text:
kem upsize
Winmax ht điều trị yếu tinh trùng
WONDER POTION là sản phẩm thuốc kích thích tình dục, sản phẩm này có tác dụng tương tự như thuốc kích dục nữ dạng nước, WONDER POTION được nhập khẩu từ Mỹ do Doc Johnson, một nhãn hiệu uy tín của Mỹ sản xuất, giờ đây sản phẩm này đã được phân phối ở Việt Nam. WONDER POTION có tác dụng hồi phục khả năng tình dục cho các bạn chỉ trong một thời gian ngắn, hơn nữa nó còn khơi gợi thêm cảm xúc nhục dục trong cơ thể của bạn, khiến cho bạn không ngừng nghĩ đến những khoái cảm tình dục khi sử dụng loại sản phẩm này .
Vitamin B12, B6 có trong sản phẩm hổ trợ mạnh mẽ và kích thích trực tiếp lên hệ thống thần kinh gây hưng phấn tình dục. Thành phần Niacin trực tiếp tấn công đến vùng kích dục trong hệ thống thần kinh trung ương gây nên những cơn khoái cảm, kích thích động tình. Khi bạn tình âu yếm, vuốt ve cơ thể bạn sẽ có cảm giác hưng phấn tình dục đến cao độ. Một lượng nhỏ vừa đủ WONDER POTION sẽ khiến bạn chinh phục đỉnh cao cùng với bạn tình của mình. Nên nhớ rằng WONDER POTION không có tác dụng mãnh liệt như các loại thuốc uống kích thích tình dục nữ dạng nước khác mà WONDER POTION từ từ ngấm dần vào cơ thể của người sử dụng. Khi hiệu quả của WONDER POTION phát huy tác dụng đến đỉnh điểm thì cơ thể của bạn sẽ không chống cự lại được
Thông tin sản phẩm:
Thuốc uống kích thích tình dục WONDER POTION là sản phẩm tiên tiến nhất trong năm 2013, nhập khẩu từ nhà sản xuất thuốc kích thích tình dục hàng đầu của Hoa Kỳ. Công dụng của WONDER POTION chỉ là kích thích tình dục cho người sử dụng. Các hợp chất có trong WONDER không ngừng nâng cao khoái cảm tình dục cho người sử dụng. Những ai cảm thấy mình không tự tin trong chuyện phòng the thì WONDER POTION chính là phương pháp cho các bạn. Để giữ vững hạnh phúc trong gia đình thì quan hệ tình dục là điều không thể thiếu. Nếu bạn có khó khăn trong vấn đề đó thì đừng ngần ngại mà hãy liên hệ với chúng tôi để chúng tôi tư vấn cho bạn tốt nhất về WONDER POTION. Lưu ý WONDER POTION không có tác dụng mạnh như các loại thuốc mê kích dục trung quốc đang bán tràn lan ngoài thị trường, WONDER POTION chỉ mang tính năng tương tự như thuốc kích dục nữ dạng nước do đó các bạn cần cân nhắc khi sử dụng. DĨ nhiên WONDER POTION có công dụng kích thích tình dục cho cả nam và nữ nhưng loại thuoc kich duc nu dang nuoc của Doc Jonson chỉ thật sự phát huy công dụng cao nhất với nữ giới.
Sản phẩm WONDER hòa tan được trong nước nên có thể pha chung với các loại thức uống khác ngoài ra bạn nên lưu ý các báo cáo chưa được đánh giá của Cục Quản lý Thực phẩm và Dược thì sản phẩm này không dùng để chẩn đoán, điều trị, chữa bệnh hoặc ngăn chặn bất cứ bệnh nào. Chúng tôi cũng sẽ không chịu trách nhiệm nếu khách hàng sử dụng sản phẩm thuốc kích dục nữ dạng nước này làm hại tới người khác.
Công dụng:
- Tăng kích thích tình dục phụ nữ tự nhiên - hiệu quả và an toàn.
- Thuốc uống kích thích tình dục phụ nữ WONDER POTION giúp bạn mạnh mẽ hơn, tự tin hơn trong quan hệ.
- Kéo dài thời gian quan hệ tình dục nam nữ.
- Cải thiện nhiều vấn đề sinh lý nữ khác như lãnh cảm, ít ham muốn, hay stress.
- WONDER POTION mang tính năng tương tự như thuốc kích dục nữ dạng nước khác trên thị trường nhưng do được sản xuất ở Mỹ nên rất an toàn khi sử dụng, ngoài ra chúng tôi còn cung cấp thêm cho các bạn loại thuốc kích dục nữ dạng xịt. Cả hai loại đều được coi như là sản phẩm thuốc kích thích tình dục tốt nhất trong năm 2013
Hướng dẫn sử dụng:
- Chai 60ml, dùng mỗi lần 5ml đến 10ml trước khi quan hệ tình dục 2 tiếng đồng hồ. Dùng cho nữ giới uống trực tiếp hoặc pha với nước ngọt, sinh tố, v.v.v…
- Đối tượng sử dụng là Chồng pha cho Vợ uống để kích thích ham muốn tình dục phụ nữ cực độ một cách tự nhiên hoạc bạn trai pha cho bạn gái uống để tăng khoái cảm của cuộc yêu thêm mặn nồng, nên dùng công khai để thoái mái về tâm sinh lý của cả 2 bên.
- Nam giới cũng có thể dùng nếu muốn tăng ham muốn và khoái cảm tự nhiệt tột đỉnh cùng bạn tình của mình trong cuộc yêu.
Hãng sản xuất: Doc Johnson - Xuất xứ: Hoa Kỳ - Nhập khẩu: Hoa Kỳ.
Lưu ý:
Sản phẩm WONDER POTION không phải là thuốc kích dục mà WONDER POTION có tác dục quyến rũ, gợi cảm, kích thích tình dục một cách tự nhiên, kích thích hương phấn ham muốn người yêu, vợ trong phòng the 1 cách tự nhiên an toàn hiệu quả. Không gây tác dụng phụ như thuốc kích dục đang bán tràn lan trên thị trường. Sản phẩm Hàng Công Ty USA Hợp pháp tại Hoa Kỳ có giá trị pháp lý toàn cầu.
Nhiều cửa hàng xxx vẫn tiếp tục bày bán các mặt hàng thuốc kích dục nam nữ không rõ nguồn gốc xuất xứ, gây nguy hiểm cho xã hội mà báo trí đã lên án trong thời gian vừa qua. Không liên hệ với chúng tôi những loại thuốc kích dục đã bị báo trí cảnh báo về tính nguy hại của nó.
Tư vấn nam giới
Tư vấn nữ giới
Tư vấn khách hàng
LIÊN HỆ ĐƯỢC ĐẶT HÀNG MIỄN PHÍ TRÊN TOÀN QUỐC : 0938 03 7010 Mr.TÌNH
xuất tinh sớm ở đàn ông cách khắc phục,
tăng kích thước dương vật cho chàng,
nước hoa kích dục tăng hưng phấn cho nam nữ
TIN HOT: "Cung cấp gel titanchính hãng giá rẻ" và các loại gel tian maxman chính hãng Hoa Kỳ
>> Bán Gel Titan Chính Hãng giảm ngay 20% khi mua 2 lọ.
>>Mẹo hay chống xuất tinh sớm hiệu quả hơn 90% , Xpower kéo dài thời gian quan hệ
Bí quyết chữa xuất tinh sớm bằng thuốc điều trị xuất tinh sớm Gravimax-rx của Mỹ
Bán Gel Titan tăng kích thước cậu nhỏ | Gel titan ngoại nhập | Sử dụng gel titan có hại không?
BÁN SẢN PHẨM HỖ TRỢ NAM GIỚI BỊ YẾU TINH TRÙNG - THUỐC CHỮA YẾU TINH TRÙNG - ĐIỀU TRỊ YẾU TINH TRÙNG - HỖ TRỢ ĐIỀU TRỊ VÔ SINH NAM - NƯỚC HOA KÍCH DỤC - ĐỒ CHƠI TÌNH DỤC
Tại shop yeutinhtrung.net có bán các loại sản phẩm thuốc chữa yếu tinh trùng, điều trị yếu tinh trùng, thuốc sinh lý dành cho nam giới và nữ giới cùng nước hoa tình yêu... Giúp nam giới tăng chất lượng tinh trùng, tăng số lượng, tăng độ di động, tăng sinh tinh dưỡng tinh, khỏe tinh trợ giúp nam giới trong quá trình thụ thai làm tăng khả năng có thai cho phụ nữ.
UY TÍN - CHẤT LƯỢNG - CÓ BẢO HÀNH 100 NGÀY SỬ DỤNG
Liên hệ tư vấn sản phẩm & đặt hàng Hotline: 0944 172 791 Mr.TÌNH GIAO HÀNG TẬN NƠI HN & TP.HCM (BÁN HÀNG TOÀN QUỐC)


text:
Xemphim5s.com - Xem phim online, Phim HD, Full HD miễn phí, chất lượng hình ảnh rõ nét, tốc độ tải phim nhanh, không phải chờ đợi lâu. Xemphim5s.com luôn cập nhật phim mới để để mang đến cho các bạn những bộ phim hành động, võ thuật, phim bộ, các thể loại phim tâm lý, tình cảm, phim cấp 3, phim 18+ cực lôi cuốn và hấp dẫn nhất. Đặc biệt website rất thân thiện với người dùng và hạn chế tối đa các quảng cáo gây khó chịu khi xem phim. Chúc các bạn xem phim vui vẻ.
Naruto ??i chi?n - Game th? b�i th? h? m?i tr�n n?n t?ng di ??ng b�m s�t b?i c?nh c?ng nh? n?i...
S? D?NG N�T "T?T ?�N" B�N D??I KHI XEM PHIM S? T?T H?N CHO M?T C?A B?N !
- [Xemphim5s.com]- Website xem phim trực tuyến nhanh nhất, bao gồm kho phim khổng lồ server youtube, picasa,zing,clip,...
- Nếu bạn không xem được phim vui lòng nhấn Ctrl + F5 vài lần. Hoặc chuyển sang Server khác để xem.
- Xem phim tốt nhất trên trình duyệt Chrome và Firefox, nhấn vào đây để tải Firefox miễn phí
- Nếu xem phim gặp lỗi gì vui lòng sử dụng chức năng bình luận tại [Xemphim5s.com] ở bên dưới để ghi lại lỗi mà bạn gặp phải
- Báo Lỗi Phim Tại Đây.
- Chọn: 360p - Xem phim tốc độ nhanh nhất | 720p : Chuẩn HD - Xem phim độ nét cao đẹp nhất.
Đang xem: Thúy Nga PARIS BY NIGHT 109 năm 2013 (trailer)
Thêm vào hộp
56 Like
Tắt quảng cáo
AutoNext: On
Phóng to
Tắt đèn
Thuy nga 109 song list – Ánh đèn màu (Phạm Duy)_ Ngọc Anh – All I ask of you (The phantom of the Opera ost)_ Tuấn Ngọc + Khánh Hà (2 vũ công khiêu vũ giữa sân khấu nữa thì tuyệt) – Túp lều lí tưởng (?)_ Ánh Minh + Anh Tú – Thu ca [...]
Download Thúy Nga PARIS BY NIGHT 109 năm 2013 (trailer)
Bình luận
Xemphim5s.com
?ng d?ng cung c?p th�ng tin khuy?n m?i.
Bạn đã xem các phim sau chưa ?
- Paris By Night 107 2013 Full HD7 like92 Phút
- Paris by night 1076 like200 Phút
- PARIS BY NIGHT 105 full HD9 like270 Phút
- PARIS BY NIGHT 10865 like2 DVD
8/10 stars from 200 users. Reviews: 50.

markdown: **Xemphim5s.com** - [, Xem phim online](http://xemphim5s.com) [,](http://xemphim5s.com) **Phim HD** [miễn phí, chất lượng hình ảnh rõ nét, tốc độ tải phim nhanh, không phải chờ đợi lâu.](http://xemphim5s.com) **Full HD** [luôn cập nhật](http://xemphim5s.com) **Xemphim5s.com** [để để mang đến cho các bạn những bộ](http://xemphim5s.com/phim-moi/) **phim mới** [,](http://xemphim5s.com/phim-hanh-dong/) **phim hành động** [võ thuật,](http://xemphim5s.com/phim-vo-thuat) [, các thể loại](http://xemphim5s.com/phim-bo/) **phim bộ** [,](http://xemphim5s.com/phim-tam-ly-xa-hoi) *phim tâm lý* [,](http://xemphim5s.com/phim-tinh-cam) *tình cảm* [cực lôi cuốn và hấp dẫn nhất. Đặc biệt website rất thân thiện với người dùng và hạn chế tối đa các quảng cáo gây khó chịu khi](http://xemphim5s.com/phim-18) *phim cấp 3, phim 18+* [. Chúc các bạn xem phim vui vẻ.](http://xemphim5s.com/) **xem phim**

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

Server: nginx admin

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Connection: close

Vary: Accept-Encoding

X-Cache: HIT from Backend


text:
Xem full hot nhất có link download tải về
Xem online tuyển tập phimsecchaua full hot nhất đang gây sốt, bạn có thể download tải phimsecchaua về miễn phí một cách nhanh nhất trên xinhkieu.com
Trọn bộ phimsecchaua mới nhất hiện nay.
Đây là những hình ảnh và video clip mới đăng tải giới thiệu Nóng mắt với cơ thể đẹp của cô nàng hót girl này khi mà người đẹp này lôi cuốn với cơ thể bốc lửa của mình đẹp khi khoe nữa dưới của ngực khủng nóng bỏng của mình. Trong nền ảnh trắng cô nàng xvideo tạo giáng khi với cái quần đùi cô nàng lôi cuốn với áo ba lỗ vén áo khoe nữa dưới bầu ngực nhìn người đẹp này lôi.
Hình ảnh giới thiệu phimsecchaua nóng bỏng.
Tuyển tập phimsecchaua phiên bản mới nhất vừa mới ra mắt, phimsecchaua hấp dẫn khi chơi Vụ tung ảnh nóng lên mạng rùm beng đang gây sốc cho cộng đồng mạng cũng như nạn nhân bị tung ảnh Sex lên mạng đầu tiên của năm 2016 là một cô giáo đang là giáo viên công tác ở Tỉnh Bắc Giang. Khi hình ảnh của cô giáo này xuất hiện thì hàng loạt các trang mạng cũng như facebook đăng tải lan truyền nhau với tốc độ chóng mặt.
Xem video clip phimsecchaua hấp dẫn nhất.
Mặt khác phimsecchaua Bộ phim88.net với cảnh khoe ảnh nóng 100% của em diễn viên phim cấp 3 Maria Ozawa siêu nóng bỏng mới nhất năm 2014 mà khi xem sẽ cảm thấy thốn cả tim dưới 18+ nên out. Maria Ozawa trên phim88.net nổi tiếng trên khắp thế giới về những kiểu ảnh ngươi lớn với biệt danh thánh nữ

markdown:
## Xem full hot nhất có link download tải về
Xem online tuyển tập
[ full hot nhất đang gây sốt, bạn có thể download tải phimsecchaua]() [về miễn phí một cách nhanh nhất trên xinhkieu.com]() **phimsecchaua** **Trọn bộ phimsecchaua mới nhất hiện nay.**
Đây là những hình ảnh và video clip mới đăng tải giới thiệu Nóng mắt với cơ thể đẹp của cô nàng hót girl này khi mà người đẹp này lôi cuốn với cơ thể bốc lửa của mình đẹp khi khoe nữa dưới của ngực khủng nóng bỏng của mình. Trong nền ảnh trắng cô nàng xvideo tạo giáng khi với cái quần đùi cô nàng lôi cuốn với áo ba lỗ vén áo khoe nữa dưới bầu ngực nhìn người đẹp này lôi.
**Hình ảnh giới thiệu phimsecchaua nóng bỏng.**
Tuyển tập
**phimsecchaua** phiên bản mới nhất vừa mới ra mắt, **phimsecchaua** hấp dẫn khi chơi Vụ tung ảnh nóng lên mạng rùm beng đang gây sốc cho cộng đồng mạng cũng như nạn nhân bị tung ảnh Sex lên mạng đầu tiên của năm 2016 là một cô giáo đang là giáo viên công tác ở Tỉnh Bắc Giang. Khi hình ảnh của cô giáo này xuất hiện thì hàng loạt các trang mạng cũng như facebook đăng tải lan truyền nhau với tốc độ chóng mặt. **Xem video clip phimsecchaua hấp dẫn nhất.**
Mặt khác
**phimsecchaua** Bộ phim88.net với cảnh khoe ảnh nóng 100% của em diễn viên phim cấp 3 Maria Ozawa siêu nóng bỏng mới nhất năm 2014 mà khi xem sẽ cảm thấy thốn cả tim dưới 18+ nên out. Maria Ozawa trên phim88.net nổi tiếng trên khắp thế giới về những kiểu ảnh ngươi lớn với biệt danh thánh nữ
### Xem phim online:
[Phim sex nhật bản](http://xinhkieu.com/online/phim-sex-nhat-ban-c2.html)
### Những từ khóa được tìm kiếm nhiều:
[phim heo trung quoc](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-trung-quoc/)| [phim heo tuoi moi lon](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-tuoi-moi-lon/)| [phim heo vang](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-vang/)| [phim heo vang anh](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-vang-anh/)| [phim heo viet](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-viet/)| [phim heo viet nam](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-viet-nam/)| [phim heo viet nam co long tieng](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-viet-nam-co-long-tieng/)| [phim heo vietnam](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-vietnam/)| [phim heo việt nam lồn.vú](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-viẹt-nam-lònvú/)| [phim heo vo tac thiên](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-vo-tac-thien/)| [phim heo vung tron](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-vung-tron/)| [phim heo xinh](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-xinh/)| [phim heo đây](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-day/)| [phim heo. com va heo dam](http://xinhkieu.com/search/phim-heo-com-va-heo-dam/)| [phim heo.com.vn](http://xinhkieu.com/search/phim-heocomvn/)| [phim heo.net](http://xinhkieu.com/search/phim-heonet/)| [phim heodam](http://xinhkieu.com/search/phim-heodam/)| [phim heonguoi](http://xinhkieu.com/search/phim-heonguoi/)| [phim heosex](http://xinhkieu.com/search/phim-heosex/)| [phim heoviet nam](http://xinhkieu.com/search/phim-heoviet-nam/)|

Content-Type: text/html

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache


text:
Atlanta, Illinois
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Atlanta là một thành phố thuộc quận Logan, tiểu bang Illinois, Hoa Kỳ. Năm 2010, dân số của thành phố này là 1692 người.[1]
Dân số[sửa | sửa mã nguồn]
Dân số qua các năm:
- Năm 2000: 1649 người.
- Năm 2010: 1692 người.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ “2010 Census Gazetteer Files”. Cục Thống kê Dân số Hoa Kỳ. Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2012.

markdown:
# Atlanta, Illinois
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|Atlanta|
|— Thành phố —|
|Atlanta, Illinois|
|
|![]()
Vị trí bang Illinois, Hoa Kỳ
[Quốc gia](/wiki/Qu%E1%BB%91c_gia) [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3) [Tiểu bang](/wiki/Ti%E1%BB%83u_bang_Hoa_K%E1%BB%B3) [Illinois](/wiki/Illinois) [Quận](/w/index.php?title=Danh_d%C3%A1ch_c%C3%A1c_qu%E1%BA%ADn_%E1%BB%9F_Illinois&action=edit&redlink=1) [Quận Logan](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Logan,_Illinois) [Múi giờ](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D) [CST](/wiki/M%C3%BAi_gi%E1%BB%9D_mi%E1%BB%81n_Trung_(B%E1%BA%AFc_M%E1%BB%B9))( [UTC-6](/wiki/UTC-6)) [DST](/wiki/Quy_%C6%B0%E1%BB%9Bc_gi%E1%BB%9D_m%C3%B9a_h%C3%A8)) **CDT**( [UTC-5](/wiki/UTC-5)) **Atlanta** là một [thành phố](/wiki/Th%C3%A0nh_ph%E1%BB%91) thuộc [quận Logan](/wiki/Qu%E1%BA%ADn_Logan,_Illinois), tiểu bang [Illinois](/wiki/Illinois), [Hoa Kỳ](/wiki/Hoa_K%E1%BB%B3). Năm 2010, dân số của thành phố này là 1692 người. [[1]](#cite_note-1)
## Dân số[
[sửa](/w/index.php?title=Atlanta,_Illinois&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Atlanta,_Illinois&action=edit§ion=1)]
Dân số qua các năm:
- Năm 2000: 1649 người.
- Năm 2010: 1692 người.
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Atlanta,_Illinois&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Atlanta,_Illinois&action=edit§ion=2)] [^](#cite_ref-1) [“2010 Census Gazetteer Files”](http://www.census.gov/geo/www/gazetteer/gazetteer2010.html). [Cục Thống kê Dân số Hoa Kỳ](/wiki/C%E1%BB%A5c_Th%E1%BB%91ng_k%C3%AA_D%C3%A2n_s%E1%BB%91_Hoa_K%E1%BB%B3). Truy cập ngày 7 tháng 10 năm 2012.

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wikipedia.org

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Content-Language: vi

X-UA-Compatible: IE=Edge

X-Cache: cp1053 miss, cp1065 miss

Vary: Accept-Encoding,Cookie,Authorization

Accept-Ranges: bytes


text:
Phương trình bậc hai
Trong đại số sơ cấp, phương trình bậc hai là bất kỳ phương trình có dạng:
với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Nếu a = 0 thì phương trình sẽ chuyển về dạng bậc nhất, không còn là bậc hai. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay số hạng tự do.[1]
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng phương trình đa thức, cụ thể là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.
Mục lục
- 1 Giải phương trình bậc hai
- 2 Lịch sử
- 3 Công thức Viète
- 4 Các trường hợp nhận biết đặc biệt
- 5 Chủ đề liên quan
- 6 Tham khảo
- 7 Liên kết ngoài
Giải phương trình bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]
Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.
Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra[sửa | sửa mã nguồn]
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.[2]:202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng x2 + bx + c = 0 (a = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"[3]) Ví dụ, x2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.[2]:207
Phần bù bình phương[sửa | sửa mã nguồn]
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:
một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.[2]:207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0
- Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.
- Trừ c/a mỗi vế.
- Thêm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
- Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
- Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
- Giải hai phương trình bậc nhất.
Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2x2 + 4x − 4 = 0
Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.[4]
Công thức nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]
Có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.[5] Giờ là phần chứng minh tóm tắt.[6] Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:
Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được:
Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như ax2 + 2bx + c = 0 hoặc ax2 − 2bx + c = 0 ,[7] ở đây b có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.
Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.
Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và có thể tìm được từ công thức Viet:
Một tính chất của công thức này là khi a = 0 nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp.
Phương trình bậc hai rút gọn[sửa | sửa mã nguồn]
Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:[8]
trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:
Biệt thức[sửa | sửa mã nguồn]
Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:[9]
Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:
- Nếu Δ dương (Δ > 0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-
- cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, nếu Δ là một số chính phương thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các số vô tỉ.
- Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm thực:
-
- hay đôi khi còn gọi là nghiệm kép.
-
- là những số phức liên hợp, còn i là đơn vị ảo.
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0) .
Diễn giải bằng hình học[sửa | sửa mã nguồn]
Hàm số f(x) = ax2 + bx + c là hàm số bậc hai.[11] Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu a < 0, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này có hoành độ , tính x rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ (0, c).
Các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 tương ứng là các nghiệm của hàm số f(x) = ax2 + bx + c bởi chúng là những giá trị của x để cho f(x) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác định của hàm f là tập hợp số thực thì nghiệm của f là hoành độ của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3).
Nhân tử hóa đa thức bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]
Biểu thức
là nhân tử của đa thức
khi và chỉ khi r là một nghiệm của phương trình bậc hai
Từ công thức nghiệm ta có
Trong trường hợp đặc biệt b2 = 4ac (hay Δ = 0) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên, các nhà toán học Babylon đã có thể giải những bài toán liên quan đến diện tích và các cạnh của hình chữ nhật. Có bằng chứng chỉ ra thuật toán này xuất hiện từ triều đại Ur thứ ba.[12] Theo ký hiệu hiện đại, các bài toán này thường liên quan đến việc giải hệ gồm hai phương trình:
tương đương với phương trình:[13]:86
Các bước giải được người Babylon đưa ra như sau:
- Tính p/2.
- Bình phương kết quả tìm được.
- Trừ đi q.
- Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai.
- Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm x. Điều này về cơ bản là tương đương với việc tính
Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và Ấn Độ, phương pháp hình học được sử dụng để giải phương trình bậc hai. Tài liệu Berlin Papyrus của người Ai Cập có từ thời Trung vương quốc (từ năm 2050 đến 1650 trước CN) có chứa lời giải của phương trình bậc hai hai số hạng.[14] Trong nguyên bản kinh Sulba Sutras, khoảng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng ax2 = c và ax2 + bx = c được khảo sát bằng phương pháp hình học. Các nhà toán học Babylon từ khoản năm 400 trước CN và các nhà toán học Trung Quốc từ khoảng năm 200 trước CN đã sử dụng phương pháp phân chia hình học để giải các phương trình bậc hai với nghiệm dương.[15][16] Cuốn Cửu chương toán thuật của người Trung Quốc có ghi những quy tắc của phương trình bậc hai.[16][17] Trong những phương pháp hình học thuở đầu này không xuất hiện một công thức tổng quát. Tới khoảng năm 300 trước CN, nhà toán học Hy Lạp Euclid đã cho ra một phương pháp hình học trừu tượng hơn. Với cách tiếp cận hoàn toàn bằng hình học, Pythagoras và Euclid đã tạo dựng một phương pháp tổng quan để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Trong tác phẩm Arithmetica của mình, nhà toán học Hy Lạp Diophantus đã giải phương trình bậc hai, tuy nhiên chỉ cho ra một nghiệm, kể cả khi cả hai nghiệm đều là dương.[18]
Vào năm 628 CN, Brahmagupta, một nhà toán học Ấn Độ đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai ax2 + bx = c như sau: "Nhân số tuyệt đối (c) với bốn lần hệ số bình phương, cộng với bình phương hệ số số hạng ở giữa; căn bậc hai toàn bộ, trừ đi hệ số số hạng ở giữa, rồi chia cho hai lần hệ số bình phương là giá trị." (Brahmasphutasiddhanta, Colebrook translation, 1817, tr 346)[13]:87 Điều này tương đương:
Thủ bản Bakhshali ra đời ở Ấn Độ vào thế kỷ 7 CN có chứa một công thức đại số cho việc giải phương trình bậc hai, cũng như những phương trình vô định. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi đi xa hơn trong việc cung cấp một lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát,[19] ông cũng đã mô tả phương pháp phần bù bình phương và thừa nhận rằng biệt thức phải dương,[19][20]:230 điều đã được 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Trung Á, thế kỷ 9) chứng minh. Turk là người đưa ra những biểu đồ hình học chứng minh rằng nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm.[20]:234 Trong khi bản thân al-Khwarizmi không chấp nhận nghiệm âm, các nhà toán học Hồi giáo kế tục ông sau này đã chấp nhận nghiệm âm cũng như nghiệm vô tỉ.[19]:191[21] Cá biệt Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Ai Cập, thế kỷ 10) là người đầu tiên chấp nhận các số vô tỉ (thường ở dạng căn bậc hai, căn bậc ba hay căn bậc bốn) là nghiệm hay là hệ số của phương trình bậc hai.[22] Nhà toán học Ấn Độ thế kỷ thứ 9 Sridhara đã viết ra các quy tắc giải phương trình bậc hai.[23]
Nhà toán học người Do Thái Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là tác giả cuốn sách đầu tiên của người châu Âu có chứa lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát.[24] Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều vào tác phẩm của Al-Khwarizmi.[19] Lần đầu tiên hệ số âm của 'x' xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học người Trung Quốc Yang Hui (1238–1298 CN), dù vậy ông cho điều này là từ nhà toán học Liu Yi ở thời trước đó.[25] Vào năm 1545 Gerolamo Cardano biên soạn các tác phẩm liên quan đến phương trình bậc hai. Công thức nghiệm cho mọi trường hợp lần đầu đạt được bởi Simon Stevin vào năm 1594.[26] Năm 1637 René Descartes công bố tác phẩm La Géométrie trong đó có chứa công thức nghiệm mà chúng ta biết ngày nay. Lời giải tổng quát xuất hiện lần đầu trong tài liệu toán học hiện đại vào năm 1896, bởi Henry Heaton.[27]
Công thức Viète[sửa | sửa mã nguồn]
Công thức Viète cho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau:
- Nếu và là hai nghiệm của phương trình thì:
Các trường hợp nhận biết đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]
Khi phương trình bậc hai đã cho có dấu hiệu sau:
- (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: .
- (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là:
- Nếu (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Chủ đề liên quan[sửa | sửa mã nguồn]
- Phương trình
- Phương trình tuyến tính
- Phương trình bậc ba
- Phương trình bậc bốn
- Phương trình bậc năm
- Lý thuyết cơ bản của đại số
- Hàm số bậc hai
- Đường cong bậc hai
- Mặt bậc hai
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"
- ^ a ă â Washington, Allyn J. (2000). Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition. Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 0-201-35666-X.
- ^ Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Springer, tr. 77, ISBN 9780387974972.
- ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, tr. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
- ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X, Chapter 13 §4.4, p. 291
- ^ Himonas, Alex. Calculus for Business and Social Sciences, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).
- ^ Kahan, Willian (20 tháng 11 năm 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), truy cập ngày 25 tháng 12 năm 2012
- ^ Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. Concise Handbook of Mathematics and Physics, p. 38 (CRC Press 1997)
- ^ Δ is the initial of the Greek word Διακρίνουσα, Diakrínousa, discriminant.
- ^ Achatz, Thomas; Anderson, John G.; McKenzie, Kathleen (2005). Technical Shop Mathematics. Industrial Press. tr. 277. ISBN 0-8311-3086-5.
- ^ Wharton, P. (2006). Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher. Lonsdale. tr. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.
- ^ Friberg, Jöran (2009). “A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”. Cuneiform Digital Library Journal 3.
- ^ a ă Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95336-1.
- ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. tr. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
- ^ Henderson, David W. “Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations”. Mathematics Department, Cornell University. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013.
- ^ a ă Aitken, Wayne. “A Chinese Classic: The Nine Chapters” (PDF). Mathematics Department, California State University. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013.
- ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
- ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics, Volume 1. Courier Dover Publications. tr. 134. ISBN 0-486-20429-4. Extract of page 134
- ^ a ă â b Katz, V. J.; Barton, B. (2006). “Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching”. Educational Studies in Mathematics 66 (2): 185–201. doi:10.1007/s10649-006-9023-7.
- ^ a ă Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Arabic mathematics: forgotten brilliance?”, Dữ liệu Lịch sử Toán học MacTutor, Đại học St. Andrews "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"."
- ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan biên tập (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2
- ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 280. ISBN 978-0-486-20429-1.
- ^ Livio, Mario (2006). The Equation that Couldn't Be Solved. Simon & Schuster. ISBN 0743258215.
- ^ Ronan, Colin (1985). The Shorter Science and Civilisation in China. Cambridge University Press. tr. 15. ISBN 978-0-521-31536-4.
- ^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF) II–B, C. V. Swets & Zeitlinger, tr. 470
- ^ Heaton, H (1896). “A Method of Solving Quadratic Equations”. American Mathematical Monthly 3 (10): 236–237. doi:10.2307/2971099. JSTOR 2971099.

markdown:
# Phương trình bậc hai
Trong
[đại số sơ cấp](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91_s%C6%A1_c%E1%BA%A5p), **phương trình bậc hai** là bất kỳ phương trình có dạng:
với
*x* là ẩn số chưa biết và *a*, *b*, *c* là các số đã biết sao cho *a* khác 0. Nếu *a* = 0 thì phương trình sẽ chuyển về dạng [bậc nhất](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_nh%E1%BA%A5t), không còn là bậc hai. Các số *a*, *b*, và *c* là những * của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số* *hệ số bậc hai*, *hệ số bậc một*, và *hằng số*hay *số hạng tự do*. [[1]](#cite_note-1)
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "
[đơn biến](/w/index.php?title=%C4%90%C6%A1n_bi%E1%BA%BFn&action=edit&redlink=1)". Phương trình bậc hai chỉ chứa [lũy thừa](/wiki/L%C5%A9y_th%E1%BB%ABa) của *x* là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng [phương trình đa thức](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91), cụ thể là [phương trình đa thức bậc hai](/w/index.php?title=B%E1%BA%ADc_c%E1%BB%A7a_%C4%91a_th%E1%BB%A9c&action=edit&redlink=1) do bậc cao nhất là hai.
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là
[nhân tử hóa](/wiki/Ph%C3%A2n_t%C3%ADch_nh%C3%A2n_t%E1%BB%AD) (phân tích thành nhân tử), phương pháp [phần bù bình phương](/wiki/Ph%E1%BA%A7n_b%C3%B9_b%C3%ACnh_ph%C6%B0%C6%A1ng), sử dụng [công thức nghiệm](/wiki/C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_b%E1%BA%ADc_hai), hoặc [đồ thị](/wiki/%C4%90%E1%BB%93_th%E1%BB%8B_h%C3%A0m_s%E1%BB%91). Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.
## Mục lục
[1 Giải phương trình bậc hai](#Gi.E1.BA.A3i_ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_b.E1.BA.ADc_hai) [2 Lịch sử](#L.E1.BB.8Bch_s.E1.BB.AD) [3 Công thức Viète](#C.C3.B4ng_th.E1.BB.A9c_Vi.C3.A8te) [4 Các trường hợp nhận biết đặc biệt](#C.C3.A1c_tr.C6.B0.E1.BB.9Dng_h.E1.BB.A3p_nh.E1.BA.ADn_bi.E1.BA.BFt_.C4.91.E1.BA.B7c_bi.E1.BB.87t) [5 Chủ đề liên quan](#Ch.E1.BB.A7_.C4.91.E1.BB.81_li.C3.AAn_quan) [6 Tham khảo](#Tham_kh.E1.BA.A3o) [7 Liên kết ngoài](#Li.C3.AAn_k.E1.BA.BFt_ngo.C3.A0i)
## Giải phương trình bậc hai[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=1)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Quadratic_equation_coefficients.png/300px-Quadratic_equation_coefficients.png)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Quadratic_equation_coefficients.png/300px-Quadratic_equation_coefficients.png)
*y*= *ax* 2+ *bx*+ *c*với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị *a*= 1, *b*= 0, *c*= 0. Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số *y*= *ax* 2(b = c = 0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số *y*= *x* 2+ *bx*và đồ thị bên trái là của hàm số *y*= *x* 2+ c.
Một phương trình bậc hai với các
[hệ số](/wiki/H%E1%BB%87_s%E1%BB%91) [thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c) hoặc [phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c) có hai đáp số, gọi là các *nghiệm*. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.
### Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=2)]
Phương trình bậc hai
*ax* 2 + *bx* + *c* = 0 có thể viết được thành ( *px* + *q*)( *rx* + *s*) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị *p*, *q*, *r,* và *s* sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu *px* + *q* = 0 hoặc *rx* + *s* = 0. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.
[[2]](#cite_note-Washington2000-2) :202–207 Nếu phương trình bậc hai ở dạng *x* 2 + *bx* + *c* = 0 ( *a* = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành ( *x* + *q*)( *x* + *s*), trong đó *q* và *s* có tổng là *b* và tích là *c* (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet" ) Ví dụ, [3] *x* 2+ 5 *x*+ 6 viết thành ( *x*+ 3)( *x*+ 2). Trường hợp tổng quát hơn khi *a*≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi
*b* = 0 hay *c* = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này. [[2]](#cite_note-Washington2000-2) :207
### Phần bù bình phương[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=3)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/300px-Polynomialdeg2.svg.png)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/300px-Polynomialdeg2.svg.png)
[hàm số bậc hai](/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit&redlink=1) *y*= *x* 2− *x*− 2. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành *x*= −1 và *x*= 2 là nghiệm của phương trình bậc hai *x* 2− *x*− 2 = 0.
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:
một
[thuật toán](/wiki/Thu%E1%BA%ADt_to%C3%A1n) rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào. [[2]](#cite_note-Washington2000-2) :207 Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát *ax* 2 + *bx* + *c* = 0
- Chia hai vế cho
*a*, hệ số của ẩn bình phương.
- Trừ
*c*/ *a*mỗi vế.
- Thêm bình phương của một nửa
*b*/ *a*, hệ số của *x*, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
- Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
- Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
- Giải hai phương trình bậc nhất.
Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2
*x* 2 + 4 *x* − 4 = 0 [Dấu cộng-trừ "±"](/wiki/D%E1%BA%A5u_c%E1%BB%99ng-tr%E1%BB%AB) biểu thị rằng cả *x* = −1 + √3 và *x* = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình. [[4]](#cite_note-4)
### Công thức nghiệm[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=4)]
Có thể áp dụng phương pháp
[phần bù bình phương](/wiki/Ph%E1%BA%A7n_b%C3%B9_b%C3%ACnh_ph%C6%B0%C6%A1ng) để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giờ là phần [5] [chứng minh](/wiki/Ch%E1%BB%A9ng_minh_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)tóm tắt. Bằng [[6]](#cite_note-6) [khai triển đa thức](/wiki/Khai_tri%E1%BB%83n_%C4%91a_th%E1%BB%A9c), dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:
Lấy
[căn bậc hai](/wiki/C%C4%83n_b%E1%BA%ADc_hai) của hai vế rồi chuyển *x* về một bên, ta được:
Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như
*ax* 2 + 2 *bx* + *c* = *0* hoặc *ax* 2 − 2 *bx* + *c* = 0 , ở đây [7] *b*có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.
Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.
Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong
[phương pháp Muller](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_Muller&action=edit&redlink=1) và có thể tìm được từ [công thức Viet](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Vi%C3%A8te):
Một tính chất của công thức này là khi
*a* = *0* nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi *a* = *0* thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp.
### Phương trình bậc hai rút gọn[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=5)]
Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho
[hệ số lớn nhất](/w/index.php?title=H%E1%BB%87_s%E1%BB%91_l%E1%BB%9Bn_nh%E1%BA%A5t&action=edit&redlink=1) bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho *a*, điều này luôn thực hiện được bởi *a* khác 0, ta được *phương trình bậc hai rút gọn*: [[8]](#cite_note-8)
trong đó
*p* = *b*/ *a* và *q* = *c*/ *a*. Công thức nghiệm của phương trình này là:
### Biệt thức[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=6)] ![ ](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Quadratic_eq_discriminant.svg/220px-Quadratic_eq_discriminant.svg.png)
![ ](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Quadratic_eq_discriminant.svg/220px-Quadratic_eq_discriminant.svg.png)
Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là
* và thường được biểu diễn bằng chữ biệt thức* *D*hoa hoặc chữ [delta](/wiki/Delta)hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp: [[9]](#cite_note-9)
Phương trình bậc hai với các hệ số
*thực* có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:
- Nếu Δ dương (Δ > 0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-
- cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số
[hữu tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_h%E1%BB%AFu_t%E1%BB%89), nếu Δ là một [số chính phương](/wiki/S%E1%BB%91_ch%C3%ADnh_ph%C6%B0%C6%A1ng)thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các [số vô tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89).
- Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm
[thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c):
-
- hay đôi khi còn gọi là
[nghiệm kép](/w/index.php?title=Nghi%E1%BB%87m_k%C3%A9p&action=edit&redlink=1).
-
- là những
[số phức liên hợp](/w/index.php?title=S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c_li%C3%AAn_h%E1%BB%A3p&action=edit&redlink=1), còn *i*là [đơn vị ảo](/wiki/%C4%90%C6%A1n_v%E1%BB%8B_%E1%BA%A3o).
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ 0) .
### Diễn giải bằng hình học[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=7)]
Hàm số
*f*( *x*) = *ax* 2 + *bx* + *c* là [hàm số bậc hai](/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit&redlink=1). Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là [11] [parabol](/wiki/Parabol). Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của *a*, *b*, và *c*. Nếu *a*> 0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu *a*< 0, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với [đỉnh](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%89nh_(%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_cong)&action=edit&redlink=1)của nó; điểm này có hoành độ , tính *x*rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ (0, *c*).
Các nghiệm của phương trình bậc hai
*ax* 2 + *bx* + *c* = 0 tương ứng là các [nghiệm](/wiki/Nghi%E1%BB%87m) của hàm số *f*( *x*) = *ax* 2 + *bx* + *c* bởi chúng là những giá trị của *x* để cho *f*( *x*) = 0. Nếu *a*, *b*, và *c* là những [số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c) và [miền xác định](/wiki/Mi%E1%BB%81n_x%C3%A1c_%C4%91%E1%BB%8Bnh) của hàm *f* là tập hợp số thực thì nghiệm của *f* là [hoành độ](/wiki/H%E1%BB%87_t%E1%BB%8Da_%C4%91%E1%BB%99) của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3).
### Nhân tử hóa đa thức bậc hai[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=8)]
Biểu thức
là nhân tử của đa thức
khi và chỉ khi
*r* là một nghiệm của phương trình bậc hai
Từ công thức nghiệm ta có
Trong trường hợp đặc biệt
*b* 2 = 4 *ac* (hay Δ = 0) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành
## Lịch sử[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=9)]
Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên,
[các nhà toán học Babylon](/w/index.php?title=To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_Babylon&action=edit&redlink=1) đã có thể giải những bài toán liên quan đến diện tích và các cạnh của hình chữ nhật. Có bằng chứng chỉ ra thuật toán này xuất hiện từ [triều đại Ur thứ ba](/w/index.php?title=Tri%E1%BB%81u_%C4%91%E1%BA%A1i_Ur_th%E1%BB%A9_ba&action=edit&redlink=1). Theo ký hiệu hiện đại, các bài toán này thường liên quan đến việc giải hệ gồm hai phương trình: [12]
tương đương với phương trình:
[[13]](#cite_note-Stillwell2004-13) :86
Các bước giải được người Babylon đưa ra như sau:
- Tính
*p/2*.
- Bình phương kết quả tìm được.
- Trừ đi
*q*.
- Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai.
- Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm
*x*. Điều này về cơ bản là tương đương với việc tính
Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và Ấn Độ, phương pháp hình học được sử dụng để giải phương trình bậc hai. Tài liệu
[Berlin Papyrus](/w/index.php?title=Berlin_Papyrus_6619&action=edit&redlink=1) của người Ai Cập có từ thời [Trung vương quốc](/w/index.php?title=Trung_v%C6%B0%C6%A1ng_qu%E1%BB%91c_Ai_C%E1%BA%ADp&action=edit&redlink=1) (từ năm 2050 đến 1650 trước CN) có chứa lời giải của phương trình bậc hai hai số hạng. Trong nguyên bản kinh [14] [Sulba Sutras](/w/index.php?title=Sulba_Sutras&action=edit&redlink=1), khoảng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng *ax* 2= *c*và *ax* 2+ *bx*= *c*được khảo sát bằng phương pháp hình học. Các nhà toán học Babylon từ khoản năm 400 trước CN và [các nhà toán học Trung Quốc](/w/index.php?title=To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_Trung_Qu%E1%BB%91c&action=edit&redlink=1)từ khoảng năm 200 trước CN đã sử dụng [phương pháp phân chia hình học](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_ph%C3%A2n_chia&action=edit&redlink=1)để giải các phương trình bậc hai với nghiệm dương. [[15]](#cite_note-Henderson-15) Cuốn [[16]](#cite_note-Aitken-16) *của người Trung Quốc có ghi những quy tắc của phương trình bậc hai.* [Cửu chương toán thuật](/wiki/C%E1%BB%ADu_ch%C6%B0%C6%A1ng_to%C3%A1n_thu%E1%BA%ADt) [[16]](#cite_note-Aitken-16) Trong những phương pháp hình học thuở đầu này không xuất hiện một công thức tổng quát. Tới khoảng năm 300 trước CN, nhà toán học Hy Lạp [[17]](#cite_note-17) [Euclid](/wiki/Euclid)đã cho ra một phương pháp hình học trừu tượng hơn. Với cách tiếp cận hoàn toàn bằng hình học, [Pythagoras](/wiki/Pythagoras)và Euclid đã tạo dựng một phương pháp tổng quan để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Trong tác phẩm *của mình, nhà toán học Hy Lạp* [Arithmetica](/w/index.php?title=Arithmetica&action=edit&redlink=1) [Diophantus](/wiki/Diophantus)đã giải phương trình bậc hai, tuy nhiên chỉ cho ra một nghiệm, kể cả khi cả hai nghiệm đều là dương. [[18]](#cite_note-18)
Vào năm 628 CN,
[Brahmagupta](/wiki/Brahmagupta), một [nhà toán học Ấn Độ](/w/index.php?title=To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_%E1%BA%A4n_%C4%90%E1%BB%99&action=edit&redlink=1) đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai *ax* 2 + *bx* = *c* như sau: "Nhân số tuyệt đối ( *c*) với bốn lần hệ số bình phương, cộng với bình phương hệ số số hạng ở giữa; căn bậc hai toàn bộ, trừ đi hệ số số hạng ở giữa, rồi chia cho hai lần hệ số bình phương là giá trị." ( *Brahmasphutasiddhanta*, Colebrook translation, 1817, tr 346) [[13]](#cite_note-Stillwell2004-13) :87 Điều này tương đương: * ra đời ở Ấn Độ vào thế kỷ 7 CN có chứa một công thức đại số cho việc giải phương trình bậc hai, cũng như những phương trình Thủ bản Bakhshali* [vô định](/w/index.php?title=V%C3%B4_%C4%91%E1%BB%8Bnh_(bi%E1%BA%BFn_s%E1%BB%91)&action=edit&redlink=1). [Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi](/w/index.php?title=Muhammad_ibn_Musa_al-Khwarizmi&action=edit&redlink=1)đi xa hơn trong việc cung cấp một lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát, ông cũng đã mô tả phương pháp phần bù bình phương và thừa nhận rằng [[19]](#cite_note-Katz2007-19) [biệt thức](/wiki/Bi%E1%BB%87t_th%E1%BB%A9c)phải dương, [[19]](#cite_note-Katz2007-19) [[20]](#cite_note-Boyer1991-20) :230điều đã được ['Abd al-Hamīd ibn Turk](/w/index.php?title=%27Abd_al-Ham%C4%ABd_ibn_Turk&action=edit&redlink=1)(Trung Á, thế kỷ 9) chứng minh. Turk là người đưa ra những biểu đồ hình học chứng minh rằng nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm. [[20]](#cite_note-Boyer1991-20) :234Trong khi bản thân al-Khwarizmi không chấp nhận nghiệm âm, các nhà toán học Hồi giáo kế tục ông sau này đã chấp nhận nghiệm âm cũng như nghiệm [vô tỉ](/wiki/S%E1%BB%91_v%C3%B4_t%E1%BB%89). [[19]](#cite_note-Katz2007-19) :191 Cá biệt [[21]](#cite_note-21) [Abū Kāmil Shujā ibn Aslam](/w/index.php?title=Ab%C5%AB_K%C4%81mil_Shuj%C4%81_ibn_Aslam&action=edit&redlink=1)(Ai Cập, thế kỷ 10) là người đầu tiên chấp nhận các số vô tỉ (thường ở dạng [căn bậc hai](/wiki/C%C4%83n_b%E1%BA%ADc_hai), [căn bậc ba](/wiki/C%C4%83n_b%E1%BA%ADc_ba)hay [căn bậc bốn](/w/index.php?title=C%C4%83n_b%E1%BA%ADc_b%E1%BB%91n&action=edit&redlink=1)) là nghiệm hay là [hệ số](/wiki/H%E1%BB%87_s%E1%BB%91)của phương trình bậc hai. Nhà toán học Ấn Độ thế kỷ thứ 9 [[22]](#cite_note-22) [Sridhara](/w/index.php?title=Sridhara&action=edit&redlink=1)đã viết ra các quy tắc giải phương trình bậc hai. [[23]](#cite_note--23)
Nhà toán học người Do Thái
[Abraham bar Hiyya Ha-Nasi](/w/index.php?title=Abraham_bar_Hiyya&action=edit&redlink=1) (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là tác giả cuốn sách đầu tiên của người châu Âu có chứa lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát. Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều vào tác phẩm của Al-Khwarizmi. [24] Lần đầu tiên hệ số âm của 'x' xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học người Trung Quốc [[19]](#cite_note-Katz2007-19) [Yang Hui](/w/index.php?title=Yang_Hui_(nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)&action=edit&redlink=1)(1238–1298 CN), dù vậy ông cho điều này là từ nhà toán học [Liu Yi](/w/index.php?title=Liu_Yi_(nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)&action=edit&redlink=1)ở thời trước đó. Vào năm 1545 [[25]](#cite_note-Ron-25) [Gerolamo Cardano](/wiki/Gerolamo_Cardano)biên soạn các tác phẩm liên quan đến phương trình bậc hai. Công thức nghiệm cho mọi trường hợp lần đầu đạt được bởi [Simon Stevin](/w/index.php?title=Simon_Stevin&action=edit&redlink=1)vào năm 1594. Năm 1637 [[26]](#cite_note-26) [René Descartes](/wiki/Ren%C3%A9_Descartes)công bố tác phẩm *trong đó có chứa công thức nghiệm mà chúng ta biết ngày nay. Lời giải tổng quát xuất hiện lần đầu trong tài liệu toán học hiện đại vào năm 1896, bởi Henry Heaton.* [La Géométrie](/w/index.php?title=La_G%C3%A9om%C3%A9trie&action=edit&redlink=1) [[27]](#cite_note-heaton-1896-27)
## Công thức Viète[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=10)] [Công thức Viète](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Vi%C3%A8te#Ph.C6.B0.C6.A1ng_tr.C3.ACnh_b.E1.BA.ADc_hai) cho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau:
- Nếu
*và*là hai nghiệm của phương trình thì:
## Các trường hợp nhận biết đặc biệt[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=11)]
Khi phương trình bậc hai đã cho có dấu hiệu sau:
- (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: .
- (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là:
- Nếu (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.
## Chủ đề liên quan[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=12)] [Phương trình](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh) [Phương trình tuyến tính](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_tuy%E1%BA%BFn_t%C3%ADnh) [Phương trình bậc ba](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_ba) [Phương trình bậc bốn](/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_b%E1%BB%91n) [Phương trình bậc năm](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_n%C4%83m&action=edit&redlink=1) [Lý thuyết cơ bản của đại số](/w/index.php?title=L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n_c%E1%BB%A7a_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1) [Hàm số bậc hai](/w/index.php?title=H%C3%A0m_s%E1%BB%91_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit&redlink=1) [Đường cong bậc hai](/wiki/%C4%90%C6%B0%E1%BB%9Dng_c%C3%B4-nic) [Mặt bậc hai](/wiki/M%E1%BA%B7t_b%E1%BA%ADc_hai)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=13) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=13)] **Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"** [^](#cite_ref-1)
- ^
**a** **ă** [Washington, Allyn J. (2000).](#cite_ref-Washington2000_2-2) **â** *Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition*. Addison Wesley Longman, Inc. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-201-35666-X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-201-35666-X). **Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991),** [^](#cite_ref-3) [, Graduate Texts in Mathematics](http://books.google.com/books?id=OKcKowxXwKkC&pg=PA77) *Numbers* **123**, Springer, tr. 77, [ISBN](/wiki/ISBN) [9780387974972](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780387974972). **Sterling, Mary Jane (2010),** [^](#cite_ref-4) [, Wiley Publishing, tr. 219,](http://books.google.com/?id=2toggaqJMzEC&pg=PA219&dq=quadratic+formula#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false) *Algebra I For Dummies* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-470-55964-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-470-55964-2) **Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004),** [^](#cite_ref-5) [, The McGraw-Hill Companies,](http://books.google.com/?id=8PRU9cTKprsC) *Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra* [ISBN](/wiki/ISBN) [0-07-141083-X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-07-141083-X), [Chapter 13 §4.4, p. 291](http://books.google.be/books?id=8PRU9cTKprsC&pg=PA291) **Himonas, Alex.** [^](#cite_ref-6) *, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).* [Calculus for Business and Social Sciences](http://books.google.com/books?id=1Mg5u98BnEMC&q=%22left+as+an+exercise%22+and+%22quadratic+formula%22&dq=%22left+as+an+exercise%22+and+%22quadratic+formula%22&hl=en&sa=X&ei=6CJbUu2aFMylkQei6YGABA&ved=0CDMQ6AEwATgK) **Kahan, Willian (20 tháng 11 năm 2004),** [^](#cite_ref-kahan_7-0) [(PDF), truy cập ngày 25 tháng 12 năm 2012](http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf) *On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic* **Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ.** [^](#cite_ref-8) *Concise Handbook of Mathematics and Physics*, p. 38 (CRC Press 1997) [^](#cite_ref-9) **Δ**is the initial of the [Greek](/w/index.php?title=Greek_language&action=edit&redlink=1)word **Δ**ιακρίνουσα, *Diakrínousa*, discriminant. **Achatz, Thomas; Anderson, John G.; McKenzie, Kathleen (2005).** [^](#cite_ref-10) [. Industrial Press. tr. 277.](http://books.google.co.uk/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA276&dq=quadratic+formula&hl=en&sa=X&ei=mG_8T9-PMuPC0QXOmZigBw&ved=0CEEQ6AEwAQ#v=onepage&q=quadratic%20formula&f=false) *Technical Shop Mathematics* [ISBN](/wiki/ISBN) [0-8311-3086-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-8311-3086-5). **Wharton, P. (2006).** [^](#cite_ref-11) [. Lonsdale. tr. 63.](http://books.google.co.uk/books?id=LMmKq-feEUoC&pg=PA63&dq=%22Quadratic+function%22+%22Quadratic+equation%22&hl=en&sa=X&ei=bnT8T-6AKIWX8gP13bCzBw&ved=0CDsQ6AEwAQ#v=onepage&q=%22Quadratic%20function%22%20%22Quadratic%20equation%22&f=false) *Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-1-905-129-78-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-1-905-129-78-2). **Friberg, Jöran (2009).** [^](#cite_ref-Friberg2009_12-0) [“A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”](http://cdli.ucla.edu/pubs/cdlj/2009/cdlj2009_003.html). *Cuneiform Digital Library Journal* **3**.
- ^
**a** [Stillwell, John (2004).](#cite_ref-Stillwell2004_13-1) **ă** *Mathematics and Its History (2nd ed.)*. Springer. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-387-95336-1](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-387-95336-1). [^](#cite_ref-14) [. Cambridge University Press. 1971. tr. 530.](http://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&pg=PA530) *The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-521-07791-0](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-07791-0). **Henderson, David W.** [^](#cite_ref-Henderson_15-0) [“Geometric Solutions of Quadratic and Cubic Equations”](http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/geomsolu/geomsolu.html). Mathematics Department, Cornell University. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013.
- ^
**a** [Aitken, Wayne.](#cite_ref-Aitken_16-1) **ă** [“A Chinese Classic: The Nine Chapters”](http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf)(PDF). Mathematics Department, California State University. Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013. **Smith, David Eugene (1958).** [^](#cite_ref-17) [. Courier Dover Publications. tr. 380.](http://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA380) *History of Mathematics* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-486-20430-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-486-20430-7). **Smith, David Eugene (1958).** [^](#cite_ref-18) [. Courier Dover Publications. tr. 134.](http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC) *History of Mathematics, Volume 1* [ISBN](/wiki/ISBN) [0-486-20429-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-486-20429-4). [Extract of page 134](http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA134)
- ^
**a** **ă** **â** [Katz, V. J.; Barton, B. (2006). “Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching”.](#cite_ref-Katz2007_19-3) **b** *Educational Studies in Mathematics* **66**(2): 185–201. [doi](/wiki/DOI): [10.1007/s10649-006-9023-7](//dx.doi.org/10.1007%2Fs10649-006-9023-7).
- ^
**a** [Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach, rev. editor (1991).](#cite_ref-Boyer1991_20-1) **ă** *A History of Mathematics*. John Wiley & Sons, Inc. [ISBN](/wiki/ISBN) [0-471-54397-7](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-471-54397-7). [^](#cite_ref-21) [O'Connor, John J.](/w/index.php?title=John_J._O%27Connor_(nh%C3%A0_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)&action=edit&redlink=1); [Robertson, Edmund F.](/w/index.php?title=Edmund_F._Robertson&action=edit&redlink=1), [“Arabic mathematics: forgotten brilliance?”](http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics.html), *,* [Dữ liệu Lịch sử Toán học MacTutor](/w/index.php?title=D%E1%BB%AF_li%E1%BB%87u_L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_MacTutor&action=edit&redlink=1) [Đại học St. Andrews](/wiki/%C4%90%E1%BA%A1i_h%E1%BB%8Dc_St._Andrews)"Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"." **Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in** [^](#cite_ref-22) [Selin, Helaine](/w/index.php?title=Helaine_Selin&action=edit&redlink=1); [D'Ambrosio, Ubiratan](/w/index.php?title=Ubiratan_D%27Ambrosio&action=edit&redlink=1)biên tập (2000), *Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics*, [Springer](/w/index.php?title=Springer_Science%2BBusiness_Media&action=edit&redlink=1), [ISBN](/wiki/ISBN) [1-4020-0260-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/1-4020-0260-2) **Smith, David Eugene (1958).** [^](#cite_ref-_23-0) [. Courier Dover Publications. tr. 280.](http://books.google.com/books?id=12qdOZ0gsWoC&pg=PA280) *History of Mathematics* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-486-20429-1](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-486-20429-1). **Livio, Mario (2006).** [^](#cite_ref-Livio2006_24-0) [. Simon & Schuster.](http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC&pg=PA62&lpg=PA62&dq=Abraham+bar+Hiyya+Ha-Nasi+quadratic&source=bl&ots=85JwJi8y4q&sig=UvI5MOdfntTgYwJgR_-5yEZuvEI&hl=en&ei=yGSjSe7eB4iQngf9p52kBQ&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result) *The Equation that Couldn't Be Solved* [ISBN](/wiki/ISBN) [0743258215](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0743258215). **Ronan, Colin (1985).** [^](#cite_ref-Ron_25-0) [. Cambridge University Press. tr. 15.](http://books.google.com/books?id=XsMxmS7NyukC&pg=PA15) *The Shorter Science and Civilisation in China* [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-521-31536-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-31536-4). **Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958),** [^](#cite_ref-26) [(PDF)](http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf) *The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics* **II–B**, C. V. Swets & Zeitlinger, tr. 470 **Heaton, H (1896). “A Method of Solving Quadratic Equations”.** [^](#cite_ref-heaton-1896_27-0) [American Mathematical Monthly](/wiki/American_Mathematical_Monthly) **3**(10): 236–237. [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2971099](//dx.doi.org/10.2307%2F2971099). [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2971099](//www.jstor.org/stable/2971099).
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&veaction=edit&vesection=14) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai&action=edit§ion=14)] [Quadratic Equation Solver](http://www.mathsisfun.com/quadratic-equation-solver.html) [Solve Quadratic equations, see work shown and draw graphs](http://www.algebra.com/algebra/homework/quadratic/) [Bài giảng về mặt bậc hai trong không gian](http://www.ctu.edu.vn/coursewares/supham/hhgiaitich_b/chuong3.htm)
|Các chủ đề chính liên quan đến
|[Bài toán Lừa và La](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_L%E1%BB%ABa_v%C3%A0_La&action=edit&redlink=1)| [Biểu thức đại số](/w/index.php?title=Bi%E1%BB%83u_th%E1%BB%A9c_%C4%91%E1%BA%A1i_s%E1%BB%91&action=edit&redlink=1)| [Chu kỳ toán](/w/index.php?title=Chu_k%E1%BB%B3_to%C3%A1n&action=edit&redlink=1)| [Công thức bậc ba](/w/index.php?title=C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_b%E1%BA%ADc_ba&action=edit&redlink=1)| [Công thức bậc hai](/wiki/C%C3%B4ng_th%E1%BB%A9c_b%E1%BA%ADc_hai)| [Dạng bậc năm cơ bản](/w/index.php?title=D%E1%BA%A1ng_b%E1%BA%ADc_n%C4%83m_c%C6%A1_b%E1%BA%A3n&action=edit&redlink=1)| [Định lý bất khả Abel](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_b%E1%BA%A5t_kh%E1%BA%A3_Abel&action=edit&redlink=1)| [Định lý tối giản Casus](/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_t%E1%BB%91i_gi%E1%BA%A3n_Casus&action=edit&redlink=1)| [Định lý Viète](/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Vi%C3%A8te)| [Hệ phương trình](/w/index.php?title=H%E1%BB%87_ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh&action=edit&redlink=1)| **Phương trình bậc hai**|

X-Cache: cp1052 miss, cp1065 miss


text:
Thể loại:Khoa học xã hội
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bài chính thể loại: Khoa học xã hội
Thể loại con
Thể loại này gồm 46 thể loại con sau, trên tổng số 46 thể loại con.
C
- ► Cải thiện điều kiện sống (15 t.l., 1 tr.)
- ► Chính trị học (8 t.l., 15 tr.)
- ► Công dân giáo dục (2 t.l.)
Đ
- ► Địa lý học (31 t.l., 131 tr., 2 t.t.)
- ► Địa lý nhân văn (17 t.l., 12 tr.)
G
- ► Giáo dục (45 t.l., 33 tr.)
K
- ► Khái niệm xã hội (21 t.l., 14 tr.)
- ► Khảo cổ học (18 t.l., 77 tr.)
- ► Khoa học hành vi (8 t.l., 6 tr.)
- ► Khoa học nhận thức (18 t.l., 13 tr.)
- ► Khoa học quân sự (6 t.l., 11 tr.)
- ► Khoa học thông tin (13 t.l., 16 tr.)
- ► Khoa học vùng miền (3 t.l., 1 tr.)
- ► Khoa học xã hội môi trường (7 t.l., 13 tr.)
- ► Khu vực nghiên cứu (10 t.l., 7 tr.)
- ► Kinh tế (16 t.l., 40 tr., 1 t.t.)
- ► Kinh tế học (30 t.l., 74 tr.)
- ► Ký hiệu học (6 t.l., 7 tr.)
L
- ► Lịch sử (55 t.l., 51 tr.)
- ► Lịch sử khoa học xã hội (4 t.l., 1 tr.)
- ► Luật học (7 t.l., 7 tr.)
- ► Luật pháp (44 t.l., 73 tr.)
M
- ► Môi trường (33 t.l., 29 tr.)
N
- ► Ngôn ngữ học (34 t.l., 53 tr.)
- ► Nhà khoa học xã hội (11 t.l., 2 tr.)
- ► Nhà tâm lý học (2 t.l., 3 tr.)
- ► Nhân chủng học (19 t.l., 60 tr.)
- ► Nhân văn học (13 t.l., 21 tr.)
P
- ► Phát triển con người (12 t.l., 9 tr.)
Q
- ► Quan hệ họ hàng và nguồn gốc (7 t.l., 14 tr.)
- ► Quy hoạch đô thị (20 t.l., 33 tr.)
S
- ► Sinh học người (2 t.l., 2 tr.)
T
- ► Tài chính (19 t.l., 94 tr.)
- ► Tài liệu khoa học xã hội (1 t.l.)
- ► Tâm lý học (32 t.l., 55 tr.)
- ► Tâm lý học xã hội (18 t.l., 39 tr.)
- ► Thần thoại (21 t.l., 19 tr.)
- ► Thuật ngữ khoa học xã hội (1 tr.)
- ► Tiểu sử (4 t.l., 4 tr.)
- ► Tin học kinh tế (2 t.l., 3 tr.)
- ► Tổ chức khoa học xã hội (3 t.l., 2 tr.)
- ► Triết học (38 t.l., 59 tr.)
- ► Triết học khoa học xã hội (3 t.l., 4 tr.)
- ► Truyền thông học (2 t.l., 1 tr.)
V
- ► Văn hóa học (15 t.l., 5 tr.)
X
- ► Xã hội học (31 t.l., 77 tr.)
Các trang trong thể loại “Khoa học xã hội”
34 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 34 trang.

markdown:
# Thể loại:Khoa học xã hội
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|![]()
|Wikimedia Commons có thêm thư viện hình ảnh và phương tiện truyền tải về
|*Bài chính thể loại:* [Khoa học xã hội](/wiki/Khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i)
## Thể loại con
Thể loại này gồm 46 thể loại con sau, trên tổng số 46 thể loại con.
### C
- ►
[Cải thiện điều kiện sống](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:C%E1%BA%A3i_thi%E1%BB%87n_%C4%91i%E1%BB%81u_ki%E1%BB%87n_s%E1%BB%91ng) (15 t.l., 1 tr.)
- ►
[Chính trị học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ch%C3%ADnh_tr%E1%BB%8B_h%E1%BB%8Dc) (8 t.l., 15 tr.)
- ►
[Công dân giáo dục](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:C%C3%B4ng_d%C3%A2n_gi%C3%A1o_d%E1%BB%A5c) (2 t.l.)
### Đ
- ►
[Địa lý học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:%C4%90%E1%BB%8Ba_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc) (31 t.l., 131 tr., 2 t.t.)
- ►
[Địa lý nhân văn](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:%C4%90%E1%BB%8Ba_l%C3%BD_nh%C3%A2n_v%C4%83n) (17 t.l., 12 tr.)
### G
- ►
[Giáo dục](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Gi%C3%A1o_d%E1%BB%A5c) (45 t.l., 33 tr.)
### K
- ►
[Khái niệm xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kh%C3%A1i_ni%E1%BB%87m_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (21 t.l., 14 tr.)
- ►
[Khảo cổ học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kh%E1%BA%A3o_c%E1%BB%95_h%E1%BB%8Dc) (18 t.l., 77 tr.)
- ►
[Khoa học hành vi](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khoa_h%E1%BB%8Dc_h%C3%A0nh_vi) (8 t.l., 6 tr.)
- ►
[Khoa học nhận thức](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khoa_h%E1%BB%8Dc_nh%E1%BA%ADn_th%E1%BB%A9c) (18 t.l., 13 tr.)
- ►
[Khoa học quân sự](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khoa_h%E1%BB%8Dc_qu%C3%A2n_s%E1%BB%B1) (6 t.l., 11 tr.)
- ►
[Khoa học thông tin](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khoa_h%E1%BB%8Dc_th%C3%B4ng_tin) (13 t.l., 16 tr.)
- ►
[Khoa học vùng miền](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khoa_h%E1%BB%8Dc_v%C3%B9ng_mi%E1%BB%81n) (3 t.l., 1 tr.)
- ►
[Khoa học xã hội môi trường](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i_m%C3%B4i_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng) (7 t.l., 13 tr.)
- ►
[Khu vực nghiên cứu](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Khu_v%E1%BB%B1c_nghi%C3%AAn_c%E1%BB%A9u) (10 t.l., 7 tr.)
- ►
[Kinh tế](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kinh_t%E1%BA%BF) (16 t.l., 40 tr., 1 t.t.)
- ►
[Kinh tế học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Kinh_t%E1%BA%BF_h%E1%BB%8Dc) (30 t.l., 74 tr.)
- ►
[Ký hiệu học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:K%C3%BD_hi%E1%BB%87u_h%E1%BB%8Dc) (6 t.l., 7 tr.)
### L
- ►
[Lịch sử](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD) (55 t.l., 51 tr.)
- ►
[Lịch sử khoa học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (4 t.l., 1 tr.)
- ►
[Luật học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Lu%E1%BA%ADt_h%E1%BB%8Dc) (7 t.l., 7 tr.)
- ►
[Luật pháp](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Lu%E1%BA%ADt_ph%C3%A1p) (44 t.l., 73 tr.)
### M
- ►
[Môi trường](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:M%C3%B4i_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng) (33 t.l., 29 tr.)
### N
- ►
[Ngôn ngữ học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ng%C3%B4n_ng%E1%BB%AF_h%E1%BB%8Dc) (34 t.l., 53 tr.)
- ►
[Nhà khoa học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Nh%C3%A0_khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (11 t.l., 2 tr.)
- ►
[Nhà tâm lý học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Nh%C3%A0_t%C3%A2m_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc) (2 t.l., 3 tr.)
- ►
[Nhân chủng học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Nh%C3%A2n_ch%E1%BB%A7ng_h%E1%BB%8Dc) (19 t.l., 60 tr.)
- ►
[Nhân văn học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Nh%C3%A2n_v%C4%83n_h%E1%BB%8Dc) (13 t.l., 21 tr.)
### P
- ►
[Phát triển con người](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ph%C3%A1t_tri%E1%BB%83n_con_ng%C6%B0%E1%BB%9Di) (12 t.l., 9 tr.)
### Q
- ►
[Quan hệ họ hàng và nguồn gốc](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Quan_h%E1%BB%87_h%E1%BB%8D_h%C3%A0ng_v%C3%A0_ngu%E1%BB%93n_g%E1%BB%91c) (7 t.l., 14 tr.)
- ►
[Quy hoạch đô thị](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Quy_ho%E1%BA%A1ch_%C4%91%C3%B4_th%E1%BB%8B) (20 t.l., 33 tr.)
### S
- ►
[Sinh học người](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Sinh_h%E1%BB%8Dc_ng%C6%B0%E1%BB%9Di) (2 t.l., 2 tr.)
### T
- ►
[Tài chính](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:T%C3%A0i_ch%C3%ADnh) (19 t.l., 94 tr.)
- ►
[Tài liệu khoa học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:T%C3%A0i_li%E1%BB%87u_khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (1 t.l.)
- ►
[Tâm lý học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:T%C3%A2m_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc) (32 t.l., 55 tr.)
- ►
[Tâm lý học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:T%C3%A2m_l%C3%BD_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (18 t.l., 39 tr.)
- ►
[Thần thoại](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Th%E1%BA%A7n_tho%E1%BA%A1i) (21 t.l., 19 tr.)
- ►
[Thuật ngữ khoa học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Thu%E1%BA%ADt_ng%E1%BB%AF_khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (1 tr.)
- ►
[Tiểu sử](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ti%E1%BB%83u_s%E1%BB%AD) (4 t.l., 4 tr.)
- ►
[Tin học kinh tế](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Tin_h%E1%BB%8Dc_kinh_t%E1%BA%BF) (2 t.l., 3 tr.)
- ►
[Tổ chức khoa học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:T%E1%BB%95_ch%E1%BB%A9c_khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (3 t.l., 2 tr.)
- ►
[Triết học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Tri%E1%BA%BFt_h%E1%BB%8Dc) (38 t.l., 59 tr.)
- ►
[Triết học khoa học xã hội](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Tri%E1%BA%BFt_h%E1%BB%8Dc_khoa_h%E1%BB%8Dc_x%C3%A3_h%E1%BB%99i) (3 t.l., 4 tr.)
- ►
[Truyền thông học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Truy%E1%BB%81n_th%C3%B4ng_h%E1%BB%8Dc) (2 t.l., 1 tr.)
### V
- ►
[Văn hóa học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:V%C4%83n_h%C3%B3a_h%E1%BB%8Dc) (15 t.l., 5 tr.)
### X
- ►
[Xã hội học](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:X%C3%A3_h%E1%BB%99i_h%E1%BB%8Dc) (31 t.l., 77 tr.)
## Các trang trong thể loại “Khoa học xã hội”
34 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 34 trang.

X-Cache: cp1065 hit/1, cp1065 miss


text:
Thể loại:Mật tông
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Thể loại con
Thể loại này gồm 2 thể loại con sau, trên tổng số 2 thể loại con.
C
- ► Chư vị Phật (2 t.l., 1 tr.)
P
- ► Phật giáo Tây Tạng (1 t.l., 57 tr., 1 t.t.)
Các trang trong thể loại “Mật tông”
32 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 32 trang.

markdown:
# Thể loại:Mật tông
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
## Thể loại con
Thể loại này gồm 2 thể loại con sau, trên tổng số 2 thể loại con.
### C
- ►
[Chư vị Phật](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ch%C6%B0_v%E1%BB%8B_Ph%E1%BA%ADt) (2 t.l., 1 tr.)
### P
- ►
[Phật giáo Tây Tạng](/wiki/Th%E1%BB%83_lo%E1%BA%A1i:Ph%E1%BA%ADt_gi%C3%A1o_T%C3%A2y_T%E1%BA%A1ng) (1 t.l., 57 tr., 1 t.t.)
## Các trang trong thể loại “Mật tông”
32 trang sau nằm trong thể loại này, trên tổng số 32 trang.

X-Cache: cp1066 miss, cp1065 miss


text:
quản đốc
Từ điển mở Wiktionary
Tiếng Việt[sửa]
Cách phát âm[sửa]
Danh từ[sửa]
quản đốc
- Người trông nom và chỉ huy một xưởng trong một nhà máy.
- Đồng chí quản đốc xưởng cơ điện của nhà máy dệt kim.
Dịch[sửa]
Tham khảo[sửa]
- Hồ Ngọc Đức, Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí (chi tiết)

markdown:
# quản đốc
Từ điển mở Wiktionary
## Tiếng Việt[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-vie-&action=edit§ion=T-1)]
### Cách phát âm[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-pron-&action=edit§ion=T-1)]
|
|[Huế](/wiki/Hu%E1%BA%BF) [Sài Gòn](/wiki/S%C3%A0i_G%C3%B2n) [Vinh](/wiki/Vinh) [Thanh Chương](/wiki/Thanh_Ch%C6%B0%C6%A1ng) [Hà Tĩnh](/wiki/H%C3%A0_T%C4%A9nh)
### Danh từ[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-noun-&action=edit§ion=T-1)] **quản đốc** [Người](/wiki/ng%C6%B0%E1%BB%9Di) [trông nom](/wiki/tr%C3%B4ng_nom)và [chỉ huy](/wiki/ch%E1%BB%89_huy)một [xưởng](/wiki/x%C6%B0%E1%BB%9Fng)trong một [nhà máy](/wiki/nh%C3%A0_m%C3%A1y). *Đồng chí* **quản đốc**xưởng cơ điện của nhà máy dệt kim.
-
#### Dịch[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-trans-&action=edit§ion=T-1)]
### Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:-ref-&action=edit§ion=T-1)]
- Hồ Ngọc Đức,
[Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí](http://www.informatik.uni-leipzig.de/~duc/Dict/)( [chi tiết](/wiki/Wiktionary:Ngu%E1%BB%93n_g%E1%BB%91c/FVDP))

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.04:-77.49:v4; Path=/; secure; Domain=.wiktionary.org

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wiktionary.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

X-Cache: cp1054 miss, cp1066 miss


text:
shoeshine
Từ điển mở Wiktionary
Bước tới:
dẫn lái
,
tìm
Tiếng Anh
[
sửa
]
Danh từ
[
sửa
]
shoeshine
(
Từ mỹ, nghĩa mỹ
)
Người
đánh
giày
.
Tham khảo
[
sửa
]
Hồ Ngọc Đức,
Dự án Từ điển tiếng Việt miễn phí
(
chi tiết
)
Lấy từ “
https://vi.wiktionary.org/w/index.php?title=shoeshine&oldid=1514035
”
Thể loại
:
Mục từ tiếng Anh
Danh từ
Danh từ tiếng Anh
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Chưa đăng nhập
Thảo luận
Đóng góp
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Mục từ
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Tra
Sửa đổi
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Chuyển hướng
Trang Chính
Cộng đồng
Thay đổi gần đây
Mục từ ngẫu nhiên
Trợ giúp
Thảo luận chung
Quyên góp
Chỉ mục
Ngôn ngữ
Chữ cái
Bộ thủ
Từ loại
Chuyên ngành
In/xuất ra
Tạo một quyển sách
Tải về dưới dạng PDF
Bản in được
Công cụ
Các liên kết đến đây
Thay đổi liên quan
Tải tập tin lên
Các trang đặc biệt
Liên kết thường trực
Thông tin trang
Trích dẫn trang này
Ngôn ngữ định nghĩa
English
Polski
Trang này được sửa đổi lần cuối lúc 00:54 ngày 21 tháng 3 năm 2014.
Văn bản được phát hành theo
Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự
; có thể áp dụng điều khoản bổ sung. Xem
Điều khoản Sử dụng
để biết thêm chi tiết.
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wiktionary
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Tuyên bố về cookie
Phiên bản di động

X-Cache: cp1066 miss, cp1066 miss