text:
Sáng kiến kinh nghiệm Định lý Vi-Ét và ứng dụng
Như chúng ta đã biết, Toán học có vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu khoa học và
đời sống xã hội. Việc giảng dạy và học tập để lĩnh hội được kiến thức Toán một cách vững
vàng đòi hỏi người dạy và học phải có một sự đầu tư công phu và đúng phương pháp. Kiến
thức Toán cần phải trình bày và nắm bắt một cách có hệ thống.
Về chủ đề định lý Vi-et và ứng dụng , tôi thấy đã có nhiều tác giả viết và xuất bản ,
nhưng đa phần chỉ là một ứng dụng riêng lẻ vào một dạng bài tập nào đó. Chưa thấy tài
liệu nào viết dưới dạng chủ đề riêng về định lý Vi-et. Điều đó thôi thúc tôi viết đề tài này
nhằm mục đích hệ thống lại hoàn chỉnh hơn.
Bản thân sau một số năm giảng dạy môn Toán có rút ra nhận xét là học sinh thường nắm
kiến thức Toán một cách cục bộ chứ không hệ thống được kiến thức. Các em thường ít
thấy được mối quan hệ giữa các vấn đề toán học với nhau. Chính vì thế nên khi gặp các
vấn đề toán có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinh thường tỏ ra lúng
túng và bế tắc.
c: (2-m)r+2(2-m)+mr-4 =0 r=m, SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 100 do đó : m2 =2-m, ta được m=1; m=-2 Điều kiện đủ: Với m=1, thử lại ta được: P(x) = x3 +2x2 +x-4 = (x-1)(x2 +3x+4) không thỏa mãn. Với m=-2 , thử lại ta được : P(x) = x3 +2x2 -2x-4 = (x+2)(x2 -2) Phương trình có 3 nghiệm x= 2 ; x=- 2 ; x=-2 thỏa mãn điều kiện. Vậy m=-2. Ví dụ 2: Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó là m;n;p của nó thỏa mãn các điều kiện sau: m 1 + n 1 + p 1 =-2; 1111 222 pnm ; 4 1 m 4 1 n 4 1 p =1. Giải: Ta gọi đa thức bậc ba cần tìm là : x3 +ax2 +bx+c. Theo công thức Vi-et ta có: m +n+p=-a; mn+np+mp =b; mnp=-c. Biến đổi giả thiết ta được: 2mnp mpnpmn 2 c b . 1= 2 222222 222 )( 111 mnp pnpmnm pnm = 2 2 2 2 2 )( )(2)( c acb mnp pnmmnpmpnpmn 1 = 4 444444 )(mnp pnpmnm = 4 2222222222222 )( )(2)( mnp pnmpnmpnpmnm SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 101 = 4 2222 )2(2)2( c bacacb . Giải hệ phương trình trên ta được 3 8a ; 9 32b ; 9 16c . Vậy đa thức cần tìm là: P(x) = x3 + 23 8 x + x9 32 + 9 16 . Ví dụ 3: Cho phương trình : x3 +px2 +qx +r =0. Gọi x1; x2; x3 là các nghiệm của phương trình. Hãy biểu diễn các đa thức đối xứng sau thông qua p;q;r: A = x12 + x22 + x32 ; B= x13 + x23 + x33 ; C = x14 + x24 + x34 ; Giải: Theo định lý Vi-et ta có: x1 +x2 +x3 =-p; x1x2+x2x3+x1x3 =q ; x1x2x3 = r Ta có A =( x1 +x2 +x3)2 -2(x1x2+x2x3+x1x3) = p2 -2q Ta tính B bằng cách thay các nghiệm xi vào phương trình rồi cộng vế theo vế ta thu được: x13 +x23 +x33 +p(x12 + x22 + x32 )+q(x1 +x2 +x3) +3r=0 B +p.(p2 -2q) +q(-p) +3r=0 B=-p3 +3pq-3r. Tính C: Ta nhân xi vào hai vế của phương trình để tạo ra xi4 rồi cộng vế theo vế . Từ đó làm tương tự ta tính được C= p4 -4p2q+2q2 +4rq. Ví dụ 4: Hãy tính diện tích tam giác mà 3 đường cao của nghiệm đúng phương trình: y3 –ay2 +by-c=0.(1) SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 102 Giải: Gọi x1; x2; x3 là độ dài ba cạnh của tam giác và y1;y2; y3 là độ dài ba đường cao của tam giác. Vậy thì y1;y2; y3 là ba nghiệm của (1) . Gọi S là diện tích của tam giác, vậy thì yi = ix S 2 . Thế vào phương trình ta có được: ( ix S 2 ) 3 –a( ix S 2 ) 2 +b( ix S 2 ) –c=0. Quy đồng ta được xi là nghiệm phương trình : x3 - 0842 32 2 c Sxc aSxc bS (2). Đặt P(x) là vế trái của (2). Theo công thức He-rong ta có: S2 =p(p-x1)(p-x2)(p-x3)= p.P(p), ở đây p= 2 321 xxx = c bS . (Ta giải thích S2=p.P(p) như sau: Đa thức bậc ba nhân x1; x2 ; x3 làm nghiệm là ( x-x1)(x-x2)(x-x3) =0 (3). Phương trình (3) cũng chính là phương trình (2) ở trên. Nên ta phải có (p-x1)(p-x2)(p-x3) = P(p) ) Thay vào ta được: S2 = c bS P( c bS ) = )84( 2424 4 bcbcabc S , suy ra S = 2422 2 84 bcbcabc S . Ví dụ 5: Cho p1; p2 ; q1; q2 là những số nguyên và là nghiệm của phương trình : x2 +p1x +q1 =0, còn là nghiệm của phương trình x2 +p2x +q1 =0. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 103 Hãy tìm các số nguyên a,b,c,d sao cho . là nghiệm của phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d =0 . Giải: Ta gọi ’; ’ là các nghiệm tương ứng còn lại của (1) và (2). Để có thể liên hệ giữa các nghiệm của phương trình , ta có thể xết đa thức sau nhận . làm nghiệm của nó. Đó là: P(x) = (x- )(x- ’ )(x- ’)(x- ’ ’) = x4 +ax3 +bx2 +cx+d. Đồng nhất hệ số đồng bậc ở hai đa thức ta thu được các giá trị của a;b;c;d. Chẳng hạn là hệ số b Ta có : b = ’+ ’ + ’ ’+ ’ ’ ’ + ’ ’ + ’ ’ . Sử dụng định lý Vi-et cho (1) và (2) ta thu được b= 2q1p2 +q2( 2 + ’2) +q1( 2 + ’2)= = 2 q1p2+q2(p12-2q1)+ q1(p22-2q2). Ví dụ 6: ( vô địch mỹ 1977) Giả sử a;b là hai trong 4 nghiệm của đa thức x4 +x3 -1 . Chứng minh rằng khi đó ab là nghiệm của đa thức x6 +x4 +x3 –x2 -1. Giải: Giả sử các nghiệm còn lại của đa thức bậc P(x)= x4 +x3 -1 là c,d. Theo định lý Vi-et ta có : a+b+c+d=-1 ; abcd=-1. Để ab là nghiệm của đa thức bậc 6 thì ta phải có: (ab)6 +(ab)4 +(ab)3 -(ab)2 -1 =0 0]11)()1()[()( 333 ababababab (*), SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 104 vì ab 0; cdab 1 . Vậy nên (*) trở thành: (ab)3 +(cd)3 +ab +cd+1=0 (**). Nói tóm lại ta phải chứng minh (**). Thật vậy , từ P(a) =P(b) =0. Ta có a3 = 1 1 a ; b 3 = 1 1 b , nên (ab)3 = )1)(1( 1 ba = )1( )1)(1( P dc =-(c+1)(d+1). Bởi vì P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), nên P(-1) = (1+a)(1+b)(1+c)(1+d). Tương tự ta có: (cd)3 = -(a+1)(b+1). Thay vào (** ) ta được -(a+1)(b+1)-(c+1)(d+1)+ab+cd+1 = -1-a-b-c-d=0 ( theo định lý Vi-et). Ví dụ 7: ( Vô địch Balan 1979) Hãy tìm tất cả các đa thức Pn(x) có hệ số nguyên và dưới dạng Pn(x)=n!xn +an-1xn-1 ++a1x +(-1)nn(n+1) có n nghiệm thực x1;x2; ; xn thỏa mãn điều kiện xk [k; k+1], với k=1,2,n và n1. Giải: Với n=1, đa thức có nghiệm x=2 [1;2] ,nên n=1 thỏa mãn. Với n=2 đa thức có dạng P2(x) =2x2 +a1x +6. Ta phải tìm a1 để phương trình có nghiệm thỏa mãn 1x1 2x2 3. Theo định lý Vi-et ta có x1+x2 = 2 1a ; x1 x2 =3. Ta suy ra a1 <0. Lại có 0x2-x1 2 0 ( x2-x1)2 4. Lại vì ( x2-x1)2 = ( x2+x1)2 -4x1x2 = 124 2 1 a . Do đó: SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 105 0 124 2 1 a 4 48a12 64. Tìm được a1 =-8; a1 =-7. Vậy đa thức cần tìm là P2(x) = 2x2 -8x +6 ; P2(x) = 2x2 -7x +6 Thử lại ta thấy các đa thức này thỏa mãn. Với n 3. Ta có : Pn(x) = n!xn +an-1xn-1 ++a1x +(-1)nn(n+1) = n!(x-x1).(x-x2)(x-xn) . Cho x= 0 ta được : (-1)nn(n+1) =n!(-1)nx1.x2xn. Do đó x1.x2xn = ! )1( n nn = )!1( 1 n n !2 1 nnn . Nhưng mặt khác vì xk [k;k+1], nên x1.x2xn 1.2.3n =n!( vô lý). Vậy khi n 3 không tồn tại đa thức như thế. Ví dụ 8: Tìm a, b nguyên để phương trình : 01234 axbxaxx (1) Có hai trong số các nghiệm của nó có tích bằng -1. (VMO ) Giải: Ta để ý rằng nếu phương trình có nghiệm là x thì cũng có nghiệm là x 1 . Gọi u, v là các nghiệm mà có tích uv 1 ( vì nếu tích hai nghiệm bằng 1 thì có thể chọn là u và u 1 ). SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 106 Do đó ta gọi các nghiệm là u; v; u 1 ; v 1 . Ta sẽ chứng minh hai nghiệm có tích bằng -1 phải là u; v. Tức là ta phải chứng minh u.v=-1. Thật vậy. Theo định lý Vi-et ta có: buvu v v uuv avuvu 21 11 )2(1)( )1()1)(( 2 buv vuuv auv uvvu Giả sử rằng 1uv . Vì a, b là số nguyên nên từ (a) suy ra u+v hữu tỉ ,từ (b) suy ra (u+v)2 phải là số nguyên. Nên suy ra (u+v) cũng là số nguyên. Vì uv+1 không chia hết cho uv nên từ (a) ta có u+v chia hết cho uv. Cũng từ (b) ta có (u+v)2+1 chia hết cho uv. Nhưng vì (u+v) và (u+v)2 +1 có ước chung là 1 hoặc -1 nên suy ra uv=1 hoặc uv=-1. Vì ta giả sử 1uv nên suy ra 1uv . Từ (1) suy ra a=0. Từ (2) ta có 22)( 2 vub . Thử lại với 0a , 2b , Zb , phương trình trở thành : 0124 bxx (*). Phương trình có nghiệm là: 2 42 bbu ; 2 42 bbv . Đây là 2 nghiệm thỏa mãn đề bài. Ví dụ 9: Cho đa thức cbxaxxxP 23)( có các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu có một nghiệm bằng tích của hai nghiệm kia thì : ))0(1(2)1()1()1(2 PPPP (Canada 82) Giải: Giả sử phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn như đề bài nêu. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 107 Ta gọi các nghiệm là u; v; uv. Áp dụng định lý Vi-et ta có: )3( )2()1( )1( 22 cvu bvuuv auvvu (I). Nếu a=-1 thì từ (1) ta có : 01 uvvu 0)1)(1( vu . Phương trình có nghiệm là -1 nên hiển nhiên 0)1(2 P , chia hết cho mọi số. Nếu 1a , cộng vế theo vế (2) và (3) ta được : )1()1( auvcbuvvuuv ( do (1)). Suy ra a cbuv 1 là số hữu tỉ vì a,b,c là các số nguyên. Ta có : 0)1)(1(2)1(2)1(2)0(1(2)1()1( vuuvvuaPPP . Mặt khác : vì ))()(()( uvxvxuxxP nên: )1)(1)(1(2)1)(1)(1(2)1(2 uvvuuvvuP . Từ đó ta có điều phải chứng minh. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP 1. Cho hàm số 1 12 x xxy có đồ thị ( C ). Chứng minh rằng từ A (1;-1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyên ấy vuông góc với nhau. 2. Cho hàm số 1 32 x xy có đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 5 2 ) sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B và M là trung điểm của AB. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 108 3. Tìm m để hàm số xmxy 1 có cựa trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu tới tiệm cận xiên bằng 2 1 . 4. Tìm m để hàm số 1 2 x mxxy có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10. 5. Chứng minh rằng hàm số )(2 4)12( 22 mx mmxmxy luôn có cực trị và khoảng cách giữa chúng luôn là một hằng số. 6. Giả sử x1;x2 là hai nghiệm của phương trình x2+px-1=0 với p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì x1n+x2n và x1n+1 +x2n+1 là các số nguyên tố cùng nhau. (Ôlympic Balan 1964). 7. Chứng minh rằng n)83( + n)83( không chia hết cho 5 với mọi n. 8. Xét phương trình x3+ax2+bx+1=0; với a,b hửu tỉ. a) chứng minh rằng với a=-5;b=3 là cặp số duy nhất làm cho phương trình có nghiệm 2+ 5 . b) Kí hiệu x1; x2;x3 là 3 nghiệm của phương trình trên. Đặt Sn=x1n +x2n+x3n , n là số tự nhiên. Chứng minh Sn cũng là số tự nhiên. c) Tìm số dư phép chia S2005 cho 4. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 109 9. Chứng minh rằng 3 3333 2 735 7 8cos7 4cos7 2cos 10. Cho = 4 tan ; tan ; tan là 3 nghiệm của phương trình : x3 +px2+qx+r =0. Chứng minh rằng p+1=q+r. 11. Chứng minh hệ thức : S= 4 7 5cos 1 7 3cos 1 7cos 1 . 12. Chứng minh rằng nếu tanu; tanv là hai nghiệm của phương trình: x2+px+q=0. Thì sin2(u+v)+psin(u+v)cos(u+v)+qcos2(u+v)=q. 13. Chứng minh rằng nếu tanx;tany;tanz là 3 nghiệm phương trình t3+at2+bt+c=0; còn tanu; tanv; tanw là ba nghiệm của phương trình t3+ct2+bt+a=0 thì ta có x+y+z+u+v+w = k Zk ; . 14. chứng minh rằng : a) cos200 là số vô tỉ. b) tan6100+ tan6500 + tan6700 =433. 15) Hãy tìm bộ ba số hữu tỉ (a,b,c) là những nghiệm của phương trình x3+ax2+bx+c=0 ( Olympic sinh viên MỸ 1940). 16) Chứng minh rằng nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình 0;2 1 2 2 pppxx , ta có bất đẳng thức x14+x24 2+ 2 ( vô địch Bungari 1980). SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 110 17) Gỉa sử trong các nghiệm của đa thức P(x) =x3 +ax2 +bx+c, với a,b nguyên bằng tích của hai nghiệm kia. Chứng minh rằng số 2P(-1) chia hết cho số P(1)+P(-1) -2[ 1+P(0)]. ( vô địch Canada 1982). 18) Cho dãy na với a1=a2 =1; an –an-1 -2an-2 =0; n3. a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. b) Chứng minh rằng an+1 =2an +1 nếu n chẵn và an+1 =a1+a2++an nếu n lẻ. 19) Cho dãy (an) xác định như sau: a1=1; a2=3; an = 3an-1 –an-2 ( n3). a) Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có : (an+2-2)(an-2) = (an+1 -3)2. b) Chứng minh rằng với mọi k nguyên dương thì a2k-1 -2 là số chính phương. 20) ( Việt namMO 2002) Cho đa thức P(x) = x3 +ax2 +bx+c=0 có 3 nghiệm thực. Chứng minh rằng 12ab+27c 6a3 +10 32 )2( ba . 21) Giả sử ax3 +bx2 +cx+d=0 (a 0) cos nghiệm dương. Chứng minh rằng 3 23 383 a dababc 0. 22) Giả sử phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 =0 có 4 nghiệm thực. Chứng minh rằng a2 +b2 8. 23) Giả sử phương trình x3 –px2 +qx –p =0 với p;q >0 có ba nghiệm thực không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng p ( )8 2 4 1 (q+3). ( 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ , bài 283) 24) Chứng minh rằng SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 111 14 5cos.14 3cos.14cos1214 5cos14 3cos14cos 222444 . 25) Giải hệ phương trình sau: 4 1111 1 txztyzxy tzyxtzyx xyzt 26) Giải hệ phương trình sau: 24 251111 2 91111 2 9 1 2222 tzyx tzyx tzyx xyzt PHẦN THỨ BA PHẦN KẾT THÚC I- KẾT QUẢ: Sau khi ý tưởng của đề tài được thực hiện , tôi thấy đã thu được nhiều kết quả khả quan. Cụ thể như sau: - Về phía bản thân: Tôi cảm thấy mình đã có cái nhìn sâu sắc và xuyên suốt hơn về định lý Vi-et. Thấy được lợi ích to lớn của nó khi đem cho học trò áp dụng vào giải bài tập và làm bài kiểm tra, bài thi. Bản thân cũng đã tạo cho mình một giáo trình riêng để có thể giảng dạy học sinh . Khi đề tài được thực hiện xong, tôi đã có thể dùng một phần nào đó để giảng và lấy ví dụ minh họa. Đặc biệt tài liệu đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT Phan Bội Châu. Cũng trong khi đề tài thực hiện, tôi đã nhận được sự đóng góp nhiệt tình và quý báu từ các đồng nghiệp. Do đó giữa chúng tôi đã có sự tích cực hơn về mặt trao đổi chuyên môn SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 112 và phương pháp. Bản thân cũng đã rút ra được nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp của mình. - Về phía học sinh: Khi ý tưởng mới hình thành từ những năm 2007-2008, tôi đã đem giới thiệu không chính thức với các học sinh của mình, đặc biệt là các em trong đội tuyển học sinh giỏi. Tôi quan sát và rút ra nhận định nếu mình trình bày những kiến thức này một cách hệ thống, gắn kết chúng lại thì các em nhận ra bản chất vấn đề tốt hơn khi để chúng ở các dạng riêng lẻ. Kể từ khi đề tài được tổng hợp lại, kết quả thi Đại học ( về môn Toán) và kết quả học sinh giỏi có nhiều cải tiến. Điểm số 8; 9 về môn Toán ở kỳ thi Đại học thu hoạch được nhiều hơn. Tất nhiên là các phần khác kinh nghiệm cũng phải được nâng lên tương ứng. Đã bắt đầu xuất hiện học sinh đậu các giải Lương Thế Vinh. Trước đó tôi chưa từng có học sinh đậu vòng tỉnh về môn Toán. Trong chương trình chính khóa, các em làm bài kiểm tra, bài thi học kỳ về phần hàm số ( tiếp tuyến, cực trị ) trôi chảy hơn, kết quả cao hơn những năm trước. Đó là những tín hiệu khởi đầu đáng mừng của một giáo viên trẻ mới vào nghề như tôi. Tôi tin rằng trong tương lai , với sự nổ lực của bản thân trong sự nổ lực chung của cả nhà trường , thì những thành tích của nhà trường về dạy và học sẽ có nhiều cải tiến. Về phía bản thân để đạt được những thành tựu mới , cần một sự nổ lực rất lớn ngay từ bây giờ. II- VÀI LỜI KẾT : Qua các dạng toán được đúc rút ra ở trên, thật ngạc nhiên và thú vị khi một định lý tưởng chừng như chỉ hiện hữu trong vấn đề đa thức và phương trình, thì nay ta thấy nó được sử dụng một cách hiệu quả ở hầu hết các mảng của Đại số và Số học. Thật là thiếu sót nếu chúng ta chưa có một cái nhìn tổng thể về định lý Vi-et. Sẽ còn rất nhiều mảng khác nữa mà định lý Vi-et có thể được sủ dụng tới, chẳng hạn như Số phức hay Hình học tọa độ. Tuy nhiên do kinh nghiệm bản thân chưa nhiều nên chưa thể có sự hệ thống trọn vẹn. Việc tìm ra mối quan hệ thống nhất giữa các mảng của Đại số và số học nói riêng và của Toán học nói chung là điều mà người dạy Toán và học toán luôn khao khát làm được. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 113 Điều khiến tác giả thấy tâm đắc qua đề tài của mình là khi ta sử dụng định lý Vi-et thì lời giải trở nên cô đọng và trong sáng. Một lần nữa tôi mong và tin tưởng đề tài này sẽ góp thêm một phương pháp tốt cho học sinh khi làm toán. Qua các ví dụ tác giả chắt lọc được, ta thấy rằng việc ứng dụng của định lý Vi-et để giải bài tập xuất hiện trong đề thi rất nhiều. Bao gồm kì thi Đại học cao đẳng lẫn các kỳ thi học sinh giỏi. Do đó thiết nghĩ việc chú trọng định lý Vi-et trong quá trình giảng dạy học sinh là một điều cần thiết. Do năng lực và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế , có thể các lời giải và cách trình bày chưa thực sự hay và đặc sắc.Mong nhận được sự trao đổi từ các đồng nghiệp. Tác giả sẽ cố gắng hoàn thiện hơn trong thời gian tới. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn sự góp ý, giúp đỡ chân tình của thầy cô trong tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu, th.s Nguyễn Quốc Vũ, Nguyễn Thị Ly Na, bạn bè , đồng nghiệp và những người yêu Toán đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. MINH HÒA THÁNG 11 NĂM 2011 NGUYỄN THÀNH NHÂN Đánh giá của Hội đồng khoa học SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 114 Tài liệu tham khảo 1) Các bài toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (NXB GD) 2) Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXB GD. 3) Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học ( Trần Phương- NXB Tri Thức ). 4) Chuyên đề 2 : Số học và dãy số ( Phan Huy Khải- NXB GD) 5) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 11. ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng, NXB GD) 6) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ T2,3,4 (NXB GD). 7) Tuyển tập đề thi Olympic 30 THÁNG 4 các năm ( NXB Đại học sư phạm ). 8) Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4 ( Võ Giang Giai- Nguyễn Ngọc Thu , NXB ĐHQG Hà Nội). 9) Các bài giảng luyện thi môn toán tập 1,2,3 ( Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Tạ Mân, NXBGD). 10) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 12 ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng , NXBGD) 11) Trọng tâm kiến thức giải tích 12 , Phan Huy Khải, NXB GD 12) Các chuyên đề toán phổ thông, chủ đề Hàm số (Phan Huy Khải, NXBGD). SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 115 13) Bộ đề thi tuyển sinh đại học , môn Toán, NXB GD). 14) Đa thức và ứng dụng , Nguyễn Hữu Điển, NXB GD. 15) Báo Toán học và Tuổi trẻ. PHỤ LỤC 1/. Phần mở đầu ................................................................................. 2. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 116 2/. Nội dung đề tài , giới thiệu về định lý Vi-et................................. 8 3/. Phần thứ hai: ứng dụng của định lý Vi-et..................................... 11 4/. Ứng dụng củ định lý Vi-et bậc hai................................................ 11 5/. Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ..................................11 6/. Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 1................................................... 16. 4/. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức.............................................. 19. 5/. Dạng 4: Khảo sát tính chất cực trị của hàm số..............................26. 6/. Dạng 5: Khảo sát tính chất tiếp tuyến........................................... 34. 7/. Dạng 6: Ứng dụng của một hệ thức truy hồi................................40. 8/. Dạng 7: Tương giao của hai đồ thị và tập hợp điểm.....................46 9/. Dạng 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai .............................................................................................54 10/. Dạng 9: So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số. 11/. Ứng dụng của định lý Vi-et tổng quát.........................................87. 12/. Dạng 1: Ứng dụng vào giải hệ phương trình............................ .87 13/. Dạng 2: ứng dụng vào tính các biểu thức lượng giác................ 91 14/. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức........................................... 96 15/. Một số bài tập tổng hợp ..............................................................114 16/. Phần kết thúc ...............................................................................119. 17/. Tài liệu tham khảo....................................................................... 122. 18/. Phụ lục......................................................................................... 124
File đính kèm:
- SKKN_Dinh_Ly_Viet_Va_Ung_Dung.pdf

markdown:
# Sáng kiến kinh nghiệm Định lý Vi-Ét và ứng dụng
Như chúng ta đã biết, Toán học có vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu khoa học và
đời sống xã hội. Việc giảng dạy và học tập để lĩnh hội được kiến thức Toán một cách vững
vàng đòi hỏi người dạy và học phải có một sự đầu tư công phu và đúng phương pháp. Kiến
thức Toán cần phải trình bày và nắm bắt một cách có hệ thống.
Về chủ đề định lý Vi-et và ứng dụng , tôi thấy đã có nhiều tác giả viết và xuất bản ,
nhưng đa phần chỉ là một ứng dụng riêng lẻ vào một dạng bài tập nào đó. Chưa thấy tài
liệu nào viết dưới dạng chủ đề riêng về định lý Vi-et. Điều đó thôi thúc tôi viết đề tài này
nhằm mục đích hệ thống lại hoàn chỉnh hơn.
Bản thân sau một số năm giảng dạy môn Toán có rút ra nhận xét là học sinh thường nắm
kiến thức Toán một cách cục bộ chứ không hệ thống được kiến thức. Các em thường ít
thấy được mối quan hệ giữa các vấn đề toán học với nhau. Chính vì thế nên khi gặp các
vấn đề toán có cùng bản chất nhưng phát biểu ở dạng khác thì học sinh thường tỏ ra lúng
túng và bế tắc.
*"Sáng kiến kinh nghiệm Định lý Vi-Ét và ứng dụng"*, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút **DOWNLOAD**ở trên
c: (2-m)r+2(2-m)+mr-4 =0 r=m, SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 100 do đó : m2 =2-m, ta được m=1; m=-2 Điều kiện đủ: Với m=1, thử lại ta được: P(x) = x3 +2x2 +x-4 = (x-1)(x2 +3x+4) không thỏa mãn. Với m=-2 , thử lại ta được : P(x) = x3 +2x2 -2x-4 = (x+2)(x2 -2) Phương trình có 3 nghiệm x= 2 ; x=- 2 ; x=-2 thỏa mãn điều kiện. Vậy m=-2. Ví dụ 2: Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó là m;n;p của nó thỏa mãn các điều kiện sau: m 1 + n 1 + p 1 =-2; 1111 222 pnm ; 4 1 m 4 1 n 4 1 p =1. Giải: Ta gọi đa thức bậc ba cần tìm là : x3 +ax2 +bx+c. Theo công thức Vi-et ta có: m +n+p=-a; mn+np+mp =b; mnp=-c. Biến đổi giả thiết ta được: 2mnp mpnpmn 2 c b . 1= 2 222222 222 )( 111 mnp pnpmnm pnm = 2 2 2 2 2 )( )(2)( c acb mnp pnmmnpmpnpmn 1 = 4 444444 )(mnp pnpmnm = 4 2222222222222 )( )(2)( mnp pnmpnmpnpmnm SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 101 = 4 2222 )2(2)2( c bacacb . Giải hệ phương trình trên ta được 3 8a ; 9 32b ; 9 16c . Vậy đa thức cần tìm là: P(x) = x3 + 23 8 x + x9 32 + 9 16 . Ví dụ 3: Cho phương trình : x3 +px2 +qx +r =0. Gọi x1; x2; x3 là các nghiệm của phương trình. Hãy biểu diễn các đa thức đối xứng sau thông qua p;q;r: A = x12 + x22 + x32 ; B= x13 + x23 + x33 ; C = x14 + x24 + x34 ; Giải: Theo định lý Vi-et ta có: x1 +x2 +x3 =-p; x1x2+x2x3+x1x3 =q ; x1x2x3 = r Ta có A =( x1 +x2 +x3)2 -2(x1x2+x2x3+x1x3) = p2 -2q Ta tính B bằng cách thay các nghiệm xi vào phương trình rồi cộng vế theo vế ta thu được: x13 +x23 +x33 +p(x12 + x22 + x32 )+q(x1 +x2 +x3) +3r=0 B +p.(p2 -2q) +q(-p) +3r=0 B=-p3 +3pq-3r. Tính C: Ta nhân xi vào hai vế của phương trình để tạo ra xi4 rồi cộng vế theo vế . Từ đó làm tương tự ta tính được C= p4 -4p2q+2q2 +4rq. Ví dụ 4: Hãy tính diện tích tam giác mà 3 đường cao của nghiệm đúng phương trình: y3 –ay2 +by-c=0.(1) SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 102 Giải: Gọi x1; x2; x3 là độ dài ba cạnh của tam giác và y1;y2; y3 là độ dài ba đường cao của tam giác. Vậy thì y1;y2; y3 là ba nghiệm của (1) . Gọi S là diện tích của tam giác, vậy thì yi = ix S 2 . Thế vào phương trình ta có được: ( ix S 2 ) 3 –a( ix S 2 ) 2 +b( ix S 2 ) –c=0. Quy đồng ta được xi là nghiệm phương trình : x3 - 0842 32 2 c Sxc aSxc bS (2). Đặt P(x) là vế trái của (2). Theo công thức He-rong ta có: S2 =p(p-x1)(p-x2)(p-x3)= p.P(p), ở đây p= 2 321 xxx = c bS . (Ta giải thích S2=p.P(p) như sau: Đa thức bậc ba nhân x1; x2 ; x3 làm nghiệm là ( x-x1)(x-x2)(x-x3) =0 (3). Phương trình (3) cũng chính là phương trình (2) ở trên. Nên ta phải có (p-x1)(p-x2)(p-x3) = P(p) ) Thay vào ta được: S2 = c bS P( c bS ) = )84( 2424 4 bcbcabc S , suy ra S = 2422 2 84 bcbcabc S . Ví dụ 5: Cho p1; p2 ; q1; q2 là những số nguyên và là nghiệm của phương trình : x2 +p1x +q1 =0, còn là nghiệm của phương trình x2 +p2x +q1 =0. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 103 Hãy tìm các số nguyên a,b,c,d sao cho . là nghiệm của phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d =0 . Giải: Ta gọi ’; ’ là các nghiệm tương ứng còn lại của (1) và (2). Để có thể liên hệ giữa các nghiệm của phương trình , ta có thể xết đa thức sau nhận . làm nghiệm của nó. Đó là: P(x) = (x- )(x- ’ )(x- ’)(x- ’ ’) = x4 +ax3 +bx2 +cx+d. Đồng nhất hệ số đồng bậc ở hai đa thức ta thu được các giá trị của a;b;c;d. Chẳng hạn là hệ số b Ta có : b = ’+ ’ + ’ ’+ ’ ’ ’ + ’ ’ + ’ ’ . Sử dụng định lý Vi-et cho (1) và (2) ta thu được b= 2q1p2 +q2( 2 + ’2) +q1( 2 + ’2)= = 2 q1p2+q2(p12-2q1)+ q1(p22-2q2). Ví dụ 6: ( vô địch mỹ 1977) Giả sử a;b là hai trong 4 nghiệm của đa thức x4 +x3 -1 . Chứng minh rằng khi đó ab là nghiệm của đa thức x6 +x4 +x3 –x2 -1. Giải: Giả sử các nghiệm còn lại của đa thức bậc P(x)= x4 +x3 -1 là c,d. Theo định lý Vi-et ta có : a+b+c+d=-1 ; abcd=-1. Để ab là nghiệm của đa thức bậc 6 thì ta phải có: (ab)6 +(ab)4 +(ab)3 -(ab)2 -1 =0 0]11)()1()[()( 333 ababababab (*), SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 104 vì ab 0; cdab 1 . Vậy nên (*) trở thành: (ab)3 +(cd)3 +ab +cd+1=0 (**). Nói tóm lại ta phải chứng minh (**). Thật vậy , từ P(a) =P(b) =0. Ta có a3 = 1 1 a ; b 3 = 1 1 b , nên (ab)3 = )1)(1( 1 ba = )1( )1)(1( P dc =-(c+1)(d+1). Bởi vì P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), nên P(-1) = (1+a)(1+b)(1+c)(1+d). Tương tự ta có: (cd)3 = -(a+1)(b+1). Thay vào (** ) ta được -(a+1)(b+1)-(c+1)(d+1)+ab+cd+1 = -1-a-b-c-d=0 ( theo định lý Vi-et). Ví dụ 7: ( Vô địch Balan 1979) Hãy tìm tất cả các đa thức Pn(x) có hệ số nguyên và dưới dạng Pn(x)=n!xn +an-1xn-1 ++a1x +(-1)nn(n+1) có n nghiệm thực x1;x2; ; xn thỏa mãn điều kiện xk [k; k+1], với k=1,2,n và n1. Giải: Với n=1, đa thức có nghiệm x=2 [1;2] ,nên n=1 thỏa mãn. Với n=2 đa thức có dạng P2(x) =2x2 +a1x +6. Ta phải tìm a1 để phương trình có nghiệm thỏa mãn 1x1 2x2 3. Theo định lý Vi-et ta có x1+x2 = 2 1a ; x1 x2 =3. Ta suy ra a1 <0. Lại có 0x2-x1 2 0 ( x2-x1)2 4. Lại vì ( x2-x1)2 = ( x2+x1)2 -4x1x2 = 124 2 1 a . Do đó: SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 105 0 124 2 1 a 4 48a12 64. Tìm được a1 =-8; a1 =-7. Vậy đa thức cần tìm là P2(x) = 2x2 -8x +6 ; P2(x) = 2x2 -7x +6 Thử lại ta thấy các đa thức này thỏa mãn. Với n 3. Ta có : Pn(x) = n!xn +an-1xn-1 ++a1x +(-1)nn(n+1) = n!(x-x1).(x-x2)(x-xn) . Cho x= 0 ta được : (-1)nn(n+1) =n!(-1)nx1.x2xn. Do đó x1.x2xn = ! )1( n nn = )!1( 1 n n !2 1 nnn . Nhưng mặt khác vì xk [k;k+1], nên x1.x2xn 1.2.3n =n!( vô lý). Vậy khi n 3 không tồn tại đa thức như thế. Ví dụ 8: Tìm a, b nguyên để phương trình : 01234 axbxaxx (1) Có hai trong số các nghiệm của nó có tích bằng -1. (VMO ) Giải: Ta để ý rằng nếu phương trình có nghiệm là x thì cũng có nghiệm là x 1 . Gọi u, v là các nghiệm mà có tích uv 1 ( vì nếu tích hai nghiệm bằng 1 thì có thể chọn là u và u 1 ). SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 106 Do đó ta gọi các nghiệm là u; v; u 1 ; v 1 . Ta sẽ chứng minh hai nghiệm có tích bằng -1 phải là u; v. Tức là ta phải chứng minh u.v=-1. Thật vậy. Theo định lý Vi-et ta có: buvu v v uuv avuvu 21 11 )2(1)( )1()1)(( 2 buv vuuv auv uvvu Giả sử rằng 1uv . Vì a, b là số nguyên nên từ (a) suy ra u+v hữu tỉ ,từ (b) suy ra (u+v)2 phải là số nguyên. Nên suy ra (u+v) cũng là số nguyên. Vì uv+1 không chia hết cho uv nên từ (a) ta có u+v chia hết cho uv. Cũng từ (b) ta có (u+v)2+1 chia hết cho uv. Nhưng vì (u+v) và (u+v)2 +1 có ước chung là 1 hoặc -1 nên suy ra uv=1 hoặc uv=-1. Vì ta giả sử 1uv nên suy ra 1uv . Từ (1) suy ra a=0. Từ (2) ta có 22)( 2 vub . Thử lại với 0a , 2b , Zb , phương trình trở thành : 0124 bxx (*). Phương trình có nghiệm là: 2 42 bbu ; 2 42 bbv . Đây là 2 nghiệm thỏa mãn đề bài. Ví dụ 9: Cho đa thức cbxaxxxP 23)( có các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu có một nghiệm bằng tích của hai nghiệm kia thì : ))0(1(2)1()1()1(2 PPPP (Canada 82) Giải: Giả sử phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn như đề bài nêu. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 107 Ta gọi các nghiệm là u; v; uv. Áp dụng định lý Vi-et ta có: )3( )2()1( )1( 22 cvu bvuuv auvvu (I). Nếu a=-1 thì từ (1) ta có : 01 uvvu 0)1)(1( vu . Phương trình có nghiệm là -1 nên hiển nhiên 0)1(2 P , chia hết cho mọi số. Nếu 1a , cộng vế theo vế (2) và (3) ta được : )1()1( auvcbuvvuuv ( do (1)). Suy ra a cbuv 1 là số hữu tỉ vì a,b,c là các số nguyên. Ta có : 0)1)(1(2)1(2)1(2)0(1(2)1()1( vuuvvuaPPP . Mặt khác : vì ))()(()( uvxvxuxxP nên: )1)(1)(1(2)1)(1)(1(2)1(2 uvvuuvvuP . Từ đó ta có điều phải chứng minh. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP 1. Cho hàm số 1 12 x xxy có đồ thị ( C ). Chứng minh rằng từ A (1;-1) luôn kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyên ấy vuông góc với nhau. 2. Cho hàm số 1 32 x xy có đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 5 2 ) sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B và M là trung điểm của AB. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 108 3. Tìm m để hàm số xmxy 1 có cựa trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu tới tiệm cận xiên bằng 2 1 . 4. Tìm m để hàm số 1 2 x mxxy có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10. 5. Chứng minh rằng hàm số )(2 4)12( 22 mx mmxmxy luôn có cực trị và khoảng cách giữa chúng luôn là một hằng số. 6. Giả sử x1;x2 là hai nghiệm của phương trình x2+px-1=0 với p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì x1n+x2n và x1n+1 +x2n+1 là các số nguyên tố cùng nhau. (Ôlympic Balan 1964). 7. Chứng minh rằng n)83( + n)83( không chia hết cho 5 với mọi n. 8. Xét phương trình x3+ax2+bx+1=0; với a,b hửu tỉ. a) chứng minh rằng với a=-5;b=3 là cặp số duy nhất làm cho phương trình có nghiệm 2+ 5 . b) Kí hiệu x1; x2;x3 là 3 nghiệm của phương trình trên. Đặt Sn=x1n +x2n+x3n , n là số tự nhiên. Chứng minh Sn cũng là số tự nhiên. c) Tìm số dư phép chia S2005 cho 4. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 109 9. Chứng minh rằng 3 3333 2 735 7 8cos7 4cos7 2cos 10. Cho = 4 tan ; tan ; tan là 3 nghiệm của phương trình : x3 +px2+qx+r =0. Chứng minh rằng p+1=q+r. 11. Chứng minh hệ thức : S= 4 7 5cos 1 7 3cos 1 7cos 1 . 12. Chứng minh rằng nếu tanu; tanv là hai nghiệm của phương trình: x2+px+q=0. Thì sin2(u+v)+psin(u+v)cos(u+v)+qcos2(u+v)=q. 13. Chứng minh rằng nếu tanx;tany;tanz là 3 nghiệm phương trình t3+at2+bt+c=0; còn tanu; tanv; tanw là ba nghiệm của phương trình t3+ct2+bt+a=0 thì ta có x+y+z+u+v+w = k Zk ; . 14. chứng minh rằng : a) cos200 là số vô tỉ. b) tan6100+ tan6500 + tan6700 =433. 15) Hãy tìm bộ ba số hữu tỉ (a,b,c) là những nghiệm của phương trình x3+ax2+bx+c=0 ( Olympic sinh viên MỸ 1940). 16) Chứng minh rằng nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình 0;2 1 2 2 pppxx , ta có bất đẳng thức x14+x24 2+ 2 ( vô địch Bungari 1980). SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 110 17) Gỉa sử trong các nghiệm của đa thức P(x) =x3 +ax2 +bx+c, với a,b nguyên bằng tích của hai nghiệm kia. Chứng minh rằng số 2P(-1) chia hết cho số P(1)+P(-1) -2[ 1+P(0)]. ( vô địch Canada 1982). 18) Cho dãy na với a1=a2 =1; an –an-1 -2an-2 =0; n3. a) Tìm số hạng tổng quát của dãy. b) Chứng minh rằng an+1 =2an +1 nếu n chẵn và an+1 =a1+a2++an nếu n lẻ. 19) Cho dãy (an) xác định như sau: a1=1; a2=3; an = 3an-1 –an-2 ( n3). a) Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có : (an+2-2)(an-2) = (an+1 -3)2. b) Chứng minh rằng với mọi k nguyên dương thì a2k-1 -2 là số chính phương. 20) ( Việt namMO 2002) Cho đa thức P(x) = x3 +ax2 +bx+c=0 có 3 nghiệm thực. Chứng minh rằng 12ab+27c 6a3 +10 32 )2( ba . 21) Giả sử ax3 +bx2 +cx+d=0 (a 0) cos nghiệm dương. Chứng minh rằng 3 23 383 a dababc 0. 22) Giả sử phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 =0 có 4 nghiệm thực. Chứng minh rằng a2 +b2 8. 23) Giả sử phương trình x3 –px2 +qx –p =0 với p;q >0 có ba nghiệm thực không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng p ( )8 2 4 1 (q+3). ( 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ , bài 283) 24) Chứng minh rằng SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 111 14 5cos.14 3cos.14cos1214 5cos14 3cos14cos 222444 . 25) Giải hệ phương trình sau: 4 1111 1 txztyzxy tzyxtzyx xyzt 26) Giải hệ phương trình sau: 24 251111 2 91111 2 9 1 2222 tzyx tzyx tzyx xyzt PHẦN THỨ BA PHẦN KẾT THÚC I- KẾT QUẢ: Sau khi ý tưởng của đề tài được thực hiện , tôi thấy đã thu được nhiều kết quả khả quan. Cụ thể như sau: - Về phía bản thân: Tôi cảm thấy mình đã có cái nhìn sâu sắc và xuyên suốt hơn về định lý Vi-et. Thấy được lợi ích to lớn của nó khi đem cho học trò áp dụng vào giải bài tập và làm bài kiểm tra, bài thi. Bản thân cũng đã tạo cho mình một giáo trình riêng để có thể giảng dạy học sinh . Khi đề tài được thực hiện xong, tôi đã có thể dùng một phần nào đó để giảng và lấy ví dụ minh họa. Đặc biệt tài liệu đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THPT Phan Bội Châu. Cũng trong khi đề tài thực hiện, tôi đã nhận được sự đóng góp nhiệt tình và quý báu từ các đồng nghiệp. Do đó giữa chúng tôi đã có sự tích cực hơn về mặt trao đổi chuyên môn SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 112 và phương pháp. Bản thân cũng đã rút ra được nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp của mình. - Về phía học sinh: Khi ý tưởng mới hình thành từ những năm 2007-2008, tôi đã đem giới thiệu không chính thức với các học sinh của mình, đặc biệt là các em trong đội tuyển học sinh giỏi. Tôi quan sát và rút ra nhận định nếu mình trình bày những kiến thức này một cách hệ thống, gắn kết chúng lại thì các em nhận ra bản chất vấn đề tốt hơn khi để chúng ở các dạng riêng lẻ. Kể từ khi đề tài được tổng hợp lại, kết quả thi Đại học ( về môn Toán) và kết quả học sinh giỏi có nhiều cải tiến. Điểm số 8; 9 về môn Toán ở kỳ thi Đại học thu hoạch được nhiều hơn. Tất nhiên là các phần khác kinh nghiệm cũng phải được nâng lên tương ứng. Đã bắt đầu xuất hiện học sinh đậu các giải Lương Thế Vinh. Trước đó tôi chưa từng có học sinh đậu vòng tỉnh về môn Toán. Trong chương trình chính khóa, các em làm bài kiểm tra, bài thi học kỳ về phần hàm số ( tiếp tuyến, cực trị ) trôi chảy hơn, kết quả cao hơn những năm trước. Đó là những tín hiệu khởi đầu đáng mừng của một giáo viên trẻ mới vào nghề như tôi. Tôi tin rằng trong tương lai , với sự nổ lực của bản thân trong sự nổ lực chung của cả nhà trường , thì những thành tích của nhà trường về dạy và học sẽ có nhiều cải tiến. Về phía bản thân để đạt được những thành tựu mới , cần một sự nổ lực rất lớn ngay từ bây giờ. II- VÀI LỜI KẾT : Qua các dạng toán được đúc rút ra ở trên, thật ngạc nhiên và thú vị khi một định lý tưởng chừng như chỉ hiện hữu trong vấn đề đa thức và phương trình, thì nay ta thấy nó được sử dụng một cách hiệu quả ở hầu hết các mảng của Đại số và Số học. Thật là thiếu sót nếu chúng ta chưa có một cái nhìn tổng thể về định lý Vi-et. Sẽ còn rất nhiều mảng khác nữa mà định lý Vi-et có thể được sủ dụng tới, chẳng hạn như Số phức hay Hình học tọa độ. Tuy nhiên do kinh nghiệm bản thân chưa nhiều nên chưa thể có sự hệ thống trọn vẹn. Việc tìm ra mối quan hệ thống nhất giữa các mảng của Đại số và số học nói riêng và của Toán học nói chung là điều mà người dạy Toán và học toán luôn khao khát làm được. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 113 Điều khiến tác giả thấy tâm đắc qua đề tài của mình là khi ta sử dụng định lý Vi-et thì lời giải trở nên cô đọng và trong sáng. Một lần nữa tôi mong và tin tưởng đề tài này sẽ góp thêm một phương pháp tốt cho học sinh khi làm toán. Qua các ví dụ tác giả chắt lọc được, ta thấy rằng việc ứng dụng của định lý Vi-et để giải bài tập xuất hiện trong đề thi rất nhiều. Bao gồm kì thi Đại học cao đẳng lẫn các kỳ thi học sinh giỏi. Do đó thiết nghĩ việc chú trọng định lý Vi-et trong quá trình giảng dạy học sinh là một điều cần thiết. Do năng lực và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế , có thể các lời giải và cách trình bày chưa thực sự hay và đặc sắc.Mong nhận được sự trao đổi từ các đồng nghiệp. Tác giả sẽ cố gắng hoàn thiện hơn trong thời gian tới. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn sự góp ý, giúp đỡ chân tình của thầy cô trong tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu, th.s Nguyễn Quốc Vũ, Nguyễn Thị Ly Na, bạn bè , đồng nghiệp và những người yêu Toán đã giúp tôi hoàn thành đề tài này. MINH HÒA THÁNG 11 NĂM 2011 NGUYỄN THÀNH NHÂN Đánh giá của Hội đồng khoa học SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 114 Tài liệu tham khảo 1) Các bài toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (NXB GD) 2) Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXB GD. 3) Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học ( Trần Phương- NXB Tri Thức ). 4) Chuyên đề 2 : Số học và dãy số ( Phan Huy Khải- NXB GD) 5) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 11. ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng, NXB GD) 6) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ T2,3,4 (NXB GD). 7) Tuyển tập đề thi Olympic 30 THÁNG 4 các năm ( NXB Đại học sư phạm ). 8) Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4 ( Võ Giang Giai- Nguyễn Ngọc Thu , NXB ĐHQG Hà Nội). 9) Các bài giảng luyện thi môn toán tập 1,2,3 ( Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Tạ Mân, NXBGD). 10) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 12 ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng , NXBGD) 11) Trọng tâm kiến thức giải tích 12 , Phan Huy Khải, NXB GD 12) Các chuyên đề toán phổ thông, chủ đề Hàm số (Phan Huy Khải, NXBGD). SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 115 13) Bộ đề thi tuyển sinh đại học , môn Toán, NXB GD). 14) Đa thức và ứng dụng , Nguyễn Hữu Điển, NXB GD. 15) Báo Toán học và Tuổi trẻ. PHỤ LỤC 1/. Phần mở đầu ................................................................................. 2. SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 116 2/. Nội dung đề tài , giới thiệu về định lý Vi-et................................. 8 3/. Phần thứ hai: ứng dụng của định lý Vi-et..................................... 11 4/. Ứng dụng củ định lý Vi-et bậc hai................................................ 11 5/. Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ..................................11 6/. Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 1................................................... 16. 4/. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức.............................................. 19. 5/. Dạng 4: Khảo sát tính chất cực trị của hàm số..............................26. 6/. Dạng 5: Khảo sát tính chất tiếp tuyến........................................... 34. 7/. Dạng 6: Ứng dụng của một hệ thức truy hồi................................40. 8/. Dạng 7: Tương giao của hai đồ thị và tập hợp điểm.....................46 9/. Dạng 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai .............................................................................................54 10/. Dạng 9: So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số. 11/. Ứng dụng của định lý Vi-et tổng quát.........................................87. 12/. Dạng 1: Ứng dụng vào giải hệ phương trình............................ .87 13/. Dạng 2: ứng dụng vào tính các biểu thức lượng giác................ 91 14/. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức........................................... 96 15/. Một số bài tập tổng hợp ..............................................................114 16/. Phần kết thúc ...............................................................................119. 17/. Tài liệu tham khảo....................................................................... 122. 18/. Phụ lục......................................................................................... 124
File đính kèm:
SKKN_Dinh_Ly_Viet_Va_Ung_Dung.pdf


text:
Sàn nhạc sử dụng tốt nhất ở trình duyệt Firefox
Để thu âm và sử dụng sannhac một cách dễ dàng, bạn hãy cài đặt phầm mềm sau
Bắt đầu cài đặt Firefox
để duyệt web nhanh hơn
Đăng nhập
|
Đăng ký
Tên đăng nhập
Mật khẩu
Ghi nhớ
Quên mật khẩu
|
Gửi lại mail kích hoạt
Trang chủ
Phòng thu
Sàn đấu
Club
Hát Live
Sàn Nhạc
Sàn Diễn
SanNhac.com
on Facebook
Bình luận & Đánh giá
Bạn có thể đăng nhập bằng tài khoản
Yahoo
hoặc
Google
để bình luận hoặc đánh giá cho bài hát này
Hoặc đăng ký tài khoản mới
tại đây
Hủy
Bình luận
Chia sẻ ca khúc
Tặng quà
Cắt nhạc chuông
Bình luận
Chia sẻ ca khúc
Tặng quà
Cắt nhạc chuông
Bạn muốn chia sẻ ca khúc này cho thành viên
Mô tả
Bạn phải
đăng nhập
mới được chia sẻ ca khúc!
Bình luận
Chia sẻ ca khúc
Tặng quà
Cắt nhạc chuông
Bạn muốn tặng ca khúc này cho thành viên
Gửi quà và tin nhắn
Bình luận
Chia sẻ ca khúc
Tặng quà
Tạo nhạc chuông
Để tạo nhạc chuông theo phong cách riêng của bạn, hãy thực hiện các bước sau :
Bước 1 :
Chọn đoạn nhạc chuông bạn muốn cắt (đoạn được bôi trắng).
Bước 2 :
Thay đổi độ dài đoạn nhạc mà bạn muốn làm nhạc chuông bằng cách di chuyển hai đầu đoạn trắng, click
play
để nghe thử.
Bước 3 :
Nếu bạn đã ưng ý, hãy nhấn nút
Mp3
hoặc
ARM
chọn định dạng và
nhắn tin theo hướng dẫn
để tải nhạc chuông về máy hoặc tặng bạn bè.
Xem toàn bộ
Di chuyển
Đóng
Di chuyển
Đóng
Viết lưu bút cho
Nhắn tin cho
Tiêu đề
Nội dung tin nhắn
Thông tin chi tiết
Tình khúc vàng - Đan Trường
Thể hiện:
thevjen91
0 vote sao - 97 lượt nghe
Thời gian: 22/05/2008 21:16:03
Thêm vào playlist của bạn
Thêm vào danh sách yêu thích
Mã Nhúng Blog
Mã Nhúng Forum
Đã Copy
Mới nhất của thevjen91
Hay nhất của thevjen91
Cùng thể hiện bài này
Sàn Nhạc
, Tầng 21 Tòa nhà Center Building - Hapulico Complex
Số 1 Nguyễn Huy Tưởng, Thanh Xuân, Hà Nội.
Email:
sannhac@gmail.com
Liên hệ hợp tác: 094.686.1289
Giới thiệu quảng cáo
Liên hệ quảng cáo:
Admicro
Hà Nội – Ms. Hải Yến: 0988 965 517 – (84 4) 3974 8899. Ext 2201
Hồ Chí Minh – Mr.Tuấn: 0983 050 185 – (84 8) 7307 7979. Ext 173
Email:
giaitrixahoi@admicro.vn
Hỗ trợ & CSKH:
Admicro
Ms.Thơm: 01268 269 779
Address: Tầng 20, Center Building Hapulico Complex, Số 1 Nguyễn Huy Tưởng, Thanh Xuân, Hà Nội
Copyright 2009
– Công ty cổ phần VCCorp.
Chịu trách nhiệm quản lý nội dung : Ông Nguyễn Thế Tân.
Tầng 17, 19, 20, 21 Tòa nhà Center Building - Hapulico Complex
Số 1 Nguyễn Huy Tưởng, Thanh Xuân, Hà Nội.
Giấy phép số 375/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 07 tháng 08 năm 2015.
Trang chủ
|
Điều khoản
|
Quy định
|
Phòng thu
|
Beat
|
Recording

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Server: Apache/2.2.15 (CentOS)

Set-Cookie: viewbeat=deleted; expires=Thu, 01-Jan-1970 00:00:01 GMT; Max-Age=0

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Connection: close

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Index
Calendar
Trợ giúp
Tìm kiếm
Tìm kiếm
Display results as :
Số bài
Chủ đề
Advanced Search
Thành viên
Nhóm
Đăng ký
Đăng Nhập
SEHUNVN
::
Fan Zone
::
E-Tics Community
::
Member World | Góc thành viên
[SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Tài khoản:
Ghi nhớ?
Mật khẩu:
:: Quên mật khẩu? ::
SeHunVN - The Vietnamese Fansite For EXO's SeHun (세훈)
::
Fan Zone
::
E-Tics Community
::
Member World | Góc thành viên
Share
|
[SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Tác giả
Thông điệp
Bắp Ngu Ngơ
Administrator
Tổng số bài gửi
:
1464
Huneys
:
32168
Thanked
:
18
Join date
:
21/04/2012
Age
:
21
Đến từ
:
SeHunVN
Tiêu đề: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Sun May 13, 2012 10:06 am
rất tiếc =))
tôi lập 2pic này ra và tôi ko có 1 cái ảnh nào để post =))
Jin Mèo Pấn Rết
Moderator
Tổng số bài gửi
:
312
Huneys
:
20737
Thanked
:
2
Join date
:
22/04/2012
Đến từ
:
SeHunVn
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Mon May 14, 2012 1:46 pm
Spoiler:
Dạ em show
~~~
_________________
http://kris-exo.digimon.tv/ <--- Ủng hộ nha m.n
Cre: Tumblr
Bắp Ngu Ngơ
Administrator
Tổng số bài gửi
:
1464
Huneys
:
32168
Thanked
:
18
Join date
:
21/04/2012
Age
:
21
Đến từ
:
SeHunVN
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Mon May 14, 2012 3:23 pm
show mà sao để ẩn thế kia =))
tự edit đê đừng để ss mắc tội =))
_________________
Em Yêu Anh ♥
Des by Ryn
Jin Mèo Pấn Rết
Moderator
Tổng số bài gửi
:
312
Huneys
:
20737
Thanked
:
2
Join date
:
22/04/2012
Đến từ
:
SeHunVn
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Mon May 14, 2012 3:32 pm
Thôi ss .....
Cứ ấn vào Spoiler được roài
Nó hiện ra mà
~ ở EXOTICVN các mem vẫn làm thía
_________________
http://kris-exo.digimon.tv/ <--- Ủng hộ nha m.n
Cre: Tumblr
Bắp Ngu Ngơ
Administrator
Tổng số bài gửi
:
1464
Huneys
:
32168
Thanked
:
18
Join date
:
21/04/2012
Age
:
21
Đến từ
:
SeHunVN
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Mon May 14, 2012 4:26 pm
ờ, ss biết chớ =))
mà đã show r thì spoiler làm j nữa =))
_________________
Em Yêu Anh ♥
Des by Ryn
Jin Mèo Pấn Rết
Moderator
Tổng số bài gửi
:
312
Huneys
:
20737
Thanked
:
2
Join date
:
22/04/2012
Đến từ
:
SeHunVn
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Mon May 14, 2012 5:50 pm
em ngại, sợ mọi người nhìn nhiều đau mắt thôi
cho vào spoiler cho an toàn
_________________
http://kris-exo.digimon.tv/ <--- Ủng hộ nha m.n
Cre: Tumblr
Bắp Ngu Ngơ
Administrator
Tổng số bài gửi
:
1464
Huneys
:
32168
Thanked
:
18
Join date
:
21/04/2012
Age
:
21
Đến từ
:
SeHunVN
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Tue May 15, 2012 1:33 pm
ừ, ngại =))
ss còn chưa bao h tự sướng, thề vs em =))
_________________
Em Yêu Anh ♥
Des by Ryn
[Q]ỡn
Moderator
Tổng số bài gửi
:
521
Huneys
:
22929
Thanked
:
10
Join date
:
16/05/2012
Age
:
20
Đến từ
:
Evil City
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Wed May 16, 2012 6:28 pm
@Jin: mờ quá,
- cơ mà nhìn cx cư tê phết ế
_________________
Yoong kiều nữ ♥ Mều đại ca ♥ Couple bá đạo ♥ YoonSic is mine
Jin Mèo Pấn Rết
Moderator
Tổng số bài gửi
:
312
Huneys
:
20737
Thanked
:
2
Join date
:
22/04/2012
Đến từ
:
SeHunVn
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Wed May 16, 2012 8:12 pm
đa tạ ss quá khen
~
hề hề
_________________
http://kris-exo.digimon.tv/ <--- Ủng hộ nha m.n
Cre: Tumblr
Bắp Ngu Ngơ
Administrator
Tổng số bài gửi
:
1464
Huneys
:
32168
Thanked
:
18
Join date
:
21/04/2012
Age
:
21
Đến từ
:
SeHunVN
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Thu May 17, 2012 2:04 pm
Jin~ đã viết:
đa tạ ss quá khen
~
hề hề
điệu cười nghe thật dâm dê =))
Ty_RếtSếuShipper
Trial Moderator
Tổng số bài gửi
:
81
Huneys
:
18654
Thanked
:
3
Join date
:
22/04/2012
Đến từ
:
KRISHUN's World
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Fri May 25, 2012 10:07 am
Ô mô !!! Chưa j đã có vụ share ảnh cơ à =]]
Sao k ai share nữa nhờ
_________________
Cre: Ty Zen Cyrus
WU JI FAN
♥
OH SEHUN
♥
TY Zen Cyrus
:
1st KRISHUN Shipper
♥
he0k0nkut3_9x
SeHunatic
Tổng số bài gửi
:
9
Huneys
:
17793
Thanked
:
0
Join date
:
18/05/2012
Age
:
18
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Fri May 25, 2012 10:10 am
@Jin : kUtE lỚm
trẮng thIệt Ak
Bắp Ngu Ngơ
Administrator
Tổng số bài gửi
:
1464
Huneys
:
32168
Thanked
:
18
Join date
:
21/04/2012
Age
:
21
Đến từ
:
SeHunVN
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Fri May 25, 2012 12:38 pm
Ty_RếtSếuShipper đã viết:
Ô mô !!! Chưa j đã có vụ share ảnh cơ à =]]
Sao k ai share nữa nhờ
lâu lâu mới thấy ló mặt ra =))
Sponsored content
Tiêu đề: Re: [SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
[SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
Trang
1
trong tổng số
1
trang
Permissions in this forum:
Bạn
không có quyền
trả lời bài viết
SeHunVN - The Vietnamese Fansite For EXO's SeHun (세훈)
::
Fan Zone
::
E-Tics Community
::
Member World | Góc thành viên
SeHunVN - The Vietnamese Fansite For EXO's SeHun (세훈)
::
Fan Zone
::
E-Tics Community
::
Member World | Góc thành viên
Chuyển đến
:
Chọn Diễn Đàn
|
|--From SeHunVN Staffs
| |--Announcements & Rules in 4rum | Thông báo và nội quy của diễn đàn
| | |--Recruitment | Tuyển nhân sự
| |
| |--FAQ & Feedbacks
|
|--All About SeHun
| |--Photo Gallery
| |--Couple Planet
| |--Discussion
|
|--EXO Planet
| |--EXO News
| |--EXO Photos
| |--EXO Streaming
| | |--Download
| | |--Album | Single
| | |--MV | PV
| | |--Perfs | CFs | Show
| | |--Other
| |
| |--EXO-K & EXO-M
|
|--SeHunVN Factory
| |--Sub Channel
| |--By Subbing Team
| |--By SeHunVN Member
|
|--Other Artists
| |--Other Artists
|
|--Fan Zone
|--E-Tics Community
| |--Game Land
| |--Mua - Bán - Trao đổi
| |--Member World | Góc thành viên
|
|--Art Gallery
|--Fan Fiction
|--Talent Stage
Free forum
|
Âm nhạc
|
hát nhạc
|
©
phpBB
|
Free forum support
|
Liên hệ
|
Report an abuse
|
Sosblogs.com
Múi giờ GMT + 7.
Hôm nay: Sun Mar 26, 2017 12:21 pm
.
Layout Exclusively for SEHUNVN
Powered by vBulletin & Version 3.8.6
Forumotion_ripped by vlt
-- Skin Dark Purple
-- Tiếng Việt
Liên lạc
-
Diễn đàn
-
Lên trên

markdown:
![]()
![]()
Jin Mèo Pấn Rết
![]()
![]()
![]()
![]()
ừ, ngại =))
ss còn chưa bao h tự sướng, thề vs em =))
_________________
Em Yêu Anh ♥
![]()
Des by Ryn
![]()
![]()
![]()
@Jin: mờ quá,
- cơ mà nhìn cx cư tê phết ế
_________________
![]()
Yoong kiều nữ ♥ Mều đại ca ♥ Couple bá đạo ♥ YoonSic is mine
![]()
![]()
![]()
đa tạ ss quá khen
![]()
hề hề
_________________
http://kris-exo.digimon.tv/ <--- Ủng hộ nha m.n
![]()
![]()
Cre: Tumblr
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Ô mô !!! Chưa j đã có vụ share ảnh cơ à =]]
Sao k ai share nữa nhờ
_________________
![]()
Cre: Ty Zen Cyrus ![]()
WU JI FAN ♥ OH SEHUN
♥ TY Zen Cyrus : 1st KRISHUN Shipper ♥
![]()
![]()
![]()
@Jin : kUtE lỚm
trẮng thIệt Ak
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
[SHARE] Ảnh ọt cho vào đây nhá :x
![]()

WARC-Truncated: length

X-XSS-Protection: 1; mode=block

Cache-Control: no-cache

X-Content-Type-Options: nosniff

Vary: User-Agent

P3P: CP="IDC DSP COR ADM DEVi TAIi PSA PSD IVAi IVDi CONi HIS OUR IND CNT"

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
R.Macallan Cask Streng 0.7l-Scotland
Giá
Liên hệ
Mã sản phẩm: 20010001143
Tình trạng: Còn hàng
Dịch vụ tốt nhất
100% hàng chính hãng
Thanh toán khi nhận
Đảm bảo chất lượng đến tay người tiêu dùng, đổi lại hàng bị hư hại trong quá trình vận chuyển
Giao hàng tận nơi trong nội thành Hà Nội
Thông tin sản phẩm
Thông tin sản phẩm đang được cập nhật !

markdown:
![Picture of R.Macallan Cask Streng 0.7l-Scotland Picture of R.Macallan Cask Streng 0.7l-Scotland](http://sieuthiminhhoa.com/content/images/thumbs/0001425_rmacallan-cask-streng-07l-scotland_550.png)
![Picture of R.Macallan Cask Streng 0.7l-Scotland Picture of R.Macallan Cask Streng 0.7l-Scotland](http://sieuthiminhhoa.com/content/images/thumbs/0001425_rmacallan-cask-streng-07l-scotland_550.png)
## R.Macallan Cask Streng 0.7l-Scotland
![ ](/Themes/MinhHoa2/Content/css/img/icon_tt_hot.png)
Liên hệ
Mã sản phẩm: 20010001143
Tình trạng: Còn hàng
#### Dịch vụ tốt nhất
100% hàng chính hãng
Thanh toán khi nhận
Đảm bảo chất lượng đến tay người tiêu dùng, đổi lại hàng bị hư hại trong quá trình vận chuyển
![ ](/Themes/MinhHoa2/Content/css/img/icon_shipper.png)
Giao hàng tận nơi trong nội thành Hà Nội
Thông tin sản phẩm
Thông tin sản phẩm đang được cập nhật !

Cache-Control: private

Set-Cookie: NopCommerce.RecentlyViewedProducts=RecentlyViewedProductIds=20514; expires=Wed, 05-Apr-2017 05:27:15 GMT; path=/; HttpOnly


text:
Đổ mực in, Công ty cổ phần thiết bị văn phòng AT việt Nam
Đại lý Phân phối Sản phẩm - Bảo hành
Công ty CP Thiết Bị Văn Phòng AT Việt Nam
Thông số kỹ thuật:
- Mã Mực Photo Ricoh Aficio MP 2001
- Loại mực: Photocopy đen trắng.
- Dùng cho máy Photo Ricoh MP 2001 / MP 2001L / MP 2001 SP / MP 2501L/ MP 2501 SP
- Số bản in: 10.000 trang in tiêu chuẩn..
- Xuất xứ: Nhật Bản.
- Bảo hành: Chính hãng.
- Giao hàng lắp đặt : Miễn phí trong phạm vi nội thành Hà Nội.
TỪ KHÓA SẢN PHẨM MỰC IN VĂN PHÒNG
Đổ Mực in |Đổ mực máy in|đổ mực in giá rẻ|đổ mực in tại hà nội|mực in|mực photo ricoh|mực photo canon|mực photo xerox|mực photo sharp|mực photo toshiba|mực in canon|mực in hp|mực in borther|mực in epson
Số DKKD :
Ngày Cấp :
0103043728
20/01/2010
atgroup03@gmail.com
atvietnam02@gmail.com
Dịch vụ
Bán máy photo
Bán máy in
Sửa máy photo
Sửa máy in
Sản Phẩm
Mực in
linh kiện máy in
linh kiện máy photo

X-Powered-By-Plesk: PleskWin


text:
Click vào đây để tiếp tục
Đang chuyển trang, vui lòng đợi...
Click vào đây nếu đợi quá lâu

X-Fx-GeoIP-Mem: true

X-Powered-By: SVIT Engine / 1.1

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

X-Fx-GeoIP-Country: US


text:
- Thứ hạng Alexa toàn cầu: #3,989,497.
- Đuôi tên miền: .vn.
- Google PageRank: 1/10.
- Giá trị website ước tính: 5,040,000 VNĐ
- Thu nhập hàng ngày ước tính: 21,000 VNĐ.
- Chưa có báo cáo Rủi ro bảo mật nào đối với website này gần đây, phuyenstar.vn AN TOÀN với người sử dụng.
diễn đàn địa chất, địa chất Việt Nam, website địa chất, thông tin địa chất, khoa học trái đất, tài liệu địa chất, địa chất, địa chất học, khoa địa chất, địa chất công trình, địa...
Clays Nguyen's Blog: những gì tui viết có thể đúng hoặc sai, nhưng đó thực sự là những gì tui thích và tui đã trải nghiệm...Tin hay không tùy bạn :D
Chasoft Software Hompage - H.A.C's technical playground
Với phương châm: Uy tín là sự tồn tại, KHATECH luôn đem đến khóa học Quản trị mạng (MCSA, MCSE), Thiết kế web, Khóa học SEO, Internet Marketing chuyên sâu tại Nha Trang
CHÆ¯Æ NG TRÃNH HOáº T Äá»NG TUáº¦N VÄN HÃA - DU Lá»CH 2013 Thursday, 24 October 2013 13:13 CHÆ¯Æ NG TRÃNH HOáº T Äá»NG TUáº¦N VÄN HÃA -...
Phần mềm diệt virus bản quyền là giải pháp tối ưu giúp bạn phòng chống virus và diệt virus hiệu quả.

markdown:
- Thứ hạng Alexa toàn cầu: #3,989,497.
- Đuôi tên miền:
**. .vn**
|Unique Visitor hàng ngày:||121|
|Pageview hàng ngày:||242|
|Doanh thu hàng ngày:||21,000 VNĐ|
|Giá trị ước tính:||5,040,000 VNĐ|
|Trang Google đã Index:||32,400|
|Trang Yahoo đã Index:||5|
|Trang Bing đã Index:||5|
|Google Backlink:||Chưa có dữ liệu|
|Bing Backlink:||Chưa có dữ liệu|
|Alexa BackLink:||66|
|Google Safe Browsing:||Không có rủi ro|
|Siteadvisor Rating:||Không có rủi ro|
|WOT Trustworthiness:||
|![]()
|WOT Privacy:||
|![]()
|WOT Child Safety:||
|![]()
|Facebook Share:||80|
|Facebook Like:||Chưa có dữ liệu|
|Facebook Comment:||Chưa có dữ liệu|
|Twitter Tweet:||Chưa có dữ liệu|
|Linkedin Share:||Chưa có dữ liệu|
|Delicious Share:||Chưa có dữ liệu|
|Google+:||Chưa có dữ liệu|
|H1 Heading:||Chưa có dữ liệu||H2 Heading:||Chưa có dữ liệu|
|H3 Heading:||Chưa có dữ liệu||H4 Heading:||Chưa có dữ liệu|
|H5 Heading:||Chưa có dữ liệu||H6 Heading:||Chưa có dữ liệu|
|Tổng số IFRAME:||Chưa có dữ liệu||Tổng số Ảnh:||Chưa có dữ liệu|
|Google Adsense ID:||Chưa có dữ liệu||Google Analytic ID:||Chưa có dữ liệu|
diễn đàn địa chất, địa chất Việt Nam, website địa chất, thông tin địa chất, khoa học trái đất, tài liệu địa chất, địa chất, địa chất học, khoa địa chất, địa chất công trình, địa...
Clays Nguyen's Blog: những gì tui viết có thể đúng hoặc sai, nhưng đó thực sự là những gì tui thích và tui đã trải nghiệm...Tin hay không tùy bạn :D
Chasoft Software Hompage - H.A.C's technical playground
Với phương châm: Uy tín là sự tồn tại, KHATECH luôn đem đến khóa học Quản trị mạng (MCSA, MCSE), Thiết kế web, Khóa học SEO, Internet Marketing chuyên sâu tại Nha Trang
CHÆ¯Æ NG TRÃNH HOáº T Äá»NG TUáº¦N VÄN HÃA - DU Lá»CH 2013 Thursday, 24 October 2013 13:13 CHÆ¯Æ NG TRÃNH HOáº T Äá»NG TUáº¦N VÄN HÃA -...
|Host||IP Address||Country|
|dns1.it-4vn.com||
|![]()
Phần mềm diệt virus bản quyền là giải pháp tối ưu giúp bạn phòng chống virus và diệt virus hiệu quả.

Set-Cookie: __cfduid=dfd0dad20c9b59bdd248ef237bd56d8c71490506816; expires=Mon, 26-Mar-18 05:40:16 GMT; path=/; domain=.site4vn.com; HttpOnly

Server: cloudflare-nginx

Content-Type: text/html


text:
Ví dụ: 500 USD hoặc 10 triệu đồng
Mời bạn nhập email để chúng tôi gửi thư cho bạn
Copyright © 2013 SmartSeo.
Tầng 4, tòa nhà Star Tower, Lô D32 Khu đô thị mới Cầu giấy, Đường Dương Đình Nghệ, phường Yên Hòa, quận Cầu Giấy, Hà Nội
Tư vấn: (04) 3558 6999 (Ext:214) Email: smartseo@netlink.vn

Vary: Accept-Encoding