markdown:
## Are you sure?
This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?
**GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
**
6
CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG)
BÀI 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (PTCB):
Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản.Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên nó mới có tên
như vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG khác nếu giải được cũng phải đưa về
một trong 3 PTCB sau đây:
1. sin α x · với α 1 ≤ , có nghiệm là:
arcsinα 2
arcsin α +k2
x k
x
π
π π
· +
· −
¸
( ) k ∈Z
2. cos α x · với α 1 ≤ , có nghiệm là:
arccos α+k2 x π · t ( ) k ∈Z
3. α tgx · có nghiệm là:
arc α x tg kπ · + ( ) k ∈Z
(hay là cot α gx · có nghiệm là:
arccot α x g kπ · + ) ( ) k ∈Z
Chú ý: Trong các PTCB trên ta đã có sử dụng đến các hàm số lượng giác ngược:
1. Hàm arcsin y x · :
Miền xác định: [ ] 1,1 D · −
;
arcsin 2 2
sin
y
y x
y x
π π ¹ 1
∈ −
¹
1
· ⇔
¸ ] '
¹
·
¹
2. Hàm arccos y x · :
Miền xác định: [ ] 1,1 D · −
arccos y x ·
[ ] 0;
cos
y
y x
π ¹ ∈
¹
⇔
'
· ¹
¹
3. Hàm arc y tgx · :
Miền xác định: R D ·
;
arc 2 2
y
y tgx
tgy x
π π ¹ ¸ _
∈ −
¹
· ⇔
¸ , '
¹
·
¹
4. Hàm arccot y gx · :
Miền xác định: D R ·
( ) 0;
arccot gx
cot
y
y
gy x
π ∈ ¹
¹
· ⇔
'
·
¹
¹
Ta xét một số bài toán sau:
Bài toán 1: Giải phương trình sau:
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
7
( ) ( ) cos 3 sin cos sin x x π π ·
Giải
( ) ( ) cos 3 sin cos sin x x π π ·
3 sin sin 2
3 sin sin 2
x x k
x x k
π π π
π π π
· +
⇔
· − +
¸
2 sin 2
4 sin 2
x k
x k
π π
π π
·
⇔
·
¸
sin
sin
2
x k
k
x
·
⇔
·
¸
Do
sin 1
k
x
∈ ¹
¹
'
≤
¹
¹
Z
1
1
2
k
k
≤
⇔
≤
¸
1
2
k
⇔ ≤ { } 0; 1; 2 k ⇔ ∈ t t
sin 0
1
sin
2
sin 1
x
x
x
·
⇔ · t
· t
¸
sin 2 0
1
sin
2
1
sin
2
x
x
x
·
⇔ ·
· −
¸
2
2
6
5
2
6
7
2
6
l
x
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
·
· t +
⇔
· +
· +
¸
2
6
l
x
x k
π
π
π
·
⇔
· t +
¸
( l , k ∈Z )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2
6
l
x
x k
π
π
π
·
· t +
¸
( l , k ∈Z )
Nhận xét: Đây là một PTLG mà việc giải nó rất đơn giản, mấu chốt của bài này là vị trí quan
trọng của ‘k’. Đôi lúc vai trò của ‘k’ trong việc giải PTLG rất quan trọng.Việc xét điều kiện
‘k’ có thể đưa đến một số PTLG khá hay liên quan đến việc giải một số bài toán đại số, số
học nhỏ mà ta sẽ gặp ở một số bài toán sau:
Bài toán 2: (ĐH Tổng hợp Lômônôxôp khoa Tính Toán và Điều Khiển 1979-ĐHSPII 2000)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau:
( )
2
cos 3 9 160 800 1
8
x x x
π 1
− + + ·
1
¸ ]
Giải
Giả sử x là số nguyên thoả mãn phương trình, khi đó ta có:
( )
2
cos 3 9 160 800 1
8
x x x
π 1
− + + ·
1
¸ ]
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
8
( )
2
3 9 160 800 2
8
x x x k
π
π ⇔ − + + · ( k ∈Z )
( )
2
2
2
9 160 800 3 16
3 16 0
9 160 800 3 16
x x x k
x k
x x x k
⇔ + + · −
− ≥ ¹
¹
⇔
'
+ + · −
¹
¹
2
3 16 0
8 25
3 5
x k
k
x
k
− ≥ ¹
¹
⇔
' −
·
¹
+ ¹
3 16 0
25
9 24 40
3 5
x k
x k
k
− ≥ ¹
¹
⇔
'
· − −
¹
+ ¹
( ) 1
25
3 5 k
⇒ ∈
+
Z , suy ra : { } 0;-2;-10 k ∈ ( ) 2
Từ ( ) 2 , bằng cách thử trực tiếp vào( ) 1 ta được:
2
7
10
31
k
x
k
x
· − ¹
'
· −
¹
· − ¹
'
· −
¹ ¸
Nhận xét: Đây là một PTLG cơ bản, việc giải nó thật ra là giải một phương trình nghiệm
nguyên hai ẩn mà ta sẽ đề cập đến một cách cụ thể ở phần sau.Bài toán này chỉ nhằm mục
đích minh hoạ cho vai trò của ‘k’.
Bài toán 3 : Tìm sốa>0 nhỏ nhất thoã mãn:
( )
2 2
1
cos 2 sin
2
a a a π π
1 ¸ _
+ − −
1
¸ , ¸ ]
=0
Giải
( )
2 2
1
cos 2 sin
2
a a a π π
1 ¸ _
+ − −
1
¸ , ¸ ]
=0
( ) ( )
2 2
cos 2 sin
2
a a a
π
π π
1
⇔ − + ·
1
¸ ]
( ) ( )
2 2
sin 2 sin a a a π π
1
⇔ + ·
¸ ]
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
a a a k
a a a k
π π π
π π π π
+ · +
⇔
+ · − +
¸
( )
2
2 2 2 1 0
a k
a a k
· ∈
⇔
+ − + ·
¸
Z
( ) *
Do
( ) *
>0 a
k
¹
¹
'
¹
∈
¹
Z
suy ra
3 1
2
Mina
−
·
Nhận xét: Bài toán này 2 mấu chốt quan trọng:
-Thứ nhất: ta đã sử dụng công thức cơ bản nhưng lợi hại nhất là đối với các bài toán
có dạng sin cos a b + :
sin cos
2
x x
π ¸ _
· −
¸ ,
-Thứ hai: tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của biến a.
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
9
Bài toán 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:
( ) ( )
2
2
sin sin 1 x x π π
1
· +
¸ ]
Giải.
( ) ( )
2
2
sin sin 1 x x π π
1
· +
¸ ]
( )
( )
2
2
2
2
1 2
1 2
x x k
x x k
π π π
π π π π
· + +
⇔
· − + +
¸
( k ∈Z )
2
2 1
2
0
k
x
x x k
+
· −
⇔
+ − ·
¸
( k ∈Z )
k ∈ Z
( ) + Xét
2 1
>0
2
k
x
+
· − , k ∈Z suy ra: , ta được
1
2
x · là nghiệm dương nhỏ nhất.
( ) + Xét phương trình
2
0 x x k + − · ( ) * có:
Δ 1 4 0 k · + ≥
1
4
k
k
¹
≥ −
¹
⇔
'
¹
∈
¹
Z
0 k ⇒ ≥
Thử trực tiếp ta thấy khi 1 k · thì phương trình ( ) * có nghiệm nhỏ nhất là:
-1+ 5 1
x = >
2 2
(loại)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là:
1
2
x · .
Bài toán 5: Tính tổng các nghiệm [ ] 0,100 x ∈ của phương trình sau:
3 2
2
2
cos cos 1
cos 2
cos
x x
x tg x
x
− +
· +
Giải.
Điều kiện:
2
cos 0 x ≠
2
x k
π
π ⇔ ≠ + ( ) k ∈Z
Với điều kiện trên phương trình:
2
2
1
cos 1 cos 2
cos
x x tg x
x
⇔ − + · +
cos cos 2 x x ⇔ ·
2
2
3
x k
k
x
π
π
·
⇔
·
¸
, k ∈Z
2
3
k
x
π
⇔ · (*)
Do 0 100 x ≤ ≤ nên
100 50
0 47
2
3 3
k
π π
1 1
1 1
≤ ≤ · ·
1 1
1 1
¸ ] ¸ ]
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
10
47.2
48. 0
3
2
S
π ¸ _
+
¸ ,
⇒ · =752π
Nhận xét: Bài toán này ngoài việc cho ta thấy vai trò của ‘k’ còn chỉ rõ một vấn đề: tầm quan
trọng của việc kết hợp nghiệm. Thử hình dung, nếu ta không kết hợp nghiệm lại dưới dạng
công thức (*) đon giản hơn thì ta phải tiến hành xét 2 bất phương trình sau:
0 2 100 k π ≤ ≤ ;
2
0 100
3
k π
≤ ≤
Như vậy ta phải tốn thời gian hơn, quá trình giải bài toán sẽ bị kéo dài một cách không cần
thiết.
II. KẾT HỢP CÔNG THỨC NGHIỆM:
Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được
nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải
quyết bài toán trở nên đơn giản hơn (giống như bài toán mà ta vừa xét ở trên). Đôi lúc việc
kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự như việc giải một hệ phương trình lượng giác cơ bản
bằng phương pháp thế. Ở đây ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai
phương pháp chủ yếu sau:
A. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC:
1.Các khái niệm cơ bản:
a) Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị R = 1và trên đó ta đã chọn một
chiều dương ( ) + (thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ)
b) Cung lượng giác:
»
AB (với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi
điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B.
c) Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định
2. Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác:
a) Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ :
Ta đưa số đo về dạng
2
α k
m
π
+ .
Bài toán có m ngọn cung phân biệt tương ứng với k từ 0 đến ( ) m-1 .
Bài toán 1: Trên đường tròn lượng giác, ta lấy điểm A làm gốc.
Định những điểm M biết sđ
»
4 2
AB k
π π
· +
Giải.
Ta có sđ
»
2
4 2 4 4
AB k k
π π π π
· + · + .Suy ra có 4 điểm ngọn cung phân biệt ứng với:
( )
¼
3
+ 1:
4
k AM
π
· ·
( )
¼
+ 0:
4
k AM
π
· ·
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
11
( )
¼
5
+ 2:
4
k AM
π
· ·
( )
¼
7
+ 3:
4
k AM
π
· ·
Đề ý ta thấy rằng trên đường tròng lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của hình vuông
0 1 2 3
M M M M .
Nhận xét: Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của một đa giác đều m
cạnh.
b) Biểu diễn góc (cung) dưới dạng công thức tổng quát:
Ta biểu diễn từng góc (cung) trên đường tròn lượng giác. Từ đó suy ra công thức tổng quát.
Bài toán 2: Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức tổng quát:
3
x k
x k
π
π
π
· ¹
¹
'
· t +
¹
¹
Giải.
Ta biểu diễn các điểm ngọn cung của
2
2
x k k
π
π · ·
0: 0 k x · ·
1: k x π · ·
Ta biểu diển các điểm ngọn cung của
3
x k
π
π · t +
0:
3
k x
π
· · t
4
1:
3
k x
π
· · t
Trên đường tròn lượng giác, ta nhận thấy có 6 điểm ngọn cung phân biệt, Do đó công thức
tổng quát là:
2
6 3
k k
x
π π
· ·
Nhận xét: Qua bài toán này ta thấy rõ vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới dạng
một công thức tổng quát đơn giản hơn. Hơn nữa, đây còn là bài toán về việc giải hệ phương
trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại
các nghiệm ngoại lai.
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
12
Bài toán 1: Giải phương trình:
2
sin (sin cos ) 1
0
cos sin 1
x x x
x x
+ −
·
+ −
Giải.
Điều kiện:
2
cos sin 1 0 x x + − ≠
2
sin sin 0 x x ⇔ + ≠
sin 0
sin 1
x
x
≠ ¹
⇔
'
≠
¹
2
x k
x k
π
π
π
≠ ¹
¹
⇔
'
≠ +
¹
¹
( ) 1
Với điều kiện đó phương trình tương đương:
( ) sin cos sin 1 0 x x x + − ·
2
sin sin cos 1 0 x x x ⇔ + − ·
⇔ cos (sin cos ) 0 x x x − ·
cos 0
sin cos
x
x x
·
⇔
·
¸
2
4
x k
x k
π
π
π
π
· +
⇔
· +
¸
, k ∈Z ( ) 2
Kết luận: nghiệm của phương trình đã cho là:
2
x k
π
π · + ; 2
2
x k
π
π · − + ,( k ∈Z )
Nhận xét: Đây là một bài có công thức nghiệm đơn giản cho phép ta có thể biểu diễn một
cách chính xác trên đường tròn lượng giác. Tuy nhiên ta hãy xét thêm bài toán sau để thấy rõ
màu sắc của bài toán biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Bài toán 2: Giải phương trình sau:
sin 4
1
cos 6
x
x
·
Giải.
Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
cos 6 0 x ≠ 6
2
x k
π
π ⇔ ≠ +
12 6
k
x
π π
⇔ ≠ + , k ∈Z (1)
Với điều kiện (1) phương trình tương đương:
sin 4 cos 6 x x ·
⇔ cos 6 cos 4
2
x x
π ¸ _
· −
¸ ,
6 4 2
2
6 4 2
2
x x m
x x m
π
π
π
π
· − +
⇔
· − +
¸
m∈Z
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
13
20 5
4
m
x
x m
π π
π
π
· +
⇔
· − +
¸
m∈Z
So sánh các nghiệm này với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của phương trình là:
20 5
m
x
π π
· + và 5 1 m n ≠ + , n∈Z
Nhận xét: ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường tròn lượng giác đã trở
nên khó khăn và khó chính xác. Do đó ta hãy xem phương pháp hai.
B. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN:
1. Cơ sở của phương pháp:
Giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c + · , với a,b,c nguyên.
a) Định lí 1: Định lí về sự tồn tại nghiệm nguyên
Cần và đủ để phương trình ax by c + · ,với ( ) , , a b c ∈Z có nghiệm nguyên là ( ) , a b c .
Hệ quả: Nếu ( ) , 1 a b · thì phương trình ax by c + · luôn có nghiệm nguyên.
b) Định lí 2: nếu phương trình ax by c + · , với ( ) , , a b c ∈Z ,
2 2
0 a b + ≠ , ( ) , 1 a b · có
một nghiệm riêng ( )
0 0
, x y thì nghiệm tổng quát của phương trình là:
0
0
x x bt
y y at
· + ¹
'
· −
¹
, với t ∈Z
Ví dụ: phương trình 3 2 1 x y + · có nghiệm riêng là ( ) 1, 1 − và nghiệm tổng quát là:
1 2
1 3
x t
y t
· + ¹
'
· − −
¹
, với t ∈Z
c) Ví dụ: giải và biện luận phương trình nghiệm nguyên sau theo tham số m nguyên
6 11 2 x y m − · + (1)
Ta có ( ) 6,11 1 · nên phương trình (1) luôn có nghiệm nguyên.
Phương trình (1) có nghiệm riêng là ( ) 2 4, 2 m m + + nên có nghiệm tổng quát:
2 4 11
2 6
x m t
y m t
· + − ¹
'
· + −
¹
, t ∈Z
2. Ví dụ: Ta xét một số bài toán dùng phương trình nghiệm nguyên để kết hợp nghiệm
hay giải hệ phương trình hệ quả của PTLG.
Bài toán 1: Giải phương trình : 2 7 1 tg xtg x ·
Giải.
Điều kiện:
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
14
2
2
7
2
x k
x k
π
π
π
π
¹
≠ +
¹
¹
'
¹
≠ +
¹
¹
( )
( )
1
4 2
2
14 7
k
x
k
x
π π
π π
¹
≠ +
¹
¹
⇔
'
¹
≠ +
¹
¹
, k ∈Z
Với điều kiện trên phương trình tương đương:
sin 2 sin 7 cos 2 cos 7 x x x x ·
cos9 0 x ⇔ · 9
2
x m
π
π ⇔ · +
18 9
m
x
π π
⇔ · + , (3) m∈Z
Ta xét xem nghiệm của (3) có thoả điều kiện (1), (2) hay không:
• Xét điều kiện (1):
Ta giải phương trình nghiệm nguyên sau:
4 2 18 9
m
k
π π π π
+ · + 4 18 7 m k ⇔ − ·
Dễ dàng nhận thấy phương trình trên có ( ) 4,18 2 · không phải là ước của 7 nên
phương trình nghiệm nguyên vô nghiệm.
Vậy nghiệm (3) luôn thoả mãn (1)
• Xét điều kiện (2):
Ta giải phương trình nghiệm nguyên sau:
14 7 18 9
k m π π π π
+ · +
7 14 9 18 m k ⇔ + · +
7 9 1 m k ⇔ − · có nghiệm riêng tổng quát là:
4 9
3 7
m t
k t
· + ¹
'
· +
¹
, t ∈Z
Do vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
18 9
m
x
π π
· + , với m∈Zvà 9 4, m t n ≠ + ∈Z .
Nhận xét: Đối với bài toán này ta nhận thấy công thức nghiệm của nó khá phức tạp, việc biểu
diễn trên đường tròn khó được chính xác. Cho nên ta dùng phương trình nghiệm nguyên sẽ
chính xác và dễ dàng hơn. Quay trở lại bài toán2 ở mục trên ta thấy nếu dùng phương trình vô
định thì bài toán sẽ nhanh hơn.
Bài toán 2: Giải hệ phương trình cơ bản sau:
cos 2 1
cos 1
x
x
· ¹
'
·
¹
Giải.
cos 2 1
cos 1
x
x
· ¹
'
·
¹
4 (1)
( , )
2 (2)
x k
k l
x l
π
π
· ¹
⇔ ∈
'
·
¹
Z
Để giải hệ phương trình này ta giải phương trình nghiệm nguyên:
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
15
4 2 k l π π ·
1
,
2
k t
t
l t
· + ¹
⇔ ∈
'
·
¹
Z
Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 4 x tπ · với t ∈Z .
Nhận xét: Có thể ta cho rằng bài toán này cực kì đơn giản nhưng nó rất quan trọng. Có một
sai lầm thường gặp vô cùng nguy hiểm: khi nhìn vào hệ phương trình đơn giản này ta nghĩ
ngay đến đường tròn lượng giác -“cực kì cực kì nguy hiểm”. Bởi vì đường tròn lượng giác có
chu ki là 2π trong khi đó (1) có chu kì là 4π và (2) có chu kì là 2π . Ta không thể sử dụng
đường tròn lượng giác trong trường hợp này.
Chú ý :Ta chỉ dùng đường tròn lượng giác khi số đo góc lượng giác đó có dạng:
2 k
x
m
π
α · + hay
k
x
m
π
α · +
(do đường tròn lượng giác có chu kì 2π ).
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG CHÍNH TẮC.
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP:
1. Phương trình đẳng cấp bậc I: sin cos a x b x c + · (1) với
2 2
0 a b + ≠ .
Đối với dạng này ta có 2 cách giải quen thuộc:
Cách 1: Phương pháp lượng giác
sin cos a x b x c + ·
sin cos
b c
x x
a a
⇔ + ·
sin cos
c
x tg x
a
ϕ ⇔ + · ; < <
2 2
b
tg
a
π π
ϕ ϕ
¸ _
· −
¸ ,
( ) sin cos
c
x
a
ϕ ϕ ⇔ + ·
Đặt cos sin
c
a
ϕ α ·
2 2
π π
α
¸ _
− ≤ ≤
¸ ,
, ta có phương trình cơ bản:
sin( ) sin x ϕ α + ·
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2
2
2
cos 1 cos 1
c c
x
a a
ϕ ≤ ⇔ ≤
2 2 2
2
2 2 2
1 1
c c b
tg
a a a
ϕ ⇔ ≤ + ⇔ ≤ +
2 2 2
c a b ⇔ ≤ +
Cách 2: Phương pháp đại số
• Nếu cos 0
2
x
· là nghiệm của (1) thì
0
cos 1
sinx
x
· ¹
'
· −
¹
Khi đó (1) 0 b c ⇔ + ·
• Nếu cos 0
2
x
· không là nghiệm của (1), hay là 0 b c + ≠ nên tồn tại
2
x
tg .
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
16
Đặt
2
2
2
2
sin
1
2 1
cos
1
t
x
x t
t tg
t
x
t
¹
·
¹
¹ +
· ⇒
'
−
¹
·
¹
+ ¹
Ta có (1)
2
2 2
2 1
1 1
t t
a b c
t t
−
⇔ + ·
+ +
2 2
2 (1 ) (1 ) at b t c t ⇔ + − · +
2
( ) 2 0 b c t at c b ⇔ + − + − ·
Giải phương trình được nghiệm
2
x
t tg · , suy ra nghiệm x.
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là:
( )
' 2 2 2
0
0
0
b c
b c
a c b
+ ·
+ ≠ ¹
¹
'
∆ · − − ≥
¹
¹ ¸
2 2 2
a b c ⇔ + ≥
Chú ý:
o Nếu
2 2 2
a b c + · , phương trình trở thành:
cos .sin sin .cos 1 x x ϕ ϕ + ·
sin( ) 1 x ϕ ⇔ + ·
o Nếu cung ϕ trong cách giải 1 không phải là cung đặc biệt , , ,...
6 4 3
π π π
ta
nên dùng cách 2 để được phép tính đơn giản hơn.
o Đối với phương trình có tham số ta nên dùng cách 2
Bài toán 1: (Đại học Kinh tế Quốc Dân Hà Nội 1997)
Tìm các nghiệm
2 6
,
5 7
x
π π ¸ _
∈
¸ ,
của phương trình sau:
cos 7 3sin 7 2 x x − · −
Giải.
cos 7 3sin 7 2 x x − · −
1 3 2
cos 7 sin 7
2 2 2
x x
−
⇔ − ·
3
cos cos 7 sin sin 7 cos
3 3 4
x x
π π π
⇔ − ·
3
cos 7 cos
3 4
x
π π ¸ _
⇔ + ·
¸ ,
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
17
3
7 2
3 4
3
7 2
3 4
x k
x k
π π
π
π π
π
+ · − +
⇔
+ · +
¸
13 2
84 7
( )
5 2
84 7
k
x
k
k
x
π π
π π
· − +
⇔ ∈
· +
¸
Z
• Xét
13 2 2 6
;
84 7 5 7
k
x
π π π π ¸ _
· − + ∈
¸ ,
2 13 2 6
5 84 7 7
k π π π π
⇔ ≤ − + ≤
168< 65 120 <360 k ⇔ − +
233<120 <425 k ⇔
2; 3 k k ⇒ · ·
Với k=2
13 4 35
84 7 84
x
π π π
⇒ · − + ·
Với k=3
13 6 59
84 7 84
x
π π π
⇒ · − + ·
• Xét
5 2 2 6
;
84 7 5 7
k
x
π π π π ¸ _
· + ∈
¸ ,
2 5 2 6
< <
5 84 7 7
k π π π π
⇔ +
168<25 120 <335 k ⇔ +
2 k ⇒ ·
Khi đó
5 4 53
84 7 84
x
π π π
· + ·
Kết luận:
35 53 59
; ;
84 84 84
x
π π π ¹ ¹
∈
' ;
¹ ¹
Nhận xét: Ở bài toán này ta gặp lại vấn đề xét điều kiện của ‘k’ trong công thức nghiệm. Ta
nhận thấy nếu bài toán có yêu cầu thêm điều kiện của nghiệm thì việc xét điều kiện của ‘k’ là
đương nhiên.
Bài toán 2: (Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội 2000)
Giải phương trình sau:
( ) 2 2 sin cos cos 3 cos 2 x x x x + · +
Giải
( ) 2 2 sin cos cos 3 cos 2 x x x x + · +
( )
2 sin 2 1 cos 2 3 2 x x ⇔ + − · −
Có:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2
2 2 1 5 2 2
3 2 11 6 2
a b
c
¹
+ · + − · −
¹
'
¹
· − · −
¹
Ta sẽ chứng minh:
2 2 2
<c a b +
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
18
5 2 2<11-6 2 ⇔ −
( )
2
2
4 2<6 4 2 <6 ⇔ ⇔ 32<36 ⇔ (đúng)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Nhận xét: Điều kiện để phương trình có nghiệm rất quan trọng, đặc biệt là trong các bài toán
có tham số m mà ta thường gặp trong các kì thi Đại Học (trước đây) do đó ta cần quan tâm
đến nó. Vì thế các bài toán về điều kiện tồn tại nghiệm ta sẽ được gặp ở các bài toán sau.
Bài toán 3: Cho phương trình
2sin cos 1 x m x m + · − (1)
a.Tìm m để phương trình có nghiệm ;
2 2
x
π π 1
∈ −
1
¸ ]
b. Giải và biện luận phương trình theo m.
Giải.
a. Do ( ) 1 0 b c m m + · + − ≠ nên cos 0
2
x
≠ .
Đặt
2
x
t tg ·
2
2
sin
1
t
x
t
⇒ ·
+
2
2
1
; cos
1
t
x
t
−
·
+
Khi đó:
( )
2
2 2
2 1
1 2 1
1 1
t t
m m
t t
−
⇔ + · −
+ +
( ) ( ) ( )
2 2
4 1 1 1 t m t m t ⇔ + − · − +
( )
2
4 1 2 0 f t t t m ⇔ · − + − ·
Tìm m để (1) có nghiệm ;
2 2
x
π π 1
∈ −
1
¸ ]
;
2 4 4
x π π 1
⇔ ∈ −
1
¸ ]
• Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương
( )
2
4 1 2 0 f t t t m ⇔ · − + − · có nghiệm [ ] 1;1 t ∈ − .
Xét ( ) 1 0 6 2 0 3 f m m − · ⇔ − · ⇔ · thoả
Xét ( ) 1 0 2 2 0 1 f m m · ⇔ − − · ⇔ · − thoả
Xét ( ) 0 f t · có 1 nghiệm ( ) 1;1 t ∈ − và 1 nghiệm [ ] 1;1 t ∉ −
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 6 2 2 2 <0 f f m m ⇔ − · − − −
( ) ( ) 2m-6 2 2 <0 m ⇔ + 1<m<3 ⇔
Xét ( ) 0 f t · có 2 nghiệm
1 2
, t t
thoả
1 2
1< <1 t t − ≤
( )
( )
'
0
2 3 0
1. 1 >0
6 2 >0
1. 1 >0
2 2 >0
1<2<1
1< <1
2
m
f
m
f
m
S
¹∆ ≥
+ ≥ ¹
¹
−
¹
¹
−
¹ ¹
⇔ ⇔ ⇔
' '
− −
¹ ¹
¹ ¹
−
¹ −
¹
¹
VN
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
19
Kết luận: (1) có nghiệm ;
2 2
x
π π 1
∈ −
1
¸ ]
1<m<3 ⇔ −
• Cách 2: ( )
2
4 1 2 0 f t t t m ⇔ · − + − · có nghiệm [ ] 1;1 t ∈ −
⇔ ( )
' 2
1 1
2
2 2
g t t t m · − + · có nghiệm [ ] 1;1 t ∈ −
Ta có: ( ) [ ]
'
g 2<0 1;1 t t t · − ∀ ∈ − , suy ra g (t) nghịch biến/ [-1;1]
Suy ra tập giá trị g (t) là đoạn ( ) ( ) [ ]
1 ; 1 1;3 g g − ≡ − 1
¸ ]
Từ đó (1) có nghiệm ;
2 2
x
π π 1
∈ −
1
¸ ]
( ) g t m ⇔ · có nghiệm [ ] 1;1 t ∈ − 1<m<3 ⇔ −
b. Giải và biện luận:
( )
2
4 1 2 0 f t t t m · − + − · có
'
2 3 m ∆ · +
Nếu ( )
'
-3
< <0 0
2
m f t ⇒ ∆ ⇒ · , suy ra (1) vô nghiệm.
Nếu ( )
'
-3
0 0 2
2
m f t t · ⇒ ∆ · ⇒ · ⇔ · 2 2 2
2
x
tg tg x k α α π ⇔ · · ⇔ · +
Nếu ( )
1
2
2 3 2
-3
> 0
2
2 3 2
t m tg
m f t
t m tg
β
γ
· − + ·
⇒ · ⇔
· + + ·
¸
2 2
( )
2 2
x k
k
x k
β π
γ π
· +
⇔ ∈
· +
¸
Z ]
Nhận xét:
- Câu a của bài toán này thật ra là giải một phương trình bậc hai có điều kiện mà
cách 1 (dùng tam thức bậc hai) là một cách quen thuộc thường thấy ở học sinh lớp
10. Trong câu này cần chú ý đến cách giải 2 (dùng một số kiến thức về giải tích:
hàm đồng biến, nghịch biến, hàm liên tục,…) mà ta sẽ gặp lại ở bài sau.
- Cũng ở câu a này ta đã sử dụng một công thức: cos 0 0
2
x
b c ≠ ⇔ + ≠ . Thật ra
công thức này đã được nhắc đến ở phần lý thuyết, ở đây chỉ nhắc lại để nhấn mạnh
bởi vì công thức này có thể rất có ích trong các bài kiểm tra trắc nghiệm.
- Ở câu b ta có thể sừ dụng công thức phương trình vô nghiệm, có một nghiệm, có 2
nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2
<c a b + hay
2 2 2
a b c + · hay
2 2 2
> a b c + .
Bài toán 4:
Giả sử
2 2
0 a b + ≠ và c là số bất kì. Chứng minh rằng trong 2 phương trình sau:
( )
( )
cos sin 1
cot 2 2
a x b x c
a gx btgx c
+ ·
+ ·
Ít nhất có 1 phương trình có nghiệm.
Giải.
- Nếu
2 2 2
a b c + ≥ thì là điều kiện cần và đủ để phương trình cos sin a x b x c + · có nghiệm.
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
20
- Nếu
2 2 2
< a b c + phương trình (1) vô nghiệm. Ta xét phương trình (2):
Với 0 0 a b · ⇒ ≠ (do
2 2
0 a b + ≠ ) thì ( ) 2 2 btgx c ⇔ · có nghiệm.
Với 0 a ≠ thì ( )
2
2 cot 2 cot 0 a g x c gx b ⇔ − + · là phương trình bậc hai theo cotgx, có
( )
2 2
2 4 2 2 >0 c ab c ab ∆ · − · −
( )
2 2 2
>a +b 2 c ab ≥
Suy ra phương trình (2) có nghiệm.
Tóm lại với
2 2
0 a b + ≠ và c bất kì thì ít nhất một trong hai phương trình (1) và (2) có
nghiệm.
Nhận xét: Đây là một bài toán đơn giản nhưng vô cùng thú vị bởi vì thật ra nó chỉ đơn giản
nếu ta nắm vững điều kiện có nghiệm của phương trình đẳng cấp bậc I còn nếu không việc xét
bài toán này sẽ vô cùng rắc rối. Ngoài ra bài toán này còn cho thấy điều kiện có nghiệm của
một phương trình có vai trò vô cùng quan trọng.
2. Phương trình đẳng cấp bậc 2:
2 2
sin sin .cos cos a x b x x c x d + + · (1) (a,b,c ≠ 0)
Cách 1:
2 2
sin sin .cos cos a x b x x c x d + + ·
1 cos 2 sin 1 cos 2
.
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + ·
( ) sin 2 cos 2 2 b x c a x d a c ⇔ + − · − −
Lúc này phương trình (1) trở về dạng phương trình đẳng cấp bậc I.
Cách 2:
2 2
sin sin .cos cos a x b x x c x d + + ·
( )
2 2 2 2
sin sin cos cos sin cos a x b x x c x d x x ⇔ + + · +
Xét cos 0 x · 0 a d ⇔ − · (dễ dàng chứng minh được)
Xét cos 0 0 x a d ≠ ⇔ − ≠ , chia 2 vế của phương trình cho
2
cos x ta được phương
trình bậc hai theo tgx :
( )
2
0 a d tg x btgx c d − + + − · .
Bài toán 1: Giải phương trình:
2 2 3
7sin 2sin 2 3cos 3 15 0 x x x + − − · (1)
Giải.
Do ta có:
3
7; 3 15 0 cos 0 a d a d x · · ⇒ − ≠ ⇒ ≠
Chia 2 vế của phương trình cho
2
cos 0 x ≠ ta được phương trình tương đương:
( )
2 2 3
7 4 3 3 15 1 0 tg x tgx tg x + − − + ·
( ) ( )
2 3 3
7 3 15 4 3 3 15 tg x tgx ⇔ − + − + 0 · (2)
Ta có:
( )( )
' 3 3
4 7 3 15 3 3 15 ∆ · + − +
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
21
3 2 3
25 12 15 9 15 · + −
Đặt
3 3 3
5
15 15 25
3
t t t · ⇒ · ⇒ · , khi đđó
( )
' 3 2
5 5 12
9 12 3
3 3 5
t t t t t t
¸ _
∆ · − + · − −
¸ ,
Dễ dàng thấy:
3
3 3
12 12
<15<3 < 15<3
5 5
t
¸ _
⇔ ·
¸ ,
Suy ra
'
<0 (2) ∆ ⇒ vô nghiệm ( ) 1 ⇒ vô nghiệm
Kết luận: phương trình đã cho vô nghiệm
Nhận xét: Bước ngoặt trong bài toán này là đặt
3
15 t · . Từ đó ta có thể đưa đến dấu của
'
∆
giúp bài toán được giải quyết. Đây là một dạng trong bài toán đổi vai trò của ẩn số và tham
số.
Bài toán 2: Định a để phương trình sau có nghiệm:
2 2
sin sin 2 3 cos 1 a x x a x + + ·
Giải.
2 2
sin sin 2 3 cos 1 a x x a x + + ·
( ) ( )
3
1 cos 2 sin 2 1 cos 2 1
2 2
a a
x x x ⇔ − + + + ·
cos 2 sin 2 1 2 a x x a ⇔ + · −
Phương trình có nghiệm ( )
2
2
1 2 1 a a ⇔ − ≤ +
2
3 4 0 a a ⇔ − ≤
4
0
3
a ⇔ ≤ ≤
Kết luận: phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
4
0
3
a ≤ ≤
Nhận xét: Đối với bài toán này ta còn có thể giải theo cách khác:
- Với 1 0 a − · phương trình có nghiệm: ( ) cos 0
2
x x k k
π
π · ⇔ · + ∈Z
- Với 1 0 a − ≠ ta chia 2 vế của phương trình cho
2
cos 0 x ≠ được phương trình bậc
hai theo tgx rồi dùng điều kiện của ∆ để xác định a.
3. Phương trình đẳng cấp bậc III:
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0 a x b x x c x x d x + + + ·
Xét cos 0 x · có là nghiệm của phương trình
Chia 2 vế của phương trình cho
3
cos 0 x ≠ ta được một phương trình bậc 3 theo tgx .
Bài toán 1: (Đại học Y Dược Thành phố Hồ Chí Minh 1997)
Giải phương trình:
3
sin .sin 2 sin3 6cos x x x x + · (1)
Giải.
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
22
(1) ( )
3 3
sin 2sin cos 3sin 4sin 6cos x x x x x x ⇔ + − ·
3 2 3
4sin 3sin 2sin cos 6cos 0 x x x x x ⇔ − − + · (2)
Nếu cos 0 x · là nghiệm của (2) thì:
3
3
sin 1
cos 0
sin 1
4sin 3sin 0
4sin 3sin 0
x
x
x
x x
x x
¹ ·
· ¹
¹
· − ⇔ ⇒
' '¸
− ·
¹ ¹
− ·
¹
vô lý
Chia 2 vế của (2) cho
3
cos 0 x ≠ ta được phương trình tương đương:
( )
3 2
2 2 3 6 0 tg x tg x tgx ⇔ − − + ·
( )( )
2
2 3 0 tgx tg x ⇔ − − ·
( )
2
3
3 3
tgx tg x k
k
tgx tg x k
α α π
π π
π
· · · +
⇔ ⇔ ∈
· t · t · t +
¸ ¸
Z
Nhận xét: Ở dạng phương trình đẳng cấp bậc III này ta cần quan tâm đến 2 công thức góc
nhân 3 sau đây:
3
sin3 3sin 4sin a a a · − ;
3
cos3 4cos 3cos a a a · −
Nhờ công thức này mà ta có thể đưa một phương trình đảng cấp bậc ba có phương trình theo
tg là một phương trình bậc ba khó đoán nghiệm sang phương trình đẳng cấp bậc nhất có
dạng: sin3 cos3 0 a x b x c + + · hay một phương trình đẳng cấp bậc hai tương ứng.
Bài toán 2: Cho phương trình: ( ) cos3 cos 2 cos 1 0 * x x m x − + − ·
Định m để (*) có đúng 7 nghiệm phân biệt ; 2
2
x
π
π
¸ _
∈ −
¸ ,
Giải.
Ta có (*)
( )
3 2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x ⇔ − − + + − ·
( )
3 2
4cos 2cos 3 cos 0 x x m x ⇔ − + − ·
( )
2
cos 4cos 2cos 3 0 x x x m ⇔ − + − ·
2
cos 0
4cos 2cos 3 0
x
x x m
·
⇔
− + − ·
¸
Trong khoảng ; 2
2
π
π
¸ _
−
¸ ,
phương trình cos 0 x · có 2 nghiệm phân biệt là:
1 2
3
;
2 2
x x
π π
· ·
Do đó để (*) có đúng 7 nghiệm phân biệt trong khoảng ; 2
2
π
π
¸ _
−
¸ ,
thì phương trình
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
23
2
4cos 2cos 3 0 x x m − + − · phải có đúng 5 nghiệm khác nhau trong khoảng ; 2
2
π
π
¸ _
−
¸ ,
và
khác
1 2
3
;
2 2
x x
π π
· · .
Mặt khác phương trình cos x α · với 0< <1 α có đúng 3 nghiệm trong khoảng ; 2
2
π
π
¸ _
−
¸ ,
;
với 1< <0 α − có đúng 2 nghiệm phân biệt trong khoảng ; 2
2
π
π
¸ _
−
¸ ,
. Vậy ta tìm điều kiện của
m để phương trình
2
4 2 3 0 t t m − + − · có 2 nghiệm
1 2
, t t thoả điều kiện
1 2
1<t <0<t <1 − với
[ ] t=cosx 1,1 ∈ − .
Đặt ( ) f t ·
2
4 2 3 0 t t m − + − · thì yêu cầu bài toán thoả khi và chỉ khi:
( )
( )
( )
0 <0
3<0
1 >0 3>0 1<m<3
1>0
1 >0
f
m
f m
m
f
¹
− ¹
¹
¹
− ⇔ + ⇔
' '
¹ ¹
−
¹
¹
Nhận xét: Đây là bài toán nằm trong bộ đề thi đại học (Đề 89/II) và cũng là dạng toán cần
phải biết trong vấn đề giải phương trình lượng giác. Điểm mấu chốt của dạng toán này là cần
nhớ lại một số kiến thức về tam thức bậc hai và cácnhận xét quan trọng về các góc lượng gíac
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
24
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG:
Đó là PTLG có chứa đồng thời ( ) sin cos
m
x x t và ( ) sin cos
n
x x với , m n∈Z .
Các phương trình loại này ta thường áp dụng công thức:
( )
2
sin cos 1
sin cos
2
x x
x x
+ −
· ;
( )
2
1 sin cos
sin cos
2
x x
x x
− −
·
Sau đó bằng cách đặt sin cos t x x · + hoặc sin cos t x x · − ta sẽ đưa PTLG về một phương
trình đại số của t, với 2; 2 t
1
∈ −
¸ ]
.
Bài toán 1:
Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt [ ] 0; x π ∈ :
3 3
sin cos x x m − ·
Giải
3 3
sin cos x x m − · ( )
3
(sin cos ) 3sin cos sin cos x x x x x x m ⇔ − + − ·
Đặt
[ ] sin cos 2 sin 1; 2 0;
4
t x x x x
π
π
¸ _
1
· − · − ∈ − ∀ ∈
¸ ]
¸ ,
Khi đó phương trình
2
3
1
3
2
t
t t m
¸ _ −
⇔ − ·
¸ ,
( ) ( )
3 2 2
2 3 1 2 3 2 t t t m f t t t m ⇔ + − · ⇔ · − + ·
Ta có ( )
' 2
3 3 0 1 f t t t t · − + · ⇔ · t
Bảng biến thiên:
Với mỗi
( )
2
1;1
t
t
·
∈ −
¸
ta có 1 nghiệm [ ] 0; x π ∈
Với mỗi
)
1; 2 t
∈
¸
cho ta 2 nghiệm [ ] 0; x π ∈
Do đó để phương trình
3 3
sin cos x x m − · có 3 nghiệm phân biệt [ ] 0; x π ∈ thì ( ) 2 f t m ·
phải có 2 nghiệm
1 2
, t t sao cho
1 2
1< <1< < 2 t t − 2<2m<2 ⇔
2
<m<1
2
⇔
t
1 − 1 2
( ) f t
0 + 0 -
( )
'
f t
2
-2 2
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
25
Nhận xét: Vẫn với kiến thức về tam thức bậc hai bài toán sử dụng để giải một phương trình
bậc hai có điều kiện. Ở đây ta cần chú ý đến một số công thức sau thường được dùng để đưa
về phương trình đối xứng:
( ) ( )
( ) ( )
3
3 3
3
3 3
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
sin cos sin cos 3sin cos sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ · + − +
− · − + −
4 4
sin cos x x + ·
2 2 2 2 2
(sin cos ) 2sin cos x x x x + −
Bài toán 2: (Đại Học Huế 2001)
Cho phương trình:
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x m x + · −
a) Giải phương trình với m=1
b) Chứng mình rằng 1 m ∀ ≥ phương trình luôn có nghiệm
Giải.
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x m x + · −
2
1 1
1 sin sin 2
2 2
x m x ⇔ − · −
( )
2
sin 2 2 sin 2 3 0 1 x m x ⇔ + − ·
a) Với m=1 thì
( )
2
1 sin 2 2sin 2 3 0 x x ⇔ + − ·
( )( ) sin 2 1 3 sin 2 0 x x ⇔ − + ·
sin 2 1 x ⇔ ·
( )
4
x k k
π
π ⇔ · + ∈Z
b) Đặt [ ] sin 2 1,1 t x · ∈ −
( ) ( )
2
1 2 3 0 f t t mt ⇒ ⇔ · + − ·
Dễ dàng thấy ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2 2 2 f f m m − · − + −
( )
2
4 1 0 m · − − ≤ 1 m ∀ ≥
Do đó ( ) 0 f t · luôn có 1 nghiệm [ ] 1,1 t ∈ − .
Bài toán 3: (Vô địch New York 1973)
Giải phương trình:
8 8
97
sin cos
128
x x + ·
Giải.
8 8
97
sin cos
128
x x + ·
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
26
4 4
1 cos 2 1 cos 2 97
2 2 128
x x − + ¸ _ ¸ _
⇔ + ·
¸ , ¸ ,
( ) ( )
4 4 97
cos 2 1 cos 2 1
8
x x ⇔ + + − ·
Đặt cos 2 t x · . Khi đó phương trình tương đương:
( ) ( )
4 4 97
1 1
8
t t ⇔ + + − ·
( ) ( )
4 3 2 4 3 2
97
4 6 4 1 4 6 4 1
8
t t t t t t t t ⇔ + + + + + − + − + ·
4 2
81
2 12 0
8
t t ⇔ + − ·
2 2
3
cos 2
4
t x ⇔ · ·
1 cos 4 3
2 4
x +
⇔ ·
1
cos 4
2 12 2
k
x x
π π
⇔ · ⇔ · t + ( ) ∈ k Z
Bài toán 4: (Bài 13 III.1- Bộ đề thi Tuyển Sinh)
Tìm m để:
( )
2
2
3
3 cot 1 0
sin
tg x m tx gx
x
+ + + − ·
Giải
Phương trình ( ) ( )
2
3 cot cot 4 0 tgx gx m tgx gx ⇔ + + + − ·
Đặt
2
cot cot 2
sin 2
t tgx gx t tgx gx
x
· + ⇒ · + · ≥
Khi đó:
2
3 4 0 t mt + − · với 2 t ≥ ( )
2
3 4 t
f t m
t
− +
⇔ · ·
Ta có
( ) ( ) ( ) )
'
2
4
3 <0 ' / ; 2 2; f t f t
t
· − − ⇒ ↓ −∞ − ∪ +∞
¸
Bảng biến thiên:
t - ∞ -2 0 2 + ∞
( ) f t
- -
( )
'
f t
+∞ + ∞
4 -4
- ∞ - ∞
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm ( ) f t m ⇔ · có nghiệm 4 m ⇔ ≥
Nhận xét: Phương trình trong bài toán này cũng được xem như là môt phương trình đối xứng
nhưng là đối xứng của tg và cotg. Sau đây là một bài toán về phương trình đối xứng của cả
sin, cos, tg, cotg:
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
27
( ) ( ) 2 sin 3 cot cos 5 0 tgx x gx x − + − + ·
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ MÔT VẾ LÀ TỔNG HỮU HẠN:
A. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
Dạng phương trình này có cơ sở là một số tổng hữu hạn ở dạng phức tạp được đưa về
dạng giản đơn.
Cần chú ý là ở đây chỉ nêu các trường hợp con, sử dụng các công thức đơn giản hơn để thu
gọn các tổng tích phức tạp rồi áp dụng chúng vào việc giải phương trình lương giác chứ
không đưa ra các phương pháp tổng quát. Bởi vì phần này sẽ được đề cập đến một cách rõ
ràng và đầy đủ ở chương sau: “ Lượng giác ứng dụng vào giải toán Giải tích”.
a) Một số công thức chính được dùng nhiều ở phương pháp này:
1. cot g 2cot g 2x x tgx − ·
2.
2
cot g
sin 2
x tgx
x
+ ·
3.
1
cot g cot g 2x
sin 2
x
x
− · −
b) Một số tổng hữu hạn và cách chứng minh nó:
1.
( )
1
1
sin sin
2 2
sin sin 2 ... sin
sin
2
n a na
S a a na
a
+
· + + + ·
Nhìn vào kết quả ta cũng có thể đoán được là ta cần nhân 2 vế với sin
2
a
2.
2
1
sin sin
2 2
cos cos 2 ... cos
2sin
2
n na
a
S a a na
a
+
−
· + + + ·
Cũng tương tự như
1
S ta nhân 2 vế với sin
2
a
.
3.
3 2
1 1 1 1
... cot cot 2
sin sin 2 sin 2 sin 2 2
n
n
a
S g g a
a a a a
· + + + + · −
Cách 1: áp dụng
1
cot g cot g 2x
sin 2
x
x
− · −
Cách 2: ta có đẳng thức cần chúng minh tương đương với:
cos
1 1 1 cos 2
2
...
sin sin 2 sin 2 sin 2
sin
2
n
n n
a
a
a
a a a a
−
+ + + + ·
Xét vế trái có:
2
2cos 1
cos
1 cos 2
2
sin
sin 2sin cos 2sin cos
2 2 2 2 2
a
a
a
a a a a a
a
¸ _
− −
−
¸ ,
+ · · −
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
28
Hoàn tòan tương tự ta được:
VT
cos 2
sin 2
n
n
a
a
·
4.
( )
( )
4
1 1 1 1
...
cos cos 2 cos 2 cos3 cos 1 cos sin
S tgna tga
a a a a n a na a
· + + + · −
−
Nhân 2 vế vơi sin a
5.
( )
5 2
sin 1
cos cos 2 cos
1 ...
cos cos cos sin .cos
n n
n a
a a na
S
a a a a a
+
· + + + + ·
Ta có:
( ) ( ) sin 1 sin 1
cos sin .cos
cos sin .cos 2sin .cos
k k k
k a k a
ka a ka
a a a a a
+ − −
· ·
( )
1
sin 1
sin
sin .cos sin .cos
k k
k a
ka
a a a a
−
+
· −
( ) sin 1
sin .cos
n
n a
S
a a
+
⇒ ·
6. ( )
6
2 2 3 ... 1
tgna
S tgatg a tg atg a tg n atgna n
tga
· + + + − · −
Áp dụng: ( )
( ) 1
1 1
tg n a tgna
tg n atgna
tga tga
−
− − · − −
tgna
S n
tga
⇒ · −
7.
7 2 2
1 1 1 1
... cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
a a a a
S tg tg tg g ga · + + + · −
Áp dụng: cot g 2cot g 2x x tgx − ·
8.
8 2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
...
sin
cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
n n
n n
S
a a a a
a
a
· + + + · −
Áp dụng:
2 2 2
1 1 1
4sin 4cos sin 2 x x x
+ ·
c) Một số tích và cách chứng minh:
1. ( )( ) ( )
1
1
2cos 2 1
2cos 1 2cos 2 1 ... 2cos 2 1
2cos 1
n
n
T a a a
a
−
+
· − − − ·
+
Nhân 2 vế với ( ) 2cos 1 a +
2.
1
2 1
1 1 1 2
1 1 ... 1
cos cos 2 cos 2
2
n
n
tg a
T
a
a a a
tg
−
−
¸ _¸ _ ¸ _
· + + + ·
¸ ,¸ , ¸ ,
Cách 1: nhân 2 vế với
2
a
tg
Cách 2: ta xét vế trái:
VT
2
2 2 2 1
2 1
2cos
2cos 2cos 2 2cos 2
2
. . ...
cos cos 2 cos 2 cos 2
n
n
a
a a a
a a a a
−
−
·
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
29
2 2
1
2 cos cos cos 2 ...cos 2
2
sin sin .
2 2 cos 2
n n
n
a
a a a
a a
VT
−
−
⇒ ·
1
1
cos sin 2
2
sin cos 2
2
n
n
a
a
VT
a
a
−
−
⇒ · ·VP
3.
3
2 1
cos cos ...cos
2 1 2 1 2 1
2 sin
2 1
n
n
T
n n n
n
π π π
π
· ·
+ + +
+
Nhân 2 vế với sin
2 1 n
π
+
Chú ý: Ở các công thức này ta có một mẹo nhỏ. Đó là chỉ cần nhìn kết quả của vế phải là ta
đã có thể biết được cách chứng minh. Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta chỉ có vế trái thì ta
phải làm sao? Ta cần sử dụng đến các công thức ở mục a). do đó ta cần ghi nhớ các công thức
ở mục a.
Bài toán 1: Giải phương trình: (đề kiểm tra chuyên tháng 10 lớp 11A1)
1
1 1
sin 2 sin
n
i
i
x x
·
·
∑
Giải
Điều kiện để phương trình có nghiệm: sin 2 0; 1,
i
x i n ≠ ·
Áp dụng
3
S ta được nghiệm của phương trình là:
( )
1
2
; 2 ,
1 2
n
k
x x l k l
π
π
+
· · ∈
−
Z
Nhận xét: Ta nhận thấy nhờ có đẳng thức
3
S mà việc giải bài toán này trở nên dễ dàng hơn.
Mặt khác cần chú ý rằng đối với các bài toán có điều kiện phức tạp như vậy ta chỉ cần đặt
điều kiện tổng quát. Sau đó khi đã có được nghiệm rồi ta thế vào điều kiện tổng quát ban đầu
để loại đi các nghiệm ngoại lai.
Bài toán 2: Tìm n để đẳng thức sau đúng:
( )
1
cos 40 cos 20
n
i
i
·
·
∑
o o
(1)
Giải
Áp dụng
2
S ta được:
(1) ⇔
1 40
sin 40 sin
2 2
cos 20
40
2sin
2
n n +
−
·
o
o
o
o
( )
sin 40 4sin10 cos10 cos 20
cos 20 10 2cos10 cos 20
2sin10 2sin10
n ⇔ + · · ·
o o o o
o o o o
o o
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
30
Do 0 <10 ; 20 <90
o o o o
nên cos10 cos 20 >0
o o
suy ra
0<20 n+10 <90
n N
¹
'
∈
¹
o o
Ta nhận thấy n không thể náo là 1 được. Như vậy còn lại 2 giá trị, thử trực tiếp ta được n=2.
Chúng ta sẽ đề cập thêm vấn đề này ở chương 3, phần 3.
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
31
IV. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ:
2
0
f
f
g
g
g
≥ ¹
· ⇔
'
·
¹
Khi giải các PHTL mà ẩn số nằm dưới dấu căn, các điều kiện ràng buộc thường ở dưới dạng
các bất phương trình lương giác. Dĩ nhiên ta có thể xem như là một hệ thống gồm các PTLG
và bất PTLG. Nhưng rõ ràng đây là một dạng khó, phức tạp dễ mắc phải sai lầm mà ta có thể
thấy ở các bài toán dưới đây:
Bài toán 1: (64II-Bộ đề thi Tuyển sinh)
Giải phương trình:
cos 2 1 sin 2 2 sin cos x x x x + + · + (1)
Giải
(1) ( )
2
2 2
cos sin cos sin 2 cos sin x x x x x x ⇔ − + + · +
Xét cos sin 0 x x + · là nghiệm 1
4
tgx x k
π
π ⇔ · − ⇔ · − + ( k ∈Z )
Xét
( ) ( )
( )
cos sin >0 cos sin >0
2
cos sin 0 cos sin 0
x x x x
x x x x
+ + ¹ ¹
¹ ¹
⇔
' '
+ ≥ − ≥
¹ ¹
¹ ¹
Với điều kiện (2) thì ( ) 1 cos sin cos sin 2 x x x x ⇔ − + + ·
2 2
2cos 2 cos sin 4 x x x ⇔ + − ·
2 2
cos sin 2 cos x x x ⇔ − · −
( )
2
2 2
cos sin 2 cos x x x ⇔ − · −
2
cos 4cos 5 0 x x ⇔ + − ·
[ ] ( ) cos 1 1,1 2 , x x k k π ⇔ · ∈ − ⇔ · ∈Z
Thử lại với điều kiện (2): Do cos 1 sin 0 x x · ⇒ · thoả (2).
Kết luận:
4
x k
π
π
−
· + ; 2 x k π · với k ∈Z .
Nhận xét:
Hãy thử quan sát xem tại sao ta phải xét 2 trường hợp riêng là: cos sin 0 x x + · và
cos sin >0 x x + mà không gộp điều kiện lại là: cos sin 0 x x + ≥ .
Nếu ta đặt: cos sin a x x · + và cos sin b x x · − thì điề kiện của bài toán khi ta chỉ xét 1 trường
hợp là:
0 0
0 0
a a
ab b
≥ ≥ ¹ ¹
⇔
' '
≥ ≥
¹ ¹
Phép biến đổi này hoàn toàn sai vì nếu 0 a · thì <0 b ∀ ta vẫn có hệ
0
0
a
ab
≥ ¹
'
≥
¹
được thoả mãn.
Do đó ta cần phải thật cẩn thận trong phương trình dạng này.
Bài toán 2: Giải phương trình:
2 2 4 4
10 8sin 8sin 1 1 x + − − ·
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
32
Giải
Đặt
( )
2 4
4
4
4 4
2 4
1 10 8sin
1 17
17
8sin 1
u v u x
u u
u v
v x
¹
− · · + ¹
¹
⇒ ⇒ + − ·
' '
+ ·
¹ · − ¹
¹
Đặt
1
2
t u · − , ta có
4 4
4 2
1 1 1
17 2 3 17
2 4 8
t t t t
¸ _ ¸ _
+ + − · ⇔ + − ·
¸ , ¸ ,
2
3
2>0
9
2
3 1<0 4
2
t
u
t
u
t
·
·
⇔ · ⇔ ⇔
− · −
¸
·
¸
2 u ⇒ ·
4 2 2
3 1 cos 2 3
16 10 8sin 16 sin
4 2 2
x
u x x
−
⇒ · ⇔ + · ⇔ · ⇔ ·
( )
1
cos 2
2 3
x x k k
π
π
−
⇔ · ⇔ · t + ∈Z
Bài toán 3: (66II.2-Bộ đề thi tuyển sinh)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
1 2cos 1 2sin x x m + + + ·
Giải
Hàm số y= 1 2cos 1 2sin x x m + + + · là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta chỉ
cần tìm m để phương trình có nghiệm [ ] , x π π ∈ − .
Từ đó
[ ] ,
1
cos
2
1
sin
2
x
x
x
π π
¹
∈ − ¹
¹
¹
≥ −
'
¹
¹
≥ −
¹
¹
2
6 3
x
π π −
⇒ ≤ ≤ .
Xét biểu thức
( )
2
2
1 2cos 1 2sin f y x x · · + + +
( ) ( ) 2 2 sin cos 2 1 2 sin cos 4sin cos f x x x x x x ⇔ · + + + + + +
Đặt
3 1 2
sin cos , 2 ,
2 6 3
t x x x
π π
1
− − 1
· + ∈ ∀ ∈
1
1
¸ ]
¸ ]
Khi đó
2
2 2 2 2 2 1 f t t t · + + + −
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
33
( )
2
2 2 1
' 2 >0
2 2 1
t
f
t t
+
⇒ · +
+ −
( )
3 1
/ , 2
2
f t
1
−
⇒ ↑
1
¸ ]
Min ⇒
3 1
1 3
2
f f
¸ _
−
· · +
¸ ,
Max
( ) ( )
2 4 1 2 f f · · +
Phương trình có nghiệm Min Maxy 1+ 3 2 1 2 y m m ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ +
Nhận xét: Phương pháp này có thể gọi là phương pháp miền giá trị. Bởi vì thật ra tập giá trị
của m chính là miền giá tri của hàm f .
Đây là hàm đồng biến trong trong tập xác định của nó nên Max và Min của hàm số cũng
chính là giá trị 2 đầu của miền giá trị.
V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VỚI CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH:
Trong lương giác ta cũng thường gặp các yếu tố giải tích như: sửdụng đạo hàm, hàm
liên tục, hàm mũ, hàm logarit để giải.
A. MỘT SỐ KIỀN THỨC BỔ SUNG:
1. Tính đơn điệu:
Cho hàm f đơn điệu ( ) / , a b ta có các tính chất sau:
- ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, , : x x a b f x f x x x ∀ ∈ · ⇒ ·
- Giả sử có ( ) ( )
0 0
, : 0 x a b f x ∈ · thì
0
x là nghiệm duy nhất.
- Nếu có
( )
( )
y f x
y g x
¹ ·
¹
'
·
¹
¹
Z
]
Và ( )
0
, x a b ∃ ∈ sao cho ( ) ( )
0 0
f x g x ·
0
!x ⇒ ∃
-Nếu tập giá trị của hàm cũng ( ) / , a b thì hàm ( ) ( )
f f x cũng là hàm tăng.
2. Tính liên tục:
Cho hàm f liên tục trên [ ] , a b có ( ) ( ) <0 f a f b thì tồn tại ít nhất
0
x ( ) , a b ∈ sao cho
( )
0
0 f x · .Thêm vào đó nếu f là hàm đơng điệu thì
0
x là duy nhất.
3. Định lý Lagrange:
Nếu hàm số ( ) f x liên tục trên đoạn [ ] , a b và có đạo hàm trên khoảng ( ) , a b thì tồn
tại ( ) , c a b ∈ sao cho:
( ) ( )
( )
'
f b f a
f c
b a
−
·
−
Hệ quả:Định lý Rolle
Nếu f có 2 nghiệm , x a x b · · và có đạo hàm trên [ ] , a b thì giữa 2 nghiệm của
( ) f x có một nghiệm của đạo hàm ( )
'
f x :
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
34
c ∃ ∈ ( ) , a b : ( )
'
0 f c ·
B. VÍ DỤ:
Bài toán 1: Giải phương trình:
( )
2
log cos 1 2cos x x + ·
Giải
Đặt cos ; 1< 1 t x t · − ≤
Phương trình trở thành:
( )
2
log 1 2 4 1 4 1 0
t t
t t t t + · ⇔ · + ⇔ − − ·
Xét hàm số ( ) 4 1; 1< 1
t
f t t t · − − − ≤
( )
'
4 ln 4 1
t
f t · −
( )
'' 2
4 ln 4>0
t
f t ·
Ta có phương trình ( ) 0 f t · không có quá 2 nghiệm phân biệt. Thật vậy nếu có it nhất 3
nghiệm phân biệt thì theo định lí Rolle phương trình ( )
'
0 f t · có ít nhầt 2 nghiệm phân biệt
và phương trình ( )
''
0 f t · có nghiệm (vô lý).
Ta có: ( )
1
0 0
2
f f
¸ _
· − ·
¸ ,
Do đó phương trình ( ) 0 f t · có đúng 2 nghiệm:
( )
0
0
1
2
t
f t
t
·
· ⇔
· −
¸
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
( )
2
2
2
3
x k
k
x k
π
π
π
π
· +
∈
· t +
¸
Z
Bài toán 2: Giải phương trình:
( )
1 3sin
2
2 1 3sin log 1 9sin
x
x x
−
+ + · −
Giải
Đặt
1 3sin 1
3sin 1 2 , < 2
2 3
x
t x t t
−
· ⇒ · − ≤
Phương trình trở thành: ( ) ( )
2
2 2 1 log 3 1 1
t
t t − + · −
Đặt ( )
2
log 3 1 2 3 1
u
u t t · − ⇒ · − . Ta có hệ
2 2 1 2 2
2 3 1 0 2 3 1 0
t t u
u u
t u t u
t t
¹ ¹ − + · + · +
¹ ¹
⇔
' '
− + · − + ·
¹ ¹
¹ ¹
Hàm số ( ) 2
x
f x x · + tăng trong R nên hệ phương trình
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
35
( ) 2
2 3 1 0
u
t u
t
· ¹
⇔
'
− + ·
¹
Hàm số ( ) 2 3 1
t
g t t · − + giảm trong
]
1
; 2
3
¸
¸
và ( ) 1 0 g · .
Vậy (2) có nghiệm duy nhất 1 u t · · .
Suy ra
2
1
sin
2 3
x k
x
x k
α π
π α π
· +
· − ⇔
· − +
¸
Với
1
sin , < <0
3 2
π
α α
− −
· và k ∈Z .
Bài toán 3:
Chứng minh phương trình lg sin x x · có đúng một nghiệm trên
3 5
;
2 2
π π 1
1
¸ ]
Giải
Nhận xét: với
3
; 2
2
x
π
π
1
∈
1
¸ ]
thì sin 0 x ≤ và lg 0 x ≥
Suy ra phương trình vô nghiệm trên
3
; 2
2
π
π
1
1
¸ ]
Do đó ta chỉ xét phương trình trên
5
2 ;
2
π
π
1
1
¸ ]
Xét hàm số ( )
5
lg sin , 2 ;
2
f x x x x
π
π
1
· − ∈
1
¸ ]
( )
'
lg
cos
e
f x x
x
⇒ · − ;
( )
''
2
lg
sin
e
f x x
x
−
· + ;
( )
'''
3
2lg
cos
e
f x x
x
· +
5
2 ;
2
x
π
π
1
∀ ∈
1
¸ ]
thì
3
2lg
cos 0; >0
e
x
x
≥ ( )
'''
3
2lg
cos >0
e
f x x
x
⇒ · +
''
f ⇒ Z trên
5
2 ;
2
π
π
1
1
¸ ]
Mà
( )
( )
'' ''
''
5
2 <0; >0
2
5
! 2 ; : 0
2
f f
c f c
π
π
π
π
¸ _
¸ ,
1
⇒ ∃ ∈ ·
1
¸ ]
Tức là với [ ] 2 ; x c π ∈ thì
''
0 f ≤ và
5
,
2
x c
π ¸ 1
∈
1
] ¸
thì
''
0 f ≥
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
36
⇒trên [ ] 2 ; c π thì
'
f nghịch biến; và trên
5
,
2
c
π ¸ 1
1
] ¸
thì
'
f đồng biến
Mà ( ) ( ) ( )
lg
' 2 1<0 ' <0 2 ,
2
e
f f x x c π π
π
· − ⇒ ∀ ∈ và ( )
lg
' 1<0
2
e
f c
π
≤ −
Trên
5
c,
2
π ¸ 1
1
] ¸
có ( ) ' <0 f c và
5 2lg
' >0
2 5
e
f
π
π
¸ _
·
¸ ,
( )
5
d c, : ' 0
2
f d
π ¸ _
⇒ ∃ ∈ ·
¸ ,
Mặt khác
'
f tăng trên ( )
5
c, ' <0
2
f x
π ¸ _
⇒
¸ ,
với ( ) , x c d ∈ và ( ) ' >0 f x với
5
,
2
x d
π ¸ _
∈
¸ ,
⇒ ( ) ' <0 f x với ( ) x 2 ,d π ∈ và ( ) ' >0 f x với
5
x d,
2
π ¸ _
∈
¸ ,
.
Bảng biến thiên:
x
2π d
5
2
π
( ) ' f x
- 0 +
( ) f x
lg 2 >0 π
5
lg 1<0
2
π
−
( ) <0 f d
Vì ( ) ( ) ( ) ( )
5
2 >0, <0 <0 2 . <0
2
f f f d f f d
π
π π
¸ _
⇒ ⇒
¸ ,
( ) ( )
0 0
2 , : 0 x d f x π ⇒ ∃ ∈ ·
⇒phương trình ( ) 0 f x · có nghiệm duy nhất trên
3 5
;
2 2
π π 1
1
¸ ]
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI PTLG THƯỜNG GẶP:
Cần chú ý đây chỉ là một số phương pháp tổng quát cho phương trình chính tắc. Đối với
phương trình không mẫu mữc ta sẽ có một số phương pháp ở bài 3: Phương trình lượng giác
không mẫu mực.
1. Phương pháp 1:Rất nhiều PTLG ta gặp không ở dạng chính tắc ta phải sử dụng các
công thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa về dạng phương trình tích:
f(x).g(x).h(x)=0
f(x)=0
g(x)=0
h(x)=0
⇔
¸
(với f(x),g(x),h(x) là các hàm số lượng giác cơ bản)
Bài toán 1:
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
37
Tìm mọi nghiệm của phương trình:
( )
sin . 2 3 sin 3 2 3 3 x tg x x tg x + − ·
Thoả mãn bất phương trình
1
2
2 log 0 x + ≤
Giải.
Điều kiện: cos 2 0
4
x x k
π
π ≠ ⇔ ≠ + , k ∈Z
Ta có:
( )
sin . 2 3 sin 3 2 3 3 x tg x x tg x + − ·
( ) ( )
sin 2 3 3 3 3 2 3 2 3 x tg x tg x tg x ⇔ + · + · +
( )
( ) 2 3 sin 3 0 tg x x ⇔ + − ·
( ) 2 3 sin 3<0 tg x do x ⇔ · − −
6 2
k
x
π π −
⇔ · + k ∈Z
Mặt khác
1 2 2
2
2 log 0 2 log 0 log 2 4 x x x + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Ta tìm k ∈Z sao cho 4
6 2
k π π −
+ ≥
3
k
k
∈ ¹
⇒
'
≥
¹
Z
Kết luận:
6 2
k
x
π π −
· + với
3
k
k
∈ ¹
'
≥
¹
Z
.
Nhận xét: Bài toán này đã một lần nữa thể hiện vai trò của ‘k’ trong việc giải các PTLG có
thêm điều kiện.
Bài toán 2: Giải phương trình:
3 3
3
cos .sin3 sin .cos3
8
x x x x + ·
Giải
3 3
3
cos .sin3 sin .cos3
8
x x x x + ·
( ) ( )
3 3 3 3
3
cos 3sin 4sin sin 4cos 3cos
8
x x x x x x ⇔ − + − ·
3 3
sin 4
4 8
1
sin 4 sin
2 6
x
x
π
⇔ ·
⇔ · ·
24 2
5
24 2
k
x
k
k
x
π π
π π
· +
⇔ ∈
· +
¸
Z
Bài toán 3: (149 II- Bộ đề thi Tuyển sinh)
Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
sin 1 sin sin 1 x y xy x y + · + − 1 1
¸ ] ¸ ]
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
38
Tỉm nghiệm ( ) , x y để ( ) ( ) 1 , , 1 x y xy x y + − là số đo các góc của tam giác.
Giải
Từ điều kiện ( ) ( ) 1 , , 1 x y xy x y + − là số đo các góc của tam giác
( ) ( )
( ) ( )
1 1
0< 1 , , 1 <
x y xy x y
x y xy x y
π
π
+ + + − · ¹
¹
⇒
'
+ −
¹
¹
3
3
0< +y, -y<
<y<
3 3
3 3
xy xy
π
π
π π
π π π
¹
· · ¹
¹
¹ ¹
⇔ ⇔
' '
−
¹ ¹
¹
¹
¹
Thế
3
xy
π
· vào phương trình đã cho ta có:
2 2 2
sin sin sin
3 3 3
y y
π π π ¸ _ ¸ _
+ · + −
¸ , ¸ ,
2
1 cos 2 1 cos 2
3 3
sin
2 2 3
y y
π π
π
¸ _ ¸ _
− + − −
¸ , ¸ ,
⇔ − ·
2
1 3
cos 2 cos 2
2 3 3 2
y y
π π
¸ _
1 ¸ _ ¸ _
⇔ − − + ·
1
¸ , ¸ , ¸ ]
¸ ,
2 3
sin sin 2
3 4
y
π
⇔ ·
3
sin 2
2
y ⇔ ·
Mà
2 2
<y< <2y< 2
3 3 3 3 3 6
y y
π π π π π π −
− ⇒ ⇒ · ⇒ ·
Mặt khác
3
xy
π
· nên 2 x · .
Kết luận: ( ) , 2,
6
x y
π ¸ _
·
¸ ,
Nhận xét: Bài toán khá hay khi đặt vào trong tam giác mặc dù thật sự bản chất của nó chỉ là
giải phương trình lương giác có điều kiện.
Bài toán 4: (Đại học xây dựng 2001)
Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
3
0,
4
x
π 1
∈
1
¸ ]
:
sin 2 sin 2 cos x m x m x + · +
Giải
sin 2 sin 2 cos x m x m x + · +
2sin cos sin 2 cos 0 x x m x m x ⇔ + − − · ( )( ) 2cos 1 sin 0 x x m ⇔ − − ·
1
cos
2
sin
x
x m
·
⇔
·
¸
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
39
Do phương trình
1
cos
2
x · có đúng 1 nghiệm
3
0,
3 4
x
π π 1
· ∈
1
¸ ]
nên phương trình đã
cho có đúng 2 nghiệm
3
0,
4
x
π 1
∈
1
¸ ]
sin x m ⇔ · hoặc có đúng 1 nghiệm duy nhất
0
3
x
π
≠ với
0
3
0,
4
x
π 1
∈
1
¸ ]
hoặc có 2
nghiệm phân biệt
1 2
3
, 0,
4
x x
π 1
∈
1
¸ ]
trong đó có nghiệm
2
3
x
π
·
( )
1 3
0, 1
2
2
m m m
¸ _ _
⇔ ∈ · ·
, ¸ ¸ ,
U U
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Dạng PTLG sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ta thường gặp trong các bài toán có
tham số, các phương trình đối xứng hay các phương trình có thể đưa về dạng phương trình
bậc hai, bậc ba,…
Khi phép phân tích thành tích không thực hiện được, ta cố gắng biểu diễn tất cả các số
hạng bằng một hàm số lượng giác duy nhất, và đó sẽ là ẩn của phương trình rồi đưa về
phương trình lượng giác cơ bản để giải. Có thể chọn ẩn bằng các quy tắc sau:
- Nếu phương trình không thay đổi khi ta thế:
a) x bởi x − , chọn ẩn là cos x
b) x bởi x π − , chọn ẩn là sin x
c) x bởi x π + , chọn ẩn là tgx
- Nếu cả 3 cách đều thực hiện được, chọn ẩn là cos 2x
- Nếu cả 3 cách đều không thực hiện được, chọn ẩn là
2
x
tg
Bài toán 1: Giải phương trình:
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + ·
+ +
Giải
Đặt 3cos 4sin 1 u x x · + + phương trình đã cho trở thành:
1
6
1 6
6
u
u
u u
·
− + · ⇔
·
¸
( )
( )
3cos 4sin 1 1 1
3cos 4sin 1 6 2
x x
x x
+ + ·
⇔
+ + ·
¸
Giải ( )
3 3
1
4 4
tgx x arctg kπ
−
⇔ · ⇔ · − + , k ∈Z
Giải ( ) 2 3cos 4sin 5 x x ⇔ + ·
Gọi 0,
2
π
α
¸ _
∈
¸ ,
với
4
3
tgα · ta có:
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
40
( )
5
cos cos 1
3
x α α − · · , vì
3
cos
5
α ·
2 , x l l α π ⇒ · + ∈Z
Vậy phương trình có các họ nghiệm:
3
4
x arctg kπ · − + ; 2 x l α π · + với , k l ∈Z
Nhận xét: thật ra ở phương trình (2) ta có thể giải cách khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Đó là
cách dùng bất đẳng thức B.C.S
Bài toán 2: Giải phương trình: ( ) sin cos 4sin 2 1 1 x x x − + ·
Giải
Đặt
2
2
sin cos 0 sin cos 1 sin 2 t x x t x x x · − ≥ ⇒ · − · −
2
sin 1 x t ⇒ · −
Khi đó ( )
2
1 4 3 0 t t ⇔ − − · 1>0 sin 2 0
2
k
t x x
π
⇒ · ⇔ · ⇔ · ∈Z - - k
Nhận xét:qua bài toán này ta thấy có vẻ như việc đặt ẩn phụ hay không không quan trọng
lắm. Chẳng qua việc đặt ẩn phụ làm cho bài toán trở nên gọn hơn mà thôi. Thế nhưng ở 2 bài
toán sau thì khác.
Bài toán 3: Giải phương trình:
6 6 4 4
sin cos sin cos x x x x + · +
Giải
Nhận xét: nếy thay x bởi x − , x π − , x π + thì phương trình không thay đổi. Do đó ta đặt ẩn:
[ ] cos 2 , 1,1 t x t · ∈ − . Phương trình trở thành:
3 3 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
t t t t − + − + ¸ _ ¸ _ ¸ _ ¸ _
+ · +
¸ , ¸ , ¸ , ¸ ,
2
1 t ⇔ · 1 t ⇔ · t cos 2 1 x ⇔ · t
( )
2
x k
k
x k
π
π
π
·
⇔ ∈
· +
¸
Z ( )
2
k
x k
π
⇔ · ∈Z
Bài toán 4: Giải phương trình: sin 2
2
x
x tg + ·
Giải
Nhận xét: Nếu thay x bởi x − , x π − , x π + thì phương trình không thay đổi.
Điều kiện: 2
2 2
x
k x k
π
π π π ≠ + ⇔ ≠ +
Đặt
2
x
t tg · . Phương trình trở thành:
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
41
2 2
1
2
2
1 2 0
t
t
t
t t t
·
+ · ⇔
+ − + ·
¸
( ) 1 1 2
2 2 4 2
x x
t tg k x k k
π π
π π ⇔ · ⇔ · ⇔ · + ⇔ · + ∈Z
3. Phương pháp 3: Đổi vai trò của ẩn số và tham số: Phương pháp tham số biến thiên
Trong một số bài toán đôi khi việc đổi vai trò của ẩn số và tham số cho nhautrở thành
một phương pháp giải khá thú vị: Bằng cách đổi vai trò của ẩn số và tham số khi bậc của tham
số là bậc II còn bậc của ẩn thì cao hơn ta có thể đưa một phương trình bậc cao về dạng một
phương trình bậc hai theo tham số. Từ điều kiện tồn tại nghiệm củ phương trình 0 ∆ ≥ suy ra
các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm. Tuy nhiên có một số trường hợp mà biến
quá phức tạp ta cũng có thể đặt tham số làm ẩn để dễ giải hơn.
Ta xét môt số bài toán sau:
Bài toán 1:Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
( ) ( )
2
3
2 1 cos 2 1 sin 2 0
2
m x m x m + + − − − ·
Giải
( ) ( )
2
3
2 1 cos 2 1 sin 2 0
2
m x m x m + + − − − ·
( ) ( )
2
3
2 2 cos sin sin cos 0
2
m x x m x x ⇔ − + + + − ·
( ) ( ) ( )
2
4 4 cos sin 3 2 sin cos 0 f m m x x m x x ⇔ · − + + + − ·
( ) ( ) ( )
2
'
4 cos sin 12 8 sin cos 4 8sin cos 12 8 sin cos
m
x x x x x x x x ∆ · + − − − · + − − −
( )( ) 8 sin 1 cos 1 0 x x · + − ≤
( )
( )
( )
( )
2
2
'
2
2
1
1
2
2 2
sin 1 2
2
0
cos 1 1
1
2 2
2
2
2
m
f m m
f m m m
x
x
f m m m
f m m
¸ _
· +
· + +
· − ¸ ,
∆ · ⇔ ⇔ ⇔
·
¸ ¸ _
· − +
· −
¸
¸ , ¸
Với
1
2
m · − thì ( ) 0 2
2
f m x k
π
π · ⇔ · − + , k ∈Z
Với
1
2
m · thì ( ) 0 2 f m x k π · ⇔ · , k ∈Z
Với
1
2
m ≠ t thì ( ) 0 f m · vô nghiệm.
Bài toán 2: Định m để phương trình sau có nghiệm:
( )
2
2 1 (sin cos ) (sin cos ) 2 2 2 0 m x x x x m m + − − + + + + ·
Giải
( )
2
2 1 (sin cos ) (sin cos ) 2 2 2 0 m x x x x m m + − − + + + + ·
( )
2
sin cos 1 1 0 m m x x ⇔ + − + + ·
( ) ( )
2
sin cos 1 4 2 sin cos 2sin cos 2
m
x x x x x x ∆ · − + − · − − −
Đặt sin cos , 2 t x x t · − ≤
Khi đó ( )
2
1 0
m
t ∆ · − − ≤
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
42
Mà một phương trình có nghiệm 0 0 1 sin cos 1
m m
t x x ⇔ ∆ ≥ ⇔ ∆ · ⇔ · ⇔ − ·
Thế vào ta được: 0 m · , 1 m ·
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC
Trong giải toán ta thường gặp một số phương trình mà cách giải tuỳ đặc thù của từng phương
trình, có thể gọi đó là những phương trình không mẫu mực. Một số PTLG thể hiện tính không
mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình mà thoạt trông thấy rất
bình thường nhưng cách giải lại không mâu mực (hay cách giải không mẫu mực thường hay
hơn, gọn hơn cách giải mẫu mực)
Trong dạng phương trình này phương pháp đánh giá bất đẳng thức rất thường gặp. Nó gồm
một số dạng nhỏ sau:
I. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG:
2 2
A=0
A +B 0
B=0
¹
· ⇔
'
¹
Hệ quả: ( )
( )
( )
( )
1
n
2
i=1
f 0
f 0
f 0
....
f 0
i
n
x
x
x
x
· ¹
¹
·
¹
· ⇔
'
¹
¹
·
¹
∑
Với ( ) f 0, 1,
i
x i n ≥ ·
Bài toán 1:
Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 sin 1 0 1 x x xy + + ·
Giải
( ) ( )
2
2 sin 1 0 1 x x xy + + · ( )
2
2
sin cos 0 x xy x ⇔ + + · 1
¸ ]
( )
( )
1 0
sin 1
1 0
sin 1
x
xy
x
xy
+ · ¹
¹
'
·
¹
¹
⇔
− · ¹
¹
'
· −
¹
¹ ¸
1
2
2
1
2
x
y k
x
y l
π
π
π
· − ¹
¹
'
· − +
¹
¹
⇔
· ¹
¹
'
· − + ∈
¹
¹ ¸
Với ( ) , k l ∈Z
Nhận xét: đối với bài toán này ta dễ nhìn thấy dạng của nó cho nên nó trở nên dễ dàng. Do
đó một kinh nghiệm trong giải toán loại này có lẽ là cẩn thận nhận dạng nó. Thực hiện được
bước này bài toán xem như được giải khoảng 7 phần.
Bài toán 2: Giải phương trình:
4cos 2cos 2 cos 4 7 x x x + + · −
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
43
Giải
4cos 2cos 2 cos 4 7 x x x + + · −
( ) ( ) ( ) 4 cos 1 2 cos 2 2 cos 4 1 0 x x x ⇔ + + + + + ·
1 cos 0
1 cos 2 0
1 cos 4 0
x
x
x
+ · ¹
¹
⇔ + ·
'
¹
+ ·
¹
vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Trong bài toán này ta đã sử dụng một bất đảng thức quen thuộc của lương
giác: cos 1 x ≤
Một số BĐT lượng giác thường dùng để ước lượng:
sin 1 x ≤ , cos 1 x ≤ ,
2 2
sin cos a x b x a b + ≤ + .
Nếu m, n là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì
2 2
sin cos sin cos 1
m m
x x x x t ≤ + ·
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP:
(Còn có tên gọi là phương pháp gặp nhau ở cửa-chặn trên chặn dưới 2 vế):
A M
A=M
B M
B=M
A=B
≥ ¹
¹ ¹
≤ ⇔
' '
¹
¹
¹
Bài toán 1: Giải phương trình:
5 2
cos 0 x x + ·
Giải
5 2
cos 0 x x + ·
2 5
cos x x ⇔ · −
Vì
2
1 cos 1 0 1 1 1 x x x − ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Mà
[ ] 1,1 ; cos >0
2 2
x
π π ¸ _
− ⊂ − ⇒
¸ ,
với 1 1 x − ≤ ≤
5
cos <0 x ⇒ − với 1 1 x − ≤ ≤
Do đó ta có
2
0 x ≥ và
5
cos <0 x − nên phương trình
5 2
cos 0 x x + · vô nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình:
sin .sin 2 1 x x · −
Giải
sin .sin 2 1 x x · −
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
44
sin 1
sin 2 1
sin 1
sin 2 1
x
x
x
x
· ¹
'
· −
¹
⇔
· − ¹
'
·
¹ ¸
1
2
1
2
2
2
4
2
2
4
x k
x k
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π
¹
· +
¹
¹
'
¹
· − +
¹
¹
⇔
¹
· − +
¹
¹
'
¹
· +
¹
¹ ¸
vô nghiệm
Nhận xét: Bài toán này có thể xem như một bài toán mẫu. Bằng cách lập luận tương tự ta
giải được các phương trình có dạng tương tự:
sin .sin 1
sin .sin 1
ax bx
ax bx
·
· −
cos .cos 1
cos .cos 1
ax bx
ax bx
·
· −
Bài toán 3:Giải phương trình:
2
sin 1 x x x · + +
Giải
Ta xét hai trường hợp:
- Nếu
[ ] 1, 0 , 0 sin 0
2
x x
π 1
∈ − ⊂ − ⇒ ≤
1
¸ ]
Mà
2
1>0 x x + + ,suy ra vô nghiệm.
- Nếu ( ) ( ) , 1 0, x ∈ −∞ − t∞ U thì sin 1 x ≤
Mà
2
2
1 3 1 3
1 > 1
2 4 4 4
x x x
¸ _
+ + · + + + ·
¸ ,
, suy ra phương trình vô nghiệm.
Kết luận: phương tình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Bài toán này đã sử dụng một phương pháp tìm nghiệm trong đại số. Đó là phương
pháp chia khoảng. Phương pháp này thường được dùng trong các bài toán giải phương trình
có trị tuyêr đối, có miền giá trị lộn xộn, hay trong các bài toán bất phương trình.đối với
phương pháp này ta chia miền xác định ra từng khoảng mà trên khoảng đó hàm f không đổi
dấu.
Bài toán 4: Giải phương trình:
1
cot cos sin
4
n
n n
tgx gx x x
¸ _
+ · +
¸ ,
( ) ; >1 n n ∈Z
Giải
Điều kiện:
cos 0
sin 0 2
x
k
x
x
π
≠ ¹
⇔ ≠
'
≠
¹
Do tg và cotg luôn cùng dấu nên
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
45
cot
1 1
cot cot 2 1
4 4 4
n
n n
tgx gx
tgx gx tgx gx
¸ _
¸ _ ¸ _
+ · + ≥ ·
¸ , ¸ ,
¸ ,
Dấu đẳng thức xảy ra khi và vhỉ khi
2
1 1 1 1
cot
4 4 2 2
tgx gx tg x tgx x arctg kπ
¸ _
· ⇔ · ⇔ · t ⇔ · t +
¸ ,
Với ; >1 n n ∈Z ta xét vế phải :
2 2
2 sin cos sin cos 1
n n
n x x · ⇒ + · + ·
1 1
cot 1
4 2
n
tgx gx x arctg kπ
¸ _ ¸ _
⇒ + · ⇔ · t +
¸ , ¸ ,
>2 n ta có:
2
cos cos
n
x x ≤
2
sin sin
n
x x ≤
2 2
cos sin cos sin cos sin 1
n n n n
x x x x x x ⇒ + ≤ + ≤ + ·
' '
2
k
x
π
· ⇔ · (loại)
Vậy cos sin <1,
2
n n
k
x x x
π
+ ∀ ≠ và
1
cot 1
4
n
tgx gx + ≥
Cho nên với >2 n phương trình vô nghiệm.,
Kết luận: nghiệm của phương trình là:
1
2
x arctg kπ
¸ _
· t +
¸ ,
, k ∈Z
Nhận xét: qua bài toán này ta thấy việc sử dụng bất đẳng thức kinh điển trong các bài toán
giúp ta tìm được giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của một biểu thức để chặn nó lại và đem áp
dụng vào phương trình bởi vì thông thường điều kiện xảy ra đẳng thức không nhiều giúp ta có
thể giải nhanh các phương trình. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức là một phương pháp
kinh điển được sử dụng rất phổ biến.
Bài toán 5: Giải phương trình: ( ) cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1 x x x x x x + ·
Giải
Sử dụng bất đẳng thức BCS ta có:
( ) cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin 3 1 1 x x x x x x + ·
cos .cos 2 .cos3 sin .sin 2 .sin3 x x x x x x ⇔ +
( )( )
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2 cos 3 sin 3 x x x x x x ≤ + +
( )
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 1 x x x x x x · + ≤ + ·
Chuyên đề phương trình lượng giác cơ bản
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
46
( )
( )
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 sin3 sin sin 2 cos3 0 2
' '
cos cos 2 sin sin 2 cos sin 3
x x x x x x
x x x x x x
· ≥ ¹
¹
· ⇔
'
+ · +
¹
¹
Ta xét ( ) 3 sin 0 x x kπ ⇔ · ⇔ · thoả (2)
Vậy nghiệm của (1) là: , x k k π · ∈Z
Nhận xét: Bài toán này làm ta nhớ đến các tổng hữu hạn ở bài trước. Ta cũng có thể áp dụng
bất đẳng thức BCS (như Bài toán này) hay bất đẳng thức Cauchy để tìm được giá trị nhỏ nhất
hay lớn nhất của tổng đó.
III. PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG: (Nguyên lý cực biên)
1
1
1
1
1 1
A A
A=A
B B
B=B
A+B=A B
≤ ¹
¹
¹
≤ ⇔
' '
¹
¹
+
¹
Bài toán1: Giải phương trình:
12 16
sin cos 1 x x + ·
Giải
Ta có:
12 2
sin sin x x ≤ ;
16 2
cos cos x x ≤
12 16
sin cos 1 x x x ⇒ + ≤ ∀
Vì thế
12 16
sin cos 1 x x + · ( )
12 2
16 2
sin sin
2
cos cos
x x
k
x k
x x
π
¹ ·
¹
⇔ ⇔ · ∈
'
·
¹
¹
Z
Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng phương trình tổng quát sau: sin cos 1
m n
x x + · với
m ,n tự nhiên.
Ta có:
( )
( )
2
2
2 2
sin sin 1
sin sin
cos cos cos cos 2
m
m
n n
x x
x x
x x x x
¹ · ¹ ≤
¹ ¹
⇒
' '
≤ · ¹
¹ ¹
¹
Từ đó ta xét 4 khả năng cho dạng toán này:
1.Nếu m,n cùng chẵn. Khi đó:
( )( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2 cos 0
cos 1
x
x
k
x k
x
x
π
¹ ·
¹
· t
¹¸
⇔ ⇔ · ∈
'
·
¹
¹
· t
¸ ¹
Z
2. Nếu m,n cùng lẻ. Khi đó:
( )( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2 cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k x
x
π
π
π
¹ ·
¹ ·
·
¹¸
⇔ ⇔ ∈
'
· + ·
¹
¸
¹
·
¸ ¹
Z
Chöông 1: Phöông trình löôïng giaùc
GIÁO VIÊN : ĐÀO VĂN TIẾN
47
3. Nếu mchẵn, n lẻ. Khi đó:
( )( ) ( )
sin 0
2
sin 1
1 2
2 cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k x
x
π
π
π
¹ ·
¹ ·
· t
¹¸
⇔ ⇔ ∈
'
· + ·
¹
¸
¹
·
¸ ¹
Z
4. Nếu m lẻ, n chẵn. Khi đó:
( )( ) ( )
sin 0
sin 1
1 2
2 cos 0
2
cos 1
x
x k
x
k
x k x
x
π
π
π
¹ ·
¹ ·
·
¹¸
⇔ ⇔ ∈
'
· + ·
¹
¸
¹
· t
¸ ¹
Z
Bài toán 2: Giải phương trình:
1 1 1
2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 x x x
+ + ·
+ + −
Giải
Điều kiện:
( )
( )
( )
cos 2 1 1
cos 4 1 2
cos 6 1 3
x
x
x
≠ − ¹
¹
≠ −
'
¹
≠
¹
1 cos 2 ,1 cos 4 ,1 cos 6 >0 x x x ⇒ + + −
Theo bất đẳng thức Cauchy:
( ) ( )
1 1 1
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 . 9 4
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6
x x x
x x x
¸ _
+ + + + − + + ≥
+ + −
¸ ,
Đặt 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 S x x x · + + + + −
2
3 1 2sin 2 2sin 4 sin 2 x x x · + − ·
( )
2 2 2
3 1
3 sin 4 cos 4 2sin 2 2sin 4 sin 2
2 2
x x x x x · + − + − −
( )
2
2
9 1 1
sin 4 2sin 2 cos 4
2 2 2
x x x · − + −
( )
9
5
2
S ⇒ ≤
Dấu đẳng thức xảy ra
( ) ( )
( )
2sin 2 1 cos 2 0 6
sin 4 2sin 2 0 sin 2 0
cos 4 0 cos 4 0 cos 4 0 7
x x
x x x
x x x
+ · ¹
+ · · ¹ ¹ ¹
⇔ ⇔ ⇔
' ' '
· · ·
¹ ¹ ¹
¹
Hệ phương trình này vô nghiệm
9
<
2
S ⇒
Tức là
1 1 1
>2
1 cos 2 1 cos 4 1 cos 6 x x x
+ +
+ + −
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

X-Served-By: cache, cache-iad2123-IAD

Set-Cookie: stg=586; Domain=.scribd.com; Path=/; Expires=Tue, 18-Apr-28 05:28:49 GMT

X-Page-Type: docview

X-Cache: MISS, MISS

Via: 1.1 varnish

Cache-Control: no-cache

Vary: Accept-Encoding, User-Agent


markdown:
# Amherst, New Hampshire
|Amherst, New Hampshire|
|— Town —|
|
|![]()
![ Location in Hillsborough County, New Hampshire](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Hillsborough-Amherst-NH.png/250px-Hillsborough-Amherst-NH.png)
![ Location in Hillsborough County, New Hampshire](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Hillsborough-Amherst-NH.png/250px-Hillsborough-Amherst-NH.png)
Location in
[Hillsborough County](/w/index.php?title=Hillsborough_County,_New_Hampshire&action=edit&redlink=1), [New Hampshire](/wiki/New_Hampshire) [42°51′41″B 71°37′31″T / 42,86139°B 71,62528°T](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Amherst,_New_Hampshire¶ms=42_51_41_N_71_37_31_W_type:city(10769)_region:US-NH) [Tọa độ](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_%C4%91%E1%BB%8Ba_l%C3%BD): [42°51′41″B 71°37′31″T / 42,86139°B 71,62528°T](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Amherst,_New_Hampshire¶ms=42_51_41_N_71_37_31_W_type:city(10769)_region:US-NH) [Quốc gia](/wiki/Danh_s%C3%A1ch_qu%E1%BB%91c_gia) [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3) [Tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [New Hampshire](/wiki/New_Hampshire) [Quận](/w/index.php?title=Danh_s%C3%A1ch_c%C3%A1c_qu%E1%BA%ADn_ti%E1%BB%83u_bang_New_Hampshire&action=edit&redlink=1) [Hillsborough](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Hillsborough,_New_Hampshire) [Incorporated](/wiki/H%E1%BB%99i_%C4%91%E1%BB%93ng_khu_t%E1%BB%B1_qu%E1%BA%A3n) [1760](/w/index.php?title=Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:1760_establishments&action=edit&redlink=1) [Board of Selectmen](/w/index.php?title=Board_of_Selectmen&action=edit&redlink=1)
Thomas Grella
James O'Mara
Bruce Bowler
Dwight Brew
2(90,2 km 2) 2(88,8 km 2) 2(1,3 km 2) 1.49% [Độ cao](/wiki/Cao_%C4%91%E1%BB%99) [Mật độ](/wiki/M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_d%C3%A2n_s%E1%BB%91) 2(121,3/km 2) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [Eastern](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_%C4%90%C3%B4ng_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-5](/wiki/UTC-5)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) [Eastern](/w/index.php?title=Eastern_Daylight_Time_Zone&action=edit&redlink=1)( [UTC-4](/wiki/UTC-4)) [ZIP code](/wiki/M%C3%A3_b%C6%B0u_%C4%91i%E1%BB%87n_Hoa_K%E1%BB%B3) [FIPS code](/w/index.php?title=Federal_Information_Processing_Standard&action=edit&redlink=1) [GNIS](/w/index.php?title=Geographic_Names_Information_System&action=edit&redlink=1)feature ID [www.amherstnh.gov](http://www.amherstnh.gov/) **Amherst** là một thị xã thuộc [quận](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_c%E1%BB%A7a_Hoa_K%E1%BB%B3) [Hillsborough](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Hillsborough,_New_Hampshire) trong [tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [New Hampshire](/wiki/New_Hampshire), [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3). Thành phố có diện tích km2, dân số theo điều tra năm 2000 của [Cục điều tra dân số Hoa Kỳ](/wiki/C%E1%BB%A5c_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA_D%C3%A2n_s%E1%BB%91_Hoa_K%E1%BB%B3) là 10.769 người, dân số năm 2009 là 11.683 người . [1]
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Amherst,_New_Hampshire&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Amherst,_New_Hampshire&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [“2009 Population Estimates of New Hampshire Cities and Towns”](http://www.nh.gov/oep/programs/DataCenter/Population/documents/population_estimates.pdf)(PDF). NH Office of Energy and Planning. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2010.

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

X-Cache-Status: miss

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.09:-77.65:v4; Path=/; secure; Domain=.wikipedia.org

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

X-Cache: cp1068 miss, cp1065 miss

X-Content-Type-Options: nosniff

Connection: close

Via: 1.1 varnish (Varnish/5.1), 1.1 varnish (Varnish/5.1)

Accept-Ranges: bytes

X-UA-Compatible: IE=Edge

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

Vary: Accept-Encoding,Cookie,Authorization

Link: </static/images/project-logos/viwiki.png>;rel=preload;as=image;media=not all and (min-resolution: 1.5dppx),</static/images/project-logos/viwiki-1.5x.png>;rel=preload;as=image;media=(min-resolution: 1.5dppx) and (max-resolution: 1.999999dppx),</static/images/project-logos/viwiki-2x.png>;rel=preload;as=image;media=(min-resolution: 2dppx)

Content-Language: vi


markdown:
Bản mẫu:Sơ khai Paraguay
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới:
menu
,
tìm kiếm
Bài viết liên quan đến
Paraguay
này vẫn còn
sơ khai
. Bạn có thể giúp Wikipedia bằng cách
mở rộng nội dung
để bài được hoàn chỉnh hơn.
x
t
s
Lấy từ “
https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Bản_mẫu:Sơ_khai_Paraguay&oldid=22472035
”
Thể loại
:
Bản mẫu sơ khai cần sửa lại
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Chưa đăng nhập
Thảo luận cho địa chỉ IP này
Đóng góp
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Bản mẫu
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Đọc
Sửa mã nguồn
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Xem nhanh
Trang Chính
Bài viết chọn lọc
Tin tức
Bài viết ngẫu nhiên
Thay đổi gần đây
Phản hồi lỗi
Quyên góp
Tương tác
Hướng dẫn
Giới thiệu Wikipedia
Cộng đồng
Thảo luận chung
Giúp sử dụng
Liên lạc
Công cụ
Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Các trang đặc biệt
Liên kết thường trực
Thông tin trang
Khoản mục Wikidata
In/xuất ra
Tải về PDF
Ngôn ngữ khác
العربية
Azərbaycanca
Беларуская
Български
Cymraeg
English
বিষ্ণুপ্রিয়া মণিপুরী
Lietuvių
日本語
Português
Română
Русский
کوردی
Türkçe
Українська
اردو
中文
Sửa liên kết
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 14:58 ngày 26 tháng 11 năm 2015.
Văn bản được phát hành theo
Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự
; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Với việc sử dụng trang web này, bạn chấp nhận
Điều khoản Sử dụng
và
Quy định quyền riêng tư
.
Wikipedia® là thương hiệu đã đăng ký của
Wikimedia Foundation, Inc.
, một tổ chức phi lợi nhuận.
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wikipedia
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Tuyên bố về cookie
Phiên bản di động

X-Cache: cp1066 miss, cp1065 miss


markdown:
*Bolborhynchus orbygnesius*
|
|Bolborhynchus orbygnesius
|
|![]()
[Tình trạng bảo tồn](/wiki/T%C3%ACnh_tr%E1%BA%A1ng_b%E1%BA%A3o_t%E1%BB%93n) [Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Chordata](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_d%C3%A2y_s%E1%BB%91ng) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Aves](/wiki/Chim) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Psittaciformes](/wiki/B%E1%BB%99_V%E1%BA%B9t) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Psittacidae](/wiki/H%E1%BB%8D_V%E1%BA%B9t) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Bolborhynchus](/wiki/Bolborhynchus) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **B. orbygnesius** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Bolborhynchus orbygnesius*
(
[Souancé](/w/index.php?title=Charles_de_Souanc%C3%A9&action=edit&redlink=1), 1856) [Danh pháp đồng nghĩa](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_%C4%91%E1%BB%93ng_ngh%C4%A9a_(ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc)) *Bolborhynchus andicola* * là một loài Bolborhynchus orbygnesius* [chim](/wiki/Chim)trong họ [Psittacidae](/wiki/H%E1%BB%8D_V%E1%BA%B9t). [[2]](#cite_note-2)
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Bolborhynchus_orbygnesius&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Bolborhynchus_orbygnesius&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [BirdLife International](/wiki/BirdLife_International)(2012). [“](http://www.iucnredlist.org/apps/redlist/details/22685916). *Bolborhynchus orbygnesius*” *.* [Sách đỏ IUCN các loài bị đe dọa.](/wiki/S%C3%A1ch_%C4%91%E1%BB%8F_IUCN)Phiên bản 2013.2 [Liên minh Bảo tồn Thiên nhiên Quốc tế](/wiki/Li%C3%AAn_minh_B%E1%BA%A3o_t%E1%BB%93n_Thi%C3%AAn_nhi%C3%AAn_Qu%E1%BB%91c_t%E1%BA%BF). Truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2013. **Clements, J. F., T. S. Schulenberg, M. J. Iliff, B.L. Sullivan, C. L. Wood, and D. Roberson (2012).** [^](#cite_ref-2) [“The eBird/Clements checklist of birds of the world: Version 6.7.”](http://www.birds.cornell.edu/clementschecklist/downloadable-clements-checklist). Truy cập ngày 19 tháng 12 năm 2012.
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Bolborhynchus_orbygnesius&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Bolborhynchus_orbygnesius&action=edit§ion=2)]
Dữ liệu liên quan tới
[Bolborhynchus orbygnesius](https://species.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Bolborhynchus_orbygnesius)tại [Wikispecies](/wiki/Wikispecies)

X-Cache: cp1053 miss, cp1065 miss


markdown:
# Breisgau-Hochschwarzwald
Breisgau-Hochschwarzwald
![]()
*Bản đồ của Baden-Württemberg với huyện Breisgau-Hochschwarzwald* [Bang](/wiki/Bang_c%E1%BB%A7a_%C4%90%E1%BB%A9c) [Baden-Württemberg](/wiki/Baden-W%C3%BCrttemberg) [Vùng hành chính](/wiki/Regierungsbezirk) [Freiburg](/wiki/Freiburg_(v%C3%B9ng)) **Vùng** **Thủ phủ** [Freiburg](/wiki/Freiburg) **Diện tích** [km²](/wiki/Km%C2%B2) **Dân số** *(2001)* [Mật độ](/wiki/M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_d%C3%A2n_s%E1%BB%91) [Mã biển số xe](/wiki/Bi%E1%BB%83n_s%E1%BB%91_xe) **Trang mạng** [breisgau-hochschwarzwald.de](http://www.breisgau-hochschwarzwald.de) **Breisgau-Hochschwarzwald** là một [huyện](/wiki/Bang_c%E1%BB%A7a_%C4%90%E1%BB%A9c) ( *Landkreis*) nằm ở phía nam của bang [Baden-Württemberg](/wiki/Baden-W%C3%BCrttemberg), thuộc nước [Đức](/wiki/%C4%90%E1%BB%A9c). Các huyện giáp ranh gồm [Emmendingen](/wiki/Emmendingen_(huy%E1%BB%87n)), [Schwarzwald-Baar](/w/index.php?title=Schwarzwald-Baar&action=edit&redlink=1), [Waldshut](/wiki/Waldshut_(huy%E1%BB%87n)), [Lörrach](/wiki/L%C3%B6rrach_(huy%E1%BB%87n)), các tỉnh của Pháp [Haut-Rhin](/wiki/Haut-Rhin) và [Bas-Rhin](/wiki/Bas-Rhin). Thành phố [Freiburg](/wiki/Freiburg) bị huyện này bao quanh.
Huyện được lập năm 1973 thông qua việc hợp nhất các huyện cũ Freiburg, Müllheim và Hochschwarzwald.
## Xã và thị trấn[
[sửa](/w/index.php?title=Breisgau-Hochschwarzwald&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Breisgau-Hochschwarzwald&action=edit§ion=1)]
|Thị trấn|
|Xã|
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Breisgau-Hochschwarzwald&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Breisgau-Hochschwarzwald&action=edit§ion=2)]
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Breisgau-Hochschwarzwald&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Breisgau-Hochschwarzwald&action=edit§ion=3)] [Tọa độ](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99_%C4%91%E1%BB%8Ba_l%C3%BD): [47°57′B 7°51′Đ / 47,95°B 7,85°Đ](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Breisgau-Hochschwarzwald¶ms=47.95_N_7.85_E_source:dewiki_region:DE-BW_type:adm2nd)
|
|![]()
|Wikimedia Commons có thư viện hình ảnh và phương tiện truyền tải về |

X-Cache: cp1054 miss, cp1065 miss


markdown:
# Chrysops relictus
|Chrysops relictus|
|
|![]()
Con cái trưởng thành
[Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Arthropoda](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_Ch%C3%A2n_kh%E1%BB%9Bp) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Insecta](/wiki/C%C3%B4n_tr%C3%B9ng) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Diptera](/wiki/Ru%E1%BB%93i) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Tabanidae](/wiki/H%E1%BB%8D_Ru%E1%BB%93i_tr%C3%A2u) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Chrysops](/w/index.php?title=Chrysops&action=edit&redlink=1) [Phân chi](/wiki/Ph%C3%A2n_chi)( *subgenus*) [Chrysops](/w/index.php?title=Chrysops_(ph%C3%A2n_chi)&action=edit&redlink=1) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **C. relictus** [Meigen](/w/index.php?title=Johann_Wilhelm_Meigen&action=edit&redlink=1), 1820 [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Chrysops (Chrysops) relictus* [Meigen](/w/index.php?title=Johann_Wilhelm_Meigen&action=edit&redlink=1), 1820 [Danh pháp đồng nghĩa](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_%C4%91%E1%BB%93ng_ngh%C4%A9a_(ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc))
List
*Chrysops chlorosis*Goffe, 1931 *Chrysops clarus*Goffe, 1931 *Chrysops conspicuus*Goffe, 1931 *Chrysops inconspicuus*Goffe, 1931 *, là một loài ruồi lớn châu Âu, có chiều dài từ 8-10,5 mm. Ấu trùng ăn các chất hữu cơ trong đất ẩm. Chrysops relictus* [[1]](#cite_note-1)
## Hình ảnh[
[sửa](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&action=edit§ion=1)]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&action=edit§ion=2)] **Stubbs, A. and Drake, M. (2001).** [^](#cite_ref-1) *British Soldierflies and Their Allies: A Field Guide to the Larger British Brachycera*(bằng tiếng Anh). British Entomological & Natural History Society. tr. 512 pp. [ISBN](/wiki/ISBN) [1899935045](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1899935045).
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&action=edit§ion=3)]
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&veaction=edit§ion=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Chrysops_relictus&action=edit§ion=4)]
Phương tiện liên quan tới
[Chrysops relictus](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Chrysops_relictus) tại [Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons)


markdown:
*Elvira cupreiceps*
|
|Elvira cupreiceps
|
|![]()
[Tình trạng bảo tồn](/wiki/T%C3%ACnh_tr%E1%BA%A1ng_b%E1%BA%A3o_t%E1%BB%93n) [Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Chordata](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_d%C3%A2y_s%E1%BB%91ng) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Aves](/wiki/Chim) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Apodiformes](/wiki/B%E1%BB%99_Y%E1%BA%BFn) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Trochilidae](/wiki/H%E1%BB%8D_Chim_ru%E1%BB%93i) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Elvira](/wiki/Elvira) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **E. cupreiceps** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Elvira cupreiceps*
(
[Lawrence](/w/index.php?title=George_Newbold_Lawrence&action=edit&redlink=1), 1867) ![ Elvira cupreiceps map.svg](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Elvira_cupreiceps_map.svg/280px-Elvira_cupreiceps_map.svg.png)
![ Elvira cupreiceps map.svg](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Elvira_cupreiceps_map.svg/280px-Elvira_cupreiceps_map.svg.png)
* là một loài Elvira cupreiceps* [chim](/wiki/Chim)trong [họ Chim ruồi](/wiki/H%E1%BB%8D_Chim_ru%E1%BB%93i). [[2]](#cite_note-2)
## Hình ảnh[
[sửa](/w/index.php?title=Elvira_cupreiceps&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Elvira_cupreiceps&action=edit§ion=1)]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Elvira_cupreiceps&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Elvira_cupreiceps&action=edit§ion=2)] [^](#cite_ref-1) [BirdLife International](/wiki/BirdLife_International)(2012). [“](http://www.iucnredlist.org/apps/redlist/details/22687646). *Elvira cupreiceps*” *.* [Sách đỏ IUCN các loài bị đe dọa.](/wiki/S%C3%A1ch_%C4%91%E1%BB%8F_IUCN)Phiên bản 2013.2 [Liên minh Bảo tồn Thiên nhiên Quốc tế](/wiki/Li%C3%AAn_minh_B%E1%BA%A3o_t%E1%BB%93n_Thi%C3%AAn_nhi%C3%AAn_Qu%E1%BB%91c_t%E1%BA%BF). Truy cập ngày 26 tháng 11 năm 2013. **Clements, J. F., T. S. Schulenberg, M. J. Iliff, B.L. Sullivan, C. L. Wood, and D. Roberson (2012).** [^](#cite_ref-2) [“The eBird/Clements checklist of birds of the world: Version 6.7.”](http://www.birds.cornell.edu/clementschecklist/downloadable-clements-checklist). Truy cập ngày 19 tháng 12 năm 2012.
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Elvira_cupreiceps&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Elvira_cupreiceps&action=edit§ion=3)]
Dữ liệu liên quan tới
[Elvira cupreiceps](https://species.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Elvira_cupreiceps)tại [Wikispecies](/wiki/Wikispecies)


markdown:
# Frozen
(đổi hướng từ
[Frozen (bài hát)](/w/index.php?title=Frozen_(b%C3%A0i_h%C3%A1t)&redirect=no))
|
|![]()
|Tra
| trong từ điển mở tiếng Việt **Frozen** có thể nói về:
- kết quả của quá trình
[đông đặc](/wiki/%C4%90%C3%B4ng_%C4%91%E1%BA%B7c)
## Phim[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=1)] [, một bộ phim của Wang Xiaoshuai](/w/index.php?title=Frozen_(phim_1997)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(phim 1997) [, một bộ phim của Juliet McKoen](/w/index.php?title=Frozen_(phim_2005)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(phim 2005) [, một bộ phim của Shivajee Chandrabhushan](/w/index.php?title=Frozen_(phim_2007)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(phim 2007) [, một bộ phim của Adam Green](/w/index.php?title=Frozen_(phim_M%E1%BB%B9_2010)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(phim Mỹ 2010) [, một bộ phim của Derek Kwok](/w/index.php?title=Frozen_(phim_Hong_Kong_2010)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(phim Hong Kong 2010) [, một bộ phim của Walt Disney dựa trên truyện cổ tích](/wiki/Frozen_(phim_2013)) *Frozen*(phim 2013) *Bà chúa Tuyết*của nhà văn Hans Christian Andersen [, nhượng quyền truyền thông của Disney dựa trên bộ phim](/w/index.php?title=Frozen_(nh%C6%B0%E1%BB%A3ng_quy%E1%BB%81n_truy%E1%BB%81n_th%C3%B4ng)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(nhượng quyền truyền thông)
-
## Kịch[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=2)] [, một vở kịch sân khấu năm 2004 của Bryony Lavery](/w/index.php?title=Frozen_(k%E1%BB%8Bch)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(kịch)
## Truyền hình[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=3)] ["Frozen" (](/w/index.php?title=Frozen_(Stargate_SG-1)&action=edit&redlink=1), một tập phim thuộc mùa thứ sáu của loạt phim *Stargate SG-1*) *Stargate SG-1* ["Frozen" (](/w/index.php?title=Frozen_(House)&action=edit&redlink=1), một tập phim thuộc mùa thứ tư của loạt phim *House*) *House*
## Âm nhạc[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=4)]
### Album[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=5)] [, album của Sentenced, phát hành năm 1998](/w/index.php?title=Frozen_(album)&action=edit&redlink=1) *Frozen*(album) [, album nhạc phim của bộ phim hoạt hình cùng tên của Disney năm 2013](/wiki/Frozen_(nh%E1%BA%A1c_phim)) *Frozen*(nhạc phim)
### Bài hát[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=6)] ["Frozen" (bài hát của Madonna)](/wiki/Frozen_(b%C3%A0i_h%C3%A1t_c%E1%BB%A7a_Madonna)), từ album *Ray of Light*năm 1998 ["Frozen" (bài hát của Delain)](/w/index.php?title=Frozen_(b%C3%A0i_h%C3%A1t_c%E1%BB%A7a_Delain)&action=edit&redlink=1), từ album *Lucidity*năm 2006 ["Frozen" (bài hát của Within Temptation)](/w/index.php?title=Frozen_(b%C3%A0i_h%C3%A1t_c%E1%BB%A7a_Within_Temptation)&action=edit&redlink=1), từ album *The Heart of Everything*năm 2007 ["Frozen" (bài hát của Tami Chynn)](/w/index.php?title=Frozen_(b%C3%A0i_h%C3%A1t_c%E1%BB%A7a_Tami_Chynn)&action=edit&redlink=1), phát hành năm 2008
- "Frozen", bài hát trong album năm 1993 của Dissection
[The Somberlain](/w/index.php?title=The_Somberlain&action=edit&redlink=1)
- "Frozen", bài hát trong album năm 1995 của Skid Row'
[Subhuman Race](/w/index.php?title=Subhuman_Race&action=edit&redlink=1)
- "Frozen", bài hát trong album năm 2003 của Celldweller
[Celldweller](/w/index.php?title=Celldweller_(album)&action=edit&redlink=1)
- "Frozen", bài hát trong album
*của* [Forever Is the World](/w/index.php?title=Forever_Is_the_World&action=edit&redlink=1) [Theatre of Tragedy](/w/index.php?title=Theatre_of_Tragedy&action=edit&redlink=1)
## Xem thêm[
[sửa](/w/index.php?title=Frozen&veaction=edit§ion=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Frozen&action=edit§ion=7)]
|
|![]()
[định hướng](/wiki/Wikipedia:%C4%90%E1%BB%8Bnh_h%C6%B0%E1%BB%9Bng)này liệt kê những bài viết liên quan đến tiêu đề **Frozen**.
Nếu bạn đến đây từ một


markdown:
*Haliotis supertexta*
|
|Haliotis supertexta
|
|![]()
[Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Mollusca](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_th%C3%A2n_m%E1%BB%81m) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Gastropoda](/wiki/L%E1%BB%9Bp_Ch%C3%A2n_b%E1%BB%A5ng) [Vetigastropoda](/wiki/Vetigastropoda) [Liên họ](/wiki/Li%C3%AAn_h%E1%BB%8D)( *superfamilia*) [Haliotoidea](/wiki/Haliotoidea) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Haliotidae](/wiki/Haliotidae) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Haliotis](/wiki/Haliotis) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **H. supertexta** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Haliotis supertexta* [Lischke](/w/index.php?title=Karl_Emil_Lischke&action=edit&redlink=1), 1870 [Danh pháp đồng nghĩa](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_%C4%91%E1%BB%93ng_ngh%C4%A9a_(ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc)) *Haliotis diversicolor supertexta*Lischke, 1870 * là một loài Haliotis supertexta* [ốc biển](/wiki/%E1%BB%90c_bi%E1%BB%83n), là [động vật thân mềm](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_th%C3%A2n_m%E1%BB%81m) [chân bụng](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_ch%C3%A2n_b%E1%BB%A5ng)sống ở biển thuộc họ [Haliotidae](/wiki/Haliotidae), the [abalones](/w/index.php?title=Abalone&action=edit&redlink=1). [[1]](#cite_note-WoRMS-1)
## Miêu tả[
[sửa](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&action=edit§ion=1)]
## Phân bố[
[sửa](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&action=edit§ion=2)]
## Hình ảnh[
[sửa](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&action=edit§ion=3)]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&veaction=edit§ion=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&action=edit§ion=4)] [^](#cite_ref-WoRMS_1-0) [.](http://www.marinespecies.org/aphia.php?p=taxdetails&id=445364) *Haliotis supertexta*Lischke, 1870 [World Register of Marine Species](http://www.marinespecies.org), truy cập 9 tháng 4 năm 2010.
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&veaction=edit§ion=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Haliotis_supertexta&action=edit§ion=5)]
Dữ liệu liên quan tới
[Haliotis supertexta](https://species.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Haliotis_supertexta)tại [Wikispecies](/wiki/Wikispecies)
Phương tiện liên quan tới
[Haliotis supertexta](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Haliotis_supertexta) tại [Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons)


markdown:
# Joliet, Illinois
|Joliet, Illinois|
|Thành phố|
|
|
Trung tâm
|
|Tên chính thức: City of Joliet
|
|Nguồn gốc tên:
|
|Nicknames: Thành phố thép, thành phố đá, thành phố vô địch
|Quốc gia||
|[Illinois](/wiki/Illinois) [Will](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Will,_Illinois), [Kendall](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Kendall,_Illinois) [Joliet](/w/index.php?title=Joliet_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Troy](/w/index.php?title=Troy_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Plainfield](/w/index.php?title=Plainfield_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Lockport](/w/index.php?title=Lockport_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [New Lenox](/w/index.php?title=New_Lenox_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Jackson](/w/index.php?title=Jackson_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Channahon](/w/index.php?title=Channahon_Township,_Will_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Seward](/w/index.php?title=Seward_Township,_Kendall_County,_Illinois&action=edit&redlink=1), [Na-Au-Say](/w/index.php?title=Na-Au-Say_Township,_Kendall_County,_Illinois&action=edit&redlink=1) [Des Plaines](/w/index.php?title=Des_Plaines_River&action=edit&redlink=1) [phố(152812)_region:US-IL 41°31′21″B 88°08′26″T / 41,5225°B 88,14056°T](//tools.wmflabs.org/geohack/geohack.php?language=vi&pagename=Joliet,_Illinois¶ms=41_31_21_N_88_08_26_W_type:thành) 2) 2) 2) *2008*) 2) [Hợp nhất](/wiki/H%E1%BB%99i_%C4%91%E1%BB%93ng_khu_t%E1%BB%B1_qu%E1%BA%A3n) [Hội đồng-Quản đốc](/wiki/Ch%C3%ADnh_quy%E1%BB%81n_h%E1%BB%99i_%C4%91%E1%BB%93ng-qu%E1%BA%A3n_%C4%91%E1%BB%91c) [Arthur Schultz](/w/index.php?title=Arthur_Schultz&action=edit&redlink=1)(R) [CST](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_Trung_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-6](/wiki/UTC-6)) [CDT](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_Trung_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-5](/wiki/UTC-5)) [Mã bưu điện](/wiki/M%C3%A3_b%C6%B0u_%C4%91i%E1%BB%87n_Hoa_K%E1%BB%B3) [815, 779](/w/index.php?title=Area_codes_815_and_779&action=edit&redlink=1) **Wikimedia Commons:** [Joliet, Illinois](https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Joliet,_Illinois) **Thống kê:** [[1]](#cite_note-2010_cp-1) **Website:** [www.cityofjoliet.info](http://www.cityofjoliet.info/) [2](/wiki/Wikipedia:Tham_kh%E1%BA%A3o_%C4%91%E1%BB%8Ba_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc#2) [[2]](#cite_note-gnis-2) **Joliet** (phát âm [/ˈdʒoʊli.ɛt/](https://en.wikipedia.org/wiki/WP:IPAE), [/dʒoʊliˈɛt/](https://en.wikipedia.org/wiki/WP:IPAE)) là một thành phố ở [tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [Illinois](/wiki/Illinois), [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3). Thành phố này thuộc [quận](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_c%E1%BB%A7a_Hoa_K%E1%BB%B3) [quận Will](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Will,_Illinois) và [quận Kendall](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Kendall,_Illinois) . Thành phố có diện tích [3] [km2](/wiki/Kil%C3%B4m%C3%A9t_vu%C3%B4ng), dân số là 106.221 người (thời điểm năm 2000), năm 2008, dân số là 152.812 người . [[1]](#cite_note-2010_cp-1)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Joliet,_Illinois&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Joliet,_Illinois&action=edit§ion=1)]
- ^
**a** **ă** [“Draft Consolidated Plan 2010”](http://www.cityofjoliet.info/documents/conplan2010FINALrecovered10509copy_000.pdf)(PDF). City of Joliet. Ngày 5 tháng 11 năm 2009. tr. 9, 35. Truy cập ngày 2 tháng 3 năm 2010. [^](#cite_ref-gnis_2-0) [City of Joliet](http://geonames.usgs.gov/pls/gnispublic/f?p=gnispq:3:::NO::P3_FID:2395477)– [Hệ thống Thông tin Địa danh](/w/index.php?title=H%E1%BB%87_th%E1%BB%91ng_Th%C3%B4ng_tin_%C4%90%E1%BB%8Ba_danh&action=edit&redlink=1)(GNIS), [Cục Khảo sát Địa chất Hoa Kỳ](/wiki/C%E1%BB%A5c_Kh%E1%BA%A3o_s%C3%A1t_%C4%90%E1%BB%8Ba_ch%E1%BA%A5t_Hoa_K%E1%BB%B3)(USGS) [^](#cite_ref-Factfinder_3-0) [“Illinois by Place”](http://factfinder.census.gov/servlet/GCTTable?_bm=y&-geo_id=04000US17&-_box_head_nbr=GCT-PH1&-ds_name=DEC_2000_SF1_U&-_lang=en&-format=ST-7&-_sse=on). *Census 2000 Summary File 1*. United States Census Bureau. 2000. Truy cập ngày 2 tháng 3 năm 2010.


markdown:
*Myomimus roachi*
|
|Myomimus roachi
|
|[Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Chordata](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_d%C3%A2y_s%E1%BB%91ng) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Mammalia](/wiki/L%E1%BB%9Bp_Th%C3%BA) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Rodentia](/wiki/B%E1%BB%99_G%E1%BA%B7m_nh%E1%BA%A5m) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Gliridae](/wiki/H%E1%BB%8D_Chu%E1%BB%99t_s%C3%B3c) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Myomimus](/wiki/Myomimus) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **M. roachi** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Myomimus roachi*
(
[Bate](/w/index.php?title=Dorothea_Bate&action=edit&redlink=1), 1937) [[1]](#cite_note-msw3-1) ![ Mouse-tailed dormouse range.png](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Mouse-tailed_dormouse_range.png/280px-Mouse-tailed_dormouse_range.png)
![ Mouse-tailed dormouse range.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Mouse-tailed_dormouse_range.png/280px-Mouse-tailed_dormouse_range.png)
* là một loài Myomimus roachi* [động vật có vú](/wiki/L%E1%BB%9Bp_Th%C3%BA)trong họ [Gliridae](/wiki/H%E1%BB%8D_Chu%E1%BB%99t_s%C3%B3c), [bộ Gặm nhấm](/wiki/B%E1%BB%99_G%E1%BA%B7m_nh%E1%BA%A5m). Loài này được Bate mô tả năm 1937. [[1]](#cite_note-msw3-1)
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Myomimus_roachi&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Myomimus_roachi&action=edit§ion=1)]
- ^
**a** [Wilson, D. E.; Reeder, D. M. biên tập (2005). “](#cite_ref-msw3_1-1) **ă** *Myomimus roachi*”. [. Baltimore: Nhà in Đại học Johns Hopkins, 2 tập (2.142 trang).](http://www.departments.bucknell.edu/biology/resources/msw3/browse.asp?id=12500036) *Mammal Species of the World* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-8018-8221-0](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8018-8221-0). [OCLC](/wiki/OCLC) [62265494](//www.worldcat.org/oclc/62265494).
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Myomimus_roachi&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Myomimus_roachi&action=edit§ion=2)]
Dữ liệu liên quan tới
[Myomimus roachi](https://species.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Myomimus_roachi)tại [Wikispecies](/wiki/Wikispecies)

X-Cache: cp1052 miss, cp1065 miss


markdown:
# Wąchock
|Wąchock|
|
|
|
|Hiệu kỳ ![ Huy hiệu của Wąchock](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/POL_W%C4%85chock_COA.svg/100px-POL_W%C4%85chock_COA.svg.png)
![ Huy hiệu của Wąchock](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/POL_W%C4%85chock_COA.svg/100px-POL_W%C4%85chock_COA.svg.png)
**Huy hiệu** ![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Flag_of_Poland.svg/23px-Flag_of_Poland.svg.png)
[Ba Lan](/wiki/Ba_Lan) [Tỉnh](/wiki/Ph%C3%A2n_c%E1%BA%A5p_h%C3%A0nh_ch%C3%ADnh_Ba_Lan) [Świętokrzyskie](/wiki/%C5%9Awi%C4%99tokrzyskie) [Huyện](/wiki/Ph%C3%A2n_c%E1%BA%A5p_h%C3%A0nh_ch%C3%ADnh_Ba_Lan#Cấp_huyện) [Starachowicki](/wiki/Starachowicki) 2(6 mi 2) [Mật độ](/wiki/M%E1%BA%ADt_%C4%91%E1%BB%99_d%C3%A2n_s%E1%BB%91) 2(440/mi 2) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [CET](/wiki/Gi%E1%BB%9D_chu%E1%BA%A9n_Trung_%C3%82u)( [UTC+1](/wiki/UTC%2B1)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) [CEST](/wiki/Gi%E1%BB%9D_M%C3%B9a_h%C3%A8_Trung_%C3%82u)( [UTC+2](/wiki/UTC%2B2)) **Wąchock** là một thị trấn thuộc huyện [Starachowicki](/wiki/Starachowicki), tỉnh [Świętokrzyskie](/wiki/%C5%9Awi%C4%99tokrzyskie) ở trung tâm [Ba Lan](/wiki/Ba_Lan). Thị trấn có diện tích 16 km². Đến ngày 1 tháng 1 năm 2011, dân số của thị trấn là 2744 người và mật độ 171 người/km². [[1]](#cite_note-1)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=W%C4%85chock&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=W%C4%85chock&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [. 10 tháng 8 năm 2011.](http://www.stat.gov.pl/gus/5840_908_ENG_HTML.htm) *Area and Population in the Territorial Profile in 2011* [ISSN](/wiki/ISSN) [1505-5507](//www.worldcat.org/issn/1505-5507). Truy cập ngày 11 tháng 5 năm 2012.


markdown:
# Xã Cove Creek, Quận Washington, Arkansas
|Xã Cove Creek
|
Cove Creek Township
|—
|![ Vị trí trong Quận Washington, Arkansas](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Washington_County_Arkansas_2010_Township_Map_large.jpg/250px-Washington_County_Arkansas_2010_Township_Map_large.jpg)
![ Vị trí trong Quận Washington, Arkansas](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/Washington_County_Arkansas_2010_Township_Map_large.jpg/250px-Washington_County_Arkansas_2010_Township_Map_large.jpg)
Vị trí trong
[Quận Washington](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Washington,_Arkansas), [Arkansas](/wiki/Arkansas) ![ Vị trí quận Washington trong tiểu bang Arkansas ở Hoa Kỷ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Map_of_Arkansas_highlighting_Washington_County.svg/250px-Map_of_Arkansas_highlighting_Washington_County.svg.png)
![ Vị trí quận Washington trong tiểu bang Arkansas ở Hoa Kỷ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Map_of_Arkansas_highlighting_Washington_County.svg/250px-Map_of_Arkansas_highlighting_Washington_County.svg.png)
Vị trí quận Washington trong tiểu bang Arkansas ở Hoa Kỷ
[Quốc gia](/wiki/Qu%E1%BB%91c_gia) [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3) [Tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [Arkansas](/wiki/Arkansas) [Quận](/w/index.php?title=Danh_s%C3%A1ch_c%C3%A1c_qu%E1%BA%ADn_%E1%BB%9F_Arkansas&action=edit&redlink=1) [Quận Washington](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Washington,_Arkansas) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [CST](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_Trung_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-5](/wiki/UTC-5)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) **CDT**( [UTC-4](/wiki/UTC-4)) **Xã Cove Creek** ( [tiếng Anh](/wiki/Ti%E1%BA%BFng_Anh): *Cove Creek Township*) là một [xã](/wiki/X%C3%A3_c%E1%BB%A7a_Hoa_K%E1%BB%B3) thuộc [quận Washington](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Washington,_Arkansas), tiểu bang [Arkansas](/wiki/Arkansas), [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3). Năm 2010, dân số của xã này là 715 người. [[1]](#cite_note-1)
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=X%C3%A3_Cove_Creek,_Qu%E1%BA%ADn_Washington,_Arkansas&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=X%C3%A3_Cove_Creek,_Qu%E1%BA%ADn_Washington,_Arkansas&action=edit§ion=1)] [^](#cite_ref-1) [“2010 Census Gazetteer Files”](http://www.census.gov/geo/www/gazetteer/gazetteer2010.html). [Cục Thống kê Dân số Hoa Kỳ](/wiki/C%E1%BB%A5c_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA_D%C3%A2n_s%E1%BB%91_Hoa_K%E1%BB%B3). Truy cập ngày 13 tháng 10 năm 2012.

X-Cache: cp1055 miss, cp1065 miss


markdown:
Bạn đang đọc bài viết
**#8 - Bộ ảnh theo phong cách Công chúa ngủ trong rừng cho 12 cung hoàng đạo** tại **12CungSao.Com**, bạn sẽ tìm hiểu về
*Xem và tải Bộ ảnh theo phong cách Công chúa ngủ trong rừng cho 12 cung hoàng đạo tại 12 Cung Sao cả nhà nhé!*
. Cùng khám phá những thông tin lý thú và bổ ích về chiêm tinh học tại ** cực hấp dẫn! 12 Cung Sao** **Tiếp tục với những chia sẻ về hình ảnh của** [12 cung hoàng đạo](http://www.12cungsao.com/), hôm nay 12 Cung Sao mang đến cho bạn một bộ ảnh mang phong cách Công chúa ngủ trong rừng của 12 chòm sao. Với phong cách rất độc đáo, bí ẩn, được phác họa trên nền tối với các màu sắc nóng ấn tượng chủ đạo, lấy ý tưởng từ các sợi vải...chắc chắn sẽ làm cái bạn xem thấy hài lòng. *Cung Bảo Bình trông thật ngây thơ và trong sáng trong hình ảnh này đúng không nào?*
Giờ thì cùng 12 Cung Sao chiêm ngưỡng bộ ảnh tuyệt vời theo phong cách Công chúa ngủ trong rừng cho 12 cung hoàng đạo cả nhà nhé. Để trải nghiệm tuyệt vời hơn bộ ảnh này, hãy
**để xem trọn vẹn nha!** *click vào ảnh*
Vậy là xong bộ ảnh
**12 cung hoàng đạo**theo phong cách công chúa ngủ trong rừng rồi, các bạn nhà ta nếu thấy đẹp và thích thì hãy share đến bạn bè của mình nha. Mỗi ngày 12 Cung Sao đều cho ra bộ ảnh mới, các bạn vào để đón xem hí! **Theo Hình ảnh 12 Cung Hoàng Đạo** **Bản quyền thuộc** [Mật ngữ 12 chòm sao](http://www.12cungsao.com/)@12CungSao.Com
## Bạn là chòm sao nào?
![ Aries](https://lh5.googleusercontent.com/-6vrMnmoYIEU/Vb7RoCSLVAI/AAAAAAAAI3Y/2NPEZKHAG9s/s1600/aries.jpg)
Bạch dương
![ Aries](https://lh5.googleusercontent.com/-6vrMnmoYIEU/Vb7RoCSLVAI/AAAAAAAAI3Y/2NPEZKHAG9s/s1600/aries.jpg)
Bạch dương
21/03 - 19/04
![ Taurus](https://lh5.googleusercontent.com/-KEW4R70kFlQ/Vb7RrVE_mKI/AAAAAAAAI4U/etWkss61d4o/s1600/taurus.jpg)
Kim ngưu
![ Taurus](https://lh5.googleusercontent.com/-KEW4R70kFlQ/Vb7RrVE_mKI/AAAAAAAAI4U/etWkss61d4o/s1600/taurus.jpg)
Kim ngưu
20/04 - 20/05
![ Gemini](https://lh5.googleusercontent.com/-ZQmuJ-xCf6o/Vb7RpJROtII/AAAAAAAAI4A/bEe7y58L85U/s1600/gemini.jpg)
Song tử
![ Gemini](https://lh5.googleusercontent.com/-ZQmuJ-xCf6o/Vb7RpJROtII/AAAAAAAAI4A/bEe7y58L85U/s1600/gemini.jpg)
Song tử
21/05 - 20/06
![ Cancer](https://lh5.googleusercontent.com/-6-eAxpK3Qvw/Vb7Rn2XA72I/AAAAAAAAI3c/MM2hSGjMy_s/s1600/cancer.jpg)
Cự giải
![ Cancer](https://lh5.googleusercontent.com/-6-eAxpK3Qvw/Vb7Rn2XA72I/AAAAAAAAI3c/MM2hSGjMy_s/s1600/cancer.jpg)
Cự giải
21/06 - 22/07
![ Leo](https://lh5.googleusercontent.com/-S5o-cSRCoao/Vb7RpSR318I/AAAAAAAAI34/fVEn-hErx48/s1600/leo.jpg)
Sư tử
![ Leo](https://lh5.googleusercontent.com/-S5o-cSRCoao/Vb7RpSR318I/AAAAAAAAI34/fVEn-hErx48/s1600/leo.jpg)
Sư tử
23/07 - 22/08
![ Virgo](https://lh5.googleusercontent.com/-4eBSvko_kMM/Vb7RrrtAVOI/AAAAAAAAI4o/2yrWsz9wH04/s1600/virgo.jpg)
Xử nữ
![ Virgo](https://lh5.googleusercontent.com/-4eBSvko_kMM/Vb7RrrtAVOI/AAAAAAAAI4o/2yrWsz9wH04/s1600/virgo.jpg)
Xử nữ
23/08 - 22/09
![ Libra](https://lh5.googleusercontent.com/-JsHuMVqGpNE/Vb7RptRxm7I/AAAAAAAAI3w/aP4ijszHN8c/s1600/libra.jpg)
Thiên bình
![ Libra](https://lh5.googleusercontent.com/-JsHuMVqGpNE/Vb7RptRxm7I/AAAAAAAAI3w/aP4ijszHN8c/s1600/libra.jpg)
Thiên bình
23/09 - 22/10
![ Scorpio](https://lh5.googleusercontent.com/-90fadjThvlU/Vb7RrPKmdJI/AAAAAAAAI4c/733GbO0_i0c/s1600/scorpio.jpg)
Thần nông
![ Scorpio](https://lh5.googleusercontent.com/-90fadjThvlU/Vb7RrPKmdJI/AAAAAAAAI4c/733GbO0_i0c/s1600/scorpio.jpg)
Thần nông
23/10 - 21/11
![ Sagittarius](https://lh5.googleusercontent.com/-aIEh3ABgqTM/Vb7RqsqH7fI/AAAAAAAAI4M/we9QPoxfqrs/s1600/sagittarius.jpg)
Nhân mã
![ Sagittarius](https://lh5.googleusercontent.com/-aIEh3ABgqTM/Vb7RqsqH7fI/AAAAAAAAI4M/we9QPoxfqrs/s1600/sagittarius.jpg)
Nhân mã
22/11 - 21/12
![ Capricorn](https://lh5.googleusercontent.com/-_fTmQvbwt18/Vb7Ro1pLp3I/AAAAAAAAI3g/Vpwkb2GniG4/s1600/capricorn.jpg)
Ma kết
![ Capricorn](https://lh5.googleusercontent.com/-_fTmQvbwt18/Vb7Ro1pLp3I/AAAAAAAAI3g/Vpwkb2GniG4/s1600/capricorn.jpg)
Ma kết
22/12 - 19/01
![ Aquarius](https://lh5.googleusercontent.com/-rLN0YgV5lpo/Vb7RoPhSwaI/AAAAAAAAI3U/D4nbwl-56fE/s1600/aquarius.jpg)
Bảo bình
![ Aquarius](https://lh5.googleusercontent.com/-rLN0YgV5lpo/Vb7RoPhSwaI/AAAAAAAAI3U/D4nbwl-56fE/s1600/aquarius.jpg)
Bảo bình
20/01 - 18/02
![ Pisces](https://lh5.googleusercontent.com/-nkqwCLr9bU0/Vb7RqRVQCeI/AAAAAAAAI4I/I57xir72kE0/s1600/pisces.jpg)
Song ngư
![ Pisces](https://lh5.googleusercontent.com/-nkqwCLr9bU0/Vb7RqRVQCeI/AAAAAAAAI4I/I57xir72kE0/s1600/pisces.jpg)
Song ngư
19/02 - 20/03
## Bạn là con giáp nào?
![ Ty](https://lh5.googleusercontent.com/-YDnN0bFY3mM/VeFpDrehWeI/AAAAAAAAJtk/xOB_Vbg9_AU/s1600/ty.png)
Tuổi Tý
![ Ty](https://lh5.googleusercontent.com/-YDnN0bFY3mM/VeFpDrehWeI/AAAAAAAAJtk/xOB_Vbg9_AU/s1600/ty.png)
Tuổi Tý
Chuột
![ Suu](https://lh5.googleusercontent.com/-1nDetOzMj2Y/VeFpCW2crkI/AAAAAAAAJtE/LmtwK_WpRWU/s1600/suu.png)
Tuổi Sửu
![ Suu](https://lh5.googleusercontent.com/-1nDetOzMj2Y/VeFpCW2crkI/AAAAAAAAJtE/LmtwK_WpRWU/s1600/suu.png)
Tuổi Sửu
Trâu
![ Dan](https://lh5.googleusercontent.com/-h-GeNp2GheE/VeFpA5z-p5I/AAAAAAAAJsk/NRuthmpgmGs/s1600/dan.png)
Tuổi Dần
![ Dan](https://lh5.googleusercontent.com/-h-GeNp2GheE/VeFpA5z-p5I/AAAAAAAAJsk/NRuthmpgmGs/s1600/dan.png)
Tuổi Dần
Hổ
![ Mao](https://lh5.googleusercontent.com/-PBevMsFGngY/VeFpBhXsYXI/AAAAAAAAJs0/r5_bhSbCnbQ/s1600/mao.png)
Tuổi Mão
![ Mao](https://lh5.googleusercontent.com/-PBevMsFGngY/VeFpBhXsYXI/AAAAAAAAJs0/r5_bhSbCnbQ/s1600/mao.png)
Tuổi Mão
Mèo
![ Thin](https://lh5.googleusercontent.com/-atIw5wMZ3FA/VeFpC9oHo4I/AAAAAAAAJtQ/Cv3h484XfAY/s1600/thin.png)
Tuổi Thìn
![ Thin](https://lh5.googleusercontent.com/-atIw5wMZ3FA/VeFpC9oHo4I/AAAAAAAAJtQ/Cv3h484XfAY/s1600/thin.png)
Tuổi Thìn
Rồng
![ Ti](https://lh5.googleusercontent.com/-YDnN0bFY3mM/VeFpDrehWeI/AAAAAAAAJtk/xOB_Vbg9_AU/s1600/ty.png)
Tuổi Tị
![ Ti](https://lh5.googleusercontent.com/-YDnN0bFY3mM/VeFpDrehWeI/AAAAAAAAJtk/xOB_Vbg9_AU/s1600/ty.png)
Tuổi Tị
Rắn
![ Ngo](https://lh5.googleusercontent.com/-V7sGKP1-zAA/VeFpCHHKpII/AAAAAAAAJtA/8HUAbi0j-v8/s1600/ngo.png)
Tuổi Ngọ
![ Ngo](https://lh5.googleusercontent.com/-V7sGKP1-zAA/VeFpCHHKpII/AAAAAAAAJtA/8HUAbi0j-v8/s1600/ngo.png)
Tuổi Ngọ
Ngựa
![ Mui](https://lh5.googleusercontent.com/-h1aTgJAMYmg/VeFpB5cKTyI/AAAAAAAAJs4/1IiSlp1gkzw/s1600/mui.png)
Tuổi Mùi
![ Mui](https://lh5.googleusercontent.com/-h1aTgJAMYmg/VeFpB5cKTyI/AAAAAAAAJs4/1IiSlp1gkzw/s1600/mui.png)
Tuổi Mùi
Dê
![ Than](https://lh5.googleusercontent.com/-Za0t9mORVck/VeFpCuzEI1I/AAAAAAAAJtI/_vTRvQTOGww/s1600/than.png)
Tuổi Thân
![ Than](https://lh5.googleusercontent.com/-Za0t9mORVck/VeFpCuzEI1I/AAAAAAAAJtI/_vTRvQTOGww/s1600/than.png)
Tuổi Thân
Khỉ
![ Dau](https://lh5.googleusercontent.com/-ykpwUQXAYas/VeFpBAyUArI/AAAAAAAAJss/feWFtZnlIgc/s1600/dau.png)
Tuổi Dậu
![ Dau](https://lh5.googleusercontent.com/-ykpwUQXAYas/VeFpBAyUArI/AAAAAAAAJss/feWFtZnlIgc/s1600/dau.png)
Tuổi Dậu
Gà
![ Tuat](https://lh5.googleusercontent.com/-c94g85t_25g/VeFpDenr66I/AAAAAAAAJtY/ef1cIIGiCU0/s1600/tuat.png)
Tuổi Tuất
![ Tuat](https://lh5.googleusercontent.com/-c94g85t_25g/VeFpDenr66I/AAAAAAAAJtY/ef1cIIGiCU0/s1600/tuat.png)
Tuổi Tuất
Chó
![ Hoi](https://lh5.googleusercontent.com/-Qv-26GRzcA8/VeFpBGeTRyI/AAAAAAAAJso/ElLMnAvQfuY/s1600/hoi.png)
Tuổi Hợi
![ Hoi](https://lh5.googleusercontent.com/-Qv-26GRzcA8/VeFpBGeTRyI/AAAAAAAAJso/ElLMnAvQfuY/s1600/hoi.png)
Tuổi Hợi
Heo
## 0 nhận xét:
## Đăng nhận xét

Server: GSE

Cache-Control: private, max-age=0

X-XSS-Protection: 1; mode=block


markdown: Đăng tin

X-Cache: ZIP

Server: Chotot

Vary: User-Agent

render: client

Content-Type: text/html; charset=utf-8

X-Powered-By: Chotot