markdown:
;
VIEWS: 501 PAGES: 50 POSTED ON: 3/6/2011
´. Chu.o.ng 1. MA TRAN - DINH THU C (8+4) ˆ - . . I. Ma trˆna . * Cho m, n nguyˆn du.o.ng. Ta goi ma trˆn c˜. m × n l` mˆt bang sˆ gˆm m × n e . a . o a o ’ . o ` ´ o ´ o . .c d u.o.c viˆt th`nh m h`ng, n cˆt c´ dang nhu. sau: sˆ thu ¯ . ´ e a a o o . . a1,1 a1,2 ... a1,n a a2,2 ... a2,n (ai,j )m×n = 2,1 ... ... ... ... am,1 am,2 ... am,n trong d ´ c´c sˆ thu.c ¯o a o . ´ ai,j , i = 1, m, j = 1, n d u.o.c goi l` c´c phˆn tu. cu a ma trˆn, chı sˆ i chı h`ng v` chı sˆ j chı cˆt cua ¯ . . a a ` a ’ ’ a. ’ o´ ’ a a ’ o ´ ’ o ’ . phˆn tu. ma trˆn. ` a ’ a . * Ma trˆn c˜. 1 × n d u.o.c goi l` ma trˆn h`ng, ma trˆn c˜. m × 1 d .o.c goi l` ma a o . ¯ . . a a . a a o . ¯u . . a a trˆn cˆt, ma trˆn c˜ o a o . n × n d u.o.c goi l` ma trˆn vuˆng cˆ p n. ¯ . a o ´ a . . . . a . * Trˆn ma trˆn vuˆng cˆ p n, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu. e a . o a´ ¯u o e ` o a ` a ’ ai,i , i = 1, n d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o ch´ ¯ . . a¯ o e ınh, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu. ¯u o e ` o a ` a ’ ai,n+1−i , i = 1, n d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o phu cua ma trˆn. ¯ . . a¯ o e . ’ a. * Ma trˆn vuˆng cˆ a . o ´p n c´ c´c phˆn tu. n˘ m ngo`i d u.`.ng ch´o ch´ d` u b˘ ng 0, a o a ` a ` ’ a a ¯ o e ınh ¯ˆ ` e a ıa a ngh˜ l`: ai,j = 0, ∀i = j d u.o.c goi l` ma trˆn ch´o. ¯ . . a a . e a e o * Ma trˆn ch´o c´ . ai,i = 1, i = 1, n d u.o.c goi l` ma trˆn d o.n vi cˆ p n, k´ hiˆu In . ¯ . . a a ¯ . . a´ y e . * Ma trˆn c˜ a o . m × n c´o . ai,j = 0, ∀i, j : i > j d u.o.c goi l` ma trˆn bˆc thang. ¯ . . a a . a. a o * Ma trˆn c˜ . m × n c´ c´c phˆn tu. d` u b˘ ng 0 d u.o.c goi l` ma trˆn khˆng, k´ o a a ’ ¯ˆ ` ` e a ¯ . a o . . a . y hiˆu 0m,n . e . * Ta goi ma trˆn chuyˆ n vi . a . e’ . a1,1 a2,1 ... am,1 a a2,2 ... am,2 AT = (aj,i )n×m = 1,2 ... ... ... ... a1,n a2,n ... am,n Typeset by AMS-TEX 2 ’ a cua ma trˆn . a1,1 a1,2 ... a1,n a2,1 a2,2 ... a2,n A = (ai,j )m×n = ... ... ... ... am,1 am,2 ... am,n l` ma trˆn c´ d u.o.c t`. A b˘ ng c´ch chuyˆn h`ng th`nh cˆt, cˆt th`nh h`ng. a a o ¯ . u . ` a a ’ e a a o o . . a a . (a ) .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu c´c phˆn ` ´ ` * Hai ma trˆn c` ng c˜ i,j m×n v` (bi,j )m×n d u . a u . o a ¯ . a a e a a tu. o. t`.ng vi tr´ d` u b˘ ng nhau: ’ ’ u . e ` ı ¯ˆ a ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + Tˆ ng (hiˆu) cua hai ma trˆn c` ng c˜. m × n l` mˆt ma trˆn c˜. m × n, trong d ´ o’ e . ’ a u . o a o . a o . ¯o phˆn tu. cua ma trˆn tˆ ng (hiˆu) l` tˆ ng (hiˆu) c´c phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng: ` a ’ ’ a o . ’ e . a o ’ e . a ` a ’ ’ . ı ´ (ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n v´.i o ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + T´ vˆ hu.´.ng cua sˆ thu.c α v´.i ma trˆn c˜. m × n l` ma trˆn c˜. m × n, trong d ´ ıch o o ´ ’ o . o a o . a a o . ¯o mˆi phˆn tu. l` t´ cua α v´.i phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng cua ma trˆn ban d` u: o˜ ` a ’ a ıch ’ o `a ’ ’ . ı ´ ’ a . a ¯ˆ (ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n v´.i o ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. + T´ vˆ hu.´.ng c´ t´ phˆn bˆ v´.i ph´p cˆng c´c ma trˆn: α.(A + B) = α.A + α.B, ıch o o o ınh a o o ´ e o . a a . v´ o.i ph´p cˆng c´c hˆ sˆ: (α + β).A = α.A + β.B, c´ t´ kˆt ho.p: e o a e o ´ ´ o ınh e . . . α.(β · A) = (α.β) · A. ıch ’ a + T´ cua hai ma trˆn A = (ai,j )m×n v` B = (bj,k )n×q l` ma trˆn . a a a . C = A × B = (ci,k )m×q , v´.i o n ci,k = ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q. j=1 ı . V´ du. 1 3 2 1 3 1.1 + 3.1 + 2.3 1.3 − 3.1 + 2.2 10 4 2 4 7 × 1 −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3 2.3 − 4.1 + 7.2 = 27 16 3 5 6 3 2 3.1 + 5.1 + 6.3 3.3 − 5.1 + 6.2 26 16 3 + Ph´p nhˆn hai ma trˆn c´ t´ kˆt ho.p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ phˆn e a ´ . a o ınh e . ınh a ´ ´ phˆi d oi v´ o ¯ˆ o .i ph´p cˆng: e o . A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C. Ngo`i ra, nˆu A c´ c˜. m × n, th` a ´ e o o ı A × In = Im × A = A. II. Dinh th´.c -. u a . ’ a * Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta goi ho´n vi cu a tˆp E l` mˆt song ´nh f : E → E, . . a o . a y e k´ hiˆu . 1 2 ... n f: f (1) f (2) . . . f(n) hay (f (1), f(2), . . . , f (n)) ´ o a ’ a . a (c´ tˆ t ca n! ho´n vi kh´c nhau). V´ du. Cho E = {1, 2, 3}. Anh xa f : E → E x´c d .nh bo.i: f (1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2 ı . ´ . a ¯i ’ a o a . ’ y e a l` mˆt ho´n vi cua E, k´ hiˆu l` . . 1 2 3 1 3 2 a ho˘c . (1, 3, 2). o a . * Cho mˆt ho´n vi . 1 2 ... n f: f (1) f (2) ... f(n) ta th`nh lˆp c´c c˘p th´. tu. a a a a . . u . (f (i), f(j)), ∀i = j, s˜ c´ Cn c˘p th´. tu. nhu. thˆ; mˆt c˘p (f (i), f(j)) d .o.c goi l` nghich thˆ nˆu e o 2 a . u . ´ . . e o a ¯u . . a . ´ ´ e e (i − j)(f (i) − f (j)) < 0. Goi N (f ) l` sˆ c´c nghich thˆ cua ho´n vi f (c´ trong Cn c˘p th´. tu. trˆn). . ´ a o a . ´ e ’ a . o 2 a . u . e ı . V´ du. T` sˆ ım o ´ ’ ´ nghich thˆ cua ho´n vi . e a . 1 2 3 4 5 f : . 3 2 1 5 4 4 T`. ho´n vi n`y, ta c´ c´c c˘p th´. tu. u a . a o a a . u . (3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4), ¯´ o a ´ e trong d o ta c´ c´c nghich thˆ: . (3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4), suy ra N (f ) = 4 * Cho ma trˆn (A)n,n . Dinh th´.c cu a A l` mˆt sˆ thu.c, k´ hiˆu v` x´c d inh nhu. a . -. u ’ . ´ a o o . y e a a ¯. . sau: det(A) = (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n) f ∈Sn trong d ´ Sn l` tˆp tˆ t ca n! ho`n vi cua n phˆn tu. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆy, d inh ¯o a a a ’ . ´ a . ’ ` a ’ a ¯. . u th´.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ: ’ a a o o ´ . . + b˘ ng tˆ ng d . i sˆ cua n! hang tu. dang ` a o’ ¯a o ’ ´ . ’ . a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n) + mˆi hang tu. l` t´ cua n phˆn tu. ai,j m` mˆi h`ng, mˆi cˆt phai c´ mˆt ˜ o . ’ a ıch ’ `a ’ ˜ a o a ˜ . o o ’ o o . a ’ o ` a ’ v` chı mˆt phˆn tu . tham gia v`o t´ d ´. a ıch ¯o . + dˆ u cua mˆi hang tu. phu thuˆc v`o sˆ nghich thˆ cua ho´n vi tu.o.ng u.ng. ´ ’ a ˜ o . ’ . o a o . ´ . ´ e ’ a . ´ * Ta goi d inh th´.c cˆ p 2 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 2 h`ng, 2 cˆt nhu. sau: . ¯. u ´ a a a . ınh ¯ . u ’ a o . a1,1 a1,2 = a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2 a2,1 a2,2 * Ta goi d inh th´.c cˆ p 3 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 3 h`ng, 3 cˆt nhu. sau: . ¯. u ´ a a a . ınh ¯ . u ’ a o . a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3 − a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3 + Dˆ t´ nhanh d .nh th´.c cˆ p 3, ta viˆt cˆt th´. nhˆ t v` th´. hai tiˆp theo v`o bˆn - e ınh ’ ¯i u a ´ ´ . e o u ´ a a u ´ e a e ’ ’ o e phai bang n´i trˆn: a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2 a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2 ı ` . lˆ y dˆ u cˆng l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c d .`.ng ch´o song song a ’ ´ ´ . th` 3 phˆn tu a a o a ıch a `a ’ a ` e a ¯u o e .i d .`.ng ch´o ch´ v´ ¯u o o e ` . lˆ y dˆ u tr`. l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c a ’ ´ ´ ınh, ba phˆn tu a a u a ıch a ` a ’ a ` e a ¯ .`.ng ch´o song song v´.i d .`.ng ch´o phu (quy t˘c Serrhus) du o e o ¯u o e ´ a . 5 * Ta goi d inh th´.c cˆ p n l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang: . ¯. u ´ a a a . ınh ¯ . u ’ a1,1 a1,2 ... a1,n a2,1 a2,2 ... a2,n = a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn ... ... ... ... an,1 an,2 ... an,n trong d ´ Dk l` d .nh th´.c cˆ p n − 1 thu d .o.c t`. bang d a cho b˘ ng c´ch bo cˆt ¯o a ¯i u a ´ ¯u . u ’ ¯˜ ` a a ’ o. th´. nhˆ t v` h`ng th´. k, k = 1, n. u ´ a a a u ı . V´ du. 1 4 5 2 3 3 1 4 5 2 4 5 2 4 5 2 0 3 3 1 = 1. 0 4 0 − 0. 0 4 0 + 2. 3 3 1 − 0. 3 3 1 = 14 2 0 4 0 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 4 0 0 0 2 1 + Dinh th´.c khˆng thay d o i nˆu ta d ˆ i h`ng th`nh cˆt -. u o ’ ´ ¯ˆ e ’ ¯o a a o . + - inh th´.c d ˆ i dˆ u nˆu ta d ˆ i chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) v´.i nhau D. ’ a e u ¯o ´ ´ ¯o ’ ˜ o a a . o . o + Dinh th´.c c´ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) ty lˆ v´.i nhau nhau th` b˘ ng 0 -. u o a a . o . ’ e o . ı `a + Th` o.a sˆ chung cua mˆt h`ng hay cˆt c´ thˆ d u.a ra ngo`i dˆ u cua d nh th´.c u ´ ’ o a o o e ¯ ’ ´ ’ ¯i a a u . . . + - inh th´.c khˆng thay d ˆ i nˆu ta d` ng th`.i cˆng v`o c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng D. u o ¯o ’ e ´ ¯ˆo o o . a a ` a ’ ’ o a . (hay mˆt cˆt) n`o d ´ c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn v´.i c` ng o o . . a ¯o a ` a ’ ’ o a . o o . . a a o u . ´ o o mˆt sˆ. V´ du. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: 1 1 1 ... 1 1 1−x 1 ... 1 1 1 2−x ... 1 = 0. ... ... ... ... ... 1 1 1 ... n−x Dinh th´.c o. vˆ tr´i cua phu.o.ng tr` l` d th´.c bˆc n nˆn c´ khˆng qu´ n nghiˆm -. ´ u ’ e a ’ ınh a ¯a u a . e o o a e. kh´c nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`o d .nh th´.c, ta luˆn c´ hai a a ¯i u o o h`ng v´.i c´c phˆn tu. b˘ ng 1, nˆn d inh th´.c b˘ ng 0. Vˆy phu.o.ng tr` c´ n nghiˆm a o a ` a ’ a ` e ¯. u a` a . ınh o e. x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1. * Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng A = (ai,j )n×n , k´ hiˆu det(A) l` d .nh th´.c cˆ p n -. u ’ a . o y e . a ¯i u a ´ ’ ’ cua bang a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n ... ... ... ... an,1 an,2 . . . an,n a o ınh a ´ v` c´ t´ chˆ t: + det(αA) = αn . det(A) + det(A × B) = det(A). det(B) III. Ma trˆn nghich d ’ o a . . ¯a 6 * Ma trˆn A = (ai,j )n×n d u.o.c goi l` ma trˆn kha nghich nˆu tˆn tai ma trˆn A−1 a . ¯ . . a a . ’ . ´ o e ` . a . sao cho: A × A−1 = A−1 × A = In . Khi d o, ma trˆn A−1 d u.o.c goi l` ma trˆn nghich d a o cua A. ¯´ a . ¯ . . a a . . ¯’ ’ a ’ a ’ + Ma trˆn A kha nghich khi v` chı khi . . det A = 0. * Cho A = (ai,j )m×n . Mˆt d inh th´.c con cˆ p k (1 ≤ k ≤ n) cua A l` mˆt d inh o ¯. . u ´ a ’ a o ¯. . u.c tao th`nh t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch bo d i m − k h`ng v` n − k cˆt. th´ . a u a ` a a ’ ¯ a a o . . a o a´ ’ * Cho ma trˆn vuˆng cˆ p n kha nghich . . a1,1 a1,2 ... a1,n a a2,2 ... a2,n A = 2,1 ... ... ... ... an,1 an,2 ... an,n Phˆn b` d ai sˆ cua phˆn tu. ai,j , l` sˆ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d ´ Di,j l` d inh `a u ¯. o ’ ´ `a ’ ´ a o ¯o a ¯. .c cˆ p n − 1 cua bang thu d u.o.c t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch gach bo h`ng th´. i v` u ´ th´ a ’ ’ ¯ . u a ` a a ’ a u a . . cˆt th´. j. o . u a + Cho A l` ma trˆn vuˆng kha nghich cˆ p n v` ∆ = det A = 0. Khi d o ma trˆn a . o ’ . ´ a a ¯´ a . nghich d a . ¯ ’ o cua A d u.o.c x´c d .nh mˆt c´ch duy nhˆ t bo.i: ’ ¯ . a ¯i o a . ´ ’ a 1 T A−1 = Ai,j ∆ A1,1 A2,1 ... Dn,1 1 A1,2 A2,2 ... Dn,2 = ∆ ... ... ... ... A1,n A2,n ... Dn,n ı . a . ¯’ ’ V´ du. Ma trˆn nghich d ao cua . 1 −1 1 A = 2 1 1 1 1 2 a l`: 1 3 −2 1 A−1 = −3 1 1 5 1 −2 3 ı: v` ∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0 7 a v`: 1 1 2 1 2 1 A1,1 = (−1)1+1 = 1; A1,2 = (−1)1+2 = −3; A1,3 = (−1)1+3 = 1; 1 2 1 2 1 1 −1 1 1 1 1 −1 A2,1 = (−1)2+1 = 3; A2,2 = (−1)2+2 = 1; A2,3 = (−1)2+3 = −2 1 2 1 2 1 1 −1 1 1 1 1 −1 A3,1 = (−1)3+1 = −2; A3,2 = (−1)3+2 = 1; A3,3 = (−1)3+3 =3 1 1 2 1 2 1 ´ ınh a + T´ chˆ t: 1 −1 − Cho A kha d ao v` k = 0, th` (kA)−1 = ’ ¯’ a ı: A k − Cho A, B c` ng cˆ p v` kha d ao, th` (A × B)−1 = B −1 × A−1 u ´ a a ’ ¯’ ı: −1 −1 − Cho A kha d ao th` A c˜ ng kha d ao v` A−1 ’ ¯’ ı u ’ ¯’ a =A ` Phˆn I.4: Hang cua ma trˆn a . ’ a. . . ’ a * Ta goi hang cu a ma trˆn A = (ai,j )m×n , k´ hiˆu r(A) l` cˆ p cao nhˆ t cua c´c . y e . a a´ ´ a ’ a d inh th´ ¯. u .c con kh´c 0 cua A. a ’ + Hang cu . ’ a ma trˆn 0m×n l` 0, hang cua ma trˆn A = (a) v´.i a = 0 l` 1. a. a . ’ a. o a + Hang cua ma trˆn khˆng thay d ˆ i qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p sau d ˆy: . ’ a. o ¯o ’ a e ´ e ¯o’ ´ a ¯a - ˆ i chˆ hai h`ng ho˘c hai cˆt cho nhau; a. Do ’ ˜ o a a. o . b. Nhˆn mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt sˆ kh´c 0; a o a . o o . . o . ´ o o a c. Cˆng v`o mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn o . a o a . o o . . o o a . o o . . a a v´.i mˆt sˆ. o o o . ´ Dˆ t` hang cua ma trˆn Amtimesn , c´ thˆ d` ng c´c phu.o.ng ph´p sau: - e ım . ’ ’ a . o e u ’ a a + Phu .o.ng ph´p theo d inh ngh˜ t´ c´c d inh th´.c con t`. cˆ p 2 tro. lˆn. Gia a ¯. ıa: ınh a ¯. u u a ´ ’ e ’ su’. ma trˆn c´ 1 d nh th´.c con cˆ p r kh´c 0, t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 1, nˆu a o ¯i u a´ a ´ ınh e a ¯. u a ´ ´ e . . tˆ t ca d` u b˘ ng 0 th` kˆt luˆn hang ma trˆn l` r, nˆu c´ d inh th´.c cˆ p r + 1 kh´c ´ a ’ ¯ˆ a e ` ı e´ a . . a a . ´ e o ¯. u a ´ a 0 th` t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 2, c´. nhu. thˆ dˆn d .nh th´.c cˆ p l´.n nhˆ t ´ ı ınh e a ¯. u a ´ u ´ ´ e ¯e ¯i ´ u a o ´ a V´ du. T` hang cua ma trˆn ı . ım . ’ a . 1 2 3 5 A = 3 2 4 9 1 0 1 4 1 2 Ta c´ d .nh th´.c con cˆ p 2: o ¯i u ´ a = −4 = 0, v` c´c d .nh th´.c cˆ p 3: a a ¯i u a ´ 3 2 1 2 3 1 2 5 1 3 5 2 3 5 3 2 4 = 0; 3 2 9 = 0; 3 4 9 = 0; 2 4 9 =0 1 0 1 1 0 4 1 1 4 0 1 4 suy ra r(A) = 2 8 + Phu.o.ng ph´p d`ng ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: biˆn d ˆ i ma trˆn vˆ dang bˆc a u e ´ e ¯o ’ ´ a ´ e ¯o’ a ` . . e a . thang b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n 0 b2,2 . . . b2,r . . . b2,n ... ... ... ... ... ... B = 0 0 . . . br,r . . . br,n 0 0 ... 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 v´.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` bii = 0, i = 1, r th` r(A) = r(B) = r. o a ı ı . ım . V´ du. T` hang ma trˆn a . 1 3 2 0 5 2 6 9 7 12 A= −2 −5 2 4 5 1 4 8 4 20 1 3 2 0 5 1 3 2 0 5 h2−2h1;h3+2h1;h4−h1 0 0 5 7 2 h4−h3;h2↔h3 0 1 6 4 15 A −→ −→ 0 1 6 4 15 0 0 5 7 2 0 1 6 4 15 0 0 0 0 0 suy ra r(A) = 3 + Ngo`i ra, c´ thˆ t` ma trˆn nghich d a o qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: a ’ o e ım a . . ¯’ a e ´ e ¯o ’ ´ a a a o´ u o. v´.i A, thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p CHI lˆp ma trˆn khˆi A|E (E c` ng c˜ o e a e ´ e ¯ˆ ’ ´ a ’ . . . . TREN HANG, nˆu d .a d .o.c vˆ dang E|B th` B l` nghich d ao cua A. ˆ ` e ¯u ¯u . ` . ´ e ı a . ¯’ ’ 1 −1 1 | 1 0 0 1 −1 1 | 1 0 0 h2−2h1,h3−h1 V´ du. A|E = 2 1 1 | 0 1 0 ı . −→ 0 3 −1 | −2 1 0 1 1 2 | 0 0 1 0 2 1 | −1 0 1 1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 | 2 0 −1 h1−h3,h2+h3 −→ 0 5 0 | −3 1 1 −→ 0 1 0 | −3/5 1/5 1/5 5 2 0 1 | −1 0 1 0 2 1 | −1 0 1 1 0 0 | 1/5 3/5 −2/5 h1+3h2,h3−2h2 −→ 0 1 0 | −3/5 1/5 1/5 thu d u.o.c kˆt qua nhu. c˜ . ¯ . e ´ ’ u 0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5 ` BAI TAP ˆ . o ınh, ch´.ng minh c´c d inh th´.c sau chia hˆt cho 17: 1.1. Khˆng t´ u a ¯. u ´ e 2 0 4 3 2 3 5 2 7 ; 20 9 1 2 5 5 55 2 5 1.2. Ch´.ng minh c´c d ang th´.c sau d ˆy (khˆng t´ d .nh th´.c b˘ ng d .nh ngh˜ u a ¯˘ ’ u ¯a o ınh ¯i u ` a ¯i ıa): 9 0 x y z 0 1 1 1 x 0 z y 1 0 z2 y2 a. = v´.i xyz = 0 o y z 0 x 1 z 2 0 x2 x y z 0 1 y 2 x2 0 1 x yz b. 1 y zx = (x − y)(y − z)(z − x) 1 z xy 1 1 1 c. x y z = (x + y + z)(x − y)(y − z)(z − x) x3 y 3 z 3 1.3. ım T` x sao cho: 3 3 − x −x x x+1 x+2 a. 2 7 3 =0 b. x + 3 x + 4 x+5 =0 x + 1 3x − 7 x x+6 x+7 x+8 2 1 x x x 1 2 c. 3 1 x <0 d. 1 x 3 >0 4 5 1 x + 1 2 −4 x 1 1 1 1 0 1 1 0 1 x x x 1 x 1 1 1 0 0 1 1 1 a 0 0 1.4. T´ c´c d .nh th´.c sau: ınh a ¯i u ; ; 1 1 x 1 1 ; 1 0 0 1 1 0 b 0 1 1 1 x 1 1 1 0 0 1 0 0 c 1 1 1 1 x 1 x x2 x3 a+x x x x2 + 1 xy xz x3 x2 x 1 a b+x x ; xy y2 + 1 yz ; ; 2 1 2x 3x2 4x3 x x c+x xz yz z +1 4x3 3x2 2x 1 a x x −x −x 0 x y z 2 x 1 x x 0 y 0 x 2a a 0 0 x 0 z y 1 x 2 x 0 z 0 t ; ; ; x a 2a 0 0 ; y z 0 x 2 1 x x y 0 z 0 −x 0 0 2a a x y z 0 x x 2 1 0 t 0 x −x 0 0 a 2a 1 2 3 ... n x a a ... a 2 1 2 ... n−1 a x a ... a 3 2 1 ... n−2 ; a a x ... a ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n−1 n−2 ... 1 a a a a x 0 1 1 ... 1 1 cos(x1 − y1 ) cos(x1 − y2 ) ... cos(x1 − yn ) 1 0 x ... x x cos(x2 − y1 ) cos(x2 − y2 ) ... cos(x2 − yn ) 1 x 0 ... x x ; ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... cos(xn − y1 ) cos(xn − y2 ) ... cos(xn − yn ) 1 x x ... 0 x 1 x x ... x 0 10 a1 −a2 0 ... 0 0 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 0 a2 −a3 ... 0 0 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn 0 0 a3 ... 0 0 ; ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn 0 0 0 ... an−1 −an 1 1 1 ... 1 1 + an 2 1 2 1 −2 1.5. Cho A = 3 0 1 v` B = 4 a 6 . T` A2 , AB, A−1 . ım 0 1 2 5 −3 n n n 2 −1 a 1 cos x − sin x 1.6. T` c´c ma trˆn ım a a . ; ; 3 −2 0 a sin x cos x 1 2 1.7. Cho A = . T` f (A) v´.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1. ım o 2 1 1.8. 2 1 1 1 2 −2 a. Cho A = 3 1 2 v` B = 2 3 1 . a 1 −1 0 1 2 2 1. T` A−1 , B −1 . ım 2. T` f (A), f(B) v´.i f (x) = x2 − x − 1 ım o 2 1 0 0 1 3 −5 7 3 2 0 0 0 1 2 −3 ım a . . ¯’ ’ b. T` ma trˆn nghich d ao cua A = 1 1 3 4 ; B= 0 0 1 2 . 2 −1 2 3 0 0 0 1 1.9. a. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu.o.ng b˘ ng ma trˆn khˆng. ım a. o ´ a o ınh ` a a . o ım a o ´ a b. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu o ınh .o.ng b˘ ng ma trˆn d .n vi. ` a a ¯o . . . 1.10. T` ma trˆn X sao cho: ım a. 1 2 3 5 3 −2 −1 2 ×X = ; X× = ; 3 4 5 9 5 −4 5 6 1 2 −3 1 −3 0 1 1 −1 1 −1 3 3 2 −4 ×X = 10 2 7 ; X× 2 1 0 = 4 3 2 ; 2 −1 0 10 7 8 1 −1 1 1 −2 5 2 1 −3 2 −2 4 ×X × = ; 3 2 5 −3 3 −1 4 1 2 1 5 0 ×X × = ; 3 −1 5 3 6 1 1 1 1 X× 0 1 1 − 2 2 1 −1 = 1 0 5 ; 3 0 6 −1 −2 1 0 0 1 1 2 2 3 5 1 5 2 5 4 × X + 7 6 = 3 −1 2 ; 2 4 5 2 1 −2 0 11 1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n 0 1 1 ... 1 0 1 2 ... n − 1 0 0 1 ... 1 ×X = 0 0 1 . . . n − 2 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1 ’ 1.11. T` hang cua ma trˆn sau: ım . a . 2 1 1 1 2 1 11 2 1 3 2 0 5 1 3 1 1 1 0 4 −1 2 6 9 7 12 ; 1 1 4 1 ; ; 11 4 56 −5 −2 −5 2 4 5 1 1 1 5 2 −1 5 −6 1 4 8 4 20 1 1 1 1 1 2 3 14 3 1 −3 1 1 3 2 1 11 1 3 5 7 9 1 1 −2 3 −4 5 2 ; 2 −1 7 −3 2 1 1 1 6 ; 1 3 −2 5 3 2 3 −1 5 2 11 12 25 22 4 3 −2 7 −5 3 1 1 0 3 ´ 1.12. Biˆn luˆn theo a sˆ hang ’ a c´c ma trˆn sau: e . a . o . cu a a. −1 2 1 1 a −1 2 a 1 1 4 2 a −2 ; 2 −1 a 5 ; 1 a 1 3 ; 3 −6 (a + 3)(a + 7) 1 10 −6 1 1 2a 1 4 3 1 1 4 1 4 3 6 1 2 −1 3 2 a 4 10 1 −1 0 1 1 2 −1 a2 0 4 ; ; 1 7 17 3 2 1 −1 0 3 1 2 2 7 2 2 4 3 0 2 a 4 1 2 a 1 1 ım a a . ’ 1.13. T` c´c gi´ tri cua m dˆ: ¯e ’ 3 4 5 7 1 2 6 −3 4 2 a. r(A) = 2 v´.i A = o 4 2 13 10 0 5 0 21 13 m 1 2 3 −1 1 3 2 1 −1 1 b. r(A) = 3 v´.i A = o 2 3 1 1 1 5 5 2 0 2m + 1 1 4 3 6 −1 0 1 1 c. r(A) = 3 v´.i A = o 2 1 −1 0 0 2 m 4 3 1 1 4 m 4 10 1 d. r(A) = 2 v´.i A = o 1 7 17 3 2 2 4 3 m 1 1 1 1 1 m 1 e. r(A) = 2 v´.i A = o 1 1 1 m 1 m 1 1 12 -ooOoo- 13 . . Chu.o.ng 2. HE PHU O NG TR` ˆ . INH TUYEN T´ ´ ˆ INH (2+2) a ¯i I. C´c d .nh ngh˜ ıa * Ta goi hˆ phu.o.ng tr` . e . ınh tuyˆn t´ e ınh m phu.o.ng tr` ´ ’ a a e o . ınh n ˆ n l` hˆ c´ dang . a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1 ... (1) a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2 am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm trong d o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` c´c hˆ sˆ (thu.c ho˘c ph´.c), x1 , x2 , . . . , xn l` c´c ¯´ a a e o . ´ . a. u a a ’n sˆ. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ d u.o.c goi l` c´ nghiˆm (hay tu.o.ng th´ a ˆ o ´ e. ınh ´ e ınh ¯ . . a o e . ıch) nˆu ´ e a e. ’ o a o tˆp nghiˆm cua n´ kh´c rˆng. . ˜ + Hˆ (1) c´ thˆ d u.o.c viˆt du.´.i dang ma trˆn AX = B trong d ´: e . o e ¯ .’ e´ o . a. ¯o a1,1 a1,2 . . . a1,n x1 b1 a a2,2 . . . a + 2, n A = 2,1 ; X = x2 ; B = b2 hay ... ... ... ... . .x . .b am,1 am,2 . . . am,n . n . m a1,1 a1,2 . . . a1,n b1 a a2,2 . . . a + 2, n b2 du.´.i dang ma trˆn mo. rˆng: A = 2,1 o . a . ’ o . , khi d o hang ¯´ . ... ... ... ... ... am,1 am,2 . . . am,n bm r(A) cua A d u.o.c goi l` hang cu a hˆ phu.o.ng tr` ’ ¯ . . a . ’ e . ınh (1) e II. Hˆ Cramer . * Hˆ (1) c´ sˆ phu.o.ng tr` b˘ ng sˆ nghiˆm (m = n) v` d .nh th´.c det(A) = 0 d u.o.c e . o o ´ ınh a ` ´ o e . a ¯i u ¯ . . a e goi l` hˆ Cramer. . Di + Hˆ Cramer c´ nghiˆm duy nhˆ t d u.o.c x´c d .nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi = e . o e . ´ a ¯ . a ¯i , trong D d ´ D = det(A), c`n Di l` d inh th´.c thu d .o.c t`. D b˘ ng c´ch thay cˆt th´. i b˘ ng ¯o o a ¯. u ¯u . u ` a a o . u ` a . do. . . ´ o e o . cˆt hˆ sˆ tu x1 + 2x2 + 3x3 = 6 V´ du. Giai hˆ: ı . ’ e . 2x1 − x2 + x3 = 2 3x1 + x2 − 2x3 = 2 1 2 3 Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t (1, 1, 1): e o . e . ´ a 3 1 −2 6 2 3 1 6 3 1 2 6 1 1 1 x= 2 −1 1 = 1; y = 2 2 1 = 1; z = 2 −1 2 = 1 30 30 30 2 1 −2 3 2 −2 3 1 2 a ¯i y ` III. C´c d .nh l´ vˆ nghiˆm cua hˆ (Kronecker-Kapeli) e e. ’ e . + (1) c´ nghiˆm (tu o e .o.ng th´ a ’ ıch) khi v` chı khi r(A) = r(A). . o e a´ a ¯. a ’ + (1) c´ nghiˆm duy nhˆ t (x´c d inh) khi v` chı khi r(A) = r(A) = n. . + nˆ ´u r(A) = r(A) = r < n th` (1) c´ vˆ sˆ nghiˆm v` c´c th`nh phˆn nhiˆm phu e ı o o o ´ e . a a a ` a e. . thuˆc n − r tham sˆ tu` y. o . ´ o y´ 14 ax1 + x2 + x3 = 1 V´ du. Biˆn luˆn theo a sˆ ı . e. a. o´ nghiˆm cua hˆ: e . ’ e . x1 + ax2 + x3 = 1 x1 + x2 + ax3 = 1 u a e ´ ’ D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a ¯ˆ a ¯. . . cˆ p d e x´c d inh hang cua A v` A ´ ’ ’ e ¯ˆ a a 1 1 | 1 1 1 a | 1 h1↔h3 A = 1 a 1 | 1 −→ 1 a 1 | 1 1 1 a | 1 a 1 1 | 1 1 1 a | 1 1 1 a | 1 h2−h1 h3+h2 −→ 0 a − 1 1 − a | 0 −→ 0 a − 1 1−a | 0 h3−ah1 2 2 0 1−a 1−a | 1−a 0 0 2−a−a | 1−a + Nˆ e´u 2 − a − a2 = 0, c´ 2 .`.ng ho.p: o tru o . 1 1 1 | 1 a = 1 th` A −→ 0 0 0 | 0 ⇒ r(A) = r(A) = 1 < 3, hˆ c´ vˆ sˆ ı: e o o o . ´ 0 0 0 | 0 nghiˆm phu thuˆc 2 e. . o . ´ tham sˆ tu` y. o y´ 1 1 −2 | 1 a = −2 th` A −→ 0 −3 3 | 0 ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆ vˆ ı: e o . 0 0 0 | 3 nghiˆm. e. + Nˆ e´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th` r(A) = r(A) = 3, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. ı e o . e . ´ a IV. Phu.o.ng ph´p giai hˆ a ’ e . + C´c ph´p biˆ ¯ˆ a e ´n d o i so. cˆ p cho hˆ tu.o.ng d .o.ng (tu.o.ng u.ng v´.i c´c ph´p biˆn d o i e ’ a´ e . ¯u ´ o a e ´ e ¯ˆ ’ a ’ theo h`ng cua ma trˆn mo o a . rˆng): ’ . . − Do- ˆ i chˆ hai phu.o.ng tr` cho nhau (d ˆ i chˆ hai h`ng cua ma trˆn) ’ ˜ o ınh ¯o’ ˜ o a ’ a. a − Nhˆn hai vˆ cua phu ´ e ’ .o.ng tr` n`o d ´ v´.i mˆt sˆ kh´c 0 (nhˆn c´c phˆn tu. ınh a ¯o o o o a ´ a a `a ’ . .i mˆt sˆ kh´c 0) e trˆn mˆt h`ng cua ma trˆn v´ o a . ’ a o . . ´ o o a − Cˆng t`.ng vˆ cua mˆt phu.o.ng tr` v´.i mˆt phu.o.ng tr` kh´c nhˆn v´.i o. u ´ e ’ o . ınh o o . ınh a a o .i bˆi sˆ mˆt h`ng kh´c) . ´ . mˆt sˆ (cˆng mˆt h`ng v´ o o o a o o o o a . o . ´ . a ´ ¯. 1. Ap dung d inh l´ Carmer y . Nˆu hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ l` hˆ Cramer, c´ thˆ ´p dung d .nh l´ Carmer e´ e . ınh ´ e ınh a e . o e a ’ . ¯i y −1 −1 ho˘c t` ma trˆn A , suy ra X = A B. a ım . a . 2x + 3y + 2z = 9 V´ du. Giai b˘ ng phu.o.ng ph´p ma trˆn nghich d ao: ı . ’ a ` a a. . ¯’ x + 2y − 3z = 14 3x + 4y − z = 16 2 3 2 Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ hˆ l` Cramer. ` e a e . 3 4 1 A1,1 A2,1 A3,1 14 5 −13 1 1 V´.i A−1 = o A1,2 A2,2 A3,2 = −10 −4 8 det(A) −6 A1,3 A2,3 A3,3 −2 1 1 14 5 −13 9 2 x=2 −1 1 14 = 3 , suy ra e nˆn X = A B = − −10 −4 8 y=3 6 −2 1 1 16 −2 z = −2. 15 2. Phu.o.ng ph´p Gauss (khu. dˆn ˆ n sˆ) a ’ ` aa ’ o´ D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a u a e ´ e ¯ˆ ’ . cˆ p theo c´c h`ng, biˆn d o i ma trˆn mo. rˆng A th`nh ´ a a ´ e ¯ˆ ’ a ’ o a . . o ` e ma trˆn A1 c´ nhiˆu phˆn tu a ` a ’. 0 (nhu. ma trˆn bˆc thang), khi d ´ r(A) = r(A ) v` a a ¯o a . . . 1 r(A) = r(A1 ). ´ e + nˆu r(A1 ) < r(A1 ), th` hˆ vˆ nghiˆm ı e o . e . + nˆu r(A1 ) = r(A1 ) = r th` lˆp hˆ phu.o.ng tr` m´.i (tu.o.ng d .o.ng hˆ d ˜ cho) sau ´ e ı a e . . ınh o ¯u e ¯a . kho bo c´c h`ng m` moi phˆn tu. d` u b˘ ng 0. Giai hˆ n`y (r phu.o.ng tr` ’ a a a . `a ’ ¯ˆ a e ` ’ e a. a ınh, n ˆ n’ o ` ´ a sˆ) b˘ ng c´ch chon r ˆ n co ’ a a a’ . ban v` n − r ˆ n khˆng co. ban (thay b˘ ng tham sˆ tu` a’ o ’ ` a ´ o y . ´ y), nˆ ´u r = n th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. e ı e o. e . ´ a V´ du. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau: ı . ’ a e . ınh x1 − 3x2 + 2x3 = −1 x1 + 9x2 + 6x3 = 3 x1 + 3x2 + 5x3 = 1 1 −3 2 −1 1 −3 2 1 1 −3 2 −1 h2 −h h2 ×1/2 A = 1 9 6 3 −→1 0 12 4 4 −→ 0 3 1 1 , h3 −h1 h3 −h2 1 3 5 1 0 6 3 2 0 0 1 0 x1 − 3x2 + 2x3 = −1 x1 = −1 + 3x2 − 2x3 x1 = 0 1 suy ra 3x2 + x3 = 1 ⇒ 3x2 = 1 − x3 ⇒ x2 = 3 x3 = 0 x3 =0 x3 = 0 x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 2x1 + 7x2 − x3 = −1 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 1 −3 2 −1 2 1 −3 2 −1 2 h −2h1 h3 −h B = 2 7 −1 0 −1 2 −→ 0 13 −5 2 −5 −→2 h3 −4h1 4 1 3 −2 1 0 13 −5 2 −7 1 −3 2 −1 2 0 13 −5 2 −5 = B1 . Do r(B) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B), hˆ e . 0 0 0 0 −2 o e vˆ nghiˆm.. x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1 2x − x + 2x − x = 0 1 2 3 4 5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1 4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2 1 5 4 3 1 1 5 4 3 1 2 −1 2 −1 0 h3 −h1 −2h2 2 −1 2 −1 0 C= −→ 5 3 8 1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0 4 9 10 5 2 0 0 0 0 0 h2 −2h1 1 5 4 3 1 −→ , t´.c l`: u a ’ bo h3 ,h4 0 −11 −6 −7 −2 16 x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 =1 −11x2 − 6x3 − 7x4 = −2. 14 2 1 x1 = − α + β + 11 11 11 6 7 2 Chon x3 = α, x4 = β, ta suy ra: . x2 = − α − β + 11 11 11 x3 = α x4 = β ax + y + z = 1 ı . ’ a e a V´ du 2. Giai v` biˆn luˆn theo a: . . x + ay + z = a x + y + az = a2 a 1 1 1 1 1 a a2 1 1 a a2 h3 ↔h h2 −h A = 1 a 1 a −→ 1 1 a 1 a −→1 0 a − 1 1 − a a − a2 h3 −ah1 1 a a2 1 a 1 1 1 0 1−a 1−a 1−a 2 3 1 1 a a2 h3 +h2 −→ 0 a − 1 1−a a − a2 , suy ra: 2 2 3 0 0 2−a−a 1+a−a −a * Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2) e + Nˆu a = 1, th` A → (1 1 1 1), tu.o.ng d u.o.ng v´.i x + y + z = 1 nˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm ´ e ı ¯ o ´ e o o o e . dang (1 − α − β; 1; 1) v´ o.i α, β tu` y. y´ . 1 1 −2 4 + Nˆu a = −2, th` A → 0 −3 3 −6 suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A) nˆn hˆ vˆ ´ e ı e e o . 0 0 0 3, nghiˆm.e. * Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2) e 1 1 a a2 h :a−1 0 1 −1 −a , nˆn hˆ d ˜ cho tu.o.ng u.ng v´.i: A 2 −→ e e ¯a ´ o h3 :2−a−a 2 (a + 1)2 . 0 0 1 a+2 a+1 2 x1 = − x + y + az = a a−2 y − z = −a 1 ⇔ x2 = (a + 1)2 a+2 z = a−2 x = (a + 1) 2 3 a+2 ax + y + z = 1 ı . ’ a e a V´ du 3. Giai v` biˆn luˆn theo a, b: . . x + by + z = 3 x + 2by + z = 4 a 1 1 4 1 1 D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1; 1 2b 1 4 2b 1 a 4 1 a 1 4 Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1 1 4 1 1 2b 4 17 a=1 ´ + Nˆu D = (1 − a)b = 0 ⇔ e e a , hˆ l` Cramer, c´ nghiˆm duy nhˆ t: . o e . a´ b=0 x = −2b + 1 1 (1 − a)b 1 x = 2 b x = 4b − 2ab − 1 3 (1 − a)b x+ y+z =1 x+ y +z = 4 + Nˆu a = 1, hˆ tro. th`nh: ´ e e ’ a . x + by + z = 3 ⇔ (b − 1)y ı:: = −1 , th` x + 2by + z = 4 (2b − 1)y =0 x =2−α 1 x+y+z =0 ´ e − Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = : ⇔ y =2 y´ , α tu` y. 2 y =2 z =α x+ y+z =4 1 ´ − Nˆu 2b−1 = 0 ⇔ b = : e (b − 1)y = −1 vˆ nghiˆm v` (b−1)0 = −1 o e ı . 2 y =0 ax − y + z = 4 + Nˆ e e ’. th`nh: ´u b = 0, hˆ tro a x o + z = 3 vˆ nghiˆm e . . x +z =4 V. Hˆ phu e .o.ng tr` ´ ınh thuˆn nhˆ t ınh tuyˆn t´ e ` a ´ a . * Hˆ phu.o.ng tr` e . ´ ınh tuyˆn t´ `a ´ a a e o . e ınh thuˆn nhˆ t l` hˆ c´ dang . AX = 0 (II) a a a o ´ ¯o (B l` ma trˆn to`n sˆ 0), khi d ´ r(A) = r(A), hˆ luˆn luˆn c´ nghiˆm: . e o . o o e . ´ e o e ´ + nˆu r(A) = n, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t nghiˆm tˆm thu o e a e ` a .`.ng x = x = · · · = . . . 1 2 xn = 0; ´ e e o o o . ´ + nˆu r(A) < n, hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm, c´c th`nh phˆn cua nghiˆm phu thuˆc n − r(A) e . a a ` a ’ e . . o . tham sˆ, nˆn c´ nghiˆm kh´c nghiˆm khˆng (nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng). ´ o e o e . a e . o e . o ` a o + V´.i hˆ c´ n phu.o.ng tr` o e o. ınh, n ˆ n sˆ, hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.o.ng khi v` chı khi ’ ´ . a o e o e . o `a a ’ a o e ´ a a ` det(A) = 0 v` c´ nghiˆm duy nhˆ t tˆm thu .o.ng khi v` chı khi det(A) = 0. a ’ . ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0 x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0 V´ du. T` a dˆ hˆ ı . ım ’ . ¯e e ... = 0 c´ nghiˆm khˆng tˆm o e . o ` a x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0 x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0. thu.o.ng 18 a 1 ... 1 1 1 a ... 1 1 det(A) = . . . . . . 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1 1 a ... 1 1 h1 + hi = ... ... i=1 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a 1 1 ... 1 1 1 a ... 1 1 = (a + n − 1) . . . . . . 1 1 ... a 1 1 1 ... 1 a 1 1 ... 1 1 0 a − 1 ... 0 0 hi −h1 = (a + n − 1) . . . ... = (a + n − 1)(a − 1)n−1 i=1 0 0 ... a − 1 0 0 0 ... 0 a−1 a = 1−n Hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi det(A) = 0 ⇔ e o . e . o `a o a = 1. ´ e + nˆu a (α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v` (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn ) a e ’ e ı l` nghiˆm cua hˆ (II) th` . . ∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn ) u a e e c˜ ng l` nghiˆm hˆ (II). . . + Tru.`.ng ho.p r(A) < n (sˆ ˆ n cua hˆ) th` r(A) ˆ n co. ban d u.o.c biˆu diˆn qua o . ´ ’ o a ’ e. ı a’ ’ ¯ . e’ ˜ e a’ o . ban (lˆ y gi´ tri tu` y). Nˆu chon n − r(A) ˆ n khˆng co. ban n − r(A) ˆ n khˆng co ’ ´ a a . y´ ´ e a’ o ’ . tu.o.ng u.ng theo n − r(A) th`nh phˆn cua n − r(A) bˆ sˆ: ´ a ` a ’ o o´ . (1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1) th` n − r(A) nghiˆm cu thˆ cua hˆ (II) d u.o.c goi l` mˆt hˆ nghiˆm co. ba n cu a ı e . ’ . e ’ e . ¯ . . a o e. . e . ’ ’ e hˆ. . x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 2x + 4x + 2x − x = 0 . ban cua 1 2 3 4 V´ du. T` hˆ nghiˆm co ’ ı . ım e . e . ’ x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0 4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0. 19 1 2 −2 1 1 2 −2 1 2 4 2 −1 h2 −2h1 0 0 6 −3 h3 −h2 1 2 −2 1 A= −→ −→ u.ng ´ 1 2 4 −2 h3 −h1 0 0 6 −3 h2:2 0 0 2 −1 4 8 −2 1 h4 −4h1 0 0 6 −3 h4 −h2 v´.i hˆ: o e . x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 x1 = −2x2 ⇔ 2x3 − x4 = 0 x4 = 2x3 . + Chon (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´: nghiˆm (−2; 1; 0; 0) . o e. o e + Chon (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´: nghiˆm (0; 0; 1; 2) . . * Gia ’ i th´ c´ch t` ma trˆnghich d a o o. phˆn IV, chu.o.ng 1 ıch a ım a ¯’ ’ ` a . . a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n a a2,2 a2,3 . . . a2,n Cho ma trˆn vuˆng A = 2,1 a . o c´ det(A) = 0. X´t hˆ o e e . ... ... an,1 an,2 an,3 . . . an,n n phu.o.ng tr` 2n ˆ n: ınh a’ a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1 =0 a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn + xn+2 =0 a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn + xn+3 =0 .................. an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn + xn+1 =0 o . a c´ dang ma trˆn . A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X (1) x1 xn+1 x2 xn+2 v´.i X = x3 v` X = xn+3 o . a . . . . . xn x2n v` det(A) = 0, ∃A−1 nˆn: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*) ı e a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0 a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0 . ´ Hˆ c´ ma trˆn hˆ sˆ: a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0 = (A|E) e o . a e o . ... ... ... an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1 Gia’ su. qua c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p trˆn c´c h`ng, ta d .a d u.o.c ma trˆn vˆ dang ’ a e ´ e ¯ˆ ’ ´ a e a a ¯u ¯ . a ` . . e 1 0 0 ... 0 | b1,1 b1,2 b1,3 ... b1,n 0 1 0 ... 0 | b2,1 b2,2 b2,3 ... b2,n 0 0 1 ... 0 | b3,1 b3,2 b3,3 ... b3,n = (E|B) ... ... ... 0 0 0 ... 1 | bn,1 bn,2 bn,3 ... bn,n 20 u.ng v´.i hˆ: ´ o e . x1 + b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n =0 x2 + b2,1 xn+1 + b2,2 xn+2 + b2,3 xn+3 + · · · + b2,n x2n =0 x3 + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n =0 ......... xn + bn,1 xn+1 + bn,2 xn+2 + bn,3 xn+3 + · · · + bn,n x2n =0 c´ dang X + B × X = 0, suy ra B = A−1 o . ` BAI TAPˆ . 3x − 5y + 2z + 4t = 2 2x + y − z = 1 ’ i c´c hˆ phu.o.ng tr` sau: 2.1. Gia a e . ınh 7x − 4y + z + 3t = 5 x− y+z =2 5x + 7y − 4z − 6t = 3 4x + 3y + z = 3 x + y − 3z = −1 2x + 3y − z + 5t = 0 x − 2y + 3z − 4t = 4 2x + y − 2z = 1 3x − y + 2z − 7t = 0 y − z + t = −3 x + 2y − 3z = 1 4x + y − 3z + 6t = 0 x + 3y − 3t = 1 x+ y+ z =3 x − 2y + 4z − 7t = 0 −7y + 3z + 3t = −3 x − y + 2z − 3t = 1 2x + y − 3z = 4 x + 3y + 4z = 8 x + 4y − z − 2t = −2 x + 2y + z = 1 2x + y − z = 2 x − 4y + 3z − 2t = −2 3x − 3y + 2z = 11 2x + 6y − 5z = 4 8y x − + 5z − 2t = −2 2x + 3y − z + t = 2 3x + 4y + 5z + 7t = 1 x + y + 5z = −7 2x + 3y + z = 4 2x + 6y − 3z + 4t = 2 x + 3y + z = 5 2x + 3y + 2z = 3 4x + 2y + 13z + 10t = 0 2x + y + z = 2 2x + 3y = 5 2x + 21z + 13t = 3 2x + 3y − 3z = 14 2x − 5y + 4z + 3t = 0 3x + y − 3z + t = 1 x + 2y + 3z − t = 1 3x − 4y + 7z + 5t = 0 2x − y + 7z − 3t = 2 3x + 2y + z − t = 1 4x − 9y + 8z + 5t = 0 x + 3y − 2z + 5t = 3 2x + 3y + z + t = 1 3x − 2y + 5z − 3t = 0 3x − 2y + 7z − 5t = 3 5x + 5y + 5z =2 8x + 6y + 5z + 2t = 21 x1 + x2 =1 3x + 3y + 2z + t = 10 x1 + x2 + x3 =4 4x + 2y + 3z+ =8 x2 + x3 + x4 = −3 3x + 5y + z + t = 15 x3 + x4 + x5 = 2 7x + 4y + 5z + 2t = 18 x4 + x5 = −1 x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 7x + 14x + 20x + 27x = 0 1 2 3 4 5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2 3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5 ’ a e 2.2. Giai v` biˆn luˆn theo a c´c hˆ sau: . a . a e . 21 (a + 1)x + y+ z =1 ax + y + z + t = 1 x + (a + 1)y + z =a x + ay + z + t = a 2 x+ y + (a + 1)z = a x + y + az + t = a2 x − y + az + t = a 2 −1 1 −1 x 1 x + ay − z + t = −1 2 −1 0 −3 y 2 × = ax + ay − z − t = −1 3 0 −1 1 z −3 x + y + z + t = −a 2 2 −2 a t −6 ax1 − 3x2 + x3 = −2 2.3. Cho hˆ phu e .o.ng tr`ınh ax1 + x2 + 2x3 = 3 . 3x1 + 2x2 + x3 = b. a. T` a dˆ hˆ trˆn l` hˆ Cramer; u.ng v´.i gi´ tri cua a v`.a t` t` nghiˆm cua hˆ ’ . ım ¯e e e a e . ´ o a . ’ u ım, ım e . ’ e. theo b. ım ’ . ¯e e e o b. T` a, b dˆ hˆ trˆn vˆ nghiˆm. e. ım ’ . ¯e e e o o o ´ c. T` a, b dˆ hˆ trˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm, t` nghiˆm tˆ ng qu´t cua hˆ. e . ım e . o’ a ’ e . 2.4. T` m dˆ a e ım ¯e’ c´c hˆ phu.o.ng tr` sau d ˆy: . ınh ¯a o em a. c´ nghiˆ . 2 3 1 x 7 3 6 −9 3 7 −6 × y = −2 ; 4 8 × x = 12 ; y 5 8 1 x m 2 7 m 3 2 5 x 1 3 7 5 x −m 2 4 6 × y = 3 ; 2 3 1 × y = 2 ; 5 7 m z 5 6 9 3 z 5 mx + 2y + 3z + 2t = 3 3x + 4y + 5z + 7t = 1 2x + 6y − 3z + 4t = 2 2x + my + 3z + 2t = 3 ; 2x + 3y + mz + 2t = 3 4x + 2y + 13z + 10t = m 2x + 3y + 2z + mt = 3 5x + 21z + 13t = 3 2x + 3y + 2z + 3t = m 2x − y + z − t = 1 x + y + (1 − m)z = m + 2 2x − y − 3t = 2 o b. vˆ nghiˆm:e . ; (1 + m)x − y + 2z = 0 3x − z + t = −3 2x − my + 3z = m + 2 2x + 2y − 2z + mt = −6 mx1 + x2 + x3 + · · · + xn =0 x1 + mx2 + x + 3 + · · · + xn = 0 o ¯i c. vˆ d .nh: x1 + x2 + mx3 + · · · + xn =0 ......... x1 + x2 + x3 + · · · + mxn =0 3x + 2y + z + t = 1 3x + 2y + z = 3 x + my − z + 2t =0 2x + 3y + z + t = 1 ; mx + y + 2z = 3 ; 2x − y + mz + 5t =0 x + 2y + 3z − t = 1 mx − 3y + z = −2 x + 10y − 6z + t =0 5x + 5y + 2z = 2m + 1 22 o e ´ a d. c´ nghiˆm duy nhˆ t: . x + 4y + 3z + 6t =0 x + 3y − z + t = 1 x + y + z + mt =1 −x + z+ t =0 3x + 3y − z + mt = 2 x + my + z + t =1 ; ; 2x + y − z =0 2x + 2y + z + t = 3 mx + y + z + t =1 2y + mx =0 5x + 3y + 2t = 1 x + y + mz + t =1 2x + 5y + 3z + 7t =0 2.5. Ch´.ng minh hˆ sau c´ nghiˆm duy nhˆ t, t` u e . o e . ´ a ım nghiˆm d o: e ¯´ . x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn =1 x1 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn =2 x1 + x2 + x4 + · · · + xn−1 + xn =3 ......... x1 + x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 =n ’ . 2.6. T` d ` u kiˆn theo a dˆ hˆ sau c´ nghiˆm duy nhˆ t ım ¯iˆ e e . ¯e e o e. ´ a x1 + ax2 =0 x1 + (1 + a)x2 + ax3 =0 x2 + (1 + a)x3 + ax4 =0 x3 + (1 + a)x4 + ax5 =0 x4 + (1 + a)x5 =0 2.7. en luˆn theo a sˆ nghiˆm cua hˆ phu.o.ng tr` Biˆ. a . o´ e. ’ e . ınh: (a − 3)x + y+ z = 0 ax + ay + z = a x + (a − 3)y + z =0; ax + y + az = 1 ; x+ y + (a − 3)z = 0 x + ay + az = 1 x − y + az + t =a ax + ay + (a + 1)z = a x + ay − z + t = −1 ax + ay + (a − 1)z = a ; ax + ay − z − t = −1 (a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1 x + y + z + t = −a 2.8. T` nghiˆm nguyˆn du ım e e .o.ng (nˆu c´) cua hˆ phu.o.ng tr` sau: ´ e o ’ e ınh . . x + y + z = 100 x + 2y + 3z = 14 ; ; x + 15y + 25z = 500 2x + 3y − z = 5 x− y+ z+ t =2 x + 3y − 3z = 1 ; 2x + y − 3z + 2t = 2 3x − 3y + 4z = 4 3x − 2y + z + t = 3 2.9. T` c´c d a th´.c bˆc 3 f (x) biˆt: ım a ¯ u a . e´ a. f (−1) = 0; f (1) = 4; f (2) = 3; f (3) = 16; b. f (−1) = 5; f (1) = 5; f (3) = 45; f (−4) = −25. 2.10. T` nghiˆm tˆ ng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng tr` sau: ım e . o’ a a e . e . ’ ’ e . ınh 23 x + y − 4z = 0 2x − y + 5z + 7t = 0 2x + 9y + 6z = 0 4x − 2y + 7z + 5t = 0 ; ; 3x + 5y + 2z = 0 2x − y + z − 5t = 0 4x + 7y + 5z = 0 x + 2y + 4z − 3t = 0 x + 8z + 7t = 0 3x + 5y + 6z − 4t = 0 2x + y + 4z + t = 0 ; 4x + 5y − 2z + 3t = 0 3x + 2y − z − 6t = 0 3x + 8y + 24z − 19t = 0 7x + 4y + 6z − 5t = 0 2.11. a. Trong mˆt x´ nghiˆp san xuˆ t, c´ 15 cˆng nhˆn d u.o.c chia l`m 3 bˆc (I,II,III), o ı . e . ’ a´ o o a ¯ . a a. hu ’.o.ng lu.o.ng th´ng lˆn lu.o.t l`: 600.000, 500.000, 400.000 d` ng. Mˆi th´ng x´ a ` a a ¯ˆ o o˜ a ı . e nghiˆp ph´t 7,7 triˆu d o . a e ¯ˆ . ` ng tiˆn lu.o.ng. Hoi trong x´ nghiˆp ˆ y, sˆ cˆng cˆng mˆi `e ’ ı e a . ´ ´ o o o ˜ o a o e a ’ bˆc c´ thˆ l` bao nhiˆu? . e b. Mˆt ho.p t´c x˜ nˆng nghiˆp c´ 300 ha d ˆ t, 850 cˆng lao d ong v` 65 triˆu d` ng o . a a o . e o . ¯a´ o ¯ˆ . a e ¯ˆ . o tiˆn vˆn d`nh cho san xuˆ t vu h` thu v´.i du. d inh trˆng c´c loai cˆy I,II,III c´ chi ` e o a ´ ’ ´ a . e o . ¯. `o a . a o ph´ san xuˆ t cho mˆi ha giao trˆng nhu. sau: ı ’ ´ a ˜ o ` o ´ ` ` Loai cˆy Vˆn b˘ ng tiˆn (d` ng) Lao d ong (cˆng) . a o a e ¯ˆ o ¯ˆ . o I 200.000 2 II 150.000 3 III 400.000 5 -ooOoo- 24 Chu.o.ng 3 ´ HAM NHI` U BIEN & T´ ` ˆ E ˆ ˆ ´ ICH PHAN KEP a ` I. H`m nhiˆu biˆn e ´ e a e 1. Kh´i niˆm . * Cho D ⊂ R2 . Mˆt ´nh xa o a . . f : D→R (x, y) → f (x, y) = z ∈ R d u.o.c goi l` h`m hai biˆn x´c d inh trˆn D, D d u.o.c goi l` miˆn x´c d inh ¯ . . a a ´ e a ¯. e ¯ . . a `e a ¯. cu ´ ’ a h`m hai biˆn f (x, y). a e ı . V´ du. ` + Miˆn x´c d inh cua h`m z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 l` tˆp e a ¯. ’ a a a. D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1 ınh o a a ınh (h` tr`n tˆm O b´n k´ 1). + ` n x´c d .nh cua h`m z = f (x, y) = ln(x+y) l` tˆp D = (x, y) ∈ R2 : x + y > 0 Miˆ a ¯i e ’ a a a . (nu.a m˘t ph˘ng n˘ m ph´ trˆn d u.`.ng th˘ng y = −x trˆn m˘t ph˘ng xOy. ’ a . ’ a ` a ıa e ¯ o a’ e a . ’ a * Cho h`m hai biˆn z = f (x, y). Trˆn m˘t ph˘ng Oxy, mˆi c˘p (x, y) d u.o.c biˆu diˆn a ´ e e a . ’ a ˜ . o a ¯ . e’ ˜ e bo’.i mot d iˆm M(x, y), nˆn ta c´ thˆ xem z = f (x, y) l` h`m c´c d e m M(x, y), k´ . ¯e ’ e o e ’ a a a ¯iˆ ’ y ` e hiˆu z = f (M). * a ´ e o ` e a ¯i Cho h`m hai biˆn z = f (x, y) c´ miˆn x´c d .nh D. Trong khˆng gian Oxyz, x´t o e a ¯iˆ ’ ’ c´c d e m P (x, y, z) thoa m˜n (x, y) ∈ D v` z = f (x, y). Khi M chay trˆn miˆn D, a a . e ` e c´c d e m P vach trong khˆng gian mˆt m˘t cong d u.o.c goi l` d` thi cu a h`m a ¯iˆ ’ . o o. a . ¯ . . a ¯ˆ . ’ o a hai biˆ ´n x = f (x, y). e * Cho D ⊂ Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n}. Mˆt ´nh xa o a . . f : D→R (x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) = z ∈ R d u.o.c goi l` h`m n biˆn f (x1 , x2 , . . . , xn ) x´c d .nh trˆn D (D d u.o.c goi l` miˆn ¯ . . a a e´ a ¯i e ¯ . . a ` e a ¯. x´c d inh). * Cho h`m hai biˆn z = f (x, y) x´c d .nh trong khoang ho. U cua Mo (xo , yo ) (khˆng a e´ a ¯i ’ ’ ’ o cˆn x´c d .nh tai Mo ). Sˆ L d u.o.c goi l` gi´.i han cu a f (x, y) khi M(x, y) dˆn ` a a ¯i . ´ ¯ . o . a o . ’ `a ¯e´ ´ dˆn Mo (xo , yo ) nˆu v´ e o .i moi d˜y d e m M (x , y ) thuˆc U dˆn d e n M (x , y ), ta ’ ` ¯ˆ ´ . a ¯iˆ n n n o . a o o o ` u c´: lim f (xn , yn ) → L. Ta k´ hiˆu: ¯e dˆ o y e . n→∞ lim f (x, y) = L. x→xo y→yo * H`m sˆ z = f (x, y) x´c d inh trong miˆn D d u.o.c goi l` liˆn tuc tai Mo (xo , yo ) ∈ D a o ´ a ¯. `e ¯ . . a e . . ´ e nˆu: lim f (x, y) = f (xo , yo ). x→xo y→yo 25 - . a a 2. Dao h`m v` vi phˆn h`m nhiˆu biˆn a a ` e ´ e - . a 2.1. Dao h`m riˆng e * Cho h`m sˆ a ´ z = f (x, y) x´c d .nh trˆn khoang ho. U cua Mo (xo , yo ), khi d o ∆x = o a ¯i e ’ ’ ’ ¯´ x−xo v` ∆y = y−yo d u . . ` a ¯ .o.c goi lˆn lu.o.t l` sˆ gia cu a biˆn sˆ x v` y, ∆ z = f (x + a a o´ ’ ´ ´ e o a . x o ∆x, yo )−f (xo , yo ) v` ∆y z = f (xo , yo +∆y) d .o.c goi lˆn lu.o.t l` sˆ gia riˆng cu a h`m a ¯u . . ` a . a o´ e ’ a z = f (x, y) theo x v` theo y tai Mo (xo , yo ), c`n ∆z = f (xo +∆x, yo +∆y)−f (xo , yo ) a . o .o.c goi l` sˆ gia to`n phˆn cu a h`m z = f (x, y) tai M (x , y ). ´ ` ’ ¯ du . . a o a a a . o o o ∆x z ∆y z ´ * Nˆu lim e v` lim a tˆn tai h˜.u han th` c´c gi´.i han d o d u.o.c goi l` c´c ` o . u . ı a o . ¯´ ¯ . . a a ∆x→0 ∆x ∆y→0 ∆y ¯. a e ’ d ao h`m riˆng cu a h`m x = f (x, y) tai (xo , yo ) cu a biˆn x v` biˆn y, k´ a . ’ ´ e a e ´ y e ` .o.t l`: hiˆu lˆn lu . a . a ∂z ∆x z zx (xo , yo ) = fx (xo , yo ) = (xo , yo ) = lim ∂x ∆x→0 ∆x ∂z ∆y z zy (xo , yo ) = fy (xo , yo ) = (xo , yo ) = lim ∂y ∆y→0 ∆y ´ a e o a ¯a a * Nˆu h`m z = f (x, y) c´ c´c d . o h`m riˆng theo biˆn x v` biˆn y tai ∀(x, y) ∈ D, e ´ e a e ´ . ta n´i z = f (x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng theo biˆ o o a ¯. a e ´n x v` theo biˆn y trong e a ´ e `e miˆn D, k´ hiˆu l`: y e a. ∂z ∂z fx (x, y) = zx = ; fy (x, y) = zy = ∂x ∂y V´ du. T´ c´c d ao h`m riˆng cua ı . ınh a ¯ . a e ’ y + z = x , x > 0: zx = (xy )x = yxy−1 ; zy = (xy )x = xy . ln x x + z = ey : x x x x 1 zx = e y = ey . = ey . ; x y x y x x x x x x x zy = e y = ey . = e y . − 2 = − 2 .e y y y y y y + z = Arctg xy; (xy)x y zx = (Arctg xy)x = 2 = ; 1 + (xy) 1 + x2 y 2 (xy)y x zy = = 1 + (xy)2 1 + x2 y 2 a 2.2. Vi phˆn * Vi phˆn to`n phˆn cua h`m hai biˆn z = f (x, y) l`: dz = zx dx + zy dy, c´ thˆ u.ng a a ` a ’ a ´ e a o e ´’ ’ ¯ˆ ınh ` ¯´ a a . ’ a dung d e t´ gˆn d ung gi´ tri cua h`m sˆ ph´ .´ o u .c tap theo cˆng th´.c sˆ gia h˜.u han o u o ´ u . . nhu. sau: f (xo + ∆x, yo + ∆x) fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo ) 26 V´ du. T´ gˆn d ung c´c sˆ sau: a. A = (0.998)3.001 ; ı . ınh ` ¯´ a a o ´ b. B = (4.001)2 + (2.997)2 y e a. X´t z = f (x, y) = x tai Mo (1; 3). Ta c´: . o y 2 + f (x, y) = x ⇒ f (1, 3) = 3.1 = 3 + fx (x, y) = yxy−1 ⇒ fx (1, 3) = 3.12 = 3 + fy (x, y) = xy . ln x ⇒ fy (1, 3) = 13 . ln 1 = 0 Chon ∆x = −0.002, ∆y = 0.001, khi d o: . ¯´ A = (1 − 0.002)3+0.001 = f (1 − 0.002, 3 + 0.001) = f (xo + ∆x, yo + ∆y) fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo ) = 3 · (−0.002) + 0 · (0.001) + 1 = 0.994 b. X´t z = f (x, y) = x2 + y 2 tai Mo (4, 3). Ta c´: e . o √ + f (x, y) = x2 + y 2 ⇒ f (4, 3) = 42 + 32 = 5 x 4 4 + fx (x, y) = ⇒ fx (4, 3) = 2 = = 0.8 x2 + y 2 4 + 32 5 y 3 3 + fy (x, y) = ⇒ fx (4, 3) = 2 2 = = 0.6 x2 + y 2 4 +3 5 Chon ∆x = 0.001, ∆y = −0.003, khi d o: . ¯´ B= (4.001)2 + (2.997)2 = (4 + 0.0001)2 + (3 − 0.003)2 = f (xo + ∆x, yo + ∆y) fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo ) = 0.8 · 0.001 + 0.6 · (−0.003) + 5 = 4.999 * Nˆu c´c d ao h`m riˆng zx , zy (d .o.c goi l` d ao h`m riˆng cˆ p 1) c˜ ng c´ d . o ´ e a ¯. a e ¯u . . a ¯. a e ´ a u o ¯a .o.c goi l` d a o h`m riˆng cˆ p 2 cu a ´ ’ a e ı a ¯a a e h`m riˆng th` c´c d . o h`m riˆng d o d u . ¯´ ¯ . a ¯. a e a .o.c k´ hiˆu v` x´c d nh nhu. sau: z = f (x, y), d u . y e a a ¯i ¯ . . ∂ 2f zxx = fxx (x, y) = = (zx )x ; ∂x2 ∂ 2f zxy = fxy (x, y) = = (zx )y ; ∂x∂y ∂ 2f zyx = fyx (x, y) = = (zy )x ; ∂y∂x ∂ 2f zyy = fyy (x, y) = = (zy )y ∂y 2 ´ e o a ¯. a + Nˆu z = f (x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng cˆ p 2 liˆn tuc trong miˆn D th` trong miˆn e ´ a e . `e ı `e d o: zxy = zyx . ¯´ ´ * Nˆu z = f (u, v) l` h`m kha vi v` u = u(x, y), v = v(x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng e a a ’ a o a ¯. a e ` n D th` trong miˆn d o tˆn tai c´c d ao h`m riˆng ux, uy , vx , vy trong miˆ e ı ` ¯´ ` . a ¯ . e o a e zx = zu · ux + zv · vx ; zy = zu · uy + zv · vy 27 V´ du. Cho z = eu sin v v´.i u = xy, v = x2 + y 2 . T´ zx , zy . ı . o ınh V` zu = eu sin v; zv = eu cos v; ux = y; uy = x; vx = 2x; vy = 2y, nˆn: ı: e u u xy 2 + zx = zu ·ux +zv ·vx = e sin v ·y +e cos v ·2x = ye sin(x +y )+2xe cos(x2 +y 2) 2 xy + zy = zu ·uy +zv ·vy = eu sin v ·x+eu cos v ·2y = xexy sin(x2 +y 2 )+2yexy cos(x2 +y 2 ) 1.3. Cu.c tri cua h`m hai biˆn . . ’ a e´ * Cho h`m z = f (x, y) x´c d .nh, liˆn tuc trong miˆn D. Ta n´i z d at cu.c d ai a a ¯i e . ` e o ¯. . ¯. (tu .o.ng tu., cu.c tiˆ u) d ia phu.o.ng tai M (x , y ) ∈ D nˆu tˆn tai khoang ho. U e’ ¯. ´ o e ` . ’ ’ . . . o o o ’ cua Mo (xo , yo ) trong D sao cho f (xo , yo ) ≥ f (x, y) (tu .o.ng tu., f (x , y ) ≤ f (x, y)) . o o v´.i moi (x, y) ∈ D. o . + Quy t˘ c t` cu.c tri: Gia su. z = f (x, y) c´ d . o h`m riˆng liˆn tuc d e n cˆ p ´ a ım . . ’ ’ o ¯a a e e ´ ´ . ¯ˆ a 2 trong khoa ’ ng ho. ch´.a Mo (xo , yo ) v` c´ fx (xo , yo ) = fy (xo , yo ) = 0. D˘t A = ’ u a o -a. fxx (xo , yo ), B = fxy (xo , yo ), C = fyy (xo , yo ), th` ı: + Nˆu B 2 − AC < 0, A < 0 th` z = f (x, y) d at cu.c d ai tai (xo , yo ); ´ e ı ¯. . ¯. . + Nˆ ´u B 2 − AC < 0, A > 0 th` z = f (x, y) d at cu.c tiˆu tai (xo , yo ); e ı ¯. . ’ e . + Nˆu B − AC > 0 th` (xo , yo ) khˆng phai l` d e m cu.c tri; ´ e 2 ı o ’ a ¯iˆ ’ . . ´ 2 + Nˆu B − AC = 0 th` khˆng kˆt luˆn d . e ı o ´ e a ¯u .o.c. . V´ du. T` cu.c tri cua h`m sˆ: ı . ım . . ’ a o´ a. z = f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 3x − 2y + 1 b. z = x3 + y 3 − 3xy a. Ta c´: zx = 2x − y + 3; zy = −x + 2y + 2; zxx = 2; zxy = −1; zyy = 2. o x = −4 zx = 0 2x − y + 3 =0 3 Giai ’ ⇔ ⇔ zy = 0 −x + 2y − 2 = 0 y = 1 3 4 1 ’ Tai d iˆm Mo − , . ¯e o , ta c´: A = zxx = 2, B = zxy = −1, C = zyy = 2, 3 3 Mo Mo Mo nˆn: B 2 − AC = (−1)2 − 2 · 2 = −3 < 0. e 4 1 4 Suy ra h`m 2 biˆn d . t cu.c tiˆu tai Mo − , a ´ e ¯a . ’ e . v´.i zmin = − . o 3 3 3 2 2 o b. Ta c´: zx = 3x − 3y; zy = 3y − 3x; zxx = 6x; zxy = −3; zyy = 6y. zx = 0 3x2 − 3y = 0 x=y=0 Giai ’ ⇔ 2 ⇔ zy = 0 3y − 3x = 0 x=y=1 . ¯iˆ ’ Tai d e m Mo (0, 0), ta c´: A = zxx o = −3, C = zyy = 0, B = zxy = 0, Mo Mo Mo nˆn: B 2 − AC = 9 − 0 = 9 > 0. Vˆy Mo (0, 0) khˆng phai l` cu.c tri. e a . o ’ a . . Tai d e . ¯iˆ’m M1 (1, 1), ta c´: A = zxx o = 6, B = zxy = −3, C = zyy = 6, Mo Mo Mo nˆn: B 2 − AC = 9 − 36 = −27 < 0. Suy ra h`m 2 biˆn d . t cu.c tiˆu tai M1 (1, 1) v´.i e a ´ e ¯a . ’ e . o zmin = −1. ` ˆ BAI TAP . x−y 3.1.1. Cho h`m f (x, y) = a . Ch´.ng minh: u x+y lim lim f (x, y) = 1; lim lim f (x, y) = −1 x→0 y→0 y→0 x→0 28 ¯o o ` . o trong khi d ´ lim f (x, y) khˆng tˆn tai. x→0 y→0 x2 y 2 3.1.2. Cho h`m f (x, y) = a . Ch´.ng minh: u x2 y 2 + (x − y)2 lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0 x→0 y→0 y→0 x→0 ¯o ` . , trong khi d ´ lim f (x, y) khˆng tˆn tai. o o x→0 y→0 1 1 3.1.3. Cho h`m f (x, y) = (x + y) sin a sin . Ch´.ng minh lim u lim f (x, y) a v` x y x→0 y→0 lim lim f (x, y) khˆng tˆn tai, nhu.ng lim f (x, y) = 0 o ` . o y→0 x→0 x→0 y→0 3.1.4. T´ c´c gi´.i han sau: ınh a o . x2 x+y x2 + y 2 xy 2 2 lim 2 ; lim 4 ; lim ; lim (x2 + y 2 )x y x→0 x − xy + y 2 x→0 x + y 4 x→0 x 2 + y2 x→0 y→0 y→0 y→0 y→0 3.1.5. Cho h`m a 2 2 xy x − y nˆu x2 + y 2 = 0 ´ e f (x, y) = x2 + y 2 0 nˆu x2 + y 2 = 0. ´ e Ch´.ng minh f ”yx (0, 0) = f ”xy (0, 0). u 3.1.6. Nghiˆn c´.u cu.c tri d ia phu.o.ng cu a c´c h`m sau: e u . . ¯. ’ a a a. z = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2 + 1 b. x = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 − 1 II. T´ phˆn hai l´.p ıch a o -ı 1. D`nh ngh˜ t´ ıa, ınh chˆ t ´ a Xuˆ t ph´t t`. c´c b`i to´n thu.c tˆ (nhu. t´ thˆ t´ vˆt thˆ h` tru, d .`.ng k´ ´ a a u a a a . e ´ ’ ınh e ıch a . ’ e ınh . ¯u o ınh o ` e o ¯i mˆt miˆn), ta c´ d .nh ngh˜ sau: . ıa * Cho h`m z = f (x, y) x´c d .nh trong miˆn h˜.u han D trong xOy. Phˆn hoach a a ¯i ` e u . a . a ` ’ y ´ o e a e ıch D th`nh n miˆn nho tu` y c´ tˆn v` diˆn t´ ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . Trˆn mˆi ∆Si e . e ˜ o ´ a y´ a . o ’ (i = 1, . . . , n), lˆ y Mi (xi , yi ) tu` y v` goi tˆ ng n In = f (xi , yi )∆si i=1 a o ’ ıch a ’ l` tˆ ng t´ phˆn cu a f (x, y) trong D. ´ .`.ng k´ l´.n nhˆ t cua c´c miˆn ∆s dˆn d e n 0 (max d → 0) m` I dˆn ´ ` Nˆu khi d o e ¯u ınh o a ’ a e i ` a ¯ˆ ´ i a n ` a ¯e´ o o .i han x´c d inh I, khˆng phu thuˆc c´ch chia miˆn D (phˆn hoach) v` dˆn mˆt gi´ . a ¯. o o a `e a a . . . . 29 c´ch chon Mi (xi , yi ) trong mˆi miˆn ∆si th` gi´.i han d ´ d u.o.c goi l` t´ phˆn a . ˜ o `e ı o . ¯o ¯ . . a ıch a hai l´ o.p cu a f (x, y) trong miˆn D v` k´ hiˆu l`: ’ ` e a y e a. n f (x, y)ds = lim f (xi , yi )∆si max di →0 D i=1 trong d ´ f (x, y) l` h`m du.´.i dˆ u t´ phˆn, D l` miˆn lˆ y t´ phˆn, ds l` ¯o a a o ´ a ıch a a ` ´ e a ıch a a ´ ´ . yˆu tˆ diˆn t´ ´ a e ıch e o e ıch, x, y l` biˆn t´ phˆn. a + Khi t´ phˆn hai l´.p tˆn tai, ta c´ thˆ chia D bo.i lu.´.i c´c d u.`.ng song song v´.i ıch a o ` . o o e ’ ’ o a ¯ o o Ox, Oy, khi d ´ ∆si l` h` ch˜ ¯o a ınh u . nhˆt, yˆu tˆ diˆn t´ ds b˘ ng dx, dy: a e´ o e ıch ´ . ` a . n f (x, y)dxdy = lim f (xi , yi )∆si max di →0 D i=1 + Diˆn t´ miˆn D d u.o.c t´ b˘ ng: e ıch ` . e ¯ . ınh ` a S(D) = dxdy D + Tˆ ho.p tuyˆn t´ nh˜.ng h`m kha t´ trˆn D c˜ ng kha t´ trˆn D v`: ’ o . ´ e ınh u a ’ ıch e u ’ ıch e a [αf1 (x, y) ± βf2 (x, y)]dxdy = α f1 (x, y)dxdy ± β f2 (x, y)dxdy D D D ´ e ’ ıch e ı u ’ ıch e a + Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn D th` |f (x, y)| c˜ ng kha t´ trˆn D v`: f (x, y)dxdy ≤ |f (x, y)|dxdy D D + Chia D th`nh 2 miˆn D1 , D2 r`.i nhau bo.i mˆt d u.`.ng L. Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn a ` e o ’ o ¯ o . ´ e ’ ıch e ’ ca biˆn L) th` n´ kha t´ trˆn D v`: ca D1 , D2 (kˆ ’ e ’ e ı o ’ ınh e a f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy D D1 D ´ e ’ ıch e a ı: + Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn D v` m ≤ f (x, y) ≤ M, ∀(x, y) ∈ D, th` f (x, y)dxdy D ∃µ ∈ [m, M] : µ = S(D) 30 ´ e ’ ıch e a ’ a ı: + Nˆu f (x, y), g(x, y) kha t´ trˆn D v` thoa m˜n f (x) ≤ g(x) th` f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy D D 2. C´ch t´nh t´ch phˆn hai l´.p a ı ı a o ´ e a ´ + Nˆu h`m sˆ f (x, y) liˆn tuc trˆn miˆn D = {a ≤ x ≤ b; ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} trong d ´ o e . e `e ¯o a e . e ı: ϕ(x) v` ψ(x) liˆn tuc trˆn [a, b] th` b ϕ(x) f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx a ψ(x) D V´ du 1. T´ thˆ t´ h` tru gi´.i han bo.i c´c m˘t: ı . ’ ınh e ıch ınh . o . ’ a a . x = 0, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = x2 + y 2 . 1 1 1 2 4 Ta c´: V = o f (x, y)dxdy = (x2 + y 2 )dy dx = 2x2 + dx = 0 −1 0 3 3 D V´ du 2. T´ thˆ t´ h` tru gi´.i han bo.i m˘t ı . ’ ınh e ıch ınh . o . ’ a . z = f (x, y) = xy 2 , m˘t z = 0, x = 0, x = 1, y = −2, y = 3. a . 1 3 x2 1 y3 3 35 Ta c´: V = o xdx · y 2 dy = = 0 0 3 −2 −2 2 6 ı . ’ ınh e ıch ınh . o .i han bo.i c´c m˘t: V´ du 3. T´ thˆ t´ h` tru gi´ . ’ a a . x2 x = 1, x = 2, y = , y = x2 , z = 0, z = xy. 2 2 x2 2 3x5 63 o Ta c´: V = xydxdy = xydy dx = dx = . 1 x2 2 1 8 16 D V´ du 4. T´ ı . ınh xdxdy, v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng y = x v` y = x2 . o a ` e o . ’ a ¯ o a D Miˆn D d u.o.c x´c d .nh: D = {0 ≤ x ≤ 1; x2 ≤ y ≤ x}, nˆn: `e ¯ . a ¯i e 1 x 1 xdxdy = xdy dx = . 0 x2 12 D V´ du 5. T´ I = ı . ınh (x − y)dxdy, trong d o D d u.o.c gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng ¯´ ¯ . o . ’ a ¯ o D y = ±1, x = y 2 , y = x + 1. 31 Miˆn D d u.o.c x´c d .nh: D = {−1 ≤ y ≤ 1; y − 1 ≤ x ≤ y 2 }, suy ra: `e ¯ . a ¯i 1 y2 1 y4 y2 1 −7 I= (x − y)dx dy = − y3 + − dy = . −1 y−1 −1 2 2 2 15 x = x(u, v) e . e ¯o a . a a’ ’ + Cho f (x, y) liˆn tuc trˆn D d ´ng v` bi ch˘n, l` anh cua D qua ´nh xa . a . . y = y(u, v) ´ e Nˆu e . a o a ¯a a e e . x(u, v), y(u, v) liˆn tuc v` c´ c´c d . o h`m riˆng liˆn tuc ∂x ∂x J (u, v) = ∂u ∂v = 0, ∀(u, v) ∈ D ∂y ∂y ∂u ∂v ı: th` f (x, y)dxdy = f [x(u, v), y(u, v)]|J (u, v)|dudv D D x = r cos ϕ ’ a ¯a Ch˘ng han khi d ˘t . . ı: th` y = r sin ϕ cos ϕ −r sin ϕ J (u, v) = =r sin ϕ r cos ϕ ¯´ khi d o: f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ D D dxdy trong d ´ D l` d .`.ng tr`n d .n vi. 2 −y2 V´ du 6. T´ t´ phˆn I = ı . ınh ıch a e−x ¯o a ¯u o o ¯o . D 2π 1 2π 2 1 1 1 Ta c´: I = o dϕ e−r rdr = 1− dϕ = π 1 − . 0 0 0 2 e e V´ du 7. T´ t´ phˆn I = ı . ınh ıch a (x + 2y)dxdy, trong d o D l` h` b` h`nh gi´.i han ¯´ a ınh ınh a o . D bo.i c´c d .`.ng ’ a ¯u o x + y = 1, x + y = 2, 2x − y = 1, 2x − y = 3. 1 1 Ta c´: D = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3} v` J = 3 o a 3 = − 1 = 0, nˆn: e 2 1 3 − 3 3 1 u + v 4u − 3v I= − + dudv 3 3 3 D 2 3 2 1 1 11 =− (5u − v)dv du = − (10u − 4)du = − 9 1 1 9 1 9 32 V´ du 8. T´ I = ı . ınh ydxdy v´.i D l` miˆn: o a ` e D a. H` quat tr`n tˆm O, b´n k´ a n˘ m trong g´c phˆn tu. th´. 2. ınh . o a a ınh ` a o ` a u ` b. Miˆn gi´ . e o.i han bo.i c´c d .`.ng cong c´ phu.o.ng tr` trong hˆ toa d ˆ cu.c l`: r = ’ a ¯u o o ınh e . ¯o . a . . 2 + cos ϕ, r = 1. π a 2 a3 π a3 a. I = sin ϕdϕ r dr = sin ϕdϕ = . π 2 0 3 π2 3 2π 2+cos ϕ 2π 1 b. I = rdr sin ϕdϕ = (3 + 4 cos ϕ + cos2 ϕ) sin ϕdϕ = 0. 0 1 2 0 V´ du 9. T´ I = ı . ınh 4 − x2 − y 2 dxdy trong d ´: ¯o D D l` nu.a trˆn cua h` tr`n (x − 1)2 + y 2 ≤ 1. a ’ e ’ ınh o x = r cos ϕ π -a D˘t . th` D = {(r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ }, khi d ´: ı ¯o y = r sin ϕ 2 π π 2 cos ϕ 2 8 2 8 π 2 I= 4 − r2 rdr dϕ = (1 − sin3 ϕ)dϕ = − . 0 0 3 0 3 2 3 III. T´ phˆn 3 l´.p ıch a o -. 1. Dinh ngh˜ t´ ıa, ınh chˆ t ´ a Cho f l` mˆt h`m bi ch˘n, x´c d .nh trˆn mˆt tˆp V d o d .o.c trong R3 . Chia V a o a. . a . a ¯i e o a . . ¯ ¯u . th`nh h˜.u han nh˜.ng tˆp Vi d o d .o.c, khˆng c´ d e m trong chung. Lˆp tˆ ng t´ phˆn a u . u a . ¯ ¯u . o o ¯iˆ’ a o . ’ ıch a n f (ξ, η, τ )∆Vi (1) i=1 o. d ay ∆Vi l` thˆ t´ tˆp Vi , v` (ξ, η, τ ) l` mˆt d iˆm tu` y thuˆc Vi . ’ ¯ˆ ’ a e ıch a . a a o ¯e . ’ y´ o . a o´ l´ * Goi D l` sˆ o .n nhˆ t trong c´c d u.`.ng k´ d(V ) cua ph´p phˆn hoach {V } ´ a a ¯ o ınh ’ e a . i . i 1≤i≤n . ´ e Nˆu n lim f (ξ, η, τ )∆Vi D→0 i=1 tˆn tai th` gi´ tri n`y d u.o.c goi l` t´ phˆn ba l´.p cu a h`m f trˆn tˆp V v` ` . o ı a . a ¯ . . a ıch a o ’ a e a . a d u.o.c k´ hiˆu l` ¯ . y e a . f (x, y, z)dxdydz, V h`m f d u.o.c goi l` kha t´ a ¯ . . a ’ ınh trˆn V . e ıch a o.p c´ c´c t´ chˆ t ho`n to`n tu.o.ng tu. nhu. t´ phˆn hai l´.p. + T´ phˆn ba l´ o a ınh a ´ a a ıch a o . 2. C´ch t´nh t´ch phˆn ba l´ a ı ı a o.p + Nˆ ´ ` a ıch a a o ınh o ´u miˆn lˆ y t´ phˆn l` mˆt h` hˆp e e . . V = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ], 33 ı: th` b1 b2 b3 f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx a1 a2 a3 V V´ du. T´ I = ı . ınh xyzdxdydz v´.i V = [0, 1] × [2, 4] × [5, 8]. o V 1 4 8 x2 1 y2 4 z2 8 1 39 117 I= xdx · ydy · zdz = · · = ·6· = 0 2 5 2 0 2 2 2 5 2 2 2 + Nˆu miˆn l` mˆt thˆ tru mo. rˆng (gi´.i han bo.i 2 m˘t ψ1 (x, y), ψ2 (x, y), m˘t tru ´ e ` a o e . ’ e . ’ o . o . ’ a . a . . o ¯u.`.ng sinh song song Oz, d .`.ng chuˆ n l` biˆn c´ d o ¯u o a’ a e Dxy = {(x, y) : a ≤ x ≤ y, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} v´.i ϕ1 , ϕ2 liˆn tuc trˆn [a, b] th` o e . e ı: b ϕ2 (x) ψ1 (x,y) f (x, y, z)dxdydz = d(x, y, z)dz dy dx a ϕ1 (x) ψ2 (x,y) V V´ du. T´ ı . ınh (1 − x − y)dxdydz v´.i miˆn V gi´.i han bo.i c´c m˘t ph˘ng toa d ˆ v` o `e o . ’ a a . ’ a . ¯o a . V a ’ a m˘t ph˘ng x + y + z = 1. . o e Ta c´: V = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}, nˆn: 1 1−x 1−x−y 1 1−x I= (1 − x − y)dz dy dx = (1 − x − y)2 dy dx 0 0 0 0 0 1 1 1 = (1 − x)3 (1 − x3 )dx = 0 3 12 * Dˆ i biˆn trong t´ phˆn ba l´.p: Cho f liˆn tuc trˆn miˆn d ong, d o d u.o.c v` -o ’ ´ e ıch a o e . e ` ¯´ e ¯ ¯ . a x = x(u, v, w) 3 bi chˆn V ⊂ R , v´ .i V l` a nh cu a V qua d o.n ´nh a ’ ’ ´ . a . o ¯ a e a a y = y(u, v, w) Nˆu c´c h`m z = z(u, v, w). ´ o e . o a ¯. a e e sˆ x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) liˆn tuc, c´ c´c d ao h`m riˆng liˆn tuc trˆn V v` nˆu . e a e ´ xu xv xw D(x, y, z) J (u, v, w) = = yu yv yw = 0 D(u, v, w) zu zv zw 34 ı . . ¯e ’ o th` tai moi d iˆ m (u, v, w) ∈ V , ta c´: f (x, y, z)dxdydz = f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J (u, v, w)|dudvdw V V x = r cos ϕ ´ e ¯o . + Nˆu theo toa d ˆ tru: . . ı: y = r sin ϕ th` z = r, cos ϕ −r sin ϕ 0 J (r, ϕ, z) = sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 1 e nˆn f (x, y, z)dxdydz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz V V V´ du. T´ I = ı . ınh (x2 + y 2 )zdxdydz trong d o V l` miˆn gi´.i han bo.i c´c m˘t ¯´ a ` e o . ’ a a . V x2 + y 2 = 1 v` z = 2. a H` tru tr`n xoay V d u.o.c x´c d .nh bo.i: V = {(r, ϕ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ ınh . o ¯ . a ¯i ’ 2π, 0 ≤ z ≤ 2}, suy ra: 2 2π 1 I= zdz · dϕ · dr = π. 0 0 0 x = r cos ϕ sin θ ´ e ¯o ` a + Nˆu theo toa d ˆ cˆu: . . ı: y = r sin ϕ sin θ th` z = r cos θ, cos ϕ sin θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ J (r, ϕ, θ) == sin ϕ sin θ r cos θ sin ϕ r cos ϕ sin θ cos θ −r sin θ 0 e nˆn f (x, y, z)dxdydz == f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)r2 sin θdrdϕdθ V V V´ du. T´ I = ı . ınh (x2 + y 2 )dxdydz trong d ˆ V l` miˆn gi´.i han bo.i m˘t cˆu ¯o´ a ` e o . ’ a ` . a V x2 + y 2 + z 2 = 1 v` m˘t n´n x2 = y 2 − z 2 = 0 (z > 0). a a o . 35 √ 2 2 2 x + y2 = x2 + y 2 + z 2 =1 2 ’ e Giai hˆ . giao tuyˆn l` d u.`.ng tr`n ´ e a ¯ o o x2 + y 2 − z 2 = 0, √ 2 z = suy ra: 2 π V = {(r, ϕ, theta) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ } 4 v` f (x, y, z) = x2 + y 2 = r2 sin θ, nˆn a e π π 1 2π 4 4 1 4 I= r dr · dϕ · dθ = 2π (1 − cos2 θ)d(− cos θ) 0 0 0 5 3 π √ 0 2π cos θ 4 8−5 2 = − cos θ = π 5 3 0 30 ´. ’ ıch * U ng dung cu a t´ phˆn k´p a e . + Diˆn t´ cua mˆt h` ph˘ng D d ´ng, d d u.o.c, bi chˆn trong R2 e ıch ’ . ’ o ınh a . ¯o ¯o ¯ . . a . S(D) = dxdy D + Thˆ t´ miˆn V d o d .o.c, d ´ng, bi chˆn ’ e ıch `e ¯ ¯u . ¯o . a . V= dxdydz V ´ e a ınh . Nˆu V l` h` tru cong, x´t D l` h` chiˆu cua V xuˆng m˘t ph˘ng, e a ınh ´ e ’ ´ o a . ’ a a a e ınh . z = f (x, y) l` m˘t trˆn h` tru cong: . V= f (x, y)dxdy D Nˆu V l` thˆ tru mo. rˆng, x´t D l` h` ´ e a e ’ . ’ o. e ´ e ’ e a ınh chiˆu cua D lˆn xOy, z = a a .´.i, m˘t trˆn cua V : ψ1 (x, y), z = ψ2 (x, y) l` m˘t du o a e ’ . . V= f (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y))dxdy D V´ du 1. T´ diˆn t´ h` gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng th˘ng x = 1, x = 2 v` c´c d u.`.ng ı . ınh e ıch ınh o . . ’ a ¯ o ’ a a a ¯ o 2 2 a 2a y = ,y = (x > 0) x x 36 a2 2a2 D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ }, suy ra: x x 2a2 2 2 x 2a2 a2 S(D) = dxdy = dx dx = − dx = a2 ln 2 1 a2 x 1 x x D V´ du 2. T´ thˆ t´ vˆt thˆ V gi´.i han bo.i c´c m˘t ı . ’ ınh e ıch a . e’ o . ’ a a . x2 + y 2 = 2, z = 4 − x2 − y 2 , z = 0. V l` h` tru cong, m˘t trˆn c´ phu.o.ng tr` z = 4 − x2 − y 2 , h` chiˆu D cua a ınh . a. e o ınh ınh ´ e ’ ’ 2 2 V lˆn m˘t ph˘ng xOy l` h` tr`n x + y ≤ 2. Vˆy e a. a a ınh o a . √ 2π 2 2 2 V= (4 − x − y )dxdy = · (4 − r2 )rdr = 6π 0 0 D + Cho S l` m˘t cong c´ phu.o.ng tr` z = f (x, y), trong d ´ f liˆn tuc, c´ d ao h`m a a . o ınh ¯o e . o ¯. a e e . e ` ¯´ e .o.c, th` diˆn t´ m˘t cong S l`: riˆng liˆn tuc trˆn miˆn d ong, bi chˆn, d d u . . a ¯o ¯ . ı e ıch a . . a S= 1 + fx 2 + fy 2 dxdy D V´ du. T´ diˆn t´ phˆn m˘t cˆu x2 + y 2 + z 2 = a2 n˘ m trong m˘t tru x2 + y 2 = a2 . ı . ınh e ıch ` . a a ` . a ` a a. . a ´ a ` ’ ´ M˘t tru c˘t m˘t cˆu th`nh hai manh d ˆi x´ .ng nhau qua m˘t ph˘ng xOy, mˆi ’ ˜ . . a . a a ¯o u a . a o manh n`y lai d .o.c c´c m˘t ph˘ng toa d ˆ chia th`nh 4 manh b˘ ng nhau. V´.i z ≥ 0, ta ’ a . ¯u . a a . ’ a ¯o . . a ’ ` a o 2 2 a2 c´: z = a2 − x2 − y 2 , suy ra 1 + zx + zy = 2 o e , nˆn a − x2 = y 2 2π a a rdr S=8 dxdy = 8x dϕ0 · √ = 4πa2 a2 − x2 − y 2 0 a2 − r2 x2 +y2 ≤a2 ,x≥0,y≥0 ` ˆ BAI TAP . 3.2.1. T´ ınh x ln ydxdy D v´.i D l` h` ch˜. nhˆt: o a ınh u a . 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e. 3.2.2. T´ ınh (cos2 x + sin2 y)dxdy D 37 v´.i D l` h` vuˆng: o a ınh o π π 0≤x≤ ,0 ≤ y ≤ . 4 4 3.2.3. T´ ınh 2 x2 I= (2x − y)dy dx. 1 x 3.2.4. T´ ınh (x − y)dxdy D v´.i D l` h` gi´.i han bo.i: o a ınh o . ’ y = 2 − x2 , y = 2x − 1. 3.2.5. T´ ınh (x + 2y)dxdy D v´.i D l` h` gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng th˘ ng: o a ınh o . ’ a ¯ o ’ a y = x, y = 2x, x = 2, x = 3. 3.2.6. T´ ınh ex+sin y cos ydxdy D v´.i D l` h` ch˜. nhˆt: o a ınh u a . π 0 ≤ x ≤ π, 1 ≤ y ≤ . 2 3.2.7. T´ ınh (x2 + y 2 )dxdy D v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng o a ` e o . ’ a ¯ o y = x, x = 0, y = 1, y = 2. 3.2.8. T´ ınh ln(x2 + y 2 )dxdy D v´.i D l` miˆn h`nh v`nh kh˘n gi´.x hai d u.`.ng tr`n o a ` e ı a a u ¯ o o x2 + y 2 = e2 v` x2 + y 2 = e4 . a 38 3.2.9. T´ ınh (x2 + y 2 )dxdy D v´.i miˆn D gi´.i h`n bo.i d u.`.ng tr`n x2 + y 2 = 2ax. o `e o a ’ ¯ o o 3.2.10. T´ınh x3 ydxdy D v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng o a ` e o . ’ a ¯ o y = 0 v` y = a 2ax − x2 . 3.2.11. T´ ınh sin(x + y)dxdy D v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng o a ` e o . ’ a ¯ o π y = 0, y = x, x + y = . 2 3.2.12. T´ ınh x2 (y − x)dxdy D v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng o a ` e o . ’ a ¯ o x = y 2 v` y = x2 . a 3.2.13. T´ ınh f (x, y)dxdy D v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i d u.`.ng o a ` e o . ’ ¯ o x2 y2 + 2 = 1, a2 b c`n h`m du.´.i dˆ u t´ phˆn o a ´ o a ıch a 2 2 c 1− x2 − y2 a b f (x, y) = tdt. 0 3.2.14. T´ ınh r2 drdϕ D 39 v´.i D l` miˆn: o a ` e a. C´c d u.`.ng tr`n r = a v` r = 2a. a ¯ o o a - u.`.ng r = a sin 2ϕ. b. D o 3.2.15. T´ ınh r sin ϕdrdϕ D v´.i D l` miˆn: o a ` e π a. Quat tr`n gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng r = a, ϕ = , ϕ = π. . o o . ’ a ¯ o 2 π b. Nu.a d u.`.ng tr`n r ≤ 2a cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ . ’ ¯ o o 2 c. Nu.a d u.`.ng tr`n r = 2 + cos ϕ v` r = 1. ’ ¯ o o a 3.2.16. Su. dung cˆng th´.c d ˆ i biˆn trong toa d ˆ cu.c, t´nh c´c t´ phˆn: ’ √. o u ¯o ’ e ´ . ¯o . . ı a ıch a R R2 −x2 a. ln(1 + x2 + y 2 )dy dx 0 0 √ R Rx−x2 b. √ R2 − x2 − y 2 dy dx 0 − Rx−x2 3.2.17. a. T´ınh 1 2x dy dx 0 x x = u(1 − v) b˘ ng c´ch d`ng c´c biˆn m´.i ` a a u a ´ e o y = uv ınh b. T´ dxdy D nˆu D gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng ´ e o . ’ a ¯ o xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x. 3.2.18. T´ c´c t´nh phˆn ba l´.p sau: ınh a ı a o x2 y2 z2 x2 y2 z2 a. I = + 2 + 2 dxdydz v´.i V gi´.i han bo.i m˘t 2 + 2 + 2 = 1. o o . ’ a . a a2 b c b c V b. I = (x2 + y 2 )dxdydz, v´.i V d u.o.c gi´.i han bo.i c´c m˘t x2 + y 2 = z 2 , z = 2. o ¯ . o . ’ a a . V c. I = (x2 + y 2 )dxdydz, v´.i V d u.o.c gi´.i han bo.i c´c m˘t x2 + y 2 = 2z, z = 2. o ¯ . o . ’ a a . V 40 3.2.19. T´ I = ınh xyzdxdydz, v´.i V n˘ m trong g´c phˆn t´m th´. nhˆ t, gi´.i han o ` a o ` a a u ´ a o . V bo.i c´c m˘t sau, v´.i 0 < a < b, 0 < α < β, 0 < m < n: ’ a a . o x2 + y 2 x2 + y 2 z= ,z = , xy = a2 , xy = b2 , y = αx, y = βx m n -ooOoo- 41 Chu.o.ng 4 . . PHU O NG TR` ˆ INH VI PHAN I. Phu.o.ng tr` a ´ a ınh vi phˆn cˆ p 1 a e 1. Kh´i niˆm chung . * Ta goi phu.o.ng tr` . ınh vi phˆn cˆ p 1 l` phu.o.ng tr` c´ dang a ´ a a ınh o . F (x, y, y ) = 0 (I) a ho˘c . y = f (x, y) (Io ) ¯o a e o ´ ´ trong d ´ x l` biˆn sˆ, y l` h`m cua x, v` y l` d ao h`m cua y. a a ’ a a ¯. a ’ ´u c´ h`m y = ψ(x) thoa m˜n phu.o.ng tr` (I) hay (Io ) th` y = ψ(x) d u.o.c goi * Nˆ o a e ’ a ınh ı ¯ . . l` nghiˆm cu a phu.o.ng tr` a e . ’ ınh (I) hay (Io ). * Nˆu c´ h`m y = ψ(x, C) ho˘c hˆ th´.c Φ(x, y, C) = 0 thoa m˜n (I) hay (Io ) v´.i C ´ e o a a e u . . ’ a o t` y y trong miˆn n`o d o cua R, v` v´.i mˆi d ` u kiˆn d` u y(xo ) = yo v´.i (xo , yo ) u ´ `e a ¯´ ’ a o ˜ o ¯iˆ e e ¯ˆ . a o thuˆc miˆn x´c d .nh cua phu.o.ng tr` o . `e a ¯i ’ ’ o ´ a . ınh, chı c´ duy nhˆ t gi´ tri C = Co l`m cho a a y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = 0 tho ` ’ a m˜n d iˆu kiˆn d` u, th` y = ψ(x, C) ho˘c a ¯e e ¯ˆ . a ı a. Φ(x, y, C) = 0 d u.o.c goi l` nghiˆm tˆ ng qu´t cu a phu.o.ng tr` ¯ . . a e . o ’ a ’ ınh (I) hay (Io ). ´ * Nˆu y = ψ(x, C) hay Φ(x, y, C) = 0 l` nghiˆm tˆ ng qu´t cua (I) hay (Io ), cho e a e . o’ a ’ C = Co (gi´ tri cu thˆ x´c d inh) th` y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = 0 d .o.c goi a . . e a ¯. ’ ı ¯u . . a e . e ’ ´ l` nghiˆm riˆng cu a (I) hay (Io ). Nˆu nghiˆm y = ψ(x) khˆng phai l` nghiˆm e e . o ’ a e. riˆng nhˆn t`. nghiˆm tˆ ng qu´t v´.i bˆ t k` gi´ tri C n`o (kˆ ca C = ±∞) th` ta e a u . e . o’ a o a y a . ´ a ’ e ’ ı e y . ’ goi n´ l` nghiˆm k` di cu a (I) hay (Io ). . o a . + (D.- inh l´ tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm): Cho phu.o.ng tr`nh (Io ). Nˆu f (x, y) y o` . a a´ e . ı e´ liˆn tuc trong miˆn n`o d ´ ch´ ¯ e e ` e a ¯o u .a d iˆ m (x , y ) th` tˆn tai ´t nhˆ t mˆt nghiˆm ’ ı `o . ı ´ a o e . o o . . a e ´ y = ψ(x) sao cho yo = ψ(xo ) v` nˆu fy (x, y) liˆn tuc tai (xo , yo ) th` y = ψ(x) tˆn e . . ı `o tai duy nhˆ . ´t. a 2. C´c loai phu.o.ng tr` a . a ınh vi phˆn cˆ p 1 ´ a 2.1. Phu .o.ng tr` biˆn sˆ phˆn ly ´ ´ ınh e o a dy L` phu.o.ng tr` m` nˆu thay y = a ınh a e ´ ’ ´ ı o e e ¯o ` . ’ e th` c´ thˆ biˆn d ˆ i vˆ dang f1 (y)dy = dx f2 (x)dx. Lˆ y t´ phˆn bˆ t d .nh 2 vˆ th` giai d .o.c phu.o.ng tr` ´ a ıch a a ¯i ´ ´ e ı ’ ¯u . ınh. V´ du 1. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: ydy = (x2 + 1)dx. Lˆ y t´ phˆn hai vˆ cua phu.o.ng tr` d a cho: ´ a ıch a ´ e ’ ınh ¯˜ y2 x3 C 2 ydy = (x2 + 1)dx ⇔ = +x+ ⇔ y 2 = x3 + 2x + C 2 3 2 3 ı . ’ V´ du 2. Giai phu.o.ng tr` ınh: (y − x2 y)dy + (xy 2 + x)dx = 0.tag1 Ta c´: o (1)⇔ y(x2 − 1)dy = x(y 2 + 1)dx (2) 42 + Nˆu x2 − 1 ≡ 0 ⇔ x ≡ ±1 th` dx = 0, nˆn (2) thoa m˜n. Vˆy x = ±1 l` nghiˆm ´ e ı e ’ a a . a e . ’ cua (1). y x + Nˆu x2 − 1 ≡ 0 ⇔ x ≡ ±1: (2)⇔ 2 ´ e dy == 2 ´ a ıch a ´ e dx. Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ: y +1 x −1 ydy xdx 1 1 1 = ⇔ ln |y 2 + 1| = ln |x2 − 1| + ln |C| y2 +1 x 2 −1 2 2 2 y 2 + 1 = C(x2 − 1), ∀C = 0 ⇔ y 2 + 1 = C(x2 − 1) (∀C = 0). Vˆy (1) c´ nghiˆm: a . o e . x = ±1 V´ du 3. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: y = 3x2 y (1) dy Ta c´: o (1)⇔ = 3x2 y ⇔ dy = 3x2 ydx (2) dx ´ + Nˆu y ≡ 0 th` y = 0, nˆn (2) thoa m˜n. Vˆy y = 0 l` nghiˆm cua (1). e ı e ’ a a . a e. ’ dy ´ + Nˆu y ≡ 0: (2)⇔ e = 3x2 dx. Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ: ´ a ıch a ´ e y 3 3 ln |y| = x3 + ln |C| ⇔ ln |y| = ln |Cex | ⇔ y = Cex , ∀C = 0 Vˆy (1) c´ nghiˆm: y = Cex (v´.i C t` y y). 3 a . o e . o u ´ 2.2. Phu.o.ng tr` vi phˆn d ˘ng cˆ p cˆ p 1 ınh a ¯a ’ ´ ´ a a L` phu a .o.ng tr` c´ dang y = f (x, y) v´.i f (λx, λy) = f (x, y), ∀λ = 0. ınh o . o D˘t y = ux, ta c´: u x + u = y = f (x, y) = g(u), ta d .a vˆ phu.o.ng tr` c´ biˆn -a . o ¯u ` e ınh o e´ ´ sˆ phˆn ly u x = g(u) − u. o a V´ du 6. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: x+y y = (1) x−y -a D˘t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´: . o x + ux 1+u 1−u dx (1)⇔ u x + u = ⇔ux= −u ⇔ 2 du = . x − ux 1−u 1+u x ´ a ıch a e´ Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ: du 1 2udu 1 ln |1 + u2| ln |Cx2| 2 − = ln |x| + ln |C| ⇔ arctg u − = 1+u 2 1 + u2 2 2 2 a o e Vˆy (1) c´ nghiˆm: . . y 2Arctg = ln |C(x2 + y 2 )|, ∀C = 0 x V´ du 5. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: y2 y = −2 (1) x2 -a o D˘t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´: . 2 (1)⇔ u x + u = u − 2 ⇔ u x = u2 − u − 2 (2) 43 u = −1 y = −x + Nˆu u2 − u − 2 ≡ 0 ⇔ ´ e ı th` u = 0, (2) thoa m˜n, vˆy ’ a a . a a l` c´c u=2 y = 2x e ’ nghiˆm cua (1) . u = −1 + Nˆu u2 − u − 2 ≡ 0 ⇔ ´ e th` (2) tu.o.ng d .o.ng v´.i: ı ¯u o u =2 du dx 1 u−2 1 u−2 = ⇒ ln + ln C ⇔ ln = Cx3 u2 −u−2 x 3 u−1 3 u+1 3 y − 2x = Cx3 (y + x) a e ’ a ⇔ y−2x = Cx (y+x), ∀C = 0. Suy ra c´c nghiˆm cua (1) l`: . y = −x v´.i C t` y y. o u ´ 2.3. Phu.o.ng tr` vi phˆn tuyˆn t´ cˆ p 1 ınh a ´ e ınh a ´ L` phu a .o.ng tr` c´ dang y + p(x)y = q(x) trong d ´ p(x), q(x) l` c´c h`m liˆn tuc ınh o . ¯o a a a e . e trˆn [a, b]. C´ch giai thu.c hiˆn qua c´c bu.´.c: a ’ . e. a o − Gia ’ i phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆ t (q(x) = 0), ta c´: y ≡ 0 ho˘c ınh ´ ınh e ` a ´ a o a . dy = −p(x)dx ⇒ y = Ce− p(x)dx, vˆy nghiˆm l`: y = Ce− p(x)dx a. e a . y − T` nghiˆm riˆng y ∗ cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t (q(x) = 0) b˘ ng ım e. e ’ ınh o `a ´ a ` a a ¯˘ ∗ c´ch d at y = C(x).u(x) v´ o.i u(x) = e− p(x)dx, suy ra . y ∗ = e− p(x)dx . q(x)e p(x)dx dx. − lˆp nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t dang y = y + y ∗ a . e. o’ a ’ ınh o ` a ´ a . V´ du 6. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: y − 2xy = x + Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t y − 2xy = 0, ta c´ nghiˆm: ’ ınh ` a ´ a o e . dy 2 x2 a. y = 2xdx ⇒ ln y = x + ln C ⇒ y = Ce . y = 0 ho˘c + Nghiˆm riˆng cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t l`: e . e ’ ınh o ` a ´ a a 2 2 2 1 2 1 y ∗ = ex . x.e−x dx = ex . − e−x =− . 2 2 1 Vˆy (1) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t: y = y + y ∗ = Cex − v´.i C t` y y. 2 a . o e . o’ a o u ´ 2 V´ du 7. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: 2 y + 2xy = xe−x . + Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t y + 2xy = 0, ta c´ nghiˆm: ’ ınh ` a ´ a o e . dy 2 −x2 a. y = −2xdx ⇒ ln y = −x + ln C ⇒ y = Ce y = 0 ho˘c . 44 + Nghiˆm riˆng cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t l`: e . e ’ ınh o ` a ´ a a 2 ∗ −x2 −x2 x2 −x2 x2 e−x y =e . x.e .e dx = e . xdx = . 2 2 x2 e−x v´.i C t` y y. 2 Vˆy (1) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t l`: y = y + y ∗ = Ce−x + a . o e . o’ a a o u ´ 2 2.4. Phu.o.ng tr` Bernoulli ınh L` phu a .o.ng tr` c´ dang y + p(x)y = q(x).y α . ınh o . y 1−α -e ’ ’ Dˆ giai, gia thiˆt y ≡ 0, chia 2 vˆ cho y α , rˆi d ˘t z = ’ e´ ´ e ` ¯a o . a a (l` h`m theo x, z ≡ 0), 1−α giai phu.o.ng tr` tuyˆn t´ cˆ p 1 theo z. ’ ınh ´ e ınh a ´ ı . ’ V´ du 8. Giai phu .o.ng tr` ınh: y + 2xy = 2x3 y 3 . + Nˆu y ≡ 0 th` y = 0: (1) thoa m˜n nˆn y = 0 l` nghiˆm cua phu.o.ng tr` ´ e ı ’ a e a e . ’ ınh 1 −2 -a + Nˆu y ≡ 0 (1)⇒ y y −3 + 2xy −2 = 2x3 . D˘t z = − y ´ e . a a (l` h`m theo x, z ≡ 0), 2 −3 th` z = y y , phu ı: .o.ng tr` tro. th`nh ınh ’ a z − 4xz = 2x3 (3) ’ Giai (3). Phu .o.ng tr` thuˆn nhˆ t: ınh ` a ´ a dz 2 z − 4xz = 0 ⇒ = 4xdx ⇒ z = Ce2x z a e e v` nghiˆm riˆng . 2 2 2 1 1 2 1 1 z ∗ = e2x 2x3 e−2x dx = e2x − x2 + e−2x = x2 + . 2 2 2 2 2 1 1 Vˆy (3) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t: z = z + z ∗ = Ce2x − a . o e o . ’ a x2 + e o e , nˆn (1) c´ nghiˆm . 2 2 1 2 1 = −2Ce2x + x2 + y2 2 , v´.i C t` y y. o u ´ y=0 ` BAI TAPˆ . ’ a 4.1.1. Gia i c´c phu .o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng d u.a vˆ biˆn sˆ phˆn ly): ı a ¯ e ´ ´ ` e o a . x+y x−y (xy 2 −x)dx+(y +x2 y)dy = 0; y +sin −sin = 0; y = 2x+y +4; 2 2 √ 2 2x 5y y = y − x + 1; y = ex+y −1; xy = ey −1; dx+ 2 dy = 0; 1 + 2x2 y +1 (1 + e2x )y 2 dy = ex dx (biˆt y(0) = 0); ´ e y = ey−4x (biˆt y(1) = 1) ´ e ’ a 4.1.2. Gia i c´c phu .o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng d ˘ ng cˆ p cˆ p 1): ı a ¯a’ ´ ´ a a . 2 y y y y 2xy y = 2 − 2; y = ex + ; xy = y ln ; y = 2 ; x x x x − y2 √ y y y x (x2 +2xy)dx+xydy = 0; xy = y− xy; y = 1 + ln ; y = + ; x x x y 45 y y y y π y = + cos2 ; x3 y = y(x2 + y 2 ); ´ e y = + sin (biˆt y(1) = ); x x x x 2 y π y y2 ´ xy − y = xtg (biˆt y(1) = ); e ´ e y = + 2 (biˆt y(−1) = 1); x 2 x x y 1 y 3 y = + ´ e (biˆt y(−1) = 1); x 2 x 4.1.3. Gia i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng tuyˆn t´ cˆ p 1): ’ a ı a . ´ e ınh a ´ y y + 2y = 4x; (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 ; xy − = x; 1+x 2 xy + y = x2 cos x; y + 2xy = xe−x ; y cos x + y sin x = 1; 2 x x 2x 1 2 xy −xy = (1+x )e ; y +e y = e ; y− y = x ln x; y − y = 4x2 ; x ln x x y 3 y + xy = 3x; y + = 3x ; y + 2y = cos x; y − 2y = sin x; x xy + y = ex (biˆt y(1) = 0); ´ e ´ e (x + 1)xy − y = x(x + 1) (biˆt y(1) = 0) II. Phu.o.ng tr` a ´ a ınh vi phˆn cˆ p 2 a e 1. Kh´i niˆm chung . * Ta goi phu.o.ng tr` . ınh vi phˆn cˆ p 2 l` phu.o.ng tr` c´ dang a ´ a a ınh o . F (y , y , y, x) = 0 (II) hay y = f (y , y, x) (IIo ) ´ trong d ´ y l` h`m sˆ theo biˆn x, c`n y , y l` d ao h`m cˆ p 1,2 cua y, v` nghiˆm ¯o a a o ´ e o a ¯. a a´ ’ a e . ’ cu a phu .o.ng tr` l` h`m y = ψ(x) hay Φ(x, y) = 0 thoa m˜n phu.o.ng tr` d o. ınh a a ’ a ınh ¯´ * H`m y = ψ(x, C1 , C2 ) ho˘c Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 thoa m˜n phu.o.ng tr` (II) hay a a . ’ a ınh (IIo ) v´.i C1 , C2 l` h˘ ng sˆ t` y y trong tˆp con n`o d ´ cua R, v` v´.i mˆi d ` u o a ` a ´ o u ´ a. a ¯o ’ a o ˜ o ¯iˆ e kiˆn y(xo ) = yo v` y (xo ) = yo ta t` d u . e a ım ¯ .o.c duy nhˆ t c˘p sˆ C , C sao cho y = ´ . a a o 10 20 ´ . ψ(x, C10 , C20 ) hay Φ(x, y, C10 , C20 ) = 0 thoa (II) hay (IIo ) d u.o.c goi l` nghiˆm ’ ¯ . . a e . tˆ ng qu´t cu a c´c phu.o.ng tr` o’ a ’ a ınh d ´.¯o e´ * Nˆu y = ψ(y, C1 , C2 ) hay Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 l` nghiˆm tˆ ng qu´t cua (II) hay a e . o’ a ’ (IIo ), cho C1 = C01 , C2 = C02 v´ o .i C , C l` hai sˆ x´c d inh cu thˆ th` y = a ´ o a ¯. ’ e ı 01 02 . ψ(x, C01 , C02 ) hay Φ(x, y, C01 , C02 ) = 0 d u . ¯ .o.c goi l` nghiˆm riˆng cu a phu.o.ng e e ’ . a . tr` ¯o ınh d ´. + (Dinh l´ tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm): Trong phu.o.ng tr`nh (IIo ), nˆu h`m -. y ` o . a a´ e . ı ´ e a e . ` n n`o d o ch´.a d iˆ m (yo , yo , xo ) th` tˆn tai mˆt nghiˆm e f (y , y, x) liˆn tuc trong miˆ a ¯´ u ¯ e ’ ı o` . o. e. ’ a e ´ y = y(x) cu a (IIo ) sao cho y + o = y(xo ), yo = y (xo ) v` nˆu fy .fy c˜ng liˆn tuc u e . trong miˆn ch´.a d iˆ m (yo , yo , xo ) th` nghiˆm ˆ y l` duy nhˆ t. `e u ¯e ’ ı . ´ e a a ´ a 2. C´c loai phu.o.ng tr` a . ınh vi phˆn cˆ p 2 thu.`.ng g˘p a ´ a o a . 2.1. Phu .o.ng tr` vi phˆn cˆ p 2 giam cˆ p d .o.c ınh a a ´ ’ ´ a ¯u . + Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (x) (thiˆu y, y ) ı o . ´ e a ’ ıch a C´ch giai: t´ phˆn 2 lˆn. `a V´ du 1. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: y = x + 1. 46 x2 o Ta c´: y = (x + 1)dx = + x + C1 , suy ra: 2 x2 x3 x2 y= + x + C1 dx = + + C1 x + C2 v´.i C1 , C2 t` y y. o u ´ 2 6 2 + Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (y , x) (thiˆu y) ı o . ´ e C´ch giai: d at y = z (h`m theo x) ⇒ y = z . Nˆn: z = f (z, x) l` phu.o.ng a ’ ¯˘ . a e a ınh a´ ’ ’ tr` cˆ p 1 cua z theo x, giai ra nghiˆm tˆ e . o’ng qu´t z = ψ(x, C1 ), thay z = y , ta c´: a o y = ψ(x, C1 ) gia ’ i ra nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` ban d` u. e . o’ a ’ ınh a ¯ˆ ı . ’ V´ du 2. Giai phu .o.ng tr` ınh: y = y + x. D˘t y = z (h`m theo x) ⇒ y = z , suy ra z − z = x. Dˆy l` phu.o.ng tr` vi -a. a -a a ınh a ´ e ınh a ´ ’ a o phˆn tuyˆn t´ cˆ p 1 cua h`m z theo x v´.i p(x) = −1, q(x) = x nˆn c´ nghiˆm: e o e . p(x)dx z= q(x)e dx + C1 e− p(x)dx = xe−x dx + C1 ex = C1 ex − (x + 1). x2 Thay z = y , ta c´: y = C1 ex − (x + 1) ⇒ y = C1 ex − o − x + C2 v´.i C1, C2 t` y y. o u ´ 2 + Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (y, y ) (thiˆu x) ı o . ´ e ’ ¯a C´ch giai: d ˘t y = z (h`m theo y), d ao h`m theo x, ta c´: y = zy · y = z · z, a . a ¯. a o e nˆn: z · z = f (y, z). Giai phu.o.ng tr` cˆ p 1 cua z theo biˆn y, ta c´: z = ψ(y, C1 ), thay z = y rˆi giai ’ ınh a´ ’ ´ e o ` o ’ ´ tiˆp phu e .o.ng tr` y = ψ(y, C ) ta c´ nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` d a cho. ınh o e o’ a ’ ınh ¯˜ 1 . ı . ’ V´ du 3. Giai phu .o.ng tr` ınh: (1 − y)y + 2(y )2 = 0 (1) dz D˘t y = z (theo y) ⇒ y = z y = z z (v´.i z = -a . o o ), ta c´: dy (1 − y)z z + 2z 2 = 0 (2) ´ + Nˆu z ≡ 0 ⇒ z = 0: (2) thoa m˜n nˆn z ≡ 0 l` nghiˆm cua (2)⇒ y = 0 ⇒ y = C1 e ’ a e a e. ’ o .i C t` y y) l` nghiˆm cua (1) (v´ 1 u ´ a e ’ . + Nˆ ´u 1 − y ≡ 0 ⇔ y ≡ 1 ⇒ y = 0: (1) thoa m˜n nˆn y = 1 l` nghiˆm (1) (tru.`.ng e ’ a e a e . o ho .p riˆng cua nghiˆm y = C ) e ’ e . . 1 ´ + Nˆu y ≡ C1 ⇔ z ≡ 0: e dz dz 2dy (2)⇒ (1 − y) = −2z ⇒ = ⇒ ln |z| = 2 ln |y − 1| + ln |C1 | dy z y −1 dy 1 Suy ra: z = y = C1 (y − 1)2 ⇒ 2 = C1 dx ⇒ − = C1 x + C2 . (y − 1) y−1 1 y=− u ´ + 1; C1 = 0, C2 t` y y Vˆy (1) c´ nghiˆm: a. o e . C1x + C2 u ´ y = C1, C1 t` y y .o.ng tr` e ınh cˆ p 2 v´.i hˆ sˆ h˘ ng 2.2. Phu a ınh vi phˆn tuyˆn t´´ ´ a o . ´ ` e o a 47 L` phu.o.ng tr` c´ dang y + py + qy = f (x) trong d ´ p, q l` h˘ ng sˆ thu.c. * Dˆi a ınh o . ¯o a a` ´ o . -o´ o v´.i phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t (f (x) = 0): ı ` a ´ a ’ Giai phu .o.ng tr` d ac tru.ng: ınh ¯˘ k 2 + pk + q = 0. (DT) . ´ + Nˆu (DT) c´ 2 nghiˆm thu e o e .c phˆn biˆt k , k th` nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng a e 1 2 ı e o’ a ’ . . . . ınh ` tr` thuˆn nhˆ t l`: a ´ a a y = C1 ek1 x + C2ek2 x . + Nˆu (DT) c´ nghiˆm k´p k1 = k2 th` nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` thuˆn ´ e o e. e ı e . o’ a ’ ınh ` a a´t l`: nhˆ a y = (C1 + C2 x)ek1 x . + Nˆu (DT) c´ 2 nghiˆm ph´.c k1 = α + βi, k2 = α − βi th` nghiˆm tˆ’ng qu´t cua ´ e o e . u ı e . o a ’ phu .o.ng tr` thuˆn nhˆ t l`: ınh ` a ´ a a y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx). * Dˆi v´.i phu.o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t y + py + qy = f (x) (vˆ pha i c´ dang d ˘c -o o ´ ı o ` a ´ a ´ ’ o . e ¯a . e biˆt): . Bu.´.c 1: Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t tu.o.ng u.ng, t` nghiˆm tˆ ng qu´t du.´.i dang: o ’ ınh `a ´ a ´ ım e . o’ a o . y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) Bu.´.c 2: T` nghiˆm riˆng y ∗ cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t dˆ suy ra nghiˆm o ım e . e ’ ınh o ` a ´ ’ a ¯e e. ∗ y =y+y + Nˆu f (x) c´ dang Pn (x)eax (Pn (x) l` d a th´.c bˆc n): ´ e o . a ¯ u a . − Nˆu a khˆng phai l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang: ´ e o ’ a e . ’ ı o . y ∗ = (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax − Nˆu a l` nghiˆm d .n cua (DT) th` y ∗ c´ dang: ´ e a e ¯o . ’ ı o . y ∗ = x(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax − Nˆu a l` nghiˆm k´p cua (DT) th` y ∗ c´ dang: ´ e a e . e ’ ı o . y ∗ = x2 (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax + Nˆu f (x) c´ dang eax [Pn (x) cos bx + Qm (x) sin bx]: (Pn (x), Qm (x) l` c´c d a th´.c e´ o . a a ¯ u a ¯a bˆc n, m), d ˘t h = max{m, n}: . . − Nˆu a + bi khˆng phai l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang: ´ e o ’ a e . ’ ı o . y ∗ = (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax − Nˆu a + bi l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang: ´ e a e . ’ ı o . y ∗ = x. (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax Dˆ x´c d .nh c´c sˆ ai , bi o. trˆn, ta d` ng phu.o.ng ph´p hˆ sˆ bˆ t d .nh: t´ y ∗ , y ∗ - e a ¯i ’ a o´ ’ e u . ´ ´ a e o a ¯i ınh ` o ∗ ∗ ∗ a rˆi thay y , y , y v`o phu .o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t, d` ng nhˆ t hai vˆ v` giai hˆ ınh o ` a ´ a ¯ˆ o a´ ´ e a ’ e . phu .o.ng tr` theo a , b . ınh i i 48 + Nguyˆn l´ chˆng chˆ t nghiˆm: Nˆu y1 (x), y2 (x) lˆn lu.o.t l` nghiˆm riˆng cu a e y ` o ´ a e. ´ e ` a . a e . e ’ c´c phu a .o.ng tr`nh y + p(x).y + q(x).y = f (x) v` y + p(x).y + q(x).y = f (x) th` ı a ı 1 2 a e e ’ y1 (x) + y2 (x) l` nghiˆm riˆng cu a y + p(x).y + q(x).y = f1 (x) + f2 (x). . ı . ’ V´ du 1. Giai phu .o.ng tr` ınh: y − 2y − 3y = e4x (1) k1 = −1 Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 2k − 3 = 0 c´ nghiˆm ınh ¯a . o e . nˆn phu.o.ng tr` e ınh k2 = 3 thuˆn nhˆ t: y − 2y − 3y = 0 c´ nghiˆm y = C1 e−x + C2 e3x , C1 , C2 t` y y. ` a ´ a o e . u ´ ´ e ’ Vˆ phai (1) c´ dang Pn (x)e v´ o . ax o.i n = 0, a = 4 = k , k nˆn nghiˆm riˆng c´ dang 1 2 e e . e o . y∗ = 4ao e4x y ∗ = ao e4x , suy ra: a o . Thay v`o (1), ta c´: y∗ = 16ao e4x 1 16ao e4x − 8ao e4x − 3ao e4x = e4x ⇒ ao = , suy ra: 5 ∗ −x 3x 1 4x y = y + y = C1 e + C2 e + e , ∀C1, C2 . 5 V´ du 2. Gia ı . ’ i phu.o.ng tr` ınh: y − 2y + y = 6xex (2) Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 2k + 1 = 0 c´ nghiˆm k´p k1 = k2 = 1 nˆn phu.o.ng ınh ¯a . o e . e e tr` thuˆn nhˆ t: y − 2y + y = 0 c´ nghiˆm y = (C1 x + C2)ex , C1, C2 t` y y. ınh ` a ´ a o e . u ´ Vˆ phai (2) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 1, a = 1 = k1 = k2 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang ´ ’ e o . o e e . e o . y∗ = [a1 x3 + (3a1 + ao )x2 + 2ao x]ex y ∗ = x2 (a1 x + ao )ex , suy ra: . y∗ = [a1 x3 + (6a1 + ao )x2 + (6a1 + 4ao )x + 2ao ]ex 6a1 = 6 a1 = 1 Thay v`o (2), ta c´: a o ⇒ ⇒ y ∗ = x3 ex nˆn (2) c´ nghiˆm: e o e . 2ao = 0 ao = 0 y = y + y ∗ = (C1 x + C2 )ex + x3 ex = (C1 x + C2 + x3 )ex , ∀C1 , C2 V´ du 3. Giai p[hu.o.ng tr` ı . ’ ınh: y + y = 4xex (3) Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 + 1 = 0 c´ nghiˆm k = ±i nˆn phu.o.ng tr` thuˆn ınh ¯a . o e . e ınh `a nhˆ t: y + y = 0 c´ nghiˆm y = e0x (C1 sin x + C2 cos x) = C1 sin x + C2 cos x, C1 , C2 a´ o e. u ´ t` y y. Vˆ phai (3) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 1, a = 1 = k1 , k2 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang: ´ e ’ o . o e e . e o . y∗ = (a1 x + a1 + ao )ex y ∗ = (a1 x + ao )ex , suy ra: . y∗ = (a1 x + 2a1 + ao )ex a o -ˆ Thay v`o (3), ta c´: 2a1 x + 2a1 + 2ao = 4x. D` ng nhˆ t 2 vˆ: o ´ a e´ a1 =2 a1 = 2 ⇒ ⇒ y ∗ = (2x − 2)ex nˆn (2) c´ nghiˆm: e o e . a1 + ao = 0 ao = −2 y = y + y ∗ = (C1 sin x + C2 cos x) + (2x − 2)ex , ∀C1 , C2 V´ du 4. Giai phu.o.ng tr` ı . ’ ınh: y − y = 2ex − x2 (4) Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 1 = 0 c´ nghiˆm k = ±1 nˆn phu.o.ng tr` thuˆn ınh ¯a . o e . e ınh ` a ´ x −x nhˆ t: y − y = 0 c´ nghiˆm y = C1 e + C2 e , C1 , C2 t` y y. a o e. u ´ 49 e y ` o ´ a e . e . e ’ a o’ Theo nguyˆn l´ chˆng chˆ t nghiˆm, nghiˆm riˆng cua (4) l` tˆ ng hai nghiˆm riˆnge. e x y − y = 2e (4a) cua hai phu.o.ng tr` sau: ’ ınh y − y = −x2 (4b) Vˆ´ phai (4a) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 0, a = 1 = k1 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang: e ’ o . o e e . e o . ∗ y1 = (ao x + ao )ex ∗ y1 = x(ao )ex = ao xex , suy ra: ∗ . y1 = (ao x + 2ao )ex e ∗ Thay v`o (4a), ta c´: (ao x + 2ao − ao x)ex = 2ex ⇒ ao = 1, nˆn y1 = xex a o ´ e ’ Vˆ phai (4b) c´ dang Pn (x)e v´ o . ax o.i n = 2, a = 0 = k , k nˆn nghiˆm riˆng c´ dang: 1 2 e e . e o . a2 = 1 ∗ 2 y2∗ = 2a2 x + a1 (4b) y2 = a2 x + a1 x + ao , suy ra: ⇒ ∗ a1 = 0 ⇒ y2 = x2 + 2. y2∗ = 2a2 ao = 2 ’ ∗ ∗ ∗ x 2 ’ Suy ra nghiˆm riˆng cua (4) l`: y = y1 + y2 = xe + x + 2 v` nghiˆm tˆ ng qu´t: e . e a a e . o a y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e−x + xex + x2 + 2, ∀C1 , C2 ` BAI TAPˆ . ’ i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn cˆ p 2 sau (dang gia m cˆ p): 4.2.1. Gia a ı a a ´ . ’ ´ a y 2 xy = y ; xy = y ln ; x2 y = y ; y 3 y = 1; y (ex + 1) + y = 0; x 2 2 (x ln x)y − y = 0; x2 y + 3xy = 0; 1 + y = 2yy ; yy − y = 0 4.2.2. Gia i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn cˆ p 2 sau (dang tuyˆn t´ v´.i hˆ sˆ h˘ ng): ’ a ı a a ´ . e ınh o e o ` ´ . ´ a x 2x 2 y −2y +y = e ; y −5y +6y = e ; y −2y +2y = 2x ; y +y −2y = xex ; y − 3y + 2y = ex (2x + 3); y − y − x; y − 6y + 5y = 3ex + 5x2 ; 2 y − 5y = 3x + sin 5x; y + y = sin x cos 3x; y − 2y − 3y = 3 − 4ex -ooOoo- 50 a e ’ T`i liˆu tham khao . ´ e Tiˆng Viˆt e. 1. Lu .o.ng H`. 2002. Gi´o tr` H`m nhiˆu biˆn sˆ. Trung tˆn D`o tao T`. Xa, Dai a a ınh a `e ´ ´ e o a -a . u - . hoc Huˆ. . ´ e 2. Lˆ Tu ’ e . . Hy. 1974. Gi´o tr` Giai t´ Viˆn Dai hoc Huˆ. a ınh ’ ıch, e - . . ´ e . ´ 3. Lˆ Viˆt Ngu e e ., Phan v˘n Danh. 2000. To´n hoc cao cˆ p (chuyˆn ng`nh Sinh, Y, a a ´ a e a . o a Nˆng Lˆm). NXB Gi´o duc. a . 4. Th´i Xuˆn Tiˆn, Da a a e - ˘ng Ngoc Duc. 2002. To´n cao cˆ p (phˆn Giai t´ . . . a ´ a ` a ’ ıch). Trung a -a . tˆm D`o tao T` u. Xa, Dai hoc Huˆ. - . . e´ 5. Nguyˆ ˜n D` Tr´ v` cˆng su.. 1983. To´n hoc cao cˆ p. Tˆp I,II,III. NXB Dai hoc e - ınh ı a o . . a . a´ a. - . . a v` THCN. ´ e Tiˆng Anh . ´ 6. P.E. Danko, A.G. Popov. 1996. B`i tˆp To´n cao cˆ p (ban dich). NXB Gi´o duc. a a a a ’ . a . 7. G.Dorofeev, M.Potapov, N.Rozov. 1976. Elementary mathematics. Mir Publisher. ’ ıch a . ’ 8. Liasko. 1979. Giai t´ to´n hoc (ban dich). Tˆp I. NXB Dai hoc v` THCN. . a. - . . a
Pages to are hidden for
"Bai giang dai so tuyen tinh va giai tich_tham khao_"Please download to view full document

Set-Cookie: pages_visited=1; path=/

Connection: keep-alive


markdown:
Tìm kiếm
Hình ảnh
Bản đồ
YouTube
Tin tức
Gmail
Drive
Lịch
Thêm
»
Đăng nhập
Cảm ơn bạn đã sử dụng Giải Đáp. Giải Đáp hiện là dịch vụ chỉ đọc và vào ngày 30 tháng 4 năm 2015, Giải Đáp sẽ ngừng hoạt động và tất cả nội dung đều bị xóa. Đọc phần Câu hỏi thường gặp để biết thêm thông tin.
Giải Đáp
Trang chủ
›
như thế nào gọi là xuất tinh đúng nghĩa
Nhãn hàng đầu
Khoa học và Giáo dục (39715)
39715 câu hỏi
992 người đăng ký
Đời sống (35890)
35890 câu hỏi
543 người đăng ký
Máy tính và Internet (31142)
31142 câu hỏi
1299 người đăng ký
Y tế & Sức khỏe (15862)
15862 câu hỏi
617 người đăng ký
Giao lưu với Giải Đáp (15202)
15202 câu hỏi
645 người đăng ký
Trò chơi (13500)
13500 câu hỏi
402 người đăng ký
Văn hóa xã hội (4999)
4999 câu hỏi
296 người đăng ký
Giải trí & Sở thích (4633)
4633 câu hỏi
330 người đăng ký
Kinh doanh & Tài chính (4423)
4423 câu hỏi
404 người đăng ký
Điện tử gia dụng (4291)
4291 câu hỏi
300 người đăng ký
Các mối quan hệ (3039)
3039 câu hỏi
391 người đăng ký
Sản phẩm của Google (2595)
2595 câu hỏi
244 người đăng ký
Đẹp & Phong cách (2102)
2102 câu hỏi
242 người đăng ký
Thể thao (1145)
1145 câu hỏi
155 người đăng ký
Địa điểm (1046)
1046 câu hỏi
177 người đăng ký
Xem tất cả
Iris Men
04/07/2011
như thế nào gọi là xuất tinh đúng nghĩa
Xã hội
107257 câu hỏi
588 người đăng ký
Gia đình
15482 câu hỏi
228 người đăng ký
Internet
73348 câu hỏi
695 người đăng ký
Tình yêu
29061 câu hỏi
708 người đăng ký
tui 21. ngủ mớ là thấy có : nước chảy( hok fai đái) :D nước dính dính nhưng hok bik co fai tinh trung hay hok
Lưu ý #1
12:35:16 05-07-2011
Cho hỏi thêm.... như vậy mình có tinh trùng ah.@@ hỏi câu này thật ngại.
Câu trả lời (5)
Sắp xếp theo:
Phiếu bình chọn
|
Thời gian
Đăng câu trả lời đã bị tắt.
Thêm
Hộp tìm kiếm không thể để trống
Không thể tải trang web
Tìm kiếm trên web của Google
Tìm kiếm hình ảnh của Google
Chọn video từ YouTube
Tìm kiếm
Nhập URL
Nhập tìm kiếm của bạn vào hộp để tìm các liên kết web.
Nhập tìm kiếm của bạn vào hộp để tìm hình ảnh.
Nhập tìm kiếm của bạn vào hộp để tìm video.
Hộp tìm kiếm không thể để trống
Dán url vào hộp dưới đây:
Không thể tải trang web
Tìm kiếm trên YouTube
Thêm liên kết video
Đã xảy ra lỗi trong khi tải câu trả lời. Vui lòng thử lại.
Tải thêm
Một số câu trả lời đã được xóa khỏi chế độ xem của bạn
Số phiếu bầu
0
Số lượt xem
2486
Số lượt theo dõi
1
x
©2015 Google
-
Điều khoản
-
Chính sách nội dung
-
Bảo mật

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

P3P: CP="This is not a P3P policy! See http://www.google.com/support/accounts/bin/answer.py?hl=en&answer=151657 for more info."

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Cache-Control: private, max-age=0

X-Content-Type-Options: nosniff

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

X-XSS-Protection: 1; mode=block

Server: GSE

Vary: Accept-Encoding


markdown:
UKR-SIG Search
To visualize the dropdown menu you have to activate Javascript.
Goto the SITE MAP
Home
Get Started
Get started with UKR-SIG
Introduction to UKR-SIG
Ukraine SIG FAQ
UKR-SIG Projects
Get started with this website
How to use our website
Site Map
Most Visited
Ukraine Clickable Map
Alphabetical List of Towns
Master Index of Documents
Master Index of Projects
Master Index of People
Towns & Districts
Ukraine Clickable Map
Alphabetical List of Towns
Lost Towns
Maps Gallery
Research
UKR-SIG Databases
Master Index of Projects
Master Index of Documents
Master Index of Names (MNI)
JewishGen Ukraine Database (JGUD)
Ukraine Given Name Database (GNDB)
Links to Research Resources
Research Reference Tools
SIG's Discussion List Archive
InfoSheets
Photos, Travel & More
Photo Gallery
Famous Jews from Ukraine
Faces from Chernigoff
Faces from Kherson
Faces from Kiev
Faces from Podolia
Faces from Poltava
Faces from Volhynia
Faces from Yekaterinoslav
Travel Reports on UkrSIG
Links to Travel Reports
Stories
People
Recipes
Book Reviews
Historical Documents
Other Articles
About Us
UKR-SIG Board of Directors
UKR-SIG Key People
UKR-SIG Surveys
UKR-SIG News Archive
UKR-SIG Newsletter
Subscribe to UKR-SIG Mailing List
UKR-SIG on Facebook
Conferences
Donate / Contribute
Donate
Contribute
Town Leaders Needed
Acknowledgements
Collection: Passenger Ship Manifests, Galveston
Collection Name:
Passenger Ship Manifests, Galveston
Geographic Area:
General Ukraine
Type:
Migration: Passenger Ship Manifests
Time frame:
1893-1948
Description:
Galveston passenger manifests, online at Ancestry.com via Steve Morse's One-Step website (http://www.stevemorse.org/ellis/passengers.php?mode=galv). Also directly from Galveston (http://www.galvestonhistory.org/Galveston_Immigration_Database.asp)
Location:
Ancestry.com
Availability:
SELECT from List
Related Projects
No current projects available
Collection Names in Ukraine SIG Master Name Index
Names have not yet been entered
Last Modified: 03-16-2013
Site Map
Site Index
Contact Us
Donate
JewishGen Home
We need your help !!!
Please complete Ukraine SIG's Surveys
Tweet
Copyright � 2012, Ukraine SIG. All rights reserved.

Cache-Control: private

Content-Type: text/html

Connection: close


markdown:
Some town names are not in our database and cannot be found on any map, yet the towns did exist.
Such town names may have been unofficial, or the towns may have been very small settlements whose names were never recorded.
If you know of such a town name, contact us about it: we'll include the town in our database with your message and it will also be published on this page.
A research will be undertaken to identify it.
Reference: When these letters appear the town has Town Leader, KehilaLinks, Projects, Documents
<< Previous - Next >>


markdown:
Indians down Pirates
VENICE — Venice High School completed its undefeated district slate with a 5-2 win over Port Charlotte on Thursday.
Four Indians — starter Brandon Elmy, Tyler Shambora, Tyson Albert and Cooper Hammond — combined for 12 strikeouts while holding the Pirates to three hits.

Content-Type: text/html; charset=utf-8

Set-Cookie: SCMG=SCMG_ECP3; path=/

CACHE-CONTROL: no-cache

PRAGMA: no-cache

Content-Encoding: gzip


markdown:
##
[nhung album anh cuoi dep](http://www.lemenbros.com/2012/11/nhung-album-anh-cuoi-dep.html)
## nhung album anh cuoi depTham khảo thêm:
[chụp ảnh album cưới](http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=6516573367397837464#editor/target=post;postID=592967568012416769;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=33;src=link)
####
Đôi uyên ương Cao Nguyên và Ngọc Quỳnh chụp ảnh cưới giữa sắc hoa lung linh của Đà Lạt, đặc biệt là màu lam tím nhạt của hoa phượng vỹ. Chú rể tâm sự: "Em đã nhẹ nhàng đến với anh, trao cho anh sự yêu thương và nồng nàn đến mơn man. Anh hạnh phúc và hồi hộp chờ đợi đến ngày 4/7, ngày anh đón nửa kia của mình về với ngôi nhà nhỏ của chúng mình".
**1. Bình minh tím** ![](http://3.bp.blogspot.com/-c3uAmQ9SMwU/UKJll9lug4I/AAAAAAAAAyw/xdV3pJeEpJg/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep.jpg)
![](http://3.bp.blogspot.com/-c3uAmQ9SMwU/UKJll9lug4I/AAAAAAAAAyw/xdV3pJeEpJg/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep.jpg)
**ảnh cưới đẹp**
>>
[Xem trọn bộ ảnh](http://vietbao.vn/The-gioi-giai-tri/Binh-minh-tim-anh-cuoi/50848185/532/)
####
"Mình quen anh được 5 năm, khoảng thời gian đủ dài để mình hiểu được anh là bờ vai vững chắc cho mình trong cuộc sống sau này", cô dâu Nguyễn Thị Minh Tâm chia sẻ. Bạn Minh Tâm và chú rể Trần Ngọc Dũng chọn Hồ Cốc làm nơi ghi dấu những khoảnh khắc hạnh phúc.
**2. Anh là bờ vai vững chắc** ![](http://2.bp.blogspot.com/-z3xZqd8aAIs/UKJlh8JPJXI/AAAAAAAAAyQ/FuUVGN6BADw/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(1).jpg)
![](http://2.bp.blogspot.com/-z3xZqd8aAIs/UKJlh8JPJXI/AAAAAAAAAyQ/FuUVGN6BADw/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(1).jpg)
>>
[Xem trọn bộ ảnh](http://vietbao.vn/The-gioi-giai-tri/Anh-la-bo-vai-vung-chac-anh-cuoi/50848263/532/)
####
Bạn Thanh Hiền tâm sự về chàng trai của cô, Đình Chinh: "Ngày 18/9 tới đây mình sẽ theo anh về "dinh". Vì mình yêu biển và muốn ghi lại những khoảnh khắc đáng nhớ trong cuộc đời nên chúng mình quyết định chọn Nha Trang là nơi để thực hiện bộ ảnh cưới này".
**3. Tình yêu thật tuyệt vời** ![](http://2.bp.blogspot.com/-Nb98bvwOHHo/UKJli8AAM5I/AAAAAAAAAyY/5O3dGxRjZug/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(2).jpg)
![](http://2.bp.blogspot.com/-Nb98bvwOHHo/UKJli8AAM5I/AAAAAAAAAyY/5O3dGxRjZug/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(2).jpg)
**album ảnh cưới đẹp**
>>
[Xem trọn bộ ảnh](http://vietbao.vn/The-gioi-giai-tri/Tinh-yeu-that-tuyet-voi-anh-cuoi/50848300/532/) *- 2 phần quà dành cho 2 cặp đã cưới: 1 khung ảnh lớn in các bức hình của cô dâu và chú rể, trị giá 7 triệu đồng. Giải thưởng trao cho các bộ* **album ảnh cưới đẹp**:
####
Đôi uyên ương Mạc Đăng Khôi và Lê Thu Hương chia sẻ bộ ảnh cưới được thực hiện tại những góc phố cổ kính của Hà Nội và Sơn Tây cuối năm 2009.
**1. Cô dâu duyên dáng áo dài** ![](http://4.bp.blogspot.com/-4adiBxzcQgw/UKJljjkugYI/AAAAAAAAAyg/rUaN3_np4zY/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(3).jpg)
![](http://4.bp.blogspot.com/-4adiBxzcQgw/UKJljjkugYI/AAAAAAAAAyg/rUaN3_np4zY/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(3).jpg)
>>
[Xem trọn bộ ảnh](http://vietbao.vn/The-gioi-giai-tri/Co-dau-duyen-dang-ao-dai-anh-cuoi/50847741/532/)
####
Đôi uyên ương Hoàng Thị Quỳnh Vi và Phan Duy Huy chụp ảnh cưới tại Phú Mỹ Hưng, bên những người bạn thân và các em nhỏ dễ thương.
**2. Những phù dâu phù rể dễ thương** ![](http://1.bp.blogspot.com/-MPf8k9cEZWE/UKJlkrMKjmI/AAAAAAAAAyo/iKsNByV4Wpw/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(4).jpg)
![](http://1.bp.blogspot.com/-MPf8k9cEZWE/UKJlkrMKjmI/AAAAAAAAAyo/iKsNByV4Wpw/s1600/nhung+album+anh+cuoi+dep+(4).jpg)
>>
[Xem trọn bộ ảnh](http://vietbao.vn/The-gioi-giai-tri/Nhung-phu-dau-phu-re-de-thuong-anh-cuoi/50848094/532/)
Xem thêm:
[những album ảnh cưới đẹp nhất](http://www.lemenbros.com/2012/11/nhung-album-cuoi-dep-nhat.html)
Nguồn: vietbao.vn
## 0 comments:
## Đăng nhận xét

X-Robots-Tag: all,noodp


markdown:
**Cloud Của Tui có gì hot?**
- Thêm Bài hát/Playlist yêu thích vào Cloud.
- Tạo Playlist riêng theo sở thích âm nhạc.
- Tự động đồng bộ nếu sử dụng một tài khoản Cloud cho nhiều thiết bị.
- Nghe nhạc Offline dễ dàng mà không sợ phải tìm kiếm Playlist để tải lại nếu thay đổi thiết bị.

Set-Cookie: NCTNPLS=698f8709c9a6aacd0693d0da9f3cb362;Path=/;Domain=.nhaccuatui.com;Expires=Tue, 28-Apr-2015 14:11:29 GMT;HttpOnly

P3P: CP='NOI ADM DEV PSAi COM NAV OUR OTRo STP IND DEM'

Server: nginx+


Set-Cookie: NCTNPLS=4310d746b5df6083b7bdb3e2cfffdf5b;Path=/;Domain=.nhaccuatui.com;Expires=Tue, 28-Apr-2015 13:44:41 GMT;HttpOnly


markdown:
|
|![]()
|
|![]()
![]()
FOR IMMEDIATE RELEASE
PR- 306-04
November 16, 2004
MAYOR MICHAEL R. BLOOMBERG OPENS TEMPORARY INTAKE OFFICE FOR FAMILIES SEEKING SHELTER AND ANNOUNCES $30 MILLION COMMITMENT TO CREATE NEW PERMANENT INTAKE CENTER
New Intake Site, to Open Thursday, Embodies Court Panel Recommendations to Improve Family Experiences with Shelter System
Mayor Michael R. Bloomberg and Department of Homeless Services Commissioner (
"For twenty years, the Emergency Assistance Unit has come to represent confusion and pain for vulnerable families applying for temporary emergency housing," said Mayor Bloomberg. "As a result of a historic settlement and the sound recommendations of this court panel, we are ushering in a new day - a day where families in need are treated with the utmost respect and where our efforts are guided by rationale policies rather than crisis-driven court orders. We can and must be more responsive to those in need. This new intake center represents our commitment to compassion and service for those in need."
Beginning Thursday, the temporary intake site, called the Prevention Assistance & Temporary Housing (PATH) Office, will begin serving all single pregnant women and families with children who are submitting their first application for shelter. The office design, program mix, and staffing models were informed by the set of recommendations released by a three-member court appointed panel in June of 2004. Consistent with those recommendations, PATH includes multiple opportunities for families to access prevention services, an enhanced social work component, a midpoint case conference, where families are apprised of the likely outcome of their eligibility determination, and bridge services to transition shelter ineligible families back to available housing and community supports.
In addition, DHS client advocates will be onsite to help families resolve problems and the new Administration for Children's Services Family Services Team will be stationed there to promote healthy and safe behavior to protect the health and well being of children.
"We're here today as a result of our collaboration with the panel and Legal Aid," said Commissioner Linda Gibbs. "As this facility and new vision make clear, we can achieve far better results for families through collaboration than through courtroom battles. At the end of the day, serving families more holistically and appropriately is what everyone has always sought to achieve."
"This new office and the capital commitment highlights the City's commitment to reform, reflecting continuous improvement in addressing the needs of vulnerable families," said Gail Nayowith, Executive Director of the Citizen's Committee for Children and a member of the court-appointed Special Master Panel.
The Mayor also announced that $30 million in capital funds will be allocated for a new permanent intake center at the location of the existing Emergency Assistance Unit. Groundbreaking will take place in February 2006, with the project to be completed in 2008.
The new site will feature child-friendly design elements, state of the art technology, and overnight shelter beds to eliminate late night busing of applicant families to "overnight" shelters. Like the temporary intake site, the building design and program offerings will incorporate recommendations made by the court-appointed panel.
On January 17, 2003, the City of New York and the Legal Aid Society entered into a historic, two-year agreement approved by the New York State Supreme Court to significantly reduce litigation and promote constructive problem solving. The agreement established the Family Homelessness Special Master Panel. The agreement charged the Panel with evaluating various aspects of the shelter system, including the intake process. At the end of its term, the Panel will make recommendations regarding the resolution of longstanding litigation.
The PATH Office, located at 346 Powers Avenue in the Bronx, will be open Monday through Friday from 9am - 5 pm, and Saturdays from 9 am - 2 pm. After hour applications, as well as applications from families re-applying for shelter, will be processed at the existing EAU, located at 151 East 151st Street.
![]()
MEDIA CONTACT:
Edward Skyler / Jordan Barowitz (212) 788-2958
James Anderson
(212) 361-7971
|
|![]()
|
|![]()
|
|![]()
![]()
![]()
![]()
|
|![]()

Accept-Ranges: bytes