markdown:
# Giáo án đại số đại cương
Chia sẻ: Trần Bảo Quyên Quyên | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30
![](images/blank.gif)
![](images/blank.gif)
lượt xem 383
download
![](http://image.tlvnimg.com/document/thumbnail/2009/20091008/tranbaoquyen/80x100/chuong_1_7009.jpg)
##
Giáo án đại số đại cương
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Giáo án đại số đại cương - Chương 1: Nhóm và nửa nhóm
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Giáo án đại số đại cương
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh CHƯƠNG 1 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 1. NỬA NHÓM MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể. Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập . 1.1.Phép toán hai ngôi: Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: ∀ a, b ∈ N luôn có: a+b = c ∈ N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không? Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN → N (a,b) c ) 2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân trong N ? T: NxN → N (a,b) c= ab ) các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi. Định nghĩa 1: SGK(37) Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu không có lý do nào khiến ta phải viết khác. Định nghĩa 2: sgk(38) A ⊂ X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. ⇔ ∀ x,y ∈ A → xy ∈ A . (Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên A ) t Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ? Định nghĩa 3: Tr 38. Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính là một trong hai phần tử đó ? +: NxN → N . : NxN → N T: NxN → N (a , 1) a1=a (a,o ) a (a , 1) a Định nghĩa 4: tr 39 Hãy cho nhận xét trong các phép toán nêu trên cái nào có phần tử đơn vị trái, phải? Một phép toán vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì phần tử đơn vị trái và đơn vị phải có quan hệ gì với nhau? Hãy chứng minh? ( tr 39). Định lý1: tr39. Hệ quả: tr39. 1.2.Nửa nhóm: Định nghĩa 5: tr39 1
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh ơ Hãy chỉ ra trong các ví dụ trên tập N với các phép toán nào là một nửa nhóm ? ( trừ phép mũ hoá- phép toán trừ ). ∗ Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A là một nửa nhóm. Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X. Trong một nửa nhóm X: Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó. Tổng quát : x1x2…..xn-1xn = (x1x2…..xn-1)xn gọi là tích của n phần tử lấy theo thứ tự đó. Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40. Định nghĩa 6: X là nửa nhóm: n ∈ N, n ≠ 0 ∀ a ∈ X ; an gọi là tích của n phần tử bằng a. Do tính kết hợp ta có: am.an = a m+ n ; (am)n = am.n ( Sinh viên tự CM) ự Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng: ( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a ) Định lý 3: tr41. ị Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42. ∗ Bài tập: 1 → 5 tr 42-43. 2
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Trang 42: Bài 1: X là nửa nhóm. a ∈ X ; b ∈ Xsao cho: ab = ba. a) CMR: (ab)n = anbn ∀ n > 1 ; n ∈ N b) Nếu (ab)2 = a2b2 thì có suy ra được ab = ba không ? Bài giải: a).Quy nạp theo n: ạ Với n = 1 ta có ab = ba. Giả sử với m = n-1 có: (ab)n-1 = an-1bn-1 ớ Ta CM đúng với m = n. n Có (ab) = (ab)n-1(ab) = an-1bn-1(ab) = an-1(bn-1b)a =an-1bna. n (1) Như vậy nếu có b a = ab thì từ (1) suy được ra điều phải CM. Ta đi CM điều n n đó: Bằng quy nạp theo n: - Với n =1 ta có ab = ba - Với m = n-1 giả sử có : an-1b = ban-1 - Ta CM đúng với m = n. Có : a n b = a(an-1b) = a(ban-1) = a(an-1b) = (aan-1)b = anb (2) áp dụng (2) vào (1) ta có ĐPCM. b). Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. Chẳng hạn ∀ a, b ∈ X : a ≠ b Xét nửa nhóm X với phép toán ab = a ∀ a,b ∈ X. Ta có : a2 = a , b2 = b , ab = a , a2b2 = a2 = a . Nên: (ab)2 = a = a2b2 Nhưng: ab = a ≠ ba = b. Bài 2: Gọi X là tập thương Z/nZ = { 0 , 1 ,... n − 1 } ; ( a ≡ b (modn) . a và b chia cho n có cùng số dư. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp ( a , b ) cho tương ứng với lớp tương đương a + b . a). CM R có một ánh xạ từ X2 đến X b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a) c) Nếu với mỗi cặp ( a , b ) cho tương ứng với lớp ab Thì X cũng là một vị nhóm giao hoán. Bài giải: a).Ta CM tương ứng ( a , b ) → a + b . Không phụ thuộc vào các đại diện a, b của các lớp tương đương a , b . Nếu a = a ' thì: a - a’ chia hết cho n Nếu b = b' thì: b-b’ chia hết cho n Suy ra: (a+b)-(a’+b’) cũng chia hết cho n hay a + b = a ' + b' Vậy ta có ĐPCM. b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X2 → X 3
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh ( a, b ) → a +b= α Kiểm tra t/c kết hợp: ∀ a , b , c : Phần tử không là : 0 . c) Sinh viên tự CM. Bài 3: X là tập tuỳ ý. Xét ánh xạ:T: X.X → X (x,y) → x. CMR: X là một nửa nhóm đối với phép toán trên. Nửa nhóm đó có giao hoán không ,có phần tử đơn vị không? Bài giải: ∀ x, y, z ∈ X ta có: xT(yTz) = xYy = x (xTy)Tz = xTz = x Vậy: xT(yTz) = (xTy)Tz Nên X là nửa nhóm. Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. ∀ x, y ∈ X, x ≠ y ta có xTy = x ≠ yTx =y nên X không giao hoán. Không có đơn vị vì: giả sử e là đơn vị thì: eTx = e ≠ x ∀ x ∈ X. Bài 4: Gọi X là tập thương của ZxN* trên quan hệ tương đương S xác định bởi: (a,b) S(c,d) <=> ad = bc . Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b, (a,b) ∈ ZxN* a). f: XxX → X (a/b , c/d) ( (ad+bc)/bd Là một ánh xạ. b). CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a). c). Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tương ứng với lớp tương đương ac/bd. CMR lúc đó X cũng là một vị nhóm giao hoán. Bài giải:: 4
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh 2. NHÓM (Số tiết: 18 = 9 + 9) MỤC ĐÍCH YÊU CẦU: Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng minh các tính chất về nhóm. Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm. PHƯƠNG PHÁP: Thuyết trình - Luyện tập.- Đàm thoại CHUẨN BỊ: SGK- SBT môn ĐSĐC NỘI DUNG: 2.1. Nhóm: 2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm. ∃ e ∈ X: ∀ x ∈ X : ex = x ∀ x ∈ X , ∃ x' ∈ X : x'x = xx' = e Khi ấy X là một nhóm. ộ X là nhóm hưu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn. Số phần tử của X còn gọi là cấp của nhóm X ủ Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben ) Ví dụ: SGK tr 44 2.1.2. Các tính chất: 1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối. CM: ∀ x ∈ X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b. Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b. T Phép toán ký hiệu bằng dấu . phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử nghịch đảo. Viết x-1 - Phép toán ký hiệu bằng dấu + phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử đối. Viết - x ế Vậy (x-1)-1 = x ; (- (-x) = x. Nếu X là aben thì : (.): xy-1 = y-1x nên còn viết x/y gọi là thương của x trên y (+): x-y = -y + x viết x - y gọi là hiệu của x và y. 2. (Luật giản ước) Trong một nhóm X : ∀ x , y , z ∈ X. Nếu xy = xz ( yx = zx ) thì: y = z CM: nếu :xy = xz Ta có: x-1(xy) = x-1(xz) hay (x-1x)y = (x-1x)z hay ey = ez hay y = z. 3. trong một nhóm X phương trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất x= a-1b ( y = ba-1) CM: Ta có: ax = a(a-1b) = (aa-1) b = eb =b hay x = a-1b là nghiệm. Nghiệm này là duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật giản ước ta được: x = c. 5
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh 4. X là nhóm: ∀ x , y ∈ X ta có (xy)-1 = y-1x-1 CM: (xy)( y-1x-1) =x(yy-1)x-1 = xex-1 = xx-1 = e (y-1x-1)(xy) = y-1(x-1x)y = y-1ey = y-1y = e Vậy có (xy)-1 = y-1x-1 - Tổng quát: (x1.x2..xn)-1 = xn-1x-1n-1..x2-1x1-1. . Đặc biệt (an)-1 = (a-1)n ∀ n ∈ N, n ≠ 0 Quy ước viết : a-n Đặt a0 = e CMR: ∀ λ , µ ∈ Z: λ a + µ a = (λ + µ )a µ (λ a) = µ λ a. 5. Một nửa nhóm X là một nhóm khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả mãn: i)∀ x ∈ X , ex = x ( X có đơn vị trái) ii) ∀ x ∈ X, có một x’ ∈ X Sao cho: x’x = e CM: → Đ/k cần là hiển nhiên. Đ/ k đủ: ∀ x ∈ X theo ii) ∃ x’ ∈ X: x’x = e. cũng theo ii) ∃ x’’ ∈ X: x’’x’ = e Ta có: xx’ = exx’ = x’’x’xx’ = x’’ex’ = x’’x’ = e . Mặt khác: xe = xx’x = ex = e Vây : X là nhóm. V Sinh viên tự phát biểu và cm cho trường hợp ứng với phần tử đơn vị phải. 6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi: các phương trình ax =b và ya = b có nghiệm trong X CM: → : đã cm trong t/c 3 Đủ: Do X ≠ φ nên ∃ a ∈ X vì phương trình ya = b có nghiệm nên phương trình ya = a có nghiệm. Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X. Thật vậy: ∀ b ∈ X phương trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b. hay e là đơn vị trái. ∀ b ∈ X xét phương trình yb = e theo (gt) phương trình này có nghiệm trong X nên ∃ b’ sao cho : b’b = e Theo đ/ lý 5 ta có đpcm. Bài tập 3,5,7,10 tr 70. Bài tập 2 sinh viên làm tại lớp. 6
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh 2.2.Nhóm con: Nhóm cộng các số thực R, tập Z các số nguyên. Z ⊂ R, Z cùng phép cộng cũng là một nhóm. Ta còn gọi đó là một nhóm con của nhóm cộng các số thực R ự Định nghĩa 2: X là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X. A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm Thì A gọi là một nhóm con của nhóm X. Nếu A là nhóm con của X thì liệu phần tử trung lập của A có phải là phần tử trung lập trong nhóm X không? Phần tử nghịch đảo của một phần tử x trong A có trùng với phần tử nghịch đảo của x trong X không? Sinh viên tự CM. A nhóm con X hiển nhiên có: 1. ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A 2. Giả sử b là phần tử trung lập của A thì ∀ x ∈ A bx = x; mặt khác do x ∈ X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung luật giản ước trong nhóm ta có: b = e. 3. ∀ x ∈ A giả sử có x’ ∈ A mà x’x = e ta cũng có x-1x = e nên x’x = x-1x hay: x’= x-1. Ngược lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X. X là một nhóm; A ⊂ X ủ Định lý 1: 1. ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A 2. e ∈ A, với e là phần tử TLập của A là nhóm con của X Khi và chỉ khi X 3. ∀ x ∈ A, x-1 ∈ A Hệ quả: X là một nhóm. A ≠ φ , A ⊂ X các mệnh đề sau là tương đương a) A là một nhóm con của X a) b) ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A, x ∈ A -1 c) ∀ x, y ∈ A, xy-1 ∈ A c) b) CM: a) → b): theo đ/lý trên. b) → c) : do x, y ∈ A nên theo b) y-1 ∈ A, và cũng theo b) xy-1 ∈ A c) → a): vì A ≠ φ nên ∃ x ∈ A theo c): xx-1 = e ∈ A ∀ x ∈ A ,do e ∈ A, cũng theo c): ex-1 = x-1 ∈ A ∀ x, y ∈ A theo trên y-1 ∈ A nên x(y-1)-1∈ A hay xy ∈ A Vởy A là nhóm con của nhóm X ủ Các ví dụ : Tr 49 Sinh viên tự đọc tại lớp (5 phút). 7
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh ơ Định lý 2: Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X 8
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh CM: Gọi A = ∩ Ai , trong đó Ai ∈ I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X - A≠ φ vì e ∈ Ai ∀ i ∈ I nên e ∈ A - ∀ x, y ∈ A, nên x , y ∈ Ai ∀ i ∈ I suy ra xy-1 ∈ Ai ∀ i ∈ I ( do Ai là các nhóm con ) từ đó xy-1 ∈ A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm. * Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé nhất của X chứa U. định nghĩa 3: U ⊂ X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi là nhóm con sinh ra bởi U. ở Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X được sinh ra bởi U ở Nếu U = {a}, a ∈ X. Tập hợp A = { ak : k ∈ Z }là Nhóm con sinh ra bởi U Thật vậy: - Hiển nhiên A ≠ φ , vì a ∈ A - ∀ x, y ∈ A → x = ak ; y = a l → xy-1 = ak(al)-1 = aka-l = ak-l ∈ A - A là nhóm con bé nhất của X chứa U. Vì: ∀ nhóm con B của X chứa U = {a} đều chứa các luỹ thừa của a. A còn gọi là nhóm con sinh ra bởi a. ở Định nghĩa 4: X gọi là nhóm xyclic ⇔ X ={ ak : k ∈ Z ; a ∈ X}; phần tử a gọi là phần tử sinh của X ủ Ví dụ1: Cho nhóm các phép thế bậc ba: S3 e = (1) ; f1 = (1 2 3); f2 = (1 3 2 ) f3 = (1 2 ) ; f4 = (1 3 ) f5 = (2 3 ) Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f1; f2; f3; f4; f5. Giải: Giả sử A = { f1k : k ∈ Z } Ta có : f12 = (1 2 3 )(1 2 3 ) = (1 3 2 ) = f2 f13 = ( 1 2 3 )(1 3 2 ) = e ∀ k ∈ Z: f1 k = f13q+ r =f13qf1r = (f13)qf1r = eqf1r = f1r trong đó 0 ≤ r < 3. Từ đó suy ra A = { f1k : k ∈ Z } = {f10 = e ; f11= f1; f12= f2 } ( các trường hợp còn lại sinh viên tự CM) ự Ví dụ 2: Nhóm cộng số nguyên Z là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử 1 hoặc -1 (Sinh viên tự CM) ự Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a ∈ X. Nếu không có một số nguyên dương n nào sao cho an = e thì nhóm con sinh bởi phần tử a là vô hạn, vì ak ≠ al ∀ k ≠ l. Trong trường hợp ngược lại gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho am = e thì nhóm con sinh ra bởi a có nm phần tử: a0, a1, a2,….am-1. 9
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh ơ Định nghĩa5: X là một nhóm; ∀ a ∈ X; A là nhóm con sinh ra bởi a a gọi là có cấp vô han nếu A vô hạn. Khi ấy: ∄ n: an = e a gọi là có cấp m nếu A có cấp m . Khi ấy ∃ m là số nguyên dương bé nhất sao cho: am = e 2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thương: X là một nhóm; A là nhóm con của X. Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như sau: ∀ x, y ∈ A, x~y ⇔ x-1y ∈ A. Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tương đương. CM: -Phản xạ: ∀ x ∈ A , x-1x = e ∈ A → x~x - đối xứng: ∀ x, y ∈ A, x ~ y tức x-1y ∈ A. ta có: (x-1y)-1∈ A hay y-1x ∈ A → y~x -Bắc cầu: ∀ x~y, y~z , tức x-1y ∈ A, y-1z ∈ A → (x-1y)(y-1z) = x-1z ∈ A → x~z Ký hiệu: - với mỗi x ∈ X, ta ký hiệu: x = { y ∈ X :x ~ y } - xA = { xa{ a ∈ A } , a chạy khắp A Bổ đề 2: x = xA CM: ∀ y ∈ x thì: x~y tức x-1y = a ∈ A → y = xa ∈ xA vậy x ⊂ xA ∀ y = xa ∈ xA → x-1y = a ∈ A Vậy xA ⊂ x Định nghĩa 6: Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X; tương tự các lớp phải Ax của nhóm con A trong X là tập gồm các phần tử có dạng ax với a ∈ A Tương tự cũng có x ~y ⇔ xy-1 ∈ A Hệ quả: X là một nhóm, ∀ x, y ∈ X khi ấy: + xA = yA ⇔ x-1y ∈ A + xA ∩ yA = φ ⇔ x-1y ∉ A Tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ~ gọi là tập thương của nhóm X trên nhóm con A, Kí hiệu: X/A. các phần tử của X/A là các lớp trái xA x Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ) Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó. CM: Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m. A = { x1, x2,….,xm } khi ấy ∀ x ∈ X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng: xx1, xx2,…., xxm. các phần tử này là phân biệt vì nếu xx1 = xx2 thì → x1 = x2. Do X là hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn. gọi số các lớp trái là l và do các lớp trái là rời nhau nên n = ml. ờ Số l các lớp trái xA gọi là chỉ số của nhóm con A trong X ủ Hệ quả 1: Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ước của cấp của X 10
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh ơ Hệ quả 2: Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và được sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm .(sinh viên tự CM) ( Số nguyên tố p chỉ có ước là 1 và chính nó. Nên một nhóm hh có cấp nguyên tố p thì mọi phần tử tuỳ ý của nó chỉ có thể có cấp là 1 hoặc p. loại trừ e thì các phần tử tuỳ ý còn lại đều có cấp p và do đó chính nhóm đã cho được sinh bởi phần tử đó.Hay đó là một nhóm xyclic) Ví dụ : SGK tr 54- (Sinh viên tự đọc 05 phút) Định nghiã 7: X là một nhóm, A là nhóm con của X. A gọi là chuẩn tắc ⇔ x-1ax ∈ A, ∀ a ∈ A và ∀ x ∈ X Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì: i) Quy tắc sau là một ánh xạ: X/A xX/A → X/A (xA, yA) ↦ xyA ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) ↦ xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X/A. CM: i) Giả sử có xA = x1A và yA = y1A ta phải CM: xyA = x1y1A. Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x-1x ∈ A, y-1y ∈ A . Nên (xy)-1(x1y1) = y-1(x-1x1)y1 = y-1(x-1x1)y(y-1y1) ∈ A, (vì A là chuẩn tắc nên y-1(x-1x1)y ∈ A) ii) + ∀ x, y, z ∈ X ta có: (xA.yA)zA = xyzA = xA.(yA.zA) do đó phép toán đã cho là kết hợp + Xét lớp trái eA = A trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X Ta có: eA.xA = exA = xA, ∀ xA ∈ X/A vậy eA = A là phần tử đơn vị trái của X/ A +∀ xA ∈ X/A ta có: x-1A.xA = x-1xA = eA = A. Vậy xA nhận x-1A là phần tử nghịch đảo trái Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi ấy: A là chuẩn tắc ⇔ xA = Ax , ∀ x ∈ X CM: → : ∀ xa ∈ xA ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: y-1ay ∈ A , ∀ y ∈ X, lấy y = x-1 thì: xax-1 ∈ A, đặt xax-1 = a’ → xa = a’x ∈ Ax Vậy xA ⊂ Ax ∀ ax ∈ Ax, ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: x-1ax ∈ A, đặt x-1ax = a’ ∈ A , ta có: ax = xa’ ∈ xA, vậy Ax ⊂ xA. Do đó: Ax = xA. Ngược lại: ∀ a ∈ A, ∀ x ∈ X. Ta có: ax ∈ Ax = xA, nên ∃ a’∈ A sao cho: ax = xa’ suy ra: 11
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh x-1ax = a’ ∈ A, Vậy A là chuẩn tắc. Các ví dụ: tr 57 (sinh viên tự đọc 5 phút) 2.2.4. Đồng cấu: Định nghĩa 8: Một đồng cấu(nhom) là một ánh xạ f từ một nhóm X đến một nhóm Y sao f(ab) = f(a).f(b), ∀ a, b ∈ X cho: + Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X. + Một đồng cấu là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu. + Một đồng cấu là toàn ánh thì gọi là một toàn cấu + Một đồng cấu là song ánh thì gọi là một đẳng cấu. Ký hiệu: f: X : → Y + Một tự đồng cấu là song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu Ví dụ: Xét xem các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng cấu, tự đẳng cấu: 1).A là nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc: f: A → X aa 2). f: X → X ( tự động cấu đồng nhất) xxx 3). Log : R+ → R ; R+: là nhóm nhân các số thực dương; ( đẳng cấu) R :nhóm cộng các.số thực x logx 4). A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. ánh xạ: h : X → X/A ( toàn cấu) x h(x) = xA 5) X, Y là hai nhóm tuỳ ý: f: X → Y x e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thường) 6) f: X → Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Hỏi f-1: Y → X có là đẳng cấu không ? (f-1 là song ánh. Mặt khác: ∀ y, y1 ∈ Y , đặt x = f-1(y) ; x1 = f-1(y1). Ta có: f(x) = y; f(x1) = y1 vì f là một đồng cấu nên: f(xx1) = f(x).f(x1) = y.y1 ; do đó: f-1(y.y1) = xx1 = f-1(y)f-1(y1). Vậy f-1 là một đẳng cấu. Định nghĩa 9: f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, ex,, ey tương ứng là các phần tử trung lập của nhóm X, nhóm Y. Ta ký hiệu: Imf = f(X) Kerf = { x ∈ X { f(x) = ey } = f-1( ey) Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f ấ Các tính chất của đồng cấu: Định lý 5: X,Y, Z là các nhóm . f: X → Y; g: Y → Z là các đồng cấu. Thế thì ánh xạ tích gf: X → Z là một đồng cấu. CM: ∀ a, b ∈ X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b) Định lý 6: 12
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì: i) f(ex) = ey ii) f(x-1) = [f(x)]-1 , ∀ x ∈ X CM: i) ∀ x ∈ X ta có: f(x). f(ex) = f(x. ex) = f(x) = f(x) ey → f(ex) = ey (sau khi thực hiên luật giản ước) ii) ∀ x ∈ X. ta có: f(x).f(x-1) = f(xx-1) = f(ex) = ey = f(x).[f(x)]-1 (sau khi thực hiên luật giản ước) Định lý 7: f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con của X, B là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Thế thì: i) f(A) là một nhóm con của Y. ii) f-1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X CM: i).f(A) ≠ φ , vì ex ∈ A, f(ex) = ey ∈ f(A) ∀ y, y1 ∈ f(A) → ∃ x, x1 ∈ A sao cho: y = f(x), y1 = f(x1); xét yy1 = f(x).[f(x1)]-1 = f(x).f(x1-1) = f(xx1-1) ∈ f(A) -1 ( vì A là nhóm con nên xx1 ∈ A ), → f(A) là nhóm con của nhóm Y. -1 ii) f-1(B) ≠ φ , vì f(ex) = ey ∈ B nên ex ∈ f-1(B) ∀ x, x1 ∈ f-1(B) , ta có: f(xx1-1) = f(x).f(x1-1) = f(x)[.f(x1)]-1. Do B là nhóm con nên từ f(x), f(x1) ∈ B → f(x).f(x1-1) ∈ B vậy: f(xx1-1) ∈ B → xx1-1 ∈ f-1(B) do đó f-1(B) là một nhóm con của X Hơn thế f-1(B) còn là chuẩn tắc, vì: ∀ a ∈ f-1(B) ( có: f(a) ∈ B ), ∀ x ∈ X. xét: f(x-1ax) = f(x-1)f(a)f(x) = f(x)-1f(a)f(x) ∈ B ( do B là chuẩn tắc trong Y) → x- ax ∈ f-1(B) 1 Hệ quả: f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì imf là nhóm con của Y, còn Kerf là nhóm con chuẩn tắc của X. (sinh viên tự CM) Định lý 8: f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y,thế thì: i) f là toàn ánh ⇔ imf = Y ( = f(X) ) ii) f là đơn ánh ⇔ Kerf = { ex } CM: i) theo định nghĩa toàn ánh. ii) giả sử f là đơn ánh khi ấy ∀ y ∈ Y ,∃ ! x ∈ X sao cho: f(x) = y vậy với ey , ∃ ! ex∈ X sao cho: f(ex) = ey, hay kerf = { ex } Ngược lại: giả sử Kerf = { ex } , ∀ x, y ∈ X, f(x) = f(y) . ta có : f(x).f(y)-1 = ey → Nên: f(x)f(y)-1 = f(x).f(y-1) = f(xy-1) = ey suy ra: xy-1 ∈ Kerf = { ex }, hay: xy-1 = ex y-1 =x-1 hay y = x tức f là đơn ánh. Định lý 9: 13
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc từ nhóm X đến nhóm thương của X trên hạt nhân của f. Thế thì: i) có một đồng cấu duy nhất f: X/Kerf → Y sao cho f = fp f X Y P ( tam giác này là giao hoán ) f X/Kerf ii) Đồng cấu f là một đơn cấu và im f = f(X) ( sinh viên đọc trước lời CM - sẽ CM trên lớp vào tiết tiếp theo) CM đ/l 9: i). Đặt Kerf = A cho tương ứng mõi phần tử xA của nhóm X/A với một phần tử f(x) của Y. Quy tắc này là một ánh xạ. Thật vậy : Giả sử ∀ xA = yA → x-1y ∈ A. Nhưng A = Kerf nên f(x-1y) = f(x-1)f(y) = ey = f(x-1)f(x) → f(y) = f(x). Ta đặt f : X/A → Y xA ↦ f (xA) = f(x) . f là một đồng cấu. Thật vậy: ∀ xA, yA ∈ X/A, f (xAyA) = f (xyA) = f(xy) = f(x)f(y) = f (xA) f (yA) (Do f là đồng cấu nên f(xy) = f(x)f(y)) Từ f (xA) = f(x) ∀ x ∈ X ta cố: f(x) = f (xA) = f (p(x)) = f p(x), ∀ x ∈ X Vậy: f = f p là duy nhất, vì giả sử có đồng cấu h: X/A → Y sao cho: f = hp. f Khi âý ∀ xA ∈ X/A ta có :h(xA) = h(p(x)) =hp(x) = f(x) = f (xA). Hay f = h. ii) Giả sử ∀ xA ∈ X/A sao cho f (xA) = ey Ta có f (xA) = f(x) = ey → x ∈ A = Kerf → nên x-1 ∈ A (vì A = Kerf là nhóm con cuả X) → x-1ex ∈ A → xA = exA. Vậy Ker f = {exA}.→ f là một đơn cấu ( đ/l 8) Vì p là toàn cấu và f = f p nên → p(X) = X/Y → (im f = f (X/Y) = f (p(X) = f p(X) = f(X). Hệ quả: ∀ đồng cấu f: X → Y từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có f(X) ~ X/Kerf Bài tập về nhà : 41,42,43,44,47 tr 75:76 14
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh CHỮA BÀI TẬP Bài 5 tr70: X là nhóm, với e là đơn vị.CMR: ∀ a ∈ X, a2 = e thì X là aben. Bài giải: a2 = e, → aa = e, hay a =a-1 . Xét ∀ a, b ∈ X, (ab)2 = e, ab.ab = e → bab = a-1e, → ab = b-1a-1e, hay: ab = ba ( do b-1 = b, a-1 = a ). Bài 7 tr 70: X ≠ φ , trên X trang bị một phép toán hai ngôi, a ∈ X. aX = { ax : x ∈ X } Kí hiệu: Xa = { xa : x ∈ X } CMR: X là nhóm ⇔ ∀ a ∈ X ta có: aX = Xa = X. Bài giải: X là nhóm , ta biết rằng phương trình ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X ∀ a, b ∈ X, nên: X ⊂ aX, X ⊂ Xa; hiển nhiên aX ⊂ X, Xa ⊂ X Vậy aX = X = Xa. Ngược lại : theo giả thiết X ≠φ , aX = X = Xa, ∀ a ∈ X, nên các phương trình: ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X, ∀ a,b ∈ X. Do đó X là một nhóm. Bài 3 tr 70: X là nửa nhóm khác rỗng, hữu hạn. CMR: X là một nhóm ⇔ luật giản ước thực hiện được ∀ x ∈ X Bài giải: Giả sử X = { x1, x2, .., xn } gồm n phần tử. ∀ xi ∈ X tập hợp xiX= { xix1, xix2,..,xixn} ⊂ X, xiX gồm n phần tử phân biệt vì nếu xixk = xi xl → xk = xl ( do có luật giản ước) mâu thuẫn với X gồm n phần tử, hiển nhiên X ⊂ xiX do vậy xiX = X. Tương tự ta có: Xxi = X . Khi ấy các phương trình ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X ∀ a, b ∈ X → X là một nhóm. Bài 10 tr 70: (Z, + ) là nhóm cộng các số nguyên. CMR: A là nhóm con của Z ⇔ A = mZ, m ∈ Z Bài giải: đủ: giả sử A = mZ, m ∈ Z . A ≠ φ thật thế vì 0 = m.0 ∈ A ∀ k = mk1(k1 ∈ Z), h = mh1(h1∈Z) → k-h = m(k1- h1) ∈ A. hay A là nhóm con Cần: Nếu A = {0} thì A = 0Z, m = 0 Nếu A ≠ {0} → ∃ 0≠ a ∈ A gọi m là số nguyên ≠ 0 ∈ A sao cho : /m/ < /a/ ∀ a ∈ A, a ≠ 0 ( m là số có trị tuyệt đối nhỏ nhất trong A) * → mZ ⊂ A ( vì m ∈ A, nên A chứa mọi bội của m) * A ⊂ mZ: thật vậy: ∀ a ∈ A ta có: a = mq + r (1) với 0 ≤ / r / </ m/ 15
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh Từ (1) → r = a – mq ∈ A ( do a ∈ A, mq ∈ A) → r = 0 (vì /m/ là nhỏ nhất trong A) Hay a = mq ∈ mZ. Tóm lai A = mZ Bài tập về nhà: 13-14-15-18-19-20-21-22-25-28-35. Tr .(71:73) 16
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh Bài 13 tr 71: X là một nhóm, A ⊂ X, B ⊂ X. ta định nghĩa: AB = { ab : a ∈ A, b ∈ B } A-1 = { a-1 : a ∈ A } CMR: a). (AB)C = A(BC) b) (A-1)-1 = A d) (AB)-1 = B-1A-1 e) Nếu A là một nhóm con của X, thì: A-1 = A Bài giải: a) ∀ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ta có: (ab)c = abc = a(bc) nên có a) b) ∀ a ∈ A → a-1 ∈ A-1 → (a-1)-1 = a ∈ (A-1)-1 → A ⊂ (A-1)-1 ∀ b ∈ (A-1)-1 → b = (b-1)-1 → b-1 ∈ A-1 → b ∈ A → (A-1)-1 ⊂ A c) ∀ (ab) –1 ∈ (AB)-1 → ab ∈ AB → a ∈ A, b ∈ B → a-1 ∈ A-1, b-1 ∈ B-1 → ( ab) –1 = b-1a-1 ∈ B-1A-1 ngược lại : ∀ b-1a-1 ∈ B-1A-1 ta có: b-1a-1 = ( ab)-1 ∈ (AB)-1 d) ∀ a ∈ A( do A là nhóm) → a-1 ∈ A → a = (a-1)-1∈ A-1 nên A ⊂ A-1 ∀ a-1 ∈ A-1 → a ∈ A do A là nhóm nên: a-1 ∈ A hay: A-1 ⊂ A Bài 14: X là một nhóm, A ≠ φ , A ⊂ X. CMR: A là nhóm con của X ⇔ AA-1 = A Bài giải: → : ∀ a ∈ A → a = ae-1∈ AA-1 → A ⊂ AA-1 Mặt khác theo bài 13) ý d) → A-1 ⊂ A nên AA-1 ⊂ A hay: AA-1 = A. Ngược lại: ∀ a ∈ A → a-1 ∈ A-1 mà AA-1 = A → aa-1 = e ∈ A ea-1∈ AA-1 = A hay a-1 ∈ A → A là nhóm con ∀ a, b ∈ A, → b ∈ A,→ ab = a(b ) ∈ AA = A. -1 -1 -1 -1 Cách ≠ : ∀ a, b ∈ A ta có ab-1 ∈ AA-1 = A, nên A là nhóm con của X Bài 15: X là một nhóm, A là nhóm con của nhóm X, a ∈ X. CMR: aA là nhóm con của nhóm X ⇔ a ∈ A. Bài giải: → : Gọi e là phần tử đơn vị của nhóm X → aa’ = e ∈ aA → a’= a-1 ∈ A nên a ∈ A. ← : aA = A (vì:phương trình ax = b luôn có nghiệm trong A, ∀ a,b nên ∀ b ∈ A → b = ax ∈ aA → A ⊂ aA; do a ∈ A nên hiển nhiên aA ⊂ A), mà A là nhóm con của X, nên aA là nhóm con của X Bài 18: X là một nhóm xyclic, ∀ nhóm con A của X → A là xyclic. Bài giải: 17
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh °• ⊂ X , ∀ a ∈ A →a = x .Nếu n = 0 → A = <e> là Giả sử X = < x> , A n nhóm xycil sinh bởi e. °• Nếu n ≠ 0, vì A = x-n ∈ A , khi ấy hoặc n,hoặc -n là một số ⊂ X nên a -1 dương.do đó ∃ các luỹ thừa nguyên dương của X trong A Gọi xm là luỹ thừa nguyên dương bé nhất của x trong A. Khi đó A = < xm> thật vậy: + xm ∈ A nên <xm> ⊂ A ( do A là nhóm) + ∀ xk ∈ A , chia k cho m: k = mq + r, với 0 ≤ r < m , do đó xk = xmq + r = xmq. xr → xr = (xm)-q xk ∈ A vậy r = 0 hay: xk = (xm)q ∈ <xm>. hay: A ⊂ <xm> Bài 19: X là một nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ X, a có cấp n. CMR ak = e ⇔ n \ k Bài giải: → : ta có n là số nguyên dương bé nhất để an = e , nếu có k : ak = e chia k cho n → k = nq + r với 0 ≤ r < n → ak = (an)q.ar → ar = e → r = 0 hay n\ k ← : Nếu k = nq → ak = anq = (an)q = eq = e Bài 20: X là một nhóm, ∀ a, b ∈ X, CMR: ab và ba có cùng cấp. Bài giải: Giả sử ab có cấp hữu hạn là n → (ab)n = e → (ab) (ab)(ab)… (ab) = a(ba)n- b = e hay: (ba)n-1 = a-1b-1 = (ba)-1 → (ba)n = e → ba có cấp hữu hạn giả sử là m → 1 m \ n) Giả sử ba có cấp là m → (ba)m = e → b(ab)m-1a = e → (ab)m-1 = b-1a-1 = (ab)-1 nên: (ab)m = e → n \ m ( bài tập19) . Vậy : m = n Bài 21: Giả sử: X = <a> , cấp n, a ∈ X. Xét phần tử b = ak. CMR a) Cấp của b bằng n/d, d = ƯCLN(k, n) b) b là phần tử sinh của X ⇔ (k, n) = 1, từ đó suy ra số phần tử sinh của X. Bài giải: a) Ta có n là số nguyên dương nhỏ nhất để an = e, e là trung lập của X → b n/d = (ak)n/d = (an)k/d = ek/d = e. Giả sử b có cấp l → bl = e theo bài 19 → (n/d ) l (1) ta có b = (a ) =a = e → kl n → kl/d n/d ( do d = ƯCLN( k, n) ) l kl kl nên: (k/d, l/d) = 1 → l l/d (2) Từ (1 và (2) → đpcm. 18
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh b) Ta có (k,n) = 1 ⇔ d = 1 → bn/d = e hay bn = e → b là phần tử sinh của X . Vậy số phần tử sinh của X là số các số tự nhiên nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n ( từ b = ak và (k,n) =1) Bài 22: X là một nhóm, ∀ a, b ∈ X: a có cấp r, b có cấp s và ab = ba , (r, s) = 1 CMR: ab có cấp rs. Bài giải: Ta có ar = e, bs = e, với e là trung lập của X. Từ ab = ba nên ∀ n → (ab)n = anbn (bài tập 1 phần nửa nhóm) → (ab)rs = arsbrs=e.e = e Giả sử ab có cấp t: (ab)t =atbt = e → at = b-t → atr=b-tr=e → tr s ats=b-ts= e → ts r do ( r, s ) = 1 nên: t s và t r → t rs. Mặt ≠ từ (ab)rs=e → rs t hay t = rs Bài 25: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Giả sử tập X/A có hai phần tử. CMR: A là chuẩn tắc. Bài giải: Giả sử: X/A = { eA, xA }= { A, xA} Khi đó ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ A: Nếu x ∈ A → x-1ax ∈ A → A là chuẩn tắc. Nếu x ∉ A → x ∈ xA , x = ex → x ∈ Ax hay xA ⊂ Ax. Mặt ≠ ∀ x ∈ Ax có: x = ex = xe, → x ∈ xA, hay Ax ⊂ xA. Tức là xA = Ax. Khi ấy ∀ a ∈ A, ∃ a’ ∈ A: xa = a’x → a = x-1a’x ∈ A. Hay A là chuẩn tắc. Bài 28: X là một nhóm, gọi tâm của X là bộ phận C(X) = {a ∈ X: ax = xa ,∀ x ∈ X} CMR: C(X) là nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X. Bài giải: C(X) ≠ φ vì e ∈ X, ∀ x ∈ X có ex = xe nên : e ∈ C(X) ∀ a, b ∈ C(X) → ax = xa ; bx = xb, ∀ x ∈ X. Ta cần CM: ab-1∈ C(X). Muốn vậy cần chỉ ra: (ab-1)x = x(ab-1), ∀ x ∈ X. Từ ax =xa → x = a-1xa → xa-1= a-1x, ∀ a ∈ X, ∀ x ∈ X. Xét: (ab-1)x = a(b-1x) =a(xb-1) =(ax)b-1 = (xa)b-1 = x(ab-1).Vậy C(X) là nhóm con của X. ∀ a,b ∈ C(X) có ab = ba nên C(X) là giao hoán. ∀ A là nhóm con của C(X) → A là nhóm con của X , mặt ≠ : ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ A → ax = xa → x-1ax =a ∈ A hay A là nhóm con chẩn tắc của X 19
- Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh Bài 42: cho X là một nhóm. CMR ánh xạ: ϕ :X → X a→ a-1 Là một tự đẳng cấu nhóm ⇔ X là aben. Bài giải: → : ∀ a,b ∈ X ta có: ϕ (ab) = (ab)-1 = ϕ (a)ϕ (b) = a-1b-1. hay: (ab)-1 = (ba)-1 → ϕ (ab) = ϕ (ba), vì ϕ là đơn ánh nên có ab = ba vậy X là giao hoán. ← : ϕ là đồng cấu thật vậy: ∀ a, b ∈ X ,ϕ (ab) = (ab)-1 = b-1a-1 = a-1b-1 = ϕ (a)ϕ (b) ϕ là đơn ánh vì: Ker ϕ = { x ∈ X: ϕ (x) = e }, ∀ x ∈ Ker ϕ → ϕ (x) = x-1 = e → x = e nên Ker ϕ = { e} → ϕ là đơn ánh. ϕ là toàn ánh vì: ∀ y ∈ X, ∃ x = y-1 ∈ X: ϕ (x) = ϕ (y-1) = (y-1)-1= y hay ϕ (X) = X Vậy ϕ là một tự đẳng cấu. Bài 43: X là nhóm.CMR G = { f: X → X : f là tự đẳng cấu } cùng với phép nhân ánh xạ là một nhóm. Bài giải: Dựa theo đ/n nhóm.. ex : X → X là trung lập, ∀ f ∈ H , f-1 là nghịch đảo của f. Bài 54: X = Z3 xác định phép toán hai ngôi: (k1, k2, k3 )( l1, l2, l3 ) = (k1+ (-1)k3.l1, k2 + l2, k3 + l3) a) CMR X là một nhóm với phép toán trên b) CMR: A = < (1, 0, 0 ) > là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X Bài giải: a)Theo đ/ n nhóm: Trung lập 0 = (0 , 0, 0 ) ∀x = (k1, k2, k3 ) ∈ X phần tử nghịch đảo là x-1 = ((-1)-k3+ 1.k1 , -k2, - k3 ) b) Các phần tử của A là : a = (1, 0, 0 ) a2=(2, 0, 0 ) a3=(3, 0, 0 ) .. an = ( n, 0, 0 ) ( sinh viên tự CM bằng quy nạp) ∀ x = (k1, k2, k3 ) ∈ X, ∀ ak ∈ A ta có x-1ak x = ((-1)-k3+ 1.k1 , -k2, - k3 )(k, 0, 0 ) (k1, k2, k3 ) = (k, 0, 0 ) ∈ A Vậy A là chuẩn tắc Bài 47: X là một nhóm , với mỗi a ∈ X xét ánh xạ: fa: X → X x → a-1xa a) CMR fa là một tự đẳng cấu của X b) CMR các tự đẳng cấu trong lập thành một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của X c) H là một nhóm con của X. CMR H là chuẩn tắc ⇔ fa(H) = H ∀ fa của X 20
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2 p |
1398 |
433
-
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG - TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN
5 p |
1172 |
367
-
Ebook Bài tập đại số sơ cấp và thực hành giải toán - NXB Giáo dục
221 p |
768 |
346
-
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG IV - KHÔNG GIAN VECTƠ
3 p |
1359 |
334
-
Giáo trình môn Toán: Đại Số Tuyến Tính
138 p |
497 |
223
-
Ebook Bài tập đại số đại cương - NXB Giáo dục
285 p |
406 |
206
-
Ebook Hướng dẫn giải bài tập đại số đại cương: Phần 1 - Nguyễn Tiến Quang (chủ biên)
127 p |
274 |
195
-
Ebook Hướng dẫn giải bài tập đại số đại cương: Phần 2 - Nguyễn Tiến Quang (chủ biên)
125 p |
236 |
176
-
Bài tập đại số sơ cấp - Chương 1
17 p |
431 |
160
-
Bài tập Đại số quan hệ
8 p |
405 |
136
-
Bài tập đại số sơ cấp - Chương 2
14 p |
300 |
134
-
Giáo trình Đại số đại cương - NXB Giáo dục
214 p |
183 |
106
-
Ebook Đại số đại cương - Nguyễn Tiến Quang
214 p |
121 |
63
-
Giáo trình Hình học đại số - Ngô Bảo Châu
176 p |
94 |
54
-
Giáo trình Đại số đại cương - Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (ĐH Khoa học tự nhiên TP.HCM)
156 p |
96 |
44
-
Bài tập môn cơ sở đại số
3 p |
206 |
38
-
Giáo trình Toán (Tập 6) - Đại số 2: Phần 1 - NXB Giáo dục
269 p |
26 |
21


markdown:
# Phim Tình Mẹ Lớn Lao - Htv7
Chọn các tập bên dưới để xem
- Danh sách tập phim:
[Xem Phim Tình Mẹ Lớn Lao - Htv7](http://thichphim.net/phim-tinh-me-lon-lao-htv7/)
Phim Tình Mẹ Lớn Lao trên kênh Htv7 là bộ phim tình cảm Trung Quốc với sự tham gia của các diễn viên nổi tiếng. Phim kể về công lao to lớn của người mẹ đối với con cái, mang tính nhân văn sâu sắc, dễ đi vào lòng người...
Xem phim Tình Mẹ Lớn Lao kênh Htv7 (2013) trọn bộ 30/30 - Tìm kiếm: tinh me lon lao htv7 - Đạo diễn: Đang cập nhật - Diễn viên: Đang cập nhật - Quốc gia: Trung Quốc - Thể loại: Tình Cảm, Truyền hình - Thời lượng: 40 Tập - Năm phát hành: 2013

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Truncated: length

Server: Apache/2.2.15 (CentOS)

Cache-Control: must-revalidate

Pragma: no-cache

Connection: close

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


markdown:
Phần mềm đọc truyện tải video cho máy Android
Đọc truyện mệt nghỉ
xem anh sex tu suong dep nhat 2013 trên điện thoại miễn phí, Tai anh sex tu suong dep nhat 2013 về máy điện thoại , download
anh sex tu suong dep nhat 2013
cho điện thoại java android iphone, truyện
anh sex tu suong dep nhat 2013
được sưu tầm từ nhiều nguồn , chỉ dành cho những ai trên 18 tuổi, hãy cân nhắc trước khi đọc
anh sex tu suong dep nhat 2013
. Chúc bạn có những giờ phút vui vẻ nhất!
anh sex tu suong dep nhat 2013
xem anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí
Tải về máy
anh sex tu suong dep nhat 2013
Tim theo ten tieu de
Các bài viết của anh sex tu suong dep nhat 2013 cập nhật mới nhất
Ảnh nữ sinh tự sướng khoe hàng đẹp nhất
2013
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 07.05.2013 - 12:14
Ảnh nữ sinh tự sướng khoe hàng đẹp nhất 2013
Cùng ngắm bộ ảnh đẹp nhất hiện nay , ngắm nữ sinh tự sướng tự sướng khoe hàng, khoe ngực cực đẹp, Tổng hợp những bức ảnh hoàn toàn miễn phí với những hình ảnh nóng bỏng nhất 2013 .
[img]
http://2.bp.blogspot.com/-RlaoxKdyjHE/UG...
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
ảnh nude
2013
của người mẫu Việt
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 08.05.2013 - 22:07
ảnh nude 2013 của người mẫu Việt
Sở hữu gương mặt khả ái và có phần hao hao giống Lý Nhã Kỳ nhưng Thái Nhã Vân trông thanh thoát hơn. Bên cạnh đó, Thái Nhã Vân được đánh giá là diễn viên tiềm năng và sẵn sàng cởi để nổi tiếng?
Sở hữu nước da rất trắng và dáng người đẹp Thái Nhã Vân khoe mình làm nhiều người ngạc nhiên.
Ngực to và tròn trịa
Khuôn mặt khá xinh đẹp và thanh thoát [im
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
ảnh nóng ngọc trinh
2013
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 29.04.2013 - 16:16
ảnh nóng ngọc trinh 2013
Tổng hợp ảnh nóng Ngọc Trinh đẹp nhất năm 2013, các tình yêu vào đây mà xem ảnh nóng ngọc trinh nhé, nhiều ảnh lắm, toàn ảnh đẹp, nếu muốn xem ảnh sex ngọc trinh không che thì xem, toàn những hình ảnh nóng Ngọc Trinh độ phân giải cao. Cùng ngắm nhìn shoot hình ảnh nóng Ngọc Trinh diện những bộ váy cực đẹp với khuôn mặt baby đẹp chưa từng có. Chúng ta cùng ngắm nhìn bộ
anh nóng Ngọc Trinh
đẹp nhất nhé! Những ảnh nóng Ngọc Trinh đang tiếp tục làm khuynh đảo cư dân mạng. Nếu đúng Ngọc Trinh là nhân vật chính trong loạt ảnh nóng và nếu Hoa hậu Việt Nam quốc tế 2011 không mang tầm vóc "ao làng" như Vũ Khắc Tiệp nói trước đó, người mẫu nội y Ngọc Trinh đình đám liệu có bị truất ngôi, tước vương miện vì vụ việc này [img]
http://1.bp.blogspot.com/-crMPt4
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
[ Giới Tính 18+ ] Các Tư Thế Làm Tình Sung Sướng Nhất
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 09.04.2013 - 14:16
Tại sao bạn phải luôn giới hạn mình theo truyền thống và kinh nghiệm khi làm chuyện ấy, trong khi thay đổi tư tưởng và tư thế luôn luôn tạo thú vị, mới lạ trong vấn đề chăn gối mà bất cứ ai cũng muốn. Nó chẳng những không làm cho quan hệ tình cảm của bạn trở nên nhàm chán, cô ấy không bị coi là quá thụ động, bạn không bị chê là không biết "điệu nghệ” mà còn làm gia tăng tình yêu giữa hai người. Thay đổi tư tưởng Xem sex không đơn giản chỉ là vấn đề sinh lý mà còn là những giây phút ngọt ngào bạn và nàng xứng đáng được hưởng. Từ bỏ tư tưởng tình dục tốc độ ánh sáng. Đôi khi bạn chỉ muốn nàng dành thời gian để thỏa mãn nhanh nhu cầu. Nàng vẫn phục vụ, những thật sự rất buồn về bạn và nghĩ rằng bạn chỉ biết cho riêng mình. Đừng gia trưởng trong chuyện ấy. Bạn chủ động đã quá
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
Truyện người lớn -
Anh
ChƠi Em Sướng Quá
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 16.12.2013 - 02:26
Truyện người lớn - Anh ChƠi Em Sướng Quá
Những ngày tháng còn trong quân ngũ, tôi thường hay rủ vài người bạn cố vấn làm việc chung đơn vị, về nhà chơi với vợ chồng tôi. Trong số đó có Ryan rất vui vẻ cởi mở, hắn còn trẻ và đẹp trai nhất, nên được vợ chồng quí mến, và thường mời hắn ở lại ngủ qua đêm tại nhà chúng tôi. Mổi lần đến chơi, hắn đều luôn luôn có quà nầy quà nọ tặng vợ tôi, có lẽ hắn muốn trả công cho vợ tôi đã thường xuyên làm những món ăn Việt Nam đãi hắn, và hắn ưa thích nhất là món chả giò do vợ tôi làm. Chúng tôi uống rượu, nghe nhạc và nhảy đầm tại nhà, có khi xem phim sex do Ryan mang tới. Thường thì đầu hôm cũng có thêm vài người bạn tham dự, nhưng sau cùng thì chỉ còn lại hắn và vợ chồng tôi. Hắn khá mạnh rượu, có hôm tôi đã say túy lúy, hết biết trời trăng
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
[truyện người lớn]17 bẽ gãy sường trâu
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 11.04.2013 - 14:42
[truyện người lớn]17 bẽ gãy sường trâu
Truyện bắt đầu khi em 17t. Cái tuổi mà có nhìu thay đổi về mặt tâm sinh lý cả thể chất. Năm đó em vừa vào lớp 10 vì hoàn cảnh xa nha nên em phải ở nhà Ông Bà Nội để đi học và chỉ về nhà vào dịp cuối tuần . Nhà Nội em nằm ở 1 quận trong TP .HCM . Nhà có Ông Bà Nội em và Vợ Chồng người chú của em. Chú em làm ở 1 công ty bất động sản nên cứ đi từ sớm đến chiều tối mới về. Ở nhà chỉ còn Ông Bà và Thím (vợ của chú em ) .
truyện người lớn
Còn em thi cứ sáng học thêm trưa về ăn cơm rùi đi học trong trường . Nói đến Thím em thì ngay cái lần đầu tiên lúc mới lên SG nhìn thím mà trong đầu em đã có 1cái gì lâng lâng khoái cãm lắm . Thím năm đó chỉ mới độ 32t thui nhưng người thím rất trắng nhìn có vẻ tây tây làm sao ấy. Tuy thím không cao nhưng ng
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
Truyen xxx - Dạy Em Làm Tình Sướng Mà Không Có Thai
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 15.12.2013 - 02:29
Anh Dạy Em Làm Tình Sướng... Mà Không Có Thai Tác giả: Đức Thi Ông Năm vợ mất đã lâu,làm nhà giáo lên cái món thèm gái thường xuyên được ông Năm thủ dâm theo năm tháng..ông thấy thật khó khi đi tìm của lạ ở ngoài…nhỡ đâu có ai nhận ra thì toi…hồi còn đi dậy học,cứ mỗi lần đến lớp,nhìn các em học trò đang tuổi mới lớn trông sao mà động dục đến thế….rồi từ ngày nuôi con chó béc zê đực,được cái con chó nhà ông giống tốt,hàng xóm cứ có chó cái đến ngày động dục là lại mang sang nhà ông Năm xin cho chó nhà ông nhẩy,ông thường cho không chỉ đặt mỗi một điều kiện:nếu đậu thai cho chó ,sau khi sinh ,nếu chó cái đẻ từ 3 con chở lên thì ông xin một con…vậy là hàng tháng nhà ông Năm thỉnh thoảng vẫn có người đến xin giống cho chó…lắm lúc nhìn con chó phủ dính lẹo nhau cả tiếng đồng hồ…ông Năm t
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
Ảnh
sex
nhật bản
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 23.05.2013 - 12:17
Ảnh sex nhật bản
Sưu tầm được bộ anh sex nhat ban xinh tươi quá, em này đang học bài. xem và tải anh sex japan nứng về đem này cho điện thoại của bạn. Kênh giải trí SEX hàng đầu việt nam.
Xem ảnh sex nhật bản nứng khi đang học bài
Ngắm em gái sex nhật bản ngồi học bài nứng về đêm làm hinhsex
Hình nền sex cho iphone đẹp nhất Người dùng search: anhsex nhat ban cho mobile anh nung ve dem sex japan anh xxx nhat ban hinh sexy nhat ban hot nhat anh nude nhật bản 18+
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
Truyện cười hay nhất
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 23.04.2013 - 20:55
Truyện cười hay nhất
,
tuyển tập truyện cười hay và ý nghĩa nhất
Ba trăm đôla Một ông già lụ khụ đến nhà thổ và yêu cầu 1 cô. Cô ta giải thích cho ông về giá tiền: “Thế này,100$ cho 1 lần ở dưới đất, 150$ cho 1 lần trên ghế Sofa và 300$ cho1 lần trên giường.” Ông già lập cập rút ra 300$, thấy thế cô nàng nhảy ngay lên giường,nhưng ông già vội xua tay: - Không không, 3 lần ở dưới đất. Chung thủy Hoàng thức dậy ở nhà, đầu vẫn còn choáng váng do cơn say hôm trước. Anh cố mở mắt và vật đầu tiên anh thấy trên bàn là một vỉ aspirin và một ly nước. Anh ngồi dậy và thấy bộ quần áo của mình trước mặt, tất cả đều sạch sẽ và được ủi thật thẳng nếp. Hoàng nhìn quanh phòng và thấy tất cả đều trong trật tự hoàn hảo. Anh cầm lấy vỉ thuốc và thấy một mảnh giấy ở bên bàn: “Cưng
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
Ảnh
sex
nóng bỏng gợi cảm nhất
Cập nhật anh sex tu suong dep nhat 2013 miễn phí tại ngày 26.04.2013 - 13:43
Ảnh sex nóng bỏng gợi cảm nhất
Hãy Cùng ngắm
ảnh girl xinh sexy
chuẩn cực luôn, các siêu mẫu Hàn Quốc thiên thần, Bộ ảnh nóng body sex ngực to vờ lờ luôn. tải về làm hình nền cho điện thoại di động. Cùng chiêm ngưỡng
anh sex
,
anh sexy
,
anh girl xinh
nhé.
anh sex nóng bỏng của các girl xinh nhật bản,
anh sexy
khoe hàng gợi cảm Xem ảnh girl xinh sexy khoe hàng nóng
Girl xinh nhật bản tạo dáng khoe hàng nóng xem hình sex đẹp nhất [img]
http://taihinhnendep.com/wp-content/uplo...
xem anh sex tu suong dep nhat 2013
[
1
]
2
>>
bài viết mới cập nhật hot nhất
Bà chủ dâm đãng, truyện sex dâm 9x hay
[1][
admin
]
Truyện người lớn - Anh ChƠi Em Sướng Quá
[1][
admin
]
Đọc truyện loạn luân - Tôi địt cô em vợ
[1][
admin
]
Truyện xxx "vắng chồng 2014"
[1][
admin
]
Truyện "vung trộm" 2014
[1][
admin
]
Truyen xxx - Dạy Em Làm Tình Sướng Mà Không Có Thai
[1][
admin
]
Truyen sex hay nhất - Ác mộng gia đình
[1][
admin
]
Truyện Người Lớn - Buổi sáng ân ái
[1][
admin
]
Truyện sex ngoại tình khi Vắng Chồng [Chap 2]
[1][
admin
]
Truyện sex ngoại tình khi Vắng Chồng [Chap 1]
[1][
admin
]
Trang chu
,
truyenloanluanmoi 2014
,
hentai lien minh huyen thoai
,
chuyên đit nhau ngoai tinh
,
Truyen xnxx nhatban
,
chuyenxes
,
hinhsex.big
,
truyenxet vietnam
,
docchuyensecmoj
,
tuyenser
,
truyensechhocsinh
Copyright © 2013,
truyen sex

Server: Apache/2.2.29 (Unix) mod_ssl/2.2.29 OpenSSL/1.0.1e-fips mod_bwlimited/1.4

Cache-Control: no-cache, must-revalidate

Content-Encoding: gzip

Vary: Accept-Encoding

Set-Cookie: hosty=1; expires=Fri, 03-Jul-2015 20:00:00 GMT


markdown:
# Em cần mua máy tiện CNC đã qua sử dụng :
Chủ đề trong '
**' bởi Cơ khí - Tự động hoá** **,** [adda](members/adda.314141/) [22/09/2006](threads/em-can-mua-may-tien-cnc-da-qua-su-dung.277541/).
-
Có
**1**người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
Trang 1/2
Trang 1/2
Chủ đề trong '
**' bởi Cơ khí - Tự động hoá**

Server: nginx

Cache-control: private, max-age=0

X-Frame-Options: SAMEORIGIN


markdown: Cuộc sống của tôi lẽ ra đã có những thay đổi lớn lao và lẽ ra đã có thể tốt hơn rất nhiều nếu như cách đây 20 năm, tôi có thể đọc được những trang này.

Content-Encoding: deflate

Cache-Control: private

Content-Type: text/html; charset=utf-8


markdown:
# Phát âm bằng
[Tiếng Anh](/languages/en/) [en]
-
[phát âm awaking](/word/awaking/)Phát âm của [Drosophilist](/user/Drosophilist/)(Nam từ Canada)
-
[phát âm awaking](/word/awaking/)Phát âm của [wkshimself](/user/wkshimself/)(Nam từ Hoa Kỳ)
-
[phát âm awaking](/word/awaking/)Phát âm của [acLiLtocLiMB](/user/acLiLtocLiMB/)(Nam từ Tây Ban Nha)
Bạn có thể làm tốt hơn? bằng giọng khác?
[Phát âm awaking trong Tiếng Anh](/word-record/awaking/en/)

Set-Cookie: forvo_cookies=1; expires=Sat, 02-Jul-2016 06:16:53 GMT; Max-Age=31536000; path=/; domain=.forvo.com

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0


markdown:
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.

Server: Cowboy

X-Xss-Protection: 1; mode=block

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: max-age=3600, public

Via: 1.1 varnish

Accept-Ranges: bytes

X-Cache: MISS


markdown:
**Gay chubby dating**đến **gaydophile**
-
[Gay chubby dating](/define.php?term=Gay+chubby+dating)
-
[gay church](/define.php?term=gay+church)
-
[Gayci](/define.php?term=Gayci)
-
[gaycial](/define.php?term=gaycial)
-
[Gaycial Profiling](/define.php?term=Gaycial+Profiling)
-
[gaycious](/define.php?term=gaycious)
-
[gaycism](/define.php?term=gaycism)
-
[gaycist](/define.php?term=gaycist)
-
[Gaycited](/define.php?term=Gaycited)
-
[gaycivo](/define.php?term=gaycivo)
-
[Gay Claiming](/define.php?term=Gay+Claiming)
-
[Gaycle](/define.php?term=Gaycle)
-
[Gayclet](/define.php?term=Gayclet)
-
[gayclown](/define.php?term=gayclown)
-
[gayclowning](/define.php?term=gayclowning)
-
[gay club](/define.php?term=gay+club)
-
[Gaycne](/define.php?term=Gaycne)
-
[gaycoat](/define.php?term=gaycoat)
-
[Gaycob](/define.php?term=Gaycob)
-
[Gay cock](/define.php?term=Gay+cock)
-
[gay cockatoo](/define.php?term=gay+cockatoo)
-
[Gaycockenophenyam](/define.php?term=Gaycockenophenyam)
-
[gay cockin'](/define.php?term=gay+cockin%27)
-
[gay code](/define.php?term=gay+code)
-
[gay cody](/define.php?term=gay+cody)
-
[gay coincidence](/define.php?term=gay+coincidence)
-
[gay cologne](/define.php?term=gay+cologne)
-
[gay.com](/define.php?term=gay.com)
-
[gay coma](/define.php?term=gay+coma)
-
[Gay Communist](/define.php?term=Gay+Communist)
-
[Gay Community](/define.php?term=Gay+Community)
-
[gay complex](/define.php?term=gay+complex)
-
[gaycon](/define.php?term=gaycon)
-
[gayconator](/define.php?term=gayconator)
-
[Gay Congo line](/define.php?term=Gay+Congo+line)
-
[Gay-cool](/define.php?term=Gay-cool)
-
[gay cop](/define.php?term=gay+cop)
-
[gaycor](/define.php?term=gaycor)
-
[Gaycore](/define.php?term=Gaycore)
-
[Gaycott](/define.php?term=Gaycott)
-
[gay cowboy](/define.php?term=gay+cowboy)
-
[GayCrackingFagBag](/define.php?term=GayCrackingFagBag)
-
[gaycrash](/define.php?term=gaycrash)
-
[gaycrasher](/define.php?term=gaycrasher)
-
[gay crashing](/define.php?term=gay+crashing)
-
[Gay Crazy](/define.php?term=Gay+Crazy)
-
[Gay Creampie](/define.php?term=Gay+Creampie)
-
[Gay-crease](/define.php?term=Gay-crease)
-
[gay creep](/define.php?term=gay+creep)
-
[gay crew](/define.php?term=gay+crew)
-
[Gaycring](/define.php?term=Gaycring)
-
[gay croquet](/define.php?term=gay+croquet)
-
[gaycrown](/define.php?term=gaycrown)
-
[gay crush](/define.php?term=gay+crush)
-
[GayC Slater](/define.php?term=GayC+Slater)
-
[Gaycube](/define.php?term=Gaycube)
-
[gaycud](/define.php?term=gaycud)
-
[gaycula](/define.php?term=gaycula)
-
[gayculinity](/define.php?term=gayculinity)
-
[Gay Cult](/define.php?term=Gay+Cult)
-
[Gay Cum Tunnel](/define.php?term=Gay+Cum+Tunnel)
-
[gaycunt](/define.php?term=gaycunt)
-
[Gay Cuntler](/define.php?term=Gay+Cuntler)
-
[gay curious](/define.php?term=gay+curious)
-
[gay currency](/define.php?term=gay+currency)
-
[Gay Curtain](/define.php?term=Gay+Curtain)
-
[gaycusation](/define.php?term=gaycusation)
-
[Gaycut](/define.php?term=Gaycut)
-
[Gaycute](/define.php?term=Gaycute)
-
[Gaycy](/define.php?term=Gaycy)
-
[gaycycle](/define.php?term=gaycycle)
-
[gaycyclopedia](/define.php?term=gaycyclopedia)
-
[gayd](/define.php?term=gayd)
-
[Gaydac](/define.php?term=Gaydac)
-
[gaydad](/define.php?term=gaydad)
-
[Gay Daddy](/define.php?term=Gay+Daddy)
-
[Gay Dan](/define.php?term=Gay+Dan)
-
[gay dance](/define.php?term=gay+dance)
-
[Gay Dance Party](/define.php?term=Gay+Dance+Party)
-
[gay dancin](/define.php?term=gay+dancin)
-
[gaydar](/define.php?term=gaydar)
-
[Gaydar assassin](/define.php?term=Gaydar+assassin)
-
[gaydar BETA](/define.php?term=gaydar+BETA)
-
[gaydar dectector](/define.php?term=gaydar+dectector)
-
[Gaydar detector](/define.php?term=Gaydar+detector)
-
[Gaydarian](/define.php?term=Gaydarian)
-
[Gaydar Jammer](/define.php?term=Gaydar+Jammer)
-
[Gaydar squats](/define.php?term=Gaydar+squats)
-
[Gay Date](/define.php?term=Gay+Date)
-
[Gay Dave](/define.php?term=Gay+Dave)
-
[Gay David Porn](/define.php?term=Gay+David+Porn)
-
[Gay Davis](/define.php?term=Gay+Davis)
-
[gayday](/define.php?term=gayday)
-
[GayDD](/define.php?term=GayDD)
-
[gaydead emofag](/define.php?term=gaydead+emofag)
-
[Gaydean](/define.php?term=Gaydean)
-
[Gay Death](/define.php?term=Gay+Death)
-
[gayded](/define.php?term=gayded)
-
[gaydeep](/define.php?term=gaydeep)
-
[Gay Delay](/define.php?term=Gay+Delay)
-
[Gay Dem](/define.php?term=Gay+Dem)
-
[Gay Demented Hairy Dwarves](/define.php?term=Gay+Demented+Hairy+Dwarves)
-
[gayden](/define.php?term=gayden)
-
[Gaydence](/define.php?term=Gaydence)
-
[gayden crystalmeth](/define.php?term=gayden+crystalmeth)
-
[gay density](/define.php?term=gay+density)
-
[Gayden Ziebel-Lipshitz](/define.php?term=Gayden+Ziebel-Lipshitz)
-
[gayder](/define.php?term=gayder)
-
[Gaydget](/define.php?term=Gaydget)
-
[GayDHD](/define.php?term=GayDHD)
-
[gaydiate [gay]](/define.php?term=gaydiate+%5Bgay%5D)
-
[Gaydiation](/define.php?term=Gaydiation)
-
[Gaydiator](/define.php?term=Gaydiator)
-
[gaydicated](/define.php?term=gaydicated)
-
[gaydick](/define.php?term=gaydick)
-
[Gay dick sex](/define.php?term=Gay+dick+sex)
-
[gaydiculous](/define.php?term=gaydiculous)
-
[Gaydigan](/define.php?term=Gaydigan)
-
[gaydin](/define.php?term=gaydin)
-
[gay dingaling](/define.php?term=gay+dingaling)
-
[Gaydini](/define.php?term=Gaydini)
-
[gaydio](/define.php?term=gaydio)
-
[gaydioactive](/define.php?term=gaydioactive)
-
[Gaydio waves](/define.php?term=Gaydio+waves)
-
[gay discount](/define.php?term=gay+discount)
-
[gaydiss](/define.php?term=gaydiss)
-
[Gaydius](/define.php?term=Gaydius)
-
[gaydm](/define.php?term=gaydm)
-
[Gay D McFuckah](/define.php?term=Gay+D+McFuckah)
-
[GAY DNA](/define.php?term=GAY+DNA)
-
[gaydodging](/define.php?term=gaydodging)
-
[gay dog](/define.php?term=gay+dog)
-
[gay dogg](/define.php?term=gay+dogg)
-
[Gaydolf Shitler](/define.php?term=Gaydolf+Shitler)
-
[Gay Dolphin](/define.php?term=Gay+Dolphin)
-
[Gaydom](/define.php?term=Gaydom)
-
[Gaydometer](/define.php?term=Gaydometer)
-
[gaydon](/define.php?term=gaydon)
-
[gaydong](/define.php?term=gaydong)
-
[gaydophile](/define.php?term=gaydophile)


markdown:
Top Definition
To thrust one's penis into a lady friends face. Similar to a donkey slap.
"I donkey stomped that bitch last night and gave her a black eye"
viết bởi
[Bohemoth](/author.php?author=Bohemoth)16 Tháng tám, 2006
1 more definition
2
To jump from a higher object onto a lower object with both feet together.
Dude, have you heard that Bob donkey stomped Jane? She is no longer pregnant or with him.
Really? The headboard can support his fat ass?
Really? The headboard can support his fat ass?
viết bởi


markdown:
Top Definition
one of greatest people alive! doesn't take shit from no one!says swedish and shoooooot alot. the blackest person there is ,but rocks the shit out of her color!!! absolutely loves shayna's vagina, samantha's boobz, and kara's booty!!!! and dislikes douche-bags!!!!
(cough...cough, you know who you are!!!)
(cough...cough, you know who you are!!!)
whats wrong with lefty?
1,2,3, SWEDISH!!!!!
d-d-d-d-douche bag
lum-bih... she got a donk, she got a donk, she got a donk!!!!!!
1,2,3, SWEDISH!!!!!
d-d-d-d-douche bag
lum-bih... she got a donk, she got a donk, she got a donk!!!!!!
viết bởi


markdown:
Top Definition
Mike Kennerty (Michael Brian Kennerty) is the guitar player for
[The All-American Rejects](/define.php?term=The+All-American+Rejects), he also offers additional vocals to the bands lead singer [Tyson Ritter](/define.php?term=Tyson+Ritter). He is known for crazily rocking out on stage, and his obsession with Dr. Pepper.
Mike Kennerty provides guitar and additional vocals to the band
[The All-American Rejects](/define.php?term=The+All-American+Rejects)
viết bởi


markdown:
Top Definition
word repeated by many young wanna be italians in many areas in the world especially in Montreal because they heard a local guido say it so repeated it. this word is an italian dialect expression meaning "break my balls". in many distress situations this word is used to signify ball busting...in other words anoying...
Miinghia Sylva mahh you seriously are a rompapalle ehh
Miiinghia Arghavan mah you seriously are a rompapalle
Miiinghia Arghavan mah you seriously are a rompapalle
viết bởi


markdown:
Top Definition
v. Glomp is a way of hugging someone hard sometimes nearly crushing them. The act of hugging violently/ pouncing on a unsuspecting victim. This turn is often used in anime and manga becuase most people don't actually attack people when giving hugs....most people. Look up Glomp.
I knew the glomping was coming when I saw her running toward me.
viết bởi
[natalia gomez](/author.php?author=natalia+gomez)11 Tháng hai, 2008
5 more definitions
2
Glomping is the act of jumping on someone in an excited and slightly pervy manner. For example if your friend is happy or slightly horny, be aware for nearby flying objects. :P
"OMG I AM SO HAPPY! YOU ARE GOING TO BE GLOMPED NEXT TIME I SEE YOU"
"LOOK OUT! YOU ARE GOING TO GET A PROPER GLOMPING"
"LOOK OUT! YOU ARE GOING TO GET A PROPER GLOMPING"
viết bởi
[Leshmodinome](/author.php?author=Leshmodinome)13 Tháng năm, 2012
3
Living in an RV while on someone else’s property, using their space and/or resources for free. (A hybrid of ‘glamping’ and ‘glomming’.)
e.g., "We went glomping way back in the national forest," or "I can't go out with you guys tonight because my parents are glomping at my place with my kids and they're all expecting me home for dinner."
viết bởi
[Trespassers Will](/author.php?author=Trespassers+Will)06 Tháng tám, 2014
4
1. Embracing someone for a long period of time.
2. Milkin'a hug
2. Milkin'a hug
You were really glomping that hug from that girl at the party weren't you?
viết bởi
[jwc2raven](/author.php?author=jwc2raven)25 Tháng chín, 2008
5
Running/walking around in such away that it may appear that one is leaping, while making an unnecessarily wild show of doing so. particular down stairwells. there may also be obnoxious sound effects involved. it is a particularly good method for giving the major muscle groups in your legs and buttocks a good workout. watching somebody glomp around will probably look like a combination of that person trying to take the largest steps possible, as well as trying to raise his legs as high up as possible while stepping, and finally trying to slam his feet down with as much force as possible.
"dude, what's that guy doing over there? is he mental or something?"
"nah he's just glomping around. did you know its a great way to work your legs?"
"nah he's just glomping around. did you know its a great way to work your legs?"
viết bởi
[meeeeeeeeeeeeeeeeeee33](/author.php?author=meeeeeeeeeeeeeeeeeee33)10 Tháng chín, 2009
6
A sexual act of a mysterious nature, to glomp rather than to romp
person 1 : hey, what you doing?
person 2 : I'm glomping
person 2 : I'm glomping
viết bởi


markdown:
Sign in to
**post new definitions, images, and sounds** and create lists of favorites.
Sign in to
**post new definitions, images, and sounds** and create lists of favorites.
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận
**Từ vựng của Urban** mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.

Cache-Control: max-age=0, private, must-revalidate


markdown:
**PGS.TS Hoàng Dương Hùng và cộng sự thuộc Trường Đại học Bách khoa Đà Nẵng đã nghiên cứu và ứng dụng thành công hai loại bếp hình hộp và hình parabol dùng năng lượng mặt trời. **
|
|![]()
|Thu nhiệt từ ánh sáng mặt trời để đun nóng nước, nấu chín thức ăn. (Ảnh minh họa)|
Loại bếp này có chức năng thu nhiệt từ ánh sáng mặt trời để đun nóng nước, nấu chín thức ăn... đặc biệt phù hợp với các hộ gia đình nghèo sống ở vùng sâu, vùng xa.
Theo đánh giá của những hộ dân dùng thử, mỗi tháng 1 chiếc bếp dùng để nấu ăn và đun nước hằng ngày sẽ tiết kiệm được khoảng 100.000 đồng tiền chất đốt. Đối với các hộ gia đình buôn bán nhỏ, họ có thể tiết kiệm được khoảng 200.000 đồng/tháng...
-
*Theo TC HĐ-KH*
Ý kiến bạn đọc
Viết phản hồi

Cache-Control: max-age=280, public


markdown:
|Trua ngay 23/8, mot vu no lon tu binh han gio da da xay ra tren duong Nguyen Trai, canh cho Trung tam TP Tuy Hoa (Phu Yen).
|
Trong khi dang han mot chiec xe may, chiec binh gio da trong co so cua ong Tran Dinh Thong da bat ngo phat no, lam 4 nguoi bi thuong nang. Anh sinh vien Vo Van Nhan (19 tuoi, tru tai P.2, TP Tuy Hoa) khi dang den sua xe tai cua hang nay da tu vong ngay sau do tai Benh vien Da khoa tinh Phu Yen. Ngoai ra, vu no con lam be nat tat ca cua kinh va sap mot phan ngoi nha ben trong co so han gio da nay. Cong an TP Tuy Hoa dang tiep tuc lam ro vu viec.
|
|
Viet Bao
|
|
00:00 / --:--
|
|
|
|
TIN
![]()
Ban co the doc ban tieng Viet co dau cua bai viet
*Nổ bình hàn gió đá, 1 người chết, 3 người bị thương nặng* bang cach nhan chuot vao duong dan tren.
Nhan xet, hay lien he ve tin
** co the gui bang duong dan o duoi. Ban nen gui kem tieu de bai viet No binh han gio da 1 nguoi chet 3 nguoi bi thuong nang**