markdown:
# Số tự nhiên
Trong
[toán học](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc), một **số tự nhiên** là một [số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn) [dương](/wiki/S%E1%BB%91_d%C6%B0%C6%A1ng) (1, 2, 3, 4,...) hoặc là một **số nguyên không âm** (0, 1, 2, 3, 4,...). Nhìn chung, định nghĩa đầu thường được dùng trong [lý thuyết số](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91), trong khi định nghĩa sau được thích dùng hơn trong [lý thuyết tập hợp](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p) và [khoa học máy tính](/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_m%C3%A1y_t%C3%ADnh).
Trong tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam
, số tự nhiên được định nghĩa theo kiểu là số nguyên không âm. [1]
Số tự nhiên được dùng với hai mục đích chính: chúng có thể được dùng để
[đếm](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BA%BFm&action=edit&redlink=1) ("có ba quả táo trên bàn"), và có thể dùng để [sắp xếp thứ bậc](/w/index.php?title=S%E1%BA%AFp_x%E1%BA%BFp_th%E1%BB%A9_b%E1%BA%ADc&action=edit&redlink=1) ("đây là thành phố lớn thứ 3 trong cả nước").
Các tính chất của số tự nhiên liên hệ đến
[tính chia hết](/w/index.php?title=T%C3%ADnh_chia_h%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1), chẳng hạn như sự phân bố của các [số nguyên tố](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91), được nghiên cứu trong ngành [lý thuyết số](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91). Các vấn đề liên quan đến sự đếm, chẳng hạn [lý thuyết Ramsey](/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_Ramsey&action=edit&redlink=1), được nghiên cứu trong [toán tổ hợp](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_t%E1%BB%95_h%E1%BB%A3p).
## Mục lục
[1 Lịch sử số tự nhiên và vai trò của số 0](#L.E1.BB.8Bch_s.E1.BB.AD_s.E1.BB.91_t.E1.BB.B1_nhi.C3.AAn_v.C3.A0_vai_tr.C3.B2_c.E1.BB.A7a_s.E1.BB.91_0) [2 Ký hiệu](#K.C3.BD_hi.E1.BB.87u) [3 Định nghĩa hình thức](#.C4.90.E1.BB.8Bnh_ngh.C4.A9a_h.C3.ACnh_th.E1.BB.A9c) [4 Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên](#C.C3.A1c_ph.C3.A9p_to.C3.A1n_tr.C3.AAn_t.E1.BA.ADp_h.E1.BB.A3p_s.E1.BB.91_t.E1.BB.B1_nhi.C3.AAn) [5 Tổng quát hóa](#T.E1.BB.95ng_qu.C3.A1t_h.C3.B3a) [6 Các tập hợp số](#C.C3.A1c_t.E1.BA.ADp_h.E1.BB.A3p_s.E1.BB.91) [7 Ghi chú](#Ghi_ch.C3.BA) [8 Liên kết ngoài](#Li.C3.AAn_k.E1.BA.BFt_ngo.C3.A0i)
## Lịch sử số tự nhiên và vai trò của số 0[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=1)]
Người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt đầu bằng số một.
Một bước tiến quan trọng đầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hóa việc biểu diễn các số bằng các
[chữ số](/wiki/Ch%E1%BB%AF_s%E1%BB%91). Điều này đã cho phép con người phát triển các hệ thống nhằm ghi lại các số lớn. Ví dụ, người [Babylon](/wiki/Babylon) phát triển một hệ thống [giá trị theo vị trí](/w/index.php?title=Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_theo_v%E1%BB%8B_tr%C3%AD&action=edit&redlink=1) rất hữu dụng mà chủ yếu dựa trên biểu diễn số ban đầu cho 1 và 10. Người [Ai Cập](/wiki/Ai_C%E1%BA%ADp) cổ đại có một hệ thống chữ số với các chữ tượng hình để diễn tả 1, 10, và tất cả các lũy thừa của 10 cho đến một triệu. Một mẫu đá khắc thu được từ [Karnak](/w/index.php?title=Karnak&action=edit&redlink=1), xác định niên đại khoảng [1500 TCN](/w/index.php?title=1500_TCN&action=edit&redlink=1), và hiện nay đang được lưu trữ tại viện [Bảo tàng Louvre](/wiki/B%E1%BA%A3o_t%C3%A0ng_Louvre) ở [Paris](/wiki/Paris), thể hiện số 276 như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và cũng thể hiện tương tự với số 4.622.
Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện
[số không](/wiki/0) như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng [700 TCN](/wiki/700_TCN), những người Babylon đã dùng [chữ số](/wiki/Ch%E1%BB%AF_s%E1%BB%91) [không](/wiki/0_(s%E1%BB%91)) trong hệ thống ký hiệu [giá trị theo vị trí](/w/index.php?title=Gi%C3%A1_tr%E1%BB%8B_theo_v%E1%BB%8B_tr%C3%AD&action=edit&redlink=1) nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn, người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau - người Babylon dùng hệ cơ số 60 - để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới [2] ). Các nền văn minh [[3]](#cite_note-3) [Olmec](/wiki/Olmec)và [Maya](/wiki/Maya)đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng [thế kỷ thứ 1 trước Công Nguyên](/w/index.php?title=Th%E1%BA%BF_k%E1%BB%B7_th%E1%BB%A9_1_tr%C6%B0%E1%BB%9Bc_C%C3%B4ng_Nguy%C3%AAn&action=edit&redlink=1)(dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng [Trung Mỹ](/wiki/Trung_M%E1%BB%B9). Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học [Ấn Độ](/wiki/%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99) [Brahmagupta](/wiki/Brahmagupta)vào năm [628](/wiki/628). Mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các [nhà tính toán](/w/index.php?title=Nh%C3%A0_t%C3%ADnh_to%C3%A1n&action=edit&redlink=1) [thời Trung Cổ](/wiki/Trung_C%E1%BB%95)(dùng để tính ngày [Phục Sinh](/wiki/Ph%E1%BB%A5c_Sinh)) mà khởi đầu là [Dionysius Exiguus](/wiki/Dionysius_Exiguus)vào năm [525](/wiki/525), nhưng nhìn chung vẫn không có một [chữ số La Mã](/wiki/S%E1%BB%91_La_M%C3%A3)nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ [Latinh](/wiki/Latinh)là *nullae*, có nghĩa là "không có gì" để chỉ số không.
Người ta thường xem các nhà triết học
[Hy Lạp](/wiki/Hy_L%E1%BA%A1p) [Pythagore](/wiki/Pythagoras) và [Archimedes](/wiki/Archimedes) là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một [thực thể trừu tượng](/w/index.php?title=Th%E1%BB%B1c_th%E1%BB%83_tr%E1%BB%ABu_t%C6%B0%E1%BB%A3ng&action=edit&redlink=1). Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như [Ấn Độ](/wiki/%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99), [Trung Quốc](/wiki/Trung_Qu%E1%BB%91c) và [Trung Mỹ](/wiki/Trung_M%E1%BB%B9) cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.
Đến
[thế kỷ 19](/wiki/Th%E1%BA%BF_k%E1%BB%B7_19), một định nghĩa mang tính [lý thuyết tập hợp](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p) của số tự nhiên đã xuất hiện và phát triển. Với kiểu định nghĩa như vậy, việc gộp cả số không (ứng với [tập rỗng](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_r%E1%BB%97ng)) vào trong số tự nhiên đã trở nên thuận tiện hơn. Ưu điểm này được các [nhà lý thuyết tập hợp](/w/index.php?title=Nh%C3%A0_l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p&action=edit&redlink=1), [nhà luận lý học](/w/index.php?title=Nh%C3%A0_lu%E1%BA%ADn_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc&action=edit&redlink=1) và [nhà khoa học máy tính](/w/index.php?title=Nh%C3%A0_khoa_h%E1%BB%8Dc_m%C3%A1y_t%C3%ADnh&action=edit&redlink=1) sử dụng về sau. Các nhà toán học khác, chủ yếu là các [nhà lý thuyết số](/w/index.php?title=Nh%C3%A0_l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1), lại thích dùng định nghĩa cổ điển hơn và không gộp số không vào trong số tự nhiên.
Giáo sư toán học của Đại học Quốc gia Singapore Lam Lay Yong thì cho rằng người Trung Quốc biết đến sử dụng con số để đếm từ khoảng năm 475 TCN thông qua phát hiện việc sử dụng các bó que để làm phép tính thời kỳ này
. [4]
## Ký hiệu[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=2)]
Các nhà toán học dùng ký hiệu
**N** hay cho [tập hợp](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p) tất cả các số tự nhiên. Theo định nghĩa, tập hợp này [vô hạn](/wiki/V%C3%B4_t%E1%BA%ADn) và [đếm được](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_%C4%91%E1%BA%BFm_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c).
Để không bị nhầm lẫn về việc tập hợp số tự nhiên có
[số không](/wiki/0) hay không, đôi khi người ta dùng thêm chỉ số dưới "0" để ám chỉ là có chứa số không, và chỉ số trên "*" để ám chỉ không chứa số không **N** 0= { 0, 1, 2,... }; **N** *= { 1, 2,... }.
(Đôi khi một số tác giả dùng chỉ số dưới hoặc chỉ số trên "+" để ám chỉ khái niệm "dương" của số tự nhiên, tức là
**N** + hay **N** + = { 1, 2,... }. Thế nhưng, cần thận trọng với ký hiệu kiểu này, vì trong một số trường hợp khác, ít nhất là đối với trường phái toán [châu Âu](/wiki/Ch%C3%A2u_%C3%82u), ký hiệu này lại ám chỉ cho khái niệm "không âm", lấy ví dụ: **R** + = [0,∞) hay **Z** + = { 0, 1, 2,... }. Trong khi đó, ký hiệu * là chuẩn mực dùng cho khái niệm "khác số không" hay tổng quát hơn là dùng cho một phần tử có thể [nghịch đảo được](/w/index.php?title=Ngh%E1%BB%8Bch_%C4%91%E1%BA%A3o_%C4%91%C6%B0%E1%BB%A3c&action=edit&redlink=1). Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam , cũng dùng ký hiệu [1] **N** *.
Các nhà lý thuyết tập hợp thường ký hiệu tập hợp tất cả các số tự nhiên là ω. Nếu ký hiệu này được dùng thì hiển nhiên đây là tập số tự nhiên có bao gồm số không.
## Định nghĩa hình thức[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=3)]
Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các
[định đề](/wiki/Ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81) [Peano](/wiki/Giuseppe_Peano) đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số phép xây dựng cho thấy rằng, với [lý thuyết tập hợp](/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p) đã biết, các [mô hình](/w/index.php?title=M%C3%B4_h%C3%ACnh&action=edit&redlink=1) của các định đề Peano chắc chắn tồn tại.
### Các tiên đề Peano[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=4)]
- Có một số tự nhiên 0
- Với mọi số tự nhiên
*a*, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là *S*( *a*).
- Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
- Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu
*a*≠ *b*thì *S*( *a*) ≠ *S*( *b*).
- Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép
[quy nạp toán học](/w/index.php?title=Quy_n%E1%BA%A1p_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc&action=edit&redlink=1)là đúng.)
Cần lưu ý rằng "0" ở định nghĩa trên không nhất thiết phải là
[số không](/wiki/0) mà chúng ta vẫn thường nói đến. "0" ở đây chẳng qua là một đối tượng nào đó mà khi kết hợp với một hàm liền sau nào đó thì sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano. Có nhiều hệ thống thỏa mãn các tiên đề này, trong đó có các số tự nhiên (bắt đầu bằng số không hay bằng số một).
### Xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=5)]
#### Phép xây dựng chuẩn[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=6)]
Trong lý thuyết tập hợp có một phép xây dựng chuẩn dùng để xác định số tự nhiên như sau:
- Chúng ta định nghĩa 0:=
[{ }](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_r%E1%BB%97ng)
- và định nghĩa
*S*( *a*) = *a*U { *a*} với mọi *a*.
- Sau đó tập hợp số tự nhiên được
*định nghĩa*là giao của tất cả các tập hợp chứa 0 mà là các tập đóng đối với hàm liền sau.
- Nếu chúng ta thừa nhận
[tiên đề về tính vô hạn](/w/index.php?title=Ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81_v%E1%BB%81_t%C3%ADnh_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1)thì sẽ chứng minh được định nghĩa này thỏa mãn các tiên đề Peano.
- Mỗi số tự nhiên khi đó bằng tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn nó, sao cho:
- 0 =
[{ }](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_r%E1%BB%97ng)
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- 0 =
- và vân vân. Khi ta thấy một số tự nhiên được dùng như là một tập hợp, thì thông thường, ý nghĩa của nó như được trình bày ở trên. Theo định nghĩa đó, có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) trong tập
*n*và *n≤m*(cũng theo nghĩa bình thường) [khi và chỉ khi](/wiki/T%C6%B0%C6%A1ng_%C4%91%C6%B0%C6%A1ng_logic) *n*là một [tập con](/wiki/T%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_con)của *m*.
- Cũng từ định nghĩa này, những cách hiểu khác nhau về các ký hiệu như
**R** (là một n-tuple hay là một ánh xạ từ n vào *n* **R**) trở nên tương đương nhau.
#### Các phép xây dựng khác[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=7)]
Mặc dầu phép xây dựng chuẩn là thông dụng, nó không phải là phép xây dựng duy nhất. Ví dụ:
Hay chúng ta có thể định nghĩa 0 = {{ }}
- và
*S*( *a*) = *a*U { *a*}
- tạo ra
- 0 = {{ }}
- 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
- 2 = {{ }, 0, 1}, v.v..
Có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho
[Frege](/wiki/Gottlob_Frege) và [Russell](/wiki/Bertrand_Russell). Trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên *n* cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có *n* phần tử.
Frege và Rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa (với
*A* là một tập bất kỳ) là . Như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử, sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử, sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. Sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép (tức là nếu tập này chứa phần tử *n* thì nó cũng phải chứa ).
Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của
[lý thuyết tập hợp tiên đề](/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_t%E1%BA%ADp_h%E1%BB%A3p_ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81&action=edit&redlink=1) vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với [tiên đề tách](/wiki/Ti%C3%AAn_%C4%91%E1%BB%81_t%C3%A1ch) - *separation axiom*); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong [Cơ sở Mới](/w/index.php?title=C%C6%A1_s%E1%BB%9F_M%E1%BB%9Bi&action=edit&redlink=1) ( *New Foundations*) (và trong các hệ thống tương thích với Cơ sở Mới) và trong một vài hệ thống của [lý thuyết kiểu](/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_ki%E1%BB%83u&action=edit&redlink=1).
Trong phần còn lại của bài này, chúng ta sử dụng phép xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.
## Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=8)]
Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau
### Phép cộng[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=9)] *a*+ 0 = *a* *a*+ *S*( *b*) = *S*( *a*) + *b*
- Phép cộng này khiến (
**N**,+) trở thành một [vị nhóm](/wiki/V%E1%BB%8B_nh%C3%B3m) [giao hoán](/wiki/Giao_ho%C3%A1n)với [phần tử trung lập](/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD_trung_l%E1%BA%ADp&action=edit&redlink=1)là 0, cũng là một [vị nhóm tự do](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%91i_t%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%B1_do&action=edit&redlink=1)với một hệ sinh nào đó. [Vị nhóm](/wiki/V%E1%BB%8B_nh%C3%B3m)thỏa [tính chất khử](/w/index.php?title=T%C3%ADnh_ch%E1%BA%A5t_kh%E1%BB%AD&action=edit&redlink=1)và do đó có thể được nhúng trong một [nhóm](/wiki/Nh%C3%B3m_(%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91)). Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là [số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn).
Nếu chúng ta ký hiệu
*S*(0) là 1, khi đó *S*( *b*) = *S*( *b*+0) = b + 1; tức là, số liền sau của *b* chẳng qua là *b* + 1.
### Phép nhân[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=10)]
Tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau
*a*×0 = 0 *a*× *S*( *b*) = ( *a*× *b*) + *a*.
- Phép nhân được định nghĩa như vậy khiến (
**N**,×) trở thành một [vị nhóm](/wiki/V%E1%BB%8B_nh%C3%B3m)với [phần tử trung lập](/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A7n_t%E1%BB%AD_trung_l%E1%BA%ADp&action=edit&redlink=1)là 1; một hệ sinh của vị nhóm này chính là tập hợp các [số nguyên tố](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91).
- Phép cộng và phép nhân thỏa
[tính chất phân phối](/w/index.php?title=T%C3%ADnh_ch%E1%BA%A5t_ph%C3%A2n_ph%E1%BB%91i&action=edit&redlink=1): *a*×( *b*+ *c*) = ( *a*× *b*) + ( *a*× *c*).
- Các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của
[nửa vành](/w/index.php?title=N%E1%BB%ADa_v%C3%A0nh&action=edit&redlink=1) [giao hoán](/wiki/Giao_ho%C3%A1n). [Nửa vành](/w/index.php?title=N%E1%BB%ADa_v%C3%A0nh&action=edit&redlink=1)là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.
Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa "không có số 0" và "bắt đầu bằng số 1" thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại
*a* + 1 = *S*( *a*) và *a*×1 = a.
Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết
*a.b* để ám chỉ tích *a*× *b*, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về [thứ tự thực hiện các phép toán](/w/index.php?title=Th%E1%BB%A9_t%E1%BB%B1_th%E1%BB%B1c_hi%E1%BB%87n_c%C3%A1c_ph%C3%A9p_to%C3%A1n&action=edit&redlink=1).
### Quan hệ thứ tự[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=11)]
Hơn nữa, chúng ta có thể định nghĩa một
[quan hệ thứ tự toàn phần](/w/index.php?title=Quan_h%E1%BB%87_th%E1%BB%A9_t%E1%BB%B1_to%C3%A0n_ph%E1%BA%A7n&action=edit&redlink=1) trên tập số tự nhiên như sau: *Với hai số tự nhiên a,b, ta có a ≤ b nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b.*
- Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta:
- Nếu
*a*, *b*và *c*là các số tự nhiên và *a*≤ *b*, thì *a*+ *c*≤ *b*+ *c*và *a* *c*≤ *b* *c*.
- Tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là
[tập sắp tốt](/w/index.php?title=T%E1%BA%ADp_s%E1%BA%AFp_t%E1%BB%91t&action=edit&redlink=1): mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.
### Phép chia có dư và tính chia hết[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=12)]
Cho hai số tự nhiên
*a*, *b*, ngoài ra *b*≠ *0*. Xét tập hơp **M** các số tự nhiên p sao cho *p*. *b* ≤ *a*. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của **M** là *q*. Khi đó *b* *q* ≤ a và *b*( *q*+ *1*)>a. Đặt *r*= *a*- *b*. *q*. Khi đó ta có *a*= *b*. *q*+ *r*, trong đó *0*≤ *r*< *b*.
Có thể chứng minh rằng các số
*q* và *r* là duy nhất. Số *q* được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số *r* được gọi là số dư khi chia *a* cho *b*. Nếu *r* = *0* thì *a*= *b*. *q*. Khi đó ta nói rằng *a* chia hết cho *b* hay *b* chia hết *a*. Khi đó ta cũng nói rằng *b* là ước của *a*, *a* là bội của *b*.
## Tổng quát hóa[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=13) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=13)]
Với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này:
[số thứ tự](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_th%E1%BB%A9_t%E1%BB%B1&action=edit&redlink=1) được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một [dãy sắp thứ tự](/w/index.php?title=D%C3%A3y_s%E1%BA%AFp_th%E1%BB%A9_t%E1%BB%B1&action=edit&redlink=1) và [bản số](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1) dùng để xác định kích thước của một tập hợp nào đó.
Trong trường hợp dãy
[hữu hạn](/w/index.php?title=H%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1) hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là đồng nhất với nhau.
## Các tập hợp số[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=14) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=14)]
- : Tập hợp số tự nhiên
- : Tập hợp
[số nguyên](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn)
- : Tập hợp
[số hữu tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89)
- = : Tập hợp
[số vô tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89)
- : Tập hợp
[số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c)
## Ghi chú[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=15) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=15)]
- ^
**a** [Toán lớp 6 tập 1 - Nhà Xuất bản Giáo dục 2004](#cite_ref-ReferenceA_1-1) **ă** **... một tấm khắc tìm thấy ở** [^](#cite_ref-2) [Kish](/w/index.php?title=Kish&action=edit&redlink=1)... vào khoảng năm 700 TCN, dùng ba dấu móc để ký hiệu một vị trí trống trong hệ thống ký hiệu có giá trị theo vị trí. Một số tấm khắc khác cũng được tạo ra cùng thời gian dùng một dấu móc để ký hiệu một vị trí trống. [[1]](http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html) **G.N. Becman.** [^](#cite_ref-3) *Số và khoa học về số*(tiếng Nga)-bản dịch tiếng Việt của Nguyễn Hữu Trương và Thế Trường. Nhà Xuất bản Giáo dục 2003, trang 29 [^](#cite_ref-4) [Người Trung Quốc phát minh ra con số 1.000 năm trước bất kỳ cộng đồng nào khác trên thế giới](http://vnexpress.net/GL/Khoa-hoc/2002/06/3B9BD1E1/)
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&veaction=edit&vesection=16) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn&action=edit§ion=16)] [Bài giảng về Số học và số tự nhiên](http://www.ctu.edu.vn/coursewares/supham/sohoc/sohoc_1-2.htm)tại trường Đại học Cần Thơ [Số tự nhiên](http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html)tại MathWorld.
|
|
|Split
||Other types
|

X-Cache: cp1053 hit/1, cp1068 miss


markdown:
# tâtonnement
Từ điển mở Wiktionary
## Tiếng Pháp[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-fra-&action=edit§ion=T-1)]
### Cách phát âm[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-pron-&action=edit§ion=T-1)]
### Danh từ[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-noun-&action=edit§ion=T-1)]
|
|Số ít |
|Số nhiều
|
|tâtonnement |
|**tâtonnement** gđ [/ta.tɔn.mɑ̃/](/wiki/Wiktionary:IPA)
- Sự
[sờ](/wiki/s%E1%BB%9D) [soạn](/wiki/so%E1%BA%A1n). *Les*— sự sờ soạng của người mù **tâtonnements**d’un aveugle
-
- Sự
[mò mẫm](/wiki/m%C3%B2_m%E1%BA%ABm). *Expérience de*— thí nghiệm mò mẫm **tâtonnement**
-
### Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-ref-&action=edit§ion=T-1)]
- Hồ Ngọc Đức,
[Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí](http://www.informatik.uni-leipzig.de/~duc/Dict/)( [chi tiết](/wiki/Wiktionary:Ngu%E1%BB%93n_g%E1%BB%91c/FVDP))

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wiktionary.org

Connection: close

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

X-Cache-Status: miss

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wiktionary.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Content-Language: vi

X-UA-Compatible: IE=Edge

X-Cache: cp1066 miss, cp1055 miss

Vary: Accept-Encoding,Cookie,Authorization

Accept-Ranges: bytes

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


markdown:
![](/images/line.jpg)
**Xuất xứ**» Trung Quốc
Mã hàng : AKI-113-3841
Mã hàng : AKI-113-4174
Mã hàng : AKI-113-4175
Mã hàng : AKI-113-4176
Mã hàng : AKI-113-4177
Mã hàng : AKI-117-5264
Mã hàng : INE-416-0928
Mã hàng : AKI-410-1208
Mã hàng : AKI-608-0160
Mã hàng : ERA-405-1250

Pragma: no-cache

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Content-Type: text/html


markdown:
## nokia n70
|
|
|
|
![]()
![]()
nokia n70
Giá: 200.000 đ Tin cá nhân, đăng ngày 13 tháng 10 09:18
Loại:
**Điện thoại di động,Cần bán**
Địa chỉ:
**Da nang**
Tỉnh, thành, quận:
**Đà Nẵng**
Tình trạng:
**Đã sử dụng**
|
|
dư máy nên bán máy dùng bình thường ok dành cho nhữg ai siu tầm đồ cổ
Liên hệ: thanh dat
[x](javascript:void(0);)
MUA HÀNG AN TOÀN
- KHÔNG trả tiền trước khi nhận hàng.
- Kiểm tra hàng cẩn thận, đặc biệt với hàng đắt tiền.
- Hẹn gặp ở nơi công cộng.
- Nếu bạn mua hàng hiệu, hãy gặp mặt tại cửa hàng để nhờ xác minh, tránh mua phải hàng giả.

Front-End-Https: on

Set-Cookie: dsess=mc1xd38ee34e2f1c162fff5fe688622b555af5760c97; domain=.chotot.com; path=/; expires=Sat, 22-Oct-2016 05:24:01 GMT;

Server: Apache

P3P: CP='NOI DSP COR PSAo PSDo'


markdown:
## Samoyed cái 2 thấng tuổi
|
|
|
|
![]()
![]()
![]()
Samoyed cái 2 thấng tuổi
Giá: 7.500.000 đ Tin công ty, đăng ngày 15 tháng 10 09:35
Loại:
**Vật nuôi, Thú cưng,Cần bán**
Địa chỉ:
**đào tông nguyên nhà bè TPHCM**
Tỉnh, thành, quận:
**Huyện Nhà Bè**
|
|
Tìm nhà mới cho bé samnoyed cái 2 tháng tuổi. bé nặng 4,5 kg. chó nhà đẻ. chó mẹ tại nhà. lông lá đẹp trắng tinh. ăn uống dễ . mỗi lần ăn là 1 tô to. mình bảo hành thuần chủng suốt đời và sức khỏe 1 tháng.
Liên hệ: Trần Đức
[x](javascript:void(0);)
MUA HÀNG AN TOÀN
- KHÔNG trả tiền trước khi nhận hàng.
- Kiểm tra hàng cẩn thận, đặc biệt với hàng đắt tiền.
- Hẹn gặp ở nơi công cộng.
- Nếu bạn mua hàng hiệu, hãy gặp mặt tại cửa hàng để nhờ xác minh, tránh mua phải hàng giả.

Set-Cookie: dsess=mc1x335e74114079f7e9a7cb4f66c87fd7b3c1bfa87e; domain=.chotot.com; path=/; expires=Sat, 22-Oct-2016 04:53:23 GMT;


markdown:
text.skipToContent
text.skipToNavigation
Más de 250.000 piezas de recambios nuevas de la mejor calidad
en Sistema de cierre
en Sistema de cierre
en todas las categorías sin restricciones a las marcas de coche
Buscar
0931 815 323
Horario: 7:00 - 22:00
0 productos
Recambios de coche
Aceite
Accesorios
Neumáticos
Neumáticos
Neumáticos de verano
Todas las estaciones
Neumáticos de invierno
Neumáticos para furgonetas
Neumáticos para 4x4
Neumáticos antipinchazo
Neumáticos de carreras
Neumáticos de colección
Ruedas completas
Ruedas completas
Llantas de aluminio con neumáticos de verano
Llantas de aluminio para todas las estaciones
Llantas de aluminio con neumáticos de invierno
Llantas de acero con neumáticos de verano
Llantas de acero con neumáticos para todas las estaciones
Llantas de acero con neumáticos de invierno
Llantas de aluminio
Llantas de acero
Inicio
Recambios de coche
CITROËN
BERLINGO (MF) Sistema de cierre
Mi coche
CITROËN
BERLINGO (MF)
Motor (tipo)
Filtrar
Elegir categoría
Recambios de coche
Sistema de cierre
Cierre centralizado
Cilindro de cerradura / Juego
Mando a distancia, cierre centralizado
Búsqueda avanzada
Elegir posición de montaje
ambos lados
1
delante
1
posterior
1
Elegir fabricante
VALEO
2
WAECO
1
más fabricantes…
VALEO
2
WAECO
1
menos fabricantes…
Elegir precio
50-199.99 € (3)
category.meta.h1.v2
3 Productos
10
20
50
100
Relevancia
Marca ascedente
Marca descedente
Precio ascedente
Precio descedente
VALEO
Cilindro de cierre, Cerradura de encendido
PVP*:
111,32 €
98,63 €
Número de artículo:10470874
Número de fabricante.: 252521
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
WAECO
MagicTouch MT 400, Mando a distancia, Cierre centralizado
184,57 €
Número de artículo:11487505
Número de fabricante.: 9101300007
Precio por unidad
Precio incl. IVA
Envío gratis
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
VALEO
Elemento de ajuste, Cierre centralizado
PVP*:
75,02 €
66,47 €
Número de artículo:10473561
Número de fabricante.: 256364
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
*PVP: Precio de venta al publico
10
20
50
100
Relevancia
Marca ascedente
Marca descedente
Precio ascedente
Precio descedente
Disponibilidad del producto por ubicación de tienda
Cantidad
Ingrese una comunidad/ciudad o código postal:
Buscar tiendas
Encontrar la tienda más cercana
SERVICIO
Contacto
Entrega, pago y devoluciones
Mi pedido
INFORMACION
Boletín informativo
Protección de datos
Fabricante por marcas
Recambios de coches por marcas
SOBRE NOSOTROS
Aviso legal
Prensa
Términos y condiciones
FORMAS DE PAGO
Un servicio traído a usted por
Feedback
Newsletter

Content-Language: es

Set-Cookie: DELTIBKND=.vmhyshop1; path=/

Cache-Control: max-age=0, no-cache, no-store

Vary: Accept-Encoding


markdown:
text.skipToContent
text.skipToNavigation
Más de 250.000 piezas de recambios nuevas de la mejor calidad
en Luces de las puertas
en Luces de las puertas
en todas las categorías sin restricciones a las marcas de coche
Buscar
0931 815 323
Horario: 7:00 - 22:00
0 productos
Recambios de coche
Aceite
Accesorios
Neumáticos
Neumáticos
Neumáticos de verano
Todas las estaciones
Neumáticos de invierno
Neumáticos para furgonetas
Neumáticos para 4x4
Neumáticos antipinchazo
Neumáticos de carreras
Neumáticos de colección
Ruedas completas
Ruedas completas
Llantas de aluminio con neumáticos de verano
Llantas de aluminio para todas las estaciones
Llantas de aluminio con neumáticos de invierno
Llantas de acero con neumáticos de verano
Llantas de acero con neumáticos para todas las estaciones
Llantas de acero con neumáticos de invierno
Llantas de aluminio
Llantas de acero
Inicio
Recambios de coche
Sistema eléctrico
Iluminación/Sistema de señales
FIAT
DUCATO Autobus (230) Luces de las puertas
Mi coche
FIAT
DUCATO Autobus (230)
Motor (tipo)
Filtrar
Elegir categoría
Recambios de coche
Sistema eléctrico
Iluminación/Sistema de señales
Luces de las puertas
Búsqueda avanzada
Elegir posición de montaje
delante
11
Instalación lateral
4
centro
4
posterior
3
centro y detrás
2
más posiciones de montaje…
Capó trasero
1
Instalación lateral
4
centro
4
centro y detrás
2
delante
11
delante y detrás
2
posterior
3
zona pies
2
menos posiciones de montaje…
Elegir fabricante
PHILIPS
19
OSRAM
15
NARVA
4
más fabricantes…
NARVA
4
OSRAM
15
PHILIPS
19
menos fabricantes…
Elegir precio
0-49.99 € (38)
category.meta.h1.v2
38 Productos
10
20
50
100
Relevancia
Marca ascedente
Marca descedente
Precio ascedente
Precio descedente
Página anterior
1
2
Próxima página
»
OSRAM
Lámpara, Luz para lectura
2,54 €
Número de artículo:11039041
Número de fabricante.: 6418
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luces de posición/gálibo
3,08 €
Número de artículo:11039211
Número de fabricante.: 6423
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
COOL BLUE INTENSE, Lámpara, Luz para lectura
17,90 €
Número de artículo:11038886
Número de fabricante.: 2825HCBI-02B
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luces de posición/gálibo
4,70 €
Número de artículo:11038944
Número de fabricante.: 5627-02B
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luz para lectura
3,00 €
Número de artículo:11038960
Número de fabricante.: 6411
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luz para lectura
4,39 €
Número de artículo:11038961
Número de fabricante.: 6411-02B
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
NARVA
Lámpara, Luz de acceso
1,62 €
Número de artículo:13589037
Número de fabricante.: 17136
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
LED Retrofit 12V C5W 4000K, Lámpara, Luz de acceso
23,10 €
Número de artículo:11039230
Número de fabricante.: 6498WW-01B
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
PHILIPS
Lámpara, Luz de guantera
3,48 €
Número de artículo:11079728
Número de fabricante.: 13913CP
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
TRUCKSTAR® PRO, Lámpara, Luces de posición/gálibo
3,62 €
Número de artículo:11038948
Número de fabricante.: 5627TSP
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luz para lectura
3,00 €
Número de artículo:11038968
Número de fabricante.: 6413
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
PHILIPS
Lámpara, Luz de acceso
4,05 €
Número de artículo:11079707
Número de fabricante.: 13818CP
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
PHILIPS
Lámpara, Luz de acceso
5,30 €
Número de artículo:11079719
Número de fabricante.: 13844B2
product.minOrderQuantity
Precio por set
Precio incl. IVA
más costo de envío
Disponible
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
PHILIPS
null, Lámpara, Luz de acceso
7,74 €
Número de artículo:11079650
Número de fabricante.: 12961LLECOB2
product.minOrderQuantity
Precio por set
Precio incl. IVA
más costo de envío
Disponible
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luz de acceso
3,82 €
Número de artículo:10258559
Número de fabricante.: 2821-02B
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
NARVA
null, Lámpara, Luz de acceso
PVP*:
5,43 €
4,00 €
Número de artículo:13589329
Número de fabricante.: 70717
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luz para lectura
3,31 €
Número de artículo:10258561
Número de fabricante.: 2825-02B
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
OSRAM
Lámpara, Luces de posición/gálibo
2,91 €
Número de artículo:11038943
Número de fabricante.: 5627
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
NARVA
Lámpara, Luz de acceso
1,67 €
Número de artículo:13589082
Número de fabricante.: 17185
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
NARVA
Lámpara, Luz de acceso
2,14 €
Número de artículo:13589135
Número de fabricante.: 17522
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
*PVP: Precio de venta al publico
10
20
50
100
Relevancia
Marca ascedente
Marca descedente
Precio ascedente
Precio descedente
Página anterior
1
2
Próxima página
»
Disponibilidad del producto por ubicación de tienda
Cantidad
Ingrese una comunidad/ciudad o código postal:
Buscar tiendas
Encontrar la tienda más cercana
SERVICIO
Contacto
Entrega, pago y devoluciones
Mi pedido
INFORMACION
Boletín informativo
Protección de datos
Fabricante por marcas
Recambios de coches por marcas
SOBRE NOSOTROS
Aviso legal
Prensa
Términos y condiciones
FORMAS DE PAGO
Un servicio traído a usted por
Feedback
Newsletter


markdown:
text.skipToContent
text.skipToNavigation
Más de 250.000 piezas de recambios nuevas de la mejor calidad
en Cojinete de empuje
en Cojinete de empuje
en todas las categorías sin restricciones a las marcas de coche
Buscar
0931 815 323
Horario: 7:00 - 22:00
0 productos
Recambios de coche
Aceite
Accesorios
Neumáticos
Neumáticos
Neumáticos de verano
Todas las estaciones
Neumáticos de invierno
Neumáticos para furgonetas
Neumáticos para 4x4
Neumáticos antipinchazo
Neumáticos de carreras
Neumáticos de colección
Ruedas completas
Ruedas completas
Llantas de aluminio con neumáticos de verano
Llantas de aluminio para todas las estaciones
Llantas de aluminio con neumáticos de invierno
Llantas de acero con neumáticos de verano
Llantas de acero con neumáticos para todas las estaciones
Llantas de acero con neumáticos de invierno
Llantas de aluminio
Llantas de acero
Inicio
Recambios de coche
Embrague/ piezas adicionales
Cojinete de desembrague / Cojinete de empuje central
SEAT
TOLEDO I (1L) Cojinete de empuje
Mi coche
SEAT
TOLEDO I (1L)
Motor (tipo)
Filtrar
Elegir categoría
Recambios de coche
Embrague/ piezas adicionales
Cojinete de desembrague / Cojinete de empuje central
Cojinete de empuje
Búsqueda avanzada
Elegir fabricante
FEBI BILSTEIN
1
SACHS
1
LuK
1
más fabricantes…
FEBI BILSTEIN
1
LuK
1
SACHS
1
menos fabricantes…
Elegir precio
0-49.99 € (1)
50-199.99 € (2)
category.meta.h1.v2
3 Productos
10
20
50
100
Relevancia
Marca ascedente
Marca descedente
Precio ascedente
Precio descedente
FEBI BILSTEIN
Cojinete, Cojinete de desembrague
PVP*:
73,81 €
55,57 €
Número de artículo:10017248
Número de fabricante.: 26524
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
LuK
Cojinete, Cojinete de desembrague
PVP*:
74,90 €
55,30 €
Número de artículo:10286880
Número de fabricante.: 500 0440 10
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
SACHS
Cojinete, Cojinete de desembrague
PVP*:
15,73 €
11,30 €
Número de artículo:10066593
Número de fabricante.: 3151 802 003
Precio por unidad
Precio incl. IVA
más costo de envío
En stock
Entregamos su pedido en 4-5 días laborables
Detalles
Añadir a la cesta
*PVP: Precio de venta al publico
10
20
50
100
Relevancia
Marca ascedente
Marca descedente
Precio ascedente
Precio descedente
Disponibilidad del producto por ubicación de tienda
Cantidad
Ingrese una comunidad/ciudad o código postal:
Buscar tiendas
Encontrar la tienda más cercana
SERVICIO
Contacto
Entrega, pago y devoluciones
Mi pedido
INFORMACION
Boletín informativo
Protección de datos
Fabricante por marcas
Recambios de coches por marcas
SOBRE NOSOTROS
Aviso legal
Prensa
Términos y condiciones
FORMAS DE PAGO
Un servicio traído a usted por
Feedback
Newsletter


markdown:
Trang chủ
|
Dịch vụ
|
Catalog
|
Thanh toán
|
Liên Hệ
Giỏ hàng
(0)
Gioi thieu
Hình ảnh hoạt động
Sơ đồ tổ chức
Lịch sử hình thành
Giới thiệu công ty
Danh muc
Vật liệu mài mòn
Dụng cụ cầm tay
Dụng cụ dùng điện
Dụng cụ đo chính xác
Thiết bị ngành hàn
Điện và thiết bị điện
Bảo hộ lao động
Vệ sinh công nghiệp
Vận chuyển nâng đỡ
Bảo quản đóng gói
Sản phẩm hóa chất
Dụng cụ dùng khí nén
Thiết bị viễn thông
Thiết bị y tế
Xem tất cả
Nha san xuat
3M
Advance
AEG
Agilent
AGP
Aikyo
Alspec
AMP
Amtek
Apech
Asak
Asaki
Barker
Bellota
Xem tất cả
Tin tuc
Nha san xuat
Dang nhap
Nhà sản xuất
» Nachi
Mũi khoan HSS sắt (119)
Mũi khoan inox (126)
Mũi khoan chuôi côn (553)
CÔNG TY THIẾT BỊ CÔNG NGHIỆP GTG
2/64C Đất Thánh, P.6, Q.Tân Bình, TP HCM
Điện thoại: 08 3868 6666
Fax: 08 3868 6688
Giấy ĐKKD số: 0303059482 tại TP HCM
Chi nhánh:
HÀ NỘI
71 Hoàng Cầu, P. Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa
Điện thoại: 04 3901 6666
Fax: 04 3910 6666
ĐÀ NẴNG
630-632 Ngô Quyền, P. An Hải Bắc, Quận Sơn Trà
Điện thoại: 0511 350 7777
Fax: 0511 350 7788
CẦN THƠ
Điện thoại: 0710 222 0220
Fax: 0710 222 1221
BÌNH DƯƠNG
1080A CMT8, Phường Phú Thọ, TP Thủ Dầu Một
Điện thoại: 0650 3 969 768
Fax: 0650 3 969 769
CHÍNH SÁCH BÁN HÀNG
- Chính sách bảo mật thông tin
- Chính sách vận chuyển
- Quy trình giao hàng
- Chính sách đổi trả hàng
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
- Hướng dẫn mua hàng
- Hướng dẫn thanh toán
- Các hình thức mua hàng
- Sơ đồ đường đi
Tắt [X]
Trang chủ
|
Dịch vụ
|
Catalog
|
Tin tức
|
Liên hệ
Đang online :77 - Tổng truy cập : 174,316,150
+ + + + + + + +


markdown:
Thông số kỹ thuật
- Mã sản phẩm: T350/12
- Nhà sản xuất: Irwin
- Xuất xứ: Mỹ
- Quy cách: 12" (300mm)
- Được tinh luyện từ thép hợp kim cứng
- Khả năng mở miệng: 51mm (2")
- Trọng lượng: 1.45kg
- Bảo hành: 12 tháng
Các sản phẩm khác:
- Mỏ lết răng Irwin T350/14
- Mỏ lết răng Irwin T350/18


markdown:
![ line](/images/line.jpg)
**Xuất xứ**» Mỹ **Mã hàng : STL-425-385**
Giá : 118,000 VNĐ
**Mã hàng : STL-239-255** **Mã hàng : STL-049-196** **Mã hàng : STL-209-254** **Mã hàng : STL-299-257** **Mã hàng : STL-150-199** **Mã hàng : STL-810-266** **Mã hàng : STL-079-197** **Mã hàng : STL-179-201** **Mã hàng : STL-101-048**
Giá : 145,000 VNĐ
**Mã hàng : STL-401-258** **Mã hàng : STL-151-200**
Giá : 38,000 VNĐ
**Mã hàng : STL-788-264** **Mã hàng : STL-525-262** **Mã hàng : STL-779-263**
Giá : 91,000 VNĐ


markdown:
![ line](/images/line.jpg)
**Xuất xứ**» Nhật Bản **Mã hàng : NAC-652-120**
Giá : 61,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-121**
Giá : 57,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-122**
Giá : 57,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-123**
Giá : 33,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-124**
Giá : 33,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-125**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-126**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-127**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-128**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-129**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-130**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-131**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-132**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-133**
Giá : 31,000 VNĐ
**Mã hàng : NAC-652-134**
Giá : 31,000 VNĐ


markdown:
Trang chủ
|
Dịch vụ
|
Catalog
|
Thanh toán
|
Liên Hệ
Giỏ hàng
(0)
Gioi thieu
Hình ảnh hoạt động
Sơ đồ tổ chức
Lịch sử hình thành
Giới thiệu công ty
Danh muc
Vật liệu mài mòn
Dụng cụ cầm tay
Dụng cụ dùng điện
Dụng cụ đo chính xác
Thiết bị ngành hàn
Điện và thiết bị điện
Bảo hộ lao động
Vệ sinh công nghiệp
Vận chuyển nâng đỡ
Bảo quản đóng gói
Sản phẩm hóa chất
Dụng cụ dùng khí nén
Thiết bị viễn thông
Thiết bị y tế
Xem tất cả
Nha san xuat
3M
Advance
AEG
Agilent
AGP
Aikyo
Alspec
AMP
Amtek
Apech
Asak
Asaki
Barker
Bellota
Xem tất cả
Tin tuc
Nha san xuat
Dang nhap
Xuất xứ
» Mỹ
Xem theo danh sách
Xem thư viện
6" Kìm điện cách điện 1000V Irwin 10505872
Mã hàng : IRW-105-316
Irwin
Mỹ
Xin liên hệ
Bộ kìm 3 chi tiết Irwin 10505483
Mã hàng : IRW-105-315
Irwin
Mỹ
Xin liên hệ
Bộ kìm đa năng 25 chức năng
Mã hàng : MIS-000-197
Không có
Mỹ
227,000 VNĐ
Kìm đa năng 88-712
Mã hàng : SLM-887-082
Sellery
Mỹ
208,000 VNĐ
Kìm đa năng 88-714
Mã hàng : SLM-887-083
Sellery
Mỹ
227,000 VNĐ
RJ45 Kiềm bấm mạng AMP 114058-2
Mã hàng : MIS-114-672
AMP
Mỹ
518,000 VNĐ
CÔNG TY THIẾT BỊ CÔNG NGHIỆP GTG
2/64C Đất Thánh, P.6, Q.Tân Bình, TP HCM
Điện thoại: 08 3868 6666
Fax: 08 3868 6688
Giấy ĐKKD số: 0303059482 tại TP HCM
Chi nhánh:
HÀ NỘI
71 Hoàng Cầu, P. Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa
Điện thoại: 04 3901 6666
Fax: 04 3910 6666
ĐÀ NẴNG
630-632 Ngô Quyền, P. An Hải Bắc, Quận Sơn Trà
Điện thoại: 0511 350 7777
Fax: 0511 350 7788
CẦN THƠ
Điện thoại: 0710 222 0220
Fax: 0710 222 1221
BÌNH DƯƠNG
1080A CMT8, Phường Phú Thọ, TP Thủ Dầu Một
Điện thoại: 0650 3 969 768
Fax: 0650 3 969 769
CHÍNH SÁCH BÁN HÀNG
- Chính sách bảo mật thông tin
- Chính sách vận chuyển
- Quy trình giao hàng
- Chính sách đổi trả hàng
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
- Hướng dẫn mua hàng
- Hướng dẫn thanh toán
- Các hình thức mua hàng
- Sơ đồ đường đi
Tắt [X]
Trang chủ
|
Dịch vụ
|
Catalog
|
Tin tức
|
Liên hệ
Đang online :78 - Tổng truy cập : 174,316,140
+ + + + + + + +


markdown:
[Vinamilk – Chuẩn Mom Chia Sẻ Cho Bé Vươn Cao](https://www.facebook.com/ChuanMomChiaSe/?fref=ts)
Tin tức - Sự kiện
Ngày 16.10.2016, tại Trường tiểu học Giai Xuân I, xã Giai Xuân, huyện Phong Điền, TP.Cần Thơ, Quỹ sữa Vươn cao Việt Nam đã tổ chức buổi lễ trao tặng sữa cho trẻ em tại thành phố Cần Thơ.
Phát triển bền vững
Xuyên suốt những chặng đường phát triển đã qua và định hướng phát triển trong tương lai, mục tiêu phát triển bền vững sẽ luôn là con đường mà Vinamilk cam kết hướng đến và là cốt lõi trong tất cả các kế hoạch của mình.
[Xem thêm](https://www.vinamilk.com.vn/vi/tin-tuc-phat-trien-ben-vung/1164/bao-cao-phat-trien-ben-vung-2015) ![ ](https://www.vinamilk.com.vn/static/img/bg/no-bg-ptbv.png)
![ ](https://www.vinamilk.com.vn/static/img/bg/bg-ptbv.png)
![ ](https://www.vinamilk.com.vn/static/img/img/dv-1.png)
Phát triển bền vững
Xuyên suốt những chặng đường phát triển đã qua và định hướng phát triển trong tương lai, mục tiêu phát triển bền vững sẽ luôn là con đường mà Vinamilk cam kết hướng đến và là cốt lõi trong tất cả các kế hoạch của mình.
[Xem thêm](https://www.vinamilk.com.vn/vi/tin-tuc-phat-trien-ben-vung/1164/bao-cao-phat-trien-ben-vung-2015) ![ ](https://www.vinamilk.com.vn/static/img/img/dv-2.jpg)
Thông tin dinh dưỡng
Đôi điều về ăn uống và bệnh đái tháo đường (ĐTĐ)
Năm 1985 tổ chức Y tế thế giới định nghĩa “ĐTĐ là một tình trạng tăng đường huyết mãn tính, đôi khi kèm theo các triệu chứng khát nhiều, đái nhiều, sút cân và đờ đẫn".
[Xem thêm](https://www.vinamilk.com.vn/vi/thong-tin-dinh-duong/1214/doi-dieu-ve-an-uong-va-benh-dai-thao-duong-dtd) ![ ](https://www.vinamilk.com.vn/static/img/bg/no-bg-dd.png)
Hoạt động nổi bật
Tặng ngay 1 hộp chia bột tiện lợi khi mua 2 hộp sản phẩm Bột Ăn dặm RIDIELAC bất kỳ
Tặng bộ đồ chơi phi tiêu Pokemon cho khách hàng không thu tiền, kèm theo việc mua hàng hóa
Mua 02 lốc sữa tươi tiệt trùng Vinamilk 100% (loại 110ml và 180ml) các hương vị được tặng ngay 01 hộp sữa tươi tiệt trùng…
Mua kem Subo – Tặng dây đeo đa năng

WARC-Truncated: length

Server: nginx


markdown: Công Ơn Cha Mẹ Mi Trầm --Bạn chọn giúp điệu nhạc cho bài này nhé-- Điệu Blues (0 người chọn) Điệu Ballad (0 người chọn) Điệu Slow (0 người chọn) Điệu Slow Rock (0 người chọn) Điệu Boston (0 người chọn) Điệu Valse (0 người chọn) Điệu Chachacha (0 người chọn) Điệu Disco (0 người chọn) Điệu Rhumba (0 người chọn) Điệu Bollero (0 người chọn) Điệu Fox (0 người chọn) Điệu Pop (0 người chọn) Điệu Rock (0 người chọn) Điệu Tango (0 người chọn) Bossa Nova (0 người chọn) Nguồn: catruong.com Ghim bài https://www.facebook.com/vnmylife

x-frame-options: SAMEORIGIN

Server: cloudflare-nginx

X-Powered-By: Phusion Passenger 5.0.6

cache-control: max-age=0, private, must-revalidate

x-xss-protection: 1; mode=block

Content-Type: text/html; charset=utf-8


markdown:
Không có bất động sản được tìm thấy!
[Mua bán nhà đất TPHCM](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh) [Bán căn hộ Quận 1](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-1) [Bán căn hộ Quận 2](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-2) [Bán căn hộ Quận 4](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-4) [Bán căn hộ Quận 7](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-7) [Bán căn hộ Quận 9](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-9) [Bán căn hộ quận 12](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-12) [Bán căn hộ Gò Vấp](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/go-vap) [Bán căn hộ Nhà Bè](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/nha-be) [Bán căn hộ Bình Thạnh](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/binh-thanh) [Bán căn hộ Tân Bình](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/tan-binh) [Bán căn hộ Tân Phú](/ban-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/tan-phu-2) [Nhà đất Quận 1](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh/quan-1) [Nhà đất Quận 3](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh/quan-3) [Nhà đất Quận 8](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh/quan-8) [Nhà đất Quận 9](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh/quan-9) [Nhà đất Quận 12](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh/quan-12) [Nhà đất Gò Vấp](/nha-dat-ban/tp-ho-chi-minh/go-vap) [Bán căn hộ Bình Dương](/ban-can-ho-chung-cu/binh-duong) [Nhà cho thuê TPHCM](/nha-dat-cho-thue/tp-ho-chi-minh) [Văn phòng cho thuê Quận 1](/cho-thue-van-phong/tp-ho-chi-minh/quan-1) [Văn phòng cho thuê Quận 3](/cho-thue-van-phong/tp-ho-chi-minh/quan-3) [Văn phòng cho thuê Quận 7](/cho-thue-van-phong/tp-ho-chi-minh/quan-7) [Nhà cho thuê Tân Bình](/nha-dat-cho-thue/tp-ho-chi-minh/tan-binh) [Nhà cho thuê Gò Vấp](/nha-dat-cho-thue/tp-ho-chi-minh/go-vap) [Nhà cho thuê Bình Thạnh](/nha-dat-cho-thue/tp-ho-chi-minh/binh-thanh) [Cho thuê mặt bằng Quận 1](/cho-thue-cua-hang-ki-ot/tp-ho-chi-minh/quan-1) [Cho thuê mặt bằng Quận 3](/cho-thue-cua-hang-ki-ot/tp-ho-chi-minh/quan-3) [Cho thuê mặt bằng Quận 10](/cho-thue-cua-hang-ki-ot/tp-ho-chi-minh/quan-10) [Cho thuê mặt bằng Quận 11](/cho-thue-cua-hang-ki-ot/tp-ho-chi-minh/quan-11) [Cho thuê căn hộ Quận 1](/cho-thue-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-1) [Cho thuê căn hộ Quận 2](/cho-thue-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-2) [Cho thuê căn hộ Quận 4](/cho-thue-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-4) [Cho thuê căn hộ Quận 7](/cho-thue-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/quan-7) [Cho thuê căn hộ Bình Thạnh](/cho-thue-can-ho-chung-cu/tp-ho-chi-minh/binh-thanh) [Hà Đô Centrosa Garden Quận 10](/du-an/ha-do-centrosa-garden) [Vinhomes Golden River](/du-an/vinhomes-ba-son-1309) [Căn hộ The GoldView](/du-an/the-gold-view-1175) [Căn hộ Jamona Golden Silk](/du-an/jamona-golden-silk-132) [Dự án đất nền Van Phuc Riverside City](/du-an/van-phuc-riverside-city-1137) [Căn hộ Diamond Lotus Lake View](/du-an/diamond-lotus-lake-view) [The Habitat Bình Dương](/du-an/the-habitat-binh-duong-267) [Căn hộ Park Vista](/du-an/park-vista-1254) [Him Lam Phú Đông](/du-an/him-lam-phu-dong-7) [Căn hộ River City](/du-an/river-city-1388) [Căn hộ Diamond City](/du-an/diamond-city) [Khu căn hộ Richmond City](/du-an/khu-can-ho-richmond-city) [Căn hộ Diamond Island](/du-an/diamond-island)
Liên lạc
[093.111.9482](tel://0931119482)
- support@zita.vn
-
12 Tôn Đản, Phường 13, Quận 4
TP. Hồ Chí Minh
-
-
-
Giấy phép ICP số 23/GP-STTTT
-
© 2015 zita.vn
CTY Cổ Phần Đầu Tư Công Nghệ TBN.
CTY Cổ Phần Đầu Tư Công Nghệ TBN.

X-Powered-By: Phusion Passenger

Server: nginx + Phusion Passenger