text:
Cách tẩy sạch lông nách hiệu quả nhờ vào các nguyên liệu tự nhiên (P1)
Lông nách là một trong những yếu tố gây mất thẩm mĩ đối với các chị em phụ nữ, đặc biệt khi chị em muốn diện những chiếc áo hay dầm sát nách thì lông nách là một trở ngại vô cùng rất lớn, làm cho các chị em đánh mất đi sự tự tin. Vậy thì “Làm thế nào để có thể hết lông nách?” là câu hỏi to đùng của nhiều chị em có vùng lông nách dưới cánh tay “rậm rạp”. Nhiều người đã sử dụng cách tẩy lông bằng dao cạo nhưng hiệu quả mang lại không cao & khiến lông mọc lại cứng hơn, làn da dưới cánh tay sẽ xuất hiện những vết thâm. Hãy cùng nhau tham khảo những cách triệt lông ở vùng nách tự nhiên tại nhà dưới đây và lựa chọn cho mình cách tốt nhất nhé.
Bài viết liên quan :
Bạn có nghĩ đến công cụ sử dụng là nhíp không? Có ngay lời khuyên dành cho bạn là không nên nhé, vì nó khiến cho chúng ta đau khi “dọn dẹp”, lỗ chân lông sẽ bị to hơn & cũng không tránh khỏi tình trạng bị thâm.
Vậy có cách tẩy lông nách nào bằng phương pháp tự nhiên nào hữu hiệu nhất? Các bạn hãy lựa chọn cho mình phương pháp triệt lông nách thích hợp nhé.
Làm hết lông nách tại nhà bằng đường & chanh & mật ong
Bạn hãy hòa đường, chanh & mật ong theo tỷ lệ phù hợp để có được hỗn hợp sền sệt. Hãy dùng hỗn hợp này để bôi lên những vùng da cần tẩy lông. Sau đó dùng khăn lau sạch chúng.
Hỗn hợp này có công dụng làm cho các nang lông yếu đi & chết, lớp lông trên bề mặt da sẽ rụng sạch đi tránh được những cảm giác đau, đặc biệt là vùng nách không bị thâm. Đây là một cách Waxing không gây hại cho da bạn mà lại đem lại hiệu quả tẩy lông cao, bạn có thể thực hiện ngay tại gia. Xem thêm sản phẩm collagen hanamai cá
Đường chanh mật ong(Nguồn: internet)
Cách tẩy lông nách tự nhiên tại nhà cùng với bơ
Cách tẩy lông nách tự nhiên tại nhà bằng bơ nghe thì có vẻ phức tạp hơn 1 chút nhưng lại cho hiệu quả lâu dài. Bôi 1 lớp bơ lên vùng lông dưới cánh tay rồi sau đó bạn lấy giấy mềm miết nhẹ lên chúng, rồi kéo miếng giấy đó ra theo chiều ngược với chiều mọc của lông thật nhanh gọn nhé. Sau khi vùng da dưới cánh tay không còn dấu hiệu “rậm rạp” , bạn hãy rửa sạch vùng da đó bằng sữa tắm hoặc xà bông để tránh hiện tượng nhờn da.
Chỉ với phương pháp tẩy lông nách tự nhiên với bơ đơn giản thì bạn sẽ loại bỏ hoàn toàn những sợ lông đáng ghét và đồng thời vùng da dưới cánh tay của bạn cũng sẽ trở nên láng mịn và hết thâm đen giúp bạn tự tin tỏa sáng hơn với những bộ đồ gợi cảm. Xem thêm sản phẩm Transino Whitening
Bở (Nguồn: internet)
Xem thêm sản phẩm yến mạch nguyên hạt Quakerhttp://spermabekkies.com/cach-tay-sach-long-nach-hieu-qua-nho-vao-cac-nguyen-lieu-tu-nhien-p1/http://spermabekkies.com/wp-content/uploads/2016/08/tay-long-nach.jpghttp://spermabekkies.com/wp-content/uploads/2016/08/tay-long-nach-150x150.jpgLàm ĐẹpnewLông nách là một trong những yếu tố gây mất thẩm mĩ đối với các chị em phụ nữ, đặc biệt khi chị em muốn diện những chiếc áo hay dầm sát nách thì lông nách là một trở ngại vô cùng rất lớn, làm cho các chị em...huongpham pdqhhuong@gmail.comEditorCung Cấp Hàng Ngoại Nhập
Trả lời

markdown:
# Cách tẩy sạch lông nách hiệu quả nhờ vào các nguyên liệu tự nhiên (P1)
**Lông nách là một trong những yếu tố gây mất thẩm mĩ đối với các chị em phụ nữ, đặc biệt khi chị em muốn diện những chiếc áo hay dầm sát nách thì lông nách là một trở ngại vô cùng rất lớn, làm cho các chị em đánh mất đi sự tự tin. Vậy thì “Làm thế nào để có thể hết lông nách?” là câu hỏi to đùng của nhiều chị em có vùng lông nách dưới cánh tay “rậm rạp”. Nhiều người đã sử dụng cách tẩy lông bằng dao cạo nhưng hiệu quả mang lại không cao & khiến lông mọc lại cứng hơn, làn da dưới cánh tay sẽ xuất hiện những vết thâm. Hãy cùng nhau tham khảo những cách triệt lông ở vùng nách tự nhiên tại nhà dưới đây và lựa chọn cho mình cách tốt nhất nhé.**
### Bài viết liên quan :
**Bạn có nghĩ đến công cụ sử dụng là nhíp không? Có ngay lời khuyên dành cho bạn là không nên nhé, vì nó khiến cho chúng ta đau khi “dọn dẹp”, lỗ chân lông sẽ bị to hơn & cũng không tránh khỏi tình trạng bị thâm.** **Vậy có cách tẩy lông nách nào bằng phương pháp tự nhiên nào hữu hiệu nhất? Các bạn hãy lựa chọn cho mình phương pháp triệt lông nách thích hợp nhé.** **Làm hết lông nách tại nhà bằng đường & chanh & mật ong**
Bạn hãy hòa đường, chanh & mật ong theo tỷ lệ phù hợp để có được hỗn hợp sền sệt. Hãy dùng hỗn hợp này để bôi lên những vùng da cần tẩy lông. Sau đó dùng khăn lau sạch chúng.
Hỗn hợp này có công dụng làm cho các nang lông yếu đi & chết, lớp lông trên bề mặt da sẽ rụng sạch đi tránh được những cảm giác đau, đặc biệt là vùng nách không bị thâm. Đây là một cách Waxing không gây hại cho da bạn mà lại đem lại hiệu quả tẩy lông cao, bạn có thể thực hiện ngay tại gia. Xem thêm sản phẩm
**collagen hanamai cá** **Đường chanh mật ong(Nguồn: internet)** **Cách tẩy lông nách tự nhiên tại nhà cùng với bơ**
Cách tẩy lông nách tự nhiên tại nhà bằng bơ nghe thì có vẻ phức tạp hơn 1 chút nhưng lại cho hiệu quả lâu dài. Bôi 1 lớp bơ lên vùng lông dưới cánh tay rồi sau đó bạn lấy giấy mềm miết nhẹ lên chúng, rồi kéo miếng giấy đó ra theo chiều ngược với chiều mọc của lông thật nhanh gọn nhé. Sau khi vùng da dưới cánh tay không còn dấu hiệu “rậm rạp” , bạn hãy rửa sạch vùng da đó bằng sữa tắm hoặc xà bông để tránh hiện tượng nhờn da.
Chỉ với phương pháp tẩy lông nách tự nhiên với bơ đơn giản thì bạn sẽ loại bỏ hoàn toàn những sợ lông đáng ghét và đồng thời vùng da dưới cánh tay của bạn cũng sẽ trở nên láng mịn và hết thâm đen giúp bạn tự tin tỏa sáng hơn với những bộ đồ gợi cảm. Xem thêm sản phẩm
**Transino Whitening**
Bở (Nguồn: internet)
Xem thêm sản phẩm
**yến mạch nguyên hạt Quaker** [http://spermabekkies.com/cach-tay-sach-long-nach-hieu-qua-nho-vao-cac-nguyen-lieu-tu-nhien-p1/](http://spermabekkies.com/cach-tay-sach-long-nach-hieu-qua-nho-vao-cac-nguyen-lieu-tu-nhien-p1/)http://spermabekkies.com/wp-content/uploads/2016/08/tay-long-nach.jpghttp://spermabekkies.com/wp-content/uploads/2016/08/tay-long-nach-150x150.jpgLàm ĐẹpnewLông nách là một trong những yếu tố gây mất thẩm mĩ đối với các chị em phụ nữ, đặc biệt khi chị em muốn diện những chiếc áo hay dầm sát nách thì lông nách là một trở ngại vô cùng rất lớn, làm cho các chị em...huongpham [pdqhhuong@gmail.comEditorCung Cấp Hàng Ngoại Nhập](?rel=author)
## Trả lời Hủy

Link: <http://spermabekkies.com/wp-json/>; rel="https://api.w.org/", <http://spermabekkies.com/?p=117>; rel=shortlink


text:
- Hoạt động cuối:
- 15/3/13
- Tham gia ngày:
- 15/3/13
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
- 0
- Nơi ở:
- Marshall Islands
- Nghề nghiệp:
- Marshall Islands
CruiplyMooppy
New Member, đến từ Marshall Islands
- CruiplyMooppy được nhìn thấy lần cuối:
- 15/3/13
-
- Đang tải...
-
Giới thiệu
- Nơi ở:
- Marshall Islands
Man
- Nghề nghiệp:
- Marshall Islands
Tương tác
- ICQ:
- 357118167

markdown:
![ CruiplyMooppy](http://svnhforum.com/forum/styles/banh/xenforo/avatars/avatar_l.png)
- Hoạt động cuối:
- 15/3/13
- Tham gia ngày:
- 15/3/13
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
[0](members/cruiplymooppy.48984/trophies)
- Nơi ở:
[Marshall Islands](misc/location-info?location=Marshall+Islands)
- Nghề nghiệp:
- Marshall Islands
# CruiplyMooppy
New Member, đến từ
[Marshall Islands](misc/location-info?location=Marshall+Islands)
- CruiplyMooppy được nhìn thấy lần cuối:
- 15/3/13
-
- Đang tải...
-
### Giới thiệu
- Nơi ở:
[Marshall Islands](misc/location-info?location=Marshall+Islands)
Man
- Nghề nghiệp:
- Marshall Islands
### Tương tác
- ICQ:
- 357118167

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Server: nginx

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Connection: close

Vary: Accept-Encoding

Cache-control: private, max-age=0

X-Frame-Options: SAMEORIGIN

Vietnix-Cache: HIT from Backend


text:
- Hoạt động cuối:
- 15/7/13
- Tham gia ngày:
- 21/6/13
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
- 0
- Nơi ở:
- tài chính ngân hàng
- Nghề nghiệp:
- học viên ngân hàng
Kim Xinh
New Member, đến từ tài chính ngân hàng
- Kim Xinh được nhìn thấy lần cuối:
- 15/7/13
-
- Đang tải...
-
Giới thiệu
- Nơi ở:
- tài chính ngân hàng
k15nha
- Nghề nghiệp:
- học viên ngân hàng
Tương tác

markdown:
![ Kim Xinh](http://svnhforum.com/forum/styles/banh/xenforo/avatars/avatar_l.png)
- Hoạt động cuối:
- 15/7/13
- Tham gia ngày:
- 21/6/13
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
[0](members/kim-xinh.58804/trophies)
- Nơi ở:
[tài chính ngân hàng](misc/location-info?location=t%C3%A0i+ch%C3%ADnh+ng%C3%A2n+h%C3%A0ng)
- Nghề nghiệp:
- học viên ngân hàng
# Kim Xinh
New Member, đến từ
[tài chính ngân hàng](misc/location-info?location=t%C3%A0i+ch%C3%ADnh+ng%C3%A2n+h%C3%A0ng)
- Kim Xinh được nhìn thấy lần cuối:
- 15/7/13
-
- Đang tải...
-
### Giới thiệu
- Nơi ở:
[tài chính ngân hàng](misc/location-info?location=t%C3%A0i+ch%C3%ADnh+ng%C3%A2n+h%C3%A0ng)
k15nha
- Nghề nghiệp:
- học viên ngân hàng
### Tương tác


text:
- Hoạt động cuối:
- 22/4/15
- Tham gia ngày:
- 22/4/15
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
- 0
- Sinh nhật:
- 11/10/85 (Tuổi: 31)
Nguyễn Bình Nguyên
New Member, 31
- Nguyễn Bình Nguyên được nhìn thấy lần cuối:
- 22/4/15
-
- Đang tải...
-
Giới thiệu
- Sinh nhật:
- 11/10/85 (Tuổi: 31)
Tương tác

markdown:
![ Nguyễn Bình Nguyên](http://svnhforum.com/forum/styles/banh/xenforo/avatars/avatar_l.png)
- Hoạt động cuối:
- 22/4/15
- Tham gia ngày:
- 22/4/15
- Bài viết:
- 0
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
[0](members/nguyen-binh-nguyen.109273/trophies)
- Sinh nhật:
- 11/10/85 (Tuổi: 31)
# Nguyễn Bình Nguyên
New Member, 31
- Nguyễn Bình Nguyên được nhìn thấy lần cuối:
- 22/4/15
-
- Đang tải...
-
### Giới thiệu
- Sinh nhật:
- 11/10/85 (Tuổi: 31)
### Tương tác


text:
- Hoạt động cuối:
- 15/5/16
- Tham gia ngày:
- 15/5/16
- Bài viết:
- 1
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
- 1
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/1/92 (Tuổi: 24)
thanhhuong96
New Member, Nam, 24
- thanhhuong96 được nhìn thấy lần cuối:
- 15/5/16
-
- Đang tải...
-
Giới thiệu
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/1/92 (Tuổi: 24)
Tương tác

markdown:
![ thanhhuong96](http://svnhforum.com/forum/styles/banh/xenforo/avatars/avatar_male_l.png)
- Hoạt động cuối:
- 15/5/16
- Tham gia ngày:
- 15/5/16
- Bài viết:
- 1
- Đã được thích:
- 0
- Điểm thành tích:
[1](members/thanhhuong96.134632/trophies)
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/1/92 (Tuổi: 24)
# thanhhuong96
New Member, Nam, 24
- thanhhuong96 được nhìn thấy lần cuối:
- 15/5/16
-
- Đang tải...
-
### Giới thiệu
- Giới tính:
- Nam
- Sinh nhật:
- 1/1/92 (Tuổi: 24)
### Tương tác


text:
Diễn đàn chính thức sinh viên Học viện Ngân Hàng
Trang chủ
Thành viên
>
Thảo Ny
>
Hoạt động cuối:
21/5/13
Tham gia ngày:
21/5/13
Bài viết:
0
Đã được thích:
0
Điểm thành tích:
0
Thảo Ny
New Member
Thảo Ny được nhìn thấy lần cuối:
21/5/13
Tin nhắn hồ sơ
Các bài đăng
Thông tin
Hiện tại không có tin nhắn trong hồ sơ của Thảo Ny.
Show Ignored Content
Đang tải...
Xem
Tương tác
Nội dung:
Tìm tất cả nội dung bởi Thảo Ny
Tìm tất cả chủ đề bởi Thảo Ny
Đăng nhập bằng Facebook
Đăng nhập bằng Google
Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email:
Bạn đã có tài khoản rồi?
Tích vào đây để đăng ký
Vâng, Mật khẩu của tôi là:
Bạn đã quên mật khẩu?
Duy trì đăng nhập
Diễn đàn chính thức sinh viên Học viện Ngân Hàng
Trang chủ
Thành viên
>
Thảo Ny
>
Trang chủ
Diễn đàn
Video
Video
Liên kết nhanh
Video ngẫu nhiên
Video
Playlists
Diễn đàn học tập
ĐĂNG NHẬP | ĐĂNG KÝ
Diễn đàn
Liên kết nhanh
Tìm kiếm diễn đàn
Watched Tags
Bài viết gần đây
Menu


text: sua may bom nuoc tai nha,may bom y quan hoc mon ,,,0978.886.874 sua may bom nuoc tai nha,may bom y quan hoc mon ,,,0978.886.874 sua may bom nuoc tai nha,may bom y quan hoc mon ,,,0978.886.874 Máy bơm nước kêu to là hiện tượng mà máy lâu ngày không được bảo trì, bảo dưỡng cộng với tác động của môi trường ẩm ướt hoặc do khi thiết kế lắp đặt máy ở những nơi có độ ẩm cao nên khó tránh khỏi sự cố hỏng máy. Cách khắc phục duy nhất là bạn phải thay hai vòng bi đó ,thường thì bi bên buồng nước bị hỏng đầu tiên nhưng chúng ta nên thay mơi cả 2 cho đồng bộ . Nên thay vòng bi chính hãng một số thương hiệu tốt như RBI.. Trung tâm sửa máy bơm nước tại TP HCM ,ĐIỆN CƠ NHỊ GIA hân hạnh mang tới cho quý khách dịch vụ: sửa máy bơm nước tại nhà cho các công ty, doanh nghiệp, nhà riêng trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh .ĐIỆN CƠ NHỊ GIA cam kết đem đến cho khách hàng môi trường dịch vụ chuyên nghiệp, chất lượng công việc hoàn hảo với giá thành rẻ nhất. Vậy còn chờ gì nữa, nếu quý vị và các bạn gặp bất kì sự cố nào về máy bơm nước… Cần sửa chữa máy bơm nước . Hãy nhấc máy và gọi ngay cho chúng tôi Hotline: 0078 886 874. Kỹ thuật của chúng tôi sẽ có mặt trong vòng 30 phút và sẵn sàng giúp đỡ bạn. Nhận khắc phục nhanh mọi sự cố từ máy bơm nước Sửa máy bơm nước không vào điện. Sửa máy bơm nước chạy không ngắt, do bị hỏng phao điện (trong bồn nước), phao cơ. Sửa máy bơm nước bị hỏng van 1 chiều. Sửa máy bơm nước bị hỏng rơ - le ở loại bơm áp lực. Sửa máy bơm nước bị hỏng phốt chận, cánh quạt. Sửa máy bơm nước khi động cơ bơm nước quay rất chậm và nước chảy ra rất yếu. Sửa máy bơm nước bị hỏng bạc đạn (nếu khống sửa ngay sẽ làm cháy động cơ máy bơm). Nhận lắp đặt phao điện (phao cơ) cho máy... Nếu nhà, công ty hoặc nhà xưởng của khách hàng có máy bơm nước gặp sự cố xin quý khách vui lòng liên hệ với chúng tôi, để chúng tôi nhanh chóng khắc phục, bảo dưỡng và chăm sóc máy bạn một cách tốt nhất. ĐIỆN NƯỚC NHỊ GIA Website :maybomnuocnhigia.com Email :dienconhigiatphcm@gmail.com Địa chỉ: 345 Bà Điểm - Huyện Hóc Môn Hotline : 0978.886.874 - 0937.217.184

markdown:
# sua may bom nuoc tai nha,may bom y quan hoc mon ,,,0978.886.874 sua may bom nuoc tai nha,may bom y
Thảo luận trong '
[Sinh viên rao vặt](forums/sinh-vien-rao-vat.529/)' bắt đầu bởi [nhigiahcm](members/nhigiahcm.139250/), [11/8/16](threads/sua-may-bom-nuoc-tai-nha-may-bom-y-quan-hoc-mon-0978-886-874-sua-may-bom-nuoc-tai-nha-may-bom-y.82519/).
Thảo luận trong '
[Sinh viên rao vặt](forums/sinh-vien-rao-vat.529/)' bắt đầu bởi [nhigiahcm](members/nhigiahcm.139250/), [11/8/16](threads/sua-may-bom-nuoc-tai-nha-may-bom-y-quan-hoc-mon-0978-886-874-sua-may-bom-nuoc-tai-nha-may-bom-y.82519/).


text:
Bài tập về chuẩn hóa
Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7
lượt xem 50
download
Bài tập về chuẩn hóa
Kiểm tra được một phép tách lược đồ aqua nhệ c ó mất thông tin không...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài tập về chuẩn hóa
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 5. BµI TËP VÒ chuẨN HOÁ MỤC TIÊU CỦA BÀI NÀY GIÚP NGƯỜI HỌC Phân biệt các dạng chuẩn của quan hệ. Xác định một lược đồ ở dạng chuẩn nào. Vận dụng giải các bài tập về chuẩn hóa quan hệ (Đ ưa các l ược đ ồ quan hệ (quan hệ) từ dạng chuẩn thấp lên dạng chuẩn cao hơn). Kiểm tra được một phép tách lược đồ aqua nhệ c ó mất thông tin không. A/ NHẮC LẠI LÝ THUYẾT I. CÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT 1. Dạng chuẩn 1 (1NF - first normal form) Một lược đồ quan hệ α= (U, F) được gọi là ở dạng chuẩn một (1NF) nếu và ch ỉ nếu t ất c ả miền giá trị của các thuộc tính của R đều nguyên t ố (không thể phân chia đ ược). Chú ý: Tính không thể phân chia được chỉ có tính chất tương đối. Định nghĩa này cho thấy ngay rằng bất kỳ quan hệ chuẩn hóa nào cũng ở 1NF. 2. Dạng chuẩn 2 ( 2NF- Second normal form) Trước khi nghiên cứu dạng chuẩn thứ 2 , ta xét Ví d ụ sau đây: Xét CSDL gồm 2 lược đồ quan hệ THI(MONTHI,GIAOVIEN) và SINHVIEN(MONTHI, MSSV, TEN, TUOI, DCHI, DIEM) phản ánh thông tin về k ết q ủa thi c ủa một đơn vị nào đó. Trong quan hệ THI thì MONTHI là khóa và trong quan hệ SINHVIEN thì MOMTHI và MSSV là khóa. ở quan hệ thứ hai dễ nhận thấy rằng MONTHI, MSSV,DIEM xác định kết qu thi c ủa sinh viên còn MSSV,TEN, TUOI, DCHI xác định đối tượng dự thi Xét các hiện hành của 2 lược đồ quan hệ THI và SINHVIEN nh ư sau: THI MONTHI GIAOVIEN ́ Thầy Công Toan Lý Thầy Hứa ́ Thầy Giao Hoa SINHVIEN MONTHI MSSV TEN TUOI DCHI DIEM ́ Toan 11 Lan 20 HN 8.0 ́ Toan 12 Hue 21 HY 7.5 ́ Hoa 11 Lan 20 HN 7.0 ́ Hoa 12 Hue 21 HY 6.0 Lý 11 Lan 20 HN 5.0 Lý 13 An 22 BN 4.0 Trang 1
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 3. Dạng chuẩn 3 ( 3NF- Second normal form) Định nghĩa: Cho lược đồ quan hệ α =(U, F), lược đồ α được gọi là ở dạng chuẩn 3, kí hiệu là 3NF, nếu như lược đồ ở dạng chuẩn 1NF và các thuộc tính không khoá c ủa α là không phụ thuộc hàm bắc cầu vào khoá chính. 4. Dạng chuẩn Boyce Codd ( BCNF- Boyce Codd normal form) Định nghĩa: Cho lược đồ quan hệ α =(U, F), lược đồ α được gọi là ở dạng chuẩn Boyce Codd, kí hiệu là BCNF, nếu như lược đồ ở dạng chuẩn 1NF và nếu XY ∈F+ ( Y ⊄ X ) thì X phải là siêu khoá của lược đồ. 5. Tách lược đồ quan hệ Định nghĩa: Phép tách lược đồ quan hệ α = (U, F) là phép thay thế nó bằng m ột t ập các lược đồ con αi = (Ui, Fi), i=1,..,k với điều kiện Ui ≠ φ ∀ i=1,..., k , ∪ Ui= U, Fi= F/Ui, Fi là hình chiếu của F lên tập thuộc tính Ui Phép tách đó được ký hiệu là σ ={U1, U2,.., Uk} Kí hiệu α = (U, F), σ ={U1, U2,.., Uk} là một phép tách khi đó R là m ột quan hệ trên U, kí hi ệu mδ(R)=R[U1] * R[U2] * ... * R[Uk] Định nghĩa: phép tách kết nối không mất thông tin Cho lược đồ quan hệ α = (U, F) và phép tách δ ={U1, U2,.., Uk} đối với lược đồ đó. phép tách δ được gọi là phép tách kết nối không mất thông tin nếu m ọi quan hệ R trên U thì ta có mδ(R)= R, ngược lại nếu mδ(R) ≠ R thì ta nói phép tách δ là phép tách mất thông tin. 6. Thuật toán kiểm tra phép tách kết nối có mất thông tin hay không? Dữ liệu vao: ̀ - Tập thuộc tính U - Tập phụ thuộc ham F ̀ - Phep tach δ ={U1, U2,.., Uk} ́ ́ Ra: Xac đinh liệu phep tach δ có mất thông tin hay không? ́ ̣ ́ ́ Phương phap: ́ Giả sử U={A1, A2,.., An}, ta xây dựng một bảng g ồm k dòng n c ột ( n=| U | , k=| δ |), cột thứ i của bảng ứng với thuộc tính Ai, hàng thứ j của b ảng ứng v ới l ược đ ồ con αi = (Ui, Fi), tại hàng i và cột j ta điền kí hiệu aj ( ta g ọi kí hi ệu aj là tín hi ệu chính) n ếu thu ộc tính aj ∈ Ui, nếu không ta điền bịj ( ta gọi bij là tín hiệu phụ). Bây giờ ta biến đổi bảng như sau: Với mỗi phụ thuộc hàm X Y ∈ F, nếu trong bng có hai hàng giống nhau trên t ập thuộc tính X thi ta cần làm chúng giống nhau trên t ập thuộc tính Y theo quy t ắc sau: Nếu một trong hai giá trị là tín hiệu phụ thì ta s ửa l ại tính h ịêu ph ụ thành tín hi ệu - chính tức là sửa bij thành aj Nếu cả hai là tín hịêu phụ thì ta sửa lại hai tín hi ệu đó b ằng m ột trong các kí hi ệu - bij , tức là sửa lại chỉ số cho giống nhau. Tiếp tục áp dụng các phụ thuộc hàm trong bảng ( k ể c các ph ụ thuộc hàm đã đ ược s ử dụng) cho tới khi không còn áp dụng được nữa. Quan sát trong bảng cuối cùng: nếu xuất hiện ít nhất m ột hàng g ồm toàn tín hi ệu chính ( hàng gồm toàn kí hiệu a) thì phép tách k ết nối là không m ất thông tin, tr ường h ợp ngược lại là kết nối mất thông tin. 7. Phương pháp chuẩn hóa dữ liệu Trang 2
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 7.1. Thuật toán tách lược đồ thành 3NF Input: Lược đồ quan hệ α =(U, F) Output: Các lược đồ ở dạng 3NF (U1, K1) , ( U2, K2) ,…., (Un, Kn) thỏa mãn: a) Quan hệ R trên U thì R[U1]*R[U2]* … * R[Un]=R b) K1, K2, …, Kn là các khoá của lược đồ con tưng ứng Phương pháp: 1. Tìm một khóa K của lược đồ α 2. Tìm một phủ G tối thiểu của F G={K1A1, K2A2, …, KpAp} 3. Ghép các phụ thuộc hàm có cùng vế trái trong G để thu đ ược ph ủ G={K1X1, K2X2, …, KnXn} 4. Phép tách δ ={K1X1, K2X2, …, KnXn} nếu khoá K không có mặt trong thành phần nào của δ thì thêm thành phần K vào δ. 5. Return δ 7.2. Tách không mất thông tin thành các lược đồ ở dạng BCNF Cho lược đồ α = (U, F), và phép tách δ ={U1, U2,.., Uk}, phép tách một lược đồ thành một tập các lược đồ ở dạng BCNF là phép tách thỏa mãn: Phép tách δ là phép tách kết nối không mất thông tin - Tất cả các lược đồ con αi = (Ui, Fi) đều ở dạng BCNF - Phương pháp : Xuất phát từ một phụ thuộc hàm X A nào đó của F, phụ thuộc hàm X A này vi phạm điều kiện BCNF, ta xây dựng phép tách δ ={U1, U2}, tương ứng với lược đồ α1 và α2 sao cho: Phép tách đó là phép tách kết nối không mất thông tin - Phụ thuộc hàm X A là phụ thuộc hàm của lược đồ α1 và nó thỏa mãn điều kiện - cua BCNF trong lược đồ này Nếu như các lược đồ α1 và α2 vẫn chưa ở dạng BCNF thì tiếp t ục quá trình đó, thì - các điều vi phạm BCNF đều bị loại bỏ, cuối cùng ta thu đ ược m ột t ập các l ược đ ồ con đ ều ở dạng BCNF và quá trình tách luôn luôn đm bo phép tách kết nối không m ất thông tin. Cơ sở của thuật toán trên là do gi thiết l ược đồ α = (U, F) chưa ở dạng BCNF do đó t ồn tại phụ thuộc hàm X A, A X, X không phải là siêu khoá U1=XA, U2 =U \ A Nhận xét X=U1 ∩ U2, U1 \ U2 =A, đã có X A do đó U1 ∩ U2 U1 \ U2 theo định lý ở phần trên thì phép tách δ ={U1 , U2} là phép tách có kết nối không mất thông tin. Vì U 1 =XA và phụ thuộc hàm X A là duy nhất trên lược đồ α1 = (U1, F1) nên X là siêu khoá. Nếu α1 , α2 chưa ở dạng BCNF thì ta áp dụng quá trình tách t ương t ự. Cuối cùng ta thu được một tập các lược đồ ở dạng BCNF và quá trình tách là không m ất thông tin. Ví dụ: Cho lược đồ α = (U, F) với U=CRHTSG ( C : Course, T : Teacher, H Hour, R : Room, S : Student, G : Group) Trang 3
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm F ={CT , HR C, CH R, CS G, HS R} Nhận xét - Lược đồ này có duy nhất một khoá là HS - Lược đồ này chưa ở dạng BCNF - Ta thấy trong lược đồ α = (U, F) có phụ thuộc hàm CS G vi phạm điều kiện BCNF nên ta tách lược đồ thành các lược U1 =CGS, U2 =CTHRS - Ta thấy trong lược đồ α2 = (U2, F2) có phụ thuộc hàm C T vi phạm điều kiện BCNF nên ta tách lược đồ thành các lược U3 =CT, U4 =CHRS - Ta thấy trong lược đồ α4 = (U4, F4) có phụ thuộc hàm CH R vi phạm điều kiện BCNF nên ta tách lược đồ thành các lược U5 =CHR, U6 =CHS α = (U, F) U1 =CSG U2 =CTHRS F1={CSG} F2={CT, HRC, CHR, HSR} K=CS K=HS U3 =CT U4 =CHSR F3={CT} F4={ HRC, CHR, HSR} K=C K=HS U5 =CHR U6 =CHS F5={ HRC, HRC} F6={ HSC} K=HR, K=HC K=HS Như vậy phép tách cuối cùng là δ={ CSG, CT , CHR , CHS } III. MỘT SỐ LƯU Ý Tầm quan trọng của việc chuẩn hóa dữ liệu. Phân biệt các dạng chuẩn, phương pháp tách quan hệ ở dạng chuẩn th ấp lên d ạng chuẩn cao hơn. Thuật toán kiểm tra phép tách có mất thông tin không? B/ BÀI TẬP MẪU Bài số 1: Kiểm tra phép tách có mất thông tin hay không? Cho lược đồ quan hệ α= (U, F) với U={A1, A2, A3, A4, A5} F={ A1 A2 A3 , A2 A4 A5 , A2 A3} δ={ A1 A2 A4, A2 A3, A1 A4 A5} Hỏi rằng phép tách δ trên có kết nối không mất thông tin không? Hướng dẫn: Trang 4
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm Áp dụng thuật toán kiểm tra phép tách có mất thông tin không, ta ti ến hành t ừng b ước. Giải: Xây dựng bảng gồm 3 dòng 5 cột - Điền các tín hiệu vào bảng A1 A2 A3 A4 A5 U1 a2 b13 a4 b15 a1 U2 b12 a2 a3 b25 b24 U3 a1 b32 b33 a4 a5 - Biến đổi bảng trên dựa vào tập phụ thuộc hàm F A1 A2 A3 ta biến đổi bảng + Sử dụng phụ thuộc hàm A1 A2 A3 A4 A5 U1 a1 a2 a4 b15 b13 U2 b12 a2 a3 b24 b25 U3 a1 a4 a5 a2 b13 + Sử dụng phụ thuộc hàm A2 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 U1 a1 a2 b13 a4 a5 U2 b12 a2 a3 b24 b25 U3 a1 a2 b13 b4 a5 + Sử dụng phụ thuộc hàm A2 A3 A1 A2 A3 A4 A5 U1 a1 a2 a4 a5 a3 U2 B12 a2 a3 b24 b25 U3 a1 a2 a4 a5 a3 δ là phép Trong bảng này có hàng cuối cùng gồm toàn các tín hiệu chính, do v ậy phép tách tách kết nối không mất thông tin. C/ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 1: Dùng kỹ thuật bảng kiểm tra phép tách sau có mất thông tin không Trang 5
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm α=(U, F) với U=ABCD, F={A→B, AC→D}, δ={AB, ACD} a) b) α=(U, F) với U=ABCDE, F={A→C, B→C, C→D, DE→C, CE→A}, δ={AD, AB, BE, CDE} c) Xác định và giải thích dạng chuẩn cao nhất của l ược đồ quan hệ α=(U, F) với U=ABCD, F={A→C, D→B, C→ABD} Bài tập 2: Cho lược đồ quan hệ α=(U, F) với U=ABCDEGH F={CD→H, E→B, D→G, BH→E, CH→DG, C→A } Hỏi rằng phép tách δ=(ABCDE, BCH, CDEGH) có kết nối mất thông tin không. Bài tập 3: Cho lược đồ quan hệ α=(U, F) với U=ABCD, F={D→B, C→A, B→ACD } Xác định dạng chuẩn cao nhất của lược đồ quan hệ trên Bài tập 4: Cho lược đồ quan hệ α =(U, F) với U=ABCD, F={CD→B, A→C, B→ACD } Xác định dạng chuẩn cao nhất của lược đồ quan hệ trên Bài tập 5: Cho α=(u, F) với U=ABCDE và F={A→C, B→C, A→D, DE→C, CE→A} kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={AD, AB, BE, CDE, AE } Bài tập 6: Cho α=(u, F) với U=ABCDEF và F={AB→C, C→B, ABD→E, F→A} kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={BC, AC, ABDE, ABDF } Bài tập 7: Cho α=(u, F) với U=ABCDEG F={D→G, C→A, CD→E, A→B} kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={DG, AC, SCE, AB } Bài tập 8: Cho α=(u, F) với U=ABCDE và F={A→C, B→C, C→D, DE→C, CE→A} Trang 6
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={AC, CD, BE, BC, AE} Bài tập 9: Cho (=(U, F) với U=XYZW và tập F={Y→W, W→Y, XY→Z} Dạng chuẩn cao nhất của lược đồ là gì? Bài tập 10: Cho (=(U, F) với U=ABCDEG và tập phụ thuộc hàm F={ AB→C, AC→E, EG→D, AB→G } δ={DEG, ABDEG } Phép tách trên có mất thông tin không? Hãy chứng minh mọi quan hệ chỉ có 2 thuộc tính đề ở dạng chuẩn BCNF? Bài tập 11: Xét quan hệ R(ABCDE) và tập phụ thuộc hàm F={ AB→CE, E→AB, C→D } Hãy tìm dạng chuẩn cao nhất của lược đồ? Bài tập 12: Xét quan hệ R(ABCDEG) và tập phụ thuộc hàm F={ A→B, C→DG , AC→E, D→G } - Hãy tìm khoá của lược đồ - Hãy tìm dạng chuẩn cao nhất của lược đồ Bài tập 13: Xét quan hệ R(ABCD) và tập phụ thuộc hàm F={ AB→D, AC→BD, B→C } Hãy tìm dạng chuẩn cao nhất của lược đồ Bài tập 14: Cho α=(u, F) với U=ABCDEF F={AB→C, C→B, ABD→E, F→A} Lược đồ có ở dạng BCNF không Trang 7
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đáp án một số bài tập mẫu môn cơ sở dữ liệu (Phần 2)
0 p | 1373 | 840
-
Đáp án một số bài tập mẫu môn cơ sở dữ liệu (Phần 3)
0 p | 1255 | 788
-
Bài tập về môn cơ sở dữ liệu
7 p | 909 | 367
-
Bài tập về phụ thuộc hàm
6 p | 621 | 205
-
Bài tập về Cơ sở dữ liệu
32 p | 442 | 185
-
Bài tập về SQL
13 p | 536 | 164
-
Bài tập tin danh sách móc nối đơn
8 p | 395 | 97
-
Bài giảng Cơ sở dữ liệu - Chương 8: Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu
10 p | 277 | 90
-
Bài tập về khóa
9 p | 63 | 23
-
Bài tập phần khóa, phủ tối thiểu, chuẩn hóa CSDL - ĐH Tôn Đức Thắng
4 p | 51 | 10
-
Bài giảng Cơ sở dữ liệu: Chương 7 - Phụ thuộc hàm và chuẩn hóa cơ sở dữ liệu
0 p | 20 | 5
-
Bài giảng Chương 10: Chuẩn hóa
40 p | 17 | 4
-
100 bài tập turbo pasca
55 p | 16 | 2
-
Bài tập đặc tả (Có lời giải)
34 p | 8 | 2
-
Nhóm lệnh, bài tập về đáp ứng tần số
16 p | 18 | 2
-
Bài giảng Cơ sở dữ liệu: Chương 5 - ThS. Trần Quang Hải Bằng
29 p | 9 | 2
-
Bài giảng Hệ cơ sở dữ liệu - Chương 10: Chuẩn hóa
42 p | 1 | 0

markdown:
# Bài tập về chuẩn hóa
Chia sẻ: Nguyen Ngoc Son Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7
lượt xem 50
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2011/20111008/nguyenson468/80x100/bai_tap_ve_chuan_hoa_4543.jpg)
##
Bài tập về chuẩn hóa
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Kiểm tra được một phép tách lược đồ aqua nhệ c ó mất thông tin không...
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Bài tập về chuẩn hóa
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 5. BµI TËP VÒ chuẨN HOÁ MỤC TIÊU CỦA BÀI NÀY GIÚP NGƯỜI HỌC Phân biệt các dạng chuẩn của quan hệ. Xác định một lược đồ ở dạng chuẩn nào. Vận dụng giải các bài tập về chuẩn hóa quan hệ (Đ ưa các l ược đ ồ quan hệ (quan hệ) từ dạng chuẩn thấp lên dạng chuẩn cao hơn). Kiểm tra được một phép tách lược đồ aqua nhệ c ó mất thông tin không. A/ NHẮC LẠI LÝ THUYẾT I. CÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT 1. Dạng chuẩn 1 (1NF - first normal form) Một lược đồ quan hệ α= (U, F) được gọi là ở dạng chuẩn một (1NF) nếu và ch ỉ nếu t ất c ả miền giá trị của các thuộc tính của R đều nguyên t ố (không thể phân chia đ ược). Chú ý: Tính không thể phân chia được chỉ có tính chất tương đối. Định nghĩa này cho thấy ngay rằng bất kỳ quan hệ chuẩn hóa nào cũng ở 1NF. 2. Dạng chuẩn 2 ( 2NF- Second normal form) Trước khi nghiên cứu dạng chuẩn thứ 2 , ta xét Ví d ụ sau đây: Xét CSDL gồm 2 lược đồ quan hệ THI(MONTHI,GIAOVIEN) và SINHVIEN(MONTHI, MSSV, TEN, TUOI, DCHI, DIEM) phản ánh thông tin về k ết q ủa thi c ủa một đơn vị nào đó. Trong quan hệ THI thì MONTHI là khóa và trong quan hệ SINHVIEN thì MOMTHI và MSSV là khóa. ở quan hệ thứ hai dễ nhận thấy rằng MONTHI, MSSV,DIEM xác định kết qu thi c ủa sinh viên còn MSSV,TEN, TUOI, DCHI xác định đối tượng dự thi Xét các hiện hành của 2 lược đồ quan hệ THI và SINHVIEN nh ư sau: THI MONTHI GIAOVIEN ́ Thầy Công Toan Lý Thầy Hứa ́ Thầy Giao Hoa SINHVIEN MONTHI MSSV TEN TUOI DCHI DIEM ́ Toan 11 Lan 20 HN 8.0 ́ Toan 12 Hue 21 HY 7.5 ́ Hoa 11 Lan 20 HN 7.0 ́ Hoa 12 Hue 21 HY 6.0 Lý 11 Lan 20 HN 5.0 Lý 13 An 22 BN 4.0 Trang 1
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 3. Dạng chuẩn 3 ( 3NF- Second normal form) Định nghĩa: Cho lược đồ quan hệ α =(U, F), lược đồ α được gọi là ở dạng chuẩn 3, kí hiệu là 3NF, nếu như lược đồ ở dạng chuẩn 1NF và các thuộc tính không khoá c ủa α là không phụ thuộc hàm bắc cầu vào khoá chính. 4. Dạng chuẩn Boyce Codd ( BCNF- Boyce Codd normal form) Định nghĩa: Cho lược đồ quan hệ α =(U, F), lược đồ α được gọi là ở dạng chuẩn Boyce Codd, kí hiệu là BCNF, nếu như lược đồ ở dạng chuẩn 1NF và nếu XY ∈F+ ( Y ⊄ X ) thì X phải là siêu khoá của lược đồ. 5. Tách lược đồ quan hệ Định nghĩa: Phép tách lược đồ quan hệ α = (U, F) là phép thay thế nó bằng m ột t ập các lược đồ con αi = (Ui, Fi), i=1,..,k với điều kiện Ui ≠ φ ∀ i=1,..., k , ∪ Ui= U, Fi= F/Ui, Fi là hình chiếu của F lên tập thuộc tính Ui Phép tách đó được ký hiệu là σ ={U1, U2,.., Uk} Kí hiệu α = (U, F), σ ={U1, U2,.., Uk} là một phép tách khi đó R là m ột quan hệ trên U, kí hi ệu mδ(R)=R[U1] * R[U2] * ... * R[Uk] Định nghĩa: phép tách kết nối không mất thông tin Cho lược đồ quan hệ α = (U, F) và phép tách δ ={U1, U2,.., Uk} đối với lược đồ đó. phép tách δ được gọi là phép tách kết nối không mất thông tin nếu m ọi quan hệ R trên U thì ta có mδ(R)= R, ngược lại nếu mδ(R) ≠ R thì ta nói phép tách δ là phép tách mất thông tin. 6. Thuật toán kiểm tra phép tách kết nối có mất thông tin hay không? Dữ liệu vao: ̀ - Tập thuộc tính U - Tập phụ thuộc ham F ̀ - Phep tach δ ={U1, U2,.., Uk} ́ ́ Ra: Xac đinh liệu phep tach δ có mất thông tin hay không? ́ ̣ ́ ́ Phương phap: ́ Giả sử U={A1, A2,.., An}, ta xây dựng một bảng g ồm k dòng n c ột ( n=| U | , k=| δ |), cột thứ i của bảng ứng với thuộc tính Ai, hàng thứ j của b ảng ứng v ới l ược đ ồ con αi = (Ui, Fi), tại hàng i và cột j ta điền kí hiệu aj ( ta g ọi kí hi ệu aj là tín hi ệu chính) n ếu thu ộc tính aj ∈ Ui, nếu không ta điền bịj ( ta gọi bij là tín hiệu phụ). Bây giờ ta biến đổi bảng như sau: Với mỗi phụ thuộc hàm X Y ∈ F, nếu trong bng có hai hàng giống nhau trên t ập thuộc tính X thi ta cần làm chúng giống nhau trên t ập thuộc tính Y theo quy t ắc sau: Nếu một trong hai giá trị là tín hiệu phụ thì ta s ửa l ại tính h ịêu ph ụ thành tín hi ệu - chính tức là sửa bij thành aj Nếu cả hai là tín hịêu phụ thì ta sửa lại hai tín hi ệu đó b ằng m ột trong các kí hi ệu - bij , tức là sửa lại chỉ số cho giống nhau. Tiếp tục áp dụng các phụ thuộc hàm trong bảng ( k ể c các ph ụ thuộc hàm đã đ ược s ử dụng) cho tới khi không còn áp dụng được nữa. Quan sát trong bảng cuối cùng: nếu xuất hiện ít nhất m ột hàng g ồm toàn tín hi ệu chính ( hàng gồm toàn kí hiệu a) thì phép tách k ết nối là không m ất thông tin, tr ường h ợp ngược lại là kết nối mất thông tin. 7. Phương pháp chuẩn hóa dữ liệu Trang 2
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 7.1. Thuật toán tách lược đồ thành 3NF Input: Lược đồ quan hệ α =(U, F) Output: Các lược đồ ở dạng 3NF (U1, K1) , ( U2, K2) ,…., (Un, Kn) thỏa mãn: a) Quan hệ R trên U thì R[U1]*R[U2]* … * R[Un]=R b) K1, K2, …, Kn là các khoá của lược đồ con tưng ứng Phương pháp: 1. Tìm một khóa K của lược đồ α 2. Tìm một phủ G tối thiểu của F G={K1A1, K2A2, …, KpAp} 3. Ghép các phụ thuộc hàm có cùng vế trái trong G để thu đ ược ph ủ G={K1X1, K2X2, …, KnXn} 4. Phép tách δ ={K1X1, K2X2, …, KnXn} nếu khoá K không có mặt trong thành phần nào của δ thì thêm thành phần K vào δ. 5. Return δ 7.2. Tách không mất thông tin thành các lược đồ ở dạng BCNF Cho lược đồ α = (U, F), và phép tách δ ={U1, U2,.., Uk}, phép tách một lược đồ thành một tập các lược đồ ở dạng BCNF là phép tách thỏa mãn: Phép tách δ là phép tách kết nối không mất thông tin - Tất cả các lược đồ con αi = (Ui, Fi) đều ở dạng BCNF - Phương pháp : Xuất phát từ một phụ thuộc hàm X A nào đó của F, phụ thuộc hàm X A này vi phạm điều kiện BCNF, ta xây dựng phép tách δ ={U1, U2}, tương ứng với lược đồ α1 và α2 sao cho: Phép tách đó là phép tách kết nối không mất thông tin - Phụ thuộc hàm X A là phụ thuộc hàm của lược đồ α1 và nó thỏa mãn điều kiện - cua BCNF trong lược đồ này Nếu như các lược đồ α1 và α2 vẫn chưa ở dạng BCNF thì tiếp t ục quá trình đó, thì - các điều vi phạm BCNF đều bị loại bỏ, cuối cùng ta thu đ ược m ột t ập các l ược đ ồ con đ ều ở dạng BCNF và quá trình tách luôn luôn đm bo phép tách kết nối không m ất thông tin. Cơ sở của thuật toán trên là do gi thiết l ược đồ α = (U, F) chưa ở dạng BCNF do đó t ồn tại phụ thuộc hàm X A, A X, X không phải là siêu khoá U1=XA, U2 =U \ A Nhận xét X=U1 ∩ U2, U1 \ U2 =A, đã có X A do đó U1 ∩ U2 U1 \ U2 theo định lý ở phần trên thì phép tách δ ={U1 , U2} là phép tách có kết nối không mất thông tin. Vì U 1 =XA và phụ thuộc hàm X A là duy nhất trên lược đồ α1 = (U1, F1) nên X là siêu khoá. Nếu α1 , α2 chưa ở dạng BCNF thì ta áp dụng quá trình tách t ương t ự. Cuối cùng ta thu được một tập các lược đồ ở dạng BCNF và quá trình tách là không m ất thông tin. Ví dụ: Cho lược đồ α = (U, F) với U=CRHTSG ( C : Course, T : Teacher, H Hour, R : Room, S : Student, G : Group) Trang 3
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm F ={CT , HR C, CH R, CS G, HS R} Nhận xét - Lược đồ này có duy nhất một khoá là HS - Lược đồ này chưa ở dạng BCNF - Ta thấy trong lược đồ α = (U, F) có phụ thuộc hàm CS G vi phạm điều kiện BCNF nên ta tách lược đồ thành các lược U1 =CGS, U2 =CTHRS - Ta thấy trong lược đồ α2 = (U2, F2) có phụ thuộc hàm C T vi phạm điều kiện BCNF nên ta tách lược đồ thành các lược U3 =CT, U4 =CHRS - Ta thấy trong lược đồ α4 = (U4, F4) có phụ thuộc hàm CH R vi phạm điều kiện BCNF nên ta tách lược đồ thành các lược U5 =CHR, U6 =CHS α = (U, F) U1 =CSG U2 =CTHRS F1={CSG} F2={CT, HRC, CHR, HSR} K=CS K=HS U3 =CT U4 =CHSR F3={CT} F4={ HRC, CHR, HSR} K=C K=HS U5 =CHR U6 =CHS F5={ HRC, HRC} F6={ HSC} K=HR, K=HC K=HS Như vậy phép tách cuối cùng là δ={ CSG, CT , CHR , CHS } III. MỘT SỐ LƯU Ý Tầm quan trọng của việc chuẩn hóa dữ liệu. Phân biệt các dạng chuẩn, phương pháp tách quan hệ ở dạng chuẩn th ấp lên d ạng chuẩn cao hơn. Thuật toán kiểm tra phép tách có mất thông tin không? B/ BÀI TẬP MẪU Bài số 1: Kiểm tra phép tách có mất thông tin hay không? Cho lược đồ quan hệ α= (U, F) với U={A1, A2, A3, A4, A5} F={ A1 A2 A3 , A2 A4 A5 , A2 A3} δ={ A1 A2 A4, A2 A3, A1 A4 A5} Hỏi rằng phép tách δ trên có kết nối không mất thông tin không? Hướng dẫn: Trang 4
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm Áp dụng thuật toán kiểm tra phép tách có mất thông tin không, ta ti ến hành t ừng b ước. Giải: Xây dựng bảng gồm 3 dòng 5 cột - Điền các tín hiệu vào bảng A1 A2 A3 A4 A5 U1 a2 b13 a4 b15 a1 U2 b12 a2 a3 b25 b24 U3 a1 b32 b33 a4 a5 - Biến đổi bảng trên dựa vào tập phụ thuộc hàm F A1 A2 A3 ta biến đổi bảng + Sử dụng phụ thuộc hàm A1 A2 A3 A4 A5 U1 a1 a2 a4 b15 b13 U2 b12 a2 a3 b24 b25 U3 a1 a4 a5 a2 b13 + Sử dụng phụ thuộc hàm A2 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 U1 a1 a2 b13 a4 a5 U2 b12 a2 a3 b24 b25 U3 a1 a2 b13 b4 a5 + Sử dụng phụ thuộc hàm A2 A3 A1 A2 A3 A4 A5 U1 a1 a2 a4 a5 a3 U2 B12 a2 a3 b24 b25 U3 a1 a2 a4 a5 a3 δ là phép Trong bảng này có hàng cuối cùng gồm toàn các tín hiệu chính, do v ậy phép tách tách kết nối không mất thông tin. C/ BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 1: Dùng kỹ thuật bảng kiểm tra phép tách sau có mất thông tin không Trang 5
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm α=(U, F) với U=ABCD, F={A→B, AC→D}, δ={AB, ACD} a) b) α=(U, F) với U=ABCDE, F={A→C, B→C, C→D, DE→C, CE→A}, δ={AD, AB, BE, CDE} c) Xác định và giải thích dạng chuẩn cao nhất của l ược đồ quan hệ α=(U, F) với U=ABCD, F={A→C, D→B, C→ABD} Bài tập 2: Cho lược đồ quan hệ α=(U, F) với U=ABCDEGH F={CD→H, E→B, D→G, BH→E, CH→DG, C→A } Hỏi rằng phép tách δ=(ABCDE, BCH, CDEGH) có kết nối mất thông tin không. Bài tập 3: Cho lược đồ quan hệ α=(U, F) với U=ABCD, F={D→B, C→A, B→ACD } Xác định dạng chuẩn cao nhất của lược đồ quan hệ trên Bài tập 4: Cho lược đồ quan hệ α =(U, F) với U=ABCD, F={CD→B, A→C, B→ACD } Xác định dạng chuẩn cao nhất của lược đồ quan hệ trên Bài tập 5: Cho α=(u, F) với U=ABCDE và F={A→C, B→C, A→D, DE→C, CE→A} kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={AD, AB, BE, CDE, AE } Bài tập 6: Cho α=(u, F) với U=ABCDEF và F={AB→C, C→B, ABD→E, F→A} kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={BC, AC, ABDE, ABDF } Bài tập 7: Cho α=(u, F) với U=ABCDEG F={D→G, C→A, CD→E, A→B} kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={DG, AC, SCE, AB } Bài tập 8: Cho α=(u, F) với U=ABCDE và F={A→C, B→C, C→D, DE→C, CE→A} Trang 6
- NHẬP MÔN CƠ SỞ DỮ LIỆU QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm kiểm tra tính kết nối không mất thông tin đối với phép tách δ={AC, CD, BE, BC, AE} Bài tập 9: Cho (=(U, F) với U=XYZW và tập F={Y→W, W→Y, XY→Z} Dạng chuẩn cao nhất của lược đồ là gì? Bài tập 10: Cho (=(U, F) với U=ABCDEG và tập phụ thuộc hàm F={ AB→C, AC→E, EG→D, AB→G } δ={DEG, ABDEG } Phép tách trên có mất thông tin không? Hãy chứng minh mọi quan hệ chỉ có 2 thuộc tính đề ở dạng chuẩn BCNF? Bài tập 11: Xét quan hệ R(ABCDE) và tập phụ thuộc hàm F={ AB→CE, E→AB, C→D } Hãy tìm dạng chuẩn cao nhất của lược đồ? Bài tập 12: Xét quan hệ R(ABCDEG) và tập phụ thuộc hàm F={ A→B, C→DG , AC→E, D→G } - Hãy tìm khoá của lược đồ - Hãy tìm dạng chuẩn cao nhất của lược đồ Bài tập 13: Xét quan hệ R(ABCD) và tập phụ thuộc hàm F={ AB→D, AC→BD, B→C } Hãy tìm dạng chuẩn cao nhất của lược đồ Bài tập 14: Cho α=(u, F) với U=ABCDEF F={AB→C, C→B, ABD→E, F→A} Lược đồ có ở dạng BCNF không Trang 7
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đáp án một số bài tập mẫu môn cơ sở dữ liệu (Phần 2)
0 p |
1373 |
840
-
Đáp án một số bài tập mẫu môn cơ sở dữ liệu (Phần 3)
0 p |
1255 |
788
-
Bài tập về môn cơ sở dữ liệu
7 p |
909 |
367
-
Bài tập về phụ thuộc hàm
6 p |
621 |
205
-
Bài tập về Cơ sở dữ liệu
32 p |
442 |
185
-
Bài tập về SQL
13 p |
536 |
164
-
Bài tập tin danh sách móc nối đơn
8 p |
395 |
97
-
Bài giảng Cơ sở dữ liệu - Chương 8: Chuẩn hóa cơ sở dữ liệu
10 p |
277 |
90
-
Bài tập về khóa
9 p |
63 |
23
-
Bài tập phần khóa, phủ tối thiểu, chuẩn hóa CSDL - ĐH Tôn Đức Thắng
4 p |
51 |
10
-
Bài giảng Cơ sở dữ liệu: Chương 7 - Phụ thuộc hàm và chuẩn hóa cơ sở dữ liệu
0 p |
20 |
5
-
Bài giảng Chương 10: Chuẩn hóa
40 p |
17 |
4
-
100 bài tập turbo pasca
55 p |
16 |
2
-
Bài tập đặc tả (Có lời giải)
34 p |
8 |
2
-
Nhóm lệnh, bài tập về đáp ứng tần số
16 p |
18 |
2
-
Bài giảng Cơ sở dữ liệu: Chương 5 - ThS. Trần Quang Hải Bằng
29 p |
9 |
2
-
Bài giảng Hệ cơ sở dữ liệu - Chương 10: Chuẩn hóa
42 p |
1 |
0

Set-Cookie: TLDEVNamespace=rul0nm453i2510e57hjgfjms43; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache


text:
Đường đi Hamilton
Chia sẻ: ACB ABC | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30
lượt xem 69
download
Đường đi Hamilton
Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại, nó là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như điện tử, hóa học, ngôn ngữ học, kinh tế học, máy tính,...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Đường đi Hamilton
- MỤC LỤC
- MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại, nó là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính, .... Trong Lý thuyết đồ thị thì bài toán tìm đường đi, chu trình Hamilton có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Vì vậy nhóm 5 chọn đề tài “ Đường đi Hamilton” để nghiên cứu kỹ hơn. CÔNG VIỆC CỦA CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM 5 Nhận xét của TT Họ và tên Công việc Ghi chú Giáo viên Nghiên cứu về đường đị 1 Hồ Trung Cang và chu trình Hamilton Nghiên cứu chương Đại 2 Nguyễn Thành cương về đồ thị Nghiên cứu về đường đị 3 Phạm Đức Mạnh và chu trình Hamilton Tìm ứng dụng của 4 Hữu Đệ Đường đi, chu trình Hamilton Tìm ứng dụng của 5 Nguyễn Thị Xuân Đường đi, chu trình Hamilton
- CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ I. Các khái niệm cơ bản: 1. Đồ thị, đỉnh, cạnh: * Đồ thị vô hướng G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự). v w * Đồ thị có hướng G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e ạ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w có thứ tự. v w Cho đồ thị có hướng G = (V,E). Nếu ta thay đổi mỗi cung của G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của G. Ghi chú : Đồ thị vô hướng có thể xem là đô fthij có hướng trong đó mỗi cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v). Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V,E). Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói đỉnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề với đỉnh w. Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh v, w, ta viết e = (v, w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e. Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là cạnh song song. Cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên. Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập. Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị. Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn. Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song. Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ. 2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra: Cho đồ thị G = (V, E)
- Bậc của đỉnh v ỉ V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v). Nếu đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như vậy: d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên Từ định nghĩa suy ra , đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0. Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là ∆G , số bậc nhỏ nhất của G gọi là δ G . Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1. Nửa bậc: Cho G = (V,E) là đồ thị có hướng, v ớ V. Nửa bậc ra của đỉnh v, kí hiệu là dO(v), là số cung đi ra từ đỉnh v ( v là đỉnh đầu), và nửa bậc vào của đỉnh v ỉ V, kí hiệu dI(v), là số cung đi tới đỉnh v ( v là đỉnh cuối). Ví dụ : x2 e4 x6 e1 x4 x1 e2 e3 x5 x3 Trong đồ thị này, ta có : d(x1) = 6 , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = 3 , d(x5) = 0 , d(x6) = 1 Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc. Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2 và đỉnh x3. Đỉnh x5 là đỉnh cô lập. Đỉnh x6 là đỉnh treo. Ví dụ : Xét đồ thị có hướng sau x2 x6 x4 x1 x5 x3 Trong đồ thị có hướng này ta có: dI(x1) = 0 , dO(x1) = 2, dI(x2) = 1 , dO(x2) = 2 dI(x3) = 2 , dO(x3) = 1, dI(x4) = 2 , dO(x4) = 2 dI(x5) = 1 , dO(x5) = 1, dI(x6) = 2 , dO(x6) = 0 * Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E). Khi đó :
- i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và = d (v) = 2* card(E) . vd V ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì : � (v) = � (v) = card(E) , trong đó card(E) là d v�V O d v�V I số phần tử của tập E. Chứng minh : i) Mỗi cạnh e = (u,v) ạ E tham gia tính 1 bậc của đỉnh u, một bậc của đỉnh v. Từ đó suy ra công thức i). ii) Mỗi cung e = (u,v) ỗ E tham gia tính 1 bậc ra của đỉnh u, một bậc vào của đỉnh v. Từ đó suy ra công thức ii). * Hệ quả : Số dỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn. Chứng minh: Cho đồ thị G = (V,E). Kí hiệu V1 là tập các đỉnh bậc lẻ, V2 là tập các đỉnh bậc chẵn. Theo bổ đề ta có : � (v) = � (v) + �d (v) d 2*card(E) = v�V d v� 1 V v� 2 V � d d (v) = 2*card(E) - d d (v) vd V1 vd V2 là số chẵn. Các số hạng d(v) trong tổng d d d (v ) d (v ) vd V1 đều là số lẻ. Vì vậy để cho tổng vd V1 là số chẵn thì các số hạng đó phải là số chẵn, tức card(V1) là số chẵn. Suy ra số đỉnh bậc lẻ trong V là số chẵn. + Ghi chú : Bổ đề trên có tên bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau: Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó tổng số lần bắt tay của tất cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn. * Đồ thị Kn là đồ thị đơn, đủ n đỉnh đều có duy nhất một cạnh liên kết). Ví dụ sau đâylà đồ thị K5 * Mệnh đề. Mọi đỉnh của đồ thị Kn có bậc n-1 và có n(n-1)/2 cạnh. * Đồ thị lưỡng phân G = (V,E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và một đỉnh thuộc V2 , ký hiệu G = ({V1 ,V2},E). *Đồ thị Km,n là đồ thị lưỡng phân ({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1được nối với mỗi đỉnh của V2 bằng một cạnh duy nhất.
- Ví dụ sau đây là đồ thị K3,3 b a c x y z * Mệnh đề . Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong V2 có bậc là m và Km,n có m,n cạnh. 3. Đường đi, chu trình, tính liên thông * Định nghĩa : Cho đồ thị G= (V,E) Dãy µ từ đỉnh v đền đỉnh w là dãy các đỉnh và các cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dãy µ gọi là độ dài của dãy µ. Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n được biểu diễn như sau µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) trong đó vi(i=1,…,n-1) là các đỉnh trên dãy và ei(i=1,…,n) là các cạnh trên dãy liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và các cạnh trên dãy có thể lắp lại. Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó cá cạnh không lặp lại Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng là dãy có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Dãy có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau (e 1, e2, ….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cùng của cung ei là đỉnh đầu của cung ei+1, i=1,…n-1. Đường đi có hướng trong đó đồ thị có hướng là dãy có hướng, trong đó các cung không lặp lại. Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng có hướng là dãy có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng là đường đi có hướng đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một đỉnh qua 1 lần.
- Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó liên thông. Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u. * Định lý 1. (i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ cấp từ v đến w. (ii) Trong đó đồ thị có hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi có hướng sơ cấp từ v đến w. Chứng minh (i) Cho µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) là dãy từ v đến w. Nếu (v1,….,vn-1) khác nhau thì µ là đường đi sơ cấp. Ngược lại tồn tại i,j,0 < i < j < n, thỏa vi = vj . Ta loại các đỉnh vi+1, ….,vj khỏi dãy µ và nhận được dãy từ v đến w có độ dài ngắn hơn. Như vậy ta loại được ít nhất một đỉnh lặp. Tiếp tục các đỉnh trên cho đến khi không còn đỉnh lặp nữa, ta sẽ nhân được đường đi sơ cấp từ v đến w. (ii) Chứng minh tương tự như (i). * Định lý : Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu trình độ dài lẻ. Chứng minh ( xem [ Christofides trang 21]) + Điều kiện cần hiển nhiên + Điều kiện đủ: Cho G= (V,E ) là đồ thị không chứa chu trình độ dài lẻ. Không mất tính tổng quát ta giả thiết G liên thông ( nếu không ta xét từng thành phần liên thông). Ta xây dựng các tập con V+ và V- của V như sau. Chọn một đỉnh x0 bất kỳ . Gán cho x0 nhãn là dấu + Với mỗi đỉnh x đã gàn nhãn, ta tìm các đỉnh chưa có nhãn và kề x và gán nhãn cho các đỉnh này là dấu ngược với dấu của x ( tức là dấu – nếu x mang dấu +, dấu + nếu x mang dấu - ). Lặp lại quá trình này cho đến khi xảy ra một trong các trường hợp sau. (i) Tất cả các đỉnh được gán nhãn (không có hai đỉnh kề nhau cùng nhãn) (ii) Xuất hiện hai đỉnh kề nhau cùng dấu Gọi a và b là hai đỉnh kề nhau cùng dấu. Tồn tại đường đi µ1 từ x0 đến a và µ2 từ x0 đến b . Ký hiệu x là điểm chung cuối cùng của µ 1 và µ2 . Theo cách gán nhãn, độ dài
- đường đi µ1 (x,a) từ x đến a và độ dài đường đi µ2(x,b) từ x đến b cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Như vậy chu trình [µ1 (x,a), (a,b),µ2(b,x)] sẽ có độ dài lẻ, mâu thuẩn với giả thiết. * Trọng đồ (có hướng ) là đồ thị (có hướng ) mà mỗi cạnh (cung) của nó được gán một số . Trọng đồ được biểu diễn bởi G =(V,E,w), trong đó V là tập các đỉnh , E là tập các cạnh (cung) và w: E→R là hàm số trên E,w(e) là trọng số của cạnh (cung) e với mọi e ọE . Trong trọng đồ độ dài trọng số của đương đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó. + Ví dụ Người ta cần khoan một số lỗ trên các tấm kim loại dưới sự kiểm soát của máy tính. Để giảm chi phí sản xuất và tiết kiệm được thời gian, máy khoan phải khoan tất cả các lỗ trong thời gian ngắn nhất có thể được. Ta mô phỏng công việc bằng đồ thị 4 a 2 8 ` o o 3 6 d 5 c 6 9 b o o o 4 12 e Tấm kim loại cần khoan Đồ thị mô phỏng lỗ Trong hình trên, các đỉnh tương ứng với các lỗ khoan. Hai đỉnh bất kì được nối với nhau bởi một cạnh. Mỗi cạnh có gán một số, chỉ thời gian máy di chuyển giữa hai lỗ. Con đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh duy nhất một lần và có chiều dài ngắn nhất là đường đi tối ưu của máy khoan phải đi theo để tiết kiệm thời gian nhiều nhất. Đồ thị con : Cho đồ thị G = ( V, E ). Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) gọi là đồ thị con của G nếu V’ ế V và E’ E Nếu F ế E, htif ký hiệu G – F là đồ thị con ( V, E-F ) của G gồm tập đỉnh V và tập cạnh ( cung ) E – F Nếu U ế V, thì ký hiệu G- U là đồ thị con của G thu được từ G sau đó loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng Cho U V, đồ thị con của G sinh bởi U, ký hiệu < U >, là đồ thị ( U, EU) với EU = { e E / e liên thuộc đỉnh trong U }
- Đồ thị con G’ = ( V’, E’ ) của đồ thị ( có hướng ) G (V,E) gọi là thành phần liên thông (mạnh ) của đồ thị G , nếu nó là đồ thị con liên thông (mạnh) tối đại của G, tức là không tồn tại đồ thị con liên thông (mạnh) G’’= (V”,E”) ≠ G’ của G thỏa V’ ỏ V”, E’ E” + Ví dụ : Xét đồ thị G = ( V,E) ở ví dụ trước. x2 e4 x6 e1 x4 x1 e2 e3 x5 x3 Đồ thị G1 = (V1, E1), với V1 = { x1, x2, x3, x4} và E1= { e1, e2, e3, e4} là đồ thị con của đồ thị G nhưng khong phải thành phần liên thông. Đồ thị G2 = { V – {x5} , E } = < V – {x5} > là thành phần liên thông của G. * Định lý 3 : Cho đồ thị đơn G = (V,E ) với n đỉnh, và k thành phần liên thông. Khi đó số cạnh m của đồ thị thỏa bất đẳng thức (n − k )(n − k + 1) n–k m 2 Chứng minh (i) Bất đẳng thức (n-k) ứ m chứng minh bằng quy nạp theo m Nếu m = 0 , tức G là đồ thị hoàn toàn không liên thông, bất đẳng thức đúng vì n=k Giả sử G có m cạnh, m ạ 1. Gọi G’ = (V’, E’) là đồ thị thu được từ G bằng cách bỏ bớt một cạnh. Ký hiệu n’,k’ và m’ là số đỉnh , số thành phần liên thông và số cạnh của G’. Khi đó có 2 khả năng - Trường hợp 1: n’ = n, k’ = k và m’ = m-1 Theo giả thuyết qui nạp n - k = n’- k’ m’ m - Trường hợp 2 : n’= n, k’= k +1 và m’= m-1 n - k = n’- k’ +1 m’+1 = m (ii) Ta chứng minh bất đẳng thức (n − k )(n − k + 1) m (*) 2 qui nạp theo k. ni (n − 1) - Bước cơ sở : k = 1. Khi đó m ở vì đồ thị đơn n nhiều đỉnh nhiều cạnh nhât 2 là kn
- - Bước quy nạp : Giử sử bất đẳng thức (*) đúng với mọi đồ thị có số thành phần liên thông nhỏ hơn k Cho G = ( V, E ) là đồ thị có k thành phần liên thông: Gi = ( Vi,Ej ) có ni đỉnh và mj cạnh, ∀ i=1,…,k Hiển nhiên là n1 + n2 + n3 +…+ nk = n và m1 + m2 + m3 +…+ mk = m (1) Đặt h = n1 + n2 và gọi G’ là đồ thị có n’ = n’ – 1 đỉnh gồm k-1 thành phần liên thông Kh-1, G3,….,Gk (Kh-1 là đơn đồ thị đủ có h-1 đỉnh ). Theo giả thuyết qui nạp, số cạnh m’ của G’ thỏa [(n '− ( k − 1)].[n '− (k − 1) + 1] (n − k )(n − k + 1) m’ m’ m (2) 2 2 Tiếp theo ta có n1 (n1 − 1) n2 ( n2 − 1) h (h − 1) m1 + m2 + (3) 2 2 2 Bất đẳng thức cuối cùng tương đương (n1 - 1)(n2 -1) - 0 Bây giờ từ (1),(2),(3) ta suy ra (n − k )(n − k + 1) M m’ (đpcm.) 2 (n − 1)(n − 2) * Hệ quả: Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn hơn là liên thông. 2 * Tập tách Cho đồ thị G = (V,E). Tập cạnh F ạ E goijlaf tập hợp tách cạnh của đồ thị liên thông G, nếu G-F không liên thông. Hơn nữa, nếu F là tập hợp tách cạnh cự tiểu ( tức không tồn tại F’ ạ F, F’ F F, F’ là tập tách cạnh ), thì F gọi là tập cắt cạnh. Nếu tập cắt cạnh chỉ có một cạnh,thì cạnh đó gọi là cầu Đại lượng λ (G ) = min{card (F) /F là tập tách cạnh của G} gọi là số liên thông cạnh của G. Đồ thị G gọi là k cạnh liên thông, nếu mọi tập tách cạnh có ít nhất k cạnh. + Ghi chú. Từ định nghĩa ta có λ (G ) λ k ∀ k,G là k cạnh liên thông và λ (G ) = max {k/ G là k cạnh liên thông}
- Tập đỉnh U ỉ V gọi là tập hợp tách đỉnh của đồ thị liên thông G, nếu G- U không có liên thông. Hơn nữa, nếu U là tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không tồn tại U’ ạ U, U’ U U, U’ là tập hợp tách đỉnh) thì U gọi là tập cắt đỉnh. Nếu tập tách đỉnh chỉ có 1 đỉnh, thì đỉnh đó gọi là đỉnh tách . Đại lượng k(G ) = min{card (U) /U là tập tách đỉnh của G} gọi là số liên thông đỉnh của G Đồ thị G gọi là k- liên thông, nếu mọi tập tách đỉnh có ít nhất k đỉnh. + Ghi chú : Từ định nghĩa ta có k(G) k ∀ k, G là k - liên thông và k(G) = max { k/ G là k - liên thông} + Ghi chú : (i) Tập V và V – {v} ∀ vv V đều không phải là tập tách đỉnh (ii) Đồ thị đủ Kn không có tập tách đỉnh. Vì vậy ta qui ước số liên thông đỉnh của Kn là (n-1). + Ví dụ : Xét đồ thị sau. 5 1 e f a a 3 4 i 6 d g h c 7 2 Các tập cạnh sau. {b,c} , {e,g} , {b,c,d} , {d,e,g} , {d} Là tập tách cạnh, trong đó cạnh d là cầu, {b,c} và {e,g} là các tập cắt cạnh. Các tập cạnh sau {2,3} , {3,4} , {3} , {4} , {5,7} Là tập tách đỉnh, trong đó đỉnh {3,4} là đỉnh tách , {5,7} là các tập cắt đỉnh. * Định lý 4 (Bất đẳng thức Whiney). Với mọi đồ thị G ta có k(G) λ (G ) λ δ (G) Chứng minh Tập các cạnh liên thuộc đỉnh v có bậc nhỏ nhất δ (G) là tập tách. Suy ra λ (G ) λ δ (G). Để chứng minh bất đẳng thức k(G) ứ λ (G ) ta xét các trường hợp sau
- - Trường hợp λ (G ) = 0 : Đồ thị G chỉ có 1 đỉnh hoặc không liên thông, kéo theo k(G) =0 - Trường hợp λ (G ) =1 : Đồ thị G có cầu (u,v). Nếu G chii có hai đỉnh u và v thì G là đồ thị đủ K2 , và theo qui ước k(G) = 1.Nếu G có hơn 2 đỉnh thì một trong 2 đỉnh u và v phải có bậc lớn hơn 1, và đỉnh đó là đỉnh tách, suy ra k(G) = 1 - Trường hợp λ (G ) >1: Nếu ta xóa λ (G ) -1 cạnh của tập tách cạnh với λ (G ) -1 cạnh, ta sẽ nhận được đồ thị liên thông với cầu (v,w). Với mỗi cạnh xóa ta chọn đỉnh liên thuộc khác v và w . Kí hiệu U là tập đỉnh chọn . Nếu chọn G-U không liên thông thì ta có k(G) < λ (G ) . Nếu G- U liên thông, vì λ (G − U ) =1 nên theo trường hợp trên k(G -U) = 1, tức là G- U sẽ có đỉnh u mà khi xóa u sẽ nhận đồ thị chỉ có 1 đỉnh hoặc đồ thị không liên thông . Như vậy tập U và đỉnh u sẽ là tập tách đỉnh của G. Suy ra k(G) ủ λ (G ) . (đpcm) * Định lý 5: Đồ thịG = (V,E) bậc n là k-liên thông (1 k k n − 1 ) nếu δ (G ) δ (n + k − 2) / 2 n Chứng minh: Nếu G là đồ thị đủ thì G là k-liên thông vì k ủ n-1= k(G) (theo qui ước ). Giả thuyết G không đủ và không k- liên thông. Như vậy sẽ tồn tại tập tách đỉnh S ỉ V, s= card(S) < k. Ký hiệu H là thành phần liên thông của đồ thị không liên thông G – S với số đỉnh là ít nhất là r. Khi đó r ấ (n-s-r), kéo theo r n (n − s ) / 2 . Nếu v v H , thì bậc của v trong G thỏa dG (v ) d (r − 1) + s Suy ra : dG (v) d ( n − s ) / 2 − 1 + s = ( n + s − 2) / 2 < (n + k − 2) / 2 Điều này mâu thuẫn với giả thiết (đpcm) * Độ lệch tâm, bán kính, tâm đồ thị * Cho đồ thị G = (V,E) ta định nghĩa khoảng cách từ u đến v, ∀ n, v n V, là độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v và ký hiệu là d(u,v) Đại lượng e(v) = max {d(u,v)/ v V} gọi là độ lệch tâm của đỉnh v, ∀ v v V. Bán kính của đồ thị G, kí hiệu r(G), là độ lệch tâm nhỏ nhất r(G) = min{e(v)/v V} Đỉnh vỉ V gọi là đỉnh tâm nếu e(v) = r(G). Tập hợp tất cả các đỉnh tâm gọi là tâm của đồ thị và kí hiệu là C(G).
- + Ví dụ: A B C D A B Xét đồ thị sau E G F E D C G2 G1 Độ lệch tâm các đỉnh A,B,C,E,F,G của đồ thị G1 tương ứng là 4,3,2,4,3,2,3. Suy ra bán kính r(G) =2, các đỉnh tâm là C và F, và tâm C(G1) = {C,F} Độ lệch tâm các đỉnh A,B,C,D,E của đồ thị G tương ứng là 2,2,2,2,1. Suy ra bán kính r(G2) = 1, đỉnh tâm duy nhất là E, và tâm C(G2) = {E}.
- CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON I. Định nghĩa: Cho đồ thị ( có hướng) G = (V,E). Chu trình (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi đỉnh đồ thị. Đường đi (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi đỉnh đồ thị. Như vậy mọi chu trình Hamilton có độ dài bằng số đỉnh và mọi đường đi Hamilton có độ dài bằng số đỉnh trừ 1. Đồ thị chứa chu trình (có hướng) Hamilton gọi là Đồ thị Hamilton. + Ví dụ: Cho đồ thị. a b f d c g e Đồ thị trên không có chu trình Euler vì đỉnh g,c có bậc lẻ, nhưng có chu trình Hamilton a→b→c→d→e→f→g→a + Ví dụ : a b f *d c g e Đồ thị trên có chu trình Euler : a→g→f→b→a→f→e→d→b→c→e→a Nhưng không có chu trình Hamilton vì nếu ta bỏ đi 2 đỉnh b, e và các cạnh liên thuộc của chúng thì ta có 4 thành phần liên thông ( như hình vẽ). a* f *d * *c g*
- II. Điều kiện cần. * Định lí 1: Gỉa sử đồ thị G có chu trình Hamilton C. Khi đó i) Đồ thị G lien thông ii) Mọi đỉnh của G lớn hơn hoặc bằng 2 và có đúng hai cạnh lien thuộc thuộc chu trình C. iii) Nếu xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại sẽ có tối đa k thành phần lien thông Chứng minh Mệnh đề (i) và (ii) là hiển nhiên. Mệnh đề (iii) suy ra từ thực tế là khi xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các canh liên thuộc chúng thì chu trình C bị chia ra thành nhiều nhất k phần. * Hệ quả: Giả sử đồ thị n đỉnh G có đường đi Hamilton P. Khi đó (i) Đồ thị G liên thông (ii) Có ít nhất n – 2 đỉnh bậc ≥2 và mỗi đỉnh có đúng hai cạnh liên thuộc thuộc đường đi P (iii) Nếu xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại sẽ có tối đa k + 1 thành phần liên thông. + Ví dụ. Xét đồ thị v1 v5 v4 v2 * v3 Đồ thị không có chu trình Hamilton . Thật vậy, nếu tồn tại chu trình Hamilton C thì nó phải có 5 cạnh. Vì bậc d(v 2) = d(v4) = 3 nên một cạnh tới v2 và một cạnh tới v4 không thuộc chu trình C. Số cạnh còn lại là 4 nên C không thể có 5 cạnh được, mâu thuẩn. Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp Định lí 1. Nếu bỏ đi hai đỉnh v2 và v4 cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại là 3 đỉnh độc lập, có 3 thành phần liên thông. Như vậy theo mệnh đề (iii) thì đồ thị không có chu trình Hamilton.
- + Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị sau không có đường đi Hamilton. 1 4 2 5 6 3 Giả sử P là đường đi Hamilton. Đồ thị trên có 16 đỉnh, nên đường đi P có 15 cạnh (*) - Cách 1: Vì đồ thị có 27 cạnh nên đồ thị không nằm trên đường P phải là 12(**) Xét các đỉnh thuộc tập U = {1,2,3,4,5,6,7}. Gọi Ei, I = 1,….,7, là số cạnh liên thuộc đỉnh Iỉ U không nằm trên đường đi P. Vì mọi cặp đỉnh trong không kề nhau nên các tập E i cũng rời nhau từng cặp 1. Như vậy số cạnh liên thuộc các đỉnh của U không nằm trên P là 7 n= = card(E ) i =1 i Vì số cạnh liên thuộc 1 đỉnh nằm trên đường đi P nhiều nhất là 2 nên mỗi tập E1, E2, E3, E7,có ít nhất 1 cạnh và mỗi tập E4, E5,E6 có ít nhất 3 cạnh. Vì vậy N ≥4*1 +3*3 = 13. mâu thuẫn với (**). - Cách 2: Xét 9 đỉnh còn lại . Đây là các đỉnh không kề nhau từng cặp một, trong đó ít nhất 7 đỉnh có 2 cạnh liên thuộc thuộc P và 2 đỉnh còn lại có ít nhất 1 cạnh liên thuộc thuộc P. Như vậy số cạnh thuộc P ít nhất là 7*2+2 =16, mâu thuẫn với (*) - Cách 3: Xóa 7 đỉnh 1,2,3,4,5,6,7 và các cạnh liên thuộc thì đồ thị còn lại có 9 đỉnh cô lập, tức 9 thành phần liên thông. Theo hệ quả (iii), đồ thị không có đường đi Hamilton. + Ví dụ: Bài toán xếp chỏ ngồi: 9 người bạn cùng ngồi ăn trong bàn tròn 4 lần. Mỗi lần họ được xếp ngồi theo một thứ tự. Hãy thay đổi chổ ngồi một lần sao cho không có 2 người ngồi gần nhau hơn 1 lần.
- Ta lập đồ thị 9 đỉnh 1,2,…9, đỉnh I chỉ người i. Ta đặt đỉnh 1 tại tâm và các đỉnh còn lại trên đường tròn như hình vẽ. Mỗi cách xếp là mỗi chu trình Hamilton của đồ thị. 5 3 7 2 1 9 4 8 6 Chu trình thứ nhất như hình vẽ là 1→2→3→4→5→6→7→8→9→1 Xoay lần lượt chu trình các góc π 4 theo chiều kim đồng hồ ta nhận được cac chu trình, cũng là các cách xếp sau: 1→3→5→2→7→4→9→6→8→1 1→5→7→3→9→2→8→4→6→1 1→7→9→5→8→3→6→2→4→1 III. Điều kiện đủ * Định lí 1: Đồ thị đủ Kn với n lẻ n ≥3 có n – ½ chu trinh Hamilton từng đôi một không giao nhau Chứng minh Tương tự như lời giải bài toán xếp 9 người trên bàn tròn, ta xây dựng cách xếp theo chu trình Hamilton trên đồ thị sau (n = 2k +1) 1→2→3→…→2k→2k +1→1 5 3 2k-1 2 1 2k+1 4 2k 6
- Xoay chu trình lần lượt 1 góc π k theo chiều kim đồng hồ ta nhận được k cách xếp. * Định lý 2 ( Dirac) : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( n ≥ 3). Nếu bậc d(v) ≥ n/2 với mọi đỉnh v của G thì G có chu trình Hamilton. Chứng minh: (i) Hiển nhiên định lý đúng với n = 3. (ii) Giả sử n > 3. Gọi P=(v1, v2, ..., vp) là đường đi sơ cấp dài nhất trong G, có độ dài là p – 1. Vậy mọi đỉnh kề với v1 và mọi đỉnh kề với vp phải thuộc P. v1 v5 v2 v3 v4 Nếu p – 1
- Mặt khác cạnh (u,v) thêm vào chu trình C tạo thành đường đi dài lớn hơn P, mâu thuẫn với giả thiết P là đường đi dài nhất. Vậy C chứa mọi đỉnh của G, tức C là chu trình Hamilton. * Định lý 3: Cho G là đồ thị đơn n đỉnh ( n ≥ 3). Nếu bậc d(v) ≥ (n-1)/2 với mọi đỉnh v của G thì G có đường đi Hamilton. Chứng minh : Nếu n = 1 thì G có đường đi Hamilton tầm thường là 1 đỉnh. Giả sử n>1. Ta lập đồ thị H bằng cách thêm vào G đỉnh v và tất cả các cạnh nối v với mọi đỉnh của G. Đồ thị H có n + 1 đỉnh và d(v) = n. Với mọi đỉnh u ỉ G, ta có : dH(u) = dG(u) + 1 ≥ (n-1)/2 + 1 = (n+1)/2 Theo định lý Dirac thì H có chu trình Hamilton C. Bỏ đi v và các cạnh tới v ta được đường đi Hamilton. * Định lý 4 : Cho G là đồ thị đơn n đỉnh ( n≥3). Giả sử u và v là 2 đỉnh không kề nhau của G sao cho d(u) + d(v) ≥ n Khi đó G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi đồ thị G + (u,v) có chu trình Hamilton. Chứng minh : Nếu G có chu trình Hamilton thì đó cũng là chu trình của G + (u,v). Giả sử C là chu trình Hamilton G + (u,v). Nếu (u,v) ế C thì C cũng là chu trình Hamilton của G. Giả sử (u,v)ử C. Khi đó chu trình Hamilton C có thể biểu diễn như sau : C = ( u=v1,v2,……,vn=v, u) u v vi-1 vi
- Tồn tại đỉnh vi , 3 i i n − 1 , sao cho v1 kề với vi và nn kề với vi-1. Thật vậy, giả sử n không có đỉnh vi như vậy. Gọi k là số đỉnh kề u trong G. Số đỉnh không kề v trong G sẽ lớn hơn hoặc bằng k, như vậy số đỉnh kề v trong G không quá n-1-k. Suy ra : D(u) + d(v) k + (n – 1 – k) = n – 1 mâu thuẫn với giả thiết định lý Chu trình (v1, vi, vi+1, …., vp-1, vp, vi-1, vi-2, …., v2, v1) sẽ là chu trình Hamilton trong G ( đpcm) * Định lý 5 : Cho G là đồ thị đơn giản n đỉnh. Giả sử G’ và G’’ là 2 đồ thị thu được từ G bằng cách qui nạp nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau có tổng các bậc ít nhất bằng n. Khi đó ta có G’ = G’’. Chứng minh : Giả sử e1, e2, …, em và f1, f2, …, fn là các cạnh thêm vào G để có tương ứng G’ và G’’. Ta chứng minh mỗi cạnh ei phải thuộc G” và mỗi cạnh fi phải thuộc G’. Giả sử có cạnh ei không thuộc G”. Gọi k là chỉ số nhỏ nhất sao cho ek+1 = (u,v) không thuộc G”. Đặt H = G + {e1, e2, …, ek}. H là đồ thị con của G’ và G”. Ta có dH(u) + dH(v) ( n Do đó : dG”(u) + dG”(v) ( dH(u) + dH(v) ( n Điều này vô lý vì u, v không kề nhau trong G”. Như vậy mỗi cạnh e i phải thuộc G”. Tương tự mỗi cạnh fi cũng thuộc G’, do đó G’ = G” Từ định nghĩa trên ta có thể định nghĩa khái niệm bao đóng của đồ thị . * Bao đóng : C(G) của đồ thị G n đỉnh là đồ thị thu được từ G bằng cách , theo quy nạp, nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau mà tổng số bậc ít nhất bằng n cho đến khi không còn cặp đỉnh nào như vậy nữa. Ví dụ : Minh họa cách xây dựng bao đóng
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Các bài toán đường đi
0 p | 419 | 146
-
Bài 14_Chương 8: Bài toán đường đi ngắn nhất
9 p | 498 | 144
-
Chuyên đề đồ thị Hamilton
22 p | 500 | 131
-
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI
39 p | 234 | 84
-
Chương 3 - CÁC BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI
74 p | 294 | 78
-
Chương 2: Đường đi và chu trình
44 p | 218 | 65
-
Chương 8: Bài toán đường đi ngắn nhất
9 p | 346 | 59
-
Chương IV: Các bài toán đường đi
0 p | 161 | 55
-
Bài giảng Tích phân đường loại 2
50 p | 142 | 37
-
Bài giảng Toán rời rạc ứng dụng trong tin học - Chương 2: Các bài toán về đường đi
48 p | 84 | 27
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 6 - Bài toán đường đi ngắn nhất
20 p | 83 | 17
-
BÀI 02: Một số tính chất về Đường đi trên đồ thị
5 p | 77 | 17
-
Giáo trình đồ thị - Bài toán đường đi ngắn nhất
9 p | 98 | 15
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 5: Bài toán đường đi ngắn nhất
76 p | 25 | 11
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị (Graph theory) - Chương 5: Bài toán đường đi ngắn nhất, thuật toán tìm bao đóng bắt cầu
16 p | 16 | 5
-
Bài giảng Toán rời rạc - Chương 5: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị (Phần 2) (ĐH Công nghệ Thông tin)
47 p | 5 | 2
-
Bài giảng Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị - Chương 5: Đường đi trên đồ thị
11 p | 5 | 1
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị (Graph theory) - Chương 2: Đường đi và chu trình Euler, đường đi và chu trình Hamilton
10 p | 8 | 1

markdown:
# Đường đi Hamilton
Chia sẻ: ACB ABC | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30
lượt xem 69
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100413/mrbin1262006/80x100/duong_di_hamilton_moi_8042.jpg)
##
Đường đi Hamilton
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại, nó là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như điện tử, hóa học, ngôn ngữ học, kinh tế học, máy tính,...
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Đường đi Hamilton
- MỤC LỤC
- MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại, nó là kiến thức cơ sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau như Điện tử, Hóa học, Ngôn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính, .... Trong Lý thuyết đồ thị thì bài toán tìm đường đi, chu trình Hamilton có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Vì vậy nhóm 5 chọn đề tài “ Đường đi Hamilton” để nghiên cứu kỹ hơn. CÔNG VIỆC CỦA CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM 5 Nhận xét của TT Họ và tên Công việc Ghi chú Giáo viên Nghiên cứu về đường đị 1 Hồ Trung Cang và chu trình Hamilton Nghiên cứu chương Đại 2 Nguyễn Thành cương về đồ thị Nghiên cứu về đường đị 3 Phạm Đức Mạnh và chu trình Hamilton Tìm ứng dụng của 4 Hữu Đệ Đường đi, chu trình Hamilton Tìm ứng dụng của 5 Nguyễn Thị Xuân Đường đi, chu trình Hamilton
- CHƯƠNG I : ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ I. Các khái niệm cơ bản: 1. Đồ thị, đỉnh, cạnh: * Đồ thị vô hướng G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh. Mỗi cạnh e e E được liên kết với một cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự). v w * Đồ thị có hướng G = (V,E) gồm một tập V các đỉnh và tập E các cạnh có hướng gọi là cung. Mỗi cạnh e ạ E được liên kết với một cặp đỉnh v, w có thứ tự. v w Cho đồ thị có hướng G = (V,E). Nếu ta thay đổi mỗi cung của G bằng một cạnh, thì đồ thị vô hướng nhận được gọi là đồ thị lót của G. Ghi chú : Đồ thị vô hướng có thể xem là đô fthij có hướng trong đó mỗi cạnh e = (v,w) tương ứng với hai cung (v,w) và (w,v). Cho đồ thị (có hướng hoặc vô hướng) G = (V,E). Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w thì ta nói đỉnh e liên thuộc đỉnh v, w, các đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, các đỉnh v, w là các đỉnh biên của cạnh e và đỉnh v kề với đỉnh w. Nếu chỉ có duy nhất một cạnh e liên thuộc với cặp đỉnh v, w, ta viết e = (v, w). Nếu e là cung thì v gọi là đỉnh đầu và w gọi là đỉnh cuối của cung e. Nếu có nhiều cạnh liên kết với cùng một cặp đỉnh thì ta nói đó là cạnh song song. Cạnh có 2 đỉnh liên kết trùng nhau gọi là khuyên. Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi là đỉnh cô lập. Số đỉnh của đồ thị gọi là bậc của đồ thị, số cạnh hoặc số cung của đồ thị gọi là cỡ của đồ thị. Đồ thị hữu hạn là đồ thị có bậc và cỡ hữu hạn. Đồ thị đơn là đồ thị không có khuyên và không có cạnh song song. Đồ thị vô hướng đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. Đồ thị có hướng đủ là đồ thị có đồ thị lót đủ. 2. Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra: Cho đồ thị G = (V, E)
- Bậc của đỉnh v ỉ V là tổng số cạnh liên thuộc với nó và ký hiệu là d(v). Nếu đỉnh có khuyên thì mỗi khuyên được tính là 2 khi tính bậc, như vậy: d(v) :=Số cạnh liên thuộc + 2*Số khuyên Từ định nghĩa suy ra , đỉnh cô lập trong đồ thị đơn là đỉnh có bậc bằng 0. Số bậc lớn nhất của G ký hiệu là ∆G , số bậc nhỏ nhất của G gọi là δ G . Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1. Nửa bậc: Cho G = (V,E) là đồ thị có hướng, v ớ V. Nửa bậc ra của đỉnh v, kí hiệu là dO(v), là số cung đi ra từ đỉnh v ( v là đỉnh đầu), và nửa bậc vào của đỉnh v ỉ V, kí hiệu dI(v), là số cung đi tới đỉnh v ( v là đỉnh cuối). Ví dụ : x2 e4 x6 e1 x4 x1 e2 e3 x5 x3 Trong đồ thị này, ta có : d(x1) = 6 , d(x2) = d(x3) = 4, d(x4) = 3 , d(x5) = 0 , d(x6) = 1 Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc. Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x2 và đỉnh x3. Đỉnh x5 là đỉnh cô lập. Đỉnh x6 là đỉnh treo. Ví dụ : Xét đồ thị có hướng sau x2 x6 x4 x1 x5 x3 Trong đồ thị có hướng này ta có: dI(x1) = 0 , dO(x1) = 2, dI(x2) = 1 , dO(x2) = 2 dI(x3) = 2 , dO(x3) = 1, dI(x4) = 2 , dO(x4) = 2 dI(x5) = 1 , dO(x5) = 1, dI(x6) = 2 , dO(x6) = 0 * Bổ đề bắt tay ( Hand Shaking Lemma) : Cho đồ thị G = (V,E). Khi đó :
- i) Tổng bậc các đỉnh của đồ thị là số chẵn và = d (v) = 2* card(E) . vd V ii) Nếu G là đồ thị có hướng thì : � (v) = � (v) = card(E) , trong đó card(E) là d v�V O d v�V I số phần tử của tập E. Chứng minh : i) Mỗi cạnh e = (u,v) ạ E tham gia tính 1 bậc của đỉnh u, một bậc của đỉnh v. Từ đó suy ra công thức i). ii) Mỗi cung e = (u,v) ỗ E tham gia tính 1 bậc ra của đỉnh u, một bậc vào của đỉnh v. Từ đó suy ra công thức ii). * Hệ quả : Số dỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn. Chứng minh: Cho đồ thị G = (V,E). Kí hiệu V1 là tập các đỉnh bậc lẻ, V2 là tập các đỉnh bậc chẵn. Theo bổ đề ta có : � (v) = � (v) + �d (v) d 2*card(E) = v�V d v� 1 V v� 2 V � d d (v) = 2*card(E) - d d (v) vd V1 vd V2 là số chẵn. Các số hạng d(v) trong tổng d d d (v ) d (v ) vd V1 đều là số lẻ. Vì vậy để cho tổng vd V1 là số chẵn thì các số hạng đó phải là số chẵn, tức card(V1) là số chẵn. Suy ra số đỉnh bậc lẻ trong V là số chẵn. + Ghi chú : Bổ đề trên có tên bổ đề bắt tay từ bài toán thực tế sau: Trong một hội thảo, các đại biểu bắt tay nhau. Khi đó tổng số lần bắt tay của tất cả đại biểu bao giờ cũng là số chẵn. * Đồ thị Kn là đồ thị đơn, đủ n đỉnh đều có duy nhất một cạnh liên kết). Ví dụ sau đâylà đồ thị K5 * Mệnh đề. Mọi đỉnh của đồ thị Kn có bậc n-1 và có n(n-1)/2 cạnh. * Đồ thị lưỡng phân G = (V,E) là đồ thị mà tập các đỉnh được phân làm 2 tập rời nhau V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của nó liên kết với một đỉnh thuộc V1 và một đỉnh thuộc V2 , ký hiệu G = ({V1 ,V2},E). *Đồ thị Km,n là đồ thị lưỡng phân ({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh và mỗi đỉnh của V1được nối với mỗi đỉnh của V2 bằng một cạnh duy nhất.
- Ví dụ sau đây là đồ thị K3,3 b a c x y z * Mệnh đề . Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n=({V1 ,V2},E) với tập V1 có m đỉnh và tập V2 có n đỉnh. Khi đó mỗi đỉnh trong V1 có bậc là n và mỗi đỉnh trong V2 có bậc là m và Km,n có m,n cạnh. 3. Đường đi, chu trình, tính liên thông * Định nghĩa : Cho đồ thị G= (V,E) Dãy µ từ đỉnh v đền đỉnh w là dãy các đỉnh và các cạnh nối tiếp nhau bắt đầu từ đỉnh v và kết thúc tại đỉnh w. Số cạnh trên dãy µ gọi là độ dài của dãy µ. Dãy µ từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài n được biểu diễn như sau µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) trong đó vi(i=1,…,n-1) là các đỉnh trên dãy và ei(i=1,…,n) là các cạnh trên dãy liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và các cạnh trên dãy có thể lắp lại. Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dãy từ đỉnh v đến đỉnh w, trong đó cá cạnh không lặp lại Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng là dãy có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau Chu trình sơ cấp là chu trình không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Dãy có hướng trong đồ thị có hướng là dãy các đỉnh và cung nối tiếp nhau (e 1, e2, ….,en) thỏa mãn đỉnh cuối cùng của cung ei là đỉnh đầu của cung ei+1, i=1,…n-1. Đường đi có hướng trong đó đồ thị có hướng là dãy có hướng, trong đó các cung không lặp lại. Đường đi có hướng sơ cấp là đường đi có hướng không đi qua một đỉnh quá 1 lần. Vòng có hướng là dãy có hướng có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng là đường đi có hướng đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. Chu trình có hướng sơ cấp là chu trình có hướng không đi qua một đỉnh qua 1 lần.
- Đồ thị vô hướng gọi là liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều có đường đi có hướng nối chúng với nhau. Đồ thị có hướng gọi là liên thông yếu, nếu đồ thị lót (vô hướng) của nó liên thông. Đồ thị có hướng gọi là bán liên thông, nếu với mọi cặp đỉnh (u,v) bao giờ cũng tồn tại đường đi có hướng từ u đến v hoặc từ v đến u. * Định lý 1. (i) Trong đồ thị vô hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi sơ cấp từ v đến w. (ii) Trong đó đồ thị có hướng mỗi dãy từ đỉnh v đến w chứa đường đi có hướng sơ cấp từ v đến w. Chứng minh (i) Cho µ=(v, e1, v1, e2,v2,….,vn-1,en,w ) là dãy từ v đến w. Nếu (v1,….,vn-1) khác nhau thì µ là đường đi sơ cấp. Ngược lại tồn tại i,j,0 < i < j < n, thỏa vi = vj . Ta loại các đỉnh vi+1, ….,vj khỏi dãy µ và nhận được dãy từ v đến w có độ dài ngắn hơn. Như vậy ta loại được ít nhất một đỉnh lặp. Tiếp tục các đỉnh trên cho đến khi không còn đỉnh lặp nữa, ta sẽ nhân được đường đi sơ cấp từ v đến w. (ii) Chứng minh tương tự như (i). * Định lý : Đồ thị G lưỡng phân khi và chỉ khi G không chứa chu trình độ dài lẻ. Chứng minh ( xem [ Christofides trang 21]) + Điều kiện cần hiển nhiên + Điều kiện đủ: Cho G= (V,E ) là đồ thị không chứa chu trình độ dài lẻ. Không mất tính tổng quát ta giả thiết G liên thông ( nếu không ta xét từng thành phần liên thông). Ta xây dựng các tập con V+ và V- của V như sau. Chọn một đỉnh x0 bất kỳ . Gán cho x0 nhãn là dấu + Với mỗi đỉnh x đã gàn nhãn, ta tìm các đỉnh chưa có nhãn và kề x và gán nhãn cho các đỉnh này là dấu ngược với dấu của x ( tức là dấu – nếu x mang dấu +, dấu + nếu x mang dấu - ). Lặp lại quá trình này cho đến khi xảy ra một trong các trường hợp sau. (i) Tất cả các đỉnh được gán nhãn (không có hai đỉnh kề nhau cùng nhãn) (ii) Xuất hiện hai đỉnh kề nhau cùng dấu Gọi a và b là hai đỉnh kề nhau cùng dấu. Tồn tại đường đi µ1 từ x0 đến a và µ2 từ x0 đến b . Ký hiệu x là điểm chung cuối cùng của µ 1 và µ2 . Theo cách gán nhãn, độ dài
- đường đi µ1 (x,a) từ x đến a và độ dài đường đi µ2(x,b) từ x đến b cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Như vậy chu trình [µ1 (x,a), (a,b),µ2(b,x)] sẽ có độ dài lẻ, mâu thuẩn với giả thiết. * Trọng đồ (có hướng ) là đồ thị (có hướng ) mà mỗi cạnh (cung) của nó được gán một số . Trọng đồ được biểu diễn bởi G =(V,E,w), trong đó V là tập các đỉnh , E là tập các cạnh (cung) và w: E→R là hàm số trên E,w(e) là trọng số của cạnh (cung) e với mọi e ọE . Trong trọng đồ độ dài trọng số của đương đi µ là tổng các trọng số trên đường đi đó. + Ví dụ Người ta cần khoan một số lỗ trên các tấm kim loại dưới sự kiểm soát của máy tính. Để giảm chi phí sản xuất và tiết kiệm được thời gian, máy khoan phải khoan tất cả các lỗ trong thời gian ngắn nhất có thể được. Ta mô phỏng công việc bằng đồ thị 4 a 2 8 ` o o 3 6 d 5 c 6 9 b o o o 4 12 e Tấm kim loại cần khoan Đồ thị mô phỏng lỗ Trong hình trên, các đỉnh tương ứng với các lỗ khoan. Hai đỉnh bất kì được nối với nhau bởi một cạnh. Mỗi cạnh có gán một số, chỉ thời gian máy di chuyển giữa hai lỗ. Con đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh duy nhất một lần và có chiều dài ngắn nhất là đường đi tối ưu của máy khoan phải đi theo để tiết kiệm thời gian nhiều nhất. Đồ thị con : Cho đồ thị G = ( V, E ). Đồ thị G’ = ( V’, E’ ) gọi là đồ thị con của G nếu V’ ế V và E’ E Nếu F ế E, htif ký hiệu G – F là đồ thị con ( V, E-F ) của G gồm tập đỉnh V và tập cạnh ( cung ) E – F Nếu U ế V, thì ký hiệu G- U là đồ thị con của G thu được từ G sau đó loại bỏ các đỉnh trong U và các cạnh liên thuộc chúng Cho U V, đồ thị con của G sinh bởi U, ký hiệu < U >, là đồ thị ( U, EU) với EU = { e E / e liên thuộc đỉnh trong U }
- Đồ thị con G’ = ( V’, E’ ) của đồ thị ( có hướng ) G (V,E) gọi là thành phần liên thông (mạnh ) của đồ thị G , nếu nó là đồ thị con liên thông (mạnh) tối đại của G, tức là không tồn tại đồ thị con liên thông (mạnh) G’’= (V”,E”) ≠ G’ của G thỏa V’ ỏ V”, E’ E” + Ví dụ : Xét đồ thị G = ( V,E) ở ví dụ trước. x2 e4 x6 e1 x4 x1 e2 e3 x5 x3 Đồ thị G1 = (V1, E1), với V1 = { x1, x2, x3, x4} và E1= { e1, e2, e3, e4} là đồ thị con của đồ thị G nhưng khong phải thành phần liên thông. Đồ thị G2 = { V – {x5} , E } = < V – {x5} > là thành phần liên thông của G. * Định lý 3 : Cho đồ thị đơn G = (V,E ) với n đỉnh, và k thành phần liên thông. Khi đó số cạnh m của đồ thị thỏa bất đẳng thức (n − k )(n − k + 1) n–k m 2 Chứng minh (i) Bất đẳng thức (n-k) ứ m chứng minh bằng quy nạp theo m Nếu m = 0 , tức G là đồ thị hoàn toàn không liên thông, bất đẳng thức đúng vì n=k Giả sử G có m cạnh, m ạ 1. Gọi G’ = (V’, E’) là đồ thị thu được từ G bằng cách bỏ bớt một cạnh. Ký hiệu n’,k’ và m’ là số đỉnh , số thành phần liên thông và số cạnh của G’. Khi đó có 2 khả năng - Trường hợp 1: n’ = n, k’ = k và m’ = m-1 Theo giả thuyết qui nạp n - k = n’- k’ m’ m - Trường hợp 2 : n’= n, k’= k +1 và m’= m-1 n - k = n’- k’ +1 m’+1 = m (ii) Ta chứng minh bất đẳng thức (n − k )(n − k + 1) m (*) 2 qui nạp theo k. ni (n − 1) - Bước cơ sở : k = 1. Khi đó m ở vì đồ thị đơn n nhiều đỉnh nhiều cạnh nhât 2 là kn
- - Bước quy nạp : Giử sử bất đẳng thức (*) đúng với mọi đồ thị có số thành phần liên thông nhỏ hơn k Cho G = ( V, E ) là đồ thị có k thành phần liên thông: Gi = ( Vi,Ej ) có ni đỉnh và mj cạnh, ∀ i=1,…,k Hiển nhiên là n1 + n2 + n3 +…+ nk = n và m1 + m2 + m3 +…+ mk = m (1) Đặt h = n1 + n2 và gọi G’ là đồ thị có n’ = n’ – 1 đỉnh gồm k-1 thành phần liên thông Kh-1, G3,….,Gk (Kh-1 là đơn đồ thị đủ có h-1 đỉnh ). Theo giả thuyết qui nạp, số cạnh m’ của G’ thỏa [(n '− ( k − 1)].[n '− (k − 1) + 1] (n − k )(n − k + 1) m’ m’ m (2) 2 2 Tiếp theo ta có n1 (n1 − 1) n2 ( n2 − 1) h (h − 1) m1 + m2 + (3) 2 2 2 Bất đẳng thức cuối cùng tương đương (n1 - 1)(n2 -1) - 0 Bây giờ từ (1),(2),(3) ta suy ra (n − k )(n − k + 1) M m’ (đpcm.) 2 (n − 1)(n − 2) * Hệ quả: Mọi đơn đồ thị n đỉnh với số cạnh lớn hơn là liên thông. 2 * Tập tách Cho đồ thị G = (V,E). Tập cạnh F ạ E goijlaf tập hợp tách cạnh của đồ thị liên thông G, nếu G-F không liên thông. Hơn nữa, nếu F là tập hợp tách cạnh cự tiểu ( tức không tồn tại F’ ạ F, F’ F F, F’ là tập tách cạnh ), thì F gọi là tập cắt cạnh. Nếu tập cắt cạnh chỉ có một cạnh,thì cạnh đó gọi là cầu Đại lượng λ (G ) = min{card (F) /F là tập tách cạnh của G} gọi là số liên thông cạnh của G. Đồ thị G gọi là k cạnh liên thông, nếu mọi tập tách cạnh có ít nhất k cạnh. + Ghi chú. Từ định nghĩa ta có λ (G ) λ k ∀ k,G là k cạnh liên thông và λ (G ) = max {k/ G là k cạnh liên thông}
- Tập đỉnh U ỉ V gọi là tập hợp tách đỉnh của đồ thị liên thông G, nếu G- U không có liên thông. Hơn nữa, nếu U là tập hợp tách đỉnh cực tiểu (tức không tồn tại U’ ạ U, U’ U U, U’ là tập hợp tách đỉnh) thì U gọi là tập cắt đỉnh. Nếu tập tách đỉnh chỉ có 1 đỉnh, thì đỉnh đó gọi là đỉnh tách . Đại lượng k(G ) = min{card (U) /U là tập tách đỉnh của G} gọi là số liên thông đỉnh của G Đồ thị G gọi là k- liên thông, nếu mọi tập tách đỉnh có ít nhất k đỉnh. + Ghi chú : Từ định nghĩa ta có k(G) k ∀ k, G là k - liên thông và k(G) = max { k/ G là k - liên thông} + Ghi chú : (i) Tập V và V – {v} ∀ vv V đều không phải là tập tách đỉnh (ii) Đồ thị đủ Kn không có tập tách đỉnh. Vì vậy ta qui ước số liên thông đỉnh của Kn là (n-1). + Ví dụ : Xét đồ thị sau. 5 1 e f a a 3 4 i 6 d g h c 7 2 Các tập cạnh sau. {b,c} , {e,g} , {b,c,d} , {d,e,g} , {d} Là tập tách cạnh, trong đó cạnh d là cầu, {b,c} và {e,g} là các tập cắt cạnh. Các tập cạnh sau {2,3} , {3,4} , {3} , {4} , {5,7} Là tập tách đỉnh, trong đó đỉnh {3,4} là đỉnh tách , {5,7} là các tập cắt đỉnh. * Định lý 4 (Bất đẳng thức Whiney). Với mọi đồ thị G ta có k(G) λ (G ) λ δ (G) Chứng minh Tập các cạnh liên thuộc đỉnh v có bậc nhỏ nhất δ (G) là tập tách. Suy ra λ (G ) λ δ (G). Để chứng minh bất đẳng thức k(G) ứ λ (G ) ta xét các trường hợp sau
- - Trường hợp λ (G ) = 0 : Đồ thị G chỉ có 1 đỉnh hoặc không liên thông, kéo theo k(G) =0 - Trường hợp λ (G ) =1 : Đồ thị G có cầu (u,v). Nếu G chii có hai đỉnh u và v thì G là đồ thị đủ K2 , và theo qui ước k(G) = 1.Nếu G có hơn 2 đỉnh thì một trong 2 đỉnh u và v phải có bậc lớn hơn 1, và đỉnh đó là đỉnh tách, suy ra k(G) = 1 - Trường hợp λ (G ) >1: Nếu ta xóa λ (G ) -1 cạnh của tập tách cạnh với λ (G ) -1 cạnh, ta sẽ nhận được đồ thị liên thông với cầu (v,w). Với mỗi cạnh xóa ta chọn đỉnh liên thuộc khác v và w . Kí hiệu U là tập đỉnh chọn . Nếu chọn G-U không liên thông thì ta có k(G) < λ (G ) . Nếu G- U liên thông, vì λ (G − U ) =1 nên theo trường hợp trên k(G -U) = 1, tức là G- U sẽ có đỉnh u mà khi xóa u sẽ nhận đồ thị chỉ có 1 đỉnh hoặc đồ thị không liên thông . Như vậy tập U và đỉnh u sẽ là tập tách đỉnh của G. Suy ra k(G) ủ λ (G ) . (đpcm) * Định lý 5: Đồ thịG = (V,E) bậc n là k-liên thông (1 k k n − 1 ) nếu δ (G ) δ (n + k − 2) / 2 n Chứng minh: Nếu G là đồ thị đủ thì G là k-liên thông vì k ủ n-1= k(G) (theo qui ước ). Giả thuyết G không đủ và không k- liên thông. Như vậy sẽ tồn tại tập tách đỉnh S ỉ V, s= card(S) < k. Ký hiệu H là thành phần liên thông của đồ thị không liên thông G – S với số đỉnh là ít nhất là r. Khi đó r ấ (n-s-r), kéo theo r n (n − s ) / 2 . Nếu v v H , thì bậc của v trong G thỏa dG (v ) d (r − 1) + s Suy ra : dG (v) d ( n − s ) / 2 − 1 + s = ( n + s − 2) / 2 < (n + k − 2) / 2 Điều này mâu thuẫn với giả thiết (đpcm) * Độ lệch tâm, bán kính, tâm đồ thị * Cho đồ thị G = (V,E) ta định nghĩa khoảng cách từ u đến v, ∀ n, v n V, là độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v và ký hiệu là d(u,v) Đại lượng e(v) = max {d(u,v)/ v V} gọi là độ lệch tâm của đỉnh v, ∀ v v V. Bán kính của đồ thị G, kí hiệu r(G), là độ lệch tâm nhỏ nhất r(G) = min{e(v)/v V} Đỉnh vỉ V gọi là đỉnh tâm nếu e(v) = r(G). Tập hợp tất cả các đỉnh tâm gọi là tâm của đồ thị và kí hiệu là C(G).
- + Ví dụ: A B C D A B Xét đồ thị sau E G F E D C G2 G1 Độ lệch tâm các đỉnh A,B,C,E,F,G của đồ thị G1 tương ứng là 4,3,2,4,3,2,3. Suy ra bán kính r(G) =2, các đỉnh tâm là C và F, và tâm C(G1) = {C,F} Độ lệch tâm các đỉnh A,B,C,D,E của đồ thị G tương ứng là 2,2,2,2,1. Suy ra bán kính r(G2) = 1, đỉnh tâm duy nhất là E, và tâm C(G2) = {E}.
- CHƯƠNG II: ĐƯỜNG ĐI HAMILTON I. Định nghĩa: Cho đồ thị ( có hướng) G = (V,E). Chu trình (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi đỉnh đồ thị. Đường đi (có hướng) Hamilton là đường đi (có hướng) sơ cấp qua mọi đỉnh đồ thị. Như vậy mọi chu trình Hamilton có độ dài bằng số đỉnh và mọi đường đi Hamilton có độ dài bằng số đỉnh trừ 1. Đồ thị chứa chu trình (có hướng) Hamilton gọi là Đồ thị Hamilton. + Ví dụ: Cho đồ thị. a b f d c g e Đồ thị trên không có chu trình Euler vì đỉnh g,c có bậc lẻ, nhưng có chu trình Hamilton a→b→c→d→e→f→g→a + Ví dụ : a b f *d c g e Đồ thị trên có chu trình Euler : a→g→f→b→a→f→e→d→b→c→e→a Nhưng không có chu trình Hamilton vì nếu ta bỏ đi 2 đỉnh b, e và các cạnh liên thuộc của chúng thì ta có 4 thành phần liên thông ( như hình vẽ). a* f *d * *c g*
- II. Điều kiện cần. * Định lí 1: Gỉa sử đồ thị G có chu trình Hamilton C. Khi đó i) Đồ thị G lien thông ii) Mọi đỉnh của G lớn hơn hoặc bằng 2 và có đúng hai cạnh lien thuộc thuộc chu trình C. iii) Nếu xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại sẽ có tối đa k thành phần lien thông Chứng minh Mệnh đề (i) và (ii) là hiển nhiên. Mệnh đề (iii) suy ra từ thực tế là khi xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các canh liên thuộc chúng thì chu trình C bị chia ra thành nhiều nhất k phần. * Hệ quả: Giả sử đồ thị n đỉnh G có đường đi Hamilton P. Khi đó (i) Đồ thị G liên thông (ii) Có ít nhất n – 2 đỉnh bậc ≥2 và mỗi đỉnh có đúng hai cạnh liên thuộc thuộc đường đi P (iii) Nếu xóa đi k đỉnh bất kỳ cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại sẽ có tối đa k + 1 thành phần liên thông. + Ví dụ. Xét đồ thị v1 v5 v4 v2 * v3 Đồ thị không có chu trình Hamilton . Thật vậy, nếu tồn tại chu trình Hamilton C thì nó phải có 5 cạnh. Vì bậc d(v 2) = d(v4) = 3 nên một cạnh tới v2 và một cạnh tới v4 không thuộc chu trình C. Số cạnh còn lại là 4 nên C không thể có 5 cạnh được, mâu thuẩn. Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp Định lí 1. Nếu bỏ đi hai đỉnh v2 và v4 cùng các cạnh liên thuộc chúng thì đồ thị còn lại là 3 đỉnh độc lập, có 3 thành phần liên thông. Như vậy theo mệnh đề (iii) thì đồ thị không có chu trình Hamilton.
- + Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị sau không có đường đi Hamilton. 1 4 2 5 6 3 Giả sử P là đường đi Hamilton. Đồ thị trên có 16 đỉnh, nên đường đi P có 15 cạnh (*) - Cách 1: Vì đồ thị có 27 cạnh nên đồ thị không nằm trên đường P phải là 12(**) Xét các đỉnh thuộc tập U = {1,2,3,4,5,6,7}. Gọi Ei, I = 1,….,7, là số cạnh liên thuộc đỉnh Iỉ U không nằm trên đường đi P. Vì mọi cặp đỉnh trong không kề nhau nên các tập E i cũng rời nhau từng cặp 1. Như vậy số cạnh liên thuộc các đỉnh của U không nằm trên P là 7 n= = card(E ) i =1 i Vì số cạnh liên thuộc 1 đỉnh nằm trên đường đi P nhiều nhất là 2 nên mỗi tập E1, E2, E3, E7,có ít nhất 1 cạnh và mỗi tập E4, E5,E6 có ít nhất 3 cạnh. Vì vậy N ≥4*1 +3*3 = 13. mâu thuẫn với (**). - Cách 2: Xét 9 đỉnh còn lại . Đây là các đỉnh không kề nhau từng cặp một, trong đó ít nhất 7 đỉnh có 2 cạnh liên thuộc thuộc P và 2 đỉnh còn lại có ít nhất 1 cạnh liên thuộc thuộc P. Như vậy số cạnh thuộc P ít nhất là 7*2+2 =16, mâu thuẫn với (*) - Cách 3: Xóa 7 đỉnh 1,2,3,4,5,6,7 và các cạnh liên thuộc thì đồ thị còn lại có 9 đỉnh cô lập, tức 9 thành phần liên thông. Theo hệ quả (iii), đồ thị không có đường đi Hamilton. + Ví dụ: Bài toán xếp chỏ ngồi: 9 người bạn cùng ngồi ăn trong bàn tròn 4 lần. Mỗi lần họ được xếp ngồi theo một thứ tự. Hãy thay đổi chổ ngồi một lần sao cho không có 2 người ngồi gần nhau hơn 1 lần.
- Ta lập đồ thị 9 đỉnh 1,2,…9, đỉnh I chỉ người i. Ta đặt đỉnh 1 tại tâm và các đỉnh còn lại trên đường tròn như hình vẽ. Mỗi cách xếp là mỗi chu trình Hamilton của đồ thị. 5 3 7 2 1 9 4 8 6 Chu trình thứ nhất như hình vẽ là 1→2→3→4→5→6→7→8→9→1 Xoay lần lượt chu trình các góc π 4 theo chiều kim đồng hồ ta nhận được cac chu trình, cũng là các cách xếp sau: 1→3→5→2→7→4→9→6→8→1 1→5→7→3→9→2→8→4→6→1 1→7→9→5→8→3→6→2→4→1 III. Điều kiện đủ * Định lí 1: Đồ thị đủ Kn với n lẻ n ≥3 có n – ½ chu trinh Hamilton từng đôi một không giao nhau Chứng minh Tương tự như lời giải bài toán xếp 9 người trên bàn tròn, ta xây dựng cách xếp theo chu trình Hamilton trên đồ thị sau (n = 2k +1) 1→2→3→…→2k→2k +1→1 5 3 2k-1 2 1 2k+1 4 2k 6
- Xoay chu trình lần lượt 1 góc π k theo chiều kim đồng hồ ta nhận được k cách xếp. * Định lý 2 ( Dirac) : Cho G là đơn đồ thị n đỉnh ( n ≥ 3). Nếu bậc d(v) ≥ n/2 với mọi đỉnh v của G thì G có chu trình Hamilton. Chứng minh: (i) Hiển nhiên định lý đúng với n = 3. (ii) Giả sử n > 3. Gọi P=(v1, v2, ..., vp) là đường đi sơ cấp dài nhất trong G, có độ dài là p – 1. Vậy mọi đỉnh kề với v1 và mọi đỉnh kề với vp phải thuộc P. v1 v5 v2 v3 v4 Nếu p – 1
- Mặt khác cạnh (u,v) thêm vào chu trình C tạo thành đường đi dài lớn hơn P, mâu thuẫn với giả thiết P là đường đi dài nhất. Vậy C chứa mọi đỉnh của G, tức C là chu trình Hamilton. * Định lý 3: Cho G là đồ thị đơn n đỉnh ( n ≥ 3). Nếu bậc d(v) ≥ (n-1)/2 với mọi đỉnh v của G thì G có đường đi Hamilton. Chứng minh : Nếu n = 1 thì G có đường đi Hamilton tầm thường là 1 đỉnh. Giả sử n>1. Ta lập đồ thị H bằng cách thêm vào G đỉnh v và tất cả các cạnh nối v với mọi đỉnh của G. Đồ thị H có n + 1 đỉnh và d(v) = n. Với mọi đỉnh u ỉ G, ta có : dH(u) = dG(u) + 1 ≥ (n-1)/2 + 1 = (n+1)/2 Theo định lý Dirac thì H có chu trình Hamilton C. Bỏ đi v và các cạnh tới v ta được đường đi Hamilton. * Định lý 4 : Cho G là đồ thị đơn n đỉnh ( n≥3). Giả sử u và v là 2 đỉnh không kề nhau của G sao cho d(u) + d(v) ≥ n Khi đó G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi đồ thị G + (u,v) có chu trình Hamilton. Chứng minh : Nếu G có chu trình Hamilton thì đó cũng là chu trình của G + (u,v). Giả sử C là chu trình Hamilton G + (u,v). Nếu (u,v) ế C thì C cũng là chu trình Hamilton của G. Giả sử (u,v)ử C. Khi đó chu trình Hamilton C có thể biểu diễn như sau : C = ( u=v1,v2,……,vn=v, u) u v vi-1 vi
- Tồn tại đỉnh vi , 3 i i n − 1 , sao cho v1 kề với vi và nn kề với vi-1. Thật vậy, giả sử n không có đỉnh vi như vậy. Gọi k là số đỉnh kề u trong G. Số đỉnh không kề v trong G sẽ lớn hơn hoặc bằng k, như vậy số đỉnh kề v trong G không quá n-1-k. Suy ra : D(u) + d(v) k + (n – 1 – k) = n – 1 mâu thuẫn với giả thiết định lý Chu trình (v1, vi, vi+1, …., vp-1, vp, vi-1, vi-2, …., v2, v1) sẽ là chu trình Hamilton trong G ( đpcm) * Định lý 5 : Cho G là đồ thị đơn giản n đỉnh. Giả sử G’ và G’’ là 2 đồ thị thu được từ G bằng cách qui nạp nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau có tổng các bậc ít nhất bằng n. Khi đó ta có G’ = G’’. Chứng minh : Giả sử e1, e2, …, em và f1, f2, …, fn là các cạnh thêm vào G để có tương ứng G’ và G’’. Ta chứng minh mỗi cạnh ei phải thuộc G” và mỗi cạnh fi phải thuộc G’. Giả sử có cạnh ei không thuộc G”. Gọi k là chỉ số nhỏ nhất sao cho ek+1 = (u,v) không thuộc G”. Đặt H = G + {e1, e2, …, ek}. H là đồ thị con của G’ và G”. Ta có dH(u) + dH(v) ( n Do đó : dG”(u) + dG”(v) ( dH(u) + dH(v) ( n Điều này vô lý vì u, v không kề nhau trong G”. Như vậy mỗi cạnh e i phải thuộc G”. Tương tự mỗi cạnh fi cũng thuộc G’, do đó G’ = G” Từ định nghĩa trên ta có thể định nghĩa khái niệm bao đóng của đồ thị . * Bao đóng : C(G) của đồ thị G n đỉnh là đồ thị thu được từ G bằng cách , theo quy nạp, nối tất cả các cặp đỉnh không kề nhau mà tổng số bậc ít nhất bằng n cho đến khi không còn cặp đỉnh nào như vậy nữa. Ví dụ : Minh họa cách xây dựng bao đóng
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Các bài toán đường đi
0 p |
419 |
146
-
Bài 14_Chương 8: Bài toán đường đi ngắn nhất
9 p |
498 |
144
-
Chuyên đề đồ thị Hamilton
22 p |
500 |
131
-
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI
39 p |
234 |
84
-
Chương 3 - CÁC BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI
74 p |
294 |
78
-
Chương 2: Đường đi và chu trình
44 p |
218 |
65
-
Chương 8: Bài toán đường đi ngắn nhất
9 p |
346 |
59
-
Chương IV: Các bài toán đường đi
0 p |
161 |
55
-
Bài giảng Tích phân đường loại 2
50 p |
142 |
37
-
Bài giảng Toán rời rạc ứng dụng trong tin học - Chương 2: Các bài toán về đường đi
48 p |
84 |
27
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 6 - Bài toán đường đi ngắn nhất
20 p |
83 |
17
-
BÀI 02: Một số tính chất về Đường đi trên đồ thị
5 p |
77 |
17
-
Giáo trình đồ thị - Bài toán đường đi ngắn nhất
9 p |
98 |
15
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 5: Bài toán đường đi ngắn nhất
76 p |
25 |
11
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị (Graph theory) - Chương 5: Bài toán đường đi ngắn nhất, thuật toán tìm bao đóng bắt cầu
16 p |
16 |
5
-
Bài giảng Toán rời rạc - Chương 5: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị (Phần 2) (ĐH Công nghệ Thông tin)
47 p |
5 |
2
-
Bài giảng Toán rời rạc và lý thuyết đồ thị - Chương 5: Đường đi trên đồ thị
11 p |
5 |
1
-
Bài giảng Lý thuyết đồ thị (Graph theory) - Chương 2: Đường đi và chu trình Euler, đường đi và chu trình Hamilton
10 p |
8 |
1

Set-Cookie: TLDEVNamespace=5iaj7ttrui7egmkaqlqlou3vt7; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly