markdown:
MUSIC
Tên bài hát
Ca sĩ
Sáng tác
Lời bài hát
Trang chủ Music
->
Nhạc Việt Nam
->
Một Lần Nữa Thôi
TẶNG NHẠC
Người gởi:
Người nhận:
Thông điệp:
Tùy chọn:
Gởi email cho tôi khi người nhận nghe nhạc
Một Lần Nữa Thôi lyrics
Một Lần Nữa Thôi - Chu Bin
Người gởi: bạch kiến huy
Gởi: 03/08/2010 17:20
Downloads:
38741
Nghe: 1330653
Thêm Một Lần Nữa Thôi vào danh mục yêu thích
Xem cảm nhận (4)
Upload
Ghi chú:
Nếu không nghe được bài
Một Lần Nữa Thôi
do ca sĩ
Chu Bin
trình bày, bạn vui lòng cài đặt
Adobe Flash Player 11
. Bạn được phép nghe trực tuyến bài hát
Một Lần Nữa Thôi
, download
Một Lần Nữa Thôi
về máy và xem lyrics
Một Lần Nữa Thôi
do thành viên bạch kiến huy chia sẻ hoàn toàn miễn phí.
TAGS:
Một
,
Lần
,
Nữa
,
Thôi
Mot Lan Nua Thoi - Chu Bin
Bookmarks:
Một Lần Nữa Thôi
Ca sĩ:
Chu Bin
Sáng tác:
Chu Bin
1. Ôi những dấu yêu đâu rồi
Dù thời gian trôi cho anh được trông thấy
Ngàn lời yêu thương mãi luôn khắc sâu còn đây
Dù ngàn năm sau tim a vẫn không đổi thay.
Sẽ mãi vẫn còn đây những lời yêu dấu
Tiếng yêu hôm nào bay theo ngàn cơn gió
Cùng tình yêu kia trôi theo sóng đi về đâu
Kỉ niệm năm xưa xin hãy quên người ơi.
[ĐK:]
Gió cuốn đi giấc mơ ngày nào ta bên nhau
Những tiếng yêu vẫn luôn còn đọng trong anh
Mãi khắc sâu đến muôn đời sau
Sẽ mãi không tàn phai theo năm tháng
Và anh vẫn mãi yêu em.
2. Ôi anh nhớ em vô cùng
Cuộc tình đôi ta xin em đừng quên nhé
Thật lòng anh muốn chỉ có em mà thôi
Sẽ mãi yêu em, yêu em.
Sẽ mãi vẫn còn đây những lời yêu dấu
Tiếng yêu hôm nào bay theo ngàn cơn gió
Cùng tình yêu kia trôi theo sóng đi về đâu
Kỉ niệm năm xưa xin hãy quên người ơi.
[Coda:]
Hãy quay về với anh tình cũ
Chớ vội vàng bước theo tình mới
Hãy quay về với anh.
Những tháng ngày chúng ta hạnh phúc
Welcome to Yeucahat.com
Nhớ không người mối duyên tình đó
Hãy quay về đi người yêu dấu hỡi...
Hãy quay về đây với anh một lần nữa
Tiếng yêu ngày xưa không hề phai dấu
Khúc ca tình yêu đôi mình vẫn hát.
Nhớ không em
Một lần nữa một lần nữa một lần nữa thôi
Hãy quay về đây với anh đi người yêu dấu ơi.
Một Lần Nữa Thôi - Chu Bin
Cùng chuyên mục
1
Ba Ngày Suy Nghĩ
Nhạc Việt Nam
Lâm Chấn Huy
2
Giác Quan Thứ 6
Nhạc Việt Nam
Thu Minh
3
Sao Em Không Về
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
4
Dẫu Có Bao Năm Anh Vẫn Chờ
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
5
Thiếu Em Sống Để Làm Gì
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
6
Vỡ Mộng
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
7
Chạm Tay Vào Điều Ước
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
8
Hãy Để Anh Yêu Em
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
9
Mưa Mùa Hè
Nhạc Việt Nam
Tống Gia Vỹ
10
Sẽ Luôn Đợi Nhau
Nhạc Việt Nam
Lương Bích Hữu; Đăng Khôi
11
Nghi Ngại
Nhạc Việt Nam
Quốc Thiên
12
Vệt Nắng Cuối Trời
Nhạc Việt Nam
Minh Vương
13
Một Mình
Nhạc Việt Nam
Vũ Duy Khánh; Đinh Mạnh Ninh
14
Tôi Yêu Phụ Nữ
Nhạc Việt Nam
Thùy Chi
15
Tạm Biệt Em
Nhạc Việt Nam
Akira Phan
Xem thêm...
Bài hát liên quan
1
Một Lần Nữa Thôi
Nhạc hải ngoại
Lâm Nhật Tiến
2
Một Lần Nữa Thôi
Nhạc chuông điện thoại
Chu Bin
3
Một Lần Nữa Thôi
Nhạc chuông điện thoại
Chu Bin
4
Một Lần Nữa Thôi (Remix)
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
5
Hãy Để Anh Yêu Em Lần Nữa (Một Lần Nữa Được Yêu)
Nhạc Việt Nam
Thu Thủy; The Men
6
Hãy Để Anh Yêu Em Lần Nữa (Một Lần Nữa Được Yêu)
Nhạc chuông điện thoại
The Men
7
Hãy Để Anh Yêu Em Lần Nữa (Một Lần Nữa Được Yêu)
Video Clip nhạc Việt Nam
The Men
8
Hãy Để Anh Yêu Em Lần Nữa (Một Lần Nữa Được Yêu)
Nhạc Việt Nam
The Men
9
Hãy Để Anh Yêu Em Lần Nữa (Một Lần Nữa Được Yêu)
Nhạc ca sĩ mới
leesft
10
Một Lời Hứa
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
11
Một Lời Hứa
Nhạc chuông điện thoại
Chu Bin
12
Vì Một Biển Đông
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
13
Xem Như Một Giấc Mơ
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
14
Nỗi Lòng Một Quá Khứ
Nhạc chuông điện thoại
Chu Bin
15
Nỗi Lòng Một Quá Khứ
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
Xem thêm...
Cùng ca sĩ
1
Liên Khúc Nhạc Việt Remix Hay Nhất 2013
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu; Lương Bích Hữu; Chu Bin; Hoàng Bảo Yến; Phạm Trưởng; Lý Hạo Nam; Various Artists
2
Hết Duyên Là Ý Trời
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
3
Hết Duyên Là Ý Trời
Nhạc chuông điện thoại
Chu Bin
4
Hãy Tin Anh Lần Nữa
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
5
Hãy Tin Anh Lần Nữa
Nhạc chuông điện thoại
Chu Bin
6
Hãy Xem Là Giấc Mơ
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
7
Nơi Đâu Tìm Thấy Em
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
8
Hãy Tin Anh Lần Nữa
Video Clip nhạc Việt Nam
Chu Bin
9
Nắm Tay Anh Lần Cuối
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
10
Anh Đã Thấy Hết
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
11
Sự Thật Anh Không Ngờ
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
12
Hãy Cho Anh Biết
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
13
Nụ Hôn Cuối
Nhạc Việt Nam
Chu Hiểu Minh; Chu Bin
14
Thương Em Nhiều Lắm
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
15
Con Bướm Xinh
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
Xem thêm...
Cảm nhận: Một Lần Nữa Thôi - Chu Bin
Trang chủ music
Nhạc HoT hôm nay
Nhạc HoT tuần này
Nhạc HoT tháng 8
Nhạc HoT năm 2015
Nhạc ca sĩ mới
Nhạc Việt Nam
Nhạc hải ngoại
Nhạc Anh - Mỹ
Nhạc nước khác
Nhạc phim, game
Nhạc học sinh
Nhạc lễ, tết
Nhạc không lời, beat
Nhạc chuông điện thoại
Nhạc Flash
Video Clip nhạc Việt Nam
Video Clip nhạc Anh - Mỹ
Video Clip nhạc nước khác
Bài hát yêu thích (0)
Được yêu thích
1
Vẫn Là Anh
Nhạc Việt Nam
Chi Dân
2
Khi Nào Em Mới Biết
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu
3
Kết Thúc Vẫn Là Anh
Nhạc Việt Nam
Chi Dân
4
Chúng Ta Không Thuộc Về Nhau
Nhạc Việt Nam
Sơn Tùng M-TP
5
Đổi Thay
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu
6
Không Thể Nào Quên Em
Nhạc Việt Nam
Hồ Gia Hùng; Phương Chi Bảo
7
Một Mùa Đông Hai Dòng Cảm Xúc
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu
8
Đếm Ngày Xa Em
Nhạc Việt Nam
OnlyC; Lou Hoàng
9
Em Đừng Như Thế
Nhạc Việt Nam
Vũ Duy Khánh
10
Khoảng Cách Hai Phương Trời
Nhạc Việt Nam
Khánh Phương
11
Anh Muốn Nói
Nhạc Việt Nam
Trịnh Thăng Bình
12
Anh Cứ Đi Đi
Nhạc Việt Nam
Hari Won
13
Em Đang Nghĩ Gì
Nhạc Việt Nam
Hoàng Tôn
14
Anh Phải Làm Sao
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
15
Tình Yêu Chôn Giấu
Nhạc Việt Nam
Minh Vương
Nghe toàn bộ playlist
Powered by
tuantrinh
© 2007-2008 | Bây giờ là 26/08/2016 20:41 | Múi giờ = [GMT+7]
Máy chủ được đặt tại
Viettel IDC
Page generation time: 0.0247s - GZIP enabled - Debug on |
Phong thu am
|
studio

Set-Cookie: ads_time=i%3A2%3B; expires=Sat, 26-Aug-2017 13:41:33 GMT; path=/; domain=.music.chiasenhac.com

Server: nginx admin


markdown:
MUSIC
Tên bài hát
Ca sĩ
Sáng tác
Lời bài hát
Trang chủ Music
->
Nhạc Việt Nam
->
Hai Ba Năm
Tải bài hát: Hai Ba Năm - Phạm Trưởng
Cám ơn bạn đã tải bài hát Hai Ba Năm
Vui lòng chọn một trong các liên kết ở bên dưới để bắt đầu tải bài hát:
Liên kết tải 1
Liên kết tải 2
File size: 2.5 MB
Ghi chú:
Nếu không tải được bài
Hai Ba Năm
, vui lòng thử thoát chương trình tải tập tin tự động trên máy tính của bạn và bấm chuột phải và liên kết tải. Hoặc bạn có thể thử sử dụng chương trình tải tập tin
Internet Download Manager
. Bài hát Hai Ba Năm đã được tải lên bởi
tieulong_1708
!
TAGS:
Hai
,
Ba
,
Năm
Hai Ba Năm lyrics:
Hai ba năm rồi, mình quen nhau phải không em
Hai ba năm rồi, tình ta biết bao sóng gió
Nhiều lúc yêu nhau thật nhiều
Giận hờn cũng rất lâu
Xa nhau thì nhớ, bên nhau thì hay dỗi hờn.
Hai ba năm rồi...
[
Xem thêm...
]
Hai Ba Năm - Phạm Trưởng
Cùng chuyên mục
1
Đồi Sim Tím
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ; Phi Nhung
2
Cô Bạn Học
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ; Phi Nhung
3
Trộm Nhìn Nhau
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ; Phi Nhung
4
Đường Tình Đôi Ngã
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ; Phi Nhung
5
Đến Bao Giờ Em Biết
Nhạc Việt Nam
Cẩm Ly; Đông Duy
6
Oh No
Nhạc Việt Nam
Ngô Kiến Huy
7
Mùa Hoa Sữa Về
Nhạc Việt Nam
Ngô Trác Linh; Đăng Khôi
8
Cho Vừa Lòng Em
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ; Phi Nhung
9
Áo Em Chưa Mặc Một Lần
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ
10
Nắng Lên Xóm Nghèo
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ
11
Nói Với Người Tình
Nhạc Việt Nam
Nguyên Vũ
12
Vì Em Sai Rồi
Nhạc Việt Nam
Thu Thuỷ
13
Nuối Tiếc Một Vòng Tay
Nhạc Việt Nam
Thu Thuỷ
14
My Name Is Juicy Candy
Nhạc Việt Nam
Thu Thuỷ
15
Microphone
Nhạc Việt Nam
Thu Thuỷ
Bài hát liên quan
1
Hai Ba Năm
Video Clip nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
2
Hai Ba Năm
Nhạc chuông điện thoại
Phạm Trưởng
3
Hai Ba Năm
Nhạc ca sĩ mới
Quang Đông
4
Hai Ba Năm (Điệp Khúc)
Nhạc chuông điện thoại
Phạm Trưởng
5
Một Năm Hai Năm Ba Năm Và Mãi Mãi
Nhạc Việt Nam
Lâm Quang Duy
6
Ba Năm Sau
Nhạc Việt Nam
Lâm Chấn Hải
7
Bà Năm
Nhạc ca sĩ mới
Quang Trường
8
Bốn Năm Ba Tháng Hai Ngày
Nhạc Việt Nam
Vĩnh Thuyên Kim
9
Bốn Năm Ba Tháng Hai Ngày
Video Clip nhạc Việt Nam
Vĩnh Thuyên Kim
10
Chào Em Bà Xã Người Ta
Nhạc ca sĩ mới
Yuki Huy Nam; Triều Hải
11
Chào Em Bà Xã Người Ta
Video Clip nhạc Việt Nam
Yuki Huy Nam; Triều Hải
12
Chào Em Bà Xã Người Ta
Nhạc chuông điện thoại
Yuki Huy Nam; Triều Hải
13
Ngã Ba Tình
Nhạc Việt Nam
Thiên Trường; Địa Hải
14
Ngã Ba Tình (Remix)
Nhạc Việt Nam
Thiên Trường; Địa Hải
15
Đàn Bà Là Thế
Nhạc Việt Nam
Thiên Trường; Địa Hải
Cùng ca sĩ
1
Nước Mắt Trong Mưa
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng; Trịnh Phong
2
Ngày Đó
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng; Trịnh Phong
3
Khó Đoán
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng; Trịnh Phong
4
Liên Khúc 15 Nhạc Việt Remix Hot Nhất
Nhạc Việt Nam
M-TP; Hoàng Tôn; Vũ Quốc Nhật; Đình Phong; Châu Khải Phong; Hồ Quang Hiếu; Thúy Khanh; Chi Dân; Phạm Trưởng; Nguyễn Đình Vũ; Bảo Thạch; LEG; Bảo Anh
5
Sai Lầm
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
6
Anh Yêu Em
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
7
Thuyền Không Bến
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
8
Liên Khúc Nhạc Việt Remix Hay Nhất 2013
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu; Lương Bích Hữu; Chu Bin; Hoàng Bảo Yến; Phạm Trưởng; Lý Hạo Nam; Various Artists
9
Đạo Làm Con
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng; Khánh Đơn; Hồ Việt Trung; Khánh Trung; Tam Hổ
10
Lạc Đường
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
11
Không Liên Quan
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng; Cảnh Minh
12
Thà Quên Đi
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
13
Đừng Để Anh Lo
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
14
Tiếc
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
15
Tình Là Sợi Tơ (Remix)
Nhạc Việt Nam
Phạm Trưởng
Cảm nhận: Hai Ba Năm - Phạm Trưởng
Trang chủ music
Nhạc HoT hôm nay
Nhạc HoT tuần này
Nhạc HoT tháng 8
Nhạc HoT năm 2015
Nhạc ca sĩ mới
Nhạc Việt Nam
Nhạc hải ngoại
Nhạc Anh - Mỹ
Nhạc nước khác
Nhạc phim, game
Nhạc học sinh
Nhạc lễ, tết
Nhạc không lời, beat
Nhạc chuông điện thoại
Nhạc Flash
Video Clip nhạc Việt Nam
Video Clip nhạc Anh - Mỹ
Video Clip nhạc nước khác
Bài hát yêu thích (0)
Được yêu thích
1
Vẫn Là Anh
Nhạc Việt Nam
Chi Dân
2
Khi Nào Em Mới Biết
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu
3
Kết Thúc Vẫn Là Anh
Nhạc Việt Nam
Chi Dân
4
Chúng Ta Không Thuộc Về Nhau
Nhạc Việt Nam
Sơn Tùng M-TP
5
Đổi Thay
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu
6
Không Thể Nào Quên Em
Nhạc Việt Nam
Hồ Gia Hùng; Phương Chi Bảo
7
Một Mùa Đông Hai Dòng Cảm Xúc
Nhạc Việt Nam
Hồ Quang Hiếu
8
Đếm Ngày Xa Em
Nhạc Việt Nam
OnlyC; Lou Hoàng
9
Em Đừng Như Thế
Nhạc Việt Nam
Vũ Duy Khánh
10
Khoảng Cách Hai Phương Trời
Nhạc Việt Nam
Khánh Phương
11
Anh Muốn Nói
Nhạc Việt Nam
Trịnh Thăng Bình
12
Anh Cứ Đi Đi
Nhạc Việt Nam
Hari Won
13
Em Đang Nghĩ Gì
Nhạc Việt Nam
Hoàng Tôn
14
Anh Phải Làm Sao
Nhạc Việt Nam
Chu Bin
15
Tình Yêu Chôn Giấu
Nhạc Việt Nam
Minh Vương
Nghe toàn bộ playlist
Powered by
tuantrinh
© 2007-2008 | Bây giờ là 26/08/2016 20:42 | Múi giờ = [GMT+7]
Máy chủ được đặt tại
Viettel IDC
Page generation time: 0.0292s - GZIP enabled - Debug on |
Phong thu am
|
studio

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

Set-Cookie: ads_time=i%3A2%3B; expires=Sat, 26-Aug-2017 13:42:56 GMT; path=/; domain=.music.chiasenhac.com

Connection: close

Cache-Control: no-cache, pre-check=0, post-check=0

Pragma: no-cache

Vary: Accept-Encoding

Content-Type: text/html; charset=utf-8


markdown:
### Thông báo
Lỗi 404: Bài viết chưa được kiểm duyệt hoặc không tồn tại
Lỗi 404: Bài viết chưa được kiểm duyệt hoặc không tồn tại
Nguyễn Duy Lưu
Lê Văn Duân
Đàm Xuân Thanh
Nguyễn Xuân Ngọc
Nguyễn Văn Trọng
Nguyễn Hữu Tuấn
Nguyễn Thanh Tiến
Đặng Tiến Lực
Ngô Quang Long

Content-Type: text/html

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0


markdown: [Vô tình nhìn cô nương này đang trong tình trạng…](http://nhatban3x.net/vo-tinh-nhin-co-nuong-nay-dang-trong-tinh-trang-khat-duc.html) [Tổng hợp phim sex bắn tinh vào lồn, địt nhau…](http://bantinhtrong.net/tong-hop-phim-sex-ban-tinh-vao-lon-dit-nhau-xuat-tinh-trong.html) [Loạn luân thằng bố mất nhân tính làm tình con…](http://loanluan3x.net/loan-luan-thang-bo-mat-nhan-tinh-lam-tinh-con-gai-ruot.html) [Clip sex vợ trốn chồng ngoại tình với tình nhân](http://ngoaitinh3x.net/clip-sex-vo-tron-chong-ngoai-tinh-voi-tinh-nhan.html) [Phim sex quay lén cặp tình nhân làm tình trong nhà…](http://nhatban3x.net/phim-sex-quay-len-cap-tinh-nhan-lam-tinh-trong-nha-nghi.html) [Minh tinh sex chia sẻ cách làm tình bằng miệng](http://bantinhtrong.net/minh-tinh-sex-chia-se-cach-lam-tinh-bang-mieng.html) [Loạn luân châu âu làm tình xuất tinh vào mặt em…](http://loanluan3x.net/loan-luan-chau-au-lam-tinh-xuat-tinh-vao-mat-em-ho-xinh-dep.html) [Clip tự quay cảnh đôi tình nhân trẻ làm tình…](http://nhatban3x.net/clip-tu-quay-canh-doi-tinh-nhan-tre-lam-tinh-voi-nhau.html) [Phim sex đồng tính giám đốc cực men làm tình anh](http://nhatban3x.net/phim-sex-dong-tinh-giam-doc-cuc-men-lam-tinh-anh-nhan-vien.html) [Clip cận cảnh hai em nữ đồng tính nứng lồn…](http://phimsexles.com/clip-can-canh-hai-em-nu-dong-tinh-nung-lon-lam-tinh-cho-nhau.html)

Set-Cookie: __cfduid=df1b83f1141680b802815fc7b224b9c6f1472218643; expires=Sat, 26-Aug-17 13:37:23 GMT; path=/; domain=.nhatban3x.net; HttpOnly

Server: cloudflare-nginx

Cache-Control: public, max-age=14400

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

CF-Cache-Status: EXPIRED


markdown:
Trang chủ
Giới thiệu
Giới thiệu nối tóc
Tin tức - Sự kiện
Tuyển dụng
Khuyến mãi
Liên hệ
Bản đồ
,
THÔNG BÁO TUYỂN NHÂN SỰ
KỶ THUẬT UỐN DUỖI NHUỘM
Liên kết website
THẢO TÂY
Salon Thảo Tây trên 123mua
Salon Thìn
Việt hair hua
Salon ManoMano
Salon Thu Hằng
Salon Khôi
Alex's Salon
Yea
kenh 14
zing new
vnexpress
Đang xem : 102
Số lượng truy cập : 4206911
TƯ VẤN NỐI TÓC
BẢNG GIÁ DỊCH VỤ
GIỚI THIỆU NỐI TÓC BẰNG SỢI FIBERGLASS
ƯU ĐÃI MÙA TẾT TẠI THẢO TÂY
GIAO DIỆN WEB MỚI CỦA NỐI TÓC THẢO TÂY
THẢO TÂY-CẦN THƠ
GIỞ VÀNG CHO MÁI TÓC YÊU
LÀM ĐẸP TRẢ GÓP LÃI SUẤT 0% TẠI THẢO TÂY
NHUỘM COLLAGEN - PHỦ BÓNG NANO
UỐN - BẤM - DUỖI CÔNG NGHỆ NANO
NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT KHI NỐI TÓC
TƯNG BỪNG KHAI TRƯƠNG CHI NHÁNH 5
>>Xem tiếp
Các quảng cáo khác
TƯ VẤN NỐI TÓC
(13/11/2015)
BẢNG GIÁ DỊCH VỤ
(06/09/2014)
GIỚI THIỆU NỐI TÓC BẰNG SỢI FIBERGLASS
(29/03/2012)
ƯU ĐÃI MÙA TẾT TẠI THẢO TÂY
(23/01/2015)
GIAO DIỆN WEB MỚI CỦA NỐI TÓC THẢO TÂY
(17/01/2015)
Bộ Phận Marketing
0988881739
Trung Tâm Đào Tạo
0988887177
Trung Tâm Đào Tạo
08 6650 8999
Bộ Phận Nối Tóc Hà Nội
0906778717
Hotline Chi Nhánh 2
0977778079
Hotline Chi Nhánh 3
0966666337
Bộ Phận Nối Tóc Chi Nhánh 2
08 3920 1777
Bộ Phận Nối Tóc Chi Nhánh 3
08 3526 1888
Bộ Phận Nối Tóc Hà Nội
04.3368 8686
Bộ Phận Nối Tóc Chi Nhánh 5
08 3948 2222
Bộ Phận Nối Tóc Chi Nhánh 6
0710.653.6666
TRẢI NGHIỆM GIAO DIỆN MỚI TẠI WWW.THAOTAY.COM
Địa chỉ : HỌC VIỆN TÓC THẢO TÂY: 3 ĐƯỜNG SỐ 3, PHƯỜNG 9, QUẬN GÒ VẤP, TP.HCM - HOTLINE: 08.6650 8999
CHI NHÁNH 1: 219/53 TRẦN VĂN ĐANG, P11 QUẬN 3, TP. HCM - SĐT: 08.3526.1888.
CHI NHÁNH 2: 324 - 326 TRẦN HƯNG ĐẠO, NGUYỄN CƯ TRINH, QUẬN 1, TP. HCM - SĐT: 08.3920.1777.
Điện thoại : 09.6666.6337 09.7777.8079
Đại diện : Bộ Phận Nối Tóc
Trang chủ
Giới thiệu
Tin tức - Sự kiện
Tuyển dụng
Liên hệ

Server: Apache


markdown:
Bộ sưu tập
** nam nữ, áo đôi đẹp nhất giá rẻ 2015 với phong cách thiết kế trẻ trung, năng động nhưng cũng không kém phần dễ thương, kute. Bạn và người yêu đã có ao doi chưa? Còn chần chờ gì nữa mà không đến ngay Pastel.vn chọn cho mình một mẫu áo thật dễ thương cho bạn và "ấy". Với chất liệu vải thoáng mát, kỹ thuật in chất lượng, không phai màu sẽ cho bạn một cặp áo ưng ý nhất thỏa sức cho các bạn tung tăng với mọi hoạt động nhé. áo cặp**
Những mẫu
** được các bạn trẻ rất yêu thích và lựa chọn làm phong cách thời trang áo cặp giá rẻ**
Sau đây là những mẫu áo được yêu thích nhất tại Pastel VIETNAM
**Áo cặp kute** với họa tiết ngộ nghĩnh đáng yêu cho các cặp đôi
Mẫu
**áo cặp đẹp** cho bạn
Áo cặp, áo đôi cũng là một cách thể hiện tình yêu!
Nếu là sinh viên các bạn có thể chọn cho mình mẫu
**áo cặp giá rẻ để** nhưng vẫn "chất" nha
Những mẫu
**áo cặp đẹp** đẹp tại Pastel Vietnam
Mẫu áo cặp dễ thương nữa nè
Mẫu
** đơn giản mà "chất" áo đôi** **Mẫu áo cặp tình nhân**
Áo cặp hình trái tim cũng lãng mạn lắm nhé ^^
Pastel.vn là thương hiệu thuộc sở hữu của MẮT XANH GROUP (CÔNG TY CỔ PHẦN TRUYỀN THÔNG MẮT XANH - MẮT XANH UNIFORM). Pastel.vn là thương hiệu chuyên sản xuất, cung cấp
[ao doi, ao cap](danh-muc/ao-cap) và [ao gia dinh](danh-muc/ao-gia-dinh) với đặc điểm nổi trội về chất lượng tốt, mẫu mã thiết kế đẹp, độc, uy tín, dịch vụ tốt và giá thành rẻ so với cùng phân khúc. **Hãy liên hệ ngay với ** **Mắt Xanh để chúng tôi tư vấn tận tình cho bạn** ** nhé:** **Showroom:** 103 Street 21, Ward 8, Gò Vấp District, HCMC **Tel:**
+84 08 3503 66 86
**Hotline:**
0934 08 98 78/ 0913 02 26 24/
**Visit us at:** pastel.vn
dongphucmatxanh.com
dongphucmatxanh.vn
dongphucmatxanh.com.vn
dongphucmatxanh.net

Server: nginx


markdown:
##
[ Vo Than](http://xemphimdoc.blogspot.com/2013/06/xem-phim-vo-than-tap-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20.html) ![Vo Than Vo Than](http://2.bp.blogspot.com/-FNB9xNscX3o/Ucrsv_INKVI/AAAAAAAADng/DrEFEMEk0y8/s256/phimdoc_vo-than.jpg)
[http://xemphimdoc.blogspot.com/2013/06/xem-phim-vo-than-tap-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20.html](http://xemphimdoc.blogspot.com/2013/06/xem-phim-vo-than-tap-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20.html) **Director:**N/A **Diễn viên:**N/A **Production:**: N/A **Phim của:** [Phim Tinh Cam](http://phimdoc.net/phim-tinh-cam.html), [Phim Da Su - Co Trang](http://phimdoc.net/phim-da-su-co-trang.html) **Quốc gia:** [Phim Bo TRUNG QUoC](http://phimdoc.net/phim-bo-trung-quoc.html) **Time:**: 30 Tập **Năm phát hành:**2013
Xin Gửi Đến Các Bạn Phim Được Chiếu Năm 2013 Với Kịch Bản Của Đạo Diễn N/A Cùng Với Sự Tham Gia Của Các Diễn Viên N/A Bộ Phim Với Thời Lượng 30 Tập hy vọng sẽ mang đến cho các bạn những phút giây vui vẻ và hạnh phúc
**Thông tin:** [phim](http://phimdoc.net/)phim truyện hàn quốc hấp dẫn tình cảm giả sử cổ trang năm 2013 "Võ Thần".Bộ phim Võ Thần Phim có nhiều diễn viên nổi tiếng hàn quốc tham gia, mời các bạn xem phim.Câu chuyện phim Võ Thần
Với thời lượng 30 Tập xem phim Võ Thần tập 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10|tập 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20|Võ Thần tập cuối,Võ Thần trọn bộ,xem Võ Thần online,xem phim Võ Thần thuyết minh,Võ Thần vietsub,Võ Thần full,Võ Thần tập 1/2/3/4/5/6/7/ 8/9/10/11/12/13/14/15/16/17/18/19/20/21/22/23/24/25/26/27/28/29/30/31/32/33/34/35/36/37/38/39/40/ Tập Cuối
Các bạn cùng xem
[xem phim](http://phimdoc.net/)với mình và mọi người nhé
## Không có nhận xét nào:
## Đăng nhận xét

X-XSS-Protection: 1; mode=block

Server: GSE

Cache-Control: private, max-age=0

X-Content-Type-Options: nosniff


markdown:
Phim Sex
Sex Thú
Hiếp Dâm
Loạn Luân
Làm Tình Tập Thể
Bắn Tinh Trong
Phim Hentai
Hàn Quốc
Phim Sex Idol
Lesbian
Sex Gay
Ngoại Tình
Nhật Bản
Thủ Dâm
Việt Nam
Tâm Lý SEX
Chat Sex
Phim Sex Phá Trinh
Phim Sex Văn Phòng
Sex 3d hoạt hình xxx hentai hoạt hình online
Sex 3d hoạt hình xxx hentai hoạt hình online
hientai com
,
phim sex hoạt hình
,
xnxx hoat hinh
,
hoạt hình hentai
,
tophinh com
.
Hentai hoạt hình cực vui
Hentai hoạt hình 3d y tá dâm
Hentai hoạt hình cô trò cũ gặp lại
Hoạt hình hentai
Hentai hoạt hình cô tiểu thư đi lạc và quỷ dữ
Hentai hoạt hình vui quái vật hám gái đẹp
Hentai hoạt hình pokemon
Hentai hoạt hình hd 2015
Hentai hoạt hình 3d nét căng đét
Hentai hoạt hình 3d em bị hiếp

Set-Cookie: __cfduid=dc2406fcc9a97e7218ef4a1ed44e42eeb1472218515; expires=Sat, 26-Aug-17 13:35:15 GMT; path=/; domain=.phimhentaisex.net; HttpOnly


markdown:
[MS Word - 10 công cụ hay của Microsoft Word | Cổng thông tin điện ...]
Microsoft Word là trình soạn thảo văn bản phổ biến hàng đầu hiện nay. ... cách làm nhãn vở trên word 2003,; Hướng dẫn làm mẫu giấy nhãn học sinh,; mẫu nhã ...
[các mẫu giấy nhãn tập tự làm - Thương Mại Điện Tử - Tất Cả]
Building Blocks là một tập hợp các vật thể đã được tạo sẵn trong Word 2007 và 2010. .... tự làm nhãn vở,; mẫu nhãn vở học sinh word,; làm giấy nhãn bằng ...
[Cách trộn văn bản in giấy khen, quyết định... - Thư viện Giáo án ...]
11 Tháng Ba 2013 ... Đây là một chức năng nâng cao trong chương trình MS Word. ... Mẫu văn. bản này có thể là giấy mời, phiếu báo điểm của học sinh, sinh viên ...
[mẫu nhãn vở]
12 Tháng Chín 2012 ... cách làm nhãn vở trên word. , nhãn vở đẹp cho hoc sinh, cách làm nhãn vở đẹp, mẫu giấy nhãn vở, nhãn vở đẹp vector, các mẫu nhãn vở học ...
[In giấy khen hàng loạt với danh sách cho sẵn [Sơ đồ website ...]
theo một danh sách cho sẵn trong Word thì phải làm sao ? Ví dụ : ta có 1 mẫu " Giấy Khen" và "Danh sách 50 em học sinh" Danh sách gồm các ...
[Giấy Khen cho Học sinh Tiểu học - Mẫu - Office.com]
Giấy Khen cho Học sinh Tiểu học. Word 2013. Thẻ đánh dấu bằng ảnh. Publisher 2013. Vé Cơ bản. Word 2013. Chứng nhận Đào tạo (thiết kế hình chuỗi màu ...
[Hướng dẫn thực hiện chức năng Mail Merge. - Trường Đại học Kinh tế]
10 Tháng Giêng 2013 ... CHO WORD 2007-2010 (MAIL MERGE). Trình bày: Ths. ..... (Ngoài ra ở Việt Nam còn dùng giấy nhãn Tommy khổ A5, do vậy Label vendor bạn ...
[Giúp mình in nhãn sticker với! - Webtretho]
Có ai biết chỉ mình cách canh giấy để in dạng này với. ... Mình cũng đang cần in thông tin lên giấy tomy đây, các mẹ đã có mẫu file word or exel ...
[Nhãn chèn CD - Down.vnAn toàn. Tốc độ. Miễn phí.]
Tạo nhãn chèn cho bất kỳ CD nào mà bạn đã tạo bằng cách sử dụng mẫu chèn ... Giấy khen cho học sinh tiểu học 479 · Bảng chấm công nhân viên 478 · Mẫu ...
[template Word, Phần mềm template Word Mẫu - Template]
2 Tháng Sáu 2013 ... More tải mẫu hồ sơ cá nhân, template word, template office, ..... Giấy khen cho học sinh tiểu học - Template Giấy khen cho học sinh tiểu học.

Cache-Control: private


markdown:
Mẫu liên hệ
Khách sạn gần đó
Friendship Beach Resort & Spa
3.5 Km.
5.0 Km.
3.8 Km.
3.3 Km.
3.0 Km.
1.7 Km.
Thai Tour Info Co., Ltd. 46/26 Charoen Rat Rd, Bangklo, Bangkolaem, Bangkok 10120, Tel: +662-1641001 to 6 Fax: +662-1641010 Email: sales@choowap.com
Tất cả các quyền Thái Tour Info Co, Ltd, TAT giấy phép 11/04452
This website works best with the latest browsers: Firefox, Google Chrome, Safari

P3P: CP="NOI ADM DEV COM NAV OUR STP"


markdown:
![]()
| --*--|
Chào mừng đến với
DIỄN ĐÀN GV & HS TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH - TP PHAN THIẾT - BÌNH THUẬN . Chúng tôi hy vọng bạn sẽ thích
Bạn đang xem diễn đàn của chúng tôi như là một khách mời. Điều này có nghĩa là bạn được giới hạn cho các khu vực nhất định của hội đồng quản trị và có một số tính năng mà bạn không thể sử dụng.Bạn hãy đăng kí làm thành viên để tham thảo luận và viết bài. Đăng ký là đơn giản, nhanh chóng, và hoàn toàn miễn phí.Chào thân ái !
Nếu bạn đã là thành viên hãy đăng nhập vào tài khoản của bạn để truy cập vào tất cả các tính năng của chúng tôi:
|đề thi tham khảo hk1 2011-2012 các trường TP Phan thiết|
|
|**liwu977** [Post #1](http://s1.zetaboards.com/c2luongthevinh/single/?p=285489&t=4593443) ![ Member Avatar](http://z3.ifrm.com/461/80/0/a906608/avatar-906608.gif)
Administrator
- Posts:
- 98
- Group:
- Admins
- Member
- #1
- Joined:
- Nov 20, 2009
![ ](http://z3.ifrm.com/static/blank.gif)
[http://www.mediafire.com/?mknb19dx98znib4](http://www.mediafire.com/?mknb19dx98znib4) ![ Offline](http://z3.ifrm.com/static/1/p_off.png)
![ Profile](http://z3.ifrm.com/static/1/p_profile.png)
![ Profile](http://z3.ifrm.com/static/1/p_profile.png)
![ Quote Post](http://z3.ifrm.com/static/1/p_quote.png)
![ Quote Post](http://z3.ifrm.com/static/1/p_quote.png)
![ Goto Top](http://z3.ifrm.com/static/1/p_top.png)
![ Goto Top](http://z3.ifrm.com/static/1/p_top.png)
|
|![]()
|
|CLB ANH VĂN [Next Topic »](http://s1.zetaboards.com/c2luongthevinh/topic/4593443/new/)

Set-Cookie: __cfduid=dfd26257c774243e19aeff91109ab79f81472219082; expires=Sat, 26-Aug-17 13:44:42 GMT; path=/; domain=.zetaboards.com; HttpOnly

Cache-Control: post-check=0, pre-check=0


markdown:
### ĐĂNG NHẬP HỆ THỐNG
hoặc
[Tạo tài khoản mới](user/register)
Những lời CHÚC TẾT HAY dành cho Cha MẹMời quý vị và các bạn cùng xem AlbumXuân Phát Tài 20171AlbumXuân Hải Ngoại 20172 Album nhạc tết2017Tết là tết3 . . .
[Hội chợ](http://sukienhay.com/Su-kien/25-Hoi-cho.html) | [ Hội thảo](http://sukienhay.com/Su-kien/7-Hoi-thao.html) | [ Đào tạo](http://sukienhay.com/Su-kien/15-Dao-tao.html) | [ Triển lãm](http://sukienhay.com/Su-kien/9-Trien-lam.html) | [ Show Diễn](http://sukienhay.com/Su-kien/23-Show-Dien.html) | [ Khuyến mại](http://sukienhay.com/Su-kien/6-Khuyen-mai.html) | [ Khai trương](http://sukienhay.com/Su-kien/18-Khai-truong.html) | [ Cuộc thi](http://sukienhay.com/Su-kien/21-Cuoc-thi.html) | [Vé Liveshow Như Quỳnh](https://www.facebook.com/liveshownhuquynh) | [ Họp mặt](http://sukienhay.com/Su-kien/13-Hop-mat.html) | [ Giải trí](http://sukienhay.com/Su-kien/16-Giai-tri.html) | [Su kien hay](https://facebook.com/sukienhayfan) | [Liveshow Hoài Linh 2016](http://sukienhay.com/liveshow-hoai-linh-chi-tai-truong-giang-chi-tai-dinh-menh-1995074-2016.html) | [Xuân Phát Tài 7](http://xuanphattai.com/) [Tư duy triệu phú 2016](http://sukienhay.com/khoa-hoc-tu-duy-trieu-phu-2016-tharv-eker-59789-2016.html) | [Liveshow Bằng Kiều 2016](https://www.youtube.com/watch?v=jPNTT7sM9Kc) [|](https://drive.google.com/file/d/0B_vz2cn47mYPLXNJZjVKbVI2ekk/view?usp=sharing) [Liveshow Chế Linh](http://sukienhay.com/Liveshow-Che-Linh-10-nam-tinh-cu-60207-2014.html) | [Khóa học thương hiệu](http://sukienhay.com/Khoa-hoc-Advanced-brand-building-Xay-dung-thuong-hieu-dan-dau-53031-2013.html) | [Khoa hoc NLP](http://sukienhay.com/Khoa-hoc-lanh-dao-xuat-chung-cung-NLP-63829-2014.html) | [Đêm nhạc bằng kiều 2016](https://www.youtube.com/watch?v=nC4WdRQlKoQ) | [Khóa học CEO](http://sukienhay.com/khoa-hoc-ceo-toan-dien-ho-tro-hoc-phi-984856-2016.html) | [Liveshow Khánh Ly](http://sukienhay.com/Ban-ve-Live-Concert-Khanh-Ly-2014-tai-Ha-Noi-62738-2014.html) | [Ve](http://sukienhay.com/Super-X-Festival-2015-tai-Viet-Nam-987984-2015.html) [ Xuan Phat Tai 7](http://sukienhay.com/Xuan-phat-tai-4-Xuan-Hinh-va-Hoai-Linh-tai-ngo-2014-57928-2014.html)
Liên hệ quảng cáo và truyền thông sự kiện Mr Link Pham : 0983 15 89 87
[Bảng chi tiết giá quảng cáo tại đây](./p/quang-cao/bang-gia-quang-cao-326707096.html)
Giấy phép MXH do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp số: 132/GXN-TTĐT.
[Google+](https://plus.google.com/105571669758892237296)
P1402, Tòa nhà Constrexim 8, Ngã Tư Khuất Duy Tiến - Nguyễn Trãi, Phường Thanh Xuân Bắc, Quận Thanh Xuân, Hà Nội (Xem bản đồ Su Kien Hay).
Máy chủ được cung cấp bởi
[NHANHOA.COM](http://NHANHOA.COM)


markdown:
# Slide bài giảng toán A 3 Đại học
Chia sẻ: Nguyen Thi Gioi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19
lượt xem 1.155
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2009/20091016/ntgioi1204/80x100/slidebaigiang_a3dh_1614.jpg)
##
Slide bài giảng toán A 3 Đại học
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Giáo trình Toán cao câp A3 – Nguyen Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao câp – Nguyen Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Giảii tích hàm nhiêu biên (Toán 3) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBĐHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiêu biên (Toán 4) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBĐHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tap 2) – Phan Quôc Khánh – NXB Giáo d c. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến– Nguyễn Đình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục. 7. Tích phân hàm nhiêu biên – Phan...
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Slide bài giảng toán A 3 Đại học
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH TOÁN CAO C P A 3 ð I H C Tài li u tham kh o: 1. Giáo trình Toán cao c p A3 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM. 2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP.HCM. 3. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 3) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM. 4. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 4) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (t p 2) – Phan Qu c Khánh – NXB Giáo d c. 6. Phép tính Gi i tích hàm nhi u bi n – Nguy n ðình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c. 7. Tích phân hàm nhi u bi n – Phan Văn H p, Lê ðình Th nh – NXB KH và K thu t. 8. Bài t p Gi i tích (t p 2) – Nguy n Th y Thanh – NXB Giáo d c. Chương 1. HÀM S NHI U BI N S §1. KHÁI NI M CƠ B N 1.1. ð nh nghĩa • Cho D ⊂ ℝ 2 . Tương ng f : D → ℝ , ( x, y ) ֏ z = f ( x, y ) duy nh t, ñư c g i là hàm s 2 bi n x và y. • T p D ñư c g i là MXð c a hàm s và f ( D ) = {z ∈ ℝ z = f ( x, y ), ∀( x, y ) ∈ D} là mi n giá tr . Hình b Hình a – N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho – N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho f(M) có nghĩa, thư ng là mi n liên thông (n u M, N thu c f(M) có nghĩa, thư ng là t p liên thông. (T p liên thông D mi n D mà t n t i 1 ñư ng n i M v i N n m hoàn toàn là t n t i ñư ng cong n i 2 ñi m b t kỳ trong D n m hoàn trong D thì D là liên thông-Hình a)). toàn trong D). – Tr trư ng h p D = ℝ 2 , D thư ng ñư c gi i h n b i 1 VD 1. ñư ng cong kín ∂D (biên) ho c không. Mi n liên thông D Hàm s z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñ nh trên ℝ 2 . là ñơn liên n u D ñư c gi i h n b i 1 ñư ng cong kín (Hình VD 2. Hàm s z = f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 có MXð là hình a); ña liên n u ñư c gi i h n b i nhi u ñư ng cong kín r i tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. nhau t ng ñôi m t (Hình b). – D là mi n ñóng n u M ∈ ∂D ⇒ M ∈ D , mi n m VD 3. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXð là n u M ∈ ∂D ⇒ M ∉ D . hình tròn m tâm O(0; 0), bán kính R = 2. Chú ý • Khi cho hàm s f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi u VD 4. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(2 x + y − 3) có MXð là n a MXð D là t p t t c (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. • Hàm s n bi n f(x1, x2,…, xn) ñư c ñ nh nghĩa tương t . mp m biên d: 2x + y – 3 không ch a O(0; 0). 1.2. Gi i h n c a hàm s hai bi n – Hàm s liên t c Nh n xét • N u khi M n → M 0 trên 2 ñư ng khác nhau mà dãy • Dãy ñi m Mn(xn; yn) d n ñ n ñi m M0(x0; y0) trong ℝ 2 , ký hi u M n → M 0 hay ( xn ; yn ) → ( x0 ; y0 ) , khi n → +∞ {f(xn, yn)} có hai gi i h n khác nhau thì ∃ lim f ( M ) . M →M0 n u lim d ( M n , M 0 ) = lim ( xn − x0 ) + ( yn − y0 ) = 0 . 2 2 n →∞ n →∞ 2 x 2 y − 3x − 1 VD 5. Cho f ( x, y ) = lim f ( x, y ) . , tính • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong mi n D (có th không xy 2 + 3 ( x , y ) → (1, −1) ch a M0), ta nói L là gi i h n c a f(x, y) khi ñi m M(x, y) d n ñ n M0 n u m i dãy ñi m Mn (Mn khác M0) thu c D xy VD 6. Cho f ( x, y ) = d n ñ n M0 thì lim f ( xn , yn ) = L . lim f ( x, y ) . , tính x + y2 ( x , y ) → (0,0) n →∞ 2 f ( x, y ) = lim f ( M ) = L . lim Ký hi u: ( x , y ) →( x0 , y0 ) M →M0 • Hàm s f(x, y) liên t c trong D n u liên t c t i m i ñi m 3xy f ( x, y ) = VD 7. Cho hàm s . M thu c D. Hàm s f(x, y) liên t c trong mi n ñóng gi i n i x + y2 2 D thì ñ t giá tr l n nh t và nh nh t trong D. lim f ( x, y ) không t n t i. Ch ng t ( x , y ) → (0,0) VD 8. Xét tính liên t c c a hàm s : xy • Hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ch a M0, ta nói f(x, y) , ( x, y ) ≠ (0, 0) f ( x, y ) = x 2 + y 2 lim f ( x, y ) và liên t c t i M0 n u t n t i . ( x , y ) → ( x0 , y0 ) 0, ( x, y ) = (0,0) f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) . lim ( x , y ) → ( x0 , y0 ) Trang 1
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. ð O HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2.1. ð o hàm riêng • Tương t ta có ñ o hàm riêng theo y t i (x0, y0) là: f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) a) ð o hàm riêng c p 1 f y/ ( x0 , y0 ) = lim . ∆y ∆y →0 • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trên D ch a M0(x0, y0). N u VD 1. Tính các ñ o hàm riêng c a z = x4 – 3x3y2 + 2y3 – hàm s 1 bi n f(x, y0) (y0 là h ng s ) có ñ o hàm t i x = x0 3xy t i (–1; 2). thì ta g i ñ o hàm ñó là ñ o hàm riêng theo bi n x c a f(x, VD 2. Tính các ñ o hàm riêng c a f(x, y) = xy (x > 0). y) t i (x0, y0). x ∂f VD 3. Tính các ñ o hàm riêng c a z = cos t i (π ; 4) . Ký hi u: f x ( x0 , y0 ) hay f x/ ( x0 , y0 ) hay ( x0 , y0 ) . y ∂x • V i hàm n bi n ta có ñ nh nghĩa tương t . f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) V y f x/ ( x0 , y0 ) = lim . VD 4. Tính các ñ o hàm riêng c a f ( x, y , z ) = e x y sin z . 2 ∆x ∆x → 0 b) ð o hàm riêng c p cao VD 5. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a z = x 3e y + x 2 y 3 − y 4 t i ( −1; 1) . • Các hàm s fx, fy có các ñ o hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y, (fy)x ñư c g i là các ñ o hàm riêng c p hai c a f. −y VD 6. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a f ( x, y ) = xe x 2 . ∂ ∂f ∂2 f ( f x ) x = f xx = f x/2/ = = 2 , Ký hi u: ∂x ∂x ∂x • Các ñ o hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và ñ o hàm ∂ ∂f ∂ 2 f (f ) riêng c p cao hơn ñư c ñ nh nghĩa tương t . = f yy = f = = 2 , // ∂y ∂y ∂y y2 y y ð nh lý (Schwarz) ∂ ∂f ∂ 2 f ( fx )y = f xy = f xy = = // , ∂y ∂x ∂y∂x • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng fxy và fyx liên t c ∂ ∂f ∂ 2 f trong mi n D thì fxy = fyx. (f ) = f yx = f = = // . ∂x ∂y ∂x∂y y yx x • Hàm s f(x, y) kh vi trên mi n D n u f(x, y) kh vi t i 2.2. Vi phân m i (x, y) thu c D. a) Vi phân c p 1 • Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ⊂ ℝ 2 và M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ D , M ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∈ D . Nh n xét N u s gia ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) có • N u f(x, y) kh vi t i M0 thì f(x, y) liên t c t i M0. th bi u di n dư i d ng: • T ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , ta suy ra: ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A.∆x + α∆x trong ñó A, B là nh ng s không ph thu c ∆x, ∆y và f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 ) α , β → 0 khi ( ∆x, ∆y ) → (0, 0) , ta nói f kh vi t i M0. = A, ⇒ lim ∆x ∆x →0 • Bi u th c A.∆x + B.∆y ñư c g i là vi phân c p 1 (toàn f ( x0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 ) =B. ph n) c a f(x, y) t i M0(x0, y0) ng v i ∆x, ∆y . tương t lim ∆y ∆y → 0 Ký hi u df(x0, y0). V y df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y hay b) Vi phân c p cao df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 )dx + f y/ ( x0 , y0 )dy . T ng quát: • Vi phân c p 2: d 2 f ( x, y ) = d ( df ( x, y ) ) df ( x, y ) = f x/ ( x, y )dx + f y/ ( x, y )dy , ( x, y ) ∈ D . . = f x/2/ ( x, y )dx 2 + 2 f xy ( x, y )dxdy + f y// ( x, y )dy 2 VD 7. // 2 Tính vi phân c p 1 c a z = x 2 e x − y + xy 3 − y 5 t i (–1; 1). −y VD 8. Tính vi phân c p 1 c a f ( x, y ) = e x 2 sin( xy 2 ) . • Vi phân c p n: n d n f ( x, y ) = d n −1 ( df ( x, y ) ) = ∑ Cn f x(kny)n −k ( x, y )dx k dy n − k . k ð nh lý k =0 • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng liên t c t i M0 trong mi n D ch a M0 thì f(x, y) kh vi t i M0. Trang 2
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH VD 9. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = x 2 y 3 + xy 2 − 3x 3 y 5 2.3. ð o hàm c a hàm s h p • Cho hàm s f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là nh ng t i (2; –1). hàm s c a x. N u f(u, v) kh vi c a u, v và u(x), v(x) kh VD 10. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = ln( xy 2 ) . df du dv df du dv = f u/ . + f v/ . . V i , , vi c a x thì là các dx dx dx dx dx dx ng d ng vi phân c p 1 vào tính g n ñúng giá tr hàm c) ñ o hàm toàn ph n theo x. s • N u hàm s f(x, y) kh vi c a x, y và y = y(x) là hàm s df dy = f x/ + f y/ . . f ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ≈ kh vi c a x thì dx dx . ≈ f ( x0 , y0 ) + f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y dz VD 12. Cho z = u 2 − uv + 2v 2 , u = e − x , v = sin x . Tính . 1,02 dx VD 11. Tính g n ñúng arctg . df 0,97 VD 13. Cho f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), y = sin 2 x . Tính . dx 2.4. ð o hàm c a hàm s n y . Tính y ′ . VD 17. Cho ln x 2 + y 2 = arctg • Cho hai bi n x, y th a phương trình F(x, y) = 0 (*). x N u y = y(x) là hàm s xác ñ nh trong 1 kho ng nào ñó sao • Cho hàm s n hai bi n z = f(x, y) xác ñ nh b i cho khi th y(x) vào (*) ta ñư c ñ ng nh t th c thì y = y(x) F(x, y, z)) = 0, v i Fz/ ( x, y , z ) ≠ 0 ta có: là hàm s n xác ñ nh b i (*). • Fx/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z x ( x, y ) = 0 / VD 14. Fx/ ( x, y, z ) ⇒ z x ( x, y ) = − / Xác ñ nh hàm s n y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. , Fz/ ( x, y, z ) • ð o hàm hai v (*) theo x, ta ñư c: • Fy/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z y ( x, y ) = 0 / F / ( x, y ) Fx/ ( x, y ) + Fy/ ( x, y ). y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x/ , Fy/ ( x, y ) ≠ 0 . Fy/ ( x, y , z ) Fy ( x, y ) ⇒ z y ( x, y ) = − / . VD 15. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y ′ . Fz/ ( x, y , z ) VD 18. Cho xyz = cos( x + y + z ) . Tính z x , z y . VD 16. Cho y 3 + ( x 2 + 1) y + x 4 = 0 . Tính y ′ . / / §3. C C TR C A HÀM HAI BI N S Chú ý. ði m M0 th a f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 ñư c g i 3.1. ð nh nghĩa • Hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr (ñ a phương) t i ñi m là ñi m d ng, có th không là ñi m c c tr c a z. M0(x0; y0) n u v i m i ñi m M(x, y) khá g n nhưng khác b) ði u ki n ñ . Gi s f(x, y) có ñi m d ng là M0 và có M0 thì hi u f(M) – f(M0) có d u không ñ i. ñ o hàm riêng c p hai t i lân c n ñi m M0. • N u f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là c c ti u và M0 là ñi m ð t A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ), C = f y// ( x0 , y0 ) . / c c ti u; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là c c ñ i và M0 là ñi m 2 2 c c ñ i. C c ñ i và c c ti u g i chung là c c tr . Khi ñó: VD 1. Hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy ñ t c c ti u t i O(0; 0). + N u AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i ñ i m M 0; 3.2. ð nh lý AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m M0. a) ði u ki n c n + N u AC – B2 < 0 thì hàm s không có c c tr (ñi m M0 • N u hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr t i M0(x0, y0) và t i ñó ñư c g i là ñi m yên ng a). + N u AC – B2 = 0 thì chưa th k t lu n hàm s có c c tr hàm s có ñ o hàm riêng thì: f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 . hay không (dùng ñ nh nghĩa ñ xét). + N u ∆ < 0 thì k t lu n hàm s không ñ t c c tr . 3.3. C c tr t do + N u ∆ = 0 thì không th k t lu n (trong chương trình h n Cho hàm s z = f(x, y). ð tìm c c tr c a f(x, y) trên MXð D, ta th c hi n các bư c sau: ch lo i này). Bư c 1. Tìm ñi m d ng M0(x0; y0) b ng cách gi i h : f x/ ( x0 , y0 ) = 0 VD 2. / . Tìm ñi m d ng c a hàm s z = xy(1 – x – y). f y ( x0 , y0 ) = 0 Bư c 2. Tính A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ) , VD 3. / 2 Tìm c c tr c a hàm s z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8. C = f y/2/ ( x0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 . VD 4. Bư c 3. Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + y3 – 3xy – 2. + N u ∆ > 0 và A > 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ti u t i M0 và c c ti u là f(M0); + N u ∆ > 0 và A < 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ñ i t i VD 5. Tìm c c tr c a hàm s z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2. M0 và c c ñ i là f(M0). Trang 3
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4. C c tr có ñi u ki n VD 7. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = xy v i ñi u ki n: • Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên lân c n c a ñi m 2x + 3y – 5 = 0. M0(x0; y0) thu c ñư ng cong ϕ ( x, y ) = 0 . N u t i ñi m M0 Phương pháp nhân t Lagrange hàm s f(x, y) ñ t c c tr thì ta nói ñi m M0 là ñi m c c tr c a f(x, y) v i ñi u ki n ϕ ( x, y ) = 0 . Bư c 1. L p hàm Lagrange: • ð tìm c c tr có ñi u ki n c a hàm s f(x, y) ta dùng L( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) , λ là nhân t Lagrange. phương pháp kh ho c nhân t Lagrange. Bư c 2. Gi i h : Phương pháp kh T phương trình ϕ ( x, y ) = 0 , ta rút x ho c y th vào f(x, y) L'x = 0 ' Ly = 0 ⇒ ñi m d ng M0(x0; y0) ng v i λ0. và tìm c c tr hàm 1 bi n. VD 6. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y ' Lλ = 0 v i ñi u ki n x + y + 3 = 0. Bư c 3 Bư c 4 T ñi u ki n (1) và (2), ta có: + N u d 2 L( x0 , y0 ) > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i M0. Tính d 2 L( x0 , y0 ) + N u d 2 L( x0 , y0 ) < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i M0. = L''x 2 ( x0 , y0 )dx 2 + 2 L''xy ( x0 , y0 )dxdy + L''y 2 ( x0 , y0 )dy 2 . + N u d 2 L( x0 , y0 ) = 0 thì ñi m M0 không là ñi m c c tr . ði u ki n ràng bu c: VD 9. dϕ ( x0 , y0 ) = 0 ⇒ ϕ x/ ( x0 , y0 )dx + ϕ y ( x0 , y0 )dy = 0 (1) Tìm c c tr c a hàm s z = 2x + y v i ñi u ki n x2 + y2 = 5. / VD 10. và x2 y2 (dx)2 + (dy)2 > 0 (2). + = 1. Tìm c c tr c a hàm s z = xy v i ñi u ki n 8 2 Chương 2. TÍCH PHÂN B I §1. TÍCH PHÂN B I HAI (KÉP) 1.1. Bài toán m ñ u (th tích kh i tr cong) • Xét hàm s z = f(x, y) liên t c, không âm và m t m t tr có các ñư ng sinh song song Oz, ñáy là mi n ph ng ñóng D trong Oxy. ð tính th tích kh i tr , ta chia mi n D thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Như v y kh i tr cong ñư c chia thành n kh i tr nh . Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Ta có th tích ∆Vi c a G i d i = max {d ( A, B ) A, B ∈ ∆Si } là ñư ng kính c a ∆Si . kh i tr nh là: n ∆Vi ≈ f ( xi ; yi )∆Si ⇒ V ≈ ∑ f ( xi , yi )∆Si . n ∑ f ( x , y ) ∆S Ta có: V = lim i =1 . i i i max d i →0 i =1 1.2. ð nh nghĩa Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y )dS . D • Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên mi n ñóng gi i n i, ð nh lý. Hàm f(x, y) liên t c trong mi n b ch n, ñóng D thì ño ñư c D trong Oxy. Chia mi n D m t cách tùy ý thành n kh tích trong D. ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y) kh tích; f(x, y) là hàm (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Khi dư i d u tích phân; x, y là các bi n tích phân. n ñó I n = ∑ f ( xi , yi )∆Si ñư c g i là t ng tích phân c a hàm Chú ý i =1 1) N u chia D b i các ñư ng th ng song song v i các tr c f(x, y) trên D ( ng v i phân ho ch ∆Si và các ñi m Mi). t a ñ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy. n ∑ f ( x , y ) ∆S N u I = lim V y I = ∫∫ f ( x, y )dS = ∫∫ f ( x, y )dxdy . t n t i h u h n, không ph i i i max d i →0 i =1 D D thu c vào phân ho ch ∆Si và cách ch n ñi m Mi thì s I ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv . 2) ñư c g i là tích phân b i hai c a f(x, y) trên D. D D Trang 4
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH Nh n xét • Tính ch t 3 ∫∫ dxdy = S ( D ) (di n tích mi 1) n D). D ∫∫ f ( x, y )dxdy 2) f(x, y) > 0, liên t c ∀(x, y) ∈ D thì là th D tích hình tr có các ñư ng sinh song song v i Oz, hai ñáy gi i h n b i các m t z = 0 và z = f(x, y). 1.3. Tính ch t c a tích phân kép • Tính ch t 1. Hàm s f(x, y) liên t c trên D thì f(x, y) kh N u chia D thành D1 và D2 b i ñư ng cong có di n tích tích trên D. b ng 0 thì: • Tính ch t 2. Tính tuy n tính: ∫∫ [ f ( x, y ) ± g ( x, y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy . D D D D D1 D2 ∫∫ kf ( x, y )dxdy = k ∫∫ f ( x, y )dxdy, k ∈ ℝ . D D Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: 1.4. Phương pháp tính tích phân kép 1.4.1. ðưa v tích phân l p d x2 ( y ) x2 ( y ) d ð nh lý (Fubini) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx . ∫∫ f ( x, y )dxdy c x1 ( y ) • Gi s tích phân t n t i, v i D c x1 ( y ) D D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và v i m i Chú ý 1) Khi D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a , b] × [c, d ] y2 ( x ) ∫ x ∈ [a, b] c ñ nh f ( x, y )dy t n t i thì: (hình ch nh t) thì: y1 ( x ) b d d b ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx y2 ( x ) y2 ( x ) b b ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . D a c c a (hoán v c n). y1 ( x ) D a a y1 ( x ) 2) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và VD 1. Xác ñ nh c n tích phân l p khi tính tích phân I = ∫∫ f ( x, y )dxdy trong các trư ng h p sau: f(x, y) = u(x).v(y) thì: y2 ( x ) b D ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ u( x )dx ∫ v ( y )dy . 1) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x và x = a. D a y1 ( x ) 2) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x2 và x + y = 2. Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: VD 2. x2 ( y ) d ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ v ( y )dy ∫ Tính I = ∫∫ xydxdy v i D gi i h n b i y = x – 4, y2 = 2x. u( x )dx . D c x1 ( y ) D 3) N u D là mi n ph c t p thì ta chia D ra thành nh ng mi n ñơn gi n như trên. ð i th t l y tích phân x2 ( y ) d y2 ( x ) I = ∫ dy ∫ b f ( x, y )dx I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy c x1 ( y ) a y1 ( x ) Trang 5
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 1.4.2. Phương pháp ñ i bi n a) Công th c ñ i bi n t ng quát VD 3. ð i th t l y tích phân trong các tích phân sau: ð nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm s có các ñ o hàm riêng liên t c trên mi n ñóng gi i n i Duv trong mp 2 − x2 1 1) I = ∫ dx ∫ Ouv. G i Dxy = {( x, y ) : x = x (u, v ), y = y (u, v ), (u, v ) ∈ Duv } . f ( x, y )dy ; 0 x N u hàm f(x, y) kh tích trên Dxy và ñ nh th c Jacobi 2y 3 ∂ ( x, y ) 2) I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ; J= ≠ 0 trong Duv thì: ∂ (u, v ) 1 0 1 x 3 1 ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u, v ), y (u, v )) 3) I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . J dudv . Dxy Duv 2 2 0 1 x x 9 9 ∂ ( x, y ) xu xv / / 1 1 Trong ñó: J = =/ = =/ /. ∂ (u, v ) yu yv/ ∂ (u, v ) u x u y ∂ ( x, y ) / / vx v y b) ð i bi n trong t a ñ c c VD 4. Cho mi n Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2) trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v). 1 Tính tích phân c a hàm f ( x, y ) = trên mi n 1+ 4x + 4 y bi n hình Dxy = g(Duv). VD 5. Cho mi n Duv là ph n tư hình tròn ñơn v trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân c a hàm 1 f ( x, y ) = trên mi n bi n hình Dxy. x + y2 x = r cos ϕ 2 , v i r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π • ð i bi n: y = r sin ϕ VD 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i b n Parapol: y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. ho c −π ≤ ϕ ≤ π . Khi ñó, mi n Dxy tr thành: Chú ý Drϕ = {( r, ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )} 1) ð i bi n trong t a ñ c c thư ng dùng khi biên D là cos ϕ − r sin ϕ ∂ ( x , y ) xr / / xϕ ñư ng tròn ho c elip. và J = =/ = =r. sin ϕ r cos ϕ ∂ ( r, ϕ ) yr x = r cos ϕ / yϕ 2) ð tìm r1 (ϕ ), r2 (ϕ ) ta thay vào phương y = r sin ϕ V y ta có: trình c a biên D. 3) N u c c O n m trong D và m i tia t O c t biên D không ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ , r sin ϕ )rdrdϕ quá 1 ñi m thì: r (ϕ ) 2π Dxy Drϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ∫ dϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr . ∫∫ ∫ . ϕ2 r2 (ϕ ) = ∫ dϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdr ∫ Drϕ 0 0 ϕ1 r1 (ϕ ) 4) N u c c O n m trên biên D thì: VD 9. Tính tích phân I = ∫∫ e − ( x + y2 ) 2 dxdy v i D là hình tròn ϕ2 r (ϕ ) ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ϕ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr . D x2 + y 2 ≤ R2 . Drϕ 0 1 VD 10. Tính di n tích mi n D gi i h n b i: 5) N u biên D là elip thì ñ t: y = –x, x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x và y ≥ 0 . x = r a cos ϕ ⇒ Drϕ = {( r , ϕ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1} . y = r b sin ϕ Công th c Walliss ∫∫ f ( x, y )dxdy trong t a ñ c c. VD 7. Bi u di n tích phân (n − 1)!! n !! , n leû π π D 2 2 2 2 Bi t mi n D là mi n ph ng n m ngoài (C1): (x – 1) + y = 1 ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx = . π . (n − 1)!! , n chaün và n m trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. 0 0 x2 y2 2 n !! VD 8. Tính di n tích hình ellip: 2 + 2 ≤ 1 . a b Trang 6
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH M T S M T B C HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz • Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y 2 z2 + − = 0 (nón eliptic); 5) ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình: a 2 b2 c 2 Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz x2 y2 6) 2 + 2 = 2 z (parabolit eliptic); + L = 0. a b Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0. x2 y2 • Các d ng chính t c c a m t b c hai: 7) 2 − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a); 1) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (m t c u); a b x2 y2 x2 y2 z2 8) 2 + 2 = 1 (m t tr eliptic); + + = 1 (m t elipxoit); 2) a 2 b2 c 2 a b x2 y2 x2 y2 z2 9) 2 − 2 = 1 (m t tr hyperbolic); 3) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng); a b a b c 10) y 2 = 2 px (m t tr parabolic). 2 2 z2 x y 4) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng); a b c Trang 7
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. TÍCH PHÂN B I BA 2.1. Bài toán m ñ u (kh i lư ng v t th ) 2.2. ð nh nghĩa • Gi s ta c n tính kh i lư ng c a v t th V không ñ ng • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trong mi n ño ñư c V c a ch t, bi t m t ñ (kh i lư ng riêng) t i P(x, y, z) là không gian Oxyz. Chia mi n V m t cách tùy ý thành n ph n ρ = ρ ( P ) = ρ ( x, y , z ) . Ta chia V tùy ý thành n ph n không không d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Vi ta l y Pi(xi; yi; zi) tùy ý và l p t ng tích phân d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Vi ta l y ñi m Pi(xi; yi; zi) và ñư ng kính c a ∆Vi là n I n := ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi . di. Kh i lư ng V x p x : i =1 n n m ≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆Vi = ∑ ρ ( xi , yi , zi ) ∆Vi . n ∑ f ( x , y , z )∆V t N u I = lim n t i h u h n, không i i i i max d i → 0 i =1 i =1 i =1 n ph thu c vào cách chia V và cách ch n ñi m Pi thì s th c ∑ ρ ( x , y , z )∆V thì ñó là kh i lư ng m lim N ut nt i i i i i I ñư c g i là tích phân b i ba c a f(x, y, z) trên V. max d i →0 i =1 Ký hi u I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV . c a v t t h V. V ð nh lý. Hàm f(x, y, z) liên t c trong mi n b ch n, ñóng V 3) Tích phân b i ba có các tính ch t như tích phân kép. thì kh tích trong V. 2.3. Phương pháp tính tích phân b i ba • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y, z) kh tích; f(x, y, z) là 2.3.1. ðưa v tích phân l p hàm dư i d u tích phân; x, y, z là các bi n tích phân. a) Gi s mi n V có gi i h n trên b i m t z = z2(x, y), gi i Nh n xét h n dư i b i z = z1(x, y), gi i h n xung quanh b i m t tr 1) N u chia V b i các ñư ng th ng song song v i các tr c t a ñ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. có ñư ng sinh song song v i tr c Oz. G i D là hình chi u c a V trên mpOxy. V y I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz . Khi ñó: V V z2 ( x , y ) 2) N u f ( x, y , z ) ≥ 0 trên V thì I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz là ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ ∫ f ( x, y , z )dz dxdy D z1 ( x , y ) V V . kh i lư ng v t th V, v i kh i lư ng riêng v t ch t chi m z2 ( x , y ) = ∫∫ dxdy ∫ th tích V là f(x, y, z). f ( x, y , z )dz N u f(x, y, z) = 1 thì I là th tích V. D z1 ( x , y ) • N u D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} thì: y2 ( x , z ) ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ ∫ f ( x, y , z )dy dxdz y2 ( x ) z2 ( x , y ) b ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ D y1 ( x , z ) dy f ( x, y , z )dz . V . y2 ( x , z ) V a y1 ( x ) z1 ( x , y ) = ∫∫ dxdz ∫ • N u D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: f ( x, y , z )dy D y1 ( x , z ) x2 ( y ) z2 ( x , y ) d • N u D = {( x, z ) : a ≤ x ≤ b, z1 ( x ) ≤ z ≤ z2 ( x )} thì: ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫ dx f ( x, y , z )dz . z2 ( x ) y2 ( x , z ) b V c x1 ( y ) z1 ( x , y ) ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ dz f ( x, y , z )dy . b) G i D là hình chi u c a V trên mpOxz. V a z1 ( x ) y1 ( x , z ) • N u D = {( x, z ) : x1 ( z ) ≤ x ≤ x2 ( z ), e ≤ z ≤ f } thì: Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Oy) b i hai m t y = y2(x, z) và m t y = y1(x, z), gi i h n xung x2 ( z ) y2 ( x , z ) f ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dz ∫ ∫ quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Oy. dx f ( x, y , z )dy . Khi ñó: V e x1 ( z ) y1 ( x , z ) Trang 8
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH • N u D = {( y , z ) : y1 ( z ) ≤ y ≤ y2 ( z ), e ≤ z ≤ f } c) G i D là hình chi u c a V trên mpOyz. Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Ox) thì: b i hai m t x = x2(y, z) và m t x = x1(y, z), gi i h n xung y2 ( z ) x2 ( y , z ) f ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dz ∫ ∫ quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Ox. dy f ( x, y , z )dx . Khi ñó: V e y1 ( z ) x1 ( y , z ) x2 ( y , z ) ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ ∫ f ( x, y , z )dx dydz D x1 ( y , z ) V ð c bi t . D = {( x, y , z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f } x2 ( y , z ) = ∫∫ dydz ∫ •N u f ( x, y , z )dx = [a, b] × [c, d ] × [e, f ] D x1 ( y , z ) thì: • N u D = {( y , z ) : c ≤ y ≤ d , z1 ( y ) ≤ z ≤ z2 ( y )} thì: f b d ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y , z )dz . z2 ( y ) x2 ( y , z ) d ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫ dz f ( x, y , z )dx . V a c e V c z1 ( y ) x1 ( y , z ) 2.3.2. ð i bi n t ng quát x = x (u, v , w) VD 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8 xyzdxdydz v i xu xv/ xw / / ∂ ( x, y , z ) • ð t y = y (u, v, w) và J = = yu yv y w . / / / V ∂ (u, v , w) V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2]. z = z ( u , v , w) zu zv/ z w / / Gi s các hàm x, y, z có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n 1 1 2 VD 2. Tính tích phân l p I = ∫ dx ∫ dy ∫ (4 + z )dz và d ng ñóng, gi i n i ño ñư c Vuvw trong không gian Ouvw và J ≠ 0 thì: −1 x2 0 mi n l y tích phân V. ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz V VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ ydxdydz v i V gi i h n b i . = ∫∫∫ f ( x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)). J .dudvdw V Vuvw x + y + z – 1 = 0 và 3 m t ph ng t a ñ . Ta có: VD 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz v i xr/ / xθ/ xϕ V ∂ ( x, y, z ) yθ/ = r 2 sin θ . J= = yr/ / yϕ ∂( r , ϕ , θ ) V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 . zr/ / zθ/ zϕ x2 y 2 z 2 + + ≤ R2 . Khi ñó ta có: VD 5. Tính th tích c a kh i elipxoit V : a 2 b2 c 2 ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ , r sin ϕ , z ).r.drdϕ dz . 2.3.3. ð i bi n trong t a ñ tr V Vrϕ z x = r cos ϕ VD 6. Tính th tích kh i V gi i h n b i các m t ð t y = r sin ϕ , v i x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0. z = z VD 7. Tính tích phân I = ∫∫∫ z x 2 + y 2 dxdydz v i V là r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ho c V −π ≤ ϕ ≤ π . mi n hình tr gi i h n b i: x 2 + y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1. Ta có: VD 8. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz v i V là cos ϕ − r sin ϕ xr/ / x z/ xϕ 0 V ∂ ( x, y, z ) mi n hình nón gi i h n b i các m t: x + y = z và z = 1. y = sin ϕ r cos ϕ J= = yr/ 0 =r. 2 2 2 / / yϕ ∂(r,ϕ , z ) z zr/ / / zϕ z 0 0 1 z 2.3.3. ð i bi n trong t a ñ c u x = r sin θ cos ϕ Khi ñó ta có: ð t y = r sin θ sin ϕ , v i ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz z = r cos θ V . r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π ho c = ∫∫∫ f ( r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ).r 2 sin θ .drdϕ dθ −π ≤ ϕ ≤ π . Vrϕθ Trang 9
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3. NG D NG C A TÍCH PHÂN B I 3.1. Di n tích, th tích (xem nh n xét tích phân b i hai, ba). 1 VD 9. Tính tích phân I = ∫∫∫ dxdydz v i V là 3.2. Giá tr trung bình c a hàm s trên mi n ñóng x + y2 + z2 2 V • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y) trên mi n ñóng D là: mi n gi i h n b i các m t c u: 1 S ( D ) ∫∫ f= x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 + z 2 = 4 . f ( x, y )dxdy . D VD 1. Tính giá tr trung bình c a f(x, y) = xcosxy trong VD 10. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz v i V là hình ch nh t 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 . • Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y, z) trên mi n ñóng Ω V mi n gi i h n b i: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 . 1 V (Ω) ∫∫ f= f ( x, y , z )dxdydz . là: Ω VD 2. Tính giá tr trung bình c a f(x, y, z) = xyz trong hình l p phương [0, 2] × [0, 2] × [0, 2]. 3.3. Kh i lư ng 3.4. Momen tĩnh ð nh nghĩa • Cho m t b n ph ng chi m mi n D ñóng trong Oxy có kh i lư ng riêng (m t ñ kh i lư ng) t i ñi m M(x, y) thu c D là • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Kh i lư ng c a b n ph ng là: ñi m M(x, y) trong Oxy ñ i v i tr c Ox, Oy theo th t là: My=0 = my, Mx=0 = mx. m = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy . • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i D ñi m M(x, y, z) trong Oxyz ñ i v i các m t ph ng t a ñ • Cho m t v t th chi m mi n V ñóng trong Oxyz có kh i Oxy, Oyz, Oxz theo th t là: lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) thu c V là hàm ρ ( x, y , z ) Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my. liên t c trên V. Kh i lư ng c a v t th là: Công th c tính m = ∫∫∫ ρ ( x, y , z )dxdydz . • Momen tĩnh c a b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy có kh i lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên V VD 3. Tính kh i lư ng b n ph ng chi m mi n D gi i h n t c trên D là: b i x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 . Bi t kh i lư ng riêng là M y = 0 = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy , M x = 0 = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy . hàm ρ ( x, y ) = xy . D D 3.5. Tr ng tâm • Momen tĩnh c a v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy có kh i lư ng lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a b n ph ng là: trên V là: ∫∫ xρ ( x, y )dxdy M z = 0 = ∫∫∫ z ρ ( x, y , z )dxdydz , 1 x ρ ( x, y )dxdy , m ∫∫ xG = = D V ∫∫ ρ ( x, y )dxdy M x = 0 = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz, D D V ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy M y =0 = ∫∫∫ y ρ ( x, y , z )dxdydz. 1 y ρ ( x, y )dxdy. m ∫∫ yG = = D V ∫∫ ρ ( x, y )dxdy D D Khi b n ph ng ñ ng ch t thì ρ ( x, y ) là h ng s nên: Khi v t th ñ ng ch t thì ρ ( x, y , z ) là h ng s nên: 1 1 1 S ( D ) ∫∫ S ( D ) ∫∫ xG = ∫∫∫ xdxdydz , xG = xdxdy, yG = ydxdy . VV D D • Cho v t th chi m th tích V trong Oxyz có kh i lư ng 1 ∫∫∫ ydxdydz, . yG = riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. V V Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a v t th là: 1 V ∫∫∫ zG = zdxdydz. 1 xG = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz , V mV a ñ tr ng tâm hình ph ng D gi i h n b i VD 4. Tìm t 1 x + y ≤ 1 . Bi t ρ ( x, y ) = 2 x + y . x ≥ 0, y ≥ 0, y ρ ( x, y , z )dxdydz , m ∫∫∫ yG = a ñ tr ng tâm c a v t th ñ ng ch t chi m th VD 5. Tìm t V n b i m t nón z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 và m t c u 1 tích V gi i h z ρ ( x, y , z )dxdydz. m ∫∫∫ zG = x2 + y2 + z2 = 1 . V Trang 10
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 3.4. Momen quán tính ð nh nghĩa Công th c tính • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y) ñ i v i tr c Ox, Oy và g c t a ñ O theo • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong mpOxy có kh i lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. th t là: Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). Khi ñó: • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y )dxdy , t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i tr c Ox, Oy, Oz và g c t a ñ O D theo th t là: I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dxdy , Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2) IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2). và D I O = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y )dxdy. • Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i các m t ph ng t a ñ Oxy, Oyz, D Oxz th t là: Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2. • Cho v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i lư ng riêng I z = 0 = ∫∫∫ z 2 ρ ( x, y , z )dxdydz , t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. Khi V ñó: I x = 0 = ∫∫∫ x 2 ρ ( x, y , z )dxdydz , và I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz, V I y = 0 = ∫∫∫ y 2 ρ ( x, y , z )dxdydz. V I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x, y, z)dxdydz, 2 2 V V I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz , VD 6. Tính Ix, Iy c a hình D gi i h n b i y2 = 1 – x, x = 0, y = 0. Bi t kh i lư ng riêng là ρ ( x, y ) = y . V I O = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz VD 7. Tính IO c a hình tròn x 2 + y 2 − 2 Rx ≤ 0 . Bi t ρ ( x, y ) = x 2 + y 2 . V Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯ NG – TÍCH PHÂN M T §1. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I I n ∑ f ( x , y )∆s t n t i ñư c g i là tích lim Gi i h n 1.1. ð nh nghĩa i i i max ∆si → 0 i =1 phân ñư ng lo i 1 c a f(x, y) trên ñư ng cong L. • Gi s ñư ng cong L trong m t ph ng Oxy có phương ∫ f ( x, y )ds . trình tham s x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b và f(x, y) là Ký hi u là L hàm s xác ñ nh trên L. Chia L thành n cung không d m lên Nh n xét nhau b i các ñi m chia ng v i a = t0 < t1 < ... < tn = b . 1) Tích phân ñư ng lo i 1 có t t c các tính ch t c a tích G i ñ dài cung th i là ∆si . Trên cung th i l y ñi m phân xác ñ nh. 2) Tích phân ñư ng lo i 1 không ph thu c vào chi u c a n M i ( xi , yi ) . T ng I n = ∑ f ( xi , yi ) ∆si ñư c g i là t ng tích ∫ ∫ f ( x, y )ds = f ( x, y )ds . L: i =1 phân ñư ng (lo i 1) c a hàm f(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA 1.2. Phương pháp tính b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát a) ðư ng cong L có phương trình tham s • N u L có phương trình y = y ( x ) v i a ≤ x ≤ b thì: • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b b f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x )) 1 + ( y x ) dx . 2 ∫ / thì: L a b ( xt/ ) + ( yt/ ) dt . 2 2 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x (t ), y (t )) • N u L có phương trình x = x ( y ) v i a ≤ y ≤ b thì: L a • N u L trong không gian có phương trình x = x (t ) , b (x ) /2 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x ( y ), y ) + 1dy . y = y (t ) , z = z (t ) v i a ≤ t ≤ b thì: y L a b ( x ) + ( y ) + ( z ) dt . /2 /2 /2 ∫ f ( x, y , z )ds = ∫ f ( x (t ), y (t ), z (t )) t t t L a Trang 11
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) v i a ≤ x ≤ b thì: ∫ zds v i L là ñư ng xo n c tr tròn xoay có VD 1. Tính b L ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, α )dx . phương trình x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π . L a • N u L có phương trình x = α (h ng s ) v i a ≤ y ≤ b thì: ∫ ( x + y )ds v i L là tam giác có các ñ nh VD 2. Tính b f ( x, y )ds = ∫ f (α , y )dy . ∫ L O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1). L a c) ðư ng cong L trong t a ñ c c • N u L ñư c cho trong t a ñ c c r = r (ϕ ) v i α ≤ ϕ ≤ β ∫ xyds VD 3. Tính v i L là ph n giao tuy n gi a m t thì ta xem ϕ là tham s . Khi ñó, phương trình c a L là L z = 2 − x 2 − 2 y 2 và z = x 2 n m trong góc ph n tám th x = r (ϕ ) cos ϕ , y = r (ϕ ) sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β và: nh t t ñi m A(0; 1; 0) ñ n B(1; 0; 1). β f ( x, y )ds = ∫ f ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) sin ϕ ) r 2 + ( rϕ/ ) dϕ . 2 ∫ α L Tr ng tâm G c a L là: 1.3. ng d ng ∫ ds , v 1 1 xG = ∫ x ρ ( x, y , z )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y , z )ds , 1) ð dài cung L là i f(x, y) = 1 ho c f(x, y, z) = 1. mL mL L 2) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i 1 zG = ∫ z ρ ( x, y, z )ds . lư ng ρ ( x, y ) ph thu c vào ñi m M(x, y) trên L thì kh i mL lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y )ds . VD 4. Tính ñ dài cung tròn x 2 + y 2 − 2 x = 0 n m trong L 1 3 Tr ng tâm G c a L là: góc th nh t t A(2; 0) ñ n B ; . 1 1 2 2 xG = ∫ x ρ ( x, y )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y )ds . mL mL VD 5. Cho m t dây thép d ng n a ñư ng tròn trong mpOyz v i phương trình y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 . Bi t m t ñ kh i lư ng 3) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i lư ng ρ ( x, y , z ) ph thu c vào ñi m M(x, y, z) trên L thì ρ ( x, y , z ) = 2 − z . kh i lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y , z )ds . Tìm kh i lư ng và tr ng tâm c a dây thép. L §2. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I II 2.1. Bài toán m ñ u • Tính công sinh ra do l c F = F ( M ) tác d ng lên ch t Khi ñó, công W sinh ra: n n W ≈ ∑Wi = ∑ F ( M i ) Ai −1 Ai ñi m M(x, y) di chuy n d c theo ñư ng cong L. N u L là ño n th ng AB thì công sinh ra là i =1 i =1 ( ) W = F . AB = F AB cos F , AB . n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ]. i =1 Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An . Vy Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. Chi u n ∑ [ P(ξ ,η )∆x + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ] . W= lim i i i F ( M i ) và Ai −1 Ai lên tr c Ox, Oy ta ñư c: max Ai −1 Ai → 0 i =1 F ( M i ) = P(ξi ,ηi ).i + Q (ξi ,ηi ). j và Ai −1 Ai = ∆xi .i + ∆yi . j . 2.2. ð nh nghĩa ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . Ký hi u là • Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñ nh trên ñư ng cong L. L Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An . Nh n xét Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. G i Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) . T ng 1) Tích phân ñư ng lo i 2 có t t c các tính ch t như tích phân xác ñ nh. n I n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi )∆yi ] ñư c g i là t ng tích i =1 2) Tích phân ñư ng lo i 2 ph thu c vào chi u c a L vì khi phân ñư ng (lo i 2) c a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng thay ñ i chi u thì Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) ñ i d u, do ñó khi vi t cong L. tích phân ta c n ghi rõ ñi m ñ u và cu i: lim I n t n t i ñư c g i là tích phân ñư ng Gi i h n max Ai−1 Ai → 0 ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . lo i 2 c a P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA Trang 12
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2.3. Phương pháp tính 3) T ñ nh nghĩa t ng tích phân, ta có th vi t: a) ðư ng cong L có phương trình tham s ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q ( x, y )dy . • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) thì: AB AB AB ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy AB • N u L là ñư ng cong ph ng, kín l y theo chi u dương tB = ∫ P( x (t ), y (t )) xt/ + Q ( x(t ), y (t )) yt/ dt. (ngư c chi u kim ñ ng h ) thì ta dùng ký hi u: ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . tA • N u L trong không gian có pt x = x (t ) , y = y (t ) , z = z (t ) : L ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z )dz • ð nh nghĩa tương t : AB ∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z)dz . P ( x(t ), y (t ), z (t )) xt/ + Q ( x (t ), y (t ), z (t )) yt/ tB = ∫ dt. L + R( x (t ), y (t ), z (t )) zt/ tA b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát ð c bi t • N u L có phương trình y = α (h ng s ) thì: • N u L có phương trình y = y ( x ) thì: xB ∫ P( x, α )dx . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = xB ∫ ∫ P( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x)). y x dx . Pdx + Qdy = / xA AB • N u L có phương trình x = α (h ng s ) thì: xA AB yB ∫ Q (α , y )dy . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = • N u L có phương trình x = x ( y ) thì: yA AB yB ∫ Pdx + Qdy = ∫ P( x( y ), y ). x + Q ( x ( y ), y ) dy . / x2 y2 ∫ xdy − ydx v i L là elip + = 1 l y theo y VD 1. Tính yA a 2 b2 AB L chi u dương. 2.4. Công th c Green (liên h v i tích phân kép) ∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy v i L là ñư ng n i VD 2. Tính • Cho mi n D là mi n liên thông, b ch n, có biên L Jordan L kín trơn t ng khúc. Chi u dương c a L là chi u mà khi di ñi m O(0; 0) v i A(1; 1) trong các trư ng h p: chuy n ta th y mi n D n m v phía tay trái. a) ñư ng th ng y = x; b) ñư ng y = x2; c) ñư ng y = x . ∫ dx − ydy + dz v i L là ñư ng xo n c tr tròn VD 3. Tính • N u các hàm s P(x, y) và Q(x, y) có các ñ o hàm riêng L xoay có phương trình x = cos t , y = sin t , z = 2t t ñi m c p 1 liên t c trên D thì: ∫∫ (Q − Py/ )dxdy = A(1; 0; 0) ñ n B(0; 1; π ) . ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy . / x D L 2.5. ði u ki n tích phân ñư ng không ph thu c ñư ng H qu l y tích phân 1 S ( D ) = ∫ xdy − ydx . ð nh lý 2 ∂D • Gi s các hàm s P(x, y), Q(x, y) và các ñ o hàm riêng c p 1 c a chúng liên t c trong mi n ñơn liên D. Khi ñó, b n x2 y2 m nh ñ sau tương ñương: + = 1. VD 4. Tính di n tích c a elip a 2 b2 1) Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 d c theo m i ñư ng kín L 2) )dx + ( x + 2 xy + y 2 e − y )dx , v i L ∫ ( xarctgx + y 2 VD 5. Tính L L n m trong D. là x 2 + y 2 − 2 y = 0 . ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy , trong ñó 3) n m trong D, ch AB xdy − ydx VD 6. Tính ∫ 2 trong các trư ng h p: AB x + y2 ph thu c vào hai mút A, B mà không ph thu c vào ñư ng L n i A v i B. a) L là ñư ng cong kín không bao g c O; 4) Bi u th c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a b) L là ñư ng cong kín bao g c O. hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D. Trang 13
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §3. TÍCH PHÂN M T LO I I 3.1. ð nh nghĩa H qu • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t S. Chia S m t cách • N u P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D, nghĩa là Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) thì: n ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = u( B) − u( A) . tùy ý và l p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ) ∆Si . i =1 AB n ∑ f (ξ ,η , ζ )∆S Nu I= lim t n t i h u h n, không x− y x+ y i i i i max d ( ∆Si ) →0 ∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy v i L là ñư ng trơn VD 7. Tính i =1 ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I L t ng khúc n i A(1; 1) và B(2; 2) n m trong mi n D không ñư c g i là tích phân m t lo i 1 c a f(x, y, z) trên S. ch a g c t a ñ O. Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y , z )dS . S 3.2. Phương pháp tính c) Chi u S lên Oyz • N u S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chi u trên a) Chi u S lên Oxy • N u S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chi u trên Oyz là D thì: 1 + ( x y ) + ( xz/ ) dydz . Oxy là D thì: 2 2 ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x( y, z ), y, z ) / 1+ (z ) + ( z ) dxdy . /2 /2 ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z( x, y )) S D x y S D VD 1. Tính I = ∫∫ zdS , trong ñó S là ph n m t nón b) Chi u S lên Oxz S • N u S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chi u trên z = x + y v i 0 ≤ z ≤1. 2 2 2 Oxz là D thì: VD 2. Tính I = ∫∫ z 2 ( x 2 + y 2 )dS , trong ñó S là ph n m t f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x, y ( x, y ), z ) 1 + ( y x ) + ( y z/ ) dxdz . 2 2 ∫∫ / S S D c u x2 + y2 + z2 = 4 v i x ≥ 0 , y ≥ 0 . §4. TÍCH PHÂN M T LO I II 4.1. ð nh nghĩa 3.3. ng d ng c a tích phân m t lo i 1 4.1.1. M t ñ nh hư ng ∫∫ dS . 1) Di n tích m t S là • M t trơn S ñư c g i là m t ñ nh hư ng n u pháp vector S 2) N u m t S có hàm m t ñ kh i lư ng là ρ ( x, y , z ) thì ñơn v n xác ñ nh t i m i ñi m M thu c S (có th tr biên S) bi n ñ i liên t c khi M ch y trên S. M t ñ nh hư ng có kh i lư ng c a m t S là: m = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS . hai phía, phía mà n u ñ ng trên ñó thì n hư ng t chân lên ñ u là phía dương, ngư c l i là phía âm. S Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a m t S là: 1 1 xG = ∫∫ x ρ ( x, y , z )dS , yG = ∫∫ y ρ ( x, y , z )dS , mS mS 1 z ρ ( x, y, z )dS . m ∫∫ zG = S • Hư ng c a biên S là hư ng ngư c chi u kim ñ ng h khi G i Di là hình chi u c a ∆Si lên Oxy kèm theo d u dương nhìn t ng n c a n . n u ∆Si có ñ nh hư ng trên, ngư c l i là d u âm. • Khi m t S không kín, ta g i phía trên là phía mà n l p v i n L p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ).S ( Di ) . tia Oz góc nh n, ngư c là là phía dư i. Khi m t S kín ta g i phía trong và phía ngoài. i =1 • M t trơn t ng khúc S là ñ nh hư ng ñư c n u hai ph n n ∑ f (ξ ,η , ζ ).S ( D ) t Nu I= lim n t i h u h n, trơn b t kỳ c a S n i v i nhau b i ñư ng biên C có ñ nh i i i i max d ( ∆Si ) →0 i =1 hư ng ngư c nhau. không ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I ñư c g i là tích phân m t lo i 2 c a f(x, y, z) trên m t 4.1.2. ð nh nghĩa tích phân m t lo i 2 ñ nh hư ng S. • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t ñ nh hư ng, trơn ∫∫ f ( x, y, z)dxdy . Ký hi u t ng khúc S. Chia S m t cách tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong S m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) tùy ý. Trang 14
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH • Tương t , khi chi u S lên Ozx và Oyz ta có 4.2. Liên h v i tích phân m t lo i 1 • Cho m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc S có pháp vector ñơn ∫∫ f ( x, y, z )dzdx ∫∫ f ( x, y, z )dydz . và v n . G i α , β , γ l n lư t là góc h p b i n v i các tia S S Ox, Oy, Oz. Khi ñó: • K t h p c 3 d ng trên ta ñư c tích phân m t lo i 2 c a ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy các hàm P, Q, R trên S: S ∫∫ P( x, y, z )dydz + Q ( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy . = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS . S S Trong ñó: Nh n xét 1 cos α = • N u ñ i hư ng c a m t S thì tích phân ñ i d u. , 1 + ( x y ) + ( x z/ ) 2 2 • N u S kín thì tích phân còn ñư c ký hi u là: / ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . 1 1 cosβ = , cosγ = . S 1 + ( yx ) + ( y ) 1 + ( z x ) + ( z /y ) 2 /2 2 2 / / z 4.3. Phương pháp tính a) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxy là mi n Dxy và có phương trình z(x, y) thì: ∫∫ zdxdy , v VD 1. Tính i S là phía ngoài c a m t c u ∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R( x, y, z( x, y ))dxdy . S x2 + y 2 + z2 = R2 . S Dxy (d u + hay – tùy thu c vào m t phía trên hay dư i). b) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxz là mi n Dxz và có VD 2. Cho I = ∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x )dzdx + ( x − y )dxdy , phương trình y(x, z) thì: S ∫∫ Q ( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q ( x, y ( x, z), z)dzdx . v i S là phía ngoài c a m t nón x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 4 . S Dxz Chuy n tích phân v lo i 1 r i tính I. c) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oyz là mi n Dyz và có phương trình x(y, z) thì: ∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P( x( y, z), y, z )dydz . S D yz 4.4. Công th c Stokes 4.5. Công th c Gauss – Ostrogradski • Cho S là m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc có biên ∂S trơn • Cho V là m t kh i gi i n i v i biên S trơn t ng khúc. Gi t ng khúc và không t c t. Gi s P, Q, R là các hàm có ñ o s P, Q, R là các hàm có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n hàm riêng liên t c trong mi n m ch a S. Khi ñó: m ch a V. Khi ñó: ∫ Pdx + Qdy + Rdz ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( P + Q y + Rz/ ) dxdydz . / / ∂S x = ∫∫ ( R y − Qz/ ) dydz + ( Pz/ − Rx/ ) dzdx + (Qx/ − Py/ ) dxdy. S V / ∫∫ (Tích phân l y theo phía ngoài c a S). S (Hư ng c a ∂S là hư ng dương phù h p v i hư ng c a S). S ∫ ydx + zdy + xdz , v i C là ñư ng tròn giao VD 3. Tính ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , v 3 3 3 VD 4. Tính i S là phía C c a m t c u x + y + z = R và m t ph ng x + y + z = 0 2 2 2 2 S ngoài c a m t c u x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . và hư ng tích phân trên C là hư ng dương khi nhìn t ng n tia Oz. Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P I §1. KHÁI NI M CƠ B N V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • D ng t ng quát c a ptvp c p n là F(x, y, y’,…, y(n)) = 0(*), • M t phương trình ch a ñ o hàm ho c vi phân c a 1 ho c n u t (*) ta gi i ñư c theo y(n) thì ptvp có d ng: vài hàm c n tìm ñư c g i là phương trình vi phân. y(n) = f(x, y, y’,…, y(n–1)). • Nghi m c a ptvp F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 trên kho ng K là 1 VD 1. y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0; hàm s y = φ(x) xác ñ nh trên K sao cho khi thay y = φ(x) dy dz +2 =0. 2y’’ – 3y’ + y = 0; vào ptvp ta ñư c ñ ng nh t th c trên K. dx dx Phương trình vi phân có vô s nghi m sai khác h ng s C. • Gi i phương trình vi phân là tìm t t c các nghi m c a nó. • C p cao nh t c a ñ o hàm ch a trong phương trình vi • ð th c a nghi m y = φ(x) ñư c g i là ñư ng cong tích phân (ptvp) ñư c g i là c p c a ptvp ñó. phân. dy = x 2 là ptvp c p 1; VD 2. y’ = 3x và dx VD 3. Các hàm s y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x ñ u là y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c p 2. nghi m c a y’’ – y = 0. Trang 15
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 2.1. Khái ni m cơ b n v phương trình vi phân c p 1 • Nghi m c a ptvp ch a h ng s C là nghi m t ng quát, • Phương trình vi phân c p 1 là phương trình có d ng t ng nghi m ch a h ng s C0 c th là nghi m riêng và nghi m quát F(x, y, y’) = 0 (*), n u t (*) ta gi i ñư c theo y’ thì không nh n ñư c t nghi m t ng quát là nghi m kỳ d . y’ = f(x, y). VD 2. • Gi i ptvp c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 là ñi tìm Tìm nghi m kỳ d c a ptvp y ′ = 1 − y 2 . nghi m th a ñi u ki n ñ u, hay tìm 1 ñư ng cong tích phân c a ptvp ñi qua ñi m M0(x0; y0). VD 3. Tìm ptvp c a h ñư ng cong y = Cx2. VD 1. Gi i ptvp y ′ − x = 0 , bi t ñư ng cong tích phân ñi qua ñi m M(2; 1). 2.2. M t s phương trình vi phân c p 1 cơ b n Chú ý Ptvp f1 ( x ) g1 ( y )dx + f 2 ( x ) g 2 ( y )dy = 0 (1’) ñư c ñưa v 2.2.1. Phương trình vi phân c p 1 có bi n phân ly • Ptvp có bi n phân ly có d ng: d ng (1) như sau: f ( x )dx + g ( y )dy (1) . + N u g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghi m c a (1). + N u f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghi m c a (1). + N u g1 ( y ) ≠ 0, f 2 ( x ) ≠ 0 thì: Phương pháp gi i • L y tích phân hai v (1) ta ñư c nghi m t ng quát: f ( x) g ( y) dx + 2 dy = 0 (d ng (1)). (1') ⇒ 1 ∫ f ( x )dx + ∫ g ( y )dy = C . f2 ( x) g1 ( y ) VD 5. Gi i ptvp y ′ = xy ( y + 2) . xdx ydy VD 6. Gi i ptvp x 2 ( y + 1)dx + ( x 3 − 1)( y − 1)dy = 0 . + = 0. VD 4. Gi i ptvp 1 + x2 1 + y2 1 VD 7. Gi i ptvp xy’ + y = y2 th a ñi u ki n ñ u y (1) = . 2 2.2.2. Phương trình vi phân ñ ng c p c p 1 Phương pháp gi i y • ð t u = ⇒ y ′ = u + xu′ . • Hàm hai bi n f(x, y) ñư c g i là ñ ng c p b c n n u v i x m i k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Ch ng h n, các hàm du dx (ϕ (u ) − u ≠ 0 ≠ x ) • (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ (u ) ⇒ = x 2 − xy x− y ϕ (u ) − u x f ( x, y ) = , f ( x, y ) = , f(x, y) = x2 + xy là 2x + 3y 2x + 3y (ptvp có bi n phân ly). ñ ng c p b c 0, 1, 2 tương ng. x 2 − xy + y 2 VD 9. Gi i ptvp y ′ = . y • Cho hàm f(x, y) ñ ng c p b c 0 hay f ( x, y ) = ϕ xy . x x+ y VD 10. Gi i ptvp y ′ = v i ñi u ki n ñ u y(1) = 0. Khi ñó, ptvp ñ ng c p có d ng: x− y y ′ = f ( x, y ) (2) . 2.2.3. Phương trình vi phân toàn ph n Bư c 3. ð o hàm (3c) theo y: • Cho ptvp có d ng: P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 (3) v i ñi u u y = ϕ y + C ′( y ) (3d). / / ki n Qx/ = Py/ trong mi n ph ng D. N u t n t i hàm u(x, y) Bư c 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm ñư c C(y), thay vào (3c) ta ñư c u(x, y). sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) ñư c g i là ptvp toàn ph n. VD 11. Cho phương trình vi phân: • Nghi m t ng quát c a (3) là u(x, y) = C. (3 y 2 + 2 xy + 2 x )dx + ( x 2 + 6 xy + 3)dy = 0 (*). Phương pháp gi i a) Ch ng t (*) là ptvp toàn ph n. Bư c 1. T (3) ta có ux = P (3a) và u y = Q (3b). / / b) Gi i ptvi (*). Bư c 2. L y tích phân (3a) theo x: VD 12. Gi i ptvp ( x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0 . u( x, y ) = ∫ P( x, y )dx = ϕ ( x, y ) + C ( y ) (3c), v i C(y) là hàm theo bi n y. Trang 16
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2.2.4. Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 Chú ý • Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 có d ng: y ′ + p( x ) y = q( x ) (4) . • Khi tính các tích phân trên, ta ch n h ng s là 0. • Phương pháp bi n thiên h ng s là ñi tìm nghi m t ng • Khi f(x) = 0 thì (4) ñư c g i là ptvp tuy n tính c p 1 thu n quát c a (4) dư i d ng: nh t. y = C ( x )e ∫ − p ( x ) dx . Phương pháp gi i (phương pháp bi n thiên h ng s Lagrange) VD 13. Gi i pt y ′ − x 2 y = 0 th a ñi u ki n x = 3, y = – e9. Bư c 1. Tìm bi u th c A( x ) = e ∫ − p ( x ) dx . VD 14. Gi i pt y ′ + y cos x = e − sin x . Bư c 2. Tìm bi u th c B( x ) = ∫ q( x ).e ∫ p ( x ) dx dx . Bư c 3. Nghi m t ng quát là y = A( x ) [ B( x ) + C ] . VD 15. Gi i pt y ′( x + y 2 ) = y . 2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có d ng: Chú ý y ′ + p( x ) y = q( x ) y α (5) . • Phương trình Bernoulli luôn có nghi m kỳ d là y = 0. • Khi α = 0 ho c α = 1 thì (5) là tuy n tính c p 1. VD 16. • Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có bi n phân ly. y Gi i ptvp y ′ + = xy 2 v i ñi u ki n x = 1, y = 1. Phương pháp gi i (v i α khác 0 và 1) x + V i y ≠ 0 , bi n ñ i: VD 17. Gi i ptvp y ′ − 2 xy = x 3 y 2 . y′ y (5) ⇒ α + p( x ) α = q( x ) ⇒ y ′y −α + p( x ) y1−α = q( x ) . y y dy dy + 2y = x . VD 18. Gi i ptvp x 3 sin y + ð t z = y1−α ⇒ z ′ = (1 − α ) y ′y −α thì dx dx (5) ⇒ z ′ + (1 − α ) p( x ) z = (1 − α ) q( x ) (pt tuy n tính c p 1). §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 2 3.1. Các d ng phương trình cơ b n 3.1.2. Phương trình khuy t y 3.1.1. Phương trình khuy t y và y’ • D ng phương trình: y ′′ = f ( x, y ′) (2) . • D ng phương trình: y ′′ = f ( x ) (1) . Phương pháp gi i • ð t z = y’ ñ ñưa (2) v phương trình tuy n tính c p 1. Phương pháp gi i • L y tích phân hai v (1) hai l n. y′ VD 3. Gi i ptvp y ′′ = x − . VD 1. Gi i ptvp y ′′ = x 2 . x y′ VD 4. Gi i ptvp y ′′ − − x ( x − 1) = 0 v i x −1 7 3 VD 2. Gi i ptvp y ′′ = e 2 x v i y (0) = − , y ′(0) = . y(2) = 1 và y’(2) = –1. 4 2 3.1.3. Phương trình khuy t x 3.2. Phương trình vi phân c p 2 tuy n tính v i h s • D ng phương trình: h ng y ′′ = f ( y , y ′) (3) . 3.2.1. Phương trình thu n nh t • D ng phương trình: y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0 (4) (a1, a2 là các h ng s ). Phương pháp gi i dz dz dy dz • ð t z = y ′ ⇒ y ′′ = z ′ = = . =z ñ ñ ưa v p t Phương pháp gi i dx dy dx dy • Xét phương trình ñ c trưng c a (4): k 2 + a1k + a2 = 0 (5). bi n s phân ly. VD 5. Gi i ptvp 2 yy ′′ = ( y ′) + 1 . 1) Trư ng h p 1: (5) có hai nghi m th c phân bi t k1, k2. 2 Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e k1 x , y2 = e k2 x và VD 6. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′(1 − 2 y ) = 0 v i nghi m t ng quát là y = C1e k1 x + C2 e k2 x . 1 y (0) = 0, y ′(0) = . 2 Trang 17
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH 2) Trư ng h p 2: (5) có nghi m kép th c k. 3.2.2. Phương trình không thu n nh t Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e kx , y2 = xe kx và • D ng phương trình: y ′′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ) (6) (a1, a2 là các h ng s ). nghi m t ng quát là y = C1e kx + C2 xe kx . Phương pháp gi i 3) Trư ng h p 3: (5) có hai nghi m ph c liên h p • N u (4) có hai nghi m riêng y1(x), y2(x) thì (6) có nghi m k = α ± i β . Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng t ng quát là y = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) . y1 = eα x cos β x, y2 = eα x sin β x và nghi m t ng quát: • ð tìm C1(x) và C2(x), ta gi i h Wronsky: y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = 0 ′ . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = f ( x ) ′ ′ ′ VD 7. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ − 3 y = 0 . VD 8. Gi i ptvp y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . 1 VD 10. Gi i ptvp y ′′ + y = . VD 9. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ + 7 y = 0 . cos x ð nh lý (nguyên lý ch ng nghi m) ð nh lý • Cho ptvp y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) (9) . • Nghi m t ng quát c a (6) b ng t ng nghi m t ng quát c a (4) v i 1 nghi m riêng c a (6). Gi s y1(x) và y2(x) l n lư t là nghi m riêng c a y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) , y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f 2 ( x ) VD 11. Cho phương trình vi phân: thì y(x) = y1(x) + y2(x) là nghi m riêng c a (9). y ′′ − 2 y ′ + 2 y = (2 + x 2 )e x (*). a) Ch ng t (*) có 1 nghi m riêng là y = x 2 e x . VD 14. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp y ′′ − y ′ = 2 cos 2 x . b) Tìm nghi m t ng quát c a (*). Bi t: y ′′ − y ′ = 1 có nghi m riêng y1 = − x , y ′′ − y ′ = cos 2 x có VD 12. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp: 2 1 y ′′ + y ′ = 2 sin 2 x + 4 cos 2 x nghi m riêng y2 = − cos 2 x − sin 2 x . 10 10 bi t 1 nghi m riêng là y = − cos 2 x . §4. H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 • M i ptvp c p n d ng y ( n ) = f ( x, y , y ′,..., y ( n −1) ) ñ u có th 4.1. Khái ni m cơ b n ñưa v d ng h ptvp chu n t c c p 1 b ng cách ñ t • H phương trình vi phân chu n t c c p 1 có d ng: y = y1 , y ′ = y2 ,..., y ( n −1) = yn . y1/ = f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn ) y1/ = y2 / y2 = f 2 ( x, y1 , y2 ,..., yn ) / y2 = y3 , ................................. Khi ñó, ta ñư c h : .......... . y / = f ( x, y , y ,..., y ) n y/ = y n 1 2 n n −1 n trong ñó x là bi n s ñ c l p và y1(x), y2(x),…, yn(x) là các yn = f ( x, y1 , y2 ,..., yn ) / hàm s c n tìm. • B n hàm s yi = ϕi ( x, C1 , C2 ,..., Cn ), i = 1, n th a h ptvp là nghi m. 4.2. Phương pháp gi i b) Phương pháp ma tr n a) Phương pháp kh ñưa v phương trình vi phân c p cao y1/ = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn y1/ y1 / / y y = a21 y1 + a22 y2 + ... + a2 n yn y y′ = 5 y + z ⇔ 2 = A 2 , • 2 VD 1. Gi i h phương trình: ... . ............................................... ... z ′ = 4 y + 5z y/ y / = a y + a y + ... + a y yn n n n1 1 n2 2 nn n v i A = ( aij ) . y′ = z VD 2. Gi i h phương trình: . z′ = y Gi s phương trình ñ c trưng det( A − λ I ) = 0 có n nghi m phân bi t λi , i = 1, n . V i m i λi có vector riêng ( p1i , p2i ,..., pni ) . Trang 18
- ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH y′ = y + 2 z Khi ñó, h ptvp có h nghi m cơ b n là: VD 3. Gi i h phương trình: . y11 = p11eλ1 x , y21 = p21eλ1 x ,..., yn1 = pn1eλ1 x z ′ = 4 y + 3z λx λx λx y12 = p12 e 2 , y22 = p22 e 2 ,..., yn 2 = pn 2 e 2 ð c bi t • H ptvp có d ng ................................................................ y1/ λ11 0 ... 0 y1 y1 C11eλ11 x y = p eλn x , y = p eλn x ,..., y = p eλn x 1n λ22 x / y2 = 0 λ22 ... 0 y2 ⇔ y2 = C22 e . 1n 2n 2n nn nn y1 = C1 y11 + C2 y12 + ... + Cn y1n ... ... ... ... ... ... ... ... y = C y + C y + ... + C y / 0 ... λnn yn yn Cnn e λnn x và nghi m t ng quát là 2 1 21 2 22 n 2n yn 0 . ................................................. y′ = − y yn = C1 yn1 + C2 yn 2 + ... + Cn ynn VD 4. Gi i h phương trình: z ′ = 3z . u ′ = 2u …………………………………..H t………………………………… Trang 19
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Slide bài giảng Toán A2 - ThS. Đoàn Vương Nguyên
14 p |
240 |
122
-
Bài giảng Toán rời rạc ứng dụng trong tin học - Chương 1: Đại cương về đồ thị
44 p |
70 |
29
-
Bài giảng Toán rời rạc ứng dụng trong tin học - Chương 3: Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị
30 p |
88 |
27
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 - ThS. Nguyễn Phương
24 p |
48 |
24
-
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 2 - Nguyễn Ngọc Lam
23 p |
66 |
22
-
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 1 - Nguyễn Ngọc Lam
30 p |
50 |
18
-
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 4 - Nguyễn Ngọc Lam
34 p |
47 |
12
-
Bài giảng Toán kinh tế: Phần 2 - Nguyễn Ngọc Lam
32 p |
25 |
8
-
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 7 - Nguyễn Ngọc Lam
13 p |
34 |
8
-
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 6 - Nguyễn Ngọc Lam
20 p |
34 |
7
-
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5 - Nguyễn Ngọc Lam
28 p |
35 |
7
-
Bài giảng Toán ứng dụng tin học: Chương 1
9 p |
45 |
6
-
Bài giảng Toán rời rạc 2 - Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
124 p |
18 |
4
-
Bài giảng Toán rời rạc 1 - Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
119 p |
13 |
3
-
Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 10 - Ngô Thái Hưng
32 p |
38 |
3
-
Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 - Đại số Bool - Hàm Bool
11 p |
13 |
2
-
Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 8 - Ngô Thái Hưng
46 p |
3 |
1

Set-Cookie: TLDEVNamespace=qve0kt5q18agjtgs18s2rh3676; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)


markdown:
-
#### SMS Coupon
Bạn đang băn khoăn không biết Coupon là gì? Đây là một định nghĩa khá mới ở Việt Nam, nhưng hoàn toàn không xa lạ với những người...
[Xem tiếp](#)
-
#### SMS Brand Name
Nhắn tin thương hiệu (Posbrand) – Tin nhắn thương hiệu (SMS Brand name) là một công cụ gởi tin nhắn hàng loạt, cho phép các...
[Xem tiếp](#)
-
#### Email marketing
Không thể phủ nhận vai trò của email marketing trong việc duy trì mối liên hệ giữa khách hàng với doanh nghiệp...
[Xem tiếp](#)

Server: Apache/2.2.15 (CentOS)


markdown:
Tháng 10, Sydney đang là mùa thu. Hoa bắt đầu nở khắp nơi trong vườn nhà, công viên và đường phố. Các tiệm cà phê hè phố khu Doule Bay vào ngày nghỉ cuối tuần đầy ắp khách đủ mọi lứa tuổi ăn...
[Read More](http://thuocdaimi.net/2016/08/26/van-de-va-su-kien/)
[Vấn đề và sự kiện](http://thuocdaimi.net/2016/08/26/van-de-va-su-kien/)
Tháng 10, Sydney đang là mùa thu. Hoa bắt đầu nở khắp nơi trong vườn nhà, công viên và đường phố. Các tiệm cà phê hè phố khu Doule Bay vào ngày nghỉ cuối tuần đầy ắp khách đủ mọi lứa tuổi ăn...

Server: LiteSpeed

Accept-Ranges: bytes


markdown:
**nguyễn thanh nhàn** - 19/03/2013 10:13 am
Cho em hỏi là em muốn thi ngành công nghệ thông tin trường đại học tự nhiên hệ đại học. nhưng em sợ không đủ khả năng nên em muốn thi thêm hệ cao đẳng của trường. nhưng trường không tổ chức thi hệ cao đẳng thì bây giờ em phải làm sao? em nghe mấy anh chị học trong trường nói là chỉ cần thi đại học, nếu không đủ điểm đậu đại học mà đủ diểm vào cao đẳng thì trường sẽ tự tuyển thăng vào cao đẳng, như vậy có đúng không a?
Chào em!
Do hệ Cao đẳng của trường không tổ chức thi tuyển mà lấy điểm thi đại học để xét tuyển, nên nếu em không trúng tuyển nguyện vọng 1, (điểm thi trên điểm sàn của Bộ), em sẽ nhận được phiếu báo điểm và có thể sử dụng phiếu này để đăng ký nguyện vọng 2 vào hệ cao đẳng của trường. Trường sẽ ưu tiên những thí sinh có nguyện vọng 1 vào trường trước đó.
Tùy từng năm và tùy từng cơ chế mà trường sẽ xem xét việc chủ động chuyển điểm từ đại học xuống cao đẳng. Thân ái!
*Ban Tư Vấn Tuyensinh247.Com*
cho em hỏi là đối với trường sư phạm kĩ thuật tphcm em chỉ đăng kí thi hệ đại học thôi nếu không đủ điểm em có được xét vào hệ cao đẳng của trường như trường đại học tự nhiên không ạ?


markdown:
[tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv mới nhất](http://tinnhanchuctet.net/search/tong+hop+nhung+bai+hat+thang+12+tren+itv/)
Tuyển tập
**tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv** mới nhất rất hay trong năm nay, xem online hoặc tải [ miễn phí hot nhất. tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv](http://tinnhanchuctet.net/search/tong+hop+nhung+bai+hat+thang+12+tren+itv/)
## tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv mới nhất vừa được đăng lên lên tinnhanchuctet.net
### tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv có gì mới hãy xem hot thế nào.
Giới thiệu về
*tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv*mời các bạn xem qua: SMS chuc mung nam moi, SMS chuc mung nam moi 2013, Tin nhan chuc mung nam moi, Tin nhan cute chuc mung nam moi 2013, Sms chuc tet, Tin nhan xep hinh chuc tet Tuyển tập những mẫu Tin nhan chuc mung nam moi, SMS chuc mung nam moi, SMS chuc mung nam moi 2013, Tin nhan cute chuc mung nam moi 2013, SMS Nam moi 2013
### Hình ảnh của tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv online đẹp và ý nghĩa
![tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv](http://tinnhanchuctet.net/hinhanh/hinhanh-11.jpg
)
**tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv**đang khiến cộng đồng mạng phát sốt vì **tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv**quá hấp dẫn đúng không Bài thơ chúc tết âm lịch hay dành cho những ai thích dùng thơ để chúc tết. Bài thơi chúc tết có vần có điệu và cả câu đối chúc tết rất vui. Hãy đọc thuộc và chúc nhau khi tết đến nhé. Thơ chúc tết: - Mùa xuân xin chúc Khúc ca an bình Năm mới...
### Xem video clip về tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv mới nhất rất hay và hấp dẫn
Nói tóm lại
**tong hop nhung bai hat thang 12 tren itv**là: Hãy tập cho con bạn những câu chúc tết hay và ý nghĩa để con của bạn biết cách chúc những câu chúc tốt đẹp nhất vào dịp xuân về tết đến. Năm nay, khi con trai đã nói được tròn vành rõ chữ, con gái đã biết hơn về cội nguồn, tình yêu thương, mẹ sẽ kể con nghe về lòng tri ân tổ tiên, cách nói lời chúc tết, lời cảm ơn cũng như những ứng xử xung quanh ngày Tết cổ truyền của dân tộc...

Vary: Accept-Encoding,User-Agent