markdown:
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
# BU I XUA N HA I
**ÐAI S0 TUYFN TÎNH
**
NANC CA0
IUU HA NH N0 I B0
CA N TH0 2008
1
2
Nuc luc
Chuong I. RU T C0 N N0 T T0A N TU TUYF N TÎNH 5
¸1. Ia t va n dc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b
¸2. 1r} rìc ng va vc c to rìc ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
¸J. Ia thu c da c trung cu a mo t toa n tu tuyc n tính . . . . . . 9
¸4. 1oa n tu chc o ho a duo c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
¸b. No t va ì u ng du ng cu a su chc o ho a . . . . . . . . . . . . 14
¸b. 1am gìa c ho a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
¸7. Ia thu c trìc t tìc u. I}nh ly Hamìlton - Callcy . . . . . . . 27
¸8. ßo dc ca n ba n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J1
¸9. Ia thu c to ì tìc u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jb
¸10. Ia ng tam gìa c kho ì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J8
¸11. Ia ng chính ta c Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4J
ßa ì ta p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bJ
J
Chuong II. KH0 NC CIAN FUCIID 57
¸1. 1ích vo huo ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b7
¸2. Ia ng ru t go n Causs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b9
¸J. Chua n cu a vc c to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . bb
¸4. Su tru c gìao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b8
¸b. Co so tru c gìao va co so tru c chua n . . . . . . . . . . . . 72
¸b. Na tra n cu a da ng song tuyc n tính . . . . . . . . . . . . 7b
¸7. Nho m tru c gìao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
¸8. Nho m O(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8J
¸9. Nho m O(3, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8b
¸10. Chc o ho a toa n tu tu lìc n ho p trong kho ng gìan Luclìd . 90
ßa ì ta p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9J
4
Chuong I
RUT C0N N0T T0AN TU
TUYFN TÎNH
¸1. Ðat van de
Cìa su V la kho ng gìan vc c to n chìc u trc n truo ng K va B =
(e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so duo c sa p cu a V . Nc u f la mo t toa n tu tuyc n
tính trong kho ng gìan V thi ma tra n bìc u dìc n f trong co so B duo c
ky hìc u la A = [f]
B
. Cìa su B
= (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so kha c cu a
V , A
= [f]
B
va P = (B −→B
**) la ma tra n chuyc n co so tu B sang
**
B
thi A va A
**lìc n hc vo ì nhau bo ì co ng thu c
**
A
= P
−1
AP.
b
1rong chuong na y chu ng ta nghìc n cu u va n dc tim kìc m trong
kho ng gìan vc c to V mo t co so B sao cho trong do ma tra n cu a toa n
tu f co da ng ”dao }/a o o/a /” co thc duo c. Cu thc hon, ta sc tim
kìc m B sao cho trong do ma tra n cu a f co da ng chc o, hoa c co thc la
da ng tam gìa c cha ng ha n.
Ð|nh nghía 1.1. 1a no ì toa n tu tuyc n tính f ∈ End
K
(V ) c/e c /c a
daa c nc u to n ta ì co so B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho [f]
B
la ma tra n chc o.
Ð|nh nghía 1.2. 1a no ì toa n tu tuyc n tính f ∈ End
K
(V ) /am }/a c
/c a daa c nc u to n ta ì co so B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho [f]
B
la ma tra n
tam gìa c (trc n hoa c duo ì).
\a n dc ru t go n mo t toa n tu tuyc n tính dua vc ca c buo c sau:
1) 1im dìc u kìc n dc mo t toa n tu tuyc n tính chc o ho a duo c (tuong
u ng, tam gìa c ho a duo c).
2) Nc u to an tu f chc o ho a duo c (hay tam gìa c ho a duo c) , ha y
tim mo t co so sao cho trong do ma tra n cu a f co da ng chc o (tuong
u ng, da ng tam gìa c).
Ro ra ng ta cu ng co thc tìc p ca n va n dc na y tho ng qua ngo n ngu
ma tra n. Cu thc nhu sau:
1) Io ì vo ì ma tra n A ∈ M
n
(K), tim dìc u kìc n dc to n ta ì ma tra n
kha ngh}ch P sao cho A
= P
−1
AP la ma tra n chc o (tuong u ng, ma
tra n tam gìa c).
2) 1im P va A
.
b
¸2. Tr| rieng va vec to rieng
Ð|nh nghía 2.1. Cho f ∈ End
K
(V ). 1a no ì vc c to v ∈ V la mo t
vc c to rìc ng cu a f nc u:
(ì) v ,= 0;
(ìì) 1o n ta ì λ ∈ K sao cho f(v) = λv.
Khì do ta no ì λ la mo t /r/ r/e o} //aµ /r/ da c /rao}ï cu a f, va v la
ce c /a r/e o} //aµ ce c /a da c /rao}ï u ng vo ì tr} rìc ng λ.
Nha n xe t.
1) 1hco d}nh nghia, mo ì vc c to rìc ng dc u kha c 0. 1uy nhìc n,
tr} rìc ng co thc ba ng 0. 1ha t va y, nc u kerf ,= 0 thi mo ì vc c to
0 ,= v ∈ Kerf dc u la vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ = 0.
2) Nc u v la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ thi ∀0 ,= μ ∈ K, μv
cu ng la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ.
\a y, ca c vc c to rìc ng cu a f chi co thc la :
- Ca c vc c to kha c 0 cu a Kerf;
- Ca c vc c to kho ng do ì phuong duo ì ta c do ng cu a f.
Ngoa ì ra, do nha n xc t 2) nc n nc u D la mo t duo ng tha ng sình ra
bo ì mo t vc c to rìc ng cu a f thi D ba t bìc n duo ì ta c do ng cu a f.
Ví du 1.
Cho V la kho ng gìan ca c vc c to tu do trong kho ng gìan 3 chìc u
tho ng thuo ng, π la mo t ma t pha ng va D la mo t duo ng tha ng ca t π
vo ì vc c to chi phuong w. Co ì f la phc p chìc u xuo ng ma t phaa ng π
song song vo ì duo ng tha ng D. Khì do , ∀v ∈ π ta dc u co f(v) = v,
nghia la v la vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ = 1. No ì vc c to
7
kha c 0 cu a D la vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ = 0. Ngo aì ra,
ba t ky mo t vc c to kha c 0 na o kha c cu a V cu ng dc u do ì phuong duo ì
ta c do ng cu a f. \a y, 0 va 1 la ca c tr} rìc ng duy nha t cu a f.
Ví du 2.
1rong ma t pha ng xc t f la mo t phc p quay mo t go c θ quanh ta m
O. Nc u θ ,= kπ, k ∈ Z thi mo ì vc c to kha c 0 dc u do ì phuong, do ng
tho ì cu ng kho ng co vc c to kha c 0 na o bìc n tha nh vc c to 0. \a y f
kho ng co ca c vc c to rìc ng.
Ví du 3.
Cho k ∈ K va a nh xa
V −→ V
v −→ kv
la phc p v} tu hc so k.
I}nh ly duo ì da y cho tha y tính cha t quan tro ng cu a vìc c nghìc n
cu u ca c vc c to rìc ng.
Ð|nh ly 2.2. Tca o /a /aµe o //o/ f ∈ End
K
(V ) c/e c /c a daa c ///
ca c// /// /c o /a / mc / ca sa ca a V }c m /ca o ca c ce c /a r/e o} ca a f.
Chu ng minh. Nc u B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so go m toa n ca c vc c
to rìc ng cu a f thi
f(v
1
) = λ
1
v
1
, . . . , f(v
n
) = λ
n
v
n
.
Khì do
[f]
B
= diag(λ
1
, . . . , λ
n
).
Nguo c la ì, gìa su B la mo t co so cu a V trong do ma tra n cu a f co
da ng chc o [f]
B
= diag(λ
1
, . . . , λ
n
). Khì do , f(v
1
) = λ
1
v
1
, . . . , f(v
n
) =
λ
n
v
n
, nghia la v
1
, . . . , v
n
dc u la ca c vc c to rìc ng cu a f.
8
¸3. Ða thuc dac trung cua mot toan tu
tuyen tính
Cìa su f ∈ End
K
(V ) va λ la mo t tr} rìc ng cu a f. Khì do , to n ta ì
0 ,= v ∈ V sao cho f(v) = λv, nghia la (f − λId
V
)v = 0. Nc u B la
mo t co so duo c sa p cu a V thi
[f −λId
V
]
B
[v]
B
= 0.
Io v ,= 0 nc n [v]
B
,= 0. 1u do suy ra det[f − λId
V
]
B
= 0.
Nc u da t A = [f]
B
thi tu do suy ra λ tho a [A − λI
n
[ = 0. Ia t
P
f
(λ) = [A − λI
n
[. Nc u B
la mo t co so duo c sa p kha c cu a V va
A
= [f]
B
thi to n ta ì ma tra n kha ngh}ch P (P chính la ma tra n
chuyc n co so tu B sang B
) sao cho A
= P
−1
AP. 1u do ta co
[A
− λI
n
[ = [P
−1
AP −λI
n
[ = [P
−1
(A−λI
n
)P[ = [A− λI
n
[.
\a y, P
f
(λ) chi phu thuo c va o f ma kho ng phu thuo c va o vìc c
cho n co so cu a V . 1a go ì P
f
(λ) la da //a c da c /rao} cu a to an tu f.
1u nhu ng pha n tích no ì trc n ta nha n tha y ra ng, dc tim tr} da c trung
cu a toa n tu f ta chi vìc c cho n mo t co so B na o do cu a V , xa c d}nh
ma tra n A = [f]
B
, sau do gìa ì phuong trinh da ì so [A−λI
n
[ dc tim
ta t ca ca c nghìc m na m trong truo ng K cu a no .
Ð|nh nghía 3.1. Cìa su da thu c da c trung P
f
(λ) co ca c nghìc m
λ
1
, . . . , λ
p
∈ K, vo ì k
i
la bo ì cu a λ
i
. Khì do ta vìc t
Sp
K
(f) = ¦λ
1
, . . . , λ
1
. ¸¸ .
k
1
, . . . , λ
p
, . . . , λ
p
. ¸¸ .
kp
¦
9
va go ì no la p/c cu a toa n tu f. Nc u A la ma tra n bìc u dìc n f trong
mo t co so duo c sa p na o do cu a V thi ta co thc vìc t Sp
K
(A) thay vi
vìc t Sp
K
(f).
Ca n thìc t luu y ra ng pho cu a toa n tu tuyc n tính phu thuo c va o
truo ng co so K. 1ha t va y, nc u A =
_
2 1
−5 −2
_
thi P
A
(λ) = λ
2
+1.
Khì do Sp
R
(A) = Ø, nhung Sp
C
(A) = ¦±i¦. 1uy nhìc n, khì na o
kho ng thc co gi ga y nha m la n thi ta sc du ng ca c ky hìc u don gìa n la
Sp(f), Sp(A) thay cho Sp
K
(f), Sp
K
(A).
Ví du 4. Cho
f : R
3
−→R
3
f(x
1
, x
2
) = (x
1
+ 2x
2
, −x
1
+ 4x
2
)
Na tra n cu a f trong co so chính ta c la A =
_
1 2
−1 4
_
, suy ra
P
f
(λ) = (λ −2)(λ −3). \a y, Sp(f) = ¦2, 3¦.
¸4. Toan tu cheo hoa duoc
Ð|nh nghía 4.1. Cho f ∈ End
K
(V ). Nc u λ la mo t tr} rìc ng cu a f
thi
E(λ) := ¦v ∈ V [f(v) = λv¦
10
la mo t kho ng gìan con cu a V va ta go ì no la //c o} }/ao cco r/e o}
cu a V a o} ca / /r/ r/e o} λ.
Ne nh de 4.2. C/c λ
1
, . . . , λ
p
/a ca c /r/ r/e o} //a c o/aa ca a f ∈
End
K
(V ). K// dc E(λ
1
) +. . . + E(λ
p
) /a mc / /c o} /ra c //e p.
Chu ng minh. 1a sc chu ng mình ba ng quì na p thco p. Khì p = 1
thi kho ng co gi dc chu ng mình. Cìa su p ≥ 1 va dìc u kha ng d}nh la
du ng do ì vo ì p. 1a ca n chu ng mình
(E(λ
1
) +. . . + E(λ
p
)) ∩ E(λ
p+1
) = 0.
Cìa su v = v
1
+ . . . + v
p
∈ E(λ
p+1
), trong do v
k
∈ E(λ
k
), ∀k ∈
1, k. Khì do f(v) = λ
1
v
1
+. . .+λ
p
v
p
= λ
p+1
v = λ
p+1
(v
1
+. . .+v
p
).
1u do suy ra
(λ
1
−λ
p+1
)v
1
+ . . . + (λ
p
−λ
p+1
)v
p
= 0.
1u gìa thìc t quì na p suy ra (λ
k
− λ
p+1
)v
k
= 0, ∀k ∈ 1, p. Nhung
λ
k
,= λ
p+1
, ∀k ∈ 1, p, nc n tu do suy ra v
k
= 0, ∀k ∈ 1, p, kc o thco
v = 0.
He qua 4.3. Tca o /a f c/e c /c a daa c oe a ca c// oe a V /a /c o} /ra c
//e p ca a ca c //c o} }/ao cco r/e o} ca a oc . Nc / c//o/ va c /ao, }/a
sa λ
1
, . . . , λ
p
/a ca c /r/ r/e o} //a c o/aa ca a f. K// dc . f c/e c /c a
daa c oe a ca c// oe a V = E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
).
Chu ng minh. Cìa su V = E(λ
1
)⊕. . .⊕E(λ
p
). Khì do , nc u B
1
, . . . , B
p
tuong u ng la ca c co so cu a E(λ
1
), . . . , E(λ
p
) thi B = (B
1
, . . . , B
p
) la
co so cu a V . 1u do , a p du ng I}nh ly 2.2 suy ra f chc o ho a duo c.
Nguo c la ì, gìa su f chc o ho a duo c. Khì do , cu ng thco I}nh ly 2.2,
to n ta ì mo t co so B cu a V go m toa n nhu ng vc c to rìc ng cu a f. Cìa
su
B = ¦v
1
, . . . , v
n
1
. ¸¸ .
∈E(λ
1
)
, . . . , w
1
, . . . , w
np
. ¸¸ .
∈E(λp)
¦.
11
Khì do , ro ra ng dimE(λ
1
) +. . . +dimE(λ
p
) = dimV. 1u do suy
ra
V = E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
).
0ua Hc qua no ì trc n ta tha y ra ng so chìc u cu a ca c kho ng gìan
con rìc ng do ng mo t vaì tro quan tro ng trong ba ì toa n chc o ho a mo t
toa n tu tuyc n tính. Io do kha o sa t ca c so chìc u na y la mo t vìc c ca n
thìc t.
Ne nh de 4.4. C/c f ∈ End
K
(V ). Ne a λ /a mc / /r/ r/e o} bc / m ca a
f /// dimE(λ) ≤ m.
Chu ng minh. Cìa su dimE(λ) > m va v
1
, . . . , v
m
, v
m+1
la ca c vc c
to do c la p tuyc n tính cu a E(λ). ßo tu c ho ca c vc c to na y tha nh mo t
co so B cu a V :
B = (v
1
, . . . , v
m
, v
m+1
, w
m+2
, . . . , w
n
).
Khì do
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ O
.
.
.
O λ
A
O B
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
1u do suy ra
P
f
(t) = det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ −t O
.
.
.
O λ − t
A
O B − tI
n−m−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
12
= (λ − t)
m+1
det(B −tI
n−m−1
).
Suy ra λ la tr} rìc ng bo ì kho ng nho hon m+ 1 va ta co mo t ma u
thua n.
ßa y gìo ta da co du dìc u kìc n dc chu ng mình d}nh ly chính vc su
chc o ho a mo t toa n tu tuyc n tính.
Ð|nh ly 4.5. Tca o /a /aµe o //o/ f ∈ End
K
(V ) c/e c /c a daa c ///
ca c// /// ca c d/e a //e o daa / da µ daa c //c a ma o.
//ï P
f
(λ) p/a o ra /re o K, o}//a /a P
f
(λ) cc //e p/a o //c/ //a o/
da o}
P
f
(λ) = (−1)
n
(λ − λ
1
)
m
1
. . . (λ −λ
p
)
mp
, (1)
ca / λ
1
, . . . , λ
p
∈ K ca m
1
+. . . +m
p
= n.
///ï ∀i ∈ 1, p, dimE(λ
i
) = m
i
.
Chu ng minh. Nc u ca c dìc u kìc n (ì) va (ìì) duo c tho a ma n thi V =
E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
). Io do , thco Hc qua 4.J, f chc o ho a duo c.
Nguo c la ì, gìa su f chc o ho a duo c. Nc u P
f
(λ) kho ng pha n ra trc n
K thi no co da ng
P
f
(λ) = Q(λ)(λ − λ
1
)
m
1
. . . (λ −λ
s
)
ms
,
vo ì m
1
+ . . . +m
s
< n. 1hco Nc nh dc 4.4, ta co
dimE(λ
1
) +. . . + dimE(λ
s
) ≤ m
1
+. . . + m
s
< n,
kc o thco f kho ng chc o ho a duo c. \a y P
f
(λ) pha ì pha n ra trc n K,
nghia la no co da ng (1).
Nc u to n ta ì j sao cho dimE(λ
j
) < m
j
thi
dimE(λ
1
) + . . . +dimE(λ
p
) ≤ m
1
+. . . + m
p
< n,
cu ng ma u thua n vo ì tính chc o ho a duo c cu a f. \a y dìc u kìc n (ìì)
cu ng pha ì tho a ma n.
1J
He qua 4.6. Ne a f cc n /r/ r/e o} //a c o/aa /// f c/e c /c a daa c.
¸5. Not vai ung dung cua su cheo hoa
5.1. Tính lu y thu a cu a ma tra n
Cho A ∈ M
n
(K). Cìa su A chc o ho a duo c trc n K. Khì do to n
ta ì mo t ma tra n kha ngh}ch P ∈ M
n
(K) sao cho A
= P
−1
AP la
mo t ma tra n chc o. Cìa su A
= diag(λ
1
, . . . , λ
n
) va ta ca n tính A
k
.
1a co A = PA
P
−1
. 1u do suy ra
A
k
= (PA
P
−1
)
k
= PA
k
P
−1
= Pdiag(λ
k
1
, . . . , λ
k
n
)P
−1
.
Ví du 5. Cho A =
_
1 −1
2 4
_
. 1a tính duo c da thu c da c trung cu a
A la P
A
(λ) = (λ − 2)(λ − 3). Ca c kho ng gìan con rìc ng cu a A la :
E(2) = ¸u = (−1, 1)) va E(3) = ¸v = (−1, 2)).
\a y P =
_
−1 −1
1 2
_
la ma tra n la m chc o A va mo t da ng chc o
cu a A la
A
= P
−1
AP =
_
2 0
0 3
_
.
\i A = PA
P
−1
nc n vo ì mo ì so tu nhìc n n ta co A
n
= PA
n
P
−1
.
14
Io A
**la ma tra n chc o nc n dc da ng tính duo c A
**
n
=
_
2
n
0
0 3
n
_
.
1ìc p thco, tính duo c P
−1
=
_
−2 −1
1 1
_
. Io do
A
n
= PA
n
P
−1
=
_
2
n+1
−3
n
2
n
−3
n
−2
n+1
+ 2.3
n
−2
n
+ 2.3
n
_
.
5.2. Tìm mo t he da y so tho a co ng thu c truy ho i
1a mình ho a y tuo ng tho ng qua mo t ví du sau da y:
Ví du 6. Cìa su ca c da y so thu c (u
n
)
n∈Z
+ va (v
n
)
n∈Z
+ tho a ca c
co ng thu c truy ho ì
_
u
n+1
= u
n
− v
n
v
n+1
= 2u
n
+ 4v
n
vo ì
_
u
0
= 2
v
0
= 1
.
Ha y tim co ng thu c tính ca c so ha ng to ng qua t (phu thuo c n) u
n
va v
n
.
Ia t
X
n
=
_
u
n
v
n
_
va A =
_
1 −1
2 4
_
.
1b
Co ng thu c trc n duo c vìc t la ì nhu sau:
X
n+1
= AX
n
vo ì X
0
=
_
2
1
_
.
1u do tính duo c
X
n
= A
n
X
0
.
\o ì A
n
da duo c tính ba ng co ng thu c phía trc n ta co
_
u
n
v
n
_
=
_
2
n+1
−3
n
2
n
−3
n
−2
n+1
+ 2.3
n
−2
n
+ 2.3
n
__
2
1
_
=
_
2
n+2
−2.3
n
+ 2
n
−3
n
−2
n+2
+ 4.3
n
−2
n
+ 2.3
n
_
.
\a y
_
u
n
= 5.2
n
−3
n+1
v
n
= −5.2
n
+ 6.3
n
.
5.3. Cia i he phuong trình vi pha n tuye n tính he so ha ng
Hc phuong trinh vì pha n tuyc n tính hc so ha ng co da ng sau da y:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
1
dt
= a
11
x
1
+ a
12
x
2
+. . . + a
1n
x
n
;
dx
2
dt
= a
21
x
1
+ a
22
x
2
+. . . + a
2n
x
n
;
.......................................................
dx
n
dt
= a
n1
x
1
+a
n2
x
2
+ . . . +a
nn
x
n
,
1b
trong do mo ì a
ij
dc u la so thu c va mo ì x
i
dc u la ha m thu c kha vì
trc n R. Hc no ì trc n co thc duo c vìc t la ì duo ì da ng ma tra n nhu sau:
dX
dt
= AX, vo ì A = (a
ij
), X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
1a go ì A la ma tra n cu a hc phuong trinh vì pha n da cho. Cìa su
A chc o ho a duo c, nghia la to n ta ì ma tra n chc o A
va ma tra n kha
ngh}ch P sao cho
A
= P
−1
AP.
Xc t A nhu ma tra n cu a toa n tu tuyc n tính f : R
n
−→ R
n
trong
co so chính ta c B
0
. Khì do to n ta ì mo t co so B = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
)
go m toa n ca c vc c to rìc ng cu a f sao cho ma tra n cu a f trong B la
A
. \o ì x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
thi to a do X cu a x trong co so
chính ta c B
0
va X
**trong co so B co mo ì lìc n hc sau:
**
X
= P
−1
X,
trong do P = (B
0
−→B) la ma tra n chuyc n co so . 1u do ta co
dX
dt
= P
−1
dX
dt
.
Luu y ra ng do A la ma tra n vo ì ca c hc so ha ng nc n P cu ng la
ma tra n vo ì ca c hc so ha ng. 1u ca c co ng thu c trc n, nha n duo c
dX
dt
= A
X
.
17
\i A
**la ma tra n chc o nc n hc trc n duo c gìa ì mo t ca ch dc da ng dc
**
tim ra nghìc m X
**. Cuo ì cu ng nghìc m X cu a hc phuong trinh ban
**
da u duo c tính thco co ng thu c:
X = PX
.
1o m la ì, nc u A la ma tra n chc o ho a duo c thi hc phuong trinh vì
pha n da cho co thc duo c gìa ì qua ca c buo c sau:
1. Chc o ho a ma tra n A, nghia la tim ma tra n kha ngh}ch P sao
cho A
= P
−1
AP la ma tra n chc o.
2. Cìa ì hc
dX
dt
= A
X
.
J. 1im X bo ì co ng thu c X = PX
.
ßa y gìo ta sc mình ho a ba ng mo t ví du sau:
Ví du 7. Cìa ì hc phuong trinh vì pha n
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
dx
dt
= x −y;
dy
dt
= 2x + 4y.
Na tra n cu a hc la A =
_
1 −1
2 4
_
. Ia y la ma tra n da duo c xc t
trong \í du 1.b. 1a da bìc t A chc o ho a duo c, P =
_
−1 −1
1 2
_
la m
18
chc o A va
A
= P
−1
AP =
_
2 0
0 3
_
.
\ìc t la ì hc
dX
dt
= A
X
tha nh hc
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
dx
dt
= 2x
;
dy
dt
= 3y
.
Nghìc m cu a hc na y la
_
x
= C
1
e
2t
y
= C
2
e
3t
, trong do C
1
va C
2
la ca c
ha ng so . 1u do
X =
_
x
y
_
= PX
=
_
−1 −1
1 2
__
x
y
_
=
_
−x
−y
−x
+ 2y
_
.
Suy ra
_
x = −C
1
e
2t
− C
2
e
3t
;
y = C
1
e
2t
+ 2C
2
e
3t
.
5.4. Da y Fihonacii
1
1
Iìbonacìì (1170-12b0) con duoc goì la Lconardo dc Pìza, mot thuong gìa nguoì
Y noì tìcng boì nìcm dam mc toan hoc.
19
Ia y so sau da y duo c go ì la da µ l/bcoac//:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
No ì so ha ng trong da y Iìbonacìì (kc tu so ha ng thu ba) ba ng to ng
cu a haì so ha ng du ng ngay truo c no :
F
k+2
= F
k+1
+ F
k
, k ≥ 0, F
0
= 0, F
1
= 1.
1a co thc da t ca u ho ì la la m thc na o dc tính so ha ng du lo n (thu
1000 cha ng ha n) trong da y Iìbonacìì ma kho ng pha ì tính la n luo t tu
ca c so F
0
= 0, F
1
= 1:
Ia t u
k
:=
_
F
k+1
F
k
_
va A =
_
1 1
1 0
_
. Khì do
u
k+1
= Au
k
.
1u do suy ra
u
k
= A
k
u
0
, vo ì u
0
=
_
1
0
_
.
\a n dc da n dc n vìc c tính A
k
. Ia thu c da c trung f
A
(λ) = λ
2
−λ−1
co ca c nghìc m kha c nhau la
λ
1
=
1 +
√
5
2
, λ
2
=
1 −
√
5
2
.
20
Io do A chc o ho a duo c va mo t da ng chc o cu a A la
D = P
−1
AP =
_
λ
1
0
0 λ
2
_
, vo ì P =
_
λ
1
λ
2
1 1
_
.
1a co
P
−1
=
1
λ
1
−λ
2
_
1 −λ
2
−1 λ
1
_
.
1u ca c co ng thu c trc n ta tính duo c
_
F
k+1
F
k
_
= u
k
= A
k
u
0
=
1
λ
1
− λ
2
_
λ
k+1
1
−λ
k+2
2
λ
k
1
−λ
k
2
_
.
1u do suy ra
F
k
=
1
√
5
__
1 +
√
5
2
_
k
−
_
1 −
√
5
2
_
k
_
.
Co ng thu c cuo ì cu ng ro ra ng co thc ta o ra mo t ba t ngo thu v} vi
ca c so Iìbonacìì vo n la ca c so nguyc n nhung chu ng la ì duo c bìc u dìc n
qua ca c pha n so va ca c ca n ba c haì. 1a t nhìc n chu ng pha ì duo c gìa n
uo c thco mo t ca ch na o do dc cuo ì cu ng nha n duo c nhu ng so nguyc n.
Nha n xc t ra ng
1
√
5
_
1 −
√
5
2
_
k
<
1
2
, vo ì k = 1000,
21
do do F
1000
ba ng so nguyc n lo n nha t bc thua
1
√
5
_
1 +
√
5
2
_
1000
. Ro
ra ng da y la mo t so ra t lo n, va F
1001
co n lo n hon nu a. \i pha n tha p
pha n cu a so na y la qua nho so vo ì pha n nguyc n (la so Iìbonacìì) nc n
ti so F
1001
/F
1000
ca n pha ì ra t ga n vo ì gìa tr}
1 +
√
5
2
≈ 1, 618.
Con so 1, 618 duo c nhu ng nguo ì Hy La p co da ì go ì la // /e ca o}
vi ho cho ra ng nhu ng hinh chu nha t co ti lc ca c ca nh ba ng 1, 618 : 1
la nhu ng hinh dc p nha t. 1o gìa y A4 ma nga y nay chu ng ta dang su
du ng chính la hinh chu nha t co ti lc va ng nhu va y.
¸6. Tam giac hoa
Nc u mo t ma tra n vuo ng A chc o ho a duo c thi , nhu chu ng ta da
tha y o mu c truo c, no co thc co kha nhìc u u ng du ng thu v}. 1uy nhìc n,
kho ng pha ì ma tra n vuo ng na o cu ng chc o ho a duo c. I}nh ly 4.b cho
chu ng ta mo t dìc u kìc n ca n va du dc mo t toa n tu tuyc n tính trong
kho ng gìan vc c to hu u ha n chìc u (hay mo t ma tra n vuo ng) chc o ho a
duo c. \a y, chu ng ta pha ì la m gi nc u A kho ng chc o ho a duo c: 1o n ta ì
nhu ng da ng ru t go n kha c cu a ma tra n vuo ng (hay cu a toa n tu tuyc n
tính) ma nhu ng u ng du ng cu a chu ng cu ng ra t da ng duo c quan ta m.
1rong mu c na y chu ng ta sc xcm xc t mo t su ru t go n nhu va y, duo c
go ì la su /am }/a c /c a.
Ð|nh nghía 6.1. Cho ma tra n vuo ng A = (a
ij
). 1a no ì A la ma
22
/ra o /am }/a c /re o nc u a
ij
= 0, ∀i > j va A la ma /ra o /am }/a c daa /
nc u a
ij
= 0, ∀i < j.
Ne nh de 6.2. Hc / ma /ra o /am }/a c /re o de a dc o} da o} ca / mc / ma
/ra o /am }/a c daa /.
Chu ng minh. Cìa su A la ma tra n tam gìa c trc n va f ∈ End(K
n
)
sao cho ma tra n cu a f trong co so chính ta c B
0
= (e
1
, . . . , e
n
) la A.
Xc t co so B = (e
n
, . . . , e
1
). 1a tha y ma tra n A
cu a f trong co so B
la ma tra n tam gìa c duo ì va A do ng da ng vo ì A
.
ßa ì toa n da t ra la khì na o thi ma tra n A ∈ M
n
(K) do ng da ng vo ì
mo t ma tra n tam gìa c: Io Nc nh dc b.2 nc n ta chi ca n xc t khì na o
ma tra n A do ng da ng vo ì mo t ma tra n tam gìa c trc n. 1hco ngo n ngu
cu a ca c tu do ng ca u tuyc n tính thi va n dc da t ra la khì na o mo t tu
do ng ca u tuyc n tính duo c bìc u dìc n ba ng mo t ma tra n tam gìa c trc n
trong mo t co so na o do .
Ð|nh ly 6.3. f ∈ End(K
n
) /am }/a c /c a daa c /// ca c// /// da //a c
da c /rao} ca a f p/a o ra /re o K.
Chu ng minh. Cìa su f tam gìa c ho a duo c va B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t
co so cu a V = K
n
sao cho [f]
B
=
⎛
⎜
⎝
λ ∗
.
.
.
0 λ
⎞
⎟
⎠.
1u do ta co
P
f
(λ) = det
⎛
⎜
⎝
a
11
−λ ∗
.
.
.
0 a
nn
− λ
⎞
⎟
⎠ = (a
11
− λ) . . . (a
nn
−λ),
2J
nghia la P
f
(λ) pha n ra trc n K.
Nguo c la ì, gìa su P
f
(λ) pha n ra trc n K. 1a chu ng mình ba ng quì
na p ra ng toa n tu f tam gìa c ho a duo c.
Nc u n = 1 thi kho ng co gi dc chu ng mình. \a y, gìa su n > 1 va
kha ng d}nh du ng vo ì n = 1. Co ì λ
1
∈ K la mo t nghìc m na o do cu a
P
f
(λ) va u
1
la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ
1
. ßo tu c (u
1
) dc
co mo t co so c = (u
1
, u
2
, . . . , u
n
) cu a V . 1a co
A = [f]
C
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ
1
b
2
. . . b
n
0
.
.
. B
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
vo ì B la ma tra n vuo ng ca p n − 1. Xc t kho ng gìan con W =
¸u
2
, . . . , e
n
) va g : W −→ W sao cho ma tra n cu a g trong co so
(u
2
, . . . , u
n
) la B. 1a co
P
f
(λ) = det(A−λI
n
) = (λ
1
−λ)det(B −λI
n−1
) = (λ
1
−λ)P
g
(λ).
\i P
f
(λ) pha n ra trc n K nc n P
g
(λ) cu ng pha n ra trc n K, do
do thco gìa thìc t quì na p ma tra n B tam gìa c ho a duo c. \a y to n ta ì
mo t co so (e
2
, . . . , e
n
) cu a W sao cho ma tra n cu a g trong do la ma
tra n tam gìa c trc n. Khì do ma tra n cu a f trong co so (u
1
, e
2
, . . . , e
n
)
cu ng co da ng tam gìa c trc n.
He qua 6.4. Hc / ma /ra o A ∈ M
n
(C) de a /am }/a c /c a daa c.
Nha n xe t.
1) Nc u ma tra n A do ng da ng vo ì ma tra n tam gìa c A
thi trc n
duo ng chc o chính cu a A
**chi toa n la ca c tr} rìc ng cu a A.
**
24
2) No ì ma tra n A ∈ M
n
(R) dc u tam gìa c ho a duo c trc n trc n
truo ng so phu c C.
He qua 6.5. C/c A ∈ M
n
(R) ca SpA = ¦λ
1
, . . . , λ
n
¦ ⊂ C. K// dc
/a cc
Tr(A) = λ
1
+. . . +λ
n
ca detA = λ
1
. . . λ
n
.
Chu ng minh. Io ca c ma tra n do ng da ng dc u co cu ng vc t va cu ng
d}nh thu c nc n nhu ng dìc u ca n chu ng mình la hìc n nhìc n.
Ví du 8. Na tra n A =
⎛
⎝
−4 0 −2
0 1 0
5 1 3
⎞
⎠
co da thu c da c trung
P
A
(λ) = (λ +2)(1 −λ)
2
nc n thco I}nh ly b.J, A tam gìa c ho a duo c
trc n R. Xcm A nhu ma tra n bìc u dìc n tu do ng ca u tuyc n tính f trong
co so chính ta c. Khì do to n ta ì mo t co so B = (u
1
, u
2
, u
3
) sao cho
ma tra n cu a f trong B co da ng tam gìa c trc n
[f]
B
=
⎛
⎝
1 a b
0 1 c
0 0 −2
⎞
⎠
.
1a sc tính ca c vc c to u
1
, u
2
va u
3
. Nha n xc t ra ng u
1
chính la vc c
to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ
1
= 1. 1a co
A− I
3
=
⎛
⎝
−5 0 −2
0 0 0
5 1 2
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
−5 0 −2
0 0 0
0 1 0
⎞
⎠
.
2b
Cho x
3
= 0 suy ra x
1
= −2. \a y co thc la y u
1
= (−2, 0, 5).
1ính u
2
:
1a co f(u
2
) = au
1
+ u
2
=⇒(f −Id)(u
2
) = au
1
. Io do
⎛
⎝
−5 0 −2
0 0 0
5 1 2
⎞
⎠
⎛
⎝
x
1
x
2
x
3
⎞
⎠
= a
⎛
⎝
−2
0
5
⎞
⎠
.
Cìa ì hc phuong trinh trc n:
⎛
⎝
−5 0 −2 −2a
0 0 0 0
5 1 2 5a
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
−5 0 −2 −2a
0 1 0 3a
0 0 0 0
⎞
⎠
.
Cho a = −1, x
3
= 4 =⇒ x
1
= −2, x
2
= −3. Co thc la y u
2
=
(−2, −3, 4).
1ính u
3
: 1a bìc t ra ng to n ta ì vc c to rìc ng v u ng vo ì tr} rìc ng
λ
2
= −2, nghia la f(v) = −2v. 1a co thc cho n u
3
= v, b = c = 0.
1a co
A+2I
3
=
⎛
⎝
−2 0 −2
0 3 0
5 1 5
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
1 0 1
0 1 0
5 1 5
⎞
⎠
−→
⎛
⎝
1 0 1
0 1 0
0 0 0
⎞
⎠
.
Io do co thc la y u
3
= (−1, 0, 1). Kìc m tra dc da ng u
1
, u
2
, u
3
do c
la p tuyc n tính, do do chu ng ta o tha nh mo t co so cu a R
3
. 1rong co
2b
so B ma tra n bìc u dìc n cu a f la
A
=
⎛
⎝
1 1 0
0 1 0
0 0 −2
⎞
⎠
.
Na tra n chuyc n tu co so chính ta c sang co so B la
P =
⎛
⎝
−2 −2 −1
0 −3 0
5 4 1
⎞
⎠
.
Cuo ì cu ng ta co A
= P
−1
AP.
¸7. Ða thuc triet tieu. Ð|nh ly Hamilton
- Calley
Cho V la mo t kho ng gìan vc c to trc n truo ng K va Q ∈ K[t]:
Q(t) = a
m
t
m
+a
m−1
t
m−1
+. . . + a
1
t +a
0
.
Nc u f ∈ End
K
(V ) thi ta ky hìc u Q(f) la mo t tu do ng ca u tuyc n
tính cu a V xa c d}nh bo ì
Q(f) = a
m
f
m
+a
m−1
f
m−1
+ . . . +a
1
f + a
0
Id
V
.
27
Nha n xe t. Nc u P, Q ∈ K[t] thi
P(f) ◦ Q(f) = Q(f) ◦ P(f), ∀f ∈ End
K
(V ).
Ð|nh nghía 7.1. Cho f ∈ End
K
(V ) va Q(t) ∈ K[t]. 1a no ì Q(t)
la da //a c /r/e / //e a toa n tu f nc u Q(f) = 0.
Ne nh de 7.2. C/a sa Q(t) /a da //a c /r/e / //e a /ca o /a f ca λ /a mc /
/r/ r/e o} ca a f. K// dc λ /a o}//e m ca a Q(t).
Chu ng minh. Co ì v la mo t vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ.
Khì do f
k
(v) = λ
k
v, ∀k ∈ N. Cìa su
Q(t) = a
m
t
m
+ a
m−1
t
m−1
+. . . + a
1
t + a
0
la da thu c trìc t tìc u f. Khì do ta co
a
m
f
m
+a
m−1
f
m−1
+ . . . +a
1
f + a
0
Id
V
= 0
=⇒(a
m
f
m
+ a
m−1
f
m−1
+. . . + a
1
f +a
0
Id
V
)v = 0
=⇒(a
m
λ
m
+a
m−1
λ
m−1
+ . . . +a
1
λ +a
0
)v = 0.
Io v ,= 0 nc n tu do suy ra
a
m
λ
m
+ a
m−1
λ
m−1
+ . . . +a
1
λ +a
0
= 0 hay Q(λ) = 0.
A p du ng mc nh dc vu a chu ng mình ta tha y ra ng nc u toa n tu f
tho a f
2
= f thi ca c gìa tr} rìc ng cu a f chi co thc la 0 hoa c 1. Nc u
f
3
= f thi ca c tr} rìc ng cu a f chi co thc la 0, 1 hoa c −1.
1uy nhìc n, cu ng ca n thìc t luu y ra ng kho ng pha ì ta t ca ca c nghìc m
cu a Q(t) dc u la tr} rìc ng cu a f. \í du , nc u f = Id
V
thi da thu c
Q(t) = t
2
− t trìc t tìc u f nhung 0 kho ng pha ì la tr} rìc ng cu a f.
Ca u ho ì da u tìc n ma ta co thc da t ra la : Pha ì cha ng do ì vo ì
mo ì toa n tu tuyc n tính f ∈ End
K
(V ) dc u to n ta ì mo t da thu c
28
0 ,= Q(t) ∈ K[t] trìc t tìc u f: Ca u tra lo ì la kha ng d}nh. 1ha t va y, nc u
dim
K
(V ) = n thi End
K
(V )
∼
= M
n
(K), suy ra dim
K
(End
K
(V )) =
n
2
. Io do ca c pha n tu Id
V
, f, f
2
, . . . , f
n
2
phu thuo c tuyc n tính trong
End
K
(V ), suy ra to n ta ì ca c pha n tu a
0
, a
1
, a
2
, . . . , a
n
2 ∈ K, kho ng
pha ì ta t ca dc u ba ng 0 sao cho
a
0
Id
V
+a
1
f +a
2
f
2
+ . . . +a
n
2 f
n
2
= 0.
\a y Q(t) = a
0
+ a
1
t +a
2
t
2
+ . . . + a
n
2t
n
2
la da thu c trìc t tìc u f.
I}nh ly Hamìlton - Callcy ma ta sc chu ng mình duo ì da y cho tha y
da thu c da c trung cu a f la da thu c trìc t tìc u f.
Ð|nh ly 7.3. /Hamìlton - Callcy) Ne a f ∈ End
K
(V ) /// da //a c da c
/rao} P
f
(λ) /r/e / //e a f, o}//a /a P
f
(f) = 0.
Chu ng minh. Co ì K la bao do ng da ì so cu a K. 1ruo c hc t ta chu ng
mình cho truo ng ho p f ∈ End
K
(V ). 1rong truo ng ho p na y f tam
gìa c ho a duo c. Cìa su B = (e − 1, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V sao
cho trong do ma tra n bìc u dìc n f co da ng tam gìa c trc n:
[f]
B
=
⎛
⎜
⎝
λ
1
∗
.
.
.
0 λ
n
⎞
⎟
⎠.
Khì do ta co
P
f
(λ) = (λ
1
−λ) . . . (λ
n
− λ).
1a ca n chu ng mình
P
f
(f) = (λ
1
Id
V
−f) . . . (λ
n
Id
V
−f) = 0.
29
∀i ∈ 1, n, da t
g
i
= (λ
1
Id
V
−f) . . . (λ
i
Id
V
− f).
1a sc chu ng mình ba ng quì na p thco i ra ng g
i
(e
1
) = . . . =
g
i
(e
i
) = 0. Khì do , vo ì i = n ta sc co dìc u ca n pha ì chu ng mình.
\o ì i = 1 ta co
g
1
(e
1
) = (λ
1
Id
V
−f)e
1
= λ
1
e
1
−f(e
1
) = 0.
Cìa su i > 1 va
g
i−1
(e
1
) = . . . = g
i−1
(e
i−1
) = 0.
1a co
g
i
= g
i−1
(λ
i
Id
V
−f) = (λ
i
Id
V
−f)g
i−1
.
Io do
g
i
(e
1
) = . . . = g
i
(e
i−1
) = 0.
Xc t g
i
(e
i
). 1a co
f(e
i
) = a
1
e
1
+ . . . +a
i−1
e
i−1
+λ
i
e
i
,
vo ì a
1
, . . . , a
i−1
la nhu ng pha n tu na o do thuo c K. 1u do suy ra
g
i
(e
i
) = g
i−1
(λ
i
Id
V
−f)(e
i
)
= g
i−1
(λ
i
e
i
− (a
1
e
1
+ . . . +a
i−1
e
i−1
+λ
i
e
i
))
= −a
1
g
i−1
(e
1
) −. . . −a
i−1
g
i−1
(e
i−1
) = 0.
1a da chu ng mình P
f
(f) = 0 hay P
A
(A) = 0, ∀A ∈ M
n
(K).
ßa y gìo , nc u A ∈ M
n
(K) thi ta xcm A nhu mo t ma tra n trc n K va
a p du ng dìc u vu a chu ng mình ta sc co P
A
(A) = 0.
J0
¸8. Bo de can han
Bo de 8.1. C/c f ∈ End
K
(V ) ca Q(t) = Q
1
(t) . . . Q
p
(t), /rco} dc
Q
1
, . . . , Q
p
/a o/a o} da //a c o}aµe o /c ca o} o/aa. K// dc .
Ne a Q(t) /r/e / //e a f /// V = KerQ
1
(f) ⊕. . . ⊕ KerQ
p
(f).
Chu ng minh. 1a sc chu ng mình ba ng quì na p thco p.
Nc u p = 1 thi Q(t) = Q
1
(t), do do nc u Q(f) = 0 thi Q
1
(f) = 0
va V = KerQ
1
(f).
Traa o} /a p p = 2: Cìa su Q(t) = Q
1
(t)Q
2
(t), trong do Q
1
va Q
2
la
nhu ng da thu c nguyc n to cu ng nhau. Khì do , to n ta ì nhu ng da thu c
U
1
va U
2
sao cho
U
1
Q
1
+U
2
Q
2
= 1.
1u do suy ra
U
1
(f)Q
1
(f) + U
2
(f)Q
2
(f) = Id
V
.
Io do ∀x ∈ V , ta co
x = U
1
(f)Q
1
(f)(x) + U
2
(f)Q
2
(f)(x) (1),
kc o thco
V = Im(U
1
(f)Q
1
(f)) + Im(U
2
(f)Q
2
(f)).
\i Q
2
(f)Q
1
(f) = 0 nc n Q
2
(f)U
1
(f)Q
1
(f) = 0, suy ra
Im(U
1
(f)Q
1
(f)) ⊆ KerQ
2
(f).
J1
Ho an to an tuong tu , ta co
Im(U
2
(f)Q
2
(f)) ⊆ KerQ
1
(f).
Io do V = KerQ
1
(f) +KerQ
2
(f).
Cìa su x ∈ KerQ
1
(f) ∩ Q
2
(f). 1u (1) suy ra ngay x = 0. \a y
V = KerQ
1
(f) ⊕ KerQ
2
(f).
Traa o} /a p p > 2: 1a co
Q(t) = (Q
1
(t) . . . Q
p−1
(t))Q
p
(t).
Ia t Q
∗
(t) = Q
1
(t) . . . Q
p−1
(t), ta co Q
∗
(t) va Q
p
(t) la nhu ng da
thu c nguyc n to cu ng nhau. 1hco truo ng ho p p = 2 ta co
V = KerQ
∗
(f) ⊕ KerQ
p
(f).
Ia t W = KerQ
∗
(f) va f = f[
W
. 1a chu ng mình f ∈ End
K
(W).
1ha t va y, ∀x ∈ W, ta co f(x) = f(x). Io x ∈ W nc n Q
∗
(f)(x) = 0,
suy ra Q
∗
(f)f(x) = fQ
∗
(f)(x) = 0, nghia la f(x) ∈ KerQ
∗
(f).
Ngo aì ra, do f = f[
W
nc n Q
∗
(f) = 0. \a y, a p du ng gìa thìc t quì
na p, nha n duo c
W = KerQ
1
(f) ⊕. . . ⊕ KerQ
p−1
(f).
Nhung ∀i ∈ 1, p −1 ta co
KerQ
i
(f) = ¦x ∈ W[Q
i
(f)(x) = 0¦
~¦x ∈ W[Q
i
(f)(x) = 0¦
~KerQ
i
(f).
\a y
V = KerQ
1
(f) ⊕. . . ⊕ KerQ
p−1
(f) ⊕ KerQ
p
(f).
J2
He qua 8.2. C/c f /a mc / /ca o /a /aµe o //o/ /rco} //c o} }/ao ce c
/a n c//e a V /re o K ca }/a sa da //a c da c /rao} P
f
(λ) p/a o ra /re o
K.
P
f
(λ) = (−1)
n
(λ −λ
1
)
α
1
. . . (λ − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j.
K// dc
V = Ker(f −λ
1
Id)
α
1
⊕ . . . ⊕Ker(f − λ
p
Id)
αp
.
Ð|nh nghía 8.3. Cho f la mo t toa n tu tuyc n tính trong kho ng gìan
vc c to n chìc u V trc n K va gìa su da thu c da c trung P
f
(λ) pha n ra
trc n K. 1a go ì
N(λ
i
) := Ker(f − λ
i
Id)
α
i
la //c o} }/ao cco da c /rao}, u ng vo ì tr} da c trung λ
i
.
1hco Hc qua 8.2, nc u da thu c da c trung pha n ra trc n K thi V
pha n tích tha nh to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan con da c trung.
Nha n xe t. 1) Kho ng gìan con rìc ng luo n na m trong kho ng gìan con
da c trung (u ng vo ì cu ng mo t tr} da c trung):
E(λ) ⊆ N(λ).
1ha t va y, nc u x ∈ E(λ) thi (f −λId)x = 0, suy ra (f −λId)
α
x =
0 (α la so bo ì cu a λ) hay x ∈ N(λ).
2) Kho ng gìan con da c trung la ba t bìc n do ì vo ì f, nghia la
f(N(λ)) ⊆ N(λ).
1ha t va y, gìa su x ∈ N(λ). Khì do
JJ
(f −λId)
α
x = 0 =⇒f ◦ (f − λId)
α
x = 0
=⇒(f −λId)
α
◦ f(x) = 0 =⇒f(x) ∈ N(λ).
Ic kc t thu c mu c na y, duo ì da y ta sc xc t mo t u ng du ng cu a ßo dc
ca n ba n.
Cìa su f ∈ End
K
(V ) sao cho f
2
= f. Khì do Q(t) = t(t −1) la
da thu c trìc t tìc u f. \a y, thco ßo dc 8.1, V = Kerf ⊕Ker(f −Id).
1a tha y V la to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan con rìc ng cu a f nc n
f chc o ho a duo c.
Iuo ì da y la mo t kc t qua to ng qua t hon ví du chu ng ta vu a xc t.
Ð|nh ly 8.4. Tca o /a /aµe o //o/ f c/e c /c a daa c /// ca c// /// /c o
/a / mc / da //a c p/a o ra /re o K, cc /ca o o}//e m dao ca /r/e / //e a f.
Chu ng minh. Cìa su f chc o ho a duo c. Khì do to n ta ì mo t co so
B = (v
1
, . . . , v
n
) go m toa n ca c vc c to rìc ng cu a f. Co ì λ
1
, . . . , λ
p
la
ca c tr} rìc ng do ì mo t kha c nhau cu a f. Khì do , ∀v ∈ B to n ta ì mo t
λ
j
, 1 ≤ j ≤ p sao cho (f −λ
j
Id)v = 0. 1u do suy ra
(f −λ
1
Id) . . . (f −λ
p
Id)v = 0.
\a y da thu c Q(t) = (t − λ
1
) . . . (t − λ
p
) pha n ra trc n K, chi co
toa n nghìc m don va trìc t tìc u f.
Nguo c la ì, gìa su
Q(t) = (t −λ
1
) . . . (t − λ
p
), λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j
va Q(t) trìc t tìc u f. Khì do thco ßo dc 8.1
V = Ker(f −λ
1
Id) ⊕ . . . ⊕Ker(f − λ
p
Id)
= E(λ
1
) ⊕. . . ⊕ E(λ
p
),
suy ra f chc o ho a duo c.
J4
¸9. Ða thuc toi tie u
Ð|nh nghía 9.1. Ia thu c don kho ì ba c nho nha t trìc t tìc u toa n tu
tuyc n tính f duo c go ì la da //a c /c / //e a cu a f va ky hìc u la m
f
.
Ne nh de 9.2. Ða //a c Q(t) ∈ K[t] /r/e / //e a f /// ca c// /// Q c//a
/e / c/c m
f
/rco} K[t].
Chu ng minh. Cìa su Q(f) = 0. Chìa Q cho m
f
:
Q(t) = P(t).m
f
+ R(t), deg(R) < deg(m
f
)
(thco quì uo c, da thu c 0 co ba c −∞). \i Q(f) = 0 nc n suy ra
R(f) = 0, kc o thco R(t) = 0 do d}nh nghia da thu c to ì tìc u. Io do
Q(t) = P(t).m
f
.
Nguo c la ì, nc u Q(t) = P(t).m
f
thi Q(f) = P(f)m
f
(f) = 0,
nghia la Q(t) trìc t tìc u f.
He qua 9.3. m
f
/a aa c ca a P
f
.
Chu ng minh. A p du ng I}nh ly Hamìlton-Callcy va Nc nh dc 9.2.
He qua 9.4. Ða //a c /c / //e a /a daµ o/a /.
Chu ng minh. Cìa su m
1
va m
2
la haì da thu c to ì tìc u cu a toa n tu f.
Khì do , thco Nc nh dc 9.2, m
1
[m
2
va m
2
[m
1
. Io m
1
va m
2
dc u la
ca c da thu c don kho ì nc n tu do suy ra m
1
= m
2
.
Ne nh de 9.5. Ta p o}//e m ca a m
f
/ra o} ca / /a p o}//e m ca a P
f
.
Nc / ca c/ //a c, oe a P
f
p/a o ra /re o bac dc o} da / sc K ca a K //a o/
P
f
= (−1)
n
(t −λ
1
)
α
1
. . . (t − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j
Jb
///
m
f
= (t −λ
1
)
β
1
. . . (t −λ
p
)
βp
, 1 ≤ β
i
≤ α
i
, ∀i.
Chu ng minh. 1u Hc qua 9.J suy ra mo ì nghìc m cu a m
f
dc u la
nghìc m cu a P
f
. 1u Nc nh dc 7.2 suy ra mo ì nghìc m cu a P
f
dc u la
nghìc m cu a m
f
.
Ví du 9.
1) A =
⎛
⎝
0 1 2
1 0 2
1 2 0
⎞
⎠
.
1a co P
A
(t) = −(t + 1)(t + 2)(t −3). A p du ng Nc nh dc 9.b suy
ra m
A
(t) = (t + 1)(t + 2)(t − 3).
2) A =
⎛
⎝
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
⎞
⎠
.
1a co P
A
(t) = −(t −1)(t + 2)
2
. A p du ng Nc nh dc 9.b suy ra
m
A
(t) =
_
(t − 1)(t + 2)
(t − 1)(t + 2)
2
.
1a co (A− I
3
)(A+ 2I
3
) = 0. \a y m
A
(t) = (t −1)(t + 2).
Ð|nh ly 9.6. Tca o /a /aµe o //o/ f c/e c /c a daa c oe a ca c// oe a da
Jb
//a c /c / //e a ca a oc p/a o ra /re o K ca /a / ca ca c o}//e m ca a oc
de a /a o}//e m dao.
Chu ng minh. Iìc u kìc n du la du ng do I}nh ly 8.4. Nguo c la ì, gìa su
f chc o ho a duo c. Khì do
P
f
= (−1)
n
(t −λ
1
)
α
1
. . . (t − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j.
1hco chu ng mình I}nh ly 8.4 da thu c Q(t) = (t −λ
1
) . . . (t −λ
p
)
trìc t tìc u f. A p du ng Nc nh dc 9.b suy ra m
f
= Q(t).
Ví du 10.
1) Xc t ma tra n A =
⎛
⎝
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
⎞
⎠
. Ia thu c to ì tìc u cu a A
la m
A
(t) = (t −1)(t −2). 1hco I}nh ly 9.b, A chc o ho a duo c.
2) Na tra n A =
⎛
⎝
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
⎞
⎠
co da thu c da c trung P
A
(t) =
−(t − 1)
3
nc n
m
A
(t) =
⎡
⎣
t −1
(t −1)
2
(t −1)
3
.
1hco I}nh ly 9.b, A chc o ho a duo c ⇐⇒ m
A
(t) = t − 1 ⇐⇒
A− I
3
= 0. Io A ,= I
3
nc n tu do suy ra A kho ng chc o ho a duo c.
J7
J) Na tra n A =
⎛
⎝
3 −1 1
2 0 1
1 −1 2
⎞
⎠
co da thu c da c trung la P
A
(t) =
−(t − 1)(t − 2)
2
, do do
m
A
(t) =
_
(t − 1)(t − 2)
(t − 1)(t − 2)
2
.
1hco I}nh ly 9.b, ta co
A chc o ho a duo c ⇐⇒m
A
(t) = (t−1)(t−2) ⇐⇒(A−I
3
)(A−2I
3
) = 0.
Nhung ba ng ca ch tính toa n tru c tìc p ta tha y ra ng
(A− I
3
)(A−2I
3
) ,= 0,
do do A kho ng chc o ho a duo c.
¸10. Dang tam giac khoi
1rong mu c b ta da bìc t nc u da thu c da c trung cu a toa n tu f trong
kho ng gìan vc c to hu u ha n chìc u pha n ra trc n truo ng co so K thi f
tam gìa c ho a duo c, nghia la to n ta ì mo t co so cu a V sao cho trong do
ma tra n bìc u dìc n f co da ng tam gìa c (trc n hoa c duo ì). No ì chung,
dìc u na y cu ng da cho chu ng ta nhu ng u ng du ng kha to t. 1rong mu c
na y chu ng ta tìc p tu c vìc c ru t go n toa n tu f sao cho co thc ‘‘to t” hon
nu a. Chính xa c hon, nc u da thu c da c trung cu a f pha n ra trc n K thi
ta co thc dua f vc da ng tam gìa c kho ì.
J8
Bo de 10.1. C/c V = V
1
⊕ V
2
⊕. . . ⊕V
p
, /rco} dc V
i
/a ca c //c o}
}/ao cco ba / b/e o dc / ca / f. K// dc , oe a B
1
, B
2
, . . . , B
p
/aao} a o}
/a ca c ca sa ca a V
1
, V
2
, . . . , V
p
/// ma /ra o ca a f /rco} ca sa B =
(B
1
, B
2
, . . . , B
p
) /a
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
M
1
0
M
2
.
.
.
0 M
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=: diag(M
1
, M
2
, . . . , M
n
),
/rco} dc M
i
/a ma /ra o ca a /a o c/e ca a f /e o V
i
.
Chu ng minh. Cìa su B
1
= (u
1
, . . . , u
n
1
), . . . , B
p
= (v
1
, . . . , v
np
). \i
f(V
i
) ⊆ V
i
, ∀i nc n ta co
⎧
⎨
⎩
f(u
1
) = a
11
u
1
+ . . . +a
n
1
1
u
n
1
;
...............................................
f(u
n
1
) = a
1n
1
u
1
+ . . . +a
n
1
n
1
..................................................
⎧
⎨
⎩
f(v
1
) = b
11
v
1
+. . . + b
np1
v
np
;
..............................................
f(v
np
) = b
1np
v
1
+ . . . +b
npnp.
Io do
[f]
B
= diag(M
1
, M
2
, . . . , M
p
).
J9
Ð|nh ly 10.2. /Ru t go n theo da ng tam gia c kho i) C/c f /a mc / /ca o
/a /aµe o //o/ /re o //c o} }/ao ce c /a n c//e a /re o /raa o} K. C/a sa
da //a c da c /rao} ca a f p/a o ra /re o K.
P
f
(λ) = (−1)
n
(λ −λ
1
)
α
1
. . . (λ − λ
p
)
αp
, λ
i
,= λ
j
, ∀i ,= j.
K// dc /c o /a / mc / ca sa B = B
1
∪B
2
∪. . . ∪B
p
ca a V , /rco} dc
B
i
/a mc / ca sa ca a N(λ
i
) sac c/c
[f]
B
= diag(M
1
, M
2
, . . . , M
p
),
ca / M
i
/a ma /ra o b/e a d/e o ca a /a o c/e ca a f /e o //c o} }/ao cco
da c /rao} N(λ
i
) /rco} ca sa B
i
ca M
i
cc da o} /am }/a c /re o.
Chu ng minh. \i N(λ
i
) ba t bìc n do ì vo ì f nc n thco Hc qua 8.2 va
ßo dc 10.1, to n ta ì mo t co so B = B
1
∪ B
2
∪ . . . ∪ B
p
cu a V sao cho
[f]
B
= diag(M
1
, M
2
, . . . , M
p
),
trong do B
i
la mo t co so cu a N(λ
i
), M
i
= [f
i
]
B
i
, vo ì f
i
la ha n chc
cu a f lc n N(λ
i
). Io do ta chi co n ca n chu ng mình ra ng M
i
tam
gìa c ho a duo c va Sp
M
i
= ¦λ
i
, . . . , λ
i
¦ la du .
1hco d}nh nghia, N(λ
i
) = Ker(f −λ
i
ID)
α
i
nc n (f −λ
i
Id)
α
i
x =
0, ∀x ∈ N(λ
i
). \a y (t − λ
i
)
α
i
la da thu c trìc t tìc u f
i
, do do da thu c
to ì tìc u cu a f
i
co da ng
m
f
i
(t) = (t − λ
i
)
γ
i
, vo ì 1 ≤ γ
i
≤ α
i
.
A p du ng Nc nh dc 9.b, suy ra
P
f
i
(t) = (−1)
δ
i
(t − λ
i
)
δ
i
, vo ì δ
i
≥ γ
i
.
\a y P
f
i
(t) pha n ra trc n K va Sp
f
i
= ¦λ
i
, . . . , λ
i
¦, kc o thco M
i
tam gìa c ho a duo c. 1a co n ca n pha ì chu ng mình δ
i
= α
i
, ∀i ∈ 1, p.
1hu c va y, ta co
40
P
f
(t) = [M
1
−tI[ . . . [M
p
− tI[
= P
f
1
(t) . . . P
fp
(t) = (−1)
n
(t − λ
1
)
δ
1
. . . (t −λ
p
)
δp
.
= (−1)
n
(t −λ
1
)
α
1
. . . (t −λ
p
)
αp
.
1u do suy ra δ
i
= α
i
, ∀i ∈ 1, p.
Ví du 11. Cho ma tra n A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −1 2 2
0 0 1 −1
1 −1 1 0
1 −1 1 0
⎞
⎟
⎟
⎠
. Xcm A nhu
ma tra n cu a toa n tu tuyc n tính f : R
4
−→ R
4
, trong co so chính
ta c B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
, e
4
). \i P
f
(t) = t
2
(t − 1)
2
nc n to n ta ì co so
B = (u
1
, u
2
, u
3
, u
4
) sao cho trong co so na y ma tra n cu a f co da ng
tam gìa c kho ì
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 a 0 0
0 1 0 0
0 0 0 b
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Iìc u na y co nghia
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
f(u
1
) = u
1
f(u
2
) = au
1
+u
2
f(u
3
) = 0
f(u
4
) = bu
3
.
\c c to u
1
la vc c to rìc ng cu a f u ng vo ì tr} rìc ng λ = 1. Co thc la y
u
1
= (0, 0, 1, 1). 1hc u
1
va o co ng thu c (f −Id)u
2
= au
1
dc tính u
2
.
41
ßa ng ca ch cho a = 1, co thc la y u
2
= (1, 0, 1, 1) (ta kho ng thc la y
a = 0 vi khì do ca c vc c to u
1
va u
2
sc phu thuo c tuyc n tính). u
3
la
vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ = 0 nc n co thc la y u
3
= (1, 1, 0, 0).
1hc u
3
va o co ng thu c f(u
4
) = bu
3
dc tính u
4
. \o ì b = 1 co thc tính
duo c u
4
= (0, 1, 1, 0). Luu y ra ng ta cu ng kho ng thc la y b = 0 vi khì
do ca c vc c to u
3
va u
4
sc phu thuo c tuyc n tính. \a y
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Na tra n chuyc n co so tu B
0
sang B la
P =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 1 1 0
0 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Nhu va y chu ng ta da tha y ra ng nc u mo t ma tra n tam gìa c ho a
duo c thi ta co thc la m duo c nhìc u hon thc nu a ba ng ca ch dua ma
tra n bìc u dìc n no vc da ng tam gìa c kho ì. Iìc u na y co lo ì hon trong
ca c u ng du ng. 1hu c va y, nc u do ì vo ì mo t ma tra n tam gìa c vìc c na ng
lc n lu y thu a no ì chung la kho ng thc duo c. 1uy nhìc n, nc u chu ng ta
dua no vc da ng tam gìa c kho ì thi vìc c na ng lc n lu y thu a sc dua vc
tính lu y thu a cu a ca c kho ì trc n duo ng chc o chính. \c pha n minh,
mo ì kho ì nhu va y dc u la mo t ma tra n tam gìa c ma ta t ca ca c pha n tu
na m trc n duo ng chc o chính dc u ba ng nhau. \a y ba ì toa n thu c cha t
42
dua vc vìc c na ng lc n lu y thu a cu a ma tra n tam gìa c da ng
A =
⎛
⎜
⎝
λ ∗
.
.
.
0 λ
⎞
⎟
⎠.
Pha n tích A = λI +N, trong do N =
⎛
⎜
⎝
0 ∗
.
.
.
0 0
⎞
⎟
⎠. 1a chu ng
mình to n ta ì p ≤ n sao cho N
p
= 0. 1hu c va y, ta co P
N
(t) =
(−1)
n
t
n
, nc n m
N
(t) = t
p
, vo ì p ≤ n. Io m
N
(N) = 0 nc n N
p
= 0.
ßa y gìo nha n xc t ra ng λI va N gìao hoa n vo ì nhau nc n ta dc da ng
tính duo c A
k
= (λI + N)
k
ba ng ca ch khaì trìc n nh} thu c Ncwton.
¸11. Dang chính tac Jordan
Ia ng tam gìa c kho ì no ì chung da co thc du ng kha to t cho nhu ng
u ng du ng. 1uy nhìc n, ta co thc tìc n ha nh ru t go n trong tu ng kho ì
cho dc n khì nha n duo c mo t da ng ma thco mo t nghia na o do la dao
}/a o o/a /. Io chính la da o} c//o/ /a c Icrdao ma ta sc dc ca p duo ì
da y.
4J
Ð|nh nghía 11.1. 1a go ì ma tra n da ng sau da y la mo t //c / Icrdao:
J(λ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ 1 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
0 λ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Nc u ca p cu a kho ì ba ng 1 thi ta quì uo c J(λ) = (λ).
Bo de 11.2. C/a sa J(λ) /a mc / //c / Icrdao ca p n. K// dc /a cc .
//ï P
J
(t) = (−1)
n
(t −λ)
n
.
///ï m
J
(t) = (t − λ)
n
.
////ï dimE(λ) = 1.
Chu ng minh. ßa ng ca ch tính toa n tru c tìc p ta tha y ngay nhu ng dìc u
ca n chu ng mình.
Ð|nh ly 11.3. /Jordan) C/c f ∈ End
K
(V ) sac c/c P
f
(t) p/a o ra
/re o K.
1ï C/a sa f c// cc mc / /r/ da c /rao} ca
P
f
(t) = (−1)
n
(t −λ)
n
, m
f
(t) = (t − λ)
β
, dimE(λ) = γ.
K// dc , /c o /a / mc / ca sa B ca a V sac c/c
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
J
1
(λ) 0
J
2
(λ)
.
.
.
0 J
γ
(λ)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=:
¯
J(λ),
44
/rco} dc .
aï J
k
(λ) /a //c / Icrdao,
bï Ca p ca a //c / /a o o/a / /a β,
cï Sc ca c //c / Icrdao /a γ.
?ï Ne a f cc ca c /r/ r/e o} //a c o/aa α
1
, . . . , α
p
ca
P
f
(t) = (−1)
n
(t − λ
1
)
α
1
. . . (t −λ
p
)
αp
/// /c o /a / mc / ca sa B ca a V sac c/c
[f]
B
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
¯
J(λ
1
) 0
¯
J(λ
2
)
.
.
.
0
¯
J(λ
p
)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Chu ng minh. 1) Cìa su P
f
(t) = (−1)
n
(t − λ)
n
. \i P
f
(t) pha n ra
trc n K nc n f tam gìa c ho a duo c. Io do to n ta ì mo t co so B
sao cho
[f]
B
=
⎛
⎜
⎝
λ ∗
.
.
.
0 λ
⎞
⎟
⎠ =: A.
Pha n tích A = λI
n
+ N, vo ì N =
⎛
⎜
⎝
0 ∗
.
.
.
0 0
⎞
⎟
⎠ = [u]
B
. Luu
y ra ng f = λId
V
+ u. 1a tha y u la toa n tu lu y lình, nghia la to n
4b
ta ì mo t so tu nhìc n p sao cho u
p
= 0. \i ma tra n bìc u dìc n toa n tu
λId
V
trong mo ì co so dc u la λI
n
nc n ba ì toa n dua vc vìc c ru t go n
toa n tu lu y lình. \a y, gìa su u la toa n tu lu y lình va β la ba c lu y lình
cu a u. Khì do , da thu c to ì tìc u m
u
(t) = t
β
. Io do , u chc o ho a duo c
⇐⇒ β = 1 ⇐⇒ u = 0. \a y, trong nhu ng chu ng mình sau da y ta
sc gìa thìc t u ,= 0. \ìc c chu ng mình d}nh ly sc duo c thu c hìc n tu ng
buo c qua mo t loa t ca c bo dc .
Bo de 11.4. C/c u /a /ca o /a /a µ //o/ ca / ba c /a µ //o/ β > 1. K//
dc , ca c d/e a //e o daa / da µ /aao} daao}.
//ï β = n, o}//a /a P
u
(t) = (−1)
n
ca m
u
(t) = t
n
.
///ï Tc o /a / ce c /a 0 ,= x ∈ V sac c/c
(x, u(x), u
2
(x), . . . , u
n−1
(x))
/a mc / ca sa ca a V /mc / ca sa o/a ca µ se daa c }c / /a mc / co so
xyclìc, cc o /c ao /a u se daa c }c / /a toa n tu xyclìcï.
////ï Tc o /a / mc / ca sa B ca a V sac c/c [u]
B
= J(0).
Chu ng minh. (ìì) =⇒ (ììì). Ia t B = (u
n−1
(x), . . . , u
2
(x), u(x), x).
1a co
[u]
B
= J(0).
(ììì) =⇒ (ìì). Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho [u]
B
= J(0). Khì
do , da t x = e
n
ta co (x, u(x), u
2
(x), . . . , u
n−1
(x)) la mo t co so xyclìc
cu a V .
(ììì) =⇒ (ì). Nc u co (ììì) thi thco 11.2, β = n.
(ì) =⇒ (ììì). Cìa su co (ì). \i u
n−1
,= 0 nc n to n ta ì 0 ,= x ∈ V
sao cho u
n−1
(x) ,= 0. Ia t
e
n
= x, e
n−1
= u(x), . . . , e
1
= u
n−1
(x),
4b
ta sc chu ng mình (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V . Cìa su
n
k=1
λ
k
e
k
=
0, nghia la
n
k=1
λ
k
u
n−k
(x) = 0. La y a nh haì vc qua u
n−1
, nha n
duo c λ
n
= 0. 1uong tu nhu thc , ba ng ca ch na y ta la n luo t thu duo c
λ
n−1
= 0, . . . , e
1
= 0. \a y B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V . Hon
nu a [u]
B
= J(0).
Nho co ßo dc 11.4 ba ì toa n cu a chu ng ta duo c dua vc vìc c chu ng
mình dìc u sau da y:
Nc u u la toa n tu lu y lình thi V la to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng
gìan con ba t bìc n do ì vo ì u, sao cho ha n chc cu a u lc n mo ì kho ng
gìan con na y la mo t toa n tu xyclìc.
Bo de 11.5. Kµ //e a K
p
:= Keru
p
, /a cc da µ
0 = K
0
⊂ K
1
⊂ K
2
⊂ . . . ⊂ K
β−1
⊂ K
β
= V.
Chu ng minh. \i u
p
(x) = 0 =⇒u
p+1
(x) = 0, nc n K
p
⊆ K
p+1
. Na t
kha c, nc u to n ta ì p ∈ 1, β − 1 sao cho K
p
= K
p+1
thi ta co
K
p
= K
p+1
= . . . = K
β
= V.
Iìc u na y da n dc n p la ba c lu y lình cu a u, la dìc u ma u thua n vi p < β.
Bo de 11.6. Tc o /a / ca c //c o} }/ao cco M
1
, . . . , M
β
//c o} /a m
//aa o} //c a ma o ca c d/e a //e o.
//ï K
p
= K
p−1
⊕ M
p
, p ∈ 1, β;
///ï u(M
p
) ⊆ M
p−1
, p ∈ 2, p.
Chu ng minh. \o ì p = β, cho n M
β
la mo t pha n bu na o do cu a
K
β−1
trong K
β
= V . Cìa su da xa y du ng duo c ca c kho ng gìan con
M
β
, M
β−1
, . . . , M
p
tho a ma n ca c dìc u kìc n (ì) va (ìì). 1a sc xa y du ng
47
kho ng gìan con M
p−1
sao cho no cu ng tho a ma n (ì) va (ìì). 1ruo c
hc t ta kìc m tra ca c dìc u kìc n sau da y:
(a) u(M
p
) ⊆ K
p−1
;
(b) u(M
p
) ∩ K
p−2
= 0.
Cìa su x ∈ M
p
. \i M
p
⊆ K
p
nc n u
p
(x) = 0, hay u
p−1
(u(x)) = 0,
nghia la u(x) ∈ K
p−1
. 1a da chu ng mình (a).
ßa y gìo , gìa su y ∈ u(M
p
)∩K
p−2
. Khì do , ta co y = u(x), x ∈ M
p
va u
p−2
(y) = 0, kc o thco u
p−1
(x) = 0, nghia la x ∈ K
p−1
. \a y,
x ∈ K
p−1
∩ M
p
= 0, suy ra x = 0, kc o thco y = u(x) = 0. 1a da
chu ng mình (b). Kc t ho p (a) va (b) ta co
K
p−2
⊕u(M
p
) ⊆ K
p−1
.
Io do to n ta ìG
p−1
la pha n bu cu a K
p−2
⊕ u(M
p
) trong K
p−1
,
ngh|ia la
K
p−1
= K
p−2
⊕u(M
p
) ⊕ G
p−1
.
ßa y gìo nc u da t
M
p−1
= u(M
p
) ⊕G
p−1
thi ta tha y M
p−1
tho a ca c dìc u kìc n (ì) va (ìì).
Bo de 11.7. \a / M
1
, M
2
, . . . , M
β
o/a /rco} 8c de 11.6, /a cc
V = M
1
⊕M
2
⊕M
β
.
Chu ng minh. 1a co
V = K
β
= K
β−1
⊕ M
β
48
= K
β−2
⊕ M
β−1
⊕M
β
= . . . ............................
= M
1
+⊕M
2
⊕. . . ⊕ M
β
.
1ìc p thco, ta sc xa y du ng mo t co so cu a V ba ng ca ch xa y du ng
co so cho mo ì kho ng gìan con M
p
, sau do sa p xc p la ì ca c vc c to co so
ta pha n hoa ch no tha nh ca c co so xyclìc cu a ca c kho ng gìan con cu a
V . 1rong co so cuo ì cu ng na y ma tra n bìc u dìc n f sc co da ng kho ì
duo ng chc o ma trc n duo ng chc o chính la ca c kho ì Jordan. \i mo ì
kho ì Jordan chi chu a du ng mo t vc c to rìc ng nc n so ca c kho ì Jordan
du ng ba ng so chìc u cu a kho ng gìan con rìc ng E(λ).
Bo de 11.8. 4 o/ ca a mc / ca sa ca a M
p
/a mc / /c dc c /a p /aµe o //o/
/rco} M
p−1
.
Chu ng minh. Cìa su (v
1
, . . . , v
r
) la mo t co so cu a M
p
va λ
1
, λ
r
∈ K
sao cho
λ
1
u(v
1
) + . . . +λ
r
u(v
r
) = 0.
Khì do , u(λ
1
v
1
+. . .+λ
r
v
r
) = 0, hay λ
1
v
1
+. . .+λ
r
v
r
∈ Keru =
K
1
⊆ K
p−1
. 1u do suy ra λ
1
v
1
+. . . +λ
r
v
r
∈ M
p
∩ K
p−1
= 0, kc o
thco λ
1
= . . . = λ
r
= 0.
ßa y gìo ta sc la n luo t xa y du ng co so cho M
p
ba t da u tu p = β.
1rong M
β
(ma ta co n ky hìc u la G
β
), la y mo t co so ba t ky na o do .
1ìc p thco, ba ng quì na p lu ì ta sc xa y du ng co so trong M
p−1
nhu sau:
1a co M
P−1
= u(M
p
) ⊕ G
p−1
. La y a nh qua u cu a co so da xa y
du ng trong M
p
ho p vo ì mo t co so cu a G
p−1
ta sc co mo t co so cu a
M
p−1
. ßa ng ca ch na y ta xa y du ng duo c ca c co so B
β
, B
β−1
. . . , B
1
tuong u ng cu a M
β
, M
β−1
. . . , M
1
:
49
B
β
= (v
1
, . . . , v
n
β
)
. ¸¸ .
G
β
,
B
β−1
= (u(v
1
), . . . , u(v
n
β
), ω
1
, . . . , ω
n
β−1
. ¸¸ .
G
β−1
),
B
β−2
= (u
2
(v
1
), . . . , u
2
(v
n
β
), u(ω
1
), . . . , u(ω
n
β−1
), z
1
, . . . , z
n
β−2
. ¸¸ .
G
β−1
),
B
1
= (u
β−1
(v
1
), . . . , u
β−1
(v
n
β
), . . . , x
1
, . . . , x
n
1
. ¸¸ .
G
1
).
\o ì k ∈ 1, β va 0 ,= x ∈ G
k
, da t
I
k
(x) := ¸x, u(x), . . . , u
k−1
(x)).
Bo de 11.9. ∀k ∈ 1, β /a cc
//ï dimI
k
(x) = k.
///ï I
k
(x) /a //c o} }/ao cco ba / b/e o dc / ca / u.
////ï u[
I
k
(x)
/a /ca o /a vµc//c.
Chu ng minh. (ì) Cìa su λ
0
, λ
1
, . . . , λ
k−1
∈ K sao cho
λ
0
x +λ
1
u(x) +. . . + λ
k−1
u
k−1
(x) = 0.
1a c do ng u
k−1
lc n haì vc , nha n duo c λ
0
u
k−1
(x) = 0. Io x ,∈
K
k−1
nc n u
k−1
(x) ,= 0, kc o thco λ
0
= 0. Io do
λ
1
u(x) +. . . +λ
k−1
u
k−1
(x) = 0.
b0
1a c do ng u
k−2
lc n haì vc , nha n duo c λ
1
= 0. Cu tìc p tu c qua
trinh nhu va y, cuo ì cu ng ta nha n duo c λ
0
= λ
1
= . . . = λ
k−1
= 0.
\a y dimI
k
(x) = 0.
(ìì) Hìc n nhìc n.
(ììì) Io d}nh nghia toa n tu xyclìc.
0ua ca ch xa y du ng ca c kho ng gìan con I
k
(x) ta nha n tha y ra ng
V la to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan con
I
β
(v
1
), . . . , I
β
(v
n
β
), I
β−1
(ω
1
), . . . , I
β−1
(ω
n
β−1
), . . . , I
1
(x
1
), . . . , I
1
(x
n
1
).
Nhu va y ma tra n bìc u dìc n toa n tu f trong co so cu a V nha n
duo c ba ng ca ch ghc p ca c co so xyclìc cu a ca c kho ng gìan con I
k
(x)
sc co da ng kho ì duo ng chc o ma mo ì kho ì la mo t kho ì Jordan. 1a da
chu ng mình Pha n 1) cu a I}nh ly 11.J. Pha n 2) cu a d}nh ly na y duoc
chu ng mình nhu sau:
1ruo c hc t pha n tích V tha nh to ng tru c tìc p cu a ca c kho ng gìan
con da c trung, sau do a p du ng Pha n 1) do ì vo ì mo ì kho ng gìan con
da c trung. Nhu va y d}nh ly da duo c chu ng mình hoa n toa n.
Ví du 12. Cho ma tra n
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
1 2 3 1
−2 −4 −4 −1
⎞
⎟
⎟
⎠
.
1im da ng chính ta c Jordan cu a A. Xcm A nhu ma tra n bìc u dìc n
toa n tu tuyc n tính f ∈ End
R
(R
4
). Ha y chi ro co so trong do f co
b1
da ng chính ta c Jordan da nc u.
Cia i. P
A
(λ) = (λ − 1)
4
. Io A − I
4
,= 0 va (A − I
4
)
2
= 0 nc n
m
A
(λ) = (λ − 1)
2
. 1a tính duo c dimE(1) = 3. Io do da ng chính
ta c Jordan cu a A la
A
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Co ì (u
1
, u
2
, u
3
, u
4
) la co so trong do f co da ng chính ta c no ì
trc n. 1a tha y ca c vc c to u
1
, u
3
va u
4
ca n pha ì cho n sao cho chu ng
ta o tha nh co so cu a kho ng gìan con rìc ng E(1). Hon nu a u
1
ca n pha ì
duo c cho n sao cho ta co thc tim duo c u
2
tho a f(u
1
) = u
1
+u
2
. ßa ng
ca ch tính toa n tru c tìc p ta co thc la y ca c vc c to sau:
u
1
= (0, 0, 1, −2), u
2
= (1, 0, 0, 0), u
3
= (0, 1, 0, −2), u
4
= (1, 0, 0, −1).
Ví du 13. A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 2
0 2 0 0
0 0 2 3
0 0 0 2
⎞
⎟
⎟
⎠
.
1a co P
A
(λ) = (λ − 1)(λ − 2)
3
, dimE(2) = 2, suy ra N(2) co
haì kho ì Jordan. Io dimN(2) = 3 nc n N(2) co mo t kho ì Jordan ca p
1 va mo t kho ì Jordan ca p 2. 1u do suy ra da thu c to ì tìc u cu a A la
b2
m
A
(λ) = (λ − 2)
2
. Ia ng chính ta c Jordan cu a A la
A
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 1
0 0 0 2
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Bai tap
Ba i 1. Cho A, B, C, D ∈ M
n
(R), vo ì CD = DC. Chu ng mình ra ng
det
_
A B
C D
_
= det(AD − BC).
Ba i 2. Cho A, B, C, D ∈ M
n
(R) la ca c ma tra n tho a CD = DC.
Chu ng mình ra ng ma tra n X =
_
A B
C D
_
kha ngh}ch khì va chi
khì Y = AD − BC kha ngh}ch.
Ba i 3. Ky hìc u K
n
[t] la kho ng gìan vc c to go m ca c da thu c cu a K[t]
co ba c ≤ n. Cho toa n tu tuyc n tính
f : R
2
[t] −→R
2
[t],
duo c xa c d}nh nhu sau:
f(Q) = (2t + 1)Q− (t
2
− 1)Q
, ∀Q ∈ R
2
[t].
bJ
Ha y tính f
n
(a
0
+ a
1
t +a
2
t
2
):
Ba i 4. Cho V la kho ng gìan vc c to thu c go m ta t ca ca c ma tra n thu c
ca p 2 co vc t ba ng 0.
(a) 1im mo t co so va so chìc u cu a V .
(b) Cho B =
_
1 0
2 3
_
va f : V −→ V duo c d}nh nghia bo ì
f(X) = XB − BX, ∀X ∈ V . Chu ng mình ra ng f la mo t toa n tu
tuyc n tính trong kho ng gìan V va tính f
n
(A), vo ì A =
_
a b
c −a
_
.
Ba i 5. Cìa su Iìbonacìì xa y du ng da y so cu a minh vo ì F
0
= 1, F
1
= 3
va F
k+2
= F
k+1
+ F
k
, ∀k ≥ 0. Ha y tính ca c so Iìbonacìì mo ì va
chu ng mình ra ng ti so F
k+1
/F
k
cu ng da n to ì ”ti lc va ng”.
Ba i 6. Ha y tim dìc u kìc n do ì vo ì ca c so thu c a, b, c sao cho ma tra n
sau da y chc o ho a duo c:
A =
⎛
⎝
1 a b
0 2 c
0 0 2
⎞
⎠
.
Ba i 7. Cho R la truo ng so thu c va f : R
3
−→ R
3
la mo t toa n tu
tuyc n tính trong kho ng gìan vc c to R
3
duo c xa c d}nh bo ì co ng thu c
f(x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
−x
2
+x
3
, −2x
1
+ 3x
2
, −2x
1
+x
2
+ 2x
3
),
do ì vo ì mo ì pha n tu (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
.
b4
(a) Chu ng mình ra ng toa n tu f chc o ho a duo c trc n R va tim mo t
co so cu a R
3
sao cho ma tra n bìc u dìc n toa n tu f trong co so do la
mo t ma tra n chc o.
(b) \o ì mo ì so nguyc n n ≥ 2, chu ng mình ra ng to n ta ì mo t toa n
tu g : R
3
−→R
3
sao cho g
n
= f.
Ba i 8. Io ì vo ì mo ì ma tra n duo ì da y ha y dua vc da ng tam gìa c va
chi ro ma tra n kha ngh}ch P la m tam gìa c ho a no :
(a) A =
⎛
⎝
3 −1 1
2 0 1
1 −1 2
⎞
⎠
; (b) A =
⎛
⎝
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
⎞
⎠
.
Ba i 9. Cìa ì hc phuong btrinh vì pha n
dX
dt
= AX, vo ì A la ma tra n
trong ßa ì 8.
Ba i 10. 1im da thu c to ì tìc u cu a ca c ma tra n trong ßa ì 8.
Ba i 11. Cìa su toa n tu tuyc n tính f : R
3
−→ R
3
co ma tra n bìc u
dìc n trong co so chính ta c la
A =
⎛
⎝
1 0 0
1 2 1
−1 0 1
⎞
⎠
.
Ha y tim da thu c to ì tìc u cu a f va pha n tích R
3
tha nh to ng tru c
tìc p cu a ca c kho ng gìan con da c trung.
Ba i 12. 1im da ng chính ta c Jordan cu a ca c ma tra n
bb
(a) A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1 1 0 0
0 1 0 0
1 2 3 1
−2 −5 −4 −1
⎞
⎟
⎟
⎠
; (b)
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −3 0 3
−2 −6 0 13
0 −3 1 3
−1 −4 0 8
⎞
⎟
⎟
⎠
;
(c) A =
⎛
⎜
⎜
⎝
3 −1 1 −7
9 −3 −7 −1
0 0 4 −8
0 0 2 −4
⎞
⎟
⎟
⎠
; (d) A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 0 1 . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
bb
Chuong II
KH0NC CIAN FUCIID
¸1. Tích vo huong
Ð|nh nghía 1.1. Cho V la kho ng gìan vc c to trc n truo ng K. A nh xa
ϕ : V V −→K
duo c go ì la mo t da o} sco} /aµe o //o/ trc n V nc u ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈
K, ta co
(ì) ϕ(αx +βy, z) = αϕ(x, z) + βϕ(y, z)
(ìì) ϕ(x, αy + βz) = αϕ(x, y) +βϕ(x, z).
Ð|nh nghía 1.2. Cho V la kho ng gìan vc c to trc n truo ng so thu c R.
Ia ng song tuyc n tính ¸, ) : V V −→ R duo c go ì la mo t //c/ cc
/aa o} trong V nc u no la :
b7
(ì) Io ì xu ng, nghia la ¸x, y) = ¸y, x), ∀x, y ∈ R;
(ìì) xa c d}nh duong, nghia la ¸x, x) ≥ 0, ∀x ∈ V va ¸x, x) =
0 ⇐⇒x = 0.
Cìa su V la mo t kho ng gìan vc c to thu c vo ì tích vo huo ng. Nc u
V hu u ha n chìc u thi ta no ì V la //c o} }/ao /ac//d; nc u V vo ha n
chìc u thi ta no ì V la //c o} }/ao H//ber/.
Ví du 14. Cho kho ng gìan vc c to V = R
n
, vo ì x = (x
1
, . . . , x
n
) va
y = (y
1
, . . . , y
n
), d}nh nghia
¸x, y) := x
1
y
1
+. . . + x
n
y
n
.
Khì do V la kho ng gìan Luclìd. 1ích vo huo ng vu a d}nh nghia duo c
go ì la //c/ cc /aa o} c//o/ /a c trong R
n
.
Ví du 15. \o ì x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
d}nh nghia
¸x, y) := x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
+ 3x
3
y
3
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
.
Ia y la mo t a nh xa song tuyc n tính do ì xu ng. Hon nu a, nhu ng
tính to an duo ì da y cho tha y no co n la a nh xa xa c d}nh duong.
¸x, x) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
1
x
2
= x
2
1
+ 2x
1
x
2
+ x
2
2
+x
2
2
+ 3x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
2
+x
2
2
+ 3x
2
3
≥ 0.
1u do suy ra ¸x, x) = 0 ⇐⇒ x
1
+ x
2
= x
2
= x
3
= 0 ⇐⇒ x
1
=
x
2
= x
3
= 0.
Ví du 16. Xc t kho ng gìan vc c to M
2
(R) go m ca c ma tra n vuo ng ca p
2 trc n truo ng so thu c R. A nh xa ¸A, B) := Tr(A
B) la mo t tích vo
huo ng trong M
2
(R).
b8
Ví du 17. ∀P, Q ∈ R[x], d}nh nghia
¸P, Q) :=
_
1
0
P(x)Q(x)dx.
Hìc n nhìc n da y la mo t da ng song tuyc n tính do ì xu ng trc n R[x].
1a sc chu ng mình no xa c d}nh duong. 1ha t va y, ta co ¸P, P) =
_
1
0
P(x)
2
dx ≥ 0. Cìa su ¸P, P) = 0. \i P(x) la mo t ha m lìc n tu c va
P(x)
2
≥ 0 nc n tu dìc u kìc n
_
1
0
P(x)
2
dx = 0 suy ra P(x)[
[0,1]
= 0.
Io da thu c P(x) chi co thc co mo t so hu u ha n nghìc m nc n tu do
suy ra P(x) ≡ 0.
Ví du 18. Cho W la mo t kho ng gìan con cu a kho ng gìan vc c to V .
Cìa su trong V co tích vo huo ng ¸, )
V
. ∀x, y ∈ W, d}nh nghia
¸x, y)
W
:= ¸x, y)
V
.
Ic tha y da y la mo t tích vo huo ng trong W.
¸2. Da ng ru t gon Causs
1rong tìc t na y ta kha o sa t va n dc la m thc na o dc bìc t duo c mo t
da ng song tuyc n tính do ì xu ng trc n kho ng gìan vc c to V la xa c d}nh
duong hay kho ng. Iìc u na y co nghia la la m thc na o dc nha n bìc t
b9
mo t a nh xa song tuyc n tính do ì xu ng co pha ì la mo t tích vo huo ng
hay kho ng.
Cho V la kho ng gìan vc c to n chìc u trc n K vo ì (e
1
, . . . , e
n
) la
mo t co so cu a V . Cìa su ϕ la mo t da ng song tuyc n tính trc n V va
x =
n
i=1
x
i
e
i
, y =
n
i=1
y
i
e
i
la ca c vc c to ba t ky cu a V duo c bìc u
dìc n tha nh to ho p tuyc n tính cu a ca c vc c to co so . khì do ta co
ϕ(x, y) = ϕ
_
n
i=1
x
i
e
i
,
n
i=1
y
i
e
i
_
=
n
i,j=1
x
i
y
j
ϕ(e
i
, e
j
).
Nc u da t a
ij
= ϕ(e
i
, e
j
) thi ta co
ϕ(x, y) =
n
i,j=1
a
ij
x
i
y
j
.
\a y, nc u ϕ la mo t da ng song tuyc n tính trc n V thi trong mo t co
so na o do cu a V bìc u thu c cu a ϕ duo c vìc t duo ì da ng to ng cu a ca c
don thu c trong do x
i
va y
j
dc u xua t hìc n duo ì da ng lu y thu a ba c nha t.
Ia y la da u hìc u dc chu ng ta dc da ng nha n da ng ca c da ng song tuyc n
tính. \í du ϕ(x, y) = x
1
y
1
+2x
2
y
2
−x
3
y +x
1
y
3
la da ng song tuyc n
tính trc n kho ng gìan R
3
, trong khì ψ(x, y) = 4x
1
y
2
+ . . . kho ng thc
la da ng song tuyc n tính duo c.
\ìc c kìc m tra xcm mo t da ng song tuyc n tính co do ì xu ng hay
kho ng la mo t vìc c dc da ng. 1ha t va y, nc u trong bìc u thu c cu a da ng
song tuyc n tính ϕ ta do ì vaì tro cu a x va y cho nhau ma ϕ kho ng
thay do ì thi no la da ng song tuyc n tính do ì xu ng. 1rong truo ng ho p
nguo c la ì ϕ kho ng do ì xu ng.
b0
ßa y gìo cho K = R va ta ca n kìc m tra xcm mo t da ng song
tuyc n tính do ì xu ng trc n kho ng gìan vc c to thu c co xa c d}nh duong
hay kho ng. Iuo ì da y la mo t phuong pha p thuo c vc Causs cho phc p
chu ng ta la m duo c dìc u do . Luu y la ta da du ng phuong pha p na y
trong khì trinh ba y \í du 2.
Cìa su ϕ(x, x) duo c vìc t duo ì da ng da thu c
ϕ(x, x) = a
11
x
2
1
+ . . . +a
nn
x
2
n
+. . . + a
ij
x
i
x
j
+ . . .
nghia la ϕ(x, x) duo c vìc t duo ì da ng mo t da thu c thua n nha t ba c 2
thco ca cc bìc n x
1
, . . . , x
n
. 1a go ì ca c don thu c chu a x
2
i
la ca c dao
//a c cac o} va ca c don thu c chu a x
i
x
j
la ca c dao //a c c/a o/a /.
Ne nh de 2.1. Ne a ϕ /a mc / //c/ cc /aa o} /rco} V /// /a / ca ca c /e
sc a
ii
ca a ca c dao //a c cac o} de a /a ca c sc daao}.
Chu ng minh. 1ha t va y, nc u to n ta ì mo t i ∈ 1, n sao cho a
ii
≤ 0 thi
a
ii
= ϕ(e
i
, e
i
) ≤ 0, suy ra ϕ kho ng xa c d}nh duong.
1hco mc nh dc vu a chu ng mình, nc u trong bìc u thu c cu a ϕ(x, x)
kho ng co du n don thu c vuo ng thi ϕ kho ng xa c d}nh duong. 1uy
nhìc n, nc u ϕ la da ng song tuyc n tính do ì xu ng sao cho trong bìc u
thu c cu a ϕ(x, y) co chu a du n don thu c vuo ng thi ta chua du co so
dc kc t lua n ϕ co pha ì la mo t tích vo huo ng hay kho ng. Causs da
dc xua t mo t phuong pha p cho phc p chu ng ta co thc dì dc n mo t kc t
lua n nhu va y. 1hu c cha t cu a phuong pha p Causs la dua bìc u thu c cu a
ϕ vc da ng to ng cu a nhu ng don thu c vuo ng ba ng ca c phc p bìc n do ì
tuyc n tính. Ic dc hìc u ta sc la m dìc u na y tho ng qua mo t ví du cu
thc . 1ruo ng ho p to ng qua t cu ng duo c la m hoa n toa n tuong tu nhu
va y.
Ví du 19. 1rong R
3
xc t da ng song tuyc n tính do ì xu ng
ϕ(x, y) = x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
+ 5x
3
y
3
+x
1
y
2
−2x
2
y
3
+x
2
y
1
− 2x
3
y
2
.
b1
1a co
ϕ(x, x) = x
2
1
+ 2x
2
2
+ 5x
2
3
+ 2x
1
x
2
−4x
2
x
3
.
1uy ϕ(x, x) chu a du 3 so ha ng vuo ng, nhung nhu trc n da no ì,
ta chua thc kc t lua n ϕ co xa c d}nh duong hay kho ng. Phuong pha p
Causs tra ì qua ca c buo c sau:
1. Xc t mo t don thu c vuo ng, x
2
1
cha ng ha n. Sa p xc p ta t ca ca c
don thu c co chu a x
1
la ì vo ì nhau:
ϕ(x, x) = (x
2
1
+ 2x
1
x
2
)
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
1
+2x
2
2
+ 5x
2
3
−4x
2
x
3
.
2. \ìc t bìc u thu c co chu a x
1
tha nh mo t binh phuong:
ϕ(x, x) = (x
1
+x
2
)
2
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
1
−x
2
.¸¸.
b/e a //a c //e m ca c
+2x
2
2
+5x
2
3
−4x
2
x
3
.
J. \ìc t ϕ tha nh to ng cu a mo t binh phuong va mo t bìc u thu c
kho ng chu a x
1
:
ϕ(x, x) = (x
1
+x
2
)
2
+ x
2
2
+ 5x
2
3
− 4x
2
x
3
. ¸¸ .
b/e a //a c //c o} c/a a x
1
.
4. La p la ì qua trinh nhu trc n do ì vo ì bìc u thu c kho ng chu a x
1
:
ϕ(x, x) = (x
1
+ x
2
)
2
+ x
2
2
− 4x
2
x
3
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
2
+5x
3
.
b2
= (x
1
+x
2
)
2
+ (x
2
− 2x
3
)
2
. ¸¸ .
b/e a //a c c/a a x
2
−4x
3
. ¸¸ .
b/e a //a c //e m ca c
+5x
3
.
1ìc p tu c la m nhu va y cho dc n khì na o ta t ca ca c don thu c nha n
duo c dc u vuo ng; khì do qua trinh sc kc t thu c:
ϕ(x, x) = (x
1
+x
2
)
2
+ (x
2
− 2x
3
)
2
+x
2
3
.
ßìc u thu c cuo ì cu ng sc duo c go ì la da o} ra / }c o Caass cu a ϕ(x, x).
Luu y ra ng da ng ru t go n Causs kho ng duy nha t vi thay vi ba t da u
tu x
1
ta co thc ba t da u ba ng ba t ky mo t bìc n na o kha c.
ßa y gìo ta co thc dc da ng tra lo ì ca u ho ì lìc u ϕ co xa c d}nh duong
hay kho ng. 1ha t va y, ta co
ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒(x
1
+ x
2
)
2
= (x
2
−2x
3
)
2
= x
2
3
= 0
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x
1
+ x
2
= 0;
x
2
−2x
3
= 0;
x
3
= 0.
⇐⇒x
1
= x
2
= x
3
= 0.
\a y ϕ xa c d}nh duong, do do no la mo t tích vo huong trong R
3
.
Ví du 20. 1rong R
3
xc t da ng song tuyc n tính do ì xu ng
ϕ(x, y) = x
1
y
1
+ 3x
2
y
2
+ 5x
3
y
3
+ 2x
1
y
2
−4x
1
y
3
+ 6x
2
y
3
.
1a co
ϕ(x, x) = x
2
1
+ 3x
2
2
+ 5x
2
3
+ 2x
1
x
2
−4x
1
x
3
+ 6x
2
x
3
= (x
2
1
+ 2x
1
x
2
−4x
1
x
3
) + 3x
2
2
+ 5x
2
3
+ 6x
2
x
3
bJ
= [x
1
+ (x
2
− 2x
3
)]
2
− (x
2
−2x
3
)
2
+ 3x
2
2
+ 5x
2
3
+ 6x
2
x
3
= (x
1
+ x
2
− 2x
3
)
2
+ 2x
2
2
+x
2
3
+ 10x
2
x
3
= (x
1
+ x
2
− 2x
3
)
2
+ (x
3
+ 5x
2
)
2
− 23x
2
2
.
Cìa ì hc phuong trinh tuyc n tính
_
x
1
+x
2
− 2x
3
= 0;
5x
2
+x
3
=
√
23x
2
.
Cho x
2
= 1, nha n duo c x
1
= 9 + 2
√
23, x
3
= −5 +
√
23. \a y,
vo ì x = (9 + 2
√
23, 1, −5 +
√
23) ,= 0, ta co ϕ(x, x) = 0. Io do ϕ
kho ng xa c d}nh tích vo huo ng trong R
3
.
1rong \í du 10, da ng ru t go n Causs go m 3 don thu c vuo ng vo ì
da u co ng (ta no ì mo t dao //a c cac o} ca / da a cc o} khì hc so cu a no
la so duong). 1rong \í du 11, so ca c don thu c vuo ng cu ng ba ng so
chìc u cu a kho ng gìan vc c to, nhung kho ng pha ì ta t ca chu ng dc u la
don thu c vuo ng vo ì da u co ng. 1rong truo ng ho p da u ta tha y da ng
song tuyc n tính xa c d}nh duong, co n trong truo ng ho p thu haì thi
kho ng. 1o ng qua t, ta co thc chu ng mình d}nh ly duo ì da y.
Ð|nh ly 2.2. C/c V /a //c o} }/ao ce c /a //a c sc c//e a n ca ϕ /a mc /
da o} sco} /aµe o //o/ dc / va o} /re o V . K// dc , ϕ va c d/o/ daao}
oe a ca c// oe a da o} ra / }c o Caass ca a ϕ cc n dao //a c cac o} ca /
da a cc o}.
Chu ng minh. Cìa su da ng ru t go n Causs cu a ϕ co n don thu c vuo ng
vo ì da u co ng. 1u dìc u kìc n ϕ(x, x) = 0 suy ra suy ra x
1
, . . . , x
n
tho a
mo t hc go m n phuong trinh tuyc n tính thua n nha t co ma tra n hc c
so o da ng ba c thang (dìc u na y tha y ro qua ca c phc p bìc n do ì ma ta
thu c hìc n ba ng phuong pha p Causs). No t hc phuong trinh nhu va y
chi co nghìc m ta m thuo ng, suy ra x = 0.
b4
Nguo c la ì, gìa su da ng ru t go n Causs co ít hon n don thu c vuo ng
hoa c co ít nha t mo t don thu c vuo ng vo ì da u tru . ßa ng ca ch da nh so
thu tu la ì nc u ca n thìc t, ta co thc gìa thìc t
ϕ(x, x) = a
1
ϕ
1
(x)
2
+ a
2
ϕ
2
(x)
2
+ . . . +a
n
ϕ
n
(x)
2
,
trong do ϕ
i
la ca c bìc u thu c tuyc n tính, a
1
> 0 va a
2
≤ 0. Xc t hc
phuong trinh tuyc n tính
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
_
|a
2
|
a
1
ϕ
2
(x);
ϕ
3
(x) = 0;
. . . . . . . . .
ϕ
n
(x) = 0.
Ia y la hc phuong trinh tuyc n tính thua n nha t co so ohuong trinh
ít hon so a n nc n co nghìc m kho ng ta m thuo ng. Io ì vo ì nghìc m
kho ng ta m thuo ng x ,= 0 nhu va y, ta co ϕ(x, x) = 0, do do ϕ kho ng
xa c d}nh duong.
¸3. Chuan cua vec to
Ð|nh nghía 3.1. Cho V la kho ng gìan vc c to thu c vo ì tích vo huo ng
¸, ). \o ì mo ì vc c to x ∈ V da t
[[x[[ :=
_
¸x, x),
va go ì no la c/aa o cu a x.
bb
Bo de 3.2. /Ba t da ng thu c Cauchy-Schwarz) \a / mc / x, y ∈ V /a cc
¸x, y)
2
≤ [[x[[
2
.[[y[[
2
.
Hao oa a, da a = va µ ra /// ca c// /// x ca y p/a //ac c /aµe o
//o/.
Chu ng minh. Nc u [[x[[ = [[y[[ = 0 thi x = y = 0 va ba t da ng thu c
hìc n nhìc n duo c tho a ma n.
Cìa su [[y[[ ,= 0 va λ ∈ R la mo t so thu c ba t ky . 1a co
[[x + λy[[
2
≥ 0
=⇒[[x[[
2
+[[λy[[
2
+ 2¸x, λy) ≥ 0
=⇒λ
2
.[[y[[
2
+ 2λ¸x, y) +[[x[[
2
≥ 0.
\c tra ì cu a ba t da ng thu c sau cu ng la mo t tam thu c ba c haì thco
λ. Ic tam thu c na y luo n nha n gìa tr} kho ng a m do ì vo ì mo ì λ ∈ R
thi dìc u kìc n ca n va du la bìc t so Δ
≤ 0, nghia la
¸x, y)
2
−[[x[
2
[[y[[
2
≤ 0
hay
¸x, y)
2
≤ [[x[
2
[[y[[
.
ßa y gìo , gìa su da u = xa y ra, nghia la ¸x, y)
2
= [[x[
2
[[y[[
2
. Khì
do tam thu c ba c haì no ì trc n co nghìc m kc p, nghia la to n ta ì λ ∈ R
sao cho
λ
2
.[[y[[
2
+ 2λ¸x, y) + [[x[[
2
hay [[x + λy[[
2
= 0. 1u do suy ra x + λy = 0 hay x va y la ca c vc c
to phu thuo c tuyc n tính.
Ne nh de 3.3. 4 o/ va
[[ [[ : V −→R
+
bb
va c d/o/ ba / [[x[[ =
_
¸x, x) //c a ma o ca c //o/ c/a / saa da µ.
//ï [[λx[[ = [λ[.[[x[[, ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R.
///ï [[x[[ = 0 ⇐⇒x = 0.
////ï [[x + y[[ ≤ [[x[[ + [[y[[, ∀x, y ∈ V /ba / da o} //a c /am }/a cï.
Hao oa a, da a = va µ ra /// ca c// /// /c o /a / λ ≥ 0 sac c/c y = λx
/ca c x = λy.
Chu ng minh. 1a co
[[x + y[[
2
= [[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2¸x, y) ≤
[[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2[¸x, y)[ ≤ (ba t da ng thu c C-S)
[[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2[[x[[.[[y[[ = ([[x[[ +[[y[[)
2
.
Suy ra [[x +y[[ ≤ [[x[[ +[[y[[.
Nc u y = λx, vo ì λ ≥ 0 thi ta co
[[x + y[[ = [[x +λx[[ = [[(1 + λx)x[[ = (1 + λ)[[x[[
= [[x[[ +λ.[[x[[ = [[x[[ +[[λx[[ = [[x[[ + [[y[[.
Nguo c la ì, gìa su
[[x +y[[ = [[x[[ +[[y[[.
Khì do
[[x + y[[
2
= [[x[[
2
+ [[y[[
2
+ 2¸x, y)
= [[x[[
2
+[[y[[
2
+ 2[[x[[.[[y[[.
1u do suy ra ¸x, y) = [[x[[.[[y[[, kc o thco ¸x, y)
2
= [[x[[
2
[[y[[
2
.
1hco ßo dc J.2, x va y phu thuo c tuyc n tính. Cìa su , cha ng ha n x ,= 0
va y = λx. Khì do tu ba t da ng thu c C-S ta co n co [¸x, y)[ = [[x[[.[[y[[,
suy ra ¸x, y) = [¸x, y)[. 1hay y = λx va o da ng thu c cuo ì cu ng, nha n
duo c λ.[[x[[ = [λ[.[[x[[. 1u do suy ra λ ≥ 0.
b7
Ð|nh nghía 3.4. Cìa su x va y la haì vc c to kha c kho ng cu aa V . A p
du ng ba t da ng thu c C-S, ta co
[¸x, y)[
[[x[[.[[y[[
≤ 1.
1u do suy ra to n ta ì duy nha t mo t go c θ ∈ [0, π] sao cho
cos θ =
¸x, y)
[[x[[.[[y[[
≤ 1.
1a go ì θ la }c c (kho ng d}nh huo ng) gìu a ca c vc c to x va y.
Cuo ì cu ng, dc kc t thu c tìc t na y, luu y ra ng tích vo huo ng co thc
duo c bìc u dìc n qua chua n bo ì co ng thu c duo ì da y:
¸x, y) =
1
2
([[x + y[[
2
−[[x[[
2
−[[y[[
2
).
¸4. Su truc giao
Ð|nh nghía 4.1. Cho V la mo t kho ng gìan vc c to vo ì tích vo huo ng
¸, ).
(a) 1a no ì ca c vc c to x, y ∈ V /ra c }/ac vo ì nhau va vìc t x ⊥ y,
nc u ¸x, y) = 0.
b8
(b) Nc u A ⊆ V la mo t ta p con kha c Ø cu a V thi ta da t
A
⊥
:= ¦x ∈ V [¸x, a) = 0, ∀a ∈ A¦.
Khì do A
⊥
la mo t kho ng gìan con cu a V va ta go ì A
⊥
la //c o}
}/ao cco ca a V /ra c }/ac vo ì A.
Ic da ng nha n tha y 0
⊥
= V va V
⊥
= 0.
ßa y gìo gìa su V la kho ng gìan vc c to trc n truo ng K va V
∗
la
kho ng gìan do ì nga u cu a no . Nc u W la kho ng gìan con cu a V thi da t
W
0
:= ¦f ∈ V
∗
[f(v) = 0, ∀v ∈ W¦.
Ic tha y W
0
la kho ng gìan con cu a V
∗
va ta go ì no la //o/ /c a /a
cu a W. Hìc n nhìc n, nc u ¦v
1
, . . . , v
p
¦ la mo t co so cu a W thi
W
0
= ¦f ∈ V
∗
[f(v
1
) = . . . = f(v
p
) = 0¦.
Ne nh de 4.2. Ne a V /a //c o} }/ao ce c /a /a a /a o c//e a /re o K ca
W /a //c o} }/ao cco ca a V ///
dimV = dimW +dimW
0
.
Chu ng minh. Cìa su dimV = n va ¦v
1
, . . . , v
p
¦ la mo t co so cu a
W. ßo tu c thc m ca c vc c to cu a V va o ta p ho p no ì trc n dc nha n duo c
mo t co so cu a V :
B = ¦v
1
, . . . , v
p
, v
p+1
, . . . , v
n
¦.
Co ì B
∗
= ¦ρ
1
, . . . , ρ
p
, ρ
p+1
, . . . , ρ
n
¦ la co so do ì nga u cu a B. 1a
sc chu ng mình ¦ρ
p+1
, . . . , ρ
n
¦ la co so cu a W
0
.
b9
∀k ∈ p + 1, n ta co ρ
k
(v
1
) = . . . ρ
k
(v
p
) = 0, suy ra ρ
k
∈ W
0
. Io
ρ
p+1
, . . . , ρ
n
¦ la ca c vc c to do c la p tuyc n tính nc n ta chi ca n chu ng
mình chu ng sình ra W
0
la du . \a y, xc t ∀f ∈ W
0
va ∀x ∈ V . 1a co
x = x
1
v
1
+ . . . +x
p
v
p
+x
p+1
v
p+1
+ . . . +x
n
v
n
.
Khì do f(x) = x
p+1
f(v
p+1
)+. . .+x
n
f(v
n
). Ia t λ
k
= f(v
k
), ∀k ∈
p + 1, n, ta co
f(x) = λ
p+1
ρ
p+1
(x) + . . . +λ
n
ρ
n
(x).
1u do suy ra f = λ
p+1
ρ
1
+ . . . +λ
n
ρ
n
.
1ro la ì vo ì kho ng gìan Luclìd n chìc u V . Nhu trc n da nha n xc t,
V
∗
· V . Iuo ì da y ta sc xa y du ng mo t da ng ca u tu nhìc n gìu a V va
V
∗
.
Ne nh de 4.3. C/c V /a //c o} }/ao /ac//d ca / //c/ cc /aa o} ¸, ).
4 o/ va
σ : V −→ V
∗
y −→ σ(y),
/rco} dc
σ(y) : V −→ R
∗
x −→ ¸x, y)
/a mc / da o} ca a }/a a V ca V
∗
. Hao oa a, oe a W /a mc / //c o} }/ao
cco ca a V /// σ(W
⊥
) = W
0
.
Chu ng minh. Ic da ng kìc m tra σ la mo t a nh xa tuyc n tính. Io
dim(V ) = dim(V
∗
) nc n dc chu ng mình σ la da ng ca u ta chi ca n
70
chu ng mình σ la don ca u la du . \a y, gìa su y ∈ V sao cho σ(y) = 0.
Iìc u na y co nghia la ¸x, y) = 0, ∀x ∈ V . No ì rìc ng, la y x = y ta co
¸y, y) = 0, kc o thco y = 0. \a y σ la don ca u, kc o thco σ la da ng ca u.
1ìc p thco ta co
σ
−1
(W
0
) = ¦y ∈ V [ σ(y) ∈ W
0
¦
= ¦y ∈ V [ σ(y)(x) = 0, ∀x ∈ W¦
= ¦y ∈ V [ ¸x, y) = 0, ∀x ∈ W¦ = W
⊥
.
Io σ la da ng ca u nc n tu do suy ra σ(W
⊥
) = W
0
.
He qua 4.4. Ne a W /a //c o} }/ao cco ca a //c o} }/ao /ac//d V ///
dim(W
⊥
= dim(V ) − dim(W).
Ne nh de 4.5. Ne a W /a //c o} }/ao cco ca a //c o} }/ao /ac//d V
///
//ï V = W ⊕ W
⊥
.
///ï W
⊥⊥
:= (W
⊥
)
⊥
= W.
Chu ng minh. (ì) duo c suy ra ngay tu Hc qua 4.4.
(ìì) ∀x ∈ W, ∀y ∈ W
⊥
ta co ¸x, y) = 0, suy ra x ∈ W
⊥⊥
. \a y
W ⊆ W
⊥⊥
. A p du ng Hc qua 4.4, ta co
dim(W
⊥⊥
) = dim(V ) − dim(W
⊥
)
= dim(V ) − (dim(V ) −dim)(W) = dim(W).
1u do suy ra dim(W
⊥⊥
) = dim(W).
¸5. Co so truc giao va co so truc chuan
71
Ð|nh nghía 5.1. Cho V la kho ng gìan Luclìd n chìc u va B =
(e
1
, . . . , e
n
) la mo t co so cu a V .
(ì) 1a no ì B la ca sa /ra c }/ac nc u
¸e
i
, e
j
) = 0, ∀i ,= j.
(ìì) 1a no ì B la ca sa /ra c c/aa o nc u
¸e
i
, e
j
) = δ
ij
,
trong do δ
ij
la ky hìc u Kroncckcr.
Hìc n nhìc n nc u (e
1
, . . . , e
n
) la co so tru c gìao thi (
e
1
||e
1
||
, . . . ,
en
||en||
)
la co so tru c chua n.
Ð|nh ly 5.2. Trco} mc / //c o} }/ao /ac//d ba / /µ /ac o /c o /a / ca c ca
sa /ra c c/aa o.
Chu ng minh. Io nha n xc t phía trc n nc n ta chi ca n chu ng mình su
to n ta ì co so tru c gìao la du . Iìc u na y sc duo c chu ng mình ba ng quì
na p thco n. Nc u n = 1 thi kho ng co dìc u gi dc chu ng mình. Cìa su
dìc u kha ng d}nh la du ng cho nhu ng kho ng gìan so chìc u bc thua n.
Xc t mo t vc c to 0 ,= v ∈ V va da t W = ¸v)
⊥
. Khì do V = ¸v) ⊕ W
va dim(W) = n −1. 1hco gìa thìc t quì na p trong W ta tim duo c co
so tru c gìao, cha ng ha n (u
1
, . . . , u
n−1
). Ia t u
n
= v, hìc n nhìc n ta
co mo t co so tru c gìao cu a V la (u
1
, . . . , u
n−1
, u
n
).
Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) la co so tru c chua n cu a V . \o ì mo ì ca p
72
vc c to x =
n
i=1
x
i
e
i
va y =
n
i=1
y
i
e
i
cu a V ta co
¸x, y) = ¸
n
i=1
x
i
e
i
,
n
i=1
y
i
e
i
) =
n
i,j=1
x
i
y
j
¸e
i
, e
j
) =
n
i=1
x
i
y
i
.
1u do suy ra hc qua sau da y cu a I}nh ly b.2.
He qua 5.3. 8a o} ca c/ c/c o ca sa /ra c c/aa o B = (e
1
, . . . , e
n
) /rco}
//c o} }/ao /ac//d V /a cc p/e p da o} ca a saa da µ }/a a V ca //c o}
}/ao /ac//d R
n
ca / //c/ cc /aa o} c//o/ /a c.
ϕ
B
: V −→ R
n
x =
n
i=1
x
i
e
i
−→ (x
1
, . . . , x
n
).
Qua trình tru c giao ho a Cram-Schmidt
0ua Hc qua b.J ta tha y ra ng co thc do ng nha t mo t kho ng gìan
Luclìd n chìc u V vo ì kho ng gìan R
n
cu ng tích vo huo ng chính ta c.
1uy nhìc n khì do ca n pha ì xa y du ng duo c trong V mo t co so tru c
chua n. Iuo ì da y ta sc mo ta mo t thua t toa n cho phc p nha n duo c
mo t co so tru c gìao tu mo t co so ba t ky cu a V (nhu da no ì phía
trc n, tu mo t co so tru c gìao ta dc da ng nha n duo c co so tru c chua n).
No t thua t toa n nhu va y thuo ng duo c go ì la ¡aa /r/o/ /ra c }/ac /c a
Cram-Sc/m/d/.
Ð|nh ly 5.4. C/c (v
1
, . . . , v
p
) /a mc / /c ca c ce c /a dc c /a p /aµe o //o/
ca a //c o} }/ao /ac//d V ca W = ¸v
1
, . . . , v
p
) /a //c o} }/ao cco ca a
V s/o/ ba / ca c ce c /a oc / /re o. K// dc , /a ca c ce c /a v
1
, . . . , v
p
/a cc
//e va µ da o} mc / ca sa /ra c c/aa o c/c W.
7J
Nc / r/e o}, /a mc / ca sa ba / /µ ca a V /a cc //e va µ da o} daa c
mc / ca sa /ra c c/aa o ca a V .
Chu ng minh. Nhu da nha n xc t o trc n, ta chi ca n xa y du ng mo t co
so tru c gìao (u
1
, . . . , u
p
) cho W la du .
Ia t u
1
:= v
1
u
2
:= v
2
+ λu
1
, vo ì λ ∈ R sao cho u
2
⊥ u
1
.
\o ì dìc u kìc n na y ta co
0 = ¸u
2
, u
1
) = ¸v
2
+u
1
, u
1
) = ¸v
2
, u
1
) + λ¸u
1
, u
1
).
Io u
1
,= 0 nc n tu do suy ra
λ = −
¸v
2
, u
1
)
[[u
1
[[
2
.
1ìc p thco, tim u
3
duo ì da ng
u
3
= v
3
+λu
1
+μu
2
, vo ì λ, μ ∈ R sao cho u
3
⊥ u
1
va u
3
⊥ u
2
.
1im λ nhu sau:
0 = ¸u
3
, u
1
) = ¸v
3
+ λu
1
+ μu
2
, u
1
)
= ¸v
3
, u
1
) +λ[[u
1
[[
2
(do ¸u
2
, u
1
) = 0).
1u do suy ra λ = −
v
3
,u
1
||u
1
||
2
. Hoa n toa n tuong tu , nha n duo c
μ = −
v
3
,u
2
||u
2
||
2
.
Cìa su da tim duo c ca c vc c to tru c gìao u
1
, . . . , u
p−1
. 1a sc tim
74
vc c to u
p
duo ì da ng sau
u
p
= v
p
+ λ
1
u
1
+. . . +λ
p−1
u
p−1
.
1u dìc u kìc n u
p
= u
i
ta tim duo c λ
i
= −
vp,u
i
||u
i
||
2
. Nhu va y ta da
xa y du ng duo c mo t ho ca c vc c to tru c gìao (u − 1, . . . , u
p
). ßa y gìo
ta chi ca n chu ng mình
¸u
1
, . . . , u
p
) = ¸v
1
, . . . , v
p
).
1a co ¸u
1
) = ¸v
1
). Cìa su 1 < i ≤ p − 1 va ¸u
1
, . . . , u
i
) =
¸v
1
, . . . , v
i
). Khì do mo ì mo t vc c to u
k
(1 ≤ k ≤ i) dc u la to ho p
tuyc n tính cu a ca c vc c to v
1
, . . . , v
i
. 1hco ca ch xa y du ng thi u
i+1
la
to ho p tuyc n tính cu a ca c vc c to v
i+1
, u
1
, . . . , u
i
, do do u
i+1
cu ng la
to ho p tuyc n tính cu a ca c vc c to v
i+1
, v
1
, . . . , v
i
. 1a da chu ng mình
¸u
1
, . . . , u
i+1
) ⊆ ¸v
1
, . . . , v
i+1
).
Hoa n toa n tuong tu ta cu ng co
¸v
1
, . . . , v
i+1
) ⊆ ¸u
1
, . . . , u
i+1
).
Ví du 21. 1im mo t co so tru c chua n cu a kho ng gìan con W cu a R
4
sình ra bo ì ca c vc c to
v
1
= (1, 1, 0, 0), v
2
= (1, 0, −1, 1), v
3
= (0, 1, 1, 1).
(R
4
la kho ng gìan Luclìd vo ì tích vo huo ng chính ta c).
1ruo c hc t nha n xc t ra ng ca c vc c to v
1
, v
2
, v
3
do c la p tuyc n tính
nc n chu ng ta o tha nh mo t co so cu a W.
7b
Ia t u
1
:= v
1
u
2
:= v
2
+ λu
1
, vo ì λ = −
v
2
,u
1
||u
1
||
2
= −
1
2
. 1u do
u
2
= (1, 0, −1, 1) + (−
1
2
)(1, 1, 0, 0) =
1
2
(1, −1, −2, 2).
Nha n xc t ra ng nc u ta thay u
2
bo ì u
2
= αu
2
, α ∈ R thi ca c
vc c to u
1
va u
2
va n tru c gìao vo ì nhau. Io do ta co thc la y u
2
=
(1, −1, −2, 2). ßa y gìo tim u
3
duo ì da ng
u
3
= v
3
+ λu
1
+μu
2
,
vo ì λ = −
v
2
,u
1
||u
1
||
2
= −
1
2
va μ = −
v
3
,u
2
||u
2
||
2
= −
1
10
. Io do u
3
=
2
5
(−1, 1, 2, 3). 1uy nhìc n ta co thc la y u
3
= (−1, 1, 2, 3). 1ru c chua n
ho a co so (u
1
, u
2
, u
3
) ta nha n duo c co so tru c chua n sau cu a W:
(e
1
=
1
√
2
(1, 1, 0, 0), e
2
=
1
√
10
(1, −1, −2, 2), e
3
=
1
√
15
(−1, 1, 2, 3)).
¸6. Na tran cua dang song tuyen tính
Cho V la kho ng gìan vc c to n chìc u trc n truo ng K va
ϕ : V V −→K
la mo t da ng song tuyc n tính trc n V . Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) la mo t
7b
co so cu a V . \o ì ca c vc c to x =
n
i=1
x
i
e
i
va y =
n
i=1
y
i
e
i
, ta co
ϕ(x, y) =
n
i,j=1
x
i
y
j
ϕ(e
i
, e
j
).
\a y ϕ hoa n toa n xa c d}nh qua ca c gìa tr} ϕ(e
i
, e
j
). Ia t a
ij
=
ϕ(e
i
, e
j
) va go ì ma tra n vuo ng A = (a
ij
) ca p n la ma tra n bìc u dìc n
da ng song tuyc n tính ϕ trong co so B. 1a sc du ng ky hìc u [ϕ]
B
dc
chi ma tra n no ì trc n. \a y
[ϕ]
B
= (a
ij
), vo ì a
ij
= ϕ(e
i
, e
j
), ∀1 ≤ i, j ≤ n.
\í du , gìa su ϕ la da ng song tuyc n tính trc n kho ng gìan R
3
va
trong co so chính ta c B
0
bìc u thu c cu a ϕ la
ϕ(x, y) = 5x
1
y
1
−2x
2
y
2
+4x
3
y
3
+7x
1
y
2
+6x
1
y
3
−4x
3
y
1
+2x
2
y
3
+8x
3
y
2
.
Khì do ma tra n bìc u dìc n ϕ trong co so chính ta c la
[ϕ]
B
0
=
⎛
⎝
5 7 6
0 −2 2
−4 8 4
⎞
⎠
.
Hìc n nhìc n ϕ la da ng song tuyc n tính do ì xu ng khì va chi khì ma
tra n bìc u dìc n ϕ trong mo t co so na o do cu a V (da n dc n ma tra n
bìc u dìc n ϕ trong mo t co so ba t ky ) la ma tra n do ì xu ng.
Ne nh de 6.1. C/c ϕ /a mc / da o} sco} /aµe o //o/ /re o V, B =
(e
1
, . . . , e
n
) /a mc / ca sa ca a V, x, y ∈ V, A /a ma /ra o b/e a d/e o
77
ϕ, X, Y /aao} a o} /a /c a dc ca a x ca y /rco} ca sa B. K// dc
ϕ(x, y) = X
T
AY.
Chu ng minh. Ic da ng kìc m tra tru c tìc p.
Nc u ¸, ) la tích vo huo ng chính ta c trong R
n
thi
¸x, y) = x
1
y
1
+ . . . + x
n
y
n
.
1u do suy ra ¸, )
B
0
= I
n
la ma tra n don v} ca p n. 1o ng qua t hon,
ta co tính cha t sau da y.
Ne nh de 6.2. Trco} //c o} }/ao /ac//d V , ca sa B = (e
1
, . . . , e
n
) /a
/ra c c/aa o oe a ca c// oe a ¸, )
B
= I
n
.
Chu ng minh. B tru c chua n nc u va chi nc u ¸x, y) = x
1
y
1
+. . .+x
n
y
n
.
Nhung dìc u cuo ì cu ng tuong duong vo ì ¸, )
B
= I
n
.
1rong Nc nh dc b.1 bìc u thu c cu a da ng song tuyc n tính ϕ duo c
vìc t tho ng qua vìc c cho n co so B. Khì do co ng thu c tính ϕ(x, y) la
ϕ(x, y) = X
T
AY,
trong do A la ma tra n bìc u dìc n ϕ trong co so B. Nc u ta cho n mo t co
so B
na o kha c thi ma tra n A
bìc u dìc n ϕ trong co so B
ta t nhìc n
sc thay do ì. 1uy nhìc n ca c ma tra n A va A
co mo ì lìc n hc ma t thìc t
vo ì nhau.
Ne nh de 6.3. C/c V /a //c o} }/ao ce c /a n c//e a /re o K, B ca B
/a /a/ ca sa ca a V . C/a sa A ca A
/aao} a o} /a ca c ma /ra o b/e a
d/e o ϕ /rco} ca c ca sa B ca B
. K// dc
A
= P
T
AP,
78
/rco} dc P /a ma /ra o c/aµe o ca sa /a B sao} B
.
Chu ng minh. \o ì x, y ∈ V , go ì X, X
, Y, Y
la to a do cu a x, y tuong
u ng trong ca c co so B va B
. 1a co X = PX
va Y = PY
. Io do
ϕ(x, y) = X
T
AY = (PX
)
T
A(PY
) = X
T
(P
T
AP)Y
.
Na t kha c, ϕ(x, y) = X
T
A
Y
, nc n ta co
X
T
(P
T
AP)Y
= X
T
A
Y
, ∀X
, Y
.
1u do suy ra A
= P
T
AP. (Xcm ßa ì ta p).
Ví du 22. Cho (e
1
, e
2
) la co so chính ta c cu a R
2
. Co ì A
la ma
tra n bìc u dìc n tích vo huo ng chính ta c trong co so B = (e
1
= 2e
1
+
3e
2
, e
2
= −8e
1
+ 5e
2
). Khì do A
= P
T
I
2
P. 1a co P = (B
0
−→
B) =
_
2 −8
3 5
_
. 1u do suy ra
A
= P
T
P =
_
2 3
−8 5
__
2 −8
3 5
_
=
_
13 −1
−1 89
_
.
\a y, ¸x, y) = 13x
1
y
1
−x
1
y
2
−x
2
y
1
+ 89x
2
y
2
.
¸7. Nhom truc giao
Nu c dích cu a tìc t na y la nghìc n cu u nhu ng toa n tu tuyc n tính
cu a mo t kho ng gìan Luclìd ba o toa n chua n cu a ca c vc c to, nghia la
nghìc n cu u nhu ng f ∈ End
R
(V ) sao cho [[f(x)[[ = [[x[[.
79
Ð|nh nghía 7.1. Cho V la mo t kho ng gìan Luclìd va f ∈ End
R
(V ).
1a no ì f la mo t /ca o /a /ra c }/ac nc u
¸f(x), f(y)) = ¸x, y), ∀x, y ∈ V.
Ne nh de 7.2. Ðc / ca / /ca o /a /aµe o //o/ f ∈ End
R
(V ) o/a o} d/e a
//e o daa / da µ /aao} daao}.
//ï ¸f(x), f(y)) = ¸x, y), ∀x, y ∈ V.
///ï [[f(x)[[ = [[x[[, ∀x ∈ V .
////ï Ne a B = (e
1
, . . . , e
n
) /a mc / ca sa /ra c c/aa o ca A = [f]
B
/// A
A = I
n
= AA
. Nc / r/e o}, A /a ma /ra o //a o}//c/ ca
detA = ±1.
Chu ng minh. (ì) =⇒ (ìì). Chi vìc c cho x = y.
(ìì) =⇒ (ì). Su du ng co ng thu c (J) trong $3, ta co
¸f(x), f(y)) =
1
2
([[f(x) +f(y)[[
2
−[[f(x)[[
2
− [[f(y)[[
2
)
=
1
2
([[f(x + y)[[
2
− [[f(x)[[
2
−[[f(y)[[
2
)
=
1
2
([[x + y[[
2
−[[x[[
2
−[[y[[
2
) = ¸x, y).
(ì) ⇐⇒ (ììì). 1rong co so tru c chua n B ta co
¸f(x), f(y)) = ¸x, y), ∀x, y ∈ V
⇐⇒(AX)
(AY ) = X
Y, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R)
⇐⇒X
(A
A)Y = X
Y, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R)
80
⇐⇒A
A = I
n
.
Pha n kha ng d}nh co n la ì cu a (ììì) la hìc n nhìc n.
He qua 7.3. Ne a f /a mc / /ca o /a /ra c }/ac /// detf = ±1. Nc /
r/e o}, f /a mc / /a da o} ca a.
Ne nh de 7.4. f ∈ End
R
(V ) /a mc / /ca o /a /ra c }/ac /// ca c// ///
oc b/e o mc / ca sa /ra c c/aa o //a o/ mc / ca sa /ra c c/aa o. Ðe f //c a
//o/ c/a / oc / /re o /// d/e a //e o da /a /c o /a / mc / ca sa /ra c c/aa o
sac c/c f b/e o oc //a o/ mc / ca sa /ra c c/aa o.
Chu ng minh. Cìa su f la mo t toa n tu tru c gìao. 1hco Hc qua
7.J, f la mo t tu da ng ca u, do do f bìc n co so tha nh co so . Nc u
B = (e
1
, . . . , e
n
) la co so tru c chua n thi
¸f(e
i
), f(e
j
)) = ¸e
i
, e
j
)) = δ)
ij
.
\a y (f(e
1
), . . . , f(e
n
)) cu ng la co so tru c chua n.
Nguo c la ì, gìa su to n ta ì co so tru c chua n B = (e
1
, . . . , e
n
) sao cho
(f(e
1
), . . . , f(e
n
)) cu ng la co so tru c chua n. Xc t ca c vc c to x, y ∈ V :
x =
n
i=1
x
i
e
i
va y =
n
j=1
y
j
e
j
.
Io (e
1
, . . . , e
n
) va (f(e
1
), . . . , f(e
n
)) la ca c co so tru c chua n nc n
ta co
¸f(x), f(y)) = ¸
n
i=1
x
i
e
i
,
n
j=1
y
j
e
j
)
81
=
n
i,j=1
x
i
y
j
¸f(e
i
), f(e
j
))
=
n
i,j=1
x
i
y
j
δ
ij
=
n
i=1
x
i
y
i
= ¸x, y).
\a y f la phc p bìc n do ì tru c gìao.
Ð|nh nghía 7.5. (a) 1a p ho p
O(n, R) := ¦A ∈ M
n
(R) [ A
A = I
n
¦
la mo t nho m do ì vo ì phc p nha n va duo c go ì la o/c m /ra c }/ac.
(b) 1a p ho p
SO(n, R) := ¦A ∈ O(n, R) [ detA = 1¦
la nho m con cu a O(n, R) va duo c go ì la o/c m /ra c }/ac da c b/e / hay
o/c m ca c p/e p ¡aaµ.
No ì ma tra n A ∈ O(n, R) duo c go ì la mo t ma /ra o /ra c }/ac. No ì
ma tra n tru c gìao dc u bìc u dìc n mo t toa n tu tru c gìao trong mo t co
so tru c chua n cu a mo t kho ng gìan Luclìd.
Ví du 23. Na tra n
A =
1
3
⎛
⎝
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
⎞
⎠
82
la ma tra n tru c gìao. 1a co thc kìc m tra dìc u na y ba ng ca ch thu c
hìc n phc p nha n ma tra n
A
A = I
3
.
Nhung ta cu ng co thc kìc m tra ba ng ca ch kha c nhu sau:
Xc t kho ng gìan Luclìd R
3
vo ì tích vo huo ng chính ta c. Ia t u
1
=
1
3
(2, 2, −1), u
2
=
1
3
(−1, 2, 2), u
3
=
1
3
(2, −1, 2). 1oa n tu
f : R
3
−→R
3
tho a f(e
i
) = u
i
, i ∈ ¦1, 2, 3¦ bìc n co so tru c chua n tha nh co so tru c
chua n nc n thco Nc nh dc 7.4, f la toa n tu tru c gìao. Na A la ma tra n
bìc u dìc n f trong co so tru c chua n nc n A la ma tra n tru c gìao.
Ne nh de 7.6. Ha /ra o c/aµe o ca sa /a mc / ca sa /ra c c/aa o sao}
mc / ca sa /ra c c/aa o /a mc / ma /ra o /ra c }/ac.
Chu ng minh. Cìa su B = (e
1
, . . . , e
n
) va B
= (e
1
, . . . , e
n
) la haì co
so tru c chua n. 1o an tu f : R
n
−→ R
n
tho a f(e
i
) = e
i
, ∀i ∈ 1, n la
toa n tu tru c gìao (thco Nc nh dc 7.4) co ma tra n bìc u dìc n trong co
so B la ma tra n chuyc n co so tu B sang B
.
¸8. Nhom O(2, R)
Cho ma tra n A =
_
a b
c d
_
∈ M
2
(R). Ia t u = (a, c), b = (b, d).
1a co thc xcm A nhu ma tra n bìc u dìc n cu a phc p bìc n do ì tuyc n tính
8J
f : R
2
−→ R
2
vo ì f(e
1
) = u va f(e
2
) = v, trong do B
0
= (e
1
, e
2
)
la co so chính ta c. 1a da bìc t A la ma tra n tru c gìao khì va chi khì
B = (u, v) la co so tru c chua n. Nhung dìc u na y xa y ra khì va chi khì
a, b, c, d tho a hc phuong trinh
⎧
⎨
⎩
a
2
+c
2
= 1;
b
2
+ d
2
= 1;
ab +cd = 0
.
1u phuong trinh thu nha t suy ra to n ta ì θ ∈ R sao cho
a = cos θ, c = sin θ.
1uong tu , tu phuong trinh thu haì suy ra to n ta ì ϕ ∈ R sao cho
b = cos ϕ, d = sinϕ.
Cuo ì cu ng ta co
ab + cd = 0 ⇐⇒cos θ cos ϕ + sin θ sinϕ = 0
⇐⇒cos(θ −ϕ) = 0 ⇐⇒ϕ −θ = (2k + 1)
π
2
.
1u do suy ra
b = cos(θ + (2k + 1)
π
2
) = (−1)
k+1
sin θ;
d = sin(θ + (2k + 1)
π
2
) = (−1)
k
cos θ.
84
\a y, A ∈ O(2, R) khì va chi khì
A =
_
cos θ (−1)
k+1
sinθ
sinθ (−1)
k
cos θ
_
.
Io detA = (−1)
k
nc n A ∈ SO(2, R) khì va chi khì k la so cha n.
\a y, to m la ì ta da chu ng mình duo c mc nh dc sau da y:
Ne nh de 8.1. C/c A ∈ O(2, R). K// dc .
//ï Ne a A ∈ SO(2, R) ///
A =
_
cos θ −sinθ
sin θ cos θ
_
/l/e p ¡aaµ mc / }c c θ ¡aao/ /a m Oï.
///ï Ne a A ,∈ SO(2, R) ///
_
cos θ sinθ
sin θ −cos θ
_
.
Trco} /raa o} /a p oa µ A b/e a d/e o mc / /ca o /a f /a /a p oc / ca a
mc / p/e p dc / va o} ¡aa /ra c /c ao/ ca mc / p/e p ¡aaµ ¡aao/ }c c /c a
dc mc / }c c θ.
¸9. Nhom O(3, R)
8b
Ð|nh ly 9.1. C/c A ∈ SO(3, R) ca f /a /ca o /a /ra c }/ac /rco}
//c o} }/ao /ac//d R
3
sac c/c A /a ma /ra o b/e a d/e o f /rco} ca sa
/ra c c/aa o B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
). K// dc /c o /a / mc / ca sa /ra c c/aa o
B = (u
1
, u
2
, u
3
) ca a R
3
sac c/c
A
= [f]
B
=
⎛
⎝
cos θ −sinθ 0
sin θ cos θ 0
0 0 ε
⎞
⎠
,
/rco} dc ε = 1 oe a detA = 1, o}//a /a oe a A ∈ SO(3, R) ca ε = −1
oe a detA = −1, o}//a /a oe a A ,∈ SO(3, R).
Chu ng minh. Nc u A = I
3
thi la y B = B
0
va θ = 0 ta co dìc u ca n
chu ng mình. Nc u A = −I
3
thi la y B = B
0
va θ = π ta cu ng co dìc u
ca n chu ng mình. \a y, tu da y vc sau ta co thc gìa thìc t A ,= ±I
3
.
\ìc c chu ng mình d}nh ly duo c hoa n tha nh qua mo t so bo dc ma ta
sc la n luo t pha t bìc u va chu ng mình phía duo ì.
Bo de 9.2. Ne a λ /a mc / /r/ r/e o} //a c ca a A /// λ = ±1.
Chu ng minh. Cìa su v la vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ. 1a co
[[f(v)[[ = [[λv[[ = λ
2
[[v[[ = [[v[[ =⇒λ = ±1.
Bo de 9.3. //ï Ne a detA = 1 /// λ = 1 /a /r/ r/e o} dao /ca c bc / 3,
///ï oe a detA = −1 /// λ = −1 /a /r/ r/e o} dao /ca c bc / 3.
Chu ng minh. (ì) Cìa su detA = 1. Co ì λ
1
, λ
2
, λ
3
la ta t ca ca c
nghìc m cu a da thu c da c trung P
A
(λ) trong truo ng so phu c C. Nc u
ta t ca ca c λ
i
dc u la ca c so thu c thi thco ßo dc 9.2, λ
i
= ±1. Nhung
8b
detA = λ
1
λ
2
λ
3
= 1 nc n chi co mo t trong haì kha na ng co thc xa y
ra: λ
1
= 1, λ
2
= λ
3
= −1 hoa c λ
1
= λ
2
= λ
3
= 1.
Cìa su P
A
(λ) co nghìc m phu c, μ cha ng ha n. Khì do μ cu ng la
nghìc m cu a P
A
(λ). Io do detA = λ
1
μμ, trong do λ
1
la tr} rìc ng thu c
cu a A. 1hco ßo dc 9.2, λ
1
= ±1. \i detA = 1 = λ
1
μμ va μμ > 0
nc n suy ra λ
1
= 1.
(ìì) 1ruo ng ho p na y duo c chu ng mình hoa n toa n tuong tu .
Bo de 9.4. Ne a dctA = 1 /// dimE(1) = 1. Ne a dctA = −1 ///
dimE(−1) = 1.
Chu ng minh. 1a chi xc t truo ng ho p dctA = 1. 1ruo ng ho p dctA =
−1 duo c chu ng mình ho an toa n tuong tu . \a y, ga ì su dctA = 1.
Khì do , thco ßo dc 9.J, λ = 1 la tr} rìc ng don hoa c bo ì 3. Nc u
dimE(1) = 3 thi E(1) = R
3
, kc o thco A = I
3
, tra ì vo ì gìa thìc t. Cìa
su dimE(1) = 2. Khì do λ = 1 la tr} rìc ng bo ì 3. Co ì (v
1
, v
2
) la mo t
co so cu a E(1) va 0 ,= ω ∈ E(1)
⊥
. 1a co
¸f(ω), v
i
) = ¸f(ω), f(v
i
)) = ¸ω, v
i
) = 0, i = 1, 2.
Io do f(ω) ∈ E(1)
⊥
, nghia la f(ω) ∈ ¸ω). \a y, to n ta ì μ ∈ R
sao cho f(ω) = μω, nghia la μ la tr} rìc ng thu c cu a f. Io do , thco
ßo dc 9.J, μ = 1 va f(μ) = μ, nghia la μ ∈ E(1), suy ra μ = 0 la
dìc u ma u thua n. \a y, dimE(1) = 1.
Bo de 9.5. Ne a dctA = 1 //aao} a o}, dctA = −1ï /// ma / p/a o}
π = E(1)
⊥
//aao} a o}, π = E(−1)
⊥
ï ba / b/e o dc / ca / f ca /a o c/e
f /e o π /a mc / p/e p ¡aaµ.
Chu ng minh. Cìa su dctA = 1, E(1) = ¸ω) va π = E(1)
⊥
. ∀x ∈ π ta
co ¸x, ω) = 0, suy ra ¸f(x), f(ω)) = ¸f(x), ω) = 0. Io do f(x) ∈ π,
nghia la π ba t bìc n do ì vo ì f. Nc u dctA = −1 thi chu ng mình hoa n
87
toa n tuong tu . ßa y gìo da t
∼
f= f[
π
la ha n chc cu a f lc n ma t pha ng
π. Hìc n nhìc n
∼
f la toa n tu tru c gìao trong kho ng gìan π. 1a chu ng
mình dct
∼
f= 1. Co ì (v
1
, v
2
) la co so cu a π. Khì do B = (v
1
, v
2
, ω)
la co so cu a R
3
va
[f]
B
=
⎛
⎝
a b 0
c d 0
0 0 ε
⎞
⎠
,
trong do
_
a b
c d
_
= [
∼
f]
(v
1
,v
2
)
.
Nc u dctA = 1 thi ω ∈ E(1), kc o thco ε = 1. Nc u dctA = −1 thi
ω ∈ E(−1), kc o thco ε = −1. Io do dctA = ε. Na t kha c,
dctA =
¸
¸
¸
¸
¸
¸
a b 0
c d 0
0 0 ε
¸
¸
¸
¸
¸
¸
=
¸
¸
¸
¸
a b
c d
¸
¸
¸
¸
ε =
¸
¸
¸
¸
a b
c d
¸
¸
¸
¸
dctA.
Io do dctA = 1 hay
∼
f la phc p quay.
Ic n da y ta tha y ßo dc da duo c chu ng mình xong. I}nh ly 9.1
nho do cu ng da duo c chu ng mình hoa n toa n.
1rong ca c chu ng mình vu a trinh ba y ta nha n tha y ra ng, nc u
dctA = 1 thi f la mo t phc p quay quanh tru c E(1). \i vc t cu a ma
tra n kho ng thay do ì khì ta thay do ì co so nc n go c θ cu a phc p quay
88
duo c xa c d}nh tu co ng thu c
TrA = 2 cos θ + 1.
Nc u dctA = −1 thi pha n tích ma tra n A nhu sau:
A =
⎛
⎝
cos θ −sinθ 0
sin θ cos θ 0
0 0 −1
⎞
⎠
=
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
⎞
⎠
⎛
⎝
cos θ −sinθ 0
sinθ cos θ 0
0 0 1
⎞
⎠
.
1a tha y f la ho p no ì cu a mo t phc p quay quanh tru c E(−1) mo t
go c θ va mo t phc p do ì xu ng tru c gìao qua ma t pha ng π = E(−1)
⊥
.
Co c quay θ duo c xa c d}nh tu co ng thu c
TrA = 2 cos θ − 1.
Nhu ng dìc u vu a no ì o trc n co thc to ng kc t tha nh mo t d}nh ly duo ì
da y:
Ð|nh ly 9.6. C/c A ∈ O(3, R), A,= ±I
3
. K// dc .
//ï Ne a dctA = 1 /// A /a ma /ra o b/e a d/e o /rco} ca sa c//o/
/a c ca a R
3
ca a mc / p/e p ¡aaµ ¡aao/ /ra c E(1) mc / }c c θ ma }/a
/r/ ca a oc daa c va c d/o/ /a cc o} //a c
TrA = 2 cos θ + 1.
///ï Ne a dctA = −1 /// A /a ma /ra o b/e a d/e o /rco} ca sa c//o/
/a c ca a R
3
ca a /a p oc / mc / p/e p ¡aaµ ¡aao/ /ra c E(−1) mc / }c c
θ ca mc / p/e p dc / va o} /ra c }/ac ¡aa ma / p/a o} π = E(−1)
⊥
. C/a
/r/ ca a }c c θ daa c va c d/o/ /a cc o} //a c
TrA = 2 cos θ − 1.
89
No ì rìc ng, nc u trong I}nh ly 9.b, TrA = 1 thi θ = 0. Khì do A
bìc u dìc n mo t phc p do ì xu ng tru c gìao qua ma t pha ng E(−1)
⊥
. No t
phc p do ì xu ng tru c gìao nhu va y duo c go ì la mo t p/e p p/a o va .
¸10. Cheo hoa toan tu tu lien hop trong
khong gian Fuclid
1a kc t thu c chuong na y ba ng mo t u ng du ng quan tro ng cu a tích
vo huo ng. Cu thc ta sc chu ng mình ra ng mo ì ma tra n do ì xu ng thu c
dc u chc o ho a duo c trc n R.
Ð|nh nghía 10.1. 1a no ì toa n tu f trong kho ng gìan Luclìd V la
mo t /ca o /a dc / va o} hay /ca o /a /a //e o /a p nc u
¸f(x), y) = ¸x, f(y)), ∀x, y ∈ V.
Ic tha y y nghia cu a kha ì nìc m toa n tu do ì xu ng, ta ha y xc t mo t
co so tru c chua n (e
1
, . . . , e
n
) cu a V . Cìa su A la ma tra n cu a f trong
co so no ì trc n. Iìc u kìc n nc u trong I}nh nghia 10.1 duo c vìc t duo ì
da ng ma tra n nhu sau:
(AX)
T
Y = X
T
AY, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R)
hay
X
T
A
T
Y = X
T
AY, ∀X, Y ∈ M
n×1
(R).
Iìc u na y da n dc n A
T
= A hay A la ma tra n do ì xu ng.
\a y f la toa n tu do ì xu ng khì va chì khì ma tra n bìc u dìc n f trong
mo t co so tru c chua n (do do trong mo ì co so tru c chua n) la ma tra n
do ì xu ng.
90
Ð|nh ly 10.2. C/c f /a /ca o /a dc / va o} /rco} //c o} }/ao /ac//d.
K// dc /a cc o/a o} d/e a saa da µ.
//ï Hc / /r/ r/e o} ca a f de a /a sc //a c.
///ï f c/e c /c a daa c.
////ï Ca c //c o} }/ao cco r/e o} ca a f dc / mc / /ra c }/ac ca / o/aa.
Chu ng minh. (ì) Co ì A la ma tra n bìc u dìc n toa n tu f trong mo t co
so tru c chua n. Khì do , thco nha n xc t phía trc n thi A la ma tra n do ì
xu ng thu c. Xc t da thu c da c trung P
A
(t) va go ì λ la mo t nghìc m ba t
ky trong C cu a no . Khì do hc phuong trinh tuyc n tính thua n nha t
(A−λI
n
)X = 0 (1)
co nghìc m kho ng ta m thuo ng X ∈ M
n×1
(C). Cìa su
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
. Ia t
X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
x
2
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
, trong do x
i
la so phu c lìc n ho p cu a x
i
. Khì do
X
T
X =
n
i=1
x
i
x
i
=
n
i=1
[x
i
[
2
> 0.
1a co
AX = λX =⇒AX = λX =⇒AX = λX =⇒AX = λX. (2)
91
\i A
T
= A nc n ta co
(AX)
T
X = X
T
A
T
X = X
T
(AX). (3)
Kc t ho p (1), (2) va (J), nha n duo c
(λX)
T
X = X
T
(λX).
1u do suy ra
λ(X
T
X) = λ(X
T
X).
Nhung nhu ta da tha y X
T
X la mo t so thu c duong nc n tu da ng
thu c cuo ì cu ng suy ra λ = λ, nghia la λ ∈ R.
(ìì) 1a sc chu ng mình dìc u kha ng d}nh ba ng quì na p thco so chìc u
n cu a V ra ng to n ta ì trong V mo t co so go m toa n ca c vc c to rìc ng.
Nc u n = 1 thi kho ng co gi dc chu ng mình. \a y, gìa su n > 1 va dc ìu
kha ng d}nh du ng do ì vo ì nhu ng kho ng gìan co so chìc u ba ng n − 1.
Xc t mo t tr} rìc ng α cu a f va x la mo t vc c to rìc ng u ng vo ì tr} rìc ng λ.
Ia t H := ¸x)
⊥
. Khì do dim(H) = n −1. 1ruo c hc t ta chu ng mình
H la kho ng gìan con ba t bìc n do ì vo ì f. 1ha t va y, ∀y ∈ H, ta co
¸x, f(y)) = ¸f(x), y) = ¸λx, y) = λ¸x, y) = 0,
nghia la f(y) ∈ H. Io f la kho ng gìan con ba t bìc n do ì vo ì f nc n
˜
f := f[
H
la toa n tu tuyc n tính trong kho ng gìan Luclìd H. Hon nu a,
hìc n nhìc n
˜
f cu ng la toa n tu do ì xu ng. \a y, thco gìa thìc t quì na p,
toa n tu
˜
f chc o hoa duo c. Suy ra to n ta ì mo t co so B cu a H go m toa n
ca c vc c to rìc ng cu a
˜
f (cu ng la cu a f). Khì do ¦x¦ ∪ B la mo t co so
cu a V go m toa n ca c vc c to rìc ng cu a f. \a y f chc o ho a duo c.
(ììì) Cìa su μ ,= λ la haì tr} rìc ng kha c nhau cu a f, x la vc c to
rìc ng u ng vo ì λ, y la vc c to rìc ng u ng vo ì μ. Khì do
¸f(x), y) = ¸x, f(y))
92
=⇒¸λx, y) = ¸x, μy)
=⇒λ¸x, y) = μ¸x, y)
=⇒¸x, y) = 0.
Cuo ì cu ng luu y ra ng mo t ma tra n phu c do ì xu ng kho ng nha t
thìc t chc o ho a duo c trc n R hoa c tha m chí trc n C. Sau da y la mo t ví
du mình ho a.
Ví du 24. A =
_
0 α
α β
_
, vo ì α, β ∈ C. 1a co
P
A
(λ) = [A−λI
2
[ =
¸
¸
¸
¸
−λ λ
λ β − λ
¸
¸
¸
¸
= λ
2
−βλ − α
2
.
Nc u Δ = β
2
+4α
2
= 0 (la dìc u co thc xa y ra do ì vo ì ca c so phu c
α va β) thi P
A
(λ) co mo t nghìc m kc p λ =
β
2
. Khì do P
A
(λ) =
_
λ −
β
2
_
2
. \a y A chc o ho a duo c khì va chi khì m
A
(λ) = λ −
β
2
.
Nhung khì do m
A
(A) = A −
β
2
I
2
= 0, suy ra A =
β
2
I
2
la dìc u ma u
thua n. \a y A kho ng chc o ho a duo c.
Bai tap
Ba i 1. \o ì gìa tr} na o cu a λ ∈ R ca c da ng song tuyc n tính duo ì da y
trc n R la mo t tích vo huo ng:
9J
(a) f(x, y) = x
1
y
1
+ 10x
2
y
2
+ 6x
1
y
2
+λx
3
y
3
−x
2
y
3
−x
3
y
2
.
(b) f(x, y) = 2x
1
y
1
+7x
1
y
2
+7x
2
y
1
+8x
2
y
2
−3x
3
y
3
+λx
2
y
3
+
λx
3
y
2
.
Ba i 2. Cho S la mo t ta p ho p ba t ky . 1a no ì a nh xa
d : S S −→R
+
:= ¦x ∈ R[x ≥ 0¦
la mo t //ca o} ca c/ /rco} S nc u no tho a ma n ca c tính cha t:
(a) d(x, y) = 0 ⇐⇒x = y;
(b) d(x, y) = d(y, x);
(c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
1) Chu ng mình ra ng, nc u V la mo t kho ng gìan Luclìd thi a nh xa
d : V V −→R
+
xa c d}nh bo ì d(u, v) = [[u − v[[ la mo t khoa ng ca ch trong V . 1a go ì
no la //ca o} ca c/ //e o /e / ca / c/aa o.
2) Cu thc ho a khoa ng ca ch na y do ì vo ì kho ng gìan Luclìd R
3
vo ì
tích vo huo ng chính ta c.
Ba i 3. Cho W la kho ng gìan con cu a kho ng gìan Luclìd V . Ia t
p
W
: V −→W la phc p chìc u tru c gìao tu V xuo ng W.
(a) Chu ng mình ra ng, nc u v ∈ V tho a ma n w = p
W
(v) ,= 0 thi
w la mo t trong nhu ng vc c to cu a W ta o vo ì v mo t go c nho nha t.
(b) \o ì v ∈ V , //c ao} ca c/ tu v dc n W duo c d}nh nghia nhu
sau:
d(v, W) = inf
w∈W
d(v, w).
Chu ng mình ra ng d(v, W) = [[v − p
W
(v)[[.
94
Ba i 4. Cho V la kho ng gìan Luclìd va p
W
la phc p chìc u tru c gìao
tu V lc n kho ng gìan con W. Chu ng mình ra ng, nc u (u
1
, . . . , u
m
) la
mo t co so tru c chua n cu a W thi
p
W
(v) = ¸v, u
1
)u
1
+. . . +¸v, u
m
)u
m
.
Ba i 5. \o ì n ≥ 0, xc t tích pha n suy ro ng
I
n
=
1
√
2π
_
∞
−∞
x
n
e
−
x
2
2
dx.
(a) Chu ng mình ra ng tích pha n na y luo n ho ì tu va I
2k+1
= 0, ∀k ≥
0.
(b) Chu ng mình co ng thu c truy ho ì
I
n
= (n −1)I
n−2
, ∀n ≥ 2.
A p du ng dc tính I
2k
.
(c) I}nh nghia a nh xa
¸, ) : R[x] R[x] −→R
nhu sau:
∀P, Q ∈ R[x], ¸P, Q) =
1
√
2π
_
∞
−∞
e
−
x
2
2
P(x)Q(x)dx.
Chu ng mình ra ng a nh xa no ì trc n la mo t tích vo huo ng.
9b
(d) Xc t kho ng gìan con R
2
[x] cu a R[x]. Ha y tính khoa ng ca ch tu
x
3
dc n R
2
[x].
Ba i 6. Cho φ la da ng song tuyc n tính trc n R
4
ma bìc u thu c trong co
so chính ta c duo c vìc t nhu sau:
ϕ(x, y) = x
1
y
1
+2x
2
y
2
+4x
3
y
3
+18x
4
y
4
+x
1
y
3
+x
3
y
1
+2x
2
y
4
+2x
4
y
2
+ 6x
3
y
4
+ 6x
4
y
3
.
(a) Chu ng mình ra ng φ la mo t tích vo huo ng trong R
4
.
(b) \ìc t ma tra n bìc u dìc n φ trong co so chính ta c.
(c) Cho W la kho ng gìan con cu a R
4
xa c d}nh bo ì hc phuong
trinh tuyc n tính thua n nha t
_
x
1
− x
2
+ x
3
−x
4
= 0;
x
2
−2x
4
= 0.
Ha y tim mo t co so cu a W
⊥
.
Ba i 7. 1rong kho ng gìan Luclìdc vo ì tích trong tho ng thuo ng cho ca c
vc c to u
1
= (2, 1, −2, 4), u
2
= (−2, 1, −1, −6), u
3
= (−2, 3, −4, −8).
Co ì W = ¸u
1
, u
2
, u
3
) la kho ng gìan con cu a R
4
sình ra bo ì ca c vc c
to u
1
, u
2
, u
3
va W
⊥
la kho ng gìan con cu a R
4
tru c gìao vo ì W.
(a) 1im mo t co so cho mo ì kho ng gìan con W va W
⊥
.
(b) Cho u = (5, 5, −3, 1) ∈ R
4
. 1im hinh chìc u tru c gìao pr
W
(u)
cu a u xuo ng W va khoa ng ca ch d(u, W) tu u dc n W.
Ba i 8. Cho A ∈ O(n, R). Chu ng mình ra ng, nc u detA = 1 thi mo ì
pha n tu a
ij
cu a A dc u ba ng pha n bu da ì so cu a no .
Ba i 9. Cho f la mo t phc p bìc n do ì tru c gìao trong kho ng gìan Luclìd
9b
V .
(a) Chu ng mình ra ng Ker(f −Id
V
) = Im(f −Id
V
)
⊥
.
(b) Chu ng mình ra ng, nc u (f − Id
V
)
2
= 0 thi f = Id
V
.
Ba i 10. Xa y du ng mo t co so tru c chua n cu a R
3
tu ca c vc c to rìc ng
cu a toa n tu f : R
3
−→ R
3
co ma tra n bìc u dìc n trong co so chính
ta c la
A =
⎛
⎝
5 −1 2
−1 5 2
2 2 2
⎞
⎠
.
Ba i 11. 1oa n tu f : R
3
−→R
3
co ma tra n trong co so chính ta c la
A =
1
3
⎛
⎝
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
⎞
⎠
.
Ha y chu ng mình ra ng f la toa n tu tru c gìao trong kho ng gìan
Luclìd R
3
vo ì tích vo huo ng chính ta c.
97
Chí muc
chua n, bb
co so tru c chua n, 72
co so tru c gìao, 72
co so xyclìc, 4b
da ng chính ta c Jordan, 4J
da ng ru t go n Causs, bJ
da ng song tuyc n tính, b7
da y Iìbonacìì, 20
kho ì Jordan, 44
kho ng gìan con rìc ng, 11
kho ng gìan con tru c gìao, b9
kho ng gìan con da c trung, JJ
kho ng gìan Luclìd, b8
kho ng gìan Hìlbcrt, b8
lình ho a tu , b9
ma tra n tam gìa c duo ì, 2J
ma tra n tam gìa c trc n, 2J
ma tra n tru c gìao, 82
nho m ca c phc p quay, 82
nho m tru c gìao, 82
nho m tru c gìao da c bìc t, 82
phc p pha n xa , 90
qua trinh tru c gìao ho a Cram-
Schmìdt, 7J
toa n tu tru c gìao, 8J
toa n tu tru c gìao, 80
toa n tu xyclìc, 4b
toa n tu do ì xu ng, 90
tru c gìao, b8
ti lc va ng, 22
tích vo huo ng, b7
tích vo huo ng chính ta c, b8
I}nh ly Hamìlton - Callcy, 29
da thu c to ì tìc u, Jb
da thu c trìc t tìc u, 28, 29
98

X-Served-By: cache, cache-iad2140-IAD

Set-Cookie: stg=499; Domain=.scribd.com; Path=/; Expires=Mon, 19-Jul-27 05:39:38 GMT

X-Page-Type: docview

X-Cache: MISS, MISS

Via: 1.1 varnish

Cache-Control: no-cache

Vary: Accept-Encoding, User-Agent