text:
- 148 trang
- Lượt xem: 1879
- Download: 361
Giáo trình Toán cao cấp C1 - Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm - ĐH Quốc gia tp.HCM
Chia sẻ: tienthu000
Đây là giáo trình Toán cao cấp C1 dành cho sinh viên khoa Kinh tế, ĐH Quốc gia Tp. HCM. Trong mỗi trương đều có ví dụ kèm theo cùng với phần bài tập với độ khó khác nhau để sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán.
Thể loại:Khoa Học Tự Nhiên » Toán học
Chủ đề liên quan:
Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp C1 - Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm - ĐH Quốc gia tp.HCM
KHOA KINH TẾ
NGUYỄN THÀNH LONG
NGUYỄN CÔNG TÂM
TOÁN CAO CẤP C1
Lưu hành nội bộ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2004
0
LỜI NÓI ĐẦU
Đây là giáo trình Toán Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế, Đại học Quốc gia
Tp. Hồ Chí Minh. Giáo trình gồm 3 đơn vị học tập (45 tiết) cả lý thuyết và bài tập.
Giáo trình gồm 5 chương:
Chương I trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm một biến.
Chương II trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm hai biến.
Chương III trình bày nội dung về phép tính tích phân hàm một biến.
Chương IV trình bày sơ lược về phương trình vi phân ( cấp 1 và 2).
Chương V trình bày nội dung về lý thuyết chuỗi.
Trong mỗi chương đều có ví dụ kèm theo cùng với phần bài tập với độ khó khác nhau để
sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán. Một số định lý khó chỉ được phát biểu mà không chứng
minh và thay vào đó là phần minh họa ý chính của đ ịnh lý.
Giáo trình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được các ý kiến
đóng góp của bạn đọc gần xa để giáo trình được hoàn thiện hơn.
Tp. Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2004.
Các tác giả
Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm.
1
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Khái niệm về hàm số
1.1. Định nghĩa
Cho tập hợp D , ánh xạ f : D được gọi là một hàm số xác định trên tập D. Tập
D được gọi là miền xác định của hàm số f. Tập fx : x D được gọi là miền giá trị của
hàm số f.
Vậy một hàm f xác định trên D là một phép tương ứng với mỗi số thực x D với một số
thực xác định duy nhất mà ta ký hiệu nó là fx. Ta viết
f : x fx.
Ta cũng gọi fx là giá trị của f tại x.
Nếu đặt y fx, thì ta có thể biểu diễn hàm f như sau:
f : x y fx
hay gọn hơn
y fx.
Ta gọi x là biến độc lập hay đối số, y là biến phụ thuộc (hay là hàm).
Đối với một hàm đã xác định thì các ký hiệu để chỉ các biến rõ ràng là không quan trọng.
Chẳng hạn, các ánh xạ
t t2, 2,
w u w2, y x y2,
xác định cùng một hàm, vì trong tất cả các trường hợp trên phép tương ứng là như nhau: ứng
với mỗi số là bình phương của nó. Để chỉ các hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau
y fx, y gx, y x, . . .
Trị của hàm f tại x a được ký hiệu là fa hay fx| xa và đọc là "f tại a".
Xét hàm y fx xác định trên D . Chọn trong mặt phẳng một hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy và biểu diễn biến độc lập x trên trục hoành, còn biến phụ thuộc y trên trục tung.Ta gọi tập
tất cả các điểm của mặt phẳng có dạng
x, fx : x D
là đồ thị của hàm số f.
Hình 1
2
1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
Các hàm sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm lũy thừa x , hàm mũ
x
a , Hàm logarit log a x, các hàm lượng giác cos x, sin x, tgx, cot gx và các hàm lượng giác
ngược. Tất cả các hàm nầy, ngoại trừ các hàm lượng giác ngược, đ ều đã học ở phổ thông nên
ở đây chỉ nhắc lại những tính chất chủ yếu của chúng, riêng các hàm lượng giác ngược sẽ đ
ược trình bày kỹ hơn.
Hàm lũy thừa y x , là một số thực. Miền xác định của nó phụ thuộc vào .
Ví dụ:
- Các hàm y x, y x 2 , y x 3 , . . . xác định tại mọi x.
- Các y x 1 , y x 2 , y x 3 , . . . xác định tại mọi x 0.
- Hàm y x 1/2 x xác định khi x 0.
- Hàm y x 1/2 1x chỉ xác định khi x 0.
- Hàm y x 1/3 3 x xác định tại mọi x.
Chú ý rằng nếu vô tỉ tì ta qui ước chỉ xét hàm y x tại mọi x 0 nếu 0 và tại mọi
x 0 nếu 0.
Đồ thị của tất cả các hàm y x đều đi qua điểm 1, 1, chúng đi qua gốc tọa độ nếu 0 và
không đi qua gốc tọa độ nếu 0.
Hình 2 Hình 3
Hàm mũ y a x , a 0 và a 1. Số a được gọi là cơ số của hàm mũ. Hàm mũ xác định tại
mọi x và luôn luôn dương. Nó tăng nếu a 1 và giảm nếu 0 a 1. Ngoài ra ta luôn có
a 0 1.
Hàm logarit.
Hàm mũ y a x là một song ánh từ lên khoảng 0, , nên nó có hàm ngược mà ta ký hiệu
là x log a y (đ ọc là logarit cơ số a của y). Như vậy
y a x x log a y
3
a 1 0 a 1
Hình 4 Hình 5
Với qui ước, dùng chữ x để chỉ là biến độc lập, chữ y đ ể chỉ hàm thì hàm ngược của hàm mũ
y a x là y log a x.
Đồ thị của hàm y log a x là đối xứng của đồ thị của hàm y a x qua đường phân giác thứ
nhất.
Hàm y log a x chỉ xác định khi x 0, nó tăng khi a 1 và giảm nếu 0 a 1. Ngoài ra ta
luôn có log a 1 0.
Với a 10, ta ký hiệu
lg x log 10 x
và gọi nó là hàm logarit thập phân.
Hàm logarit còn có các tính chất sau:
log a AB log a |A| log a |B|, AB 0,
log a A log a |A| log a |B|, AB 0,
B
log a A log a |A|, A 0,
log a A log a |A|, A 0, 0.
Mọi số dương N đều có thể viết dưới dạng mũ
N a log a N .
Các hàm lượng giác y cos x, y sin x, y tgx, y cot gx. Các hàm nầy được xác định
trên vòng tròn lượng giác (vòng tròn đơn vị) như sau
OP cos x,
OQ sin x,
AT tgx,
BC cot gx,
Hình 6
trong đó, x được đó bằng radian. Hai hàm y sin x và y cos x xác định tại mọi x, có giá trị
thuộc 1, 1, tuần hoàn với chu kỳ 2.
4
y sin x
Hình 7
y cos x
Hình 8
Hàm y tgx xác định tại mọi x 2k 1 , k nguyên, là hàm tăng trên từng khoảng,
2
tuần hoàn với chu kỳ .
Hàm y cot gx xác định tại mọi x k, k nguyên, là hàm giảm trên từng khoảng, tuần
hoàn với chu kỳ .
y tgx y cot gx
Hình 9 Hình 10
Các hàm lượng giác ngược.
y arcsin x. Hàm y sin x với x là một song ánh từ đoạn , lên đoạn
2 2 2 2
1, 1 nên nó có hàm ngược mà ta ký hiệu là x arcsin y (x bằng số đo của cung mà sin của
nó bằng y). Vậy
y sin x,
x arcsin y.
2
x 2
Với qui ước dùng chữ x để chỉ là biến độc lập, chữ y đ ể chỉ hàm, thì hàm ngược của hàm
y sin x với x là y arcsin x.
2 2
Đồ thị của hàm đó sẽ đối xứng với đồ thị của hàm y sin x, x qua đường phân
2 2
giác thứ nhất.
5
Hàm y arcsin x xác định và tăng trên 1 x 1.
y arccos x. Cũng như trên, hàm y cos x với 0 x có hàm ngược là x arccos y ( x
bằng số đo của cung mà cosin của nó bằng y). Vậy
y cos x,
x arccos y.
0x
Đồ thị của hàm y arccos x đối xứng với đồ thị của hàm y cos x, 0 x qua đường
phân giác thứ nhất.
Hàm y arcsin x xác định và giảm trên 1 x 1.
Ta có đẳng thức sau
arcsin x arccos x .
2
y arcsin x y arccos x
Hình 11 Hình 12
y arctgx. Hàm y tgx với 2
x 2
có hàm ngược là x arctgy ( x bằng số đo của
cung mà tg của nó là y). Vậy
y tgx,
x arctgy.
2
x 2
Đồ thị của hàm y arctgx đối xứng với đồ thị của hàm y tgx, x qua đường
2 2
phân giác thứ nhất.
y arccot gx. Hàm y cot gx với 0 x có hàm ngược là x arccot gy ( x bằng số đo
của cung mà tg của nó là y). Vậy
y cot gx,
x arccot gy.
0x
Đồ thị của hàm y arccot gx đối xứng với đồ thị của hàm y cot gx, 0 x qua đường
phân giác thứ nhất.
Ta có đẳng thức sau
arctgx arccot gx .
2
6
y arctgx y arccot gx
Hình 13 Hình 14
§2. Giới hạn của dãy số thực
2.1. Định nghĩa dãy số, giới hạn của dãy số
Định nghĩa: Cho hàm số x : . Các giá trị của x tại n 1, 2, . . . lập thành một dãy số
(gọi tắt là dãy)
x1, x2, x3, . . .
Nếu đặt x n xn, ta có thể viết dãy số đó như sau
x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . hay x n .
Các số x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . được gọi là các số hạng của dãy, x n được gọi là các số hạng tổng quát
của dãy, còn n được gọi là chỉ số của nó.
Ví dụ: Cho x n 1 , x n a, x n 1 n , thì các dãy tương ứng sẽ là
n
1, 1 , 1 , . . . , 1 , . . .
2 3 n
a, a, a, . . . , a, . . .
1, 1, 1, . . . , 1 n , . . .
Định nghĩa: Cho dãy số x n . Ta nói x n hội tụ nếu, tồn tại một số thực a sao cho, với mọi
0 cho trước, tồn tại số tự nhiên N sao cho
n N |x n a| .
Ta có thể nghiệm lại rằng, nếu dãy x n hội tụ thì số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất
( xem tính chất 1), ta gọi a là giới hạn của dãy x n và ký hiệu nó là
a lim x n hay x n a khi n .
n
Dùng các ký hiệu logic ta có thể diễn đạt định nghĩa trên như sau:
lim x n a 0, N : n , n N |x n a| .
n
Chú ý rằng, số N tồn tại trên đây nói chung phụ thuộc vào , do đó ta có thể viết N N.
Hơn cũng không cần thiết N phải là số tự nhiên.
Định nghĩa: Dãy không hội tụ được gọi là phân kỳ.
1
Ví dụ: Cho x n , với x n n . Ta có lim x n 0.
n
7
Thật vậy
|x n 0| | 1 0|
n
1
n
|x n 0| 1 n 1 .
n
Rõ ràng, nếu chọn N 1/ 1, ta có
n N |x n 0| .
2.2. Các tính chất và các phép tính về giới hạn của dãy số
Tính chất 1. Giả sử dãy x n hội tụ. Khi đó số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử có hai số thực a, a như trong định nghĩa ở trên. Ta chứng minh rằng
a a. Thật vậy, giả sử ngược lại: a a. Chọn 1 |a a| 0, ta có:
3
N 1 : n , n N 1 |x n a| , (bởi vì x n a
và
N 2 : n , n N 2 |x n a| , (bởi vì x n a.
Chọn số tự nhiên n maxN 1 , N 2 , ta có:
3 |a a| |a x n | |x n a| 2.
Điều nầy mâu thuẫn. Vậy tính chất 1 được chứng minh.
Tính chất 2. Giả sử dãy x n hội tụ về a. Nếu a p (tương ứng với a p), thì
N : n , n N x n p (tương ứng với x n p
Chứng minh: Chọn 0 a p thì a p. Với số đó thì
N : n N a x n a x n p.
Tính chất 3. Giả sử dãy x n hội tụ về a và ta có x n p x n q với mọi n, thì a p
a q.
N : n , n N x n p (tương ứng với x n p
Chứng minh: Giả sử ngược lại a p a q. Khi đó theo tính chất 2 thì
N : n N x n p x n q. Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết. Vậy tính chất 3 được
chứng minh.
Tính chất 4. Giả sử dãy x n hội tụ. Khi đó nó bị chận, nghĩa là:
M 0 : |x n | M n .
Chứng minh: Chọn 1, N : n N |x n a| 1, từ đó
|x n | |x n a| |a| 1 |a| max1 |a|, |x 1 |, |x 2 |, . . . , |x N | M với mọi n.
Định lý 1. Cho hai dãy hội tụ x n và y n . Nếu x n y n n , thì lim x n lim y n .
n n
Chứng minh: Đặt a lim x n , b lim y n . Giả sử ta có a b. Lấy một số r sao cho
n n
a r b. Khi đó theo tính chất 2
N / : n , n N / x n r.
Mặt khác,
N // : n , n N // y n r.
8
Đặt N maxN / , N // . Khi đó n N x n r y n . Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết. Do
đó a b.
Định lý 2. Cho ba dãy x n , y n và z n thỏa
i x n y n z n n ,
ii lim x n lim z n a.
n n
Khi đó dãy y n cũng hội tụ và lim y n a.
n
Chứng minh: Theo định nghĩa giới hạn
0, N / : n N / a x n a ,
N // : n N // a z n a .
Đặt N maxN / , N // . Ta có n N a x n y n z n a , hay |y n a| . Vậy
lim y n a.
n
Định lý 3. Nếu các dãy x n và y n hội tụ thì dãy x n y n cũng hội tụ
và lim x n y n lim x n lim y n .
n n n
Chứng minh: Giả sử lim x n a, lim y n b. Theo đ ịnh nghĩa giới hạn, 0,
n n
/ /
N : n N |x n a| /2,
N // : n N // |y n b| /2.
Đặt N maxN / , N // . Ta có
n N |x n y n a b| |x n a| |y n b| /2 /2 .
Vậy lim x n y n a b lim x n lim y n .
n n n
Định lý 4. Nếu các dãy x n và y n hội tụ thì dãy x n y n cũng hội tụ
và lim x n y n lim x n lim y n .
n n n
Chứng minh: Giả sử lim x n a, lim y n b. Khi đ ó 0,
n n
N 1 : n N 1 |x n a| ,
N 2 : n N 2 |y n b| .
Đặt N maxN 1 , N 2 , x n a n , y n b n . Ta có
|x n y n ab| |a n b n ab|
| n b n a n n | | n ||b| | n ||a| | n || n |
|x n a||b| |y n b||a| |x n a||y n b|
|b| |a| M |b| |a| M.
Vì y n b 0 nên nó bị chận bởi hằng số dương M Vậy đánh giá trên cho ta
lim x n y n ab lim x n lim y n .
n n n
Hệ quả. Nếu dãy x n hội tụ, và k là một số tùy ý, thì dãy kx n cũng hội tụ
9
và lim kx n k lim y n .
n n
Định lý 5. Nếu các dãy x n và y n hội tụ, và y n 0 n, lim y n 0 thì dãy x n cũng
yn
n
limx n
xn
hội tụ và lim yn n
limy n
.
n n
Chứng minh: Giả sử lim x n a, lim y n b 0. Đ ặt x n a n , y n b n , ta có
n n
xn a b n a n |b|| n ||a|| n |
yn b
bb n
|b||b n |
.
1
Lấy 0 2 |b| thì
N 1 : n N 1 | n | ,
N 2 : n N 2 | n | .
Đặt N maxN 1 , N 2 . Ta có
|b n | |b| | n | |b| |b| 1 |b|
2
1
2 |b|.
xn a 2|b||a|
Khi đó n N 1 yn b b2
.
limx n
xn a
Vậy lim yn b
n
limy n
.
n n
§3. Giới hạn của hàm số
3.1. Các định nghĩa giới hạn
Định nghĩa 1. Xét hàm y fx xác đ ịnh ở lân cận giá trị hữu hạn x 0 , không nhất thiết xác
định tại x 0 . Trong lân cận đó ta có thể lấy được dãy x n , sao cho x n x 0 và lim x n x 0 .
n
Ta nói rằng số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến dần về x 0 , nếu đối với dãy x n bất
kỳ như trên, dãy tương ứng các giá trị của hàm fx n luôn luôn hội tụ và có giới hạn là L.
Khi đ ó ta ký hiệu lim fx L hay fx L khi x x 0 .
xx 0
1
Ví dụ. Xét hàm y x sin x trong khoảng 1, 1\0. Ta có nếu x n , x n 0 là dãy hội tụ
đến 0, thì
0 |fx n | |x n ||sin x1n | |x n |.
1
Vì lim x n 0, nên lim fx n 0. Vậy lim fx lim x sin x 0.
n n x0 x0
1
Ví dụ. Xét hàm y sin x trên khoảng 1, 1. Hàm đó không có giới hạn khi x tiến dần về 0.
1
Thật vậy đặt x n n ta được dãy x n hội tụ đến 0, dãy tương ứng
fx n sin n 0 hội tụ đến 0.
Nếu đặt x /n 4n1 ta được dãy x /n hội tụ đến 0, dãy tương ứng
2
fx /n sin 2n 1 hội tụ đến 1.
2
Vậy hàm y sin 1 không có giới hạn khi x dần về 0.
x
Định nghĩa 2. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến về x 0 , nếu
0, 0 : 0 |x x 0 | |fx L| .
Nói chung số phụ thuộc vào . Nói một cách khác, lim fx L nếu các giá trị của hàm fx
xx 0
10
gần L một cách tùy ý khi các giá trị của biến x đủ gần x 0 nhưng khác với x 0 .
Ta công nhận định lý sau.
Định lý. Hai định nghĩa giới hạn ở trên là tương đương.
Ví dụ. Chứng minh lim 2x 1 5. Thật vậy, ta có với mọi 0,
x2
|2x 1 5| 2|x 2| khi |x 2| /2, nghĩa là nếu lấy /2 thì |2x 1 5|
khi |x 2| . Đpcm.
2 4
Ví dụ. Xét giới hạn của hàm xx2 khi x 2. Hàm nầy không xác định khi x 2, nhưng khi
x 2 ta có
x 2 4 x2x2
x2
x2
x 2.
2 4 2 4
Do đó khi x 2 ta có xx2 4 x 2 4 x 2, nên xx2 4 , khi x 2 và
x 2 4
|x 2| . Vậy lim x2
4.
xx 0
Định nghĩa. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến ra vô cực, nếu
0, N 0 : |x| N |fx L| .
Nói chung số N phụ thuộc vào . Ta ký hiệu lim fx L.
x n
1
Ví dụ. Chứng minh lim x . Thật vậy,
xx 0
| 1 0| |x| khi |x| 1 , nên 0, N 1 : |x| N | 1 0| .
x
1
x
3.2. Các tính chất của hàm số có giới hạn
Rõ ràng ta có một số tính chất đ ơn giản sau đây:
i) Nếu fx C là hằng số thì lim fx C, lim fx C.
xx 0 x
ii) Một hàm fx nếu có giới hạn ( khi x x 0 hay x thì chỉ có duy nhất một giới hạn.
iii) Một hàm fx nếu có giới hạn dương (âm) khi x x 0 thì luôn luôn dương (âm) tại mọi x
x 0 , và đủ gần x 0 .
iv) Nếu hàm fx 0 ở lân cận x 0 và có giới hạn khi x x 0 thì giới hạn ấy phải 0. Nếu hàm
fx 0 ở lân cận x 0 và có giới hạn khi x x 0 thì giới hạn ấy vẫn 0.
3.3. Các phép toán giới hạn của hàm số
Dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm ta dễ dàng chứng minh được:
Định lý. Giả sử lim fx L, lim gx M. Khi đó
xx 0 xx 0
i) Tổng fx gx cũng có giới hạn, và lim fx gx L M.
xx 0
ii) Tích fxgx cũng có giới hạn, và lim fxgx LM.
xx 0
fx fx L
iii) Nếu M 0 thì thương gx
cũng có giới hạn, và lim gx
M
.
xx 0
Chú thích: Định lý trên cũng đúng với quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
Định lý. Xét hàm hợp f u : x fux.
Giả sử lim fx L, lim gx M. Nếu
xx 0 xx 0
a) lim ux u 0 ,
xx 0
11
b) fu xác định trong một khoảng chứa u 0 và lim fu fu 0 .
uu 0
Khi đó, ta có lim fux fu 0 flim ux.
xx 0 xx 0
Chứng minh: Theo b)
0, 0 : 0 |u u 0 | |fu fu 0 | .
Với ấy, theo a), ta lại có
0 : 0 |x x 0 | |ux u 0 | .
Do đó
0, 0 : 0 |x x 0 | |fu fu 0 | .
Vậy lim fux fu 0 .
xx 0
Ta công nhận kết quả sau:
Định lý. Nếu hàm sơ cấp fx xác định trong một khoảng chứa x 0 thì lim fx fx 0 .
xx 0
3.4. Các giới hạn cơ bản
Ta có các giới hạn cơ bản sau:
i) lim sin x 1,
x
x0
1
ii) lim 1 n n e,
n
Với e là một số vô tỉ, e 2, 71828. . . Người ta chứng minh được rằng lim 1 x 1/x e.
x0
Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, hay lôgarit tự nhiên hay lôgarit Néper.
e x 1
iii) lim x 1,
x0
ln1x
iv) lim x 1.
x0
§4. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL)
4.1. Vô cùng bé
4.1.1. Định nghĩa. Hàm x được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x 0 nếu lim x 0.
xx 0
Chú thích: Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
Trở lại định nghĩa về giới hạn của hàm, ta có thể phát biểu đ ịnh nghĩa VCB khi x x 0 như
sau
Hàm x được gọi là VCB khi x x 0 nếu
0, 0 : 0 |x x 0 | |x| .
Từ định nghĩa giới hạn ta có ngay:
Định lý. lim fx L x fx L là VCB khi x x 0
xx 0
Chú thích: Định lý nầy vẫn đ úng cho quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
Ta cũng thấy ngay tính chất sau đây của VCB:
Tính chất 1. Nếu x là VCB khi x x 0 và C là một hằng số thì cũng là Cx cũng là
VCB khi x x 0 .
Tính chất 2. Nếu 1 x, . . . , n x là một số hữu hạn các VCB khi x x 0 thì tổng
1 x . . . n x và tích của chúng 1 x. . . n x cũng là các VCB khi x x 0 .
12
Tính chất 3. Nếu x là một VCB khi x x 0 và fx là hàm bị chận trong một lân cận:
0 |x x 0 | , thì thì tích xfx cũng là các VCB khi x x 0 .
Thậy vậy, theo giả thiết
M 0 : 0 |x x 0 | |fx| M.
Mặt khác
0, 1 0 : 0 |x x 0 | 1 |x| M
.
Đặt / min, 1 . Khi đó, nếu 0 |x x 0 | / , ta có
|xfx| |x||fx| M . M . Đpcm.
Chú thích: Các tính chất 1-3 vẫn đ úng cho quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
4.1.2. So sánh các vô cùng bé
Xét hai VCB x, x trong cùng một quá trình x x 0 hay x (ta cũng viết chung là
x x 0 với x 0 hoặc x 0 .
x
i) Nếu lim x k , k 0 : thì ta nói x, x là hai VCB ngang cấp.
xx 0
x
ii) Nếu lim x
1 : thì ta nói x, x là hai VCB tương đương. Ta ký hiệu x~ x.
xx 0
x
iii) Nếu lim x
0 : thì ta nói x là VCB cấp cao hơn x, hay x là VCB cấp thấp
xx 0
hơn x. Ta ký hiệu x o x.
x
iv) Nếu không tồn tại lim x thì ta nói x, x là hai VCB không so sánh được với nhau.
xx 0
v) Nếu x là VCB ngang cấp với k x, k 0 : thì ta nói x là VCB cấp k so với VCB
x.
Ví dụ:
i) 1 cos x và x 2 là hai VCB ngang cấp khi x 0, và do đó 1 cos x cũng là VCB cấp hai
x
2 sin 2 2
so với x 2 , vì lim 1cos x lim
x2 x2
1.
2
xx 0 xx 0
ii) sin x~x, ln1 x~x, e x 1~x, khi x 0
2 sin 2 x
1cos x
iii) 1 cos x là VCB cấp cao hơn x khi x 0, vì lim x
lim
x
2
0.
xx 0 xx 0
4.1.3. Khử dạng vô định
x x
Tính chất 1. Nếu x~ x và x~x khi x x 0 thì lim lim
x xx 0 x
.
xx 0
Thật vậy
x x x x x x x x x
lim x
lim x x
lim . lim
x xx 0
. lim x
1. lim . 1 lim .
xx 0 xx 0 x xx 0 x xx 0 xx 0 x xx 0 x
ln12x 2x 2
Ví dụ: lim lim 3
.
e 3x 1 3x
x0 x0
Tính chất 2. Nếu x ox khi x x 0 thì x x~x khi x x 0 .
Thật vậy
13
xx x
lim x
lim x 1 1.
xx 0 xx 0
Như vậy tổng của hai VCB tương đ ương với VCB có cấp thấp hơn.
Tính chất 3. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.
Giả sử x và x là hai VCB khi x x 0 , trong đó x và x đều là tổng của một số hữu
x
hạn các VCB khi x x 0 . Khi đó, lim x
lim của tỷ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử số và
xx 0 xx 0
mẫu số.
xsin 2 x tg 3 x x 1
Ví dụ: lim lim 2
.
2xx 3 4x 5 2x
x0 x0
4.2. Vô cùng lớn
4.2.1. Định nghĩa. Cho hàm fx xác đ ịnh ở lân cận của x 0 , không nhất thiết xác định tại
x 0 . Ta nói hàm fx là vô cùng lớn (VCL) khi x x 0 nếu lim |fx| .
xx 0
Tương tự, ta cũng có khái niệm VCL cho các quá trình x , x thay vì quá trình
x x0.
4.2.2. Liên hệ giữa VCB và VCL.
Định lý. Giả sử fx 0 trong một lân cận của x 0 . Khi đó
1
fx là (VCB) fx
là (VCL), khi x x 0 ,
1
fx là (VCL) fx
là (VCB), khi x x 0 .
1
Ví dụ: sin x
là (VCL), khi x 0,
1
là (VCB), khi x .
x
4.2.3. So sánh các vô cùng lớn
Giả sử Ax, Bx là hai VCL khi x x 0 (ta cũng viết chung là x x 0 với x 0 hoặc
x 0 .
Ax
i) Nếu lim Bx k , k 0 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL ngang cấp.
xx 0
Ax
ii) Nếu lim Bx
1 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL tương đương. Ta ký hiệu Ax~ Bx.
xx 0
Ax
iii) Nếu lim Bx
0 : thì ta nói Ax là VCL cấp thấp hơn Bx, hay Bx là VCL cấp cao
xx 0
hơn Ax.
Ax
iv) Nếu Bx là hai VCL khi x x 0 thì ta nói Ax là VCL cấp cao hơn Bx, hay Bx là
VCL cấp thấp hơn Ax.
Ax Ax
v) Nếu không tồn tại lim Bx và Bx cũng không là VCL khi x x 0 thì ta nói Ax, Bx
xx 0
là hai VCL không so sánh được với nhau.
Từ ii) ta có các tính chất sau:
j) Giả sử Ax, Ax, Bx và Bx là các VCL khi x x 0 . Nếu Ax~Ax và Bx~Bx thì
Ax Ax
lim Bx
lim .
xx 0 xx 0 Bx
jj) Nếu Ax là VCL cấp cao hơn VCL Bx khi x x 0 , thì Ax Bx~Ax khi x x 0 .
14
Thật vậy
AxBx Bx
lim Ax
lim 1 Ax
1.
xx 0 xx 0
Ví dụ: Khi x , thì x 3 1 là VCL cấp cao hơn VCL x 2 , vì
x 3 1 1
lim x2
lim x lim x2
.
x x x
Ví dụ: Khi x , thì 3x 4 x~3x 4 .
4.2.4. Khử dạng vô định , , 0 .
* Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp.
Giả sử Ax và Bx là hai VCL khi x x 0 , trong đó Ax và Bx đều là tổng của một số hữu
Ax
hạn các VCL khi x x 0 . Khi đó, lim Bx
lim của tỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và
xx 0 xx 0
mẫu số.
3x 2 2x2 3x 2 3
Ví dụ: (Dạng . lim lim 4
.
x 4x 2 4x5 x 4x 2
Ví dụ: (Dạng .
Xét lim x 4 3x 2 x 4 1 . Khi x , thì x 4 3x 2 và x 4 1 , nên ta
x
gặp dạng vô định . Muốn khử nó ta nhân và chia nó với biểu thức liên hợp
x 4 3x 2 x 4 1 .
x 4 3x 2 x 4 1 x 4 3x 2 x 4 1
lim x 4 3x 2 x 4 1 lim
x x x 4 3x 2 x 4 1
3x 2 1
lim
x x 4 3x 2 x 4 1
3 1
x2
lim 3 1
( chia tử và mẫu cho x 2 )
x 1 1
x2 x2
3
2
.
Ví dụ: (Dạng 0 . Xét lim x x 2 1 x.
x
Ta có
x 2 1 x x 2 1 x 1
lim x 2 1 x lim lim 0.
x x x 2 1 x x x 2 1 x
Vậy giới hạn đã cho có dạng vô định 0. Muốn khử nó, ta biến đổi như trên thì được
x
lim x x 2 1 x lim
x x x 2 1 x
1
lim 1
( chia tử và mẫu cho x)
x 1 1
x2
1
2
.
§5. Hàm số liên tục
15
5.1. Các định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm
* Cho D , điểm x 0 D được gọi là điểm tụ của D nếu tồn tại một dãy x n D\x 0
sao cho x n x 0 . Điểm x 0 D không phải là điểm tụ của D được gọi là điểm cô lập của D.
* Cho D , f : D và x 0 D.
Nếu x 0 được gọi là điểm cô lập của D. Ta nói f liên tục tại x 0 .
Nếu x 0 được gọi là điểm tụ của D. Ta nói f liên tục tại x 0 . D nếu lim fx fx 0 .
xx 0
Trong trường hợp, x 0 D là điểm tụ của D. Ta cũng có
f liên tục tại x 0 0, 0 : x D, |x x 0 | |fx fx 0 | .
Vẫn là x 0 D là điểm tụ của D. Ta cũng có các định nghĩa khác liên quan đến liên tục một
phía như sau:
*Ta nói f liên tục bên phải tại x 0 . D nếu lim fx fx 0 , tức là,
xx 0
0, 0 : x D, x 0 x x 0 |fx fx 0 | .
*Ta nói f liên tục bên trái tại x 0 . D nếu lim fx fx 0 , tức là,
xx 0
0, 0 : x D, x 0 x x 0 |fx fx 0 | .
Hiển nhiên, điều kiện cần và đ ủ để hàm f liên tục tại x 0 là f liên tục bên phải và bên trái tại
x0.
5.2. Định nghĩa trong khoảng, trên đoạn
* Hàm f : a, b được gọi là liên tục trong khoảng a, b nếu f liên tục tại mọi điểm
x 0 . a, b.
* Hàm f : a, b được gọi là liên tục trên đoạn a, b nếu f liên tục trong khoảng a, b
và liên tục bên phải tại a, liên tục bên trái tại b.
5.3. Các phép toán trên các hàm số liên tục tại một điểm
Áp dụng các phép toán đơn giản về các hàm số có giới hạn ta có một số kết quả sau đây:
Định lý. Nếu hàm f là liên tục tại điểm x 0 thì hàm |f| cũng liên tục tại x 0 .
Định lý. Nếu các hàm f và g liên tục tại điểm x 0 thì các hàm f g, fg, Cf C là hằng số) |f|
cũng liên tục tại x 0 .
f
Ngoài ra, nếu các hàm gx 0 0 thì hàm g liên tục tại x 0 .
Định lý. Giả sử I, J và f : I J, g : J . Nếu hàm f liên tục tại điểm x 0 và g liên tục
tại điểm y 0 fx 0 J, thì hàm hợp g f : I cũng liên tục tại x 0 .
5.4. Điểm gián đoạn. Phân loại
Định nghĩa. Hàm f được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu f không liên tục tại điểm x 0 . Lúc đó x 0
điểm gián đoạn của f. Nếu f gián đoạn tại x 0 thì đồ thị của hàm y fx không liền tại điểm
M 0 x 0 , fx 0 , mà bị ngắt quảng tại M 0 .
Căn cứ vào định nghĩa ta thấy rằng hàm f gián đoạn tại x 0 nếu gặp một trong các trường hợp
sau:
i) Nếu các giới hạn bên phải fx 0 0 lim fx, giới hạn bên trái fx 0 0 lim fx tồn tại
xx 0 xx 0
và ba số thực fx 0 , fx 0 0, fx 0 0 không đồng thời bằng nhau, thì ta nói x 0 là điểm gián
16
đoạn loại một.
j) Nếu fx 0 0 fx 0 0 fx 0 , thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn bỏ được.
jj) Nếu fx 0 0 fx 0 0, thì ta nói x 0 là điểm nhảy. Hiệu số fx 0 0 fx 0 0 được
gọi là bước nhảy.
ii) Điểm gián đoạn không thuộc loại một được gọi là điểm gián đoạn loại hai.
Ví dụ: Xét hàm
x 1, nếu x 0,
fx
x 1, nếu x 0.
Ta có: f0 lim fx 1, f0 lim fx 1.
x0 x0
Vậy x 0 là một điểm nhảy, với bước nhảy là f0 f0 2.
Ví dụ: Xét hàm
sin x
x , nếu x 0,
fx
2, nếu x 0.
Vì lim fx lim fx 1 f0 2, nên gián đoạn loại một tại x 0. Hơn nữa, x 0 là
x0 x0
một điểm gián đoạn bỏ được.
Nếu xét hàm
sin x
x , nếu x 0,
f x
1, nếu x 0.
thì f sẽ liên tục tại x 0, điều nầy giải thích từ ”bỏ được”.
Ví dụ: Hàm fx 1 có điểm gián đoạn loại hai tại x 0, vì lim
x
1
x , lim 1
x .
x0 x0
5.5. Tính liên tục của các hàm sơ cấp
Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác đ ịnh của chúng.
1/ Đa thức P n x a 0 x n a 1 x n1 . . . a n1 x a n .
Vì hàm số y C hằng và hàm số y x liên tục trên nên hàm số
x ax k axx. . . x
k thừa số
trong đó a là một số tực không đ ổi và k là một số tự nhiên, liên tục trên . Do đó hàm P n x là
tổng hữu hạn các hàm thuộc dạng trên cũng liên tục trên .
P
Hàm hữu tỉ Q , trong đó P và Q là các đa thức, liên tục tại mọi điểm x tại đó Qx 0.
2/ Hàm mũ y a x a 0 liên tục trên .
Giả sử x 0 . Với mọi x , ta có a x a x 0 a xx 0 .
Khi x x 0 ta có x x 0 0 và a xx 0 1. Do đó lim a x a x 0 . Vậy hàm y a x liên tục tại
xx 0
điểm x 0 . Ta có:
lim a x và lim a x 0 với a 1,
x x
lim a x 0 và lim a x với 0 a 1.
x x
17
Tập các giá trị của hàm số y a x là khoảng 0, .
3/ Hàm số Lôgarit y log a x a 0, a 1 liên tục trên 0, . (Xem mục 5.5)
x
Giả sử x 0 0. Với mọi x , ta có log a x log a x 0 log a x0 .
x x
Khi x x 0 ta có x0 1 và log a x0 0. Do đó lim log a x log a x 0 . Vậy hàm y log a x liên
xx 0
tục tại điểm x 0 . Ta có:
lim log a x và lim log a x nếu a 1,
x0 x
lim log a x và lim log a x nếu 0 a 1.
x0 x
4/ Hàm số lũy thừa y x liên tục trên 0, . Vì x e ln x nên theo định lý về
tính liên tục của hàm số hợp, hàm số lũy thừa liên tục trên 0, .
5/ Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Thật vậy, Giả sử x 0 . Với mọi x , ta có
xx xx xx
|sin x sin x 0 | 2 cos 2 0 sin 2 0 2 sin 2 0 |x x 0 |.
Từ đó suy ra lim sin x sin x 0 .
xx 0
Vậy hàm số y sin x liên tục tại điểm x 0 , tức là liên tục trên .
Vì cos x sin x với mọi x , nên theo định lý về tính liên tục của hàm số hợp, suy
2
ra hàm số y cos x liên tục trên .
Cũng theo tính chất hàm liên tục ta có hàm số y tgx cosx liên tục tại mọi điểm x mà
sin
x
cos x 0, tức là x k, k tập các số nguyên.
2
Hàm số y cot gx cosx liên tục tại mọi điểm x mà sin x 0, tức là x k, k .
sin
x
6/ Người ta chứng minh được rằng các hàm lượng giác ngược liên tục trên tập xác định của
chúng. (xem mục 5.5). Cụ thể là
Hàm số y arcsin x liên tục và tăng trên từ 1, 1 lên , .
2 2
Hàm số y arccos x liên tục và giảm trên từ 1, 1 lên 0, .
Hàm số y arctgx liên tục và tăng trên từ lên , .
2 2
Hàm số y arccot gx liên tục và giảm trên từ lên 0, .
5.6. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn
Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục
Hình 15 Hình 16
Giả sử hàm y fx liên tục tại x 0 . Xét điểm P 0 x 0 , y 0 , y 0 fx 0 trên đồ thị. Khi
18
x x x 0 0 thì f fx fx 0 0, nên khi x x 0 , thì trên đồ thị, điểm Px, y chạy
đến điểm P 0 không bị ngắt quãng.
Từ đó suy ra rằng nếu hàm y fx liên tục trên đoạn a, b thì đồ thị của nó là một đường
liền nối điểm Aa, fa với điểm Bb, fb.
Dựa vào ý nghĩa hình học của hàm y fx liên tục trên đoạn a, b ta rút ra một số tính chất
của nó mà không chứng minh:
Đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B không thể chạy ra vô tận, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì nó bị chận trên đoạn đó, tức là
M 0 : |fx| M x a, b.
Đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B bao giờ cũng có ít nhất một điểm cao nhất và một
điểm thấp nhất, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì ít nhất một lần nó đạt giá trị lớn nhất và một
lần nó đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn a, b, tức là
c 1 , c 2 a, b : fc 1 fx fc 2 x a, b. (xem hình 17)
Hình 17 Hình 18 Hình 19
Nếu hai điểm A và B ở hai phía của trục ox thì đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B
phải cắt trục ox ít nhất một lần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b và nếu các giá trị fa và fb trái dấu nhau thì
fx triệt tiêu tại ít nhất một lần trong khoảng a, b, tức là, tồn tại ít nhất một giá trị c a, b
sao cho fc 0. (xem hình 19)
Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục Ox trong khoảng giữa điểm thấp nhất và điểm
cao nhất của đường cong nối liền A đến B bao giờ đường thẳng ấy cũng cắt đường cong ấy ít
nhất một lần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b và là một giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của f thì là giá trị của f tại ít nhất một điểm trên đoạn a, b, tức là,
nếu max fx min fx thì tồn tại ít nhất một giá trị c a, b sao cho fc. (xem
axb axb
hình 18)
Cuối cùng ta có:
Định lý. Giả sử f : a, b là một hàm số liên tục và tăng(giảm) trên đoạn a, b. Khi đó f
là một song ánh từ a, b lên fa, fb ( fb, fa ) và hàm số ngược
f 1 : fa, fb a, b f 1 : fb, fa a, b của hàm f là liên tục và tăng(giảm).
19
Một hàm f : a, b được gọi là tăng (giảm) trên đoạn a, b, nếu
x, x / a, b, x x / fx fx / tương ứng fx fx / .
Một hàm f : a, b được gọi là không giảm (không tăng) trên đoạn a, b, nếu
x, x / a, b, x x / fx fx / tương ứng fx fx / .
§6. Đạo hàm
6.1. Các khái niệm đạo hàm
6.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa
fxfx 0
Xét hàm số f : a, b và x 0 a, b. Giới hạn lim xx 0 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm
xx 0
/ dfx
của hàm số f tại x 0 và ta ký hiệu giới hạn đó là f x 0 hay dx0 .
Đặt x x x 0 thì đạo hàm f / x 0 được định nghĩa là giới hạn (nếu có)
fxfx 0 fx 0 xfx 0
f / x 0 lim xx 0 lim x
xx 0 x0
2 /
Ví dụ: Cho fx x . Tính f 2.
Ta có
2x 2 2 2 4xx 2
f / 2 lim x
lim x
x0 x0
lim 4 x 4.
x0
Vậy f / 2 x 2 / | x2 4.
6.1.2. Ý nghĩa của đạo hàm
Tiếp tuyến của đường cong
Hình 20
Xét đường cong L có phương trình y fx và một điểm cố định M trên L có toạ độ
Mx 0 , y 0 , y 0 fx 0 . Xét cát tuyến MN. Nếu khi điểm N chạy trên đường cong L tới điểm
M mà cát tuyến MN dần đến một vị trí giới hạn MT thì đ ường thẳng MT được gọi là tiếp tuyến
của đường L tại M. Vấn đề đặt ra là khi nào đường L có tiếp tuyến tại M và nếu có thì hệ số
góc của tiếp tuyến ấy được tính như thế nào? Gọi hoành độ của N là x 0 x. Hệ số góc của cát
tuyến MN là
PN yy 0 fx 0 xfx 0
tg MP
x
x .
Bây giờ cho điểm N chạy trên tới điểm M trên đường L, lúc đó x 0 nếu tỉ số ở vế
f
phải x có giới hạn thì tg ở vế trái cũng có giới hạn ấy, do đó góc tiến tới một góc xác định
20
mà ta gọi là , nghĩa là cát tuyến MN dần đến một vị trí giới hạn MT nghiêng với trục ox một
góc . Vậy hệ số góc tg của tiếp tuyến MT nếu có chính là
fx 0 xfx 0
tg lim x
f / x 0 .
x0
Suy ra ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Nếu hàm f có đạo hàm tại x 0 thì đồ thị của hàm y fx có tiếp tuyến tại Mx 0 , y 0 , trong đó
y 0 fx 0 và hệ số góc của tiếp tuyến là
k tg f / x 0 .
Do đó phương trình của tiếp tuyến tại M 0 là
y fx 0 f / x 0 x x 0
và phương trình của pháp tuyến tại M 0 là
1
y fx 0 f / x x x 0 .
0
Vận tốc chuyển động thẳng
Hình 21
Xét một vật chuyển động trên một đường thẳng tại thời điểm t 0 nó ở M 0 với hoành độ st 0 , tại
thời điểm t nó ở M với hoành độ st. Vậy trong khoảng thời gian t t 0 t nó đi được quãng
stst
đường s st st 0 . Tỉ số s tt 0 0 là vận tốc trung bình của vật chuyển động trong
t
khoảng thời gian trên. Khi t 0 (hay t t 0 nếu tỉ số s có giới hạn thì giới hạn đ ó ta gọi
t
là vận tốc tức thời của vật chuyển động tại thời điểm t 0 . Vậy theo định nghĩa
stst
vt 0 lim s lim tt 0 0 s / t 0 .
t
t0 tt 0
Suy ra ý nghĩa cơ học của đạo hàm: Đạo hàm của hoành độ st đ ối với thời gian t chính là
vận tốc tức thời của vật chuyển đ ộng thẳng tại thời điểm t 0 : vt 0 s / t 0 .
6.1.3. Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lý. Nếu hàm f có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại x 0 .
Thật vậy, ta có
f
lim x f / x 0 .
t0
Do đó
f
x f / x 0 , với 0 khi x 0.
Suy ra
f f / x 0 x x.
Vậy f 0 khi x 0, nghĩa là f liên tục tại x 0 .
Chú thích. Điều ngược lại nói chung không đúng, nghĩa là một hàm liên tục chưa chắc đã có
đạo hàm tại đó.
liên tục tại x 0 .
Ví dụ: Các hàm y |x| và y 3 x liên tục tại x 0 0 mà không có đạo hàm tại đ ó.
21
6.2. Các qui tắc tính đạo hàm
Định lý. ( Đạo hàm của tổng, tích thương)
Nếu hàm ux và vx đều có đạo hàm đối với x thì tổng u v, tích uv, thương u của chúng
v
cũng có đạo hàm đối với x và
u v / u / v / ,
uv / u / v uv / ,
/ /
u / u vuv với vx 0.
v v 2
fxxfx f
Chứng minh: Vì f / x lim x lim x nên để tính đ ạo hàm ta nhận xét khi cho x
x0 x0
số gia x thì số gia tương ứng của hàm f là
f fx x fx
nên ta có fx x fx f f f.
i/ Bây giờ cho f u v, ta có
f u u v v u v u v.
f u v / /
x x x u v khi x 0.
Từ đó suy ra u v / u / v / .
ii/ Nếu f uv, thì ta có
f u uv v uv uv vu uv.
f v u v / /
x u x v x u x uv vu khi x 0.
Từ đó suy ra uv / uv / vu / .
iii/ Nếu f u , thì ta có
v
f uu u
vv v
vuuv
vvv
.
f v u u v vu / uv /
x x
vvv
x
v2
khi x 0, nếu vx 0.
/ /
Từ đó suy ra u / vu vuv .
v 2
Hệ quả.
CC
1/ Nếu u C hằng thì đạo hàm u / 0, vì u / lim x 0.
x0
2/ Cu / Cu / ,
3/ u v / u / v / ,
4/ u 1 . . . u n / u /1 . . . u /n ,
/ /
5/ C Cv với v 0.
v v2
Định lý. ( Đạo hàm của hàm hợp)
Xét hàm hợp y yux. Nếu hàm y yu có đạo hàm đối với u và u ux có đạo hàm
đối với x thì hàm hợp y yux cũng có đạo hàm đối với x và y /x y /u u /x .
Chứng minh.
Cho x số gia x thì u có số gia u, ứng với số gia ấy y có số gia y. Nếu u 0 thì
y y /u u u, với 0 khi u 0.
Từ đó
y
x y /u u
x u y /u u /x khi x 0.
x
22
Suy ra Đpcm.
Định lý. ( Đạo hàm của hàm ngược)
Giả sử hàm y fx có đạo hàm tại x 0 sao cho f / x 0 0. Nếu hàm x f 1 y là hàm ngược
của hàm y fx liên tục tại y 0 thì f 1 y cũng có đ ạo hàm tại y 0 fx 0 và
1
f 1 / y 0 f / x .
0
Chứng minh. Vì x f 1 f 1 y 0 y f 1 y 0 nên khi y 0, ta có x 0. Như
vậy khi y 0, ta có
x 1
y y .
x
Cho y 0, vì hàm x f 1 y liên tục tại y 0 nên x 0, do đó
y /
x f x 0 0.
x 1 1
Vậy, tồn tại f 1 / y 0 lim y
y f / x 0
.
y0 lim x
xy0
6.3. Bảng các đạo hàm cơ bản
1/ Nếu fx C thì f / x 0.
2/ Nếu fx x thì f / x 1.
f xxx
Thật vậy x x
x 1 1 khi x 0.
x
3/ Nếu fx sin x thì f / x cos x.
x x
Thật vậy f sinx x sin x 2 cosx 2
sin 2
f sinxxsin x x sin x
x x
cosx 2
x
2
cos x khi x 0.
2
/
Tương tự ta có cos x sin x.
4/ Nếu fx e x thì f / x e x .
Thật vậy f e xx e x e x e x 1.
f e xx e x x 1
x x
e x e x e x khi x 0.
5/ Nếu fx ln x x 0 thì f / x 1 . x
Thật vậy f lnx x ln x ln xx ln1 x .
x x
f lnxxln x ln1 x ln1 x
x x
x
x
1x x
x
1 khi x 0.
x
x
6/ Nếu fx x x 0 thì f / x x 1 .
Thật vậy, ta có
ln fx ln x. Suy ra
f / x fx
fx
hay f / x x x 1 .
x
1
7/ Nếu fx tgx thì f / x cos 2 x 1 tg 2 x.
Vì tgx cosx nên
sin
x
sin / x cos xsin xcos / x 2 xsin 2
/
tg x cos 2 x
coscos 2 x x cos 2 x 1 tg 2 x.
1
1
8/ Nếu fx cot gx thì f / x sin 2 x 1 cot g 2 x.
Thật vậy, ta có
cos / x sin xcos xsin / x 2 xcos 2
cot g / x cos / x
sin sin 2x sinsin 2 x x sin 2 x 1 cot g
1
9/ Nếu fx arcsin x thì f / x 1 2 .
1x
Đặt y arcsin x thì x sin y xy, 2
y 2
. Ta có
23
1 1 1 1
y / x x / y
cos y .
1sin 2 y 1x 2
1
10/ Nếu fx arc cos x thì f / x .
1x 2
Đặt y arc cos x thì x cos y xy, 0 y . Ta có
1
y / x x /1 sin y
y
1
2
1 2 .
1cos y 1x
/ 1
11/ Nếu fx arctgx thì f x . 1x 2
Đặt y arctgx thì x tgy xy, y . Ta có
2 2
y / x x /1 tg1/ y 1tg 2 y 1x 2 .
y
1 1
1
Tương tự ta có arc cot g / x 1x 2
.
Bảng các công thức đáng nhớ
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
1
C 0 tgx cos 2 x
1 tg 2 x
1
x x 1 , cot gx sin 2 x
1 cot g 2 x
1
ex ex arcsin x
1x 2
a x ln a, 1
ax arc cos x
a 0, a 1 1x 2
1 1
ln|x| x , x0 arctgx 1x 2
1
x ln a
, x 0, 1
log a |x| arc cot gx 1x 2
a 0, a 1
1
sin x cos x ln x x 2 a
x 2 a
cos x sin x
6.4. Đạo hàm cấp cao
Ta thấy nếu hàm fx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng nào đ ó thì đạo hàm f / x là một
hàm mới của x xác định trên khoảng ấy. Đạo hàm f / x ấy được gọi là đạo hàm cấp một. Đạo
hàm của đạo hàm cấp một f / x, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của fx và được ký hiệu
là f // x :
f // x f / x / .
Bằng qui nạp, giả sử đạo hàm cấp n 1 được xác định và đ ược ký hiệu là f n1 x, ta định
nghĩa đạo hàm cấp n được ký hiệu là f n x, và được xác đ ịnh bởi
/
f n x f n1 x .
Các đạo hàm cấp hai trở lên được gọi là đạo hàm cấp cao.
Ví dụ: y x n (n nguyên dương)
y / nx n1 ,
y // nn 1x n2 , . . . ,
y n n! trong đó n! 1. 2. . . n.
24
Ví dụ: y sin x,
y / cos x sinx ,
2
y // cosx sinx 2 , . . . ,
2 2
y n sinx n .
2
1
Ví dụ: y xa x a 1 ,
y / 1x a 2 ,
y // 12x a 3 , , . . . ,
1 n n!
y n 12. . . nx a n1 xa n1
.
Định lý. (Leibnitz)
Giả sử u và v là hai hàm số có đ ạo hàm cấp n tại x 0 . Khi đó hàm số uv có đạo hàm cấp n tại x 0
và
n
uv n C k u k x 0 v nk x 0 ,
n
k0
n!
ở đây C k k!nk! .
n
§7. Vi phân
7.1. Định nghĩa vi phân
Cho hàm số f : a, b và x 0 a, b. Lấy x khá bé sao cho x 0 x a, b. Nếu số gia
f fx 0 x fx 0 của hàm có dạng f A. x ox, trong đó A đ ộc lập với x ( chỉ
phụ thuộc vào x 0 , ox là VCB cấp cao hơn x, thì ta nói f khả vi tại x 0 và biểu thức A. x
được gọi là vi phân của hàm f tại x 0 và được ký hiệu là df A. x.
Chú thích.
1/ Biểu thức của vi phân A. x là tuyến tính đối với x nên nói chung nó đơn giản hơn f.
2/ Nếu A 0 thì vi phân df là VCB tương đương với số gia f :
f~df.
2
Ví dụ: Tính vi phân của hàm fx x tại điểm x 0 .
Ta có
f x 0 x 2 x 2 2x 0 x x 2 .
0
2
Vì x là VCB VCB cấp cao hơn x, nên dfx 0 2x 0 x.
7.2. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm
Định lý.
i/ Nếu hàm f khả vi tại x 0 thì nó có đạo hàm tại x 0 và f / x 0 A.
ii/ Ngược lại, nếu f có đ ạo hàm tại x 0 thì nó khả vi tại x 0 và df f / x 0 x.
Chứng minh.
i/ Theo giả thiết ta có
f A. x ox, suy ra
f ox ox
x A x . Cho x 0 và chú ý x 0, ta được f / x 0 A.
f
ii/ Theo giả thiết ta có x f / x 0 khi x 0.
Do đó
f
x f / x 0 , 0 khi x 0.
Ta suy ra
f f / x 0 x x f / x 0 x ox.
25
Vì ox là VCB VCB cấp cao hơn x. Vậy f khả vi tại x 0 và dfx 0 f / x 0 x.
Do đó công thức tính vi phân của f tại x là dfx f / xx.
Chú thích. Nếu fx 1 thì f / x 1, do đó df dx 1. x x và ta có
dfx f / xdx.
Từ đó suy ra
df
f / x dx .
7.3. Tính bất biến của biểu thức vi phân
Bây giờ ta xét hàm hợp y fx, x t, trong đó t là biến độc lập. Vậy y ft. Ta
có
dy ft /t dt f / x / tdt.
Nhưng vì dx / tdt nên dy f / xdx.
Vậy dạng vi phân của hàm f không thay đổi dù x là biến độc lập hay là hàm khả vi theo một
biến độc lập khác.
Người ta nói đó là tính bất biến của biểu thức vi phân (cấp một).
7.4. Các qui tắc tính vi phân
Vì df f / xdx, ta có các qui tắc sau đây:
du v du dv,
duv udv vdu,
dCu Cdu, C là hằng số,
d u vduudv , v 0.
v v2
Dựa vào bảng đạo hàm ta có bảng vi phân tương ứng
7.5. Vi phân cấp cao
Xét hàm f khả vi tại mọi x thuộc một khoảng nào đó. Vi phân df f / xdx đ ược gọi là vi phân
cấp một tại x. Nó là một hàm của x, trong đ ó dx không đổi. Vi phân của vi phân cấp một được
gọi là vi phân cấp hai và được ký hiệu là d 2 f. Ta có
d 2 f ddf df / xdx f // xdxdx f // xdx 2 f // xdx 2 .
Vậy
d 2 f f // xdx 2 .
Vi phân của vi phân cấp hai được gọi là vi phân cấp ba và được ký hiệu là d 3 f. Cũng như trên
ta có
d 3 f dd 2 f f /// xdx 3 f /// xdx 3 .
Bằng qui nạp, giả sử vi phân cấp n 1 được xác định và ký hiệu nó là d n1 f, ta định nghĩa vi
phân cấp n được ký hiệu là d n f, và đ ược xác định bởi
d n f dd n1 f f n xdx n f n xdx n .
Các vi phân cấp hai trở lên được gọi là vi phân cấp cao của f. Ta có
dnf
f n x dx n .
7.6. Các định lý về giá trị trung bình
Giả sử hàm số f : D xác định trên D , x 0 D. Ta nói rằng hàm số f đạt cực tiểu
(cực đại) tại điểm
x 0 D, nếu tồn tại một khoảng a, b D sao cho x 0 a, b và
26
fx fx 0 fx fx 0 với mọi x a, b.
x 0 gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm f nói chung gọi là điểm cực trị của hàm f .
Định lý (Fermat)
Nếu hàm số f : a, b đạt cực trị tại điểm x 0 a, b. Nếu f khả vi tại x 0 thì f / x 0 0.
Chứng minh. Giả sử hàm f đ ạt cực tiểu tại điểm x 0 a, b. Khi đó tồn tại một khoảng
, a, b sao cho x 0 , và có
fx fx 0 với mọi x , .
fxfx 0
x 0 x , ta có xx 0 0. Do đó
fxfx 0
f / x 0 lim xx 0 0.
xx 0
fxfx 0
x x 0 , ta có xx 0 0. Do đó
/ fxfx 0
f x 0 lim xx 0 0.
xx 0
Suy ra f / x 0 0.
Định lý (Rolle)
Giả sử hàm số f : a, b thỏa
i) Liên tục trên a, b,
ii) Khả vi trong a, b,
iii) fa fb.
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho f / c 0.
Chứng minh. Vì f liên tục trên đoạn a, b nên hàm f đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
m trên đoạn nầy.
Nếu m M thì fx m M với mọi x a, b. Do đó f / x 0 với mọi x a, b. Có
thể lấy c là một điểm bất kỳ của a, b.
Nếu m M thì fa m hoặc fa M. Giả sử fa fb m. Theo tính chất hàm liên
tục trên một đoạn, tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho fc m ( chú ý c a và
c b. Theo định lý Fermat, ta có f / c 0.
Định lý (Lagrange)
Giả sử hàm số f : a, b thỏa
i) Liên tục trên a, b,
ii) Khả vi trong a, b,
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho fb fa f / cb a.
Chứng minh. Ta áp dụng định lý Rolle. Xét hàm số
fbfa
x fx fa ba x a, x a, b.
Dễ thấy rằng thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle:
liên tục trên a, b,
fbfa
khả vi trong a, b, / x f / x ba ,
a b 0.
fbfa
Do đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho / c f / c ba
0. Suy ra công
thức cần chứng minh.
27
Chú thích. Khi fa fb ta nhận đ ược định lý Rolle từ định lý Lagrange. Đặt a x 0 ,
b x 0 h. Khi đó c x 0 h, trong đó 0 1 và công thức Lagrange được viết dưới
dạng fx 0 h fx 0 hf / x 0 h.
Định lý Lagrange còn được gọi là định lý về các số gia hữu hạn.
Hệ quả.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a, b và khả vi trong a, b. Khi đó
i) Nếu f / x 0 với mọi x a, b thì f là một hàm hằng trên a, b.
ii) Nếu f / x 0 ( f / x 0) với mọi x a, b, thì f là một hàm tăng( giảm) trên a, b.
Chứng minh. i) Giả sử a x x / b. Theo định lý Lagrange, tồn tại ít nhất một điểm
c x, x / sao cho
fx fx / f / cx x / 0 vì f / c 0.
Do đó fx fx / .
ii) Tương tự.
Định lý (Cauchy)
Giả sử hàm số f, g : a, b thỏa
i) f, g liên tục trên a, b,
ii) f, g khả vi trong a, b,
iii) g / x 0 với mọi x a, b.
fbfa f / c
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho gbga g / c .
Chú thích. Trong định lý trên, nếu ta lấy gx x thì ta được định lý Lagrange.
Chứng minh. Trước hết ta để ý rằng hàm số g thỏa mãn các giả thiết của định lý Lagrange.
Do đó tồn tại ít nhất một điểm a, b sao cho gb gb g / b a. Vì g / 0 nên
từ đó ta suy ra gb gb 0. Xét hàm số
fbfa
x fx fa gbga gx ga, x a, b.
Dễ thấy rằng hàm số thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle:
liên tục trên đoạn a, b,
fbfa
khả vi trong khoảng a, b, / x f / x gbga g / x,
a b 0.
fbfa
Do đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho / c f / c gbga g / c 0. Suy ra
Đpcm.
§8. Một số ứng dụng của đ ạo hàn và vi phân
8.1. Qui tắc L’Hopital
Các qui tắc L’Hopital mà ta sẽ xét trong mục nầy là một công cụ tiện dụng giúp ta khử các
dạng vô định 0 và .
0
Định lý.
Giả sử f, g : x 0 , b thỏa khả vi trong x 0 , b và
i) lim fx lim gx 0,
xx 0 xx 0
ii) g / x 0 x x 0 , b,
f / x
iii) lim g / x L L hay L ,
xx 0
fx f / x
Khi đó lim L lim .
xx 0 gx
/
xx 0 g x
Chứng minh. Đặt fx 0 gx 0 0. Với mỗi x x 0 , b, các hàm số f và g liên tục trên
28
x 0 , x và khả vi trong x 0 , x. Ngoài ra từ giả thiết ii/ trong đ ịnh lý suy ra g / t 0 với mọi
t x 0 , x với x đủ gần x 0 . Theo đ ịnh lý Cauchy tồn tại ít nhất một điểm c x 0 , x sao cho
fx fbfx f / c
gx
gbgx0 g / c .
0
Khi x x 0 x x 0 , thì c x 0 . Vậy
fx f / c
lim gx lim g / c L.
xx 0 cx 0
Chú thích.
i/ Trường hợp x x 0 hay x x 0 định lý vẫn đúng.
ii/ Định lý vẫn đúng trong trường hợp x 0 . Thật vậy giả sử f, g : a, thỏa khả vi
trong x 0 , b và lim fx lim gx 0 và thoả ii) với x 0 .
x x
1
Đặt t x . Khi đó x 0 t 0.
Đặt
Ft f 1 fx,
t
Gt g 1 gx,
t
ta có
lim Ft lim Gt 0,
t0 t0
1
F t f / 1
/
t t2
,
/ / 1 1
G t g t t2
.
Do đó
F / t f/ 1 f / x
lim G / t
lim t
g/ 1
lim /
L.
t0 t0 t x g x
Ft fx
Theo định lý ta suy ra lim Gt
L. Do đó lim gx
L.
t0 x
Định lý.
Giả sử các hàm f, g : x 0 , b thỏa khả vi trong x 0 , b và
i) lim fx , lim gx ,
xx 0 xx 0
f / x
ii) lim /
L L hay L ,
xx 0 g x
Khi đó
fx f / x
lim gx
L lim /
.
xx 0 xx 0 g x
Ta công nhận định lý nầy.
Chú thích.
i/ Định lý vẫn đúng cho các trường hợp x x 0 , x x 0 hay x .
ii/ Có thể áp dụng qui tắc L’Hopital nhiều lần.
x3 3x 2 6x
Ví dụ. lim xsin x lim 1cos x lim sin x 6.
x0 x0 x0
ln x
Ví dụ. lim x
, 0. Giới hạn nầy có dạng .
x
ln x 1/x 1 1
lim x
lim x 1
lim x
0.
x x x
Vậy khi x , ln x là một VCL bậc thấp hơn mọi x , 0.
Ví dụ. Với mọi số nguyên n 1 ta có
ex x
lim x n lim nxen1 .
x x
Áp dụng qui tắc L’Hopital n ta được
29
ex ex
lim xn
lim n!
0.
x x
x
Vậy khi x , e là một VCL bậc cao hơn mọi lũy thừa nguyên dương của x.
Áp dụng qui tắc L’Hopital để khử các dạng vô định khác.
ln x
Ví dụ. lim x ln x, 0. Đây là giới hạn nầy có dạng 0 . Ta viết lại A lim 1
x0 x0 x
và bây giờ có dạng . Dùng qui tắc L’Hopital ta có
1/x
A lim
lim x 0.
x0 x0
x 1
x 1
Ví dụ. Tính A lim x1
ln x
. Giới hạn nầy có dạng . Ta biến đổi như sau
x1
x ln xx1 0
A lim x1 ln x
và bây giờ có dạng 0
. Dùng qui tắc L’Hopital, ta được
x1
ln x11 ln x 1/x 1
A lim ln x x1
lim ln x1 1
lim 1 1
2
.
x1 x x1 x x1 x 2
x
Ví dụ. Tính A lim x x . Giới hạn nầy có dạng 0 . Lấy lôgarit hai vế, ta được 0
x0
ln A ln lim x x lim ln x x
x0 x0
ln x
lim x ln x lim 1/x
x0 x0
1/x
lim 1/x 2
lim x 0.
x0 x0
Vậy
lim x x A 1.
x0
Ví dụ. Tính A lim cot gx 1/ ln x . Giới hạn nầy có dạng 0 . Lấy lôgarit hai vế, ta được
x0
ln A ln lim cot gx 1/ ln x lim lncot gx 1/ ln x
x0 x0
lncot gx
lim ln x
.
x0
Đó là giới hạn có dạng . Dùng
qui tắc L’Hopital, ta được
1
cot gx. sin 2 x x
ln A lim 1/x
lim sin x cos x
1.
x0 x0
Vậy
A e 1 1 .e
2
Ví dụ. Tính A lim sin x 1/x . Giới hạn nầy có dạng 1 . Lấy lôgarit hai vế, ta đ ược
x
x0
2
ln A ln lim sin x 1/x
x
x0
2 ln sin x
lim ln sin x 1/x
x lim x2
x
.
x0 x0
0
Đó là giới hạn có dạng 0
. Dùng qui tắc L’Hopital, ta được
cos x 1
lnsin xln x x
ln A lim x2
lim sin x
2x
x0 x0
1
2
lim x cos xsin x
x 2 sin x
x0
1 cos xx sin xcos x
2
lim 2x sin xx 2 cos x
x0
30
1 sin x
2
lim 2 sin xx cos x
x0
1 cos x
2
lim 2 cos xcos xx sin x
x0
1 1 1
2 3
6
Vậy
1
A e 1/6 6e
.
8.2. Tính gần đúng
Cho hàm số f khả vi tại x 0 . với x bé, ta có
fx 0 x fx 0 f / x 0 x ox
Nếu bỏ phần VCB cấp cao ox ta có công thức gần đúng
fx 0 x fx 0 f / x 0 x với x bé.
Ví dụ. Tính gần đúng 10 1000 .
Ta có
10 1000 10 1024 24 10 2 10 24
24 3
10 2 10 1 2 10 2 10 1 27
.
3
Chọn hàm fx 2 10 x , x 0 1, x 27
.
Ta có f / x 1 101 9 , f / 1 1 .
5 5
x
1 3
Vậy 10 1000 2. 1 5
. 27
1, 9955.
31
BÀI TẬP CHƯƠNG I
1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
1/ y x 1
2/ y 3 x 1
1
3/ y 4x 2
4/ y x2 2
5/ y x x2
1
6/ y x
2x
7/ y x x 3
8/ y lg 2x
2x
2
9/ y lg x 3x2
x1
2x
10/ y arccos x1
x
11/ y arcsin lg 10
2. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm y sin 2x.
3. Cho hàm f : a, a .
Hàm f được gọi là hàm chẵn nếu fx fx với mọi x a, a.
Hàm f được gọi là hàm lẻ nếu fx fx với mọi x a, a.
Trong các hàm sau đây, hàm nào chẵn, hàm nào lẻ.
1/ fx 1 a x a x
2
2/ fx 1 a x a x
2
3/ fx 1 x x 2 1 x x 2
4/ fx lg 1x
1x
5/ fx lgx 1 x 2
4. Cho hàm f : D .
Nếu tồn tại số a 0 sao cho
fx a fx với mọi x D,
thì f được gọi là hàm tuần hoàn. Số dương T bé nhất thoả đẳng thức trên được gọi là chu kỳ của
f.
Trong các hàm sau đây, hàm nào là hàm tuần hoàn? Hãy tìm chu kỳ T của mỗi hàm tuần hoàn
đó.
1/ fx 10 sin 3x
2/ fx a sin x b cos x
3/ fx tgx
4/ fx sin 2 x
5/ fx sin x .
5. Tìm hàm ngược của các hàm sau đây.
1/ y 2x 3
2/ y x 2 1 với x 0
3/ y 3 1 x 3
32
x
4/ y lg 2 .
n!
6. Đặt C k k!nk! với n , 0 k n. Chứng minh
n
1/ C 0 C n 1, n ,
n n
2/ C k C nk , n , 0 k n
n n
3/ C k C k1 C k , n , 1 k n.
n n n1
Suy ra rằng C k , n , 0 k n.
n
7. Chứng minh rằng với mọi n , ta luôn có
1 n 1 n 1. (Bất đẳng thức Bernuoully).
8. Chứng minh rằng
1/ Với p 0 ta có lim n1p 0
n
2/ Với p 0 ta có lim n p 1
n
3/ Với p 0 ta có lim n n 1
n
n
4/ Với p 0 và ta có lim 1p n
0
n
5/ Với |x| 1 ta có lim x n 0.
n
9. Tìm các giới hạn sau đây
3 2
1/ lim 4x3x2x x
2 2x
x0
x 2 5x6
2/ lim x 2 12x20
x2
2x1 3
3/ lim
x4 x2 2
3 x 1
4/ lim x 1
.
x1
10. Tìm các giới hạn sau đây
2 x1
1/ lim x 2x5
x
3x 2 2x1
2/ lim x 3 4
x
x 2 3
3/ lim 3 x 3 1
x
x 2 1
4/ lim x1
x
x 2 1
5/ lim x1
.
x
11. Tìm các giới hạn sau đây
1 3
1/ lim 1x 1x 3
x1
2/ lim x2 1 x2 1 .
x
12. Áp dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau
1/ fx cot gx x
2/ fx 3 x 2
2
3/ fx e x
33
4/ fx e x1 .
1
13. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1/ y x 3 arctgx
2/ y arcsin x
x
x
3/ y ln tg 2
4/ y ln x x 2 1
5/ y ln 2 sin x 1 2 sin x 1
2x 2
6/ y arctg sin 1x 4
7/ y e x arctge x ln 1 e 2x
8/ y 1 tg 2 x ln cos x .
2
14. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
2
1/ y x x , x 0,
2/ y sin x tgx .
15. Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong y x 3 3x 2 x 5 tại
điểm 3, 2.
3
16. Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong y 4a8ax 2 tại điểm có
2
hoành độ x 2a.
17. Tìm vi phân của các hàm số sau
1/ y a 2 x 2 5
2/ y x 2 1
3
3/ y e x
4/ y xe x
5/ y ln x x 2 a
1
6/ y arccos s |x|
7/ y sin x .
x
18. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1/ y ln x
2/ y 2 x
3/ y sin 2x
4/ y cos 3x
5/ y sin 2 x
6/ y sin 3 x
7/ y sin ax sin bx
8/ y sin 4 x cos 4 x
9/ y x cos ax
10/ y ln abx
abx
11/ y xe x .
19. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1/ Cho y x 2 sin 2x. Tìm y 100
2/ Cho y x 2 e 2x . Tìm y 20
x2
3/ Cho y 1x . Tìm y 8 .
20. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ |sin x sin y| |x y|, x, y
2/ |arctgx arctgy| |x y|, x, y
34
3/ ab ln a ab với 0 b a.
a b b
21. Tìm giới hạn của các hàm số sau
2
1/ lim x 1ln x
e x e
x1
xsin x
2/ lim x3
x0
xe x/2
3/ lim xe x
x
4/ lim x 2 ln x
x0
1 1
5/ lim x e x 1
x0
x x x
6/ lim ln xx1
x1
1
7/ lim x 100 e x2
x0
x
8/ lim 2 x tg 2
x1
9/ lim tgx tg2x
x 4
x
10/ lim tg 2x1 1/x
x
1x 1/x e
11/ lim x
x0
2
12/ lim arcsin x 1/x
x
x0
arctgx 2
13/ lim x 1/x
x0
14/ lim sin x x
x0
15/ lim tgx 2 cos x
x/2
16/ lim 1 x ln x .
x0
22. Tính gần đúng
1/ 3 28
2/ Diện tích hình tròn, bán kính R 3, 02m.
35
CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN
§1. Các khái niệm
1.1. Miền phẳng
Trong mặt phẳng 2 ta chọn một hệ trục tọa độ Descertes vuông góc Oxy. Trục
ngang ox được gọi là trục hoành. Trục thẳng đ ứng OyOx được gọi là trục tung. Mỗi điểm
M 2 là một cặp thứ tự hai số thực M a, b, a, b . Ta gọi tập hợp phẳng là tập hợp
các điểm cùng nằm trong một mặt phẳng. Cho Aa 1 , a 2 và Bb 1 , b 2 thuộc 2 . Khi đó khoảng
cách giữa A và B, ký hiệu là AB cho bởi
AB b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 .
Hình 22 Hình 23
Ta gọi lân cận của điểm M 0 trong mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm M của mặt phẳng
sao cho khoảng cách MM 0 . Nói cách khác, lân cận của điểm M 0 là hình tròn ( dĩa tròn)
mở tâm M 0 bán kính . Ta cũng ký hiệu
B M 0 M 2 : MM 0
để chỉ dĩa tròn mở tâm M 0 bán kính .
Điểm M 0 được gọi là điểm trong của nếu tồn tại một hình tròn mở B M 0 tâm M 0 bán
kính sao cho B M 0 .
Tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Điểm M 0 2 được gọi là điểm biên của nếu mọi lân cận của M 0 đều chứa các điểm của
đồng thời chứa các điểm không thuộc .
nghĩa là, B M 0 và B M 0 2 \ , 0.
Điểm biên của có thể thuộc và cũng có thể không thuộc . Tập hợp tất cả các điểm biên
của được gọi là biên của . Tập hợp được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của
nó.
36
Hình 24 Hình 25
1.2. Định nghĩa hàm hai biến
Xét tích 2 và tập hợp G 2 . Ta gọi ánh xạ f : G là một hàm hai biến
xác định trên G. G được gọi là miền xác đ ịnh của hàm f. Vậy một hàm hai biến f xác định trên
G là một phép tương ứng sao cho mỗi cặp thứ tự các số thực x, y G ta có một số thực xác
định duy nhất mà ta ký hiệu là fx, y. Ta viết f : x, y z fx, y, hay gọn hơn là
z fx, y, trong đó x, y đ ược gọi là các biến độc lập, z được gọi là các biến phụ thuộc.
Để chỉ những hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau
z fx, y, z gx, y, z x, y, . . .
Ta qui ước rằng nếu hàm được xác định bởi một biểu thức nào đó và nếu không nói gì thêm thì
miền xác định là tập hợp tất cả các điểm tương ứng với mó biểu thức đã cho có nghĩa.
1.3. Biểu diễn hình học
Hình 26
Giả sử cho hàm hai biến f : x, y z fx, y, x, y G. Nhưng mỗi cặp x, y đều
được biểu diễn bởi một điểm Mx, y trong mặt phẳng Oxy, nên ta có thể xem hàm hai biến
fx, y là hàm của điểm Mx, y : f : M z fM
có thể biểu diễn hình học một hàm hai biến như sau: Vẽ hệ trục tọa độ Descartes vuông góc
Oxyz. Với mỗi điểm x, y G ứng với một điểm P trong không gian với tọa độ là Px, y, f
x, y. Tập hợp
Px, y, fx, y : x, y G
được gọi là là đồ thị của hàm z f x, y xác định trên G. Đ ồ thị của hàm hai biến nói chung là
một mặt cong trong không gian ba chiều.
Ví dụ: Hàm z x 2 y 2 có đ ồ thị là một mặt paraboloid tròn xoay. Miền xác định là toàn bộ
mặt phẳng.
37
Ví dụ: Hàm z 1 x 2 y 2 có đồ thị là nửa mặt cầu đơn vị, tâm tại gốc tọa độ, nằm về phía
z 0. Miền xác định là tập những điểm x, y sao cho 1 x 2 y 2 0 hay x 2 y 2 1. Đó là
hình tròn đơn vị đóng tâm O.
Ví dụ: Hàm z lnx y chỉ xác định với các giá trị x, y sao cho x y 0 hay y x. Đó là
nửa mặt phẳng nằm phía trên đường phân giác thứ hai.
Hình 27
2
Định nghĩa: Dãy điểm x n , y n được gọi là hội tụ đến x 0 , y 0 , nếu
lim x n , y n x 0 , y 0 lim x n x 0 2 y n y 0 2 0
n n
§2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến
2.1. Định nghĩa
Cho hàm hai biến f : G 2 và x 0 , y 0 2 . Ta nói rằng số thực L là giới hạn của
hàm số fx, y khi x, y tiến về x 0 , y 0 , nếu
0, 0 : x, y G :
0 x, y x 0 , y 0 x x 0 2 y y 0 2
|fx, y L| .
Khi đó ta ký viết lim fx, y L hay lim fx, y L.
x,yx 0 ,y 0
x x0
y y0
Chú ý rằng trong định nghĩa giới hạn của hàm nhiều biến cũng như một biến là điểm
x 0 , y 0 không nhất thiết thuộc miền xác định G của f. Điểm x 0 , y 0 được giả sử là điểm tụ của
G, nghĩa là, tồn tại một dãy x n , y n G và x n , y n x 0 , y 0 với mọi n, sao cho x n , y n hội
tụ về x 0 , y 0 .
Định nghĩa:
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 G.
i) Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm x 0 , y 0 , nếu
0, 0 : x, y G : x, y x 0 , y 0
|fx, y fx 0 , y 0 | .
ii) Ta nói rằng hàm f liên tục trên G, nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc G.
38
Ví dụ: Xét hàm fx, y x, y x 2 y 2 . (chuẩn của x, y )
Với x 0 , y 0 2 cho trước. Từ bất đẳng thức tam giác ta có
|fx, y fx 0 , y 0 | x2 y2 x2 y2
0 0
x x 0 2 y y 0 2 với mọi x, y 2 .
Do đó với mỗi 0, chọn , thì với mọi x, y 2 :
x x 0 2 y y 0 2 |fx, y fx 0 , y 0 | ,
nghĩa là f liên tục tại điểm x 0 , y 0 và do đó, liên tục trên 2 .
Ví dụ: Xét các phép chiếu pr 1 x, y x, pr 2 x, y y.
Từ các bất đẳng thức
|x x 0 | x x 0 2 y y 0 2 ,
|y y 0 | x x 0 2 y y 0 2 ,
ta có ứng với 0, chọn , thì với mọi x, y 2 :
x x 0 2 y y 0 2 |pr 1 x, y pr 1 x 0 , y 0 | ,
và |pr 2 x, y pr 2 x 0 , y 0 | .
Vậy pr 1 và pr 2 là các hàm liên tục trên 2 .
Định lý
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 G là điểm tụ của G. Khi đó,
f liên tục tại x 0 , y 0 Với mọi dãy x n , y n trong G hội tụ về x 0 , y 0 , ta có dãy tương ứng
fx n , y n luôn luôn hội tụ về fx 0 , y 0 .
Chứng minh.
Chiều thuận: Do f liên tục tại x 0 , y 0 , nên với 0, ta chọn đ ược 0 sao cho với mọi
x, y G,
x, y x 0 , y 0 |fx, y fx 0 , y 0 | .
Mặt khác, Với mọi dãy x n , y n trong G hội tụ về x 0 , y 0 , ta có n 0 sao cho với mọi
n n 0 , thì
x n , y n x 0 , y 0 , và do đó |fx n , y n fx 0 , y 0 | .
Tóm lại,
0, n 0 : n , n n 0 |fx n , y n fx 0 , y 0 | ,
nghĩa là fx n , y n fx 0 , y 0 khi n .
Chiều đảo: Dùng phản chứng, giả sử f không liên tục tại x 0 , y 0 , nghĩa là
0 0 : 0, x , y G : x , y x 0 , y 0
và |fx , y fx 0 , y 0 | 0 .
39
Chọn 1 , n , ta có dãy x n , y n G sao cho với mọi n ,
n
x n , y n x 0 , y 0 1 và |fx n , y n fx 0 , y 0 | 0 . Rõ ràng x n , y n x 0 , y 0 nhưng
n
fx n , y n fx 0 , y 0 khi n . Vô lý.
Với một chứng minh hoàn toàn tương tự ta có
Định lý
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 2 là điểm tụ của G. Khi đó,
lim fx, y L Với mọi dãy x n , y n trong G\x 0 , y 0 hội tụ về x 0 , y 0 , ta có dãy
x,yx 0 ,y 0
fx n , y n hội tụ về L.
Từ các định lý trên ta nhận được sự liên hệ giữa khái niệm liên tục và giới hạn của hàm hai
biến như sau:
Định lý
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 2 là điểm tụ của G. Khi đó,
f liên tục tại x 0 , y 0 lim fx, y fx 0 , y 0 .
x,yx 0 ,y 0
Định lý
Cho f, g : G 2 và x 0 , y 0 2 là điểm tụ của G. Giả sử
lim fx, y a, lim fx, y b.Khi đó,
x,yx 0 ,y 0 x,yx 0 ,y 0
i) lim fx, y gx, y a b,
x,yx 0 ,y 0
ii) lim fx, ygx, y ab,
x,yx 0 ,y 0
iii) lim kfx, y ka, k ,
x,yx 0 ,y 0
fx,y a
iv) lim gx,y
b
, nếu b 0.
x,yx 0 ,y 0
2.2. Định lý
Cho f, g : G 2 và x 0 , y 0 G. Ta có nếu f liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G), thì,
i) f g liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G),
ii) fg liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G),
iii) kf ( k là hằng số), liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G),
f
iv) Nếu gx 0 , y 0 0 ( gx, y 0 với mọi x, y G), thì g liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G).
Ta phát biểu mà không chứng minh một số tính chất của hàm liên tục trên một số miền đặc
biệt.
Tập G 2 được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình tròn(dĩa tròn) B M sao cho G B M . Điều
nầy cũng tương với tồn tại một hằng số dương M sao cho:
x, y x 2 y 2 M với mọi x, y G.
Định lý
Cho f : G 2 là một hàm liên tục trên tập đ óng và bị chận G. Khi đó
i) f là một hàm bị chận trên G, nghĩa là:
M 0 : |fx, y| M x, y G.
ii) f đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên G, tức là, tồn tại ít nhất hai điểm
x 1 , y 1 , x 2 , y 2 G sao cho
40
fx 1 , y 1 fx, y fx 2 , y 2 x, y G.
Định nghĩa:
Hàm f : G 2 được gọi là liên tục đ ều trên G, nếu
0, 0 : x, y, x / , y / G : x, y x / , y /
|fx, y fx / , y / | .
Định lý
Nếu f : G 2 là một hàm liên tục trên tập đ óng và bị chận G, thì f liên tục đều trên
G.
§3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.1. Đạo hàm riêng cấp một, cấp cao, đạo hàm của hàm hợp
Định nghĩa
Cho tập mở G 2 và hàm f : G . Cho x 0 , y 0 G, và lấy x, y khá bé sao cho
x 0 x, y 0 , x 0 , y 0 y G. Khi đó giới hạn(nếu có)
fx 0 x,y 0 fx 0 ,y 0
lim x
x0
đạo hàm riêng theo biến x ( biến thứ nhất) của hàm số f tại x 0 , y 0 , ký hiệu
f
x
x 0 , y 0 hay D 1 fx 0 , y 0 hay D x fx 0 , y 0 hay f /x x 0 , y 0 hay gọn hơn f x x 0 , y 0 .
Tương tự giới hạn(nếu có)
fx 0 ,y 0 yfx 0 ,y 0
lim y
y0
đạo hàm riêng theo biến y ( biến thứ hai) của hàm số f tại x 0 , y 0 , ký hiệu
f
y
x 0 , y 0 hay D 2 fx 0 , y 0 hay D y fx 0 , y 0 hay f /y x 0 , y 0 hay gọn hơn f y x 0 , y 0 .
f f
Ví dụ: Cho hàm fx, y x 3 y. Tính x
, y .
f fxx,yfx,y xx 3 yx 3 y
x
lim x
lim x
lim y3x 2 3xx x 2 3x 2 y.
x0 x0 x0
f fx,yyfx,y x 3 y 0 yx 3 y
y
lim y lim y x3.
y0 y0
3.2. Vi phân riêng, vi phân toàn phần
Định nghĩa (Vi phân riêng). Ta gọi vi phân riêng của hàm z fx, y đối với x tại điểm
x 0 , y 0 , ký hiệu là d x fx 0 , y 0 được xác đ ịnh bởi
f f
d x fx 0 , y 0 x x 0 , y 0 x x x 0 , y 0 dx.
Tương tự, ta gọi vi phân riêng của hàm z fx, y đối với y tại điểm x 0 , y 0 , ký hiệu là
d y fx 0 , y 0 được xác định bởi
f f
d y fx 0 , y 0 y x 0 , y 0 y y x 0 , y 0 dy.
Định nghĩa (Vi phân toàn phần). Cho tập mở G 2 và hàm f : G . Cho x 0 , y 0 G,
và lấy x, y khá bé sao cho x 0 x, y 0 y G. Nếu số gia toàn phần
f fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0
41
có thể biểu diễn được dưới dạng
f Ax By x y, trong đ ó A, B là những số thực độc lập với x, y ( phụ thuộc
vào x 0 , y 0 , còn 0, 0, khi x, y 0, 0, thì ta nói rằng hàm f khả vi tại x 0 , y 0 ,
biểu thức Ax By được gọi là vi phân toàn phần của hàm z fx, y tại điểm x 0 , y 0 , ký
hiệu là dfx 0 , y 0 Ax By. Đẳng thức trên còn được viết dưới dạng
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 Ax By o, với x 2 y 2 ,
trong đó o là một vô cùng bé bậc cao hơn .
Nếu A và B không đồn thời bằng không thì khi x 2 y 2 0, thì f~df.
Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc G thì ta nói rằng nó khả vi trên G.
Chú thích. Nếu hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 , thì f liên tục tại x 0 , y 0 .
Thật vậy từ định nghĩa ta có
f Ax By o 0 khi x 2 y 2 0.
Định lý. Nếu hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 , thì tại điểm ấy hàm f có các đạo hàm riêng
f f
x
x 0 , y 0 , y
x 0 , y 0 và ta có
f f
dfx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y.
Chứng minh.
Từ giả thiết ta có
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 Ax By o x 2 y 2 .
Cho y 0 ta được
fx 0 x, y 0 fx 0 , y 0 Ax ox.
Do đó
fx 0 x,y 0 fx 0 ,y 0 ox
lim x
lim A x A.
x0 x0
f f
Vậy tồn tại đạo hàm riêng x x 0 , y 0 , và có x x 0 , y 0 A.
f f
Tương tự ta cũng có y x 0 , y 0 , và có y x 0 , y 0 B.
Vì vậy
f f
dfx 0 , y 0 Ax By x x 0 , y 0 x y x 0 , y 0 y.
f f
Định lý. Nếu hàm f có các đ ạo hàm riêng x
, y
trong một lận cận của x 0 , y 0 và các đạo
f f
hàm riêng , x y
liên tục tại điểm x 0 , y 0 , thì hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 .
Chứng minh.
Ta có
f fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 y
fx 0 , y 0 y fx 0 , y 0
Áp dụng công thức Lagrange ta được
42
f
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 y x
x 0 1 x, y 0 yx,
f
và fx 0 , y 0 y fx 0 , y 0 y
x 0 , y 0 2 yy,
trong đó 0 1 , 2 1.
f f
Vì các đạo hàm riêng x , y
liên tục tại điểm x 0 , y 0 , nên
f f
x
x 0 1 x, y 0 y x
x 0 , y 0 ,
f f
y
x 0 , y 0 2 y y
x 0 , y 0 ,
trong đó 0, 0, khi x 0, y 0. Vậy
f f
f x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y x y,
tức là f khả vi tại điểm x 0 , y 0 .
Đạo hàm của hàm hợp
Cho z fu, v, trong đó u, v là hai hàm theo hai biến độc lập x, y : u ux, y, v vx, y. Khi
đ ó ta nói rằng z là một hàm hợp của x, y thông qua hai biến trung gian
u, v : z fux, y, vx, y.
Định lý.
Nếu hàm f khả vi và nếu u, v có các đạo hàn riêng u , u , v , v liên tục thì tồn tại các đạo
x y x y
z z
hàm riêng x , y và ta có
z f u f v
x
u x
v x
,
z f u f v
y
u y
v y
.
Chứng minh.
Nếu cho x một số gia x và giữ y không đổi thì u, v, z có số gia tương ứng là các số gia riêng
x u, x v, x z. Khi đó,
z z
x z u x u v x v x u x v,
trong đó 0, 0, khi x u 0, x v 0. Do đó
xz
x
u x u v x v x u x v ,
z
x
z
x x x
xu u xv v
Nhưng lim x
x
lim x
x
. Từ đó qua giới hạn khi x 0 ta được
x0 x0
z f u f v
x
u x
v x
.
Tương tự ta có đẳng thức thứ hai trong định lý.
Đạo hàm riêng cấp cao
43
z z
Cho hàm hai biến z fx, y. Các đạo hàm riêng x , y thường được gọi là các đạo hàm riêng
cấp một. Chúng lại là các hàm theo hai biến x, y và có thể có các đạo hàm riêng. Các đạo hàm
riêng của đạo hàm riêng đạo hàm cấp một được gọi là các đạo hàm cấp hai của z.
Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai:
f 2f
x
x x 2 f //2 x, y,
x
f 2f
y
x xy f // x, y, (lần đầu lấy đạo hàm riêng theo biến x, lần thứ hai lấy đạo
xy
hàm riêng theo biến y).
f 2f
x
y yx f // x, y, (lần đầu lấy đạo hàm riêng theo biến y, lần thứ hai lấy đạo
yx
hàm riêng theo biến x).
f 2f
y 2 f //2 x, y,
y y y
Người ta cũng định nghĩa đ ạo hàm riêng cấp n 3 một cách tương tự.
Một vấn đề đặt ra là: kết quả việc lấy đạo hàm riêng có phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm riêng
theo từng biến không? Ta có kết quả sau đây:
Định lý (Schwartz)
Cho hàm hai biến fx, y có các đạo hàn riêng đến cấp hai vá chúng liên tục trong tập mở U.
Khi đó
2f 2f
xy
yx .
Chúng minh. Cho x, y U, và lấy x, y khá bé sao cho x x, y y U. Xét
biểu thức
Hx, y fx x, y y fx x, y fx, y y fx, y.
Đặt gx fx, y y fx, y.
Theo định lý giá trị trung bình ta có c x x, 0 1, sao cho
gx x gx g / cx.
Ta có
f f
g / c x
c, y y x
c, y.
/
Mặt khác g c là một hàm theo y, vậy tồn tại c 1 y 1 y, 0 1 1, sao cho
f
g / c y
x c, c 1 y.
Chú ý rằng Hx, y gx x gx, ta có
f 2f
Hx, y g / cx y
x c, c 1 yx xy
c, c 1 yx.
2f
Cho x, y 0, 0, ta có c, c 1 x, y, do tính liên tục của xy
, ta có
Hx,y 2f
lim xy
xy
x, y.
x,y0,0
Tương tự, xét g 1 y fx x, y fx, y, ta có
44
2f
Hx, y g 1 y y g 1 y g /1 c 2 y yx
c 3 , c 2 xy,
với c 2 y 2 y, c 3 x 3 x, 0 2 , 3 1. Ta suy ra
Hx,y 2f
lim xy yx
x, y.
x,y0,0
Tóm lại
2f 2f Hx,y
xy
x, y yx
x, y lim xy .
x,y0,0
Ví dụ: Cho hàm fx, y x 2 y xy 4 . Ta có
f f
x
2xy y 4 , y x 2 4xy 3 ,
2f f
x 2
x x x
2xy y 4 2y,
2f f
xy
y x y
2xy y 4 2x 4y 3 ,
2f f
yx
x y x
x 2 4xy 3 2x 4y 3 ,
2f f
y 2
y
y y
x 2 4xy 3 12xy 2 .
2f 2f
Ta thấy rằng xy yx .
3.3. Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
Do định nghĩa, nếu hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 , tức là
f f
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y o x 2 y 2 .
Khi x, y 0, 0, thì o x 2 y 2 là vô cùng bé bậc cao hơn x 2 y 2 ,
nghĩa là
o x 2 y 2
lim 0,
x,y0,0 x 2 y 2
do đó
f f
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y
Ví dụ. Tính gần đúng A 3, 012 2 3, 997 2 .
Xét hàm fx, y x 2 y 2 . Chọn x 0 , y 0 3, 4, x 0, 012, y 0, 003.
Khi đó
f f
A fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y.
Ta có:
fx 0 , y 0 3 2 4 2 5,
f x0 3
x
x 0 , y 0 5
,
x 2 y 2
0 0
45
f y0 4
y
x 0 , y 0 5
,
x 2 y 2
0 0
Vậy
A 5 3 0, 012
5
4
5
0, 003 5, 0048.
§4. Cực trị của hàm hai biến
4.1. Cực trị không điều kiện( cực trị tự do)
4.1.1. Định nghĩa
Cho hàm hai biến f : G 2 và cho M 0 x 0 , y 0 G. Ta nói rằng hàm f đạt cực
tiểu(địa phương) tại M 0 nếu có một tập mở G sao cho M 0 x 0 , y 0 và
fx, y fx 0 , y 0 x, y .
Tương tự, ta nói rằng hàm f đ ạt cực đại(địa phương) tại M 0 nếu có một tập mở G sao
cho M 0 x 0 , y 0 và
fx, y fx 0 , y 0 x, y .
Nếu hàm f đạt cực tiểu hay cực đại (địa phương) tại M 0 thì ta nói hàm f đạt cực trị (đ ịa
phương) tại M 0 .
Hình 28
4.1.2. Qui tắc tìm cực trị không điều kiện
Định lý (Điều kiện cần)
Nếu hàm f đạt cực trị (địa phương) tại M 0 x 0 , y 0 G và nếu f có các đạo hàm riêng tại
M 0 x 0 , y 0 thì
f f
x
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0.
Chứng minh. Giả sử hàm f đạt cực tiểu tại M 0 x 0 , y 0 . Xét hàm gx fx, y 0 , thì
gx fx, y 0 gx 0 fx 0 , y 0 ,
với x trong một khoảng nào đó chứa x 0 . Do đó ta có g / x 0 0.
Mặt khác
f f
g / x 0 x x 0 , y 0 . Vậy x x 0 , y 0 0.
f f f
Tương tự, y x 0 , y 0 0. Điểm x 0 , y 0 mà tại đó x
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0, được gọi là
điểm dừng.
Định lý (Điều kiện đ ủ của cực trị)
46
Giả sử hàm hai biến f có các đ ạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm dừng
M 0 x 0 , y 0 .
Đặt:
2f 2f 2f
A x 2 x 0 , y 0 , B xy x 0 , y 0 , C y 2 x 0 , y 0 .
Khi đó
a) Nếu B 2 AC 0 và A 0 (hay C 0) thì f đ ạt cực tiểu tại M 0 ,
b) Nếu B 2 AC 0 và A 0 (hay C 0) thì f đ ạt cực đại tại M 0 ,
c) Nếu B 2 AC 0 thì f không đạt cực trị tại M 0 ,
d) Nếu B 2 AC 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể.
Ta công nhận định lý nầy.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z x 3 y 3 3xy.
z /x 3x 2 3y 0,
Giải hệ
z /y 3y 2 3x 0.
ta được hai điểm dừng M 1 1, 1 và M 2 0, 0. Ta có
z // 6x, z // 3, z // 6y.
xx xy yy
Tại M 1 1, 1 ta có: A 6, B 3, C 6, B 2 AC 27 0. Vậy hàm z đạt cực tiểu tại M 1
và z min z1, 1 1.
Tại M 2 0, 0 ta có: A 0, B 3, C 0, B 2 AC 9 . Vậy hàm z không đạt cực trị tại
M2.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z x 4 y 4 x 2 2xy y 2 .
z /x 4x 3 2x 2y 0,
Giải hệ
z /y 4y 3 2x 2y 0.
ta được ba điểm dừng M 1 0, 0, M 2 1, 1 và M 3 1, 1.
Ta có
z // 12x 2 2, z // 2, z // 12y 2 2.
xx xy yy
2
Tại M 1 ta có: A 2, B 2, C 2, B AC 0. Trường hợp nầy cần phải khảo sát thêm
bằng phương pháp khác. Ta có zM 1 0. Với x y 1 , ta đượcn
z 1 , 1 n22 n22 2 0 với n 2.
n n
Mặt khác, ta có z 1 , 1 n24 0. Vậy trong lân cận của M 1 0, 0 hàm số đổi dấu, hàm số
n n
không đạt cực trị tại M 1 0, 0.
Tại hai điểm dừng còn lại: M 2 1, 1 và M 3 1, 1, ta có A 10, B 2, C 10,
B 2 AC 96 0.
Vậy hàm z đạt cực tiểu tại M 2 và M 3 ; z min 2.
4.2. Cực trị có điều kiện( cực trị ràng buộc)
4.2.1. Định nghĩa
Ta nói rằng hàm fx, y với điều kiện x, y 0 đạt cực tiểu tại điểm M 0 x 0 , y 0 nếu tồn tại
một lân cận của M 0 x 0 , y 0 sao cho
fx, y fx 0 , y 0 x, y thỏa x, y 0.
Thông thường phương trình x, y 0 là phương trình của đường cong C. Như vậy ta chỉ so
47
sánh fM 0 với fM khi M nằm trên C.
Hình 29
Ta cũng định nghĩa cực đại có điều kiện một cách tương tự. Cực tiểu có điều kiện và cực đại
có điều kiện được gọi chung là cực trị có điều kiện.
4.2.2. Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện
- Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z fx, y 1 x 2 y 2 với điều kiện x y 1 0.
Giải. Từ điều kiện trên ta rút ra y 1 x. Thay vào biểu thức của
z 1 x 2 1 x 2 2 x x 2 . Đây là hàm một biến, xác dịnh khi x x 2 0, tức là
khi 0 x 1. Ta có
dz 2
dx
2 12x2 .
xx
dz 1
dx
0 khi x 2
. Ta lập bảng biến thiên
1
x 0 2
1
dz
dx
0
2
z 0 2
0
2
Vậy z đạt cực đại có điều kiện tại điểm M 1 , 1 và giá trị cực đại là z max
2 2 2
.
- Phương pháp nhân tử Lagrange. Điều kiện cần của cực trị có điều kiện
Xét bài toán: Tìm cực trị của hàm z fx, y với điều kiện x, y 0.
Điểm M 0 x 0 , y 0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong C : x, y 0 nếu
x
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0.
Định lý (Nhân tử Lagrange).
Cho điểm M 0 x 0 , y 0 thỏa điều kiện
i) Điểm M 0 không là điểm kỳ dị của đường cong C.
ii) Các hàm số fx, y, x, y và các đ ạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong lân cận
của M 0 .
iii) Hàm fx, y đạt cực trị có điều kiện tại M 0 .
Khi đó tồn tại một số thực sao cho x 0 , y 0 , là nghiệm của hệ phương trình
f
x
x 0 , y 0 x
x 0 , y 0 0,
f
y
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0,
x 0 , y 0 0.
Số thực được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm Lx, y, fx, y x, y được gọi là hàm
48
Lagrange.
Chúng minh. Vì M 0 không là điểm kỳ dị của C, nên ta có thể giả sử rằng y x 0 , y 0 0.
Người ta chứng minh được rằng tồn tại một hàm ẩn y yx xác đ ịnh trong một khoảng nào
đó chứa x 0 . Thay vào hàm fx, y ta được
z fx, yx.
Hàm nầy đạt cực trị tại x 0 , nên dzx 0 0, tức là
f f
x
x 0 , yx 0 dx y
x 0 , yx 0 dy 0.
Nhưng yx 0 y 0 , vậy
f f
x
x 0 , y 0 dx y
x 0 , y 0 dy 0.
Mặc khác lấy vi phân điều kiện tại x 0 , y 0 , ta được
x
x 0 , y 0 dx y
x 0 , y 0 dy 0.
Nhân hai vế của đẳng thức nầy cho rồi cộng với đẳng thức trên, ta được
f f
x x 0 , y 0 x
x 0 , y 0 dx y x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 dy 0.
f
y
x 0 ,y 0
Lấy sao cho
. Khi đ ó ta cũng được
y
x 0 ,y 0
f
x
x 0 , y 0 x
x 0 , y 0 0.
Cùng với phương trình x 0 , y 0 0 ta nhận được hệ phương trình nêu trong định lý.
Định lý chỉ cho ta điều kiện cần của cực trị. Tuy vậy, trong nhiều bài toán cụ thể có thể
xác đ ịnh được M 0 x 0 , y 0 có phải là điểm cực trị hay không.
Ví dụ.- Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z 3x 4y với điều kiện x 2 y 2 1.
Giải. Ta có hàm Lagrange Lx, y, 3x 4y x 2 y 2 1.
L /x 3 2x 0,
Giải hệ phương trình L /y 4 2y 0,
L / x 2 y 2 1 0.
Từ hai phương trình đầu ta rút ra: x 3 , y 2 , sau đó thay vào phương trình cuối, ta được
2
3 2 2 2 1 0. Do đó: 5 .
2 2
Với 1 5 : x 1 3 , y 1
2 5
4
5
, M 1 3 , 4 .
5 5
Với 2 5 : x 2 3 , y 2
2 5
4
5
, M 2 3 , 4 .
5 5
Vì hàm z 3x 4y là hàm liên tục trên tập đóng và bị chận x, y : x 2 y 2 1 ( đường tròn
đơn vị) nên nó đ ạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đó. Theo định lý nó chỉ đạt tại M 1
hoặc tại M 2 1, 1. Suy ra
z min zM 1 5, z max zM 2 5.
2 y2
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z xy với điều kiện x8 2 1.
2 y2
Giải. Ta có hàm Lagrange Lx, y, xy x8 2 1.
49
L /x y x
4
0,
Giải hệ phương trình L /y x y 0,
y2
L / x2
8
2
1 0.
Từ phương trình thứ hai ta rút ra: x y, sau đó thay vào phương trình đ ầu, ta được
2y
y y 4 .
4
y
Do đó 4
2 4 0, tức là y 0 hay 2.
Nếu y 0 thì x 0: Không thỏa phương trình thứ ba. Ta loại trường hợp nầy.
Nếu 2 thì x 2y, thay vào phương trình cuối, ta được:
2y 2 y2
8
2 1 0 hay y 1.
Vậy ta có hai điểm dừng M 1 2, 1, M 2 2, 1.
Nếu 2 thì x 2y. Tương tự ta có thêm hai điểm dừng M 3 2, 1, M 4 2, 1.
Tính các giá trị: zM 1 zM 2 2, zM 3 zM 4 2.
2 y2
Vì hàm z xy liên tục trên tập đóng và bị chận x, y : x8 2 1 ( là đường ellip tâm O)
nên nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đó. Theo định lý nó chỉ đạt các giá trị trên tại
các điểm dừng nói trên. Suy ra
z min zM 1 zM 2 2,
z max zM 3 zM 4 2.
Chú thích. Trong trường hợp tổng quát, tập hợp x, y : x, y 0 có thể là tập không bị
chận, nên ta cần phải sử dụng điều kiện đ ủ của cực trị có điều kiện
- Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện
Giả sử các hàm số fx, y, x, y, M 0 x 0 , y 0 thỏa mãn định lý nhân tử Lagrange.( Điểm
M 0 x 0 , y 0 được gọi là điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện). Ta chuyển bài toán cực trị
hàm fx, y có điều kiện x, y 0 sang bài toán cực trị không điều kiện của hàm Lagrange
Lx, y fx, y x, y.
Giả sử thêm rằng các hàm số fx, y, x, y và các đạo hàm riêng cấp hai của chúng liên
tục trong lân cận của M 0 và là giá trị tương ứng với x 0 , y 0 .
Xét vi phân cấp hai của hàm Lx, y tại x 0 , y 0 :
d 2 Lx 0 , y 0 L // x 0 , y 0 dx 2 dy 2L // x 0 , y 0 dxdy L // x 0 , y 0 dy 2 ,
xx xy yy
nhưng các vi phân dx, dy không phải tự do, mà bị ràng buộc bởi điều kiện
/x x 0 , y 0 dx /y x 0 , y 0 dy 0,
dx 2 dy 2 0.
Khi đó,
Nếu d 2 Lx 0 , y 0 0, thì hàm f đ ạt cực tiểu có điều kiện.
Nếu d 2 Lx 0 , y 0 0, thì hàm f đ ạt cực đại có điều kiện.
Nếu d 2 Lx 0 , y 0 thay đổi dấu, thì hàm f không đạt cực trị có điều kiện.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z x y với điều kiện xy 1.
Giải. Ta có hàm Lagrange Lx, y, x y xy 1.
50
L /x 1 y 0,
Giải hệ phương trình L /y 1 x 0,
L / xy 1 0,
ta được x y 1, 1. Ta có một điểm dừng M 0 1, 1 tương ứng với 1.
Mặt khác L // 0, L // 1, L // 0, d 2 L1, 1 2dxdy.
xx xy yy
Hơn nữa, từ điều kiện ràng buộc xy 1 0, ta có
dx dy 0 hay dy dx.
Vậy d L1, 1 2dx 0 nếu dx 2 dy 2 0. Vậy hàm z đạt cực tiểu có điều kiện tại
2 2
M 0 1, 1 và z min z1, 1 2.
Chú thích. Ta có thể giải bài toán trên bằng cách đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến
như sau.
1
Từ phương trình xy 1 (x, y 0) suy ra y x (x 0). Thay vào hàm z ta có
zx x 1 , x 0.
x
z / x 1 x12 . Vậy z / x 0 x 1.
Lập bảng biến thiên
x 0 1
z / x 0
zx 2
Suy ra z min z1, 1 2.
4.3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên một miền đóng và bị chận
Xét bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất( còn gọi là cực trị tuyệt đối) của một hàm
liên tục f trên một miền đóng và bị chận G 2 .
Giả sử G D C trong đó D là một tập mở và C là một đường cong trơn (khả vi). Giả sử
thêm rằng hàm f có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên D. Do đó để tìm các giá trị nầy, ta
làm theo các bước sau:
- Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại cực trị của hàm liên tục trên D C.
- Xét bài toán tìm cực trị ở trong D bằng cách giải hệ
f /x x, y 0,
f /y x, y 0.
- Xét bài toán tìm cực trị ở trên C bằng định lý nhân tử Lagrange.
- Sau đó lấy giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất tại các điểm tính ra từ hai bước trên.
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số z fx, y x 2 y2 x y trong tam
giác đóng G giới hạn bởi các đường thẳng: x 0, y 0, x y 6.
51
Giải. Ta có G x, y : x 0, y 0, x y 6 là tập đóng và bị chận. Đây là một tam giác
đóng có ba đỉnh O0, 0, A6, 0, B0, 6, D x, y : x 0, y 0, x y 6 là phần trong
của G.
- Trước hết ta tìm điểm dừng trong D bằng cách giải hệ
z /x xy4 3x 2y 0,
z /y x 2 2 x 2y 0.
Hình 30
Vì x 0, y 0 nên ta được x 1, y 1 .2
Điểm M 0 1, 1 D, zM 0 1 .
2 4
- Xét trên biên
Trên OA và OB thì z 0.
Trên AB thế y 6 x vào hàm đã cho ta được
z 4x 2 6 x, 0 x 6.
z / x 12xx 4 0 x 1 0, x 2 4.
Tương ứng ta có hai điểm trên AB là: M 1 0, 6, M 2 4, 2.
Tại điểm M 1 0, 6 B đã xét.
Tại điểm M 2 4, 2, zM 2 z4, 2 128.
1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất là zM 2 z4, 2 128, giá trị lớn nhất là zM 0 z1, 2
4
.
52
BÀI TẬP CHƯƠNG II
1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
x2 y2
1/ z 1 a2
b2
1
2/ z R 2 x 2 y 2
1 1
3/ z xy
xy
4/ z ln xy
y1
5/ z arcsin x
6/ z 1x 1
y
7/ z R 2 x y 2 x 2 y 2 r 2 , 0 r R
2
2. Các hàm số sau đây có giới hạn tại 0, 0 không?
x 2 y 2
1/ z x 2 y 2
x
2/ z
x 2 y 2
x 4 y 2
3/ z x 4 y 2
xy
4/ z xy
x2
5/ z x 2 y
xy 2
6/ z 3/2
x 2 y 2
2 2 1
7/ z x y sin
x 2 y 2
y
8/ z e sin x
x
3. Tính các giới hạn sau đây
xy
1/ lim x 2 y 2
x,y0,1
xy 2
2/ lim x 2 y 2
x,y0,0
1
3/ lim x 2 y 2 sin xy
x,y0,0
xy
4/ lim x 2 y 2
x,y,
2 y 2
5/ lim 2
x y 2 e x
x,y,
x 2 y 2
6/ lim 4 4 .
x,y0,0 x y
4. Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau đây
1/ z x 3 y xy 3
x 3 y 3
2/ z x 2 y 2
y
3/ z x x
y
4/ z ln x x 2 y 2
y
5/ z arctg x
6/ z xy
53
7/ z 1 xy y
8/ z x 2 y 2 .
5. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau
1/ z e x2y , x sin t, y t 3 . Tính dz
dt
2/ z arcsinx y, x 3t, y 4t 3 . Tính dz dt
z z
3/ z x 2 ln y, x u , y 3u 2v. Tính u , v
v
z z
4/ z x 3 sinxy, x u cos v, y u sin v. Tính u , v
6. Tính vi phân của các hàm số sau
1/ z xy 3
2/ z e xy
3/ z lny x 2 y 2
4/ z lncos x y
5/ Tính df1, 1 nếu fx, y x ye xy .
7. Tính gần đúng các giá trị sau đ ây nhờ vi phân cấp 1
1/ 4, 05 2 3, 07 2
2/ 2, 01 3,03 biết ln 2 0, 69
3/ sin 28 0 cos 61 0 biết rằng cos 0, 87 và 180 0, 017.
6
8. Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau đây
1/ z x 2 y 2
2/ z ln x x 2 y 2
xy
3/ z xy
4/ z 21 2
x y
5/ z lnx y 2
2
y
6/ z arctg x
7/ z e y e y sin x
9. Tìm cực trị của các hàm sau đ ây
1/ z 4x y x 2 y 2
2/ z x 2 xy y 2 x y 1
3/ z x y xe y
4/ z 2x 4 y 4 x 2 2y 2
2 2
5/ z x 2 y 2 e x y
6/ z x 2 2xy 1 y 3 3y
3
7/ z xy x 2
8/ z x 2 2y 2 6x 8y 1
9/ z x 2 y 2xy 2y 2 15y
10/ z x 3 6x 2 3y 2
11/ z x 3 y 3 6xy
12/ z x 3 12xy 8y 3
13/ z 1 1 xy
x y
2
14/ z x 2 e y
15/ z y 2 ln xy
16/ z e xy
17/ z y sin x.
54
10. Tìm cực trị của hàm fx, y với điều kiện ràng buộc đã cho
1/ fx, y 4x y x 2 y 2 , nếu x 2 y 2 1; (a, b 0)
2/ fx, y x 2 12xy 2y 2 , nếu 4x 2 y 2 25
3/ fx, y x 2 y 2 , nếu x 2 2x y 2 4y 0
x2 y2
4/ fx, y xy, nếu a 2 b 2 1; (a, b 0)
5/ fx, y xy, nếu x y 1
6/ fx, y 1 1 , nếu x12 y12 a12 ; (a 0)
x y
7/ fx, y x y, nếu 1 1 1
x y
8/ fx, y x y, nếu xy 1; (x 0, y 0)
9/ fx, y x 3 2 y 2 , nếu y x 2 0.
11. Tìm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau
1/ z x 2 y 2 trong miền x 2 y 2 4
2/ z x 2 2xy 4x 8y trong miền 0 x 1, 0 y 2
3/ z sin x sin y sinx y trong miền 0 x , 0 y
2
2
4/ z x 2 y trong miền |x| 1, |y| 2 1
1
5/ z x 2 y 2 trong miền x 2 2 y 2 1
6/ z x x 2 y 2 trong miền 0 x 2, 0 y 1
7/ z x 2 y 2 12x 16y trong miền x 2 y 2 25
8/ z x 2 y 2 xy x y trong miền x 0, y 0, x y 3
9/ z x 3 y 3 3xy trong miền x 0, y 0, x y 3
10/ z xy 2 trong miền x 2 y 2 1
11/ z x 2 2y 2 x trong miền x 2 y 2 1
12/ fx, y x 2 xy y 2 trong miền |x| |y| 1.
55
CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Tích phân bất định
1.1. Nguyên hàm
1.1.1. Định nghĩa
Trong thưc tế, ta xét bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm của một hàm cho trước. Cho hàm
fx xác đ ịnh trong một khoảng nào đó. Hãy tìm tất cả những hàm Fx sao cho F / x fx.
Định nghĩa. Hàm Fx được gọi là một nguyên hàm của fx trong khoảng a, b nếu
F / x fx với mọi x a, b.
Ví dụ. sin x là một nguyên hàm của cos x trên vì sin x / cos x x .
1.1.2. Định lý.
Nếu hàm fx có một nguyên hàm Fx trong khoảng a, b thì
i) Fx C, trong đó C là một hằng số tùy ý, cũng là một nguyên hàm của fx.
(ii) Mọi nguyên hàm của fx đều có dạng Fx C với C là một hằng số.
Chứng minh.
i) Vì Fx C / F / x 0 F / x fx nên Fx C là một nguyên hàm của fx.
ii) Giả sử x cũng là một nguyên hàm của fx. Khi đó
x Fx / / x F / x fx fx 0.
Do đó x Fx C, với C là một hằng số.
Vậy x Fx C.
Từ định lý ta thấy rằng nếu một hàm có một nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các
nguyên hàm đó sai khác nhau một hằng số cộng.
1.2. Định nghĩa và tính chất của tích phân bất định
1.2.1. Định nghĩa
Nếu hàm Fx là một nguyên hàm fx thì biểu thức Fx C, trong đó C là một hằng số tùy ý,
được gọi là tích phân bất định của hàm fx và được ký hiệu là fxdx. Vậy .
fxdx Fx C nếu F / x fx.
Dấu được gọi là dấu tích phân, fx được gọi là hàm dưới dấu tích phân, fxdx đ ược gọi là
biểu thức dưới dấu tích phân và x gọi là biến tích phân.
1.2.2. Các tính chất của tích phân bất định
/
Tính chất 1. fxdx fx, d fxdx fxdx.
Thật vậy, ta có
/
fxdx Fx C / F / x fx.
/
Suy ra d fxdx fxdx dx fxdx.
Tính chất 2. Giả sử Fx có đ ạo hàm là fx thì dFx Fx C.
Thật vậy, ta có dFx fxdx suy ra dFx fxdx Fx C.
Tính chất 3. Nếu C là một hằng số thì
56
Cfxdx C fxdx.
Thật vậy, ta có
/ /
C fxdx C fxdx Cfx. Đpcm.
Tính chất 4. Nếu các hàm fx, gx đều có nguyên hàm thì
fx gxdx fxdx gxdx.
Thật vậy, ta có
/ / /
fxdx gxdx fxdx gxdx fx gx. Đpcm.
Tính chất 5. Nếu fxdx Fx C và u x khả vi liên tục, thì
fudu Fu C.
1.3. Bảng các tính phân cơ bản
Từ bảng các công thức đáng nhớ của đạo hàm ta suy ra bảng các tính phân cơ bản sau:
1/ 1dx x C
2/ x dx x C, ( 1)
1
1
3/ dx ln|x| C
x
4/ a x dx ln a C, (a 0, a 1)
ax
5/ e x dx e x C
6/ cos xdx sin x C
7/ sin xdx cos x C
8/ cos 2 x tgx C
dx
9/ sin 2 x cot gx C
dx
10/ dx 2 arcsin x C arccos x C
1x
11/ dx
1x 2
arctgx C arccot gx C
12/ dx
ln x x 2 a C.
x 2 a
1.4. Hai phương pháp tính tích phân bất định
1.4.1. Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số dựa vào định lý sau
Định lý
Nếu fxdx Fx C thì
ft / tdt Ft C,
với t là một hàm khả vi liên tục.
Chứng minh.
Ft C / F / t / t ft / t.
57
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
x
d a
13/ dx 2
2 x 2
arcsin x
a C.
a x 1 a
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
d x
14/ x 2dx 2 1 x a 1 1 arctg a C.
a a 2 a
x
a
1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lý
Giả sử ux và vx có các đạo hàm liên tục. Khi đó ta có công thức
udv uv vdu
hay
uxv / xdx uxvx vxu / xdx.
Chứng minh.
Ta có duv udv vdu.
Suy ra udv duv vdu.
Lấy tích phân hai vế của đẳng thức nầy ta được công thức nêu trên, công thức nầy được gọi là
tích phân từng phần.
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
15/ I a 2 x 2 dx.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ( u a 2 x 2 , v x ), ta có
x 2 dx
I a 2 x 2 dx x a 2 x 2 2 2 x a 2 x 2 a x dx a 2
2 2 dx
a x 2 2 a x a 2 x 2
x a x a x dx a arcsin
2 2 2 2 2 x
a
2
2C x a x I a 2 2 x
arcsin a 2C.
I
Vậy
a 2 x 2 dx I 1
2
x a2 x2 1
2
a 2 arcsin x
a C.
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
16/ J x 2 b dx.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ( u x 2 b , v x ), ta có
J x 2 b dx x x 2 b x 2dx x x 2 b x 2b dx b
2 2 dx
x b x b x 2 b
x x 2 b J b ln x x 2 b 2C.
Vậy
x 2 b dx J 1
2
x x2 b 1
2
b ln x x 2 b C.
Ví dụ. Tính I n x 2 a 2 n .
dx
Dùng phương pháp tích phân từng phần, đặt
u x 2 a 2 n , du x2nxdx ,
1
2 a 2 n1
dv dx, v x.
Ta có
58
In x
x 2 a 2 n
2n x2
x 2 a 2 n1
dx
x 2 a 2 a 2
x
x 2 a 2 n
2n x 2 a 2 n1
dx
x
x 2 a 2 n
2n dx
x 2 a 2 n
a2 dx
x 2 a 2 n1
x
x 2 a 2 n
2nI n a 2 I n1 .
Suy ra
x 2n1
I n1 2na 2 x 2 a 2 n
2na 2
In.
Vì
I1 dx
x 2 a 2
1
a
x
arctg a C
nên theo công thức qui nạp trên ta có thể lần lượt tính I n .
§2. Tích phân xác định
2.1. Định nghĩa
Cho hàm fx xác đ ịnh trên đoạn a, b. Chia tùy ý đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm
a x 0 x 1 . . . x i . . . x n1 x n b.
Phép như vậy gọi là một phân hoạch của đoạn a, b.
Đặt x i x i x i1 và trên mỗi đoạn x i1 , x i ta lấy một điểm i tùy ý, ( i 1, 2, . . . , n ).
Lập tổng
n
f i x i
i1
được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn a, b. Cho số điểm chia x i tăng vô hạn
(n ) sao cho max x i 0, Nếu có một giới hạn xác định (hữu hạn) I không phụ
1in
thuộc vào cách chia đoạn a, b và cách lấy điểm i , thì ta gọi I là tích phân xác định của hàm
fx trên đoạn a, b và ký hiệu nó là
b
fxdx.
a
Khi đó ta cũng nói hàm fx khả tích trên đoạn a, b.
Như vậy
0, 0: Với mọi phân hoạch của đoạn a, b
và nếu max x i | I| ,
1in
với mọi cách chọn điểm i x i1 , x i .
Ta viết
59
b n
I fxdx lim f i x i .
a 0 i1
b
Chú thích 1. Tích phân fxdx (nếu có) chỉ phụ thuộc vào hàm f dưới dấu tích phân, các
a
cận a và b, không phụ thuộc vào biến tích phân, tức là
b b
fxdx ftdt.
a a
Chú thích 2. Khi định nghĩa tích phân xác định ta giả thiết a b. Nếu b a ta định nghĩa
b a
fxdx fxdx.
a b
a
và khi a b thì ta định nghĩa fxdx 0.
a
Định lý
i) Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì nó khả tích trên đoạn a, b.
ii) f : a, b là một hàm bị chận, liên tục ngoại trừ một số điểm gián đoạn loại một thì nó
khả tích trên đoạn a, b.
Ta công nhận định lý nầy.
1
Ví dụ. Tính x 2 dx.
0
Vì hàm fx x 2 liên tục trên đoạn 0, 1 nên nó khả tích trên đoạn 0, 1. Do đó ta có
b n
x 2 dx lim 2 x i .
i
max x i 0
a i1
Ta chia đoạn 0, 1 thành n đoạn nhỏ bằng nhau và lấy các điểm i là các đầu mút bên phải của
mỗi đoạn nhỏ, khi đó, ta có
x i 1 , i x i n , i 1, 2, . . . , n,
n
i
và max x i 0 tương đương với n .
1in
Do đó
b n n
x 2 dx lim n 2 1 lim
i
n
1
n3
i2
n n
a i1 i1
nn12n1 1
lim 6n 3
3
.
n
b
Ví dụ. Tính sin xdx.
a
Vì hàm fx sin x liên tục trên đoạn a, b nên nó khả tích trên đoạn a, b. Do đó ta có thể
60
chia đoạn a, b thành n phần bằng nhau và lấy các điểm i là các đầu mút bên trái của mỗi
đoạn nhỏ, khi đó, ta có
x i x i x i1 ba h,
n
max x i h, i x i1 a i 1h, i 1, 2, . . . , n.
1in
Ta có
b n
sin xdx lim sin i x i
a h0 i1
lim hsin a sina h . . . sina n 1h.
h0
Đặt
n sin a sina h . . . sina n 1h.
Nhân hai vế của đẳng thức nầy cho 2 sin h , ta được
2
h h h
2 n sin 2
2 sin a sin 2
2 sina h sin 2
h
. . . 2 sina n 1h sin 2
h h h
cosa 2
cosa 2
cosa 2
cosa 3 h
2
3 1
. . . cosa n 2
h cosa n 2
h.
Vậy
cosa h cosan 1 h
n 2 2
h
.
2 sin 2
Nhưng a nh b, do đó ta có
b
sin xdx lim h
2 sin h
cosa h
2
cosb h
2
cos a cos b.
a h0 2
2.2. Các tính chất của tích phân xác định
Giả sử các hàm dưới dấu tích phân đều khả tích trên đoạn lấy tích phân
b b
Tính chất 1. Nếu C là một hằng số thì Cfxdx C fxdx.
a a
b b b
Tính chất 2. fx gxdx fxdx gxdx.
a a a
b c b
Tính chất 3. Với ba số thực a, b, c tùy ý ta có fxdx fxdx fxdx.
a a c
b
Tính chất 4. Nếu fx C là hàm hằng thì Cdx Cb a.
a
61
b b
Tính chất 5. Nếu fx gx trên a, b và a b thì fxdx gxdx.
a a
Tính chất 6. Nếu m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên a, b và a b thì
b
mb a fxdx Mb a.
a
Tính chất 7. Nếu hàm f khả tích trên đoạn a, b thì |f| cũng khả tích trên a, b, giả sử a b,
khi đó
b b
fxdx |fx|dx.
a a
Định lý (Về giá trị trung bình). Nếu hàm f liên tục trên đoạn a, b thì trên đoạn đó có ít nhất
một điểm c sao cho
b
fxdx fcb a.
a
Chứng minh. Vì fx liên tục trên đoạn a, b nên ta có
m fx M x a, b,
với m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên a, b.
Theo tính chất 6 ta có ( a b).
b
mb a fxdx Mb a
a
hay
b
m 1
ba
fxdx M.
a
Vì hàm f liên tục trên đoạn a, b thì trong đoạn đó có ít nhất một điểm c sao cho
b
fc 1
ba
fxdx,
a
do đó
b
fxdx fcb a.
a
b
Giá trị fc 1
ba
fxdx được gọi là giá trị trung bình của hàm f trên đoạn a, b.
a
2.3. Công thức Newton-Leibnitz
Ta đặt
62
x
x ftdx, a x b.
a
Định lý. Nếu hàm f liên tục trên đoạn a, b thì hàm x có đạo hàm trên đoạn đó và
b
/
i) x d
dx
ftdt fx, a x b.
a
ii) x 0 fa,
/
iii) / x 0 fb.
Chứng minh. Ta lấy x a, b. Lấy x đủ nhỏ sao cho x x a, b. Khi đó ta có
xx x
x x x ftdt ftdt
a a
x xx x
ftdt ftdt ftdt
a x a
xx
ftdt.
x
Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại một điểm c nằm trong khoảng giữa x và x x sao cho
xx
ftdt fcx,
x
Do đó fcx hay x fc. Cho x 0, khi đó c x và vì hàm f liên tục tại x nên
fc fx. Do đó ta có
lim x lim fc fx.
x0 x0
Vậy tồn tại / x fx.
Mặt khác, tại các điểm nút x a, x b cũng chứng minh tương tự như trên ta được
/ x 0 fa, / x 0 fb.
Từ định lý trên, ta suy ra ngay
Hệ quả. Mọi hàm liên tục trên đoạn a, b đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Chú thích. Nếu các cận tích phân là các hàm theo x thì theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp ta
có thể chứng minh được công thức sau
Bx
d
dx
ftdt fBxB / x fAxA / x,
Ax
trong đó f là hàm liên tục trên đoạn a, b và các hàm A, B có đạo hàm trên đoạn a, b sao cho
a Ax, Bx b với mọi x a, b.
63
Định lý. Nếu f liên tục trên đoạn a, b và Fx là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó thì
b
fxdx Fb Fa.
a
Công thức nầy được gọi là công thức Newton-Leibnitz.
Chứng minh. Theo giả thiết Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn a, b và theo định lý
x
trên thì x ftdt, cũng là một nguyên hàm của fx trên đoạn a, b. Do đó Fx và
a
x chỉ khác nhau một hằng số cộng, tức là
x Fx C với mọi x a, b.
a
Cho x a, ta có a Fa C, nhưng a ftdt 0, do đó C Fa. Vậy
a
x
x ftdt Fx Fa, a x b.
a
a
Cho x b, ta có a Fa C, nhưng a fxdx 0, do đó C Fa. Vậy
a
b
ftdt Fb Fa
a
hay
b
fxdx Fb Fa.
a
Người ta thường ký hiệu Fb Fa Fx| b , như vậy công thức Newton-Leibnitz được viết
a
lại thành
b
fxdx Fx| b Fb Fa.
a
a
e
Ví dụ. Tính ln 2 x
x dx. Ta có
1
e e
e
ln 2 x
x dx ln 2 xdln x 1
3
ln 3 x 1
1
3
ln 3 e ln 3 1 1
3
.
1 1
2
Ví dụ. Tính |1 x|dx. Ta có
0
64
2 1 2
|1 x|dx 1 xdx x 1dx
0 0 1
1x 2 1 x1 2 2
2
2
0 1
1 1
0 2
2
0 1.
Ví dụ. Tính giá trị trung bình của hàm fx sin 2 x trên đoạn 0, 2.
Ta có
2 2
1
2
sin xdx
2 1
4
1 cos 2xdx
0 0
1 sin 2x 2 1
4
x 2 0
2
.
2.4. Hai phương pháp tính tích phân xác định
2.4.1. Phương pháp đổi biến số
Định lý
b
Xét tích phân fxdx với fx là hàm liên tục trên đoạn a, b. Giả sử hàm x t thoả mãn
a
các điều kiện
a) : , a, b,
b) t có đạo hàm liên tục trên , ,
c) a, b.
Khi đó
b
fxdx ft / tdt.
a
Chứng minh.
Giả sử Fx là một nguyên hàm của f trên đoạn a, b. Khi đó Ft là một nguyên hàm của
ft / t trên đoạn , . Từ công thức Newton-Leibnitz, ta có
b
fxdx Fb Fa,
a
ft / tdt Ft|
F F Fb Fa.
Suy ra Đpcm.
Chú thích. Sau khi tính tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến, ta không cần trở lại
biến cũ như khi tính tích phân bất định.
65
2
Ví dụ. Tính I 4 x 2 dx.
0
Đặt x 2 sin t. Ta có dx 2 cos tdt, 4 x 2 2|cos t| và 2 sin 0, 2 sin 2. Suy ra
0, 2
, |cos t| cos t, 0 t 2
. Do đó
2 2
I 4 cos 2 tdt 2 1 cos 2tdt 2t sin 2t
2
2
0
.
0 0
Ví dụ. Chứng minh rằng nếu fx liên tục trên a, a thì
a
0, nếu f là hàm lẻ,
a
fxdx
2 fxdx, nếu f là hàm chẳn.
a
0
Thật vậy, ta có
a 0 a
fxdx fxdx fxdx.
a a 0
Trong tích phân thứ nhất ở v61 phải, ta đặt x t và có
0 0 a a
fxdx ftdt ftdt fxdx.
a a 0 0
a a
Do đó fxdx fx fxdx.
a 0
Vậy, nếu f là hàm lẻ, tức là fx fx hay fx fx 0, do đó
a
fxdx 0.
a
Nếu f là hàm chẳn, tức là fx fx hay fx fx 2fx, do đó
a a
fxdx 2 fxdx.
a 0
2.4.2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lý. Giả sử ux và vx là các hàm có các đạo hàm liên tục trong đoạn a, b. Khi đó
b b
udv uv| b
a vdu
a a
hay
66
b b
uxv / xdx uxvx| b vxu / xdx.
a
a a
Công thức nầy được gọi là tích phân từng phần.
Chứng minh.
Ta có duv udv vdu.
Lấy tích phân hai vế của đẳng thức nầy trên đoạn a, b ta được
b b b
duv udv vdu.
a a a
b
Nhưng duv uv| b , do đó ta có
a
a
b b
udv uv| b
a vdu
a a
e
Ví dụ. Tính ln xdx.
1
Ta có
e e
ln xdx x ln x| e dx
1
1 1
e ln e 1 ln 1 e 1 1.
2
Ví dụ. Tính I n sin n xdx, (n 0, 1, 2, . . . )
0
Ta có
2 2
In sin xdx sin n1 xd cos x.
n
0 0
Đặt
u sin n1 x, du n 1 sin n2 x cos xdx,
dv d cos x, v cos x.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
67
2 2
In sin n xdx sin n1 x cos x| 0 n 1 sin n2 x cos 2 xdx
2
0 0
2
n 1 sin n2 x1 sin 2 xdx
0
2 2
n 1 sin n2 xdx n 1 sin n xdx
0 0
n 1I n2 n 1I n
hay
I n n 1I n2 n 1I n
Từ đó ta có công thức qui nạp sau
I n n1 I n2 .
n
Ta tính các tích phân sau:
2
I0 dx
2
,
0
2
I1 sin xdx cos x| 02 1.
0
Vậy
n1n3...3.1
2
nn2...4.2 2
, nếu n chẳn,
sin n xdx n1n3...4.2
0 nn2...3.1
, nếu n lẻ.
Nếu ký hiệu tích của k số lẻ đầu tiên là
1. 3. 5. . . 2k 1 2k 1!!
và tích của k số chẳn đầu tiên là
2. 4. 6. . . 2k 2k!!
thì
n1!!
2
n!! 2
, nếu n chẳn,
sin n xdx n1!!
0 n!!
, nếu n lẻ.
2
Ví dụ. Tính J n cos n xdx, (n 0, 1, 2, . . . )
0
Đặt x 2
t, ta có
0 2
J n cos n tdt
2
sin n tdt I n .
2 0
Vậy
68
n1!!
2 2
n!! 2
, nếu n chẳn,
sin xdx cos xdx
n n
n1!!
0 0 n!!
, nếu n lẻ.
Chẳng hạn
2 2
sin 4 xdx cos 4 xdx 3!!
4!! 2
1.3
2.4 2
3
16
.
0 0
2 2
sin 5 xdx cos 5 xdx 4!!
5!!
2.4
1.3.5
8
15
.
0 0
2.5. Ứng dụng của tích phân xác định
Diện tích hình thang cong.
Ta gọi hình thang cong là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x a, x b và
một đường cong có phương trình y fx đơn trị trên a, b. Giả sử fx 0 và liên tục. Ta
chia tùy ý đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
a x 0 x 1 . . . x i . . . x n1 x n b.
Từ các điểm đó, ta dựng những đ ường thẳng song song với trục Oy. Khi đó hình thang cong
aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ.( như hình vẽ).
Hình 31
Trong mỗi đoạn nhỏ x i1 , x i ( i 1, 2, . . . , n ), ta lấy một điểm i tùy ý, khi đ ó tung độ y i ứng
với hoành đ ộ i là y i f i .
Nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ x i1 , x i ta xây dựng một hình chữ nhật có kích thước là x i x i1
và f i , thì diện tích của nó là f i x i x i1 . Do đó tổng diện tích của n hình chữ nhật đó là
n
f i x i
i1
trong đó x i x i x i1 .
Nếu tổng ( tổng tích phân của hàm f trên đoạn a, b) có một giới hạn xác định S khi số
điểm chia x i tăng vô hạn (n ) sao cho max x i 0, thì S được gọi là diện tích hình thang
1in
cong aABb. Vậy diện tích hình thang cong aABb là
n
S lim
maxx i 0
f i x i
1in i1
69
hay
b
S fxdx.
a
Nếu fx 0 với mọi x a, b thì
b
S fxdx.
a
Trong mọi trường hợp ta có
b
S |fx|dx.
a
Nếu miền phẳng có dạng:
D x, y : f 1 x y f 2 x, a x b, (hình 32)
( f 1 , f 2 liên tục), thì diện tích của nó là
b
S f 2 x f 1 xdx.
a
Hình 32 Hình 33
Nếu miền phẳng có dạng:
D x, y : 1 y x 2 y, c y d, (hình 33)
( 1 , 2 liên tục), thì diện tích của nó là
d
S 2 y 1 ydy.
c
Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số
x xt,
y yt,
/
với xt, yt, x t liên tục trong đoạn t 1 , t 2 , với a xt 1 , b yt 2 , thì diện tích của nó là
t2
S |yt|x / tdt.
t1
Ví dụ. Tính diện tích của hình ellip
70
x2 y2
x, y : a2
b2
1, (a 0, b 0)
Vì hình ellip nhận các trục toạ đ ộ làm trục đối xứng nên diện tích của nó là
a a
S 4 yxdx 4 b
a a 2 x 2 dx.
0 0
Đổi biến x a sin t, ta có dx a cos tdt.
Khi x 0, thì t 0, khi x a, thì t ,
2
a 2 x 2 a|cos t| a cos t với 0 t 2
.
Vậy
2 2
S 4b
a a 2 cos 2 tdt 2ab 1 cos 2tdt
0 0
sin 2t
2abt 2
2
0
ab.
Diện tích hình quạt cong.
Người ta gọi hình quạt cong là một hình phẳng giới hạn bởi hai tia đi qua cực và một đường
cong mà mọi tia qua cực cắt đường cong ấy ở không quá một điểm.
Giả sử hình quạt cong giới hạn bởi hai tia , với và cung AB đi của đ ường
cong r r, trong đó r là hàm liên tục đơn trị trên đoạn , .
Ta chia góc AOB thành n góc nhỏ mà ta ký hiệu là i ( i 1, 2, . . . , n ), như thế hình quạt
cong đó được chia thành n hình quạt cong nhỏ có diện tích là S i ( i 1, 2, . . . , n )( như hình
vẽ 34).
Hình 34
Hình quạt cong nhỏ thứ i có diện tích xấp xỉ bằng diện tích hình quạt tròn có cùng góc ở tâm
i và có bán kính là r i với i i i i
1
S i 2
r 2 i i .
Do đó diện tích hình quạt đã cho xấp xỉ bằng
n
1
2
r 2 i i .
i1
Vậy
n
S lim
maxx i 0
1
2
r 2 i i
1in i1
hay
71
S 1
2
r 2 d.
Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Cardioide r a1 cos , a 0.
Vì hình trên nhận trục cực làm trục đối xứng nên diện tích của nó bằng hai lần diện tích
hình quạt OAB, ứng với khoảng biến thiên của từ 0 đến . Ta có
S 2. 1
2
r d a 1 cos 2 d
2 2
0 0
a 2 1 2 cos cos 2 d
0
1cos 2
a 2 1 2 cos 2
d
0
2 3 1
Hình 35 a 2 2 sin 4
sin 2 0
3 2
2
a .
Thể tích vật tròn xoay.
Giả sử phải tìm thể tích vật tròn xoay tạo bởi hình thang cong aABb giới hạn bởi đường cong
y fx ( liên tục, dương, đơn trị ), trục Ox và các đường thẳng x a, x b khi quay quanh
trục Ox.
Chia đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm
a x 0 x 1 . . . x i . . . x n1 x n b.
Qua mỗi điểm đó ta dựng một mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật thể
thành n phần nhỏ.
Hình 36 Hình 37
Trên mỗi đoạn x i1 , x i ( i 1, 2, . . . , n ), ta lấy một điểm i tùy ý. Ta xây dựng một hình trụ
đứng giới hạn bởi các mặt phẳng x x i1 , x x i và mặt trụ có đường sinh song song với Ox
và đi qua vòng tròn biên của thiết diện của vật thể tròn xoay với mặt phẳng x i .
Thể tích của hình trụ đó là
V i S i x i f 2 i x i ,
trong đó x i x i x i1 .
Thể tích của tất cả các hình trụ đó ứng với i 1, 2, . . . , n là
n
V f 2 i x i .
i1
Do đó, ta có công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox là
72
n
Vx lim
maxx i 0
f 2 i x i
1in i1
hay
b
V x f 2 xdx.
a
Tương tự, nếu hình thang cong cCDd giới hạn bởi đường cong x y ( liên tục, dương,
đơn trị ), trục Oy và các đường thẳng y c, y d, thì thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình
thang cong đó khi cho nó quay quanh trục Oy là ( hình 38)
d
V y 2 ydy.
c
Hình 38
Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường astroide
x 2/3 y 2/3 a 2/3 , ( a 0) khi cho nó quay quanh trục Ox.
3
Ta có: y 2 a 2/3 x 2/3 , a x a.
Do tính đối xứng của hình phẳng đ ã cho, ta được
a
3
V x 2 a 2/3 x 2/3 dx
0
a
2 a 2 3a 4/3 x 2/3 3a 2/3 x 4/3 x 2 dx
0
2 9 9 1 a
2a x 5
a 4/3 x 5/3 7
a 2/3 x 7/3 3
x2 0
Hình 39 32
105
3
a .
Độ dài đường cong phẳng.
Trường hợp đường cong đ ược cho trong toạ độ Descartes.
Giả sử đường cong y fx, trong đó fx là hàm đơn trị, có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b.
Lấy trên cung AB những điểm M 0 A, M 1 , . . . , M i , . . . , M n B có hoành đ ộ theo thứ tự là
x 0 a, x 1 , . . . , x i , . . . , x n b. Ta gọi độ dài L của cung AB là giới hạn của độ dài đường gấp
khúc AM 1 M 2 . . . M i . . . B khi số cạnh của đ ường gấp khúc tăng vô hạn sao cho đ ộ dài cạnh
lớn nhất của nó tiến về không.
Chiếu các đoạn M i1 M i ( i 1, 2, . . . , n ) xuống trục Ox ta được cách chia đoạn a, b thành n
đoạn nhỏ x i ( i 1, 2, . . . , n )
73
Hình 40
Giả sử y i là số gia của hàm y fx ứng với x i . Ta có
M i1 M i x i 2 y i 2 .
Theo định lý Lagrange, ta có
y i f / i x i , i x i1 , x i .
Do đó
M i1 M i 1 f / i 2 x i .
và độ dài đường gấp khúc M 0 M 1 M 2 . . . M n bằng
n
1 f / i 2 x i .
i1
Do đó
n
L lim
maxx i 0
1 f / i 2 x i .
1in i1
Giới hạn đó tồn tại vì hàm f / x liên tục trên đoạn a, b và theo định nghĩa của tích phân xác đ
ịnh, ta có
b
L 1 f / x 2 dx.
a
Trường hợp cung đường cong AB được cho bởi phương trình tham số:
x xt,
y yt, t 0 t T,
với xt, yt là các hàm có các đạo hàm x / t, y / t liên tục trên đoạn t 0 , T, thì lý luận tương
tự như trên ta có thể tính được độ dài L của cung AB là
T
L x / t 2 y / t 2 dt.
t0
Ví dụ. Tính độ dài của đường cong y 2 x 3 từ gốc tọa độ đến điểm 4, 8.
3
Ta có y x 3/2 , y/ 2
x 1/2 .
74
4
3/2 4
L 1 9 x dx
4
4 2
9 3
1 9
4
x
0
0
8
27
10 10 1.
Ví dụ. Tính độ dài của đ ường astroide
x a cos 3 t,
y a sin 3 t, a 0.
Vì tính đối xứng của đ ường astroide nên chỉ cần tính đ ộ dài của một nhánh rồi nhân kết
quả với 4. Nhánh ở góc phần tư thứ nhất ứng với khoảng biến thiên của t từ 0 đến /2. Ta có
/2
L4 3a cos 2 t sin t 2 3a sin 2 t cos t 2 dt
0
/2 /2
4 3a sin t cos tdt 6a sin 2tdt
0 0
Hình 41 3acos 2t| /2
0 6a.
Trường hợp đường cong đ ược cho trong hệ toạ độ cực.
Giả sử phương trình của cung đ ường cong AB có dạng r r, trong đó r là hàm liên tục
và có đạo hàm liên tục trên đoạn , và r đơn trị.
Trước hết ta lập công thức vi phân cung. Ta có
x r cos , y r sin .
Có thể coi đó như là nhũng phương trình tham số của cung đường cong AB . Do đó
x / r / cos r sin ,
y / r / sin r cos .
Suy ra
x/ 2 y/ 2 r2 r/ 2.
Vậy
2 2 2
dL r 2 r / 2 d. ( vì dL dx dy )
và độ dài của cung đường cong AB được tính bởi công thức
L r 2 r / 2 d.
Ví dụ. Tính độ dài của đ ường Cardioide r a1 cos , a 0.
Vì tính đối xứng của đường Cardioide nên chỉ cần tính độ dài của một nửa đường, rồi nhân kết
quả với 2. Nửa đường Cardioide ứng với khoảng biến thiên của từ 0 đến . Do đó ta có
75
L2 a 2 1 cos 2 a 2 sin 2 d
0
2a 21 cos d
0
4a cos 2
d 8asin 2 0
8a.
Hình 42 0
§3. Tích phân suy rộng
Ở mục tiêu trên ta đã xét khái niệm tích phân xác định với giả thiết khoảng lấy tích phân là hữu
hạn và hàm dưới dấu tích phân bị chận. Bây giờ ta sẽ mở rộng định nghĩa tích phân xác định
trong hai trường hợp.
i) Khoảng lấy tích phân là vô hạn.
ii) Hàm dưới dấu tích phân không bị chận.
3.1. Tích phân suy rộng loại 1(Khoảng lấy tích phân là vô hạn)
3.1.1. Định nghĩa.
Khoảng lấy tích phân là a,
Giả sử hàm fx xác định trên a, và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a, b, a b .
Tích phân suy rộng loại 1 của hàm fx trên a, được ký hiệu
fxdx
a
là giới hạn hữu hạn ( nếu có )
b
fxdx lim fxdx.
a b a
Khi đó ta nói rằng tích phân hội tụ. Nếu ngược lại, ta nói rằng tích phân phân kỳ ( tức là khi
giới hạn bằng hoặc không tồn tại)
Về phương diện hình học, tích phân suy rộng fxdx biểu thị diện tích hình thang cong vô
a
hạn như hình 43.
Hình 43
Ví dụ. Xét tích phân dx
x
, (a 0).
a
Nếu 1, thì
76
b
dx
x
1
1
x 1 | b
a
1
1
b 1 a 1
a
Nếu 1, thì lim b 1 0. Suy ra
b
b
dx
x
lim dx
x
a 1
1
.
a b a
b
Nếu 1, thì lim b 1 . Suy ra dx
x
phân kỳ vì lim dx
x
.
b a b a
b
Nếu 1, thì dx
x ln b ln a khi b . Vậy tích phân dx
x phân kỳ.
a a
hội tụ nếu 1,
Tóm lại: tích phân dx
x
, a 0
a phân kỳ nếu 1.
3.1.2. Phương pháp tính. Công thức Newton-Leibnitz mở rộng
Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên a, . Vậy
b
lim fxdx lim Fb Fa.
b a b
Cho nên tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi lim Fb F. Vậy ta có thể viết
b
fxdx F Fa Fx| .
a
a
Công thức nầy được gọi là công thứcNewton-Leibnitz mở rộng
Khoảng lấy tích phân là , b
Tương tự như trên, ta định nghĩa tích phân suy rộng (loại 1)
b b
fxdx lim fxdx.
a
a
Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên , b và đặt F lim Fa, thì
a
b b
fxdx lim fxdx
a
a
lim Fb Fa
a
Fb F Fx| b .
Công thức nầy cũng được gọi là công thứcNewton-Leibnitz mở rộng
Khoảng lấy tích phân là , .
Ta viết
77
a
fxdx fxdx fxdx.
a
Tích phân suy rộng fxdx hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng ở vế phải là hội tụ.
Ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng
fxdx F F Fx| ,
với Fx là một nguyên hàm của fx trên , và
F lim Fb, F lim Fa.
b a
Ví dụ. Tính tích phân dx
x 2 x2
.
2
Ta có
dx
x 2 x2
dx
x2x1
2 2
x1
1 1
x2
dx 1
3
ln x1
x2 2
2
1 x1 1
3
lim ln x2
ln 4
x
1 2
3
0 ln 4 3
ln 2.
3.1.3. Tích phân các hàm không âm. Các đ ịnh lý so sánh.
Nếu fx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a, thì
b
b fxdx
a
là một hàm tăng trên a, , cho nên giới hạn lim b tồn tại khi và chỉ khi b bị chận
b
trên, nghĩa là tồn tại hằng số M sao cho
b M b a.
Từ đó ta có
Định lý. Cho fx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a. Khi đó tích phân fxdx
a
hội tụ khi và chỉ khi tồn tại hằng số M sao cho
b
fxdx M b a.
a
Định lý. Cho fx, gx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a.
Giả sử rằng
78
fx gx x a.
Khi đó, nếu
i) gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ,
a
a
ii) fxdx phân kỳ thì gxdx phân kỳ.
a a
Định lý. Cho fx, gx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a.
Giả sử rằng
fx
lim gx
K, 0 K .
x
Khi đó,
i) 0 K : Hai tích phân fxdx và gxdx cùng tính chất, tức là, đồng thời hội tụ
a a
hay đồng thời phân kỳ.
ii) K 0 : Nếu gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
iii) K : Nếu gxdx phân kỳ thì fxdx phân kỳ.
a a
Chứng minh.
i) 0 K : Với 0 K và với x đủ lớn ta có
fx
0 K gx
K
hay
K gx fx K gx.
Tiếp theo ta sử dụng định lý trên.
ii) K 0 : Với 0 và ta có với x đủ lớn
fx
0 gx
, do đó 0 fx gx.
Sử dụng định lý trên ta có Đpcm.
gx
iii) K : Suy ra lim fx 1/K 0. Sử dụng phần ii) ta có Đpcm.
x
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân cos 2 x
1x 2
dx.
0
Vì
cos 2 x 1
1x 2
1x 2
với mọi x 0.
Mà tích phân dx
1x 2
hội tụ nên tích phân đã cho hội tụ.
0
79
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân dx
.
x 1x 2
1
Ta có dx
x2
là hội tụ, và
1
1 1
lim : x2
1,
x x 1x 2
nên tích phân đã cho hội tụ (K 1).
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân x 3/2
1x 2
dx.
1
Ta có dx
x 1/2
phân kỳ, và
1
x 3/2 1
lim 1x 2
: x 1/2
1,
x
nên tích phân đã cho phân kỳ (K 1).
3.1.4. Hội tụ tuyệt đối
Người ta chứng minh được rằng
Định lý. Nếu |fx|dx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
Trong trường hợp nầy, người ta nói fxdx hội tụ tuyệt đối.
a
Nếu fxdx hội tụ, mà |fx|dx phân kỳ, thì ta nói fxdx bán hội tụ (hội tụ mà không
a a a
hội tụ tuyệt đ ối).
b
Chú thích. Đối với các tích phân suy rộng fxdx hoặc fxdx ta cũng có các tiêu chuẩn
so sánh tương tự.
|cos x|
Ví dụ. Tích phân cos x
1x 2
dx hội tụ tuyệt đối, vì tích phân 1x 2
dx hội tụ
0 0
Thật vậy ta có
|cos x|
1x 2
1
1x 2
với mọi x 0 và dx
1x 2
hội tụ.
0
3.2. Tích phân suy rộng loại 2( Hàm dưới dấu tích phân không bị chận)
3.2.1. Định nghĩa.
Cho hàm fx xác định trên a, b và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a, b / , a b / b.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
b/
lim fxdx
b / b0 a
80
thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của hàm fx trên a, b và được ký hiệu là
b
fxdx.
a
Như vậy,
b b/ b
fxdx lim fxdx lim fxdx.
a b / b0 a 0 a
1
Ví dụ. dx
arcsin1 . Vậy
1x 2
0
1 1
dx
lim dx
lim arcsin1
1x 2 0 1x 2 0
0 0
arcsin 1 /2.
b
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân dx
bx
, (a b).
a
Với 0 thì ta được tích phân xác định thông thường.
Với 1, ta có
b
b
dx
bx
1
1
b x 1 a
1
1
b a 1 1 .
a
Nếu 1, thì lim 1 0, vậy
0
b b
dx
bx
lim dx
bx
1
1
b a 1 .
a 0 a
b b
Nếu 1, thì lim 1
, do đó lim dx
bx
, vậy tích phân dx
bx
phân kỳ.
0 0 a a
b b
Nếu 1, thì dx
bx
lnb a ln khi 0 . Vậy tích phân dx
bx
phân
a a
kỳ.
b
hội tụ nếu 1,
Tóm lại ta có: tích phân dx
bx
a phân kỳ nếu 1.
Nếu f : a, b sao cho fx và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a / , b, a a / b.
Ta định nghĩa
81
b b b
fxdx lim fxdx lim fxdx.
a a / a0 0 a
a/
Nếu f : a, c c, b , a c b, ta định nghĩa
b c b
fxdx fxdx fxdx.
a a c
b
Trong đẳng thức trên, tích phân suy rộng fxdx hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy
a
rộng ở vế phải là hội tụ.
3.2.2. Công thức Newton-Leibnitz mở rộng
Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên a, b. Ta có
b b/
fxdx lim fxdx lim Fb / Fa
a b / b0 a b / b0
Fb Fa.
Ta có thể viết
b
fxdx Fb Fa Fx| b ,
a
a
với Fb lim Fx.
xb0
Tương tự cho các trường hợp khác.
3.2.3. Tích phân các hàm không âm. Các đ ịnh lý so sánh.
Cho fx, gx 0 trên a, b và khả tích trên a, b / , b / a, b.
Ta có các định lý so sánh như sau.
Định lý. Nếu
fx gx x a, b.
Khi đó, nếu
b b
i) gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ,
a a
b b
ii) fxdx phân kỳ thì gxdx phân kỳ.
a a
Định lý. Giả sử rằng
fx
lim gx
K, 0 K .
xb
Khi đó,
b b
i) 0 K : Hai tích phân fxdx và gxdx cùng tính chất, tức là, đồng thời hội tụ
a a
82
hay đồng thời phân kỳ.
b b
ii) K 0 : Nếu gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
b b
iii) K : Nếu gxdx phân kỳ thì fxdx phân kỳ.
a a
Chứng minh.các định lý trên cũng tương tự như chứng minh các định lý 3.1.3.
Chú thích: Các định lý so sánh trên đây cũng đúng cho các hàm không âm trên a, b và khả
tích trên a / , b, a / a, b, trong đó điều kiện fx gx x a, b sẽ dược thay bởi
fx fx
fx gx x a, b và lim gx sẽ dược thay bởi lim gx .
xb xa
3.2.4. Hội tụ tuyệt đối
Người ta chứng minh được rằng
b b
Định lý. Nếu tích phân |fx|dx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
b b
Trong trường hợp nầy, người ta nói fxdx hội tụ tuyệt đối. Nếu fxdx hội tụ, mà
a a
b b
|fx|dx phân kỳ, thì ta nói fxdx bán hội tụ (hội tụ mà không hội tụ tuyệt đ ối).
a a
1
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 1
dx.
3 1x 2
0
1
Ta có 1
1x 1/3
dx hội tụ ( 1/3 1). Hơn nữa
0
1 1 1
lim : 1x 1/3
3
,
3 1x 2 2
x1
1
nên tích phân đã cho hội tụ (K 3
).
2
83
BÀI TẬP CHƯƠNG III
1. Tính các tích phân bất định sau đây
1x 2
1/ x x dx
2/ a x b x 2 dx
1x 2
3/ x1x 2
dx
4/ x 25 3
x 2 dx
5/ sin x
dx
12 cos x
1tg 2 x
6/ dx
1tgx
7/ ex
e 2x 4
dx
8/ dx
, (x 0)
x x 2 1
9/ x 1 2x 4 3 dx
3
10/ x1 x
dx
11/ xdx
x 4 1
12/ sin 4xdx
cos 2 2x4
3x5
13/ x dx
14/ tg xdx
3
15/ x 3 a x 2 dx
16/ x2 3 dx
x 2 x
17/ x1 dx
x1 x 2
18/ dx
xx 2
19/ x 4 1 dx
x 2 1
20/ 1e xdx
21/ x 2 arctgxdx
22/ x 2 2x 3 cos xdx
23/ x 3 ln xdx
24/ x 2 1e 2x dx
25/ arcsin x dx
x2
26/ e cos 3xdx
2x
27/ sin 3 x dx
28/ x 2arctgx2 dx
1x
29/ sinln xdx
2
30/ x lnx 1x dx.
2
1x
2. Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau đây
84
1/ x 3 3xx3 dx
2x 2
2 3x2
2/ x 2 1x 2 9 dx
1x
3/ 5x 3 17x 2 18x5
x1 3 x2 2
dx
4/ 2xdx
1x1x 2 2
5/ 1x 4
1x 4
dx
6/ x1
x 2 x1
dx
7/ x2
x 2 2x3 2
dx
8/ dx
x 2 4x5
9/ xdx
x 2 5x4
10/ xdx
x 4 6x 2 13
.
3. Tính tích phân các hàm lượng giác sau
1/ 35 sindx cos x
x3
2/ sin 2 x4 sin x cos x
cos 2 xdx
3/ cos 3 xsin 2 x1
sin 2xdx
4/ cos xx dx
5
sin
5/ cot g 3 3xdx
6/ sin x sin 2 sin 3 dx
x x
7/ cos3 x dx
4x
sin
8/ cos 8x dx
sin 3
x
9/ sin 3 x cos 5 x
dx
10/ sin 4 x cos 2 x .
dx
4. Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau đây
1 4 x
1/ 1 x dx
6 x
2/ 1 3 x
dx
3/ dx
12x 4 12x
4/ 1x dx
1x x
5/ dx
1x 2 3/2
6/ dx
x 3 x 2 1
7/ dx
x1 x 2 2x3
x1dx
8/
x1 x 2 1
x 3 2x
9/ dx
x 3 2x
10/ 1 2x x 2 dx.
5. Dùng định nghĩa tính các tích phân sau
2
1/ e x dx
1
85
/2
2/ cos xdx
0
b
3/ dx
x2
; (0 a b)
a
1
4/ a x dx; (a 0, a 1).
0
6. Tìm giá trị trung bình của các hàm sau
1/ fx x trên 1, 9
2x
2/ fx sin x ; trên 0, /6.
cos
7. Dùng công thức Newton-Leibnitz để tính các tích phân sau
16
1/ dx
x9 x
0
e
2/ dx
x 1ln 2 x
1e
3/ |ln x|dx
1/e
/2
4/ cos 4 x
3sin x
dx
/4
2
x2, khi 0 x 1,
5/ fxdx nếu fx
0
2 x, khi 1 x 2.
1
6/ dx
x 2 2x2
0
e
7/ dx
x1ln 2 x
.
1
8. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến
/2
1/ dx
2cos x
0
1
2/ x 2 dx
1x 4
0
1
3/ xdx
1 x
0
7
4/ x3
dx
3 x 2 1 2
3
0
5/ 1e x
1e x
dx
ln 3
86
3
6/ x 2 9 x 2 dx
3
3
7/ x
6x
dx
0
3
1x 2
8/ x2
dx.
1
9. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần
1
1/ xe x dx
0e
2/ x ln xdx
1
1
3/ xarctgxdx
1
/2
4/ e x cos xdx
e0
5/ ln 2 xdx.
1
10. Khảo sát sự hội tụ và tìm giá trị ( trong trường hợp hội tụ ) của các tích phân suy rộng sau
0
1/ xe x dx
2/ cos xdx
0
3/ dx
x 2 1 2
2
4/ x 5 dx
4x 2
0
1
5/ dx
x1x
0
2
6/ dx
x1 2
0
1
7/ ln 2 x
x dx
0
2
8/ xdx
x 2 1
.
2
11. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
ln1x
1/ x dx
1
87
2/ 1 cos 2 dx
x
1
3/ x 2 1
x3
dx
1
1
4/ dx
e 3 x 1
0
1
5/ dx
tgxx
0
1
x dx
6/ e sin x 1
0
1
7/ dx
e x cos x
.
0
12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1/ y 2 x 3 , x 0, y 4
x at sin t,
2/ Một nhịp của đường Cycloide và trục Ox.
y a1 cos t,
3/ y x 2 4 và x y 4 0
4/ y x 3 , y x, y 2x
5/ x 2 y 2 4 và y 2 2x
6/ Đường Cardioide r a1 cos và đ ường tròn r a, (a 0)
7/ ax y 2 và ay x 2 , (a 0)
8/ r 3 2 cos
9/ x 2 y 2 4 và x 2 y 2 2x 0
x 2t t 2 ,
10/ (phần tự cắt của đường cong)
y 2t 2 t 3 .
13. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây
khi cho nó quay quanh trục tương ứng
1/ y 2 x 4 0, x 0 quay quanh trục Oy.
2/ xy 4, y 0, x 1 và x 4 quay quanh trục Ox.
x at sin t,
3/ Một nhịp của đường Cycloide (a 0) quay quanh trục Ox.
y a1 cos t,
4/ y x sin x, y 0, 0 x quay quanh trục Ox.
5/ y e 2x 1, y e x 1, x 0 quay quanh trục Ox.
14. Tìm độ dài của đường cong
1/ 9y 2 43 x 3 gồm giữa các giao điểm của nó với trục Oy.
2/ 2y x 2 2 gồm giữa các giao điểm của nó với trục Ox.
3/ r a1 cos , (a 0)
4/ y 1 3 x x , 0 x 3
3
5/ y 1 x 2 1 ln x, 1 x e
4 2
6/ x a cos 4 t, y a sin 4 t, 0 t /2, (a 0)
88
7/ x at sin t, y a1 cos t, 0 t 2
8/ r a sin 3 3 , (a 0).
89
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1. Bổ túc về số phức
1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa. Đơn vị ảo, ký hiệu là i, là một số thỏa:
i 2 1.
Định nghĩa. Biểu thức có dạng a bi, trong đó a và b là các số thực, được gọi là một số phức,
thường viết là z a bi,
a được gọi là phần thực của z, ký hiệu là Re z,
b được gọi là phần ảo của z, ký hiệu là Imz,
a Re z, b Im z.
Chú thích.
- Nếu b 0, thì z a là một số thực, vậy số thực là một trường hợp riêng của số phức.
- Nếu a 0, thì z bi là một số thuần ảo.
Định nghĩa. (hai số phức bằng nhau). a 1 b 1 i a 2 b 2 i khi và chỉ khi a 1 a 2 và b 1 b 2 .
Định nghĩa. Cho số phức z a bi. Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của z.
Như vậy hai số phức liên hợp với nhau nếu chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo đối
nhau.
1.2. Biểu diễn hình học và dạng đại số, lượng giác, mũ của số phức
Hình 44
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng
Người ta biểu diễn số phức z a bi trên mặt phẳng Oxy bằng một điểm A có tọa độ a, b.
Điểm Aa, b đ ược gọi là ảnh của số phức z a bi. Như vậy mỗi số phức có một ảnh xác
định và mỗi điểm của mặt phẳng Oxy là ảnh của một số phức xác định. Mặt phẳng Oxy được
gọi là mặt phẳng phức. Người ta không phân biệt số phức z a bi với ảnh Aa, b của nó.
Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là . Ảnh của hai số phức liên hợp với nhau là hai
điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
Nếu b 0 thì A nằm trên Ox, lúc đó z a là một số thực, cho nên trục Ox còn được gọi là trục
thực.
Nếu a 0 thì A nằm trên Oy, lúc đó z bi là một số thuần ảo, cho nên trục Oy còn được gọi là
trục ảo.
Nếu ta nối điểm A với gốc O, ta được véctơ OA thì ta có thể xem véctơ OA là biểu diễn hình
học của số phức z a bi.
Định nghĩa. Dạng z a bi đ ược gọi là dạng đại số của số phức z.
90
Hình 45
Dạng lượng giác của số phức.
Gọi r, , r 0 là tọa độc cực của điểm Aa, b đối với trục cực Ox và cục O.
Người ta gọi r là môđun của số phức z a bi, ký hiệu là |z| và (được xác định sai khác
2k) là arcgument của số phức z, ký hiệu là Argz:
r |z|, Argz.
Rõ ràng ta có
a r cos , b r sin .
Do đó
a bi rcos i sin .
Dạng z rcos i sin được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Ta có
r a 2 b 2 , tg b .a
Giá trị 0, 2 được gọi là giá trị chính của Argz. Góc tổng quát được xác đ ịnh sai khác
2k, ( k nguyên). Để có giá trị chính 0, 2 ta chú ý b r sin nên sin trùng dấu với y.
Ví dụ. Viết các số phức sau đ ây dưới dạng lượng giác
a) 1 i; b) 1; c) i; d) 1; e) i.
2 2
a) Ta có r 1 1 2 và điểm 1, 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất. Từ tg 1, ta
chọn /4. Vậy
1 i 2 cos /4 i sin /4.
Tương tự ta có
b) 1 1cos 0 i sin 0
c) i 1cos /2 i sin /2
d) 1 1cos i sin
e) i 1cos 3 i sin 3 .
2 2
Dạng mũ của số phức.
Cho số phức z rcos i sin dưới dạng lượng giác. Ta công nhận công thức Euler sau
đây
e i cos i sin e i
Khi đó ta có dạng mũ của số phức
z re i .
1.3. Các phép tính về số phức
Phép cộng và trừ số phức
Cho hai số phức z 1 a 1 b 1 i, z 2 a 2 b 2 i. Tổng z 1 z 2 và hiệu z 1 z 2 của chúng được
định nghĩa như sau
z 1 z 2 a 1 b 1 i a 2 b 2 i a 1 a 2 b 1 b 2 i,
91
z 1 z 2 a 1 b 1 i a 2 b 2 i a 1 a 2 b 1 b 2 i.
Dễ thấy rằng véctơ biểu diễn tổng (hiệu) của hai số phức là tổng (hiệu) của hai véctơ biểu diễn
các số phức nói trên.
Hình 46 Hình 47
Chú thích. Ta có
z z a bi a bi 2a.
Vậy tổng của hai số phức liên hợp với nhau là một số thực.
Phép nhân số phức
Cho hai số phức z 1 a 1 b 1 i, z 2 a 2 b 2 i. Tích của hai số phức z 1 z 2 mà ta có được bằng
cách nhân chúng như nhân hai nhị thức trong đại số, với chú ý là i 2 1.
z z 1 z 2 a 1 b 1 ia 2 b 2 i
a1a2 a1b2i b1a2i b1b2i2
a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 i.
2 2
Chú thích. z z a bia bi a 2 bi 2 a 2 b 2 z z .
Vậy tích của hai số phức liên hợp với nhau bằng bình phương của môđun của mỗi số phức đó.
là một số thực.
Bây giờ giả sử hai số phức được viết dưới dạng lượng giác.
z 1 r 1 cos 1 i sin 1 ,
z 2 r 2 cos 2 i sin 2 .
Khi đó ta có
z 1 z 2 r 1 r 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2
r 1 r 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos 1 sin 2
r 1 r 2 cos 1 2 i sin 1 2 .
Vậy
z1z2 z1 z2 ,
Argz 1 z 2 Argz 1 Argz 2 , mod 2
Ký hiệu 1 2 (mod 2) có nghĩa là 1 2 là bội số của 2.
Phép chia số phức
Số phức z 1 chia cho số phức z 2 0 là một số phức ký hiệu là z 1 z sao cho zz 2 z 1 . Nếu
z2
92
z 1 r 1 cos 1 i sin 1 ,
z 2 r 2 cos 2 i sin 2 ,
z cos i sin ,
thì ta suy ra
r 2 r 1 ,
2 1 , mod 2
hay
r1
r2 ,
1 2 , mod 2
Do đó
z1 r 1 cos 1 i sin 1 r1
z2 r 2 cos 2 i sin 2
r2 cos 1 2 i sin 1 2 , (r 2 0)
Đặc biệt nếu z rcos i sin 0 thì
1
z 1 cos i sin.
r
Nếu các số phức z 1 , z 2 được cho dưới dạng đại số z 1 a 1 b 1 i, z 2 a 2 b 2 i, thì phép chia đ
ược thực hiện như sau
z1 z1z2 a 1 b 1 ia 2 b 2 i
z2 z2z2 2
z2
a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2
a 2 b 2
a 2 b 2
i.
2 2 2 2
Chú thích. Tập hợp với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia như trên tạo thành một trường
mà ta gọi là trường số phức. Như vậy trường số phức là mở rộng của trường số thực .
Phép lũy thừa
Từ qui tắc của phép nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta suy ra rằng, nếu
z rcos i sin
thì
z n r n cos n i sin n
hay
rcos i sin n r n cos n i sin n.
Từ đó ta suy ra công thức Moivre:
cos i sin n cos n i sin n, (n 1, 2, . . . ).
Phép khai căn
Giả sử n là số tư nhiên và z rcos i sin 0. Ta gọi số phức n z là một căn bậc n
của z nếu n z. Muốn tìm ta viết nó dưới dạng lượng giác cos i sin . Khi đó
cos i sin n rcos i sin ,
hay
93
n cos n i sin n rcos i sin .
Suy ra
n r,
n 2k, k (tập các số nguyên)
hay
n r,
2k
n , k .
Vậy
2k 2k
n r cos n i sin n , k .
Do tính tuần hoàn của các hàm lượng giác cos và sin, ta suy ra có n giá trị n z khác nhau
ứng với k 0, 1, . . . , n 1.
Ví dụ. Tính 3 1 .
Ta có 1 1cos 0 i sin 0
vậy
k 3 z 3 1 3 1 cos 02k i sin 02k .
3 3
Cho k 0, 1, 2 ta được 3 căn bậc ba khác nhau của 1 là
0 cos 0 i sin 0 1,
2 2 1 3
1 cos 3
i sin 3
2
i 2
,
4 4 1 3
2 cos 3
i sin 3
2
i 2
.
Hình 48
2
Ví dụ. Giải phương trình ax bx c 0, a, b, c , a 0.
Ta có b 2 4ac.
b b
i) Nếu 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 2a , x 2 2a .
ii) Nếu 0 : phương trình có nghiệm kép: x 1 x 2 b .
2a
iii) Nếu 0 : thì có hai giá trị phức liên hợp i 2 i , với là căn
bi
số học của số dương . Do đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: x 1 2a
,
bi
x2 2a
.
Định lý Viet vẫn đúng trong trường hợp này, vì
x 1 x 2 b ,
a
2 2
x 1 x 2 b i 2
2a 2a
b2 b 2 b 2 4ac
4a 2
4a 2
4a 2
c
a .
Chẳng hạn phương trình x 2 x 1 0 có 1 4 3, nên nó có hai nghiệm phức liên
1i 3 1i 3
hợp: x 1 2
, x2 2
.
94
§2. Phương trình vi phân cấp 1
2.1. Các khái niệm chung
2.1.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp1 là phương trình có dạng
1 Fx, y, y / 0,
trong đó F là một hàm theo ba biến đ ộc lập. Nếu giải được phương trình đó đối với y / thì
phương trình vi phân cấp1 có dạng
dy
2 y / fx, y hay dx fx, y,
trong đó f là một hàm theo hai biến đ ộc lập.
Định nghĩa. Bài toán Cauchy hay bài toán điều kiện đầu là bài toán tìm nghiệm của phương
trình vi phân (1) hoặc (2) thỏa điều kiện
3 yx 0 y 0 .
Định nghĩa. Nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) trên khoảng I là một hàm số
y x xác định trên I sao cho khi thay vào (1) hoặc (2) ta được đ ồng nhất thức trên I :
Fx, x, / x 0, x I,
hoặc
/ x fx, x, x I,
Ví dụ. Xét bài toán Cauchy
y
y / x , y1 2.
y dy y dy
Từ y / x , ta có dx x hay dy dx . x
Lấy tích phân hai vế ta được
ln|y| ln|x| ln C 1 , (C 1 0).
Suy ra
y Cx, x 0, (C C 1 ).
Với x 1, y 2 thì 2 C. 1. Vậy C 2. Suy ra nghiệm của bài toán là y 2x, x 0.
2.1.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý. Xét bài toán Cauchy (2), (3). Nếu hàm số fx, y liên tục trong miền mở D 2 , thì
với mọi điểm
x 0 , y 0 D, bài toán Cauchy (2), (3) có nghiệm xác định trong một lận cận của x 0 .
f
Ngoài ra nếu, đạo hàm riêng y liên tục và bị chận trong D thì nghiệm đó là duy nhất.
Định lý trên thường được gọi là định lý Peano-Cauchy-Picard. Ta công nhận định lý nầy.
2.1.3. Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát.
Thông thường nghiệm của phương trình vi phân cấp một thường phụ thuộc vào một hằng số
thực C, và có dạng
y x, C
Định nghĩa. Hàm số y x, C đ ược gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1)
hoặc (2) trong miền D 2 , nếu với mọi điểm x 0 , y 0 D, tồn tại duy nhất một hằng số C 0
sao cho y x, C 0 là nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) thỏa điều kiện đầu
yx 0 y 0 ,
nghĩa là: tồn tại duy nhất một hằng số C 0 sao cho
i/ y x, C 0 là nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) trong khoảng nào đ ó chứa x 0 ,
ii/ yx 0 , C 0 y 0 .
Định nghĩa. Ta gọi nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một là nghiệm y x, C 0 mà
95
ta nhận được từ nghiệm tổng quát y x, C bằng cách cho hằng số tùy ý C một giá trị cụ thể
C0.
Trở lại ví dụ trên, ta thấy
y Cx, (x 0)
là nghiệm tổng quát của phương trình ( C là một hằng số tùy ý),
y
y/ x .
Ngoài ra, y 2x, (x 0)
là nghiệm riêng của phương trình trên, thỏa điều kiện đầu y1 2, (C 2)
Tất nhiên mọi nghiệm của bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng.
Định nghĩa. Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào
sẽ đươc gọi là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ. Xét phương trình vi phân y / 1 x 2 .
dy
Ta có 2
dx.
1x
Lấy tích phân hai vế ta được arcsin y x c. Suy ra y sinx C, C là hằng số tùy ý. Đó là
nghiệm tổng quát.
Ngoài ra ta thấy y 1 cũng là nghiệm, nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát.
Đó là các nghiệm kỳ dị. Khi giải phương trình (1) hoặc (2) có khi ta cũng không nhận được
nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh y x, C, mà nhận được một hệ thức có dạng
4 x, y, C 0.
Khi đó nghiệm tổng quát được xác định dưới dạng hàm ẩn. Phương trình (4) đươc gọi là tích
phân tổng quát của (1) hoặc (2). Cho C C 0 ta được phương trình
5 x, y, C 0 0.
mà ta gọi là tích phân riêng của phương trình vi phân nói trên.
2.2. Phương trình vi phân cấp 1 tách biến
2.2.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 tách biến là phương trình có dạng
6 fxdx gydy 0.
2.2.2. Cách giải: Lấy tích phân bất định hai vế ta được tích phân tổng quát
fxdx gydy C.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
x y
1x 2
dx 1y 2
dy 0.
Lấy tích phân, ta được
y
x
1x 2
dx 1y 2
dy C 1
1 1
2
ln1 x 2 2
ln1 y 2 C 1
ln1 x 2 1 y 2 2C 1 .
Ta được tích phân tổng quát
1 x 2 1 y 2 C, C e 2C 1 0.
Chú thích. Phương trình dạng
7 f 1 xg 1 ydx f 2 xg 2 ydy 0
có thể đưa về dạng (6) như sau:
96
- Nếu g 1 y 0 tại y b (tức là g 1 b 0) thì y b là nghiệm của (7).
- Nếu f 2 x 0 tại x a (tức là f 2 a 0) thì x a là nghiệm của (7).
- Nếu g 1 yf 2 x 0 thì chia hai vế của (7) cho g 1 yf 2 x, ta được
f 1 x g 2 y
f 2 x
dx g 1 y
dy 0.
Lấy tích phân hai vế ta được tích phân tổng quát
f 1 x g 2 y
f 2 x
dx g 1 y
dy C.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / xyy 2.
Ta có
dy xyy 2dx.
- Nếu yy 2 0 thì y 0, y 2 là nghiệm của phương trình.
- Các nghiệm khác tìm được bằng cách thì chia hai vế của phương trình cho yy 2 rồi lấy
tích phân, ta được
dy
yy2
xdx C 1
1
2
1
y
1
y2
dy 1
2
x2 C1
y
ln y2
x 2 ln C 2C 1 .
Vậy tích phân tổng quát là
y 2
y2
Ce x , (C 0)
Chú thích. Phương trình dạng
7 y / fax by c
có thể đưa về phương trình vi phân tách biến bằng cách đổi qua ẩn hàm mới z ax by c.
Thật vậy
dz dy
dx
a b dx a bfz
Nếu a bfz 0 khi z z 0 , thì ax by c z 0 là nghiệm của phương trình vi phân nói trên.
Các nghiệm khác tìm được bằng cách thì chia hai vế của phương trình cho a bfz rồi lấy tích
phân, ta được
dz
abfz
x C.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / x y 1 2 .
Đặt z x y 1 thì z / 1 y / . Thay vào phương trình, ta có 1 z / z 2 hay
dz 1 z 2 dx.
Nếu 1 z 2 0 thì z 1, z 1 là các nghiệm. Chuyển về ẩn hàm cũ bằng cách thay vào
z 1, ta có y x, y x 2 là các nghiệm riêng.
Nếu 1 z 2 0. Chia hai vế cho 1 z 2 ta có
dz
1z 2
dx.
Lấy tích phân hai vế, ta được
97
1 z1 1
2
ln z1
x 2
ln C, C 0.
Suy ra
z1
z1
Ce 2x , C 0.
Sau cùng, ta được tích phân tổng quát
xy2
xy Ce 2x , C 0.
2.3. Phương trình vi phân đ ẳng cấp cấp 1
2.3.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 là phương trình có dạng
y
8 y / f x ,
trong đó f là hàm số cho trước.
2.3.2. Cách giải: Ta đưa về phương trình vi phân tách biến bằng cách đ ổi qua ẩn hàm mới
y
u x . Khi đó
y ux, y / xu / u.
Thay vào (8) ta được
xu / u fu.
hay
x du fu u.
dx
Nếu fu u 0, ta có
dx du
x fuu
.
Đây là phương trình vi phân tách biến. Tích phân hai vế của phương trình đó, ta được
ln|x| du
fuu
ln|C| u ln|C|,
trong đó u du
fuu
. Do đó x Ce u . Vậy tích phân tổng quát của (8) là
x Ce y/x
Nếu fu u 0, thì fy/x y/x và phương trình (8) có dạng
dy y
dx
x
hay
dy dx
y x
Tích phân hai vế của, ta được
ln|y| ln|x| ln|C 1 |,
hay
y Cx, x 0
là nghiệm tổng quát của (8) trong trường hợp fy/x y/x.
Nếu fu u 0, tại u u 0 thì bằng cách thử trực tiếp ta thấy rằng hàm y u 0 x, (x 0)
cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân đẳng cấp
98
y
xy 1 x
y/ xy 1 x
y .
Ta viết lại phương trình vi phân ở trên như sau
y
1 x
y/ 1 x
y .
y
Đặt x u hay y ux, ta có y / u / x u, và thay vào phương trình, ta có
u / x u 1u
1u
hay
dx 1u
x 1u 2
du
Lấy tích phân hai vế, ta được
ln|x| 1u
1u 2
du 1
2
ln|C|
du
1u 2
udu
1u 2
1
2
ln|C|
1 1
arctgu 2
ln1 u 2 2
ln|C|,
hay
lnx 2 1 u 2 2arctgu ln|C|,
do đó
x 2 1 u 2 C 1 e 2arctgu
hay
x 2 y 2 C 1 e 2arctgy/x , C 1 0.
Chú thích. Phương trình dạng
a 1 xb 1 yc 1
9 y/ f a 2 xb 2 yc 2
,
trong đó a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 là các hằng số cho trước, có thể đ ưa về phương trình vi phân
đẳng cấp. Thật vậy, ta xét hai trường hợp:
a1 b1
i) a 1 b 2 a 2 b 1 0 : Khi đó hệ
a2 b2
a 1 x b 1 y c 1 0,
a 2 x b 2 y c 2 0,
có một nghiệm duy nhất x 0 , y 0 . Khi đ ó đặt X x x 0 , Y y y 0 , ta có
Y YX yx y 0 . Cũng chú ý rằng Y / X y / x, sau khi thay vào phương trình, ta nhận
được phương trình vi phân đẳng cấp:
a Xx b Yy c a 1 b 1 Y Y
Y / f a 1 Xx 0 b 1 Yy 0 c 1 f a 1 Xb 1 Y f a b X
a
2 Xb 2 Y Y f X .
2 0 2 0 2 2 2 X
a1 b1
ii) a 1 b 2 a 2 b 1 0 : Khi đó ta có sao cho a 1 a 2 , b 1 b 2 .
a2 b2
Đặt Z a 2 x b 2 y thì Z / a 2 b 2 y / và ta được phương trình vi phân tách biến
99
Zc 1
Z/ a2 b2f Zc 2
Z.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
x y 2dx 2x 2y 1dy 0.
Hệ
x y 2 0,
2x 2y 1 0,
vô nghiệm. Đặt Z x y, ta có dZ dx dy.
Vậy ta viết lại phương trình vi phân ở trên như sau
Z 2dx 2Z 1dZ dx 0,
hay
3 Zdx 2Z 1dZ 0.
Nếu Z 3 0, thì Z 3 là nghiệm hay x y 3 là nghiệm.
Nếu Z 3 0, thì ta có
2Z1
Z3
dZ dx.
Lấy tích phân hai vế, ta được
2Z1
Z3
dZ dx C
hay
2Z 5 ln|Z 3| x C.
Suy ra tích phân tổng quát của phương trình vi phân là
x 2y 5 ln|x y 3| C.
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
2.4.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng
10 y / pxy qx,
trong đó px, qx là các hàm số liên tục cho trước.
Nếu qx 0, thì (10) đươc gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu qx 0, thì (10) đươc gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần
nhất.
2.4.2. Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange)
Trước hết ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất tương ứng với (10)
11 y / pxy 0,
dy
hay dx
pxy.
Với y 0, ta có
dy
y pxdx.
Lấy tích phân hai vế, ta được
100
ln|y| pxdx ln C 1 .
Do đó
12 y Ce .
pxdx
Đó là nghiệm tổng quát của phương trình (11). Ta thấy y 0 cũng là nghiệm của phương trình
(11) và cũng là một nghiệm riêng của phương trình (11) ứng với C 0.
Bây giờ ta coi C không phải là hằng số mà là một hàm khả vi theo biến x. Ta sẽ tìm hàm số
C Cx để biểu thức
y Cxe
pxdx
là nghiệm của phương trình không thuần nhất (10). Lấy đạo hàm (12), ta đ ược
y / C / xe
pxdx
pxCxe
pxdx
.
Thay vào phương trình (10), ta được
C / xe
pxdx
qx,
hay
dC qxe
pxdx .
Lấy tích phân hai vế, ta được
C Cx qxe
pxdx dx C .
1
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (10) là
13 ye
pxdx qxe pxdx dx C .
1
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / y cos x e sin x .
Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y / y cos x 0.
Với y 0, ta có
dy
y cos xdx.
Lấy tích phân, ta được
ln|y| sin x ln C 1 .
Do đó
y Ce sin x .
Đây là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Măt khác y 0 cũng là nghiệm của
phương trình thuần nhất. ứng với C 0.
Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất dưới dạng
y Cxe sin x ,
với C Cx cần phải tìm. Thay vào phương trình đã cho, ta được
101
C / xe sin x cos xe sin x Cx Cxe sin x cos x e sin x ,
hay
C / x 1.
Lấy tích phân, ta được
Cx x C 1 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y x C 1 e sin x .
2.4.3. Phương pháp Bernuoulli
Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất (10) dưới dạng
14 y uxvx.
Thế vào (10), ta được
u / v uv / pxuv qx,
hay
15 u / pxuv uv / qx.
Chọn ux là một nghiệm của phương trình
16 u / pxu 0,
ta có
17 ue
pxdx
Từ (15)–(17), ta được
v/e
pxdx
qx.
Vậy
vx qxe
pxdx dx C .
1
Cuối cùng ta nhận được nghiệm tổng quát cho bởi (13).
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
2
y / sin x y cos x sin2 x .
x
Đặt y uxvx, ta có
2
u / v sin x uv / sin x uv cos x sin2 x ,
x
hay
2
vu / sin x u cos x uv / sin x sin2 x ,
x
Chọn ux là một nghiệm của phương trình
u / sin x u cos x 0,
ta có thể lấy u sin x. Vậy ta có phương trình
2
v / sin 2 x sin2 x ,
x
102
hay v / x12 .
Tích phân, ta được
1
vx x C.
Vậy
y uv 1 C sin x.
x
2.4.4. Phương pháp thừa số tích phân
Nhân hai vế của (10) với thừa số
e
pxdx ,
ta được
y/e
pxdx pxe pxdx y qxe pxdx ,
mà vế trái của đẳng thức nầy chính là đạo hàm của tích số ye
pxdx . Vậy ta viết lại đẳng thức
nầy như sau
d
ye
pxdx qxe
pxdx .
dx
Lấy tích phân hai vế, ta được
ye
pxdx qxe pxdx dx C.
Vậy nghiệm tổng quát của (10) là
ye
pxdx qxe pxdx dx C .
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / 2xy 4x.
Nhân hai vế của phương trình với thừa số
e
2xdx e x 2 ,
ta được
2 2 2
y / e x 2xe x y 4xe x ,
hay
d 2 2
dx
ye x 4xe x .
Lấy tích phân hai vế, ta được
ye x 4 xe x dx C 2e x C.
2 2 2
Vậy nghiệm tổng quát của (10) là
2
y 2 Ce x .
2.5. Phương trình vi phân Bernuoulli
2.5.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân Bernuoulli là phương trình có dạng
103
18 y / pxy qxy ,
trong đó px, qx là các hàm số liên tục của x cho trước và là một hằng số thực cho trước.
Với 0, thì (18) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
y / pxy qx.
Với 1, thì (18) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
y / px qxy 0.
Ở đây ta chỉ cần xét 0 và 1.
2.5.2. Cách giải
Giả sử 0 và 1.
Nếu 0, thì y 0 là một nghiệm riêng của (18). Ngược lại nếu 0, thì y 0 không là
nghiệm của (18).
Giả sử y 0, chia hai vế của (18) cho y , ta được
y y / pxy 1 qx.
Đặt z y 1 , ta có z / 1 y y / và phương trình trên được viết lại
19 z / 1 pxz 1 qx.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với ẩn hàm z. Sau khi giải tìm được nghiệm
tổng quát của phương trình (19), ta trở về ẩn y bởi công thức z y 1 , ta đ ược nghiệm tổng
quát của phương trình (18).
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
20 y / 2xy 4x 3 y 2 .
Đây là phương trình vi phân Bernuoulli ứng với 2 0, do đó thì y 0 là một nghiệm
riêng của phương trình.
Giả sử y 0, chia hai vế của phương trình cho y 2 , ta được
y 2 y / 2xy 1 4x 3 .
Đặt z y 1 , khi đó ta có z / y 2 y / và phương trình trên trở thành
21 z / 2xz 4x 3 .
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với ẩn hàm z.
Nhân hai vế của phương trình (21) với thừa số
e
2xdx e x 2 ,
ta được
2 2 2
z / e x 2xe x z 4x 3 e x ,
hay
d 2 2
dx
ze x 4x 3 e x .
Lấy tích phân hai vế, ta được
ze x 4 x 3 e x dx C.
2 2
Đổi biến t x 2 , dt 2xdx, ta có
104
ze x 2 te t dt C 2te t e t dt C
2
2t 1e t C
2
2x 2 1e x C.
Vậy nghiệm tổng quát của (21) là
2
z 2x 2 2 Ce x .
Trở về ẩn cũ ta thu được nghiệm tổng quát của (20) là
y 1
z 2
1
x 2
.
2x 2Ce
§3. Phương trình vi phân cấp 2
3.1. Các khái niệm chung
3.1.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp2 là phương trình có dạng
22 Fx, y, y / , y // 0,
trong đó F là một hàm cho trước theo bốn biến độc lập. Nếu giải đ ược phương trình (22) đối
với y // thì phương trình vi phân cấp 2 có dạng
23 y // fx, y, y / ,
trong đó f là một hàm cho trước theo ba biến độc lập.
Nghiệm của phương trình vi phân (22) trên khoảng I là một hàm số y x xác định trên I
sao cho khi thay vào (22) ta đ ược đồng nhất thức trên I :
Fx, x, / x, // x 0, x I.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y // 6x 2.
Đặt y / Z, ta có Z / y // 6x 2,
suy ra Z Z / dx C 1 3x 2 2x C 1 ,
tức là y / 3x 2 2x C 1 .
Vậy y 3x 2 2x C 1 dx C 2 x 3 x 2 C 1 x C 2 .
Ta thấy phương trình vi phân cấp2 có nghiệm phụ thuộc vào hai hằng số, nên để xác định một
nghiệm cụ thể cần có hai điều kiện nào đó. Người ta thường xét bài toán Cauchy(bài toán điều
kiện đầu). Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 thỏa điều
kiện đầu
24 yx 0 y 0 , y / x 0 y /0 .
/
với x 0 , y 0 , y 0 là những số cho trước.
3.1.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Nếu hàm số fx, y, y / liên tục trong miền mở nào đó chứa x 0 , y 0 , y /0 , tồn tại nghiệm của
bài toán (23), (24).
f f
Hơn nữa, nếu y , y / liên tục và bị chận trong miền mở nào đó chứa x 0 , y 0 , y /0 , thì nghiệm
ấy là duy nhất.
Ta công nhận định lý nầy.
3.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2
Như đã thấy, nghiệm của phương trình vi phân cấp hai thường phụ thuộc vào hai hằng số thực
C 1 , C 2 , và có dạng
105
y x, C 1 , C 2
Định nghĩa. Hàm số y x, C 1 , C 2 được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
cấp hai (23) trong miền D 3 nếu x 0 , y 0 , y /0 D, tồn tại duy nhất một cặp hằng số C 0 , C 0
1 2
sao cho y x, C 0 , C 0 là nghiệm của phương trình vi phân (23) thỏa các điều kiện đầu
1 2
yx 0 y 0 , y / x 0 y /0 .
Ví dụ. Phương trình vi phân y // y 0 có nghiệm tổng quát y C 1 cos x C 2 sin x trong 3 .
Thật vậy, trước tiên ta thấy hàm số đó là nghiệm của phương trình y // y 0 với mọi hằng số
C 1 , C 2 (kiểm tra trực tiếp). Lấy x 0 , y 0 , y /0 3 , điều kiện đầu (24) có dạng
C 1 cos x 0 C 2 sin x 0 y 0 ,
25
C 1 sin x 0 C 2 cos x 0 y /0 .
Coi C 1 , C 2 như là ẩn, hệ phương trình tuyến tính (25) có nghiệm duy nhất C 0 , C 0 , vì định
1 2
thức của hệ nầy bằng 1 0. Vậy tồn tại duy nhất một cặp C 0 , C 0 để hàm1 2
y C 0 cos x C 0 sin x là nghiệm của phương trình vi phân y // y 0 thỏa các điều kiện đầu
1 2
(25).
Định nghĩa. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát y x, C 1 , C 2 bằng cách cho các hằng
số C 1 , C 2 những giá trị cụ thể đ ược gọi là nghiệm riêng.
Định nghĩa. Phương trình
x, y, C 1 , C 2 0
cho ta mối quan hệ giữa biến độc lập và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai
được gọi là tích phân tổng quát của nó trên.
Nếu cho C 1 C 0 , C 2 C 0 là những giá trị cụ thể ta được phương trình
1 2
x, y, C 0 , C 0 0
1 2
mà ta gọi nó là tích phân nghiệm riêng của phương trình vi phân nói trên.
Về phương diện hình học, tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp hai xác định một
họ đường cong trong mặt phẳng tọa độ phụ thuộc vào hai tham số tùy ý. Các đ ường cong ấy
được gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân.
3.2. Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được
Bây giờ ta xét phương trình vi phân cấp hai có dạng
y // fx, y, y /
mà ta có thể đưa chúng về cấp một.
3.2.1. Phương trình vi phân dạng y // fx
26 y // fx
Cách giải. Vì y // y / / nên từ (26) ta có
y / fxdx C 1 .
Lấy tích phân một lần nữa, ta đ ược
y / fxdx dx C 1 x C 2 .
106
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân
y // sin x
thỏa các điều kiện đầu
y0 0, y / 0 1.
Ta có:
27 y / sin xdx C 1 cos x C 1 .
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y / cos x C 1 dx C 2
28
sin x C 1 x C 2 .
Mặt khác khi x 0 thì y 0 nên từ (29) ta có C 2 0. Khi x 0 thì y / 0 nên từ (27) ta có
1 1 C 1 hay C 1 2. Do đó nghiệm riêng của bài toán Cauchy đã cho là y sin x 2x.
3.2.2. Phương trình vi phân dạng y // fx, y /
29 y // fx, y /
Cách giải. Đặt y / p, khi đó y // p / và (29) có dạng
p / fx, p.
Đây là phương trình vi phân cấp 1. Nếu giải được, ta có nghiệm tổng quát là
p x, C 1 .
/
Vì y p, nên ta có
y / x, C 1 .
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (29) là
y x, C 1 dx C 2 .
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y/
y // x x .
Đặt y / p, ta có y // p / . Do đó phương trình đã cho có dạng
p
p/ x x
hay
p
p/ x x
Đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nhân hai vế với x, ta được
xp / p x 2 ,
hay
d
dx
xp x 2
Lấy tích phân hai vế, ta được
x3
xp 3
C1,
hay
x2 C1
p 3
x .
107
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y x3 C1
2
x dx C 2
x3
9
C 1 ln|x|dx C 2 .
3.2.3. Phương trình vi phân dạng y // fy, y /
Cách giải. Đặt y / p py và xem như là hàm của y. Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức nầy
theo x, ta có
dp dp dy dp
y // dx
dy dx
p dy .
Khi đó, phương trình đã cho có dạng
dy
p/ dx
fy, p.
Đó là phương trình vi phân cấp 1 với ẩn hàm là p py. Nếu phương trình nầy giải được, ta
có
p y, C 1 ,
hay
dy
dx
y, C 1 ,
dy
y,C 1
dx.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y / x, C 1 .
Suy ra tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
dy
y,C 1
x C2.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
yy // y / 2 0.
dp dp dy dp
Đặt y / p py. Ta có y // dx
dy dx
p dy và phương trình đ ã cho có dạng
dp
yp dy p 2 0,
hay
dp
py dy p 0.
dp
Do đó ta được hoặc p 0, hoặc là y dy p 0.
Nếu p 0, ta có y / p 0, suy ra y C.
dp
Nếu y dy p 0, ta nhân hai vế với thừa số y12 , ta thu được
1 dp 1
y dy y2
p 0,
hay
d
dy
1 p 0,
y
Lấy tích phân hai vế, ta được
108
1
y p C 1 , hay p C 1 y, hay y / C 1 y.
Lấy tích phân một lần nữa, ta đ ược y C 2 e C 1 x .
Nếu lấy C 1 0, ta được y C 2 là nghiệm đã thấy ở trên. Vậy nghiệm tổng quát của phương
trình đ ã cho là
y C 2 e C 1 x , C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng
3.3.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng là phương trình có
dạng
30 y // py / qy fx, a x b,
trong đó p, q là các hằng số. Ta luôn giả thiết fx hàm liên tục trong khoảng a, b.
Nếu fx 0, phương trình
31 y // py / qy 0,
được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (30). Ký hiệu vế trái của (30)
là Ly, tức là
Ly y // py / qy 0.
Khi đó L là một ánh xạ tuyến tính. Tính chất tuyến tính được thể hiện như sau:
i) Ly 1 y 2 Ly 1 Ly 2 ,
ii) LCy CLy, C là hằng số
Các tính chất nầy được kiểm tra dễ dàng. Vậy các phương trình (30) và (31) có thể viết dưới
dạng
32 Ly 0,
33 Ly 0,
Từ các tính chất tuyến tính ta thấy rằng, nếu y 1 x và y 2 x là nghiệm của phương trình thuần
nhất (31) thì C 1 y 1 C 2 y 2 cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (31), trong đó C 1 , C 2 là
các hằng số tùy ý.
Bài toán Cauchy
Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình (30) thỏa điều kiện đầu
34 yx 0 y 0 , y / x 0 y /0 ,
với x 0 a, b, y 0 , y /0 cho trước.Ta công nhận kết quả sau:
Định lý (sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Nếu hàm số fx liên tục trong khoảng a, b, thì với mọi x 0 a, b, và với mọi y 0 , y /0 cho
trước, bài toán Cauchy (30),(31) có duy nhất một nghiệm.
Định nghĩa. Hai hàm số y 1 x và y 2 x được gọi là phụ thuộc tuyến tính trong khoảng a, b,
nếu tồn tại các số 1 , 2 không đ ồng thời bằng không, sao cho
35 1 y 1 x 2 y 2 x 0, x a, b.
Trường hợp ngược lại, tức là chỉ đúng trong trường hợp duy nhất 1 2 0 thì các hàm số
y 1 x và y 2 x được gọi là đ ộc lập tuyến tính.
y x
Như vậy, các hàm số y 1 x và y 2 x là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi y 1 x không là hằng số.
2
109
3.3.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Xét phương trình vi phân thuần nhất (31)
31 y // py / qy 0.
Trước hết ta lập một vài kết quả bổ trợ.
Định nghĩa. Cho hai hàm số y 1 x và y 2 x có đạo hàm trong khoảng a, b. Khi đ ó định thức
y 1 x y 2 x
Wx Wy 1 , y 2 det
y /1 x y /2 x
y 1 xy /2 x y /1 xy 2 x 0
được gọi là định thức Wronski của các hàm y 1 x và y 2 x.
Định lý. Nếu hai hàm số y 1 x và y 2 x có đạo hàm y /1 x, y /2 x phụ thuộc tuyến tính trong
khoảng a, b, thì định thức Wronski Wx 0, x a, b.
Chứng minh. Giả sử tồn tại x 0 a, b sao cho Wx 0 0 và
1 y 1 x 2 y 2 x 0, x a, b.
Lấy đạo hàm, ta được
1 y /1 x 2 y /2 x 0, x a, b.
Cho x x 0 ta được hệ phương trình đại số tuyến tính với các ẩn 1 , 2 :
1 y 1 x 0 2 y 2 x 0 0,
1 y /1 x 0 2 y /2 x 0 0.
Hệ đó có định thức Wx 0 0, vậy nó có nghiệm tầm thường duy nhất 1 2 0, tức là,
y 1 x và y 2 x độc lập tuyến tính. Đpcm.
Định lý. Xét phương trình vi phân thuần nhất (31). Hai nghiệm y 1 x và y 2 x của nó độc lập
tuyến tính khi và chỉ khi định thức Wronski Wy 1 , y 2 0, x a, b.
Chứng minh. Nếu Wy 1 , y 2 0, trong a, b, thì theo định lý trên, các hàm y 1 , y 2 của nó độc
lập tuyến tính.
Ngược lại, Giả sử hai nghiệm y 1 x và y 2 x của nó độc lập tuyến tính trong a, b. Ta cần
chứng minh Wx 0, x a, b.
Giả sử ngược lại, x 0 a, b sao cho Wx 0 0. Khi đó hệ
1 y 1 x 0 2 y 2 x 0 0,
36
1 y /1 x 0 2 y /2 x 0 0,
có định thức Wx 0 0, nên có nghiệm không tầm thường( không đồng thời bằng không).
Xét hàm số
y 1 y 1 x 2 y 2 x.
Hàm nầy cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (31). Hơn nữa, theo (36) thì nghiệm đó
thỏa mãn điều kiện đầu
yx 0 0, y / x 0 0.
Nhưng theo tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, đó chính là nghiệm y 0 trong a, b,
vậy
1 y 1 x 2 y 2 x 0, trong a, b,
110
tức là y 1 và y 2 phụ thuộc tuyến tính. Định lý được chứng minh.
Định lý. Cho y 1 x và y 2 x là hai nghiệm độc lập tuyến tính trong a, b của phương trình
thuần nhất (31). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (31) có dạng
37 y C 1 y 1 x C 2 y 2 x,
với C 1 , C 2 là hai hằng số.
Chứng minh. Hiển nhiên hàm số có dạng (37) là nghiệm của phương trình (31) với mọi hằng
số C 1 , C 2 .
Ngược lại, Giả sử u ux là nghiệm của bài toán (31), (34). Ta cần chứng minh rằng, khi đó
tồn tại duy nhất một cặp số C 0 , C 0 sao cho u C 0 y 1 x C 0 y 2 x.
1 2 1 2
Với x 0 , u 0 , u /0 ta xét hệ phương trình với ẩn là C 1 , C 2 .
C 1 y 1 x 0 C 2 y 2 x 0 u 0 ,
38
C 1 y /1 x 0 C 2 y /2 x 0 u /0 .
Định thức của hệ phương trình nầy là
y 1 x 0 y 2 x 0
Wx 0 det 0,
y /1 x 0 y /2 x 0
vì hai nghiệm y 1 , y 2 độc lập tuyến tính. Vậy hệ (38) có một nghiệm C 0 , C 0 duy nhất. Điều nầy
1 2
có nghĩa là
u C 0 y 1 x C 0 y 2 x là nghiệm của phương trình (31), thỏa điều kiện (34).
1 2
Như vậy muốn tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (31), ta chỉ cần tìm hai
nghiệm riêng đ ộc lập tuyến tính của nó, rồi lấy tổ hợp tuyến tính của chúng.
Ta tìm nghiệm riêng của (31) dưới dạng
39 y e kx ,
trong đó k là một hằng số nào đó. Ta có
y / ke kx , y // k 2 e kx .
/ //
Thay các biểu thức y, y , y vào (31) ta được
e kx k 2 pk q 0.
Vì e kx 0 nên ta được
40 k 2 pk q 0.
Vậy nếu k thỏa mãn phương trình (40) thì hàm y e kx là một nghiệm riêng của phương trình
(31). Phương trình (40) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (31). Có
ba trường hợp sau đây
i) Phương trình (40) có hai nghiệm thực phân biệt k 1 , k 2 .
Khi đó ta có hai nghiệm riêng của phương trình (31) là
y 1 e k1x , y 2 e k2x .
Hai nghiệm ấy độc lập tuyến tính, vì
y1 k 1 k 2 x
y2 e hằng số.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (31) là
y C 1 e k1x C 2 e k2x
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
111
y // 6y / 8y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 6k 8 0.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k 1 2, k 2 4.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 e 2x C 2 e 4x , trong đ ó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
ii) Phương trình (40) có nghiệm kép k 1 k 2 p/2.
Lúc đó ta có một nghiệm riêng của phương trình (31) là y 1 e k 1 x . Ta sẽ chứng minh
y 2 xe k 1 x cũng là một nghiệm riêng của phương trình (31). Thật vậy, ta có
y /2 e k 1 x k 1 xe k 1 x 1 k 1 xe k 1 x ,
y // k 1 e k 1 x k 1 1 k 1 xe k 1 x
2
2k 1 k 2 xe k 1 x .
1
Thay các biểu thức y 2 , y /2 , y // vào (31) ta được
2
// /
y 2 py 2 qy 2 e k 1 x 2k 1 k 2 x p1 k 1 x qx
1
e k 1 x k 2 pk 1 qx 2k 1 p.
1
Vì k 1 p/2 là nghiệm kép của phương trình (40) nên
k 2 pk 1 q 0, 2k 1 p 0.
1
Vậy
y // py /2 qy 2 0.
2
Hai nghiệm y 1 và y 2 độc lập tuyến tính, vì
y2
y 1 x hằng số.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (31) là
y C 1 e k 1 x C 2 xe k 1 x C 1 C 2 xe k 1 x ,
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
iii) Phương trình (40) có hai nghiệm phức liên hợp k 1 i, k 2 i.
Ta có hai nghiệm riêng của phương trình (31) là
y 1 e k 1 x e ix e x e ix ,
y 2 e k 2 x e ix e x e ix .
Dùng công thức Euler
e ix cos x i sin x, e ix cos x i sin x,
ta được
y 1 e x cos x i sin x,
y 2 e x cos x i sin x.
Khi đó các hàm
112
y 1 y 2
y1 2
e x cos x,
y 1 y 2
y2 2i
e x sin x,
cũng là các nghiệm của phương trình (31). Hai nghiệm nầy độc lập tuyến tính, vì
y1
y 2 cot gx hằng số.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (31) là
y C 1 e x cos x C 2 e x sin x
e x C 1 cos x C 2 sin x,
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y // 4y / 4y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 4k 4 0.
Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k 1 k 2 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 C 2 xe 2x , trong đ ó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y // 2y / 4y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 2k 4 0.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp k 1 1 i 3 , k 2 1 i 3 .
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y e x C 1 cos 3 x C 2 sin 3 x, trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
3.3.3. Phương trình vi phân không thuần nhất
Bây giờ ta xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (30) sau
30 y // py / qy fx, a x b,
trong đó p, q là các hằng số và hàm fx hàm liên tục trong khoảng a, b. Xét phương trình vi
phân thuần nhất tương ứng với phương trình(30)
31 y // py / qy fx.
Định lý. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (30) bằng tổng của nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (31) với một nghiệm riêng nào đó của
phương trình không thuần nhất (30).
Chúng minh. Gọi y tq là nghiệm tổng quát của (31) và y r là nghiệm riêng của (30).
Đặt y y tq y r .
Ta có y / y /tq y /r , y // y // y // .
tq r
/ //
Khi đó, thay y, y , y vào vế trái của (30), ta có y y tq y r là nghiệm của phương trình không
thuần nhất (30), bởi vì
113
Ly y // py / qy
Ly tq Ly r
0 fx fx.
Ngược lại, cho y là một nghiệm của (30). Do y r cũng là nghiệm của (30), nên hiệu số hai
nghiệm ux yx y r x là nghiệm của phương trình thuần nhất (31), bởi vì,
Lu Ly y r Ly Ly r
fx fx 0.
Theo định lý về tổn tại và duy nhất nghiệm thì nghiệm của (31) có dạng (37):
u C1y1 C2y2,
trong đó y 1 , y 2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (31), C 1 , C 2 là các hằng số thích hợp. Vậy
y u yr C1y1 C2y2 yr.
Định lý.( Nguyên lý chồng chất nghiệm). Cho phương trình không thuần nhất
41 y // py / qy f 1 x f 2 x.
Nếu y 1 là nghiệm riêng của phương trình
y // py / qy f 1 x,
và y 2 là nghiệm riêng của phương trình
y // py / qy f 2 x.
thì y y 1 y 2 là nghiệm riêng của phương trình (41).
Chúng minh. Thay y y 1 y 2 vào vế trái của (41), ta có y y 1 y 2 là nghiệm của phương
trình (41), bởi vì
Ly Ly 1 y 2 Ly 1 Ly 2
f 1 x f 2 x.
Chú thích. Định lý vẫn đúng nếu vế phải của phưong trình là tổng của một số hữu hạn các
hàm. Sau đây chúng ta đưa ra một phương pháp để tìm nghiệm riêng của phương trình không
thuần nhất (30) khi vế phải fx có một số dạng đ ặc biệt. Đó là phương pháp hệ số bất định. Ta
xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. fx e x P n x, trong đó là số thực, P n x là đa thức bậc n.
a) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (40), thì ta tìm nghiệm riêng y r theo
dạng
y r e x Q n x, với Q n x là đa thức bậc n với n 1 hệ số chưa biết.
Để tìm các hệ số chưa biết, ta thay y r vào phương trình (30) rồi đ ồng nhất các hệ số của các
lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế ta sẽ được một hệ n 1 phương trình bậc nhất với n 1 ẩn
là các hệ số của đa thức Q n x.
b) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (40), thì ta tìm nghiệm riêng y r theo dạng
y r xe x Q n x, với Q n x là đa thức bậc n.
c) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (40), thì ta tìm nghiệm riêng y r theo dạng
y r x 2 e x Q n x, với Q n x là đa thức bậc n.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y // y / 2y 4x 2 .
114
Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y // y / 2y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 k 2 0.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt là k 1 1, k 2 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y tq C 1 e x C 2 e 2x , trong đó C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý. Đối chiếu với
dạng của vế phải fx 4x 2 e x P n x, ta có n 2, 0. Vì 0 không là nghiệm của
phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng y r của phương trình đã cho theo dạng
y r e 0x Q 2 x Ax 2 Bx C.
Lấy đạo hàm y /r , y // rồi thế vào phương trình đã cho
r
2A 2Ax B 2Ax 2 Bx C 4x 2 ,
hay
2Ax 2 2A 2Bx 2A B 2C 4x 2 .
Cân bằng các hệ số cùng bậc ở hai vế, ta được một hệ phương trình tuyến tính
2A 4,
2A 2B 0,
2A B 2C 0.
Giải hệ nầy, ta được A 2, B 2, C 3. Vậy
y r 2x 2 2x 3.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y y tq y r C 1 e x C 2 e 2x 2x 2 2x 3.
Ví dụ. Giải phương trình
y // y xe x 2e x .
Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y // y 0.
Phương trình đặc trưng
k 2 1 0.
có hai nghiệm phức k 1,2 i.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y tq C 1 cos x C 2 sin x, với C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
Sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm ta tìm nghiệm riêng y r của phương trình đã cho theo
dạng tổng
yr y1 y2,
trong đó y 1 , y 2 lần lượt là các nghiệm riêng của các phương trình vi phân sau
y // y xe x ,
và y // y 2e x
115
Do 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên y 1 , y 2 có dạng
y 1 Ax Be x , y 2 Ce x .
Vậy y r có dạng
y r Ax Be x Ce x .
Lấy đạo hàm y /r , y // rồi thế vào phương trình đã cho, ta thu đ ược
r
y // y r 2Ax 2A 2Be x 2Ce x xe x 2e x .
r
Từ đó ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính
2A 1,
2A 2B 0,
2C 2.
Giải hệ nầy, ta được A 1
2
, B 1 , C 1. Vậy
2
1
yr 2
x 1e x e x ,
và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 cos x C 2 sin x 1 x 1e x e x .
2
Ví dụ. Giải phương trình
y // 3y / 2y e x 3 4x.
Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng
k 2 3k 2 0
có hai nghiệm thực phân biệt là k 1 1, k 2 2.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho là
y tq C 1 e x C 2 e 2x , trong đ ó C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
Đối chiếu với dạng của vế phải fx e x 3 4x e x P n x, ta có n 1, 1. Vì 1
trùng với một nghiệm của phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng y r được tìm của phương
trình đã có theo dạng
y r xe x Ax B e x Ax 2 Bx.
Thay vào phương trình đã cho và rút gọn, ta thu được
y // 3y /r 2y r e x 2Ax 2A B e x 4x 3,
r
hay
2Ax 2A B 4x 3. ,
Từ đó ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính
2A 4,
2A B 3.
Do đó A 2, B 1. Vậy
y r e x 2x 2 x,
và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 e x C 2 e 2x e x 2x 2 x.
116
Trường hợp 2. fx e x P n x cos x P m x sin x, trong đó , là hằng số thực, P n x,
P m x là các đa thức bậc n, m tương ứng.
Khi đó:
a) Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (40), thì một nghiệm riêng của
phương trình đã cho có dạng
y r e x Q s x cos x Q s x sin x,
với Q s x, Q s x là các đa thức bậc s maxn, m.
b) Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng (40), thì một nghiệm riêng của phương
trình đã cho có dạng
y r xe x Q s x cos x Q s x sin x,
với Q s x, Q s x là các đa thức bậc s maxn, m.
Ví dụ. Hãy tìm một nghiệm riêng của các phương trình
y // 2y / 3y fx
với fx là các hàm số sau:
a 2 cos 3x
b 3xe x
c x 1 cos x
d 3xe x sin x e x cos x.
Giải.
Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng
k 2 2k 3 0
có hai nghiệm thực phân biệt là k 1 1, k 2 3.
a) 0, 3, n m 0. Vậy i 3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng,
nên ta tìm một nghiệm riêng theo dạng
y r A cos 3x B sin 3x.
Thay vào phương trình đã cho, ta được sau khi rút gọn
y // 2y /r 3y r 12A 6B cos 3x 6A 12B sin 3x 2 cos 3x.
r
Cân bằng các hệ số hai vế của phương trình ta được hệ
12A 6B 2,
6A 12B 0.
Suy ra A 2 , B 15 . Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là
15
1
2 1
yr 15
cos 3x 15
sin 3x.
b) 1, n 1.(trường hợp 1). Vì 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, nên ta
tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng
y r xAx Be x Ax 2 Bxe x .
Thay vào phương trình đã cho, sau khi rút gọn, ta được
y // 2y /r 3y r e x 8Ax 2A 4B 3xe x .
r
117
Suy ra
8Ax 2A 4B 3x.
Ta thu được hệ
8A 3,
2A 4B 0.
Giải ra ta được A 3 , B 3 . Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là
8 16
yr 3 x2
8
3
16
xe x .
c) 0, 1, n 1, m 0. Vậy i i không là nghiệm của phương trình đặc trưng,
nên ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng
y r Ax B cos x Cx D sin x.
Thay vào phương trình đã cho, sau khi rút gọn, ta có
4A 2Cx 2A 4B 2C 2D cos x
2A 4Cx 2A 2B 2C 3D sin x
x 1 cos x.
Cân bằng các hệ số hai vế của phương trình ta được hệ
4A 2C 1,
2A 4B 2C 2D 1,
2A 4C 0,
2A 2B 2C 3D 0.
Giải hệ nầy ta được A 1
5
, B 3 , C 10 , D 10 . Vậy một nghiệm riêng của phương
20
1 3
trình đã cho là
3 3
y r 1 x
5 20
1
cos x 10 x 10
sin x.
d) 1, 1, n 0, m 1. Vậy i 1 i không là nghiệm của phương trình đặc
trưng, nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng
y r e x Ax B cos x Cx D sin x.
Giải tương tự như trên. Phần còn lại dành cho bạn đọc.
118
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
1. Thưc hiện các phép tính
1/ 3 4i 1 2i
34i
2/ 12i
1i
3/ 1i
4/ 1 i 3 3
5/ i 1721
6/ 1 i 3442 .
2. Tìm môđun của các số phức sau
1/ 1 i 3 i
1i
2/
3 i
1i3i2i
3/ i34i5i
4/ i 3i1i
34i 5
5/ 34i
34i1i 4
6/ 34i
xiy n
7/ xiy
, n .
3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, dạng mũ
1/ 1i
2/ 1i 3
1i 3 3
3/ 1i
4/ 3 i 4 1 i.
4. Tính căn các số phức sau
1/ 3
1
2/ 4
1
3/ 3
2 2i .
5. Giải các phương trình
1/ z 2 1 i
2/ 4z 2 4z i 0
3/ z4 2 3 z2 4 0
4/ z 4 z 3 z 2 z 1 0.
6. Giải các phương trình vi phân tách biến
1/ tgydx x ln xdy 0
2/ cos xy / y
4y 2 3y2
3/ 2
x1 y /
x 4x13
4/ y / a cos y b (b a 0)
5/ y / y 2 3y 4 0
6/ y / cosay bx
1
7/ y / 2xy
8/ y / x y 1
119
9/ y / 2x y 3
xy1
10/ y / xy2
11/ y / siny x 1
12/ x 2 y 3 5dx x 3 5y 2 dy 0, thỏa y0 1
13/ 1 e 2x y 2 dy e x dx, thỏa y0 0
14/ xydx 1 y 2 1 x 2 dy 0, thỏa y 8 1
3x3y1
15/ y / 2xy , thỏa y0 2
16/ y / tgx y, thỏa y 1.
2
7. Giải các phương trình vi phân đ ẳng cấp cấp 1
y
1/ xy / x sin x y
y
2/ xy / xtg x y
3/ x 2 y / y 2 xy x 2 0
4/ x 2ydx xdy 0
5/ x 2 xydy y 2 dx 0
6/ xydy y 2 dx x y 2 e y/x dx
7/ x 2 xyy / x x 2 y 2 xy y 2
y
8/ xy / y ln x , thỏa y1 1
9/ xy xdy ydx 0, thỏa y1 1
10/ y x 2 y 2 dx xdy 0, thỏa y1 0.
8. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 sau
1/ y / ay e bx , (a b 0)
2/ y / 2xy 1 2x 2
3/ y / 1 2y xe x 2e x
x
4/ x1 x 2 y / y arctgx.
9. Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 sau
1/ y / y cos x sin x cos x, thỏa y0 0
2/ y / 1 x 2 y arcsin x, thỏa y0 0
3/ y / n y xan , thỏa y1 0
x
4/ y 2y e x x, thỏa y0 1
/
4
y
5/ y / 2y ln yyx , thỏa y1 1.
10. Giải các phương trình vi phân Bernoulli sau
xy
1/ y / 1x 2 x y
2/ xy / y2y ln x 1 0
y
3/ y / x x 2 y 4
4/ y / 2ytgx y 2 sin 2 x 0
5/ y / yy 3 cos x tgx
6/ x 2 y 2 y / xy 3 1.
11. Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân Bernoulli sau
3x 2 y
1/ y / x 3 1 y 2 x 3 1 sin x, thỏa y0 1
2/ 3dy 1 3y 3 y sin xdx 0, thỏa y 1
2
3/ y 2 2y x 2 y / 2x 0, thỏa y1 0
4/ ydx x 1 x 3 ydy 0, thỏa y 1 1
2 2
12. Giải các phương trình vi phân dạng y // fx sau
120
1/ y // x 2 xe x 1
2/ y // 2 sin x cos 2 x sin 2 x
3/ y // xe x , thỏa y0 1, y / 0 1.
13. Giải các phương trình vi phân dạng y // fx, y /
y/
1/ xy // y / ln x
y/
2/ y // x1 xx 1, thỏa y2 1, y / 2 1.
y/
3/ y // x x
2
4/ y // y / .
14. Giải các phương trình vi phân dạng y // fy, y /
2
1/ yy // y / 0, thỏa y0 1, y / 0 2
2
2/ 1 y / yy //
2
3/ yy // y / y 2 ln y
2
4/ y // cos y y / sin y y / 0, thỏa y1 , y / 1 2.
6
5/ yy // y / y / 1.
15. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Giải các phương trình vi phân thuần
nhất sau
1/ y // 5y / 6y 0
2/ y // 4y / 4y 0
3/ y // 4y 0
4/ y // 2y / y 0
5/ y // y 0
6/ 4y // 20y / 25y 0.
15. Giải các phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất sau
1/ y // 4y / 12x 2 6x 4
2/ y // 4y / 3y e 5x , thỏa y0 3, y / 0 9
3/ y // 9y / 20y x 2 e 4x
4/ y // y 2 sin x 4 cos x
5/ y // 4y e x 4x 4 cos x 2x 6 sin x
6/ y // y cos x cos 2x
7/ y // 3y / e 3x 18x
8/ y // y x cos 2 x
9/ y // 4y sin 2x 1, thỏa y0 1 , y / 0 0
4
10/ y // 6y / 9y xe x , ( là hằng số)
11/ y // m 1y / my e x x 1, ( m là hằng số)
12/ y // 2y / 2y e x sin x
13/ y // 3y / 2y 3x 5 sin 2x.
121
CHƯƠNG 5. LÝ THUYẾT CHUỖI
§1. Khái niệm về chuỗi số
1.1. Định nghĩa. Cho dãy số thực u n , n , từ đó ta thiết lập một dãy số mới S n , n
như sau
n
S n u k u 1 u 2 . . . u n , n 1, 2, . .
k1
Nếu ta khảo sát sự hội tụ của dãy số S n thì ta gọi u n là một chuỗi số. Tuy nhiên, cùng một
ký hiệu u n mà chỉ hai khái niệm dãy và chuỗi dễ gây nhầm lẫn, cho nên người ta sẽ dùng
một trong các ký hiệu sau đây để chỉ chuỗi số:
u n , hay u 1 u 2 . . . u n . . . , hay u 1 u 2 . . . ,
n1
hay đơn giản hơn ta ký hiệu u n .
Nếu dãy số S n hội tụ ta nói chuỗi số u n hội tụ. Khi đó S lim S n được gọi là tổng của
n
chuỗi số u n . Ta dùng một trong ba ký hiệu đầu tiên của chuỗi số để chỉ tổng của chuỗi số,
tức là
u n S, hay u 1 u 2 . . . u n . . . S, hay u 1 u 2 . . . S.
n1
Chuỗi số không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Về tên gọi thì u n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát và tổng hữu hạn
n
S n u k u 1 u 2 . . . u n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi u n .
k1 n1
1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
Định lý. Nếu chuỗi u n hội tụ thì lim u n 0.
n
Chứng minh. Do u n hội tụ, nên S n S, do đó S n1 S. Vậy u n S n S n1 S S 0.
Chú thích. Từ điều kiện cần nầy ta suy ra một hệ quả rất thông dụng để chứng minh một chuỗi
số phân kỳ sau
Hệ quả. Nếu u n 0 thì chuỗi u n phân kỳ.
Ví dụ. Chuỗi cấp số nhân q n , q .
Ta có
q1q n
n , nếu q 1,
S n q k q q 2 . . . q n 1q
k1 n, nếu q 1.
q1q n q
- Nếu |q| 1, thì q n 0. Do đó S n 1q 1q
và như vậy chuỗi q n hội tụ và có tổng
là
q
S lim S n 1q .
n
122
- Nếu |q| 1, thì q n 0 và theo hệ quả trên ta có chuỗi q n phân kỳ.
Tóm lại:
hội tụ, nếu |q| 1,
Chuỗi q n
phân kỳ, nếu |q| 1.
q
Hơn nữa nếu |q| 1, tổng của chuỗi cho bởi q n 1q
.
n1
Ví dụ. Tính tổng của chuỗi 1
nn1
.
n1
Ta có
n
Sn 1
kk1
1
1.2
1
2.3
1
. . . nn1
k1
1 1
1
2
1
2
1
3
. . . 1
n
1
n1
1
1 n1 1, khi n .
Vậy chuỗi 1
nn1
hội tụ và có tổng 1
nn1
1.
n1 n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi ln1 1
n .
n1
Ta có
n n
S n ln1 1
k
ln1 k ln k
k1 k1
ln 2 ln 1 ln 3 ln 2 . . . lnn 1 ln n
lnn 1 , khi n .
Vậy chuỗi ln1 1
n phân kỳ.
n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi 1
n
.
n1
Ta có
n
Sn 1
1
1
. . . 1
n
n 1
n
n
k 1 2
k1
Vậy chuỗi 1
n
phân kỳ.
n1
Ví dụ. Chuỗi n phân kỳ, vì u n n 0.
n1
Ví dụ. Chuỗi n
n1
phân kỳ, vì u n n
n1
1 0.
n1
123
Ví dụ. Chuỗi 1 n phân kỳ, vì u n 1 n 0, ( chú ý là lim 1 n không tồn tại).
n
n1
1.3. Các tính chất của chuỗi số hội tụ
Định lý. a) Cho các chuỗi u n , v n hội tụ và có tổng lần lượt là u, v. Cho C là một hằng
số. Khi đó các chuỗi u n v n , Cu n cũng hội tụ và có tổng lần lượt là u v, Cv.
b) Nếu chuỗi u n hội tụ và v n phân kỳ, thì chuỗi u n v n phân kỳ.
n n
Chứng minh. a) Đặt S n u k , t n v k , theo giả thiết ta có S n u, t n v. Do đó,
k1 k1
n
u k v k S n t n u v.
k1
Vậy chuỗi u n v n hội tụ và có tổng u v. Tương tự, ta cũng kết luận phần còn lại nhờ vào
n
Cu k CS n Cu.
k1
b) Giả sử chuỗi u n hội tụ và v n phân kỳ, ta cũng kết luận chuỗi u n v n phân kỳ.
Thật vậy, nếu chuỗi u n v n hội tụ, ta có tổng của chuỗi nầy với một chuỗi hội tụ u n
là chuỗi sau đây
u n v n u n v n cũng là một chuỗi hội tụ. Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết
rằng chuỗi v n phân kỳ. Vậy chuỗi u n v n phân kỳ. Lý luận tương tự, ta cũng có chuỗi
u n v n phân kỳ.
Định nghĩa. Chuỗi số
R n u m u n1 u n2 . . . ,
mn1
được gọi là chuỗi số dư của chuỗi u n .
n1
Định lý. Chuỗi u n hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số dư của nó hội tụ.
n1
k
Chứng minh. Giả sử chuỗi u n hội tụ và có tổng là S. Đặt S /k u k là tổng riêng thứ k
n1 mn1
của chuỗi dư u m . ( với n cố định).Vậy
mn1
k
S /k u k u n1 u n2 . . . u nk S nk S n S S n , khi k .
mn1
Vậy chuỗi số dư u m hội tụ và và có tổng là S / S S n .
mn1
Ngược lại, nếu chuỗi dư u m hội tụ và và có tổng là S / . Với m n, ta có
mn1
S /mn S m S n , suy ra S m S n S /mn .
124
Do đó
lim S m S n lim S /mn S n S /
m m
Vậy chuỗi u n hội tụ và và có tổng là S n S / .
n1
Hệ quả. Tính chất hội tụ của chuỗi số không thay đổi nếu ta bỏ đi hoặc thêm vào một số hữu
hạn các số hạng đầu tiên.
§2. Chuỗi số dương
2.1. Định nghĩa. Chuỗi số u n , được gọi là chuỗi số không âm nếu u n 0 n .
n1
Chuỗi số u n , được gọi là chuỗi số dương nếu u n 0 n .
n1
Xét chuỗi số không âm u n , u n 0. Vì S n1 S n u n S n nến dãy các tổng riêng S n
n1
không giảm nên nó có giới hạn khi và chỉ khi nó bí chận trên, nghĩa là tồn tại số thực M sao
cho S n M n .
2.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
2.2.1. Tiêu chuẩn so sánh 1
Định lý. Cho hai chuỗi u n , v n thỏa điều kiện
n 0 : 0 u n v n n n 0 .
Khi đó
a) Nếu chuỗi v n hội tụ thì chuỗi u n hội tụ.
b) Nếu chuỗi u n phân kỳ thì chuỗi v n phân kỳ.
Chứng minh. Không làm giảm tính tổng quát, có thể giả sử
0 u n v n n .
Gọi S n và S /n lần lượt là các tổng riêng của các chuỗi u n , v n . Ta có
n n
S n u k v k S /n .
k1 k1
Nếu S /n
hội tụ thì S /n
bị chận trên, nên S n cũng bị chận trên. Vậy S n hội tụ và do đó
phần a) được chứng minh. Phần b) được suy ra trực tiếp từ phần a).
2.2.2. Tiêu chuẩn so sánh 2
Định lý. Cho hai chuỗi dương u n , v n . Giả sử
un
K lim vn , (0 K ).
n
Khi đó có ba trường hợp:
a) 0 K : Hai chuỗi u n và v n có cùng tính chất, nghĩa là, đ ồng thời hội tụ hoặc
đồng thời phân kỳ. b) K 0 : Nếu v n hội tụ thì u n hội tụ.
c) K : Nếu v n phân kỳ thì u n phân kỳ.
125
Chứng minh. Không làm giảm tính tổng quát, có thể giả sử
a) 0 K : Chọn 0 K và vì K lim un , nên tồn tại n 0 sao cho
v
n
n
un
n n 0 | vn K| .
Do đó
K v n u n K v n n n 0 .
Từ đây ta có kết luận a) nhờ vào tiêu chuẩn so sánh 1.
b) K 0 : Vì lim un 0 nên nên tồn tại n 0 sao cho
v
n
n
n n 0 | un 0| 1.
v
n
Do đó
0 u n v n n n 0 .
Áp dụng tiêu chuẩn so sánh 1 ta có u n hội tụ nếu như chuỗi v n hội tụ.
v
c) K : Ta có giới hạn nghịch đảo lim un lim1un 0.
n
n n
vn
Áp dụng lại trường hợp b) ta có c) đúng.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hoà 1
n .
n1
ln1 1
Ta có: lim 1
n
1, mà chuỗi ln1 1
n phân kỳ ( ví dụ mục 1.1) nên chuỗi 1
n
n n
n1 n1
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi
a 2 n sin 1
4n
b n sin 1
n2
c n n 1.
n1 n1 n1
Giải:
1 1 1 1 1
a) Ta có u n 2 n sin 4n
0 vì 0 4n
4
, n 1, 2, . . . Hơn nữa, u n 2 n sin 4n
~v n 2n
khi
n . Nhưng mà chuỗi 1
2n
hội tụ ( ví dụ mục 1.1, với q 1
2
, có |q| 1) nên chuỗi u n
n1
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
b) Ta có u n n sin n12 0 vì 0 n12 1, n 1, 2, . . . Hơn nữa, u n n sin 1
n2
~ 1 khi n .
n
Vậy chuỗi u n phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1
1
c) u n n n 1 0 n 2. Hơn nữa, u n n n 1 e n ln n 1~ 1 ln n
n
1
n , n 3. Vậy
chuỗi u n phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1 và 2.
2.2.3. Tiêu chuẩn tỉ số D’Alembert
Định lý. Cho chuỗi dương u n . Giả sử
u n1
lim un D, (0 D ).
n
126
Khi đó có ba trường hợp:
a) Nếu D 1, thì chuỗi u n hội tụ
b) Nếu D 1, thì chuỗi u n phân kỳ.
c) Nếu D 1, chưa có kết luận.
Chứng minh.
u n1
a) Cho D 1, chọn 0 1 D và vì lim un D, nên tồn tại n 0 sao cho
n
n n 0 | uu n D| .
n1
Do đó
u n1
0 D un D n n 0 .
Đặt D q, 0 q 1, ta được
0 uu n q 1
n1
n n 0 .
Từ các bất đẳng thức nầy ta suy ra
un u n u n1 u n 0 1
u n 0 u n1 u n2 u n 0
q. q. . . q q nn 0 1 .
nn 0 1 thừa số
u n0
Vậy 0 un q n 0 1
q n n n 0 .
u n0
Mà chuỗi q n cũng như chuỗi q n 0 1
q n hội tụ nên chuỗi u n hội tụ theo tiêu chuẩn so
sánh 1.
đây ta có kết luận a) nhờ vào tiêu chuẩn so sánh 1.
b) Cho D lim uu n 1, khi đó, tồn tại n 0 sao cho
n1
n
u n1
un 1, n n 0 ,
hay
u n1 u n 0, n n 0 .
Từ các bất đẳng thức nầy ta suy ra
u n1 u n u n 0 1 u n 0 0 n n 0 .
Do đó u n 0 khi n . Vậy chuỗi u n phân kỳ ( theo điều kiện cần để chuỗi số hội tụ).
c) Nếu D 1, chưa có kết luận trong trường hợp tổng quát. Ta xét hai ví dụ đã nêu ở trên:
u n1
- chuỗi 1
n phân kỳ nhưng un n
n1
1.
n1
u n1
- chuỗi 1
nn1
hội tụ nhưng un n
n2
1.
n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi
127
5 n n! 2
a n
2n
b 2n!
c e n n!
nn
.
n1 n1 n1
Giải:
u n1
a) Ta có un n1
2 n1
: n
2n
1
2
1 1
n 1
2
1. Vậy n
2n
hội tụ theo tiêu chuẩn
n1
D’Alembert.
u n1 5 n1 n1! 2 2n! 51 1 5 n n! 2
b) Ta có un 2n2!
n
5
4
1. Vậy 2n!
phân kỳ theo tiêu
5 n n! 2 22 1
n
n1
chuẩn D’Alembert.
e n1 n1!
c) Ta có uu n n1 n1
n1 nn
e n n!
e
1 1 n
.
n
1 u n1
Nhưng ta có 1 e, nên
n
n
1. Tuy nhiên ta có dãy 1 1 n là dãy tăng và
un n
1 1 n e, vậy
n
u n1
u n 1 và do đó u n1 u n . Suy ra u n 0 khi n . Do đó chuỗi u n phân kỳ.
2.2.4. Tiêu chuẩn căn số Cauchy
Định lý. Cho chuỗi không âm u n . Giả sử
lim n u n C, (0 C ).
n
Khi đó có ba trường hợp:
a) Nếu C 1, thì chuỗi u n hội tụ
b) Nếu C 1, thì chuỗi u n phân kỳ.
c) Nếu C 1, chưa có kết luận.
Chứng minh.
a) Cho C 1, chọn 0 1 C, vì lim n u n C, nên tồn tại n 0 sao cho
n
n n 0 n u n C .
Do đó
n u n D q 1 n n 0 ,
hay
0 u n q n n n 0 .
Nhưng chuỗi cấp số nhân q n hội tụ, vì |q| 1, do đó chuỗi u n hội tụ theo tiêu chuẩn so
sánh 1.
b) Cho C lim n u n 1, khi đ ó, tồn tại n 0 sao cho
n
n u n 1, n n 0 ,
hay
u n 1, n n 0 .
Vậy u n 0 nên chuỗi u n phân kỳ.
c) Nếu C 1, chưa có kết luận chung. Thật vậy hai chuỗi 1
n và 1
nn1
có cùng giới
n1 n1
128
hạn C lim n u n 1, nhưng chuỗi 1
n phân kỳ còn chuỗi 1
nn1
hội tụ.
n
n1 n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi
n
a 2n1 ,
3n
n1
n
2n
, nếu n chẳn,
b u n , với u n 1
n1 2n
, nếu n lẻ.
Giải:
n
a) Ta có n un 3n
2n1
3
2
1. Vậy 2n1 phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.
3n
n1
n n
2
, nếu n chẳn,
b) Ta có n un
1
2
, nếu n lẻ.
nn
Vậy 1
2
n un 2
, n .
Do đó lim n un C 1
2
1, nên chuỗi u n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.
n
Chú ý rằng chuỗi nầy không sử dụng được tiêu chuẩn D’Alembert, bởi vì
1
u n1 2n
, nếu n chẳn,
un n1
2
, nếu n lẻ,
u n1
và do đó giới hạn lim un không tồn tại.
n
2.2.5. Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin-Cauchy
Định lý. Cho hàm f : 1, liên tục, không âm và giảm trên 1, . Khi đó chuỗi số
fn và tích phân suy rộng fxdx đồng thời hội tụ hay đồng thời phân kỳ.
n1 1
Chứng minh. Do fx giảm, ta có
fk 1 fx fk, x k, k 1.
Tích phân các vế trên đoạn k, k 1, ta có
Vậy
k1
fk 1 fxdx fk.
k
Suy ra
n n n1 k1 n1
fk fxdx fxdx fk.
k2 1 k1 k k1
Từ các bất đẳng thức nầy ta có Đpcm.
129
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hoà mở rộng 1
n
, trong đó là một hằng số thực(độc
n1
lập với n ).
Nếu 0, thì u n 1
n
0 nên chuỗi 1
n
phân kỳ.
n1
1
Nếu 0, thì hàm số fx x
0 liên tục, không âm và giảm trên 1, . Mặt khác, tich
phân dx
x
hội tụ khi và chỉ khi 1. Vậy chuỗi điều hoà mở rộng
1
hội tụ, nếu 1,
1
n
n1 phân kỳ, nếu 1.
Chú ý rằng nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc tiêu chuẩn Cauchy thì ta đều có D C 1
nên hai tiêu chuẩn nầy không sử dụng được cho chuỗi nầy.
Chú thích. Đôi khi ta gặp một chuỗi fn có số hạng fn tương ứng với hàm fx liên tục,
không âm và giảm trên N 0 , , lúc đó ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân dưới dạng:
fn hội tụ (tương ứng phân kỳ) fxdx hội tụ (tương ứng phân kỳ)
nN 0 N0
§3. Chuỗi số có dấu thay đổi
3.1. Chuỗi đan dấu. Định lý Leibnitz
Định nghĩa. Chuỗi số
1 n1 u n u 1 u 2 u 3 u 4 . . . ,
n1
hoặc chuỗi
1 n u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 ,
n1
với u n 0 n , được gọi là chuỗi đan dấu. Chuỗi thứ nhất còn được gọi là chuỗi đan dấu
có số hạng đầu tiên u 1 0, còn chuỗi thứ hai đ ược gọi là chuỗi đan dấu có số hạng đầu tiên
u 1 0. Hai chuỗi nầy có cùng tính chất hội tụ và trong trường hợp nầy các tổng của chúng
đối nhau. Cho nên ta chỉ cần khảo sát một trong hai chuỗi. Từ đây về sau ta sẽ xét chuỗi thứ
nhất.
Định lý Leibnitz. Nếu dãy u n dương, giảm và hội tụ về 0, thì chuỗi đan dấu 1 n1 u n hội
n1
tụ và có tổng S thỏa mãn bất đẳng thức 0 S u 1 .
Chứng minh. Ta có:
2n
S 2n 1 k1 u k u 1 u 2 u 3 u 4 . . . u 2n1 u 2n ,
k1
mà u k u k1 0 nên S 2n là một dãy tăng. Mặt khác
S 2n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 . . . u 2n ,
mà biểu thức trong dấu móc vuông là dương, nên
0 S 2n u 1
Vậy S 2n là một dãy tăng, và bị chặn trên nên hội tụ, giả sử S 2n S, do đó 0 S u 1 . Ta lại
130
có
S 2n1 S 2n u 2n1 S 0 S.
Từ đó ta được S n S và 0 S u 1 .
Chú thích. Thật ra ta có đánh giá 0 S u 1 thay vì 0 S u 1 . Thật vậy, từ các đẳng thức
trên ta rút ra
0 u 1 u 2 S 2n u 1 u 2 u 3
Qua giới hạn ( n ), ta được
0 u 1 u 2 S u 1 u 2 u 3 u 1 .
1 n
Ví dụ. Chuỗi n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz, vì u n 1
n dương, giảm và
n1
u n 1 0.
n
Chú thích.Chuỗi đan dấu hội tụ có chuỗi dư (thứ m) là
u m1 u m2 u m3 u m4 . . .
cũng là một chuỗi đan dấu hội tụ. Vì vậy tổng R m của nó thỏa một đánh giá
|R m | u m1 .
Bất đẳng thức nầy dùng để đ ánh giá sai số trong quá trình tính gần đúng giá trị của một chuỗi.
3.2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Định lý. Nếu chuỗi |u n | hội tụ thì chuỗi u n cũng hội tụ và các tổng của chúng thỏa mãn
n1 n1
bất đẳng thức u n |u n |.
n1 n1
Chứng minh. Ta có
0 u n |u n | 2|u n |, n .
Vậy chuỗi u n |u n | hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1. Mặt khác chuỗi |u n | cũng hội
n1 n1
tụ, nên cộng 2 chuỗi với nhau ta thu đ ược chuỗi sau đây
u n |u n | |u n | u n .
n1 n1
Ta lại có
n n
u k |u k |, n .
k1 k1
Qua giới hạn ( n ), ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Định nghĩa. Nếu chuỗi số |u n | hội tụ thì ta nói rằng chuỗi u n hội tụ tuyệt đối.
n1 n1
Nếu chuỗi u n hội tụ sao cho chuỗi |u n | không hội tụ thì ta nói rằng chuỗi u n bán hội
n1 n1 n1
tụ.
1 n
Ví dụ. Chuỗi n là bán hội tụ.
n1
131
Chú thích. Chú ý rằng nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy cho chuỗi |u n | mà
n1
biết được chuỗi |u n | hội tụ hoặc phân kỳ thì chuỗi |u n | cũng hội tụ ( tuyệt đối) hoặc phân
n1 n1
kỳ.
Thật vậy, Nếu chuỗi |u n | hội tụ thì theo định lý trên thì chuỗi u n hội tụ tuyệt đối.
n1 n1
Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy cho chuỗi |u n | mà thấy nó phân kỳ ( D 1
n1
hoặc C 1 ), thì có nghĩa là |u n | 0. Suy ra u n 0 nên chuỗi u n phân kỳ.
n1
Người ta chứng minh được rằng:
Định lý. Nếu chuỗi số u n hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi số được suy ra từ chuỗi
n1
nầy bằng cách thay đổi vị trí một cách tùy ý các số hạng của nó cũng hội tụ tuyệt đối và có
tổng S.
Còn nếu chuỗi số u n bán hội tụ thì ta có thể thay đổi vị trí các số hạng của nó để cho chuỗi
n1
số thu được hội tụ và có tổng là một số thực cho trước hoặc trở nên phân kỳ.
Định nghĩa. Cho hai chuỗi số u n và v n . Ta gọi tích Cauchy của hai chuỗi trên là chuỗi
n1 n1
số
n
u j v nj1 .
n1 j1
Để dễ nhớ ta có thể xét bảng nhân sau
u1 u2 u3 un
v1 u1v1 u2v1 u3v1 unv1
v2 u1v2 u2v2 u3v2 unv2
v3 u1v3 u2v3 u3v3 unv3
vn u1vn u2vn u3vn unvn
n
Các số hạng thứ n bằng u j v nj1 là tổng của các số hạng nằm trên đường chéo thứ n như
j1
132
trên sơ đồ.
Định lý. (Cauchy) Cho hai chuỗi số u n và v n hội tụ tuyệt đ ối và có tổng lần lượt là u
n1 n1
và v. Khi đó chuỗi số với số hạng tổng quát u i v j i 1, j 1 theo một thứ tự bất kỳ ( trường
hợp riêng là chuỗi tích Cauchy) sẽ hội tụ tuyệt đối và có tổng uv.
§4. Chuỗi lũy thừa
4.1. Định nghĩa. Định lý Abel
Định nghĩa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng: a n x x 0 n , các hằng số a 0 , a 1 , a 2 , . . . được
n0
gọi là các hệ số của chuỗi, x 0 là số thực x 0 cho trước. Chuỗi nầy còn được gọi là chuỗi lũy thừa
tâm x 0 . Bằng một phép biến đổi tịnh tiến X x x 0 , chuỗi trên trở thành a n X n . Từ đ ây trở
n0
đi ta sẽ xét chuỗi lũy thừa tâm x 0 0.
anxn.
n0
Ta chú ý rằng chuỗi nầy luôn luôn hội tụ tại x 0.
Định lý (Abel). Nếu chuỗi lũy thừa a n x n hội tụ tại x 0 0, thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi
n0
điểm x |x 0 |, |x 0 |.
Chứng minh.Vì a n x n hội tụ tại nên a n x n 0 ( n ), nên dãy a n x n bị chận. Do đó
0 0 0
n0
tồn tại một hằng số dương sao cho
|a n x n | M, n .
0
Cho x |x 0 |, |x 0 |, ta có
|x| n |x| n
|a n x n | |a n x n |
0 |x 0 |
M |x 0 |
Mq n , n .
|x|
Vì chuỗi Mq hội tụ, vì q
n
|x 0 |
1, với x |x 0 |, |x 0 |, do đó chuỗi |a n x n | hội tụ
n0 n0
(tiêu chuẩn so sánh) tức là chuỗi a n x hội tụ tuyệt đối. n
n0
Hệ quả. Nếu chuỗi a n x phân kỳ tại x 1 , thì nó phân kỳ tại mọi điểm x sao cho |x| |x 1 |.
n
n0
Thật vậy, nếu chuỗi a n x n hội tụ tại một điểm x / sao cho |x / | |x 1 | thì theo định lý Abel nó
n0
phải hội tụ tại x 1 , mà điều nầy trái với giả thiết.
Như vậy đối với chuỗi lũy thừa a n x n ta có ba trường hợp sau:
n0
a) Chuỗi a n x chỉ hội tụ tại x 0.
n
n0
Ví dụ: Chuỗi n n x n chỉ hội tụ tại x 0. Thật vậy, Với mọi x 0, thì
n0
133
lim n |n n x n | lim n|x| 1.
n n
Suy ra chuỗi phân kỳ.
b) Chuỗi a n x n hội tụ tại x .
n0
Ví dụ. Chuỗi xn
n!
hội tụ tại x . Thật vậy, ta có
n0
x n1 |x n | |x|
lim n1!
: n!
lim n1
0 1 với mọi x .
n n
Chuỗi xn
n!
hội tụ theo tiêu chuẩn A’Alembert, và do đó hội tụ.
n0
c) Tồn tại số thực R 0 sao cho chuỗi a n x n hội tụ tuyệt đối tại mọi x R, R và phân kỳ
n0
tại mọi x, |x| R.
4.2. Bán kính hội tụ và miền hội tụ
Định nghĩa. Số thực R 0 sao cho chuỗi a n x n hội tụ tuyệt đối tại mọi x R, R và
n0
phân kỳ tại mọi x, |x| R, được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n . Khoảng
n0
R, R được gọi là khoảng hội tụ. Nếu chuỗi n x phân kỳ tại mọi x 0, thì ta gọi bán n n
n0
kính hội tụ R 0.
Nếu chuỗi n n x n hội tụ tại mọi x , thì ta gọi bán kính hội tụ R
n0
Ví dụ. Nếu chuỗi cấp số nhân x n có bán kính hội tụ R 1.
n0
Chú thích. Tại x R chuỗi a n x n có thể hội tụ hoặc phân kỳ.
n0
Định lý. Giả sử tồn tại giới hạn
|a n1 |
lim |a n |
, (0 ).
n
Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n cho bởi công thức
n0
1
, nếu 0 ,
R 0, nếu ,
, nếu 0.
Chứng minh. Xét chuỗi |a n x n |, ta có
n0
a n1 x n1 |a n1 |
lim |a n x n |
lim |a n |
|x| |x|.
n n
Nếu 0 . Khi đó chuỗi |a n x n | hội tụ nếu |x| 1 hay |x| 1/, và phân kỳ nếu
n0
134
|x| 1 hay |x| 1/. Vậy R 1/.
Nếu , thì |x| 1, với mọi x 0. Khi đó chuỗi |a n x n | phân kỳ tại mọi
n0
x 0, và chuỗi a n x cũng vậy. Do đó R 0.
n
n0
Nếu 0, thì |x| 0 1, với mọi x . Khi đó chuỗi |a n x n | hội tụ tại mọi x ,
n0
và chuỗi a n x cũng vậy. Vậy R 0.
n
n0
Định lý (Cauchy- Hadamard). Giả sử tồn tại giới hạn
lim n |a n | , (0 ).
n
Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n cho bởi công thức
n0
1
, nếu 0 ,
R 0, nếu ,
, nếu 0.
Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi |a n x n |.
n0
|a n |
Chú thích. Nếu tồn tại giới hạn lim |a n1 |
thì giới hạn đó chính là bán kính hội tụ của chuỗi
n
lũy thừa a n x .
n
n0
Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa
x2 n
a xn
n b n23n
n0 n0
a) Bán kính hội tụ R lim 1 :
n
1
n1
1. Khoảng hội tụ là 1 x 1.
n
1 n
Tại x 1, ta có chuỗi n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n0
Tại x 1, ta có chuỗi 1
n phân kỳ.
n0
Vậy miền hội tụ của chuỗi xn
n là 1, 1.
n0
a) Đặt X x 2, ta có xét chuỗi mới Xn
n23n
anXn
n0 n0
|a n | 1 1 1
Bán kính hội tụ R lim |a n1 |
lim n23n
: n1 2 3 n1
lim 31 n 2 3. Khoảng hội tụ
n n n
là 3 X 3.
1 n
Tại X 3, ta có chuỗi n2
hội tụ tuyệt đ ối.
n0
135
Tại X 3, ta có chuỗi 1
n2
hội tụ.
n0
x2 n
Vậy miền hội tụ của chuỗi Xn
n23n
là 3, 3. Suy ra miền hội tụ của chuỗi n23n
là:
n0 n0
3 x 2 3 hay 5 x 1.
136
BÀI TẬP CHƯƠNG V
1. Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi số
1/ 1 3 5 7 . . .
2 4 6 8
2/ 1 4 7 10 . . .
2 4 8 16
2 43
3/ 2 3 2 11 3 . . .
3 7
4/ 10 100 1000 10000 . . .
7 9 11 13
22 23 24
5/ 2 1.2 1.2.3 1.2.3.4 . . .
1
2. Tìm tổng riêng và tổng (nếu có) của các chuỗi số
1/ 1
4n 2 1
n1
2/ 3n 2 3n1
n 3 n1 3
n1
1 n
3/ 3n
n0
21 n
4/ 3n
.
n0
3. Chứng minh các chuỗi sau phân kỳ
1/ n1
3n2
n1
2/ sin n
n1
3/ n sin 2n
n1
4/ n
ln 2 n
.
n2
4. Dùng các tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi số
1/ n
n 2 2
n1
2/ 1
nn1
n1
2
3/ 1n
1n 2
n1
n1 n1
4/ n 3/4
n1
n
5/ 1
n2
1n
n
n1
6/ n2 1 n , ( )
n1
137
7/ 1
4.2 n 3
n1
8/ 1
ln n
n2
9/ 2 n 1
5 n 1
n1
10/ ln n
n
n2
11/ ln1 1
n2
n1
12/ 1
n
ln n1
n1
n2
13/ ln n1
n 5 n
n2
14/ 1 cos 1
n
n1
15/ 1
n sin 1
n
n1
16/ 1cos n
n2
n1
17/ 2 n 3 n
4 n 2n
.
n1
5. Dùng các tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy, xét sự hội tụ của các chuỗi số
1/ n 5 5
2n
n1
3n1!
2/ 8nn2
n1
1.3.5...2n1
3/ 2 2n n1!
n1
3 n n! 2
4/ 2n!
n1
nn1
5/ n1
n1
n2
7 n n! 2
6/ n 2n
n1
2n
7/ n n
4n3
n1
n
8/ 2n1
n
n1
n2
9/ 1
2n
1 1
n
n1
138
n
10/ 2n 2 2n1
5n 2 2n1
.
n1
6. Dùng các tiêu chuẩn tích phân đ ể xét sự hội tụ của các chuỗi số
ln1/n
1/ n2
n2
2/ 1
n ln nln ln n 2
n3
3/ 1
.
nln n
n2
7. Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu sau
1 n1
1/
2n1
n1
1 n1 2 2 n1
n1
2/
n1
3/ 1 n1 n1
n 2 n1
n1
1 n
4/ ln n
n2
5/ 1 n 1.3.5...2n1
n!
n1
6/ 1 n ln n1
n
n1
7/ 1 n ln n
n
n1
8/ 1 n tg 1 sin
n
1
n
n1
9/ 1 n n2
2n
n1
1 n
10/ 1
ncos
n1 n
n2
11/ 1 n 2n!
n1
n
12/ 1 n 2n1
3n2
.
n1
8. Xét sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của các chuỗi số sau
1/ n1
1 n n n
n1
n
2/ 1 n1 n
3n1
n1
3/ 1 n n1
2n 2 5
n1
139
4/ cos n
n2
n1
5/ cos n 2
2n
.
n1
9. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau
1 n x n
1/ 6n8
n1
2/ x 2n
n9 n
n1
3/ 2 n x 1 n
2
n1
2
x1 n
4/ n2
n1
x1 n
5/ 2n1!
n1
6/ 5nxn
n!
n1
7/ xn
2 n 3 n
n1
8/ 2 n x n
2
n1
x4 n
9/ n
n1
1 n1
10/ n2 n
xn
n1
n
11/ 2n1 x 2 2n
n1
n1
12/ 1
n24n
x 5 2n1 .
n1
140
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Đình Trí, (chủ biên), Toán học Cao cấp, Tập II, NXB Giáo dục, 1993.
2. Nguyễn Đình Trí, (chủ biên), Toán học Cao cấp, Tập III, NXB Giáo dục, 1993.
3. Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Toán Cao cấp, Giải tích hàm một biến, (Toán 1), NXB ĐHQG
Tp.HCM, 2002.
4. Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Toán Cao cấp, Giải tích hàm nhiều biến, (Toán 3), NXB
ĐHQG Tp.HCM, 2003.
5. Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Toán Cao cấp, Chuỗi và Phương trình vi phân, (Toán 4), NXB
ĐHQG Tp.HCM, 2003.
6. Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải
tích- Hàm một biến, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002.
7. Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải
tích- Hàm nhiều biến, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002.
8. Robert A. Adams, Calculus, A complete course, 1990.
141
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu 0
I CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1
§1 Khái niệm về hàm số 1
1.1 Định nghĩa 1
1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản 2
§2 Giới hạn của dãy số thực 6
2.1 Định nghĩa dãy số, giới hạn của dãy số 6
2.2 Các tính chất và các phép tính về giới hạn của dãy số 7
§3 Giới hạn của hàm số 9
3.1 Các định nghĩa giới hạn 9
3.2 Các tính chất của hàm số có giới hạn 10
3.3 Các phép toán giới hạn của hàm số 10
3.4 Các giới hạn cơ bản 11
§4 Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL) 11
4.1 Vô cùng bé 11
4.1.1 Định nghĩa 11
4.1.2 So sánh các vô cùng bé 12
4.1.3 Khử dạng vô định 12
4.2 Vô cùng lớn 13
4.2.1 Định nghĩa 13
4.2.2 Liên hệ giữa VCB và VCL 13
4.2.3 So sánh các vô cùng lớn 13
4.2.4 Khử dạng vô định
, , 0 . 14
§5 Hàm số liên tục 14
5.1 Các định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm 15
5.2 Định nghĩa trong khoảng, trên đoạn 15
5.3 Các phép toán trên các hàm số liên tục tại một điểm 15
5.4 Điểm gián đoạn. Phân loại 15
5.5 Tính liên tục của các hàm sơ cấp 16
142
Trang
5.6 Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn 17
§6 Đạo hàm 19
6.1 Các khái niệm đạo hàm 19
6.1.1 Các định nghĩa 19
6.1.2 Ý nghĩa của đạo hàm 19
6.1.3 Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục 20
6.2 Các qui tắc tính đạo hàm 21
6.3 Bảng các đạo hàm cơ bản 22
6.4 Đạo hàm cấp cao 23
§7 Vi phân 24
7.1 Định nghĩa vi phân 24
7.2 Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 24
7.3 Tính bất biến của biểu thức vi phân 15
7.4 Các qui tắc tính vi phân 25
7.5 Vi phân cấp cao 25
7.6 Các định lý về giá trị trung bình 25
§8 Một số ứng dụng của đạo hàn và vi phân 27
8.1 Qui tắc L’Hopital 27
8.2 Tính gần đúng 30
BÀI TẬP CHƯƠNG I 31
II CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 35
§1 Các khái niệm 35
1.1 Miền phẳng 35
1.2 Định nghĩa hàm hai biến 36
1.3 Biểu diễn hình học 36
§2 Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 37
2.1 Định nghĩa 37
2.2 Định lý 39
§3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 40
143
Trang
3.1 Đạo hàm riêng cấp một, cấp cao, đạo hàm của hàm hợp 40
3.2 Vi phân riêng, vi phân toàn phần 40
3.3 Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng 44
§4 Cực trị của hàm hai biến 45
4.1 Cực trị không điều kiện( cực trị tự do) 45
4.1.1 Định nghĩa 45
4.1.2 Qui tắc tìm cực trị không điều kiện 45
4.2 Cực trị có điều kiện( cực trị ràng buộc) 46
4.2.1 Định nghĩa 46
4.2.2 Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện 47
4.3 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên một miền đóng và bị chận 50
BÀI TẬP CHƯƠNG II 52
III CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55
§1 Tích phân bất định 55
1.1 Nguyên hàm 55
1.1.1 Định nghĩa 55
1.1.2 Định lý 55
1.2 Định nghĩa và tính chất của tích phân bất định 55
1.2.1 Định nghĩa 55
1.2.2 Các tính chất của tích phân bất định 55
1.3 Bảng các tính phân cơ bản 56
1.4 Hai phương pháp tính tích phân bất định 56
1.4.1 Phương pháp đổi biến số 56
1.4.2 Phương pháp tích phân từng phần 57
§2 Tích phân xác định 58
2.1 Định nghĩa 58
2.2 Các tính chất của tích phân xác đ ịnh 60
2.3 Công thức Newton-Leibnitz 61
2.4 Hai phương pháp tính tích phân xác định 64
144
Trang
2.4.1 Phương pháp đổi biến số 64
2.4.2 Phương pháp tích phân từng phần 65
2.5 Ứng dụng của tích phân xác đ ịnh 68
§3 Tích phân suy rộng 75
3.1 Tích phân suy rộng loại 1(Khoảng lấy tích phân là vô hạn) 75
3.1.1 Định nghĩa 75
3.1.2 Phương pháp tính. Công thức Newton-Leibnitz mở rộng 76
3.1.3 Tích phân các hàm không âm. Các định lý so sánh 77
3.1.4 Hội tụ tuyệt đối 79
3.2 Tích phân suy rộng loại 2(Hàm dưới dấu tích phân không bị chận) 79
3.2.1 Định nghĩa. 79
3.2.2 Công thức Newton-Leibnitz mở rộng 81
3.2.3 Tích phân các hàm không âm. Các định lý so sánh 81
3.2.4 Hội tụ tuyệt đối 82
BÀI TẬP CHƯƠNG III 83
IV CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 89
§1 Bổ túc về số phức 89
1.1 Các định nghĩa 89
1.2 Biểu diễn hình học và dạng đ ại số, lượng giác, mũ của số phức 89
1.3 Các phép tính về số phức 90
§2 Phương trình vi phân cấp 1 94
2.1 Các khái niệm chung 94
2.1.1 Định nghĩa 94
2.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 94
2.1.3 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát 94
2.2 Phương trình vi phân cấp 1 tách biến 95
2.2.1 Định nghĩa 95
2.2.3 Cách giải 95
145
Trang
2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 97
2.3.1 Định nghĩa 97
2.3.2 Cách giải 97
2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 99
2.4.1 Định nghĩa 99
2.4.2 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 99
2.4.3 Phương pháp Bernuoulli 101
2.4.4 Phương pháp thừa số tích phân 102
2.5 Phương trình vi phân Bernuoulli 102
2.5.1 Định nghĩa 102
2.5.2 Cách giải 103
§3 Phương trình vi phân cấp 2 104
3.1 Các khái niệm chung 104
3.1.1 Định nghĩa 104
3.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 104
3.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 104
3.2 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 105
3.2.1 Phương trình vi phân dạng y // fx 105
3.2.2 Phương trình vi phân dạng y // fx, y / 106
3.2.3 Phương trình vi phân dạng y // fy, y / 107
3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng 108
3.2.1 Định nghĩa 108
3.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất 109
3.3.3 Phương trình vi phân không thuần nhất 112
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 118
V CHƯƠNG 5. LÝ THUYẾT CHUỖI 121
§1 Khái niệm về chuỗi số 121
1.1 Định nghĩa 121
1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ 121
146
Trang
1.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ 123
§2 Chuỗi số dương 124
2.1 Định nghĩa 124
2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 124
2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh 1 124
2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh 2 124
2.2.3 Tiêu chuẩn tỉ số D’Alembert 125
2.2.4 Tiêu chuẩn căn số Cauchy 127
2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin-Cauchy 128
§3 Chuỗi số có dấu thay đổi 129
3.1 Chuỗi đan dấu. Định lý Leibnitz 129
3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 130
§4 Chuỗi lũy thừa 132
4.1 Định nghĩa, định lý Abel 132
4.2 Bán kính hội tụ và miền hội tụ 133
BÀI TẬP CHƯƠNG V 136
TÀI LIỆU THAM KHẢO 140
MỤC LỤC 141
Top Download Toán Học
-
63p 1736 504
-
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô-si
26p 4087 1943
-
-
Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 - TS. Vũ Gia Tê
138p 21083 5537
-
Bài giảng đại số tuyến tính - Lê Thị Nguyệt
63p 1876 928
-
Giáo trình toán Giải tích 1 - NXB GD
351p 5787 1561
-
Giáo trình toán rời rạc - Đặng Ngọc Hoàng Thành
110p 530 333
-
Bài giảng Hình Họa - Ths Nguyễn Độ
91p 1896 559
-
-
116p 4254 2356
Tài Liệu Toán học Mới Xem thêm » Tài Liệu mới cập nhật Xem thêm »

markdown:
148 trang
Lượt xem: 1879
Download: 361
# Giáo trình Toán cao cấp C1 - Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm - ĐH Quốc gia tp.HCM
Chia sẻ:
[tienthu000](http://tailieu.vn/user/tienthu000)
Đây là giáo trình Toán cao cấp C1 dành cho sinh viên khoa Kinh tế, ĐH Quốc gia Tp. HCM. Trong mỗi trương đều có ví dụ kèm theo cùng với phần bài tập với độ khó khác nhau để sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán.
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Thể loại:
[Khoa Học Tự Nhiên](http://tailieu.vn/khoa-hoc-tu-nhien/)» [Toán học](http://tailieu.vn/khoa-hoc-tu-nhien/toan-hoc/)
## Chủ đề liên quan:
**Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp C1 - Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm - ĐH Quốc gia tp.HCM**
KHOA KINH TẾ
NGUYỄN THÀNH LONG
NGUYỄN CÔNG TÂM
TOÁN CAO CẤP C1
Lưu hành nội bộ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
2004
0
LỜI NÓI ĐẦU
Đây là giáo trình Toán Cao cấp C1 dành cho sinh viên Khoa Kinh Tế, Đại học Quốc gia
Tp. Hồ Chí Minh. Giáo trình gồm 3 đơn vị học tập (45 tiết) cả lý thuyết và bài tập.
Giáo trình gồm 5 chương:
Chương I trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm một biến.
Chương II trình bày nội dung về phép tính vi phân hàm hai biến.
Chương III trình bày nội dung về phép tính tích phân hàm một biến.
Chương IV trình bày sơ lược về phương trình vi phân ( cấp 1 và 2).
Chương V trình bày nội dung về lý thuyết chuỗi.
Trong mỗi chương đều có ví dụ kèm theo cùng với phần bài tập với độ khó khác nhau để
sinh viên rèn luyện kỹ năng tính toán. Một số định lý khó chỉ được phát biểu mà không chứng
minh và thay vào đó là phần minh họa ý chính của đ ịnh lý.
Giáo trình sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được các ý kiến
đóng góp của bạn đọc gần xa để giáo trình được hoàn thiện hơn.
Tp. Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2004.
Các tác giả
Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm.
1
CHƯƠNG I. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Khái niệm về hàm số
1.1. Định nghĩa
Cho tập hợp D , ánh xạ f : D được gọi là một hàm số xác định trên tập D. Tập
D được gọi là miền xác định của hàm số f. Tập fx : x D được gọi là miền giá trị của
hàm số f.
Vậy một hàm f xác định trên D là một phép tương ứng với mỗi số thực x D với một số
thực xác định duy nhất mà ta ký hiệu nó là fx. Ta viết
f : x fx.
Ta cũng gọi fx là giá trị của f tại x.
Nếu đặt y fx, thì ta có thể biểu diễn hàm f như sau:
f : x y fx
hay gọn hơn
y fx.
Ta gọi x là biến độc lập hay đối số, y là biến phụ thuộc (hay là hàm).
Đối với một hàm đã xác định thì các ký hiệu để chỉ các biến rõ ràng là không quan trọng.
Chẳng hạn, các ánh xạ
t t2, 2,
w u w2, y x y2,
xác định cùng một hàm, vì trong tất cả các trường hợp trên phép tương ứng là như nhau: ứng
với mỗi số là bình phương của nó. Để chỉ các hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau
y fx, y gx, y x, . . .
Trị của hàm f tại x a được ký hiệu là fa hay fx| xa và đọc là "f tại a".
Xét hàm y fx xác định trên D . Chọn trong mặt phẳng một hệ trục tọa độ vuông góc
Oxy và biểu diễn biến độc lập x trên trục hoành, còn biến phụ thuộc y trên trục tung.Ta gọi tập
tất cả các điểm của mặt phẳng có dạng
x, fx : x D
là đồ thị của hàm số f.
Hình 1
2
1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản
Các hàm sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm lũy thừa x , hàm mũ
x
a , Hàm logarit log a x, các hàm lượng giác cos x, sin x, tgx, cot gx và các hàm lượng giác
ngược. Tất cả các hàm nầy, ngoại trừ các hàm lượng giác ngược, đ ều đã học ở phổ thông nên
ở đây chỉ nhắc lại những tính chất chủ yếu của chúng, riêng các hàm lượng giác ngược sẽ đ
ược trình bày kỹ hơn.
Hàm lũy thừa y x , là một số thực. Miền xác định của nó phụ thuộc vào .
Ví dụ:
- Các hàm y x, y x 2 , y x 3 , . . . xác định tại mọi x.
- Các y x 1 , y x 2 , y x 3 , . . . xác định tại mọi x 0.
- Hàm y x 1/2 x xác định khi x 0.
- Hàm y x 1/2 1x chỉ xác định khi x 0.
- Hàm y x 1/3 3 x xác định tại mọi x.
Chú ý rằng nếu vô tỉ tì ta qui ước chỉ xét hàm y x tại mọi x 0 nếu 0 và tại mọi
x 0 nếu 0.
Đồ thị của tất cả các hàm y x đều đi qua điểm 1, 1, chúng đi qua gốc tọa độ nếu 0 và
không đi qua gốc tọa độ nếu 0.
Hình 2 Hình 3
Hàm mũ y a x , a 0 và a 1. Số a được gọi là cơ số của hàm mũ. Hàm mũ xác định tại
mọi x và luôn luôn dương. Nó tăng nếu a 1 và giảm nếu 0 a 1. Ngoài ra ta luôn có
a 0 1.
Hàm logarit.
Hàm mũ y a x là một song ánh từ lên khoảng 0, , nên nó có hàm ngược mà ta ký hiệu
là x log a y (đ ọc là logarit cơ số a của y). Như vậy
y a x x log a y
3
a 1 0 a 1
Hình 4 Hình 5
Với qui ước, dùng chữ x để chỉ là biến độc lập, chữ y đ ể chỉ hàm thì hàm ngược của hàm mũ
y a x là y log a x.
Đồ thị của hàm y log a x là đối xứng của đồ thị của hàm y a x qua đường phân giác thứ
nhất.
Hàm y log a x chỉ xác định khi x 0, nó tăng khi a 1 và giảm nếu 0 a 1. Ngoài ra ta
luôn có log a 1 0.
Với a 10, ta ký hiệu
lg x log 10 x
và gọi nó là hàm logarit thập phân.
Hàm logarit còn có các tính chất sau:
log a AB log a |A| log a |B|, AB 0,
log a A log a |A| log a |B|, AB 0,
B
log a A log a |A|, A 0,
log a A log a |A|, A 0, 0.
Mọi số dương N đều có thể viết dưới dạng mũ
N a log a N .
Các hàm lượng giác y cos x, y sin x, y tgx, y cot gx. Các hàm nầy được xác định
trên vòng tròn lượng giác (vòng tròn đơn vị) như sau
OP cos x,
OQ sin x,
AT tgx,
BC cot gx,
Hình 6
trong đó, x được đó bằng radian. Hai hàm y sin x và y cos x xác định tại mọi x, có giá trị
thuộc 1, 1, tuần hoàn với chu kỳ 2.
4
y sin x
Hình 7
y cos x
Hình 8
Hàm y tgx xác định tại mọi x 2k 1 , k nguyên, là hàm tăng trên từng khoảng,
2
tuần hoàn với chu kỳ .
Hàm y cot gx xác định tại mọi x k, k nguyên, là hàm giảm trên từng khoảng, tuần
hoàn với chu kỳ .
y tgx y cot gx
Hình 9 Hình 10
Các hàm lượng giác ngược.
y arcsin x. Hàm y sin x với x là một song ánh từ đoạn , lên đoạn
2 2 2 2
1, 1 nên nó có hàm ngược mà ta ký hiệu là x arcsin y (x bằng số đo của cung mà sin của
nó bằng y). Vậy
y sin x,
x arcsin y.
2
x 2
Với qui ước dùng chữ x để chỉ là biến độc lập, chữ y đ ể chỉ hàm, thì hàm ngược của hàm
y sin x với x là y arcsin x.
2 2
Đồ thị của hàm đó sẽ đối xứng với đồ thị của hàm y sin x, x qua đường phân
2 2
giác thứ nhất.
5
Hàm y arcsin x xác định và tăng trên 1 x 1.
y arccos x. Cũng như trên, hàm y cos x với 0 x có hàm ngược là x arccos y ( x
bằng số đo của cung mà cosin của nó bằng y). Vậy
y cos x,
x arccos y.
0x
Đồ thị của hàm y arccos x đối xứng với đồ thị của hàm y cos x, 0 x qua đường
phân giác thứ nhất.
Hàm y arcsin x xác định và giảm trên 1 x 1.
Ta có đẳng thức sau
arcsin x arccos x .
2
y arcsin x y arccos x
Hình 11 Hình 12
y arctgx. Hàm y tgx với 2
x 2
có hàm ngược là x arctgy ( x bằng số đo của
cung mà tg của nó là y). Vậy
y tgx,
x arctgy.
2
x 2
Đồ thị của hàm y arctgx đối xứng với đồ thị của hàm y tgx, x qua đường
2 2
phân giác thứ nhất.
y arccot gx. Hàm y cot gx với 0 x có hàm ngược là x arccot gy ( x bằng số đo
của cung mà tg của nó là y). Vậy
y cot gx,
x arccot gy.
0x
Đồ thị của hàm y arccot gx đối xứng với đồ thị của hàm y cot gx, 0 x qua đường
phân giác thứ nhất.
Ta có đẳng thức sau
arctgx arccot gx .
2
6
y arctgx y arccot gx
Hình 13 Hình 14
§2. Giới hạn của dãy số thực
2.1. Định nghĩa dãy số, giới hạn của dãy số
Định nghĩa: Cho hàm số x : . Các giá trị của x tại n 1, 2, . . . lập thành một dãy số
(gọi tắt là dãy)
x1, x2, x3, . . .
Nếu đặt x n xn, ta có thể viết dãy số đó như sau
x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . hay x n .
Các số x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . được gọi là các số hạng của dãy, x n được gọi là các số hạng tổng quát
của dãy, còn n được gọi là chỉ số của nó.
Ví dụ: Cho x n 1 , x n a, x n 1 n , thì các dãy tương ứng sẽ là
n
1, 1 , 1 , . . . , 1 , . . .
2 3 n
a, a, a, . . . , a, . . .
1, 1, 1, . . . , 1 n , . . .
Định nghĩa: Cho dãy số x n . Ta nói x n hội tụ nếu, tồn tại một số thực a sao cho, với mọi
0 cho trước, tồn tại số tự nhiên N sao cho
n N |x n a| .
Ta có thể nghiệm lại rằng, nếu dãy x n hội tụ thì số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất
( xem tính chất 1), ta gọi a là giới hạn của dãy x n và ký hiệu nó là
a lim x n hay x n a khi n .
n
Dùng các ký hiệu logic ta có thể diễn đạt định nghĩa trên như sau:
lim x n a 0, N : n , n N |x n a| .
n
Chú ý rằng, số N tồn tại trên đây nói chung phụ thuộc vào , do đó ta có thể viết N N.
Hơn cũng không cần thiết N phải là số tự nhiên.
Định nghĩa: Dãy không hội tụ được gọi là phân kỳ.
1
Ví dụ: Cho x n , với x n n . Ta có lim x n 0.
n
7
Thật vậy
|x n 0| | 1 0|
n
1
n
|x n 0| 1 n 1 .
n
Rõ ràng, nếu chọn N 1/ 1, ta có
n N |x n 0| .
2.2. Các tính chất và các phép tính về giới hạn của dãy số
Tính chất 1. Giả sử dãy x n hội tụ. Khi đó số thực a trong định nghĩa ở trên là duy nhất.
Chứng minh: Giả sử có hai số thực a, a như trong định nghĩa ở trên. Ta chứng minh rằng
a a. Thật vậy, giả sử ngược lại: a a. Chọn 1 |a a| 0, ta có:
3
N 1 : n , n N 1 |x n a| , (bởi vì x n a
và
N 2 : n , n N 2 |x n a| , (bởi vì x n a.
Chọn số tự nhiên n maxN 1 , N 2 , ta có:
3 |a a| |a x n | |x n a| 2.
Điều nầy mâu thuẫn. Vậy tính chất 1 được chứng minh.
Tính chất 2. Giả sử dãy x n hội tụ về a. Nếu a p (tương ứng với a p), thì
N : n , n N x n p (tương ứng với x n p
Chứng minh: Chọn 0 a p thì a p. Với số đó thì
N : n N a x n a x n p.
Tính chất 3. Giả sử dãy x n hội tụ về a và ta có x n p x n q với mọi n, thì a p
a q.
N : n , n N x n p (tương ứng với x n p
Chứng minh: Giả sử ngược lại a p a q. Khi đó theo tính chất 2 thì
N : n N x n p x n q. Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết. Vậy tính chất 3 được
chứng minh.
Tính chất 4. Giả sử dãy x n hội tụ. Khi đó nó bị chận, nghĩa là:
M 0 : |x n | M n .
Chứng minh: Chọn 1, N : n N |x n a| 1, từ đó
|x n | |x n a| |a| 1 |a| max1 |a|, |x 1 |, |x 2 |, . . . , |x N | M với mọi n.
Định lý 1. Cho hai dãy hội tụ x n và y n . Nếu x n y n n , thì lim x n lim y n .
n n
Chứng minh: Đặt a lim x n , b lim y n . Giả sử ta có a b. Lấy một số r sao cho
n n
a r b. Khi đó theo tính chất 2
N / : n , n N / x n r.
Mặt khác,
N // : n , n N // y n r.
8
Đặt N maxN / , N // . Khi đó n N x n r y n . Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết. Do
đó a b.
Định lý 2. Cho ba dãy x n , y n và z n thỏa
i x n y n z n n ,
ii lim x n lim z n a.
n n
Khi đó dãy y n cũng hội tụ và lim y n a.
n
Chứng minh: Theo định nghĩa giới hạn
0, N / : n N / a x n a ,
N // : n N // a z n a .
Đặt N maxN / , N // . Ta có n N a x n y n z n a , hay |y n a| . Vậy
lim y n a.
n
Định lý 3. Nếu các dãy x n và y n hội tụ thì dãy x n y n cũng hội tụ
và lim x n y n lim x n lim y n .
n n n
Chứng minh: Giả sử lim x n a, lim y n b. Theo đ ịnh nghĩa giới hạn, 0,
n n
/ /
N : n N |x n a| /2,
N // : n N // |y n b| /2.
Đặt N maxN / , N // . Ta có
n N |x n y n a b| |x n a| |y n b| /2 /2 .
Vậy lim x n y n a b lim x n lim y n .
n n n
Định lý 4. Nếu các dãy x n và y n hội tụ thì dãy x n y n cũng hội tụ
và lim x n y n lim x n lim y n .
n n n
Chứng minh: Giả sử lim x n a, lim y n b. Khi đ ó 0,
n n
N 1 : n N 1 |x n a| ,
N 2 : n N 2 |y n b| .
Đặt N maxN 1 , N 2 , x n a n , y n b n . Ta có
|x n y n ab| |a n b n ab|
| n b n a n n | | n ||b| | n ||a| | n || n |
|x n a||b| |y n b||a| |x n a||y n b|
|b| |a| M |b| |a| M.
Vì y n b 0 nên nó bị chận bởi hằng số dương M Vậy đánh giá trên cho ta
lim x n y n ab lim x n lim y n .
n n n
Hệ quả. Nếu dãy x n hội tụ, và k là một số tùy ý, thì dãy kx n cũng hội tụ
9
và lim kx n k lim y n .
n n
Định lý 5. Nếu các dãy x n và y n hội tụ, và y n 0 n, lim y n 0 thì dãy x n cũng
yn
n
limx n
xn
hội tụ và lim yn n
limy n
.
n n
Chứng minh: Giả sử lim x n a, lim y n b 0. Đ ặt x n a n , y n b n , ta có
n n
xn a b n a n |b|| n ||a|| n |
yn b
bb n
|b||b n |
.
1
Lấy 0 2 |b| thì
N 1 : n N 1 | n | ,
N 2 : n N 2 | n | .
Đặt N maxN 1 , N 2 . Ta có
|b n | |b| | n | |b| |b| 1 |b|
2
1
2 |b|.
xn a 2|b||a|
Khi đó n N 1 yn b b2
.
limx n
xn a
Vậy lim yn b
n
limy n
.
n n
§3. Giới hạn của hàm số
3.1. Các định nghĩa giới hạn
Định nghĩa 1. Xét hàm y fx xác đ ịnh ở lân cận giá trị hữu hạn x 0 , không nhất thiết xác
định tại x 0 . Trong lân cận đó ta có thể lấy được dãy x n , sao cho x n x 0 và lim x n x 0 .
n
Ta nói rằng số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến dần về x 0 , nếu đối với dãy x n bất
kỳ như trên, dãy tương ứng các giá trị của hàm fx n luôn luôn hội tụ và có giới hạn là L.
Khi đ ó ta ký hiệu lim fx L hay fx L khi x x 0 .
xx 0
1
Ví dụ. Xét hàm y x sin x trong khoảng 1, 1\0. Ta có nếu x n , x n 0 là dãy hội tụ
đến 0, thì
0 |fx n | |x n ||sin x1n | |x n |.
1
Vì lim x n 0, nên lim fx n 0. Vậy lim fx lim x sin x 0.
n n x0 x0
1
Ví dụ. Xét hàm y sin x trên khoảng 1, 1. Hàm đó không có giới hạn khi x tiến dần về 0.
1
Thật vậy đặt x n n ta được dãy x n hội tụ đến 0, dãy tương ứng
fx n sin n 0 hội tụ đến 0.
Nếu đặt x /n 4n1 ta được dãy x /n hội tụ đến 0, dãy tương ứng
2
fx /n sin 2n 1 hội tụ đến 1.
2
Vậy hàm y sin 1 không có giới hạn khi x dần về 0.
x
Định nghĩa 2. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến về x 0 , nếu
0, 0 : 0 |x x 0 | |fx L| .
Nói chung số phụ thuộc vào . Nói một cách khác, lim fx L nếu các giá trị của hàm fx
xx 0
10
gần L một cách tùy ý khi các giá trị của biến x đủ gần x 0 nhưng khác với x 0 .
Ta công nhận định lý sau.
Định lý. Hai định nghĩa giới hạn ở trên là tương đương.
Ví dụ. Chứng minh lim 2x 1 5. Thật vậy, ta có với mọi 0,
x2
|2x 1 5| 2|x 2| khi |x 2| /2, nghĩa là nếu lấy /2 thì |2x 1 5|
khi |x 2| . Đpcm.
2 4
Ví dụ. Xét giới hạn của hàm xx2 khi x 2. Hàm nầy không xác định khi x 2, nhưng khi
x 2 ta có
x 2 4 x2x2
x2
x2
x 2.
2 4 2 4
Do đó khi x 2 ta có xx2 4 x 2 4 x 2, nên xx2 4 , khi x 2 và
x 2 4
|x 2| . Vậy lim x2
4.
xx 0
Định nghĩa. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số y fx khi x tiến ra vô cực, nếu
0, N 0 : |x| N |fx L| .
Nói chung số N phụ thuộc vào . Ta ký hiệu lim fx L.
x n
1
Ví dụ. Chứng minh lim x . Thật vậy,
xx 0
| 1 0| |x| khi |x| 1 , nên 0, N 1 : |x| N | 1 0| .
x
1
x
3.2. Các tính chất của hàm số có giới hạn
Rõ ràng ta có một số tính chất đ ơn giản sau đây:
i) Nếu fx C là hằng số thì lim fx C, lim fx C.
xx 0 x
ii) Một hàm fx nếu có giới hạn ( khi x x 0 hay x thì chỉ có duy nhất một giới hạn.
iii) Một hàm fx nếu có giới hạn dương (âm) khi x x 0 thì luôn luôn dương (âm) tại mọi x
x 0 , và đủ gần x 0 .
iv) Nếu hàm fx 0 ở lân cận x 0 và có giới hạn khi x x 0 thì giới hạn ấy phải 0. Nếu hàm
fx 0 ở lân cận x 0 và có giới hạn khi x x 0 thì giới hạn ấy vẫn 0.
3.3. Các phép toán giới hạn của hàm số
Dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm ta dễ dàng chứng minh được:
Định lý. Giả sử lim fx L, lim gx M. Khi đó
xx 0 xx 0
i) Tổng fx gx cũng có giới hạn, và lim fx gx L M.
xx 0
ii) Tích fxgx cũng có giới hạn, và lim fxgx LM.
xx 0
fx fx L
iii) Nếu M 0 thì thương gx
cũng có giới hạn, và lim gx
M
.
xx 0
Chú thích: Định lý trên cũng đúng với quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
Định lý. Xét hàm hợp f u : x fux.
Giả sử lim fx L, lim gx M. Nếu
xx 0 xx 0
a) lim ux u 0 ,
xx 0
11
b) fu xác định trong một khoảng chứa u 0 và lim fu fu 0 .
uu 0
Khi đó, ta có lim fux fu 0 flim ux.
xx 0 xx 0
Chứng minh: Theo b)
0, 0 : 0 |u u 0 | |fu fu 0 | .
Với ấy, theo a), ta lại có
0 : 0 |x x 0 | |ux u 0 | .
Do đó
0, 0 : 0 |x x 0 | |fu fu 0 | .
Vậy lim fux fu 0 .
xx 0
Ta công nhận kết quả sau:
Định lý. Nếu hàm sơ cấp fx xác định trong một khoảng chứa x 0 thì lim fx fx 0 .
xx 0
3.4. Các giới hạn cơ bản
Ta có các giới hạn cơ bản sau:
i) lim sin x 1,
x
x0
1
ii) lim 1 n n e,
n
Với e là một số vô tỉ, e 2, 71828. . . Người ta chứng minh được rằng lim 1 x 1/x e.
x0
Ký hiệu ln là lôgarit cơ số e, hay lôgarit tự nhiên hay lôgarit Néper.
e x 1
iii) lim x 1,
x0
ln1x
iv) lim x 1.
x0
§4. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL)
4.1. Vô cùng bé
4.1.1. Định nghĩa. Hàm x được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x x 0 nếu lim x 0.
xx 0
Chú thích: Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
Trở lại định nghĩa về giới hạn của hàm, ta có thể phát biểu đ ịnh nghĩa VCB khi x x 0 như
sau
Hàm x được gọi là VCB khi x x 0 nếu
0, 0 : 0 |x x 0 | |x| .
Từ định nghĩa giới hạn ta có ngay:
Định lý. lim fx L x fx L là VCB khi x x 0
xx 0
Chú thích: Định lý nầy vẫn đ úng cho quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
Ta cũng thấy ngay tính chất sau đây của VCB:
Tính chất 1. Nếu x là VCB khi x x 0 và C là một hằng số thì cũng là Cx cũng là
VCB khi x x 0 .
Tính chất 2. Nếu 1 x, . . . , n x là một số hữu hạn các VCB khi x x 0 thì tổng
1 x . . . n x và tích của chúng 1 x. . . n x cũng là các VCB khi x x 0 .
12
Tính chất 3. Nếu x là một VCB khi x x 0 và fx là hàm bị chận trong một lân cận:
0 |x x 0 | , thì thì tích xfx cũng là các VCB khi x x 0 .
Thậy vậy, theo giả thiết
M 0 : 0 |x x 0 | |fx| M.
Mặt khác
0, 1 0 : 0 |x x 0 | 1 |x| M
.
Đặt / min, 1 . Khi đó, nếu 0 |x x 0 | / , ta có
|xfx| |x||fx| M . M . Đpcm.
Chú thích: Các tính chất 1-3 vẫn đ úng cho quá trình x thay vì quá trình x x 0 .
4.1.2. So sánh các vô cùng bé
Xét hai VCB x, x trong cùng một quá trình x x 0 hay x (ta cũng viết chung là
x x 0 với x 0 hoặc x 0 .
x
i) Nếu lim x k , k 0 : thì ta nói x, x là hai VCB ngang cấp.
xx 0
x
ii) Nếu lim x
1 : thì ta nói x, x là hai VCB tương đương. Ta ký hiệu x~ x.
xx 0
x
iii) Nếu lim x
0 : thì ta nói x là VCB cấp cao hơn x, hay x là VCB cấp thấp
xx 0
hơn x. Ta ký hiệu x o x.
x
iv) Nếu không tồn tại lim x thì ta nói x, x là hai VCB không so sánh được với nhau.
xx 0
v) Nếu x là VCB ngang cấp với k x, k 0 : thì ta nói x là VCB cấp k so với VCB
x.
Ví dụ:
i) 1 cos x và x 2 là hai VCB ngang cấp khi x 0, và do đó 1 cos x cũng là VCB cấp hai
x
2 sin 2 2
so với x 2 , vì lim 1cos x lim
x2 x2
1.
2
xx 0 xx 0
ii) sin x~x, ln1 x~x, e x 1~x, khi x 0
2 sin 2 x
1cos x
iii) 1 cos x là VCB cấp cao hơn x khi x 0, vì lim x
lim
x
2
0.
xx 0 xx 0
4.1.3. Khử dạng vô định
x x
Tính chất 1. Nếu x~ x và x~x khi x x 0 thì lim lim
x xx 0 x
.
xx 0
Thật vậy
x x x x x x x x x
lim x
lim x x
lim . lim
x xx 0
. lim x
1. lim . 1 lim .
xx 0 xx 0 x xx 0 x xx 0 xx 0 x xx 0 x
ln12x 2x 2
Ví dụ: lim lim 3
.
e 3x 1 3x
x0 x0
Tính chất 2. Nếu x ox khi x x 0 thì x x~x khi x x 0 .
Thật vậy
13
xx x
lim x
lim x 1 1.
xx 0 xx 0
Như vậy tổng của hai VCB tương đ ương với VCB có cấp thấp hơn.
Tính chất 3. Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.
Giả sử x và x là hai VCB khi x x 0 , trong đó x và x đều là tổng của một số hữu
x
hạn các VCB khi x x 0 . Khi đó, lim x
lim của tỷ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử số và
xx 0 xx 0
mẫu số.
xsin 2 x tg 3 x x 1
Ví dụ: lim lim 2
.
2xx 3 4x 5 2x
x0 x0
4.2. Vô cùng lớn
4.2.1. Định nghĩa. Cho hàm fx xác đ ịnh ở lân cận của x 0 , không nhất thiết xác định tại
x 0 . Ta nói hàm fx là vô cùng lớn (VCL) khi x x 0 nếu lim |fx| .
xx 0
Tương tự, ta cũng có khái niệm VCL cho các quá trình x , x thay vì quá trình
x x0.
4.2.2. Liên hệ giữa VCB và VCL.
Định lý. Giả sử fx 0 trong một lân cận của x 0 . Khi đó
1
fx là (VCB) fx
là (VCL), khi x x 0 ,
1
fx là (VCL) fx
là (VCB), khi x x 0 .
1
Ví dụ: sin x
là (VCL), khi x 0,
1
là (VCB), khi x .
x
4.2.3. So sánh các vô cùng lớn
Giả sử Ax, Bx là hai VCL khi x x 0 (ta cũng viết chung là x x 0 với x 0 hoặc
x 0 .
Ax
i) Nếu lim Bx k , k 0 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL ngang cấp.
xx 0
Ax
ii) Nếu lim Bx
1 : thì ta nói Ax, Bx là hai VCL tương đương. Ta ký hiệu Ax~ Bx.
xx 0
Ax
iii) Nếu lim Bx
0 : thì ta nói Ax là VCL cấp thấp hơn Bx, hay Bx là VCL cấp cao
xx 0
hơn Ax.
Ax
iv) Nếu Bx là hai VCL khi x x 0 thì ta nói Ax là VCL cấp cao hơn Bx, hay Bx là
VCL cấp thấp hơn Ax.
Ax Ax
v) Nếu không tồn tại lim Bx và Bx cũng không là VCL khi x x 0 thì ta nói Ax, Bx
xx 0
là hai VCL không so sánh được với nhau.
Từ ii) ta có các tính chất sau:
j) Giả sử Ax, Ax, Bx và Bx là các VCL khi x x 0 . Nếu Ax~Ax và Bx~Bx thì
Ax Ax
lim Bx
lim .
xx 0 xx 0 Bx
jj) Nếu Ax là VCL cấp cao hơn VCL Bx khi x x 0 , thì Ax Bx~Ax khi x x 0 .
14
Thật vậy
AxBx Bx
lim Ax
lim 1 Ax
1.
xx 0 xx 0
Ví dụ: Khi x , thì x 3 1 là VCL cấp cao hơn VCL x 2 , vì
x 3 1 1
lim x2
lim x lim x2
.
x x x
Ví dụ: Khi x , thì 3x 4 x~3x 4 .
4.2.4. Khử dạng vô định , , 0 .
* Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp.
Giả sử Ax và Bx là hai VCL khi x x 0 , trong đó Ax và Bx đều là tổng của một số hữu
Ax
hạn các VCL khi x x 0 . Khi đó, lim Bx
lim của tỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và
xx 0 xx 0
mẫu số.
3x 2 2x2 3x 2 3
Ví dụ: (Dạng . lim lim 4
.
x 4x 2 4x5 x 4x 2
Ví dụ: (Dạng .
Xét lim x 4 3x 2 x 4 1 . Khi x , thì x 4 3x 2 và x 4 1 , nên ta
x
gặp dạng vô định . Muốn khử nó ta nhân và chia nó với biểu thức liên hợp
x 4 3x 2 x 4 1 .
x 4 3x 2 x 4 1 x 4 3x 2 x 4 1
lim x 4 3x 2 x 4 1 lim
x x x 4 3x 2 x 4 1
3x 2 1
lim
x x 4 3x 2 x 4 1
3 1
x2
lim 3 1
( chia tử và mẫu cho x 2 )
x 1 1
x2 x2
3
2
.
Ví dụ: (Dạng 0 . Xét lim x x 2 1 x.
x
Ta có
x 2 1 x x 2 1 x 1
lim x 2 1 x lim lim 0.
x x x 2 1 x x x 2 1 x
Vậy giới hạn đã cho có dạng vô định 0. Muốn khử nó, ta biến đổi như trên thì được
x
lim x x 2 1 x lim
x x x 2 1 x
1
lim 1
( chia tử và mẫu cho x)
x 1 1
x2
1
2
.
§5. Hàm số liên tục
15
5.1. Các định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm
* Cho D , điểm x 0 D được gọi là điểm tụ của D nếu tồn tại một dãy x n D\x 0
sao cho x n x 0 . Điểm x 0 D không phải là điểm tụ của D được gọi là điểm cô lập của D.
* Cho D , f : D và x 0 D.
Nếu x 0 được gọi là điểm cô lập của D. Ta nói f liên tục tại x 0 .
Nếu x 0 được gọi là điểm tụ của D. Ta nói f liên tục tại x 0 . D nếu lim fx fx 0 .
xx 0
Trong trường hợp, x 0 D là điểm tụ của D. Ta cũng có
f liên tục tại x 0 0, 0 : x D, |x x 0 | |fx fx 0 | .
Vẫn là x 0 D là điểm tụ của D. Ta cũng có các định nghĩa khác liên quan đến liên tục một
phía như sau:
*Ta nói f liên tục bên phải tại x 0 . D nếu lim fx fx 0 , tức là,
xx 0
0, 0 : x D, x 0 x x 0 |fx fx 0 | .
*Ta nói f liên tục bên trái tại x 0 . D nếu lim fx fx 0 , tức là,
xx 0
0, 0 : x D, x 0 x x 0 |fx fx 0 | .
Hiển nhiên, điều kiện cần và đ ủ để hàm f liên tục tại x 0 là f liên tục bên phải và bên trái tại
x0.
5.2. Định nghĩa trong khoảng, trên đoạn
* Hàm f : a, b được gọi là liên tục trong khoảng a, b nếu f liên tục tại mọi điểm
x 0 . a, b.
* Hàm f : a, b được gọi là liên tục trên đoạn a, b nếu f liên tục trong khoảng a, b
và liên tục bên phải tại a, liên tục bên trái tại b.
5.3. Các phép toán trên các hàm số liên tục tại một điểm
Áp dụng các phép toán đơn giản về các hàm số có giới hạn ta có một số kết quả sau đây:
Định lý. Nếu hàm f là liên tục tại điểm x 0 thì hàm |f| cũng liên tục tại x 0 .
Định lý. Nếu các hàm f và g liên tục tại điểm x 0 thì các hàm f g, fg, Cf C là hằng số) |f|
cũng liên tục tại x 0 .
f
Ngoài ra, nếu các hàm gx 0 0 thì hàm g liên tục tại x 0 .
Định lý. Giả sử I, J và f : I J, g : J . Nếu hàm f liên tục tại điểm x 0 và g liên tục
tại điểm y 0 fx 0 J, thì hàm hợp g f : I cũng liên tục tại x 0 .
5.4. Điểm gián đoạn. Phân loại
Định nghĩa. Hàm f được gọi là gián đoạn tại x 0 nếu f không liên tục tại điểm x 0 . Lúc đó x 0
điểm gián đoạn của f. Nếu f gián đoạn tại x 0 thì đồ thị của hàm y fx không liền tại điểm
M 0 x 0 , fx 0 , mà bị ngắt quảng tại M 0 .
Căn cứ vào định nghĩa ta thấy rằng hàm f gián đoạn tại x 0 nếu gặp một trong các trường hợp
sau:
i) Nếu các giới hạn bên phải fx 0 0 lim fx, giới hạn bên trái fx 0 0 lim fx tồn tại
xx 0 xx 0
và ba số thực fx 0 , fx 0 0, fx 0 0 không đồng thời bằng nhau, thì ta nói x 0 là điểm gián
16
đoạn loại một.
j) Nếu fx 0 0 fx 0 0 fx 0 , thì ta nói x 0 là điểm gián đoạn bỏ được.
jj) Nếu fx 0 0 fx 0 0, thì ta nói x 0 là điểm nhảy. Hiệu số fx 0 0 fx 0 0 được
gọi là bước nhảy.
ii) Điểm gián đoạn không thuộc loại một được gọi là điểm gián đoạn loại hai.
Ví dụ: Xét hàm
x 1, nếu x 0,
fx
x 1, nếu x 0.
Ta có: f0 lim fx 1, f0 lim fx 1.
x0 x0
Vậy x 0 là một điểm nhảy, với bước nhảy là f0 f0 2.
Ví dụ: Xét hàm
sin x
x , nếu x 0,
fx
2, nếu x 0.
Vì lim fx lim fx 1 f0 2, nên gián đoạn loại một tại x 0. Hơn nữa, x 0 là
x0 x0
một điểm gián đoạn bỏ được.
Nếu xét hàm
sin x
x , nếu x 0,
f x
1, nếu x 0.
thì f sẽ liên tục tại x 0, điều nầy giải thích từ ”bỏ được”.
Ví dụ: Hàm fx 1 có điểm gián đoạn loại hai tại x 0, vì lim
x
1
x , lim 1
x .
x0 x0
5.5. Tính liên tục của các hàm sơ cấp
Ta sẽ chỉ ra rằng các hàm sơ cấp đều liên tục trên tập xác đ ịnh của chúng.
1/ Đa thức P n x a 0 x n a 1 x n1 . . . a n1 x a n .
Vì hàm số y C hằng và hàm số y x liên tục trên nên hàm số
x ax k axx. . . x
k thừa số
trong đó a là một số tực không đ ổi và k là một số tự nhiên, liên tục trên . Do đó hàm P n x là
tổng hữu hạn các hàm thuộc dạng trên cũng liên tục trên .
P
Hàm hữu tỉ Q , trong đó P và Q là các đa thức, liên tục tại mọi điểm x tại đó Qx 0.
2/ Hàm mũ y a x a 0 liên tục trên .
Giả sử x 0 . Với mọi x , ta có a x a x 0 a xx 0 .
Khi x x 0 ta có x x 0 0 và a xx 0 1. Do đó lim a x a x 0 . Vậy hàm y a x liên tục tại
xx 0
điểm x 0 . Ta có:
lim a x và lim a x 0 với a 1,
x x
lim a x 0 và lim a x với 0 a 1.
x x
17
Tập các giá trị của hàm số y a x là khoảng 0, .
3/ Hàm số Lôgarit y log a x a 0, a 1 liên tục trên 0, . (Xem mục 5.5)
x
Giả sử x 0 0. Với mọi x , ta có log a x log a x 0 log a x0 .
x x
Khi x x 0 ta có x0 1 và log a x0 0. Do đó lim log a x log a x 0 . Vậy hàm y log a x liên
xx 0
tục tại điểm x 0 . Ta có:
lim log a x và lim log a x nếu a 1,
x0 x
lim log a x và lim log a x nếu 0 a 1.
x0 x
4/ Hàm số lũy thừa y x liên tục trên 0, . Vì x e ln x nên theo định lý về
tính liên tục của hàm số hợp, hàm số lũy thừa liên tục trên 0, .
5/ Các hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Thật vậy, Giả sử x 0 . Với mọi x , ta có
xx xx xx
|sin x sin x 0 | 2 cos 2 0 sin 2 0 2 sin 2 0 |x x 0 |.
Từ đó suy ra lim sin x sin x 0 .
xx 0
Vậy hàm số y sin x liên tục tại điểm x 0 , tức là liên tục trên .
Vì cos x sin x với mọi x , nên theo định lý về tính liên tục của hàm số hợp, suy
2
ra hàm số y cos x liên tục trên .
Cũng theo tính chất hàm liên tục ta có hàm số y tgx cosx liên tục tại mọi điểm x mà
sin
x
cos x 0, tức là x k, k tập các số nguyên.
2
Hàm số y cot gx cosx liên tục tại mọi điểm x mà sin x 0, tức là x k, k .
sin
x
6/ Người ta chứng minh được rằng các hàm lượng giác ngược liên tục trên tập xác định của
chúng. (xem mục 5.5). Cụ thể là
Hàm số y arcsin x liên tục và tăng trên từ 1, 1 lên , .
2 2
Hàm số y arccos x liên tục và giảm trên từ 1, 1 lên 0, .
Hàm số y arctgx liên tục và tăng trên từ lên , .
2 2
Hàm số y arccot gx liên tục và giảm trên từ lên 0, .
5.6. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn
Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục
Hình 15 Hình 16
Giả sử hàm y fx liên tục tại x 0 . Xét điểm P 0 x 0 , y 0 , y 0 fx 0 trên đồ thị. Khi
18
x x x 0 0 thì f fx fx 0 0, nên khi x x 0 , thì trên đồ thị, điểm Px, y chạy
đến điểm P 0 không bị ngắt quãng.
Từ đó suy ra rằng nếu hàm y fx liên tục trên đoạn a, b thì đồ thị của nó là một đường
liền nối điểm Aa, fa với điểm Bb, fb.
Dựa vào ý nghĩa hình học của hàm y fx liên tục trên đoạn a, b ta rút ra một số tính chất
của nó mà không chứng minh:
Đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B không thể chạy ra vô tận, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì nó bị chận trên đoạn đó, tức là
M 0 : |fx| M x a, b.
Đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B bao giờ cũng có ít nhất một điểm cao nhất và một
điểm thấp nhất, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì ít nhất một lần nó đạt giá trị lớn nhất và một
lần nó đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn a, b, tức là
c 1 , c 2 a, b : fc 1 fx fc 2 x a, b. (xem hình 17)
Hình 17 Hình 18 Hình 19
Nếu hai điểm A và B ở hai phía của trục ox thì đường cong liền đi từ điểm A đến điểm B
phải cắt trục ox ít nhất một lần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b và nếu các giá trị fa và fb trái dấu nhau thì
fx triệt tiêu tại ít nhất một lần trong khoảng a, b, tức là, tồn tại ít nhất một giá trị c a, b
sao cho fc 0. (xem hình 19)
Nếu vẽ một đường thẳng song song với trục Ox trong khoảng giữa điểm thấp nhất và điểm
cao nhất của đường cong nối liền A đến B bao giờ đường thẳng ấy cũng cắt đường cong ấy ít
nhất một lần, nên ta có:
Định lý. Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b và là một giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của f thì là giá trị của f tại ít nhất một điểm trên đoạn a, b, tức là,
nếu max fx min fx thì tồn tại ít nhất một giá trị c a, b sao cho fc. (xem
axb axb
hình 18)
Cuối cùng ta có:
Định lý. Giả sử f : a, b là một hàm số liên tục và tăng(giảm) trên đoạn a, b. Khi đó f
là một song ánh từ a, b lên fa, fb ( fb, fa ) và hàm số ngược
f 1 : fa, fb a, b f 1 : fb, fa a, b của hàm f là liên tục và tăng(giảm).
19
Một hàm f : a, b được gọi là tăng (giảm) trên đoạn a, b, nếu
x, x / a, b, x x / fx fx / tương ứng fx fx / .
Một hàm f : a, b được gọi là không giảm (không tăng) trên đoạn a, b, nếu
x, x / a, b, x x / fx fx / tương ứng fx fx / .
§6. Đạo hàm
6.1. Các khái niệm đạo hàm
6.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa
fxfx 0
Xét hàm số f : a, b và x 0 a, b. Giới hạn lim xx 0 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm
xx 0
/ dfx
của hàm số f tại x 0 và ta ký hiệu giới hạn đó là f x 0 hay dx0 .
Đặt x x x 0 thì đạo hàm f / x 0 được định nghĩa là giới hạn (nếu có)
fxfx 0 fx 0 xfx 0
f / x 0 lim xx 0 lim x
xx 0 x0
2 /
Ví dụ: Cho fx x . Tính f 2.
Ta có
2x 2 2 2 4xx 2
f / 2 lim x
lim x
x0 x0
lim 4 x 4.
x0
Vậy f / 2 x 2 / | x2 4.
6.1.2. Ý nghĩa của đạo hàm
Tiếp tuyến của đường cong
Hình 20
Xét đường cong L có phương trình y fx và một điểm cố định M trên L có toạ độ
Mx 0 , y 0 , y 0 fx 0 . Xét cát tuyến MN. Nếu khi điểm N chạy trên đường cong L tới điểm
M mà cát tuyến MN dần đến một vị trí giới hạn MT thì đ ường thẳng MT được gọi là tiếp tuyến
của đường L tại M. Vấn đề đặt ra là khi nào đường L có tiếp tuyến tại M và nếu có thì hệ số
góc của tiếp tuyến ấy được tính như thế nào? Gọi hoành độ của N là x 0 x. Hệ số góc của cát
tuyến MN là
PN yy 0 fx 0 xfx 0
tg MP
x
x .
Bây giờ cho điểm N chạy trên tới điểm M trên đường L, lúc đó x 0 nếu tỉ số ở vế
f
phải x có giới hạn thì tg ở vế trái cũng có giới hạn ấy, do đó góc tiến tới một góc xác định
20
mà ta gọi là , nghĩa là cát tuyến MN dần đến một vị trí giới hạn MT nghiêng với trục ox một
góc . Vậy hệ số góc tg của tiếp tuyến MT nếu có chính là
fx 0 xfx 0
tg lim x
f / x 0 .
x0
Suy ra ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Nếu hàm f có đạo hàm tại x 0 thì đồ thị của hàm y fx có tiếp tuyến tại Mx 0 , y 0 , trong đó
y 0 fx 0 và hệ số góc của tiếp tuyến là
k tg f / x 0 .
Do đó phương trình của tiếp tuyến tại M 0 là
y fx 0 f / x 0 x x 0
và phương trình của pháp tuyến tại M 0 là
1
y fx 0 f / x x x 0 .
0
Vận tốc chuyển động thẳng
Hình 21
Xét một vật chuyển động trên một đường thẳng tại thời điểm t 0 nó ở M 0 với hoành độ st 0 , tại
thời điểm t nó ở M với hoành độ st. Vậy trong khoảng thời gian t t 0 t nó đi được quãng
stst
đường s st st 0 . Tỉ số s tt 0 0 là vận tốc trung bình của vật chuyển động trong
t
khoảng thời gian trên. Khi t 0 (hay t t 0 nếu tỉ số s có giới hạn thì giới hạn đ ó ta gọi
t
là vận tốc tức thời của vật chuyển động tại thời điểm t 0 . Vậy theo định nghĩa
stst
vt 0 lim s lim tt 0 0 s / t 0 .
t
t0 tt 0
Suy ra ý nghĩa cơ học của đạo hàm: Đạo hàm của hoành độ st đ ối với thời gian t chính là
vận tốc tức thời của vật chuyển đ ộng thẳng tại thời điểm t 0 : vt 0 s / t 0 .
6.1.3. Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lý. Nếu hàm f có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại x 0 .
Thật vậy, ta có
f
lim x f / x 0 .
t0
Do đó
f
x f / x 0 , với 0 khi x 0.
Suy ra
f f / x 0 x x.
Vậy f 0 khi x 0, nghĩa là f liên tục tại x 0 .
Chú thích. Điều ngược lại nói chung không đúng, nghĩa là một hàm liên tục chưa chắc đã có
đạo hàm tại đó.
liên tục tại x 0 .
Ví dụ: Các hàm y |x| và y 3 x liên tục tại x 0 0 mà không có đạo hàm tại đ ó.
21
6.2. Các qui tắc tính đạo hàm
Định lý. ( Đạo hàm của tổng, tích thương)
Nếu hàm ux và vx đều có đạo hàm đối với x thì tổng u v, tích uv, thương u của chúng
v
cũng có đạo hàm đối với x và
u v / u / v / ,
uv / u / v uv / ,
/ /
u / u vuv với vx 0.
v v 2
fxxfx f
Chứng minh: Vì f / x lim x lim x nên để tính đ ạo hàm ta nhận xét khi cho x
x0 x0
số gia x thì số gia tương ứng của hàm f là
f fx x fx
nên ta có fx x fx f f f.
i/ Bây giờ cho f u v, ta có
f u u v v u v u v.
f u v / /
x x x u v khi x 0.
Từ đó suy ra u v / u / v / .
ii/ Nếu f uv, thì ta có
f u uv v uv uv vu uv.
f v u v / /
x u x v x u x uv vu khi x 0.
Từ đó suy ra uv / uv / vu / .
iii/ Nếu f u , thì ta có
v
f uu u
vv v
vuuv
vvv
.
f v u u v vu / uv /
x x
vvv
x
v2
khi x 0, nếu vx 0.
/ /
Từ đó suy ra u / vu vuv .
v 2
Hệ quả.
CC
1/ Nếu u C hằng thì đạo hàm u / 0, vì u / lim x 0.
x0
2/ Cu / Cu / ,
3/ u v / u / v / ,
4/ u 1 . . . u n / u /1 . . . u /n ,
/ /
5/ C Cv với v 0.
v v2
Định lý. ( Đạo hàm của hàm hợp)
Xét hàm hợp y yux. Nếu hàm y yu có đạo hàm đối với u và u ux có đạo hàm
đối với x thì hàm hợp y yux cũng có đạo hàm đối với x và y /x y /u u /x .
Chứng minh.
Cho x số gia x thì u có số gia u, ứng với số gia ấy y có số gia y. Nếu u 0 thì
y y /u u u, với 0 khi u 0.
Từ đó
y
x y /u u
x u y /u u /x khi x 0.
x
22
Suy ra Đpcm.
Định lý. ( Đạo hàm của hàm ngược)
Giả sử hàm y fx có đạo hàm tại x 0 sao cho f / x 0 0. Nếu hàm x f 1 y là hàm ngược
của hàm y fx liên tục tại y 0 thì f 1 y cũng có đ ạo hàm tại y 0 fx 0 và
1
f 1 / y 0 f / x .
0
Chứng minh. Vì x f 1 f 1 y 0 y f 1 y 0 nên khi y 0, ta có x 0. Như
vậy khi y 0, ta có
x 1
y y .
x
Cho y 0, vì hàm x f 1 y liên tục tại y 0 nên x 0, do đó
y /
x f x 0 0.
x 1 1
Vậy, tồn tại f 1 / y 0 lim y
y f / x 0
.
y0 lim x
xy0
6.3. Bảng các đạo hàm cơ bản
1/ Nếu fx C thì f / x 0.
2/ Nếu fx x thì f / x 1.
f xxx
Thật vậy x x
x 1 1 khi x 0.
x
3/ Nếu fx sin x thì f / x cos x.
x x
Thật vậy f sinx x sin x 2 cosx 2
sin 2
f sinxxsin x x sin x
x x
cosx 2
x
2
cos x khi x 0.
2
/
Tương tự ta có cos x sin x.
4/ Nếu fx e x thì f / x e x .
Thật vậy f e xx e x e x e x 1.
f e xx e x x 1
x x
e x e x e x khi x 0.
5/ Nếu fx ln x x 0 thì f / x 1 . x
Thật vậy f lnx x ln x ln xx ln1 x .
x x
f lnxxln x ln1 x ln1 x
x x
x
x
1x x
x
1 khi x 0.
x
x
6/ Nếu fx x x 0 thì f / x x 1 .
Thật vậy, ta có
ln fx ln x. Suy ra
f / x fx
fx
hay f / x x x 1 .
x
1
7/ Nếu fx tgx thì f / x cos 2 x 1 tg 2 x.
Vì tgx cosx nên
sin
x
sin / x cos xsin xcos / x 2 xsin 2
/
tg x cos 2 x
coscos 2 x x cos 2 x 1 tg 2 x.
1
1
8/ Nếu fx cot gx thì f / x sin 2 x 1 cot g 2 x.
Thật vậy, ta có
cos / x sin xcos xsin / x 2 xcos 2
cot g / x cos / x
sin sin 2x sinsin 2 x x sin 2 x 1 cot g
1
9/ Nếu fx arcsin x thì f / x 1 2 .
1x
Đặt y arcsin x thì x sin y xy, 2
y 2
. Ta có
23
1 1 1 1
y / x x / y
cos y .
1sin 2 y 1x 2
1
10/ Nếu fx arc cos x thì f / x .
1x 2
Đặt y arc cos x thì x cos y xy, 0 y . Ta có
1
y / x x /1 sin y
y
1
2
1 2 .
1cos y 1x
/ 1
11/ Nếu fx arctgx thì f x . 1x 2
Đặt y arctgx thì x tgy xy, y . Ta có
2 2
y / x x /1 tg1/ y 1tg 2 y 1x 2 .
y
1 1
1
Tương tự ta có arc cot g / x 1x 2
.
Bảng các công thức đáng nhớ
Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm
1
C 0 tgx cos 2 x
1 tg 2 x
1
x x 1 , cot gx sin 2 x
1 cot g 2 x
1
ex ex arcsin x
1x 2
a x ln a, 1
ax arc cos x
a 0, a 1 1x 2
1 1
ln|x| x , x0 arctgx 1x 2
1
x ln a
, x 0, 1
log a |x| arc cot gx 1x 2
a 0, a 1
1
sin x cos x ln x x 2 a
x 2 a
cos x sin x
6.4. Đạo hàm cấp cao
Ta thấy nếu hàm fx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng nào đ ó thì đạo hàm f / x là một
hàm mới của x xác định trên khoảng ấy. Đạo hàm f / x ấy được gọi là đạo hàm cấp một. Đạo
hàm của đạo hàm cấp một f / x, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của fx và được ký hiệu
là f // x :
f // x f / x / .
Bằng qui nạp, giả sử đạo hàm cấp n 1 được xác định và đ ược ký hiệu là f n1 x, ta định
nghĩa đạo hàm cấp n được ký hiệu là f n x, và được xác đ ịnh bởi
/
f n x f n1 x .
Các đạo hàm cấp hai trở lên được gọi là đạo hàm cấp cao.
Ví dụ: y x n (n nguyên dương)
y / nx n1 ,
y // nn 1x n2 , . . . ,
y n n! trong đó n! 1. 2. . . n.
24
Ví dụ: y sin x,
y / cos x sinx ,
2
y // cosx sinx 2 , . . . ,
2 2
y n sinx n .
2
1
Ví dụ: y xa x a 1 ,
y / 1x a 2 ,
y // 12x a 3 , , . . . ,
1 n n!
y n 12. . . nx a n1 xa n1
.
Định lý. (Leibnitz)
Giả sử u và v là hai hàm số có đ ạo hàm cấp n tại x 0 . Khi đó hàm số uv có đạo hàm cấp n tại x 0
và
n
uv n C k u k x 0 v nk x 0 ,
n
k0
n!
ở đây C k k!nk! .
n
§7. Vi phân
7.1. Định nghĩa vi phân
Cho hàm số f : a, b và x 0 a, b. Lấy x khá bé sao cho x 0 x a, b. Nếu số gia
f fx 0 x fx 0 của hàm có dạng f A. x ox, trong đó A đ ộc lập với x ( chỉ
phụ thuộc vào x 0 , ox là VCB cấp cao hơn x, thì ta nói f khả vi tại x 0 và biểu thức A. x
được gọi là vi phân của hàm f tại x 0 và được ký hiệu là df A. x.
Chú thích.
1/ Biểu thức của vi phân A. x là tuyến tính đối với x nên nói chung nó đơn giản hơn f.
2/ Nếu A 0 thì vi phân df là VCB tương đương với số gia f :
f~df.
2
Ví dụ: Tính vi phân của hàm fx x tại điểm x 0 .
Ta có
f x 0 x 2 x 2 2x 0 x x 2 .
0
2
Vì x là VCB VCB cấp cao hơn x, nên dfx 0 2x 0 x.
7.2. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm
Định lý.
i/ Nếu hàm f khả vi tại x 0 thì nó có đạo hàm tại x 0 và f / x 0 A.
ii/ Ngược lại, nếu f có đ ạo hàm tại x 0 thì nó khả vi tại x 0 và df f / x 0 x.
Chứng minh.
i/ Theo giả thiết ta có
f A. x ox, suy ra
f ox ox
x A x . Cho x 0 và chú ý x 0, ta được f / x 0 A.
f
ii/ Theo giả thiết ta có x f / x 0 khi x 0.
Do đó
f
x f / x 0 , 0 khi x 0.
Ta suy ra
f f / x 0 x x f / x 0 x ox.
25
Vì ox là VCB VCB cấp cao hơn x. Vậy f khả vi tại x 0 và dfx 0 f / x 0 x.
Do đó công thức tính vi phân của f tại x là dfx f / xx.
Chú thích. Nếu fx 1 thì f / x 1, do đó df dx 1. x x và ta có
dfx f / xdx.
Từ đó suy ra
df
f / x dx .
7.3. Tính bất biến của biểu thức vi phân
Bây giờ ta xét hàm hợp y fx, x t, trong đó t là biến độc lập. Vậy y ft. Ta
có
dy ft /t dt f / x / tdt.
Nhưng vì dx / tdt nên dy f / xdx.
Vậy dạng vi phân của hàm f không thay đổi dù x là biến độc lập hay là hàm khả vi theo một
biến độc lập khác.
Người ta nói đó là tính bất biến của biểu thức vi phân (cấp một).
7.4. Các qui tắc tính vi phân
Vì df f / xdx, ta có các qui tắc sau đây:
du v du dv,
duv udv vdu,
dCu Cdu, C là hằng số,
d u vduudv , v 0.
v v2
Dựa vào bảng đạo hàm ta có bảng vi phân tương ứng
7.5. Vi phân cấp cao
Xét hàm f khả vi tại mọi x thuộc một khoảng nào đó. Vi phân df f / xdx đ ược gọi là vi phân
cấp một tại x. Nó là một hàm của x, trong đ ó dx không đổi. Vi phân của vi phân cấp một được
gọi là vi phân cấp hai và được ký hiệu là d 2 f. Ta có
d 2 f ddf df / xdx f // xdxdx f // xdx 2 f // xdx 2 .
Vậy
d 2 f f // xdx 2 .
Vi phân của vi phân cấp hai được gọi là vi phân cấp ba và được ký hiệu là d 3 f. Cũng như trên
ta có
d 3 f dd 2 f f /// xdx 3 f /// xdx 3 .
Bằng qui nạp, giả sử vi phân cấp n 1 được xác định và ký hiệu nó là d n1 f, ta định nghĩa vi
phân cấp n được ký hiệu là d n f, và đ ược xác định bởi
d n f dd n1 f f n xdx n f n xdx n .
Các vi phân cấp hai trở lên được gọi là vi phân cấp cao của f. Ta có
dnf
f n x dx n .
7.6. Các định lý về giá trị trung bình
Giả sử hàm số f : D xác định trên D , x 0 D. Ta nói rằng hàm số f đạt cực tiểu
(cực đại) tại điểm
x 0 D, nếu tồn tại một khoảng a, b D sao cho x 0 a, b và
26
fx fx 0 fx fx 0 với mọi x a, b.
x 0 gọi là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm f nói chung gọi là điểm cực trị của hàm f .
Định lý (Fermat)
Nếu hàm số f : a, b đạt cực trị tại điểm x 0 a, b. Nếu f khả vi tại x 0 thì f / x 0 0.
Chứng minh. Giả sử hàm f đ ạt cực tiểu tại điểm x 0 a, b. Khi đó tồn tại một khoảng
, a, b sao cho x 0 , và có
fx fx 0 với mọi x , .
fxfx 0
x 0 x , ta có xx 0 0. Do đó
fxfx 0
f / x 0 lim xx 0 0.
xx 0
fxfx 0
x x 0 , ta có xx 0 0. Do đó
/ fxfx 0
f x 0 lim xx 0 0.
xx 0
Suy ra f / x 0 0.
Định lý (Rolle)
Giả sử hàm số f : a, b thỏa
i) Liên tục trên a, b,
ii) Khả vi trong a, b,
iii) fa fb.
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho f / c 0.
Chứng minh. Vì f liên tục trên đoạn a, b nên hàm f đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
m trên đoạn nầy.
Nếu m M thì fx m M với mọi x a, b. Do đó f / x 0 với mọi x a, b. Có
thể lấy c là một điểm bất kỳ của a, b.
Nếu m M thì fa m hoặc fa M. Giả sử fa fb m. Theo tính chất hàm liên
tục trên một đoạn, tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho fc m ( chú ý c a và
c b. Theo định lý Fermat, ta có f / c 0.
Định lý (Lagrange)
Giả sử hàm số f : a, b thỏa
i) Liên tục trên a, b,
ii) Khả vi trong a, b,
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho fb fa f / cb a.
Chứng minh. Ta áp dụng định lý Rolle. Xét hàm số
fbfa
x fx fa ba x a, x a, b.
Dễ thấy rằng thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle:
liên tục trên a, b,
fbfa
khả vi trong a, b, / x f / x ba ,
a b 0.
fbfa
Do đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho / c f / c ba
0. Suy ra công
thức cần chứng minh.
27
Chú thích. Khi fa fb ta nhận đ ược định lý Rolle từ định lý Lagrange. Đặt a x 0 ,
b x 0 h. Khi đó c x 0 h, trong đó 0 1 và công thức Lagrange được viết dưới
dạng fx 0 h fx 0 hf / x 0 h.
Định lý Lagrange còn được gọi là định lý về các số gia hữu hạn.
Hệ quả.
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a, b và khả vi trong a, b. Khi đó
i) Nếu f / x 0 với mọi x a, b thì f là một hàm hằng trên a, b.
ii) Nếu f / x 0 ( f / x 0) với mọi x a, b, thì f là một hàm tăng( giảm) trên a, b.
Chứng minh. i) Giả sử a x x / b. Theo định lý Lagrange, tồn tại ít nhất một điểm
c x, x / sao cho
fx fx / f / cx x / 0 vì f / c 0.
Do đó fx fx / .
ii) Tương tự.
Định lý (Cauchy)
Giả sử hàm số f, g : a, b thỏa
i) f, g liên tục trên a, b,
ii) f, g khả vi trong a, b,
iii) g / x 0 với mọi x a, b.
fbfa f / c
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho gbga g / c .
Chú thích. Trong định lý trên, nếu ta lấy gx x thì ta được định lý Lagrange.
Chứng minh. Trước hết ta để ý rằng hàm số g thỏa mãn các giả thiết của định lý Lagrange.
Do đó tồn tại ít nhất một điểm a, b sao cho gb gb g / b a. Vì g / 0 nên
từ đó ta suy ra gb gb 0. Xét hàm số
fbfa
x fx fa gbga gx ga, x a, b.
Dễ thấy rằng hàm số thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle:
liên tục trên đoạn a, b,
fbfa
khả vi trong khoảng a, b, / x f / x gbga g / x,
a b 0.
fbfa
Do đó tồn tại ít nhất một điểm c a, b sao cho / c f / c gbga g / c 0. Suy ra
Đpcm.
§8. Một số ứng dụng của đ ạo hàn và vi phân
8.1. Qui tắc L’Hopital
Các qui tắc L’Hopital mà ta sẽ xét trong mục nầy là một công cụ tiện dụng giúp ta khử các
dạng vô định 0 và .
0
Định lý.
Giả sử f, g : x 0 , b thỏa khả vi trong x 0 , b và
i) lim fx lim gx 0,
xx 0 xx 0
ii) g / x 0 x x 0 , b,
f / x
iii) lim g / x L L hay L ,
xx 0
fx f / x
Khi đó lim L lim .
xx 0 gx
/
xx 0 g x
Chứng minh. Đặt fx 0 gx 0 0. Với mỗi x x 0 , b, các hàm số f và g liên tục trên
28
x 0 , x và khả vi trong x 0 , x. Ngoài ra từ giả thiết ii/ trong đ ịnh lý suy ra g / t 0 với mọi
t x 0 , x với x đủ gần x 0 . Theo đ ịnh lý Cauchy tồn tại ít nhất một điểm c x 0 , x sao cho
fx fbfx f / c
gx
gbgx0 g / c .
0
Khi x x 0 x x 0 , thì c x 0 . Vậy
fx f / c
lim gx lim g / c L.
xx 0 cx 0
Chú thích.
i/ Trường hợp x x 0 hay x x 0 định lý vẫn đúng.
ii/ Định lý vẫn đúng trong trường hợp x 0 . Thật vậy giả sử f, g : a, thỏa khả vi
trong x 0 , b và lim fx lim gx 0 và thoả ii) với x 0 .
x x
1
Đặt t x . Khi đó x 0 t 0.
Đặt
Ft f 1 fx,
t
Gt g 1 gx,
t
ta có
lim Ft lim Gt 0,
t0 t0
1
F t f / 1
/
t t2
,
/ / 1 1
G t g t t2
.
Do đó
F / t f/ 1 f / x
lim G / t
lim t
g/ 1
lim /
L.
t0 t0 t x g x
Ft fx
Theo định lý ta suy ra lim Gt
L. Do đó lim gx
L.
t0 x
Định lý.
Giả sử các hàm f, g : x 0 , b thỏa khả vi trong x 0 , b và
i) lim fx , lim gx ,
xx 0 xx 0
f / x
ii) lim /
L L hay L ,
xx 0 g x
Khi đó
fx f / x
lim gx
L lim /
.
xx 0 xx 0 g x
Ta công nhận định lý nầy.
Chú thích.
i/ Định lý vẫn đúng cho các trường hợp x x 0 , x x 0 hay x .
ii/ Có thể áp dụng qui tắc L’Hopital nhiều lần.
x3 3x 2 6x
Ví dụ. lim xsin x lim 1cos x lim sin x 6.
x0 x0 x0
ln x
Ví dụ. lim x
, 0. Giới hạn nầy có dạng .
x
ln x 1/x 1 1
lim x
lim x 1
lim x
0.
x x x
Vậy khi x , ln x là một VCL bậc thấp hơn mọi x , 0.
Ví dụ. Với mọi số nguyên n 1 ta có
ex x
lim x n lim nxen1 .
x x
Áp dụng qui tắc L’Hopital n ta được
29
ex ex
lim xn
lim n!
0.
x x
x
Vậy khi x , e là một VCL bậc cao hơn mọi lũy thừa nguyên dương của x.
Áp dụng qui tắc L’Hopital để khử các dạng vô định khác.
ln x
Ví dụ. lim x ln x, 0. Đây là giới hạn nầy có dạng 0 . Ta viết lại A lim 1
x0 x0 x
và bây giờ có dạng . Dùng qui tắc L’Hopital ta có
1/x
A lim
lim x 0.
x0 x0
x 1
x 1
Ví dụ. Tính A lim x1
ln x
. Giới hạn nầy có dạng . Ta biến đổi như sau
x1
x ln xx1 0
A lim x1 ln x
và bây giờ có dạng 0
. Dùng qui tắc L’Hopital, ta được
x1
ln x11 ln x 1/x 1
A lim ln x x1
lim ln x1 1
lim 1 1
2
.
x1 x x1 x x1 x 2
x
Ví dụ. Tính A lim x x . Giới hạn nầy có dạng 0 . Lấy lôgarit hai vế, ta được 0
x0
ln A ln lim x x lim ln x x
x0 x0
ln x
lim x ln x lim 1/x
x0 x0
1/x
lim 1/x 2
lim x 0.
x0 x0
Vậy
lim x x A 1.
x0
Ví dụ. Tính A lim cot gx 1/ ln x . Giới hạn nầy có dạng 0 . Lấy lôgarit hai vế, ta được
x0
ln A ln lim cot gx 1/ ln x lim lncot gx 1/ ln x
x0 x0
lncot gx
lim ln x
.
x0
Đó là giới hạn có dạng . Dùng
qui tắc L’Hopital, ta được
1
cot gx. sin 2 x x
ln A lim 1/x
lim sin x cos x
1.
x0 x0
Vậy
A e 1 1 .e
2
Ví dụ. Tính A lim sin x 1/x . Giới hạn nầy có dạng 1 . Lấy lôgarit hai vế, ta đ ược
x
x0
2
ln A ln lim sin x 1/x
x
x0
2 ln sin x
lim ln sin x 1/x
x lim x2
x
.
x0 x0
0
Đó là giới hạn có dạng 0
. Dùng qui tắc L’Hopital, ta được
cos x 1
lnsin xln x x
ln A lim x2
lim sin x
2x
x0 x0
1
2
lim x cos xsin x
x 2 sin x
x0
1 cos xx sin xcos x
2
lim 2x sin xx 2 cos x
x0
30
1 sin x
2
lim 2 sin xx cos x
x0
1 cos x
2
lim 2 cos xcos xx sin x
x0
1 1 1
2 3
6
Vậy
1
A e 1/6 6e
.
8.2. Tính gần đúng
Cho hàm số f khả vi tại x 0 . với x bé, ta có
fx 0 x fx 0 f / x 0 x ox
Nếu bỏ phần VCB cấp cao ox ta có công thức gần đúng
fx 0 x fx 0 f / x 0 x với x bé.
Ví dụ. Tính gần đúng 10 1000 .
Ta có
10 1000 10 1024 24 10 2 10 24
24 3
10 2 10 1 2 10 2 10 1 27
.
3
Chọn hàm fx 2 10 x , x 0 1, x 27
.
Ta có f / x 1 101 9 , f / 1 1 .
5 5
x
1 3
Vậy 10 1000 2. 1 5
. 27
1, 9955.
31
BÀI TẬP CHƯƠNG I
1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
1/ y x 1
2/ y 3 x 1
1
3/ y 4x 2
4/ y x2 2
5/ y x x2
1
6/ y x
2x
7/ y x x 3
8/ y lg 2x
2x
2
9/ y lg x 3x2
x1
2x
10/ y arccos x1
x
11/ y arcsin lg 10
2. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm y sin 2x.
3. Cho hàm f : a, a .
Hàm f được gọi là hàm chẵn nếu fx fx với mọi x a, a.
Hàm f được gọi là hàm lẻ nếu fx fx với mọi x a, a.
Trong các hàm sau đây, hàm nào chẵn, hàm nào lẻ.
1/ fx 1 a x a x
2
2/ fx 1 a x a x
2
3/ fx 1 x x 2 1 x x 2
4/ fx lg 1x
1x
5/ fx lgx 1 x 2
4. Cho hàm f : D .
Nếu tồn tại số a 0 sao cho
fx a fx với mọi x D,
thì f được gọi là hàm tuần hoàn. Số dương T bé nhất thoả đẳng thức trên được gọi là chu kỳ của
f.
Trong các hàm sau đây, hàm nào là hàm tuần hoàn? Hãy tìm chu kỳ T của mỗi hàm tuần hoàn
đó.
1/ fx 10 sin 3x
2/ fx a sin x b cos x
3/ fx tgx
4/ fx sin 2 x
5/ fx sin x .
5. Tìm hàm ngược của các hàm sau đây.
1/ y 2x 3
2/ y x 2 1 với x 0
3/ y 3 1 x 3
32
x
4/ y lg 2 .
n!
6. Đặt C k k!nk! với n , 0 k n. Chứng minh
n
1/ C 0 C n 1, n ,
n n
2/ C k C nk , n , 0 k n
n n
3/ C k C k1 C k , n , 1 k n.
n n n1
Suy ra rằng C k , n , 0 k n.
n
7. Chứng minh rằng với mọi n , ta luôn có
1 n 1 n 1. (Bất đẳng thức Bernuoully).
8. Chứng minh rằng
1/ Với p 0 ta có lim n1p 0
n
2/ Với p 0 ta có lim n p 1
n
3/ Với p 0 ta có lim n n 1
n
n
4/ Với p 0 và ta có lim 1p n
0
n
5/ Với |x| 1 ta có lim x n 0.
n
9. Tìm các giới hạn sau đây
3 2
1/ lim 4x3x2x x
2 2x
x0
x 2 5x6
2/ lim x 2 12x20
x2
2x1 3
3/ lim
x4 x2 2
3 x 1
4/ lim x 1
.
x1
10. Tìm các giới hạn sau đây
2 x1
1/ lim x 2x5
x
3x 2 2x1
2/ lim x 3 4
x
x 2 3
3/ lim 3 x 3 1
x
x 2 1
4/ lim x1
x
x 2 1
5/ lim x1
.
x
11. Tìm các giới hạn sau đây
1 3
1/ lim 1x 1x 3
x1
2/ lim x2 1 x2 1 .
x
12. Áp dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau
1/ fx cot gx x
2/ fx 3 x 2
2
3/ fx e x
33
4/ fx e x1 .
1
13. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
1/ y x 3 arctgx
2/ y arcsin x
x
x
3/ y ln tg 2
4/ y ln x x 2 1
5/ y ln 2 sin x 1 2 sin x 1
2x 2
6/ y arctg sin 1x 4
7/ y e x arctge x ln 1 e 2x
8/ y 1 tg 2 x ln cos x .
2
14. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
2
1/ y x x , x 0,
2/ y sin x tgx .
15. Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong y x 3 3x 2 x 5 tại
điểm 3, 2.
3
16. Viết phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong y 4a8ax 2 tại điểm có
2
hoành độ x 2a.
17. Tìm vi phân của các hàm số sau
1/ y a 2 x 2 5
2/ y x 2 1
3
3/ y e x
4/ y xe x
5/ y ln x x 2 a
1
6/ y arccos s |x|
7/ y sin x .
x
18. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1/ y ln x
2/ y 2 x
3/ y sin 2x
4/ y cos 3x
5/ y sin 2 x
6/ y sin 3 x
7/ y sin ax sin bx
8/ y sin 4 x cos 4 x
9/ y x cos ax
10/ y ln abx
abx
11/ y xe x .
19. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1/ Cho y x 2 sin 2x. Tìm y 100
2/ Cho y x 2 e 2x . Tìm y 20
x2
3/ Cho y 1x . Tìm y 8 .
20. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1/ |sin x sin y| |x y|, x, y
2/ |arctgx arctgy| |x y|, x, y
34
3/ ab ln a ab với 0 b a.
a b b
21. Tìm giới hạn của các hàm số sau
2
1/ lim x 1ln x
e x e
x1
xsin x
2/ lim x3
x0
xe x/2
3/ lim xe x
x
4/ lim x 2 ln x
x0
1 1
5/ lim x e x 1
x0
x x x
6/ lim ln xx1
x1
1
7/ lim x 100 e x2
x0
x
8/ lim 2 x tg 2
x1
9/ lim tgx tg2x
x 4
x
10/ lim tg 2x1 1/x
x
1x 1/x e
11/ lim x
x0
2
12/ lim arcsin x 1/x
x
x0
arctgx 2
13/ lim x 1/x
x0
14/ lim sin x x
x0
15/ lim tgx 2 cos x
x/2
16/ lim 1 x ln x .
x0
22. Tính gần đúng
1/ 3 28
2/ Diện tích hình tròn, bán kính R 3, 02m.
35
CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN
§1. Các khái niệm
1.1. Miền phẳng
Trong mặt phẳng 2 ta chọn một hệ trục tọa độ Descertes vuông góc Oxy. Trục
ngang ox được gọi là trục hoành. Trục thẳng đ ứng OyOx được gọi là trục tung. Mỗi điểm
M 2 là một cặp thứ tự hai số thực M a, b, a, b . Ta gọi tập hợp phẳng là tập hợp
các điểm cùng nằm trong một mặt phẳng. Cho Aa 1 , a 2 và Bb 1 , b 2 thuộc 2 . Khi đó khoảng
cách giữa A và B, ký hiệu là AB cho bởi
AB b 1 a 1 2 b 2 a 2 2 .
Hình 22 Hình 23
Ta gọi lân cận của điểm M 0 trong mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm M của mặt phẳng
sao cho khoảng cách MM 0 . Nói cách khác, lân cận của điểm M 0 là hình tròn ( dĩa tròn)
mở tâm M 0 bán kính . Ta cũng ký hiệu
B M 0 M 2 : MM 0
để chỉ dĩa tròn mở tâm M 0 bán kính .
Điểm M 0 được gọi là điểm trong của nếu tồn tại một hình tròn mở B M 0 tâm M 0 bán
kính sao cho B M 0 .
Tập hợp được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Điểm M 0 2 được gọi là điểm biên của nếu mọi lân cận của M 0 đều chứa các điểm của
đồng thời chứa các điểm không thuộc .
nghĩa là, B M 0 và B M 0 2 \ , 0.
Điểm biên của có thể thuộc và cũng có thể không thuộc . Tập hợp tất cả các điểm biên
của được gọi là biên của . Tập hợp được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của
nó.
36
Hình 24 Hình 25
1.2. Định nghĩa hàm hai biến
Xét tích 2 và tập hợp G 2 . Ta gọi ánh xạ f : G là một hàm hai biến
xác định trên G. G được gọi là miền xác đ ịnh của hàm f. Vậy một hàm hai biến f xác định trên
G là một phép tương ứng sao cho mỗi cặp thứ tự các số thực x, y G ta có một số thực xác
định duy nhất mà ta ký hiệu là fx, y. Ta viết f : x, y z fx, y, hay gọn hơn là
z fx, y, trong đó x, y đ ược gọi là các biến độc lập, z được gọi là các biến phụ thuộc.
Để chỉ những hàm khác nhau ta dùng các chữ khác nhau
z fx, y, z gx, y, z x, y, . . .
Ta qui ước rằng nếu hàm được xác định bởi một biểu thức nào đó và nếu không nói gì thêm thì
miền xác định là tập hợp tất cả các điểm tương ứng với mó biểu thức đã cho có nghĩa.
1.3. Biểu diễn hình học
Hình 26
Giả sử cho hàm hai biến f : x, y z fx, y, x, y G. Nhưng mỗi cặp x, y đều
được biểu diễn bởi một điểm Mx, y trong mặt phẳng Oxy, nên ta có thể xem hàm hai biến
fx, y là hàm của điểm Mx, y : f : M z fM
có thể biểu diễn hình học một hàm hai biến như sau: Vẽ hệ trục tọa độ Descartes vuông góc
Oxyz. Với mỗi điểm x, y G ứng với một điểm P trong không gian với tọa độ là Px, y, f
x, y. Tập hợp
Px, y, fx, y : x, y G
được gọi là là đồ thị của hàm z f x, y xác định trên G. Đ ồ thị của hàm hai biến nói chung là
một mặt cong trong không gian ba chiều.
Ví dụ: Hàm z x 2 y 2 có đ ồ thị là một mặt paraboloid tròn xoay. Miền xác định là toàn bộ
mặt phẳng.
37
Ví dụ: Hàm z 1 x 2 y 2 có đồ thị là nửa mặt cầu đơn vị, tâm tại gốc tọa độ, nằm về phía
z 0. Miền xác định là tập những điểm x, y sao cho 1 x 2 y 2 0 hay x 2 y 2 1. Đó là
hình tròn đơn vị đóng tâm O.
Ví dụ: Hàm z lnx y chỉ xác định với các giá trị x, y sao cho x y 0 hay y x. Đó là
nửa mặt phẳng nằm phía trên đường phân giác thứ hai.
Hình 27
2
Định nghĩa: Dãy điểm x n , y n được gọi là hội tụ đến x 0 , y 0 , nếu
lim x n , y n x 0 , y 0 lim x n x 0 2 y n y 0 2 0
n n
§2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến
2.1. Định nghĩa
Cho hàm hai biến f : G 2 và x 0 , y 0 2 . Ta nói rằng số thực L là giới hạn của
hàm số fx, y khi x, y tiến về x 0 , y 0 , nếu
0, 0 : x, y G :
0 x, y x 0 , y 0 x x 0 2 y y 0 2
|fx, y L| .
Khi đó ta ký viết lim fx, y L hay lim fx, y L.
x,yx 0 ,y 0
x x0
y y0
Chú ý rằng trong định nghĩa giới hạn của hàm nhiều biến cũng như một biến là điểm
x 0 , y 0 không nhất thiết thuộc miền xác định G của f. Điểm x 0 , y 0 được giả sử là điểm tụ của
G, nghĩa là, tồn tại một dãy x n , y n G và x n , y n x 0 , y 0 với mọi n, sao cho x n , y n hội
tụ về x 0 , y 0 .
Định nghĩa:
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 G.
i) Ta nói rằng hàm f liên tục tại điểm x 0 , y 0 , nếu
0, 0 : x, y G : x, y x 0 , y 0
|fx, y fx 0 , y 0 | .
ii) Ta nói rằng hàm f liên tục trên G, nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc G.
38
Ví dụ: Xét hàm fx, y x, y x 2 y 2 . (chuẩn của x, y )
Với x 0 , y 0 2 cho trước. Từ bất đẳng thức tam giác ta có
|fx, y fx 0 , y 0 | x2 y2 x2 y2
0 0
x x 0 2 y y 0 2 với mọi x, y 2 .
Do đó với mỗi 0, chọn , thì với mọi x, y 2 :
x x 0 2 y y 0 2 |fx, y fx 0 , y 0 | ,
nghĩa là f liên tục tại điểm x 0 , y 0 và do đó, liên tục trên 2 .
Ví dụ: Xét các phép chiếu pr 1 x, y x, pr 2 x, y y.
Từ các bất đẳng thức
|x x 0 | x x 0 2 y y 0 2 ,
|y y 0 | x x 0 2 y y 0 2 ,
ta có ứng với 0, chọn , thì với mọi x, y 2 :
x x 0 2 y y 0 2 |pr 1 x, y pr 1 x 0 , y 0 | ,
và |pr 2 x, y pr 2 x 0 , y 0 | .
Vậy pr 1 và pr 2 là các hàm liên tục trên 2 .
Định lý
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 G là điểm tụ của G. Khi đó,
f liên tục tại x 0 , y 0 Với mọi dãy x n , y n trong G hội tụ về x 0 , y 0 , ta có dãy tương ứng
fx n , y n luôn luôn hội tụ về fx 0 , y 0 .
Chứng minh.
Chiều thuận: Do f liên tục tại x 0 , y 0 , nên với 0, ta chọn đ ược 0 sao cho với mọi
x, y G,
x, y x 0 , y 0 |fx, y fx 0 , y 0 | .
Mặt khác, Với mọi dãy x n , y n trong G hội tụ về x 0 , y 0 , ta có n 0 sao cho với mọi
n n 0 , thì
x n , y n x 0 , y 0 , và do đó |fx n , y n fx 0 , y 0 | .
Tóm lại,
0, n 0 : n , n n 0 |fx n , y n fx 0 , y 0 | ,
nghĩa là fx n , y n fx 0 , y 0 khi n .
Chiều đảo: Dùng phản chứng, giả sử f không liên tục tại x 0 , y 0 , nghĩa là
0 0 : 0, x , y G : x , y x 0 , y 0
và |fx , y fx 0 , y 0 | 0 .
39
Chọn 1 , n , ta có dãy x n , y n G sao cho với mọi n ,
n
x n , y n x 0 , y 0 1 và |fx n , y n fx 0 , y 0 | 0 . Rõ ràng x n , y n x 0 , y 0 nhưng
n
fx n , y n fx 0 , y 0 khi n . Vô lý.
Với một chứng minh hoàn toàn tương tự ta có
Định lý
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 2 là điểm tụ của G. Khi đó,
lim fx, y L Với mọi dãy x n , y n trong G\x 0 , y 0 hội tụ về x 0 , y 0 , ta có dãy
x,yx 0 ,y 0
fx n , y n hội tụ về L.
Từ các định lý trên ta nhận được sự liên hệ giữa khái niệm liên tục và giới hạn của hàm hai
biến như sau:
Định lý
Cho f : G 2 và x 0 , y 0 2 là điểm tụ của G. Khi đó,
f liên tục tại x 0 , y 0 lim fx, y fx 0 , y 0 .
x,yx 0 ,y 0
Định lý
Cho f, g : G 2 và x 0 , y 0 2 là điểm tụ của G. Giả sử
lim fx, y a, lim fx, y b.Khi đó,
x,yx 0 ,y 0 x,yx 0 ,y 0
i) lim fx, y gx, y a b,
x,yx 0 ,y 0
ii) lim fx, ygx, y ab,
x,yx 0 ,y 0
iii) lim kfx, y ka, k ,
x,yx 0 ,y 0
fx,y a
iv) lim gx,y
b
, nếu b 0.
x,yx 0 ,y 0
2.2. Định lý
Cho f, g : G 2 và x 0 , y 0 G. Ta có nếu f liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G), thì,
i) f g liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G),
ii) fg liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G),
iii) kf ( k là hằng số), liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G),
f
iv) Nếu gx 0 , y 0 0 ( gx, y 0 với mọi x, y G), thì g liên tục tại x 0 , y 0 ( trên G).
Ta phát biểu mà không chứng minh một số tính chất của hàm liên tục trên một số miền đặc
biệt.
Tập G 2 được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hình tròn(dĩa tròn) B M sao cho G B M . Điều
nầy cũng tương với tồn tại một hằng số dương M sao cho:
x, y x 2 y 2 M với mọi x, y G.
Định lý
Cho f : G 2 là một hàm liên tục trên tập đ óng và bị chận G. Khi đó
i) f là một hàm bị chận trên G, nghĩa là:
M 0 : |fx, y| M x, y G.
ii) f đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên G, tức là, tồn tại ít nhất hai điểm
x 1 , y 1 , x 2 , y 2 G sao cho
40
fx 1 , y 1 fx, y fx 2 , y 2 x, y G.
Định nghĩa:
Hàm f : G 2 được gọi là liên tục đ ều trên G, nếu
0, 0 : x, y, x / , y / G : x, y x / , y /
|fx, y fx / , y / | .
Định lý
Nếu f : G 2 là một hàm liên tục trên tập đ óng và bị chận G, thì f liên tục đều trên
G.
§3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
3.1. Đạo hàm riêng cấp một, cấp cao, đạo hàm của hàm hợp
Định nghĩa
Cho tập mở G 2 và hàm f : G . Cho x 0 , y 0 G, và lấy x, y khá bé sao cho
x 0 x, y 0 , x 0 , y 0 y G. Khi đó giới hạn(nếu có)
fx 0 x,y 0 fx 0 ,y 0
lim x
x0
đạo hàm riêng theo biến x ( biến thứ nhất) của hàm số f tại x 0 , y 0 , ký hiệu
f
x
x 0 , y 0 hay D 1 fx 0 , y 0 hay D x fx 0 , y 0 hay f /x x 0 , y 0 hay gọn hơn f x x 0 , y 0 .
Tương tự giới hạn(nếu có)
fx 0 ,y 0 yfx 0 ,y 0
lim y
y0
đạo hàm riêng theo biến y ( biến thứ hai) của hàm số f tại x 0 , y 0 , ký hiệu
f
y
x 0 , y 0 hay D 2 fx 0 , y 0 hay D y fx 0 , y 0 hay f /y x 0 , y 0 hay gọn hơn f y x 0 , y 0 .
f f
Ví dụ: Cho hàm fx, y x 3 y. Tính x
, y .
f fxx,yfx,y xx 3 yx 3 y
x
lim x
lim x
lim y3x 2 3xx x 2 3x 2 y.
x0 x0 x0
f fx,yyfx,y x 3 y 0 yx 3 y
y
lim y lim y x3.
y0 y0
3.2. Vi phân riêng, vi phân toàn phần
Định nghĩa (Vi phân riêng). Ta gọi vi phân riêng của hàm z fx, y đối với x tại điểm
x 0 , y 0 , ký hiệu là d x fx 0 , y 0 được xác đ ịnh bởi
f f
d x fx 0 , y 0 x x 0 , y 0 x x x 0 , y 0 dx.
Tương tự, ta gọi vi phân riêng của hàm z fx, y đối với y tại điểm x 0 , y 0 , ký hiệu là
d y fx 0 , y 0 được xác định bởi
f f
d y fx 0 , y 0 y x 0 , y 0 y y x 0 , y 0 dy.
Định nghĩa (Vi phân toàn phần). Cho tập mở G 2 và hàm f : G . Cho x 0 , y 0 G,
và lấy x, y khá bé sao cho x 0 x, y 0 y G. Nếu số gia toàn phần
f fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0
41
có thể biểu diễn được dưới dạng
f Ax By x y, trong đ ó A, B là những số thực độc lập với x, y ( phụ thuộc
vào x 0 , y 0 , còn 0, 0, khi x, y 0, 0, thì ta nói rằng hàm f khả vi tại x 0 , y 0 ,
biểu thức Ax By được gọi là vi phân toàn phần của hàm z fx, y tại điểm x 0 , y 0 , ký
hiệu là dfx 0 , y 0 Ax By. Đẳng thức trên còn được viết dưới dạng
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 Ax By o, với x 2 y 2 ,
trong đó o là một vô cùng bé bậc cao hơn .
Nếu A và B không đồn thời bằng không thì khi x 2 y 2 0, thì f~df.
Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm thuộc G thì ta nói rằng nó khả vi trên G.
Chú thích. Nếu hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 , thì f liên tục tại x 0 , y 0 .
Thật vậy từ định nghĩa ta có
f Ax By o 0 khi x 2 y 2 0.
Định lý. Nếu hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 , thì tại điểm ấy hàm f có các đạo hàm riêng
f f
x
x 0 , y 0 , y
x 0 , y 0 và ta có
f f
dfx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y.
Chứng minh.
Từ giả thiết ta có
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 Ax By o x 2 y 2 .
Cho y 0 ta được
fx 0 x, y 0 fx 0 , y 0 Ax ox.
Do đó
fx 0 x,y 0 fx 0 ,y 0 ox
lim x
lim A x A.
x0 x0
f f
Vậy tồn tại đạo hàm riêng x x 0 , y 0 , và có x x 0 , y 0 A.
f f
Tương tự ta cũng có y x 0 , y 0 , và có y x 0 , y 0 B.
Vì vậy
f f
dfx 0 , y 0 Ax By x x 0 , y 0 x y x 0 , y 0 y.
f f
Định lý. Nếu hàm f có các đ ạo hàm riêng x
, y
trong một lận cận của x 0 , y 0 và các đạo
f f
hàm riêng , x y
liên tục tại điểm x 0 , y 0 , thì hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 .
Chứng minh.
Ta có
f fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 y
fx 0 , y 0 y fx 0 , y 0
Áp dụng công thức Lagrange ta được
42
f
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 y x
x 0 1 x, y 0 yx,
f
và fx 0 , y 0 y fx 0 , y 0 y
x 0 , y 0 2 yy,
trong đó 0 1 , 2 1.
f f
Vì các đạo hàm riêng x , y
liên tục tại điểm x 0 , y 0 , nên
f f
x
x 0 1 x, y 0 y x
x 0 , y 0 ,
f f
y
x 0 , y 0 2 y y
x 0 , y 0 ,
trong đó 0, 0, khi x 0, y 0. Vậy
f f
f x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y x y,
tức là f khả vi tại điểm x 0 , y 0 .
Đạo hàm của hàm hợp
Cho z fu, v, trong đó u, v là hai hàm theo hai biến độc lập x, y : u ux, y, v vx, y. Khi
đ ó ta nói rằng z là một hàm hợp của x, y thông qua hai biến trung gian
u, v : z fux, y, vx, y.
Định lý.
Nếu hàm f khả vi và nếu u, v có các đạo hàn riêng u , u , v , v liên tục thì tồn tại các đạo
x y x y
z z
hàm riêng x , y và ta có
z f u f v
x
u x
v x
,
z f u f v
y
u y
v y
.
Chứng minh.
Nếu cho x một số gia x và giữ y không đổi thì u, v, z có số gia tương ứng là các số gia riêng
x u, x v, x z. Khi đó,
z z
x z u x u v x v x u x v,
trong đó 0, 0, khi x u 0, x v 0. Do đó
xz
x
u x u v x v x u x v ,
z
x
z
x x x
xu u xv v
Nhưng lim x
x
lim x
x
. Từ đó qua giới hạn khi x 0 ta được
x0 x0
z f u f v
x
u x
v x
.
Tương tự ta có đẳng thức thứ hai trong định lý.
Đạo hàm riêng cấp cao
43
z z
Cho hàm hai biến z fx, y. Các đạo hàm riêng x , y thường được gọi là các đạo hàm riêng
cấp một. Chúng lại là các hàm theo hai biến x, y và có thể có các đạo hàm riêng. Các đạo hàm
riêng của đạo hàm riêng đạo hàm cấp một được gọi là các đạo hàm cấp hai của z.
Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai:
f 2f
x
x x 2 f //2 x, y,
x
f 2f
y
x xy f // x, y, (lần đầu lấy đạo hàm riêng theo biến x, lần thứ hai lấy đạo
xy
hàm riêng theo biến y).
f 2f
x
y yx f // x, y, (lần đầu lấy đạo hàm riêng theo biến y, lần thứ hai lấy đạo
yx
hàm riêng theo biến x).
f 2f
y 2 f //2 x, y,
y y y
Người ta cũng định nghĩa đ ạo hàm riêng cấp n 3 một cách tương tự.
Một vấn đề đặt ra là: kết quả việc lấy đạo hàm riêng có phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm riêng
theo từng biến không? Ta có kết quả sau đây:
Định lý (Schwartz)
Cho hàm hai biến fx, y có các đạo hàn riêng đến cấp hai vá chúng liên tục trong tập mở U.
Khi đó
2f 2f
xy
yx .
Chúng minh. Cho x, y U, và lấy x, y khá bé sao cho x x, y y U. Xét
biểu thức
Hx, y fx x, y y fx x, y fx, y y fx, y.
Đặt gx fx, y y fx, y.
Theo định lý giá trị trung bình ta có c x x, 0 1, sao cho
gx x gx g / cx.
Ta có
f f
g / c x
c, y y x
c, y.
/
Mặt khác g c là một hàm theo y, vậy tồn tại c 1 y 1 y, 0 1 1, sao cho
f
g / c y
x c, c 1 y.
Chú ý rằng Hx, y gx x gx, ta có
f 2f
Hx, y g / cx y
x c, c 1 yx xy
c, c 1 yx.
2f
Cho x, y 0, 0, ta có c, c 1 x, y, do tính liên tục của xy
, ta có
Hx,y 2f
lim xy
xy
x, y.
x,y0,0
Tương tự, xét g 1 y fx x, y fx, y, ta có
44
2f
Hx, y g 1 y y g 1 y g /1 c 2 y yx
c 3 , c 2 xy,
với c 2 y 2 y, c 3 x 3 x, 0 2 , 3 1. Ta suy ra
Hx,y 2f
lim xy yx
x, y.
x,y0,0
Tóm lại
2f 2f Hx,y
xy
x, y yx
x, y lim xy .
x,y0,0
Ví dụ: Cho hàm fx, y x 2 y xy 4 . Ta có
f f
x
2xy y 4 , y x 2 4xy 3 ,
2f f
x 2
x x x
2xy y 4 2y,
2f f
xy
y x y
2xy y 4 2x 4y 3 ,
2f f
yx
x y x
x 2 4xy 3 2x 4y 3 ,
2f f
y 2
y
y y
x 2 4xy 3 12xy 2 .
2f 2f
Ta thấy rằng xy yx .
3.3. Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng
Do định nghĩa, nếu hàm f khả vi tại điểm x 0 , y 0 , tức là
f f
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y o x 2 y 2 .
Khi x, y 0, 0, thì o x 2 y 2 là vô cùng bé bậc cao hơn x 2 y 2 ,
nghĩa là
o x 2 y 2
lim 0,
x,y0,0 x 2 y 2
do đó
f f
fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y
Ví dụ. Tính gần đúng A 3, 012 2 3, 997 2 .
Xét hàm fx, y x 2 y 2 . Chọn x 0 , y 0 3, 4, x 0, 012, y 0, 003.
Khi đó
f f
A fx 0 x, y 0 y fx 0 , y 0 x
x 0 , y 0 x y
x 0 , y 0 y.
Ta có:
fx 0 , y 0 3 2 4 2 5,
f x0 3
x
x 0 , y 0 5
,
x 2 y 2
0 0
45
f y0 4
y
x 0 , y 0 5
,
x 2 y 2
0 0
Vậy
A 5 3 0, 012
5
4
5
0, 003 5, 0048.
§4. Cực trị của hàm hai biến
4.1. Cực trị không điều kiện( cực trị tự do)
4.1.1. Định nghĩa
Cho hàm hai biến f : G 2 và cho M 0 x 0 , y 0 G. Ta nói rằng hàm f đạt cực
tiểu(địa phương) tại M 0 nếu có một tập mở G sao cho M 0 x 0 , y 0 và
fx, y fx 0 , y 0 x, y .
Tương tự, ta nói rằng hàm f đ ạt cực đại(địa phương) tại M 0 nếu có một tập mở G sao
cho M 0 x 0 , y 0 và
fx, y fx 0 , y 0 x, y .
Nếu hàm f đạt cực tiểu hay cực đại (địa phương) tại M 0 thì ta nói hàm f đạt cực trị (đ ịa
phương) tại M 0 .
Hình 28
4.1.2. Qui tắc tìm cực trị không điều kiện
Định lý (Điều kiện cần)
Nếu hàm f đạt cực trị (địa phương) tại M 0 x 0 , y 0 G và nếu f có các đạo hàm riêng tại
M 0 x 0 , y 0 thì
f f
x
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0.
Chứng minh. Giả sử hàm f đạt cực tiểu tại M 0 x 0 , y 0 . Xét hàm gx fx, y 0 , thì
gx fx, y 0 gx 0 fx 0 , y 0 ,
với x trong một khoảng nào đó chứa x 0 . Do đó ta có g / x 0 0.
Mặt khác
f f
g / x 0 x x 0 , y 0 . Vậy x x 0 , y 0 0.
f f f
Tương tự, y x 0 , y 0 0. Điểm x 0 , y 0 mà tại đó x
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0, được gọi là
điểm dừng.
Định lý (Điều kiện đ ủ của cực trị)
46
Giả sử hàm hai biến f có các đ ạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong lân cận của điểm dừng
M 0 x 0 , y 0 .
Đặt:
2f 2f 2f
A x 2 x 0 , y 0 , B xy x 0 , y 0 , C y 2 x 0 , y 0 .
Khi đó
a) Nếu B 2 AC 0 và A 0 (hay C 0) thì f đ ạt cực tiểu tại M 0 ,
b) Nếu B 2 AC 0 và A 0 (hay C 0) thì f đ ạt cực đại tại M 0 ,
c) Nếu B 2 AC 0 thì f không đạt cực trị tại M 0 ,
d) Nếu B 2 AC 0 ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể.
Ta công nhận định lý nầy.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z x 3 y 3 3xy.
z /x 3x 2 3y 0,
Giải hệ
z /y 3y 2 3x 0.
ta được hai điểm dừng M 1 1, 1 và M 2 0, 0. Ta có
z // 6x, z // 3, z // 6y.
xx xy yy
Tại M 1 1, 1 ta có: A 6, B 3, C 6, B 2 AC 27 0. Vậy hàm z đạt cực tiểu tại M 1
và z min z1, 1 1.
Tại M 2 0, 0 ta có: A 0, B 3, C 0, B 2 AC 9 . Vậy hàm z không đạt cực trị tại
M2.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z x 4 y 4 x 2 2xy y 2 .
z /x 4x 3 2x 2y 0,
Giải hệ
z /y 4y 3 2x 2y 0.
ta được ba điểm dừng M 1 0, 0, M 2 1, 1 và M 3 1, 1.
Ta có
z // 12x 2 2, z // 2, z // 12y 2 2.
xx xy yy
2
Tại M 1 ta có: A 2, B 2, C 2, B AC 0. Trường hợp nầy cần phải khảo sát thêm
bằng phương pháp khác. Ta có zM 1 0. Với x y 1 , ta đượcn
z 1 , 1 n22 n22 2 0 với n 2.
n n
Mặt khác, ta có z 1 , 1 n24 0. Vậy trong lân cận của M 1 0, 0 hàm số đổi dấu, hàm số
n n
không đạt cực trị tại M 1 0, 0.
Tại hai điểm dừng còn lại: M 2 1, 1 và M 3 1, 1, ta có A 10, B 2, C 10,
B 2 AC 96 0.
Vậy hàm z đạt cực tiểu tại M 2 và M 3 ; z min 2.
4.2. Cực trị có điều kiện( cực trị ràng buộc)
4.2.1. Định nghĩa
Ta nói rằng hàm fx, y với điều kiện x, y 0 đạt cực tiểu tại điểm M 0 x 0 , y 0 nếu tồn tại
một lân cận của M 0 x 0 , y 0 sao cho
fx, y fx 0 , y 0 x, y thỏa x, y 0.
Thông thường phương trình x, y 0 là phương trình của đường cong C. Như vậy ta chỉ so
47
sánh fM 0 với fM khi M nằm trên C.
Hình 29
Ta cũng định nghĩa cực đại có điều kiện một cách tương tự. Cực tiểu có điều kiện và cực đại
có điều kiện được gọi chung là cực trị có điều kiện.
4.2.2. Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện
- Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z fx, y 1 x 2 y 2 với điều kiện x y 1 0.
Giải. Từ điều kiện trên ta rút ra y 1 x. Thay vào biểu thức của
z 1 x 2 1 x 2 2 x x 2 . Đây là hàm một biến, xác dịnh khi x x 2 0, tức là
khi 0 x 1. Ta có
dz 2
dx
2 12x2 .
xx
dz 1
dx
0 khi x 2
. Ta lập bảng biến thiên
1
x 0 2
1
dz
dx
0
2
z 0 2
0
2
Vậy z đạt cực đại có điều kiện tại điểm M 1 , 1 và giá trị cực đại là z max
2 2 2
.
- Phương pháp nhân tử Lagrange. Điều kiện cần của cực trị có điều kiện
Xét bài toán: Tìm cực trị của hàm z fx, y với điều kiện x, y 0.
Điểm M 0 x 0 , y 0 được gọi là điểm kỳ dị của đường cong C : x, y 0 nếu
x
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0.
Định lý (Nhân tử Lagrange).
Cho điểm M 0 x 0 , y 0 thỏa điều kiện
i) Điểm M 0 không là điểm kỳ dị của đường cong C.
ii) Các hàm số fx, y, x, y và các đ ạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong lân cận
của M 0 .
iii) Hàm fx, y đạt cực trị có điều kiện tại M 0 .
Khi đó tồn tại một số thực sao cho x 0 , y 0 , là nghiệm của hệ phương trình
f
x
x 0 , y 0 x
x 0 , y 0 0,
f
y
x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 0,
x 0 , y 0 0.
Số thực được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm Lx, y, fx, y x, y được gọi là hàm
48
Lagrange.
Chúng minh. Vì M 0 không là điểm kỳ dị của C, nên ta có thể giả sử rằng y x 0 , y 0 0.
Người ta chứng minh được rằng tồn tại một hàm ẩn y yx xác đ ịnh trong một khoảng nào
đó chứa x 0 . Thay vào hàm fx, y ta được
z fx, yx.
Hàm nầy đạt cực trị tại x 0 , nên dzx 0 0, tức là
f f
x
x 0 , yx 0 dx y
x 0 , yx 0 dy 0.
Nhưng yx 0 y 0 , vậy
f f
x
x 0 , y 0 dx y
x 0 , y 0 dy 0.
Mặc khác lấy vi phân điều kiện tại x 0 , y 0 , ta được
x
x 0 , y 0 dx y
x 0 , y 0 dy 0.
Nhân hai vế của đẳng thức nầy cho rồi cộng với đẳng thức trên, ta được
f f
x x 0 , y 0 x
x 0 , y 0 dx y x 0 , y 0 y
x 0 , y 0 dy 0.
f
y
x 0 ,y 0
Lấy sao cho
. Khi đ ó ta cũng được
y
x 0 ,y 0
f
x
x 0 , y 0 x
x 0 , y 0 0.
Cùng với phương trình x 0 , y 0 0 ta nhận được hệ phương trình nêu trong định lý.
Định lý chỉ cho ta điều kiện cần của cực trị. Tuy vậy, trong nhiều bài toán cụ thể có thể
xác đ ịnh được M 0 x 0 , y 0 có phải là điểm cực trị hay không.
Ví dụ.- Đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z 3x 4y với điều kiện x 2 y 2 1.
Giải. Ta có hàm Lagrange Lx, y, 3x 4y x 2 y 2 1.
L /x 3 2x 0,
Giải hệ phương trình L /y 4 2y 0,
L / x 2 y 2 1 0.
Từ hai phương trình đầu ta rút ra: x 3 , y 2 , sau đó thay vào phương trình cuối, ta được
2
3 2 2 2 1 0. Do đó: 5 .
2 2
Với 1 5 : x 1 3 , y 1
2 5
4
5
, M 1 3 , 4 .
5 5
Với 2 5 : x 2 3 , y 2
2 5
4
5
, M 2 3 , 4 .
5 5
Vì hàm z 3x 4y là hàm liên tục trên tập đóng và bị chận x, y : x 2 y 2 1 ( đường tròn
đơn vị) nên nó đ ạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đó. Theo định lý nó chỉ đạt tại M 1
hoặc tại M 2 1, 1. Suy ra
z min zM 1 5, z max zM 2 5.
2 y2
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z xy với điều kiện x8 2 1.
2 y2
Giải. Ta có hàm Lagrange Lx, y, xy x8 2 1.
49
L /x y x
4
0,
Giải hệ phương trình L /y x y 0,
y2
L / x2
8
2
1 0.
Từ phương trình thứ hai ta rút ra: x y, sau đó thay vào phương trình đ ầu, ta được
2y
y y 4 .
4
y
Do đó 4
2 4 0, tức là y 0 hay 2.
Nếu y 0 thì x 0: Không thỏa phương trình thứ ba. Ta loại trường hợp nầy.
Nếu 2 thì x 2y, thay vào phương trình cuối, ta được:
2y 2 y2
8
2 1 0 hay y 1.
Vậy ta có hai điểm dừng M 1 2, 1, M 2 2, 1.
Nếu 2 thì x 2y. Tương tự ta có thêm hai điểm dừng M 3 2, 1, M 4 2, 1.
Tính các giá trị: zM 1 zM 2 2, zM 3 zM 4 2.
2 y2
Vì hàm z xy liên tục trên tập đóng và bị chận x, y : x8 2 1 ( là đường ellip tâm O)
nên nó đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đó. Theo định lý nó chỉ đạt các giá trị trên tại
các điểm dừng nói trên. Suy ra
z min zM 1 zM 2 2,
z max zM 3 zM 4 2.
Chú thích. Trong trường hợp tổng quát, tập hợp x, y : x, y 0 có thể là tập không bị
chận, nên ta cần phải sử dụng điều kiện đ ủ của cực trị có điều kiện
- Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện
Giả sử các hàm số fx, y, x, y, M 0 x 0 , y 0 thỏa mãn định lý nhân tử Lagrange.( Điểm
M 0 x 0 , y 0 được gọi là điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện). Ta chuyển bài toán cực trị
hàm fx, y có điều kiện x, y 0 sang bài toán cực trị không điều kiện của hàm Lagrange
Lx, y fx, y x, y.
Giả sử thêm rằng các hàm số fx, y, x, y và các đạo hàm riêng cấp hai của chúng liên
tục trong lân cận của M 0 và là giá trị tương ứng với x 0 , y 0 .
Xét vi phân cấp hai của hàm Lx, y tại x 0 , y 0 :
d 2 Lx 0 , y 0 L // x 0 , y 0 dx 2 dy 2L // x 0 , y 0 dxdy L // x 0 , y 0 dy 2 ,
xx xy yy
nhưng các vi phân dx, dy không phải tự do, mà bị ràng buộc bởi điều kiện
/x x 0 , y 0 dx /y x 0 , y 0 dy 0,
dx 2 dy 2 0.
Khi đó,
Nếu d 2 Lx 0 , y 0 0, thì hàm f đ ạt cực tiểu có điều kiện.
Nếu d 2 Lx 0 , y 0 0, thì hàm f đ ạt cực đại có điều kiện.
Nếu d 2 Lx 0 , y 0 thay đổi dấu, thì hàm f không đạt cực trị có điều kiện.
Ví dụ. Tìm cực trị của hàm z x y với điều kiện xy 1.
Giải. Ta có hàm Lagrange Lx, y, x y xy 1.
50
L /x 1 y 0,
Giải hệ phương trình L /y 1 x 0,
L / xy 1 0,
ta được x y 1, 1. Ta có một điểm dừng M 0 1, 1 tương ứng với 1.
Mặt khác L // 0, L // 1, L // 0, d 2 L1, 1 2dxdy.
xx xy yy
Hơn nữa, từ điều kiện ràng buộc xy 1 0, ta có
dx dy 0 hay dy dx.
Vậy d L1, 1 2dx 0 nếu dx 2 dy 2 0. Vậy hàm z đạt cực tiểu có điều kiện tại
2 2
M 0 1, 1 và z min z1, 1 2.
Chú thích. Ta có thể giải bài toán trên bằng cách đưa về bài toán tìm cực trị của hàm một biến
như sau.
1
Từ phương trình xy 1 (x, y 0) suy ra y x (x 0). Thay vào hàm z ta có
zx x 1 , x 0.
x
z / x 1 x12 . Vậy z / x 0 x 1.
Lập bảng biến thiên
x 0 1
z / x 0
zx 2
Suy ra z min z1, 1 2.
4.3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên một miền đóng và bị chận
Xét bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất( còn gọi là cực trị tuyệt đối) của một hàm
liên tục f trên một miền đóng và bị chận G 2 .
Giả sử G D C trong đó D là một tập mở và C là một đường cong trơn (khả vi). Giả sử
thêm rằng hàm f có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên D. Do đó để tìm các giá trị nầy, ta
làm theo các bước sau:
- Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại cực trị của hàm liên tục trên D C.
- Xét bài toán tìm cực trị ở trong D bằng cách giải hệ
f /x x, y 0,
f /y x, y 0.
- Xét bài toán tìm cực trị ở trên C bằng định lý nhân tử Lagrange.
- Sau đó lấy giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất tại các điểm tính ra từ hai bước trên.
Ví dụ. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số z fx, y x 2 y2 x y trong tam
giác đóng G giới hạn bởi các đường thẳng: x 0, y 0, x y 6.
51
Giải. Ta có G x, y : x 0, y 0, x y 6 là tập đóng và bị chận. Đây là một tam giác
đóng có ba đỉnh O0, 0, A6, 0, B0, 6, D x, y : x 0, y 0, x y 6 là phần trong
của G.
- Trước hết ta tìm điểm dừng trong D bằng cách giải hệ
z /x xy4 3x 2y 0,
z /y x 2 2 x 2y 0.
Hình 30
Vì x 0, y 0 nên ta được x 1, y 1 .2
Điểm M 0 1, 1 D, zM 0 1 .
2 4
- Xét trên biên
Trên OA và OB thì z 0.
Trên AB thế y 6 x vào hàm đã cho ta được
z 4x 2 6 x, 0 x 6.
z / x 12xx 4 0 x 1 0, x 2 4.
Tương ứng ta có hai điểm trên AB là: M 1 0, 6, M 2 4, 2.
Tại điểm M 1 0, 6 B đã xét.
Tại điểm M 2 4, 2, zM 2 z4, 2 128.
1 1
Vậy giá trị nhỏ nhất là zM 2 z4, 2 128, giá trị lớn nhất là zM 0 z1, 2
4
.
52
BÀI TẬP CHƯƠNG II
1. Tìm miền xác định của các hàm sau đây
x2 y2
1/ z 1 a2
b2
1
2/ z R 2 x 2 y 2
1 1
3/ z xy
xy
4/ z ln xy
y1
5/ z arcsin x
6/ z 1x 1
y
7/ z R 2 x y 2 x 2 y 2 r 2 , 0 r R
2
2. Các hàm số sau đây có giới hạn tại 0, 0 không?
x 2 y 2
1/ z x 2 y 2
x
2/ z
x 2 y 2
x 4 y 2
3/ z x 4 y 2
xy
4/ z xy
x2
5/ z x 2 y
xy 2
6/ z 3/2
x 2 y 2
2 2 1
7/ z x y sin
x 2 y 2
y
8/ z e sin x
x
3. Tính các giới hạn sau đây
xy
1/ lim x 2 y 2
x,y0,1
xy 2
2/ lim x 2 y 2
x,y0,0
1
3/ lim x 2 y 2 sin xy
x,y0,0
xy
4/ lim x 2 y 2
x,y,
2 y 2
5/ lim 2
x y 2 e x
x,y,
x 2 y 2
6/ lim 4 4 .
x,y0,0 x y
4. Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau đây
1/ z x 3 y xy 3
x 3 y 3
2/ z x 2 y 2
y
3/ z x x
y
4/ z ln x x 2 y 2
y
5/ z arctg x
6/ z xy
53
7/ z 1 xy y
8/ z x 2 y 2 .
5. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau
1/ z e x2y , x sin t, y t 3 . Tính dz
dt
2/ z arcsinx y, x 3t, y 4t 3 . Tính dz dt
z z
3/ z x 2 ln y, x u , y 3u 2v. Tính u , v
v
z z
4/ z x 3 sinxy, x u cos v, y u sin v. Tính u , v
6. Tính vi phân của các hàm số sau
1/ z xy 3
2/ z e xy
3/ z lny x 2 y 2
4/ z lncos x y
5/ Tính df1, 1 nếu fx, y x ye xy .
7. Tính gần đúng các giá trị sau đ ây nhờ vi phân cấp 1
1/ 4, 05 2 3, 07 2
2/ 2, 01 3,03 biết ln 2 0, 69
3/ sin 28 0 cos 61 0 biết rằng cos 0, 87 và 180 0, 017.
6
8. Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau đây
1/ z x 2 y 2
2/ z ln x x 2 y 2
xy
3/ z xy
4/ z 21 2
x y
5/ z lnx y 2
2
y
6/ z arctg x
7/ z e y e y sin x
9. Tìm cực trị của các hàm sau đ ây
1/ z 4x y x 2 y 2
2/ z x 2 xy y 2 x y 1
3/ z x y xe y
4/ z 2x 4 y 4 x 2 2y 2
2 2
5/ z x 2 y 2 e x y
6/ z x 2 2xy 1 y 3 3y
3
7/ z xy x 2
8/ z x 2 2y 2 6x 8y 1
9/ z x 2 y 2xy 2y 2 15y
10/ z x 3 6x 2 3y 2
11/ z x 3 y 3 6xy
12/ z x 3 12xy 8y 3
13/ z 1 1 xy
x y
2
14/ z x 2 e y
15/ z y 2 ln xy
16/ z e xy
17/ z y sin x.
54
10. Tìm cực trị của hàm fx, y với điều kiện ràng buộc đã cho
1/ fx, y 4x y x 2 y 2 , nếu x 2 y 2 1; (a, b 0)
2/ fx, y x 2 12xy 2y 2 , nếu 4x 2 y 2 25
3/ fx, y x 2 y 2 , nếu x 2 2x y 2 4y 0
x2 y2
4/ fx, y xy, nếu a 2 b 2 1; (a, b 0)
5/ fx, y xy, nếu x y 1
6/ fx, y 1 1 , nếu x12 y12 a12 ; (a 0)
x y
7/ fx, y x y, nếu 1 1 1
x y
8/ fx, y x y, nếu xy 1; (x 0, y 0)
9/ fx, y x 3 2 y 2 , nếu y x 2 0.
11. Tìm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau
1/ z x 2 y 2 trong miền x 2 y 2 4
2/ z x 2 2xy 4x 8y trong miền 0 x 1, 0 y 2
3/ z sin x sin y sinx y trong miền 0 x , 0 y
2
2
4/ z x 2 y trong miền |x| 1, |y| 2 1
1
5/ z x 2 y 2 trong miền x 2 2 y 2 1
6/ z x x 2 y 2 trong miền 0 x 2, 0 y 1
7/ z x 2 y 2 12x 16y trong miền x 2 y 2 25
8/ z x 2 y 2 xy x y trong miền x 0, y 0, x y 3
9/ z x 3 y 3 3xy trong miền x 0, y 0, x y 3
10/ z xy 2 trong miền x 2 y 2 1
11/ z x 2 2y 2 x trong miền x 2 y 2 1
12/ fx, y x 2 xy y 2 trong miền |x| |y| 1.
55
CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
§1. Tích phân bất định
1.1. Nguyên hàm
1.1.1. Định nghĩa
Trong thưc tế, ta xét bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm của một hàm cho trước. Cho hàm
fx xác đ ịnh trong một khoảng nào đó. Hãy tìm tất cả những hàm Fx sao cho F / x fx.
Định nghĩa. Hàm Fx được gọi là một nguyên hàm của fx trong khoảng a, b nếu
F / x fx với mọi x a, b.
Ví dụ. sin x là một nguyên hàm của cos x trên vì sin x / cos x x .
1.1.2. Định lý.
Nếu hàm fx có một nguyên hàm Fx trong khoảng a, b thì
i) Fx C, trong đó C là một hằng số tùy ý, cũng là một nguyên hàm của fx.
(ii) Mọi nguyên hàm của fx đều có dạng Fx C với C là một hằng số.
Chứng minh.
i) Vì Fx C / F / x 0 F / x fx nên Fx C là một nguyên hàm của fx.
ii) Giả sử x cũng là một nguyên hàm của fx. Khi đó
x Fx / / x F / x fx fx 0.
Do đó x Fx C, với C là một hằng số.
Vậy x Fx C.
Từ định lý ta thấy rằng nếu một hàm có một nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các
nguyên hàm đó sai khác nhau một hằng số cộng.
1.2. Định nghĩa và tính chất của tích phân bất định
1.2.1. Định nghĩa
Nếu hàm Fx là một nguyên hàm fx thì biểu thức Fx C, trong đó C là một hằng số tùy ý,
được gọi là tích phân bất định của hàm fx và được ký hiệu là fxdx. Vậy .
fxdx Fx C nếu F / x fx.
Dấu được gọi là dấu tích phân, fx được gọi là hàm dưới dấu tích phân, fxdx đ ược gọi là
biểu thức dưới dấu tích phân và x gọi là biến tích phân.
1.2.2. Các tính chất của tích phân bất định
/
Tính chất 1. fxdx fx, d fxdx fxdx.
Thật vậy, ta có
/
fxdx Fx C / F / x fx.
/
Suy ra d fxdx fxdx dx fxdx.
Tính chất 2. Giả sử Fx có đ ạo hàm là fx thì dFx Fx C.
Thật vậy, ta có dFx fxdx suy ra dFx fxdx Fx C.
Tính chất 3. Nếu C là một hằng số thì
56
Cfxdx C fxdx.
Thật vậy, ta có
/ /
C fxdx C fxdx Cfx. Đpcm.
Tính chất 4. Nếu các hàm fx, gx đều có nguyên hàm thì
fx gxdx fxdx gxdx.
Thật vậy, ta có
/ / /
fxdx gxdx fxdx gxdx fx gx. Đpcm.
Tính chất 5. Nếu fxdx Fx C và u x khả vi liên tục, thì
fudu Fu C.
1.3. Bảng các tính phân cơ bản
Từ bảng các công thức đáng nhớ của đạo hàm ta suy ra bảng các tính phân cơ bản sau:
1/ 1dx x C
2/ x dx x C, ( 1)
1
1
3/ dx ln|x| C
x
4/ a x dx ln a C, (a 0, a 1)
ax
5/ e x dx e x C
6/ cos xdx sin x C
7/ sin xdx cos x C
8/ cos 2 x tgx C
dx
9/ sin 2 x cot gx C
dx
10/ dx 2 arcsin x C arccos x C
1x
11/ dx
1x 2
arctgx C arccot gx C
12/ dx
ln x x 2 a C.
x 2 a
1.4. Hai phương pháp tính tích phân bất định
1.4.1. Phương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số dựa vào định lý sau
Định lý
Nếu fxdx Fx C thì
ft / tdt Ft C,
với t là một hàm khả vi liên tục.
Chứng minh.
Ft C / F / t / t ft / t.
57
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
x
d a
13/ dx 2
2 x 2
arcsin x
a C.
a x 1 a
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
d x
14/ x 2dx 2 1 x a 1 1 arctg a C.
a a 2 a
x
a
1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lý
Giả sử ux và vx có các đạo hàm liên tục. Khi đó ta có công thức
udv uv vdu
hay
uxv / xdx uxvx vxu / xdx.
Chứng minh.
Ta có duv udv vdu.
Suy ra udv duv vdu.
Lấy tích phân hai vế của đẳng thức nầy ta được công thức nêu trên, công thức nầy được gọi là
tích phân từng phần.
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
15/ I a 2 x 2 dx.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ( u a 2 x 2 , v x ), ta có
x 2 dx
I a 2 x 2 dx x a 2 x 2 2 2 x a 2 x 2 a x dx a 2
2 2 dx
a x 2 2 a x a 2 x 2
x a x a x dx a arcsin
2 2 2 2 2 x
a
2
2C x a x I a 2 2 x
arcsin a 2C.
I
Vậy
a 2 x 2 dx I 1
2
x a2 x2 1
2
a 2 arcsin x
a C.
Ví dụ. (Ghi vào bảng tích phân)
16/ J x 2 b dx.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ( u x 2 b , v x ), ta có
J x 2 b dx x x 2 b x 2dx x x 2 b x 2b dx b
2 2 dx
x b x b x 2 b
x x 2 b J b ln x x 2 b 2C.
Vậy
x 2 b dx J 1
2
x x2 b 1
2
b ln x x 2 b C.
Ví dụ. Tính I n x 2 a 2 n .
dx
Dùng phương pháp tích phân từng phần, đặt
u x 2 a 2 n , du x2nxdx ,
1
2 a 2 n1
dv dx, v x.
Ta có
58
In x
x 2 a 2 n
2n x2
x 2 a 2 n1
dx
x 2 a 2 a 2
x
x 2 a 2 n
2n x 2 a 2 n1
dx
x
x 2 a 2 n
2n dx
x 2 a 2 n
a2 dx
x 2 a 2 n1
x
x 2 a 2 n
2nI n a 2 I n1 .
Suy ra
x 2n1
I n1 2na 2 x 2 a 2 n
2na 2
In.
Vì
I1 dx
x 2 a 2
1
a
x
arctg a C
nên theo công thức qui nạp trên ta có thể lần lượt tính I n .
§2. Tích phân xác định
2.1. Định nghĩa
Cho hàm fx xác đ ịnh trên đoạn a, b. Chia tùy ý đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm
a x 0 x 1 . . . x i . . . x n1 x n b.
Phép như vậy gọi là một phân hoạch của đoạn a, b.
Đặt x i x i x i1 và trên mỗi đoạn x i1 , x i ta lấy một điểm i tùy ý, ( i 1, 2, . . . , n ).
Lập tổng
n
f i x i
i1
được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn a, b. Cho số điểm chia x i tăng vô hạn
(n ) sao cho max x i 0, Nếu có một giới hạn xác định (hữu hạn) I không phụ
1in
thuộc vào cách chia đoạn a, b và cách lấy điểm i , thì ta gọi I là tích phân xác định của hàm
fx trên đoạn a, b và ký hiệu nó là
b
fxdx.
a
Khi đó ta cũng nói hàm fx khả tích trên đoạn a, b.
Như vậy
0, 0: Với mọi phân hoạch của đoạn a, b
và nếu max x i | I| ,
1in
với mọi cách chọn điểm i x i1 , x i .
Ta viết
59
b n
I fxdx lim f i x i .
a 0 i1
b
Chú thích 1. Tích phân fxdx (nếu có) chỉ phụ thuộc vào hàm f dưới dấu tích phân, các
a
cận a và b, không phụ thuộc vào biến tích phân, tức là
b b
fxdx ftdt.
a a
Chú thích 2. Khi định nghĩa tích phân xác định ta giả thiết a b. Nếu b a ta định nghĩa
b a
fxdx fxdx.
a b
a
và khi a b thì ta định nghĩa fxdx 0.
a
Định lý
i) Nếu hàm fx liên tục trên đoạn a, b thì nó khả tích trên đoạn a, b.
ii) f : a, b là một hàm bị chận, liên tục ngoại trừ một số điểm gián đoạn loại một thì nó
khả tích trên đoạn a, b.
Ta công nhận định lý nầy.
1
Ví dụ. Tính x 2 dx.
0
Vì hàm fx x 2 liên tục trên đoạn 0, 1 nên nó khả tích trên đoạn 0, 1. Do đó ta có
b n
x 2 dx lim 2 x i .
i
max x i 0
a i1
Ta chia đoạn 0, 1 thành n đoạn nhỏ bằng nhau và lấy các điểm i là các đầu mút bên phải của
mỗi đoạn nhỏ, khi đó, ta có
x i 1 , i x i n , i 1, 2, . . . , n,
n
i
và max x i 0 tương đương với n .
1in
Do đó
b n n
x 2 dx lim n 2 1 lim
i
n
1
n3
i2
n n
a i1 i1
nn12n1 1
lim 6n 3
3
.
n
b
Ví dụ. Tính sin xdx.
a
Vì hàm fx sin x liên tục trên đoạn a, b nên nó khả tích trên đoạn a, b. Do đó ta có thể
60
chia đoạn a, b thành n phần bằng nhau và lấy các điểm i là các đầu mút bên trái của mỗi
đoạn nhỏ, khi đó, ta có
x i x i x i1 ba h,
n
max x i h, i x i1 a i 1h, i 1, 2, . . . , n.
1in
Ta có
b n
sin xdx lim sin i x i
a h0 i1
lim hsin a sina h . . . sina n 1h.
h0
Đặt
n sin a sina h . . . sina n 1h.
Nhân hai vế của đẳng thức nầy cho 2 sin h , ta được
2
h h h
2 n sin 2
2 sin a sin 2
2 sina h sin 2
h
. . . 2 sina n 1h sin 2
h h h
cosa 2
cosa 2
cosa 2
cosa 3 h
2
3 1
. . . cosa n 2
h cosa n 2
h.
Vậy
cosa h cosan 1 h
n 2 2
h
.
2 sin 2
Nhưng a nh b, do đó ta có
b
sin xdx lim h
2 sin h
cosa h
2
cosb h
2
cos a cos b.
a h0 2
2.2. Các tính chất của tích phân xác định
Giả sử các hàm dưới dấu tích phân đều khả tích trên đoạn lấy tích phân
b b
Tính chất 1. Nếu C là một hằng số thì Cfxdx C fxdx.
a a
b b b
Tính chất 2. fx gxdx fxdx gxdx.
a a a
b c b
Tính chất 3. Với ba số thực a, b, c tùy ý ta có fxdx fxdx fxdx.
a a c
b
Tính chất 4. Nếu fx C là hàm hằng thì Cdx Cb a.
a
61
b b
Tính chất 5. Nếu fx gx trên a, b và a b thì fxdx gxdx.
a a
Tính chất 6. Nếu m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên a, b và a b thì
b
mb a fxdx Mb a.
a
Tính chất 7. Nếu hàm f khả tích trên đoạn a, b thì |f| cũng khả tích trên a, b, giả sử a b,
khi đó
b b
fxdx |fx|dx.
a a
Định lý (Về giá trị trung bình). Nếu hàm f liên tục trên đoạn a, b thì trên đoạn đó có ít nhất
một điểm c sao cho
b
fxdx fcb a.
a
Chứng minh. Vì fx liên tục trên đoạn a, b nên ta có
m fx M x a, b,
với m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f trên a, b.
Theo tính chất 6 ta có ( a b).
b
mb a fxdx Mb a
a
hay
b
m 1
ba
fxdx M.
a
Vì hàm f liên tục trên đoạn a, b thì trong đoạn đó có ít nhất một điểm c sao cho
b
fc 1
ba
fxdx,
a
do đó
b
fxdx fcb a.
a
b
Giá trị fc 1
ba
fxdx được gọi là giá trị trung bình của hàm f trên đoạn a, b.
a
2.3. Công thức Newton-Leibnitz
Ta đặt
62
x
x ftdx, a x b.
a
Định lý. Nếu hàm f liên tục trên đoạn a, b thì hàm x có đạo hàm trên đoạn đó và
b
/
i) x d
dx
ftdt fx, a x b.
a
ii) x 0 fa,
/
iii) / x 0 fb.
Chứng minh. Ta lấy x a, b. Lấy x đủ nhỏ sao cho x x a, b. Khi đó ta có
xx x
x x x ftdt ftdt
a a
x xx x
ftdt ftdt ftdt
a x a
xx
ftdt.
x
Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại một điểm c nằm trong khoảng giữa x và x x sao cho
xx
ftdt fcx,
x
Do đó fcx hay x fc. Cho x 0, khi đó c x và vì hàm f liên tục tại x nên
fc fx. Do đó ta có
lim x lim fc fx.
x0 x0
Vậy tồn tại / x fx.
Mặt khác, tại các điểm nút x a, x b cũng chứng minh tương tự như trên ta được
/ x 0 fa, / x 0 fb.
Từ định lý trên, ta suy ra ngay
Hệ quả. Mọi hàm liên tục trên đoạn a, b đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Chú thích. Nếu các cận tích phân là các hàm theo x thì theo qui tắc đạo hàm của hàm hợp ta
có thể chứng minh được công thức sau
Bx
d
dx
ftdt fBxB / x fAxA / x,
Ax
trong đó f là hàm liên tục trên đoạn a, b và các hàm A, B có đạo hàm trên đoạn a, b sao cho
a Ax, Bx b với mọi x a, b.
63
Định lý. Nếu f liên tục trên đoạn a, b và Fx là một nguyên hàm của nó trên đoạn đó thì
b
fxdx Fb Fa.
a
Công thức nầy được gọi là công thức Newton-Leibnitz.
Chứng minh. Theo giả thiết Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn a, b và theo định lý
x
trên thì x ftdt, cũng là một nguyên hàm của fx trên đoạn a, b. Do đó Fx và
a
x chỉ khác nhau một hằng số cộng, tức là
x Fx C với mọi x a, b.
a
Cho x a, ta có a Fa C, nhưng a ftdt 0, do đó C Fa. Vậy
a
x
x ftdt Fx Fa, a x b.
a
a
Cho x b, ta có a Fa C, nhưng a fxdx 0, do đó C Fa. Vậy
a
b
ftdt Fb Fa
a
hay
b
fxdx Fb Fa.
a
Người ta thường ký hiệu Fb Fa Fx| b , như vậy công thức Newton-Leibnitz được viết
a
lại thành
b
fxdx Fx| b Fb Fa.
a
a
e
Ví dụ. Tính ln 2 x
x dx. Ta có
1
e e
e
ln 2 x
x dx ln 2 xdln x 1
3
ln 3 x 1
1
3
ln 3 e ln 3 1 1
3
.
1 1
2
Ví dụ. Tính |1 x|dx. Ta có
0
64
2 1 2
|1 x|dx 1 xdx x 1dx
0 0 1
1x 2 1 x1 2 2
2
2
0 1
1 1
0 2
2
0 1.
Ví dụ. Tính giá trị trung bình của hàm fx sin 2 x trên đoạn 0, 2.
Ta có
2 2
1
2
sin xdx
2 1
4
1 cos 2xdx
0 0
1 sin 2x 2 1
4
x 2 0
2
.
2.4. Hai phương pháp tính tích phân xác định
2.4.1. Phương pháp đổi biến số
Định lý
b
Xét tích phân fxdx với fx là hàm liên tục trên đoạn a, b. Giả sử hàm x t thoả mãn
a
các điều kiện
a) : , a, b,
b) t có đạo hàm liên tục trên , ,
c) a, b.
Khi đó
b
fxdx ft / tdt.
a
Chứng minh.
Giả sử Fx là một nguyên hàm của f trên đoạn a, b. Khi đó Ft là một nguyên hàm của
ft / t trên đoạn , . Từ công thức Newton-Leibnitz, ta có
b
fxdx Fb Fa,
a
ft / tdt Ft|
F F Fb Fa.
Suy ra Đpcm.
Chú thích. Sau khi tính tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến, ta không cần trở lại
biến cũ như khi tính tích phân bất định.
65
2
Ví dụ. Tính I 4 x 2 dx.
0
Đặt x 2 sin t. Ta có dx 2 cos tdt, 4 x 2 2|cos t| và 2 sin 0, 2 sin 2. Suy ra
0, 2
, |cos t| cos t, 0 t 2
. Do đó
2 2
I 4 cos 2 tdt 2 1 cos 2tdt 2t sin 2t
2
2
0
.
0 0
Ví dụ. Chứng minh rằng nếu fx liên tục trên a, a thì
a
0, nếu f là hàm lẻ,
a
fxdx
2 fxdx, nếu f là hàm chẳn.
a
0
Thật vậy, ta có
a 0 a
fxdx fxdx fxdx.
a a 0
Trong tích phân thứ nhất ở v61 phải, ta đặt x t và có
0 0 a a
fxdx ftdt ftdt fxdx.
a a 0 0
a a
Do đó fxdx fx fxdx.
a 0
Vậy, nếu f là hàm lẻ, tức là fx fx hay fx fx 0, do đó
a
fxdx 0.
a
Nếu f là hàm chẳn, tức là fx fx hay fx fx 2fx, do đó
a a
fxdx 2 fxdx.
a 0
2.4.2. Phương pháp tích phân từng phần
Định lý. Giả sử ux và vx là các hàm có các đạo hàm liên tục trong đoạn a, b. Khi đó
b b
udv uv| b
a vdu
a a
hay
66
b b
uxv / xdx uxvx| b vxu / xdx.
a
a a
Công thức nầy được gọi là tích phân từng phần.
Chứng minh.
Ta có duv udv vdu.
Lấy tích phân hai vế của đẳng thức nầy trên đoạn a, b ta được
b b b
duv udv vdu.
a a a
b
Nhưng duv uv| b , do đó ta có
a
a
b b
udv uv| b
a vdu
a a
e
Ví dụ. Tính ln xdx.
1
Ta có
e e
ln xdx x ln x| e dx
1
1 1
e ln e 1 ln 1 e 1 1.
2
Ví dụ. Tính I n sin n xdx, (n 0, 1, 2, . . . )
0
Ta có
2 2
In sin xdx sin n1 xd cos x.
n
0 0
Đặt
u sin n1 x, du n 1 sin n2 x cos xdx,
dv d cos x, v cos x.
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có
67
2 2
In sin n xdx sin n1 x cos x| 0 n 1 sin n2 x cos 2 xdx
2
0 0
2
n 1 sin n2 x1 sin 2 xdx
0
2 2
n 1 sin n2 xdx n 1 sin n xdx
0 0
n 1I n2 n 1I n
hay
I n n 1I n2 n 1I n
Từ đó ta có công thức qui nạp sau
I n n1 I n2 .
n
Ta tính các tích phân sau:
2
I0 dx
2
,
0
2
I1 sin xdx cos x| 02 1.
0
Vậy
n1n3...3.1
2
nn2...4.2 2
, nếu n chẳn,
sin n xdx n1n3...4.2
0 nn2...3.1
, nếu n lẻ.
Nếu ký hiệu tích của k số lẻ đầu tiên là
1. 3. 5. . . 2k 1 2k 1!!
và tích của k số chẳn đầu tiên là
2. 4. 6. . . 2k 2k!!
thì
n1!!
2
n!! 2
, nếu n chẳn,
sin n xdx n1!!
0 n!!
, nếu n lẻ.
2
Ví dụ. Tính J n cos n xdx, (n 0, 1, 2, . . . )
0
Đặt x 2
t, ta có
0 2
J n cos n tdt
2
sin n tdt I n .
2 0
Vậy
68
n1!!
2 2
n!! 2
, nếu n chẳn,
sin xdx cos xdx
n n
n1!!
0 0 n!!
, nếu n lẻ.
Chẳng hạn
2 2
sin 4 xdx cos 4 xdx 3!!
4!! 2
1.3
2.4 2
3
16
.
0 0
2 2
sin 5 xdx cos 5 xdx 4!!
5!!
2.4
1.3.5
8
15
.
0 0
2.5. Ứng dụng của tích phân xác định
Diện tích hình thang cong.
Ta gọi hình thang cong là hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x a, x b và
một đường cong có phương trình y fx đơn trị trên a, b. Giả sử fx 0 và liên tục. Ta
chia tùy ý đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
a x 0 x 1 . . . x i . . . x n1 x n b.
Từ các điểm đó, ta dựng những đ ường thẳng song song với trục Oy. Khi đó hình thang cong
aABb được chia thành n hình thang cong nhỏ.( như hình vẽ).
Hình 31
Trong mỗi đoạn nhỏ x i1 , x i ( i 1, 2, . . . , n ), ta lấy một điểm i tùy ý, khi đ ó tung độ y i ứng
với hoành đ ộ i là y i f i .
Nếu ứng với mỗi đoạn nhỏ x i1 , x i ta xây dựng một hình chữ nhật có kích thước là x i x i1
và f i , thì diện tích của nó là f i x i x i1 . Do đó tổng diện tích của n hình chữ nhật đó là
n
f i x i
i1
trong đó x i x i x i1 .
Nếu tổng ( tổng tích phân của hàm f trên đoạn a, b) có một giới hạn xác định S khi số
điểm chia x i tăng vô hạn (n ) sao cho max x i 0, thì S được gọi là diện tích hình thang
1in
cong aABb. Vậy diện tích hình thang cong aABb là
n
S lim
maxx i 0
f i x i
1in i1
69
hay
b
S fxdx.
a
Nếu fx 0 với mọi x a, b thì
b
S fxdx.
a
Trong mọi trường hợp ta có
b
S |fx|dx.
a
Nếu miền phẳng có dạng:
D x, y : f 1 x y f 2 x, a x b, (hình 32)
( f 1 , f 2 liên tục), thì diện tích của nó là
b
S f 2 x f 1 xdx.
a
Hình 32 Hình 33
Nếu miền phẳng có dạng:
D x, y : 1 y x 2 y, c y d, (hình 33)
( 1 , 2 liên tục), thì diện tích của nó là
d
S 2 y 1 ydy.
c
Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số
x xt,
y yt,
/
với xt, yt, x t liên tục trong đoạn t 1 , t 2 , với a xt 1 , b yt 2 , thì diện tích của nó là
t2
S |yt|x / tdt.
t1
Ví dụ. Tính diện tích của hình ellip
70
x2 y2
x, y : a2
b2
1, (a 0, b 0)
Vì hình ellip nhận các trục toạ đ ộ làm trục đối xứng nên diện tích của nó là
a a
S 4 yxdx 4 b
a a 2 x 2 dx.
0 0
Đổi biến x a sin t, ta có dx a cos tdt.
Khi x 0, thì t 0, khi x a, thì t ,
2
a 2 x 2 a|cos t| a cos t với 0 t 2
.
Vậy
2 2
S 4b
a a 2 cos 2 tdt 2ab 1 cos 2tdt
0 0
sin 2t
2abt 2
2
0
ab.
Diện tích hình quạt cong.
Người ta gọi hình quạt cong là một hình phẳng giới hạn bởi hai tia đi qua cực và một đường
cong mà mọi tia qua cực cắt đường cong ấy ở không quá một điểm.
Giả sử hình quạt cong giới hạn bởi hai tia , với và cung AB đi của đ ường
cong r r, trong đó r là hàm liên tục đơn trị trên đoạn , .
Ta chia góc AOB thành n góc nhỏ mà ta ký hiệu là i ( i 1, 2, . . . , n ), như thế hình quạt
cong đó được chia thành n hình quạt cong nhỏ có diện tích là S i ( i 1, 2, . . . , n )( như hình
vẽ 34).
Hình 34
Hình quạt cong nhỏ thứ i có diện tích xấp xỉ bằng diện tích hình quạt tròn có cùng góc ở tâm
i và có bán kính là r i với i i i i
1
S i 2
r 2 i i .
Do đó diện tích hình quạt đã cho xấp xỉ bằng
n
1
2
r 2 i i .
i1
Vậy
n
S lim
maxx i 0
1
2
r 2 i i
1in i1
hay
71
S 1
2
r 2 d.
Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Cardioide r a1 cos , a 0.
Vì hình trên nhận trục cực làm trục đối xứng nên diện tích của nó bằng hai lần diện tích
hình quạt OAB, ứng với khoảng biến thiên của từ 0 đến . Ta có
S 2. 1
2
r d a 1 cos 2 d
2 2
0 0
a 2 1 2 cos cos 2 d
0
1cos 2
a 2 1 2 cos 2
d
0
2 3 1
Hình 35 a 2 2 sin 4
sin 2 0
3 2
2
a .
Thể tích vật tròn xoay.
Giả sử phải tìm thể tích vật tròn xoay tạo bởi hình thang cong aABb giới hạn bởi đường cong
y fx ( liên tục, dương, đơn trị ), trục Ox và các đường thẳng x a, x b khi quay quanh
trục Ox.
Chia đoạn a, b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm
a x 0 x 1 . . . x i . . . x n1 x n b.
Qua mỗi điểm đó ta dựng một mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng đó chia vật thể
thành n phần nhỏ.
Hình 36 Hình 37
Trên mỗi đoạn x i1 , x i ( i 1, 2, . . . , n ), ta lấy một điểm i tùy ý. Ta xây dựng một hình trụ
đứng giới hạn bởi các mặt phẳng x x i1 , x x i và mặt trụ có đường sinh song song với Ox
và đi qua vòng tròn biên của thiết diện của vật thể tròn xoay với mặt phẳng x i .
Thể tích của hình trụ đó là
V i S i x i f 2 i x i ,
trong đó x i x i x i1 .
Thể tích của tất cả các hình trụ đó ứng với i 1, 2, . . . , n là
n
V f 2 i x i .
i1
Do đó, ta có công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox là
72
n
Vx lim
maxx i 0
f 2 i x i
1in i1
hay
b
V x f 2 xdx.
a
Tương tự, nếu hình thang cong cCDd giới hạn bởi đường cong x y ( liên tục, dương,
đơn trị ), trục Oy và các đường thẳng y c, y d, thì thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình
thang cong đó khi cho nó quay quanh trục Oy là ( hình 38)
d
V y 2 ydy.
c
Hình 38
Ví dụ. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường astroide
x 2/3 y 2/3 a 2/3 , ( a 0) khi cho nó quay quanh trục Ox.
3
Ta có: y 2 a 2/3 x 2/3 , a x a.
Do tính đối xứng của hình phẳng đ ã cho, ta được
a
3
V x 2 a 2/3 x 2/3 dx
0
a
2 a 2 3a 4/3 x 2/3 3a 2/3 x 4/3 x 2 dx
0
2 9 9 1 a
2a x 5
a 4/3 x 5/3 7
a 2/3 x 7/3 3
x2 0
Hình 39 32
105
3
a .
Độ dài đường cong phẳng.
Trường hợp đường cong đ ược cho trong toạ độ Descartes.
Giả sử đường cong y fx, trong đó fx là hàm đơn trị, có đạo hàm liên tục trên đoạn a, b.
Lấy trên cung AB những điểm M 0 A, M 1 , . . . , M i , . . . , M n B có hoành đ ộ theo thứ tự là
x 0 a, x 1 , . . . , x i , . . . , x n b. Ta gọi độ dài L của cung AB là giới hạn của độ dài đường gấp
khúc AM 1 M 2 . . . M i . . . B khi số cạnh của đ ường gấp khúc tăng vô hạn sao cho đ ộ dài cạnh
lớn nhất của nó tiến về không.
Chiếu các đoạn M i1 M i ( i 1, 2, . . . , n ) xuống trục Ox ta được cách chia đoạn a, b thành n
đoạn nhỏ x i ( i 1, 2, . . . , n )
73
Hình 40
Giả sử y i là số gia của hàm y fx ứng với x i . Ta có
M i1 M i x i 2 y i 2 .
Theo định lý Lagrange, ta có
y i f / i x i , i x i1 , x i .
Do đó
M i1 M i 1 f / i 2 x i .
và độ dài đường gấp khúc M 0 M 1 M 2 . . . M n bằng
n
1 f / i 2 x i .
i1
Do đó
n
L lim
maxx i 0
1 f / i 2 x i .
1in i1
Giới hạn đó tồn tại vì hàm f / x liên tục trên đoạn a, b và theo định nghĩa của tích phân xác đ
ịnh, ta có
b
L 1 f / x 2 dx.
a
Trường hợp cung đường cong AB được cho bởi phương trình tham số:
x xt,
y yt, t 0 t T,
với xt, yt là các hàm có các đạo hàm x / t, y / t liên tục trên đoạn t 0 , T, thì lý luận tương
tự như trên ta có thể tính được độ dài L của cung AB là
T
L x / t 2 y / t 2 dt.
t0
Ví dụ. Tính độ dài của đường cong y 2 x 3 từ gốc tọa độ đến điểm 4, 8.
3
Ta có y x 3/2 , y/ 2
x 1/2 .
74
4
3/2 4
L 1 9 x dx
4
4 2
9 3
1 9
4
x
0
0
8
27
10 10 1.
Ví dụ. Tính độ dài của đ ường astroide
x a cos 3 t,
y a sin 3 t, a 0.
Vì tính đối xứng của đ ường astroide nên chỉ cần tính đ ộ dài của một nhánh rồi nhân kết
quả với 4. Nhánh ở góc phần tư thứ nhất ứng với khoảng biến thiên của t từ 0 đến /2. Ta có
/2
L4 3a cos 2 t sin t 2 3a sin 2 t cos t 2 dt
0
/2 /2
4 3a sin t cos tdt 6a sin 2tdt
0 0
Hình 41 3acos 2t| /2
0 6a.
Trường hợp đường cong đ ược cho trong hệ toạ độ cực.
Giả sử phương trình của cung đ ường cong AB có dạng r r, trong đó r là hàm liên tục
và có đạo hàm liên tục trên đoạn , và r đơn trị.
Trước hết ta lập công thức vi phân cung. Ta có
x r cos , y r sin .
Có thể coi đó như là nhũng phương trình tham số của cung đường cong AB . Do đó
x / r / cos r sin ,
y / r / sin r cos .
Suy ra
x/ 2 y/ 2 r2 r/ 2.
Vậy
2 2 2
dL r 2 r / 2 d. ( vì dL dx dy )
và độ dài của cung đường cong AB được tính bởi công thức
L r 2 r / 2 d.
Ví dụ. Tính độ dài của đ ường Cardioide r a1 cos , a 0.
Vì tính đối xứng của đường Cardioide nên chỉ cần tính độ dài của một nửa đường, rồi nhân kết
quả với 2. Nửa đường Cardioide ứng với khoảng biến thiên của từ 0 đến . Do đó ta có
75
L2 a 2 1 cos 2 a 2 sin 2 d
0
2a 21 cos d
0
4a cos 2
d 8asin 2 0
8a.
Hình 42 0
§3. Tích phân suy rộng
Ở mục tiêu trên ta đã xét khái niệm tích phân xác định với giả thiết khoảng lấy tích phân là hữu
hạn và hàm dưới dấu tích phân bị chận. Bây giờ ta sẽ mở rộng định nghĩa tích phân xác định
trong hai trường hợp.
i) Khoảng lấy tích phân là vô hạn.
ii) Hàm dưới dấu tích phân không bị chận.
3.1. Tích phân suy rộng loại 1(Khoảng lấy tích phân là vô hạn)
3.1.1. Định nghĩa.
Khoảng lấy tích phân là a,
Giả sử hàm fx xác định trên a, và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a, b, a b .
Tích phân suy rộng loại 1 của hàm fx trên a, được ký hiệu
fxdx
a
là giới hạn hữu hạn ( nếu có )
b
fxdx lim fxdx.
a b a
Khi đó ta nói rằng tích phân hội tụ. Nếu ngược lại, ta nói rằng tích phân phân kỳ ( tức là khi
giới hạn bằng hoặc không tồn tại)
Về phương diện hình học, tích phân suy rộng fxdx biểu thị diện tích hình thang cong vô
a
hạn như hình 43.
Hình 43
Ví dụ. Xét tích phân dx
x
, (a 0).
a
Nếu 1, thì
76
b
dx
x
1
1
x 1 | b
a
1
1
b 1 a 1
a
Nếu 1, thì lim b 1 0. Suy ra
b
b
dx
x
lim dx
x
a 1
1
.
a b a
b
Nếu 1, thì lim b 1 . Suy ra dx
x
phân kỳ vì lim dx
x
.
b a b a
b
Nếu 1, thì dx
x ln b ln a khi b . Vậy tích phân dx
x phân kỳ.
a a
hội tụ nếu 1,
Tóm lại: tích phân dx
x
, a 0
a phân kỳ nếu 1.
3.1.2. Phương pháp tính. Công thức Newton-Leibnitz mở rộng
Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên a, . Vậy
b
lim fxdx lim Fb Fa.
b a b
Cho nên tích phân suy rộng hội tụ khi và chỉ khi lim Fb F. Vậy ta có thể viết
b
fxdx F Fa Fx| .
a
a
Công thức nầy được gọi là công thứcNewton-Leibnitz mở rộng
Khoảng lấy tích phân là , b
Tương tự như trên, ta định nghĩa tích phân suy rộng (loại 1)
b b
fxdx lim fxdx.
a
a
Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên , b và đặt F lim Fa, thì
a
b b
fxdx lim fxdx
a
a
lim Fb Fa
a
Fb F Fx| b .
Công thức nầy cũng được gọi là công thứcNewton-Leibnitz mở rộng
Khoảng lấy tích phân là , .
Ta viết
77
a
fxdx fxdx fxdx.
a
Tích phân suy rộng fxdx hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng ở vế phải là hội tụ.
Ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng
fxdx F F Fx| ,
với Fx là một nguyên hàm của fx trên , và
F lim Fb, F lim Fa.
b a
Ví dụ. Tính tích phân dx
x 2 x2
.
2
Ta có
dx
x 2 x2
dx
x2x1
2 2
x1
1 1
x2
dx 1
3
ln x1
x2 2
2
1 x1 1
3
lim ln x2
ln 4
x
1 2
3
0 ln 4 3
ln 2.
3.1.3. Tích phân các hàm không âm. Các đ ịnh lý so sánh.
Nếu fx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a, thì
b
b fxdx
a
là một hàm tăng trên a, , cho nên giới hạn lim b tồn tại khi và chỉ khi b bị chận
b
trên, nghĩa là tồn tại hằng số M sao cho
b M b a.
Từ đó ta có
Định lý. Cho fx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a. Khi đó tích phân fxdx
a
hội tụ khi và chỉ khi tồn tại hằng số M sao cho
b
fxdx M b a.
a
Định lý. Cho fx, gx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a.
Giả sử rằng
78
fx gx x a.
Khi đó, nếu
i) gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ,
a
a
ii) fxdx phân kỳ thì gxdx phân kỳ.
a a
Định lý. Cho fx, gx 0 trên a, và khả tích trên a, b, b a.
Giả sử rằng
fx
lim gx
K, 0 K .
x
Khi đó,
i) 0 K : Hai tích phân fxdx và gxdx cùng tính chất, tức là, đồng thời hội tụ
a a
hay đồng thời phân kỳ.
ii) K 0 : Nếu gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
iii) K : Nếu gxdx phân kỳ thì fxdx phân kỳ.
a a
Chứng minh.
i) 0 K : Với 0 K và với x đủ lớn ta có
fx
0 K gx
K
hay
K gx fx K gx.
Tiếp theo ta sử dụng định lý trên.
ii) K 0 : Với 0 và ta có với x đủ lớn
fx
0 gx
, do đó 0 fx gx.
Sử dụng định lý trên ta có Đpcm.
gx
iii) K : Suy ra lim fx 1/K 0. Sử dụng phần ii) ta có Đpcm.
x
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân cos 2 x
1x 2
dx.
0
Vì
cos 2 x 1
1x 2
1x 2
với mọi x 0.
Mà tích phân dx
1x 2
hội tụ nên tích phân đã cho hội tụ.
0
79
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân dx
.
x 1x 2
1
Ta có dx
x2
là hội tụ, và
1
1 1
lim : x2
1,
x x 1x 2
nên tích phân đã cho hội tụ (K 1).
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân x 3/2
1x 2
dx.
1
Ta có dx
x 1/2
phân kỳ, và
1
x 3/2 1
lim 1x 2
: x 1/2
1,
x
nên tích phân đã cho phân kỳ (K 1).
3.1.4. Hội tụ tuyệt đối
Người ta chứng minh được rằng
Định lý. Nếu |fx|dx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
Trong trường hợp nầy, người ta nói fxdx hội tụ tuyệt đối.
a
Nếu fxdx hội tụ, mà |fx|dx phân kỳ, thì ta nói fxdx bán hội tụ (hội tụ mà không
a a a
hội tụ tuyệt đ ối).
b
Chú thích. Đối với các tích phân suy rộng fxdx hoặc fxdx ta cũng có các tiêu chuẩn
so sánh tương tự.
|cos x|
Ví dụ. Tích phân cos x
1x 2
dx hội tụ tuyệt đối, vì tích phân 1x 2
dx hội tụ
0 0
Thật vậy ta có
|cos x|
1x 2
1
1x 2
với mọi x 0 và dx
1x 2
hội tụ.
0
3.2. Tích phân suy rộng loại 2( Hàm dưới dấu tích phân không bị chận)
3.2.1. Định nghĩa.
Cho hàm fx xác định trên a, b và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a, b / , a b / b.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
b/
lim fxdx
b / b0 a
80
thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của hàm fx trên a, b và được ký hiệu là
b
fxdx.
a
Như vậy,
b b/ b
fxdx lim fxdx lim fxdx.
a b / b0 a 0 a
1
Ví dụ. dx
arcsin1 . Vậy
1x 2
0
1 1
dx
lim dx
lim arcsin1
1x 2 0 1x 2 0
0 0
arcsin 1 /2.
b
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân dx
bx
, (a b).
a
Với 0 thì ta được tích phân xác định thông thường.
Với 1, ta có
b
b
dx
bx
1
1
b x 1 a
1
1
b a 1 1 .
a
Nếu 1, thì lim 1 0, vậy
0
b b
dx
bx
lim dx
bx
1
1
b a 1 .
a 0 a
b b
Nếu 1, thì lim 1
, do đó lim dx
bx
, vậy tích phân dx
bx
phân kỳ.
0 0 a a
b b
Nếu 1, thì dx
bx
lnb a ln khi 0 . Vậy tích phân dx
bx
phân
a a
kỳ.
b
hội tụ nếu 1,
Tóm lại ta có: tích phân dx
bx
a phân kỳ nếu 1.
Nếu f : a, b sao cho fx và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a / , b, a a / b.
Ta định nghĩa
81
b b b
fxdx lim fxdx lim fxdx.
a a / a0 0 a
a/
Nếu f : a, c c, b , a c b, ta định nghĩa
b c b
fxdx fxdx fxdx.
a a c
b
Trong đẳng thức trên, tích phân suy rộng fxdx hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy
a
rộng ở vế phải là hội tụ.
3.2.2. Công thức Newton-Leibnitz mở rộng
Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên a, b. Ta có
b b/
fxdx lim fxdx lim Fb / Fa
a b / b0 a b / b0
Fb Fa.
Ta có thể viết
b
fxdx Fb Fa Fx| b ,
a
a
với Fb lim Fx.
xb0
Tương tự cho các trường hợp khác.
3.2.3. Tích phân các hàm không âm. Các đ ịnh lý so sánh.
Cho fx, gx 0 trên a, b và khả tích trên a, b / , b / a, b.
Ta có các định lý so sánh như sau.
Định lý. Nếu
fx gx x a, b.
Khi đó, nếu
b b
i) gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ,
a a
b b
ii) fxdx phân kỳ thì gxdx phân kỳ.
a a
Định lý. Giả sử rằng
fx
lim gx
K, 0 K .
xb
Khi đó,
b b
i) 0 K : Hai tích phân fxdx và gxdx cùng tính chất, tức là, đồng thời hội tụ
a a
82
hay đồng thời phân kỳ.
b b
ii) K 0 : Nếu gxdx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
b b
iii) K : Nếu gxdx phân kỳ thì fxdx phân kỳ.
a a
Chứng minh.các định lý trên cũng tương tự như chứng minh các định lý 3.1.3.
Chú thích: Các định lý so sánh trên đây cũng đúng cho các hàm không âm trên a, b và khả
tích trên a / , b, a / a, b, trong đó điều kiện fx gx x a, b sẽ dược thay bởi
fx fx
fx gx x a, b và lim gx sẽ dược thay bởi lim gx .
xb xa
3.2.4. Hội tụ tuyệt đối
Người ta chứng minh được rằng
b b
Định lý. Nếu tích phân |fx|dx hội tụ thì fxdx hội tụ.
a a
b b
Trong trường hợp nầy, người ta nói fxdx hội tụ tuyệt đối. Nếu fxdx hội tụ, mà
a a
b b
|fx|dx phân kỳ, thì ta nói fxdx bán hội tụ (hội tụ mà không hội tụ tuyệt đ ối).
a a
1
Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 1
dx.
3 1x 2
0
1
Ta có 1
1x 1/3
dx hội tụ ( 1/3 1). Hơn nữa
0
1 1 1
lim : 1x 1/3
3
,
3 1x 2 2
x1
1
nên tích phân đã cho hội tụ (K 3
).
2
83
BÀI TẬP CHƯƠNG III
1. Tính các tích phân bất định sau đây
1x 2
1/ x x dx
2/ a x b x 2 dx
1x 2
3/ x1x 2
dx
4/ x 25 3
x 2 dx
5/ sin x
dx
12 cos x
1tg 2 x
6/ dx
1tgx
7/ ex
e 2x 4
dx
8/ dx
, (x 0)
x x 2 1
9/ x 1 2x 4 3 dx
3
10/ x1 x
dx
11/ xdx
x 4 1
12/ sin 4xdx
cos 2 2x4
3x5
13/ x dx
14/ tg xdx
3
15/ x 3 a x 2 dx
16/ x2 3 dx
x 2 x
17/ x1 dx
x1 x 2
18/ dx
xx 2
19/ x 4 1 dx
x 2 1
20/ 1e xdx
21/ x 2 arctgxdx
22/ x 2 2x 3 cos xdx
23/ x 3 ln xdx
24/ x 2 1e 2x dx
25/ arcsin x dx
x2
26/ e cos 3xdx
2x
27/ sin 3 x dx
28/ x 2arctgx2 dx
1x
29/ sinln xdx
2
30/ x lnx 1x dx.
2
1x
2. Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau đây
84
1/ x 3 3xx3 dx
2x 2
2 3x2
2/ x 2 1x 2 9 dx
1x
3/ 5x 3 17x 2 18x5
x1 3 x2 2
dx
4/ 2xdx
1x1x 2 2
5/ 1x 4
1x 4
dx
6/ x1
x 2 x1
dx
7/ x2
x 2 2x3 2
dx
8/ dx
x 2 4x5
9/ xdx
x 2 5x4
10/ xdx
x 4 6x 2 13
.
3. Tính tích phân các hàm lượng giác sau
1/ 35 sindx cos x
x3
2/ sin 2 x4 sin x cos x
cos 2 xdx
3/ cos 3 xsin 2 x1
sin 2xdx
4/ cos xx dx
5
sin
5/ cot g 3 3xdx
6/ sin x sin 2 sin 3 dx
x x
7/ cos3 x dx
4x
sin
8/ cos 8x dx
sin 3
x
9/ sin 3 x cos 5 x
dx
10/ sin 4 x cos 2 x .
dx
4. Tính tích phân các hàm hữu tỉ sau đây
1 4 x
1/ 1 x dx
6 x
2/ 1 3 x
dx
3/ dx
12x 4 12x
4/ 1x dx
1x x
5/ dx
1x 2 3/2
6/ dx
x 3 x 2 1
7/ dx
x1 x 2 2x3
x1dx
8/
x1 x 2 1
x 3 2x
9/ dx
x 3 2x
10/ 1 2x x 2 dx.
5. Dùng định nghĩa tính các tích phân sau
2
1/ e x dx
1
85
/2
2/ cos xdx
0
b
3/ dx
x2
; (0 a b)
a
1
4/ a x dx; (a 0, a 1).
0
6. Tìm giá trị trung bình của các hàm sau
1/ fx x trên 1, 9
2x
2/ fx sin x ; trên 0, /6.
cos
7. Dùng công thức Newton-Leibnitz để tính các tích phân sau
16
1/ dx
x9 x
0
e
2/ dx
x 1ln 2 x
1e
3/ |ln x|dx
1/e
/2
4/ cos 4 x
3sin x
dx
/4
2
x2, khi 0 x 1,
5/ fxdx nếu fx
0
2 x, khi 1 x 2.
1
6/ dx
x 2 2x2
0
e
7/ dx
x1ln 2 x
.
1
8. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến
/2
1/ dx
2cos x
0
1
2/ x 2 dx
1x 4
0
1
3/ xdx
1 x
0
7
4/ x3
dx
3 x 2 1 2
3
0
5/ 1e x
1e x
dx
ln 3
86
3
6/ x 2 9 x 2 dx
3
3
7/ x
6x
dx
0
3
1x 2
8/ x2
dx.
1
9. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần
1
1/ xe x dx
0e
2/ x ln xdx
1
1
3/ xarctgxdx
1
/2
4/ e x cos xdx
e0
5/ ln 2 xdx.
1
10. Khảo sát sự hội tụ và tìm giá trị ( trong trường hợp hội tụ ) của các tích phân suy rộng sau
0
1/ xe x dx
2/ cos xdx
0
3/ dx
x 2 1 2
2
4/ x 5 dx
4x 2
0
1
5/ dx
x1x
0
2
6/ dx
x1 2
0
1
7/ ln 2 x
x dx
0
2
8/ xdx
x 2 1
.
2
11. Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau
ln1x
1/ x dx
1
87
2/ 1 cos 2 dx
x
1
3/ x 2 1
x3
dx
1
1
4/ dx
e 3 x 1
0
1
5/ dx
tgxx
0
1
x dx
6/ e sin x 1
0
1
7/ dx
e x cos x
.
0
12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1/ y 2 x 3 , x 0, y 4
x at sin t,
2/ Một nhịp của đường Cycloide và trục Ox.
y a1 cos t,
3/ y x 2 4 và x y 4 0
4/ y x 3 , y x, y 2x
5/ x 2 y 2 4 và y 2 2x
6/ Đường Cardioide r a1 cos và đ ường tròn r a, (a 0)
7/ ax y 2 và ay x 2 , (a 0)
8/ r 3 2 cos
9/ x 2 y 2 4 và x 2 y 2 2x 0
x 2t t 2 ,
10/ (phần tự cắt của đường cong)
y 2t 2 t 3 .
13. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền phẳng giới hạn bởi các đường cong sau đây
khi cho nó quay quanh trục tương ứng
1/ y 2 x 4 0, x 0 quay quanh trục Oy.
2/ xy 4, y 0, x 1 và x 4 quay quanh trục Ox.
x at sin t,
3/ Một nhịp của đường Cycloide (a 0) quay quanh trục Ox.
y a1 cos t,
4/ y x sin x, y 0, 0 x quay quanh trục Ox.
5/ y e 2x 1, y e x 1, x 0 quay quanh trục Ox.
14. Tìm độ dài của đường cong
1/ 9y 2 43 x 3 gồm giữa các giao điểm của nó với trục Oy.
2/ 2y x 2 2 gồm giữa các giao điểm của nó với trục Ox.
3/ r a1 cos , (a 0)
4/ y 1 3 x x , 0 x 3
3
5/ y 1 x 2 1 ln x, 1 x e
4 2
6/ x a cos 4 t, y a sin 4 t, 0 t /2, (a 0)
88
7/ x at sin t, y a1 cos t, 0 t 2
8/ r a sin 3 3 , (a 0).
89
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
§1. Bổ túc về số phức
1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa. Đơn vị ảo, ký hiệu là i, là một số thỏa:
i 2 1.
Định nghĩa. Biểu thức có dạng a bi, trong đó a và b là các số thực, được gọi là một số phức,
thường viết là z a bi,
a được gọi là phần thực của z, ký hiệu là Re z,
b được gọi là phần ảo của z, ký hiệu là Imz,
a Re z, b Im z.
Chú thích.
- Nếu b 0, thì z a là một số thực, vậy số thực là một trường hợp riêng của số phức.
- Nếu a 0, thì z bi là một số thuần ảo.
Định nghĩa. (hai số phức bằng nhau). a 1 b 1 i a 2 b 2 i khi và chỉ khi a 1 a 2 và b 1 b 2 .
Định nghĩa. Cho số phức z a bi. Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp của z.
Như vậy hai số phức liên hợp với nhau nếu chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo đối
nhau.
1.2. Biểu diễn hình học và dạng đại số, lượng giác, mũ của số phức
Hình 44
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng
Người ta biểu diễn số phức z a bi trên mặt phẳng Oxy bằng một điểm A có tọa độ a, b.
Điểm Aa, b đ ược gọi là ảnh của số phức z a bi. Như vậy mỗi số phức có một ảnh xác
định và mỗi điểm của mặt phẳng Oxy là ảnh của một số phức xác định. Mặt phẳng Oxy được
gọi là mặt phẳng phức. Người ta không phân biệt số phức z a bi với ảnh Aa, b của nó.
Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là . Ảnh của hai số phức liên hợp với nhau là hai
điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
Nếu b 0 thì A nằm trên Ox, lúc đó z a là một số thực, cho nên trục Ox còn được gọi là trục
thực.
Nếu a 0 thì A nằm trên Oy, lúc đó z bi là một số thuần ảo, cho nên trục Oy còn được gọi là
trục ảo.
Nếu ta nối điểm A với gốc O, ta được véctơ OA thì ta có thể xem véctơ OA là biểu diễn hình
học của số phức z a bi.
Định nghĩa. Dạng z a bi đ ược gọi là dạng đại số của số phức z.
90
Hình 45
Dạng lượng giác của số phức.
Gọi r, , r 0 là tọa độc cực của điểm Aa, b đối với trục cực Ox và cục O.
Người ta gọi r là môđun của số phức z a bi, ký hiệu là |z| và (được xác định sai khác
2k) là arcgument của số phức z, ký hiệu là Argz:
r |z|, Argz.
Rõ ràng ta có
a r cos , b r sin .
Do đó
a bi rcos i sin .
Dạng z rcos i sin được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Ta có
r a 2 b 2 , tg b .a
Giá trị 0, 2 được gọi là giá trị chính của Argz. Góc tổng quát được xác đ ịnh sai khác
2k, ( k nguyên). Để có giá trị chính 0, 2 ta chú ý b r sin nên sin trùng dấu với y.
Ví dụ. Viết các số phức sau đ ây dưới dạng lượng giác
a) 1 i; b) 1; c) i; d) 1; e) i.
2 2
a) Ta có r 1 1 2 và điểm 1, 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất. Từ tg 1, ta
chọn /4. Vậy
1 i 2 cos /4 i sin /4.
Tương tự ta có
b) 1 1cos 0 i sin 0
c) i 1cos /2 i sin /2
d) 1 1cos i sin
e) i 1cos 3 i sin 3 .
2 2
Dạng mũ của số phức.
Cho số phức z rcos i sin dưới dạng lượng giác. Ta công nhận công thức Euler sau
đây
e i cos i sin e i
Khi đó ta có dạng mũ của số phức
z re i .
1.3. Các phép tính về số phức
Phép cộng và trừ số phức
Cho hai số phức z 1 a 1 b 1 i, z 2 a 2 b 2 i. Tổng z 1 z 2 và hiệu z 1 z 2 của chúng được
định nghĩa như sau
z 1 z 2 a 1 b 1 i a 2 b 2 i a 1 a 2 b 1 b 2 i,
91
z 1 z 2 a 1 b 1 i a 2 b 2 i a 1 a 2 b 1 b 2 i.
Dễ thấy rằng véctơ biểu diễn tổng (hiệu) của hai số phức là tổng (hiệu) của hai véctơ biểu diễn
các số phức nói trên.
Hình 46 Hình 47
Chú thích. Ta có
z z a bi a bi 2a.
Vậy tổng của hai số phức liên hợp với nhau là một số thực.
Phép nhân số phức
Cho hai số phức z 1 a 1 b 1 i, z 2 a 2 b 2 i. Tích của hai số phức z 1 z 2 mà ta có được bằng
cách nhân chúng như nhân hai nhị thức trong đại số, với chú ý là i 2 1.
z z 1 z 2 a 1 b 1 ia 2 b 2 i
a1a2 a1b2i b1a2i b1b2i2
a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 i.
2 2
Chú thích. z z a bia bi a 2 bi 2 a 2 b 2 z z .
Vậy tích của hai số phức liên hợp với nhau bằng bình phương của môđun của mỗi số phức đó.
là một số thực.
Bây giờ giả sử hai số phức được viết dưới dạng lượng giác.
z 1 r 1 cos 1 i sin 1 ,
z 2 r 2 cos 2 i sin 2 .
Khi đó ta có
z 1 z 2 r 1 r 2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2
r 1 r 2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 isin 1 cos 2 cos 1 sin 2
r 1 r 2 cos 1 2 i sin 1 2 .
Vậy
z1z2 z1 z2 ,
Argz 1 z 2 Argz 1 Argz 2 , mod 2
Ký hiệu 1 2 (mod 2) có nghĩa là 1 2 là bội số của 2.
Phép chia số phức
Số phức z 1 chia cho số phức z 2 0 là một số phức ký hiệu là z 1 z sao cho zz 2 z 1 . Nếu
z2
92
z 1 r 1 cos 1 i sin 1 ,
z 2 r 2 cos 2 i sin 2 ,
z cos i sin ,
thì ta suy ra
r 2 r 1 ,
2 1 , mod 2
hay
r1
r2 ,
1 2 , mod 2
Do đó
z1 r 1 cos 1 i sin 1 r1
z2 r 2 cos 2 i sin 2
r2 cos 1 2 i sin 1 2 , (r 2 0)
Đặc biệt nếu z rcos i sin 0 thì
1
z 1 cos i sin.
r
Nếu các số phức z 1 , z 2 được cho dưới dạng đại số z 1 a 1 b 1 i, z 2 a 2 b 2 i, thì phép chia đ
ược thực hiện như sau
z1 z1z2 a 1 b 1 ia 2 b 2 i
z2 z2z2 2
z2
a 1 a 2 b 1 b 2 a 2 b 1 a 1 b 2
a 2 b 2
a 2 b 2
i.
2 2 2 2
Chú thích. Tập hợp với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia như trên tạo thành một trường
mà ta gọi là trường số phức. Như vậy trường số phức là mở rộng của trường số thực .
Phép lũy thừa
Từ qui tắc của phép nhân các số phức dưới dạng lượng giác, ta suy ra rằng, nếu
z rcos i sin
thì
z n r n cos n i sin n
hay
rcos i sin n r n cos n i sin n.
Từ đó ta suy ra công thức Moivre:
cos i sin n cos n i sin n, (n 1, 2, . . . ).
Phép khai căn
Giả sử n là số tư nhiên và z rcos i sin 0. Ta gọi số phức n z là một căn bậc n
của z nếu n z. Muốn tìm ta viết nó dưới dạng lượng giác cos i sin . Khi đó
cos i sin n rcos i sin ,
hay
93
n cos n i sin n rcos i sin .
Suy ra
n r,
n 2k, k (tập các số nguyên)
hay
n r,
2k
n , k .
Vậy
2k 2k
n r cos n i sin n , k .
Do tính tuần hoàn của các hàm lượng giác cos và sin, ta suy ra có n giá trị n z khác nhau
ứng với k 0, 1, . . . , n 1.
Ví dụ. Tính 3 1 .
Ta có 1 1cos 0 i sin 0
vậy
k 3 z 3 1 3 1 cos 02k i sin 02k .
3 3
Cho k 0, 1, 2 ta được 3 căn bậc ba khác nhau của 1 là
0 cos 0 i sin 0 1,
2 2 1 3
1 cos 3
i sin 3
2
i 2
,
4 4 1 3
2 cos 3
i sin 3
2
i 2
.
Hình 48
2
Ví dụ. Giải phương trình ax bx c 0, a, b, c , a 0.
Ta có b 2 4ac.
b b
i) Nếu 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 2a , x 2 2a .
ii) Nếu 0 : phương trình có nghiệm kép: x 1 x 2 b .
2a
iii) Nếu 0 : thì có hai giá trị phức liên hợp i 2 i , với là căn
bi
số học của số dương . Do đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: x 1 2a
,
bi
x2 2a
.
Định lý Viet vẫn đúng trong trường hợp này, vì
x 1 x 2 b ,
a
2 2
x 1 x 2 b i 2
2a 2a
b2 b 2 b 2 4ac
4a 2
4a 2
4a 2
c
a .
Chẳng hạn phương trình x 2 x 1 0 có 1 4 3, nên nó có hai nghiệm phức liên
1i 3 1i 3
hợp: x 1 2
, x2 2
.
94
§2. Phương trình vi phân cấp 1
2.1. Các khái niệm chung
2.1.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp1 là phương trình có dạng
1 Fx, y, y / 0,
trong đó F là một hàm theo ba biến đ ộc lập. Nếu giải được phương trình đó đối với y / thì
phương trình vi phân cấp1 có dạng
dy
2 y / fx, y hay dx fx, y,
trong đó f là một hàm theo hai biến đ ộc lập.
Định nghĩa. Bài toán Cauchy hay bài toán điều kiện đầu là bài toán tìm nghiệm của phương
trình vi phân (1) hoặc (2) thỏa điều kiện
3 yx 0 y 0 .
Định nghĩa. Nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) trên khoảng I là một hàm số
y x xác định trên I sao cho khi thay vào (1) hoặc (2) ta được đ ồng nhất thức trên I :
Fx, x, / x 0, x I,
hoặc
/ x fx, x, x I,
Ví dụ. Xét bài toán Cauchy
y
y / x , y1 2.
y dy y dy
Từ y / x , ta có dx x hay dy dx . x
Lấy tích phân hai vế ta được
ln|y| ln|x| ln C 1 , (C 1 0).
Suy ra
y Cx, x 0, (C C 1 ).
Với x 1, y 2 thì 2 C. 1. Vậy C 2. Suy ra nghiệm của bài toán là y 2x, x 0.
2.1.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Định lý. Xét bài toán Cauchy (2), (3). Nếu hàm số fx, y liên tục trong miền mở D 2 , thì
với mọi điểm
x 0 , y 0 D, bài toán Cauchy (2), (3) có nghiệm xác định trong một lận cận của x 0 .
f
Ngoài ra nếu, đạo hàm riêng y liên tục và bị chận trong D thì nghiệm đó là duy nhất.
Định lý trên thường được gọi là định lý Peano-Cauchy-Picard. Ta công nhận định lý nầy.
2.1.3. Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát.
Thông thường nghiệm của phương trình vi phân cấp một thường phụ thuộc vào một hằng số
thực C, và có dạng
y x, C
Định nghĩa. Hàm số y x, C đ ược gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1)
hoặc (2) trong miền D 2 , nếu với mọi điểm x 0 , y 0 D, tồn tại duy nhất một hằng số C 0
sao cho y x, C 0 là nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) thỏa điều kiện đầu
yx 0 y 0 ,
nghĩa là: tồn tại duy nhất một hằng số C 0 sao cho
i/ y x, C 0 là nghiệm của phương trình vi phân (1) hoặc (2) trong khoảng nào đ ó chứa x 0 ,
ii/ yx 0 , C 0 y 0 .
Định nghĩa. Ta gọi nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp một là nghiệm y x, C 0 mà
95
ta nhận được từ nghiệm tổng quát y x, C bằng cách cho hằng số tùy ý C một giá trị cụ thể
C0.
Trở lại ví dụ trên, ta thấy
y Cx, (x 0)
là nghiệm tổng quát của phương trình ( C là một hằng số tùy ý),
y
y/ x .
Ngoài ra, y 2x, (x 0)
là nghiệm riêng của phương trình trên, thỏa điều kiện đầu y1 2, (C 2)
Tất nhiên mọi nghiệm của bài toán Cauchy đều là nghiệm riêng.
Định nghĩa. Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào
sẽ đươc gọi là nghiệm kỳ dị.
Ví dụ. Xét phương trình vi phân y / 1 x 2 .
dy
Ta có 2
dx.
1x
Lấy tích phân hai vế ta được arcsin y x c. Suy ra y sinx C, C là hằng số tùy ý. Đó là
nghiệm tổng quát.
Ngoài ra ta thấy y 1 cũng là nghiệm, nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát.
Đó là các nghiệm kỳ dị. Khi giải phương trình (1) hoặc (2) có khi ta cũng không nhận được
nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh y x, C, mà nhận được một hệ thức có dạng
4 x, y, C 0.
Khi đó nghiệm tổng quát được xác định dưới dạng hàm ẩn. Phương trình (4) đươc gọi là tích
phân tổng quát của (1) hoặc (2). Cho C C 0 ta được phương trình
5 x, y, C 0 0.
mà ta gọi là tích phân riêng của phương trình vi phân nói trên.
2.2. Phương trình vi phân cấp 1 tách biến
2.2.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 tách biến là phương trình có dạng
6 fxdx gydy 0.
2.2.2. Cách giải: Lấy tích phân bất định hai vế ta được tích phân tổng quát
fxdx gydy C.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
x y
1x 2
dx 1y 2
dy 0.
Lấy tích phân, ta được
y
x
1x 2
dx 1y 2
dy C 1
1 1
2
ln1 x 2 2
ln1 y 2 C 1
ln1 x 2 1 y 2 2C 1 .
Ta được tích phân tổng quát
1 x 2 1 y 2 C, C e 2C 1 0.
Chú thích. Phương trình dạng
7 f 1 xg 1 ydx f 2 xg 2 ydy 0
có thể đưa về dạng (6) như sau:
96
- Nếu g 1 y 0 tại y b (tức là g 1 b 0) thì y b là nghiệm của (7).
- Nếu f 2 x 0 tại x a (tức là f 2 a 0) thì x a là nghiệm của (7).
- Nếu g 1 yf 2 x 0 thì chia hai vế của (7) cho g 1 yf 2 x, ta được
f 1 x g 2 y
f 2 x
dx g 1 y
dy 0.
Lấy tích phân hai vế ta được tích phân tổng quát
f 1 x g 2 y
f 2 x
dx g 1 y
dy C.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / xyy 2.
Ta có
dy xyy 2dx.
- Nếu yy 2 0 thì y 0, y 2 là nghiệm của phương trình.
- Các nghiệm khác tìm được bằng cách thì chia hai vế của phương trình cho yy 2 rồi lấy
tích phân, ta được
dy
yy2
xdx C 1
1
2
1
y
1
y2
dy 1
2
x2 C1
y
ln y2
x 2 ln C 2C 1 .
Vậy tích phân tổng quát là
y 2
y2
Ce x , (C 0)
Chú thích. Phương trình dạng
7 y / fax by c
có thể đưa về phương trình vi phân tách biến bằng cách đổi qua ẩn hàm mới z ax by c.
Thật vậy
dz dy
dx
a b dx a bfz
Nếu a bfz 0 khi z z 0 , thì ax by c z 0 là nghiệm của phương trình vi phân nói trên.
Các nghiệm khác tìm được bằng cách thì chia hai vế của phương trình cho a bfz rồi lấy tích
phân, ta được
dz
abfz
x C.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / x y 1 2 .
Đặt z x y 1 thì z / 1 y / . Thay vào phương trình, ta có 1 z / z 2 hay
dz 1 z 2 dx.
Nếu 1 z 2 0 thì z 1, z 1 là các nghiệm. Chuyển về ẩn hàm cũ bằng cách thay vào
z 1, ta có y x, y x 2 là các nghiệm riêng.
Nếu 1 z 2 0. Chia hai vế cho 1 z 2 ta có
dz
1z 2
dx.
Lấy tích phân hai vế, ta được
97
1 z1 1
2
ln z1
x 2
ln C, C 0.
Suy ra
z1
z1
Ce 2x , C 0.
Sau cùng, ta được tích phân tổng quát
xy2
xy Ce 2x , C 0.
2.3. Phương trình vi phân đ ẳng cấp cấp 1
2.3.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 là phương trình có dạng
y
8 y / f x ,
trong đó f là hàm số cho trước.
2.3.2. Cách giải: Ta đưa về phương trình vi phân tách biến bằng cách đ ổi qua ẩn hàm mới
y
u x . Khi đó
y ux, y / xu / u.
Thay vào (8) ta được
xu / u fu.
hay
x du fu u.
dx
Nếu fu u 0, ta có
dx du
x fuu
.
Đây là phương trình vi phân tách biến. Tích phân hai vế của phương trình đó, ta được
ln|x| du
fuu
ln|C| u ln|C|,
trong đó u du
fuu
. Do đó x Ce u . Vậy tích phân tổng quát của (8) là
x Ce y/x
Nếu fu u 0, thì fy/x y/x và phương trình (8) có dạng
dy y
dx
x
hay
dy dx
y x
Tích phân hai vế của, ta được
ln|y| ln|x| ln|C 1 |,
hay
y Cx, x 0
là nghiệm tổng quát của (8) trong trường hợp fy/x y/x.
Nếu fu u 0, tại u u 0 thì bằng cách thử trực tiếp ta thấy rằng hàm y u 0 x, (x 0)
cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân đẳng cấp
98
y
xy 1 x
y/ xy 1 x
y .
Ta viết lại phương trình vi phân ở trên như sau
y
1 x
y/ 1 x
y .
y
Đặt x u hay y ux, ta có y / u / x u, và thay vào phương trình, ta có
u / x u 1u
1u
hay
dx 1u
x 1u 2
du
Lấy tích phân hai vế, ta được
ln|x| 1u
1u 2
du 1
2
ln|C|
du
1u 2
udu
1u 2
1
2
ln|C|
1 1
arctgu 2
ln1 u 2 2
ln|C|,
hay
lnx 2 1 u 2 2arctgu ln|C|,
do đó
x 2 1 u 2 C 1 e 2arctgu
hay
x 2 y 2 C 1 e 2arctgy/x , C 1 0.
Chú thích. Phương trình dạng
a 1 xb 1 yc 1
9 y/ f a 2 xb 2 yc 2
,
trong đó a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 là các hằng số cho trước, có thể đ ưa về phương trình vi phân
đẳng cấp. Thật vậy, ta xét hai trường hợp:
a1 b1
i) a 1 b 2 a 2 b 1 0 : Khi đó hệ
a2 b2
a 1 x b 1 y c 1 0,
a 2 x b 2 y c 2 0,
có một nghiệm duy nhất x 0 , y 0 . Khi đ ó đặt X x x 0 , Y y y 0 , ta có
Y YX yx y 0 . Cũng chú ý rằng Y / X y / x, sau khi thay vào phương trình, ta nhận
được phương trình vi phân đẳng cấp:
a Xx b Yy c a 1 b 1 Y Y
Y / f a 1 Xx 0 b 1 Yy 0 c 1 f a 1 Xb 1 Y f a b X
a
2 Xb 2 Y Y f X .
2 0 2 0 2 2 2 X
a1 b1
ii) a 1 b 2 a 2 b 1 0 : Khi đó ta có sao cho a 1 a 2 , b 1 b 2 .
a2 b2
Đặt Z a 2 x b 2 y thì Z / a 2 b 2 y / và ta được phương trình vi phân tách biến
99
Zc 1
Z/ a2 b2f Zc 2
Z.
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
x y 2dx 2x 2y 1dy 0.
Hệ
x y 2 0,
2x 2y 1 0,
vô nghiệm. Đặt Z x y, ta có dZ dx dy.
Vậy ta viết lại phương trình vi phân ở trên như sau
Z 2dx 2Z 1dZ dx 0,
hay
3 Zdx 2Z 1dZ 0.
Nếu Z 3 0, thì Z 3 là nghiệm hay x y 3 là nghiệm.
Nếu Z 3 0, thì ta có
2Z1
Z3
dZ dx.
Lấy tích phân hai vế, ta được
2Z1
Z3
dZ dx C
hay
2Z 5 ln|Z 3| x C.
Suy ra tích phân tổng quát của phương trình vi phân là
x 2y 5 ln|x y 3| C.
2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
2.4.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng
10 y / pxy qx,
trong đó px, qx là các hàm số liên tục cho trước.
Nếu qx 0, thì (10) đươc gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
Nếu qx 0, thì (10) đươc gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần
nhất.
2.4.2. Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange)
Trước hết ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất tương ứng với (10)
11 y / pxy 0,
dy
hay dx
pxy.
Với y 0, ta có
dy
y pxdx.
Lấy tích phân hai vế, ta được
100
ln|y| pxdx ln C 1 .
Do đó
12 y Ce .
pxdx
Đó là nghiệm tổng quát của phương trình (11). Ta thấy y 0 cũng là nghiệm của phương trình
(11) và cũng là một nghiệm riêng của phương trình (11) ứng với C 0.
Bây giờ ta coi C không phải là hằng số mà là một hàm khả vi theo biến x. Ta sẽ tìm hàm số
C Cx để biểu thức
y Cxe
pxdx
là nghiệm của phương trình không thuần nhất (10). Lấy đạo hàm (12), ta đ ược
y / C / xe
pxdx
pxCxe
pxdx
.
Thay vào phương trình (10), ta được
C / xe
pxdx
qx,
hay
dC qxe
pxdx .
Lấy tích phân hai vế, ta được
C Cx qxe
pxdx dx C .
1
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (10) là
13 ye
pxdx qxe pxdx dx C .
1
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / y cos x e sin x .
Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y / y cos x 0.
Với y 0, ta có
dy
y cos xdx.
Lấy tích phân, ta được
ln|y| sin x ln C 1 .
Do đó
y Ce sin x .
Đây là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Măt khác y 0 cũng là nghiệm của
phương trình thuần nhất. ứng với C 0.
Bây giờ ta sẽ tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất dưới dạng
y Cxe sin x ,
với C Cx cần phải tìm. Thay vào phương trình đã cho, ta được
101
C / xe sin x cos xe sin x Cx Cxe sin x cos x e sin x ,
hay
C / x 1.
Lấy tích phân, ta được
Cx x C 1 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y x C 1 e sin x .
2.4.3. Phương pháp Bernuoulli
Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất (10) dưới dạng
14 y uxvx.
Thế vào (10), ta được
u / v uv / pxuv qx,
hay
15 u / pxuv uv / qx.
Chọn ux là một nghiệm của phương trình
16 u / pxu 0,
ta có
17 ue
pxdx
Từ (15)–(17), ta được
v/e
pxdx
qx.
Vậy
vx qxe
pxdx dx C .
1
Cuối cùng ta nhận được nghiệm tổng quát cho bởi (13).
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
2
y / sin x y cos x sin2 x .
x
Đặt y uxvx, ta có
2
u / v sin x uv / sin x uv cos x sin2 x ,
x
hay
2
vu / sin x u cos x uv / sin x sin2 x ,
x
Chọn ux là một nghiệm của phương trình
u / sin x u cos x 0,
ta có thể lấy u sin x. Vậy ta có phương trình
2
v / sin 2 x sin2 x ,
x
102
hay v / x12 .
Tích phân, ta được
1
vx x C.
Vậy
y uv 1 C sin x.
x
2.4.4. Phương pháp thừa số tích phân
Nhân hai vế của (10) với thừa số
e
pxdx ,
ta được
y/e
pxdx pxe pxdx y qxe pxdx ,
mà vế trái của đẳng thức nầy chính là đạo hàm của tích số ye
pxdx . Vậy ta viết lại đẳng thức
nầy như sau
d
ye
pxdx qxe
pxdx .
dx
Lấy tích phân hai vế, ta được
ye
pxdx qxe pxdx dx C.
Vậy nghiệm tổng quát của (10) là
ye
pxdx qxe pxdx dx C .
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
y / 2xy 4x.
Nhân hai vế của phương trình với thừa số
e
2xdx e x 2 ,
ta được
2 2 2
y / e x 2xe x y 4xe x ,
hay
d 2 2
dx
ye x 4xe x .
Lấy tích phân hai vế, ta được
ye x 4 xe x dx C 2e x C.
2 2 2
Vậy nghiệm tổng quát của (10) là
2
y 2 Ce x .
2.5. Phương trình vi phân Bernuoulli
2.5.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân Bernuoulli là phương trình có dạng
103
18 y / pxy qxy ,
trong đó px, qx là các hàm số liên tục của x cho trước và là một hằng số thực cho trước.
Với 0, thì (18) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
y / pxy qx.
Với 1, thì (18) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
y / px qxy 0.
Ở đây ta chỉ cần xét 0 và 1.
2.5.2. Cách giải
Giả sử 0 và 1.
Nếu 0, thì y 0 là một nghiệm riêng của (18). Ngược lại nếu 0, thì y 0 không là
nghiệm của (18).
Giả sử y 0, chia hai vế của (18) cho y , ta được
y y / pxy 1 qx.
Đặt z y 1 , ta có z / 1 y y / và phương trình trên được viết lại
19 z / 1 pxz 1 qx.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với ẩn hàm z. Sau khi giải tìm được nghiệm
tổng quát của phương trình (19), ta trở về ẩn y bởi công thức z y 1 , ta đ ược nghiệm tổng
quát của phương trình (18).
Ví dụ: Giải phương trình vi phân
20 y / 2xy 4x 3 y 2 .
Đây là phương trình vi phân Bernuoulli ứng với 2 0, do đó thì y 0 là một nghiệm
riêng của phương trình.
Giả sử y 0, chia hai vế của phương trình cho y 2 , ta được
y 2 y / 2xy 1 4x 3 .
Đặt z y 1 , khi đó ta có z / y 2 y / và phương trình trên trở thành
21 z / 2xz 4x 3 .
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với ẩn hàm z.
Nhân hai vế của phương trình (21) với thừa số
e
2xdx e x 2 ,
ta được
2 2 2
z / e x 2xe x z 4x 3 e x ,
hay
d 2 2
dx
ze x 4x 3 e x .
Lấy tích phân hai vế, ta được
ze x 4 x 3 e x dx C.
2 2
Đổi biến t x 2 , dt 2xdx, ta có
104
ze x 2 te t dt C 2te t e t dt C
2
2t 1e t C
2
2x 2 1e x C.
Vậy nghiệm tổng quát của (21) là
2
z 2x 2 2 Ce x .
Trở về ẩn cũ ta thu được nghiệm tổng quát của (20) là
y 1
z 2
1
x 2
.
2x 2Ce
§3. Phương trình vi phân cấp 2
3.1. Các khái niệm chung
3.1.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân cấp2 là phương trình có dạng
22 Fx, y, y / , y // 0,
trong đó F là một hàm cho trước theo bốn biến độc lập. Nếu giải đ ược phương trình (22) đối
với y // thì phương trình vi phân cấp 2 có dạng
23 y // fx, y, y / ,
trong đó f là một hàm cho trước theo ba biến độc lập.
Nghiệm của phương trình vi phân (22) trên khoảng I là một hàm số y x xác định trên I
sao cho khi thay vào (22) ta đ ược đồng nhất thức trên I :
Fx, x, / x, // x 0, x I.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y // 6x 2.
Đặt y / Z, ta có Z / y // 6x 2,
suy ra Z Z / dx C 1 3x 2 2x C 1 ,
tức là y / 3x 2 2x C 1 .
Vậy y 3x 2 2x C 1 dx C 2 x 3 x 2 C 1 x C 2 .
Ta thấy phương trình vi phân cấp2 có nghiệm phụ thuộc vào hai hằng số, nên để xác định một
nghiệm cụ thể cần có hai điều kiện nào đó. Người ta thường xét bài toán Cauchy(bài toán điều
kiện đầu). Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 thỏa điều
kiện đầu
24 yx 0 y 0 , y / x 0 y /0 .
/
với x 0 , y 0 , y 0 là những số cho trước.
3.1.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Nếu hàm số fx, y, y / liên tục trong miền mở nào đó chứa x 0 , y 0 , y /0 , tồn tại nghiệm của
bài toán (23), (24).
f f
Hơn nữa, nếu y , y / liên tục và bị chận trong miền mở nào đó chứa x 0 , y 0 , y /0 , thì nghiệm
ấy là duy nhất.
Ta công nhận định lý nầy.
3.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2
Như đã thấy, nghiệm của phương trình vi phân cấp hai thường phụ thuộc vào hai hằng số thực
C 1 , C 2 , và có dạng
105
y x, C 1 , C 2
Định nghĩa. Hàm số y x, C 1 , C 2 được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
cấp hai (23) trong miền D 3 nếu x 0 , y 0 , y /0 D, tồn tại duy nhất một cặp hằng số C 0 , C 0
1 2
sao cho y x, C 0 , C 0 là nghiệm của phương trình vi phân (23) thỏa các điều kiện đầu
1 2
yx 0 y 0 , y / x 0 y /0 .
Ví dụ. Phương trình vi phân y // y 0 có nghiệm tổng quát y C 1 cos x C 2 sin x trong 3 .
Thật vậy, trước tiên ta thấy hàm số đó là nghiệm của phương trình y // y 0 với mọi hằng số
C 1 , C 2 (kiểm tra trực tiếp). Lấy x 0 , y 0 , y /0 3 , điều kiện đầu (24) có dạng
C 1 cos x 0 C 2 sin x 0 y 0 ,
25
C 1 sin x 0 C 2 cos x 0 y /0 .
Coi C 1 , C 2 như là ẩn, hệ phương trình tuyến tính (25) có nghiệm duy nhất C 0 , C 0 , vì định
1 2
thức của hệ nầy bằng 1 0. Vậy tồn tại duy nhất một cặp C 0 , C 0 để hàm1 2
y C 0 cos x C 0 sin x là nghiệm của phương trình vi phân y // y 0 thỏa các điều kiện đầu
1 2
(25).
Định nghĩa. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát y x, C 1 , C 2 bằng cách cho các hằng
số C 1 , C 2 những giá trị cụ thể đ ược gọi là nghiệm riêng.
Định nghĩa. Phương trình
x, y, C 1 , C 2 0
cho ta mối quan hệ giữa biến độc lập và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai
được gọi là tích phân tổng quát của nó trên.
Nếu cho C 1 C 0 , C 2 C 0 là những giá trị cụ thể ta được phương trình
1 2
x, y, C 0 , C 0 0
1 2
mà ta gọi nó là tích phân nghiệm riêng của phương trình vi phân nói trên.
Về phương diện hình học, tích phân tổng quát của phương trình vi phân cấp hai xác định một
họ đường cong trong mặt phẳng tọa độ phụ thuộc vào hai tham số tùy ý. Các đ ường cong ấy
được gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân.
3.2. Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được
Bây giờ ta xét phương trình vi phân cấp hai có dạng
y // fx, y, y /
mà ta có thể đưa chúng về cấp một.
3.2.1. Phương trình vi phân dạng y // fx
26 y // fx
Cách giải. Vì y // y / / nên từ (26) ta có
y / fxdx C 1 .
Lấy tích phân một lần nữa, ta đ ược
y / fxdx dx C 1 x C 2 .
106
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình vi phân
y // sin x
thỏa các điều kiện đầu
y0 0, y / 0 1.
Ta có:
27 y / sin xdx C 1 cos x C 1 .
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y / cos x C 1 dx C 2
28
sin x C 1 x C 2 .
Mặt khác khi x 0 thì y 0 nên từ (29) ta có C 2 0. Khi x 0 thì y / 0 nên từ (27) ta có
1 1 C 1 hay C 1 2. Do đó nghiệm riêng của bài toán Cauchy đã cho là y sin x 2x.
3.2.2. Phương trình vi phân dạng y // fx, y /
29 y // fx, y /
Cách giải. Đặt y / p, khi đó y // p / và (29) có dạng
p / fx, p.
Đây là phương trình vi phân cấp 1. Nếu giải được, ta có nghiệm tổng quát là
p x, C 1 .
/
Vì y p, nên ta có
y / x, C 1 .
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (29) là
y x, C 1 dx C 2 .
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y/
y // x x .
Đặt y / p, ta có y // p / . Do đó phương trình đã cho có dạng
p
p/ x x
hay
p
p/ x x
Đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Nhân hai vế với x, ta được
xp / p x 2 ,
hay
d
dx
xp x 2
Lấy tích phân hai vế, ta được
x3
xp 3
C1,
hay
x2 C1
p 3
x .
107
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y x3 C1
2
x dx C 2
x3
9
C 1 ln|x|dx C 2 .
3.2.3. Phương trình vi phân dạng y // fy, y /
Cách giải. Đặt y / p py và xem như là hàm của y. Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức nầy
theo x, ta có
dp dp dy dp
y // dx
dy dx
p dy .
Khi đó, phương trình đã cho có dạng
dy
p/ dx
fy, p.
Đó là phương trình vi phân cấp 1 với ẩn hàm là p py. Nếu phương trình nầy giải được, ta
có
p y, C 1 ,
hay
dy
dx
y, C 1 ,
dy
y,C 1
dx.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y / x, C 1 .
Suy ra tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
dy
y,C 1
x C2.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
yy // y / 2 0.
dp dp dy dp
Đặt y / p py. Ta có y // dx
dy dx
p dy và phương trình đ ã cho có dạng
dp
yp dy p 2 0,
hay
dp
py dy p 0.
dp
Do đó ta được hoặc p 0, hoặc là y dy p 0.
Nếu p 0, ta có y / p 0, suy ra y C.
dp
Nếu y dy p 0, ta nhân hai vế với thừa số y12 , ta thu được
1 dp 1
y dy y2
p 0,
hay
d
dy
1 p 0,
y
Lấy tích phân hai vế, ta được
108
1
y p C 1 , hay p C 1 y, hay y / C 1 y.
Lấy tích phân một lần nữa, ta đ ược y C 2 e C 1 x .
Nếu lấy C 1 0, ta được y C 2 là nghiệm đã thấy ở trên. Vậy nghiệm tổng quát của phương
trình đ ã cho là
y C 2 e C 1 x , C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng
3.3.1. Định nghĩa. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng là phương trình có
dạng
30 y // py / qy fx, a x b,
trong đó p, q là các hằng số. Ta luôn giả thiết fx hàm liên tục trong khoảng a, b.
Nếu fx 0, phương trình
31 y // py / qy 0,
được gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (30). Ký hiệu vế trái của (30)
là Ly, tức là
Ly y // py / qy 0.
Khi đó L là một ánh xạ tuyến tính. Tính chất tuyến tính được thể hiện như sau:
i) Ly 1 y 2 Ly 1 Ly 2 ,
ii) LCy CLy, C là hằng số
Các tính chất nầy được kiểm tra dễ dàng. Vậy các phương trình (30) và (31) có thể viết dưới
dạng
32 Ly 0,
33 Ly 0,
Từ các tính chất tuyến tính ta thấy rằng, nếu y 1 x và y 2 x là nghiệm của phương trình thuần
nhất (31) thì C 1 y 1 C 2 y 2 cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (31), trong đó C 1 , C 2 là
các hằng số tùy ý.
Bài toán Cauchy
Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình (30) thỏa điều kiện đầu
34 yx 0 y 0 , y / x 0 y /0 ,
với x 0 a, b, y 0 , y /0 cho trước.Ta công nhận kết quả sau:
Định lý (sự tồn tại và duy nhất nghiệm)
Nếu hàm số fx liên tục trong khoảng a, b, thì với mọi x 0 a, b, và với mọi y 0 , y /0 cho
trước, bài toán Cauchy (30),(31) có duy nhất một nghiệm.
Định nghĩa. Hai hàm số y 1 x và y 2 x được gọi là phụ thuộc tuyến tính trong khoảng a, b,
nếu tồn tại các số 1 , 2 không đ ồng thời bằng không, sao cho
35 1 y 1 x 2 y 2 x 0, x a, b.
Trường hợp ngược lại, tức là chỉ đúng trong trường hợp duy nhất 1 2 0 thì các hàm số
y 1 x và y 2 x được gọi là đ ộc lập tuyến tính.
y x
Như vậy, các hàm số y 1 x và y 2 x là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi y 1 x không là hằng số.
2
109
3.3.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Xét phương trình vi phân thuần nhất (31)
31 y // py / qy 0.
Trước hết ta lập một vài kết quả bổ trợ.
Định nghĩa. Cho hai hàm số y 1 x và y 2 x có đạo hàm trong khoảng a, b. Khi đ ó định thức
y 1 x y 2 x
Wx Wy 1 , y 2 det
y /1 x y /2 x
y 1 xy /2 x y /1 xy 2 x 0
được gọi là định thức Wronski của các hàm y 1 x và y 2 x.
Định lý. Nếu hai hàm số y 1 x và y 2 x có đạo hàm y /1 x, y /2 x phụ thuộc tuyến tính trong
khoảng a, b, thì định thức Wronski Wx 0, x a, b.
Chứng minh. Giả sử tồn tại x 0 a, b sao cho Wx 0 0 và
1 y 1 x 2 y 2 x 0, x a, b.
Lấy đạo hàm, ta được
1 y /1 x 2 y /2 x 0, x a, b.
Cho x x 0 ta được hệ phương trình đại số tuyến tính với các ẩn 1 , 2 :
1 y 1 x 0 2 y 2 x 0 0,
1 y /1 x 0 2 y /2 x 0 0.
Hệ đó có định thức Wx 0 0, vậy nó có nghiệm tầm thường duy nhất 1 2 0, tức là,
y 1 x và y 2 x độc lập tuyến tính. Đpcm.
Định lý. Xét phương trình vi phân thuần nhất (31). Hai nghiệm y 1 x và y 2 x của nó độc lập
tuyến tính khi và chỉ khi định thức Wronski Wy 1 , y 2 0, x a, b.
Chứng minh. Nếu Wy 1 , y 2 0, trong a, b, thì theo định lý trên, các hàm y 1 , y 2 của nó độc
lập tuyến tính.
Ngược lại, Giả sử hai nghiệm y 1 x và y 2 x của nó độc lập tuyến tính trong a, b. Ta cần
chứng minh Wx 0, x a, b.
Giả sử ngược lại, x 0 a, b sao cho Wx 0 0. Khi đó hệ
1 y 1 x 0 2 y 2 x 0 0,
36
1 y /1 x 0 2 y /2 x 0 0,
có định thức Wx 0 0, nên có nghiệm không tầm thường( không đồng thời bằng không).
Xét hàm số
y 1 y 1 x 2 y 2 x.
Hàm nầy cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất (31). Hơn nữa, theo (36) thì nghiệm đó
thỏa mãn điều kiện đầu
yx 0 0, y / x 0 0.
Nhưng theo tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy, đó chính là nghiệm y 0 trong a, b,
vậy
1 y 1 x 2 y 2 x 0, trong a, b,
110
tức là y 1 và y 2 phụ thuộc tuyến tính. Định lý được chứng minh.
Định lý. Cho y 1 x và y 2 x là hai nghiệm độc lập tuyến tính trong a, b của phương trình
thuần nhất (31). Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (31) có dạng
37 y C 1 y 1 x C 2 y 2 x,
với C 1 , C 2 là hai hằng số.
Chứng minh. Hiển nhiên hàm số có dạng (37) là nghiệm của phương trình (31) với mọi hằng
số C 1 , C 2 .
Ngược lại, Giả sử u ux là nghiệm của bài toán (31), (34). Ta cần chứng minh rằng, khi đó
tồn tại duy nhất một cặp số C 0 , C 0 sao cho u C 0 y 1 x C 0 y 2 x.
1 2 1 2
Với x 0 , u 0 , u /0 ta xét hệ phương trình với ẩn là C 1 , C 2 .
C 1 y 1 x 0 C 2 y 2 x 0 u 0 ,
38
C 1 y /1 x 0 C 2 y /2 x 0 u /0 .
Định thức của hệ phương trình nầy là
y 1 x 0 y 2 x 0
Wx 0 det 0,
y /1 x 0 y /2 x 0
vì hai nghiệm y 1 , y 2 độc lập tuyến tính. Vậy hệ (38) có một nghiệm C 0 , C 0 duy nhất. Điều nầy
1 2
có nghĩa là
u C 0 y 1 x C 0 y 2 x là nghiệm của phương trình (31), thỏa điều kiện (34).
1 2
Như vậy muốn tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (31), ta chỉ cần tìm hai
nghiệm riêng đ ộc lập tuyến tính của nó, rồi lấy tổ hợp tuyến tính của chúng.
Ta tìm nghiệm riêng của (31) dưới dạng
39 y e kx ,
trong đó k là một hằng số nào đó. Ta có
y / ke kx , y // k 2 e kx .
/ //
Thay các biểu thức y, y , y vào (31) ta được
e kx k 2 pk q 0.
Vì e kx 0 nên ta được
40 k 2 pk q 0.
Vậy nếu k thỏa mãn phương trình (40) thì hàm y e kx là một nghiệm riêng của phương trình
(31). Phương trình (40) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (31). Có
ba trường hợp sau đây
i) Phương trình (40) có hai nghiệm thực phân biệt k 1 , k 2 .
Khi đó ta có hai nghiệm riêng của phương trình (31) là
y 1 e k1x , y 2 e k2x .
Hai nghiệm ấy độc lập tuyến tính, vì
y1 k 1 k 2 x
y2 e hằng số.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (31) là
y C 1 e k1x C 2 e k2x
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
111
y // 6y / 8y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 6k 8 0.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt k 1 2, k 2 4.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 e 2x C 2 e 4x , trong đ ó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
ii) Phương trình (40) có nghiệm kép k 1 k 2 p/2.
Lúc đó ta có một nghiệm riêng của phương trình (31) là y 1 e k 1 x . Ta sẽ chứng minh
y 2 xe k 1 x cũng là một nghiệm riêng của phương trình (31). Thật vậy, ta có
y /2 e k 1 x k 1 xe k 1 x 1 k 1 xe k 1 x ,
y // k 1 e k 1 x k 1 1 k 1 xe k 1 x
2
2k 1 k 2 xe k 1 x .
1
Thay các biểu thức y 2 , y /2 , y // vào (31) ta được
2
// /
y 2 py 2 qy 2 e k 1 x 2k 1 k 2 x p1 k 1 x qx
1
e k 1 x k 2 pk 1 qx 2k 1 p.
1
Vì k 1 p/2 là nghiệm kép của phương trình (40) nên
k 2 pk 1 q 0, 2k 1 p 0.
1
Vậy
y // py /2 qy 2 0.
2
Hai nghiệm y 1 và y 2 độc lập tuyến tính, vì
y2
y 1 x hằng số.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (31) là
y C 1 e k 1 x C 2 xe k 1 x C 1 C 2 xe k 1 x ,
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
iii) Phương trình (40) có hai nghiệm phức liên hợp k 1 i, k 2 i.
Ta có hai nghiệm riêng của phương trình (31) là
y 1 e k 1 x e ix e x e ix ,
y 2 e k 2 x e ix e x e ix .
Dùng công thức Euler
e ix cos x i sin x, e ix cos x i sin x,
ta được
y 1 e x cos x i sin x,
y 2 e x cos x i sin x.
Khi đó các hàm
112
y 1 y 2
y1 2
e x cos x,
y 1 y 2
y2 2i
e x sin x,
cũng là các nghiệm của phương trình (31). Hai nghiệm nầy độc lập tuyến tính, vì
y1
y 2 cot gx hằng số.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (31) là
y C 1 e x cos x C 2 e x sin x
e x C 1 cos x C 2 sin x,
trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y // 4y / 4y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 4k 4 0.
Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k 1 k 2 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 C 2 xe 2x , trong đ ó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình vi phân
y // 2y / 4y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 2k 4 0.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp k 1 1 i 3 , k 2 1 i 3 .
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y e x C 1 cos 3 x C 2 sin 3 x, trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý.
3.3.3. Phương trình vi phân không thuần nhất
Bây giờ ta xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (30) sau
30 y // py / qy fx, a x b,
trong đó p, q là các hằng số và hàm fx hàm liên tục trong khoảng a, b. Xét phương trình vi
phân thuần nhất tương ứng với phương trình(30)
31 y // py / qy fx.
Định lý. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (30) bằng tổng của nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (31) với một nghiệm riêng nào đó của
phương trình không thuần nhất (30).
Chúng minh. Gọi y tq là nghiệm tổng quát của (31) và y r là nghiệm riêng của (30).
Đặt y y tq y r .
Ta có y / y /tq y /r , y // y // y // .
tq r
/ //
Khi đó, thay y, y , y vào vế trái của (30), ta có y y tq y r là nghiệm của phương trình không
thuần nhất (30), bởi vì
113
Ly y // py / qy
Ly tq Ly r
0 fx fx.
Ngược lại, cho y là một nghiệm của (30). Do y r cũng là nghiệm của (30), nên hiệu số hai
nghiệm ux yx y r x là nghiệm của phương trình thuần nhất (31), bởi vì,
Lu Ly y r Ly Ly r
fx fx 0.
Theo định lý về tổn tại và duy nhất nghiệm thì nghiệm của (31) có dạng (37):
u C1y1 C2y2,
trong đó y 1 , y 2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (31), C 1 , C 2 là các hằng số thích hợp. Vậy
y u yr C1y1 C2y2 yr.
Định lý.( Nguyên lý chồng chất nghiệm). Cho phương trình không thuần nhất
41 y // py / qy f 1 x f 2 x.
Nếu y 1 là nghiệm riêng của phương trình
y // py / qy f 1 x,
và y 2 là nghiệm riêng của phương trình
y // py / qy f 2 x.
thì y y 1 y 2 là nghiệm riêng của phương trình (41).
Chúng minh. Thay y y 1 y 2 vào vế trái của (41), ta có y y 1 y 2 là nghiệm của phương
trình (41), bởi vì
Ly Ly 1 y 2 Ly 1 Ly 2
f 1 x f 2 x.
Chú thích. Định lý vẫn đúng nếu vế phải của phưong trình là tổng của một số hữu hạn các
hàm. Sau đây chúng ta đưa ra một phương pháp để tìm nghiệm riêng của phương trình không
thuần nhất (30) khi vế phải fx có một số dạng đ ặc biệt. Đó là phương pháp hệ số bất định. Ta
xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. fx e x P n x, trong đó là số thực, P n x là đa thức bậc n.
a) Nếu không là nghiệm của phương trình đặc trưng (40), thì ta tìm nghiệm riêng y r theo
dạng
y r e x Q n x, với Q n x là đa thức bậc n với n 1 hệ số chưa biết.
Để tìm các hệ số chưa biết, ta thay y r vào phương trình (30) rồi đ ồng nhất các hệ số của các
lũy thừa cùng bậc của x ở hai vế ta sẽ được một hệ n 1 phương trình bậc nhất với n 1 ẩn
là các hệ số của đa thức Q n x.
b) Nếu là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (40), thì ta tìm nghiệm riêng y r theo dạng
y r xe x Q n x, với Q n x là đa thức bậc n.
c) Nếu là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (40), thì ta tìm nghiệm riêng y r theo dạng
y r x 2 e x Q n x, với Q n x là đa thức bậc n.
Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y // y / 2y 4x 2 .
114
Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y // y / 2y 0.
Phương trình đặc trưng của nó là
k 2 k 2 0.
Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt là k 1 1, k 2 2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y tq C 1 e x C 2 e 2x , trong đó C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý. Đối chiếu với
dạng của vế phải fx 4x 2 e x P n x, ta có n 2, 0. Vì 0 không là nghiệm của
phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng y r của phương trình đã cho theo dạng
y r e 0x Q 2 x Ax 2 Bx C.
Lấy đạo hàm y /r , y // rồi thế vào phương trình đã cho
r
2A 2Ax B 2Ax 2 Bx C 4x 2 ,
hay
2Ax 2 2A 2Bx 2A B 2C 4x 2 .
Cân bằng các hệ số cùng bậc ở hai vế, ta được một hệ phương trình tuyến tính
2A 4,
2A 2B 0,
2A B 2C 0.
Giải hệ nầy, ta được A 2, B 2, C 3. Vậy
y r 2x 2 2x 3.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y y tq y r C 1 e x C 2 e 2x 2x 2 2x 3.
Ví dụ. Giải phương trình
y // y xe x 2e x .
Xét phương trình thuần nhất tương ứng
y // y 0.
Phương trình đặc trưng
k 2 1 0.
có hai nghiệm phức k 1,2 i.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y tq C 1 cos x C 2 sin x, với C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
Sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm ta tìm nghiệm riêng y r của phương trình đã cho theo
dạng tổng
yr y1 y2,
trong đó y 1 , y 2 lần lượt là các nghiệm riêng của các phương trình vi phân sau
y // y xe x ,
và y // y 2e x
115
Do 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên y 1 , y 2 có dạng
y 1 Ax Be x , y 2 Ce x .
Vậy y r có dạng
y r Ax Be x Ce x .
Lấy đạo hàm y /r , y // rồi thế vào phương trình đã cho, ta thu đ ược
r
y // y r 2Ax 2A 2Be x 2Ce x xe x 2e x .
r
Từ đó ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính
2A 1,
2A 2B 0,
2C 2.
Giải hệ nầy, ta được A 1
2
, B 1 , C 1. Vậy
2
1
yr 2
x 1e x e x ,
và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 cos x C 2 sin x 1 x 1e x e x .
2
Ví dụ. Giải phương trình
y // 3y / 2y e x 3 4x.
Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng
k 2 3k 2 0
có hai nghiệm thực phân biệt là k 1 1, k 2 2.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho là
y tq C 1 e x C 2 e 2x , trong đ ó C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý.
Đối chiếu với dạng của vế phải fx e x 3 4x e x P n x, ta có n 1, 1. Vì 1
trùng với một nghiệm của phương trình đặc trưng tìm nghiệm riêng y r được tìm của phương
trình đã có theo dạng
y r xe x Ax B e x Ax 2 Bx.
Thay vào phương trình đã cho và rút gọn, ta thu được
y // 3y /r 2y r e x 2Ax 2A B e x 4x 3,
r
hay
2Ax 2A B 4x 3. ,
Từ đó ta nhận được một hệ phương trình tuyến tính
2A 4,
2A B 3.
Do đó A 2, B 1. Vậy
y r e x 2x 2 x,
và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y C 1 e x C 2 e 2x e x 2x 2 x.
116
Trường hợp 2. fx e x P n x cos x P m x sin x, trong đó , là hằng số thực, P n x,
P m x là các đa thức bậc n, m tương ứng.
Khi đó:
a) Nếu i không là nghiệm của phương trình đặc trưng (40), thì một nghiệm riêng của
phương trình đã cho có dạng
y r e x Q s x cos x Q s x sin x,
với Q s x, Q s x là các đa thức bậc s maxn, m.
b) Nếu i là nghiệm của phương trình đặc trưng (40), thì một nghiệm riêng của phương
trình đã cho có dạng
y r xe x Q s x cos x Q s x sin x,
với Q s x, Q s x là các đa thức bậc s maxn, m.
Ví dụ. Hãy tìm một nghiệm riêng của các phương trình
y // 2y / 3y fx
với fx là các hàm số sau:
a 2 cos 3x
b 3xe x
c x 1 cos x
d 3xe x sin x e x cos x.
Giải.
Phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng
k 2 2k 3 0
có hai nghiệm thực phân biệt là k 1 1, k 2 3.
a) 0, 3, n m 0. Vậy i 3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng,
nên ta tìm một nghiệm riêng theo dạng
y r A cos 3x B sin 3x.
Thay vào phương trình đã cho, ta được sau khi rút gọn
y // 2y /r 3y r 12A 6B cos 3x 6A 12B sin 3x 2 cos 3x.
r
Cân bằng các hệ số hai vế của phương trình ta được hệ
12A 6B 2,
6A 12B 0.
Suy ra A 2 , B 15 . Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là
15
1
2 1
yr 15
cos 3x 15
sin 3x.
b) 1, n 1.(trường hợp 1). Vì 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, nên ta
tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng
y r xAx Be x Ax 2 Bxe x .
Thay vào phương trình đã cho, sau khi rút gọn, ta được
y // 2y /r 3y r e x 8Ax 2A 4B 3xe x .
r
117
Suy ra
8Ax 2A 4B 3x.
Ta thu được hệ
8A 3,
2A 4B 0.
Giải ra ta được A 3 , B 3 . Vậy một nghiệm riêng của phương trình đã cho là
8 16
yr 3 x2
8
3
16
xe x .
c) 0, 1, n 1, m 0. Vậy i i không là nghiệm của phương trình đặc trưng,
nên ta tìm một nghiệm riêng dưới dạng
y r Ax B cos x Cx D sin x.
Thay vào phương trình đã cho, sau khi rút gọn, ta có
4A 2Cx 2A 4B 2C 2D cos x
2A 4Cx 2A 2B 2C 3D sin x
x 1 cos x.
Cân bằng các hệ số hai vế của phương trình ta được hệ
4A 2C 1,
2A 4B 2C 2D 1,
2A 4C 0,
2A 2B 2C 3D 0.
Giải hệ nầy ta được A 1
5
, B 3 , C 10 , D 10 . Vậy một nghiệm riêng của phương
20
1 3
trình đã cho là
3 3
y r 1 x
5 20
1
cos x 10 x 10
sin x.
d) 1, 1, n 0, m 1. Vậy i 1 i không là nghiệm của phương trình đặc
trưng, nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng
y r e x Ax B cos x Cx D sin x.
Giải tương tự như trên. Phần còn lại dành cho bạn đọc.
118
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
1. Thưc hiện các phép tính
1/ 3 4i 1 2i
34i
2/ 12i
1i
3/ 1i
4/ 1 i 3 3
5/ i 1721
6/ 1 i 3442 .
2. Tìm môđun của các số phức sau
1/ 1 i 3 i
1i
2/
3 i
1i3i2i
3/ i34i5i
4/ i 3i1i
34i 5
5/ 34i
34i1i 4
6/ 34i
xiy n
7/ xiy
, n .
3. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, dạng mũ
1/ 1i
2/ 1i 3
1i 3 3
3/ 1i
4/ 3 i 4 1 i.
4. Tính căn các số phức sau
1/ 3
1
2/ 4
1
3/ 3
2 2i .
5. Giải các phương trình
1/ z 2 1 i
2/ 4z 2 4z i 0
3/ z4 2 3 z2 4 0
4/ z 4 z 3 z 2 z 1 0.
6. Giải các phương trình vi phân tách biến
1/ tgydx x ln xdy 0
2/ cos xy / y
4y 2 3y2
3/ 2
x1 y /
x 4x13
4/ y / a cos y b (b a 0)
5/ y / y 2 3y 4 0
6/ y / cosay bx
1
7/ y / 2xy
8/ y / x y 1
119
9/ y / 2x y 3
xy1
10/ y / xy2
11/ y / siny x 1
12/ x 2 y 3 5dx x 3 5y 2 dy 0, thỏa y0 1
13/ 1 e 2x y 2 dy e x dx, thỏa y0 0
14/ xydx 1 y 2 1 x 2 dy 0, thỏa y 8 1
3x3y1
15/ y / 2xy , thỏa y0 2
16/ y / tgx y, thỏa y 1.
2
7. Giải các phương trình vi phân đ ẳng cấp cấp 1
y
1/ xy / x sin x y
y
2/ xy / xtg x y
3/ x 2 y / y 2 xy x 2 0
4/ x 2ydx xdy 0
5/ x 2 xydy y 2 dx 0
6/ xydy y 2 dx x y 2 e y/x dx
7/ x 2 xyy / x x 2 y 2 xy y 2
y
8/ xy / y ln x , thỏa y1 1
9/ xy xdy ydx 0, thỏa y1 1
10/ y x 2 y 2 dx xdy 0, thỏa y1 0.
8. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 sau
1/ y / ay e bx , (a b 0)
2/ y / 2xy 1 2x 2
3/ y / 1 2y xe x 2e x
x
4/ x1 x 2 y / y arctgx.
9. Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 sau
1/ y / y cos x sin x cos x, thỏa y0 0
2/ y / 1 x 2 y arcsin x, thỏa y0 0
3/ y / n y xan , thỏa y1 0
x
4/ y 2y e x x, thỏa y0 1
/
4
y
5/ y / 2y ln yyx , thỏa y1 1.
10. Giải các phương trình vi phân Bernoulli sau
xy
1/ y / 1x 2 x y
2/ xy / y2y ln x 1 0
y
3/ y / x x 2 y 4
4/ y / 2ytgx y 2 sin 2 x 0
5/ y / yy 3 cos x tgx
6/ x 2 y 2 y / xy 3 1.
11. Tìm nghiệm riêng của các phương trình vi phân Bernoulli sau
3x 2 y
1/ y / x 3 1 y 2 x 3 1 sin x, thỏa y0 1
2/ 3dy 1 3y 3 y sin xdx 0, thỏa y 1
2
3/ y 2 2y x 2 y / 2x 0, thỏa y1 0
4/ ydx x 1 x 3 ydy 0, thỏa y 1 1
2 2
12. Giải các phương trình vi phân dạng y // fx sau
120
1/ y // x 2 xe x 1
2/ y // 2 sin x cos 2 x sin 2 x
3/ y // xe x , thỏa y0 1, y / 0 1.
13. Giải các phương trình vi phân dạng y // fx, y /
y/
1/ xy // y / ln x
y/
2/ y // x1 xx 1, thỏa y2 1, y / 2 1.
y/
3/ y // x x
2
4/ y // y / .
14. Giải các phương trình vi phân dạng y // fy, y /
2
1/ yy // y / 0, thỏa y0 1, y / 0 2
2
2/ 1 y / yy //
2
3/ yy // y / y 2 ln y
2
4/ y // cos y y / sin y y / 0, thỏa y1 , y / 1 2.
6
5/ yy // y / y / 1.
15. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Giải các phương trình vi phân thuần
nhất sau
1/ y // 5y / 6y 0
2/ y // 4y / 4y 0
3/ y // 4y 0
4/ y // 2y / y 0
5/ y // y 0
6/ 4y // 20y / 25y 0.
15. Giải các phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất sau
1/ y // 4y / 12x 2 6x 4
2/ y // 4y / 3y e 5x , thỏa y0 3, y / 0 9
3/ y // 9y / 20y x 2 e 4x
4/ y // y 2 sin x 4 cos x
5/ y // 4y e x 4x 4 cos x 2x 6 sin x
6/ y // y cos x cos 2x
7/ y // 3y / e 3x 18x
8/ y // y x cos 2 x
9/ y // 4y sin 2x 1, thỏa y0 1 , y / 0 0
4
10/ y // 6y / 9y xe x , ( là hằng số)
11/ y // m 1y / my e x x 1, ( m là hằng số)
12/ y // 2y / 2y e x sin x
13/ y // 3y / 2y 3x 5 sin 2x.
121
CHƯƠNG 5. LÝ THUYẾT CHUỖI
§1. Khái niệm về chuỗi số
1.1. Định nghĩa. Cho dãy số thực u n , n , từ đó ta thiết lập một dãy số mới S n , n
như sau
n
S n u k u 1 u 2 . . . u n , n 1, 2, . .
k1
Nếu ta khảo sát sự hội tụ của dãy số S n thì ta gọi u n là một chuỗi số. Tuy nhiên, cùng một
ký hiệu u n mà chỉ hai khái niệm dãy và chuỗi dễ gây nhầm lẫn, cho nên người ta sẽ dùng
một trong các ký hiệu sau đây để chỉ chuỗi số:
u n , hay u 1 u 2 . . . u n . . . , hay u 1 u 2 . . . ,
n1
hay đơn giản hơn ta ký hiệu u n .
Nếu dãy số S n hội tụ ta nói chuỗi số u n hội tụ. Khi đó S lim S n được gọi là tổng của
n
chuỗi số u n . Ta dùng một trong ba ký hiệu đầu tiên của chuỗi số để chỉ tổng của chuỗi số,
tức là
u n S, hay u 1 u 2 . . . u n . . . S, hay u 1 u 2 . . . S.
n1
Chuỗi số không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Về tên gọi thì u n được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát và tổng hữu hạn
n
S n u k u 1 u 2 . . . u n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi u n .
k1 n1
1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ
Định lý. Nếu chuỗi u n hội tụ thì lim u n 0.
n
Chứng minh. Do u n hội tụ, nên S n S, do đó S n1 S. Vậy u n S n S n1 S S 0.
Chú thích. Từ điều kiện cần nầy ta suy ra một hệ quả rất thông dụng để chứng minh một chuỗi
số phân kỳ sau
Hệ quả. Nếu u n 0 thì chuỗi u n phân kỳ.
Ví dụ. Chuỗi cấp số nhân q n , q .
Ta có
q1q n
n , nếu q 1,
S n q k q q 2 . . . q n 1q
k1 n, nếu q 1.
q1q n q
- Nếu |q| 1, thì q n 0. Do đó S n 1q 1q
và như vậy chuỗi q n hội tụ và có tổng
là
q
S lim S n 1q .
n
122
- Nếu |q| 1, thì q n 0 và theo hệ quả trên ta có chuỗi q n phân kỳ.
Tóm lại:
hội tụ, nếu |q| 1,
Chuỗi q n
phân kỳ, nếu |q| 1.
q
Hơn nữa nếu |q| 1, tổng của chuỗi cho bởi q n 1q
.
n1
Ví dụ. Tính tổng của chuỗi 1
nn1
.
n1
Ta có
n
Sn 1
kk1
1
1.2
1
2.3
1
. . . nn1
k1
1 1
1
2
1
2
1
3
. . . 1
n
1
n1
1
1 n1 1, khi n .
Vậy chuỗi 1
nn1
hội tụ và có tổng 1
nn1
1.
n1 n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi ln1 1
n .
n1
Ta có
n n
S n ln1 1
k
ln1 k ln k
k1 k1
ln 2 ln 1 ln 3 ln 2 . . . lnn 1 ln n
lnn 1 , khi n .
Vậy chuỗi ln1 1
n phân kỳ.
n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi 1
n
.
n1
Ta có
n
Sn 1
1
1
. . . 1
n
n 1
n
n
k 1 2
k1
Vậy chuỗi 1
n
phân kỳ.
n1
Ví dụ. Chuỗi n phân kỳ, vì u n n 0.
n1
Ví dụ. Chuỗi n
n1
phân kỳ, vì u n n
n1
1 0.
n1
123
Ví dụ. Chuỗi 1 n phân kỳ, vì u n 1 n 0, ( chú ý là lim 1 n không tồn tại).
n
n1
1.3. Các tính chất của chuỗi số hội tụ
Định lý. a) Cho các chuỗi u n , v n hội tụ và có tổng lần lượt là u, v. Cho C là một hằng
số. Khi đó các chuỗi u n v n , Cu n cũng hội tụ và có tổng lần lượt là u v, Cv.
b) Nếu chuỗi u n hội tụ và v n phân kỳ, thì chuỗi u n v n phân kỳ.
n n
Chứng minh. a) Đặt S n u k , t n v k , theo giả thiết ta có S n u, t n v. Do đó,
k1 k1
n
u k v k S n t n u v.
k1
Vậy chuỗi u n v n hội tụ và có tổng u v. Tương tự, ta cũng kết luận phần còn lại nhờ vào
n
Cu k CS n Cu.
k1
b) Giả sử chuỗi u n hội tụ và v n phân kỳ, ta cũng kết luận chuỗi u n v n phân kỳ.
Thật vậy, nếu chuỗi u n v n hội tụ, ta có tổng của chuỗi nầy với một chuỗi hội tụ u n
là chuỗi sau đây
u n v n u n v n cũng là một chuỗi hội tụ. Điều nầy mâu thuẫn với giả thiết
rằng chuỗi v n phân kỳ. Vậy chuỗi u n v n phân kỳ. Lý luận tương tự, ta cũng có chuỗi
u n v n phân kỳ.
Định nghĩa. Chuỗi số
R n u m u n1 u n2 . . . ,
mn1
được gọi là chuỗi số dư của chuỗi u n .
n1
Định lý. Chuỗi u n hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số dư của nó hội tụ.
n1
k
Chứng minh. Giả sử chuỗi u n hội tụ và có tổng là S. Đặt S /k u k là tổng riêng thứ k
n1 mn1
của chuỗi dư u m . ( với n cố định).Vậy
mn1
k
S /k u k u n1 u n2 . . . u nk S nk S n S S n , khi k .
mn1
Vậy chuỗi số dư u m hội tụ và và có tổng là S / S S n .
mn1
Ngược lại, nếu chuỗi dư u m hội tụ và và có tổng là S / . Với m n, ta có
mn1
S /mn S m S n , suy ra S m S n S /mn .
124
Do đó
lim S m S n lim S /mn S n S /
m m
Vậy chuỗi u n hội tụ và và có tổng là S n S / .
n1
Hệ quả. Tính chất hội tụ của chuỗi số không thay đổi nếu ta bỏ đi hoặc thêm vào một số hữu
hạn các số hạng đầu tiên.
§2. Chuỗi số dương
2.1. Định nghĩa. Chuỗi số u n , được gọi là chuỗi số không âm nếu u n 0 n .
n1
Chuỗi số u n , được gọi là chuỗi số dương nếu u n 0 n .
n1
Xét chuỗi số không âm u n , u n 0. Vì S n1 S n u n S n nến dãy các tổng riêng S n
n1
không giảm nên nó có giới hạn khi và chỉ khi nó bí chận trên, nghĩa là tồn tại số thực M sao
cho S n M n .
2.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
2.2.1. Tiêu chuẩn so sánh 1
Định lý. Cho hai chuỗi u n , v n thỏa điều kiện
n 0 : 0 u n v n n n 0 .
Khi đó
a) Nếu chuỗi v n hội tụ thì chuỗi u n hội tụ.
b) Nếu chuỗi u n phân kỳ thì chuỗi v n phân kỳ.
Chứng minh. Không làm giảm tính tổng quát, có thể giả sử
0 u n v n n .
Gọi S n và S /n lần lượt là các tổng riêng của các chuỗi u n , v n . Ta có
n n
S n u k v k S /n .
k1 k1
Nếu S /n
hội tụ thì S /n
bị chận trên, nên S n cũng bị chận trên. Vậy S n hội tụ và do đó
phần a) được chứng minh. Phần b) được suy ra trực tiếp từ phần a).
2.2.2. Tiêu chuẩn so sánh 2
Định lý. Cho hai chuỗi dương u n , v n . Giả sử
un
K lim vn , (0 K ).
n
Khi đó có ba trường hợp:
a) 0 K : Hai chuỗi u n và v n có cùng tính chất, nghĩa là, đ ồng thời hội tụ hoặc
đồng thời phân kỳ. b) K 0 : Nếu v n hội tụ thì u n hội tụ.
c) K : Nếu v n phân kỳ thì u n phân kỳ.
125
Chứng minh. Không làm giảm tính tổng quát, có thể giả sử
a) 0 K : Chọn 0 K và vì K lim un , nên tồn tại n 0 sao cho
v
n
n
un
n n 0 | vn K| .
Do đó
K v n u n K v n n n 0 .
Từ đây ta có kết luận a) nhờ vào tiêu chuẩn so sánh 1.
b) K 0 : Vì lim un 0 nên nên tồn tại n 0 sao cho
v
n
n
n n 0 | un 0| 1.
v
n
Do đó
0 u n v n n n 0 .
Áp dụng tiêu chuẩn so sánh 1 ta có u n hội tụ nếu như chuỗi v n hội tụ.
v
c) K : Ta có giới hạn nghịch đảo lim un lim1un 0.
n
n n
vn
Áp dụng lại trường hợp b) ta có c) đúng.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hoà 1
n .
n1
ln1 1
Ta có: lim 1
n
1, mà chuỗi ln1 1
n phân kỳ ( ví dụ mục 1.1) nên chuỗi 1
n
n n
n1 n1
phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi
a 2 n sin 1
4n
b n sin 1
n2
c n n 1.
n1 n1 n1
Giải:
1 1 1 1 1
a) Ta có u n 2 n sin 4n
0 vì 0 4n
4
, n 1, 2, . . . Hơn nữa, u n 2 n sin 4n
~v n 2n
khi
n . Nhưng mà chuỗi 1
2n
hội tụ ( ví dụ mục 1.1, với q 1
2
, có |q| 1) nên chuỗi u n
n1
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2.
b) Ta có u n n sin n12 0 vì 0 n12 1, n 1, 2, . . . Hơn nữa, u n n sin 1
n2
~ 1 khi n .
n
Vậy chuỗi u n phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1
1
c) u n n n 1 0 n 2. Hơn nữa, u n n n 1 e n ln n 1~ 1 ln n
n
1
n , n 3. Vậy
chuỗi u n phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1 và 2.
2.2.3. Tiêu chuẩn tỉ số D’Alembert
Định lý. Cho chuỗi dương u n . Giả sử
u n1
lim un D, (0 D ).
n
126
Khi đó có ba trường hợp:
a) Nếu D 1, thì chuỗi u n hội tụ
b) Nếu D 1, thì chuỗi u n phân kỳ.
c) Nếu D 1, chưa có kết luận.
Chứng minh.
u n1
a) Cho D 1, chọn 0 1 D và vì lim un D, nên tồn tại n 0 sao cho
n
n n 0 | uu n D| .
n1
Do đó
u n1
0 D un D n n 0 .
Đặt D q, 0 q 1, ta được
0 uu n q 1
n1
n n 0 .
Từ các bất đẳng thức nầy ta suy ra
un u n u n1 u n 0 1
u n 0 u n1 u n2 u n 0
q. q. . . q q nn 0 1 .
nn 0 1 thừa số
u n0
Vậy 0 un q n 0 1
q n n n 0 .
u n0
Mà chuỗi q n cũng như chuỗi q n 0 1
q n hội tụ nên chuỗi u n hội tụ theo tiêu chuẩn so
sánh 1.
đây ta có kết luận a) nhờ vào tiêu chuẩn so sánh 1.
b) Cho D lim uu n 1, khi đó, tồn tại n 0 sao cho
n1
n
u n1
un 1, n n 0 ,
hay
u n1 u n 0, n n 0 .
Từ các bất đẳng thức nầy ta suy ra
u n1 u n u n 0 1 u n 0 0 n n 0 .
Do đó u n 0 khi n . Vậy chuỗi u n phân kỳ ( theo điều kiện cần để chuỗi số hội tụ).
c) Nếu D 1, chưa có kết luận trong trường hợp tổng quát. Ta xét hai ví dụ đã nêu ở trên:
u n1
- chuỗi 1
n phân kỳ nhưng un n
n1
1.
n1
u n1
- chuỗi 1
nn1
hội tụ nhưng un n
n2
1.
n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi
127
5 n n! 2
a n
2n
b 2n!
c e n n!
nn
.
n1 n1 n1
Giải:
u n1
a) Ta có un n1
2 n1
: n
2n
1
2
1 1
n 1
2
1. Vậy n
2n
hội tụ theo tiêu chuẩn
n1
D’Alembert.
u n1 5 n1 n1! 2 2n! 51 1 5 n n! 2
b) Ta có un 2n2!
n
5
4
1. Vậy 2n!
phân kỳ theo tiêu
5 n n! 2 22 1
n
n1
chuẩn D’Alembert.
e n1 n1!
c) Ta có uu n n1 n1
n1 nn
e n n!
e
1 1 n
.
n
1 u n1
Nhưng ta có 1 e, nên
n
n
1. Tuy nhiên ta có dãy 1 1 n là dãy tăng và
un n
1 1 n e, vậy
n
u n1
u n 1 và do đó u n1 u n . Suy ra u n 0 khi n . Do đó chuỗi u n phân kỳ.
2.2.4. Tiêu chuẩn căn số Cauchy
Định lý. Cho chuỗi không âm u n . Giả sử
lim n u n C, (0 C ).
n
Khi đó có ba trường hợp:
a) Nếu C 1, thì chuỗi u n hội tụ
b) Nếu C 1, thì chuỗi u n phân kỳ.
c) Nếu C 1, chưa có kết luận.
Chứng minh.
a) Cho C 1, chọn 0 1 C, vì lim n u n C, nên tồn tại n 0 sao cho
n
n n 0 n u n C .
Do đó
n u n D q 1 n n 0 ,
hay
0 u n q n n n 0 .
Nhưng chuỗi cấp số nhân q n hội tụ, vì |q| 1, do đó chuỗi u n hội tụ theo tiêu chuẩn so
sánh 1.
b) Cho C lim n u n 1, khi đ ó, tồn tại n 0 sao cho
n
n u n 1, n n 0 ,
hay
u n 1, n n 0 .
Vậy u n 0 nên chuỗi u n phân kỳ.
c) Nếu C 1, chưa có kết luận chung. Thật vậy hai chuỗi 1
n và 1
nn1
có cùng giới
n1 n1
128
hạn C lim n u n 1, nhưng chuỗi 1
n phân kỳ còn chuỗi 1
nn1
hội tụ.
n
n1 n1
Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi
n
a 2n1 ,
3n
n1
n
2n
, nếu n chẳn,
b u n , với u n 1
n1 2n
, nếu n lẻ.
Giải:
n
a) Ta có n un 3n
2n1
3
2
1. Vậy 2n1 phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy.
3n
n1
n n
2
, nếu n chẳn,
b) Ta có n un
1
2
, nếu n lẻ.
nn
Vậy 1
2
n un 2
, n .
Do đó lim n un C 1
2
1, nên chuỗi u n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.
n
Chú ý rằng chuỗi nầy không sử dụng được tiêu chuẩn D’Alembert, bởi vì
1
u n1 2n
, nếu n chẳn,
un n1
2
, nếu n lẻ,
u n1
và do đó giới hạn lim un không tồn tại.
n
2.2.5. Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin-Cauchy
Định lý. Cho hàm f : 1, liên tục, không âm và giảm trên 1, . Khi đó chuỗi số
fn và tích phân suy rộng fxdx đồng thời hội tụ hay đồng thời phân kỳ.
n1 1
Chứng minh. Do fx giảm, ta có
fk 1 fx fk, x k, k 1.
Tích phân các vế trên đoạn k, k 1, ta có
Vậy
k1
fk 1 fxdx fk.
k
Suy ra
n n n1 k1 n1
fk fxdx fxdx fk.
k2 1 k1 k k1
Từ các bất đẳng thức nầy ta có Đpcm.
129
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi điều hoà mở rộng 1
n
, trong đó là một hằng số thực(độc
n1
lập với n ).
Nếu 0, thì u n 1
n
0 nên chuỗi 1
n
phân kỳ.
n1
1
Nếu 0, thì hàm số fx x
0 liên tục, không âm và giảm trên 1, . Mặt khác, tich
phân dx
x
hội tụ khi và chỉ khi 1. Vậy chuỗi điều hoà mở rộng
1
hội tụ, nếu 1,
1
n
n1 phân kỳ, nếu 1.
Chú ý rằng nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc tiêu chuẩn Cauchy thì ta đều có D C 1
nên hai tiêu chuẩn nầy không sử dụng được cho chuỗi nầy.
Chú thích. Đôi khi ta gặp một chuỗi fn có số hạng fn tương ứng với hàm fx liên tục,
không âm và giảm trên N 0 , , lúc đó ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân dưới dạng:
fn hội tụ (tương ứng phân kỳ) fxdx hội tụ (tương ứng phân kỳ)
nN 0 N0
§3. Chuỗi số có dấu thay đổi
3.1. Chuỗi đan dấu. Định lý Leibnitz
Định nghĩa. Chuỗi số
1 n1 u n u 1 u 2 u 3 u 4 . . . ,
n1
hoặc chuỗi
1 n u n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 ,
n1
với u n 0 n , được gọi là chuỗi đan dấu. Chuỗi thứ nhất còn được gọi là chuỗi đan dấu
có số hạng đầu tiên u 1 0, còn chuỗi thứ hai đ ược gọi là chuỗi đan dấu có số hạng đầu tiên
u 1 0. Hai chuỗi nầy có cùng tính chất hội tụ và trong trường hợp nầy các tổng của chúng
đối nhau. Cho nên ta chỉ cần khảo sát một trong hai chuỗi. Từ đây về sau ta sẽ xét chuỗi thứ
nhất.
Định lý Leibnitz. Nếu dãy u n dương, giảm và hội tụ về 0, thì chuỗi đan dấu 1 n1 u n hội
n1
tụ và có tổng S thỏa mãn bất đẳng thức 0 S u 1 .
Chứng minh. Ta có:
2n
S 2n 1 k1 u k u 1 u 2 u 3 u 4 . . . u 2n1 u 2n ,
k1
mà u k u k1 0 nên S 2n là một dãy tăng. Mặt khác
S 2n u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 . . . u 2n ,
mà biểu thức trong dấu móc vuông là dương, nên
0 S 2n u 1
Vậy S 2n là một dãy tăng, và bị chặn trên nên hội tụ, giả sử S 2n S, do đó 0 S u 1 . Ta lại
130
có
S 2n1 S 2n u 2n1 S 0 S.
Từ đó ta được S n S và 0 S u 1 .
Chú thích. Thật ra ta có đánh giá 0 S u 1 thay vì 0 S u 1 . Thật vậy, từ các đẳng thức
trên ta rút ra
0 u 1 u 2 S 2n u 1 u 2 u 3
Qua giới hạn ( n ), ta được
0 u 1 u 2 S u 1 u 2 u 3 u 1 .
1 n
Ví dụ. Chuỗi n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz, vì u n 1
n dương, giảm và
n1
u n 1 0.
n
Chú thích.Chuỗi đan dấu hội tụ có chuỗi dư (thứ m) là
u m1 u m2 u m3 u m4 . . .
cũng là một chuỗi đan dấu hội tụ. Vì vậy tổng R m của nó thỏa một đánh giá
|R m | u m1 .
Bất đẳng thức nầy dùng để đ ánh giá sai số trong quá trình tính gần đúng giá trị của một chuỗi.
3.2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Định lý. Nếu chuỗi |u n | hội tụ thì chuỗi u n cũng hội tụ và các tổng của chúng thỏa mãn
n1 n1
bất đẳng thức u n |u n |.
n1 n1
Chứng minh. Ta có
0 u n |u n | 2|u n |, n .
Vậy chuỗi u n |u n | hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 1. Mặt khác chuỗi |u n | cũng hội
n1 n1
tụ, nên cộng 2 chuỗi với nhau ta thu đ ược chuỗi sau đây
u n |u n | |u n | u n .
n1 n1
Ta lại có
n n
u k |u k |, n .
k1 k1
Qua giới hạn ( n ), ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Định nghĩa. Nếu chuỗi số |u n | hội tụ thì ta nói rằng chuỗi u n hội tụ tuyệt đối.
n1 n1
Nếu chuỗi u n hội tụ sao cho chuỗi |u n | không hội tụ thì ta nói rằng chuỗi u n bán hội
n1 n1 n1
tụ.
1 n
Ví dụ. Chuỗi n là bán hội tụ.
n1
131
Chú thích. Chú ý rằng nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy cho chuỗi |u n | mà
n1
biết được chuỗi |u n | hội tụ hoặc phân kỳ thì chuỗi |u n | cũng hội tụ ( tuyệt đối) hoặc phân
n1 n1
kỳ.
Thật vậy, Nếu chuỗi |u n | hội tụ thì theo định lý trên thì chuỗi u n hội tụ tuyệt đối.
n1 n1
Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy cho chuỗi |u n | mà thấy nó phân kỳ ( D 1
n1
hoặc C 1 ), thì có nghĩa là |u n | 0. Suy ra u n 0 nên chuỗi u n phân kỳ.
n1
Người ta chứng minh được rằng:
Định lý. Nếu chuỗi số u n hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi số được suy ra từ chuỗi
n1
nầy bằng cách thay đổi vị trí một cách tùy ý các số hạng của nó cũng hội tụ tuyệt đối và có
tổng S.
Còn nếu chuỗi số u n bán hội tụ thì ta có thể thay đổi vị trí các số hạng của nó để cho chuỗi
n1
số thu được hội tụ và có tổng là một số thực cho trước hoặc trở nên phân kỳ.
Định nghĩa. Cho hai chuỗi số u n và v n . Ta gọi tích Cauchy của hai chuỗi trên là chuỗi
n1 n1
số
n
u j v nj1 .
n1 j1
Để dễ nhớ ta có thể xét bảng nhân sau
u1 u2 u3 un
v1 u1v1 u2v1 u3v1 unv1
v2 u1v2 u2v2 u3v2 unv2
v3 u1v3 u2v3 u3v3 unv3
vn u1vn u2vn u3vn unvn
n
Các số hạng thứ n bằng u j v nj1 là tổng của các số hạng nằm trên đường chéo thứ n như
j1
132
trên sơ đồ.
Định lý. (Cauchy) Cho hai chuỗi số u n và v n hội tụ tuyệt đ ối và có tổng lần lượt là u
n1 n1
và v. Khi đó chuỗi số với số hạng tổng quát u i v j i 1, j 1 theo một thứ tự bất kỳ ( trường
hợp riêng là chuỗi tích Cauchy) sẽ hội tụ tuyệt đối và có tổng uv.
§4. Chuỗi lũy thừa
4.1. Định nghĩa. Định lý Abel
Định nghĩa. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng: a n x x 0 n , các hằng số a 0 , a 1 , a 2 , . . . được
n0
gọi là các hệ số của chuỗi, x 0 là số thực x 0 cho trước. Chuỗi nầy còn được gọi là chuỗi lũy thừa
tâm x 0 . Bằng một phép biến đổi tịnh tiến X x x 0 , chuỗi trên trở thành a n X n . Từ đ ây trở
n0
đi ta sẽ xét chuỗi lũy thừa tâm x 0 0.
anxn.
n0
Ta chú ý rằng chuỗi nầy luôn luôn hội tụ tại x 0.
Định lý (Abel). Nếu chuỗi lũy thừa a n x n hội tụ tại x 0 0, thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi
n0
điểm x |x 0 |, |x 0 |.
Chứng minh.Vì a n x n hội tụ tại nên a n x n 0 ( n ), nên dãy a n x n bị chận. Do đó
0 0 0
n0
tồn tại một hằng số dương sao cho
|a n x n | M, n .
0
Cho x |x 0 |, |x 0 |, ta có
|x| n |x| n
|a n x n | |a n x n |
0 |x 0 |
M |x 0 |
Mq n , n .
|x|
Vì chuỗi Mq hội tụ, vì q
n
|x 0 |
1, với x |x 0 |, |x 0 |, do đó chuỗi |a n x n | hội tụ
n0 n0
(tiêu chuẩn so sánh) tức là chuỗi a n x hội tụ tuyệt đối. n
n0
Hệ quả. Nếu chuỗi a n x phân kỳ tại x 1 , thì nó phân kỳ tại mọi điểm x sao cho |x| |x 1 |.
n
n0
Thật vậy, nếu chuỗi a n x n hội tụ tại một điểm x / sao cho |x / | |x 1 | thì theo định lý Abel nó
n0
phải hội tụ tại x 1 , mà điều nầy trái với giả thiết.
Như vậy đối với chuỗi lũy thừa a n x n ta có ba trường hợp sau:
n0
a) Chuỗi a n x chỉ hội tụ tại x 0.
n
n0
Ví dụ: Chuỗi n n x n chỉ hội tụ tại x 0. Thật vậy, Với mọi x 0, thì
n0
133
lim n |n n x n | lim n|x| 1.
n n
Suy ra chuỗi phân kỳ.
b) Chuỗi a n x n hội tụ tại x .
n0
Ví dụ. Chuỗi xn
n!
hội tụ tại x . Thật vậy, ta có
n0
x n1 |x n | |x|
lim n1!
: n!
lim n1
0 1 với mọi x .
n n
Chuỗi xn
n!
hội tụ theo tiêu chuẩn A’Alembert, và do đó hội tụ.
n0
c) Tồn tại số thực R 0 sao cho chuỗi a n x n hội tụ tuyệt đối tại mọi x R, R và phân kỳ
n0
tại mọi x, |x| R.
4.2. Bán kính hội tụ và miền hội tụ
Định nghĩa. Số thực R 0 sao cho chuỗi a n x n hội tụ tuyệt đối tại mọi x R, R và
n0
phân kỳ tại mọi x, |x| R, được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n . Khoảng
n0
R, R được gọi là khoảng hội tụ. Nếu chuỗi n x phân kỳ tại mọi x 0, thì ta gọi bán n n
n0
kính hội tụ R 0.
Nếu chuỗi n n x n hội tụ tại mọi x , thì ta gọi bán kính hội tụ R
n0
Ví dụ. Nếu chuỗi cấp số nhân x n có bán kính hội tụ R 1.
n0
Chú thích. Tại x R chuỗi a n x n có thể hội tụ hoặc phân kỳ.
n0
Định lý. Giả sử tồn tại giới hạn
|a n1 |
lim |a n |
, (0 ).
n
Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n cho bởi công thức
n0
1
, nếu 0 ,
R 0, nếu ,
, nếu 0.
Chứng minh. Xét chuỗi |a n x n |, ta có
n0
a n1 x n1 |a n1 |
lim |a n x n |
lim |a n |
|x| |x|.
n n
Nếu 0 . Khi đó chuỗi |a n x n | hội tụ nếu |x| 1 hay |x| 1/, và phân kỳ nếu
n0
134
|x| 1 hay |x| 1/. Vậy R 1/.
Nếu , thì |x| 1, với mọi x 0. Khi đó chuỗi |a n x n | phân kỳ tại mọi
n0
x 0, và chuỗi a n x cũng vậy. Do đó R 0.
n
n0
Nếu 0, thì |x| 0 1, với mọi x . Khi đó chuỗi |a n x n | hội tụ tại mọi x ,
n0
và chuỗi a n x cũng vậy. Vậy R 0.
n
n0
Định lý (Cauchy- Hadamard). Giả sử tồn tại giới hạn
lim n |a n | , (0 ).
n
Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n cho bởi công thức
n0
1
, nếu 0 ,
R 0, nếu ,
, nếu 0.
Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi |a n x n |.
n0
|a n |
Chú thích. Nếu tồn tại giới hạn lim |a n1 |
thì giới hạn đó chính là bán kính hội tụ của chuỗi
n
lũy thừa a n x .
n
n0
Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa
x2 n
a xn
n b n23n
n0 n0
a) Bán kính hội tụ R lim 1 :
n
1
n1
1. Khoảng hội tụ là 1 x 1.
n
1 n
Tại x 1, ta có chuỗi n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
n0
Tại x 1, ta có chuỗi 1
n phân kỳ.
n0
Vậy miền hội tụ của chuỗi xn
n là 1, 1.
n0
a) Đặt X x 2, ta có xét chuỗi mới Xn
n23n
anXn
n0 n0
|a n | 1 1 1
Bán kính hội tụ R lim |a n1 |
lim n23n
: n1 2 3 n1
lim 31 n 2 3. Khoảng hội tụ
n n n
là 3 X 3.
1 n
Tại X 3, ta có chuỗi n2
hội tụ tuyệt đ ối.
n0
135
Tại X 3, ta có chuỗi 1
n2
hội tụ.
n0
x2 n
Vậy miền hội tụ của chuỗi Xn
n23n
là 3, 3. Suy ra miền hội tụ của chuỗi n23n
là:
n0 n0
3 x 2 3 hay 5 x 1.
136
BÀI TẬP CHƯƠNG V
1. Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi số
1/ 1 3 5 7 . . .
2 4 6 8
2/ 1 4 7 10 . . .
2 4 8 16
2 43
3/ 2 3 2 11 3 . . .
3 7
4/ 10 100 1000 10000 . . .
7 9 11 13
22 23 24
5/ 2 1.2 1.2.3 1.2.3.4 . . .
1
2. Tìm tổng riêng và tổng (nếu có) của các chuỗi số
1/ 1
4n 2 1
n1
2/ 3n 2 3n1
n 3 n1 3
n1
1 n
3/ 3n
n0
21 n
4/ 3n
.
n0
3. Chứng minh các chuỗi sau phân kỳ
1/ n1
3n2
n1
2/ sin n
n1
3/ n sin 2n
n1
4/ n
ln 2 n
.
n2
4. Dùng các tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của các chuỗi số
1/ n
n 2 2
n1
2/ 1
nn1
n1
2
3/ 1n
1n 2
n1
n1 n1
4/ n 3/4
n1
n
5/ 1
n2
1n
n
n1
6/ n2 1 n , ( )
n1
137
7/ 1
4.2 n 3
n1
8/ 1
ln n
n2
9/ 2 n 1
5 n 1
n1
10/ ln n
n
n2
11/ ln1 1
n2
n1
12/ 1
n
ln n1
n1
n2
13/ ln n1
n 5 n
n2
14/ 1 cos 1
n
n1
15/ 1
n sin 1
n
n1
16/ 1cos n
n2
n1
17/ 2 n 3 n
4 n 2n
.
n1
5. Dùng các tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy, xét sự hội tụ của các chuỗi số
1/ n 5 5
2n
n1
3n1!
2/ 8nn2
n1
1.3.5...2n1
3/ 2 2n n1!
n1
3 n n! 2
4/ 2n!
n1
nn1
5/ n1
n1
n2
7 n n! 2
6/ n 2n
n1
2n
7/ n n
4n3
n1
n
8/ 2n1
n
n1
n2
9/ 1
2n
1 1
n
n1
138
n
10/ 2n 2 2n1
5n 2 2n1
.
n1
6. Dùng các tiêu chuẩn tích phân đ ể xét sự hội tụ của các chuỗi số
ln1/n
1/ n2
n2
2/ 1
n ln nln ln n 2
n3
3/ 1
.
nln n
n2
7. Xét sự hội tụ của các chuỗi số đan dấu sau
1 n1
1/
2n1
n1
1 n1 2 2 n1
n1
2/
n1
3/ 1 n1 n1
n 2 n1
n1
1 n
4/ ln n
n2
5/ 1 n 1.3.5...2n1
n!
n1
6/ 1 n ln n1
n
n1
7/ 1 n ln n
n
n1
8/ 1 n tg 1 sin
n
1
n
n1
9/ 1 n n2
2n
n1
1 n
10/ 1
ncos
n1 n
n2
11/ 1 n 2n!
n1
n
12/ 1 n 2n1
3n2
.
n1
8. Xét sự hội tụ, hội tụ tuyệt đối của các chuỗi số sau
1/ n1
1 n n n
n1
n
2/ 1 n1 n
3n1
n1
3/ 1 n n1
2n 2 5
n1
139
4/ cos n
n2
n1
5/ cos n 2
2n
.
n1
9. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau
1 n x n
1/ 6n8
n1
2/ x 2n
n9 n
n1
3/ 2 n x 1 n
2
n1
2
x1 n
4/ n2
n1
x1 n
5/ 2n1!
n1
6/ 5nxn
n!
n1
7/ xn
2 n 3 n
n1
8/ 2 n x n
2
n1
x4 n
9/ n
n1
1 n1
10/ n2 n
xn
n1
n
11/ 2n1 x 2 2n
n1
n1
12/ 1
n24n
x 5 2n1 .
n1
140
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Đình Trí, (chủ biên), Toán học Cao cấp, Tập II, NXB Giáo dục, 1993.
2. Nguyễn Đình Trí, (chủ biên), Toán học Cao cấp, Tập III, NXB Giáo dục, 1993.
3. Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Toán Cao cấp, Giải tích hàm một biến, (Toán 1), NXB ĐHQG
Tp.HCM, 2002.
4. Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Toán Cao cấp, Giải tích hàm nhiều biến, (Toán 3), NXB
ĐHQG Tp.HCM, 2003.
5. Đỗ Công Khanh, (chủ biên), Toán Cao cấp, Chuỗi và Phương trình vi phân, (Toán 4), NXB
ĐHQG Tp.HCM, 2003.
6. Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải
tích- Hàm một biến, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002.
7. Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình Giải
tích- Hàm nhiều biến, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2002.
8. Robert A. Adams, Calculus, A complete course, 1990.
141
MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu 0
I CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1
§1 Khái niệm về hàm số 1
1.1 Định nghĩa 1
1.2 Các hàm số sơ cấp cơ bản 2
§2 Giới hạn của dãy số thực 6
2.1 Định nghĩa dãy số, giới hạn của dãy số 6
2.2 Các tính chất và các phép tính về giới hạn của dãy số 7
§3 Giới hạn của hàm số 9
3.1 Các định nghĩa giới hạn 9
3.2 Các tính chất của hàm số có giới hạn 10
3.3 Các phép toán giới hạn của hàm số 10
3.4 Các giới hạn cơ bản 11
§4 Vô cùng bé (VCB) và vô cùng lớn (CVL) 11
4.1 Vô cùng bé 11
4.1.1 Định nghĩa 11
4.1.2 So sánh các vô cùng bé 12
4.1.3 Khử dạng vô định 12
4.2 Vô cùng lớn 13
4.2.1 Định nghĩa 13
4.2.2 Liên hệ giữa VCB và VCL 13
4.2.3 So sánh các vô cùng lớn 13
4.2.4 Khử dạng vô định
, , 0 . 14
§5 Hàm số liên tục 14
5.1 Các định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm 15
5.2 Định nghĩa trong khoảng, trên đoạn 15
5.3 Các phép toán trên các hàm số liên tục tại một điểm 15
5.4 Điểm gián đoạn. Phân loại 15
5.5 Tính liên tục của các hàm sơ cấp 16
142
Trang
5.6 Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn 17
§6 Đạo hàm 19
6.1 Các khái niệm đạo hàm 19
6.1.1 Các định nghĩa 19
6.1.2 Ý nghĩa của đạo hàm 19
6.1.3 Liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục 20
6.2 Các qui tắc tính đạo hàm 21
6.3 Bảng các đạo hàm cơ bản 22
6.4 Đạo hàm cấp cao 23
§7 Vi phân 24
7.1 Định nghĩa vi phân 24
7.2 Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 24
7.3 Tính bất biến của biểu thức vi phân 15
7.4 Các qui tắc tính vi phân 25
7.5 Vi phân cấp cao 25
7.6 Các định lý về giá trị trung bình 25
§8 Một số ứng dụng của đạo hàn và vi phân 27
8.1 Qui tắc L’Hopital 27
8.2 Tính gần đúng 30
BÀI TẬP CHƯƠNG I 31
II CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 35
§1 Các khái niệm 35
1.1 Miền phẳng 35
1.2 Định nghĩa hàm hai biến 36
1.3 Biểu diễn hình học 36
§2 Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 37
2.1 Định nghĩa 37
2.2 Định lý 39
§3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 40
143
Trang
3.1 Đạo hàm riêng cấp một, cấp cao, đạo hàm của hàm hợp 40
3.2 Vi phân riêng, vi phân toàn phần 40
3.3 Ứng dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng 44
§4 Cực trị của hàm hai biến 45
4.1 Cực trị không điều kiện( cực trị tự do) 45
4.1.1 Định nghĩa 45
4.1.2 Qui tắc tìm cực trị không điều kiện 45
4.2 Cực trị có điều kiện( cực trị ràng buộc) 46
4.2.1 Định nghĩa 46
4.2.2 Các phương pháp tìm cực trị có điều kiện 47
4.3 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên một miền đóng và bị chận 50
BÀI TẬP CHƯƠNG II 52
III CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 55
§1 Tích phân bất định 55
1.1 Nguyên hàm 55
1.1.1 Định nghĩa 55
1.1.2 Định lý 55
1.2 Định nghĩa và tính chất của tích phân bất định 55
1.2.1 Định nghĩa 55
1.2.2 Các tính chất của tích phân bất định 55
1.3 Bảng các tính phân cơ bản 56
1.4 Hai phương pháp tính tích phân bất định 56
1.4.1 Phương pháp đổi biến số 56
1.4.2 Phương pháp tích phân từng phần 57
§2 Tích phân xác định 58
2.1 Định nghĩa 58
2.2 Các tính chất của tích phân xác đ ịnh 60
2.3 Công thức Newton-Leibnitz 61
2.4 Hai phương pháp tính tích phân xác định 64
144
Trang
2.4.1 Phương pháp đổi biến số 64
2.4.2 Phương pháp tích phân từng phần 65
2.5 Ứng dụng của tích phân xác đ ịnh 68
§3 Tích phân suy rộng 75
3.1 Tích phân suy rộng loại 1(Khoảng lấy tích phân là vô hạn) 75
3.1.1 Định nghĩa 75
3.1.2 Phương pháp tính. Công thức Newton-Leibnitz mở rộng 76
3.1.3 Tích phân các hàm không âm. Các định lý so sánh 77
3.1.4 Hội tụ tuyệt đối 79
3.2 Tích phân suy rộng loại 2(Hàm dưới dấu tích phân không bị chận) 79
3.2.1 Định nghĩa. 79
3.2.2 Công thức Newton-Leibnitz mở rộng 81
3.2.3 Tích phân các hàm không âm. Các định lý so sánh 81
3.2.4 Hội tụ tuyệt đối 82
BÀI TẬP CHƯƠNG III 83
IV CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 89
§1 Bổ túc về số phức 89
1.1 Các định nghĩa 89
1.2 Biểu diễn hình học và dạng đ ại số, lượng giác, mũ của số phức 89
1.3 Các phép tính về số phức 90
§2 Phương trình vi phân cấp 1 94
2.1 Các khái niệm chung 94
2.1.1 Định nghĩa 94
2.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 94
2.1.3 Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát 94
2.2 Phương trình vi phân cấp 1 tách biến 95
2.2.1 Định nghĩa 95
2.2.3 Cách giải 95
145
Trang
2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 97
2.3.1 Định nghĩa 97
2.3.2 Cách giải 97
2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 99
2.4.1 Định nghĩa 99
2.4.2 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 99
2.4.3 Phương pháp Bernuoulli 101
2.4.4 Phương pháp thừa số tích phân 102
2.5 Phương trình vi phân Bernuoulli 102
2.5.1 Định nghĩa 102
2.5.2 Cách giải 103
§3 Phương trình vi phân cấp 2 104
3.1 Các khái niệm chung 104
3.1.1 Định nghĩa 104
3.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm 104
3.1.3 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 104
3.2 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 105
3.2.1 Phương trình vi phân dạng y // fx 105
3.2.2 Phương trình vi phân dạng y // fx, y / 106
3.2.3 Phương trình vi phân dạng y // fy, y / 107
3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng 108
3.2.1 Định nghĩa 108
3.3.2 Phương trình vi phân thuần nhất 109
3.3.3 Phương trình vi phân không thuần nhất 112
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 118
V CHƯƠNG 5. LÝ THUYẾT CHUỖI 121
§1 Khái niệm về chuỗi số 121
1.1 Định nghĩa 121
1.2 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ 121
146
Trang
1.3 Các tính chất của chuỗi số hội tụ 123
§2 Chuỗi số dương 124
2.1 Định nghĩa 124
2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 124
2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh 1 124
2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh 2 124
2.2.3 Tiêu chuẩn tỉ số D’Alembert 125
2.2.4 Tiêu chuẩn căn số Cauchy 127
2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin-Cauchy 128
§3 Chuỗi số có dấu thay đổi 129
3.1 Chuỗi đan dấu. Định lý Leibnitz 129
3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 130
§4 Chuỗi lũy thừa 132
4.1 Định nghĩa, định lý Abel 132
4.2 Bán kính hội tụ và miền hội tụ 133
BÀI TẬP CHƯƠNG V 136
TÀI LIỆU THAM KHẢO 140
MỤC LỤC 141
![](images/graphics/blank.gif)
![](images/graphics/blank.gif)
## Top Download Toán Học
-
63p
1736
504
-
[Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cô-si](http://tailieu.vn/doc/ky-thuat-su-dung-bat-dang-thuc-co-si-169311.html)
26p
4087
1943
-
-
[Sách hướng dẫn học toán cao cấp A1 - TS. Vũ Gia Tê](http://tailieu.vn/doc/sach-huong-dan-hoc-toan-cao-cap-a1-ts-vu-gia-te-40403.html)
138p
21083
5537
-
[Bài giảng đại số tuyến tính - Lê Thị Nguyệt](http://tailieu.vn/doc/bai-giang-dai-so-tuyen-tinh-le-thi-nguyet-179232.html)
63p
1876
928
-
[Giáo trình toán Giải tích 1 - NXB GD](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-toan-giai-tich-1-nxb-gd-39799.html)
351p
5787
1561
-
[Giáo trình toán rời rạc - Đặng Ngọc Hoàng Thành](http://tailieu.vn/doc/giao-trinh-toan-roi-rac-dang-ngoc-hoang-thanh-1541940.html)
110p
530
333
-
[Bài giảng Hình Họa - Ths Nguyễn Độ](http://tailieu.vn/doc/bai-giang-hinh-hoa-ths-nguyen-do-183640.html)
91p
1896
559
-
-
116p
4254
2356
Tài Liệu Toán học Mới
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/khoa-hoc-tu-nhien/toan-hoc/)
Tài Liệu mới cập nhật
[Xem thêm »](http://tailieu.vn/tai-lieu/)

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Server: Apache/2.2.3 (CentOS)

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Vary: Accept-Encoding

Content-Encoding: gzip

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Connection: close