text:
Ngày 1/12, Công an thị trấn Tân Phú, huyện Đồng Phú, Bình Phước, cho hay, đã triệu tập hai học sinh để điều tra vụ tấn công gây trọng thương một giáo viên.
Vụ việc xảy ra sáng 27/11 tại khu phố Tân Liên, thị trấn Tân Phú. Hai học sinh là Trần Công Chính Nghĩa (16 tuổi, lớp 11A1, ngụ ấp 9, xã Tân Lập) và Tôn Thất Danh (18 tuổi, học sinh lớp 11A2, ngụ ấp Minh Tân, xã Tân Tiến). Cả hai cùng ngụ huyện Đồng Phú và cùng là học sinh Trung tâm Giáo dục thường xuyên huyện Đồng Phú.
Giáo viên bị tấn công là thầy Nguyễn Văn Tân (35 tuổi), dạy môn Vật lý ở Trường THPT Đồng Phú.
Theo thông tin từ cơ quan công an, Nghĩa và Danh khai nhận khoảng 6h30 ngày 27/11, cả hai đang ngồi ăn bánh mỳ ở ngã ba thuộc tổ 2, khu phố Tân Liên thì gặp thầy Nguyễn Văn Tân chạy xe máy ngang qua.
Thấy vậy, Nghĩa kêu lớn “Tân… Tân…”, thầy Tân quay lại tháo mũ bảo hiểm ra và hỏi Nghĩa cần gì. Nghĩa không trả lời mà cầm chiếc bánh mỳ đang ăn ném vào mặt thầy Tân rồi bỏ chạy. Thầy Tân đuổi theo, Nghĩa liền nhặt một cục gạch quay lại đập thẳng vào đầu thầy Tân.
Thầy Tân đang điều trị tại bệnh viện. Ảnh: Tiền Phong.
Thấy Nghĩa đánh thầy Tân, Danh ở gần đó cũng nhặt một cục gạch hỗ trợ bạn, đập vào đầu thầy Tân khiến thầy đổ máu đầu và ngã gục, bất tỉnh tại chỗ. Sau đó hai đối tượng bỏ chạy khỏi hiện trường.
Theo báo cáo của lãnh đạo Trường THPT Đồng Phú với Sở GD&ĐT Bình Phước, Nghĩa vốn có vấn đề về thần kinh. Trước đây, khi còn học tại Trường THPT Đồng Phú, Nghĩa từng gây gổ với một số người khi bị kích động. Cha mẹ Nghĩa từng đưa học sinh này đi bệnh viện điều trị nhưng vẫn chưa khỏi hẳn.
Nghĩa từng hành hung giáo viên Trường THPT Đồng Phú. Cách đây hơn một tháng, khi còn là học sinh Trường THPT Đồng Phú, Nghĩa bị thầy Đinh Kỳ Xa – giáo viên dạy văn – nhắc nhở về việc cạo trọc đầu lên lớp trông không đẹp. Ngay lập tức, Nghĩa rút kích điện trong cặp ra lao lên bục giảng tấn công nhưng thầy Xa đã kịp thoát thân. Sau sự việc này, Nghĩa được gia đình chuyển sang Trung tâm Giáo dục thường xuyên huyện Đồng Phú học.
Cũng theo cơ quan công an, sau thời gian điều trị tại bệnh viện, thầy Tân đã xuất viện nhưng chưa thể đến trường dạy học.
Theo Bùi Liêm/Tuổi Trẻ
Những tin cũ hơn
luyện thi cấp tốc tiếng anh, tin học a b c Quốc Gia | luyện thi chứng chỉ anh văn vi tính a b c quốc gia | luyện thi chứng chỉ tiếng anh, tin học trình độ a b c quốc gia | ôn thi tiếng anh, tin học trình độ a b c | luyện thi cấp tốc chứng chỉ tiếng anh - vi tính a b c tại tphcm | luyện thi cấp tốc trình độ a b c tiếng anh tin học bao đầu ra | làm bằng anh văn vi tính a b c | làm chứng chỉ tiếng anh - tin học trình độ a b c | làm bằng b1 b2 c1 c2 tiếng anh chuẩn khung tham chiếu châu âu | lằm bằng anh văn b1 b2 c1 c2 khung châu âu | luyện thi chứng chỉ tiếng anh b1 b2 c1 c2 | luyện thi anh văn b1 b2 c1 c2 cấp tốc bao đậu | vách ngăn vệ sinh | vách ngăn vệ sinh compact hpl mfc composite laminate | vách ngăn văn phòng khung nhôm bọc nỉ | vách ngăn khung nhôm | vách ngăn văn phòng khung nhôm bọc nỉ giá rẻ | bán tấm laminate
- Nhận hồ sơ thi cấp chứng chỉ Anh Văn, Tin Học bảo đảm đậu cho tất cả các học viên đăng ký tham gia kỳ thi cấp chứng chỉ anh văn, tin học của trường ĐH Ngân Hàng Tp.HCM, ĐH Sư Phạm HCM. Bên trung tâm cam kết đậu 100% cho các bạn đăng ký, nếu không đậu phía Trung tâm sẽ hoàn tiền hoặc thu xếp để thi ở khóa thi kế tiếp.
- Chứng chỉ Anh Văn chuẩn khung 6 bậc của Bộ GD-ĐT, chứng chỉ Ứng Dụng CNTT cơ bản và nâng cao, các chứng chỉ này là "PHẢI CÓ" nếu các bạn muốn dùng để bổ sung hồ sơ tốt nghiệp ra trường, dùng để nộp thi công chức, viên chức. Dùng để nâng bậc lương, mở quán net....
- Chứng chỉ này là chứng chỉ thật 100%, có hồ sơ gốc rõ ràng, lưu đầy đủ cho các bạn tại trường các bạn thi. Cho nên khi có được chứng chỉ các bạn không sợ bị kiểm tra, bị phát hiện bằng giả. Nếu sử dụng bằng giả thì các bạn biết hậu quả như thế nào rồi, nên mình khuyên các bạn không nên làm giả vì cái mất sẽ nhiều hơn cái được.
-Hãy đăng ký thi ngay bây giờ, các bạn còn chần chừ gì nữa. để đến lúc cơ chế khó lên rồi hoặc nuớc đến chân mới bắt đầu đi thi cho mình một cái chứng chỉ thì khi đó lại thêm tốn kém mà chất luợng lại không đảm bảo cho công việc.
chi tiết tham khảo tại trang web: https://chungchithibaodau.weebly.com/
học sinh giờ ghê quá

markdown:
**Ngày 1/12, Công an thị trấn Tân Phú, huyện Đồng Phú, Bình Phước, cho hay, đã triệu tập hai học sinh để điều tra vụ tấn công gây trọng thương một giáo viên.**
Vụ việc xảy ra sáng 27/11 tại khu phố Tân Liên, thị trấn Tân Phú. Hai học sinh là Trần Công Chính Nghĩa (16 tuổi, lớp 11A1, ngụ ấp 9, xã Tân Lập) và Tôn Thất Danh (18 tuổi, học sinh lớp 11A2, ngụ ấp Minh Tân, xã Tân Tiến). Cả hai cùng ngụ huyện Đồng Phú và cùng là học sinh Trung tâm Giáo dục thường xuyên huyện Đồng Phú.
Giáo viên bị tấn công là thầy Nguyễn Văn Tân (35 tuổi), dạy môn Vật lý ở Trường THPT Đồng Phú.
Theo thông tin từ cơ quan công an, Nghĩa và Danh khai nhận khoảng 6h30 ngày 27/11, cả hai đang ngồi ăn bánh mỳ ở ngã ba thuộc tổ 2, khu phố Tân Liên thì gặp thầy Nguyễn Văn Tân chạy xe máy ngang qua.
Thấy vậy, Nghĩa kêu lớn “Tân… Tân…”, thầy Tân quay lại tháo mũ bảo hiểm ra và hỏi Nghĩa cần gì. Nghĩa không trả lời mà cầm chiếc bánh mỳ đang ăn ném vào mặt thầy Tân rồi bỏ chạy. Thầy Tân đuổi theo, Nghĩa liền nhặt một cục gạch quay lại đập thẳng vào đầu thầy Tân.
Thầy Tân đang điều trị tại bệnh viện. Ảnh: Tiền Phong.
Thấy Nghĩa đánh thầy Tân, Danh ở gần đó cũng nhặt một cục gạch hỗ trợ bạn, đập vào đầu thầy Tân khiến thầy đổ máu đầu và ngã gục, bất tỉnh tại chỗ. Sau đó hai đối tượng bỏ chạy khỏi hiện trường.
Theo báo cáo của lãnh đạo Trường THPT Đồng Phú với Sở GD&ĐT Bình Phước, Nghĩa vốn có vấn đề về thần kinh. Trước đây, khi còn học tại Trường THPT Đồng Phú, Nghĩa từng gây gổ với một số người khi bị kích động. Cha mẹ Nghĩa từng đưa học sinh này đi bệnh viện điều trị nhưng vẫn chưa khỏi hẳn.
Nghĩa từng hành hung giáo viên Trường THPT Đồng Phú. Cách đây hơn một tháng, khi còn là học sinh Trường THPT Đồng Phú, Nghĩa bị thầy Đinh Kỳ Xa – giáo viên dạy văn – nhắc nhở về việc cạo trọc đầu lên lớp trông không đẹp. Ngay lập tức, Nghĩa rút kích điện trong cặp ra lao lên bục giảng tấn công nhưng thầy Xa đã kịp thoát thân. Sau sự việc này, Nghĩa được gia đình chuyển sang Trung tâm Giáo dục thường xuyên huyện Đồng Phú học.
Cũng theo cơ quan công an, sau thời gian điều trị tại bệnh viện, thầy Tân đã xuất viện nhưng chưa thể đến trường dạy học.
Theo Bùi Liêm/Tuổi Trẻ
**Những tin cũ hơn** [luyện thi cấp tốc tiếng anh, tin học a b c Quốc Gia](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [ luyện thi chứng chỉ anh văn vi tính a b c quốc gia](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [luyện thi chứng chỉ tiếng anh, tin học trình độ a b c quốc gia](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [ôn thi tiếng anh, tin học trình độ a b c](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [luyện thi cấp tốc chứng chỉ tiếng anh - vi tính a b c tại tphcm](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [luyện thi cấp tốc trình độ a b c tiếng anh tin học bao đầu ra](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [làm bằng anh văn vi tính a b c](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [làm chứng chỉ tiếng anh - tin học trình độ a b c](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/Luyen-thi-cap-toc-tieng-Anh-Tin-hoc-Quoc-gia-A-B-C-bao-dau-ra-2638.html) | [làm bằng b1 b2 c1 c2 tiếng anh chuẩn khung tham chiếu châu âu](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/on-thi-cap-toc-tieng-Anh-b1-b2-c1-c2-cua-bo-giao-duc-bao-dau-ra-uy-tin-2660.html) | [lằm bằng anh văn b1 b2 c1 c2 khung châu âu](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/on-thi-cap-toc-tieng-Anh-b1-b2-c1-c2-cua-bo-giao-duc-bao-dau-ra-uy-tin-2660.html) | [luyện thi chứng chỉ tiếng anh b1 b2 c1 c2](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/on-thi-cap-toc-tieng-Anh-b1-b2-c1-c2-cua-bo-giao-duc-bao-dau-ra-uy-tin-2660.html) | [luyện thi anh văn b1 b2 c1 c2 cấp tốc bao đậu](http://spinlet.com.vn/Goc-hoc-tap/on-thi-cap-toc-tieng-Anh-b1-b2-c1-c2-cua-bo-giao-duc-bao-dau-ra-uy-tin-2660.html) | [vách ngăn vệ sinh](http://spinlet.com.vn/Doi-tac/Thi-cong-vach-ngan-ve-sinh-Compact-HPL-MFC-Uy-tin-chat-luong-gia-re-1067.html) | [vách ngăn vệ sinh compact hpl mfc composite laminate](http://spinlet.com.vn/Doi-tac/Thi-cong-vach-ngan-ve-sinh-Compact-HPL-MFC-Uy-tin-chat-luong-gia-re-1067.html) | [vách ngăn văn phòng khung nhôm bọc nỉ](http://spinlet.com.vn/Thong-Tin-can-biet/lam-vach-ngan-van-phong-bang-ni-uy-tin-gia-re-o-dau-tai-TpHCM-53.html) | [vách ngăn khung nhôm](http://spinlet.com.vn/Thong-Tin-can-biet/lam-vach-ngan-van-phong-bang-ni-uy-tin-gia-re-o-dau-tai-TpHCM-53.html) | [vách ngăn văn phòng khung nhôm bọc nỉ giá rẻ](http://spinlet.com.vn/Doi-tac/vach-ngan-van-phong-khung-nhom-boc-kinh-ni-gia-re-nhat-tphcm-319.html) | [bán tấm laminate](http://spinlet.com.vn/Thong-Tin-can-biet/Ban-le-Laminate-uy-tin-gia-re-nhat-tai-TPHCM-o-dau-51.html)
- Nhận hồ sơ thi cấp chứng chỉ Anh Văn, Tin Học bảo đảm đậu cho tất cả các học viên đăng ký tham gia kỳ thi cấp chứng chỉ anh văn, tin học của trường ĐH Ngân Hàng Tp.HCM, ĐH Sư Phạm HCM. Bên trung tâm cam kết đậu 100% cho các bạn đăng ký, nếu không đậu phía Trung tâm sẽ hoàn tiền hoặc thu xếp để thi ở khóa thi kế tiếp.
- Chứng chỉ Anh Văn chuẩn khung 6 bậc của Bộ GD-ĐT, chứng chỉ Ứng Dụng CNTT cơ bản và nâng cao, các chứng chỉ này là "PHẢI CÓ" nếu các bạn muốn dùng để bổ sung hồ sơ tốt nghiệp ra trường, dùng để nộp thi công chức, viên chức. Dùng để nâng bậc lương, mở quán net....
- Chứng chỉ này là chứng chỉ thật 100%, có hồ sơ gốc rõ ràng, lưu đầy đủ cho các bạn tại trường các bạn thi. Cho nên khi có được chứng chỉ các bạn không sợ bị kiểm tra, bị phát hiện bằng giả. Nếu sử dụng bằng giả thì các bạn biết hậu quả như thế nào rồi, nên mình khuyên các bạn không nên làm giả vì cái mất sẽ nhiều hơn cái được.
-Hãy đăng ký thi ngay bây giờ, các bạn còn chần chừ gì nữa. để đến lúc cơ chế khó lên rồi hoặc nuớc đến chân mới bắt đầu đi thi cho mình một cái chứng chỉ thì khi đó lại thêm tốn kém mà chất luợng lại không đảm bảo cho công việc.
chi tiết tham khảo tại trang web: https://chungchithibaodau.weebly.com/
https://chungchithibaodau.weebly.com/ chứng chỉ thi bao đậu
học sinh giờ ghê quá
đỗ duy thịnh

Server: LiteSpeed

Set-Cookie: nv4c_x1DAF_statistic_vi=YpZmaJiUl59pnA%2C%2C; expires=Fri, 20-Apr-2018 07:19:27 GMT; Max-Age=1800; path=/; domain=.spinlet.com.vn; httponly


text:
-
THÔNG BÁO TUYỂN ADMIN DIỄN ĐÀN 2013
Tìm kiếm nhà trọ - Ở ghép
THÔNG BÁO BÁN ÁO SPKT.NET CHO THÀNH VIÊN DIỄN ĐÀN
HÃY TÌM KIẾM Ở ĐÂY TRƯỚC KHI ĐẶT CÂU HỎI{xen:phrase loading}
Dự đoán kết quả lượt trận thứ 2 đầy căng thẳng
Thảo luận trong '10914' bắt đầu bởi sobigthanh92, 13 Tháng mười một 2010.

markdown:
-
[THÔNG BÁO TUYỂN ADMIN DIỄN ĐÀN 2013](http://spkt.net/threads/thong-bao-tuyen-02-admin-cho-4rum.32345/)
[Tìm kiếm nhà trọ - Ở ghép](http://www.spkt.net/forums/thong-tin-nha-tro.138/)
[THÔNG BÁO BÁN ÁO SPKT.NET CHO THÀNH VIÊN DIỄN ĐÀN](http://spkt.net/threads/thong-bao-ban-ao-dien-dan-spkt-2013.27570/)
**HÃY TÌM KIẾM Ở ĐÂY TRƯỚC KHI ĐẶT CÂU HỎI**{xen:phrase loading}
# Dự đoán kết quả lượt trận thứ 2 đầy căng thẳng
Thảo luận trong '
[10914](forums/10914.351/)' bắt đầu bởi [sobigthanh92](members/sobigthanh92.37503/), [13 Tháng mười một 2010](threads/du-doan-ket-qua-luot-tran-thu-2-day-cang-thang.9904/).

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

Connection: close

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Cache-control: private, max-age=0

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Forex
Nơi thảo luận, trao đổi, chia sẻ những thông tin - kiến thức - kinh nghiệm về Thị Trường Forex
Trang 1 của 14 trang
Tùy chọn hiển thị chủ đề
Đang tải...
Trang 1 của 14 trang
Tags:
Nơi thảo luận, trao đổi, chia sẻ những thông tin - kiến thức - kinh nghiệm về Thị Trường Forex

markdown:
# Forex
Nơi thảo luận, trao đổi, chia sẻ những thông tin - kiến thức - kinh nghiệm về Thị Trường Forex
Trang 1 của 14 trang
[Tùy chọn hiển thị chủ đề](#)
Đang tải...
Trang 1 của 14 trang
Tags:
Nơi thảo luận, trao đổi, chia sẻ những thông tin - kiến thức - kinh nghiệm về Thị Trường Forex

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Accept-Ranges: bytes

Vary: Accept-Encoding


text:
Ðiều trị dị ứng bắt đầu tại nhà (Phần 3)
Chia sẻ: Xu Ka | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6
lượt xem 5
download
Ðiều trị dị ứng bắt đầu tại nhà (Phần 3)
Người bị dị ứng có thể kiểm soát chất lượng không khí và khí hậu trong nhà? Việc kiểm soát chất lượng không khí và khí hậu cho căn nhà của bạn, mới nghe qua có vẻ xa vời, khó thực hiện và có thể làm cho bạn nản lòng. Nhưng quả thực nó không khó như bạn nghĩ. Duy trì tốt những hệ thống sẽ có lợi cho sức khoẻ bạn và kéo dài tuổi thọ của những thiết bị này. Các bộ lọc không khí hiệu quả cao (HEPA). Thiết bị này được phát triển trong kỷ nguyên khám...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

markdown:
# Ðiều trị dị ứng bắt đầu tại nhà (Phần 3)
Chia sẻ: Xu Ka | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6
lượt xem 5
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100711/xukadethuong/80x100/dieu_tri_di_ung_bat_dau_tai_nha_p3_2554.jpg)
##
Ðiều trị dị ứng bắt đầu tại nhà (Phần 3)
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Người bị dị ứng có thể kiểm soát chất lượng không khí và khí hậu trong nhà? Việc kiểm soát chất lượng không khí và khí hậu cho căn nhà của bạn, mới nghe qua có vẻ xa vời, khó thực hiện và có thể làm cho bạn nản lòng. Nhưng quả thực nó không khó như bạn nghĩ. Duy trì tốt những hệ thống sẽ có lợi cho sức khoẻ bạn và kéo dài tuổi thọ của những thiết bị này. Các bộ lọc không khí hiệu quả cao (HEPA). Thiết bị này được phát triển trong kỷ nguyên khám...
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Set-Cookie: TLDEVNamespace=fbudhq9rkij2na8g8rlo6c6bk7; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
Biến phức định lý và áp dụng P1
Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50
lượt xem 98
download
Biến phức định lý và áp dụng P1
Biến phức định lý và áp dụng P1 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Biến phức định lý và áp dụng P1
- Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ============================= Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr n Nam Dũng Đinh Công Hư ng, Nguy n Đăng Ph t T Duy Phư ng, Nguy n Th y Thanh BI N PH C Đ NH LÝ VÀ ÁP D NG HÀ N I 2009
- Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ============================= Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr n Nam Dũng Đinh Công Hư ng, Nguy n Đăng Ph t T Duy Phư ng, Nguy n Th y Thanh BI N PH C Đ NH LÝ VÀ ÁP D NG HÀ N I 2009
- M cl c L i nói đ u 8 1 S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n 11 1.1 L ch s hình thành khái ni m s ph c . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Các d ng bi u di n s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Bi u di n s ph c dư i d ng c p . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Bi u di n s ph c dư i d ng đ i s . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Bi u di n hình h c c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Bi u di n s ph c nh ma tr n . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 D ng lư ng giác và d ng mũ c a s ph c . . . . . . . . . 25 1.2.6 Bi u di n các s ph c trên m t c u Riemann . . . . . . . 27 1.2.7 Kho ng cách trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 S ph c và bi n ph c trong lư ng giác 36 2.1 Tính toán và bi u di n m t s bi u th c . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Tính giá tr c a m t s bi u th c lư ng giác . . . . . . . . . . . 43 2.3 D ng ph c c a b t đ ng th c Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 Ch ng minh công th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 T ng và tích các phân th c c a bi u th c lư ng giác . . 64 4
- M CL C 5 2.5 B t đ ng th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6 Đ c trưng hàm c a hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 M ts ng d ng c a s ph c trong đ i s 88 3.1 Phương trình và h phương trình đ i s . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.1 Phương trình b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.2 Phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3 Phương trình b c b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.4 Phương trình b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.5 Các bài toán v phương trình, h phương trình đ i s . . 109 3.2 Các bài toán v đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.1 Phương trình hàm trong đa th c . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.2 Các bài toán v đa th c b t kh quy . . . . . . . . . . . 120 3.2.3 Bài toán v s chia h t c a đa th c . . . . . . . . . . . . 135 3.2.4 Quy t c d u Descartes trong ng d ng . . . . . . . . . . 136 3.3 Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính . . . . . . . . . 144 3.3.1 M t s tính ch t c a hàm phân tuy n tính . . . . . . . . 145 3.3.2 Đ ng c u phân tuy n tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.3.3 Phương trình hàm sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . 160 3.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4 S ph c trong các bài toán s h c và t h p 166 4.1 Gi i phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2 Rút g n m t s t ng t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.3 Các bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4 S ph c nguyên và ng d ng trong lí thuy t s . . . . . . . . . . 172 4.4.1 Tính ch t chia h t trong t p các s ph c nguyên . . . . 174
- 6 M CL C 4.4.2 S nguyên t Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.4.3 M t s áp d ng s ph c nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5 M ts ng d ng c a s ph c trong hình h c 192 5.1 Mô t m t s k t qu c a hình h c ph ng b ng ngôn ng s ph c193 5.1.1 Góc gi a hai đư ng th ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.2 Tích vô hư ng c a hai s ph c . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.3 Tích ngoài c a hai s ph c. Di n tích tam giác . . . . . . 195 5.1.4 Đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.1.5 Mô t các phép bi n hình ph ng b ng ngôn ng s ph c 196 5.1.6 Đi u ki n đ ng quy, th ng hàng, vuông góc và cùng n m trên m t đư ng tròn (đ ng viên) . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3 Ch ng minh b t đ ng th c hình h c . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4 Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán . . . . . . . . . 214 5.4.1 S ph c và đa giác đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.4.2 Đ ng th c lư ng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222 5.5 B ng các công th c cơ b n ng d ng s ph c vào gi i toán hình h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.6 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6 Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 231 6.1 M t s khái ni m cơ b n và tính ch t c a sai phân . . . . . . . 231 6.2 Tính t ng b ng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239 6.3 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . . . . 257 6.4 H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng 271 6.5 H phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . . 279
- M CL C 7 6.6 M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m . . . . . . 291 7 Kh o sát các phương trình đ i s 376 7.1 Nh c l i các ki n th c cơ b n v s ph c và hàm ph c . . . . . 375 7.2 S nghi m c a phương trình đa th c trên m t kho ng . . . . . . 409 7.3 Đánh giá kho ng nghi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.4 Gi i g n đúng phương trình đa th c . . . . . . . . . . . . . . . 481 Ph l c A. Hàm sinh và áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P-1 Ví d minh h a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P-2 Khái ni m v hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 P-3 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Ph l c B. H h i quy và h tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . 538 Q-1 Ma tr n lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 Q-2 Ma tr n tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Tài li u tham kh o 551
- L i nói đ u Chuyên đ "Bi n ph c, đ nh lý và áp d ng" đóng vai trò như là m t công c đ c l c nh m gi i quy t hi u qu nhi u bài toán c a hình h c, gi i tích, đ i s , s h c và toán t h p. Ngoài ra, các tính ch t cơ b n c a s ph c và hàm bi n ph c còn đư c s d ng nhi u trong toán hi n đ i, các mô hình toán ng d ng, ... Trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên qu c t và qu c gia, thì các bài toán liên quan đ n bi n ph c thư ng đư c đ c p dư i nhi u d ng phong phú thông qua các đ c trưng và các bi n đ i khác nhau c a phương pháp gi i, v a mang tính t ng h p cao v a mang tính đ c thù sâu s c. Chương trình toán h c b c Trung h c ph thông c a h u h t các nư c đ u có ph n ki n th c s ph c. nư c ta, sau nhi u l n c i cách, n i dung s ph c cu i cùng cũng đã đư c đưa vào chương trình Gi i tích 12, tuy nhiên còn r t đơn gi n. Vì nhi u lý do khác nhau, r t nhi u h c sinh, th m chí là h c sinh khá, gi i sau khi h c xong ph n s ph c cũng ch hi u m t cách r t đơn sơ: s d ng s ph c, có th gi i đư c m i phương trình b c hai, tính m t vài t ng đ c bi t, ... Vi c s d ng s ph c và bi n ph c trong nghiên c u, kh o sát hình h c (ph ng và không gian) t ra có nhi u ưu vi t, nh t là trong vi c xem xét các v n đ liên quan đ n các phép bi n hình, qu tích và các d ng mi n b o giác. Nhìn chung, hi n nay, chuyên đ s ph c và bi n ph c (cho b c trung h c ph thông và đ i h c) đã đư c trình bày d ng giáo trình, trình bày lý thuy t 8
- L i nói đ u 9 cơ b n và có đ c p đ n các áp d ng tr c ti p theo cách phân lo i phương pháp và theo đ c thù c th c a các d ng ví d minh h a. Đ đáp ng nhu c u b i dư ng nghi p v sau đ i h c cho đ i ngũ giáo viên, các h c viên cao h c, nghiên c u sinh chuyên ngành Gi i tích, Phương trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ c p và b i dư ng h c sinh gi i v chuyên đ s ph c, bi n ph c và áp d ng, chúng tôi vi t cu n chuyên đ nh này nh m trình bày đ y đ các ki n th c t ng quan, các k thu t cơ b n v phương pháp s d ng s ph c và bi n ph c đ ti p c n các d ng toán khác nhau c a hình h c, s h c, toán r i r c và các lĩnh v c liên quan. Đây là chuyên đ b i dư ng nghi p v sau đ i h c mà các tác gi đã gi ng d y cho các l p cao h c, cho đ i tuy n thi olympíc toán sinh viên qu c gia và qu c t và là n i dung b i dư ng giáo viên các trư ng đ i h c, cao đ ng và trư ng chuyên trong c nư c t nhi u năm nay. Trong tài li u này, chúng tôi đã s d ng m t s n i dung v lý thuy t cũng như bài t p mang tính h th ng đã đư c các Th c sĩ và h c viên cao h c th c hi n theo m t h th ng lôgíc nh t đ nh dư i d ng các chuyên đ nghi p v b c sau đ i h c. Nh ng d ng bài t p khác là m t s đ thi c a các kì thi h c sinh gi i và các bài toán trong các t p chí Toán h c và tu i tr , Kvant, Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đ và chuyên kh o, ... hi n hành trong nư c. Cu n sách đư c chia thành 5 chương. Chương 1. S ph c và bi n ph c, l ch s và các d ng bi u di n Chương 2. Tính toán trên s ph c và bi n ph c Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s Chương 4. S ph c trong các bài toán s h c và t h p
- 10 L i nói đ u Chương 5. S ph c và ng d ng trong hình h c Chương 6. S ph c và l i gi i c a phương trình sai phân Các tác gi xin chân thành c m ơn lãnh đ o B Giáo D c và Đào t o, trư ng ĐHKHTN, ĐHQGHN đã ng h và đ ng viên đ các trư ng hè b i dư ng nâng cao ki n th c chuyên môn nghi p v sau đ i h c các năm t 2002 đ n 2009 đã thành công t t đ p. C m ơn các giáo viên t 64 t nh thành trong c nư c đã nghe gi ng, trao đ i semina và đ c b n th o, đã g i nhi u ý ki n đóng góp quan tr ng cho n i dung cũng như cách trình bày th t các chuyên đ . Cu n sách đư c hoàn thành v i s giúp đ nhi t tình v m t n i dung c a các thành viên trong semina liên trư ng-vi n Gi i tích - Đ i s c a Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, ĐHQGHN. Các tác gi xin bày t lòng bi t ơn t i đ ng nghi p và đ c gi có ý ki n đóng góp đ cu n sách chuyên đ này đư c hoàn thi n. Hà N i ngày 02 tháng 06 năm 2009 Các tác gi
- Chương 1 S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n 1.1 L ch s hình thành khái ni m s ph c L ch s s ph c b t đ u t th k XVI. Đó là th i kỳ Ph c hưng c a toán h c châu Âu sau đêm dài trung c . Các đ i lư ng o1 √ √ √ −1, b −1, a + b −1 xu t hi n đ u tiên t th k XVI trong các công trình c a các nhà toán h c Italy "Ngh thu t vĩ đ i hay là v các quy t c c a đ i s " (1545) c a G.Cardano (1501 - 1576) và "Đ i s " (1572) c a R.Bombelli (1530 - 1572). Nhà toán h c Đ c Felix Klein (1849 - 1925) đã đánh giá công trình c a G.Cardano như sau: "tác ph m quý giá đ n t t đ nh này đã ch a đ ng nh ng m m m ng c a đ i s hi n đ i và nó vư t xa t m c a toán h c th i c đ i". Khi gi i phương trình b c hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hi u √ √ −1 là l i gi i hình th c c a phương trình x2 + 1 = 0, xét bi u th c b −1 là nghi m hình th c c a phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó bi u th c t ng quát hơn d ng (x − a)2 + b2 = 0 1 Tên g i " o" là d ch t ti ng Pháp "imaginaire" do R.Descates đ xu t năm 1637. 11
- 12 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n có th xem là nghi m hình th c c a phương trình (x − a)2 + b2 = 0. V sau bi u th c d ng √ a + b −1, b = 0 xu t hi n trong quá trình gi i phương trình b c hai và b c ba (công th c Cardano) đư c g i là đ i lư ng " o" và sau đó đư c Gauss g i là s ph c2 và thư ng đư c kí hi u là a + bi, trong đó kí hi u √ i := −1 đư c L.Euler3 đưa vào 1777 g i là đơn v " o". Quá trình th a nh n s ph c như m t công c quý giá c a toán h c đã di n √ ra r t ch m ch p. Ngay tên g i và kí hi u i := −1 là đơn v " o" cũng đã gây nên nhi u n i băn khoăn, th c m c t đó d n đ n kh ng ho ng ni m tin vì nó không có gì chung v i s - m t công c c a phép đ m, m c dù ngư i ta v n xem đó là m t kí hi u tr u tư ng tho mãn đ nh nghĩa i2 = −1. S kh ng ho ng ni m tin càng tr nên sâu s c hơn b i vi c chuy n m t cách thi u cân nh c và thi u th n tr ng m t s quy t c c a đ i s thông thư ng cho các s ph c đã s n sinh ra nh ng ngh ch lí khó ch u. Ch ng h n như ngh ch √ lí sau đây: vì i = −1 nên i2 = −1, nhưng đ ng th i b ng cách s d ng các quy t c thông thư ng c a phép toán khai căn b c hai l i thu đư c √ √ √ i2 = −1 −1 = (−1)(−1) = (−1)2 = 1 = 1. Hóa ra −1 = 1! Ta nh n m nh l i r ng h th c i2 = −1 2 Thu t ng "s ph c" là do nhà toán h c Pháp N.Carnot (1753-1823) đưa vào đ u tiên (1803) 3 L. Euler (1707-1783) là nhà toán h c Th y sĩ
- 1.1. L ch s hình thành khái ni m s ph c 13 là đ nh nghĩa s m i i cho phép ta đưa vào xét s ph c. Đi u đó có nghĩa r ng h th c đó không th ch ng minh, nó ch là quy ư c. Tuy v y, cũng có ngư i mu n ch ng minh h th c đó. Trong cu n sách "Phương pháp to đ " c a mình, Vi n s L.S. Pointriagin đã mô t l i ch ng minh đó như sau: Đ u tiên ngư i ta l y n a đư ng tròn v i đư ng kính AB. T đi m R tuỳ ý c a n a đư ng tròn h đư ng vuông góc RS. Theo m t đ nh lí c a hình h c sơ c p, đ dài đư ng vuông góc RS là trung bình nhân gi a các đ dài c a các đo n th ng AS và SB. Vì nói đ n đ dài nên s không sai sót l n khi nói r ng bình phương đo n th ng RS b ng tích các đo n th ng AS và BS. Bây gi , tr v v i m t ph ng ph c. kí hi u đi m −1 là A ; đi m +1 là B và đi m i là R. Khi đó S s là đi m 0. Tác gi c a phép ch ng minh đã l p lu n như sau: Đo n th ng RS là i, đo n th ng AS là −1 và SB là +1. Như v y, theo đ nh lí v a nh c l i trên ta có i2 = (−1)(+1) = −1. Th t đáng ti c là phép ch ng minh kỳ l này v n đư c vi t trong sách và gi ng d y m t s trư ng ph thông trư c th chi n th II. L ch s toán h c cũng ghi l i r ng Cardano cũng đã nh c đ n các nghi m ph c nhưng l i g i chúng là các nghi m "ngu bi n". Ch ng h n, khi gi i h phương trình x + y = 10 xy = 40 √ √ Cardano đã tìm đư c nghi m 5 + −5 và 5 + −5 và ông đã g i nghi m này là "âm thu n tuý" và th m chí còn g i là "nghi m âm ngu bi n". Có l tên g i " o" là di s n vĩnh c u c a "m t th i ngây thơ đáng trân tr ng c a s h c".
- 14 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n Th m chí đ i v i nhi u nhà bác h c l n th k XVIII b n ch t đ i s và b n ch t hình h c c a các đ i lư ng o không đư c hình dung m t cách rõ ràng mà còn đ y bí n. Ch ng h n, l ch s cũng ghi l i r ng I.Newton đã không th a nh n các đ i lư ng o và không xem các đ i lư ng o thu c vào các khái ni m s , còn G.Leibniz thì th t lên r ng: "Các đ i lư ng o - đó là nơi n náu đ p đ huy n di u đ i v i tinh th n c a đ ng t i cao, đó dư ng như m t gi ng lư ng cư s ng m t ch n nào đ y gi a cái có th t và không có th t". Ngư i đ u tiên nhìn th y l i ích do đưa s ph c vào toán h c mang l i chính là nhà toán h c Italy R. Bombelli. Trong cu n "Đ i s " (1572) ông đã đ nh nghĩa các phép tính s h c trên các đ i lư ng o và do đó ông đã sáng t o nên lí thuy t các s " o". Thu t ng s ph c đư c dùng đ u tiên b i K.Gauss4 (năm 1831). Vào th k XVII - XVIII nhi u nhà toán h c khác cũng đã nghiên c u các tính ch t c a đ i lư ng o (s ph c!) và kh o sát các ng d ng c a chúng. Ch ng h n L.Euler m r ng khái ni m logarit cho s ph c b t kì (1738), còn A.Moivre5 nghiên c u và gi i bài toán căn b c t nhiên đ i v i s ph c (1736). S nghi ng đ i v i s o (s ph c!) ch tiêu tan khi nhà toán h c ngư i Nauy là C.Wessel đưa ra s minh ho hình h c v s ph c và các phép toán trên chúng trong công trình công b năm 1799. Đôi khi phép bi u di n minh ho s ph c cũng đư c g i là "sơ đ Argand" đ ghi nh n công lao c a nhà toán h c Thu S R.Argand - ngư i thu đư c k t qu như c a Wessel m t cách đ c l p. Lí thuy t thu n tuý s h c đ i v i các s ph c v i tư cách là các c p s th c có th t (a; b), a ∈ R, b ∈ R đư c xây d ng b i nhà toán h c Ailen là W.Hamilton (1837). đây đơn v " o" i ch đơn gi n là m t c p s th c có th t - c p (0; 1), t c là đơn v " o" đư c lí gi i m t cách hi n th c. 4 C.Gauss (1777-1855) là nhà toán h c Đ c 5 A.Moivre (1667-1754) là nhà toán h c Anh
- 1.1. L ch s hình thành khái ni m s ph c 15 Cho đ n th k XIX, Gauss m i thành công trong vi c lu n ch ng m t cách v ng ch c khái ni m s ph c. Tên tu i c a Gauss cũng g n li n v i phép ch ng minh chính xác đ u tiên đ i v i Đ nh lí cơ b n c a Đ i s kh ng đ nh r ng trong trư ng s ph c C m i phương trình đa th c đ u có nghi m. B n ch t đ i s c a s ph c th hi n ch s ph c là ph n t c a trư ng m r ng (đ i s ) C c a trư ng s th c R thu đư c b ng phép ghép đ i s cho R nghi m i c a phương trình x2 + 1 = 0. V i đ nh lí cơ b n c a đ i s , Gauss đã ch ng minh đư c trư ng C tr thành trư ng đóng đ i s . Đi u đó có nghĩa là khi xét các nghi m c a phương trình đ i s trong trư ng này ta không thu đư c thêm s m i. Đương nhiên trư ng s th c R (và do đó c trư ng s h u t Q) không có tính ch t đóng đ i s . Ch ng h n, phương trình v i h s th c có th không có nghi m th c. Nhìn l i hơn 2500 năm t th i Pythagor đ n gi , con đư ng phát tri n khái ni m v s có th tóm t t b i N → Z → Q → R → C v i các bao hàm th c: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. B ng các k t qu sâu s c trong các công trình c a các nhà toán h c K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce ngư i ta m i nh n ra r ng m i c g ng m r ng t p s ph c theo con đư ng trên đ u không có k t qu kh quan. K.Weierstrass đã ch ng minh t p h p s ph c C không th m r ng thành t p h p r ng hơn b ng cách ghép thêm s m i đ trong t p h p s r ng hơn thu đư c v n b o toàn m i phép tính và m i quy lu t c a các phép toán đã đúng trong t p h p s ph c. Như v y, các t p h p s m i ch a t p s ph c ch có th thu đư c b ng vi c t b m t s tính ch t thông thư ng nào đó c a các s ph c. Ch ng h n nhà toán h c Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã b t phá ra kh i ph m vi s ph c và thu đư c các quatenion là trư ng h p đơn gi n nh t c a h siêu
- 16 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n ph c nhưng đành ph i t b tính ch t giao hoán c a phép nhân. H th ng các quatenion là h không giao hoán và các quatenion th hi n đư c trong không gian b n chi u R4. D ng t ng quát c a quatenion là a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R, trong đó 1; i; j; k đư c Hamilton ch ra là các đơn v siêu ph c và đư c Hamilton g i là các quatenion. đây i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 và chính Hamilton đã l p ra b ng nhân sau đây: x i j k i −1 k −j j −k −1 i k j −i −1 Đ d nh b ng nhân này ta lưu ý hình v b tr sau. Ta bi u di n các quatenion i, j, k b i ba đi m trên đư ng tròn theo th t cùng chi u kim đ ng h . Tích c a hai s b t kì trong b ba i, j, k b ng s th ba n u phép vòng quanh t th a s th nh t đ n th a s th hai là theo chi u kim đ ng h và b ng s th ba và v i d u tr n u phép vòng quanh đó ngư c chi u kim đ ng h . Rõ ràng là phép nhân không có tính ch t giao hoán. Đ i v i toán h c ngày nay các s ph c và siêu ph c là nh ng ch nh th hoàn toàn t nhiên, nó không " o" hơn chút nào so v i chính các s th c. Nhìn l i l ch s lâu dài c a s phát tri n khái ni m s ta th y r ng c m i l n khi đưa vào nh ng s m i các nhà toán h c cũng đ ng th i đưa vào các quy t c th c hi n các phép toán trên chúng. Đ ng th i v i đi u đó các nhà toán h c luôn luôn c g ng b o toàn các quy lu t s h c cơ b n (lu t giao hoán c a
- 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 17 phép c ng và phép nhân, lu t k t h p và lu t phân b , lu t s p x p tuy n tính c a t p h p s ). Tuy nhiên s b o toàn đó không ph i khi nào cũng th c hi n đư c. Ví như khi xây d ng trư ng s ph c ngư i ta đã không b o toàn đư c lu t s p x p tuy n tính v n có trong trư ng s th c, hay khi xây d ng t p h p các s quatenion ta cũng không b o toàn đư c lu t giao hoán c a phép nhân. T ng k t l ch s toàn b quá trình phát tri n khái ni m s , nhà toán h c Đ c L.Kronecker (1823 - 1891) đã vi t: "Thư ng đ đã t o ra s t nhiên, còn t t c các lo i s còn l i đ u là công trình sáng t o c a con ngư i". Có th nói r ng v i kh ng đ nh b t h này L.Kronecker đã xác đ nh n n móng v ng ch c cho toà lâu đài toán h c tráng l mà con ngư i đang s h u. 1.2 Các d ng bi u di n s ph c 1.2.1 Bi u di n s ph c dư i d ng c p M i s ph c a + bi hoàn toàn đư c xác đ nh b i vi c cho hai s th c a và b thông thư ng (a, b ∈ R) g i là các thành ph n c a chúng. Ngư i đ u tiên c g ng nêu rõ đ c trưng quy lu t c a các phép tính b ng ngôn ng các thành ph n không c n nh c đ n kí hi u "nghi v n" i là Hamilton. C th , ông đã di n t m i s ph c b i m t c p s th c (có th t ) thông thư ng. Vì t p h p s th c là t p h p con c a t p h p s ph c C nên khi xác đ nh các phép tính s h c cơ b n trên các s ph c ta c n đòi h i r ng khi áp d ng cho các s th c các phép toán đó đưa l i k t qu như k t qu thu đư c trong s h c các s th c. M t khác, n u ta mong mu n các s ph c có nh ng ng d ng trong các v n đ c a gi i tích thì ta c n đòi h i r ng các phép toán cơ b n đư c đưa vào đó ph i tho mãn các tiên đ thông thư ng c a s h c các s th c. Đ nh nghĩa 1.1. M t c p s th c có th t (a; b), a ∈ R, b ∈ R, đư c g i
- 18 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n là m t s ph c n u trên t p h p các c p đó quan h b ng nhau, phép c ng và phép nhân đư c đưa vào theo các đ nh nghĩa (tiên đ ) sau đây: a=c i) Quan h đ ng nh t trong t p s ph c: (a; b) = (c; d) ⇔ b = d. Chú ý r ng đ i v i hai s ph c b ng nhau (a; b) và (c; d) ta có th vi t (a; b) ≡ (c; d) (n u mu n nh n m nh đây là quan h đ ng nh t gi a hai c p s th c s p th t ) ho c (a; b) = (c; d) (n u mu n nói r ng đây là quan h b ng nhau gi a hai s ph c). ii) Phép c ng trong t p s ph c: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) và c p (a + c; b + d) đư c g i là t ng c a các c p (a; b) và (c; d). iii) Phép nhân trong t p s ph c: (a; b)(c; d) := (ac − bd; ad + bc) và c p (ac − bd; ad + bc) đư c g i là tích c a các c p (a; b) và (c; d). iv) S th c trong t p s ph c: C p (a; 0) đư c đ ng nh t v i s th c a, nghĩa là (a; 0) := a hay là (a; 0) ≡ a. T p h p các s ph c đư c kí hi u là C. Như v y, m i ph n c a đ nh nghĩa s ph c đ u đư c phát bi u b ng ngôn ng s th c và các phép toán trên chúng. Trong đ nh nghĩa này ba tiên đ đ u th c ch t là đ nh nghĩa khái ni m b ng nhau, khái ni m t ng và khái ni m tích c a các s ph c. Do đó vi c đ i chi u các tiên đ đó v i nhau s không d n đ n b t c mâu thu n nào. Đi u duy nh t có th gây ra đôi chút lo ng i là tiên đ iv). V n đ là ch v n dĩ các khái ni m b ng nhau, t ng và tích các s th c có ý nghĩa hoàn toàn xác đ nh và do đó n u các khái ni m này không tương thích v i nh ng khái ni m đư c đ c p đ n trong các tiên đ i) - iii) khi xét các s th c v i tư cách là các c p d ng đ c bi t thì bu c ph i lo i tr tiên đ iv). Do đó ta c n đ i chi u tiên đ iv) v i các tiên đ i), ii) và iii).
- 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 19 1) i) - iv). Gi s hai s th c a và b b ng nhau như nh ng c p d ng đ c bi t đ ng nh t v i chúng: (a; 0) = (b; 0). Khi đó theo tiên đ i), ta có (a; 0) = (b; 0) ⇔ a = b, t c là chúng b ng nhau theo nghĩa thông thư ng. 2) ii) - iv). Theo tiên đ ii), t ng hai s th c a và c đư c xét như nh ng c p (a; 0) và (c; 0) là b ng c p (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0). Nhưng theo tiên đ iv) thì (a + c; 0) ≡ a + c. Như v y (a; 0) + (c; 0) = (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0) ≡ a + c, t c là đ ng nh t b ng t ng a + c theo nghĩa thông thư ng. 3) iii) - iv). Theo tiên đ iii), tích các s th c a và b đư c xét như nh ng c p (a; 0) và (c; 0) là b ng c p (ac − 0 · 0; a · 0 + 0 · c) = (ac; 0) và theo tiên đ iv) ta có (ac; 0) ≡ ac. Như v y (a; 0)(c; 0) = (ac; 0) ≡ ac, t c là đ ng nh t b ng tích a v i c theo nghĩa thông thư ng. Như v y tiên đ iv) tương thích v i các tiên đ i), ii) và iii). Ta cũng lưu ý các công th c sau đây đư c suy tr c ti p t iii) và iv): λ(a; b) = (λa; λb), λ ∈ R. Th t v y, t iv) và iii) ta có: λ(a; b) = (λ; 0)(a; b) = (λa − 0 · b; λb + 0 · a) = (λa; λb). N u λ = m ∈ N thì theo ii) ta có (a; b) + (a; b) = (2a; 2b);
- 20 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n (2a; 2b) + (a; b) = (3a; 3b), . . . t c là (ma; mb) là k t qu phép c ng liên ti p m s h ng b ng (a; b). Đi u đó phù h p v i bi u tư ng thông thư ng là phép nhân v i s t nhiên tương ng v i phép c ng m s h ng b ng nhau. D dàng th y r ng các tiên đ ii) và iii) là tương thích v i nhau và các quy lu t thông thư ng c a các phép tính th c hi n trên các s v n đư c b o toàn khi chuy n sang s ph c (đương nhiên ph i c t b các quy lu t có quan h t i tính ch t s p đư c tuy n tính). T đ nh nghĩa suy ra trong t p h p C phép c ng và phép nhân có tính ch t k t h p và giao hoán ; phép nhân liên h v i phép c ng theo lu t phân b ; phép c ng có phép tính ngư c là phép tr và do đó t n t i ph n t 0 là c p (0 ; 0) vì (a; b) + (0; 0) = (a; b), ∀a, b ∈ R. Vai trò đơn v trong t p h p s ph c C là c p (1; 0) vì theo tiên đ iii) (a; b)(1; 0) = (a; b). Hai s ph c z = (a; b) và z = (a; −b) đư c g i là liên h p v i nhau. Ta có ¯ z z = (a; b)(a; −b) = a2 + b2 ≥ 0. ¯ T tính ch t này suy ra r ng v i m i (a; b) = (0; 0) t n t i c p ngh ch đ o (a; b)−1, c th là c p 1 a b (a; −b) = 2 ,− 2 . a2 +b2 a +b2 a + b2 Như v y ta đã ch ng minh r ng t p h p các s ph c C l p thành m t trư ng. Trư ng đó có tính ch t : (a) R ⊂ C. (b) Phương trình x2 + 1 = 0 có nghi m trong C. Đó là c p (0 ; 1) và (0 ; -1). Dư i d ng c p các phép toán trên C đư c th c hi n theo các quy t c
- 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 21 (i). (a1; b1)+(a2 ; b2 ) = (a1 +a2; b1 +b2 ) ; (a1; b1)−(a2 ; b2) = (a1 −a2; b1 −b2) ; (ii). (a1 ; b1)(a2; b2) = (a1a2 − b1 b2; a1 b2 + a2b1 ); (a1; b1) a1a2 + b1 b2 a1b2 − aq2b1 (iii). = ; , trong đó (a2 ; b2) = (0; 0). (a2; b2) a2 + b2 2 2 a2 + b2 2 2 1.2.2 Bi u di n s ph c dư i d ng đ i s Như v y, ta đã đ nh nghĩa và di n đ t m i quy t c tính th c hi n trên các s ph c b ng ngôn ng các thành ph n t c là b ng ngôn ng các s th c. Đi u này r t quan tr ng vì v i cách đó ngư i ta không b ám nh b i "cái o"c a kí hi u i mang l i (m c dù nó r t th c vì i là c p (0 ; 1).) Bây gi ta tr v v i cách vi t thông thư ng (hay dư i d ng Descartes) đ i v i s ph c. Rõ ràng là m i s ph c (a; b) ∈ C đ u bi u di n đư c dư i d ng (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi, trong đó c p (0; 1) đư c kí hi u b i ch i. T tiên đ iii), suy r ng i2 = (0; 1)(0; 1) = (0 · 0 − 1 · 1; 0 · 1 + 1 · 0) = (−1; 0) = −1. Như v y ta đã tr v v i cách vi t thông thư ng đ i v i s ph c (a; b) dư i d ng a + bi nhưng gi đây đơn v o i có ý nghĩa hoàn toàn hi n th c vì nó là m t trong các c p s th c mà các phép tính trên chúng đư c đ nh nghĩa b i các tiên đ i), ii), iii) và iv), đó chính là c p (0; 1). Th m chí, có th xem nhân t i bên c nh s th c b như m t d u hi u ch rõ s th c b là thành ph n th hai c a s ph c (a; b). Thành ph n th nh t c a s ph c z = a + bi đư c g i là ph n th c c a s đó và đư c kí hi u Re z, thành ph n th hai đư c g i là ph n o và đư c kí hi u là Im z. C n nh n m nh r ng ph n o cũng như ph n th c c a s ph c là nh ng s th c.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Biến phức định lý và áp dụng P2
50 p | 325 | 156
-
Bất đẳng thức thuần nhất P2
31 p | 240 | 129
-
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ
15 p | 554 | 112
-
Biến phức định lý và áp dụng P3
50 p | 180 | 109
-
Giải tích đa trị P1
40 p | 182 | 94
-
Biến phức định lý và áp dụng P4
50 p | 188 | 89
-
Ebook Biến phức Định lý và áp dụng - Nguyễn Văn Mậu
415 p | 172 | 80
-
Biến phức định lý và áp dụng P5
50 p | 156 | 75
-
Biến phức định lý và áp dụng P6
50 p | 158 | 74
-
Giải tích đa trị P2
40 p | 141 | 71
-
Biến phức định lý và áp dụng P7
50 p | 130 | 69
-
Biến phức định lý và áp dụng P9
15 p | 122 | 63
-
Biến phức định lý và áp dụng P8
50 p | 146 | 61
-
Giải tích đa trị P3
40 p | 121 | 58
-
Giáo trình môn Toán: Giải tích đa trị
0 p | 35 | 12
-
Bài giảng Biến phức định lý và áp dụng
50 p | 66 | 9
-
Tỉ số kép của hàng điểm và áp dụng
19 p | 20 | 7

markdown:
# Biến phức định lý và áp dụng P1
Chia sẻ: Trần Bá Trung1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50
lượt xem 98
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100809/trungtran2/80x100/bien_pohhuc_dinh_ly_va_ap_dung_p1_4416.jpg)
##
Biến phức định lý và áp dụng P1
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](http://static.tlvnimg.com/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Biến phức định lý và áp dụng P1 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Biến phức định lý và áp dụng P1
- Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ============================= Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr n Nam Dũng Đinh Công Hư ng, Nguy n Đăng Ph t T Duy Phư ng, Nguy n Th y Thanh BI N PH C Đ NH LÝ VÀ ÁP D NG HÀ N I 2009
- Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ============================= Nguy n Văn M u (Ch biên), Tr n Nam Dũng Đinh Công Hư ng, Nguy n Đăng Ph t T Duy Phư ng, Nguy n Th y Thanh BI N PH C Đ NH LÝ VÀ ÁP D NG HÀ N I 2009
- M cl c L i nói đ u 8 1 S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n 11 1.1 L ch s hình thành khái ni m s ph c . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Các d ng bi u di n s ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Bi u di n s ph c dư i d ng c p . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Bi u di n s ph c dư i d ng đ i s . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Bi u di n hình h c c a s ph c . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Bi u di n s ph c nh ma tr n . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 D ng lư ng giác và d ng mũ c a s ph c . . . . . . . . . 25 1.2.6 Bi u di n các s ph c trên m t c u Riemann . . . . . . . 27 1.2.7 Kho ng cách trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 S ph c và bi n ph c trong lư ng giác 36 2.1 Tính toán và bi u di n m t s bi u th c . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Tính giá tr c a m t s bi u th c lư ng giác . . . . . . . . . . . 43 2.3 D ng ph c c a b t đ ng th c Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 T ng và tích sinh b i các đa th c lư ng giác . . . . . . . . . . . 54 2.4.1 Ch ng minh công th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 T ng và tích các phân th c c a bi u th c lư ng giác . . 64 4
- M CL C 5 2.5 B t đ ng th c lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6 Đ c trưng hàm c a hàm s lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 M ts ng d ng c a s ph c trong đ i s 88 3.1 Phương trình và h phương trình đ i s . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.1 Phương trình b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.2 Phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.3 Phương trình b c b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.4 Phương trình b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.5 Các bài toán v phương trình, h phương trình đ i s . . 109 3.2 Các bài toán v đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.1 Phương trình hàm trong đa th c . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.2 Các bài toán v đa th c b t kh quy . . . . . . . . . . . 120 3.2.3 Bài toán v s chia h t c a đa th c . . . . . . . . . . . . 135 3.2.4 Quy t c d u Descartes trong ng d ng . . . . . . . . . . 136 3.3 Phương trình hàm v i bi n đ i phân tuy n tính . . . . . . . . . 144 3.3.1 M t s tính ch t c a hàm phân tuy n tính . . . . . . . . 145 3.3.2 Đ ng c u phân tuy n tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.3.3 Phương trình hàm sinh b i hàm phân tuy n tính . . . . 160 3.4 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4 S ph c trong các bài toán s h c và t h p 166 4.1 Gi i phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.2 Rút g n m t s t ng t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.3 Các bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.4 S ph c nguyên và ng d ng trong lí thuy t s . . . . . . . . . . 172 4.4.1 Tính ch t chia h t trong t p các s ph c nguyên . . . . 174
- 6 M CL C 4.4.2 S nguyên t Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.4.3 M t s áp d ng s ph c nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5 M ts ng d ng c a s ph c trong hình h c 192 5.1 Mô t m t s k t qu c a hình h c ph ng b ng ngôn ng s ph c193 5.1.1 Góc gi a hai đư ng th ng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.2 Tích vô hư ng c a hai s ph c . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.1.3 Tích ngoài c a hai s ph c. Di n tích tam giác . . . . . . 195 5.1.4 Đư ng tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.1.5 Mô t các phép bi n hình ph ng b ng ngôn ng s ph c 196 5.1.6 Đi u ki n đ ng quy, th ng hàng, vuông góc và cùng n m trên m t đư ng tròn (đ ng viên) . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3 Ch ng minh b t đ ng th c hình h c . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4 Các bài toán hình h c ch ng minh và tính toán . . . . . . . . . 214 5.4.1 S ph c và đa giác đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.4.2 Đ ng th c lư ng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222 5.5 B ng các công th c cơ b n ng d ng s ph c vào gi i toán hình h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.6 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6 Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 231 6.1 M t s khái ni m cơ b n và tính ch t c a sai phân . . . . . . . 231 6.2 Tính t ng b ng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239 6.3 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . . . . 257 6.4 H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng 271 6.5 H phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng . . . . . . . 279
- M CL C 7 6.6 M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m . . . . . . 291 7 Kh o sát các phương trình đ i s 376 7.1 Nh c l i các ki n th c cơ b n v s ph c và hàm ph c . . . . . 375 7.2 S nghi m c a phương trình đa th c trên m t kho ng . . . . . . 409 7.3 Đánh giá kho ng nghi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 7.4 Gi i g n đúng phương trình đa th c . . . . . . . . . . . . . . . 481 Ph l c A. Hàm sinh và áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P-1 Ví d minh h a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 P-2 Khái ni m v hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 P-3 M t s ví d áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 Ph l c B. H h i quy và h tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . 538 Q-1 Ma tr n lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 Q-2 Ma tr n tu n hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 Tài li u tham kh o 551
- L i nói đ u Chuyên đ "Bi n ph c, đ nh lý và áp d ng" đóng vai trò như là m t công c đ c l c nh m gi i quy t hi u qu nhi u bài toán c a hình h c, gi i tích, đ i s , s h c và toán t h p. Ngoài ra, các tính ch t cơ b n c a s ph c và hàm bi n ph c còn đư c s d ng nhi u trong toán hi n đ i, các mô hình toán ng d ng, ... Trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên qu c t và qu c gia, thì các bài toán liên quan đ n bi n ph c thư ng đư c đ c p dư i nhi u d ng phong phú thông qua các đ c trưng và các bi n đ i khác nhau c a phương pháp gi i, v a mang tính t ng h p cao v a mang tính đ c thù sâu s c. Chương trình toán h c b c Trung h c ph thông c a h u h t các nư c đ u có ph n ki n th c s ph c. nư c ta, sau nhi u l n c i cách, n i dung s ph c cu i cùng cũng đã đư c đưa vào chương trình Gi i tích 12, tuy nhiên còn r t đơn gi n. Vì nhi u lý do khác nhau, r t nhi u h c sinh, th m chí là h c sinh khá, gi i sau khi h c xong ph n s ph c cũng ch hi u m t cách r t đơn sơ: s d ng s ph c, có th gi i đư c m i phương trình b c hai, tính m t vài t ng đ c bi t, ... Vi c s d ng s ph c và bi n ph c trong nghiên c u, kh o sát hình h c (ph ng và không gian) t ra có nhi u ưu vi t, nh t là trong vi c xem xét các v n đ liên quan đ n các phép bi n hình, qu tích và các d ng mi n b o giác. Nhìn chung, hi n nay, chuyên đ s ph c và bi n ph c (cho b c trung h c ph thông và đ i h c) đã đư c trình bày d ng giáo trình, trình bày lý thuy t 8
- L i nói đ u 9 cơ b n và có đ c p đ n các áp d ng tr c ti p theo cách phân lo i phương pháp và theo đ c thù c th c a các d ng ví d minh h a. Đ đáp ng nhu c u b i dư ng nghi p v sau đ i h c cho đ i ngũ giáo viên, các h c viên cao h c, nghiên c u sinh chuyên ngành Gi i tích, Phương trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ c p và b i dư ng h c sinh gi i v chuyên đ s ph c, bi n ph c và áp d ng, chúng tôi vi t cu n chuyên đ nh này nh m trình bày đ y đ các ki n th c t ng quan, các k thu t cơ b n v phương pháp s d ng s ph c và bi n ph c đ ti p c n các d ng toán khác nhau c a hình h c, s h c, toán r i r c và các lĩnh v c liên quan. Đây là chuyên đ b i dư ng nghi p v sau đ i h c mà các tác gi đã gi ng d y cho các l p cao h c, cho đ i tuy n thi olympíc toán sinh viên qu c gia và qu c t và là n i dung b i dư ng giáo viên các trư ng đ i h c, cao đ ng và trư ng chuyên trong c nư c t nhi u năm nay. Trong tài li u này, chúng tôi đã s d ng m t s n i dung v lý thuy t cũng như bài t p mang tính h th ng đã đư c các Th c sĩ và h c viên cao h c th c hi n theo m t h th ng lôgíc nh t đ nh dư i d ng các chuyên đ nghi p v b c sau đ i h c. Nh ng d ng bài t p khác là m t s đ thi c a các kì thi h c sinh gi i và các bài toán trong các t p chí Toán h c và tu i tr , Kvant, Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đ và chuyên kh o, ... hi n hành trong nư c. Cu n sách đư c chia thành 5 chương. Chương 1. S ph c và bi n ph c, l ch s và các d ng bi u di n Chương 2. Tính toán trên s ph c và bi n ph c Chương 3. M t s ng d ng c a s ph c trong đ i s Chương 4. S ph c trong các bài toán s h c và t h p
- 10 L i nói đ u Chương 5. S ph c và ng d ng trong hình h c Chương 6. S ph c và l i gi i c a phương trình sai phân Các tác gi xin chân thành c m ơn lãnh đ o B Giáo D c và Đào t o, trư ng ĐHKHTN, ĐHQGHN đã ng h và đ ng viên đ các trư ng hè b i dư ng nâng cao ki n th c chuyên môn nghi p v sau đ i h c các năm t 2002 đ n 2009 đã thành công t t đ p. C m ơn các giáo viên t 64 t nh thành trong c nư c đã nghe gi ng, trao đ i semina và đ c b n th o, đã g i nhi u ý ki n đóng góp quan tr ng cho n i dung cũng như cách trình bày th t các chuyên đ . Cu n sách đư c hoàn thành v i s giúp đ nhi t tình v m t n i dung c a các thành viên trong semina liên trư ng-vi n Gi i tích - Đ i s c a Trư ng Đ i H c Khoa H c T Nhiên, ĐHQGHN. Các tác gi xin bày t lòng bi t ơn t i đ ng nghi p và đ c gi có ý ki n đóng góp đ cu n sách chuyên đ này đư c hoàn thi n. Hà N i ngày 02 tháng 06 năm 2009 Các tác gi
- Chương 1 S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n 1.1 L ch s hình thành khái ni m s ph c L ch s s ph c b t đ u t th k XVI. Đó là th i kỳ Ph c hưng c a toán h c châu Âu sau đêm dài trung c . Các đ i lư ng o1 √ √ √ −1, b −1, a + b −1 xu t hi n đ u tiên t th k XVI trong các công trình c a các nhà toán h c Italy "Ngh thu t vĩ đ i hay là v các quy t c c a đ i s " (1545) c a G.Cardano (1501 - 1576) và "Đ i s " (1572) c a R.Bombelli (1530 - 1572). Nhà toán h c Đ c Felix Klein (1849 - 1925) đã đánh giá công trình c a G.Cardano như sau: "tác ph m quý giá đ n t t đ nh này đã ch a đ ng nh ng m m m ng c a đ i s hi n đ i và nó vư t xa t m c a toán h c th i c đ i". Khi gi i phương trình b c hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hi u √ √ −1 là l i gi i hình th c c a phương trình x2 + 1 = 0, xét bi u th c b −1 là nghi m hình th c c a phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó bi u th c t ng quát hơn d ng (x − a)2 + b2 = 0 1 Tên g i " o" là d ch t ti ng Pháp "imaginaire" do R.Descates đ xu t năm 1637. 11
- 12 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n có th xem là nghi m hình th c c a phương trình (x − a)2 + b2 = 0. V sau bi u th c d ng √ a + b −1, b = 0 xu t hi n trong quá trình gi i phương trình b c hai và b c ba (công th c Cardano) đư c g i là đ i lư ng " o" và sau đó đư c Gauss g i là s ph c2 và thư ng đư c kí hi u là a + bi, trong đó kí hi u √ i := −1 đư c L.Euler3 đưa vào 1777 g i là đơn v " o". Quá trình th a nh n s ph c như m t công c quý giá c a toán h c đã di n √ ra r t ch m ch p. Ngay tên g i và kí hi u i := −1 là đơn v " o" cũng đã gây nên nhi u n i băn khoăn, th c m c t đó d n đ n kh ng ho ng ni m tin vì nó không có gì chung v i s - m t công c c a phép đ m, m c dù ngư i ta v n xem đó là m t kí hi u tr u tư ng tho mãn đ nh nghĩa i2 = −1. S kh ng ho ng ni m tin càng tr nên sâu s c hơn b i vi c chuy n m t cách thi u cân nh c và thi u th n tr ng m t s quy t c c a đ i s thông thư ng cho các s ph c đã s n sinh ra nh ng ngh ch lí khó ch u. Ch ng h n như ngh ch √ lí sau đây: vì i = −1 nên i2 = −1, nhưng đ ng th i b ng cách s d ng các quy t c thông thư ng c a phép toán khai căn b c hai l i thu đư c √ √ √ i2 = −1 −1 = (−1)(−1) = (−1)2 = 1 = 1. Hóa ra −1 = 1! Ta nh n m nh l i r ng h th c i2 = −1 2 Thu t ng "s ph c" là do nhà toán h c Pháp N.Carnot (1753-1823) đưa vào đ u tiên (1803) 3 L. Euler (1707-1783) là nhà toán h c Th y sĩ
- 1.1. L ch s hình thành khái ni m s ph c 13 là đ nh nghĩa s m i i cho phép ta đưa vào xét s ph c. Đi u đó có nghĩa r ng h th c đó không th ch ng minh, nó ch là quy ư c. Tuy v y, cũng có ngư i mu n ch ng minh h th c đó. Trong cu n sách "Phương pháp to đ " c a mình, Vi n s L.S. Pointriagin đã mô t l i ch ng minh đó như sau: Đ u tiên ngư i ta l y n a đư ng tròn v i đư ng kính AB. T đi m R tuỳ ý c a n a đư ng tròn h đư ng vuông góc RS. Theo m t đ nh lí c a hình h c sơ c p, đ dài đư ng vuông góc RS là trung bình nhân gi a các đ dài c a các đo n th ng AS và SB. Vì nói đ n đ dài nên s không sai sót l n khi nói r ng bình phương đo n th ng RS b ng tích các đo n th ng AS và BS. Bây gi , tr v v i m t ph ng ph c. kí hi u đi m −1 là A ; đi m +1 là B và đi m i là R. Khi đó S s là đi m 0. Tác gi c a phép ch ng minh đã l p lu n như sau: Đo n th ng RS là i, đo n th ng AS là −1 và SB là +1. Như v y, theo đ nh lí v a nh c l i trên ta có i2 = (−1)(+1) = −1. Th t đáng ti c là phép ch ng minh kỳ l này v n đư c vi t trong sách và gi ng d y m t s trư ng ph thông trư c th chi n th II. L ch s toán h c cũng ghi l i r ng Cardano cũng đã nh c đ n các nghi m ph c nhưng l i g i chúng là các nghi m "ngu bi n". Ch ng h n, khi gi i h phương trình x + y = 10 xy = 40 √ √ Cardano đã tìm đư c nghi m 5 + −5 và 5 + −5 và ông đã g i nghi m này là "âm thu n tuý" và th m chí còn g i là "nghi m âm ngu bi n". Có l tên g i " o" là di s n vĩnh c u c a "m t th i ngây thơ đáng trân tr ng c a s h c".
- 14 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n Th m chí đ i v i nhi u nhà bác h c l n th k XVIII b n ch t đ i s và b n ch t hình h c c a các đ i lư ng o không đư c hình dung m t cách rõ ràng mà còn đ y bí n. Ch ng h n, l ch s cũng ghi l i r ng I.Newton đã không th a nh n các đ i lư ng o và không xem các đ i lư ng o thu c vào các khái ni m s , còn G.Leibniz thì th t lên r ng: "Các đ i lư ng o - đó là nơi n náu đ p đ huy n di u đ i v i tinh th n c a đ ng t i cao, đó dư ng như m t gi ng lư ng cư s ng m t ch n nào đ y gi a cái có th t và không có th t". Ngư i đ u tiên nhìn th y l i ích do đưa s ph c vào toán h c mang l i chính là nhà toán h c Italy R. Bombelli. Trong cu n "Đ i s " (1572) ông đã đ nh nghĩa các phép tính s h c trên các đ i lư ng o và do đó ông đã sáng t o nên lí thuy t các s " o". Thu t ng s ph c đư c dùng đ u tiên b i K.Gauss4 (năm 1831). Vào th k XVII - XVIII nhi u nhà toán h c khác cũng đã nghiên c u các tính ch t c a đ i lư ng o (s ph c!) và kh o sát các ng d ng c a chúng. Ch ng h n L.Euler m r ng khái ni m logarit cho s ph c b t kì (1738), còn A.Moivre5 nghiên c u và gi i bài toán căn b c t nhiên đ i v i s ph c (1736). S nghi ng đ i v i s o (s ph c!) ch tiêu tan khi nhà toán h c ngư i Nauy là C.Wessel đưa ra s minh ho hình h c v s ph c và các phép toán trên chúng trong công trình công b năm 1799. Đôi khi phép bi u di n minh ho s ph c cũng đư c g i là "sơ đ Argand" đ ghi nh n công lao c a nhà toán h c Thu S R.Argand - ngư i thu đư c k t qu như c a Wessel m t cách đ c l p. Lí thuy t thu n tuý s h c đ i v i các s ph c v i tư cách là các c p s th c có th t (a; b), a ∈ R, b ∈ R đư c xây d ng b i nhà toán h c Ailen là W.Hamilton (1837). đây đơn v " o" i ch đơn gi n là m t c p s th c có th t - c p (0; 1), t c là đơn v " o" đư c lí gi i m t cách hi n th c. 4 C.Gauss (1777-1855) là nhà toán h c Đ c 5 A.Moivre (1667-1754) là nhà toán h c Anh
- 1.1. L ch s hình thành khái ni m s ph c 15 Cho đ n th k XIX, Gauss m i thành công trong vi c lu n ch ng m t cách v ng ch c khái ni m s ph c. Tên tu i c a Gauss cũng g n li n v i phép ch ng minh chính xác đ u tiên đ i v i Đ nh lí cơ b n c a Đ i s kh ng đ nh r ng trong trư ng s ph c C m i phương trình đa th c đ u có nghi m. B n ch t đ i s c a s ph c th hi n ch s ph c là ph n t c a trư ng m r ng (đ i s ) C c a trư ng s th c R thu đư c b ng phép ghép đ i s cho R nghi m i c a phương trình x2 + 1 = 0. V i đ nh lí cơ b n c a đ i s , Gauss đã ch ng minh đư c trư ng C tr thành trư ng đóng đ i s . Đi u đó có nghĩa là khi xét các nghi m c a phương trình đ i s trong trư ng này ta không thu đư c thêm s m i. Đương nhiên trư ng s th c R (và do đó c trư ng s h u t Q) không có tính ch t đóng đ i s . Ch ng h n, phương trình v i h s th c có th không có nghi m th c. Nhìn l i hơn 2500 năm t th i Pythagor đ n gi , con đư ng phát tri n khái ni m v s có th tóm t t b i N → Z → Q → R → C v i các bao hàm th c: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. B ng các k t qu sâu s c trong các công trình c a các nhà toán h c K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce ngư i ta m i nh n ra r ng m i c g ng m r ng t p s ph c theo con đư ng trên đ u không có k t qu kh quan. K.Weierstrass đã ch ng minh t p h p s ph c C không th m r ng thành t p h p r ng hơn b ng cách ghép thêm s m i đ trong t p h p s r ng hơn thu đư c v n b o toàn m i phép tính và m i quy lu t c a các phép toán đã đúng trong t p h p s ph c. Như v y, các t p h p s m i ch a t p s ph c ch có th thu đư c b ng vi c t b m t s tính ch t thông thư ng nào đó c a các s ph c. Ch ng h n nhà toán h c Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã b t phá ra kh i ph m vi s ph c và thu đư c các quatenion là trư ng h p đơn gi n nh t c a h siêu
- 16 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n ph c nhưng đành ph i t b tính ch t giao hoán c a phép nhân. H th ng các quatenion là h không giao hoán và các quatenion th hi n đư c trong không gian b n chi u R4. D ng t ng quát c a quatenion là a + bi + cj + dk; a, b, c, d ∈ R, trong đó 1; i; j; k đư c Hamilton ch ra là các đơn v siêu ph c và đư c Hamilton g i là các quatenion. đây i2 = j 2 = k 2 = ijk = −1 và chính Hamilton đã l p ra b ng nhân sau đây: x i j k i −1 k −j j −k −1 i k j −i −1 Đ d nh b ng nhân này ta lưu ý hình v b tr sau. Ta bi u di n các quatenion i, j, k b i ba đi m trên đư ng tròn theo th t cùng chi u kim đ ng h . Tích c a hai s b t kì trong b ba i, j, k b ng s th ba n u phép vòng quanh t th a s th nh t đ n th a s th hai là theo chi u kim đ ng h và b ng s th ba và v i d u tr n u phép vòng quanh đó ngư c chi u kim đ ng h . Rõ ràng là phép nhân không có tính ch t giao hoán. Đ i v i toán h c ngày nay các s ph c và siêu ph c là nh ng ch nh th hoàn toàn t nhiên, nó không " o" hơn chút nào so v i chính các s th c. Nhìn l i l ch s lâu dài c a s phát tri n khái ni m s ta th y r ng c m i l n khi đưa vào nh ng s m i các nhà toán h c cũng đ ng th i đưa vào các quy t c th c hi n các phép toán trên chúng. Đ ng th i v i đi u đó các nhà toán h c luôn luôn c g ng b o toàn các quy lu t s h c cơ b n (lu t giao hoán c a
- 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 17 phép c ng và phép nhân, lu t k t h p và lu t phân b , lu t s p x p tuy n tính c a t p h p s ). Tuy nhiên s b o toàn đó không ph i khi nào cũng th c hi n đư c. Ví như khi xây d ng trư ng s ph c ngư i ta đã không b o toàn đư c lu t s p x p tuy n tính v n có trong trư ng s th c, hay khi xây d ng t p h p các s quatenion ta cũng không b o toàn đư c lu t giao hoán c a phép nhân. T ng k t l ch s toàn b quá trình phát tri n khái ni m s , nhà toán h c Đ c L.Kronecker (1823 - 1891) đã vi t: "Thư ng đ đã t o ra s t nhiên, còn t t c các lo i s còn l i đ u là công trình sáng t o c a con ngư i". Có th nói r ng v i kh ng đ nh b t h này L.Kronecker đã xác đ nh n n móng v ng ch c cho toà lâu đài toán h c tráng l mà con ngư i đang s h u. 1.2 Các d ng bi u di n s ph c 1.2.1 Bi u di n s ph c dư i d ng c p M i s ph c a + bi hoàn toàn đư c xác đ nh b i vi c cho hai s th c a và b thông thư ng (a, b ∈ R) g i là các thành ph n c a chúng. Ngư i đ u tiên c g ng nêu rõ đ c trưng quy lu t c a các phép tính b ng ngôn ng các thành ph n không c n nh c đ n kí hi u "nghi v n" i là Hamilton. C th , ông đã di n t m i s ph c b i m t c p s th c (có th t ) thông thư ng. Vì t p h p s th c là t p h p con c a t p h p s ph c C nên khi xác đ nh các phép tính s h c cơ b n trên các s ph c ta c n đòi h i r ng khi áp d ng cho các s th c các phép toán đó đưa l i k t qu như k t qu thu đư c trong s h c các s th c. M t khác, n u ta mong mu n các s ph c có nh ng ng d ng trong các v n đ c a gi i tích thì ta c n đòi h i r ng các phép toán cơ b n đư c đưa vào đó ph i tho mãn các tiên đ thông thư ng c a s h c các s th c. Đ nh nghĩa 1.1. M t c p s th c có th t (a; b), a ∈ R, b ∈ R, đư c g i
- 18 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n là m t s ph c n u trên t p h p các c p đó quan h b ng nhau, phép c ng và phép nhân đư c đưa vào theo các đ nh nghĩa (tiên đ ) sau đây: a=c i) Quan h đ ng nh t trong t p s ph c: (a; b) = (c; d) ⇔ b = d. Chú ý r ng đ i v i hai s ph c b ng nhau (a; b) và (c; d) ta có th vi t (a; b) ≡ (c; d) (n u mu n nh n m nh đây là quan h đ ng nh t gi a hai c p s th c s p th t ) ho c (a; b) = (c; d) (n u mu n nói r ng đây là quan h b ng nhau gi a hai s ph c). ii) Phép c ng trong t p s ph c: (a; b) + (c; d) := (a + c; b + d) và c p (a + c; b + d) đư c g i là t ng c a các c p (a; b) và (c; d). iii) Phép nhân trong t p s ph c: (a; b)(c; d) := (ac − bd; ad + bc) và c p (ac − bd; ad + bc) đư c g i là tích c a các c p (a; b) và (c; d). iv) S th c trong t p s ph c: C p (a; 0) đư c đ ng nh t v i s th c a, nghĩa là (a; 0) := a hay là (a; 0) ≡ a. T p h p các s ph c đư c kí hi u là C. Như v y, m i ph n c a đ nh nghĩa s ph c đ u đư c phát bi u b ng ngôn ng s th c và các phép toán trên chúng. Trong đ nh nghĩa này ba tiên đ đ u th c ch t là đ nh nghĩa khái ni m b ng nhau, khái ni m t ng và khái ni m tích c a các s ph c. Do đó vi c đ i chi u các tiên đ đó v i nhau s không d n đ n b t c mâu thu n nào. Đi u duy nh t có th gây ra đôi chút lo ng i là tiên đ iv). V n đ là ch v n dĩ các khái ni m b ng nhau, t ng và tích các s th c có ý nghĩa hoàn toàn xác đ nh và do đó n u các khái ni m này không tương thích v i nh ng khái ni m đư c đ c p đ n trong các tiên đ i) - iii) khi xét các s th c v i tư cách là các c p d ng đ c bi t thì bu c ph i lo i tr tiên đ iv). Do đó ta c n đ i chi u tiên đ iv) v i các tiên đ i), ii) và iii).
- 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 19 1) i) - iv). Gi s hai s th c a và b b ng nhau như nh ng c p d ng đ c bi t đ ng nh t v i chúng: (a; 0) = (b; 0). Khi đó theo tiên đ i), ta có (a; 0) = (b; 0) ⇔ a = b, t c là chúng b ng nhau theo nghĩa thông thư ng. 2) ii) - iv). Theo tiên đ ii), t ng hai s th c a và c đư c xét như nh ng c p (a; 0) và (c; 0) là b ng c p (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0). Nhưng theo tiên đ iv) thì (a + c; 0) ≡ a + c. Như v y (a; 0) + (c; 0) = (a + c; 0 + 0) = (a + c; 0) ≡ a + c, t c là đ ng nh t b ng t ng a + c theo nghĩa thông thư ng. 3) iii) - iv). Theo tiên đ iii), tích các s th c a và b đư c xét như nh ng c p (a; 0) và (c; 0) là b ng c p (ac − 0 · 0; a · 0 + 0 · c) = (ac; 0) và theo tiên đ iv) ta có (ac; 0) ≡ ac. Như v y (a; 0)(c; 0) = (ac; 0) ≡ ac, t c là đ ng nh t b ng tích a v i c theo nghĩa thông thư ng. Như v y tiên đ iv) tương thích v i các tiên đ i), ii) và iii). Ta cũng lưu ý các công th c sau đây đư c suy tr c ti p t iii) và iv): λ(a; b) = (λa; λb), λ ∈ R. Th t v y, t iv) và iii) ta có: λ(a; b) = (λ; 0)(a; b) = (λa − 0 · b; λb + 0 · a) = (λa; λb). N u λ = m ∈ N thì theo ii) ta có (a; b) + (a; b) = (2a; 2b);
- 20 Chương 1. S ph c, bi n ph c l ch s và các d ng bi u di n (2a; 2b) + (a; b) = (3a; 3b), . . . t c là (ma; mb) là k t qu phép c ng liên ti p m s h ng b ng (a; b). Đi u đó phù h p v i bi u tư ng thông thư ng là phép nhân v i s t nhiên tương ng v i phép c ng m s h ng b ng nhau. D dàng th y r ng các tiên đ ii) và iii) là tương thích v i nhau và các quy lu t thông thư ng c a các phép tính th c hi n trên các s v n đư c b o toàn khi chuy n sang s ph c (đương nhiên ph i c t b các quy lu t có quan h t i tính ch t s p đư c tuy n tính). T đ nh nghĩa suy ra trong t p h p C phép c ng và phép nhân có tính ch t k t h p và giao hoán ; phép nhân liên h v i phép c ng theo lu t phân b ; phép c ng có phép tính ngư c là phép tr và do đó t n t i ph n t 0 là c p (0 ; 0) vì (a; b) + (0; 0) = (a; b), ∀a, b ∈ R. Vai trò đơn v trong t p h p s ph c C là c p (1; 0) vì theo tiên đ iii) (a; b)(1; 0) = (a; b). Hai s ph c z = (a; b) và z = (a; −b) đư c g i là liên h p v i nhau. Ta có ¯ z z = (a; b)(a; −b) = a2 + b2 ≥ 0. ¯ T tính ch t này suy ra r ng v i m i (a; b) = (0; 0) t n t i c p ngh ch đ o (a; b)−1, c th là c p 1 a b (a; −b) = 2 ,− 2 . a2 +b2 a +b2 a + b2 Như v y ta đã ch ng minh r ng t p h p các s ph c C l p thành m t trư ng. Trư ng đó có tính ch t : (a) R ⊂ C. (b) Phương trình x2 + 1 = 0 có nghi m trong C. Đó là c p (0 ; 1) và (0 ; -1). Dư i d ng c p các phép toán trên C đư c th c hi n theo các quy t c
- 1.2. Các d ng bi u di n s ph c 21 (i). (a1; b1)+(a2 ; b2 ) = (a1 +a2; b1 +b2 ) ; (a1; b1)−(a2 ; b2) = (a1 −a2; b1 −b2) ; (ii). (a1 ; b1)(a2; b2) = (a1a2 − b1 b2; a1 b2 + a2b1 ); (a1; b1) a1a2 + b1 b2 a1b2 − aq2b1 (iii). = ; , trong đó (a2 ; b2) = (0; 0). (a2; b2) a2 + b2 2 2 a2 + b2 2 2 1.2.2 Bi u di n s ph c dư i d ng đ i s Như v y, ta đã đ nh nghĩa và di n đ t m i quy t c tính th c hi n trên các s ph c b ng ngôn ng các thành ph n t c là b ng ngôn ng các s th c. Đi u này r t quan tr ng vì v i cách đó ngư i ta không b ám nh b i "cái o"c a kí hi u i mang l i (m c dù nó r t th c vì i là c p (0 ; 1).) Bây gi ta tr v v i cách vi t thông thư ng (hay dư i d ng Descartes) đ i v i s ph c. Rõ ràng là m i s ph c (a; b) ∈ C đ u bi u di n đư c dư i d ng (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)(0; 1) = a + bi, trong đó c p (0; 1) đư c kí hi u b i ch i. T tiên đ iii), suy r ng i2 = (0; 1)(0; 1) = (0 · 0 − 1 · 1; 0 · 1 + 1 · 0) = (−1; 0) = −1. Như v y ta đã tr v v i cách vi t thông thư ng đ i v i s ph c (a; b) dư i d ng a + bi nhưng gi đây đơn v o i có ý nghĩa hoàn toàn hi n th c vì nó là m t trong các c p s th c mà các phép tính trên chúng đư c đ nh nghĩa b i các tiên đ i), ii), iii) và iv), đó chính là c p (0; 1). Th m chí, có th xem nhân t i bên c nh s th c b như m t d u hi u ch rõ s th c b là thành ph n th hai c a s ph c (a; b). Thành ph n th nh t c a s ph c z = a + bi đư c g i là ph n th c c a s đó và đư c kí hi u Re z, thành ph n th hai đư c g i là ph n o và đư c kí hi u là Im z. C n nh n m nh r ng ph n o cũng như ph n th c c a s ph c là nh ng s th c.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Biến phức định lý và áp dụng P2
50 p |
325 |
156
-
Bất đẳng thức thuần nhất P2
31 p |
240 |
129
-
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ
15 p |
554 |
112
-
Biến phức định lý và áp dụng P3
50 p |
180 |
109
-
Giải tích đa trị P1
40 p |
182 |
94
-
Biến phức định lý và áp dụng P4
50 p |
188 |
89
-
Ebook Biến phức Định lý và áp dụng - Nguyễn Văn Mậu
415 p |
172 |
80
-
Biến phức định lý và áp dụng P5
50 p |
156 |
75
-
Biến phức định lý và áp dụng P6
50 p |
158 |
74
-
Giải tích đa trị P2
40 p |
141 |
71
-
Biến phức định lý và áp dụng P7
50 p |
130 |
69
-
Biến phức định lý và áp dụng P9
15 p |
122 |
63
-
Biến phức định lý và áp dụng P8
50 p |
146 |
61
-
Giải tích đa trị P3
40 p |
121 |
58
-
Giáo trình môn Toán: Giải tích đa trị
0 p |
35 |
12
-
Bài giảng Biến phức định lý và áp dụng
50 p |
66 |
9
-
Tỉ số kép của hàng điểm và áp dụng
19 p |
20 |
7

Set-Cookie: TLDEVNamespace=nruo41oui32do7p2efd0ujoo90; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly