh tích vo huo ng trong R
3
.
1rong \í du 10, da ng ru t go n Causs go m 3 don thu c vuo ng vo ì
da u co ng (ta no ì mo t dao //a c cac o} ca / da a cc o} khì hc so cu a no
la so duong). 1rong \í du 11, so ca c don thu c vuo ng cu ng ba ng so
chìc u cu a kho ng gìan vc c to, nhung kho ng pha ì ta t ca chu ng dc u la
don thu c vuo ng vo ì da u co ng. 1rong truo ng ho p da u ta tha y da ng
song tuyc n tính xa c d}nh duong, co n trong truo ng ho p thu haì thi
kho ng. 1o ng qua t, ta co thc chu ng mình d}nh ly duo ì da y.
Ð|nh ly 2.2. C/c V /a //c o} }/ao ce c /a //a c sc c//e a n ca ϕ /a mc /
da o} sco} /aµe o //o/ dc / va o} /re o V . K// dc , ϕ va c d/o/ daao}
oe a ca c// oe a da o} ra / }c o Caass ca a ϕ cc n dao //a c cac o} ca /
da a cc o}.
Chu ng minh. Cìa su da ng ru t go n Causs cu a ϕ co n don thu c vuo ng
vo ì da u co ng. 1u dìc u kìc n ϕ(x, x) = 0 suy ra suy ra x
1
, . . . , x
n
tho a
mo t hc go m n phuong trinh tuyc n tính thua n nha t co ma tra n hc c
so o da ng ba c thang (dìc u na y tha y ro qua ca c phc p bìc n do ì ma ta
thu c hìc n ba ng phuong pha p Causs). No t hc phuong trinh nhu va y
chi co nghìc m ta m thuo ng, suy ra x = 0.
b4
Nguo c la ì, gìa su da ng ru t go n Causs co ít hon n don thu c vuo ng
hoa c co ít nha t mo t don thu c vuo ng vo ì da u tru . ßa ng ca ch da nh so
thu tu la ì nc u ca n thìc t, ta co thc gìa thìc t
ϕ(x, x) = a
1
ϕ
1
(x)
2
+ a
2
ϕ
2
(x)
2
+ . . . +a
n
ϕ
n
(x)
2
,
trong do ϕ
i
la ca c bìc u thu c tuyc n tính, a
1
> 0 va a
2
≤ 0. Xc t hc
phuong trinh tuyc n tính
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
_
|a
2
|
a
1
ϕ
2
(x);
ϕ
3
(x) = 0;
. . . . . . . . .
ϕ
n
(x) = 0.
Ia y la hc phuong trinh tuyc n tính thua n nha t co so ohuong trinh
ít hon so a n nc n co nghìc m kho ng ta m thuo ng. Io ì vo ì nghìc m
kho ng ta m thuo ng x ,= 0 nhu va y, ta co ϕ(x, x) = 0, do do ϕ kho ng
xa c d}nh duong.
¸3. Chuan cua vec to
Ð|nh nghía 3.1. Cho V la kho ng gìan vc c to thu c vo ì tích vo huo ng
¸, ). \o ì mo ì vc c to x ∈ V da t
[[x[[ :=
_
¸x, x),
va go ì no la c/aa o cu a x.
bb
Bo de 3.2. /Ba t da ng thu c Cauchy-Schwarz) \a / mc / x, y ∈ V /a cc
¸x, y)
2
≤ [[x[[
2
.[[y[[
2
.
Hao oa a, da a = va µ ra /// ca c// /// x ca y p/a //ac c /aµe o
//o/.
Chu ng minh. Nc u [[x[[ = [[y[[ = 0 thi x = y = 0 va ba t da ng thu c
hìc n nhìc n duo c tho a ma n.
Cìa su [[y[[ ,= 0 va λ ∈ R la mo t so thu c ba t ky . 1a co
[[x + λy[[
2
≥ 0
=⇒[[x[[
2
+[[λy[[
2
+ 2¸x, λy) ≥ 0
=⇒λ
2
.[[y[[
2
+ 2λ¸x, y) +[[x[[
2
≥ 0.
\c tra ì cu a ba t da ng thu c sau cu ng la mo t tam thu c ba c haì thco
λ. Ic tam thu c na y luo n nha n gìa tr} kho ng a m do ì vo ì mo ì λ ∈ R
thi dìc u kìc n ca n va du la bìc t so Δ
≤ 0, nghia la
¸x, y)
2
−[[x[
2
[[y[[
2
≤ 0
hay
¸x, y)
2
≤ [[x[
2
[[y[[
.
ßa y gìo , gìa su da u = xa y ra, nghia la ¸x, y)
2
= [[x[
2
[[y[[
2
. Khì
do tam thu c ba c haì no ì trc n co nghìc m kc p, nghia la to n ta ì λ ∈ R
sao cho
λ
2
.[[y[[
2
+ 2λ¸x, y) + [[x[[
2
hay [[x + λy[[
2
= 0. 1u do suy ra x + λy = 0 hay x va y la ca c vc c
to phu thuo c tuyc n tính.
Ne nh de 3.3. 4 o/ va
[[ [[ : V −→R
+
bb
va c d/o/ ba / [[x[[ =
_
¸x, x) //c a ma o ca c //o/ c/a / saa da µ.
//ï [[λx[[ = [λ[.[[x[[, ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R.
///ï [[x[[ = 0 ⇐⇒x = 0.
////ï [[x + y[[ ≤ [[x[[ + [[y[[, ∀x, y ∈ V /ba / da o} //a c /am }/a cï.
Hao oa a, da a = va µ ra /// ca c// /// /c o /a / λ ≥ 0 sac c/c y = λx
/ca c x = λy.
Chu ng minh. 1a co
[[x + y[[
2
= [[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2¸x, y) ≤
[[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2[¸x, y)[ ≤ (ba t da ng thu c C-S)
[[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2[[x[[.[[y[[ = ([[x[[ +[[y[[)
2
.
Suy ra [[x +y[[ ≤ [[x[[ +[[y[[.
Nc u y = λx, vo ì λ ≥ 0 thi ta co
[[x + y[[ = [[x +λx[[ = [[(1 + λx)x[[ = (1 + λ)[[x[[
= [[x[[ +λ.[[x[[ = [[x[[ +[[λx[[ = [[x[[ + [[y[[.
Nguo c la ì, gìa su
[[x +y[[ = [[x[[ +[[y[[.
Khì do
[[x + y[[
2
= [[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2¸x, y)
= [[x[[
2
+[[y[[
2
+ 2[[x[[.[[y[[.
1u do suy ra ¸x, y) = [[x[[.[[y[[, kc o thco ¸x, y)
2
= [[x[[
2
[[y[[
2
.
1hco ßo dc J.2, x va y phu thuo c tuyc n tính. Cìa su , cha ng ha n x ,= 0
va y = λx. Khì do tu ba t da ng thu c C-S ta co n co [¸x, y)[ = [[x[[.[[y[[,
suy ra ¸x, y) = [¸x, y)[. 1hay y = λx va o da ng thu c cuo ì cu ng, nha n
duo c λ.[[x[[ = [λ[.[[x[[. 1u do suy ra λ ≥ 0.
b7
Ð|nh nghía 3.4. Cìa su x va y la haì vc c to kha c kho ng cu aa V . A p
du ng ba t da ng thu c C-S, ta co
[¸x, y)[
[[x[[.[[y[[
≤ 1.
1u do suy ra to n ta ì duy nha t mo t go c θ ∈ [0, π] sao cho
cos θ =
¸x, y)
[[x[[.[[y[[
≤ 1.
1a go ì θ la }c c (kho ng d}nh huo ng) gìu a ca c vc c to x va y.
Cuo ì cu ng, dc kc t thu c tìc t na y, luu y ra ng tích vo huo ng co thc
duo c bìc u dìc n qua chua n bo ì co ng thu c duo ì da y:
¸x, y) =
1
2
([[x + y[[
2
−[[x[[
2
−[[y[[
2
).
¸4. Su truc giao
Ð|nh nghía 4.1. Cho V la mo t kho ng gìan vc c to vo ì tích vo huo ng
¸, ).
(a) 1a no ì ca c vc c to x, y ∈ V /ra c }/ac vo ì nhau va vìc t x ⊥ y,
nc u ¸x, y) = 0.
b8
(b) Nc u A ⊆ V la mo t ta p con kha c Ø cu a V thi ta da t
A
⊥
:= ¦x ∈ V [¸x, a) = 0, ∀a ∈ A¦.
Khì do A
⊥
la mo t kho ng gìan con cu a V va ta go ì A
⊥
la //c o}
}/ao cco ca a V /ra c }/ac vo ì A.
Ic da ng nha n tha y 0
⊥
= V va V
⊥
= 0.
ßa y gìo gìa su V la kho ng gìan vc c to trc n truo ng K va V
∗
la
kho ng gìan do ì nga u cu a no . Nc u W la kho ng gìan con cu a V thi da t
W
0
:= ¦f ∈ V
∗
[f(v) = 0, ∀v ∈ W¦.
Ic tha y W
0
la kho ng gìan con cu a V
∗
va ta go ì no la //o/ /c a /a
cu a W. Hìc n nhìc n, nc u ¦v
1
, . . . , v
p
¦ la mo t co so cu a W thi
W
0
= ¦f ∈ V
∗
[f(v
1
) = . . . = f(v
p
) = 0¦.
Ne nh de 4.2. Ne a V /a //c o} }/ao ce c /a /a a /a o c//e a /re o K ca
W /a //c o} }/ao cco ca a V ///
dimV = dimW +dimW
0
.
Chu ng minh. Cìa su dimV = n va ¦v
1
, . . . , v
p
¦ la mo t co so cu a
W. ßo tu c thc m ca c vc c to cu a V va o ta p ho p no ì trc n dc nha n duo c
mo t co so cu a V :
B = ¦v
1
, . . . , v
p
, v
p+1
, . . . , v
n
¦.
Co ì B
∗
= ¦ρ
1
, . . . , ρ
p
, ρ
p+1
, . . . , ρ
n
¦ la co so do ì nga u cu a B. 1a
sc chu ng mình ¦ρ
p+1
, . . . , ρ
n
¦ la co so cu a W
0
.
b9
∀k ∈ p + 1, n ta co ρ
k
(v
1
) = . . . ρ
k
(v
p
) = 0, suy ra ρ
k
∈ W
0
. Io
ρ
p+1
, . . . , ρ
n
¦ la ca c vc c to do c la p tuyc n tính nc n ta chi ca n chu ng
mình chu ng sình ra W
0
la du . \a y, xc t ∀f ∈ W
0
va ∀x ∈ V . 1a co
x = x
1
v
1
+ . . . +x
p
v
p
+x
p+1
v
p+1
+ . . . +x
n
v
n
.
Khì do f(x) = x
p+1
f(v
p+1
)+. . .+x
n
f(v
n
). Ia t λ
k
= f(v
k
), ∀k ∈
p + 1, n, ta co
f(x) = λ
p+1
ρ
p+1
(x) + . . . +λ
n
ρ
n
(x).
1u do suy ra f = λ
p+1
ρ
1
+ . . . +λ
n
ρ
n
.
1ro la ì vo ì kho ng gìan Luclìd n chìc u V . Nhu trc n da nha n xc t,
V
∗
· V . Iuo ì da y ta sc xa y du ng mo t da ng ca u tu nhìc n gìu a V va
V
∗
.
Ne nh de 4.3. C/c V /a //c o} }/ao /ac//d ca / //c/ cc /aa o} ¸, ).
4 o/ va
σ : V −→ V
∗
y −→ σ(y),
/rco} dc
σ(y) : V −→ R
∗
x −→ ¸x, y)
/a mc / da o} ca a }/a a V ca V
∗
. Hao oa a, oe a W /a mc / //c o} }/ao
cco ca a V /// σ(W
⊥
) = W
0
.
Chu ng minh. Ic da ng kìc m tra σ la mo t a nh xa tuyc n tính. Io
dim(V ) = dim(V
∗
) nc n dc chu ng mình σ la da ng ca u ta chi ca n
70
chu ng mình σ la don ca u la du . \a y, gìa su y ∈ V sao cho σ(y) = 0.
Iìc u na y co nghia la ¸x, y) = 0, ∀x ∈ V . No ì rìc ng, la y x = y ta co
¸y, y) = 0, kc o thco y = 0. \a y σ la don ca u, kc o thco σ la da ng ca u.
1ìc p thco ta co
σ
−1
(W
0
) = ¦y ∈ V [ σ(y) ∈ W
0
¦
= ¦y ∈ V [ σ(y)(x) = 0, ∀x ∈ W¦
= ¦y ∈ V [ ¸x, y) = 0, ∀x ∈ W¦ = W
⊥
.
Io σ la da ng ca u nc n tu do suy ra σ(W
⊥
) = W
0
.
He qua 4.4. Ne a W /a //c o} }/ao cco ca a //c o} }/ao /ac//d V ///
dim(W
⊥
= dim(V ) − dim(W).
Ne nh de 4.5. Ne a W /a //c o} }/ao cco ca a //c o} }/ao /ac//d V
///
//ï V = W ⊕ W
⊥
.
///ï W
⊥⊥
:= (W
⊥
)
⊥
= W.
Chu ng minh. (ì) duo c suy ra ngay tu Hc qua 4.4.
(ìì) ∀x ∈ W, ∀y ∈ W
⊥
ta co ¸x, y) = 0, suy ra x ∈ W
⊥⊥
. \a y
W ⊆ W
⊥⊥
. A p du ng Hc qua 4.4, ta co
dim(W
⊥⊥
) = dim(V ) − dim(W
⊥
)
= dim(V ) − (dim(V ) −dim)(W) = dim(W).
1u do suy ra dim(W
⊥⊥
) = dim(W).
¸5. Co so truc giao va co so truc chuan
71
Ð|nh nghía 5.1. Cho V la kho ng gìan Luclìd n chìc u va B =
(e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V .
(ì) 1a no ì B la ca sa /ra c }/ac nc u
¸e
i
, e
j
) = 0, ∀i ,= j.
(ìì) 1a no ì B la ca sa /ra c c/aa o nc u
¸e
i
, e
j
) = δ
ij
,
trong do δ
ij
la ky hìc u Kroncckcr.
Hìc n nhìc n nc u (e
1
, . . . , e
n
) la co so tru c gìao thi (
e
1
||e
1
||
, . . . ,
en
||en||
)
la co so tru c chua n.
Ð|nh ly 5.2. Trco} mc / //c o} }/ao /ac//d ba / /µ /ac o /c o /a / ca c ca
sa /ra c c/aa o.
Chu ng minh. Io nha n xc t phía trc n nc n ta chi ca n chu ng mình su
to n ta ì co so tru c gìao la du . Iìc u na y sc duo c chu ng mình ba ng quì
na p thco n. Nc u n = 1 thi kho ng co dìc u gi dc chu ng mình. Cìa su
dìc u kha ng d}nh la du ng cho nhu ng kho ng gìan so chìc u bc thua n.
Xc t mo t vc c to 0 ,= v ∈ V va da t W = ¸v)
⊥
. Khì do V = ¸v) ⊕ W
va dim(W) = n −1. 1hco gìa thìc t quì na p trong W ta tim duo c co
so tru c gìao, cha ng ha n (u
1
, . . . , u
n−1
). Ia t u
n
= v, hìc n nhìc n ta
co mo t co so tru c gìao cu a V la (u
1
, . . . , u
n−1
, u
n
).
Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) la co so tru c chua n cu a V . \o ì mo ì ca p
72
vc c to x =
n
i=1
x
i
e
i
va y =
n
i=1
y
i
e
i
cu a V ta co
¸x, y) = ¸
n
i=1
x
i
e
i
,
n
i=1
y
i
e
i
) =
n
i,j=1
x
i
y
j
¸e
i
, e
j
) =
n
i=1
x
i
y
i
.
1u do suy ra hc qua sau da y cu a I}nh ly b.2.
He qua 5.3. 8a o} ca c/ c/c o ca sa /ra c c/aa o B = (e
1
, . . . , e
n
) /rco}
//c o} }/ao /ac//d V /a cc p/e p da o} ca a saa da µ }/a a V ca //c o}
}/ao /ac//d R
n
ca / //c/ cc /aa o} c//o/ /a c.
ϕ
B
: V −→ R
n
x =
n
i=1
x
i
e
i
−→ (x
1
, . . . , x
n
).
Qua trình tru c giao ho a Cram-Schmidt
0ua Hc qua b.J ta tha y ra ng co thc do ng nha t mo t kho ng gìan
Luclìd n chìc u V vo ì kho ng gìan R
n
cu ng tích vo huo ng chính ta c.
1uy nhìc n khì do ca n pha ì xa y du ng duo c trong V mo t co so tru c
chua n. Iuo ì da y ta sc mo ta mo t thua t toa n cho phc p nha n duo c
mo t co so tru c gìao tu mo t co so ba t ky cu a V (nhu da no ì phía
trc n, tu mo t co so tru c gìao ta dc da ng nha n duo c co so tru c chua n).
No t thua t toa n nhu va y thuo ng duo c go ì la ¡aa /r/o/ /ra c }/ac /c a
Cram-Sc/m/d/.
Ð|nh ly 5.4. C/c (v
1
, . . . , v
p
) /a mc / /c ca c ce c /a dc c /a p /aµe o //o/
ca a //c o} }/ao /ac//d V ca W = ¸v
1
, . . . , v
p
) /a //c o} }/ao cco ca a
V s/o/ ba / ca c ce c /a oc / /re o. K// dc , /a ca c ce c /a v
1
, . . . , v
p
/a cc
//e va µ da o} mc / ca sa /ra c c/aa o c/c W.
7J
Nc / r/e o}, /a mc / ca sa ba / /µ ca a V /a cc //e va µ da o} daa c
mc / ca sa /ra c c/aa o ca a V .
Chu ng minh. Nhu da nha n xc t o trc n, ta chi ca n xa y du ng mo t co
so tru c gìao (u
1
, . . . , u
p
) cho W la du .
Ia t u
1
:= v
1
u
2
:= v
2
+ λu
1
, vo ì λ ∈ R sao cho u
2
⊥ u
1
.
\o ì dìc u kìc n na y ta co
0 = ¸u
2
, u
1
) = ¸v
2
+u
1
, u
1
) = ¸v
2
, u
1
) + λ¸u
1
, u
1
).
Io u
1
,= 0 nc n tu do suy ra
λ = −
¸v
2
, u
1
)
[[u
1
[[
2
.
1ìc p thco, tim u
3
duo ì da ng
u
3
= v
3
+λu
1
+μu
2
, vo ì λ, μ ∈ R sao cho u
3
⊥ u
1
va u
3
⊥ u
2
.
1im λ nhu sau:
0 = ¸u
3
, u
1
) = ¸v
3
+ λu
1
+ μu
2
, u
1
)
= ¸v
3
, u
1
) +λ[[u
1
[[
2
(do ¸u
2
, u
1
) = 0).
1u do suy ra λ = −
v
3
,u
1
||u
1
||
2
. Hoa n toa n tuong tu , nha n duo c
μ = −
v
3
,u
2
||u
2
||
2
.
Cìa su da tim duo c ca c vc c to tru c gìao u
1
, . . . , u
p−1
. 1a sc tim
74
vc c to u
p
duo ì da ng sau
u
p
= v
p
+ λ
1
u
1
+. . . +λ
p−1
u
p−1
.
1u dìc u kìc n u
p
= u
i
ta tim duo c λ
i
= −
vp,u
i
||u
i
||
2
. Nhu va y ta da
xa y du ng duo c mo t ho ca c vc c to tru c gìao (u − 1, . . . , u
p
). ßa y gìo
ta chi ca n chu ng mình
¸u
1
, . . . , u
p
) = ¸v
1
, . . . , v
p
).
1a co ¸u
1
) = ¸v
1
). Cìa su 1 < i ≤ p − 1 va ¸u
1
, . . . , u
i
) =
¸v
1
, . . . , v
i
). Khì do mo ì mo t vc c to u
k
(1 ≤ k ≤ i) dc u la to ho p
tuyc n tính cu a ca c vc c to v
1
, . . . , v
i
. 1hco ca ch xa y du ng thi u
i+1
la
to ho p tuyc n tính cu a ca c vc c to v
i+1
, u
1
, . . . , u
i
, do do u
i+1
cu ng la
to ho p tuyc n tính cu a ca c vc c to v
i+1
, v
1
, . . . , v
i
. 1a da chu ng mình
¸u
1
, . . . , u
i+1
) ⊆ ¸v
1
, . . . , v
i+1
).
Hoa n toa n tuong tu ta cu ng co
¸v
1
, . . . , v
i+1
) ⊆ ¸u
1
, . . . , u
i+1
).
Ví du 21. 1im mo t co so tru c chua n cu a kho ng gìan con W cu a R
4
sình ra bo ì ca c vc c to
v
1
= (1, 1, 0, 0), v
2
= (1, 0, −1, 1), v
3
= (0, 1, 1, 1).
(R
4
la kho ng gìan Luclìd vo ì tích vo huo ng chính ta c).
1ruo c hc t nha n xc t ra ng ca c vc c to v
1
, v
2
, v
3
do c la p tuyc n tính
nc n chu ng ta o tha nh mo t co so cu a W.
7b
Ia t u
1
:= v
1
u
2
:= v
2
+ λu
1
, vo ì λ = −
v
2
,u
1
||u
1
||
2
= −
1
2
. 1u do
u
2
= (1, 0, −1, 1) + (−
1
2
)(1, 1, 0, 0) =
1
2
(1, −1, −2, 2).
Nha n xc t ra ng nc u ta thay u
2
bo ì u
2
= αu
2
, α ∈ R thi ca c
vc c to u
1
va u
2
va n tru c gìao vo ì nhau. Io do ta co thc la y u
2
=
(1, −1, −2, 2). ßa y gìo tim u
3
duo ì da ng
u
3
= v
3
+ λu
1
+μu
2
,
vo ì λ = −
v
2
,u
1
||u
1
||
2
= −
1
2
va μ = −
v
3
,u
2
||u
2
||
2
= −
1
10
. Io do u
3
=
2
5
(−1, 1, 2, 3). 1uy nhìc n ta co thc la y u
3
= (−1, 1, 2, 3). 1ru c chua n
ho a co so (u
1
, u
2
, u
3
) ta nha n duo c co so tru c chua n sau cu a W:
(e
1
=
1
√
2
(1, 1, 0, 0), e
2
=
1
√
10
(1, −1, −2, 2), e
3
=
1
√
15
(−1, 1, 2, 3)).
¸6. Na tran cua dang song tuyen tính
Cho V la kho ng gìan vc c to n chìc u trc n truo ng K va
ϕ : V V −→K
la mo t da ng song tuyc n tính trc n V . Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t
7b
co so cu a V . \o ì ca c vc c to x =
n
i=1
x
i
e
i
va y =
n
i=1
y
i
e
i
, ta co
ϕ(x, y) =
n
i,j=1
x
i
y
j
ϕ(e
i
, e
j
).
\a y ϕ hoa n toa n xa c d}nh qua ca c gìa tr} ϕ(e
i
, e
j
). Ia t a
ij
=
ϕ(e
i
, e
j
) va go ì ma tra n vuo ng A = (a
ij
) ca p n la ma tra n bìc u dìc n
da ng song tuyc n tính ϕ trong co so B. 1a sc du ng ky hìc u [ϕ]
B
dc
chi ma tra n no ì trc n. \a y
[ϕ]
B
= (a
ij
), vo ì a
ij
= ϕ(e
i
, e
j
), ∀1 ≤ i, j ≤ n.
\í du , gìa su ϕ la da ng song tuyc n tính trc n kho ng gìan R
3
va
trong co so chính ta c B
0
bìc u thu c cu a ϕ la
ϕ(x, y) = 5x
1
y
1
−2x
2
y
2
+4x
3
y
3
+7x
1
y
2
+6x
1
y
3
−4x
3
y
1
+2x
2
y
3
+8x
3
y
2
.
Khì do ma tra n bìc u dìc n ϕ trong co so chính ta c la
[ϕ]
B
0
=
⎛
⎝
5 7 6
0 −2 2
−4 8 4
⎞
⎠
.
Hìc n nhìc n ϕ la da ng song tuyc n tính do ì xu ng khì va chi khì ma
tra n bìc u dìc n ϕ trong mo t co so na o do cu a V (da n dc n ma tra n
bìc u dìc n ϕ trong mo t co so ba t ky ) la ma tra n do ì xu ng.
Ne nh de 6.1. C/c ϕ /a mc / da o} sco} /aµe o //o/ /re o V, B =
(e
1
, . . . , e
n
) /a mc / ca sa ca a V, x, y ∈ V, A /a ma /ra o b/e a d/e o
77
ϕ, X, Y /aao} a o} /a /c a dc ca a x ca y /rco} ca sa B. K// dc
ϕ(x, y) = X
T
AY.
Chu ng minh. Ic da ng kìc m tra tru c tìc p.
Nc u ¸, ) la tích vo huo ng chính ta c trong R
n
thi
¸x, y) = x
1
y
1
+ . . . + x
n
y
n
.
1u do suy ra ¸, )
B
0
= I
n
la ma tra n don v} ca p n. 1o ng qua t hon,
ta co tính cha t sau da y.
Ne nh de 6.2. Trco} //c o} }/ao /ac//d V , ca sa B = (e
1
, . . . , e
n
) /a
/ra c c/aa o oe a ca c// oe a ¸, )
B
= I
n
.
Chu ng minh. B tru c chua n nc u va chi nc u ¸x, y) = x
1
y
1
+. . .+x
n
y
n
.
Nhung dìc u cuo ì cu ng tuong duong vo ì ¸, )
B
= I
n
.
1rong Nc nh dc b.1 bìc u thu c cu a da ng song tuyc n tính ϕ duo c
vìc t tho ng qua vìc c cho n co so B. Khì do co ng thu c tính ϕ(x, y) la
ϕ(x, y) = X
T
AY,
trong do A la ma tra n bìc u dìc n ϕ trong co so B. Nc u ta cho n mo t co
so B
na o kha c thi ma tra n A
bìc u dìc n ϕ trong co so B
ta t nhìc n
sc thay do ì. 1uy nhìc n ca c ma tra n A va A
co mo ì lìc n hc ma t thìc t
vo ì nhau.
Ne nh de 6.3. C/c V /a //c o} }/ao ce c /a n c//e a /re o K, B ca B
/a /a/ ca sa ca a V . C/a sa A ca A
/aao} a o} /a ca c ma /ra o b/e a
d/e o ϕ /rco} ca c ca sa B ca B
. K// dc
A
= P
T
AP,
78
/rco} dc P /a ma /ra o c/aµe o ca sa /a B sao} B
.
Chu ng minh. \o ì x, y ∈ V , go ì X, X
, Y, Y
la to a do cu a x, y tuong
u ng trong ca c co so B va B
. 1a co X = PX
va Y = PY
. Io do
ϕ(x, y) = X
T
AY = (PX
)
T
A(PY
) = X
T
(P
T
AP)Y
.
Na t kha c, ϕ(x, y) = X
T
A
Y
, nc n ta co
X
T
(P
T
AP)Y
= X
T
A
Y
, ∀X
, Y
.
1u do suy ra A
= P
T
AP. (Xcm ßa ì ta p).
Ví du 22. Cho (e
1
, e
2
) la co so chính ta c cu a R
2
. Co ì A
la ma
tra n bìc u dìc n tích vo huo ng chính ta c trong co so B = (e
1
= 2e
1
+
3e
2
, e
2
= −8e
1
+ 5e
2
). Khì do A
= P
T
I
2
P. 1a co P = (B
0
−→
B) =
_
2 −8
3 5
_
. 1u do suy ra
A
= P
T
P =
_
2 3
−8 5
__
2 −8
3 5
_
=
_
13 −1
−1 89
_
.
\a y, ¸x, y) = 13x
1
y
1
−x
1
y
2
−x
2
y
1
+ 89x
2
y
2
.
¸7. Nhom truc giao
Nu c dích cu a tìc t na y la nghìc n cu u nhu ng toa n tu tuyc n tính
cu a mo t kho ng gìan Luclìd ba o toa n chua n cu a ca c vc c to, nghia la
nghìc n cu u nhu ng f ∈ End
R
(V ) sao cho [[f(x)[[ = [[x[[.
79
Ð|nh nghía 7.1. Cho V la mo t kho ng gìan Luclìd va f ∈ End
R
(V ).
1a no ì f la mo t /ca o /a /ra c }/ac nc u
¸f(x), f(y)) = ¸x, y), ∀x, y ∈ V.
Ne nh de 7.2. Ðc / ca / /ca o /a /aµe o //o/ f ∈ End
R
(V ) o/a o} d/e a
//e o daa / da µ /aao} daao}.
//ï ¸f(x), f(y)) = ¸x, y), ∀x, y ∈ V.
///ï [[f(x)[[ = [[x[[, ∀x ∈ V .
////ï Ne a B = (e
1
, . . . , e
n
) /a mc / ca sa /ra c c/aa o ca A = [f]
B
/// A
A = I
n
= AA
. Nc / r/e o}, A /a ma /ra o //a o}//c/ ca
detA = ±1.
Chu ng minh. (ì) =⇒ (ìì). Chi vìc c cho x = y.
(ìì) =⇒ (ì). Su du ng co ng thu c (J) trong $3, ta co
¸f(x), f(y)) =
1
2
([[f(x) +f(y)[[
2
−[[f(x)[[
2
− [[f(y)[[
2
)
=
1
2
([[f(x + y)[[
2
− [[f(x)[[
2
−[[f(y)[[
2
)
=
1
2
([[x + y[[
2
−[[x[[
2
−[[y[[
2
) = ¸x, y).
(ì) ⇐⇒ (ììì). 1rong co so tru c chua n B ta co
¸f(x), f(y)) = ¸x, y), ∀x, y ∈ V
⇐⇒(AX)
(AY ) = X
Y, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R)
⇐⇒X
(A
A)Y = X
Y, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R)
80
⇐⇒A
A = I
n
.
Pha n kha ng d}nh co n la ì cu a (ììì) la hìc n nhìc n.
He qua 7.3. Ne a f /a mc / /ca o /a /ra c }/ac /// detf = ±1. Nc /
r/e o}, f /a mc / /a da o} ca a.
Ne nh de 7.4. f ∈ End
R
(V ) /a mc / /ca o /a /ra c }/ac /// ca c// ///
oc b/e o mc / ca sa /ra c c/aa o //a o/ mc / ca sa /ra c c/aa o. Ðe f //c a
//o/ c/a / oc / /re o /// d/e a //e o da /a /c o /a / mc / ca sa /ra c c/aa o
sac c/c f b/e o oc //a o/ mc / ca sa /ra c c/aa o.
Chu ng minh. Cìa su f la mo t toa n tu tru c gìao. 1hco Hc qua
7.J, f la mo t tu da ng ca u, do do f bìc n co so tha nh co so . Nc u
B = (e
1
, . . . , e
n
) la co so tru c chua n thi
¸f(e
i
), f(e
j
)) = ¸e
i
, e
j
)) = δ)
ij
.
\a y (f(e
1
), . . . , f(e
n
)) cu ng la co so tru c chua n.
Nguo c la ì, gìa su to n ta ì co so tru c chua n B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho
(f(e
1
), . . . , f(e
n
)) cu ng la co so tru c chua n. Xc t ca c vc c to x, y ∈ V :
x =
n
i=1
x
i
e
i
va y =
n
j=1
y
j
e
j
.
Io (e
1
, . . . , e
n
) va (f(e
1
), . . . , f(e
n
)) la ca c co so tru c chua n nc n
ta co
¸f(x), f(y)) = ¸
n
i=1
x
i
e
i
,
n
j=1
y
j
e
j
)
81
=
n
i,j=1
x
i
y
j
¸f(e
i
), f(e
j
))
=
n
i,j=1
x
i
y
j
δ
ij
=
n
i=1
x
i
y
i
= ¸x, y).
\a y f la phc p bìc n do ì tru c gìao.
Ð|nh nghía 7.5. (a) 1a p ho p
O(n, R) := ¦A ∈ M
n
(R) [ A
A = I
n
¦
la mo t nho m do ì vo ì phc p nha n va duo c go ì la o/c m /ra c }/ac.
(b) 1a p ho p
SO(n, R) := ¦A ∈ O(n, R) [ detA = 1¦
la nho m con cu a O(n, R) va duo c go ì la o/c m /ra c }/ac da c b/e / hay
o/c m ca c p/e p ¡aaµ.
No ì ma tra n A ∈ O(n, R) duo c go ì la mo t ma /ra o /ra c }/ac. No ì
ma tra n tru c gìao dc u bìc u dìc n mo t toa n tu tru c gìao trong mo t co
so tru c chua n cu a mo t kho ng gìan Luclìd.
Ví du 23. Na tra n
A =
1
3
⎛
⎝
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
⎞
⎠
82
la ma tra n tru c gìao. 1a co thc kìc m tra dìc u na y ba ng ca ch thu c
hìc n phc p nha n ma tra n
A
A = I
3
.
Nhung ta cu ng co thc kìc m tra ba ng ca ch kha c nhu sau:
Xc t kho ng gìan Luclìd R
3
vo ì tích vo huo ng chính ta c. Ia t u
1
=
1
3
(2, 2, −1), u
2
=
1
3
(−1, 2, 2), u
3
=
1
3
(2, −1, 2). 1oa n tu
f : R
3
−→R
3
tho a f(e
i
) = u
i
, i ∈ ¦1, 2, 3¦ bìc n co so tru c chua n tha nh co so tru c
chua n nc n thco Nc nh dc 7.4, f la toa n tu tru c gìao. Na A la ma tra n
bìc u dìc n f trong co so tru c chua n nc n A la ma tra n tru c gìao.
Ne nh de 7.6. Ha /ra o c/aµe o ca sa /a mc / ca sa /ra c c/aa o sao}
mc / ca sa /ra c c/aa o /a mc / ma /ra o /ra c }/ac.
Chu ng minh. Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) va B
= (e
1
, . . . , e
n
) la haì co
so tru c chua n. 1o an tu f : R
n
−→ R
n
tho a f(e
i
) = e
i
, ∀i ∈ 1, n la
toa n tu tru c gìao (thco Nc nh dc 7.4) co ma tra n bìc u dìc n trong co
so B la ma tra n chuyc n co so tu B sang B
.
¸8. Nhom O(2, R)
Cho ma tra n A =
_
a b
c d
_
∈ M
2
(R). Ia t u = (a, c), b = (b, d).
1a co thc xcm A nhu ma tra n bìc u dìc n cu a phc p bìc n do ì tuyc n tính
8J
f : R
2
−→ R
2
vo ì f(e
1
) = u va f(e
2
) = v, trong do B
0
= (e
1
, e
2
)
la co so chính ta c. 1a da bìc t A la ma tra n tru c gìao khì va chi khì
B = (u, v) la co so tru c chua n. Nhung dìc u na y xa y ra khì va chi khì
a, b, c, d tho a hc phuong trinh
⎧
⎨
⎩
a
2
+c
2
= 1;
b
2
+ d
2
= 1;
ab +cd = 0
.
1u phuong trinh thu nha t suy ra to n ta ì θ ∈ R sao cho
a = cos θ, c = sin θ.
1uong tu , tu phuong trinh thu haì suy ra to n ta ì ϕ ∈ R sao cho
b = cos ϕ, d = sinϕ.
Cuo ì cu ng ta co
ab + cd = 0 ⇐⇒cos θ cos ϕ + sin θ sinϕ = 0
⇐⇒cos(θ −ϕ) = 0 ⇐⇒ϕ −θ = (2k + 1)
π
2
.
1u do suy ra
b = cos(θ + (2k + 1)
π
2
) = (−1)
k+1
sin θ;
d = sin(θ + (2k + 1)
π
2
) = (−1)
k
cos θ.
84
\a y, A ∈ O(2, R) khì va chi khì
A =
_
cos θ (−1)
k+1
sinθ
sinθ (−1)
k
cos θ
_
.
Io detA = (−1)
k
nc n A ∈ SO(2, R) khì va chi khì k la so cha n.
\a y, to m la ì ta da chu ng mình duo c mc nh dc sau da y:
Ne nh de 8.1. C/c A ∈ O(2, R). K// dc .
//ï Ne a A ∈ SO(2, R) ///
A =
_
cos θ −sinθ
sin θ cos θ
_
/l/e p ¡aaµ mc / }c c θ ¡aao/ /a m Oï.
///ï Ne a A ,∈ SO(2, R) ///
_
cos θ sinθ
sin θ −cos θ
_
.
Trco} /raa o} /a p oa µ A b/e a d/e o mc / /ca o /a f /a /a p oc / ca a
mc / p/e p dc / va o} ¡aa /ra c /c ao/ ca mc / p/e p ¡aaµ ¡aao/ }c c /c a
dc mc / }c c θ.
¸9. Nhom O(3, R)
8b
Ð|nh ly 9.1. C/c A ∈ SO(3, R) ca f /a /ca o /a /ra c }/ac /rco}
//c o} }/ao /ac//d R
3
sac c/c A /a ma /ra o b/e a d/e o f /rco} ca sa
/ra c c/aa o B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
). K// dc /c o /a / mc / ca sa /ra c c/aa o
B = (u
1
, u
2
, u
3
) ca a R
3
sac c/c
A
= [f]
B
=
⎛
⎝
cos θ −sinθ 0
sin θ cos θ 0
0 0 ε
⎞
⎠
,
/rco} dc ε = 1 oe a detA = 1, o}//a /a oe a A ∈ SO(3, R) ca ε = −1
oe a detA = −1, o}//a /a oe a A ,∈ SO(3, R).
Chu ng minh. Nc u A = I
3
thi la y B = B
0
va θ = 0 ta co dìc u ca n
chu ng mình. Nc u A = −I
3
thi la y B = B
0
va θ = π ta cu ng co dìc u
ca n chu ng mình. \a y, tu da y vc sau ta co thc gìa thìc t A ,= ±I
3
.
\ìc c chu ng mình d}nh ly duo c hoa n tha nh qua mo t so bo dc ma ta
sc la n luo t pha t bìc u va chu ng mình phía duo ì.
Bo de 9.2. Ne a λ /a mc / /r/ r/e o} //a c ca a A /// λ = ±1.
Chu ng minh. Cìa su v la vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ. 1a co
[[f(v)[[ = [[λv[[ = λ
2
[[v[[ = [[v[[ =⇒λ = ±1.
Bo de 9.3. //ï Ne a detA = 1 /// λ = 1 /a /r/ r/e o} dao /ca c bc / 3,
///ï oe a detA = −1 /// λ = −1 /a /r/ r/e o} dao /ca c bc / 3.
Chu ng minh. (ì) Cìa su detA = 1. Co ì λ
1
, λ
2
, λ
3
la ta t ca ca c
nghìc m cu a da thu c da c trung P
A
(λ) trong truo ng so phu c C. Nc u
ta t ca ca c λ
i
dc u la ca c so thu c thi thco ßo dc 9.2, λ
i
= ±1. Nhung
8b
detA = λ
1
λ
2
λ
3
= 1 nc n chi co mo t trong haì kha na ng co thc xa y
ra: λ
1
= 1, λ
2
= λ
3
= −1 hoa c λ
1
= λ
2
= λ
3
= 1.
Cìa su P
A
(λ) co nghìc m phu c, μ cha ng ha n. Khì do μ cu ng la
nghìc m cu a P
A
(λ). Io do detA = λ
1
μμ, trong do λ
1
la tr} rìc ng thu c
cu a A. 1hco ßo dc 9.2, λ
1
= ±1. \i detA = 1 = λ
1
μμ va μμ > 0
nc n suy ra λ
1
= 1.
(ìì) 1ruo ng ho p na y duo c chu ng mình hoa n toa n tuong tu .
Bo de 9.4. Ne a dctA = 1 /// dimE(1) = 1. Ne a dctA = −1 ///
dimE(−1) = 1.
Chu ng minh. 1a chi xc t truo ng ho p dctA = 1. 1ruo ng ho p dctA =
−1 duo c chu ng mình ho an toa n tuong tu . \a y, ga ì su dctA = 1.
Khì do , thco ßo dc 9.J, λ = 1 la tr} rìc ng don hoa c bo ì 3. Nc u
dimE(1) = 3 thi E(1) = R
3
, kc o thco A = I
3
, tra ì vo ì gìa thìc t. Cìa
su dimE(1) = 2. Khì do λ = 1 la tr} rìc ng bo ì 3. Co ì (v
1
, v
2
) la mo t
co so cu a E(1) va 0 ,= ω ∈ E(1)
⊥
. 1a co
¸f(ω), v
i
) = ¸f(ω), f(v
i
)) = ¸ω, v
i
) = 0, i = 1, 2.
Io do f(ω) ∈ E(1)
⊥
, nghia la f(ω) ∈ ¸ω). \a y, to n ta ì μ ∈ R
sao cho f(ω) = μω, nghia la μ la tr} rìc ng thu c cu a f. Io do , thco
ßo dc 9.J, μ = 1 va f(μ) = μ, nghia la μ ∈ E(1), suy ra μ = 0 la
dìc u ma u thua n. \a y, dimE(1) = 1.
Bo de 9.5. Ne a dctA = 1 //aao} a o}, dctA = −1ï /// ma / p/a o}
π = E(1)
⊥
//aao} a o}, π = E(−1)
⊥
ï ba / b/e o dc / ca / f ca /a o c/e
f /e o π /a mc / p/e p ¡aaµ.
Chu ng minh. Cìa su dctA = 1, E(1) = ¸ω) va π = E(1)
⊥
. ∀x ∈ π ta
co ¸x, ω) = 0, suy ra ¸f(x), f(ω)) = ¸f(x), ω) = 0. Io do f(x) ∈ π,
nghia la π ba t bìc n do ì vo ì f. Nc u dctA = −1 thi chu ng mình hoa n
87
toa n tuong tu . ßa y gìo da t
∼
f= f[
π
la ha n chc cu a f lc n ma t pha ng
π. Hìc n nhìc n
∼
f la toa n tu tru c gìao trong kho ng gìan π. 1a chu ng
mình dct
∼
f= 1. Co ì (v
1
, v
2
) la co so cu a π. Khì do B = (v
1
, v
2
, ω)
la co so cu a R
3
va
[f]
B
=
⎛
⎝
a b 0
c d 0
0 0 ε
⎞
⎠
,
trong do
_
a b
c d
_
= [
∼
f]
(v
1
,v
2
)
.
Nc u dctA = 1 thi ω ∈ E(1), kc o thco ε = 1. Nc u dctA = −1 thi
ω ∈ E(−1), kc o thco ε = −1. Io do dctA = ε. Na t kha c,
dctA =
¸
¸
¸
¸
¸
¸
a b 0
c d 0
0 0 ε
¸
¸
¸
¸
¸
¸
=
¸
¸
¸
¸
a b
c d
¸
¸
¸
¸
ε =
¸
¸
¸
¸
a b
c d
¸
¸
¸
¸
dctA.
Io do dctA = 1 hay
∼
f la phc p quay.
Ic n da y ta tha y ßo dc da duo c chu ng mình xong. I}nh ly 9.1
nho do cu ng da duo c chu ng mình hoa n toa n.
1rong ca c chu ng mình vu a trinh ba y ta nha n tha y ra ng, nc u
dctA = 1 thi f la mo t phc p quay quanh tru c E(1). \i vc t cu a ma
tra n kho ng thay do ì khì ta thay do ì co so nc n go c θ cu a phc p quay
88
duo c xa c d}nh tu co ng thu c
TrA = 2 cos θ + 1.
Nc u dctA = −1 thi pha n tích ma tra n A nhu sau:
A =
⎛
⎝
cos θ −sinθ 0
sin θ cos θ 0
0 0 −1
⎞
⎠
=
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
⎞
⎠
⎛
⎝
cos θ −sinθ 0
sinθ cos θ 0
0 0 1
⎞
⎠
.
1a tha y f la ho p no ì cu a mo t phc p quay quanh tru c E(−1) mo t
go c θ va mo t phc p do ì xu ng tru c gìao qua ma t pha ng π = E(−1)
⊥
.
Co c quay θ duo c xa c d}nh tu co ng thu c
TrA = 2 cos θ − 1.
Nhu ng dìc u vu a no ì o trc n co thc to ng kc t tha nh mo t d}nh ly duo ì
da y:
Ð|nh ly 9.6. C/c A ∈ O(3, R), A,= ±I
3
. K// dc .
//ï Ne a dctA = 1 /// A /a ma /ra o b/e a d/e o /rco} ca sa c//o/
/a c ca a R
3
ca a mc / p/e p ¡aaµ ¡aao/ /ra c E(1) mc / }c c θ ma }/a
/r/ ca a oc daa c va c d/o/ /a cc o} //a c
TrA = 2 cos θ + 1.
///ï Ne a dctA = −1 /// A /a ma /ra o b/e a d/e o /rco} ca sa c//o/
/a c ca a R
3
ca a /a p oc / mc / p/e p ¡aaµ ¡aao/ /ra c E(−1) mc / }c c
θ ca mc / p/e p dc / va o} /ra c }/ac ¡aa ma / p/a o} π = E(−1)
⊥
. C/a
/r/ ca a }c c θ daa c va c d/o/ /a cc o} //a c
TrA = 2 cos θ − 1.
89
No ì rìc ng, nc u trong I}nh ly 9.b, TrA = 1 thi θ = 0. Khì do A
bìc u dìc n mo t phc p do ì xu ng tru c gìao qua ma t pha ng E(−1)
⊥
. No t
phc p do ì xu ng tru c gìao nhu va y duo c go ì la mo t p/e p p/a o va .
¸10. Cheo hoa toan tu tu lien hop trong
khong gian Fuclid
1a kc t thu c chuong na y ba ng mo t u ng du ng quan tro ng cu a tích
vo huo ng. Cu thc ta sc chu ng mình ra ng mo ì ma tra n do ì xu ng thu c
dc u chc o ho a duo c trc n R.
Ð|nh nghía 10.1. 1a no ì toa n tu f trong kho ng gìan Luclìd V la
mo t /ca o /a dc / va o} hay /ca o /a /a //e o /a p nc u
¸f(x), y) = ¸x, f(y)), ∀x, y ∈ V.
Ic tha y y nghia cu a kha ì nìc m toa n tu do ì xu ng, ta ha y xc t mo t
co so tru c chua n (e
1
, . . . , e
n
) cu a V . Cìa su A la ma tra n cu a f trong
co so no ì trc n. Iìc u kìc n nc u trong I}nh nghia 10.1 duo c vìc t duo ì
da ng ma tra n nhu sau:
(AX)
T
Y = X
T
AY, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R)
hay
X
T
A
T
Y = X
T
AY, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R).
Iìc u na y da n dc n A
T
= A hay A la ma tra n do ì xu ng.
\a y f la toa n tu do ì xu ng khì va chì khì ma tra n bìc u dìc n f trong
mo t co so tru c chua n (do do trong mo ì co so tru c chua n) la ma tra n
do ì xu ng.
90
Ð|nh ly 10.2. C/c f /a /ca o /a dc / va o} /rco} //c o} }/ao /ac//d.
K// dc /a cc o/a o} d/e a saa da µ.
//ï Hc / /r/ r/e o} ca a f de a /a sc //a c.
///ï f c/e c /c a daa c.
////ï Ca c //c o} }/ao cco r/e o} ca a f dc / mc / /ra c }/ac ca / o/aa.
Chu ng minh. (ì) Co ì A la ma tra n bìc u dìc n toa n tu f trong mo t co
so tru c chua n. Khì do , thco nha n xc t phía trc n thi A la ma tra n do ì
xu ng thu c. Xc t da thu c da c trung P
A
(t) va go ì λ la mo t nghìc m ba t
ky trong C cu a no . Khì do hc phuong trinh tuyc n tính thua n nha t
(A−λI
n
)X = 0 (1)
co nghìc m kho ng ta m thuo ng X ∈ M
n×1
(C). Cìa su
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
. Ia t
X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, trong do x
i
la so phu c lìc n ho p cu a x
i
. Khì do
X
T
X =
n
i=1
x
i
x
i
=
n
i=1
[x
i
[
2
> 0.
1a co
AX = λX =⇒AX = λX =⇒AX = λX =⇒AX = λX. (2)
91
\i A
T
= A nc n ta co
(AX)
T
X = X
T
A
T
X = X
T
(AX). (3)
Kc t ho p (1), (2) va (J), nha n duo c
(λX)
T
X = X
T
(λX).
1u do suy ra
λ(X
T
X) = λ(X
T
X).
Nhung nhu ta da tha y X
T
X la mo t so thu c duong nc n tu da ng
thu c cuo ì cu ng suy ra λ = λ, nghia la λ ∈ R.
(ìì) 1a sc chu ng mình dìc u kha ng d}nh ba ng quì na p thco so chìc u
n cu a V ra ng to n ta ì trong V mo t co so go m toa n ca c vc c to rìc ng.
Nc u n = 1 thi kho ng co gi dc chu ng mình. \a y, gìa su n > 1 va dc ìu
kha ng d}nh du ng do ì vo ì nhu ng kho ng gìan co so chìc u ba ng n − 1.
Xc t mo t tr} rìc ng α cu a f va x la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ.
Ia t H := ¸x)
⊥
. Khì do dim(H) = n −1. 1ruo c hc t ta chu ng mình
H la kho ng gìan con ba t bìc n do ì vo ì f. 1ha t va y, ∀y ∈ H, ta co
¸x, f(y)) = ¸f(x), y) = ¸λx, y) = λ¸x, y) = 0,
nghia la f(y) ∈ H. Io f la kho ng gìan con ba t bìc n do ì vo ì f nc n
˜
f := f[
H
la toa n tu tuyc n tính trong kho ng gìan Luclìd H. Hon nu a,
hìc n nhìc n
˜
f cu ng la toa n tu do ì xu ng. \a y, thco gìa thìc t quì na p,
toa n tu
˜
f chc o hoa duo c. Suy ra to n ta ì mo t co so B cu a H go m toa n
ca c vc c to rìc ng cu a
˜
f (cu ng la cu a f). Khì do ¦x¦ ∪ B la mo t co so
cu a V go m toa n ca c vc c to rìc ng cu a f. \a y f chc o ho a duo c.
(ììì) Cìa su μ ,= λ la haì tr} rìc ng kha c nhau cu a f, x la vc c to
rìc ng u ng vo ì λ, y la vc c to rìc ng u ng vo ì μ. Khì do
¸f(x), y) = ¸x, f(y))
92
=⇒¸λx, y) = ¸x, μy)
=⇒λ¸x, y) = μ¸x, y)
=⇒¸x, y) = 0.
Cuo ì cu ng luu y ra ng mo t ma tra n phu c do ì xu ng kho ng nha t
thìc t chc o ho a duo c trc n R hoa c tha m chí trc n C. Sau da y la mo t ví
du mình ho a.
Ví du 24. A =
_
0 α
α β
_
, vo ì α, β ∈ C. 1a co
P
A
(λ) = [A−λI
2
[ =
¸
¸
¸
¸
−λ λ
λ β − λ
¸
¸
¸
¸
= λ
2
−βλ − α
2
.
Nc u Δ = β
2
+4α
2
= 0 (la dìc u co thc xa y ra do ì vo ì ca c so phu c
α va β) thi P
A
(λ) co mo t nghìc m kc p λ =
β
2
. Khì do P
A
(λ) =
_
λ −
β
2
_
2
. \a y A chc o ho a duo c khì va chi khì m
A
(λ) = λ −
β
2
.
Nhung khì do m
A
(A) = A −
β
2
I
2
= 0, suy ra A =
β
2
I
2
la dìc u ma u
thua n. \a y A kho ng chc o ho a duo c.
Bai tap
Ba i 1. \o ì gìa tr} na o cu a λ ∈ R ca c da ng song tuyc n tính duo ì da y
trc n R la mo t tích vo huo ng:
9J
(a) f(x, y) = x
1
y
1
+ 10x
2
y
2
+ 6x
1
y
2
+λx
3
y
3
−x
2
y
3
−x
3
y
2
.
(b) f(x, y) = 2x
1
y
1
+7x
1
y
2
+7x
2
y
1
+8x
2
y
2
−3x
3
y
3
+λx
2
y
3
+
λx
3
y
2
.
Ba i 2. Cho S la mo t ta p ho p ba t ky . 1a no ì a nh xa
d : S S −→R
+
:= ¦x ∈ R[x ≥ 0¦
la mo t //ca o} ca c/ /rco} S nc u no tho a ma n ca c tính cha t:
(a) d(x, y) = 0 ⇐⇒x = y;
(b) d(x, y) = d(y, x);
(c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
1) Chu ng mình ra ng, nc u V la mo t kho ng gìan Luclìd thi a nh xa
d : V V −→R
+
xa c d}nh bo ì d(u, v) = [[u − v[[ la mo t khoa ng ca ch trong V . 1a go ì
no la //ca o} ca c/ //e o /e / ca / c/aa o.
2) Cu thc ho a khoa ng ca ch na y do ì vo ì kho ng gìan Luclìd R
3
vo ì
tích vo huo ng chính ta c.
Ba i 3. Cho W la kho ng gìan con cu a kho ng gìan Luclìd V . Ia t
p
W
: V −→W la phc p chìc u tru c gìao tu V xuo ng W.
(a) Chu ng mình ra ng, nc u v ∈ V tho a ma n w = p
W
(v) ,= 0 thi
w la mo t trong nhu ng vc c to cu a W ta o vo ì v mo t go c nho nha t.
(b) \o ì v ∈ V , //c ao} ca c/ tu v dc n W duo c d}nh nghia nhu
sau:
d(v, W) = inf
w∈W
d(v, w).
Chu ng mình ra ng d(v, W) = [[v − p
W
(v)[[.
94
Ba i 4. Cho V la kho ng gìan Luclìd va p
W
la phc p chìc u tru c gìao
tu V lc n kho ng gìan con W. Chu ng mình ra ng, nc u (u
1
, . . . , u
m
) la
mo t co so tru c chua n cu a W thi
p
W
(v) = ¸v, u
1
)u
1
+. . . +¸v, u
m
)u
m
.
Ba i 5. \o ì n ≥ 0, xc t tích pha n suy ro ng
I
n
=
1
√
2π
_
∞
−∞
x
n
e
−
x
2
2
dx.
(a) Chu ng mình ra ng tích pha n na y luo n ho ì tu va I
2k+1
= 0, ∀k ≥
0.
(b) Chu ng mình co ng thu c truy ho ì
I
n
= (n −1)I
n−2
, ∀n ≥ 2.
A p du ng dc tính I
2k
.
(c) I}nh nghia a nh xa
¸, ) : R[x] R[x] −→R
nhu sau:
∀P, Q ∈ R[x], ¸P, Q) =
1
√
2π
_
∞
−∞
e
−
x
2
2
P(x)Q(x)dx.
Chu ng mình ra ng a nh xa no ì trc n la mo t tích vo huo ng.
9b
(d) Xc t kho ng gìan con R
2
[x] cu a R[x]. Ha y tính khoa ng ca ch tu
x
3
dc n R
2
[x].
Ba i 6. Cho φ la da ng song tuyc n tính trc n R
4
ma bìc u thu c trong co
so chính ta c duo c vìc t nhu sau:
ϕ(x, y) = x
1
y
1
+2x
2
y
2
+4x
3
y
3
+18x
4
y
4
+x
1
y
3
+x
3
y
1
+2x
2
y
4
+2x
4
y
2
+ 6x
3
y
4
+ 6x
4
y
3
.
(a) Chu ng mình ra ng φ la mo t tích vo huo ng trong R
4
.
(b) \ìc t ma tra n bìc u dìc n φ trong co so chính ta c.
(c) Cho W la kho ng gìan con cu a R
4
xa c d}nh bo ì hc phuong
trinh tuyc n tính thua n nha t
_
x
1
− x
2
+ x
3
−x
4
= 0;
x
2
−2x
4
= 0.
Ha y tim mo t co so cu a W
⊥
.
Ba i 7. 1rong kho ng gìan Luclìdc vo ì tích trong tho ng thuo ng cho ca c
vc c to u
1
= (2, 1, −2, 4), u
2
= (−2, 1, −1, −6), u
3
= (−2, 3, −4, −8).
Co ì W = ¸u
1
, u
2
, u
3
) la kho ng gìan con cu a R
4
sình ra bo ì ca c vc c
to u
1
, u
2
, u
3
va W
⊥
la kho ng gìan con cu a R
4
tru c gìao vo ì W.
(a) 1im mo t co so cho mo ì kho ng gìan con W va W
⊥
.
(b) Cho u = (5, 5, −3, 1) ∈ R
4
. 1im hinh chìc u tru c gìao pr
W
(u)
cu a u xuo ng W va khoa ng ca ch d(u, W) tu u dc n W.
Ba i 8. Cho A ∈ O(n, R). Chu ng mình ra ng, nc u detA = 1 thi mo ì
pha n tu a
ij
cu a A dc u ba ng pha n bu da ì so cu a no .
Ba i 9. Cho f la mo t phc p bìc n do ì tru c gìao trong kho ng gìan Luclìd
9b
V .
(a) Chu ng mình ra ng Ker(f −Id
V
) = Im(f −Id
V
)
⊥
.
(b) Chu ng mình ra ng, nc u (f − Id
V
)
2
= 0 thi f = Id
V
.
Ba i 10. Xa y du ng mo t co so tru c chua n cu a R
3
tu ca c vc c to rìc ng
cu a toa n tu f : R
3
−→ R
3
co ma tra n bìc u dìc n trong co so chính
ta c la
A =
⎛
⎝
5 −1 2
−1 5 2
2 2 2
⎞
⎠
.
Ba i 11. 1oa n tu f : R
3
−→R
3
co ma tra n trong co so chính ta c la
A =
1
3
⎛
⎝
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
⎞
⎠
.
Ha y chu ng mình ra ng f la toa n tu tru c gìao trong kho ng gìan
Luclìd R
3
vo ì tích vo huo ng chính ta c.
97
Chí muc
chua n, bb
co so tru c chua n, 72
co so tru c gìao, 72
co so xyclìc, 4b
da ng chính ta c Jordan, 4J
da ng ru t go n Causs, bJ
da ng song tuyc n tính, b7
da y Iìbonacìì, 20
kho ì Jordan, 44
kho ng gìan con rìc ng, 11
kho ng gìan con tru c gìao, b9
kho ng gìan con da c trung, JJ
kho ng gìan Luclìd, b8
kho ng gìan Hìlbcrt, b8
lình ho a tu , b9
ma tra n tam gìa c duo ì, 2J
ma tra n tam gìa c trc n, 2J
ma tra n tru c gìao, 82
nho m ca c phc p quay, 82
nho m tru c gìao, 82
nho m tru c gìao da c bìc t, 82
phc p pha n xa , 90
qua trinh tru c gìao ho a Cram-
Schmìdt, 7J
toa n tu tru c gìao, 8J
toa n tu tru c gìao, 80
toa n tu xyclìc, 4b
toa n tu do ì xu ng, 90
tru c gìao, b8
ti lc va ng, 22
tích vo huo ng, b7
tích vo huo ng chính ta c, b8
I}nh ly Hamìlton - Callcy, 29
da thu c to ì tìc u, Jb
da thu c trìc t tìc u, 28, 29
98

X-Served-By: cache, cache-dca17743-DCA

Set-Cookie: stg=136; Domain=.scribd.com; Path=/; Expires=Thu, 18-May-28 17:08:25 GMT

X-Page-Type: docview

X-Cache: MISS, MISS

Via: 1.1 varnish

Cache-Control: no-cache

Vary: Accept-Encoding, User-Agent


markdown: tanhienicm

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

X-Wix-Server-Artifact-Id: wix-public-war

Connection: close

X-Forwarded-Proto: https

Pragma: no-cache

Vary: User-Agent

Content-Language: en


markdown:
[Máy Chạy Bộ](/may-chay-bo/) [Xe Đạp Tập Thể Dục](/may-tap-the-duc/xe-dap-the-duc/) [Máy Tập Cơ Bụng](/may-tap-the-duc/may-tap-co-bung/) [Dụng Cụ Tập Gym](/dung-cu-the-hinh/) [Dụng Cụ Phòng Tập](/dung-cu-phong-tap/) [Bàn Bóng Bàn](/mon-bong-ban/ban-bong-ban/) [Kính Bơi](/mon-boi-loi/kinh-boi/) [Danh mục khác](/danh-muc-san-pham-khac/) [Máy Tập Thể Dục](/may-tap-the-duc/) [Dụng Cụ Tập Yoga](/dung-cu-tap-yoga/) [Dụng Cụ Võ Thuật](/dung-cu-vo-thuat-the-luc/) [Thiết Bị Dạy Học](/thiet-bi-day-hoc/) [Dụng Cụ Tập Thể Dục Thẩm Mỹ](/cham-soc-tham-my/) [Dụng Cụ Bóng Đá](/mon-bong-da/) [Dụng Cụ Bóng Bàn](/mon-bong-ban/) [Dụng Cụ Bóng Chuyền](/mon-bong-chuyen/) [Môn Cầu Lông](/mon-cau-long/) [Dụng Cụ Bóng Rổ](/mon-bong-ro/) [Dụng Cụ Tennis](/mon-tennis/) [Dụng Cụ Bơi Lội](/mon-boi-loi/) [Dụng Cụ Môn Bóng Chày](/dung-cu-mon-bong-chay/) [Dụng Cụ Thể Thao Ngoài Trời](/dung-cu-the-thao-ngoai-troi/) [Cúp và Huy Chương](/cup-va-huy-chuong/) [Kỷ Niệm Chương](/ky-niem-chuong/) [Bảng Điểm](/bang-diem/) [Giày Trượt Patin](/giay-truot-patin/) [Ghế Khán Đài](/ghe-khan-dai/) [Thi Công Sân Thể Thao](/mat-san-bai/)
-

P3P: CP="CAO DSP COR CURa ADMa DEVa OUR IND PHY ONL UNI COM NAV INT DEM PRE"

Accept-Ranges: bytes

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Vary: Accept-Encoding

Content-Type: text/html


markdown:
# Zajmij się SEO mojej strony
Ngân sách zł750-2250 PLN
Potrzebuje specjalistę od SEO - freelancera - który zajmie się pozycjonowaniem strony www ([url removed, login to view]) na posiadanej przez moją firmę infrastrukturze.
## 11 freelancer đang chào giá trung bình zł1094 cho công việc này
[weblinkbuilding](/u/weblinkbuilding)
Hello,
We are one of the leading SEO Internet Marketing Company in India. We can rank your website on first page and can improve your website’s organic traffic by doing white hat SEO. As all know SEO is an ongoing
[Thêm](#)
[globalsquares](/u/globalsquares)
Hello,
I am Deepak, We implement both, ON-PAGE & OFF-PAGE SEO methodologies!
Our main focus is to providing Quality SEO Services at best value, fully aware about Google Updates.
We have 27+ employee who can prov
[Thêm](#)
[HireSeoServices](/u/HireSeoServices)
Respected,
Offer : GOOGLE 1ST PAGE RANKING | WEBSITE TRAFFIC | ON-PAGE OFF-PAGE SEO For [login to view URL] website and Guaranteed top Rankings.
We will provide you quality ON Page & OFF Page SEO services so
[Thêm](#)
[GetSEOfreelancer](/u/GetSEOfreelancer)
Hello sir ,
I have great knowledge of Complete SEO , Our work philosophy is focused on client satisfaction. I will give your project 3-4 hours and achieve good result within 2ed month in ranking im
[Thêm](#)
[MrSEOExperts](/u/MrSEOExperts)
Hello Sir,
I offer guaranteed Google first page ranking for highly searched keywords at a very affordable price. I always use only Google friendly backlinks and white hat techniques. I will give huge
[Thêm](#)
[marlinbyte](/u/marlinbyte)
ORGANIC SEO # SMO
Do you want Google page#1 rankings?
Do you want tons of organic traffic on your website?
Do you want to enhance leads/sales?
Looking for an honest ,affordable & reliable SEO Specialist?
Welco
[Thêm](#)
[krishmarketing](/u/krishmarketing)
Hello There,
Thanks for providing us an opportunity to bid on your valued project.
::Kindy share website URL and the specified keyword ( If you have already selected ) . We will analysis the site and the keyword
[Thêm](#)
[SeoScore](/u/SeoScore)
Hi, Please let me know more about the project. So I could tell you about the work flow and the output. I have 4+ Years Experience Thank You

X-Cache: MISS

Server: nginx

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Vary: Accept-Encoding, X-Authenticated

Content-Type: text/html; charset=UTF-8